UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALESUSO DE CALC DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES TESIS PROFESIONAL QUE COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL TÍTULO DE: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA P R E S E N T A: CARLOS VERDUZCO RÍOS Chapingo, Texcoco, Estado de México, Noviembre de 2009 1 Esta tesis fue realizada por Carlos Verduzco Ríos, bajo la dirección del Dr. José Artemio Cadena Meneses. Fue revisada y aprobada por el siguiente Comité Revisor y Jurado Examinador, para obtener el título de Licenciado en Estadística. PRESIDENTE ______________________________________ Nombre y firma SECRETARIO ______________________________________ Nombre y firma VOCAL ______________________________________ Nombre y firma SUPLENTE ______________________________________ Nombre y firma SUPLENTE ______________________________________ Nombre y firma Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Noviembre de 2009 2 DEDICATORIA A MIS PADRES... Lorenzo y María Concepción Quienes con su apoyo, cariño, consejos y confianza me han otorgado las habilidades y capacidades que me permitirán, el día de mañana, enfrentar la vida con éxito. Eternamente agradecido, pues de ustedes recibí lo más valioso: El Don de la Vida y la mejor herencia: Mi Carrera Profesional. A MIS HERMANOS (AS) Y FAMILIARES... Gracias por el apoyo, consejos y confianza para seguir adelante en mi persona y mis estudios; y no teniendo otra forma de agradecerles, más que esforzándome por alcanzar el éxito, quiero que sientan que el objetivo logrado también es suyo. AGRADECIMIENTOS A mi alma mater la Universidad Autónoma Chapingo por brindarme la oportunidad de lograr una profesión con valores y ética. Al Jurado calificador: Dr. José Artemio Cadena Meneses, M.C. Alejandro Corona Ambiz, M.C. Ángel Leyva Ovalle, Dr. Hugo Ramírez Maldonado y Lic. MArgarito Soriano Montero , por dedicar un poco de su valioso tiempo en excelentes observaciones y comentarios durante el desarrollo del trabajo. A todos mis amigos (as) de Chapingo, gracias por esos momentos que pasamos juntos. Sinceramente… Carlos Verduzco Ríos 3 ................................................ 15 3.......3........................................................... Definiciones básicas..............2...4..................... 36 6.............................................. INTRODUCCIÓN ........4.....1. 14 3........................ 36 6........ix SUMMARY………………………………………………………………………………... HIPÓTESIS A PROBAR .......... Definiciones ..................................1............... 27 5............................................................................................. 23 5................... .............. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES ........ 28 6............................................. Supuestos básicos de los diseños experimentales .4.6.....5.................2.... Distribución t de Student........... ANTECEDENTES ...............................................1... 34 6............................................ 25 5.................................1........................ PRUEBAS DE HIPÓTESIS ..... Modelo lineal general..... 19 5.....5...................... Error Tipo I Y Tipo II ..........................4................................4...................................CONTENIDO ÍNDICE DE CUADROS…………………………………………………………………....... DESVENTAJAS ....... OBJETIVOS .............. Error experimental .....................2....1....... 18 5........... DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)..2......... ANÁLISIS DE VARIANZA . 22 5... Análisis de varianza ...................2..................................................................................................... Distribución F de Snedecor ............... JUSTIFICACIÓN ........2.............. 27 5........................... 28 5..................1....2.......2.............................................................1.............. VENTAJAS .............................. 18 5................... 22 5.................. .................. 21 5...1.......................2.......... Modelo lineal ............................ 24 5..................................... 15 4................................. 24 5..........................................................................2................. 36 6..................x 1. MODELO LINEAL .............2.................... 15 5.............vii RESUMEN………………………………………………………………………………....................... 35 6.................... OBJETIVO GENERAL .............1............ OBJETIVOS PARTICULARES .......................... Estadística de prueba y valores tabulados .................2........... PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES ............................................................................3............2..2........................................................................................................................ 17 5.......2..................................................................................1.......................2.. 15 3.............3................. 37 4 ..................................1........1............ 26 5................................................2................................. CARACTERÍSTICAS .......................... 25 5......... 1 2...... Conceptos básicos...............3..................................................................... Hipótesis a probar .................2... 34 6...............................1...... Distribuciones de probabilidad continuas ............... ...................................................................1................. 60 9... 102 11..................... 56 9............................. MODELO LINEAL PARA SUBMUESTREO .................................................................... ANÁLISIS DE VARIANZA .............4..1..................... 88 10.......... ..... NOMENCLATURA ................................. Regla de decisión ........... DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) ............2................. 98 11. 42 7...... 43 7...............3.2.......................... REGLA DE DECISIÓN ............................................. Regla de decisión .........2............................... 95 10..................... CARACTERÍSTICAS ................... 50 8........................ VENTAJAS ...................................................... 51 8..................... 95 10................................................... 73 9....... 96 10......... Regla de decisión ..........................................................................6...........3..5.................................................2.. Ventajas ........................4.............................................................................................................................. 51 8......... 59 9....................2...................................................................................................3...........1 Regla de decisión ..............................6.............. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) .............. 102 11..........2.... 81 9........4....... 58 9...................5. 37 7.....2........................ PRUEBA DE DUNCAN ............................................. 52 8...............................1..... 59 9...................3.... Desventajas ........ 75 9.................... HIPÓTESIS A PROBAR .......................2......................................................................................... PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) .................................................... 57 9......................... HIPÓTESIS A PROBAR ...1.....3.......... MODELO LINEAL ................. DISEÑO FACTORIAL.................................. 104 5 ...............3..........................................3. 87 9....................................... DESVENTAJAS ....................................................... 94 10............................................................................ NÚMERO IGUAL DE SUBMUESTRAS..................................... 66 9...........6.........4. ANÁLISIS DE VARIANZA ...................4.7........... MODELO LINEAL ...................................... CARACTERÍSTICAS .....6....... HIPÓTESIS A PROBAR ....................... DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO ....................... PRUEBA DE TUKEY ...........2............ 103 11.....................5............ 103 11..6.............7.................................................... REGLA DE DECISIÓN.............. 42 7......................... MODELO LINEAL ........1.......................... 80 9............................................................................................. PRUEBA DE SCHEFFÉ..........................4........................5................................. 94 10................................. DISEÑO EN CUADRO LATINO ............................................................................ Regla de decisión ..................... 45 8.................... 53 9.... TIPOS DE DISEÑOS FACTORIALES . REGLA DE DECISIÓN......... CARACTERÍSTICAS ........... 43 7............1............................................................................................................................ HIPÓTESIS A PROBAR ......................1................ 50 8................................1......................................... CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRO LATINO BÁSICO ................................ ANÁLISIS DE VARIANZA CON SUBMUESTREO............................................ REGLA DE DECISIÓN......... 96 10........................ 50 8.................................................. 67 9......................... COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS ........................1................................. 51 8................... ............4............ CONCLUSIONES ................................................................ 132 12..........................................................................6....... 153 6 ........ APÉNDICE .................. REGLA DE DECISIÓN . 151 14..........................11............................5................................. BIBLIOGRAFÍA .................... DISEÑO FACTORIAL 3K ......................... CARACTERÍSTICAS ................................................. 1454 12..................... 108 11..7.................... 142 12................................ 109 11................................................................................2..................................................... DISEÑO FACTORIAL 2K ................. ANÁLISIS DE VARIANZA ........................... ANÁLISIS DE VARIANZA .... 144 12.......... 152 15..........................................8. 147 13......... 142 12................... HIPÓTESIS A PROBAR ............ MODELO LINEAL ............................................................................................................................................ DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS .............................................................................3...........................1......................... DISEÑO FACTORIAL 3K X 2L........5..................................................................... 143 12................... 120 11.. .... .......................................... Análisis de varianza para el diseño completamente al azar con submuestreo....... Estructura del análisis de varianza para el diseño completamente al azar................................. 55 Cuadro 17.................................... 61 Cuadro 18............................................. Estructura del análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar.................... Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensión............................... .... Cronología de las versiones de OpenOffice ................... Diseño en bloques completos al azar.............................. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS ................. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar.................... Prueba de la Diferencia Mínima Significativa con las medias de tratamientos ordenados ... 36 Cuadro 5. Diseño completamente al azar con submuestreo........... 62 Cuadro 19..................................... Número igual de submuestras.................... ............... Diseño completamente al azar.. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo. 37 Cuadro 6......... 45 Cuadro 11......... Análisis de varianza para el modelo Yi vs Ha: µ ≠ µ0…………………………………………………………………............... 53 Cuadro 15.................... Prueba de la Diferencia Mínima Significativa........ ..................................... 48 Cuadro 13.. H0: µ = µ0 Cuadro 2................. ............................ 38 Cuadro 7.......................................... Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva.... Producción de tomate en toneladas por hectárea con la aplicación de insecticidas ........................... 14 ei ...................... ................................... Diseños experimentales más comunes y comparación múltiple de medias ............................................................................. 63 Cuadro 20......... 54 Cuadro 16........... 47 Cuadro 12.... ....... ... ................................................. Pruebas de comparaciones múltiples de medias ...... 43 Cuadro 10.31 ei .................... 40 Cuadro 9......... 32 Cuadro 4...................... Análisis de varianza para el modelo Yi vs Ha: µ ≠ 0…………………………………………………………………..... H0: µ = 0 Cuadro 3................ . Análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar.................................................. 51 Cuadro 14......... ................ .. 39 Cuadro 8...........................................ÍNDICE DE CUADROS Cuadro 1.... 64 7 ........ .................... Prueba de Scheffé con las medias de tratamientos ordenados ... Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK .... Experimento factorial 23.. Prueba de Tukey.......................................................... 91 Cuadro 32.............................................. 116 8 .............. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk ......... Método de Yates para el análisis de experimentos factoriales 2 2... .......... 101 Cuadro 39.................................................... Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck....... ............................................................................................ Cuadro latino básico ............................ 76 Cuadro 25.. Estructura del análisis de varianza para un diseño en cuadro latino .. 114 Cuadro 43.................... Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados ........... 100 Cuadro 38................................................ 109 Cuadro 41. 111 Cuadro 42..... Análisis de varianza para el diseño en cuadro latino.............. Tipos de diseños factoriales más comunes ....................................... 96 Cuadro 35................................................. 77 Cuadro 26............ 69 Cuadro 22........................................................ 98 Cuadro 36.................................................................. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) ...... 91 Cuadro 33............................................................... Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de tratamientos ordenados ........... Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 2 3 en bloques completos al azar........ 84 Cuadro 30.............. .... Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K .................... 94 Cuadro 34.............. ............................... 70 Cuadro 23............. Diseño en cuadro latino .................................. Prueba de Duncan .................. 70 Cuadro 24........ Notaciones para el diseño factorial 22....... 78 Cuadro 27.................................. Cuadro Latino aleatorizado (en base a las hileras)...................................................... 83 Cuadro 28.......... Rendimientos de Caña en Toneladas por Hectárea................ 98 Cuadro 37................................ ............................................ 90 Cuadro 31........ Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados ............ Concentración bacteriana (n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109))............... ........................... Prueba de Scheffé ................................................ 84 Cuadro 29...... 109 Cuadro 40.....................................Cuadro 21. ................... .............................................................. Producción de caña en toneladas por hectárea.. 144 Cuadro 55........... Diseño factorial 3k completamente al azar.................................................................. 118 Cuadro 46............................. Diseño factorial 2k en bloques completos al azar... ................... 117 Cuadro 45..................................................... 148 Cuadro 57..................... Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques completos al azar..................... ....................... ........ 130 Cuadro 50.. ......... 147 Cuadro 56................................. Análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas............ 139 Cuadro 53. 129 Cuadro 49.......................... ..... ................ 125 Cuadro 48............................................. .............................. 135 Cuadro 52................. Estructura del análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas............. ................................... Diseño en parcelas divididas................................. . 132 Cuadro 51.................................................. 150 9 ........... Análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar.............. 141 Cuadro 54........... ... ............ Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 3 completamente al azar...... Diseño factorial 3k x 2l en bloques completos al azar ................... Datos de la pérdida de jarabe (las unidades son centímetros cúbicos-70) ...... 122 Cuadro 47................... Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes.......... Análisis de varianza para el diseño factorial 33 completamente al azar................ Análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 22 en bloques completos al azar.............Cuadro 44.......................... ....................................... Primero se hizo una revisión de pruebas de hipótesis y conceptos básicos de diseños experimentales que son muy útiles en el desarrollo de este trabajo. diseño en cuadro latino. en la cual se resolvieron ejemplos de diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de tratamientos más comunes tomados de algunos libros clásicos de diseños experimentales.USO DE CALC EXPERIMENTALES RESUMEN DE OPENOFFICE EN EL ANÁLISIS DE DISEÑOS Actualmente existen en el mercado muchos paquetes de software que permiten desarrollar un conjunto de aplicaciones para oficina. siendo Microsoft Office el más conocido y el que tiene la mayoría del mercado general en el entorno. actividades dentro de la informática. Palabras clave: Software. diseño en bloques completos al azar. diseño completamente al azar con submuestreo. Calc de OpenOffice es muy fácil de usar y de gran similitud con Excel de Microsoft ® y se puede trabajar con esta herramienta sin gran dificultad. y competencia del anterior. comparación de medias. otro paquete que está teniendo gran importancia en el mercado. 10 . tratamiento. que es una herramienta para trabajar con hojas de cálculo. algunos diseños factoriales y el diseño en parcelas divididas. Sin embargo. comparaciones múltiples de medias de tratamientos. Después se desarrollaron los siguientes tipos de diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de uso más común: diseño completamente al azar balanceado y desbalanceado. es el paquete de software OpenOffice. Los ejemplos fueron resueltos en forma detallada en Calc de OpenOffice en el archivo nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES” el cual es parte de este trabajo. Este trabajo se realizó con Calc de OpenOffice. prueba de hipótesis. que es un software libre muy similar a Office. First it was made a check of hypothesis tests and basic concepts of experimental designs that will be very useful in the development of this work. Then the following types of experimental designs and multiple comparisons of stockings were developed to be of more common use: design totally at random balanced and desbalanceado. 