1DISEÑO DE CONTROLADORES Capítulo I CONTROLADORES Y/O COMPENSADORES 1.1 Aspectos de Diseño Generalmente se emplean especificaciones de diseño para describir que debe hacer el sistema y como hacerlo. Estas especificaciones son únicas para cada aplicación individual y con frecuencia incluyen especificaciones como estabilidad relativa, error de estado estacionario, respuesta transitoria y características de respuesta en frecuencia. En algunas aplicaciones puede haber especificaciones adicionales sobre sensibilidad a variaciones de parámetros (por ejemplo, robustez o rechazo a perturbaciones). El diseño de sistemas de control se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, la precisión (error) en estado estable a menudo se especifica con respecto a una entrada escalón, una entrada rampa o una entrada parábola, y el diseño para cumplir ciertos requisitos es más conveniente realizarlo en el dominio del tiempo. Otras especificaciones como el sobreimpulso máximo, tiempo de subida o tiempo de estabilización están definidas para una entrada escalón unitario, y por tanto se emplean para diseño en el dominio del tiempo. Se sabe que la estabilidad relativa también se mide en términos del margen de ganancia, margen de fase. Estas son especificaciones típicas del dominio de la frecuencia y deben emplearse herramientas como los diagramas de Bode, de Black o Nichols. Para sistemas de segundo orden, existen relaciones analíticas simples entre las especificaciones en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Sin embargo, para sistemas de orden superior, la correlación entre las especificaciones entre los dominios del tiempo y la frecuencia son difíciles de establecer. No obstante, el análisis y diseño de sistemas de control es más un ejercicio de selección, entre varios métodos alternativos, para resolver el mismo problema. Por lo tanto, la selección de si el diseño se debe realizar en el dominio del tiempo o de la frecuencia depende la preferencia del diseñador. Sin embargo, se debe señalar que, en la mayoría de los casos, las especificaciones en el dominio del tiempo tales como sobreimpulsos, tiempo de subida y de estabilización se emplean normalmente como la medida final del comportamiento del sistema. Para un diseñador sin experiencia, es difícil comprender la conexión física entre las especificaciones en el dominio de la frecuencia tales como márgenes de ganancia y de fase, pico de resonancia, con el comportamiento real del sistema. Por ejemplo, ¿un margen de ganancia de 20dB garantiza un sobreimpulso Ing. Midwar E. Valencia Vilca 2 DISEÑO DE CONTROLADORES máximo interior al 10%? Para una diseñador tiene más sentido especificar, por ejemplo, un sobreimpulso máximo menor que el 5% y un tiempo de estabilización inferior a 0.01s. Es menos obvio que, por ejemplo, un margen de fase de 60º y un Mr de menos de 1.1 en su comportamiento. El diseño de sistemas de control fue desarrollado con una gran cantidad de herramientas gráficas tales como los diagramas de Bode, Nyquist, Black y la carta de Nichols, que se realizan en el dominio de la frecuencia. La ventaja de estas herramientas es que se pueden bosquejar mediante métodos aproximados sin realizar el dibujo detallado. En consecuencia, el diseñador puede realizar diseños empleando especificaciones en el dominio de la frecuencia tales como margen de ganancia, margen de fase, Mr, etc. Los sistemas de orden superior no presentan mayor problema. Para ciertos tipos de controlador, existen procedimientos de diseño en la frecuencia que reducen el esfuerzo de prueba y error a un mínimo. El diseño en el dominio del tiempo que emplea especificaciones de diseño tales como tiempo de subida, tiempo de retardo, tiempo de estabilización, sobreimpulso máximo, etc., es factible analíticamente sólo para sistemas de segundo orden o que se puedan aproximar mediante sistemas de segundo orden. Los procedimientos generales de diseño que emplean especificaciones en el dominio del tiempo son difíciles de establecer para sistemas de orden superior a dos. El desarrollo y la disponibilidad de software computacional amigable y poderoso han cambiado rápidamente la práctica del diseño de sistemas de control, que hasta hace poco había estado dictado por el desarrollo histórico. Con herramientas de software modernas, el diseñador puede correr, en unos cuantos minutos, un gran número de diseños empleando especificaciones en el dominio del tiempo. Esto disminuye considerablemente la ventaja histórica del diseño en el dominio de la frecuencia, el cual está basado en la conveniencia de realizar el diseño gráfico en forma manual. Además, generalmente es difícil, excepto para el diseñador experimentado, seleccionar un conjunto coherente de especificaciones en el dominio de la frecuencia que correspondan a requisitos de comportamiento en el dominio del tiempo. Por ejemplo especificar un margen de fase de 60º tendrá sentido si se sabe que corresponde a un cierto sobreimpulso máximo. En general, para controlar el sobreimpulso máximo, se tiene que especificar al menos el margen de fase y Mr. Eventualmente, el establecer un conjunto inteligente de especificaciones en el dominio de la frecuencia se convierte en un proceso de prueba y error que precede al diseño real, el cual, a menudo, también es un esfuerzo de prueba y error. Sin embargo, los métodos en el dominio de la frecuencia aún son valiosos al interpretarse rechazo al ruido y propiedades de sensibilidad del sistema y la mayoría de ellos ofrecen otra perspectiva al proceso de diseño. Por lo anterior, las técnicas de diseño en los dominios del tiempo y la frecuencia deben ser tratados de manera estrecha, para que se pueda realizar una comparación y una referencia cruzada entre los métodos alternativos. Ing. Midwar E. Valencia Vilca DISEÑO DE CONTROLADORES 3 1.2 Configuración de Controladores La dinámica de un proceso lineal controlado puede representarse en la figura 1.1. El objetivo de diseño es que las variables controladas, se comporten en cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar la señal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito para que todos los objetivos de diseño sean satisfechos. Figura 1.1 Representación de un Sistema de Control La mayoría de los métodos de diseño de sistemas de control convencionales se basan en el diseño de una configuración fija, en el que en un principio, el diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado completo, y el lugar donde el controlador estará colocado, en relación con el proceso controlado. Entonces, el problema involucra el diseño de los elementos del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzo de control involucran la modificación o compensación de las características de comportamiento del sistema, el diseño general que emplea una configuración fija también es llamada compensación. Existen diferentes configuraciones, entre las cuales se tienen: a. Compensación en serie (cascada). El controlador es colocado en serie con el proceso controlado. Figura 1.2 Compensación en serie b. Compensación mediante realimentación. El controlador esta colocado en la trayectoria menor de realimentación. Figura 1.3 Compensación mediante realimentación c. Compensación mediante la realimentación de estado. Cuando un sistema genera una señal de control mediante la realimentación de las variables de estado a través de ganancias constantes reales. Figura 1.4 Compensación mediante la realimentación de estado Ing. Midwar E. Valencia Vilca DISEÑO DE CONTROLADORES 4 El problema con el control mediante la realimentación de estado es que para sistemas de orden superior, el gran número de variables de estado involucradas requeriría una gran cantidad de transductores para detectar las variables de estado para la realimentación. Por lo que puede resultar costoso y nada práctico. Aún para sistemas de bajo orden, a menudo no todas las variables de estado son asequibles directamente y puede ser necesario crear un observador o estimador que estime las variables de estado a partir de las mediciones de las variables de salida. Estos tres primeros tipos de configuración, tienen solamente un grado de libertad, ya que sólo hay un controlador en cada sistema, aún cuando el controlador pueda tener más de un parámetro que pueda variar. La desventaja con un controlador de un solo grado de libertad es que los criterios de comportamiento que pueden realizarse están limitados. Por ejemplo, si un sistema es diseñado para alcanzar un cierto grado de estabilidad relativa, puede tener baja sensibilidad a variaciones de parámetros. O si las raíces de la ecuación característica se seleccionan para proporcionar una cierta cantidad de amortiguamiento relativo, el sobreimpulso máximo de la respuesta escalón puede ser excesivo, debido a los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado. Las siguientes configuraciones tienen dos grados de libertad. d. Compensación en serie-realimentada. Se emplea un controlador en serie y un controlador en la realimentación. Figura 1.5 Compensación en serie-realimentada e. Compensación prealimentada. En la primera configuración el controlador prealimentado Gcf (s ) es colocado en serie con el sistema en lazo cerrado, que tiene un controlador en serie Gc (s ) Figura 1.6 Compensación prealimentada en serie En la siguiente configuración controlador prealimentado Gcf (s ) esta colocado en paralelo con la trayectoria directa. Figura 1.7 Compensación prealimentada en paralelo Ing. Midwar E. Valencia Vilca normalmente establecen que uno escoge el controlador más simple que cumpla con todas las especificaciones de diseño. Los ingenieros prácticos.DISEÑO DE CONTROLADORES 5 La clave de la compensación prealimentada es que el controlador Gcf (s ) no esté en el lazo del sistema. mientras más complejo sea un controlador. atraso. se determinan los parámetros del controlador para que se cumplan las especificaciones de diseño. el diseñador debe escoger un tipo de controlador que. el cual aplica una señal al proceso que es una combinación Proporcional. el proceso de diseño se vuelve mas complicado. la siguiente tarea es determinar los valores de los parámetros del controlador. Mientras mas especificaciones de diseño y mas parámetros haya. no afecta a las raices de la ecuación característica del sistema original. por tanto. Algunas veces este proceso es directo. Ing.3 Controladores PID Después de que se ha escogido una configuración del controlador. Midwar E. atraso-adelanto y de muesca también se emplean frecuentemente. Debido a que estos componentes de la señal se pueden realizar y visualizar con facilidad en el dominio del tiempo. menos fiable y más difícil de diseñar. los controladores de adelanto. Los nombres de estos controladores provienen de las propiedades de sus respectivas características en el dominio de la frecuencia. En la mayoría de los casos. Con base en esta información. satisfará todas las especificaciones de diseño. más frecuentemente involucra muchas iteraciones de diseño. Uno de los controladores más ampliamente utilizados en estos esquemas de compensación es el controlador PID. con la selección adecuada de los valores de sus elementos. Los polos y ceros de Gcf (s ) se pueden escoger para añadir o cancelar los polos y ceros de la función de transferencia en lazo cerrado. es más costoso. Integral y Derivada de la señal de actuación. Los tipos de controladores disponibles para el diseño de sistemas de control están limitados sólo por la imaginación. Una vez elegido el controlador. estas tendencias de diseño. No obstante. todos los diseños de sistemas de control se benefician al observar los diseños resultantes desde ambos puntos de vista en los dominios de la frecuencia y del tiempo. El enfoque de diseño básico es emplear las herramientas de análisis discutidas en los capítulos anteriores para determinar cómo los valores de los parámetros individuales afectan las especificaciones de diseño y finalmente. Además de los controladores PID. Valencia Vilca . El escoger un controlador determinado para una aplicación específica se basa a menudo en la experiencia del diseñador y algunas veces en la intuición e involucra inevitablemente tanto arte como ciencia. Estos parámetros son típicamente coeficientes de una o más funciones de transferencia que componen al controlador. ya que normalmente los parámetros del controlador interactúan unos con otros y afectan a las especificaciones de diseño en formas conflictivas. 1. los controladores PID se diseñan comúnmente empleando métodos del dominio del tiempo. el funcionamiento del sistema. Se debe mantener en mente que el diseño en el dominio del tiempo normalmente se basa fuertemente en el plano s y en el lugar geométrico de las raíces. más cara será y más grandes serán sus señales internas. Las especificaciones en los dominios del tiempo y de la frecuencia están asociadas vagamente. Si todos los polos son reales. Cuando un polo y un cero de una función de transferencia de un sistema se cancelan uno con el otro. Los polos complejos conjugados de la función de transferencia en lazo cerrado producen una respuesta al escalón unitario que es subamortiguada. el margen de ganancia. vi. pero emplea más combustible que un coche normal. iii. De acuerdo con su acción de control. Valencia Vilca . el sistema responderá más rápido y mayor será el ancho de banda. La respuesta de un sistema está dominada por aquellos polos más cercanos al origen del plano s (y que no tengan ceros próximos). iv. Es útil resumir las características en el dominio de la frecuencia y del tiempo para que se puedan emplear como guía para que se puedan emplear como guía para propósitos de diseño: i. la porción de la respuesta del sistema asociada con el polo tendrá una magnitud más pequeña. los controles automáticos típicos industriales se pueden clasificar en: Control de dos posiciones o de on-off Control proporcional (P) Control integral (I) Control proporcional e integral (PI) Control proporcional y derivativo (PD) Control proporcional. Aunque esto se puede justificar en forma analítica. En forma similar. es obvio que golpear más fuerte un clavo con un martillo hará que el clavo entre más rápido. El margen de fase. El diseño en el dominio de la frecuencia está basado en la manipulación de la ganancia y la fase de la función de transferencia de lazo para que se cumplan las especificaciones. Mr son inversamente proporcionales al amortiguamiento. Los transitorios debidos a aquellos polos a la izquierda decaen más rápidamente. la respuesta al escalón unitario es sobreamortiguada. Sin embargo. Mientras más alejados a la izquierda del plano s estén los polos dominantes del sistema. Mientras más alejados a la izquierda en el plano s estén los polos dominantes.DISEÑO DE CONTROLADORES 6 Al realizar el diseño ya sea en el dominio del tiempo o de la frecuencia es importante establecer algunas guías básicas o greglas de diseño. pero requiere más energía por golpe. un coche de carreras puede acelerar más rápido. El tiempo de subida y el ancho de banda son inversamente proporcionales. Midwar E. v. los ceros de la función de transferencia en lazo cerrado pueden causar un sobreimpulso aún si el sistema es sobreaortiguado. ii. integral y derivativo (PID) Ing. 3. amplificadores y atenuadores (Kp). Control de dos posiciones (on-off) En un sistema de control de dos posiciones. Figura 1. Son.1. Midwar E. Control con acción proporcional (P) Para un control de acción proporcional. Figura 1. El