Versión 2014CAPITULO 3 TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE PRINCIPIOS FÍSICOS División 7 Dimensionado y verificación de piezas bajo cargas impulsivas UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas.113 se puede apreciar que a partir de una relación de deformación unitaria de 10-2 1/s. y como tales se denominaban solicitaciones dinámicas para distinguirlas de las solicitaciones estáticas. Marcelo Tulio Piovan . Sin embargo nada se mencionó de la rapidez de aplicación de la solicitación. la resistencia a la fluencia y la resistencia a la rotura aumentan sostenidamente. Ing. Las propiedades mecánicas de un material son función de la velocidad de aplicación de la carga y en consecuencia con la tasa de deformación.113. En tanto que la carga sea aplicada con mayor rapidez. Para desarrollar una metodología de cálculo simplificada para analizar solicitaciones con impacto en las piezas se recurrirá a establecer una serie de hipótesis y/o suposiciones: Todo sistema se reducirá a modelos simples de masas – resortes Se supone que la masa del elemento elástico es despreciable Se supone que no hay pérdida de energía en el impacto. Enfoque de Análisis En la División 5 del Capítulo 2 se han analizado métodos de cálculo para piezas que eran sometidas a cargas variables. para un acero con bajo contenido en carbono. Tales cargas se consideraban aplicadas en forma alternativa. en función de la tasa de deformación promedio. como en las cargas de choque o en los impactos. En la Figura 3. deformación y tensiones son mucho más elevados que en los casos de solicitación estática o aun de solicitación cíclica. los niveles de desplazamiento. Introducción En esta división del capítulo se analizarán algunos métodos elementales para el cálculo de piezas sometidas a cargas impulsivas o cargas de choque. serán más elevadas las resistencias a la fluencia y a la rotura del material. Figura 3. Profesor: Dr.Versión 2014 1.111 se muestra tal variación. Variación de las propiedades mecánicas de un acero bajo en carbono En la Figura 3. 2. Cuando las cargas se aplican rápidamente sobre un cuerpo. Se supone que la deformación del resorte es perfectamente elástica y dentro del rango lineal del material. Así pues si tomamos el nivel cero de energía potencial de la masa m. alcanzando un reposo momentáneo para luego recibir la descarga energética del resorte. Diferencias en entre las cargas (a) Estática o aplicada gradualmente (b) Impulsiva. Ing. en el nivel más bajo al que llega la misma.224) es una ecuación de segundo grado en m.115.g) cae desde su posición inicial hasta que toda la energía que lleva haga deformar al resorte una cierta longitud m. Figura 3.115.114. Si observamos el sistema de la Figura 3. Esquema conceptual básico para los problemas de impacto. Así pues. Nótese que UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Nótese que si el desplazamiento máximo logrados por la carga estática (e) y la carga dinámica (d) son los iguales y si las fuerzas máximas también son iguales (Fd=Fe) entonces la energía máxima de la carga aplicada en forma gradual es la mitad de la producida por la carga impulsiva.224) k m de donde: k m2 P m Ph 0 2 2 Donde P es el peso de la masa y k es la constante del resorte.Versión 2014 La diferencia existente entre una carga impulsiva y una carga aplicada en forma gradual se puede apreciar en la siguiente Figura 3. Figura 3. la ecuación de intercambio energético viene dada por: mgh m Ph m 1 1 2 (3. para entrar en conceptos repasemos un ejemplo simple de intercambio energético. la masa m (que pesa P=m.114. Profesor: Dr. Nótese que la expresión (3.225) . de tal manera que resolviendo la misma se obtiene el desplazamiento del resorte bajo la carga de impacto como: 2 m P P P 2h k k k Es claro que en la (3. Marcelo Tulio Piovan (3.225) se tomado la raíz más grande. 