11 . design in complete blocks at random. activities inside the computer science. multiple comparisons of stockings of treatments. Calc of OpenOffice is very easy of using and of great similarity with Microsoft® Excel and one can work with this tool without great difficulty. However. Key words: Software. factorial designs and design in divided parcels. This work was carried out with OpenOffice Calc. that is a tool to work with calculation leaves. another package that is having great importance in the market. design in latin square. comparison of stockings. design totally at random with subsampling. being Microsoft Office the good known one and the one that has most of the general market in our environment. hypothesis test. treatment. The examples were solved in form detailed in OpenOffice Calc in the file "EXPERIMENTAL DESIGNS" which is part of this work. is the software package OpenOffice that is free and very similar software to Microsoft Office. in which were solved examples of experimental designs and multiple comparisons of stockings of treatments more common taken of some classic books of experimental designs.SUMMARY At the moment they exist in the market many software packages that allow developing a group of applications for office. and competition of the previous one. OpenOffice.openoffice. El paquete contiene las siguientes herramientas: OpenOffice. Otra característica muy importante de este software es el hecho de ser multiplataforma. 12 . analizar y gestionar datos.1.org Draw . valores numéricos.org Calc .org/. En este trabajo se usaron las herramientas para trabajar con hojas de cálculo. OpenOffice.Herramienta para la representación de fórmulas matemáticas. fórmulas o referencias a otros archivos. Solaris y Microsoft Windows desde la versión 95. Mac OS-X (en versión inglés). OpenOffice Calc es una aplicación de hojas de cálculo que se puede usar para calcular.org Writer .org Math . OpenOffice. dibujos y gráficos. puede ser instalado y ejecutado en diversas plataformas como Linux (en todas sus distribuciones). Free-BSD. que se puede descargar directamente en Internet de forma gratuita en la siguiente dirección: http://es. INTRODUCCIÓN OpenOffice es un software de acceso libre y código abierto. es decir. OpenOffice. Una hoja de cálculo es una tabla donde cada celda puede contener alguno de los siguientes tipos de datos: texto. las cuales fueron útiles en el análisis de los diseños experimentales más comunes.Herramienta destinada a crear diagramas.Herramienta dedicada a la edición de texto también llamado procesador de textos.Herramienta destinada a crear presentaciones y diapositivas.org Impress . Calc de OpenOffice.Herramienta para trabajar con hojas de cálculo. En la investigación científica. permiten la comparación de dos o más tratamientos. De acuerdo con Cramer (1960). El análisis de la información. a un conjunto tan pequeño de valores. Tal proceso requiere de la colección de observaciones. Se pueden distinguir dos tipos de experimentos en la investigación científica: los experimentos absolutos y los comparativos. es común que se formulen hipótesis para luego verificarlas o rechazarlas directamente. por sus consecuencias. la cual es propiamente. que se pueden utilizar para crear fórmulas que realicen cálculos complejos. si se cuenta exclusivamente con información a partir de una muestra. La tercera función de la estadística en el método científico. el establecimiento de criterios de prueba de las hipótesis planteadas por el investigador. se refiere a ciertas funciones de las observaciones. es la predicción. 13 . al medir su efecto sobre una determinada característica de la población. el proceso de reducir una masa de observaciones procedentes de un fenómeno aleatorio. el cual constituye el diseño de un experimento. que permiten describir en forma compacta a una población. En este caso. En este trabajo. los cálculos son enfocados a resolver problemas de diseños experimentales. Los experimentos comparativos. el objetivo principal de la aplicación del método científico al estudio de un fenómeno. OpenOffice Calc incorpora funciones estadísticas y financieras. análisis y predicción. como sea posible. a través de un patrón bien definido. El primer tipo de experimentos considera la determinación de un valor específico. sólo se trataran diseños comparativos sobre la igualdad de sus tratamientos. Se incluyen también en el análisis. la estadística tiene tres funciones fundamentales en el método científico: descripción. Por descripción se entiende. denominadas estadísticos.También se pueden importar y modificar hojas de cálculo de Microsoft Excel. sin costo y de alta calidad para el análisis de diseños experimentales. Los tres principios básicos del diseño experimental son la aleatorización. OpenOffice es un paquete de cómputo libre. pero a diferencia de éste. La realización de réplicas o repetición del experimento básico. proporcionando una alternativa abierta.El diseño estadístico de experimentos se refiere al proceso para planear el experimento de tal forma que se recaben los datos adecuados que puedan analizarse con métodos estadísticos para obtener conclusiones válidas y objetivas. el cual está disponible en Internet de forma gratuita en la dirección mencionada en la Introducción. permite al experimentador obtener una estimación del error experimental y obtener una estimación precisa sobre el efecto de un factor en el experimento. es una buena opción hacer uso de esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo y mediante funciones o fórmulas realizar cálculos y analizar datos de los diseños experimentales. 2. Calc de OpenOffice es equivalente a Excel de Microsoft Office. además. ya que a diferencia de otros paquetes gratuitos. Por lo tanto. JUSTIFICACIÓN El hecho de trabajar con Calc de OpenOffice. este trabajo sirva como apoyo en los cursos de diseños experimentales que se imparten en las diferentes carreras de la Universidad 14 . Por aleatorización se entiende que tanto la asignación del material experimental como el orden en que se realizarán las corridas o ensayos individuales del experimento se determinan al azar. la realización de réplicas y la formación de bloques. éste es más fácil de usar. y se puede hacer uso de este paquete con la intención de hacer frente al dominio en el mercado de Microsoft Office y como universidad pública no depender tanto de este último. y que a la vez. y cualquier usuario podría hacer uso de él porque no se necesita tener conocimientos sobre lenguajes de programación. La formación de bloques es una técnica de diseño que se utiliza para mejorar la precisión de las comparaciones que se hacen entre los factores de interés. es para dar a conocer este software libre y presentarlo como una opción para el análisis de diseños experimentales. Autónoma Chapingo. Para un mejor uso de estas hojas de cálculo, los usuarios deben tener conocimientos básicos de estadística y diseño de experimentos. 3. OBJETIVOS 3.1. OBJETIVO GENERAL Mostrar el uso de Calc de OpenOffice en el análisis estadístico de los diseños experimentales más comunes. 3.2. OBJETIVOS PARTICULARES Mostrar que Calc de OpenOffice es una alternativa para resolver problemas estadísticos y hacer uso de él en lugar de paquetes equivalentes que no sean libres. Dar a conocer la forma de usar esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo para hacer uso de ella y no depender tanto de un software que no sea libre. 4. ANTECEDENTES OpenOffice es una suite ofimática de software libre y código abierto, desarrollado en un principio por la compañía alemana StarDivision. El código fue adquirido en 1999 por Sun Microsystems. En agosto de 1999 la versión 5.2 de StarOffice se hizo disponible de forma gratuita. El código fuente de la aplicación está disponible bajo la licencia LGPL“Lesser General Public License" (Licencia Pública General Menor)-, la cual puede aplicar a sus programas también. El Cuadro 1 muestra una cronología de las versiones de OpenOffice Cuadro 1. Cronología de las versiones de OpenOffice Versión Descripción Build 638c El primer lanzamiento importante 15 Fecha de lanzamiento Octubre de 2001 1.0 1.0.3.1 1.1 1.1.3 1.1.5 2.0 2.0.1 2.0.2 2.0.3 2.0.4 2.1 2.2 2.2.1 2.3 2.3.1 2.4 2.4.1 3.0.0 3.0.1 3.1 3.1.1 Compatibilidad Office 2007 Corrector gramatical Varios Varios Último lanzamiento de la línea 1.1.x Lanzamiento importante 1.1.5secpatch Parches de seguridad (macros) Último lanzamiento de la línea 1.0.x 1 de mayo de 2002 18 de abril de 2003 2 de septiembre de 2003 4 de octubre de 2004 14 de septiembre de 2005 4 de julio de 2006 20 de octubre de 2005 21 de diciembre de 2005 8 de marzo de 2006 29 de junio de 2006 13 de octubre de 2006 12 de diciembre de 2006 28 de marzo de 2007 12 de junio de 2007 17 de septiembre de 2007 Actualización de estabilidad y seguridad 4 de diciembre de 2007 27 de marzo de 2008 Junio de 2008 13 de octubre de 2008 27 de enero de 2009 7 de mayo de 2009 31 de agosto de 2009 Con respecto a los diseños experimentales, el trabajo pionero de Fisher en los años 1920 y principios de la década de 1930, quien estuvo a cargo de la estadística y del análisis de datos de la Estación Agrícola Experimental Rothamsted, en Inglaterra. Mostró cómo los métodos estadísticos y en particular el diseño de experimentos podían ayudar a resolver problemas sobre las complejas relaciones que pueden existir entre varias variables. Él fue quien desarrolló y usó por primera vez el análisis de varianza como herramienta fundamental para el análisis estadístico en un diseño experimental. Las primeras aplicaciones de los métodos del diseño experimental tienen lugar principalmente, en la agricultura, la ciencia forestal y la biología, y como resultado, gran 16 parte de la terminología que hoy se emplea proviene de estos antecedentes. Las aplicaciones industriales del diseño experimental comienzan en la década de 1930, en la industria textil Británica. Después de la Segunda Guerra Mundial, los métodos de diseño experimental se introducen en las industrias químicas y de transformación de Europa y E.U. Hoy día su aplicación se ha generalizado al mundo industrial, agrícola, forestal, biológico, de las ciencias de la salud, etc. 5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑOS EXPERIMENTALES Este trabajo se realizó haciendo uso de Calc de OpenOffice para resolver ejemplos de los diseños experimentales más comunes. Por tanto, primero se comenzó con una descripción general sobre pruebas de hipótesis y de los diseños experimentales. En los capítulos siguientes se continúo con el desarrollo detallado de cada tipo de diseño experimental, y se resolvió un ejemplo en Calc de OpenOffice. Los ejemplos fueron tomados de libros clásicos de diseños experimentales. Los tipos de diseños experimentales que se abordaron fueron: diseño completamente al azar balaceado y desbalanceado, diseño completamente al azar con submuestreo, diseño en bloques completos al azar, comparaciones múltiples de medias de tratamientos, diseño en cuadro latino, algunos diseños factoriales y el diseño en parcelas divididas. Durante el análisis de los diferentes diseños experimentales, los ejemplos que se presentan fueron resueltos con Calc de OpenOffice, lo cual es el objetivo de este trabajo. Por tanto, también se proporciona una forma muy detallada de cómo manejar estas hojas de cálculo, para que el lector sea capaz de poder hacer uso de las mismas y que a la vez le sirva como un manual de Calc de OpenOffice para resolver problemas de los diseños experimentales más comunes. 17 Fisher (1960).1. y Steel y Torrie (1988). Montgomery (2007). de las distribuciones de probabilidad asociadas con estas pruebas de hipótesis y de algunos conceptos básicos de diseños experimentales. La hipótesis nula es aquella que el investigador está 18 .Debido a que la mayoría de los métodos estadísticos que se exponen en los capítulos siguientes de diseños experimentales. A continuación se definen los elementos esenciales que deben conformar una prueba de hipótesis. entre otras situaciones comunes. tomados de libros de diseños experimentales de los siguientes autores: Castillo (2003). en un diseño experimental. En los capítulos siguientes se usaron las pruebas de hipótesis estadísticas para mostrar la igualdad de los resultados de distintos tratamientos. se caracterizan por el contraste de juegos de hipótesis en la solución de problemas específicos. 5. la igualdad de los resultados de distintos tratamientos en un diseño experimental. Infante y G. se muestra una breve exposición de las pruebas de hipótesis estadísticas.1. Cochran y Cox (1980). Prueba de hipótesis: Método estadístico que se emplea para determinar si una hipótesis es verdadera o falsa. 5. Hipótesis a probar: Consiste en dos planteamientos que se contraponen: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Pruebas de hipótesis Se hace uso de las pruebas de hipótesis estadísticas para probar la adecuación de un modelo específico. Scheffé (1959). Definiciones básicas Hipótesis: Aseveración que se hace acerca de un fenómeno.1. el cumplimiento de los supuestos básicos del modelo o diseño experimental elegido. (1990). Martínez (1983). que fueron necesarios para el desarrollo de este trabajo. Note que en las definiciones anteriores se utiliza la idea de no rechazar en lugar de la idea de aceptar. Si se rechaza a H0 implica que ésta es falsa y no se rechaza a Ha. por lo que es más correcto emplear el no rechazo que la total aceptación. El enunciado de la hipótesis que no es rechazada servirá de base para dar las conclusiones finales de la prueba de hipótesis. 19 . Una prueba de hipótesis permitirá el rechazar o no rechazar la hipótesis nula (H 0). Conclusión: Habiendo rechazado o no la hipótesis nula (H0) se deben establecer las conclusiones pertinentes con base en el estudio o experimento que se realiza.1.dispuesto a sostener como cierta. 5. Si no se rechaza a H0 implica que ésta es verdadera y se rechaza a Ha. Error Tipo I Y Tipo II Cualquier estadística de prueba está asociada a una distribución de probabilidad específica. por lo que una prueba de hipótesis está sujeta a errores atribuibles al azar. se representa por Ha. permite obtener un dato (valor calculado) que es comparado contra un valor de tabla (valor tabulado) de la distribución de probabilidad con la que se relaciona la estadística de prueba.2. con base en los datos experimentales. Estadística de prueba: Es una fórmula estadística que. Lo anterior se debe al hecho de que las pruebas de hipótesis se realizan suponiendo un componente aleatorio en los datos experimentales y por lo tanto no se tiene la entera seguridad de la certeza o seguridad de la H0. se representa como H0. Regla de decisión: Determina la forma en que se deben relacionar el valor calculado y el valor tabulado de la distribución de probabilidad de donde provienen los datos experimentales para rechazar o no la hipótesis nula (H0). La hipótesis alternativa es aquella que se contrapone a la hipótesis nula. 20 .05. Bajo esta definición es deseable que α tome valores lo más pequeños posible. Los errores anteriores se definen de la siguiente forma: Error Tipo I = Rechazar H0 cuando es cierta. La confiabilidad es un término de uso común en las pruebas de hipótesis y puede ser definida como la probabilidad de que no ocurra un Error Tipo I. Cuando H0 es verdadera y no se rechaza se está tomando la decisión correcta. En términos prácticos. Error Tipo II = No rechazar H0 cuando es falsa.01.1. Los valores del α se expresan en decimales y los más comunes en una prueba de hipótesis son 0. Se desean pruebas de hipótesis en las cuales las probabilidades asociadas a ambos tipos de errores sean mínimas. 0. 0. Bajo un enfoque probabilístico los errores mencionados se expresan como: P[Error Tipo I] = P[Rechazar H0 cuando es cierta] = α (nivel de significancia de la prueba de hipótesis) P[Error Tipo II] = P[No rechazar H0 cuando es falsa] = β. Cuando H0 es verdadera y se rechaza se está cometiendo un Error Tipo I.025 y 0. Sus valores se expresan en porcentaje. el nivel de de significancia (α) se define como el máximo valor de la probabilidad de Error Tipo I que el experimentador esté dispuesto a aceptar al ejecutar una prueba de hipótesis. Cuando H 0 es falsa y se rechaza se está tomando la decisión correcta. Cuando H 0 es falsa y no se rechaza se está cometiendo un Error Tipo II.Comúnmente se llegan a presentar dos tipos de errores en las pruebas de hipótesis: Error tipo I y Error Tipo II. al intentar integrarlas. una distribución Poisson [X~P (λ)]. por ejemplo. Una confiabilidad del 90% implica un α = 0. de unidades físicas.025 y una confiabilidad del 99% implica un α = 0.1.01. no admiten 21 . división. resta. 5. el valor final que se obtiene no presenta la distribución de probabilidad que tienen los datos experimentales sino una distribución de probabilidad diferente. al utilizar la estadística de prueba. Al ejecutar tales operaciones se realiza un proceso análogo al de una conversión. Estadística de prueba y valores tabulados Las pruebas de hipótesis se sustentan en supuestos acerca de la distribución de probabilidad de donde provienen los datos experimentales. En gran cantidad de las pruebas de hipótesis de uso generalizado se tienen estadísticas de prueba que generan valores pertenecientes a distribuciones de probabilidad continuas (t de Student. σ2)]. etc). es necesario realizar operaciones de suma.05. multiplicación o potenciación sobre los datos experimentales.1. una confiabilidad del 95% implica un α = 0. etc.5% implica un α = 0.3. El problema principal consiste en que la mayoría de las funciones de probabilidad continuas. En algunas pruebas de hipótesis se supone de inicio que los datos experimentales tienen una distribución Normal [X~N (μ. es decir.Bajo la definición anterior se puede relacionar al α y a la confiabilidad mediante la fórmula: P[Error Tipo I] + P[No Error Tipo I] = 1 α + confiabilidad = 1. En una prueba de hipótesis. una confiabilidad del 97. F de Snedecor. Los mecanismos mediante los cuales es posible transformar una distribución de probabilidad en base a operaciones matemáticas y lógicas son dados por el área de conocimiento denominada Álgebra de Variables Aleatorias. 1.1. Cuantil t de Student: Valor de la distribución t de Student con v grados de libertad tal que la probabilidad de un valor mayor es igual a α. se supone que los datos experimentales. La función de probabilidad correspondiente no admite una solución analítica. o los errores que se generan. Distribución t de Student. y se representa por tα(v). Distribuciones de probabilidad continuas 5. 22 . las estadísticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribución de probabilidad t de Student.4. por lo que se hace uso de tablas de probabilidades específicas con el fin de poder ejecutar la prueba de hipótesis.4. donde α es el nivel de significancia de la prueba de hipótesis y v son los grados de libertad de la distribución t de Student. por lo que existe una tabla específica para el cálculo de probabilidades (Tabla I del Apéndice). La principal diferencia se da por el hecho de que la distribución t de Student tiene mayor área de probabilidad en las colas que la distribución Normal Estándar. σ2)]. Bajo este supuesto. En algunas pruebas de hipótesis. En las pruebas de hipótesis se utiliza el cuantil t de Student como el valor tabulado contra el que se compara el valor calculado.1. 5. La distribución t de Student es parecida a la distribución Normal Estándar debido a que también es simétrica y tiene una media igual a cero. tienen una distribución Normal con media μ y varianza σ2 [X~N (μ.una solución analítica. que se expondrán en los capítulos siguientes. el valor 7 en la columna marcada como v y desplazarse hacia la derecha hasta la columna de α que presente el valor 0.10) entonces se debe localizar. σ2)]. v1 son los grados de libertad del numerador y v2 son los grados de libertad del denominador de la distribución F de Snedecor. en este caso t0. Si se quiere encontrar el cuantil t0.05. en la Tabla I del Apéndice. La función de probabilidad correspondiente no admite una solución analítica por lo que existe una tabla específica para el cálculo de probabilidades (Tabla II del Apéndice).1. se supone que los datos experimentales o los errores que se generan tienen una distribución Normal con media μ y varianza σ2 [X~N (μ. Si se quiere encontrar el cuantil F0. y a partir de 23 . Distribución F de Snedecor En algunas pruebas de hipótesis. en la Tabla II del Apéndice. Esta distribución de probabilidad tiene la característica de estar asociada con dos tipos de grados de libertad conocidos como grados de libertad del numerador y del denominador.Grados de libertad: Variables independientes con las que se calcula la estadística de prueba menos el número de parámetros que van a ser contrastados en una prueba de hipótesis. v2). La distribución F de Snedecor presenta formas variadas. el dato ubicado en dicha columna es el cuantil buscado.05(7) entonces se debe localizar. por lo general asimétricas. 