control de dos posiciones o de onoff es relativamente simple y económico.DISEÑO DE CONTROLADORES 7 1. Valencia Vilca . generalmente. dispositivos eléctricos. En consecuencia. El rango en el que se debe desplazar la señal de error antes de que se produzca la conmutación se llama brecha diferencial.9 Diagramas de bloque del control proporcional 1. además de la operación proporcional.8 Diagramas de bloque del control on-off 1. Control con acción proporcional derivativa (PD) En forma intuitiva. la relación entre la salida del controlador m(t) y la señal de error actuante e(t) es M ( s ) K p e(t ) Aplicando la transformada de laplace M (s) Kp E (s) donde Kp se denomina sensibilidad proporcional o ganancia (en cualquier caso.2. diferenciadores (D) e integradores (I). Esta brecha diferencial hace que la salida del control mantenga su valor hasta que la señal de error actuante haya pasado levemente del valor cero. En la siguiente figura se presentan los diagramas de bloques de controles de dos posiciones. el elemento accionador tiene solamente dos posiciones fijas. es un amplificador con ganancia ajustable).3. que en muchos casos son simplemente de conectado o desconectado.3. se debe ser capaz de emplear la derivada o la integral de la señal de error. por esta razón es ampliamente utilizado en sistemas de control tanto industriales como domésticos. se puede considerar un controlador en tiempo continuo más general como aquel que contiene componentes tales como sumadores (suma y resta).3. La tarea del diseñador es determinar cuales de Ing. donde habitualmente hay una válvula accionada por un solenoide eléctrico. No debe usarse solamente un control de tipo derivativo (sin proporcional) porque éste no tendría efecto para corregir errores constantes (la derivada de una constante es cero.DISEÑO DE CONTROLADORES 8 estos componentes deben emplearse. Mientras que la acción derivativa tiene la ventaja de ser anticipativa. y cómo deberían estar conectados.10 Diagramas de bloque del control proporcional derivativo La acción de control proporcional y derivativa queda definida por la siguiente ecuación: m(t ) K p e(t ) K p TD de(t ) dt Aplicando la transformada de laplace: M (s) K p (1 TD s ) E (s) donde Kp es la sensibilidad proporcional y TD el tiempo derivativo. por separado. Por ejemplo. La siguiente figura muestra el diagrama de bloques de un sistema de control realimentado que. por lo que no realizaría ningún tipo de control. La acción de control derivativa.11 Diagramas de bloque del control proporcional derivativo en serie con una planta Ing. a veces llamada control de velocidad. Midwar E. tiene la desventaja de que amplifica las señales de ruido y puede producir efecto de saturación en el activador. en qué proporción. es aquella en que la salida de control es proporcional a la velocidad de variación de la señal de error actuante. siempre debe ir acompañado del control proporcional). por ello. acrónimo formado por las iniciales de Proporcional. Integral. Derivativo. en forma arbitraria tiene un proceso prototipo de segundo orden con la función de transferencia: 2 GP (s) wn s ( s 2wn ) Figura 1. Valencia Vilca . Figura 1. uno de los controladores más ampliamente empleados es el controlador PID. las porciones PD y PI. El tiempo derivativo T D es el intervalo de tiempo en que la acción de velocidad se adelanta al efecto de acción proporcional. Para poder entender este importante controlador vamos a estudiar primeramente. La interpretación del control derivativo en el dominio del tiempo es que la de(t)/dt representa la pendiente de e(t). la derivada con respecto al tiempo. El control derivativo mide la pendiente instantánea de e(t). y la porción derivativa del controlador no provee ninguna entrada al proceso. el controlador puede anticipar la dirección del error y emplearla para controlar mejor el proceso. predice el sobreimpulso grande en el tiempo. La función de transferencia de la trayectoria directa del sistema compensado es: G (s) w 2 ( K K D s) Y (s) GC ( s ) G P ( s ) n P E ( s) s ( s 2wn ) Lo cual muestra que el control PD equivale a añadir un cero simple en s KP a la función de KD transferencia de la trayectoria directa. Normalmente. subsecuentemente ocurrirá un sobreimpulso alto.DISEÑO DE CONTROLADORES 9 El controlador en serie es del tipo proporcional-derivativo (PD) con la función de transferencia: GC ( s ) K p K D s Por tanto. Si el error en estado estable de un sistema es constante con respecto al tiempo. en sistemas lineales. Valencia Vilca . por lo que el control PD es esencialmente anticipativo. la función de transferencia del controlador PD se describe como: Ing. respectivamente. lo cual reduce la magnitud del error. Posibles montajes electrónicos para ese controlador pueden realizrse con OPAMP. Viendo la función de transferencia del sistema compensado. al conocer la pendiente. Para el diseño en el dominio de la frecuencia. se observa que el control PD no altera el Tipo del sistema que gobierna el error en estado estable de un sistema con realimentación unitaria. Pero si el error en estado estable se incrementa con el tiempo. si la pendiente de e(t) o y(t) debida a la entrada escalón es grande. se genera otra vez una señal proporcional a de(t)/dt. la señal de control aplicada al proceso es: u (t ) K p e(t ) K D En donde K P y K D son las constantes de(t ) dt proporcional y derivativa. En forma intuitiva. y hace un esfuerzo correctivo antes de que dicho sobreimpulso excesivo ocurra. su derivada es cero. el control derivativo afecta el error en estado estable de un sistema sólo si el error en estado estable varía con el tiempo. Midwar E. Esto es. La desventaja práctica del controlador PD es que un filtro pasa-alta usualmente acentúa el ruido de alta frecuencia que se introduce por la entrada. Otro efecto bueno de este controlador. la característica de magnitud del controlador PD empuja la frecuencia de cruce de ganancia a un valor más alto. Midwar E. existe un intervalo de valores de KP/KD que es óptimo para mejorar el amortiguamiento del sistema. ii. Ing. La figura anterior muestra claramente las características de filtro pasa-alto del controlador PD.DISEÑO DE CONTROLADORES 10 K GC ( s ) K p K D s K p 1 D s K p Que se interpreta más fácilmente en las trazas de Bode. para que la ganancia en frecuencia cero del controlador PD se pueda visualizar como la unidad. la ganancia de control proporcional KP se puede combinar con una ganancia en serie del sistema. para K P 1: Figura 1. Desgraciadamente. lo que reduce el tiempo de subida de la respuesta al escalón. Las trazas se muestran en la siguiente figura. La propiedad de adelanto de fase se puede utilizar para mejorar el margen de fase de un sistema de control. se aumenta el ancho de banda del sistema. Para un sistema dado. En resumen un controlador PD diseñado adecuadamente afectará al comportamiento de un sistema de control en las formas siguientes: i. Reduce el tiempo de subida y el de estabilización. Valencia Vilca .11 Diagramas de Bode del controlador PD En general. Por tanto. Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso máximo. es que al tener la característica de un filtro pasa-alta. el principio de diseño del controlador PD involucra el localizar la frecuencia de corte del controlador. tal que se logre un mejoramiento efectivo del margen de fase en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. w = KP/KD. Valencia Vilca . La acción de control integral recibe a veces el nombre de control de reposición. con la acción proporcional. Control con acción proporcional integral (PI) En un control con acción integral. el valor de m(t) varía dos veces más rápido. La función de transferencia del control integral es: Si se duplica el valor de e(t). Midwar E. 1. No es efectivo para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables. el valor de m(t) se mantiene estacionario. vii. el margen de fase (PM) y el pico de resonancia Mr (disminuye). vi. Mejora el margen de ganancia (GM). Puede acentuar el ruido en altas frecuencias. Figura 1. Puede requerir elementos grandes (como condensadores) en la implementación del circuito compensador.12 Diagramas de Bloques del controlador integral Si esta acción se combina. el valor de la salida del controlador m(t) varía proporcionalmente a la señal de error actuante e(t) de acuerdo a: t dm(t ) K I e(t ) o bien m(t ) K I e(t ) dt dt 0 donde KI es una constante regulable. Figura 1. Incrementa el ancho de banda (BW). v. Para un error actuante igual a cero. como es habitual.13 Diagramas de Bloques del controlador proporcional integral La acción de control PI queda definida por la siguiente ecuación: Y la función de transferencia será: Ing.3.4. iv. obtendremos un control proporcional integral (PI).DISEÑO DE CONTROLADORES 11 iii. Mientras que el error no es afectado. el controlador PD puede no cubrir todos los objetivos de la compensación. Midwar E. Tanto KP como TI son regulables. a menos que varíe con el tiempo. Por tanto. Los valores de KI suelen resultar pequeños.DISEÑO DE CONTROLADORES 12 donde KP representa la sensibilidad proporcional o ganancia. La función de transferencia de la trayectoria directa de sistema compensado es: Ing. En la siguiente figura se observa un sistema prototipo de segundo orden con un controlador PI en serie. Se mide en términos de repeticiones por minuto). A la inversa del tiempo integral se la llama frecuencia de reposición (es el número de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. lo que no es bueno ya que ello exige en su implementación valores grandes de condensadores.14 Respuesta al escalón del controlador PI En el control PD se vio que este compensador puede mejorar el amortiguamiento y el tiempo de subida de un sistema de control a expensas del ancho de banda más alto y la frecuencia de resonancia.15 Diagramas de bloque del control proporcional integral en serie con una planta La función de transferencia de dicho controlador PI es: La ventaja con este circuito es que los valores de KP y KI están relacionados en forma independiente de los parámetros del circuito. El tiempo integral regula la acción del control integral. Figura 1. Figura 1. y TI el tiempo integral. La parte integral del control PID produce una señal que es proporcional a la integral con respecto al tiempo de la entrada del controlador. lo cual no es típico para el caso de entradas función escalón. Valencia Vilca . en muchas situaciones. mientras una modificación en K P afecta tanto a la parte integral como a la proporcional de la acción de control. Por otro lado. y los valores de K P y KI deben ser relativamente pequeños. y éste último siempre es cero para un sistema estable con una entrada rampa. y por tanto. o hasta inestable si los parámetros KP y KI no se han escogido adecuadamente. Podemos ver que para valores altos de w. Esto implica que el Tipo de sistema se incrementa en uno. Para el sistema de la figura 1. el sistema puede ser inestable. y puede ser menos estable que el original. si K P es muy grande.DISEÑO DE CONTROLADORES 13 Los efectos del controlador PI son: i. En forma similar. El problema es escoger la combinación adecuada de KP y KI para que la respuesta transitoria sea satisfactoria. a la función de transferencia de la trayectoria directa. el sistema tendrá un error en estado estable nulo para una entrada de referencia rampa. lo cual representa una atenuación si el valor de KP es menor que 1. Sin embargo. En el caso de un sistema de tipo 1 con control P D. Añadir un cero en s = -KI/KP a la función de transferencia de la trayectoria directa.15. K P ya no afecta al error de estado estable. con la función de transferencia en lazo abierta anterior. el valor de la ganancia es 20·log10KP dB. Añadir un polo en s = 0. Ya que el controlador PI es en esencia un filtro paso bajo. para un sistema de tipo 0. el valor de KP es importante porque la constante de error rampa Kv es directamente proporcional a KP. Midwar E. si ahora el sistema es de tercer orden. la magnitud de error en estado estacionario es inversamente proporcional a KP cuando la entrada es una rampa. Valencia Vilca . si la ubicación del cero de G C(s) se selecciona adecuadamente. por lo que mejorará en un orden el error en el estado estable. el error en estado estable debido a una entrada escalón será inversamente proporcional a KP. Sin embargo. A primera vista se puede observar que el control PI mejorará el error en estado estable a costa de la estabilidad. La configuración de polos y ceros del controlador PI ya hemos visto que presenta un polo en s = 0 y un cero en s = -KI/KP. se convierte en un sistema tipo 2 mediante un controlador PI. ii. Para el diseño en el dominio de la frecuencia de transferencia del controlador PI se escribe como: Las trazas de Bode de GC(jw) se muestran en la figura 12. Un método factible para diseñar un controlador PI es seleccionar el cero en s = -K I/KP relativamente cerca del origen y lejos de los polos más significativos del proceso. el sistema compensado tendrá un tiempo de subida más bajo y un tiempo de estabilización más largo. tanto el amortiguamiento como el error pueden mejorar. Cuando el sistema es de tipo 1. Esta Ing. En otras palabras. Para llevar la curva de magnitud de la función de transferencia del sistema no compensado a 0db en la nueva frecuencia de corte de ganancia w g’. Las trazas de Bode de la función de transferencia de la trayectoria directa G P(s) del sistema no compensado se hace con la ganancia del lazo puesta de acuerdo con el requisito de comportamiento en estado estable. la nueva frecuencia de cruce de ganancia wg’ correspondiente a este margen de fase se localiza sobre las trazas de Bode.15 Diagramas de Bode del control proporcional integral El procedimiento de diseño en el dominio de la frecuencia para el control PI para obtener un margen de fase dado se describe como sigue: i. iii. La traza de magnitud de transferencia del sistema compensado debe pasar a través del eje de 0db en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia para obtener el margen de fase deseado. Por tanto se debe poner la frecuencia de corte del controlador (w = -K I/KP) tan lejos a la izquierda como el requisito del ancho de banda lo permita. el controlador PI debe proveer la cantidad de atenuación igual a la ganancia de la curva de magnitud en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.DISEÑO DE CONTROLADORES 14 atenuación se puede utilizar para mejorar la estabilidad del sistema. lo cual perjudica la estabilidad. Midwar E. Los márgenes de fase y ganancia del sistema no compensado se determinan de las trazas de Bode. ii. al hacer que: De donde se tiene: Ing. para que las propiedades de atraso de fase de GC(jw) no degraden el margen de fase alcanzado por el sistema. Figura 1. La fase de G C(jw) es siempre negativa. Para un cierto requisito de margen de fase especificado. Valencia Vilca . Los valores de KI y KP se sustituyen en la ecuación del compensador. Como una guía general. algunas veces hasta dos décadas. iv. se ha supuesto que. Por otro lado. el atraso de fase del controlador PI tendrá un efecto despreciable sobre la fase del sistema compensado cerca de wg’. Ing. se puede seleccionar el mejor valor de KP. ya que. Midwar E. v. el valor de K I/KP no debe ser muy pequeño o el ancho de banda del sistema será muy bajo. considerando su efecto sobre el BW y la implementación práctica con un circuito de amplificadores operacionales. Las trazas de Bode del sistema compensado se investigan para ver si todas las especificaciones de funcionamiento se cumplen. Al calcular el margen de fase. provocando que el tiempo de subida y el de estabilización sean muy largos. Mr y BW del sistema en lazo cerrado con un intervalo de valores de KP. iii.DISEÑO DE CONTROLADORES 15 Una vez que se determina el valor de KP. por debajo de wg’. ii. KI/KP debe corresponder a una frecuencia que es al menos una década. para atenuar la magnitud de G C(jw) en wg’ la fase original no es afectada por el controlador PI. el margen de ganancia. el valor de K I puede seleccionarse con base en el requisito de constante de error rampa. como se muestra en la figura anterior. Filtra el ruido de alta frecuencia. para dar la función de transferencia deseada del controlador PI. aunque la frecuencia de cruce de ganancia es alterada. la selección del valor de K I/KP se deja a la discreción del diseñador. sólo es necesario seleccionar el valor adecuado de KI para completar el diseño. Sin embargo. Si la frecuencia de corte w = K I/KP está colocada lejos por debajo de wg’. Las ventajas y desventajas del controlador PI diseñado adecuadamente son: i. v. el margen de fase y Mr. Mejora el margen de ganancia. Valencia Vilca . Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso máximo. Esto es: Dentro de la guía general. Si el proceso controlado GP(s) es de tipo 0. y entonces sólo habrá un parámetro (K P) a determinar. Incrementa el tiempo de subida. iv. Hasta este punto. esto no es posible. Disminuye el ancho de banda. la propiedad de atenuación el controlador PI está acompañada con un atraso de fase que perjudica el margen de fase. Figura 1.3.17 Respuesta de un Controlador PID ante entrada rampa unitaria Se puede utilizar el siguiente procedimiento para el diseño de controladores PID (existen otros que conducen a resultados similares. es más agudo que en el caso del controlador PD. 1. Midwar E.5. Cabe suponer. integral y derivativa tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. el diseño ofrece. La función de transferencia del controlador PID la podemos escribir como: Ing. pero el tiempo de subida se incrementa. múltiples caminos para llegar a fines similares): i) Considerar que el controlador PID consiste en una parte PI conectada en cascada con una parte PD. la combinación (adecuada) de los efectos de la acción proporcional. aunque distintos. Control con acción proporcional integral derivativa (PID) El controlador PD puede añadir amortiguamiento a un sistema. La ecuación de este tipo de control queda definida por: La función de transferencia es: Donde KP representa la sensibilidad proporcional. que un controlador que incluya los dos anteriores mejorarán la respuesta del sistema en todos esos factores. El problema de seleccionar una combinación adecuada de KI y KP para que el condensador del circuito implementado no sea excesivamente grande. en la mayoría de los casos.DISEÑO DE CONTROLADORES 16 vi. TD es el tiempo derivativo y TI el tiempo integral. Efectivamente. Valencia Vilca . El controlador PI puede mejorar la estabilidad relativa y el error en estado estable al mismo tiempo. pero no afecta la respuesta en estado estable.16 Diagramas de Bloques del control proporcional integral derivativo La siguiente figura anterior muestra la acción efectuada por un controlador PID ante una señal de error tipo rampa unitaria. Figura 1. Al igualar ambos miembros de la ecuación anterior. el diseño de controladores en sistemas de control se puede ver como un problema de diseño de filtros. el controlador PD pasa-alta. la forma del controlador debe ser: Ing. preferiblemente. la porción PI del controlador se puede diseñar primero para una parte del requisito sobre la estabilidad relativa y. Para que el controlador no degrade el error en estado estable. Como una opción. ya que sólo se necesitan tres parámetros en el controlador PID. ya que la fase correspondiente introducida es negativa. y de pasabaja (o de retraso de fase) si p1 < z1. El filtro pasaalta.4 Controlador de adelanto y atraso de fase EL controlador PID y sus componentes en la forma de los controles PD y PI representan formas simples de controladores que emplean operaciones de derivación e integración en la compensación de sistemas de control. La implementación puede realizarse con elementos pasivos o. a menudo. Valencia Vilca . en función de los valores de los parámetros del controlador. y en el dominio de la frecuencia con el margen de fase. El filtro pasa-baja también se conoce como controlador de atraso (retardo) de fase (phase-lag). mediante OPAMP’s. finalmente. Desde el punto de vista de filtrado. esta estabilidad se puede medir mediante el sobreimpulso máximo. La función de transferencia de un controlador de adelanto o atraso sencillo se expresa como: De acuerdo a los valores de p1 y z1. se diseña la parte PD. 1. el controlador PI es un filtro pasa-baja y el controlador PID es un filtro pasa banda o pasa-banda atenuado. entonces existe un gran número de esquemas posibles. Estas ideas relacionadas con el filtrado y el corrimiento de fase son útiles si los diseños se realizan en el dominio de la frecuencia. En general. se tiene: ii) Considerar que sólo la parte PD está operando: seleccionar el valor de K DI para lograr una parte de la estabilidad relativa deseada. iii) Seleccionar los parámetros KI2 y KP2 para que el requisito de estabilidad relativa sea satisfecho. el controlador es de pasa-alta (o de adelanto de fase) si p 1 > z1. se denomina controlador de adelanto (avance) de fase (phase-lead) ya que se introduce fase positiva al sistema en algún intervalo de frecuencias. En el dominio del tiempo. Midwar E.DISEÑO DE CONTROLADORES 17 La constante proporcional de la parte P D se hace unitaria. el sistema es de adelanto de fase. Se puede utilizar el método del lugar de las raíces para indicar los valores apropiados de los parámetros. y si a < 1. a la función de transferencia en lazo abierto. los tiempos de subida y estabilización se incrementarán otra vez. los efectos de añadir un par polocero. supongamos una planta a controlar. b) Mejora los tiempos de subida y estabilización. se deben mejorar los tiempos de subida y estabilización. y hay que recurrir a un uso simultáneo de ambos. mediante una red con dos polos y dos ceros. la utilización de ambos filtros por separado es insuficiente. podemos indicar que: i) Al mover el cero en –1/aT hacia el origen.1 Red de adelanto de fase En el caso de que el cero se sitúe más próximo al origen que el polo. estamos ante una red de adelanto o avance de fase. En ocasiones. cuyo diagrama de Bode es el indicado en la figura siguiente. pero si el valor de T es muy pequeño. será de retardo. ya que –1/aT también aparece como un cero de la función de transferencia en lazo cerrado. En esencia. el sobreimpulso máximo se puede incrementar otra vez. con el cero cerca del origen. Para indicar el efecto en el dominio de la frecuencia.DISEÑO DE CONTROLADORES 18 Donde si a > 1. se observa que el controlador de adelanto de fase puede mejorar la estabilidad del sistema en lazo cerrado si sus parámetros se escogen de forma adecuada. 1. Ing. obteniendo de esta forma los llamados compensadores de avance-retardo (pahse lead-lag). el diseño de control de avance de fase consiste en colocar el polo y el cero de GC(s) para que las especificaciones de diseño sean satisfechas. Como ya sabemos. convenientemente situados. se debe reducir el sobreimpulso máximo. ii) Al mover el polo en –1/T lejos del cero y el origen. En forma general. El control de adelanto de fase (empleado de forma adecuada): a) Incrementa el amortiguamiento del sistema.4. Midwar E. c) No afecta al error de estado estacionario. Valencia Vilca . Si el cero se mueve muy cerca del origen. 20 Diagrama de Bode del sistema compensado Ing.19 Diagrama de Bode de una red de adelanto de fase Si se eligen adecuadamente las situaciones del cero y el polo. Valencia Vilca . lo que indica que el sistema en lazo cerrado será muy poco amortiguado.18 Diagrama de Bode de una planta a controlar Se observa que el margen de fase es muy bajo. cuyo diagrama de Bode es Figura 1. Para evitar esto. puede conseguirse una respuesta total del sistema compensado en lazo abierto como se indica en la figura siguiente. se coloca en la cadena de acción una red de avance de fase. Figura 1.DISEÑO DE CONTROLADORES 19 Figura 1. Midwar E. obteniéndose una mayor estabilidad relativa. Figura 1.DISEÑO DE CONTROLADORES 20 En dicha figura se observa que entre las frecuencias w 3 y w4. Figura 1.4. Para comprobar su efecto en el dominio de la frecuencia. Midwar E. y cerca del origen para sistemas de tipo 0 y 1.2 Red de atraso o retardo de fase La situación ahora del polo y cero del compensador en poner el polo más próximo al origen (sin llegar a ser cero.21 Diagrama de Bode de una red de atraso de fase Podemos observar el resultado de la red compensada (en lazo abierto) mediante su diagrama de Bode. Valencia Vilca . el margen de fase ha aumentado considerablemente.22 Diagrama de Bode del sistema compensado Ing. supóngase el mismo caso que antes. 1. tal y como se muestra en la siguiente figura. la pendiente inicial ha sido modificada de – 40db/dec a –20db/dec. El control de atraso de fase no debe aplicarse a sistemas de tipo 2 (o superior). cuya respuesta es la indicada a continuación. Aplicamos ahora una red de retardo. de forma que a la frecuencia de corte. aunque ambos deberán estar próximos. como hace el control integral) que el cero. permite mejorar la estabilidad relativa del sistema. Midwar E. la magnitud de la función de transferencia de la trayectoria directa es atenuada cerca y arriba de la frecuencia de cruce de ganancia y. 1. mientras que las redes de retardo de fase mejoran la respuesta en régimen permanente.3 Red de atraso-adelanto de fase Las redes de adelanto de fase suelen mejorar el tiempo de subida y el de estabilización.4. cuya respuesta en frecuencia se muestra en la siguiente figura: Figura 1. por tanto.DISEÑO DE CONTROLADORES 21 En la imagen anterior podemos observar que el resultado de añadir dicha red al sistema en lazo abierto.23 Diagrama de Bode de la red adelanto-atraso Aplicada de forma conveniente a nuestro ejemplo. cada una tiene ventajas e inconvenientes la una frente a la otra. ii) La frecuencia de cruce de ganancia disminuye y. Las características del control de atraso o retardo de fase son: i) Para una ganancia de la trayectoria directa dada (K).24). podemos ver como el resultado de la respuesta en frecuencia para la red compensada en lazo abierto (figura 1. es más favorable que para los casos anteriores por separado. pero aumentan el tiempo de subida. resulta más eficaz una combinación de ambos controles. Es decir. Obtenemos así una red de adelanto-atraso de fase. disminuye la frecuencia de corte y aumenta el margen de fase. por tanto. el ancho de banda se reduce. Valencia Vilca . Por ello. Ing. iii) Los tiempos de subida y estabilización son largos. ya que el ancho de banda se reduce. pero aumentan el ancho de banda (problemas de ruido). Un ancho de banda elevado significa reducción en el tiempo de establecimiento. Esto significa que la compensación en adelanto exigirá mayor ganancia que la necesaria para compensación en atraso.DISEÑO DE CONTROLADORES 22 Figura 1. El ancho de banda de un sistema con compensación en retardo. en cambio. En el dominio de la frecuencia la compensación en adelanto aumenta el margen de fase y el ancho de banda. reduce el ancho de banda. Si la reducción en ancho de banda es excesiva. Midwar E. puede no ser conveniente un ancho de banda grande. a veces. Entonces. atraso y atraso-adelanto. en cambio. dando así los polos de lazo cerrado deseados. (En la mayor parte de los casos. hay que emplear diferentes compensadores con distintas configuraciones de polos y ceros. Si. Si se desea tanto respuesta rápida como buena exactitud estacionaria. c) La compensación en atraso mejora la exactitud en régimen estacionario.24 Diagrama de Bode del sistema compensado con red adelanto-atraso Comparación entre las compensaciones de atraso y adelanto: a) La compensación en adelanto brinda el resultado deseado por su contribución al adelanto de fase. Por tanto. b) En el dominio de s. e) Aunque se pueden lograr una gran cantidad de circuitos de compensación utilizando las redes de adelanto. en sistemas complicados la compensación simple lograda con estas redes puede no dar resultados satisfactorios. Valencia Vilca . mayor ganancia implica mayor espacio. d) La compensación en adelanto exige un incremento adicional de ganancia para compensar la atenuación inherente a la red de adelanto. la compensación en atraso logra su resultado a través de la característica de la atenuación en altas frecuencias. En este caso debe utilizarse la compensación en retardo. sin embargo. debe utilizarse compensación de adelanto. debe emplearse un compensador en retardo-adelanto. la compensación en adelanto permite modificar la forma del lugar de las raíces. si se desea un gran ancho de banda o respuesta rápida. el sistema compensado presentará una respuesta lenta. ya que hace al sistema más susceptible a señales de ruido debido al incremento en la ganancia de altas frecuencias. mayor peso y mayores costos). es mayor que en compensación de adelanto. hay señales de ruido presentes. Nótese que una vez especificada la configuración de polos y ceros de un Ing. Valencia Vilca .25 Diagrama de bloques con elemento de medición de primer orden Figura 1.26 Diagrama de bloques con elemento de medición sobreamortiguado de segundo orden Figura 1.27 Diagrama de bloques con elemento de medición subamortiguado de segundo orden 1. sobreamortiguado de segundo orden y subamortiguado de segundo orden. por ejemplo de un elemento de medición térmico. frecuentemente es de tipo sobreamortiguado de segundo orden. el elemento de medición juega un papel importante en el comportamiento global del sistema de control. Figura 1.5 Efectos del elemento de medición sobre el sistema Como las características dinámicas y estáticas del elemento de medición afectan a la indicación del valor efectivo de la variable de salida. La respuesta. la función de transferencia del elemento de medición simplemente se convierte en una constante. 