EJES O ARBOLESComo es conocido, los árboles y ejes son elementos de máquinas sobre los cuales se montan las partes giratorias de las máquinas, resultando ser los verdaderos ejes geométricos de estas partes en rotación∗. Los árboles, a diferencia de los ejes, además de sostener los elementos giratorios trasmiten momentos torsores, por consiguiente, los árboles resultan cargados, no solo por esfuerzos normales debido a los momentos flectores, sino también, por esfuerzos tangenciales generados por momentos torsores, en toda la longitud o en sectores aislados del árbol. Por la forma del eje geométrico del árbol se distinguen los árboles rectos y los árboles acodados (cigüeñales). Los árboles cigüeñales se emplean siempre que se requiera transformar en una máquina el movimiento alternativo en movimiento giratorio o viceversa. Como se comprenderá, los árboles cigüeñales son característicos de construcciones especiales, lo que hace que los criterios para el dimensionado previo y su cálculo no sean tratados en este curso. También los árboles flexibles con ejes curvilíneos constituyen un grupo especial no tratados en este material. En cambio la gran difusión de los árboles rectos en la ingeniería mecánica moderna, hace necesario que sean objetos de estudio, con énfasis en el análisis de los criterios de dimensionado previo y de comprobación de la capacidad de carga. Diferentes tipos de árboles rectos. usualmente múltiplos de 5. 3. Otro objetivo. Sirve para absorber las cargas axiales en los árboles. 2. 4. Pueden ser cilíndricos o cónicos y generalmente son zonas endurecidas superficialmente entre los 48 y 52 HRC. se realiza con un diámetro mayor que las secciones contiguas para permitir el . Ranura para permitir la salida de la muela de rectificado . es el garantizar la correcta disposición axial de los elementos en el montaje. y trasmitirlas a los apoyos y anclaje de las máquinas. producto de los elementos que se vinculan a el. Muñones de apoyo para los cojinetes de rodamiento o deslizamiento . Zona de ajuste para el montaje. En caso de no estar en un extremo del árbol.1. o un tallado que requiera diferencia de diámetros entre las secciones contiguas. Escalón de apoyo. En el caso de muñones para cojinetes de rodamientos debe tenerse en cuenta que su diámetro debe coincidir con la serie de los diámetros de montaje de los rodamientos. Se emplean para centrar las piezas durante el montaje y también para evitar cortaduras de los operarios durante la manipulación de los árboles. Zona de centraje. con dimensiones ligeramente menores que la de montaje. Biseles. Zona de transición. para facilitar esta operación y el centrado de los elementos. 8. 6. Se recomienda un endurecimiento de la zona entre 48 y 52 HRC. Esta es una zona del árbol contigua a una zona de montaje. Son superficies que suavizan los cambios de sección y disminuyen los concentradores de tensión. Suelen ser circulares o elípticas. . Es recomendable que sean empleadas superficies con radios mayores al 10% del diámetro menor de las secciones vinculadas.montaje de los elementos. 7. Chaveteros. 5. Cuando el chavetero está en la sección que se trata proyectar. que fue retirado hace pocos años. sin chavetero). llamados coeficientes de choque y fatiga. Para un árbol en flexión solo. Para esfuerzos combinados. como sigue: = coeficiente numérico combinado de choque y fatiga a aplicar en cada caso para multiplicar al momento torsor calculado o potencia .Diseño de Ejes Mediante el Código ASME Hace años la ASME publico el Code for Design of Transmission Shafting (Código para proyecto de ejes de transmisión). pero que ha sido ampliamente utilizado para proyecto de árboles de todas clases. pero indicaremos brevemente algunas de las prescripciones del Código. el Código prevé además el uso de coeficiente de servicios. Esfuerzo