Diseño de Vigas Por Flexion y Corte norma ACI 318-14

CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTEINDICE Pág. 1. 1. INTRODUCCIÓN 2 1.1 1.1 VIGAS 2 1.2 1.2TIPOS DE VIGAS 2 2. 2. ANÁLISIS DE VIGAS 3 3. 3. METODOS DE DISEÑO 4 4. 3.1 PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO POR RESISTENCIA 5 5. 3.1.1 MÉTODO DE DISEÑO POR RESISTENCIA 5 6. 3.1.2 RESISTENCIA REQUERIDA 7 7. 3.1.3 RESISTENCIA DE DISEÑO 8. 3.1.4 HIPOTESIS DE DISEÑO 8 10 3.1.5 PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES 13 3.2 DISEÑO POR FLEXIÓN 23 3.2.1 ALTURA MÍNIMA DE LA VIGA 23 3.2.2 ACERO MÍNIMO 23 3.2.3 SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE 24 REFORZADAS 25 3.2.4 SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE 27 REFORZADAS 3.2.5 SECCIONES CON PATÍN 9. 4. COMPORTAMIENTO DE CORTE EN VIGAS 30 10. 4.1 INTRODUCCIÓN 30 11. 4.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGON 31 12. 4.3 COMPORTAMIENTO Y MODOS DE FALLA 31 13. 4.3.1 ELEMENTOS SIN REFUERZO EN EL ALMA 14. 4.4 DISEÑO POR CORTANTE 32 15. 4.4.1 RESISTENCIA AL CORTANTE 33 PROPORCIONADA POR EL CONCRETO 35 16. 4.4.2 RESISTENCIA AL CORTANTE 36 PROPORCIONADA POR EL REFUERZO DE CORTANTE. 17. 4.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL REFUERZO POR 37 CORTANTE. 18. 19. 5. EJEMPLOS DE APLICACIÓN 39 20. 5.1 DISEÑO A FLEXIÓN 39 21. 5.2 DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA 42 22. 5.3 DISEÑO DE UNA SECCIÓN CON PATÍN (VIGA EN T) 45 23. 5.4 DISEÑO A CORTANTE 24. 47 25. 6. BIBLIOGRAFÍA 52 1 CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE DISEÑO DE VIGAS POR FLEXION Y CORTE NORMA ACI 318-14 1. INTRODUCCIÓN.- 1.1. VIGAS.- En ingeniería se denomina viga, a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico. Las vigas de entrepiso son los elementos estructurales que transmiten las cargas del piso a los elementos verticales resistentes. Las vigas de entrepiso se dividen en principales y secundarias. Las vigas principales forman parte del sistema resistente a cargas laterales, reciben la carga tributaria de las losas y de vigas secundarias y las transmiten directamente a las columnas, a las cuales se conectan a través de las “uniones”. Las vigas secundarias reciben las cargas tributarias de las losas y la transmiten a vigas primarias. Las cargas que actúan sobre las vigas son transversales al eje longitudinal de las mismas, generándose principalmente esfuerzos de flexión y cortante. Generalmente no se generan esfuerzos axiales de tensión o compresión que sean significativos, por lo que comúnmente son despreciados en el diseño. Los efectos de torsión toman importancia en las vigas de borde de los tableros de entrepisos, o en vigas interiores cuando las cargas de los tableros adyacentes son bastante diferentes por lo que no están balanceadas. En esta sección se presentan las disposiciones del código ACI para el diseño por flexión, cortante, y torsión de vigas. Además las consideraciones acerca del control de agrietamiento y deflexiones en condiciones de servicio. 1.2. TIPOS DE VIGAS: Viguetas. 2 CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Las viguetas son las vigas que están colocadas de forma cercana entre ellas para soportar el techo y el piso de un edificio. Dado que frecuentemente corren a lo largo del exterior de un edificio (junto con el interior, como es estructuralmente necesario) son las vigas que la gente seguramente observa en un edificio sin terminar. Dinteles. Los dinteles son las vigas que se pueden ver sobre las aberturas en una pared de mampostería, tales como ventanas y puertas. Vigas de tímpano. Las vigas de tímpano soportan las paredes exteriores de un edificio y también pueden soportar parte del techo en los pasillos. Por ejemplo, éstas son las vigas que corren hacia arriba a través del núcleo hueco que hacen los ladrillos en una pared, añadiendo soporte adicional y estabilidad al mortero y manteniendo los ladrillos juntos. Vigas de piso. Al contrario de los largueros, las vigas de piso corren perpendiculares al camino, completando el patrón en forma de cruz que ves cuando observas debajo de un puente. Las vigas de piso funcionan para transferir la tensión de los largueros a las armaduras que soportan el puente. 2. ANALISIS DE VIGAS.- Las estructuras de concreto reforzado representan, en general, estructuras monolíticas o continuas. Por tanto, una carga aplicada en cualquier sitio de la estructura produce deformaciones y esfuerzos sobre todos los elementos que conforman la estructura. La determinación de las fuerzas y momentos flectores en cada punto de la estructura debido a las cargas externas, se fundamenta por lo general en las teorías del análisis elástico. Sin embargo, antes de la falla, las secciones de concreto reforzado en general son capaces de soportar una rotación inelástica considerable para un momento constante; esto permite una redistribución de momentos elásticos y ofrece las bases para el análisis plástico de vigas, marcos y losas. Los métodos de análisis elásticos suponen que el material es elástico y obedece a la Ley de Hook en todos los puntos, en el intervalo de carga considerado. Por el contrario, el análisis inelástico considera que el material no es elástico y que la relación entre deformaciones y esfuerzos es no lineal para el estado de cargas considerado. Se han desarrollado diversos métodos a lo largo de muchos años para el análisis elástico de vigas y marcos continuos. Durante muchos años el método de distribución de momentos (Hardy Cross, 1932) conformó la herramienta analítica básica para el análisis de estructuras continuas. Sin embargo, la introducción de los métodos matriciales de análisis en los años 1950 – 1960, en combinación con la disponibilidad creciente de computadores, produjo cambios revolucionarios en la práctica de la ingeniería estructural. 3 se forma una rótula plástica que permite grandes rotaciones con un momento resistente constante y transfiere la carga a otros sitios a lo largo del elemento donde aún no alcanza la resistencia límite. En el diseño por esfuerzos de trabajo. La mayor parte de estructuras de concreto reforzado se diseñan para momentos. 3. lo cual conduce a un aumento en la economía. Así. debido a que se consideró como un método más racional y realista en su aplicación a la seguridad de las estructuras. Cuando se alcanza la falla por fluencia del acero de refuerzo en una sección. Es evidente que este planteamiento es inconsistente dentro del proceso total de análisis y diseño. el dimensionamiento real de los elementos se lleva a cabo con modelos de resistencia que reconocen que se tendría una respuesta inelástica de la sección y del elemento para estados de sobrecarga. El primer método fue el llamado “diseño por esfuerzos de trabajo” utilizado desde principios del siglo XX. a procesos sistemáticos de manipulación de matrices que pueden llevarse a cabo automática y rápidamente mediante computadores. Sin embargo. y son apenas fracciones de los esfuerzos de falla de los materiales (por 4 . desde la publicación de la edición 1963 del código ACI 318. El uso de los métodos matriciales posibilitó el análisis de marcos tridimensionales. “diseño por resistencia última”. El reconocimiento de la redistribución de momentos puede ser importante porque permite una aproximación más realista a la capacidad verdadera de una estructura para resistir cargas. aunque se ha demostrado que es seguro y conservador. cortantes y fuerzas axiales encontrados mediante la teoría elástica. resultantes de cargas normales de servicio. Estos límites son conocidos como esfuerzos admisibles. las cargas factorizadas se utilizan en el análisis elástico para determinar los momentos de viga continua después de lo cual las secciones críticas de viga se diseñan con el conocimiento que el acero estaría muy dentro del intervalo de fluencia y que la distribución de esfuerzos en el concreto sería no lineal antes del colapso final. MÉTODOS DE DISEÑO. permiten el análisis de la redistribución de momentos bajo ciertas restricciones. Sin embargo.