1.DISEÑO DE CONTROLADORES 23 compensador puede efectuarse la realización física de la red pasiva necesaria utilizando las técnicas habituales de síntesis de redes. El elemento de medida generalmente determina la función de transferencia en el camino de realimentación. Si las constantes de tiempo del elemento de medición son despreciablemente pequeñas en comparación con otras constantes de tiempo del sistema de control. por lo regular causan que el sistema en lazo cerrado sea ligeramente amortiguado o inestable. Las figuras siguientes muestran diagramas de bloques de controles automáticos con elemento de medición de primer orden. Un pensamiento Ing.6 Cancelaciones Las funciones de transferencias de muchos procesos controlados contienen uno o más pares de polos complejos conjugados que están muy cerca del eje imaginario del plano s. Estos polos complejos. Midwar E. DISEÑO DE CONTROLADORES 24 inmediato es emplear un controlador que tenga una función de transferencia con ceros seleccionados para cancelar los polos no deseados del proceso controlado, y los polos del controlador son colocados en lugares más deseables del plano s para alcanzar el comportamiento óptimo dinámico deseado. Es decir, si los polos indeseados están en el semiplano izquierdo del plano “s” y son de la forma: La inserción de un sistema compensador con función de transferencia Produce el efecto reemplazo de los polos indeseados complejos conjugados por otros admisibles. El problema es que, en la práctica, la cancelación exacta de polos y ceros de funciones de transferencia es casi imposible (por las aproximaciones de la planta, variaciones internas, etc.). Ello no impide que, si bien, no se produce la cancelación total, sí que el sistema compensado presentará mejores características de respuesta. Lo que sí debe mantenerse en mente es que nunca se debe intentar cancelar polos que estén en el semiplano derecho del plano “s”, ya que cualquier cancelación inexacta (lo que siempre será así, por muy próxima que se de) resultará en un una mala compensación puede producir el efecto contrario, como puede verse del diagrama de las raíces mostrado en la siguiente figura. A este tipo de controlador se le denomina con frecuencia filtro de muesca Figura 1.28 Cancelación de polos Ing. Midwar E. Valencia Vilca DISEÑO DE CONTROLADORES 25 Capítulo II DISEÑO MEDIANTE EL LUGAR GEOMÉTRICO DE RAÍCES El lugar geométrico de las raíces muestra gráficamente información de la respuesta transitoria como de la estabilidad. El lugar geométrico de raíces se puede trazar rápidamente para tener una idea general de los cambios en la respuesta transitoria generados por cambios en la ganancia. Es posible hallar con precisión puntos específicos sobre el lugar geométrico de raíces para dar información cuantitativa de diseño. El lugar geométrico de las raíces, nos permite escoger la ganancia de lazo adecuada para satisfacer una especificación de respuesta transitoria. Cuando la ganancia se hace variar, nos movemos en diferentes regiones de respuesta. Estableciendo una ganancia en un valor particular da la respuesta transitoria dictada por los polos y el punto sobre el lugar geométrico de raíces. Entonces estamos limitados a esas respuestas que existen a lo largo del lugar geométrico de las raíces. 2.1 Mejoras en la respuesta transitoria Se puede aumentar la flexibilidad del diseño de una respuesta transitoria deseada si queremos diseñar respuestas transitorias que no estén en el lugar geométrico de las raíces. Supongamos que la respuesta transitoria deseada, definida por el sobrepaso máximo y el tiempo de establecimiento, está representado por el punto B. Figura 2.1 Lugar geométrico de las raíces donde se muestra que no se puede satisfacer las especificaciones del punto B mediante un ajuste de ganancia. Ing. Midwar E. Valencia Vilca 26 DISEÑO DE CONTROLADORES Desafortunadamente, en el lugar geométrico de raíces no se puede obtener el tiempo de asentamiento deseado, sólo podemos obtener el sobrepaso máximo representado por el punto A después de un simple ajuste de ganancia. Por lo tanto, nuestra meta es disminuir el tiempo de establecimiento en A para igualarlo al de B, sin afectar el sobrepaso máximo. Esta disminución no se puede lograr con un simple ajuste de ganancia, porque el punto B no se encuentra sobre el lugar geométrico de raíces. La figura anterior muestra la mejora en la respuesta transitoria que buscamos: la respuesta más rápida tiene el mismo sobrepaso que la respuesta más lenta. Una forma de resolver el problema es sustituir el sistema existente con un sistema cuyo lugar geométrico de raíces cruce el punto de diseño deseado, B. Desafortunadamente, esta sustitución es costosa y contraproducente. La mayor parte de los sistemas se seleccionan por características que no son la respuesta transitoria. Por ejemplo, la plataforma de pasajeros y el motor de un elevador se seleccionan para velocidad y potencia. Los componentes escogidos para la respuesta transitoria de estos componentes puede no necesariamente satisfacer, por ejemplo, los requerimientos de potencia. En lugar de cambiar el sistema existente, aumentamos, o compensamos, el sistema con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un lugar geométrico de raíces que pase por el lugar deseado de polo para algún valor de ganancia. Una de las ventajas de compensar un sistema en esta forma es que los polos y ceros adicionales se pueden agregar en el extremo de baja potencia del sistema antes de la planta. La adición de polos y ceros de compensación no necesita interferir con las necesidades de potencia de salida del sistema, ni presentar problemas adicionales de carga o diseño. Los polos y ceros de compensación se pueden generar con una red pasiva o activa. Una posible desventaja de compensar un sistema con polos y ceros adicionales en lazo abierto es que el orden del sistema puede aumentar con un subsiguiente efecto sobre la respuesta deseada. Al inicio del diseño, se determina la ubicación correcta de polos y ceros adicionales en lazo abierto para obtener los polos deseados en lazo cerrado de segundo orden. Sin embargo, no conocemos la ubicación de los polos en lazo cerrado de orden superior hasta el final del diseño. Por lo tanto, deberíamos evaluar la respuesta transitoria por medio de simulación después que el diseño se haya completado, para estar seguros que los requerimientos se hayan satisfecho. 2.2 Mejoras del error en estado estacionario La compensación no sólo se usa para mejorar la respuesta transitoria de un sistema; también se emplean independientemente para mejorar las características en estado estacionario. Cuando la ganancia del sistema se ajusta para satisfacer las especificaciones de la respuesta transitoria, el desempeño del error en estadio estacionario sufrió una variación, puesto que la respuesta transitoria y la constante de error en estado Ing. Midwar E. Valencia Vilca DISEÑO DE CONTROLADORES 27 estacionario están relacionadas con la ganancia. Cuando mayor es la ganancia, menor es el error en estado estacionario y mayor es el sobrepaso máximo. Por otra parte, reducir la ganancia para disminuir el sobrepaso aumenta el error en estado estacionario. Si utilizamos compensadores dinámicos, es posible diseñar redes de compensación que nos permitirán satisfacer simultáneamente especificaciones del error en estado estacionario y respuesta transitoria, no necesitamos un término medio entre respuesta transitoria y error en estado estacionario mientras el sistema opere en su intervalo lineal. 2.3 Efecto de añadir polos y cero Cuando agregamos un compensador, estamos añadiendo polos y ceros para que el nuevo lugar de raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados. La adición de polos en el semiplano izquierdo del plano “s” produce una deformación del lugar geométrico de raíces hacia la derecha, reduciendo la estabilidad relativa y aumenta el sobrepaso. Figura 2.2 Modificación del lugar de raíces al añadir polos La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se acelera el tiempo de establecimiento de la respuesta. (Físicamente, la adición de un cero a la función de transferencia de la trayectoria directa significa agregar al sistema un control derivativo. El efecto de tal control es introducir un grado de previsión al sistema y acelerar la respuesta transitoria.) La siguiente figura muestra los lugares geométricos de las raíces para un sistema estable con una ganancia pequeña, pero inestable con una ganancia grande. Observe que, cuando se agrega un cero al sistema, éste se vuelve estable para todos los valores de ganancia. Ing. Midwar E. Valencia Vilca Figura 2. colocando en serie varios compensadores de primer orden. El enfoque de la compensación desarrollado en base a un compensador de primer orden puede extenderse a compensadores de orden mayor. la red puede escogerse de modo que tenga una función de transferencia: M GC ( s) K (s zi ) i 1 n (s p i 1 j ) El problema se reduce a la correcta selección de los polos y ceros del compensador. Consideraremos un compensador de primer orden. Midwar E.4 Diagrama de bloque de compensación en serie El compensador GC(s) puede escogerse para alterar la forma del lugar geométrico de raíces o la respuesta de frecuencia.DISEÑO DE CONTROLADORES 28 Figura 2. la red de compensación G C(s). Valencia Vilca . por ejemplo. En cualquier caso.3 Modificación del lugar de raíces al añadir ceros 2. se pone en serie con el proceso que no se modifica GP(s) para proporcionar una función de transferencia GC(s)GP(s)H(s) adecuada para el lazo. Consideremos el compensador de primer orden con función de transferencia GC ( s ) K s z s p Ing.4 Compensación en serie o cascada En la compensación en serie. la red se conoce como red de adelanto de fase y tiene una configuración de polos y ceros en el plano “s”. Figura 2.5 Diagrama de polos y ceros de la red de adelanto de fase Cuando p z . Valencia Vilca . Midwar E.6 Diagrama de polos y ceros de la red de atraso de fase Ing. Cuando z p . como se muestra en la figura siguiente. como se muestra en la figura siguiente. Figura 2.DISEÑO DE CONTROLADORES 29 El problema de diseño es la selección de z. p y K con el objeto de proporcionar un comportamiento adecuado. la red se conoce como red de atraso o retardo de fase y tiene una configuración de polos y ceros en el plano “s”. Se determinan el cero y el polo del compensador a partir de la deficiencia angular.c.DISEÑO DE CONTROLADORES 30 2. y luego determinar la ubicación del polo de acuerdo a Φ. Midwar E. mientras que el polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero. El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geométrico de las raíces. Kc se determina a partir del requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud.d. se determina la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado (polos complejos conjugados deseados = p. El procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el lugar geométrico de las raíces es el siguiente: 1.d. El ángulo total en la localización deseada de las raíces debe ser 180º según la condición de la fase. Valencia Vilca .c. este ángulo debe ser proporcionado por el compensador en adelanto para que el nuevo LGR pase por las ubicaciones deseadas.5 Diseño por adelanto de fase El diseño de un compensador de adelanto de fase puede efectuarse en el plano “s”. al origen y una paralela al eje real. se biseca el ángulo formado. del siguiente modo: Se traza una línea del p. Ing. De las especificaciones de funcionamiento. calcular la deficiencia angular Φ. Este compensador tiene la siguiente función de transferencia 1 Ts 1 T GC ( s) K C KC 1 Ts 1 s T s Con 1 La localización del cero y del polo se selecciona para obtener un lugar geométrico de raíces para el sistema compensado satisfactorio.c. Trazar el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado. Si no se puede obtener los polos de lazo cerrado deseados con solo ajustar la ganancia. 3. 4. Las especificaciones del sistema se usan para determinar la localización deseada de las raíces dominantes de aquél.d. 5.c. los puntos de intersección con el eje real son el cero y polo buscados También se puede colocar el cero del compensador directamente bajo la localización deseada del p. Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de lazo cerrado deseados.c. El compensador por adelanto de fase se utiliza para mejorar la respuesta transitoria readaptando el lugar geométrico de las raíces del sistema original. A partir de la bisectriz se traza dos rectas con un ángulo de Φ/2.c.) 2. n2 C ( s) 4 R( s ) s 2 4s 4 s 2 2 n s n2 De donde se obtiene: n 2 2 n 4 1 El sobrepaso máximo es: M e p 1 2 NE El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 5% es: t s (5%) 3 3 1.5seg) c) El valor final del error para una entrada rampa unitaria sea menor o igual del 10% de la pendiente de la entrada.5 seg (ts≤1. Desarrollo: Analizamos las características a lazo cerrado de la planta sin compensar. Midwar E.4) b) El tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea menor o igual a 1.5seg n 2 sE (s) El error en estado estacionario será: e ss lím s 0 1 4 s 2 1 4 4 s 1 2 s 4s e ss lím 1 s 0 Claramente se ve que no se cumplen con las especificaciones 1. Valencia Vilca . Para el sistema que se muestra. Ejemplo de diseño 1. Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño. diseñar un compensador de tal manera que: a) El sobre paso máximo para entrada escalón sea menor o igual de 40% (Mp≤0. Determinamos la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado El sobrepaso máximo para entrada escalón para un sistema de segundo orden es: Mp e 1 2 Según las especificaciones se debe cumplir que: Ing.DISEÑO DE CONTROLADORES 31 6. de no ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. ).c. será: p. Midwar E. n j n 1 2 p.74 o El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 5% será: t s 1.c.c.c.5 n Por lo que n 2 Si consideramos 0. 2 j 6.28 de donde el ángulo correspondiente para cumplir esta especificación es: cos 1 73.5 3 1.d .8571 2.4 Despejando obtenemos: 0.d .c.c. deben estar ubicados en cualquier punto de la región sombreada: Ing.c.c.28 y n 2 la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado (polo complejo conjugado deseado = p.d.d. Dibujamos el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado Para cumplir con las especificaciones los p. Valencia Vilca .DISEÑO DE CONTROLADORES 32 Mp e 1 2 0. Por lo que el sistema compensado tendrá la siguiente forma: La Respuesta Temporal de este Sistema Compensado arroja los siguientes datos: Ejemplo de diseño 2. Midwar E. 2 j 6.2) b) El tiempo de establecimiento (criterio del 2%) sea menor o igual a 4 seg.d .1 s 0 1 1 4 lím s 2 0. solamente necesitamos un controlador proporcional. Escogemos como p.8571 y utilizando la condición del modulo encontramos la ganancia en el punto p. Valencia Vilca .0784 s 0 51 51 s 1 s 2 4s Por lo tanto se cumple la tercera especificación. (ts ≤ 4seg) Desarrollo: Analizamos las características a lazo cerrado de la planta sin compensar. por lo que no es necesario utilizar un compensador de adelanto.c.d . K ' 7.1429 51 El valor del controlador proporcional lo obtenemos de: K' 4 * KC KC 51 12.c.75 4 Verifiquemos si se cumple la tercera especificación: e ss lím sE ( s ) 0. diseñar un compensador de tal manera que: a) El sobre paso máximo para entrada escalón sea menor o igual a 20% (Mp≤ 0.c.c. Para el sistema que se muestra.1429 * 7.DISEÑO DE CONTROLADORES 33 El lugar geométrico de raíces pasa por la región donde se cumplen las especificaciones. n2 C ( s) 4 R( s) s 2 s 4 s 2 2 n s n2 Ing. 456 de donde el ángulo correspondiente para cumplir esta especificación es: cos 1 62. Determinamos la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado El sobrepaso máximo para entrada escalón para un sistema de segundo orden es: Mp e 1 2 Según las especificaciones se debe cumplir que: Mp e 1 2 0.25 El sobrepaso máximo es: M e p 1 2 0.444 El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 2% es: t s ( 2%) 4 4 8seg n 0.87 o El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 2% será: ts 4 4 4 n Por lo que n 1 2.DISEÑO DE CONTROLADORES 34 De donde se obtiene: n 2 2 n 1 0. Valencia Vilca .2 Despejando obtenemos: 0. Dibujamos el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado Ing. Midwar E.5 sE (s) El error en estado estacionario será: e ss lím s 0 e ss 1 lím sE ( s ) lím s 0 s 0 s 0 4 s 1 s2 s 1 Claramente se ve que no se cumplen con las especificaciones 1. c.d .8742 o 152.456 y n 1 la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado (polo complejo conjugado deseado = p.DISEÑO DE CONTROLADORES 35 Para cumplir con las especificaciones los p.d. Escogemos el cero en -2 por lo que el polo estará ubicado en 3.c.c. Se calcula el ángulo de adelanto necesario Φ que debe entregar la red de adelanto para que el lugar geométrico de raíces pase por los polos deseados. Aplicamos la condición de la fase: s p s z 180 i 0 j 90 o 62. deben estar ubicados en cualquier punto de la región sombreada: El lugar geométrico de raíces no pasa por la región donde se cumplen las especificaciones. Midwar E.1o 4. Si consideramos 0.952 3.c.).c.c. 1 j1. será: p.d. por lo que es necesario utilizar un compensador de adelanto.8742 180 o El valor del ángulo de adelanto será: 180 o 152.c.d .c. n j n 1 2 p.8742 o 27.7 Ing. Valencia Vilca . 