5.05(8. que se expondrán en los capítulos siguientes.05(7) = 1. las estadísticas de prueba correspondientes generan valores que tienen una distribución de probabilidad F de Snedecor.4. que dependen de los grados de libertad asociados.9. y se representa por Fα(v1.2. donde α es el nivel de significancia de la prueba de hipótesis. el valor 8 en la columna marcada como grados de libertad v 1. Bajo este supuesto. En pruebas de hipótesis se utiliza el cuantil F como el valor tabulado contra el que se comparará el valor calculado. Definiciones Experimento: Procedimiento que permite obtener una observación de algún fenómeno de interés. respectivamente. Diseño experimental: Conjunto ordenado de normas. 5.2.05. Unidad Experimental: Área física mínima sobre la cual se aplica un solo tratamiento. 0. para así obtener información relevante y con un alto grado de confiabilidad basado en los datos arrojados por la variable respuesta. en este caso F0.1. individuo. 0.1. Conceptos básicos de diseños experimentales 5.05(8.07.01.025 y 0. elemento u objeto cuya acción o efectividad se desea evaluar y comparar.10) = 3. Existe un gran número de diseños experimentales para solucionar problemas específicos.ese valor avanzar hacia abajo hasta la fila de los grados de libertad v2 que tiene el valor 10. procedimientos y cálculos que orientan acerca de la forma en que deben disponerse las unidades experimentales en el campo o laboratorio. la forma en que deben colocarse los tratamientos en las unidades experimentales. Variable respuesta: Dato o medida que se cuantifica en cada unidad experimental y cuyos valores permiten evaluar la acción o efectividad de los tratamientos y hacer comparaciones entre estos. entonces se elige el cuantil al α deseado. en esta tesis sólo se abordaron por considerarse de uso más común los 24 . la manera en que deban recopilarse y analizarse los datos experimentales. en este sitio se localizan cuatro valores correspondientes a los cuantiles de la distribución F de Snedecor a un α de 0. Tratamiento: Sustancia.2. 2. 25 . Si un tratamiento específico se aplica en siete unidades experimentales se dice que está repetido siete veces o que hay siete repeticiones del tratamiento. por lo general. Comparaciones de múltiples de medias de tratamientos. Modelo lineal 5.1. Conceptos básicos. y cuyo valor obtenido para la variable respuesta permitirá medir la acción o efectividad de los tratamientos.2. Repeticiones: Número de unidades experimentales en las cuales se aplica un mismo tratamiento. o Prueba de Scheffé. Diseños factoriales. Diseño en cuadro latino. o Prueba de Duncan. o Diferencia Mínima Significativa (DMS). Diseño en parcelas divididas. Modelo lineal: Es un modelo matemático en donde la relación principal entre los términos que lo componen se da básicamente mediante sumas y restas. Testigo: Consiste.2.siguientes diseños experimentales y comparaciones múltiples de medias de tratamientos: Diseño completamente al azar balanceado y desbalanceado. Diseño en bloques completos al azar. Diseño completamente al azar con submuestreo. 5.2. en una unidad experimental en la cual ninguno de los tratamientos utilizados en el experimento es probado. o Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-W). o Prueba de Tukey. 2. Se espera que el valor 26 . ya que la relación principal entre los términos que lo componen se da mediante sumas y restas. Normalmente. a causa del error experimental el investigador puede equivocarse y creer en la influencia de efectos que no existen. Los modelos matemáticos empleados para representar algunos métodos estadísticos (como en los diseños experimentales) son modelos estadísticos de tipo lineal. Error experimental Para unidades experimentales que han recibido el mismo tratamiento. Es un error estadístico. sólo una pequeña parte del error experimental puede ser atribuido a errores en la medición. Es importante hacer notar que todos los valores que se obtengan para una variable respuesta serán determinados en parte por el término de error aleatorio. serán equivalentes. En el modelo lineal.Modelo no lineal: Es un modelo matemático en donde la relación principal entre los términos que lo componen se da básicamente mediante multiplicaciones. divisiones y potencias.2. ya que ambos términos. en el desarrollo de los siguientes temas. Estas diferencias son de naturaleza aleatoria y se desconocen las causas que las originan. 5. no es posible que los datos experimentales se sustraigan del efecto del término de error aleatorio (error experimental). lo que significa que es un producto de una variación incontrolable y generalmente inevitable.2. Efectos importantes pueden quedar ocultos total o parcialmente por el error experimental y a la inversa. ya que así no será posible detectar diferencias entre tratamientos. constituye las diferencias que se presentan entre cada uno de los valores obtenidos en la variable respuesta y la media del tratamiento. La importancia principal de este término se da cuando se supone un valor tal que determina en mayor medida la magnitud de la variable respuesta. el error experimental es representado mediante el término de error aleatorio. del término de error deba ser muy semejante para cada uno de los datos de la variable respuesta en el experimento. i eij Los subíndices para la variable respuesta (Y) y el término del error aleatorio ( e ) dependerán del número de efectos a considerar en el diseño experimental (ω) y del número de repeticiones. y son independientes entre sí. Supuestos básicos de los diseños experimentales Tomando como base lo expuesto en la sección 5. y son independientes entre sí (no están correlacionados). Término del error aleatorio. es decir. es decir.3.2. 27 . Modelo lineal general El modelo lineal general para los diseños experimentales puede ser escrito como: Yij donde Yij i eij Valor de la variable respueta. Los errores tienen distribución Normal con media cero y varianza σ2. Efecto medio general Efectos a considerar en el diseño experiment al. 5.3. eij~NI (0. 5. eij~NI (0.2 es posible determinar los supuestos básicos de los diseños experimentales en general: Existe homogeneidad de varianza entre tratamientos (todos los tratamientos tienen igual varianza). σ2).2. por lo que se supone que los errores experimentales tienen una distribución Normal con media cero y varianza σ2.2. σ2).2. Análisis de varianza En un diseño experimental la técnica estadística que se emplea para contrastar las hipótesis derivadas del modelo lineal es el análisis de varianza.5. Hipótesis a probar Bajo los supuestos mencionados es posible realizar pruebas de hipótesis acerca de los efectos de los términos del modelo lineal en un diseño experimental específico. 5. para el término de error aleatorio no se realizan pruebas de hipótesis.2. El análisis de varianza es el estadístico de prueba para el contraste de hipótesis acerca de las fuentes de variación en un diseño experimental. con un alto grado de confiabilidad. los demás términos en un modelo lineal específico reciben la denominación de fuentes de variación. si la diferencia entre los valores que toma la variable respuesta se debe realmente al efecto de alguna de las fuentes de variación involucradas o a efectos aleatorios (determinados por el azar). Con excepción del efecto medio general (μ).2. Para un experimento específico el análisis de varianza determina. mientras que la hipótesis alternativa (Ha) siempre postula que al menos uno de los niveles de la fuente de variación produce un efecto diferente. La hipótesis nula (H0) siempre postula la igualdad entre los diferentes niveles de una fuente de variación. sino que se constituye en un elemento básico para probar las hipótesis de las fuentes de variación restantes. en cualquier diseño experimental. dependiendo del número de fuentes de variación a analizar. En los diseños experimentales se prueban diferentes pares de hipótesis.5. Es importante mencionar que.4. A manera de ejemplo se muestra el método y la lógica del análisis de varianza en el siguiente modelo lineal generalizado: 28 . a pesar de su sencillez.….Yi donde Yi ei ei Valor de la variable respueta. Una forma de interpretarla es diciendo que un error está compuesto por la desviación de una observación con respecto a la media muestral. En este modelo es claro que: ei Yi .. i 1.. t Es decir. Además de la igualdad anterior se sigue que: (Yi )2 [(Yi Y ) (Y )] 2 Puesto que la igualdad anterior es cierta para todas y cada una de las observaciones Y i (i=1. Ahora se parte de ese error en dos componentes mediante la igualdad trivial: Yi (Yi Y ) (Y ) La igualdad anterior.2.t). es de extraordinaria importancia en nuestro desarrollo. un error es la diferencia entre una observación y el valor verdadero del parámetro.. podemos escribir: t t (Yi i 1 )2 i 1 [(Yi Y ) (Y )] 2 y mediante la aplicación de reglas ya conocidas obtenemos la siguiente igualdad: t t t t (Yi i 1 )2 i 1 t (Yi (Yi i 1 Y )2 i 1 (Y t (Y )2 )2 2 i 1 (Yi t Y ) (Y (Yi i 1 ) Y )2 )2 2(Y ) t Y) t (Yi i 1 Y )2 t (Y ya que i 1 (Yi Y) 0 Por tanto. El análisis de la varianza descansa fundamentalmente en el estudio de la variabilidad de las observaciones.2. Efecto medio general Término del error aleatorio.. se ha llegado al siguiente resultado: 29 . sumada con la distancia entre la media muestral y la media poblacional. Bajo la suposición de que: Y1. Esto es: Y por lo tanto: t (Y 2 2 t ) y. puesto que las Yi son independientes. la media estandarizada tiene distribución Normal t (Y )2 ) ~N(0. se obtiene: t i 1 (Yi 2 )2 ~ 2 (t ) El segundo resultado se obtiene de nuestras suposiciones.Yt es una muestra aleatoria de N ( .cuadrada. por lo tanto. 1) de donde (Yi 2 )2 ~ 2 (1) Además. dichas sumas de cuadrados tienen distribuciones probabilísticas muy sencillas de derivar. Por esta razón las tres componentes de la ecuación a la que se llegó se les llama Sumas de Cuadrados. y usando la propiedad aditiva de la distribución Ji. que: 30 . σ2).…. Es decir. estándar. es claro que: Yi 2 ~N(0. En efecto. tenemos que: distribución es 2 (t 1) t i 1 (Yi Y )2 2 (t 1) S 2 2 y sabemos que su . puesto que cada Yi ~N(µ. obteniendo: t i 1 (Yi 2 )2 t i 1 (Yi Y )2 2 t (Y 2 )2 De la ecuación anterior es fácil obtener las distribuciones correspondientes. y pueden usarse para generar un procedimiento para probar hipótesis sobre µ. 2 ) . la distribución de la media muestral es N ( . 1) ~ 2 (1) A la distribución de la suma de cuadrados restante con la notación usual identificamos a la varianza muestral por S2. Con objeto de derivar las distribuciones de las sumas de cuadrados dividimos todos los términos de la ecuación anterior por σ2.t t (Yi i 1 )2 i 1 (Yi Y )2 t (Y )2 en donde se nota que la partición del error ei en dos componentes ha llevado a una expresión similar que involucra sumas de cuadrados de las desviaciones originalmente desarrolladas. dado que tanto µ como σ2 son parámetros desconocidos. Que no sea posible probar hipótesis de una cola con esta técnica es una consecuencia de haber tomado los cuadrados de las desviaciones. tenemos que: t (Y t )2 Y )2 2 (1) (t 1) t (Y S 2 )2 ~ Ft1 1 . la partición de la variabilidad que se ha hecho sólo permite probar hipótesis de dos colas sobre µ. Es decir. La regla de decisión que nos garantiza una prueba con nivel de significancia α es: “Rechazar H0 si F0 Ft1 1 ” 31 . donde µ0 es el valor supuesto del parámetro desconocido. Sin embargo. no es una estadística. En cuanto a µ el problema está resuelto. que en lo sucesivo nos referiremos al juego de hipótesis: H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0. puesto que la variable aleatoria C involucra no sólo a Y y a µ. B y C. ya que µ debe tomar el valor de µ0 para fijar el nivel de significancia. En primer lugar. Dado que B y C son ambas variables aleatorias Jicuadradas.t i 1 (Yi Y )2 2 ~ 2 ( t 1) t (Yi 2 )2 t (Yi Y )2 2 t (Y 2 )2 i 1 2 (t ) i 1 2 ( t 1) 2 (1) A B C Una vez obtenidas las distribuciones de A. se explica cómo pueden usarse para probar hipótesis sobre µ. De aquí se deduce que. (Yi i 1 2 si la hipótesis nula µ = µ0 es cierta. t (Y )2 2 sino además a la distancia Y . Para que la estadística no dependa de σ 2 usaremos la componente B. Para derivar una estadística para probar hipótesis sobre µ es natural recurrir a la componente C en la ecuación anterior. la estadística: F0 t (Y S 2 )2 ~ Ft1 1 y podemos usar F0 para probar el juego de hipótesis propuesto. Grados de libertad de .C TOTAL. Además.) 1 t-1 i 1 t Suma de Cuadrados (S. no depende de σ 2. los numeradores de los términos de la ecuación anterior de las distribuciones de A. al ser la razón de dos de ellas.) 2 2 t (Y t (Y 0) 0) F (v1. los tres componentes de la ecuación anterior de las distribuciones de A. H0: µ = µ0 vs Ha: µ ≠ µ0 F0 = F Cuadrado F de tablas calculada Medio ( Ftab ) ( Fcal ) (C. Grados de libertad del error. 32 .Una vez que se ha dado un avance de lo que vendrá después. ERROR y S. el valor de µ es sustituido por µ0. B y t C se llaman Sumas de Cuadrados. puesto que la hipótesis nula es H0: µ = µ0. retrocedemos un poco para reunir los resultados obtenidos en esta sección. a i 1 (Yi 0 ) 2 se le llama Suma de Cuadrados t Total. En lo sucesivo se identificarán por las avrreviaturas S.L. Así.C. Como se mencionó antes. Esto es porque la estadística F0. S. v2 ) v1 v2 Ftab Cuantil de la distribuci ón F de Snedecor. B y C aparecen sin el divisor σ 2. Todo el procedimiento para probar H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0 mediante la distribución de F se resume usualmente en una tabla conocida como cuadro de análisis de varianza.) Media (µ) Error Total Donde: Grados de Libertad (G.) t (Y t 0 )2 t 2 (Yi Y ) (Yi i 1 Y )2 S2 t 1 0 T )2 F (v1 .C MEDIA ei .C.M. v2 ) 1 S2 (Yi i 1 Cuadro 2. En el cuadro de análisis de varianza (Cuadro 2).V. a t (Y 2 0 ) se le llama Suma de Cuadrados del Error y a (Yi i 1 Y ) 2 se le llama Suma de Cuadrados debida a la Media. Análisis de varianza para el modelo Yi Fuente de Variación (F. C) en la tercer columna. que se supone son una muestra aleatoria de N ( . H0: µ = 0 vs Ha: µ ≠ 0 Cuadro 3.V.µ0 las cuales cuando la hipótesis nula es cierta.cuadrada asociadas con las Sumas de Cuadrados (S. Con las nuevas variables centradas en cero. La siguiente columna muestra los “Cuadrados Medios” (C. En la primera hilera del encabezado aparece “Fuentes de Variación” (F. Media (µ) Error Total G. tienen distribución N (0.…. que aparentemente es más restringida que la anterior. v2 ) 2 2 t-1 t X )2 (X i i 1 X )2 S2 t 1 (Yi 0 t i 1 )2 Donde: 33 . en realidad no lo es puesto que si tenemos observaciones Y1. siempre podemos definir variables aleatorias Xi = Yi .L. El Cuadro 2 se desarrolló para probar el juego de hipótesis H0: µ = µ0 en oposición a Ha: µ ≠ µ0. Más frecuentemente el cuadro de análisis de varianza se formula como si el propósito fuera probar H0: µ = 0 en oposición a Ha: µ ≠ 0. tX t F0 = Fcal tX S2 2 Ftab F (v1.Yt. y sólo son un paso intermedio para obtener la estadística F 0 = Fcal en la columna siguiente y en la última columna aparece Ftab. ei .M.) alude a los parámetros de las distribuciones Ji. 1 t S.V.µ0 pueden usarse para probar H0: µ = 0. Análisis de varianza para el modelo Yi F. Esta presentación. el cuadro de análisis de varianza es como el que se presenta en el Cuadro 3. por lo que las variables Xi = Yi .Ahora se explica con más detalle el Cuadro 2.L. 2 ) y queremos probar la hipótesis nula H0: µ = µ0. tX (X i i 1 C. obteniéndose una prueba equivalente a la anterior.) que se obtienen dividiendo cada suma de cuadrados por sus grados de libertad.C. En la segunda columna aparece el nombre de “Grados de Libertad” (G. 2 ) .M.) destaca que el análisis de varianza se basa en una partición de la variabilidad de las observaciones en diferentes fuentes (o factores) de variación. 34 .C. En primer lugar. ERROR = S.C. sólo que ahora µ 0 = 0. puesto que si H 0 es cierta.C. Ahora se mencionan algunos aspectos del Cuadro 3. ya que S. la partición es más sencilla. Todas las unidades experimentales reúnen prácticamente las mismas características. Grados de libertad de .1. Grados de libertad del error. como ya nos es t t familiar: i 1 (Xi X )2 i 1 X i2 tX 2 En segundo lugar. Por lo que el empleo de bloques resulta inapropiado porque no hay heterogeneidad que sea necesario absorber. de modo que el efecto de un tratamiento sobre la variable bajo estudio. ya que estos explican por qué esta segunda presentación es la más favorecida.C. en los que una cantidad de material está completamente mezclado y luego se divide en porciones pequeñas para formar las unidades experimentales. (µ) es grande. ERROR y S. cuando la variación entre ellas es pequeña. El Cuadro 3 es una simplificación trivial del Cuadro 2.C.F (v1 . esto se debe a que µ difiere del valor supuesto por una distancia grande. pero en el Cuadro 3 es evidente. o en experimentos con animales y plantas con condiciones ambientales muy parecidas. Razonando similarmente se justifican los nombres de S. v2 ) v1 v2 Ftab Cuantil de la distribuci ón F de Snedecor. En el Cuadro 2 no es muy clara la razón para este nombre. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) 6. TOTAL dado que. 6. debemos esperar valores de X cercanos a cero. es decir.C.( µ) + S. los nombres de las fuentes de variación. TOTAL. Éste es el caso en muchos tipos de experimentos de laboratorio. de modo que si S. en las S. Características Los diseños completamente al azar son empleados cuando las unidades experimentales son suficientemente homogéneas entre sí.C. El análisis estadístico es simple aun en el caso en que el número de repeticiones difiera con el tratamiento y si los diversos tratamientos están sujetos a varianzas desiguales. es el mismo para el caso balanceado y para el caso desbalanceado ya que las fórmulas para las sumas de cuadrados abarcan ambos casos.es el mismo independientemente de la unidad experimental donde se mida. 6. Cuando el número de repeticiones es diferente dentro de cada tratamiento se dice entonces que el diseño es no balanceado. Ventajas El diseño completamente al azar es flexible en cuanto a que el número de tratamientos y de repeticiones sólo está limitado por el número de unidades experimentales disponibles.2. en caso contrario. Y la segunda ventaja es que la potencia de las pruebas se maximiza cuando las muestras tienen el mismo tamaño. La sencillez del análisis no se pierde si algunas unidades experimentales o tratamientos enteros faltan o se descartan. excepto por variaciones aleatorias. Todos los tratamientos pueden tener un número igual o diferente de repeticiones. 35 . lo cual se conoce como la falta de homogeneidad del error experimental. Hay dos ventajas al elegir un diseño balanceado. El número de repeticiones puede variar de un tratamiento a otro. La primera es que el estimador de prueba es relativamente insensible a las desviaciones pequeñas del supuesto de la igualdad de las varianzas de los t tratamientos cuando los tamaños de las muestras son iguales. se dice que el diseño es balanceado. aunque generalmente lo ideal sería tener un número igual por tratamiento. Los análisis de varianza que se muestran para el diseño completamente al azar en Calc de Open Office. debidas a fuentes de error en la investigación. Los tratamientos se aplican completamente al azar sobre las unidades experimentales. bajo la condición de que cada unidad experimental deberá tener la misma probabilidad de recibir un tratamiento particular. excluyen la variación del error experimental entre grupos y aumentan la precisión del experimento. Efecto medio general. el error experimental incluye toda la variación entre las unidades experimentales. 36 .5. ri .6. Término de error aleatorio. Desventajas La principal objeción del diseño completamente al azar es su frecuente ineficiencia. t. E( ei ) t Número de tratamientos.... 2. j 1. excepto la debida a los tratamientos. 0 . Ciertos diseños sacan ventaja de tal agrupamiento.. eij 6.. Como la aleatorización no tiene restricciones. t vs H a : Al menos el efecto de un tratami ento es diferente de los demás. En muchas situaciones es posible agrupar las unidades experimentales de modo que la variación entre unidades dentro de los grupos sea menor que la variación entre las unidades de diferentes grupos. 