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE La utilización de la teoría matricial hace posible reducir las operaciones numéricas detalladas que se requieren en el análisis de una estructura indeterminada. estén dentro de unos límites especificados. hubo una rápida transición al otro método. Sin embargo. A medida que la carga se incrementa pueden formarse otras rótulas plásticas en varios sitios a lo largo de la luz. los elementos se dimensionan de manera que los esfuerzos en el acero y en el concreto. pero sólo después de que se presente una significativa redistribución de momentos. Desde hace mucho tiempo predominan dos criterios de diseño para el concreto reforzado. Tanto el código ACI 318 como la Norma Técnica para Diseño y Construcción de Estructuras de Concreto estipulan que todas las estructuras continuas de concreto reforzado se diseñen para resistir los efectos máximos de las cargas factorizadas determinados por la teoría del análisis elástico. que pueden generar de manera eventual el colapso de la estructura. 6 f y ). Para el cálculo de los efectos de las cargas amplificadas a la derecha de las ecuaciones. cortante y momento de torsión: ϕ P n ≥ Pu ϕ M n ≥ Mu ϕ V n≥ V u ϕ T n ≥T u Donde. las cargas de servicio especificadas son multiplicadas por los factores de carga apropiados. La resistencia requerida está basada en la combinación más crítica de las cargas factoradas.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE ' σ c =0.1. se consideran comúnmente sólo en forma implícita a través de los límites impuestos a los esfuerzos producidos por las cargas de servicio. y en términos específicos. flexión. para un elemento sometido a carga axial. los subíndices n indican las resistencias nominales a fuerza axial. MÉTODO DE DISEÑO POR RESISTENCIA. En general el criterio básico para el diseño por resistencia se expresa: Resistencia de Diseño ≥ Resistencia Requerida ϕ R n ≥ U ( ACI 4. los factores de carga pueden 5 .- El método de diseño por resistencia requiere que la resistencia de diseño de un elemento en cualquier sección sea igual o mayor a la resistencia requerida calculada a partir de las combinaciones de carga factorizadas especificadas en las normativas de diseño. De esta manera. La resistencia nominal se calcula mediante las hipótesis y ecuaciones del diseño por resistencia. cortante y momento torsor. para el concreto los tipos de carga se tratan de la misma manera sin importar qué tan diferentes sean su variabilidad individual y su incertidumbre. momento flector. los esfuerzos se calculan para el rango elástico de deformación.1. PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEÑO POR RESISTENCIA. momento flector. para acero σ s=0.45 f c . y los subíndices u indican los efectos amplificados de carga axial. 3. En cuanto a las deflexiones y el agrietamiento.1. esto es. En este método todos ejemplo. 3. cortante y torsión respectivamente.6) La resistencia de diseño es obtenida aplicando un factor de reducción ϕ a la Rn resistencia nominal del elemento. Asimismo. introducen tanto errores sistemáticos como aleatorios.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE aplicarse ya sea a las cargas de servicio directamente o a los efectos internos de las cargas calculados a partir de las cargas de servicio.  Resistencia en obra contra resistencia de especímenes. La reducción en la resistencia de los materiales o elementos es necesaria por: a) La resistencia de los materiales puede diferir de las supuestas en el diseño debido a:  Variación en la resistencia de los materiales. c) Las hipótesis y simplificaciones en las ecuaciones de diseño. b) Los elementos pueden variar de los asumidos. debidas a errores de fabricación y construcción. Las siguientes razones fundamentan la utilización de factores de reducción de resistencia y factores de carga en el método de diseño por resistencia: 1. d) El uso de tamaños nominales de varillas da como resultado variaciones de la capacidad real de los elementos. Los factores de carga son necesarios por la posibilidad de sobrecargas debido a: a) Las magnitudes de las cargas pueden variar de las asumidas.  Errores en la geometría de las secciones transversales y errores en la ubicación del acero de refuerzo.  El efecto de la velocidad de los ensayos. La resistencia del concreto en una estructura es algo diferente que la resistencia del mismo concreto en un espécimen de control. Las resistencias del concreto y del acero son afectadas por la velocidad de aplicación de las cargas. tales como el uso del bloque rectangular equivalente de esfuerzos y la suposición de máxima deformación unitaria útil del concreto igual a 0. Las cargas muertas pueden variar:  Variaciones en los tamaños de los elementos  Variaciones en la densidad del material 6 . La resistencia a la compresión del concreto así como la resistencia a la fluencia y resistencia última del acero de refuerzo son variables.003. 2. Los siguientes errores son importantes:  Las tolerancias de laminación y fabricación de las varillas de refuerzo. c) Costos debido a pérdidas de vidas y daños a la propiedad. Un alto factor de carga (1.2) a diferencia de las cargas vivas (1. están asociadas con un factor de carga bajo (1.1.3. b) Potencial pérdida de vidas. longitudes de claros.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE  Alteraciones estructurales y no estructurales Las cargas vivas varían de manera considerable en el tiempo y de un edificio a otro. la advertencia de la misma y la existencia de diferentes condiciones de carga. y las imprecisiones originadas al modelar las estructuras tridimensionales para el análisis estructural. provocan diferencias entre los esfuerzos que en realidad ocurren en una construcción y los que el diseñador consideró en su análisis.6). b) Existen incertidumbres en el cálculo de los efectos de las cargas. 7 . y la probabilidad de la ocurrencia simultánea de diferentes tipos de carga. e) Costos de reparación de la estructura. se expresa en términos de cargas factorizadas o de sus fuerzas y momentos internos relacionados. 3. Las cargas factorizadas son las cargas de servicio especificadas en el reglamento general de construcción. Aunque se incluyen la mayoría de las combinaciones usuales. Se consideran varios factores: a) El tipo de falla.. RESISTENCIA REQUERIDA. que normalmente pueden determinarse con mayor precisión y son menos variables.- La resistencia requerida.2 debido a la menor posibilidad de sobrecarga. También. Por lo tanto. La reducción de la resistencia y el incremento de las cargas también es debido a que las consecuencias de una falla pueden ser graves. El valor numérico del factor de carga asignado a cada tipo de carga está influido por el grado de precisión con el que la carga normalmente puede ser evaluada. las cargas muertas. etc. La tabla 5. d) La importancia del elemento en la estructura. por la variación que se puede esperar en la carga durante la vida de una estructura. Las suposiciones de rigidez. al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y un nivel máximo controlado.2.6) es requerido para presiones de tierra y de agua subterránea debido a la incertidumbre de su magnitud y variación. 