952 2 12 6.952 2 12 1.7) El sistema compensado tendrá la siguiente forma: Trazamos el lugar geométrico de raíces del sistema compensado para verificar La Respuesta Temporal de este Sistema Compensado arroja los siguientes datos: Ing. Para calcular la ganancia K ' 4 K C utilizamos la condición del módulo: 4K C 1.63( s 2) ( s 3. Valencia Vilca .5 6.7 2 La ganancia del compensador K C 1.7 ) El diagrama de bloques del lazo directo tendrá la siguiente forma: 5.952 1.DISEÑO DE CONTROLADORES 36 El compensador tiene la siguiente función de transferencia GC ( s ) K C ( s 2) ( s 3 .5 1. Midwar E.63 4 Con lo que la función de transferencia del compensador será: GC ( s ) 1.952 2 2. (ts ≤ 1. Así.4 3 s 1 ( s 1)( s 2) 1 s 0 Claramente se ve que no se cumplen con las especificaciones 1.3% (Mp≤ 0. Determinamos la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado El sobrepaso máximo para entrada escalón para un sistema de segundo orden es: Mp e 1 2 Según las especificaciones se debe cumplir que: Ing.2 seg.6 se tienen los siguientes resultados del Sistema Compensado: Ejemplo de diseño 3.2361 2 n 3 0.0582 El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 5% es: 3 3 2 seg n 1.2seg) c) Error en estado estacionario ante entrada escalón menor del 50% Desarrollo: Analizamos las características a lazo cerrado de la planta sin compensar.5 t s (5%) sE (s) El error en estado estacionario será: e ss lím s 0 e ss lím sE ( s ) lím s 0 1 s 0 . es necesario hacerle un ajuste fino al compensador. considerando el valor del cero en s = -1.DISEÑO DE CONTROLADORES 37 Por lo tanto.043) b) El tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea menor o igual a 1. n2 C (s) 3 R( s) s 2 3s 5 s 2 2 n s n2 De donde se obtiene: n 2. Para el sistema que se muestra.6708 El sobrepaso máximo es: % M e p 1 2 0. Valencia Vilca . el aún no cumplir con las especificaciones. diseñar un compensador de tal manera que: a) El sobre paso máximo para entrada escalón sea menor o igual a 4. Midwar E. 043 Despejando obtenemos: 0. por lo que es necesario utilizar un compensador de adelanto.d. Dibujamos el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado Para cumplir con las especificaciones los p.707 de donde el ángulo correspondiente para cumplir esta especificación es: cos 1 45 o El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 5% será: ts 4 3 1. deben estar ubicados en cualquier punto de la región sombreada: El lugar geométrico de raíces no pasa por la región donde se cumplen las especificaciones. Ing.2 n Por lo que n 2. Valencia Vilca .DISEÑO DE CONTROLADORES 38 Mp e 1 2 0.5 2. Midwar E.c.c. 5 j 2.5 la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado (polo complejo conjugado deseado = p.6) ( s 4.6) ( s 4.c.8) El diagrama de bloques del lazo directo tendrá la siguiente forma: 5.c.d .c. Ubicamos el polo y el cero del compensador El compensador tiene la siguiente función de transferencia GC ( s ) K C ( s 2.d. Aplicamos la condición de la fase: s p s z 180 i 0 j 120 o 100 o 220 180 o El valor del ángulo de adelanto será: 220 o 180 o 40 o 4.DISEÑO DE CONTROLADORES 39 Si consideramos 0. Se calcula el ángulo de adelanto necesario Φ que debe entregar la red de adelanto para que el lugar geométrico de raíces pase por los polos deseados.d .91 2.33( s 2. n j n 1 2 p.55 3. Valencia Vilca .c. será: p.5 3.8) El sistema compensado tendrá la siguiente forma: Ing. Para calcular la ganancia K ' 3K C utilizamos la condición del módulo: 3K C La ganancia del compensador K C 2.4 10 2.).c. 2. Midwar E.33 3 Con lo que la función de transferencia del compensador será: GC ( s ) 3.5 10 3.707 y n 2.c. diseñar un compensador de tal manera que: a) El sobre paso máximo para entrada escalón sea menor o igual de 20% (Mp ≤ 0. Midwar E.2 Despejando obtenemos: 0.DISEÑO DE CONTROLADORES 40 Trazamos el lugar geométrico de raíces del sistema compensado para verificar Ejemplo de diseño 4.456 de donde el ángulo correspondiente para cumplir esta especificación es: cos 1 62.2) b) El tiempo de establecimiento (criterio del 5%) sea menor o igual a 3 seg (ts ≤ 3seg) Desarrollo: 1. Determinamos la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado El sobrepaso máximo para entrada escalón para un sistema de segundo orden es: Mp e 1 2 Según las especificaciones se debe cumplir que: Mp e 1 2 0.87 o El tiempo de establecimiento utilizando el criterio del 5% será: ts 3 3 3 n Por lo que n 1 Ing. Valencia Vilca . Para el sistema que se muestra. DISEÑO DE CONTROLADORES 41 Si consideramos 0.c.c. Aplicamos la condición de la fase: s p s z 180 i 0 j 120 o 60 o 60 o 240 180 o El valor del ángulo de adelanto será: 240 o 180 o 60 o 4.d .c. 1 j 3 2. será: p.5 y n 1 la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrado (polo complejo conjugado deseado = p.c. Escogemos como p.c. n j n 1 2 p. Se determina el cero y el polo del compensador a partir de Φ utilizando relaciones geométricas.d .). Dibujamos el lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado Para cumplir con las especificaciones los p.d . 1 j 3 3. Valencia Vilca .c. Se calcula el ángulo de adelanto necesario Φ que debe entregar la red de adelanto para que el lugar geométrico de raíces pase por los polos deseados. deben estar ubicados en cualquier punto de la región sombreada: El lugar geométrico de raíces no pasa por la región donde se cumplen las especificaciones. Ing. Midwar E.c.c.d.c.c.d. por lo que es necesario utilizar un compensador de adelanto. Para calcular la ganancia K ' K C K utilizamos la condición del módulo: KC K 2 3 222 3 16 Podemos escoger K C 4 para lo cual K 4 Con lo que la función de transferencia del compensador será: GC ( s ) 4( s 1) ( s 4) El sistema compensado tendrá la siguiente forma: Trazamos el lugar geométrico de raíces del sistema compensado para verificar 2. Midwar E.DISEÑO DE CONTROLADORES 42 El compensador tiene la siguiente función de transferencia GC ( s ) K C ( s 1) ( s 4) El diagrama de bloques del lazo directo tendrá la siguiente forma: 5.6 Diseño por atraso de fase Este compensador tiene la siguiente función de transferencia Ing. Valencia Vilca . a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada. Valencia Vilca . Expresado de otra forma se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta transitoria. 5. Con el incremento necesario. No se debe cambiar significativamente el lugar de raíces en la proximidad de los polos dominantes. Dibujar el lugar geométrico de raíces del sistema sin compensar. Dibujar el nuevo lugar geométrico de raíces del sistema compensado y ubicamos sobre este los polos en lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria. Ejemplo de diseño 1. diseñar un compensador de tal manera que: a) 0. 4. En base a las especificaciones de la respuesta transitoria. ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de raíces. se determina una localización adecuada del polo y del cero del compensador de forma que el lugar geométrico compensado de las raíces pase todavía por la localización deseada de las raíces. Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del origen El procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el lugar geométrico de las raíces es el siguiente: 1. Calcular la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud. por lo que pretende no cambiar el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado.45 1 b) Constante de error estático de velocidad K V 20 s Ing. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones. Por lo tanto. Para el sistema que se muestra. Se debe incrementar la ganancia de lazo sin modificar la respuesta transitoria. 7. Se calcula la ganancia del lazo en la localización deseada de las raíces y luego se calcula la constante de error estático especificada en el problema de diseño. La contribución del ángulo de la red de atraso debe ser pequeña (<5º). Midwar E. 3.DISEÑO DE CONTROLADORES 43 Ts 1 GC ( s ) K C . KC Ts 1 1 T 1 s T s Con 1 Se utiliza para sistemas con características no deseables en régimen permanente. Se localiza el polo y el cero cercano al origen en el plano “s” en comparación con n . 6. se sitúa el cero y el polo de de la red de atraso cerca uno del otro y cerca del origen. 2. 1 j 2 Otra forma de encontrar el p. K 5 5 5 1 La función de transferencia de la planta será: GP ( s ) 5 s ( s 2) 4. es encontrar el ángulo determinado por cos 1 63.45 n 2.d.DISEÑO DE CONTROLADORES 44 Desarrollo 1.c.c.c.c.c.c. ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de raíces.c.c.26 o 3. En base a las especificaciones de la respuesta transitoria.d .c.).c.22rad / seg Los polos dominantes en lazo cerrado (polo complejo conjugado deseado = p. utilizando la condición del modulo. Midwar E.d.c.d. serán: p.d. Dibujamos el lugar de raíces del sistema sin compensar: 2. Valencia Vilca .d . n j n 1 2 p. Como el p.c. Encontramos la constante de error estático de velocidad del sistema sin compensar 5 K VSC lím s 2. tiene que pertenecer al lugar geométrico de raíces se considera n 1 y como 0. Calculamos la ganancia del lazo en la localización de los p.5 s 0 s ( s 2) Al poner el compensador se tiene: Ing. DISEÑO DE CONTROLADORES 45 Ts 1 K VComp lím s K C s 0 Ts 1 5 20 s ( s 2) K C K VSC 20 Para que no se modifique el lugar geométrico de raíces K C 1 El incremento necesario será K VSC 20 20 20 8 K VSC 2.c. Ing.c.23 5.0125 El compensador será: GC ( s ) K C ( s 0. 1 1 0.0125) 6. Valencia Vilca .0020 Se observa que el compensador diseñado no altera notablemente la respuesta del sistema.01 2. Ubicamos el polo y el cero del compensador de la siguiente forma: Escogemos el cero del compensador lo más cercano al origen por ejemplo en la décima parte de la parte real del p.1 T 10 1 1 El polo del compensador será: T 8 10 0. Reajustamos el valor de K C utilizando la condición del módulo 5K C 5 5 2. Midwar E.19 K C 1.1) ( s 0.5 5. Dibujamos el lugar geométrico de raíces del sistema compensado 7.d. El ángulo correspondiente para cumplir con 0.). Calculamos la ganancia del lazo en la localización de los p.d. Para el sistema que se muestra. ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de raíces.9 3.9 2 7.9 2 7.d .707 especificación es: cos 1 45 o Como el p.c.d.9 j 2. serán: p. Valencia Vilca .c.9 2 241 1 La función de transferencia de la planta será: Ing. utilizando la condición del modulo.c.12 2.c.d.DISEÑO DE CONTROLADORES 46 Ejemplo de diseño 2.707 b) Constante de error estático de velocidad K V 20s 1 Desarrollo 1.c. En base a las especificaciones de la respuesta transitoria. K 2. Dibujamos el lugar de raíces del sistema sin compensar: 2.c.c. Midwar E. tiene que pertenecer al lugar geométrico de raíces los polos dominantes en lazo cerrado (polo complejo conjugado deseado = p.c.12 2. 2. diseñar un compensador de tal manera que: a) 0. Dibujamos el lugar geométrico de raíces del sistema compensado Ing. Encontramos la constante de error estático de velocidad del sistema sin compensar 241 K VSC lím s 2.41 2 s 0 s ( s 10) Al poner el compensador se tiene: Ts 1 K VComp lím s K C s 0 Ts 1 241 2 s ( s 10) 20 K C K VSC 20 Para que no se modifique el lugar geométrico de raíces K C 1 El incremento necesario será K VSC 20 20 20 8. Valencia Vilca .DISEÑO DE CONTROLADORES 47 GP ( s ) 241 s ( s 10) 2 4.41 5.012 ( s 0. 1 T 1 1 El polo del compensador será: T 8.012) 6. Ubicamos el polo y el cero del compensador de la siguiente forma: Escogemos el cero del compensador en: 1 0.1) El compensador será: GC ( s ) K C ( s 0.3 10 0. Midwar E.3 K VSC 2. el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de fase. que ofrecen una estimación a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema. Capítulo III DISEÑO MEDIANTE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos que se siguen en el diseño y la compensación de sistemas de control lineales e invariantes con el tiempo. En el enfoque de la respuesta en frecuencia.9 2 7. por lo general lo más importante es el desempeño de la respuesta transitoria.0020 Se observa que el compensador diseñado no altera notablemente la respuesta del sistema. la frecuencia de resonancia y el ancho de banda. Midwar E. Ing. mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia. que aportan la precisión en estado estable.9 2 7. Reajustamos el valor de K C utilizando la condición del módulo 241K C 2.DISEÑO DE CONTROLADORES 48 7. Es decir.12 2. especificamos el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta. la frecuencia de cruce de ganancia. de una entrada y una salida.9 2 241 1 K C 1. El diseño de un sistema de control.12 2. Valencia Vilca . el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia. que ofrecen una estimación a grandes rasgos de la velocidad de la respuesta transitoria y las constantes de error estático. DISEÑO DE CONTROLADORES 49 Aunque la correlación entre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia es indirecta. La gráfica de la respuesta en frecuencia indica en forma clara la manera en la que debe modificarse el sistema. cuando se trabaja con ruido de frecuencia alta. por lo general las características dinámicas de dichos componentes se determinan en forma experimental a través de pruebas de respuesta en frecuencia. se intenta satisfacerlos. En cambio. El diseño en el dominio de la frecuencia es sencillo y directo. graficar las trazas de Bode completas es sencillo. esto toma tiempo y. por ejemplo neumáticos o hidráulicos. Básicamente hay dos enfoques de diseño en el dominio de la frecuencia. la curva de magnitud se mueve hacia arriba o hacía abajo sin que se modifique la pendiente de la curva. De no ser así. Ing. En un procedimiento común de las trazas de Bode. Debido a la dificultad de obtener las ecuaciones que controlan ciertos componentes. Asimismo. aunque no sea posible hacer una predicción cuantitativa exacta de las características de la respuesta transitoria. Por último. Cuando se añade un compensador. Observe también que. Por tanto. El enfoque de la respuesta en frecuencia se aplica a los sistemas o componentes cuyas características dinámicas están dadas en forma de datos de respuesta en frecuencia. primero se ajusta la ganancia en lazo abierto para cumplir el requerimiento sobre la precisión en estado estable. agregar las trazas de Bode del compensador a las trazas de Bode originales es muy simple y. A continuación se grafican las curvas de magnitud y fase en el lazo abierto sin compensar (con la ganancia en lazo abierto recién ajustada). encontramos que el enfoque de la respuesta en frecuencia es más conveniente que otros. es mejor trabajar con las trazas de Bode. por tanto. Deben verificarse las características de la respuesta transitoria para saber si el sistema diseñado satisface los requerimientos en el dominio del tiempo. se determinan los polos y los ceros en lazo cerrado. las especificaciones en el dominio de la frecuencia se cumplen adecuadamente en el enfoque de las trazas de Bode. Después de diseñar el lazo abierto mediante el método de la respuesta en frecuencia. y