226) en (3.116 se puede observar una barra siendo sometida a una fuerza de impacto. si a diferencia de la masa que cae desde una altura h. Se observará que casi todas las expresiones que se obtengan a continuación tendrán una forma muy similar a la (3. UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. tal que P=m. Ing. Profesor: Dr.227) Nótese que si h=0. Marcelo Tulio Piovan . Ahora bien.226) k No es otra cosa más que el desplazamiento del resorte bajo carga estática.228) my ky mg 0 con y 0 0 El procedimiento de cálculo y verificación se dejará al alumno.g) que viaja a una cierta velocidad v (que puede ir variando con el tiempo) y en consecuencia con una energía cinética definida al impactar con el resorte.Versión 2014 P (3. de manera que el st desplazamiento máximo del resorte bajo carga dinámica se obtiene reemplazando (3. es decir resolviendo la siguiente ecuación diferencial: y 0 0 (3. entonces la ecuación de equilibrio energético es: 1 2 1P 2 1 2 mv v k m 2 2g 2 (3. Se recomienda emplear el programa Mathematica® para mayor agilidad en el proceso de cálculo. Recuérdese que esto se puede entender a la luz de la ecuación diferencial del sistema masaresorte bajo la acción del peso de la masa (tal como se ha visto en la asignatura Mecánica Racional). se tiene una masa m (si P es el peso. la cual puede ser provocada por la caída vertical de una masa M o bien por una fuerza de impacto horizontal.225) y reordenando como: m st st 2 2h st o bien m st 1 1 2h st (3.229) De tal manera que se puede despejar cuanto se extendió el resorte según: m mv2 Pu 2 k gk (3.227) 3. entonces el desplazamiento máximo o dinámico será el doble del estático.230) A continuación se tratarán algunos problemas de cálculo de verificación y de dimensionado de piezas bajo solicitaciones convencionales de impacto lineal. Problema de una barra recta bajo impacto axial En la Figura 3. 5 y empleando el teorema de Castigliano. Así pues la fuerza máxima y la tensión máxima para una barra sometida a una carga axial vienen dadas por las siguientes expresiones: EA m L (3. Tal como se vio en el apartado anterior. la (3. para el caso de una barra de sección uniforme se puede hallar (ejercicio para el alumno) la siguiente relación fuerzadesplazamiento: F ka donde ka EA (3. Profesor: Dr. Ing. Esquema conceptual básico para los problemas de impacto axial. todo el análisis está sujeto a la conservación energética en el sistema tal como se estipuló en las hipótesis de trabajo. la razón para obtener con (3. Nótese que la expresión (3. el área de la sección y la longitud de la barra.233) Se tendrá presente que P es el peso de la masa M que cae de la altura h. Entonces.232) obteniéndose: 2 P P P m 2h ka ka ka o bien.232) (3.234) Fmax E m A L (3. A y L el módulo de elasticidad. 2h P m st 1 1 con st st ka (3. enfocado ahora para una barra.224) se transforma en: 1 1 Mg h m Ph m ka m2 de donde: ka m2 P m Ph 0 2 2 Luego. Marcelo Tulio Piovan . se resuelve la ecuación cuadrática de (3. Así pues.231) L Siendo E. A partir de los resultados previos se puede efectuar una analogía con el problema del resorte. Así pues. se pueden emplear las expresiones del apartado anterior y reemplazarlas por los valores correspondientes de la constante de rigidez ka de la barra.235) Fmax ka m max UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas.116.233) el valor del desplazamiento máximo reside en que con el mismo se puede obtener la fuerza axial máxima de tal forma conocer el valor de la tensión máxima provocada por el impacto. Ahora bien. teniendo en cuenta la expresión para la energía de deformación axial dada por la Tabla 3.231) tiene una semejanza en forma y concepto a la ley de variación de la fuerza-desplazamiento de un resorte.Versión 2014 Figura 3. Marcelo Tulio Piovan .226) o a la (3. 4.231) según convenga. la fuerza y tensión máximas se obtienen como en las (3.235) respectivamente.236) Luego.g) contra la viga.21: Algunos casos de solicitación flexional y sus constantes de resorte En la Tabla 3. Es claro que el desplazamiento P se calcula donde actúa P.70).117 donde se pueden apreciar dos condiciones de posibles impactos de la masa M (y de peso P=M. Téngase en claro que se trata de una viga simplemente apoyada. Por otro lado. la tensión máxima efectiva se calculará con el correspondiente factor de concentración de tensiones (Figuras 2. en el caso de la masa que se traslada horizontalmente a una velocidad v. la expresión para obtener el desplazamiento provocado por la carga de impacto es: m Mv 2 MLv2 ka EA (3. I y E son el momento de inercia de la sección transversal y el módulo de elasticidad respectivamente. cada una de las expresiones para