3. U.1 del código ACI 318-14 prescribe factores de carga para combinaciones específicas de carga. se asocia un factor de 1. no debe suponerse que todos los casos están cubiertos. multiplicadas por los factores de carga apropiados. 3. Las reglas para calcular la resistencia nominal se basan en estados límite seleccionados conservadoramente para esfuerzos. cortante y torsión. 8 . y sus secciones transversales.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Tabla 5.1 COD. es igual a la resistencia nominal calculada de acuerdo con las disposiciones y suposiciones del método de diseño por resistencia. sus uniones con otros elementos.ACI 318-14— Combinaciones de carga 3.- La resistencia de diseño proporcionada por un elemento.3 RESISTENCIA DE DISEÑO. y se derivan de los resultados de las investigaciones de cada tipo de acción estructural.1. multiplicadas por un factor de reducción de resistencia ϕ que es menor que la unidad. en términos de flexión. deformación unitaria. carga axial. agrietamiento o deterioro. 9 .2. ACI 318-14 — Factores de reducción de resistencia.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Tabla 21.1 COD. HIPÓTESIS DE DISEÑO. 10 .4.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 3.1. 1. Equilibrio y compatibilidad de deformaciones (ACI 22. Esta suposición es de primordial importancia en el diseño para determinar la deformación unitaria y el esfuerzo correspondiente en el refuerzo.1.1.1)  Debe cumplirse con la condición de equilibrio en cada sección.2. 3.4.1.4. requiere que se cumplan dos condiciones básicas: (1) El equilibrio estático y (2) la compatibilidad de las deformaciones unitarias.2.2) 11 .  Las deformaciones unitarias en el concreto y el refuerzo no preesforzado deben suponerse directamente proporcionales a la distancia desde el eje neutro. La primera condición requiere que las fuerzas de compresión y las fuerzas de tensión actuando en una sección transversal en la resistencia nominal estén en equilibrio. 3.1.1.2 del código ACI 318-14.2. Numerosos ensayos han confirmado que es razonable suponer una distribución lineal de la deformación unitaria a través de una sección transversal de concreto reforzado (las secciones planas se mantienen planas). aún cerca de la resistencia nominal. La segunda condición requiere que la compatibilidad entre las deformaciones en el concreto y el acero de refuerzo en la resistencia nominal sea establecida dentro de las hipótesis de diseño dadas en la sección 22.1. Suposiciones de diseño para el concreto (ACI 22. Hipótesis de diseño para resistencia a flexión y a carga axial 3.4.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE El cálculo de la resistencia de un elemento y de una sección transversal por el Método de Diseño por Resistencia. Sin embargo. En el cálculo de la resistencia a flexión.  La distribución rectangular equivalente de esfuerzos en el concreto se define por los siguientes puntos: Para diseño.  La relación entre los esfuerzos de compresión y la deformación unitaria en el concreto se debe suponer rectangular. trapezoidal. La distribución de los esfuerzos del concreto bajo deformaciones unitarias altas no es lineal (el esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria). limitada por los bordes de la sección 12 . parabólica o de cualquier otra forma que lleve a una predicción de la resistencia que coincida con los resultados de ensayos representativos. La resistencia a la tracción del concreto sometido a flexión (módulo de ruptura) es una propiedad más variable que la resistencia a la compresión y es aproximadamente igual al 10 a 15 por ciento de la resistencia a la compresión. La distribución real del esfuerzo de compresión del concreto dentro de una sección transversal es compleja y.003. a través de numerosos ensayos de diferente naturaleza.003 y 0. no se conoce explícitamente. Sin embargo. el Reglamento permite el uso de una distribución rectangular equivalente de esfuerzos de comprensión (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos del concreto más elaboradas.008 bajo condiciones especiales.003. La máxima deformación unitaria para aplastamiento del concreto por compresión se ha establecido. No obstante.La deformación unitaria máxima utilizable para diseño es 0. materiales y resistencias normales.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE  La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto debe suponerse igual a 0.85 f 'c uniformemente distribuido en una zona de compresión equivalente. conservadoramente la resistencia a la tracción del concreto sometido a flexión no se toma en cuenta. la resistencia del concreto en tracción es importante en la evaluación de la fisuración y las deflexiones a nivel de cargas de servicio.003 hasta valores tan altos como 0. por lo general. Se debe suponer un esfuerzo de 0. las deformaciones unitarias a las cuales se desarrolla la resistencia están usualmente entre 0.004 para miembros de dimensiones.  La resistencia a la tracción del concreto debe despreciarse en los cálculos de resistencia a flexión y resistencia axial. las investigaciones han demostrado que las propiedades importantes de la distribución de esfuerzos en el concreto pueden aproximarse adecuadamente si se emplea cualquiera de diferentes suposiciones para la forma de la distribución de los esfuerzos. . que varía desde 0. 3.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE transversal y por una línea recta paralela al eje neutro. La relación esfuerzo-deformación unitaria y el módulo de elasticidad para el refuerzo corrugado debe idealizarse de acuerdo con: 13 . .3) .2.85  70 280≤ ≤550 fc' 0. c. 1961).1. β 1 deben estar de acuerdo con: . f 'c [ kg /cm2 ] β1 fc ' 0.2. tal como se calcula con: a=β1∗c (ACI 22.2.2.4. pero proporciona esencialmente los mismos resultados de las resistencias nominales de flexión y axial que los obtenidos en ensayos (Mattock et al.4.4.05( f c '  280) 0.1.2. ubicada a una distancia a de la fibra de deformación unitaria máxima en compresión. Suposiciones de diseño para refuerzo no preesforzado (ACI 22.65 ≥550 3. se debe medir en dirección perpendicular al eje neutro.3 — Valores de esfuerzos en el concreto. Los valores de β 1 para la distribución rectangular equivalente de Tabla 22. La distancia desde la fibra de deformación unitaria máxima al eje neutro.1) La distribución rectangular de esfuerzos equivalente no representa la distribución real de esfuerzos en la zona de comprensión al nivel de resistencia nominal.85 170≤ ≤280 fc ' 0. La resistencia nominal de cualquier tipo de sección con cualquier cantidad y distribución del refuerzo se calcula aplicando el equilibrio de fuerza y momento y las condiciones de compatibilidad de deformaciones.1.- La resistencia nominal de un elemento o sección transversal sujeto a flexión o a la acción combinada de flexión y carga axial debe basarse en el equilibrio y en la compatibilidad de las deformaciones.1. Resistencia nominal a flexión. A partir del equilibrio de fuerzas: C=T ' o. sección con patín (T) con refuerzo a tensión y sección rectangular con refuerzo a tensión y compresión. Utilizando la distribución rectangular equivalente. empleando las suposiciones de la sección ACI 22.1.5. 