la curva de fase no cambia. por tanto. Si no se satisfacen las especificaciones del margen de fase y del margen de ganancia. si se debe cumplir con otros requerimientos. la traza polar no conserva su forma original. Valencia Vilca . Midwar E. Uno es el enfoque de la traza polar y el otro es el enfoque de las trazas de Bode. no es conveniente. a menos que algunos contradigan a los otros. debe modificarse el compensador y luego repetirse el análisis hasta obtener un resultado satisfactorio. si varía la ganancia en lazo abierto. para propósitos de diseño. Las gráficas de respuesta en frecuencia obtenidas experimentalmente se combinan con facilidad con otras gráficas obtenidas del mismo modo cuando se usa el enfoque de las trazas de Bode. por lo que es necesario dibujar una nueva traza polar. se determina un compensador conveniente que vuelva a dar forma a la función de transferencia en lazo abierto. La ganancia en la región de frecuencia baja debe ser suficientemente grande y cerca de la frecuencia de cruce de ganancia. la ganancia debe atenuarse lo más rápido posible a fin de reducir los efectos del ruido.DISEÑO DE CONTROLADORES 50 3. la compensación es. la compensación de atraso produce un mejoramiento notable en la precisión en estado estable a costa de aumentar el tiempo de respuesta transitoria. Para obtener un valor alto de la constante de error de velocidad. o los ceros. y aún así una estabilidad relativa satisfactoria. La compensación de atraso-adelanto combina las características de la compensación de adelanto con las de la compensación de atraso. del compensador de atrasoadelanto y el polo. La siguiente figura contiene algunos ejemplos de las curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto y en lazo cerrado deseable y no deseable. en esencia. Suprime los efectos de las señales de ruido a altas frecuencias. es necesario volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto. de atraso y de atraso-adelanto. en esencia.1 Ejemplos de gráficas de respuesta en frecuencia deseables y no deseables 3. lo cual significa que el sistema se vuelve más complejo y que es más difícil controlar el comportamiento de la respuesta transitoria. El uso de un compensador de atraso-adelanto eleva el orden del sistema en 2 (a menos que haya una cancelación entre el cero. La situación en particular determina el tipo de compensación que debe usarse. un compromiso entre la precisión en estado estable y la estabilidad relativa. Por su parte. Ing. Esta pendiente debe extenderse sobre una banda de frecuencia suficientemente amplia para asegurar un margen de fase adecuado. en muchos casos prácticos. Valencia Vilca . Figura 3. de la función de transferencia en lazo abierto no compensada). un mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable. Midwar E. La compensación de adelanto produce. o los polos.2 Características de la compensación de adelanto. la pendiente de la curva de magnitud logarítmica en las trazas de Bode debe ser de -20 dB/década. El uso de un compensador de atraso o de adelanto aumenta el orden del sistema en 1 (a menos que haya una cancelación entre el cero del compensador y un polo de la función de transferencia en lazo abierto no compensada).1 Requerimientos de la respuesta en frecuencia Se puede decir que. Puede acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia. Para la región de frecuencia alta. Consideremos un compensador de adelanto que tiene la función de transferencia siguiente: Ts 1 GC ( s) K C . para un valor pequeño de α.2 Diagrama polar de un compensador de adelanto Para un valor determinado de α el ángulo entre el eje real positivo y la línea tangente al semicírculo dibujada desde el origen proporciona el ángulo de adelanto de fase máximo m . (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce el compensador es de alrededor de 65º) La siguiente figura muestra la traza polar del compensador de adelanto de fase. La siguiente figura muestra las trazas de Bode de un compensador de adelanto cuando KC = 1 y α = 0. para K C 1 . Luego se presentará una técnica de diseño para el compensador de adelanto mediante el uso de los diagramas de Bode. Dado que 0<α<1. T T Ing.1. KC Ts 1 1 T 1 s T s Con 0 1 Tiene un cero en s = -1/T y un polo en s = -1/αT. el valor mínimo de α se ubica cerca de 0. el ángulo de fase en m es m en donde 1 1 sen 2 1 1 2 La ecuación anterior relaciona el ángulo de adelanto de fase máximo con el valor de α. Llamaremos m a la frecuencia en el punto tangente. Figura 3. Por lo general.05.DISEÑO DE CONTROLADORES 51 3. el polo se localiza lejos hacia la izquierda. Valencia Vilca . El valor mínimo de α está limitado por la construcción física del compensador de adelanto. Las frecuencias de corte para el compensador de adelanto son 1 / T y 1 10 . Observe que. En la figura anterior.3 Diseño por adelanto de fase Primero examinaremos las características en frecuencia del compensador de adelanto. vemos que el cero siempre se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. Midwar E. KC 1 Ts 1 s T s Con 0 1 Se define K K C La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es G C ( s )G ( s ) K Ts 1 Ts 1 Ts 1 G ( s) KG ( s ) G1 ( s ) Ts 1 Ts 1 Ts 1 Donde G1 ( s ) KG ( s ) 2. Supongamos el siguiente compensador de adelanto: 1 Ts 1 T GC ( s) K C . Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. pero se atenúan las frecuencias bajas). Valencia Vilca . log m 1 1 1 log log De donde m 2 T T 1 T Según las trazas de Bode. (Pasan las frecuencias altas.3 Diagrama de Bode de un compensador de adelanto En la figura anterior. Ing. Con esta ganancia K.DISEÑO DE CONTROLADORES 52 Figura 3. el compensador de adelanto es básicamente un filtro pasa-altas.1 Procedimiento en el diseño por adelanto de fase La función principal del compensador de adelanto es volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo. El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia es el siguiente: 1. 3. Midwar E.3. trace el diagrama de Bode en lazo abierto de G1 ( s ) y calcule el margen de fase. vemos que m es la media geométrica de las dos frecuencias de corte. 3. Valencia Vilca . Determinar las frecuencias de corte del compensador de adelanto Cero del compensador: 1 T Polo del compensador: 1 T 8. 5. repetir el proceso de diseño modificando la ubicación de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio. KC Ts 1 1 T 1 s T s El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto G C ( s )G ( s ) 4K Donde G1 ( s ) KG ( s ) s ( s 2) con K K C Ing. Calcular α de sen 1 sen 1 1 sen 1 1 6. Para el sistema que se muestra. El compensador de adelanto tiene la siguiente función de transferencia Ts 1 G C ( s ) K C . Determine el ángulo de fase m necesario a agregar al sistema añadiendo entre 5º y 12º adicionales para compensar el corrimiento de frecuencia debido al compensador. Ejemplo de diseño 1.DISEÑO DE CONTROLADORES 53 4. De no ser así. Esta 1 T 7. Obtener K C K 9. Midwar E. diseñar un compensador de tal manera que: a) Constante de error estático de velocidad K V 20s 1 b) Margen de fase sea al menos de 50º c) Margen de ganancia al menos de 10 dB Desarrollo: 1. Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a 20 log será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Verificar el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Esta frecuencia es m . Determinamos la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de 1 velocidad K V 20 s K V lim sG C ( s )G ( s ) lim s s 0 s 0 Ts 1 4K G1 ( s ) s 2 K 20 Ts 1 s ( s 2) De donde K 10 40 3. Midwar E.24 1 sen 1 6.DISEÑO DE CONTROLADORES 54 2. Ing. Calculamos 20 log 6. Calculamos α en 1 sen 0. Obtenemos m (50 0 18 0 ) 6 0 38 0 5. Con K 10 trazamos el diagrama de Bode para G1 ( s ) s ( s 2) 4.2dB . Valencia Vilca . 4) Dibujamos el diagrama de bode del sistema compensado Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 50. el sistema compensado cumple con los requerimientos de diseño. Midwar E.4 T 0. respectivamente. El compensador será 0.41) ( s 18.7( s 4. Obtenemos K C 10 41.24 GC ( s ) 41.24 8.2dB corresponde m 9rad / seg .7 .5º y ∞ dB. 7. Determinamos el polo y el cero del compensador 1 9 0. Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. diseñar un compensador de tal manera que: a) Constante de error estático de velocidad K V 20s 1 b) Margen de fase sea al menos de 50º Ing.41 18.DISEÑO DE CONTROLADORES 55 Para G1 ( j m ) 6. Ejemplo de diseño 2.41 1 T m m T 1 4. Por lo tanto. Para el sistema que se muestra. Valencia Vilca .24 4. Calculamos α en 1 sen 0.2 0 5. Midwar E. El compensador de adelanto tiene la siguiente función de transferencia 1 Ts 1 T GC ( s) K C . KC 1 Ts 1 s T s El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto G C ( s )G ( s ) 2K Donde G1 ( s ) KG ( s ) s ( s 1) con K K C 2. Valencia Vilca . Obtenemos m (50 0 12.DISEÑO DE CONTROLADORES 56 c) Margen de ganancia al menos de 10 dB Desarrollo: 1. Determinamos la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad K V 20s 1 K V lim sG C ( s )G ( s ) lim s s0 s0 Ts 1 2K G1 ( s ) s 2 K 20 Ts 1 s ( s 1) De donde K 10 20 3. Con K 10 trazamos el diagrama de Bode para G1 ( s ) s ( s 1) 4.196 1 sen Ing.8 0 ) 5 0 42. 7. Calculamos 20 log 7.68rad / seg .196 8.92 .96) ( s 15. Midwar E. Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia.07 T 0.96 1 T m T 1 2.07) s ( s 10) Dibujamos el diagrama de bode del sistema compensado Ing. Para G1 ( j m ) 7.069dB .DISEÑO DE CONTROLADORES 57 1 6. Valencia Vilca .92( s 2.96) ( s 15.196 GC ( s ) GC ( s ) 50.07) 50.196 2. Obtenemos K C 10 50.92( s 2.069dB corresponde m 6.68 0. El compensador será 0.96 15. Determinamos el polo y el cero del compensador 1 m 6. DISEÑO DE CONTROLADORES 58 Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 50. diseñar un compensador de tal manera que: 1 a) Constante de error estático de velocidad K V 20 s b) Margen de fase sea al menos de 75º c) Margen de ganancia al menos de 10 dB Desarrollo: 1. Para el sistema que se muestra. Valencia Vilca . Determinamos la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad K V 20s 1 Ing. El compensador de adelanto tiene la siguiente función de transferencia Ts 1 GC ( s) K C . respectivamente. KC Ts 1 1 T 1 s T s El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto G C ( s )G ( s ) 1K Donde G1 ( s ) KG ( s ) s ( s 10) con K K C 2. Ejemplo de diseño 3. Por lo tanto.7º y ∞ dB. Midwar E. el sistema compensado cumple con los requerimientos de diseño. Ing.2 1 sen 1 6.DISEÑO DE CONTROLADORES 59 K V lim sGC ( s )G ( s ) lim s s 0 s 0 Ts 1 K K G1 ( s ) s 20 Ts 1 s ( s 10) 10 De donde K 200 200 3.2dB corresponde m 20rad / seg . Para G1 ( j m ) 7. Obtenemos m (75 0 38. Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Calculamos 20 log 7 dB . Valencia Vilca . Con K 200 trazamos el diagrama de Bode para G1 ( s ) s ( s 10) 4.7 0 ) 6 0 42 0 5. Midwar E. Calculamos α en 1 sen 0. DISEÑO DE CONTROLADORES 60 7. Determinamos el polo y el cero del compensador 1 20 0.3º y ∞ dB.5) 1000( s 8. 0 0 0 0 4.2 8. Obtenemos K C 200 1000 .9) ( s 44. Volvemos a diseñar a partir del paso 4.2 8. respectivamente. Por lo tanto.9) ( s 44.9 44. El compensador será 0. el sistema compensado no cumple con los requerimientos de diseño.5 T 0.9 1 T m m T 1 8.5) s ( s 10) Dibujamos el diagrama de bode del sistema compensado Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 68.7 ) 12 48 Ing. por lo que debemos volver a diseñar.2 GC ( s ) GC ( s ) 1000( s 8. Obtenemos m (75 38. Midwar E. Valencia Vilca . 3 . Obtenemos K C 200 1333. El compensador será 0.7707 T 0.DISEÑO DE CONTROLADORES 61 5.3656) ( s 55.3( s 8. Determinamos el polo y el cero del compensador 1 m 21. Midwar E.3656 1 T m T 1 8.3( s 8.54dB corresponde m 22rad / seg .7707) 1333.14 8.15 GC ( s ) GC ( s ) 1333.3656) ( s 55.24dB . Calculamos 20 log 8.15 1 sen 1 6. Para G1 ( j m ) 8. Calculamos α en 1 sen 0.7707) s ( s 10) Dibujamos el diagrama de bode del sistema compensado Ing. Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia.6 0. 7.9 55. Valencia Vilca .15 8. 4 Diagrama polar de un compensador de atraso La siguiente figura muestra las trazas de Bode del mismo.4 Diseño por atraso de fase Primero analizaremos la traza de Nyquist y las trazas de Bode del compensador de atraso. Las frecuencias de corte del compensador de atraso están en 1 / T y 1 / T . un compensador de atraso tiene un cero en s 1 / T y un polo en s 1 /( T ) . Valencia Vilca . KC Ts 1 1 T 1 s T s Con 1 En el plano complejo.4º y ∞ dB. 3. Como se observa en la siguiente figura. los valores de K C y se hacen igual a 1 y 10. en donde K C 1 y 10 . Figura 3. la magnitud del compensador de atraso se Ing. respectivamente. el sistema compensado no cumple con los requerimientos de diseño.DISEÑO DE CONTROLADORES 62 Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 72. respectivamente. La siguiente figura muestra la traza polar del compensador de atraso. Consideremos un compensador de atraso que tiene la siguiente función de transferencia: Ts 1 GC ( s ) K C . por lo que debemos volver a diseñar. Por lo tanto. Luego se presentara las técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque de la respuesta en frecuencia. Midwar E. El polo está a la derecha del cero. Con esta ganancia K. KC Ts 1 1 T 1 s T s Con 1 Se define K K C La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es GC ( s )G ( s ) K Ts 1 Ts 1 Ts 1 G ( s) KG ( s ) G1 ( s ) Ts 1 Ts 1 Ts 1 Donde G1 ( s ) KG ( s ) 2.) Esta frecuencia será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto. trace el diagrama de Bode en lazo abierto de G1 ( s ) y calcule el margen de fase. y 1 (o 0 dB) en frecuencias altas. Si el sistema no compensado G1 ( j ) no satisface las especificaciones en los márgenes de fase y de ganancia. el compensador de atraso es esencialmente un filtro de pasa-bajas.DISEÑO DE CONTROLADORES 63 vuelve 10 (o 20 dB) en frecuencias bajas. Ing. encuentre el punto de frecuencia en el cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a – 180º más el margen de fase requerido sumándole un ángulo entre 5º y 12º (la adición de entre 5º y 12º compensa el atraso de fase del compensador de atraso. Figura 3. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. Valencia Vilca . 4. El procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia es el siguiente: 1.1 Procedimiento en el diseño por atraso de fase La función principal de un compensador de atraso es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. Midwar E.4.5 Diagrama de Bode de un compensador de atraso 3. 3. Supongamos el siguiente compensador de adelanto: Ts 1 GC ( s ) K C . diseñar un compensador de tal manera que: a) Constante de error estático de velocidad K V 20 s 1 b) Margen de fase sea al menos de 50º c) Margen de ganancia al menos de 10 dB Desarrollo: 1. el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto. K 7. Valencia Vilca . Determinamos la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad K V 20s 1 K V lim sGC ( s )G ( s ) lim s s 0 s 0 Ts 1 2K G1 ( s ) s 2 K 20 Ts 1 s ( s 1) De donde K 10 Ing. Considerando que esta atenuación es de 20 log . Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase producido por el compensador de atraso. determine el valor de . seleccione la frecuencia de corte (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Determine la atenuación necesaria para disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.DISEÑO DE CONTROLADORES 64 5. 