calcular P en la Tabla 3.Versión 2014 Es claro que si existen lugares donde hay concentración de tensiones. para fijar ideas considérese el caso de la Figura 3.99) correspondiente al caso (nuevamente esto se deja como ejercicio para los alumnos). Problema de una barra recta bajo impacto flexional En este problema se empleará en primera instancia la teoría de vigas de Bernoulli-Euler por su simplicidad.21. UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas.21 se obtiene resolviendo la ecuación diferencial (3.59 a 2. Ahora bien siguiendo un razonamiento similar al anterior. Tipo de Solicitación Desplazamiento estático Constante de Resorte P PL3 3EI kf 3EI L3 P PL3 48EI kf 48EI L3 PL3 P 192 EI kf 192 EI L3 Tabla 3. Profesor: Dr. Ing.21 se observan las expresiones de los desplazamientos estáticos en función de la fuerza aplicada se podrá despejar una expresión parecida a la (3. Ahora bien.234) y (3. Recuérdese que el problema de obtener el desplazamiento flexional conociendo la fuerza se puede reducir al concepto de relación fuerza-desplazamiento propia de un resorte. Así pues si en la siguiente Tabla 3. 5. Ing.21): 48EI (3.21 el procedimiento es exactamente el max o bien max mismo que el efectuado en los párrafos anteriores. En el caso de caída vertical desde la altura h.238) m L3 De manera que si el momento flector máximo en la zona donde se tiene la mayor deflexión. entonces la tensión máxima se puede calcular como: M fmc Fmax Lc (3.99) para el caso y condiciones de borde correspondientes. Fmax k f m es decir Fmax viene dado por Mfm = Fmax L/4. Ahora bien en otros casos de flexión. la máxima deflexión se calcula empleando una expresión similar a la (3.239) I 4I Donde I es el momento de inercia y c es la distancia a la fibra más alejada. Esquema conceptual básico para los problemas de impacto flexional. lo que dará: 2 P P P m 2h kf kf kf o bien. Problema de una barra recta bajo impacto torsional Es este caso se empleará la teoría de torsión de barras de sección cilíndrica. MT) y la deformación (ángulo de rotación. Profesor: Dr.232). Para otros casos de flexión contemplados en la Tabla 3. x) viene dado por una expresión como la siguiente: M T kt x La energía de deformación de un cuerpo sometido a torsión será: UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. en el caso de un elemento elástico sometido a una solicitación torsional. En efecto.117. Marcelo Tulio Piovan (3. se debe obtener primeramente el valor de la constante de resorte o en otras palabras la rigidez de la viga (es decir kf) resolviendo la ecuación diferencial (3.Versión 2014 Figura 3. 2h P m st 1 1 con st st kf (3. la relación entre el forzamiento (momento torsor.237) La fuerza flexional equivalente que provoca el desplazamiento dinámico máximo m se calcula con la siguiente expresión (observar el valor de kf de la Tabla 3. Además se deberá tener especial cuidado en efectuar la comparación por analogía con un resorte.240) . 244) Luego con el momento torsor máximo de impacto se puede obtener la máxima tensión tangencial en la barra torsionada de acuerdo con la siguiente expresión: M Tmc kt mc 2h st 1 1 Io Io b st (3. Si se supone que la palanca de longitud b es rígida. entonces la constante de rigidez viene dada por: GIo (3. Profesor: Dr.243) Empleando la (3. kt Figura 3. Los pasos deductivos se dejan como práctica a los alumnos para la fijación de los conceptos. UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. que la masa M tiene peso P.241) Nótese que la expresión (3. MTm. Ing. entonces se puede obtener el ángulo de rotación torsional máximo como: 2 M M M m T T 2h T kt kt kt 2h o m st 1 1 b st con st M T bP bMg kt kt kt (3.241) tiene la misma forma que la energía de deformación de un resorte (como todo elemento elástico bajo una concepción lineal). si el elemento elástico se una barra cilíndrica. Esquema conceptual básico para los problemas de impacto torsional.118 se puede apreciar un esquema básico de una barra sometida a una descarga de impacto torsional.118. por tanto se puede emplear la metodología expuesta en el Punto 2 de esta División 7 del Capítulo 2.Versión 2014 x x U M T d x kt x d x 0 es decir 0 1 U M T x kt x2 2 (3.242) L Siendo G el módulo de elasticidad transversal. es decir: M Tm ktm (3. Ahora bien. y siguiendo el mismo concepto deductivo de los apartados anteriores. Io el momento de inercia polar y L la longitud de la barra bajo estado torsional. En la Figura 3.240) se puede obtener el momento torsor máximo. Marcelo Tulio Piovan .245) Siendo st a tensión tangencial provocada por el peso de la masa bajo condición estática. 