normal de calculo o o = 0.60 X resistencia de fluencia en tracción. El margen para Chaveteros es ( con chavetero ) = 0. pero hay muchas situaciones en que fallan.36 X resistencia máxima a la tracción tomando el valor que sea más pequeño.18 X resistencia máxima a la tracción tomando el valor que sea más pequeño (teoría de esfuerzo cortante máximo). Lo mismo que todos los códigos en general. o bien = 0.30 X resistencia de fluencia en tracción. El procedimiento racional previamente descrito es el recomendable. los esfuerzos de cálculo sin chavetero corresponden a un coeficiente de cálculo de 2 aproximadamente en .75 X ( como antes. los resultados que este da suelen ser previsores. Los esfuerzos de cálculo (probablemente pensando en arboles estirados en frio) se dan como sigue: Esfuerzo cortante de calculo o o = 0. o bien = 0. 1.1 VALORES DE Tipo de Carga Ejes fijos (esfuerzo de flexión sin inversión): Aplicada gradualmente ………………………….0 1 1.0 Ejes giratorios (esfuerzo de flexión con inversión): Aplicada gradualmente o constante…………….0 a 1..5 a 2. carga axial F y torsión conjuntamente. que está destinado en tener en cuenta la inversión de esfuerzo durante cada revolución del árbol. con choque ligero….5 a 3.0 Aplicada repentinamente. las ecuaciones de cálculo son = = o = (REDONDO MACIZO) = = o = (REDONDO MACIZO) Donde D es el diámetro de un eje circular macizo.0 1.1.0 Aplicada repentinamente………………………. donde se observa que el valor mínimo de para un eje giratorio es 1. el esfuerzo normal empleado es S= +α Y TABLA 9.5 1. Para flexión.0 a 3.5 Aplicada repentinamente.0 1.0 .1.1. con choque fuerte….5 a 2.= coeficiente numérico combinado de choque y fatiga a aplicar en cada caso para multiplicar al momento flector calculado Sus valores dependen de lo que piense el proyectista acerca del modo de aplicación de la carga y se toman de la tabla 9.5.2. Para flexión o torsión solas.5 a 2.1. estos valores de S y . con Z y Z´ para árbol hueco (Di / D = B = diámetro interior dividido por el diámetro exterior) dan: = [ +( + )2 ]1/2 Donde F o B. α puede calcularse mediante: . cuando haya que hacer varios proyectos análogos. Para compresión. α = factor de acción de columna. El factor de acción de columna es la unida para campos de tracción. para ejes sin cuñero.De acuerdo con la teoría de esfuerzo cortante máximo. Estos valores deben reducirse en 25% si existe cuñero. o ambas pueden ser cero y es el esfuerzo de cálculo del Código. Tanto si se emplea como si no se emplea el Código. El código ASME específica para ejes de acero comercial (permisible) = 8000 psi para ejes sin cuñero (permisible) = 6000 psi para ejes con cuñero El código ASME específico para ejes de acero comprados con especificaciones definidas (permisible) = 30% del límite elástico sin sobrepasar el 18% del esfuerzo último en tracción. como en la ecuación anterior. conviene deducir una formula adaptada a la situación y reducirla a su forma más sencilla. debido a un chavetero o una zona de transición por cambio de sección.empírico y fue empleado para proyectar árboles durante muchos años y. El Código ASME establece un valor de esfuerzo tangencial admisible. correspondiente a la más pequeña de las dos magnitudes siguientes. En caso de existir algún concentrador de tensiones. En caso de no existir un concentrador de tensiones fCT =1. para la cual es calculado un momento torsor equivalente: Dónde: mte : momento torsor equivalente (Nmm). debe de ser tomado fCT = 0. Su fundamento es teórico.85. por ello. . La ecuación para el dimensionado previo según el Código ASME está basada en la teoría de fallo por el máximo esfuerzo cortante. σrt : esfuerzo límite de rotura a tracción del material (MPa).0. fCT :factor por concentración de tensiones. Dónde: σft : esfuerzo límite de fluencia a tracción del material (MPa).Dimensionado