3.5. Sección rectangular con refuerzo a tensión (sección simplemente reforzada).1. PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES.1.2. 0. 3.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 3. y asumiendo que el refuerzo fluye ( ε s> ε y ) antes del aplastamiento en el concreto.1. Esto se ilustra a continuación para el caso de una sección rectangular con refuerzo a tensión únicamente.5.85∗f c ∗b∗a= A s∗f y por tanto 14 . la resistencia nominal Mn puede calcularse a través del equilibrio de fuerzas y momentos. -Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el s   y y extremo comprimido . la resistencia nominal a la flexión M n es: 15 ..  Falla Balanceada.Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto.2. o sea cuando en la falla . la resistencia por flexión se calcula con la ecuación de una sección rectangular con un ancho igual al ancho del patín.  Falla Frágil. es decir cuando en la falla s   y ocurre que .59 f 'c∗b ) (ACI 22. Sección con patín con refuerzo a tensión únicamente.1..CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE A s∗f y a= 0.1.Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción. donde es el valor de la deformación para el cual se inicia la fluencia.85∗f 'c∗b Del equilibrio de momentos: M n=( C ó T )∗ d− ( a2 )= A ∗f ∗( d− a2 ) s y y sustituyendo el valor de “a” A s∗f y ( M n= A s∗f y∗ d−0.- Cuando el espesor del patín de compresión es igual o mayor que la profundidad del Mn bloque equivalente de esfuerzos “a”. Cuando el espesor del patín de compresión es menor que “a”.5. 2) Tipos de falla en secciones simplemente reforzadas:  Falla dúctil. s   y es decir cuando en la falla 3. 85∗f 'c∗bw b = ancho efectivo del patín (definido en ACI 318-02.4). bw = ancho del alma hf = espesor del patín Distribución de deformación y esfuerzo para una sección con patín (sección T).CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE h ( ) M n=( A s− A sf )∗f y∗ d − a 2 ( ) + A s∗f y∗ d− f ( ACI 22. 9.2) 2 Donde A sf = área del refuerzo requerido para equilibrar la resistencia a compresión de los patines ' = 0. 16 .2.85∗f c ∗(b−b w )¿ hf /f y a= ( A s− Asf )∗ f y /0. CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 3.1.5.1.3. Sección rectangular con refuerzo a compresión. Para una sección doblemente reforzada con refuerzo a compresión A’s, pueden darse dos condiciones: 1. El refuerzo a compresión A 's fluye: f 's=f y ( A s −A 's )∗f y a= 0.85∗f 'c ∗b La resistencia nominal a flexión es: M n=( A s− A 's )∗f y∗ d− ( a2 )+ A ∗f ∗( d−d )( ACI 22.2) ' s y ' El refuerzo A 's fluye si se satisface la condición: d ' ε u −ε y ≤ c εu Distribución de deformación y esfuerzo para una sección rectangular doblemente reforzada. 17 CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE ' 2. El refuerzo a compresión As no fluye: c−d ' ( ) f 's=E s ¿ ε 's=E s∗ε u∗ c <f y La profundidad del eje neutro “c” se determina a partir de la siguiente ecuación cuadrática: 2A s f y −Es ε u A's Es ε u A's d ' c− c− =0 0.85 β 1 f 'c b 0.85 β 1 f 'c b La resistencia nominal a momento es: ( a2 )+ A ∗f ∗(d −d )(ACI 22.2) M n=0.85 f 'c ab d− ' s ' s ' 3.1.5.2. Condición de deformación balanceada. La condición de deformación balanceada en una sección transversal se da cuando la εu deformación máxima en la fibra extrema a compresión alcanza = 0.003 al mismo tiempo que el refuerzo a tensión alcanza la primera deformación a la fluencia ε s=ε y =f y /E s . 18 CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Condición de deformación balanceada en flexión. cb La razón de la profundidad del eje neutro a la profundidad del refuerzo extremo a tensión d para producir una condición de deformación balanceada en una sección con refuerzo a tensión únicamente, se obtiene aplicando las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Con atención a la figura, para la condición de deformación lineal: cb ε 0.003 = u = d ε u+ ε y 0.003+f y /E s Módulo de elasticidad del acero es: Es=2’000.000 kg/cm2 [ACI 22.2.2.2]. Entonces: fy f ε y= = y 6 E s 2∗10 ε y tenemos: Efectuando el reemplazo 6000 c= d 6000+ f y 19 85 f ba= A s f y → A s= c fy Reemplazando “a”: ' 0. y despejando tenemos: C c =T ' 0.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Dónde: c es la distancia del eje neutro a la fibra extrema en compresión en una sección con cuantía balanceada. La resultante de compresión en el hormigón es: C c =0.85 f c β 1 b 6000 As= fy ( 6000+ f y d ) A s 0.85 f 'c β 1 6000 ρb= fy ( 6000+ f y ) ( ACI 20.85 f 'c β 1 6000 A bd = fy ( 6000+ f y ) → Si: ρb = s bd Finalmente: 0.2) 20 .85 f 'c a b 0.2.85 f 'c ab La relación entre la altura del bloque de compresión y la posición del eje neutro es: a=β1 c C c =T As Haciendo el equilibrio.85 f c β 1 c b As= fy Reemplazando “c”: ' 0. Refuerzo máximo para elementos en flexión (ACI 9. Las secciones son controladas por compresión cuando la deformación neta a tensión en el acero extremo a tensión es igual o menor que el límite de deformación controlada por compresión en el momento que el concreto en compresión alcanza su límite de deformación asumido de 0. es igual a 3. con lo que se logra un cierto nivel de ductilidad de las secciones antes de la falla. entendiéndose que para concreto reforzado depende del grado del refuerzo y εy . El código ACI 318-14 define los límites de refuerzo en términos de la deformación neta a εt ρb tensión.003. la máxima cuantía de armado permitida es el 75% de la cuantía balanceada. en lugar de la razón de refuerzo balanceado que ha sido utilizado anteriormente.3. El ACI establece que en zonas no afectadas por sismos.00367. Este criterio asegura que el acero entre en fluencia un poco antes de que el hormigón ingrese en la zona de decrecimiento de capacidad resistente a la compresión.5. por lo que no se dan valores explícitos del valor de límite de deformación controlada por compresión. La cuantía de armado del 75% de la cuantía balanceada es equivalente a una deformación unitaria mínima del acero de tracción de 0. Secciones controladas por compresión.1.5. El límite de deformación controlada por compresión es la deformación neta a tensión en el refuerzo en la condición de deformación balanceada.3. La definición anterior es aplicada tanto a concreto reforzado como a concreto presforzado.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 3. o estructuras cuyo efecto sísmico es despreciable.1.3).4. 21 . CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo el 75% de la cuantía balanceada. con relación a la falla balanceada.1. 3. Cuando las vigas disponen de armadura de compresión el ACI exige niveles de ductilidad análogos a los analizados para vigas sin armadura de compresión. utilizar el 75 % de la cuantía balanceada es equivalente a incrementar en un 33% la curvatura del hormigón armado antes de la falla. Para vigas que disponen de armadura de compresión. la cuantía máxima del acero de tracción es: ρ b+ ρ ' ρmax =0.5.75 ¿ ) ρb : Cuantía balanceada de armado a tracción Donde: ' ρ : Cuantía de armado a compresión 22 . de modo que en zonas no afectadas por sismos o en elementos en que el efecto del sismo no es importante.4.1. y se analizan los diagramas momento-curvatura básicos. Cuando se trabaja con aceros de 4200 kg /cm 2 de fluencia. Sin embargo.50 ρb Para secciones rectangulares y acero de 4200 Kg/cm2 de fluencia. el nivel de ductilidad será igual al logrado en vigas sin armadura de compresión.007.