9.233).Versión 2014 6. “Diseño en Ingeniería Mecánica”. En consecuencia se hará una homogeneización dimensional a unidades internacionales: Area: A = 1. Ing.48mm EA Ahora bien.E. Jacobson y S. Entonces para hallar m.223) queda: 2h v2 m est 1 1 1 1 est est g est Ahora bien se puede plantear el equilibrio energético del conjunto de tal manera que es: UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. aplicar directamente la expresión (3. 2004. o bien h se calcula por un equilibrio energético y se inyecta en la (3.5 pul2 y que posee un módulo de elasticidad de 210 GPa. Shigley. Shigley y C. Un elevador que pesa cargado 20000 N es sujetado por un cable de acero de 2. “Machine Design Databook”. Se desea determinar la máxima elongación estática y la máxima tensión tractiva soportada en el cable. [2] B.00148m 1.1 1011 N/m2.J. un equilibrio energético solo para el cubículo del ascensor dará: 1 v2 Mgh Mv 2 h 2 2g Que si se reemplaza en la (3. McGraw Hill. Digital Engineering Library. Mischke.E.233) implica un entendimiento del problema. Mientras el elevador va descendiendo a una velocidad constante de 300 pies/min. “Elementos de Máquinas”. Profesor: Dr.R. Schmid. se seguirán ambos caminos: Así pues. B.6129 10-3 m2 Velocidad: V = 1. o bien dm se halla planteando una nueva ecuación de equilibrio energético desde el inicio. dado que se desconoce el valor de h.9.R. Marcelo Tulio Piovan . McGraw Hill 2000 [3] J. Hamrock. Problemas resueltos y para completar Problema tipo 3.524 m/s Módulo de elasticidad: E = 2. Para mostrar que las dos alternativas son válidas. Bibliografía [1] J. una falla causa el detenimiento de la polea con el ascensor a unos 25 m de la polea. McGraw Hill 2002. Solución del Problema tipo 3. Nótese que hay varias unidades de medida. La deflexión estática surge despejando de la (3.234): FL 0. 7. pues la masa no cae desde una cierta altura como en el est ejemplo mencionado. UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas.Versión 2014 1 1 1 1 kc est2 Mg m Mv 2 kc est2 kc m2 2 2 2 2 Donde kc es la constante de rigidez del cable. Luego el contenedor es empujado por un hoyo y cae un poco. La densidad de la bola es de 7840 kg/m3. En una obra en construcción. Profesor: Dr. Considere que la palanca es muy rígida y no sufre grandes deformaciones. Los cuerpos que se deben frenar tienen una masa de 2 kg. Se desea calcular cual es la máxima fuerza que soporta el cable si se sabe que el cable de acero tiene una área de 500 mm2. Problema 3. que se calcula según la (3. M la masa del ascensor. igual que la anterior expresión recuadrada. Un juego está formado por una esfera de acero de 50 mm de diámetro que rebota sobre un resorte cuya constante es de 100000 N/m. Se pide calcular la velocidad máxima que puede llegar a frenar sin que se sobrepase la tensión tangencial de 150 MPa. Marcelo Tulio Piovan . Se quiere halla la máxima fuerza sobre el resorte y su máximo desplazamiento durante el impacto. La bola cae de una altura de 3 m y rebota contra el resorte y salta hacia otro lado. Ing. Problema 2. Si la barra sometida a torsión tiene un diámetro de 25 mm y construido con un material de módulo de elasticidad transversal de 80 GPa y el brazo de palanca tiene una longitud de 50 cm.118. Un sistema de frenado de piezas que van a cierta velocidad está formado por una palanca y una barra a torsión como la de la Figura 3. un contenedor de 1 tonelada pende de una grúa en un cable y apoyada sobre un piso con la condición del cable descargada. un módulo de elasticidad de 70 GPa y la longitud del cable bajo descarga es de 30 m. La tensión máxima se calcula como sigue mac Fmax kc m EA FL EA v 2 1 1 A A AL EA FL g 2 F 1 1 v A est g 8. La expresión anterior se puede acomodar de la siguiente manera: m2 2FL FL v 2 v2 m 0 m2 2 est m est 0 EA EA g g Que resolviéndola por Baskara queda: EA v 2 m est 1 1 FL g 2 est 1 1 v est g O sea. Problemas propuestos Problema 1.231).