previo según Código ASME Este método fue establecido por la Asociación Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME) en 1927 y fue reconocido hasta principios de los años 60. es una información que debe tener en su poder un proyectista mecánico que trabaje en el área del diseño de transmisiones. CF : coeficiente modificador de la flexión. (MPa) σme: esfuerzo medio equivalente según criterio de Von Mises. (Ver tabla 4) Tabla 4.Valores de los coeficientes modificadores CF y CT. Cálculo de Comprobación Según Norma ASME B106. La referida norma establece que el cálculo de resistencia a la fatiga sea verificado según: Esta relación nos permite determinar el coeficiente de seguridad a la fatiga del material del árbol. empleando la siguiente ecuación: Dónde: σae : esfuerzo de amplitud equivalente según criterio de Von Mises.(MPa) . en la sección analizada. (Ver tabla 4) CT : coeficiente modificador de la torsión. En caso de: entonces debe ser empleado: En caso de: σrt > 1389 Mpa. Los valores del esfuerzo límite por fatiga para un flector alternativo σ-1f y del esfuerzo límite por fluencia a tracción σft deben ser precisados para el material del árbol.K : coeficiente modificador de la resistencia a la fatiga. ellos pueden ser estimados según las siguientes relaciones. En caso de árboles de acero. donde HB representa la dureza en Grados Brinell del núcleo de la sección analizada. entonces debe ser empleado: . cuando sean desconocidos estos valores (o no se desee emplear la tabla 2). Entonces la velocidad critica n. el cual pasa por el eje geométrico o línea central de los cojinetes. desplazando al centro de gravedad fuera del eje verdadero. La causa es que: (1) en la práctica es imposible conseguir que la masa este uniformemente distribuida alrededor del centro geométrico del cuerpo y (2) el árbol sobre el cual gira el cuerpo se deforma flexándose por efecto de la carga.VIBRACION Y VELOCIDADES CRITICAS DE LOS ARBOLES El centro de gravedad de un cuerpo giratorio simétrico no coincide generalmente con su centro de rotación. este con los cuerpos de que es solidario vibrara entonces violentamente. En las dos ecuaciones anteriores la aceleración de la gravedad esta expresada en unidades compatibles con las de y. pero a una cierta velocidad. A esta velocidad se la denomina crítica. Para una velocidad mayor que la crítica se vuelve a alcanzar un estado de equilibrio con funcionamiento normal uniforme. Las turbinas de alta velocidad funcionan frecuentemente a mayor velocidad que la crítica. La rotación puede comenzar alrededor del eje geométrico. más altas que la velocidad fundamental. ya que la fuerza centrífuga varia de sentido cuando gira el árbol. . pero las amplitudes de las vibraciones correspondientes disminuyen progresivamente. o bien 386 Donde ∑ representa la suma de todos los términos y∑ representa la suma de todos los términos . cuando el cuerpo gira virtualmente alrededor de su centro de gravedad (fuerzas centrifugas en equilibrio). armónicas. Supongamos que la figura represente un árbol con cualquier número de cargas (se eligen tres cargas para la explicación) que deforman el árbol hasta la posición representada. la fuerza centrífuga del centro de gravedad desplazado será igual a las fuerzas de deformación que actúan sobre el árbol. más baja. Se alcanzan sucesivamente velocidades críticas adicionales. o fundamental viene dada por = [ ]1/2 rpm ∑ = ∑ = 981 ⁄ . El 60% de la potencia lo transmite por medio de un engranaje C de 40 cm de diámetro y el 40% restante mediante otro engranaje D de 30 cm de diámetro. Cuando interviene un gran número de cargas. El eje debe ser fabricado con un acero recocido de resistencia: = 3000 ⁄ y = 4000 ⁄ .2 si w en libras e y en pulgadas.. debidas a los pesos de las ruedas. engranajes.5 . se calcula el peso de cada