6. KC Ts 1 1 T 1 s T s El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto G C ( s )G ( s ) 2K Donde G1 ( s ) KG ( s ) s ( s 1) con K K C 2. Luego se obtiene la otra frecuencia de corte (que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de 1 / T . Usando el valor de K y de se determina el valor de K C Ejemplo de diseño 1. Para el sistema que se muestra. Midwar E. El compensador de atraso tiene la siguiente función de transferencia Ts 1 GC ( s ) K C . 1 T 6.DISEÑO DE CONTROLADORES 65 20 3. Con K 10 trazamos el diagrama de Bode para G1 ( s ) s ( s 2) 4. Como la frecuencia de corte 1/T debe estar entre una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia escogemos 1 0.571rad / seg 5. Del diagrama de Bode encontramos la magnitud en la nueva frecuencia de cruce de ganancia Ing. tenemos que encontrar la frecuencia en el cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea: (180 0 50 0 ) 10 0 120 0 La nueva frecuencia de cruce de ganancia será: 0. Valencia Vilca . Midwar E. Como el sistema no satisface las especificaciones. 6 20 30.6 10 29.1) ( s 0. entonces el compensador de atraso deberá cumplir que: 20 log 29.6 dB. Valencia Vilca .2 GC ( s ) 0.33 .0033) Dibujamos el diagrama de bode del sistema compensado Ing.2 1 Conociendo T y calculamos el valor del polo T 0. Obtenemos K C 10 0.DISEÑO DE CONTROLADORES 66 A esta frecuencia se tiene una magnitud de 29. El compensador diseñado será 30.33( s 0.0033 7. Midwar E. Para el sistema que se muestra.DISEÑO DE CONTROLADORES 67 Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 50. Determinamos la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de 1 velocidad K V 4 s Ing. KC Ts 1 1 T 1 s T s El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto G C ( s )G ( s ) 80 K Donde G1 ( s ) KG ( s ) s ( s 4)( s 10) con K K C 2. Por lo tanto.4º y ∞ dB. diseñar un compensador de tal manera que: a) Constante de error estático de velocidad K V 4 s 1 b) Margen de fase sea al menos de 40º c) Margen de ganancia al menos de 12 dB Desarrollo: 1. Midwar E. Valencia Vilca . respectivamente. Ejemplo de diseño 2. el sistema compensado cumple con los requerimientos de diseño. El compensador de atraso tiene la siguiente función de transferencia Ts 1 GC ( s ) K C . Como el sistema no satisface las especificaciones. Midwar E. Con K 2 trazamos el diagrama de Bode para G1 ( s ) s ( s 4)( s 10) 4. tenemos que encontrar la frecuencia en el cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea: (180 0 40 0 ) 10 0 130 0 La nueva frecuencia de cruce de ganancia será: 2. Valencia Vilca .1rad / seg Ing.DISEÑO DE CONTROLADORES 68 K V lim sGC ( s )G ( s ) lim s s 0 s 0 Ts 1 80 K G1 ( s ) s 2K 4 Ts 1 s ( s 4)( s 10) De donde K 2 160 3. 63 1 Conociendo T y calculamos el valor del polo T 0.33 dB. Como la frecuencia de corte 1/T debe estar entre una década y una octava por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia escogemos 1 0.33 20 1.4) ( s 0.2454) Dibujamos el diagrama de bode del sistema compensado Ing. Obtenemos K C 2 1. Valencia Vilca .33 10 4. entonces el compensador de atraso deberá cumplir que: 20 log 4. El compensador diseñado será 1. Del diagrama de Bode encontramos la magnitud en la nueva frecuencia de cruce de ganancia A esta frecuencia se tiene una magnitud de 4. Midwar E.63 GC ( s ) 1.2454 7.4 T 6.227 .227( s 0.DISEÑO DE CONTROLADORES 69 5. 7º y 14. 3. Valencia Vilca . Por lo tanto. s T1 1 T2 1 s T2 s Donde 1 y 1 El siguiente término produce el efecto de una red de adelanto 1 s T1 1 T1 s 1 . Midwar E. 1 s T2 T2 s 1 T s 1 2 1 Ing. T1 s 1 s T1 1 y el siguiente término produce el efecto de una red de atraso. Consideremos el compensador de atraso-adelanto obtenido mediante 1 s T1 GC ( s ) K C . 1 s T2 .DISEÑO DE CONTROLADORES 70 Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 45. Después presentaremos la técnica de compensación de atraso-adelanto basada en el enfoque de la respuesta en frecuencia. el sistema compensado cumple con los requerimientos de diseño.5 Diseño por atraso-adelanto de fase Primero examinaremos las características de respuesta del compensador de atraso-adelanto.6 dB. respectivamente. Figura 3.) A continuación. (Esto. La traza polar del compensador de atraso-adelanto con K C 1 y se muestra en la figura siguiente. por supuesto. Figura 3. ya que podemos elegir . no es necesario. Se observa que la curva de magnitud tiene un valor de 0 dB en las regiones de frecuencia alta y baja. Midwar E.7 Diagrama de Bode de un compensador de atraso-adelanto El diseño de un compensador de atraso-adelanto mediante el enfoque de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la compensación de atraso. el compensador funciona como un compensador de adelanto. Valencia Vilca . Se obtiene mediante: 1 1 T1T2 La siguiente figura muestra el diagrama de Bode del compensador de atraso-adelanto cuando K C 1 y 10 y T2 10T1 . Supongamos que el compensador de atraso-adelanto tiene la forma siguiente: Ing.6 Diagrama polar de un compensador de atraso-adelanto Observe que. es común seleccionar .DISEÑO DE CONTROLADORES 71 Al diseñar un compensador de atraso-adelanto. para 0 1 . considere el caso en el que . La frecuencia 1 es aquella en la cual el ángulo de fase es cero. por tanto. 6. Midwar E. 1 1 1 1 7. 3. T1 s 1 T s 1 . El procedimiento de diseño de un compensador de atraso-adelanto es el siguiente: 1. Calcular z1 y p1 como las intersecciones de una línea de 2º dB/dec con la línea de 0 dB y -20 dB que pasa por c . 5. Determine el ángulo de fase m necesario a agregar al sistema añadiendo entre 5º y 12º adicionales para compensar el corrimiento de frecuencia debido al compensador. Localizar c donde la gráfica de fase del diagrama de bode sea de -180º. Supongamos el siguiente compensador de adelanto: T s 1 GC ( s ) K C . permite un incremento de la ganancia en el rango de frecuencias bajas a fin de mejorar el desempeño en estado estable. Calcular p 2 (polo) de T 9. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto (la parte que contiene T1 ) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. G ( j c 10. Ing. Con esta ganancia K. Seleccionar z 2 (cero) entre una octava y una década por debajo de c . 2 T s 1 2 1 T2 1 s T2 s Donde 1 . 4. 1 T1 s 1 T2 s 1 . Valencia Vilca . De no ser así.DISEÑO DE CONTROLADORES 72 1 s T1 K C . Determine la ganancia KC que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático solicitado. Calcular de sen 1 1 1 1 1 sen 1 sen 1 8. T2 s 1 2. trace el diagrama de Bode en lazo abierto de KG (s ) . La parte de atraso de fase (la parte que contiene T2 ) proporciona una atenuación cercana y por arriba de la frecuencia de cruce de ganancia y. Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. s T1 T1 s 1 GC ( s) K C . Verificar el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. repetir el proceso de diseño modificando la ubicación de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio. T2 s 1 Dado que la ganancia K de la planta es ajustable. Para el sistema que se muestra.DISEÑO DE CONTROLADORES 73 Ejemplo de diseño 1. 1 T1 s 1 T2 s 1 . Determinamos la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de 1 velocidad K V 10 s K V lim sG C ( s )G ( s ) lim sG C ( s ) s 0 s 0 K K 10 s ( s 1)( s 2) 2 De donde K 20 20 3. Midwar E. El compensador de atraso-adelanto tiene la siguiente función de transferencia T s 1 GC ( s ) K C . Con K 20 trazamos el diagrama de Bode para G ( s ) s ( s 1)(s 2) Se observa que el sistema es inestable. suponemos que K C 1 . Ing. diseñar un compensador de tal manera que: a) Constante de error estático de velocidad K V 10 s 1 b) Margen de fase sea de 50º c) Margen de ganancia de 10 dB Desarrollo: 1. Valencia Vilca . 2. 4rad / seg .4 rad/seg). c 1. la nueva frecuencia de cruce de ganancia es la que se busca. Por lo tanto. La función de transferencia de la parte de adelanto del compensador de atraso-adelanto es: s 0.4) 10.14 0. Seleccionar z 2 (cero) entre una octava y una década por debajo de c . A partir de este requerimiento es posible dibujar una recta de pendiente 20 dB/dec que pase por el punto (-10.47 s 4.47 s 0. Midwar E. Calculamos de 8.14 s 0.14rad / seg 10 6. s 0.67 s 0. Por lo tanto si el compensador de atraso-adelanto contribuye con -10. G ( j c Como la nueva frecuencia de cruce de ganancia es c 1.67 Si combinamos las funciones de transferencia de las partes de atraso y de adelanto del compensador. Calculamos p 2 1 sen 10 1 sen 1 0.46 dB en c 1.46 dB.014rad / seg T2 10 La función de transferencia de la parte de atraso de fase del compensador de atraso-adelanto es: s 0.67 y z1 0. Calcular z1 y p1 como las intersecciones de una línea de 20 dB/dec con la línea de 0 dB y -20 dB que pasa por c . las frecuencias de corte para la parte de adelanto son p1 4. Las intersecciones de esta línea y la línea o dB con la línea -20 dB determinan las frecuencias de corte.14 GC ( s )G ( s ) 20 s 4. 1. Valencia Vilca .014 s ( s 1)( s 2) Ing.4rad / seg 5.14 s 4. 1 s 0.4rad / seg . observando el diagrama de Bode G ( j1.014 9.47 s 0. z2 c 0.47 . Determinamos el ángulo de fase m m 50 0 5 0 55 0 7.DISEÑO DE CONTROLADORES 74 4. obtenemos la función de transferencia del compensador de atraso-adelanto. Localizamos c donde la gráfica de fase del diagrama de bode es de -180º.46dB .67 s 0.014 GC (s) La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es. Esta será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. la compensación de atraso y la compensación de adelanto pueden satisfacer las especificaciones. dado que éste hace al sistema más susceptible a las señales de ruido. de adelanto y de atraso-adelanto 1. La compensación de atraso reduce la ganancia del sistema en las frecuencias más altas sin reducirla en las frecuencias mas bajas. Una ganancia mayor casi siempre implica un mayor espacio. si se desea un ancho de banda grande o una respuesta rápida.3 dB. (En algunos problemas de diseño. éste responde a una velocidad Ing. Un ancho de banda grande significa una reducción en el tiempo de asentamiento.6 Comparación de las compensaciones de atraso.75 DISEÑO DE CONTROLADORES Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de 48. debido al incremento en la ganancia de frecuencia alta. Midwar E. El ancho de banda de un sistema con compensación de adelanto siempre es mayor que la de otro con compensación de atraso. 3. Dado que el ancho de banda del sistema se reduce. La compensación de adelanto produce una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la compensación de atraso.8º y 12. 3. La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de la fase. Esto significa que la compensación de adelanto requiere de una ganancia mayor que la que requiere la compensación de atraso. debe emplearse la compensación de adelanto. La compensación de adelanto suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad. La compensación de adelanto requiere de un incremento adicional en la ganancia a fin de compensar la atenuación inherente a la red de adelanto. si hay señales de ruido presentes. Por tanto. mayor peso y un costo más alto. el sistema compensado cumple con los requerimientos de diseño. La frecuencia de cruce de ganancia más alta significa un mayor ancho de banda. respectivamente. 4. Sin embargo. Valencia Vilca .) 2. tal vez no sea conveniente un ancho de banda grande. Por lo tanto. en tanto que la compensación de atraso logra el resultado a través de su propiedad de atenuación en frecuencias altas. DISEÑO DE CONTROLADORES 76 más lenta. Figura 4. 5. tampoco es posible un enfoque analítico para el diseño de un controlador PID. la ganancia total del sistema se incrementa y. Capítulo IV DISEÑO DE CONTROLADORES PID En la siguiente figura se muestra el control PID de una planta. Valencia Vilca . Asimismo. Ing. Debido a la ganancia reducida en la frecuencia alta. deben emplearse diferentes compensadores con distintas configuraciones de polos y ceros.1. Si se desean respuestas rápidas y suficiente precisión estática. En este caso. Circuito eléctrico. una compensación simple mediante estos compensadores tal vez no produzca resultados satisfactorios. por tanto. debemos recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID. de atraso o de atraso-adelanto se realiza una mayor cantidad de tareas prácticas de compensación. Aunque con los compensadores de adelanto. es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. si la planta es tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático. se usa un compensador de atraso-adelanto. Sin embargo. Si se puede obtener un modelo matemático de la planta. también se incrementa la ganancia de frecuencia baja y mejora la precisión en estado estable. 6. al mismo tiempo. Midwar E. En este caso. se incrementa el ancho de banda y los márgenes de estabilidad del sistema. Éste incrementa la ganancia de frecuencias bajas (lo cual significa un mejoramiento en la precisión en estado estable) y. para los sistemas complicados. los ruidos de frecuencia alta implícitos en el sistema se atenúan. 1. Figura 4. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o de la sintonización de los controles PID la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta. Valencia Vilca . (Por supuesto. Midwar E. Figura 4. En el primer método. Existen dos métodos denominados reglas de sintonización de Ziegler-Nichols.2 Primer método.DISEÑO DE CONTROLADORES 77 El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp. Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID. son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de las plantas. la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental.) 4. del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td. como se observa en la siguiente figura. Las reglas de Ziegler-Nichols. estas reglas se aplican al diseño de sistemas con modelos matemáticos conocidos. con base en las características de respuesta transitoria de una planta específica. que se presentan a continuación. Ing. tal como se muestra en la siguiente figura. Respuesta al escalón unitario de una Planta.2.3. En ambos se pretende obtener un 25% de sobrepaso máximo en la respuesta escalón. Ziegler y Nichols sugirieron más reglas para sintonizar los controladores PID (lo cual significa establecer valores Kp. Ti y Td) con base en las respuestas escalón experimentales o basadas en el valor de Kp que se produce en la estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de control proporcional. Curva de respuesta escalón unitario que muestra un sobrepaso máximo de 25 % 4. Valencia Vilca . Curva de respuesta con forma de S En este caso. Figura 4. La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla: Reemplazando en la función de transferencia del controlador PID se obtiene: GC ( s ) K p (1 1 Td s ) Ti s Ing. como se observa en la figura anterior. Midwar E. (Si la respuesta no presenta una curva con forma de S.DISEÑO DE CONTROLADORES 78 Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea c(t) = K. la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S.4.) Tales curvas de respuesta escalón se generan experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta. la función de transferencia C(s)lU(s) se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo siguiente: C (s) Ke Ls U (s) Ts 1 Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp. como se aprecia en la figura siguiente. este método no es pertinente. DISEÑO DE CONTROLADORES 79 GC ( s) 1.5.) Figura 4. no se aplica este método. Oscilación con periodo Pcr Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp. Figura 4.6T 1 L 2 s Por lo tanto. primero establecemos Ti = ∞ y Td = 0. 