6. 2.... Modelo lineal El modelo lineal para los diseños completamente al azar es el siguiente: Yij donde i 1..3. Respuesta obtenida en la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento. Hipótesis a probar La hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales es la siguiente: H0 : 1 2 . i Efecto atribuido al i-ésimo tratamiento.. E( ei2 ) 2 i eij ri Yij Número de repeticiones para el i-ésimo tratamiento.4. M.C. F de Fuente de Grados de Suma de Cuadrado F calculada tablas Variación Libertad Cuadrados Medio ( Fcal ) ( Ftab ) (F.C.C. (Ver Tabla II del Apéndice) Grados de libertad de los tratamien tos. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal F (v1 .L. Factor de corrección. F (v1. Error Tratamientos G.C.L.) (C. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo tratamiento.C.7.) SCT C. Total .S.6.C.C.V. v 2 ) Ftab 37 . Total SCE G.C. 6.) (S.. Yi . Grados de libertad del error.Tratam ientos Donde: FC Y . r 1 i FC t ri S . v2 ) Tratamientos t-1 C. Error Total i 1 ri 1 Donde: F (v1. Cuadro 4.6.C.M .. Suma de todas las observaciones en el experimento.M . Total i 1 j 1 Yij2 FC S.) (G. Tratamient os t Error i 1 t ri t S. Análisis de varianza El análisis de varianza para el diseño completamente al azar está dado por el Cuadro 4. Y 2 . Error S. Tratamient os i ri i 1 Yi 2 . Error S. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar. Tratamient os S. v2 ) v1 v2 FC Ftab Cuantil de la distribución F.L. t t S. Peso porcentual del algodón (tratamientos) Observaciones 15 20 25 30 35 1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11 Total 49 77 88 108 54 Media 9.1.4 17. Suponga que después de hacerse la aleatorización obtenemos el Cuadro 5 de los datos del experimento: Cuadro 5. 2007). 20. Las 25 corridas se deben realizar de manera aleatoria. 38 . El ingeniero sabe por experiencia propia que la resistencia a la tensión se afecta por el peso porcentual del algodón utilizado en la mezcla de materiales de la fibra. 25. 30 y 35 por ciento. sospecha que al aumentar el contenido de algodón. al menos en un principio.Se ilustra la técnica de un diseño completamente al azar con el ejemplo 6. haciendo uso de las hojas de cálculo.1 Un ingeniero de desarrollo de productos tiene interés en investigar la resistencia a la tensión de una fibra nueva que se usará para hacer telas de camisas para caballeros (Montgomery.6 21. Datos (en lb/pulgada2) del experimento a la tensión. Se trata de un ejemplo de un experimento con un solo factor con cinco tratamientos y cinco réplicas.8 Fuente: Montgomery (2007). También decide probar cinco ejemplares en cada nivel del contenido de algodón. elaboradas en Calc de Open Office. El ingeniero decide probar ejemplares en cinco niveles del peso porcentual del algodón: 15.8 15. Sabe así mismo que el contenido de algodón deberá variar entre 10 y 40 por ciento para que el producto final tenga otras características de calidad que se desea (como la capacidad de ser sometido a tratamiento de planchado permanente). para resolver diseños experimentales más comunes. se incrementará la resistencia.6 10. Además. Ejemplo 6. Respuesta Para resolver los ejemplos de diseños experimentales y de pruebas múltiples de comparación de medias siempre se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. Diseños experimentales más comunes y comparación múltiple de medias DISEÑOS EXPERIMENTALES MÁS COMUNES SELECCIONE EL TIPO DE DISEÑO QUE DESEA USAR O COMPARACIÓN DE MEDIAS DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS DISEÑO EN CUADRO LATINO (DCL) DISEÑOS FACTORIALES (DF) DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS (DPD) 39 . Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. Cuadro 6. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6. En este caso se hace clic en diseño completamente al azar. en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. Se desea una confiabilidad del 95%.Determine si el peso porcentual del algodón (tratamientos) en una fibra sintética afecta la resistencia a la tensión. aparecen en la penúltima fila del Cuadro 7 los totales de tratamiento y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones de tratamiento. Diseño completamente al azar. uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño. de Trat. Cuadro 7. Una vez introducidos los datos. sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento. aparece el Cuadro 7. Sumas del cuadrado de obs. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR Tratamientos Repeticiones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tot. los cuales se necesitan para el análisis de varianza. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 10 tratamientos (columnas) con 15 repeticiones (filas) cada uno. En este ejemplo. por trat. se tienen cinco tratamientos con cinco repeticiones cada uno. 1 7 7 15 11 9 2 12 17 12 18 18 3 14 18 18 19 19 4 19 25 22 19 23 5 7 10 11 15 11 6 7 8 9 10 Ir al análisis Regresar 49 77 88 108 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 525 1225 1566 2360 616 40 . en donde se introducen los datos del experimento. A la derecha del Cuadro 7 aparecen dos hiperenlaces.Después de hacer clic en diseño completamente al azar. ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. El Cuadro 7. M. A la derecha de Cuadro 8.87 r1 = 5 Error 20 161.76 2.L. genera el Cuadro 8 donde mediante fórmulas aparecen los valores del número de tratamientos (t).V. Para este ejemplo. debido a que Fcal = 14.96 r3 = 5 r4 = 5 r5 = 5 CONCLUSIÓN r6 = Fcal > Ftab. el factor de corrección (FC). mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechaza la hipótesis nula (H0) para los tratamientos. C. ANÁLISIS DE VARIANZA F. el número de repeticiones para cada tratamiento (ri).87.76 > Ftab = 2.06 r2 = 5 Total 24 636. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los demás. a excepción del valor de alfa. Análisis de varianza para el diseño completamente al azar. están protegidas contra escritura.76 118. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0. Todas las celdas del Cuadro 8.05).94 14. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. G. aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.20 8.05 41 Regresar . Cuadro 8. Fcal Ftab t= 5 Tratamientos 4 475. S.05 r7 = r8 = r9 = r10 = FC = Alfa 5655 0. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los tratamientos.C. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.Al hacer clic en el hiperenlace. Ir al análisis. rij t Número de tratamientos. j 1.. k 1.. Respuesta obtenida en la k-ésima observación de la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento. Las diferencias entre submuestras dentro de una unidad experimental son diferencias de observación más que diferencias de unidad experimental. 42 .. Efecto medio general. Modelo lineal para submuestreo El modelo lineal para un diseño completamente al azar con submuestreo es el siguiente: Yijk donde i eij ijk i 1.. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO En algunas situaciones experimentales... estimar la variabilidad de observaciones en las unidades experimentales. además de estudiar la variabilidad entre unidades experimentales bajo condiciones similares.2. t. Un diseño experimental es estándar si en cada unidad experimental se toma sólo una observación al azar.. la unidad a la cual se aplica el tratamiento.. diremos que es con submuestreo si se toma más de una observación al azar por unidad experimental. se pueden tomar varias observaciones dentro de la unidad experimental. El submuestreo nos permite. ri . 2.. ri rij Yijk Número de repeticiones para el i-ésimo tratamiento. 7..7..1. Número de observaciones en la j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento.. 2. Tales observaciones se hacen en submuestras o unidades de muestreo. Término de error experimental. d. 7. Para el análisis de varianza de un diseño completamente al azar con submuestreo se tienen dos casos.. para un número igual de submuestras y para un número desigual de submuestras. Se supone que ijk eij ijk 2 e) 2 ~ i.3. Número igual de submuestras. Cuando las muestras tienen un número desigual de submuestras. t vs H a : Al menos el efecto de un tratami ento es diferente de los demás. Hipótesis a probar La hipótesis a probar en un diseño completamente al azar con submuestreo es la siguiente: H0 : 1 2 .. i. el cuadrado de cualquier total se divide por el número de observaciones en el total. i. Análisis de varianza con submuestreo. 7.2. o sea que al tomar un valor particular de δ no se afecta en la probabilidad de tomar un valor particular cualquiera de e. Se supone que eij ~ i. 43 . d. N(0. N(0.i Efecto atribuido al i-ésimo tratamiento. en los cálculos. Término de error observacional. El análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo con igual número de submuestras está dado por el Cuadro 9. ) Los e y los δ se suponen no correlacionados entre sí. . Y 2 . v2 ) S .C.C. Tratamientos S.C.s t S. Error de muestreo ri k i . Tratamient os F (v1.C.C.C. S.U. Tratamient os i 1 sr C S. Estructura del análisis de varianza para un diseño completamente al azar con submuestreo. .S.k 1 t ri i 1 t .C. Total . C.E. Tratammien tos Donde: FC s Factor de corrección.C. Total S . srt rij 2 Yijk i 1 j 1 k 1 t t ri S.C.V.E. Entre Entre U.. Grados de libertad del error experiment al.. s FC t ri S .C.C.C.L. Error de muestreo S.E.E Y i2 . Error experimental S. Número de submuestras por unidad experimental.C. Error experiment al S . Tratamient os Tratamientos Error experimental Error de muestreo Total i .Cuadro 9.C. (ver Tabla II del Apéndice) Grados de libertad de los tratamien tos.) (S. Total FC S.L. Error de mustreo G.E.L.L.k 1 t .C. v2 ) v1 v2 FC Ftab Cuantil de la distribución F. Número de repeticiones. U..C. Suma de todas las observaciones en el experimento.C. Error experiment al S.-1 G.M . Error de muestreo S.E i 1 j 1 Yij2 .) ( Ftab ) (F. U.M .) S .U.) (G. Entre U. Error experiment al G. Error experiment al G.L. U.C.C.s rt ri k 1 Donde: F (v1 . Número igual de submuestras.S.E. Tratamientos t-1 C. S .M.E . F de Fuente de Grados de Suma de F calculada Cuadrado Medio tablas Variación Libertad Cuadrados ( Fcal ) (C. 44 r Y . Entre U.. v 2 ) Ftab Haciendo uso de las hojas de cálculo.Yii . Donde un grupo grande de plantas se asignaron aleatoriamente a unas macetas. la unidad experimental. Se desea saber si hay diferencias entre los tratamientos ensayados. y cada grupo de macetas se aleatorizó completamente dentro de los niveles (bajo y alto) de temperatura en invernadero durante el período de oscuridad. Todas las macetas se aleatorizaron completamente con respecto a su localización durante el tiempo transcurrido bajo luz del día.4. los tratamientos se asignaron al azar a las macetas. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal F (v1 . cuatro por maceta. se ilustra la técnica de diseño completamente al azar con submuestreo con el siguiente ejemplo: Ejemplo 7. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésima repetición del i-ésimo tratamiento.1 Considérense los datos del Cuadro 10 sobre crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva (Steel y Torrie. para resolver diseños experimentales más comunes. 7. Se desea una confiabilidad del 95%. elaboradas en Calc de Open Office. tres macetas por tratamiento. Las observaciones se hicieron en plantas individuales. 1988). 45 . 0 8.5 3.2 7.0 35.5 7.0 7.0 32.0 3.5 5. Maceta No.0 5.5 5.0 5. Maceta No.5 7.0 22.5 7.0 28.0 17.5 3.5 6.5 11.5 4.0 tratamiento Medias de 3. 46 .3 6.0 3.0 5.0 27.0 4.0 26.0 4.0 11.0 33.5 7.9 tratamiento Fuente: Steel y Torrie (1988).5 2.0 14.0 21. Maceta No.5 8.0 3.1 5.0 9.0 4 4.0 Totales de 15.5 7.0 49.0 3.0 4.0 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3.0 3 3.5 6.5 4.5 5.0 4.5 7.0 7.0 17.Cuadro 10.0 6.0 6.0 6.5 4.5 8.7 4.0 5. Horas de luz diurna Bajas temperaturas nocturnas Altas temperaturas nocturnas Número de 8 12 16 8 12 16 plantas Maceta No.5 19.5 18.5 88.5 8.5 7.5 29. Maceta No.5 9.5 22.0 6.5 8.5 8.0 7.0 7.5 8.0 5.0 5.5 95.0 5. Maceta No.5 9.5 3.5 6.5 2.5 4.5 6.0 5.0 5.0 7.5 4.0 7. Crecimiento en una semana de tallos de plantas de menta cultivadas en una solución nutritiva.0 4.5 5.0 maceta Totales de 44.0 7.0 28.0 8.5 6.0 77.5 62.0 2 4.0 6. los cuales se necesitan para el análisis de varianza. El Cuadro 11 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los datos del experimento. aparecen en la antepenúltima fila del Cuadro 11. los totales por unidades experimentales de cada tratamiento. uno para ir a la hoja del análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño. Una vez introducidos los datos. En este ejemplo. Después de hacer clic en diseños completamente al azar con submuestreo en el Cuadro 6. en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. en donde se introducen los datos del experimento. en la penúltima fila aparecen los totales de tratamiento y en la última fila también aparecen las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 11 tratamientos con diez submuestras y cinco repeticiones cada una. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. ya que el resto de las mismas se encuentran protegidas contra escritura. aparece el Cuadro 11. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). A la derecha del Cuadro 11 aparecen dos hiperenlaces.Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. En este caso se hace clic en diseño completamente al azar con submuestreo. 47 . se tienen seis tratamientos con cuatro submuestras y tres repeticiones cada una. 0 3 45 1 6.0 8.0 6. de U.0 21.5 7.E Tot.0 28.0 5.0 Regresar 15.5 48 .5 3.0 9.0 17.5 6.0 7.5 4.0 3.5 525.0 77.0 5.5 6.5 3 45 1 7.5 3.Cuadro 11.0 7 8 9 10 Repeticiones Repeticiones Repeticiones Repeticiones Ir al análisis 3 45 1 3.0 9.5 4.5 5. Diseño completamente al azar con submuestreo.0 62.0 2.0 27.5 8.5 4.5 8.0 5. Sumas del cuadrado de obs.0 7.5 6.0 6.0 772.0 4.0 7. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBMUESTREO Tratamientos 1 Repeticiones Submuestras 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot.5 8.5 3.0 7.0 88.5 5. 3.0 3.0 14.0 8.0 655.5 7.0 4.5 210.0 3 Repeticiones 2 5.5 3 45 1 5.0 5.5 6.0 5.8 32.5 5 Repeticiones 2 6.5 4.5 18.5 11.5 4.0 28. por trat.0 4.0 3.5 7.0 35.0 4.5 3.5 5.0 2 Repeticiones 2 3.0 8.0 5.0 7.5 29.5 5.0 95.5 3 45 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11.0 8.5 44.5 7.0 17.5 3 45 1 4.0 22.0 9.0 7.0 5.5 329.5 7.0 4 Repeticiones 2 6.5 6 Repeticiones 2 6.5 2 2.3 19.0 7.5 22.0 4. de trat.0 172.0 26.0 8.5 4.3 33.5 49. 11 r= 3 Error experimental 12 25.L.64 35.93 16.83 2. el factor de corrección (FC). G. S. el número de repeticiones para cada tratamiento (r). A la derecha del Cuadro 12.M.Al hacer clic en el hiperenlace. Todas las celdas del Cuadro 12. Fcal Ftab t= 6 Entre U.05). Análisis de varianza para el diseño completamente al azar con submuestreo. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas. Cuadro 12. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0. a excepción del valor de alfa. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab.93 FC = 2409.48 Regresar s= 4 Tratamientos 5 179. Ir al análisis. Para este ejemplo. lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente al de los demás. debido a que Fcal = 16.V. C.11.69 3.E 17 205. el número de submuestras (s). ANÁLISIS DE VARIANZA F.05 49 . mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechaza la hipótesis nula (H0) para los tratamientos. genera el Cuadro 12 donde aparece el número de tratamientos (t).34 Total 71 255.C. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los tratamientos. están protegidas contra escritura.44 0. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee.91 Alfa 0.69 > Ftab = 3.15 Error de muestreo 54 50. aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento. sorteando los tratamientos independientemente. Ventajas El diseño en bloques completos al azar tiene muchas ventajas sobre otros diseños.8.2. estos datos pueden omitirse sin complicación en el análisis. No hay restricción en cuanto al número de tratamientos o de bloques. Dos unidades experimentales de bloques diferentes pueden exhibir heterogeneidad. se trata de la clase de diseños de bloques incompletos.1. En general. Este diseño puede usarse cuando las unidades experimentales pueden agruparse. es posible agrupar las unidades experimentales de modo que se logre mayor precisión que con el diseño completamente al azar. Los diseños de bloques completos al azar y los diseños en cuadro latino. Si como resultado de un contratiempo. son los principales tipos de arreglo en bloques completos. los datos de un bloque completo para ciertos tratamientos son inutilizables. 8. absorber el máximo de heterogeneidad del material experimental. Características En los diseños de bloques completos todos los tratamientos aparecen representados en cada uno de los bloques. Las unidades experimentales dentro de cada bloque deben ser homogéneas. en caso contrario. Se caracteriza porque todos los tratamientos aparecen representados una vez en cada uno de los bloques. 50 . en cada bloque. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) 8. siendo de hecho el propósito de los bloques. El análisis estadístico de los datos es simple. excepto por variaciones aleatorias. Los tratamientos se asignan al azar sobre las unidades experimentales. t. Efecto medio general. H 0 : 1 2 . eij 8. i i Efecto atribuido al i-ésimo bloque. E( eij ) 2 i 1. Efecto atribuido al j-ésimo tratamiento. Modelo Lineal El modelo lineal para los diseños en bloques completos al azar es el siguiente: Yij donde i j eij j 1. que son las siguientes: 1.. Hipótesis a probar Las hipótesis a probar en este tipo de diseño experimental son sobre los bloques y sobre los tratamientos. 8... Yij Respuesta obtenida en el j-ésimo tratamiento del i-ésimo bloque. se dispone de otros diseños para controlar una mayor proporción de la variación. 2 E( eij ) 0 . Término de error aleatorio. En tales situaciones.3. t 51 ..8. t Número de tratamientos. b. resulta un término de error considerable.5.. 2.... así puede no ser posible asegurar grupos de unidades suficientemente uniformes para los bloques.4. Esto ocurre frecuentemente cuando el número de tratamientos es grande. b Número de bloques. Desventajas La principal desventaja en los bloques completos al azar es que cuando la variación entre unidades experimentales dentro de un bloque es grande.. 2.. M .L.M.) (G.V. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.M . Error S. Error F (v1.) Bloques Tratamientos t b-1 t-1 ri i 1 S.M . v2 ) F (v3 . Error C. v2 ) F (v 3 . Estructura del análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar. Bloques SCT G. H 0 : 1 2 ..C.) (S. v 2 ) Error t S.C. Grados de libertad del error. 52 . Tratamientos t SCB G. Análisis de varianza El análisis de varianza para un diseño en bloques completos al azar está dado por el Cuadro 13: Cuadro 13.L.L. Grados F de Fuente de Suma de Cuadrado F calculada de tablas Variación Cuadrados Medio ( Fcal ) Libertad ( Ftab ) (F. Tratamient os C. 8.vs H a : Al menos el efecto de un bloque es diferente de los demás. Bloques C .) (C. Error C . Bloques S. v2 ) v1 v2 v3 Ftab Blo Ftab Trat Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Grados de libertad de los bloques..M . Tratamient os SCE G. Total Total i 1 ri 1 Donde: F (v1.L.C.C. 2. Grados de libertad de los tratamien tos.C. t vs H a : Al menos el efecto de un tratami ento es diferente de los demás.6. La unidad experimental utilizada fue un cuadro de terreno de 10 x 10 metros. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo tratamiento. j 8. Y. para resolver diseños experimentales más comunes.. Se dividió el terreno en tres bloques de acuerdo a los niveles de fertilidad detectados. Bloques i 1 2 Y j2 . El terreno donde se implementó el experimento presentaba un gradiente de fertilidad a tres niveles por lo que se decidió utilizar un diseño en bloques completos al azar para minimizar el efecto negativo de este factor de confusión..7.Tratam ientos Donde: FC Y . Total . Suma de todas las observaciones en el experimento.C.1 Se desea probar el efecto de cuatro insecticidas sobre el control de gusano Helithis zea en el cultivo del tomate (Castillo. elaboradas en Calc de Open Office. se ilustra la técnica de diseño en bloques completos al azar con el siguiente ejemplo: Ejemplo 8.C. Factor de corrección. Bloques . 2003). bt b t 2 Yi . Total i 1 j 1 Yij2 FC S.b t FC Y . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo bloque. Yi . Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza para los tratamientos y los bloques es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal Ftab Haciendo uso de las hojas de cálculo. Error S. Los insecticidas a evaluar 53 . S. FC S. La variable respuesta fue la producción de tomate en toneladas por hectárea. Tratamient os i 1 t b FC S .C.C.S.S.C.C.C. En este ejemplo. ya que el resto de las mismas se encuentran protegidas contra escritura. aparece el Cuadro 15.3 10. en donde se introducen los datos del experimento.6 Dimecrón 8. se tienen cinco tratamientos con tres bloques cada uno. en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace nos genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. Basudin.0 10.9 10.3 Fuente: Castillo (2003).3 Basudin 8.8 9.fueron: Testigo.0 4. Class.8 13. ¿Existe alguna diferencia significativa entre los insecticidas sobre el control de Heliothis zea?. Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office.0 7. Producción de tomate en toneladas por hectárea con la aplicación de insecticidas BLOQUE I II III Testigo 3.7 8. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). Los resultados obtenidos se muestran en el Cuadro 14: Cuadro 14.3 Agree 6.2 6. 54 . Se desea obtener una respuesta con una confiabilidad del 95%. Dimecrón y Agree. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 15 tratamientos (filas) con 10 bloques (columnas) cada uno. En este caso se hace clic en diseño en bloques completos al azar.4 Class 6. El Cuadro 15 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los datos del experimento. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. Después de hacer clic en diseño en bloques completos al azar en el Cuadro 6.0 12. 3 6.4 10. el número de bloques (b).0 0.0 49. 55 .8 8.0 de trat.7 44.0 10.5 36. Cuadro 15.0 0.9 429.1 25.2 24. los totales por bloque y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de tratamientos por bloque. uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño.4 0. DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Bloques Totales por Tratamientos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tratamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los bloques y a los tratamientos. A la derecha del Cuadro 15 aparecen dos hiperenlaces.7 4.6 13.3 10.5 28.3 13.0 6.0 0.0 0.3 9. el factor de corrección (FC). aparecen en la penúltima fila del Cuadro 15. genera el Cuadro 16 donde mediante fórmulas aparecen los valores del número de tratamientos (t). Diseño en bloques completos al azar.2 10.0 8.0 6.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ir al análisis Regresar Totales por bloque 33. en la última columna aparecen los totales por tratamiento. por bloque Al hacer clic en el hiperenlace. los cuales se necesitan para el análisis de varianza.0 0.Una vez introducidos los datos.0 0. Ir al análisis.4 523.8 7.9 12.9 0 0 0 0 0 0 0 Sumas del cuadrado 253. = 3. respectivamente. porque simultáneamente se comparan varios promedios de los tratamientos.El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05 CONCLUSIÓN Fcal Blo > Ftab Blo.89 13. A la derecha del Cuadro 16. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. = 4.45 Total 14 121.V.05 9.77 FC = 1085. = 17. aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento. a excepción del valor de alfa.54 > Ftab Blo. respectivamente.13 0. ANÁLISIS DE VARIANZA F.05). están protegidas contra escritura. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas. Fcal Ftab Regresar b= 3 Bloques 2 26. según el interés experimental.84 Error 8 6. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee.46 t= 5 Tratamientos 4 88.78 3. G.84. mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) para los bloques y tratamientos.23 22. S. debido a que Fcal Blo. Se denominan pruebas de comparaciones múltiples de medias.M.46 y Fcal Trat. Las pruebas de comparaciones múltiples de 56 .05 Fcal Trat > Ftab Trat. COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS DE TRATAMIENTOS Las comparaciones múltiples de medias son útiles para seleccionar él o los tratamientos que sean mejores.C. Análisis de varianza para el diseño en bloques completos al azar.25 Alfa 0. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. Para este ejemplo. Cuadro 16. lo que indica que al menos el efecto de uno de los bloques y uno de los tratamientos es diferente al de los demás.78 > Ftab Trat. y se aplican cuando el análisis de varianza declara diferencias significativas. Todas las celdas del Cuadro 16.06 28.L. = 28.44 17.54 4. C. . Scheffé y Student-Newman-Keuls (S-N-K). si se tienen 4 tratamientos entonces se pueden postular t(t-1)/2 pares de hipótesis a probar.2.. Por ejemplo.... H 0 : II. H 0 : III. Hipótesis a probar En cualquiera de las pruebas de comparaciones múltiples mencionadas.medias de uso más común son la Diferencia Mínima Significativa (DMS). H 0 : IV. Duncan. t i i´ de medias i i´ vs i i´ i 1. es decir se tendrían: t (t 1) 2 (4)(3) 2 6 pares de hipótesis a contrastar. H 0 : VI. Tukey. las cuales se muestran a continuación: I. t Las hipótesis de los tratamientos se realizan por pares. H 0 : 1 1 1 2 2 3 2 3 4 3 4 4 vs vs vs vs vs vs Ha : Ha : Ha : 1 1 1 2 2 3 2 3 4 3 4 4 Ha : Ha : Ha : Para ser utilizadas. H 0 : V...2. todas las pruebas de comparaciones múltiples mencionadas requieren de un término conocido como diferencia y cuyo cálculo general se realiza mediante: 57 .. las hipótesis generales a probar son las siguientes: H0 : Ha : (El tratamien to i es igual en su efecto al tratamien to i´) (El tratamien to i tiene un efecto diferente al tratamien to i´) i´ 1.1. 9. . la D1 se relaciona con la hipótesis nula en I. 2. se tendrán 6 diferencias. la D2 se relaciona con la hipótesis nula en II. es decir: D2 Y1 Y3 Las restantes Dk se calculan mediante el mismo proceso. t k 1.. es decir: D1 Y1 Y2 Como la hipótesis nula en II involucra el tratamiento 1 y al tratamiento 3. para los pares de hipótesis del ejemplo anterior.ésimo tratamien to Media del i´-ésimo tratamien to i´ 1. 2.1) 2 i i´ i 1.2. 9. etc. Diferencia Mínima Significativa (DMS) Es la prueba más sencilla y una de las más empleadas. t(t . la D1 involucra también al tratamiento 1 y al tratamiento 2..... 2. es válida solamente en el caso de una comparación planeada entre dos medias. t Siempre se tendrá un número igual de diferencias ( Dk ) y de pares de hipótesis a contrastar. en un experimento en particular. 58 . Las Dk se calculan utilizando las medias de los tratamientos que aparecen en la hipótesis nula correspondiente. Es muy común su uso en comparaciones simples de medias. ya que estos dos términos están relacionados de manera amplia.. Por ejemplo. la D2 involucra también al tratamiento 1 y al tratamiento 3...Dk Yi Yj Yi Yj donde Media del i ... Como la hipótesis nula en I involucra el tratamiento 1 y al tratamiento 2. la D3 se relaciona con la hipótesis nula en III.. Puede dar resultados falsamente significativos en un nivel del 0. Ventajas 1. es necesario optar por un nivel de 0.05. En el caso de que hubiera que hacer preferentemente comparaciones de resultados extremos.Esta prueba determina el valor mínimo necesario para considerar diferentes dos tratamientos y lo utiliza para comparar los diferentes pares de medias que se deseen evaluar.05 si el experimentador se dedica a hacer comparaciones exclusivamente entre tratamientos de resultados extremos. Debido a este uso incorrecto de la DMS se vacila en su recomendación.2.01 en lugar de 0. Fácil de realizar 2. pero si el número de tratamientos es elevado debe reemplazarse la DMS por otra prueba.1. 4.2. El uso incorrecto más común es hacer comparaciones sugeridas por los datos. 2. Los pares de medias que se comparan son los que han sido planeados antes de ejecutar el experimento. Desventajas 1. 3. 59 . 9. Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones. 9.2. Válida cuando se han planeado las comparaciones que se van a hacer previamente a la obtención de los resultados. .. t i k 1.. Se quiere una confiabilidad del 95%.Igual número de repeticion es DMS t / 2 (GLErr ) 2(CME ) r 2(CME )( ri ri ri´ ri´) Diferente número de repeticion es i 1...ésimo tratamien to. elaboradas en Calc de Open Office.2.2...2. diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de DMS. Regla de decisión Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k DMS (DMS) k Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Haciendo uso de las hojas de cálculo.2. para resolver diseños experimentales más comunes. t (t 1) 2 Cuantil t de student con un nivel de significan cia /2 y con los grados de libertad del error. Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to. Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información del análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8): 60 ..1 Para el Ejemplo 6.1 (Montgomery.. (Ver Tabla I del Apéndice) CME r ri ri´ Cuadrado medio del error en el análisis de varianza.. 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar). Número de repeticion es para el i . t donde t / 2 (GLErr ) (DMS) k i´ t / 2 (GLErr ) i´ 1.. Número de repeticion es..3. se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS) con el siguiente ejemplo: Ejemplo 9. 9. D9 Y3 Y5 y D10 Y4 Y5 . C. D5 Y2 Y3 . D6 Y2 Y4 . Se rechaza H0 y hay significancia al 0. D3 Y1 Y4 . D4 Y1 Y5 .Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9. Y2 D2 Y1 Y3 .20 8.06 Total 24 636. Fcal Tratamientos 4 475.96 t= r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = FC = Alfa 5 5 5 5 5 5 Ftab 2.8 15. 61 .05 Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias: t (t 1) 2 (5)( 4) 2 10 D1 D7 Y1 Y2 .4 17. S.05 r=5 t=5 GLError = 20 CME = 8.76 Error 20 161.M. G.C.05 5655 0.87 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab.6 21.06 α = 0. D8 Y3 Y4 .94 14.6 10. Y5 .L.V.76 118.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F. En este caso se hace clic en la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS). Pruebas de comparaciones múltiples de medias PRUEBAS DE COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS Regresar DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) PRUEBA DE TUKEY PRUEBA DE DUNCAN PRUEBA DE SCHEFFÉ PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) 62 . en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6. Cuadro 17. en donde se hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en la cual se introducen los datos del experimento.Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. genera el Cuadro 17. en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe hacer clic en la prueba deseemos usar. A la derecha del Cuadro 17 aparece un hiperenlace para regresar hasta el inicio de las hojas de cálculo donde se hizo clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos. 00 88. Cuadro 18. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa. aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. Medias de Trat.00 77. de Trat. genera el Cuadro 18.60 21. el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil de la distribución t de student con el nivel de significancia α/2 y los grados de libertad del error (tα/2(GLErr)) aparecen de forma inmediata. DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) t= r1 = r2 = r3 = r4 = r4 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = CME = 5 5 5 5 5 5 Trat.00 0.80 0. de Trat.06 49. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 0. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0 tα/2(GLErr) = 2.00 108.80 15. el número de cada repetición (ri). en donde se introducen el número de tratamientos (t). A la derecha de Cuadro 18.00 0. Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento.60 10. los grados de libertad del error (GLErr).00 Núm.09 63 .05 20.00 54. Después se introducen los totales de tratamientos.00 0.00 8.Después de hacer clic en la prueba de la Diferencia Mínima Significativa (DMS) en el Cuadro 17. Las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata. Para esta prueba de comparación múltiple de media se pueden introducir hasta 10 tratamientos.00 0. Tot.40 17.00 9. el valor de alfa. el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres.80 2 r2 = 5 T2 77. encuentran protegidas contra escritura. Trat. el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos.00 17. El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 18.00 9. por lo que no es posible modificarse. aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.00 21. la del número de tratamiento ordenado. se puede ver abajo del Cuadro 19.40 3 r3 = 5 T3 88. de Trat.60 5 64 . el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas excepto.Después de introducir los datos del experimento. el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil. ordenado r1 = 5 T1 49. el Cuadro 20 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la DMS (negrillas). Ya que se genera el Cuadro 19. A la derecha del Cuadro 19. en la misma hoja.00 15.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54. hay que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente. Cuadro 19.60 4 r4 = 5 T4 108. queda como en el Cuadro 19: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado. Tot. Las celdas del Cuadro 20. Prueba de la Diferencia Mínima Significativa con las medias de tratamientos ordenados DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) Medias de Núm. por lo tanto. con las medias de tratamientos ordenados en forma ascendente. Trat.00 10. de t= 5 Trat. 05 20.6 1 0 1 0 0 0 0 0 3.75 3. la DMS es la misma para todas las diferencias de medias.75 3.75 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9 0 0 10 En el Cuadro 20.00 0.2 2.8 4.8 5. se muestran las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la DMS.00 0 0 0 0 0 Cuadro 20.75 0 0 0 0 0 10. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de las DMS 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.00 0.00 8.75 3. En caso de 65 .2 0 3 0 0 0 0 0 3.09 0.8 6.75 0 0 0 0 0 6. como los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones. para este ejemplo el valor de la DMS = 3.00 0.8 7.75 3.75 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 3.75 3.00 0.75 3.06 2.r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = CME = tα/2(GLErr) = T6 T7 T8 T9 T10 0.75.6 0 2 0 0 0 0 0 3. se emplea la distribución del rango estandarizado. En la columna con el número dos. dos. 66 . En la columna con el número cuatro. 9. se tendrán diferentes valores de la DMS. el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno. pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente. el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. tres y cuatro. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de la DMS En la columna con el número tres.3. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS. porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de la DMS. el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente a los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta. salvo por el hecho de que en lugar de utilizar las distribuciones de t como base para realizar las comparaciones.que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS. El Cuadro 20 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco. Prueba de Tukey Este método es muy similar en la aplicación al de DMS. Por lo tanto. el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de la DMS. . 2. Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to. 2.ésimo tratamien to. CME Cuadrado medio del error en el análisis de varianza r Número de repeticion es.. Igual número de repeticion es Diferente número de repeticion es i 1... Número de tratamien tos.. se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de Tukey con el siguiente ejemplo: Ejemplo 9. v 2 ) k 1. para resolver diseños experimentales más comunes. t donde q (v1 . v 2 ) v1 v2 i´ 1... t (t 1) 2 y con v1 y v 2 Cuantil para la prueba de Tukey con un nivel de significan cia los grados de libertad. ri ri´ Número de repeticion es para el i . v 2 ) CME r CME 1 2 ri 1 ri´ k q (v1 .3. Grados de libertad del error en el análisis de varianza.. 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar). elaboradas en Calc de Open Office... 9. 2..1. t i i´ q (v1 . diga cuál de los 67 .2 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.. Regla de decisión Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k k Haciendo uso de las hojas de cálculo.Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.1 (Montgomery. 8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.6 21.4 17. G.87 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. Se quiere una confiabilidad del 95%.94 14.8 15. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Tukey.05 r=5 v1 = t = 5 v2 = GLError = 20 CME = 8.05 Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias: 68 .06 α = 0.L.06 Total 24 636. Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8): Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.76 118.6 10.05 5655 0.C.96 t= r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = FC = Alfa 5 5 5 5 5 5 Ftab 2.V.M. S.20 8. Fcal Tratamientos 4 475.76 Error 20 161. C. en donde se hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. D3 Y1 Y4 . Después de hacer clic en la prueba de Tukey en el Cuadro 17. el valor de alfa. Y1 Y2 . D9 Y3 Y5 y D10 Y4 Y5 . en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). Después se introducen los totales de tratamientos. D8 Y3 Y4 . en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe hacer clic en la prueba deseemos usar. las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata. el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil para la prueba de Tukey con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad qα(v1. los grados de libertad del error (GLErr = v2). D4 Y1 Y5 . En este caso se hace clic en la prueba de Tukey. Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. genera el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9. v2). genera el Cuadro 21. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos. Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. D6 Y2 Y4 .2). en donde se introducen el número de tratamientos (t = v1). 69 . Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”.t (t 1) 2 D1 D7 (5)( 4) 2 10 D2 Y1 Y3 . Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6. D5 Y2 Y3 . el número de cada repetición (ri). Y2 Y5 . 70 . el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos. Cuadro 21. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.60 21.06 qα(v1.60 10. excepto la del número de tratamiento ordenado. el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. por lo tanto.00 Núm. PRUEBA DE TUKEY t = v1 = r1 = r2 = r3 = r4 = r4 = r6 = 5 5 5 5 5 5 Trat. de Trat.00 9. T1 T2 T3 T4 T5 T6 49. queda como en el Cuadro 22: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado.00 0. el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas.00 88.05 GLErr = v2 = 20. se tiene que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente.A la derecha del Cuadro 21 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. de Trat.23 Después de introducir los datos del experimento. El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 21. el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco. Tot. Medias de Trat. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil. v2) = 4.00 77.00 108.00 0.00 54.80 0.00 0. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0 r7 = T7 r8 = T8 r9 = T9 r10 = T10 Alfa = 0.40 17.00 0. Prueba de Tukey.80 15.00 CME = 8. 00 0.60 0.80 7.37 5.37 5.00 CME = 8.06 qα(v1.05 GLErr = v2 = 20.80 4.37 0 0 0 0 0 10.20 0 71 . se encuentran protegidas contra escritura. Medias de Trat.20 2. ordenado r1 = 5 T1 49.60 1. Las celdas del Cuadro 23.60 0 2 0 0 0 0 0 5.80 5.37 5.00 0 1 0 0 0 0 0 5.40 3 r3 = 5 T3 88.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54. de Trat. Cuadro 22. A la derecha del Cuadro 22 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. Prueba de Tukey con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE TUKEY Núm. en la misma hoja.23 T4 T6 T7 T8 T9 T10 108.00 10.37 5. con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 22.00 0.Ya que se genera el Cuadro 22.00 9.00 0.60 4 r4 = 5 r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = 0.00 5 0 0 0 0 0 Cuadro 23.80 6. Tot. el Cuadro 23 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Tukey (Γk) (negrillas).00 15. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Γk 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11. v2) = 4.37 5.37 3 0 0 0 0 0 6. de t = v1 = 5 Trat. por lo que no es posible modificarse.00 0.00 21. Trat.00 17.80 2 r2 = 5 T2 77. se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Tukey (Γk).4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5. se tendrían diferentes valores de la prueba de Tukey (Γk). porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk. los valores de la prueba de Tukey (Γk) son los mismos para todas las diferencias de medias. En caso de que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento. En la columna con el número cuatro.37 4. dos y tres. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Γk.37 0 En el Cuadro 23. el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno. para este ejemplo Γk = 5. como los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones.00 5. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Γk. el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos.37 0 5.37. pero el tratamiento ordenado cinco y el tratamiento ordenado cuatro no difieren significativamente. pero el tratamiento 72 . El Cuadro 23 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco. ya que su diferencia de medias (Dk) es mayor a su respectivo valor de Γk. Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk.ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente. o sea que aun sin ser significativa la prueba F puede llevarse a cabo. el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente al tratamiento ordenados uno. porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de Γk. En la columna con el número tres. Prueba de Duncan Esta prueba no requiere de una prueba previa de F. dos y tres) y tiene su media de tratamiento más alta. pero el tratamiento ordenado tres y el tratamiento ordenado dos no difieren significativamente. 73 . el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a tres tratamientos ordenados (tratamientos uno. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Γk.4. el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente. 9. En la columna con el número dos. Por lo tanto. ... Este proceso se continúa hasta que se han considerado las diferencias (Dk) entre todos los t(t-1)/2 pares de medias posibles más. t i U (v1 ..Igual número de repeticion es Ck U (v1 . De la misma forma anterior se calculan las diferencias (Dk) para la segunda media mayor... Si la diferencia (Dk) es significativa se calcula de la misma forma anterior. la diferencia (Dk) de la mayor y la segunda menor.. Para aplicar la prueba de Duncan primero se ordenan en forma creciente las medias de tratamientos Y(1) . Y(t) . 2. Distancia acumulada entre las medias de tratamien to involucradas en la D k correspondiente. 2.. CME 1 2 ri 1 ri´ t (t 1) 2 y con Cuantil para la prueba de Duncan con un nivel de significan cia v 1 y v 2 grados de libertad.ésimo tratamien to.. v 2 ) k 1.. ninguna de las diferencias (Dk) entre un par de medias se considera significativa si las dos medias en cuestión se localizan entre otras dos medias que no difieren significativamente. Y(2) .. CME Cuadrado medio del error en el análisis de varianza r Número de repeticion es... t donde U (v1 . empezando con la mayor contra la menor. v 2 ) v1 v2 i´ 1. ri ri´ Número de repeticion es para el i . después se prueban las diferencias entre las medias (Dk).. v 2 ) Ck i´ k CME r k Diferente número de repeticion es i 1.. Si esta diferencia (Dk) es no significativa entonces todas las otras diferencias (Dk) con la media mayor son no significativas. 2. 74 . Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to. Este procedimiento continúa hasta que un par de medias es no significativo o hasta que todas las medias se han comparado con la media mayor. Para evitar contradicciones.. Grados de libertad del error en el análisis de varianza. 1.1 (Montgomery. diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Duncan.4.3 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.76 118. Se quiere una confiabilidad del 95%. 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar). Fcal Tratamientos 4 475.V.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F. Regla de decisión Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Ck Ck Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Haciendo uso de las hojas de cálculo. C.6 21.C. elaboradas en Calc de Open Office. G.94 14.M.9.76 Error 20 161.20 8.96 t= r1 = r2 = r3 = 5 5 5 5 Ftab 2. S.8 15.6 10.4 17.06 Total 24 636. Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8): Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9. para resolver diseños experimentales más comunes.87 75 .L. se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de Duncan con el siguiente ejemplo: Ejemplo 9. donde v1 es la distancia acumulada entre las medias de tratamiento involucradas en la Dk 76 .05 Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9. en donde se hace clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe hacer clic en la prueba deseemos usar. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. en donde se introducen el número de tratamientos (t).r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = FC = Alfa 5 5 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab. aparece el Cuadro 24. Después de hacer clic en la prueba de Duncan en el Cuadro 17.05 5655 0. En este caso se hace clic en la prueba de Duncan. el valor de alfa. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. los grados de libertad del error (GLErr = v2).2). Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 5. el cuadrado medio del error (CME) y los cuantiles para la prueba de Duncan con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad Uα(v1. v2). el número de cada repetición (ri).05 r=5 t=5 v2 = GLError = 20 CME = 8.06 α = 0. 40 17.06 2. 77 .00 108.00 8. v2) = 5 5 5 5 5 5 Trat.60 10.00 0.18 3. excepto la del número de tratamiento ordenado. A la derecha del Cuadro 24. las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata. de Trat.80 15.00 77. aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.80 0.25 Después de introducir los datos del experimento. Prueba de Duncan PRUEBA DE DUNCAN t= r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = Uα(v1. Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento.95 3. Tot.00 0. el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas. de Trat.00 0.00 9.60 21.00 Núm. Cuadro 24.05 20. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.00 0. Después se introducen los totales de tratamientos.00 88.correspondiente.00 54. Medias de Trat. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0. se tiene que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 49.10 3. Tot.00 0 0 0 0 0 3.06 2.40 3 r3 = 5 T3 88. se encuentran protegidas contra escritura. por lo tanto. Medias de Trat. de Trat. Prueba de Duncan con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE DUNCAN Núm.60 5 r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = Uα(v1.00 15.00 10.00 0.00 0. el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos. Cuadro 25. por lo que no es posible modificarse.00 0. el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco.60 4 r4 = 5 T4 108. se puede ver abajo del Cuadro 25.00 21.18 0. ordenado r1 = 5 T1 49. el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres.El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 24 queda como en el Cuadro 25: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado. Las celdas del Cuadro 26. A la derecha del Cuadro 25 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.25 78 .00 17.00 0. Trat.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.00 8. con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente. de t= 5 Trat. Ya que se tiene el Cuadro 25.00 9. v2) = T6 T7 T8 T9 T10 0. el Cuadro 26 con las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Duncan (Ck) (negrillas).10 3.05 20.95 3. en la misma hoja. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.80 2 r2 = 5 T2 77. 13 4. el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno.94 3.04 3. En la columna con el número cuatro. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck.75 0 0 0 0 0 6.04 3. dos.94 3. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck. tres y cuatro.6 0 2 0 0 0 0 0 4.8 7.8 5.94 3.Cuadro 26.75 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 3.2 0 3 0 0 0 0 0 3.8 6.75 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9 0 0 10 En el Cuadro 26.2 2. El Cuadro 26 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco.75 0 0 0 0 0 10.6 1 0 1 0 0 0 0 0 4. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de Ck 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11. pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren 79 . se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Duncan (Ck).8 4. podemos ver que el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. En la columna con el número tres. Por lo tanto. En los experimentos exploratorios las comparaciones de interés se descubren sólo después de examinar los resultados. el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente.5. En la columna con el número dos. el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. Prueba de Scheffé En algunas situaciones no es fácil conocer las comparaciones que se deben realizar o es posible realizar más de t-1 comparaciones.significativamente. 80 . el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a todos los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta. El método de Scheffé para probar cualquier contraste es muy general en el sentido de que todas las posibles comparaciones pueden probarse en cuanto a significancia. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de Ck. 9. porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de Ck. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de Ck. Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones. Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to. para resolver diseños experimentales más comunes.5..ésimo tratamien to.4 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6. elaboradas en Calc de Open Office. 9. t donde F (v1 .1 Regla de decisión Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k k Haciendo uso de las hojas de cálculo. 2. Número de repeticion es para el i . t i i´ 2(t 1) F (v1 .. Cuadrado medio del error en el análisis de varianza Número de repeticion es... diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de Scheffé.. v 2 ) v1 v2 CME r ri ri´ t -1 i´ 1... Se quiere una confiabilidad del 95%. 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar). 81 . 2... se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de Scheffé con el siguiente ejemplo: Ejemplo 9.1 (Montgomery.Igual número de repeticion es Diferente número de repeticion es i 1... t (t 1) 2 ri´ ) Cuantil para la distribución F con un nivel de significan cia v 1 y v 2 grados de libertad.. 2. (Ver Tabla II del Apéndice) y con Grados de libertad del error en el análisis de varianza. v 2 ) (CME )( ri (ri )( ri´ ) k 1. v 2 ) (CME ) r k (t 1) F (v1 . 05 r=5 v1 = t-1 = 4 v2 = GLError = 20 CME = 8.76 Error 20 161.05 5655 0.96 t= R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = R10 = FC = Alfa 5 5 5 5 5 5 Ftab 2.76 118.M. Fcal Tratamientos 4 475. G.94 14.6 21. C.C. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.20 8.05 Como hay 5 tratamientos en el experimento se tienen que obtener 10 diferencias: t (t 1) 2 (5)( 4) 2 10 82 .Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8): Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.06 Total 24 636.6 10.06 α = 0.87 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.L.4 17.8 15.V. S. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. D5 Y2 Y3 . D6 Y2 Y4 . el valor de alfa. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6. A la derecha del Cuadro 27 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. v2).D1 D7 Y1 Y2 . el número de cada repetición (ri). en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se tiene que hacer clic en la prueba deseemos usar.2). el cuadrado medio del error (CME) y el cuantil para la distribución F con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad Fα(v1. Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9. Después de hacer clic en la prueba de Scheffé en el Cuadro 17. Y5 . en donde se tiene que hacer clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde se introducen los datos del experimento. en donde se introducen el número de tratamientos (t). Y3 Y4 . D9 D3 Y1 Y4 . los grados de libertad del error (GLErr = v2). En este caso se hace clic en la prueba de Scheffé. Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos. Después se introducen los totales de tratamientos. Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. D8 Y3 Y5 y D10 Y4 Y5 . aparece el Cuadro 27. 83 . las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparece de forma inmediata. D4 Y1 Y5 . donde v1 = t-1 aparece de forma inmediata. Y2 D2 Y1 Y3 . el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas. el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco.60 10. v2) = 2.80 0. ordenado 1 Regresar 2 3 4 5 0 0 0 0 0 r7 = T7 r8 = T8 r9 = T9 r10 = T10 Alfa = 0.00 54. excepto la del número de tratamiento ordenado. T1 T2 T3 T4 T5 T6 49. con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 28.00 0. Tot.00 108.00 0.60 21.Cuadro 27. el Cuadro 29 con 84 . de Trat.80 15. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.40 17. de Trat. el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos.05 GLErr = v2 = 20.00 77.06 Fα(v1.00 88.00 9. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno.71 Después de introducir los datos del experimento.00 0. Medias de Trat.00 0. Prueba de Scheffé PRUEBA DE SCHEFFÉ t= r1 = r2 = r3 = r4 = r4 = r6 = 5 5 5 5 5 5 Trat. por lo tanto. Ya que se tiene el Cuadro 28. se tiene que de ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente. El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 27 queda de la siguiente manera en el Cuadro 28: para este ejemplo se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado.00 CME = 8.00 Núm. en la misma hoja. el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres. 00 0.2 2.8 5.80 2 r2 = 5 T2 77.60 4 r4 = 5 T4 108.00 0 r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = Fα(v1.00 0.00 0 r7 = T7 0.80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.8 6. por lo que no es posible modificarse. Prueba de Scheffé con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE SCHEFFÉ Núm.08 6.00 9. Trat.08 6. Las celdas del Cuadro 29.06 2.08 6.00 10.08 0 0 0 0 0 6.00 17.08 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 6.71 0. de t= 5 Trat.00 0 0 0 Cuadro 29.40 3 r3 = 5 T3 88.00 21. A la derecha del Cuadro 28 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.08 6.05 20. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de ξK 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11.las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Scheffe (ξk) (negrillas). se encuentran protegidas contra escritura.08 6.6 1 0 1 0 0 0 0 0 6. Tot. v2) = T8 T9 T10 0.6 0 2 0 0 0 0 0 6.2 0 3 0 0 0 0 0 6.60 5 r6 = T6 0.08 6. de Trat.08 0 0 0 0 0 10.00 15.08 85 . Cuadro 28.00 8. Medias de Trat. ordenado r1 = 5 T1 49.8 7.8 4. 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 En el Cuadro 29. los valores de la prueba de Scheffe (ξk) son los mismos para todas las diferencias de medias. El Cuadro 29 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco. que para este ejemplo ξk = 6. el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. pero el tratamiento ordenado cinco y el tratamiento ordenado cuatro no difieren significativamente. se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Scheffe (ξk). En la columna con el número cuatro. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de ξk. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de ξk. dos y tres. se tendrían diferentes valores de la prueba de Scheffe (ξk). ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de ξk. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de ξk. pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente. En caso de que se tratara de un diseño con diferentes repeticiones por tratamiento. el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno.08. 86 . como los tratamientos tienen el mismo número de repeticiones. K)k q (v1 . 2. 3... 9. 2.. Esta prueba es una modificación de la prueba Tukey. 2... t i´ 1. También llamada prueba de Newman-Keuls.... En la columna con el número dos.N . el tratamiento ordenado tres no es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. . Igual número de repeticion es (S N K )k q (v1 . t 87 .. 2. k 1. t i i´ (S .. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) Cada una de las tres personas mencionadas contribuyó al desarrollo de esta prueba. v2 ) k CME r CME 1 2 ri v1 1 ri´ Diferente número de repeticion es i 1.En la columna con el número tres.. el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a tres tratamientos ordenados (tratamientos uno.. Por lo tanto.. el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente. o simplemente método de Keuls.. dos y tres) y tiene su media de tratamiento más alta. Esta prueba presenta dos opciones con base en el número de repeticiones de los tratamientos involucrados en el experimento: igual y diferente número de repeticiones.6. porque su diferencia de medias (Dk) es menor a su respectivo valor de ξk. v2 ) k t (t 1) 2 Número de repeticion es para el i´-ésimo tratamien to.. ya que sus diferencias de medias (Dk) no son mayores a su respectivo valor de ξk. v2 ) Cuantil para la prueba de S .N . Número de repeticion es para el i .. primero se ordenan en forma creciente las medias de tratamientos Y(1) . 9. Regla de decisión y con Grados de libertad del error en el análisis de varianza.. Este procedimiento continúa hasta que un par de medias es no significativo o hasta que todas las medias se han comparado con la media mayor.6. CME Igual número de repeticion es se rechaza H 0 si D k (S N (S K)k N K)k Diferente número de repeticion es se rechaza H 0 si D k Haciendo uso de las hojas de cálculo. después se prueban las diferencias entre las medias (Dk). Cuadrado medio del error en el análisis de varianza Número de repeticion es. v2 r ri ri´ Para aplicar la prueba de S-N-K. empezando con la mayor contra la menor. Este proceso se continúa hasta que se han considerado las diferencias (Dk) entre todos los t(t-1)/2 pares de medias posibles más.ésimo tratamien to. Y(2) . para resolver diseños experimentales más comunes.. la diferencia (Dk) de la mayor y la segunda menor. Si esta diferencia (Dk) es no significativa entonces todas las otras diferencias (Dk) con la media mayor son no significativas. Si la diferencia (Dk) es significativa se calcula de la misma forma anterior. De la misma forma anterior se calculan las diferencias (D k) para la segunda media mayor.K con un nivel de significan cia v1 y v 2 grados de libertad. elaboradas en Calc de Open Office. se ilustra la técnica de comparaciones múltiples de medias para la prueba de S-N-K con el siguiente ejemplo: 88 .donde q (v1 . al igual que en la prueba de Duncan. Y(t) ..1. S.96 t= r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = r7 = r8 = r9 = r10 = FC = Alfa 5 5 5 5 5 5 Ftab 2.87 CONCLUSIÓN Fcal > Ftab.8 15. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 89 .76 118.C.6 10.76 Error 20 161. C.3 (Montgomery.20 8.05 5655 0.L. G. diga cuál de los tratamientos es el más efectivo utilizando la prueba de S-N-K.94 14.Ejemplo 9.M. Respuesta Se utilizan los totales de tratamiento de los datos originales (Cuadro 5) y la información de la tabla de análisis de varianza correspondiente (Cuadro 8): Observaciones 1 2 3 4 5 Total Media Peso porcentual del algodón (tratamientos) 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 49 77 88 108 54 9.6 21.V. Se quiere una confiabilidad del 95%.5 Tomando nuevamente los datos del Ejemplo 6.06 Total 24 636.8 ANÁLISIS DE VARIANZA F.4 17. 2007) de los cinco pesos porcentuales del algodón (diseño completamente al azar). Fcal Tratamientos 4 475. donde v1 = 2. t.…. los grados de libertad del error (GLErr = v2). A la derecha del Cuadro 30 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias. Después de hacer clic en la prueba de S-N-K en el Cuadro 17. v2). t v2 = GLError = 20 CME = 8. las medias de tratamientos y el número de tratamiento ordenado aparecen de forma inmediata. aparece el Cuadro 30. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. 90 .06 Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office.05 r=5 t=5 v1 = 2.2). aparece el Cuadro 17 (mencionado en la sección 9. el valor de alfa. el cuadrado medio del error (CME) y los cuantiles para la prueba de S-N-K con un nivel de significancia α y con v1 y v2 grados de libertad qα(v1. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). el número de cada repetición (ri). Para esta prueba de comparación múltiple de media se puede introducir hasta 10 tratamientos. 