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Armadura de tracción y de compresión.2.4. Si el acero de compresión se encuentra en fluencia. pues el eje neutro deberá descender para compensar la fuerza horizontal de compresión que no puede proveer el acero. 23 . 3. los niveles de ductilidad pueden reducirse en alguna magnitud con relación a las vigas que tienen solamente armadura de tracción. el 50% de la cuantía balanceada es equivalente a una deformación unitaria mínima del acero de tracción de 0.5. si el acero de compresión no alcanza el esfuerzo de fluencia antes que el hormigón llegue a su máxima deformación (esto ocurre particularmente en vigas de peralte limitado en edificaciones pequeñas).1. que es el máximo permitido. Cuantías máximas para zonas sísmicas: ρmax =0. 005).CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Diagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos bajo el 50% de la cuantía balanceada. El criterio del 50% de la cuantía balanceada para zonas sísmicas permitía la formación progresiva de articulaciones plásticas en diferentes sectores de las estructuras aporticadas. Para vigas que disponen de armadura de compresión. para vigas rectangulares al menos debería incluirse la deformación mínima de 0. y se analizan los diagramas momento-curvatura básicos. sino una especificación para controlar la disminución de ductilidad que puede causar el uso de armadura de compresión. utilizar el 50 % de la cuantía balanceada es equivalente a incrementar en un 133% la curvatura del hormigón armado antes de la falla. En realidad no es un estándar para mejorar la ductilidad de las estructuras. Por estas circunstancias. el ACI fija la siguiente limitación con criterios de ductilidad análogos a las vigas sin acero para compresión ' ρ b+ ρ ρmax =0.1.625ρb). Para secciones con armadura de compresión.4. 2 Cuando se trabaja con aceros de 4200 kg /cm de fluencia. se ubica exactamente en el punto medio entre el 50% y el 75% de la cuantía balanceada (ρ= 0.3. para aceros de 4200 Kg/cm2. ε t ≥ 0.5.005 del ACI como criterio de ductilidad básica.50 ¿ ) La nueva especificación del código ACI (εt = 0. con relación a la falla balanceada 3.005 24 . CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE O más óptimamente se debería limitar la cuantía de armado al 50% de la cuantía balanceada incluido el efecto de la armadura de compresión. 3. 25 . ρmax =0.005) puede ser insuficiente al tratar de asegurar un comportamiento dúctil con deformaciones progresivas.50 ¿ ) Las últimas 2 ecuaciones tienen la ventaja de que no solamente imponen comportamientos adecuados para vigas rectangulares.2 DISEÑO POR FLEXIÓN. para las que el criterio del ACI (ε t ≥ 0. sino también para vigas T y L.50 ρb ' ρ b+ ρ ρ max =0. 6 .2) fy w A s .- El código especifica una cantidad de acero mínimo en cualquier sección donde el refuerzo por tensión es requerido por análisis: 0.1.2.8 √ f c a ¿ A s .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 3.2.1. min Para elementos estáticamente determinados con patín a tensión.1. 26 . ALTURA MÍNIMA DE LA VIGA.1. a menos que se cumplan los límites de las deflexiones.1 . el área debe bw ser igual o mayor que el valor dado en la anterior ecuación con sustituida por el 2 bw o el ancho del patín.3.2.6 . min = bw d ( ACI 9.3. los valores de la Tabla 9. h.- Para las vigas no preesforzadas que no soporten ni estén ligadas a particiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes. no debe ser menor que los límites dados en la Tabla 9.1. min = b d ( ACI 9. la altura total de la viga.3.1 deben multiplicarse Para distinto de 4200 0. menor de El requisito de acero mínimo anteriores no necesitan aplicarse si en cualquier sección el área de refuerzo a tensión proveído es al menos un tercio mayor que el requerido del análisis.1.4+ f y /7000 ) por ( 3. Tabla 9. ACERO MÍNIMO.2) fy 14 b ¿ A s .1 — Altura mínima de vigas no preesforzadas fy kg /cm 2 . 85∗f 'c∗b 0. Equilibrio de fuerzas: C=T 0. las condiciones de equilibrio son: FIGURA 2. SECCIONES RECTANGULARES SIMPLEMENTE REFORZADAS. En el diseño de secciones rectangulares con refuerzo a tensión únicamente (ver figura 2.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 3. 1.85∗f 'c 2.10).10 Distribución de esfuerzo y deformaciones en una sección rectangular.85∗f 'c ∗b∗a= A s∗f y = ρbd f y A s∗f y ρd f y a= = 0. Equilibrio de momentos: ( a2 ) M n=( C ó T )∗ d− 27 .3.2. 85 f c ) Un coeficiente de resistencia nominal Rn se obtiene cuando ambos lados de la ecuación 2 se dividen por bd : Mn 0.5 ρd f y M n=ρbd f y d − ( ' 0.59 ω) ϕ f 'c b d 2 3.85 f c ρ Mu La ecuación puede ser utilizada para determinar el porcentaje de acero dado o viceversa. ρ es obtenido por solución de la ecuación cuadrática para Rn: ( √ ) ' 0. 28 .85 f c ) Cuando b y d se han establecido. si las dimensiones b y d de la sección son conocidas. SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 0.85 f 'c ) Definiendo ρf y ω= f 'c Luego Mu =ω(1−0.4.5 ρ f y ' ϕ f cb d 2 = ' y 1− fc ( 0.5 ρ f y Rn= bd 2 =ρ f y 1− ( ' 0. Sustituyendo M n=M u /ϕ en la ecuación y dividiendo cada lado por f 'c : Mu ρf 0.2.85 f c 2 Rn ρ= 1− 1− ' fy 0. La determinación de acero de compresión utilizado exclusivamente para el control de las deflexiones. Debe chequearse si el refuerzo a compresión es necesario. Determinar si el acero en compresión fluye A max f y a= 0. Calcular el momento resistido por el refuerzo a compresión M 2=M n−M max 4.7∗f 'c b ) 3. sin refuerzo a compresión. El acero de compresión también es útil para reducir deflexiones. Para esto determinamos la cuantía que requiere la viga.003> Ey 4.75 2. Primer caso: El acero en compresión fluye Se considera: f 's=f y Entonces: 29 . ρmax bd f y ( M max=0.9∗ρ max bd f y d − 1. depende de los requisitos de deformación que se hayan establecido. y el refuerzo a tensión exceda el máximo permitido.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Este tipo de sección es necesario cuando por limitaciones arquitectónicas se restrinja el peralte de la viga. Se resume la secuencia de pasos para el diseño de vigas rectangulares (con b y d establecidos) que requieren refuerzo a compresión.5 ρb para zonas sísmicas).85 f 'c b a c= β1 ' fy ' ε s= ( ) c−d c ∗0.1. se verifica que sea mayor ρb . que la cuantía máxima (0. Determinar el momento máximo que resiste la viga en condición de simplemente armada. ó 0. 1. 6. donde h es el espesor de la losa y es la distancia libre a la siguiente alma. de incluir el ancho sw acuerdo con la Tabla 6.1 y tiene un impacto despreciable en los diseños.3.3. Esto se hizo para simplificar la Tabla 6. R6.2): En la construcción de vigas T no preesforzadas.2. Segundo caso: El acero en compresión no fluye: c−d ' ' s ' f =E s ¿ ε =E s∗ε u∗ s c <f y ( ) ' ' A f −Es ε u A s A Eε d c− s y 2 ' c− s 2 s u' =0 0.85 β 1 f c b 0.5. . El ancho del patín que se considera para incluirse con la viga y formar la sección con patín deberá atender los siguientes requisitos (ACI 318-14. 30 .2. debe b w del alma de la viga más un ancho sobresaliente efectivo del ala.2. permite un octavo de la luz a cada lado del alma de la viga.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE M2 A 's =A s 2= ϕ f (d−d ' ) ' s ' A s =A max + A s 4.2.3. el ancho efectivo de la losa usada como ala. SECCIONES CON PATÍN.2. el ancho de la losa efectivo como ala de la viga T estaba limitado a un cuarto de la luz.1.1 En ACI 318-11. El Reglamento. construidas para soportar losas bf monolíticas o compuestas. ahora.85 β 1 f c b M2 A 's = ϕ f 's (d −d ' ) 3.3. asumiendo una sección rectangular de ancho “b” igual al ancho del patín.