4. En el segundo método.6. Usando sólo la acción de control proporcional (véase la figura siguiente). (Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp. el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -l/L. Midwar E. Valencia Vilca . la ganancia crítica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente tal como se ve en la siguiente figura.3 Segundo método. incremente Kp de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. Ing.Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente Tabla.2 T 1 (1 0.5 Ls ) L 2 Ls s GC ( s) 0. Sistema con controlador proporcional Por tanto. 125 Pcr s 0.DISEÑO DE CONTROLADORES 80 El controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols será: G C ( s ) K p (1 1 Td s ) Ti s 1 G C ( s ) 0. Comentarios. el controlador PID tiene un polo en el origen y cero doble en s = -4/Pcr.6 K cr 1 0. A continuación.5 Pcr s G C ( s ) 0. además de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols) Si se conoce la función de transferencia de la planta. las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se aplican a las plantas cuya dinámica se conoce. Valencia Vilca . se calcula la respuesta escalón unitario o la ganancia crítica Kcr. Midwar E. se han usado ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisión la dinámica de la planta. y el periodo crítico Pcr. Por supuesto. no se aplica el primer método. para aquellas plantas con una dinámica complicada y sin integradores. Sin embargo. la respuesta se incrementa con el tiempo. Tales reglas de sintonización han demostrado ser muy útiles durante muchos años. considere el caso siguiente: suponga que un sistema de control con realimentación unitaria tiene una planta cuya función de transferencia es G ( s) s 2 s 3 s s 1 s 5 Debido a la presencia de un integrador. si la planta tiene un integrador. es posible determinar los parámetros Kp. Sin embargo. Esto se aprecia a partir del siguiente análisis. sin importar el valor que pueda tomar la ganancia Kp. la utilidad real de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols (y otras) se vuelve evidente cuando no se conoce la dinámica de la planta. En general. más bien. Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols y otras reglas de sintonización. si se intenta el segundo método.075 K cr Pcr s 4 Pcr 2 s Por tanto. en algunos casos estas reglas no son pertinentes. La respuesta escalón de esta planta no tendrá una curva de respuesta con forma de S. por lo que no se cuenta con enfoques analíticos o gráficos para el diseño de controladores. Asimismo. el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no presentara oscilaciones sostenidas. Para ilustrar una situación en la que las reglas de Ziegler-Nichols no se aplican. (En estos casos. se cuenta con muchos enfoques analíticos y gráficos para el diseño de controladores PID. Ti y Td a partir de las tablas. empleando los valores calculados. se han aplicado las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Dado que la ecuación característica es s s 1 s 5 K p s 2 s 3 0 Acomodando la ecuación característica tenemos Ing. las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols proporcionan una conjetura razonada para los valores de los parámetros y ofrecen un punto inicial para una sintonización conveniente.DISEÑO DE CONTROLADORES 81 s 3 6 K p s 2 5 5K p s 6 K p 0 Utilizando el criterio de Routh. (Esto se comprende muy bien porque los valores sugeridos en las tablas anteriores se basan en el promedio. siempre es posible (en forma experimental o de otro modo) hacer una sintonización precisa para que el sistema en lazo cerrado exhiba respuestas transitorias satisfactorias. Estableciendo Ti = ∞ y Td = 0. diseñar un controlador PID. por tal motivo. se obtiene s3 s 2 s1 s0 1 5 5K p 6 Kp 30 29 K p 5 K p2 6K p 6 Kp 6K p 0 Los coeficientes de la primera columna son positivos para todos los valores de Kp positivos. obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado del modo siguiente: Ing. el sobrepaso máximo aproximado es de 25%. en el caso actual. no se aplica el segundo método. Midwar E. En promedio (experimentado en muchas plantas diferentes). luego obtenga una curva de respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado tiene un sobrepaso máximo aproximado de 25%. la planta con un controlador PID sintonizado mediante las reglas de Ziegler-Nichols exhibirá un sobrepaso máximo aproximado de 10% a 60% en la respuesta escalón. Ejemplo de diseño 1. De hecho. Para el sistema que se muestra. no existe el valor de ganancia crítica Kcr. el sistema en lazo cerrado no exhibirá oscilaciones sostenidas y. usamos el segundo método de las reglas de sintonización de ZieglerNichols. Si es posible aplicar en la planta las reglas de Ziegler-Nichols. Si el sobrepaso máximo es excesivo (40% o más).) En un caso específico. Valencia Vilca . si el sobrepaso máximo es excesivo. De esta forma. Por tanto. Desarrollo: Dado que la planta tiene un integrador. haga una sintonización fina y reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado de 25%. la ganancia crítica Kcr es 30. Ti. Por tanto. y Td. determinamos Kp. se obtiene 6(5 2 ) j (5 2 ) 0 a partir de lo cual encontramos que la frecuencia de la oscilación sostenida es 2 5 . K p 0. encontramos que ocurrirá una oscilación sostenida si Kp es 30. Midwar E. sustituimos s por jw en la ecuación característica. Dado que la ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es s 3 6 s 2 5s K p 0 El arreglo de Routh se convierte en s3 s 2 s1 1 5 6 30 K p Kp 6 Kp s0 Examinando los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh.8099 5 De acuerdo a la siguiente tabla.5 Pcr 1. el periodo de la oscilación sostenida es Pcr 2 2 2. la ecuación característica será s 3 6s 2 5s 30 0 Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida. del modo siguiente: ( j ) 3 6( j ) 2 5( j ) 30 0 Acomodando la ecuación característica.35124 Ing. Con la ganancia establecida igual a 30.405 Td 0.6 K cr 18 Ti 0.DISEÑO DE CONTROLADORES 82 Kp G( s) R ( s) s s 1 s 5 K p El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilación sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. Valencia Vilca . Así.125 Pcr 0. Valencia Vilca . Encontramos que conservando Kp = 18 y moviendo el cero doble del controlador PID a -0. el controlador PID será s 0.35124 s 1.65 1 GC ( s ) 18 1 0. el sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario se reduce a.077 s s 2 Ing.3223s 2 18s 12.3223 s 1. Midwar E.846 3. Respuesta al escalón unitario del sistema sin controlador PID El sobrepaso máximo en la respuesta escalón unitario es de aproximadamente 62%.4235. aproximadamente.3223s 2 18s 12.65.7.811 4 R( s ) s 6s 3 11. A continuación. la función de transferencia del controlador PID es 1 G C ( s ) K p 1 Td s Ti s 1 G C ( s ) 18 1 0.811 La respuesta escalón unitario de este sistema se muestra en la siguiente figura.DISEÑO DE CONTROLADORES 83 Por lo tanto. La siguiente figura contiene el diagrama de bloques del sistema de control con el controlador PID diseñado. Figura 4. Se reducen los parámetros del controlador mediante un sintonizado fino. 18% (véase la siguiente figura). examinemos la respuesta al escalón unitario del sistema. La cantidad sobrepaso máximo es excesiva. Dicha sintonización se hace en la computadora.4235 s 2 El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1.7692 s 13.405s GC (s) 6. La función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) se obtiene mediante G ( s) 6. Respuesta al escalón unitario del sistema con un controlador PID modificando a Kp=39. el controlador PID será s 0. el sobrepaso máximo está bastante cerca del 25% y la respuesta es más rápida por lo que consideramos aceptable G c(s) obtenida con los siguientes valores sintonizados de Kp. la velocidad de respuesta se incrementa. Respuesta al escalón unitario del sistema con un controlador PID diseñado mediante las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols (segundo método) Si la ganancia proporcional Kp se incrementa a 39. para el caso en el que el cero doble se ubica en s = . pero el valor del sobrepaso máximo también aumenta a aproximadamente 28%. Valencia Vilca . Ti y Td. Ing.42 Según la figura anterior. Es interesante observar que estos valores son de alrededor del doble de los valores sugeridos mediante el segundo método de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. pero. Dado que.9. Es importante señalar que. en lo que se refiere al sobrepaso máximo en porcentaje. sin modificar la ubicación del cero doble (s = . en este caso.077 s s 2 Figura 4.8.65).DISEÑO DE CONTROLADORES 84 Figura 4.322 3.7692 s 30. Lo que se debe señalar aquí es que las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols han aportado un punto inicial para la sintonización.0. Midwar E.42.42 1 0.4235. incrementar el valor de Kp aumenta la velocidad de respuesta.65 1 G C ( s ) 39.1. Figura 4. La razón de esto se observa a partir del análisis del lugar geométrico de raíces.10.11. Esto también se observa a partir del análisis del lugar geométrico de las raíces. variar el valor de K (de 6 a 30) no modifica mucho el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado. porque cambia mucho el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado. La figura siguiente muestra el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el sistema en el cual el controlador PID tiene un cero doble en s 0. Figura 4. Midwar E. La figura siguiente muestra el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el sistema diseñado mediante el segundo método de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Diagrama del Lugar Geométrico de Raíces del sistema con un controlador PID con un cero doble en 0. variar la ubicación del cero doble tiene un efecto significativo en el sobrepaso máximo.65 .85 DISEÑO DE CONTROLADORES variar la ganancia Kp tiene un efecto mínimo. Sin embargo.3 para un rango considerable de K. Valencia Vilca . Diagrama del Lugar Geométrico de Raíces del sistema con un controlador PID Dado que las ramificaciones dominantes de los lugares geométricos de las raíces están a lo largo de las líneas 0.65. Ing. 65 tienen un efecto considerable en la respuesta. Diagrama de Bloques Equivalente con un controlador PID básico En el sistema de control PID básico.35 j 4. Valencia Vilca . los polos en lazo cerrado en s 2. si la entrada de referencia es una función escalón.846. En este caso. en el caso en el que el sistema tiene la ganancia K = 30.4 Modificaciones de los Esquemas de Control PID Considere el sistema de control PID básico de la siguiente figura.82 funcionan como polos dominantes.12.35 j 2. 4. Dos polos adicionales en lazo cerrado están muy cerca del cero doble en s 0.62 no son realmente dominantes. en el cual el sistema está sujeto a perturbaciones y ruido. (Para este último. Este cambio hace posible modificar el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado. Figura 4. Sistema con un controlador PID básico La figura siguiente es un diagrama de bloques modificados del mismo sistema. el sobrepaso máximo en la respuesta escalón (18%) es mucho más grande que en el caso del sistema de segundo orden que tiene sólo polos dominantes en lazo cerrado. El par de polos dominantes en lazo cerrado determina realmente la naturaleza de las respuestas. debido a la presencia del término derivativo en la acción de control. el sobrepaso máximo en la respuesta escalón sería de aproximadamente 6%). En la figura anterior. Figura 4. Midwar E. Por otra parte. los polos en lazo cerrado en s 2. como el de la figura anterior.DISEÑO DE CONTROLADORES 86 Se observa un cambio en la configuración del lugar geométrico de las raíces. se observa que. cuando el sistema tiene K = 13.13.65 . por lo que estos polos en lazo cerrado y el cero doble casi se cancelan uno al otro. porque los otros dos polos en lazo cerrado cerca del cero doble en s 0.322. la variable manipulada u(t) Ing. en ausencia de perturbaciones y ruido. a fin de que la diferenciación ocurra únicamente en la señal de realimentación y no en la señal de referencia. La siguiente figura muestra un sistema con un control PI-D.DISEÑO DE CONTROLADORES 87 contendrá una función impulso (una función delta). mediante K p G p (s) Y ( s) 1 1 Td s R(s) Ti s 1 1 1 T s K G ( s ) d p p Ti s Y K p G p ( s) Y (s) 1 1 R( s ) Ti s 1 1 1 Td s K p G p ( s ) Ti s Es importante señalar que. se aplica la acción derivativa sólo en la trayectoria de realimentación. se observa que la señal manipulada U(s) se obtiene mediante 1 1 R( s ) K p 1 U ( s ) K p 1 Td s B ( s ) Ti s Ti s Se observe que.14. cuando la entrada de referencia es una función escalón. la función de transferencia en lazo cerrado entre la perturbación D(s) y la salida Y(s) es igual en cualquier caso y se obtiene mediante Ing. Sistema con un controlador PI-D A partir de la figura anterior. en ausencia de la entrada de referencia y el ruido. El esquema de control ordenado de esta forma se denomina control PI-D. Para evitar el fenómeno de la reacción del punto de ajuste. la función de transferencia en lazo cerrado del sistema de control PID y el sistema de control PI-D se obtienen. respectivamente. sino que implicará una función de pulso aguda. Tal fenómeno se denomina reacción del punto de ajuste. en lugar del término derivativo puro Tds empleamos Td 1 Td s Donde el valor de está en algún punto alrededor de 0.1. Valencia Vilca . En un controlador PID real. Por tanto. la variable manipulada u(t) no contendrá una función impulso. Midwar E. Figura 4. puede convenir mover la acción proporcional y la acción derivativa a la trayectoria de realimentación. que se denomina control I-PD. Tanto el control PID como el control PI-D implican una función escalón en la seña1 manipulada. Ing. la función de transferencia en lazo cerrado entre la entrada de perturbación y la salida se obtiene mediante Y (s) D( s) G p ( s) 1 1 K p G p ( s ) 1 Td s Ti s Esta expresión es igual para el control PID y para el control PI-D. Por tanto. Por tanto. tal cambio escalón en la señal manipulada tal vez no sea conveniente. La siguiente figura muestra tal esquema de control. en el control I-PD es imperativo tener la acción de control integral para una operación adecuada del sistema de control. En muchas ocasiones. La seña1 manipulada se obtiene mediante U (s) K p 1 1 R ( s ) K p 1 Td s B ( s ) Ti s Ti s Se observa que la entrada de referencia R(s) sólo aparece en la parte de control integral. Midwar E. a fin de que estas acciones sólo afecten la seña1 de realimentación. La función de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R( s ) en ausencia de la entrada de perturbación y la entrada de ruido se obtiene mediante K p G p ( s) Y (s) 1 R ( s ) Ti s 1 1 K p G p ( s ) 1 Td s Ti s En ausencia de la entrada de referencia y las señales de ruido.DISEÑO DE CONTROLADORES 88 Y (s) D( s) G p ( s) 1 1 K p G p ( s ) 1 Td s Ti s Volvamos a considerar el caso en el que la entrada de referencia es una función escalón. Valencia Vilca . edición internacional.. Kuo (1996). Mexico: Prentice Hall.: Addison Wesley Iberoamericana Katsuhiko Ogata (1998). Saunders College Publishing. Sistemas de Control Automático.U. Chen. Gene F. Dinámica de Sistemas de Control. Addison-Wesley. tercera edición. "Analog & Digital Control System Design". Valencia Vilca . Benjamín C.DISEÑO DE CONTROLADORES 89 BIBLIOGRAFIA Richar C. Sistemas de Control en tiempo discreto. Mexico: Prentice Hall. J. David & Emami-Naeini. México: Thomson Learning Katsuhiko Ogata (2008). Chi-Tsong (1993). Franklin. E. 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