parte. las deformaciones. pero siempre esta expresado en rpm. son los valores correctos de las y.5 y =1. las deformaciones se hallan para las cargas estáticas. Calculo de un eje Mediante el Código ASME Un eje recibe una potencia de 36 HP a 400 RPM mediante una polea A de 50 cm de diámetro. con chavetero en cada rueda dentada y polea. etc. para poder comprobar el proceso de cálculo con facilidad. etc. Ambos engranados tienen un ángulo de presión 20°. se considera el peso de cada una de estas partes como fuerza actuante a través de su centro de gravedad y se procede lo mismo que para un grupo de cargas concentradas. etc. desde arriba según un ángulo de 45° como lo indica la figura. Las deformaciones en centímetros o bien en pulgadas tomadas de este diagrama en los diversos puntos de aplicación de las cargas estáticas .⁄ Así =981 si se expresan en W en kg e Y en cm. o bien ⁄ =386=12x32. Determinar el diámetro del eje a la resistencia mecánica. se tabulan las cargas. Si se desea tener en cuenta el peso del propio árbol. los valores de y los de . En B y E existen rodamientos. se divide este en partes. es adecuado el método gráfico. aplicando el código ASME y usando = 1. Para de determinar los valores de . 33kg = = = = = x tg20° = 71. la fuerza de tracción en el ramal tirante F1 es mayor que la fuerza de tracción en el ramal flojo F2.x cos30° sen30°= 205. están dadas por: = x sen45° = 369.03 kg cm = = 2612.14kg . Calculo de los momentos de torsión: = = 6531. siendo y las fuerzas de reacción en los cojinetes.32kg = 174. Las fuerzas en el plano vertical YZ.39kg = 195.95kg En una transmisión por correas.68 kg cm Calculo de las fuerzas de flexión y de los momentos flectores Se supone para la correa que la fuerza de flexión es igual a dos veces la fuerza impulsora neta.48kg = .x cos30° + sen30°= -119. o sea: = 2F = = 522. A continuación se muestra en tres dimensiones las cargas de flexión sobre el eje.35kg = .71 kg cm = = 3919.17 kg x tg20° = 63. por lo tanto el sentido de giro de la polea y de los engranajes es como se muestra en la figura. 3 kg Las fuerzas en el plano horizontal XZ.14kg + = 245. es como se muestra.48kg – 290.48kg x sen30° x cos30° = 36. de tal manera que: cm y M = 7867.35kg (44cm + 32cm) – 119. están dada por: == x cos45° = .48 kg (30cm + 30cm + 44cm + 32 cm) + 205.35kg – 119.85kg – 205.4 kg cm.Para hallar las componentes así: y . 369.86kg El diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en el plano YZ.62 kg cm =0 M = 11084.369.85 kg (30cm + 44cm + 32cm) – Sumatoria de fuerza en el eje Y : 369. M = 13443.21 kg . se toman momentos con respecto al punto E.14kg (32cm) = 0 Despejando: = -290. 94kg (30cm + 44cm + 32cm) + 36.48 kg + 490.98kg + = 15.98kg (32cm) = 0 Despejando = 490.141.69 kg =0 .21kg – 141.94 kg + 36.48kg (30cm + 30cm +44cm + 32cm) + (44cm + 32cm) – 141.= x sen30° - x cos30° = .21kg -369.98kg Calculo de y : -369. ya que en el ocurre el máximo momento de flexión. C y D se calculan así: MB = √ MC = √ MD = √ = 15675.69 kg cm El punto crítico esta en B.4 kg cm . M = 7440. .12 kg cm. Los momentos de flexión resultantes en los puntos B.05 kg cm = 7883.Los respectivos diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes se muestran en la figura. el diámetro correspondiente al punto B y este será el diámetro proyectado para todo eje.6 kg cm y M = 503.7 kg cm = 15365. por lo que: M = 11064. Se calcula entonces. Según el código ASME. . entonces: =0.21 cm. se calcula el diámetro para el punto B = = √ √ = 6. el esfuerzo cortante permisible de diseño.30 x =0.30 x 3000 kg/cm2 = 900 kg/cm2 o = 0.75 x 720 kg/cm2 = 540 kg/cm2 Utilizando la formula recomendada por la ASME. es el menor Como existen cuñeros en el eje.18 x 4000 kg/cm2 = 720 kg/cm2 . entre los dos valores siguientes: = 0. que es el diámetro proyectado para todo el eje.18 x = 0.