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Tabla 6. 31 . Determinar la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzo “a”. el ala debe tener un espesor mayor o b w y un ancho efectivo del ala menor o igual a 4 b w . igual a 0. en las cuales se utilice la forma T para proporcionar por medio del ala un área adicional de compresión. 2. Determinar el ancho efectivo del patín “b”.5 Donde: bf : alas del patín (ancho sobresaliente).1 — Límites dimensionales del ancho sobresaliente del ala para vigas T En vigas T no preesforzadas aisladas. b w : ancho del alma h f : espesor del patín A continuación se resume la secuencia de pasos a seguir en el diseño de secciones con patín y refuerzo a tensión: 1.3.2. a< hf .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE A s∗f y ρd f y a= ' = =1. Calcular la resistencia a momento requerido que resiste el alma de la viga: M uw =M u −ϕM nf ω A sw 5.90 . el refuerzo se determina como una sección rectangular simplemente Si reforzada.85 f 'c ( b−bw )h f As= = fy fy [ ( )] ϕM nf =ϕ A sf f y d− hf 2 4.18 ωd 0.59 ωw ) ϕ f 'c b w d 2 ω w f 'c b w d A sw = fy 6. seguir al paso 3.85∗f 'c ω es obtenido asumiendo una sección controlada por tensión ϕ=0. a> hf . Determinar el refuerzo total requerido: A s =A sf + A sw 32 . Utilizando la ecuación de calcular el refuerzo requerido para la resistencia del alma: M uw =ωw (1−0.85∗f ∗b c 0. Calcular el refuerzo requerido y la resistencia a momento correspondiente a las alas del patín en compresión: C f 0. Si A sf ϕ M nf 3. 375. Revisar si la sección es controlada por tensión. Revisar la capacidad a momento: [ ϕM n =ϕ ( A s−A sf ) f y d −( aw 2 ) ( h )] + A sf f y d− f ≥ M u 2 Donde 0. dt Si c / > 0. con ϕ=0. a =1.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 7. la sección es controlada por tensión.375.85∗f c∗b w 33 .85 f 'c (b−bw ) hf A sf = fy ( A s− A sf )∗f y a w= ' 0.90 aw c= . 8.18 ω w d β1 w dt ≤ Si c / 0. agregar refuerzo por compresión. que dan aviso evidente y la oportunidad de tomar medidas correctivas. ésta no se comprende aún completamente. A pesar de la investigación experimental llevada a cabo durante muchas décadas y del uso de herramientas analíticas altamente sofisticadas. Esto se debe a la gran incertidumbre en la predicción de otros modos de colapso o a causa de la naturaleza catastrófica de otros tipos de fallas. COMPORTAMIENTO DE CORTE EN VIGAS 4. En seguida se desarrollan los métodos para el diseño del refuerzo a cortante de acuerdo con el Código actual del ACI. Es importante comprender que el análisis y el diseño a cortante no están relacionados realmente con el cortante como tal. la falla a flexión se inicia por fluencia gradual del acero a tensión acompañada por agrietamiento obvio del concreto y grandes deflexiones. que surge de la combinación de esfuerzos cortantes y de esfuerzos de flexión longitudinal. Esto está en fuerte contraste con la naturaleza de la falla a flexión. En la mayor parte de las vigas.- Las vigas deben tener un margen de seguridad adecuado contra otros tipos de fallas. A causa de estas diferencias en el comportamiento. La falla a cortante es difícil de predecir en forma exacta. La verdadera inquietud tiene que ver con el esfuerzo de tensión diagonal. se puede presentar un colapso por cortante en forma súbita.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 4.1. algunas de las cuales pueden ser más peligrosas que la falla a flexión. sin aviso alguno de peligro. Un ejemplo de lo anterior es la falla a cortante del concreto reforzado más conocida como falla a tensión diagonal. si una viga sin diseño adecuado del refuerzo a cortante se sobrecarga hasta la falla. INTRODUCCIÓN. tanto en vigas comunes como en tipos especiales de elementos. Además. Primero se estudian los elementos sin refuerzo en el alma con el fin de establecer la localización y orientación de las grietas. por lo general se coloca refuerzo a cortante en las vigas de concreto reforzado para garantizar una falla a flexión antes de que ocurra la falla a cortante en caso de que el elemento se sobrecargue en exceso. 34 . los esfuerzos cortantes están muy por debajo de la resistencia a cortante directa del concreto. Para vigas comunes sub reforzadas. y la carga para la cual ocurre el agrietamiento diagonal. cuando éstas ocurren. Para facilitar la exposición se agrupan los elementos en tres tipos distintos.2 ESFUERZO CORTANTE EN VIGAS DE HORMIGON La fuerza cortante viene a ser el resultado de la acción de fuerzas verticales que actúan en una sección determinada de una viga y tiende a cortar la viga.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 4. 4. Las líneas punteadas representan las isostáticas de compresión y las continuas las de tracción. momento flexionante y carga axial. 35 .V=RL-W1-W2-W3 La figura muestra la representación gráfica de las trayectorias o isostáticas de tensiones principales para una viga simplemente apoyada y con carga uniforme. tal como muestra la figura. sujetas a combinaciones de fuerza cortante. La fuerza cortante es la resultante de todas las fuerzas verticales que actúan en la viga en una secciónconsiderada. Ambos juegos de curvas cortan al eje X con una inclinación de 45° y siempre se cruzan perpendicularmente entre si terminando la trayectoria en cada uno de los bordes superior e inferior de la viga. según se muestra en la figura a) Vigas o columnas sin refuerzo transversal en el alma.3 COMPORTAMIENTO Y MODOS DE FALLA Se describen el comportamiento bajo carga y los modos de falla de elementos de concreto en los cuales la acción de la fuerza cortante es importante. manteniendo el equilibrio en la sección. produciendo grietas inclinadas a una altura aproximada de medio peralte. y sujetas a las mismas combinaciones de carga que los elementos del inciso a. mostrado esquemáticamente en la figura por estribos verticales. Al aumentar las cargas. 4. Representación esquemática de los diferentes tipos de falla en elementos en los que predomina la fuerza cortante.1 ELEMENTOS SIN REFUERZO EN EL ALMA Secciones rectangulares Considérese un elemento sometido a carga en la forma mostrada en la figura a. En los primeros incrementos de carga no existe diferencia entre el comportamiento de un elemento que falle por efecto de fuerza cortante y el de otro que falle por flexión. Estas 36 . Antes de que aparezcan las primeras grietas en la parte inferior. sujetas a cargas concentradas o a cargas repartidas. el comportamiento del elemento es esencialmente elástico. reforzadas y apoyadas en las dos direcciones.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE b) Vigas o columnas con refuerzo transversal en el alma. Este tipo de elementos está sujeto a flexión en dos direcciones. la fuerza cortante puede originar esfuerzos principales que excedan la resistencia a tensión del concreto.3. debidas a flexión. c) Losas y zapatas. a menos que una cantidad de cuenta resistencias mayores para el cálculo de refuerzo mínimo a cortante sea proporcionada.1 limita el valor de √f ' c a 26.75 V n = resistencia nominal al cortante V n en una dirección se debe calcular como: La resistencia nominal a cortante V n=V c +V s ACI 318−14−22.4 DISEÑO POR CORTANTE.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE grietas pueden aparecer súbitamente en puntos donde no exista una grieta de flexión o.5. Las ecuaciones para la resistencia a cortante del concreto presentadas en el capítulo 22. el ACI 22. Debido a la falta de pruebas en elementos con f 'c > 700 kg/cm2. muy frecuentemente.5 kg/cm2. pero conduce al diseñador a no tomar en V c .3. y han sido verificadas experimentalmente en elementos de concreto reforzado con resistencia a la compresión del concreto de hasta 700 kg/cm2.1 donde V u = fuerza cortante factorizada en la sección considerada ϕ = factor de reducción de resistencia. 4.2 no prohíbe ' el uso de concretos con fc > 700 kg/cm2. pueden presentarse como continuación de una grieta de flexión que gradualmente cambia de inclinación.1 . el ACI 22.1.3. El diseño por cortante está basado en la siguiente expresión: ϕV n ≥ V u ACI 318−14−9.5 del código ACI son una función de √f ' c . Las dimensiones de la sección transversal deben seleccionarse para cumplir con la ecuación: 37 .5 .5. Sin embargo.5 . igual a 0.1 Vc Vs donde es la resistencia nominal a cortante proporcionada por el concreto y es la resistencia nominal a cortante proporcionada por el refuerzo. c) No ocurre ninguna carga concentrada entre la cara del apoyo y la ubicación de la sección crítica. R9.4.5. b) Las cargas están aplicadas en o cerca de la parte superior del elemento. 38 . Fig.2 √ f c ' bw d) ACI 318−14−22.3. y las condiciones donde no se aplica en las figuras c.2): a) La reacción en el apoyo en dirección del cortante aplicado introduce compresión en las zonas extremas del elemento.4. e y f.2(a) — Diagramas de cuerpo libre en el extremo de la viga.3.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE V u ≤ ϕ ( V c +2. d.2 Para elementos no presforzados.3. se pueden diseñar para el mismo Vu cortante que el calculado a dicha distancia (sección crítica).2 se ilustran en las figuras a y b.1 . Las condiciones donde se aplica la disposición ACI 9. las secciones localizadas a una distancia menor que “d” (peralte efectivo del elemento) desde la cara del apoyo. siempre que se cumplan las siguientes condiciones (ACI 9.4. R9. R9. (d).2 (c).4. cortante mayorada 4.3.1.4. 39 . Fig. RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO.3.4.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Fig. (e) y (f) — Condiciones típicas del apoyo para localizar la fuerza Vu .2(b) — Ubicación de la sección crítica de cortante en un elemento cargado cerca de su cara inferior. 6. no debe exceder de:  d/2 o 60 cm.5 λ √ f c ' +176 ρ w Mu w b d ) ( 0.5.2 √ f 'c b w d El valor de ϕVs no debe exceder de 2. El tipo de refuerzo a cortante más común en vigas son los estribos cerrados colocados perpendicularmente al eje del elemento.1 V c =0.1 — Método detallado para calcular Vc El menor de (a).5.5 . 40 . por lo que es el único tipo a tratar en esta sección.2.53 λ √ f c ' b w d ACI 318−14−22. Vc Tabla 22.1  De manera detallada.5. Estos estribos deben cumplir con lo establecido en el ACI 9.1 √ f 'c bw d  d/4 o 30 cm.5.93 λ √ f c ' bw d (c) 4.4. el tamaño del elemento o la resistencia del concreto debe incrementarse para contar con una mayor resistencia al cortante proporcionada por el concreto. según la tabla 22. El espaciamiento de los estribos utilizados como refuerzo a cortante.1 V c .(b)y(c) Vud (a) ( 0. RESISTENCIA AL CORTANTE PROPORCIONADA POR EL REFUERZO DE CORTANTE.7. si ϕ V s ≤1.5 λ √ f c ' +176 ρ w ) bw d (b) 0. Para situaciones en que la resistencia requerida a cortante excede este límite. colocados perpendicularmente al eje del elemento. el código ACI Vc : permite el cálculo de la resistencia a cortante del concreto  De forma simplificada según ACI 22. si 1.5.2 √ f 'c b w d .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Para elementos no presforzados sujetos a cortante y flexión solamente.5.5 .1 √ f 'c b w d< ϕ V s ≤ 2.2.2. 3 fy Vu Cuando la fuerza cortante factorizada excede la resistencia a cortante del concreto ϕV u . 41 .3 . y el espaciamiento s del en términos del área refuerzo por cortante que consiste en estribos perpendiculares al eje del elemento: Av f y d V s= ACI 318−14−22.1 ) y dentro de ec.5.3 fy 3. Determinar la fuerza de cortante factorizada máxima en las secciones críticas a lo largo del elemento. El diseño de vigas de concreto reforzado por cortante involucra los siguientes pasos: Vu 1.1 ¿ . ( ACI 318−14−22. excepto para losas y zapatas. Cuando se requiera. una cantidad mínima de refuerzo por proporcionada por el concreto ( > cortante debe proporcionarse en elementos sujetos a flexión.20 √ f 'c ACI 318−14−9. viguetas y vigas pachas. ( ACI 318−14−9.1. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL REFUERZO POR CORTANTE.3 s Vs Vn Sustituyendo dentro de ec.10 . El Vs código proporciona una ecuación que define la resistencia a cortante del refuerzo A v .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Vu Cuando la fuerza cortante factorizada excede a la mitad de la resistencia Vu ϕ V s /2).5 . la cantidad mínima de refuerzo por cortante para elementos no presforzados. según el código ACI 318-14 debe cumplir con la tabla 9.3.5. se obtiene: ϕ Av f y d ϕ V c+ ≥Vu s 4.6.5 . refuerzo por cortante debe proporcionarse para resistir el cortante en exceso.6 .5.1 .3 bw s A min =0.6 . resistencia a la fluencia f y . donde sea permitido despreciar los efectos de torsión.3 .5 bw s A min = ACI 318−14−9. ej.5. Determinar la resistencia a cortante proporcionada por el concreto de la ec. En donde los estribos son necesarios. 4.1) con ϕ = 0. (ACI 22.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE ϕV c 2. ej. incrementar el tamaño de la sección o la resistencia a compresión del concreto f 'c .75.2 √ f 'c b w d . donde V u= ϕV c /2 ). con el primer estribo localizado a 5 cm de la cara del apoyo. donde Av 5.5. no más de tres diferentes espaciamientos de estribos deben especificarse. y la distancia desde el apoyo a partir de la cual el cortante (p. Usar la siguiente tabla para determinar el área requerida de estribos verticales o el espaciamiento s. Si es posible. 3. Calcular ( Vu - ϕV c ) en la sección crítica. es más ventajoso seleccionar un tamaño de varilla y determinar el espaciamiento requerido. 42 . Calcular la distancia desde el apoyo a partir de la cual se requiere refuerzo mínimo por V u= ϕV c ). Si ( V u - ϕV c ) > 2. concreto puede resistir el cortante total (p. Limites prácticos de espaciamientos de estribos generalmente varían de s = d/2 a d/4. La selección del refuerzo y espaciamiento puede ser simplificado si el espaciamiento es expresado como función del peralte efectivo en lugar de un valor numérico.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Los requisitos de resistencia a cortante se ilustran en la figura. un valor especifico de puede ser derivado para cada tamaño y espaciamiento de estribos como sigue: Para estribos verticales: ϕ Av f y d ϕ V s= s 43 . Requisitos de resistencia a cortante. desde que espaciamientos menores de d/4 no son económicos ϕV s con un espaciamiento intermedio en d/3. La expresión para la resistencia a cortante proporcionada por el refuerzo a cortante ϕV s pueden ser asignadas valores específicos de fuerzas para un tamaño de estribo dado y resistencia del refuerzo. 8∗√ 210∗25∗46.3 A Smin = = =3.86 c m fy 4200 3.3 2 A Smin = = =3. Calculo de cuantia : 44 . Calculo de acero mínimo : 0. con los siguientes datos : Determinar el refuerzo Datos M u=7 ton−m b=25 cm h=50 cm f 'c =210 kg/cm2 f y =4200 kg /cm2 A S =? 1.3 cm 2 2 d=46.5−0. Calculo peralte : ∅ long.1 DISEÑO A FLEXIÓN. 1.−∅ est .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 5.8∗√ f c '∗b∗d 0.2 d=h−rec .195 c m2 fy 4200 14∗b∗d 14∗25∗46.− =50−2. EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 5.- A S en la zona de tracción .6− =46.3 cm 2. 00361 fy 4200 AS 4.0159 A max 7.0722∗210 ρ= = =0.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Mu =ω(1−0. Calculo de : A S =ρ∗b∗d=0.32 0.02125=0.00361∗25∗46.85 ∗0.75∗0.0691 ∅∗f c '∗b∗d 0.3=4.9∗210∗25∗46.59 ω +ω=k u ∅∗f c '∗b∗d Mu 700000 ku = 2 = =0.85 ∗β1∗( )=0.75∗ρb=0.02125 6.18 c m2 5. Calculo de cuantia maxima zona no sismica : ρmax =0.59 ω) ∅∗f c '∗b∗d 2 Mu 2 2 ku = 2 =ω−0.0722 ω f c ' 0.85∗( )=0.02125 fy fy +6000 4200 4200+6000 ρb=0. Calculo de : 45 .59 ω2−ω+0.59 ω ∴−0.623 ω2 =0. Calculo de cuantia balanciada : f c' 6000 210 6000 ρb=0.18 c m2 A S =4.0691=0 ω1 =1. 85∗210∗25 Resistencia de momento de diseño: [ ∅ M n =∅ A s∗f y ∗ d− ( a2 )]=0.52c m ) 8.0047 ton−m≅ M u =7 ton−mok 46 .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 2 A Smax =0.3=18.556∗(0.0047 ton−m ∅ M n =7.0159∗25∗46. T =A s∗f y =4.45 c m Como : A max > A S > A Smin 2 2 usar → A s=4.85∗f ∗bc 0. Considerando la estática se pueden revisar los cálculos.9∗[ 17.934 cm 0.18 c m → usar 4 ∅ 12 mm( A S=4.18∗4200=17556 kg A s∗f y 17556 a= ' = =3.463− 0.03934 2 )]=7. CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 5. Determine el área de refuerzo requerido para el momento Mu=23 ton m Datos M u=23 ton−m b=20 cm h=45 cm f 'c =210 kg/cm2 47 .- Una sección transversal de una viga está limitada por las dimensiones mostradas.2 DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA. 02125=0.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 2 f y =4200 kg /cm A S =? A 's =? 1..02125 ρmax =0.663 ton m 3.75 ρb ' 0..59 ω) ϕ f 'c b d 2 ω=0.01594 Cuantía necesaria: Mu =ω(1−0..0288 Como 0.Determinar si la viga requiere refuerzo a compresión: Cuantía máxima: ρmax =0.5761 ρ=0.Determinar el momento resistido solo por la viga y refuerzo a tensión: ρmax bd f y ( M max=0.85∗f c 6000 ρb= fy ∗β 1∗ ( 6000+f y ) ρb=0.9∗ρ max bd f y d − 1.0288 > 0. refuerzo a compresión necesaria 2.75∗0.Determinar el momento que debe resistir el refuerzo a compresión: 48 .7∗f 'c b ) M max=15.01594. 003> y Ey 0.Determinar si el acero en compresión fluye: A max f y a= ' 0.00215>0.647 cm c−d ' f ε=' s c ( ) ∗0.337 tonm 4.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE M 2=M n−M max M 2=7.85 f c b a=15 cm a c= β1 c=17..0021 → El acero en compresion fluye Por lo tanto: f 's=f y =4200 Entonces: M2 A 's =A s 2= ϕ f 's (d−d ' ) A 's =5.545 cm2 ' A s =A max + A s 2 A s =18.3 cm 49 . 85 c m2 ) usar → A's=5.3 c m2 →usar 6 ∅ 20 mm( A S=18.03 c m2 ) 50 .545 c m2 →usar 3 ∅16 mm( A's=6.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE usar → A s=18. 3 DISEÑO DE UNA SECCIÓN CON PATÍN (VIGA EN T).5 cm b w =25 cm h f =6.25 cm f 'c =280 kg/cm2 f y =4200 kg /cm2 1. para soportar un momento ultimo de Mu=55ton m Datos M u=55 ton−m b=75 cm h=50 cm r=2.Encontrar la profundidad del bloque rectangular equivalente a. como para una sección rectangular: Mn 0.59 ω2−ω+ =0 ϕ f 'c b d 2 51 ..CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 5.- Seleccione el refuerzo para la sección T mostrada. Utilizando la ecuación de calcular el refuerzo requerido para la resistencia del alma: M uw =ωw (1−0.107 ton m ω A sw 5.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE ω=0.85∗f 'c Como 7.18∗0.86 cm 0.36 c m ) 52 .18 ωd=1.704 cm 2 2 2 usar → A s=33.1406∗47.004 tonm 4.1406 A s∗f y ρ∗d∗f y a= ' = =1.5=7.704 c m → usar 7 ∅ 25 mm( A S=34.708 cm fy fy [ ϕM nf =ϕ A sf f y d− ( hf 2 )] =33.59 ωw ) ϕ f 'c b w d 2 ω w f 'c b w d A sw = =15.85 f 'c ( b−bw )h f 2 As= = =17.996 cm2 fy 6.86 cm >6. Determinar el refuerzo total requerido: A s =A sf + A sw =33. Calcular la resistencia a momento requerido que resiste el alma de la viga: M uw =M u −ϕM nf =28.85∗f ∗b c 0.25 cm A sf ϕ M nf Calcular el refuerzo requerido y la resistencia a momento correspondiente a las alas del patín en compresión: C f 0. CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 5. viga simplemente apoyada. para un claro de 9 m .- Determinar el tamaño requerido y espaciamiento de los estribos verticales.4 DISEÑO A CORTANTE. Datos qu =7 ton /m Col. 30 x 30 cm b w =35 cm 53 . 5 ton=31500 kg 2 2 Vx Ecuación de V x =31500−70( x ) 54 .CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE h=35 cm f 'c =210 kg/cm2 f y =4200 kg /cm2 q l 7∗9 R A =RB = = =31. ϕ V c =ϕ 0. 30 x=d + =50.7 )=26901 kg 3.53 λ √ f c ' bw d donde ϕ=0.69=16679. V u en el extremo izquierdo : V u=31500 kg V u a una distancia d de la cara de la columna : col .75∗0.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 1. λ = 1 ϕ V c =0. V u−ϕ V c =26901−10221.69kg Debido a esto.31 kg< 2.75 .7 cm 2 2 V u=31500−70( x) V u=31500−70 ( 65.7=10221.53∗1∗√ 210∗35∗50.22 ton Como : V u=26901 kg> ϕ V c =10221.7+ =65.69 kg=10.2∗√ 210∗35∗50. calculo del peralte . 2 d=h−rec .− =55−2.7 cm Vu 2. V u−ϕ V c 4.2 √ f 'c bw d V u−ϕ V c =16679.5−0. el refuerzo por cortante es requerido. ∅ long.7 cm 2 2 d=50.−∅ est .7 55 . Determinar la resistencia a cortante proporcionada por el concreto. calculo de . Calcular en la sección critica.31 kg<2.8− =50. d ) = =15.38 m qu 70 x c =¿ x m desde el apoyo donde el concreto puede soportar la Determine la distancia V ¿ fuerza cortante total ¿ ) : ¿ ϕV 10221.79∗4200∗50.7 s ( req.69kg En la sección crítica. Determinar el espaciamiento requerido de los estribos verticales: V u=26901 kg> ϕ V c =10221.31 56 .29 cm=3.88 kg ok x c desde el apoyo donde el refuerzo mínimo a cortante 5.13 cm 16679. ϕ Av f y s ( req.27 cm =2.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE V u−ϕ V c =16679. d ) = V u −ϕ V c Asumiendo estribos de 10 mm 0.69 26901−( ) (¿¿ c /2) 2 V u cada apoyo− = =311. Aporte del acero : ϕ V s=V u −ϕ V c =26901−10221.31 kg<56572.11 m qu 70 x m=¿ 6.69=16679.75∗2∗0. Determinar la distancia V ¿ es requerido ¿ ) : ¿ ϕV (¿¿ c) 26901−10221.69 V u cada apoyo− = =238.31 kg 7. 79∗4200 s max ≤ = =54. debido a que ϕ V s=16679.69 Vu Despejando : V u−10221.1∗√ 210∗35∗50.69=9954 →V u=20175.79∗4200∗50.35= V u −10221.83 kg ok Espaciamientos máximos basados en el refuerzo mínimo a cortante: Av f y 2∗0.7 25.31 kg< 0.31 kg< 21214.5 b w 3.69 kg De la ecuación despejamos x : V u=31500−70( x) V u−31500=−70 (x) 57 .35 cm 2 2 s max ≤ 60 cm .2∗√ 210∗35 A v f y 2∗0.42 cm 0.79∗4200 s max ≤ = =65.75∗1.2 √ f c ' b w 0.7 s max = = =25.1 √ f c ' bw d ϕ V s=16679.75∗2∗0.17 cm 3.31 kg< ϕ 1.7 ϕ V s=16679.5∗35 Determiné la distancia x desde el apoyo donde los estribos espaciados a 25 cm pueden ser utilizados: 0.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Revisar el espaciamiento máximo de los estribos: d 50. 69 x= =161.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 31500−V u x= 70 31500−20175.776 cm 70 x=1.- Espaciamiento de los estribos usando estribos de ∅10 mm : 58 .62 m Diagrama de cortantes al extremo de la viga Redistribución de estribos en un extremo de la viga. Aspectos Fundamentales de Concreto Reforzado de Oscar M. Diseño de Estructuras de Concreto de Arthur H.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE 6. BIBLIOGRAFÍA. Nilson. Gonzales Cuevas y Francisco Robles-Villegas. 59 . McCormac-Russell H.CIV-307 DISEÑO DE VIGAS A FLEXION Y CORTANTE Diseño de Concreto Reforzado de Jack C. 60 . Brown Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (Código ACI 318S-14) y comentario a Requisitos de Reglamento para Concreto estructural (ACI 318RSUS-14) Diseño de elementos estructurales en edificios de concreto reforzado de la Universidad de Salvador Facultad de ingeniería civil.