3. 3. en donde se introducen el número de tratamientos (t). Después de hacer clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos en el Cuadro 6. En este caso se hace clic en la prueba de S-N-K. Después se introducen los totales de tratamientos. ….α = 0. en el que se hace clic en comparaciones múltiples de medias de tratamientos y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se tiene que hacer clic en la prueba deseemos usar. Para este ejemplo tenemos cinco tratamientos y cinco repeticiones para cada tratamiento. en donde se tiene que hacer clic en la prueba que deseemos usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja en donde debemos de introducir los datos del experimento. Este ordenamiento se hace así para que después el cuadro de diferencias de medias se pueda interpretar más fácil.06 2. se tiene que ordenar las medias de tratamientos de forma ascendente. el ordenamiento se hace incluyendo todas las columnas. el Cuadro 32 con 91 . por lo tanto.40 2 r3 = 5 T3 88.80 5 r6 = 5 T6 0. El ordenamiento de las medias de tratamiento del Cuadro 30 queda como en el Cuadro 31: para este ejemplo. Trat.00 0 0 0 0 4.00 21. se modifica el orden de los últimos cuatro tratamientos originales con respecto a la columna del número de tratamiento ordenado.Cuadro 30.00 9.00 6 r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = qα(v1. en la misma hoja. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) Núm. con las medias de tratamientos ordenadas en forma ascendente se puede ver abajo del Cuadro 31.80 1 Regresar r2 = 5 T2 77.00 8.60 4 r5 = 5 T5 54.00 0.96 0. El tratamiento ordenado uno coincide con el tratamiento original uno. v2) = T7 T8 T9 T10 0.95 3. el tratamiento ordenado tres corresponde al tratamiento original dos. Medias de Trat. ordenado r1 = 5 T1 49. Tot. el tratamiento ordenado dos corresponde al tratamiento original cinco. excepto la del número de tratamiento ordenado.05 20.00 15.00 0. Ya que se tiene el Cuadro 31. de t= 5 Trat. el tratamiento ordenado cuatro corresponde al tratamiento original tres.60 3 r4 = 5 T4 108.00 17.00 0.58 3.00 10.23 Después de introducir los datos del experimento. de Trat. 2 0 3 0 0 0 0 0 4. por lo que no es posible modificarse.55 3.00 21.60 4 r4 = 5 T4 108.00 17.las diferencias de medias (Dk) de los tratamientos ordenados y el ó los valores de la prueba de Student-Newman-Keuls ((S-N-K)K) (negrillas). de Trat.03 4.00 0.37 5.8 6.23 Cuadro 32. Trat.00 8. Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K Diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y valores de (S-N-K)K 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 11. de t= 5 Trat.6 1 0 1 0 0 0 0 0 5.96 0.55 3. Cuadro 31.8 7. v2) = T7 T8 T9 T10 0. ordenado r1 = 5 T1 49.00 0 0 0 0 4.00 10.00 0.58 3. Prueba de Student-Newman-Keuls (S-N-K) con las medias de tratamientos ordenados PRUEBA DE STUDENT-NEWMAN-KEULS (S-N-K) Núm.2 2.60 5 r6 = 5 T6 0.75 4 0 0 0 0 0 4 0 92 .80 1 Regresar r5 = 5 T5 54.80 2 r2 = 5 T2 77. Las celdas del Cuadro 32 se encuentran protegidas contra escritura. A la derecha del Cuadro 31 aparece un hiperenlace para regresar hasta donde se seleccionó el tipo de prueba de comparación múltiple de medias.75 0 0 0 0 0 10.03 4.00 0.05 20.8 4.75 0 0 0 0 0 6.40 3 r3 = 5 T3 88.06 2.00 6 r7 = r8 = r9 = r10 = Alfa = GLErr = v2 = CME = qα(v1.95 3.00 15.8 5. Medias de Trat.6 0 2 0 0 0 0 0 5. Tot.00 9.55 3. pero el tratamiento ordenado cuatro y el tratamiento ordenado tres no difieren significativamente. el tratamiento ordenado dos y el tratamiento ordenado uno no difieren significativamente. 93 . ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K. el tratamiento ordenado tres es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. porque su diferencia de medias (D k) es menor a su respectivo valor de (S-N-K)K. tres y cuatro. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K. En la columna con el número tres. se muestran las diferencias de medias (Dk) de tratamientos ordenados y abajo sus respectivos valores de la prueba de Student-NewmanKeuls ((S-N-K)K). El Cuadro 32 se interpreta de la siguiente manera: En la columna con el número cinco.5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. dos. En la columna con el número dos.75 0 En el Cuadro 32. porque su diferencia de medias (Dk) es menor que su valor respectivo de (S-N-K)K. En la columna con el número cuatro. ya que sus diferencias de medias (Dk) son mayores a su respectivo valor de (S-N-K)K. el tratamiento ordenado cuatro es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno y dos. el tratamiento ordenado cinco es diferente significativamente a los tratamientos ordenados uno. La principal desventaja del cuadrado latino es que el número de filas. El número de hileras o columnas es igual al número de tratamientos. Así. es decir un bloque completo. y así debe lograrse una disminución sustancial en el error para compensar el corto número de grados de libertad. En los cuadrados latinos. 10. El número total de unidades experimentales a utilizar es t2. si hay muchos tratamientos. columnas y tratamientos debe ser el mismo. se presentan simultáneamente dos posibles fuentes de variabilidad. a medida que aumenta el tamaño del bloque. Cada hilera o columna constituye una repetición completa de los tratamientos.1. como en los bloques al azar. el número de parcelas pronto se hace impracticable. Un tratamiento cualquiera aparece representado sólo una vez en la misma hilera y en la misma columna. Características Este tipo de diseño se utiliza cuando la variabilidad del material experimental ocurre en dos sentidos. La disposición de las hileras o columnas se realiza mediante un mecanismo aleatorio. 94 . Se tiene igual número de columnas y de hileras. Las hileras presentan el efecto de una de las fuentes de variabilidad y las columnas el efecto de la otra fuente de variabilidad. DISEÑO EN CUADRO LATINO 10. Cuando el número de tratamientos a probar es grande se vuelve poco práctico la utilización de este diseño. Los cuadros latinos pequeños proporcionan pocos grados de libertad para estimar el error experimental. el error experimental por unidad probablemente aumente. es decir. Se construye al distribuir los tratamientos en un arreglo de hileras y columnas.Por lo tanto. el tratamiento ordenado cinco (tratamiento original cuatro) que corresponde al 30% del peso porcentual del algodón es el mejor porque es diferente significativamente a todos los demás tratamientos y tiene su media de tratamiento más alta. . t Yijk j 1.. Número de tratamientos.3.. Construcción de un cuadro latino básico Para formar un cuadro latino básico se deben tomar en cuenta el número de tratamientos en el experimento. t..10. Efecto de la j-ésima columna. Cuadro latino básico 1 1 2 3 4 T1 T2 T3 T4 2 T2 T3 T4 T1 3 T3 T4 T1 T2 4 T4 T1 T2 T3 95 . Cj (ij) k eijk 10.. E( eijk ) 2 0 . t.. 2. el número de columnas y de hileras será igual al número de tratamientos. Modelo Lineal El modelo lineal para los diseños en cuadro latino es el siguiente: Yijk donde Hi Cj (ij ) k eijk k 1. Construiremos el siguiente cuadro latino básico de 4 x 4 (4 tratamientos.. t. 2.... 2. Efecto de la k-ésimo tratamiento (siendo una función de i y de j) Término de error aleatorio.. Respuesta obtenida en la j-ésima tratamiento del i-ésimo bloque. E( eijk ) 2 i 1. Cuadro 33. 4 hileras y 4 columnas) (ver Cuadro 33). Efecto medio general.. Así.2. Hi Efecto de la i-ésima hilera. la hilera 3 se forma al recorrer los tratamientos de la hilera 2 una posición hacia la izquierda y la hilera 4 se forma al recorrer los tratamientos de la hilera 3 una posición hacia la izquierda. El mecanismo anterior es aplicable a un cuadro latino básico de cualquier dimensión y asegura que los tratamientos en el experimento aparecerán una sola vez en cada hilera y una sola vez en cada columna del cuadro latino básico. 10.Observe que en el Cuadro 33 la hilera 1 del cuadro latino se forma al disponer los tratamientos en orden de aparición. Ht vs H a : Al menos una H i (hilera) produce un efecto diferente de las demás. Análisis de varianza El análisis de varianza para el diseño en cuadro latino está dado por el Cuadro 34: 96 .4. sobre las columnas y sobre los tratamientos. H 0 : H1 H2 ... 3. Ct vs H a : Al menos una C j (columna) produce un efecto diferente de las demás. Hipótesis a probar Las hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales son sobre las hileras. H 0 : C1 C2 . 2. 10. la hilera 2 se forma al recorrer los tratamientos de la hilera 1 una posición hacia la izquierda... Tt vs H a : Al menos un Tk (tratamien to) produce un efecto diferente de las demás.5... y son las siguientes: 1. H 0 : T1 T2 . Tratamient os G. Tratamient os S. (Ver Tabla II del Apéndice) Grados de libertad de las hileras. Error S.. Total .) (C. Tratamientos S.C. Yi . Columnas S. Error F (v1. 2. Total S.C. v 2 ) F (v 3 . t t 2 Yi. v 2 ) v1 v2 v3 v4 Ftab Hil Ftab Col Ftab Trat Cuantil de la distribución F.M . Error G..2 k S. Suma de todas las observaciones en el experimento.L.. Columnas S.C.C.C. Tratamient os k 1 t t t t FC S .M .L.L. v 2 ) F (v 4 .C. Suma de todas las observaciones que pertenecen a la i-ésima hilera. FC Y .C. Error S. j.) (G.. columnas .S. Estructura del análisis de varianza para un diseño en cuadro latino Grados Fuente de Suma de Cuadrado F calculada de Variación Cuadrados Medio ( Fcal ) Libertad (F.V. Suma de todas las observaciones que pertenecen a la j-ésima columna. v2 ) F (v 3 ... Columnas G.L. Error C. Hileras G.Cuadro 34. Hileras C.) Hileras Columnas Tratamientos Error Total Donde: t-1 t-1 t-1 (t 1)(t 2) (t 2 1 F de tablas ( Ftab ) S. Factor de corrección.L. Columnas C. Hileras .C.Tratam ientos Donde: FC Y . Columnas j 1 S. Hileras S.C.. Hileras i 1 t t FC Y. Grados de libertad de las columnas. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.S.M .C. Grados de libertad del error. Y . t2 t 2 Y.C. v 2 ) F (v 4 .C.C.M. Error C.C. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.M .C.C. Tratamient os C.S. j FC S. Hileas S. Error C.C.C.M . 97 . Grados de libertad de los tratamien tos.) (S. Total i 1 j 1 k 1 Y(2 ) k ij FC S. v 2 ) F (v1 .C.M . Y.. los cuales pueden influir de manera negativa sobre los resultados del experimento. para resolver diseños experimentales más comunes. Las condiciones de oxigenación que se probaron fueron: Supraeróbica (T1). 2003). columnas y tratamientos es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal Ftab Haciendo uso de las hojas de cálculo. El bacteriólogo desea saber en cuál de las condiciones de oxigenación se da el mejor desarrollo de la bacteria con el fin de reproducirla en forma masiva y liberarla en el campo.1 Se tiene un experimento en donde un bacteriólogo estudia el efecto del oxígeno sobre el desarrollo de la bacteria Bacillus popilliiae que ejerce un control sobre el escarabajo japonés Popillia japonica produciéndole la enfermedad lechosa de las larvas (Castillo. Por esta razón se decidió emplear un diseño en cuadro latino para este experimento. Aeróbica (T3) y Semianaeróbica (T4). se ilustra la técnica de diseño en cuadro latino con el siguiente ejemplo: Ejemplo 10.6. Anaeróbica (T2).k Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo tratamiento. el cual proviene de cuatro lotes diferentes y es preparado por cuatro diferentes ayudantes de laboratorio. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza para las hileras. El medio donde se reproducirá la bacteria es BK. elaboradas en Calc de Open Office. 10. Al parecer hay dos factores de confusión cuyos efectos se deben cancelar: los lotes de BK y los ayudantes de laboratorio. La unidad experimental consistió en un conjunto de 5 cajas de petri con BK. La variable respuesta fue la 98 . concentración bacteriana promedio por unidad experimental. La concentración bacteriana se midió como: n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109). A partir de un cuadro latino básico de cuatro tratamientos se aleatorizaron las hileras para asignar los tratamientos a las unidades experimentales. Las hileras representan los efectos de los lotes de BK y las columnas los efectos de los ayudantes de laboratorio. La disposición final de los tratamientos para los lotes de BK y los ayudantes de laboratorio se muestra en el Cuadro 35: Cuadro 35. Cuadro latino aleatorizado (en base a las hileras). Lotes de BK I II III IV Ayudantes de laboratorio 1 T4 T2 T3 T1 2 T1 T3 T4 T2 3 T2 T4 T1 T3 4 T3 T1 T2 T4 Se obtuvieron los siguientes valores de concentración bacteriana que se muestran en el Cuadro 36: Cuadro 36. Concentración bacteriana (n° de células / ml (según la escala de Mc Farland 1 x 109)). Lotes de BK I II III IV 1 T4 2.0 T2 1.4 T3 2.0 T1 1.3 T1 T3 T4 Ayudantes de laboratorio 2 1.2 1.9 1.5 T2 T4 T1 T3 3 1.5 1.6 1.1 2.4 T3 T1 T2 T4 4 2.2 0.9 1.7 1.7 T2 1.7 Fuente: Castillo (2003). 99 ¿Existe diferencias entre las cuatro condiciones de oxigenación en el desarrollo de Bacillus popilliae?. Se desea una respuesta con una confiabilidad del 95% Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”, en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6), en el que se hace clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se deben introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en cuadro latino. Después de hacer clic en diseño en cuadro latino en el Cuadro 6, aparece el Cuadro 37, en donde se introducen los datos del experimento. El Cuadro 37 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento, ya que el resto de la tabla se encuentra protegida contra escritura. En este ejemplo, se tiene cuatro tratamientos, por lo que el cuadro latino tendrá 4 hileras y 4 columnas. Para este tipo de diseño se puede introducir hasta 10 tratamientos. Una vez introducidos los datos, aparecen en la última columna del Cuadro 37, los totales por hilera; en la antepenúltima fila se debe de introducir los totales por tratamiento de forma manual, ya que para éstos no se puede introducir una formula porque están en forma aleatoria; en la penúltima fila aparecen los totales por columna y en la última fila aparecen las sumas del cuadrado de observaciones por columna, los cuales se necesitan para el análisis de varianza. A la derecha del Cuadro 37 aparecen dos hiperenlaces, uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño. 100 Cuadro 37. Diseño en cuadro latino DISEÑO EN CUADRO LATINO Columnas Hileras 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tot. por trat. Tot. por col. Sumas del cuadrado de obs. por col. 2.0 1.4 2.0 1.3 1.2 1.9 1.5 1.7 1.5 1.6 1.1 2.4 2.2 0.9 1.7 1.7 Totales por 9 10 Hilera 6.9 5.8 6.3 7.1 Ir al análisis Regresar 4.5 6.3 8.5 6.8 6.7 6.3 6.6 6.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 11.7 10.2 11.8 11.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Al hacer clic en el hiperenlace, Ir al análisis, genera el Cuadro 38 donde mediante fórmulas aparecen el número de tratamientos (t), el número de columnas (c), el número de hileras (h), el factor de corrección (FC), así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a las hileras, columnas y tratamientos. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.05), pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. Todas las celdas del Cuadro 38, a excepción del valor de alfa, están protegidas contra escritura, por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas. A la derecha del Cuadro 38, aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento. Para este ejemplo, mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% no se rechazan las hipótesis nulas (H0) de las hileras y de las columnas, debido a que Fcal Hil = 3.3 ≤ Ftab Hil = 4.76 y Fcal 101 Col = 0.28 ≤ Ftab Col = 4.76, 11.30 4. lo que indica que al menos el efecto de un tratamiento es diferente de los demás Cuadro 38. Fcal Ftab t= 4 Hileras 3 0. Son de gran valor en trabajo exploratorio cuando se sabe poco sobre niveles óptimos de los factores.C.05 Fcal Trat > Ftab Trat.28 4.6 > Ftab Trat = 4. C. y en diseños factoriales.respectivamente.76 h= 4 Tratamientos 3 2.76. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.03 FC = 42.05 11. ANÁLISIS DE VARIANZA F.V. debido que Fcal Trat = 25.159 0.09 3.1.L. lo que indica que el efecto de las hileras es igual y el efecto de las columnas es igual.47 Alfa 0. DISEÑO FACTORIAL Regresar El diseño factorial se emplea en la planeación.76 Error 6 0.05 CONCLUSIÓN Fcal Hil ≤ Ftab Hil.022 0. Características Los diseños factoriales se usan prácticamente en todos los campos de investigación.01 0. Este tipo de diseño se utiliza cuando se desea conocer los efectos producidos por dos o más factores controlados que actúan simultáneamente en un experimento.262 0. S. Análisis de varianza para el diseño en cuadro latino. El término nivel se refiere a los diferentes tratamientos dentro de un factor.58 Total 15 2.76 c= 4 Columnas 3 0.05 Fcal Col ≤ Ftab Col. mientras que la hipótesis nula (H0) para los tratamientos se rechaza. o ni siquiera cuales son importantes.6 4.032 0.68 25. 102 . No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.M. respectivamente. Un factor es una clase de tratamiento. ejecución y análisis de experimentos que pretendan evaluar el efecto producido por dos o más factores que actúan simultáneamente en un experimento. todo factor proporciona varios tratamientos. G. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. a3.).2. c2. Nomenclatura Para denominar los diferentes tipos de diseños factoriales se utiliza la siguiente nomenclatura base: nk: Factorial con k factores a n niveles (la base representa a los niveles y la potencia representa a los factores). etc. a2. Es común nombrar a los niveles de los factores presentes en el experimento con las primeras letras minúsculas y con subíndices que dependen del número de niveles de cada factor (a0. El modelo lineal y en análisis de varianza se modifica dependiendo del número de factores que intervienen en el experimento. B.3. 103 . se puede tener un diseño factorial completamente al azar.). c0. Tipos de diseños factoriales En un diseño factorial los tratamientos se forman por la combinación de todos los niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. b1. El número total de tratamientos a evaluar se origina por la multiplicación del número de niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. un diseño factorial en bloques completos al azar o un diseño factorial en cuadro latino. En este capítulo no se trabaja con diseños factoriales en cuadro latino. Es común nombrar a los factores presentes en el experimento con las primeras letras mayúsculas del abecedario (A. Es posible realizar la disposición de los tratamientos bajo los esquemas de los diseños experimentales completamente al azar. etc. c1.Cada uno de los factores que intervienen en el experimento se estudia a diferentes niveles. 11. a1. en bloques completos al azar o en un cuadro latino. b0. C. Los tratamientos se forman por la combinación de todos los niveles de los diferentes factores que intervienen en el experimento. En estos experimentos se toman en cuenta los efectos de todas las posibles interacciones entre los diferentes factores que intervienen. Por lo tanto. 11. ya que no son muy prácticos. . Modelo lineal Anteriormente se mencionó que en los experimentos factoriales no existe un modelo lineal único.. b r Yijk Ai Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.11. b. 1. Bj ( AB ) ij eijk k 0. el modelo lineal está en función del número de factores que intervienen en el experimento. Respuesta obtenida en la k-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor B. Número de repeticiones.4.. Efecto medio general.. 1.. E( eijk ) 2 j 0. Número de niveles del factor A. a... Bj ( AB)ij eijk Término de error aleatorio. r.. Si en un experimento se prueban dos factores bajo un arreglo completamente al azar se tiene entonces el modelo lineal de la siguiente forma: Yijk donde i a Ai 0.. 1.. Si en un experimento se prueban tres factores bajo un arreglo completamente al azar se tiene entonces el modelo lineal de la siguiente forma: 104 .. E( eijk ) 2 0 .. Número de niveles del factor B. Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B. . Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B. Si se tuvieran cuatro factores (A. Note que en ambos modelos lineales se toman en cuenta los efectos de las interacciones entre los diferentes factores. Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C. el j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Número de niveles del factor C. b. Número de repeticiones. BC) y la interacción triple (ABC) entre factores. a Número de niveles del factor A.. 2. Número de niveles del factor B. E( e 2 ) ijk 2 j 0. r.. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B.. b c r Yijkl Ai Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. 0. 1. Efecto medio general. eijk Término de error aleatorio. a.. ( ABC)ijk Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A.. AC.Yijkl donde i Ai 0. C... el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Respuesta obtenida en la l-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A. D). 1. c. ( BC) jk Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C.. B.. Para el caso de tres factores se toman en cuenta todas las interacciones dobles (AB. 105 ..... 1. Para el caso de dos factores sólo se toma en cuenta la interacción doble (AB) entre factores. l 1. Bj Ck ( AB)ij ( AC)ik Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C... Bj Ck ( AB) ij k ( AC ) ik ( BC ) jk ( ABC ) ijk eijkl E( eijk ) 0 . Para distribuir los diferentes subíndices en el modelo lineal sólo sería necesario recorrer el subíndice l al factor D.. ya que un bloque es equivalente a una repetición del experimento... Número de niveles del factor A. El modelo lineal correspondiente es: Yijk donde i a Blo k 0. asignar el subíndice m (el subíndice m representará a las repeticiones) al término del error aleatorio y colocar los subíndices para las diferentes interacciones. BD. Número de niveles del factor B... en un arreglo completamente al azar. dependiendo de los factores involucrados en la interacción correspondiente. ubicados en el k-ésimo bloque.. Para el caso de dos factores en un arreglo de bloques completos al azar el modelo lineal es muy semejante al de un arreglo completamente al azar. el cual tiene el subíndice k (asignado a las repeticiones). Ai Bj ( AB ) ij eijk k 1. Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B. ABD.. se procede a obtener el modelo lineal bajo el esquema anterior. AD. Para experimentos factoriales con más factores. b r Yijk Blok Ai Efecto atribuido al k-ésimo bloque.. CD). ACD.bajo un arreglo completamente al azar. b. 1. E( eijk ) 2 j 0.. Bj 106 . Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A y el j-ésimo nivel del factor B.. BCD) y la interacción cuádruple (ABCD) entre factores. las interacciones triples (ABC. se tomarán en cuenta las interacciones dobles (AB. a.. AC. BC. Efecto medio general.. E( eijk ) 2 0 . 2. solamente se introduce el término que representa el efecto de los bloques (Blo). Número de bloques (repeticiones). r. 1. Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. 1. b.. E( eijk ) 2 j 0. Ai Bj Ck ( AB ) ij k ( AC ) ik ( BC ) jk ( ABC ) ijk eijkl 2 0 ... ubicados en el l-ésimo bloque. Para el caso de tres factores en un arreglo de bloques completos al azar el modelo lineal es muy semejante al del arreglo completamente al azar.. 0. Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.. l 1.. E( eijk ) a Número de niveles del factor A. 2.. Número de niveles del factor B. Efecto medio general.. b c r Yijkl Blol Ai Efecto atribuido al l-ésimo bloque. ya que un bloque es equivalente a una repetición del experimento. 107 . solamente se introduce el término que representa el efecto de los bloques (Blo).. Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. Número de niveles del factor C. El modelo lineal correspondiente es el siguiente: Yijkl donde i Blol 0...( AB)ij Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B. el cual tiene el subíndice l (asignado a las repeticiones). c. r. Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B. eijk Término de error aleatorio. 1.. 1.. el j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Número de bloques (repeticiones). a.... Bj Ck ( AB)ij ( AC)ik Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C. Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B. eijk Término de error aleatorio.( BC) jk Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C. Tomando en cuenta el siguiente modelo lineal: Yijk Ai Bj ( AB) ij eijk Las fuentes de variación del análisis de varianza son: F.V A B AB Error Total Tomando en cuenta el siguiente modelo lineal: Yijkl Blol Ai Bj Ck ( AB) ij ( AC) ik ( BC) jk ( ABC) ijk eijkl Las fuentes de variación del análisis de varianza son: F.V Bloques 108 . el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. dependiendo del número de factores en el experimento. ( ABC)ijk Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A.5. 11. Análisis de varianza La tabla de análisis de varianza tiene una estructura diferente. Para poder determinar la estructura de la tabla de análisis de varianza es necesario tomar en cuenta el modelo lineal del experimento que se lleva a cabo. A y B. Los niveles de los factores pueden denominarse arbitrariamente “bajo” y “alto”.6. cada uno con sólo dos niveles. las fuentes de variación corresponden a los términos del lado derecho del modelo lineal (a excepción de ) agregando el término que representa al Total. mediante el mecanismo anterior. cada uno se corre a dos niveles. por ejemplo. El diseño factorial 2k es de particular utilidad en las etapas iniciales del trabajo experimental. las fuentes de variación de la tabla del análisis de varianza correspondiente. Una réplica completa de este diseño requiere 2 x 2 x … x 2 = 2k observaciones y se le llama diseño factorial 2k. 11. El primer diseño de la serie 2k es el que sólo tiene dos factores.A B AB C AC BC ABC Error Total En los dos casos anteriores. A este diseño se le llama diseño factorial 2 2. cuando probablemente se estén investigando muchos factores. Conociendo el modelo lineal del experimento a desarrollar se deducen. El cálculo de los grados de libertad y de las sumas de cuadrados también varía dependiendo del experimento factorial desarrollado. Por 109 . Diseño factorial 2k El tipo de diseño más importante de los diseños factoriales es el de k factores. que consiste en un proceso de sumas y restas como se muestra en el siguiente cuadro para el caso de un diseño factorial 22. Notaciones para el diseño factorial 22. Cuadro 39. 110 . ab representan ambos factores en el nivel alto. b representa A en el nivel bajo y B en el nivel alto. se usa (1) para denotar que ambos factores están en el nivel bajo.convención. Cuadro 40. En el Cuadro 39 se muestran las diferentes notaciones mencionadas anteriormente para el diseño 2 2. Los niveles bajo y alto de A y B se denotan por “-” y “+” respectivamente o por “0” y “1”. Las cuatro combinaciones de tratamientos para un diseño factorial 2 2 suelen representarse con letras minúsculas. Total de Tratamientos 1 2 Efecto (1) +(1)+a +(1)+a+b+ab Total A +b+ab -(1)+a-b+ab A B -(1)+a -(1)-a+b+ab B Ab -b+ab +(1)-a-b+ab AB Fuente: Martínez (1983). que el nivel alto de cualquiera de los factores en una combinación de tratamientos se denota por la letra minúscula correspondiente y el nivel bajo de un factor en una combinación de tratamientos se denota por la ausencia de la letra respectiva. Método de Yates para el análisis de experimentos factoriales 2 2. el efecto de un factor se denota con la letra mayúscula latina. Corrida A B Tratamiento A 1 (1) 0 2 + A 1 3 + B 0 4 + + ab 1 B 0 0 1 1 Para el análisis de experimentos factoriales 2k utilizaremos el algoritmo de Yates. “B” al efecto del factor B. “A” se refiere al efecto del factor A. a representa la combinación de tratamientos con A en el nivel alto y B en el nivel bajo. Esta notación se utiliza en todas las series 2k. Por lo tanto. o sea. Por lo tanto. Yates describe este método para los diseños factoriales 2 k. y “AB” a la interacción AB. Por convención. 1 1 G2 r 2n r 2n donde G es el gran total En el caso general.) ABC . Los métodos de análisis que se han presentado hasta este punto pueden generalizarse para el caso de un diseño factorial 2 k. el primer elemento de la columna 1 es la suma de los totales de los tratamientos (1) y a. Para generar la columna 1. El primer grupo contiene los totales correspondientes a los tratamientos (1) y a. Con estos totales se forman dos grupos. así por ejemplo. 1 ABC .. así por ejemplo. Los dos elementos restantes de la columna 1 se obtienen por diferencia. El modelo estadístico par un modelo 2 k 111 ... es decir. La columna 2 del cuadro se obtiene de la 1 por un proceso similar al descrito. de dos totales consecutivos. sucesivamente... el gran total y los efectos totales de A. un diseño con k factores que tienen dos niveles cada uno. restando en cada grupo el total del tratamiento de arriba del de abajo. 2 0 2 ABC ..Para la característica en estudio se escriben verticalmente los totales de tratamientos. Para pasar de aquí a las estimaciones de las sumas de cuadrados se usa la siguiente fórmula: SC ( ABC .. B Y AB.. procediendo por grupos se suman los totales de los dos tratamientos que los componen. r 2n 2 0 ABC . diferencia que se ha escrito –(1) +a para conservar el orden estándar de presentar las combinaciones de tratamiento. con las letras minúsculas mencionadas anteriormente. componiéndose cada grupo. el segundo grupo comprende los totales correspondientes a los tratamientos b y ab. Los elementos de la columna 2 son. Las dos sumas obtenidas constituyen los dos primeros elementos de la propia columna. el tercer elemento de la columna 1 será a –(1). los cuales se colocan ordenadamente. el método se termina de aplicar después de n pasos... El algoritmo de yates se puede generalizar para todas las series 2k. 0 665. d.1 201. Las combinaciones de tratamientos pueden escribirse en orden estándar introduciendo los factores uno a la vez y combinando sucesivamente cada nuevo factor con los que proceden.5 653. en un diseño en bloques completos al azar.4 151.0 185. abd. el orden estándar en un diseño 24 es (1).incluiría k efectos principales.5 736.8 134. para un diseño 2k el modelo completo contendría 2k-1 efectos.4 490. se ensayó en dos niveles.4= T111 112 .1 118.0= T110 5 0 0 200 121.…. ad. k 3 interacciones de tres factores.6 130. 0 y 200 kilogramos por hectárea. Por ejemplo. Es decir. B y D en el nivel alto y los factores C y E en el nivel bajo. bd. acd. k 2 interacciones de dos factores. cd.9 496.1 Haciendo uso de las hojas de cálculo.1 174.5 678.3 161.9= T100 3 0 200 0 150.9= T101 7 0 200 200 181. ab.8 201. 1983) el cual comprendió los 8 tratamientos de un factorial 23.1 185.6= T010 4 200 200 0 167.3 137. a. También se usa aquí la notación introducida anteriormente para las combinaciones de los tratamientos. Fertilizantes Bloque Tratamiento Suma N P K I II III IV 1 0 0 0 125.8= T001 6 200 0 200 149.0 161. Rendimientos de Caña en Toneladas por Hectárea.8 154. elaboradas en Calc de Open Office. Se obtienen los rendimientos de caña de la plantilla.2 110.9= T011 8 200 200 200 145. bcd y abcd.1 464. Cuadro 41.0 174. Por ejemplo. en un diseño 25. abd denota la combinación de tratamientos con los factores A. b.8 175. Ejemplo 11. c. bc. abc.5 147. para resolver diseños experimentales más comunes.4 135. se ilustra la técnica de diseño factorial 2k con el siguiente ejemplo: Consideremos parte de los resultados de un experimento cañero de dosis de fertilizantes. fósforo y potasio. ac.1 101.6 134.5= T000 2 200 0 0 112.6 98. (Martínez.0 100. y una interacción de k factores. en toneladas por hectárea en el Cuadro 41: cada uno de los nutrientes mayores: nitrógeno.0 188. Experimento factorial 23.3 559.2 131. 200 Kg. j 0. fósforo (P) y potasio (K). 200 Kg. 0 Kg.. para seguir con la notación usual nombraremos a los tres factores anteriores como A.. 200 Kg... 1. 200 Kg.. E( eijk ) 2 Blol Ai Bj Ck ( AB ) ij ( AC ) ik ( BC ) jk ( ABC ) ijk eijkl a Número de niveles del factor A.. a.0 = G ¿Existe diferencia entre las combinaciones de nitrógeno. 1152.. 200 Kg. 0 Kg. Número de niveles del factor B. r. 200 Kg. l 1.Suma Fuente: Martínez (1983).5 1186.0 = B1 1146.. 0 Kg. Número de bloques (repeticiones). c. Número de niveles del factor C. 1. 0 Kg... 0 Kg. 2. cada uno de los factores anteriores tiene dos niveles (0 y 1). E( eijk ) 2 0 ... fósforo y potasio? Responda al cuestionamiento anterior con una confiabilidad del 95%. 0 Kg. Respuesta Se tienen tres factores nitrógeno (N). 200 Kg. 0 Kg. b.2 = B2 = B3 = B4 4764.. (a0b0c0) (a1b0c0) (a0b1c0) (a1b1c0) (a0b0c1) (a1b0c1) (a0b1c1) (a1b1c1) (1) (a) (b) (ab) (c) (ac) (bc) (abc) El modelo lineal correspondiente al factorial en bloques completos al azar es: Yijkl donde i 0. B y C respectivamente. 0 Kg. Los tratamientos a probar son: 0 Kg. 200 Kg. 1. b c r 113 . k 0.3 1261.. 200 Kg. 200 Kg.. 0 Kg.. 0 Kg. 0 Kg. 200 Kg. 200 Kg. H 0 : a0 a1 vs H a : a0 a1 2. ( BC) jk Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C. Efecto medio general. Las hipótesis a probar son: 1. Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B. Blol Ai Efecto atribuido al l-ésimo bloque. Bj Ck ( AB)ij ( AC)ik Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C. eijk Término de error aleatorio. H 0 : c0 c1 vs H a : c0 c1 114 . H 0 : b0 b1 vs H a : b0 b 1 bi nes 3. ( ABC)ijk Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A. el j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. ubicados en el l-ésimo bloque. Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C. H 0 : Todas las interaccio a i b j tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacción ai b j produce un efecto diferente de los demás 4.Yijkl Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B. el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. ) Bloques A B AB C AC BC ABC r-1 a-1 b-1 (a-1)(b-1) c-1 (a-1)(c-1) (b-1)(c-1) (a-1)(b-1)(c-1) S. v 2 ) C. BC S.M .C.L.L.L. v 2 ) F (v 7 . Error F (v1. B S. C C . H 0 : Todas las interaccio nes a i c k tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n a i c k produce un efecto diferente de los demás nes 6.M . AB S. Fuente F de Grados de Suma de Cuadrado F calculada de tablas Libertad Cuadrados Medio ( Fcal ) Variación ( Ftab ) (G.M .C. v 2 ) F (v 6 .M . H 0 : Todas las interaccio b j ck tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n b j c k produce un efecto diferente de los demás 7.C. AB C. v 2 ) 115 . AC G. BC S. v 2 ) F (v 5 . BC G.L. AB G.M .M . Error F (v 4 . B C .C.M . v2 ) F (v 3 .M . ABC G.L. A G. Error C. AC C.C.L.M .C. v 2 ) F (v 8 .M. Error C . B G.) (F. AC S.V. H 0 : Todas las interaccio nes a i b j c k tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacción ai b j c k produce un efecto diferente de los demás El análisis de varianza correspondiente es el Cuadro 42: Cuadro 42. A C.C.) (C.L.C.M .L. A S. B S.C. Bloques S.) (S.C.C.C. ABC C.C. C S. AB S. Bloques S. Error C.C. Error C.L.C. ABC C. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar. C S.5.M .C. Bloques C. Error C . BC C.M . C G. Bloques G.M . Error C. v 2 ) F (v 9 . A S.M .C.M . ABC S. AC S.M . (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. v 2 ) F (v 7 . v 2 ) F (v 4 . Error G.Error Total Donde: F (v1 .C. v 2 ) F (v 3 . Grados de libertad de la interacció n AC. Grados de libertad de la interacció n ABC. Grados de libertad del error. v 2 ) F (v 9 . v 2 ) F (v 6 . (Ver Tabla II del Apéndice) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 Grados de libertad de los bloques. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. Total S. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. Grados de libertad del factor B. Grados de libertad del factor A. La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal Ftab Para resolver el ejemplo anterior haremos uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. Error Ftab Bloques Ftab A Ftab B Ftab AB Ftab C Ftab AC Ftab BC Ftab ABC Cuantil de la distribución F. v 2 ) F (v 8 . (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. Grados de libertad de la interacció n BC. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. en el que se hace hacer clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se debe 116 . Grados de libertad de la interacció n C. Error S. Grados de libertad del interacció n AB. v 2 ) (abc-1)(r-1) abcr-1 S. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.C.C.L. v 2 ) F (v 5 . Tipos de diseños factoriales más comunes TIPOS DE DISEÑOS FACTORIALES MÁS COMUNES DISEÑOS FACTORIALES EN COMPLETAMENTE AL AZAR Diseño factorial 2^k Diseño factorial 3^k Diseño factorial 3^k x 2^l Regresar DISEÑOS FACTORIALES EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Diseño factorial 2^k Diseño factorial 3^k Diseño factorial 3^k x 2^l 117 .escoger el tipo de diseño experimental que se va a usar. Cuadro 43. ya sea completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes en donde se debe seleccionar el tipo de diseño factorial que se va a emplear. En este caso se hace clic en diseños factoriales. Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6. A la derecha del Cuadro 43 aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño experimental. Para este ejemplo. aparece el Cuadro 43. el diseño factorial 2k. se selecciona en diseños factoriales en bloques completos al azar. 2 131.7 B AB C AC BC ABC 721.8 201.0 137702. ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. DISEÑO FACTORIAL 2k EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Sumas del Totales Bloques Totales de cuadrado de Tratamientos Efecto de obs. Para este tipo de diseño se puede introducir un máximo de cinco factores y cinco bloques.4 111553.1 118.4 118 .0 60995. A la derecha del Cuadro 44 aparecen dos hiperenlaces.9 496.5 145.8 175.4 108029.8 559.2 A 196. Gran (1) 125.7 730897.0 106.5 1152.Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 2k.0 174.0 100.0 1146.8 Ir al análisis -6.3 181. las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento.0 161.1 201.8 Regresar -42.0 167.0 4746 total A 112.6 136.6 134.9 736. Una vez introducidos los datos.8 79460. Cuadro 44.0 490.4 135. En la última fila aparecen el total por bloques y el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento.0 185. por I II III IV V Tratamiento efectos Trat.6 130.4 151. Diseño factorial 2k en bloques completos al azar. aparece el Cuadro 44.7 115515. aparecen en las últimas columnas del Cuadro 44. en donde se introducen los datos del ejercicio.6 98.6 33. los totales de tratamiento.2 0.3 161.9 63064.9 653. El Cuadro 44 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento.1 101.4 149.8 134.4 B Ab C Ac Bc Abc Total 150. Para este ejemplo se tienen tres factores con dos niveles cada uno y cuatro boques.5 121.3 1261.1 185.1 174.1 464.6 678. uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño factorial.2 110.5 54577.5 147.0 665.3 137. en diseños factoriales en bloques completos al azar en el Cuadro 43. el efecto y los totales de efectos.0 188.5 1186.8 154. 71 0.05).13 Alfa 0. ANÁLISIS DE VARIANZA F. Cuadro 45. están protegidas contra escritura.59 119 .32 c= 2 AB 1 1.98 3.44 356.004 4. el factor C (c).86 0.01 4. las interacciones AB.M. A la derecha del Cuadro 45 aparece un hiperenlace para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento. el factor B (b). y el factor de corrección (FC).10 4.32 r= 4 BC 1 56. Para este ejemplo.L. mientras que las hipótesis nulas (H 0) para el factor A. lo que indica que existen diferencias entre los niveles de ese factor.43 354.10 45. en el Cuadro 44.05 Error 21 7446. lo que indica que no existen diferencias entre los niveles de esos factores y de esas interacciones.63 4. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones.Al hacer clic en el hiperenlace. S.32 FC = 703891. C.00 578.07 a= 2 A 1 1205. el número de bloques (r).32 ABC 1 34.30 348. Todas las celdas del Cuadro 45. G. el factor D (d) y el factor E (e) con sus respectivos números de niveles.36 1. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0.10 16281.V. el factor C.40 4. Ir al análisis. genera al Cuadro 45 donde aparecen el factor A (a).86 34. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee.32 b= 2 B 1 16281.00 1. Análisis de varianza para el diseño factorial 23 en bloques completos al azar.71 56.41 3.32 Regresar d= 0 C 1 578. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.92 4. AC. a excepción del valor de alfa. BC y ABC no se rechazan.41 1205.C. mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% sólo se rechaza las hipótesis nula (H0) del factor B.16 4.36 0. Fcal Ftab Bloques 3 1046.77 0.44 1.32 e= 0 AC 1 356. el cual tiene dos factores. intermedio y alto.05 Fcal ABC ≤ Ftab ABC.05 Fcal C ≤ Ftab C. y 01 denota la combinación de tratamientos correspondiente a A en el nivel bajo y B en el nivel intermedio. tales grupos son: A: efecto principal de A B: efecto principal de B 120 . No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 Fcal AB ≤ Ftab AB.05 Fcal BC ≤ Ftab BC. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.05 11. Las combinaciones de tratamientos de este diseño son 32 = 9. Hay varias notaciones diferentes que se usan para representar estos niveles de los factores. El diseño más simple del sistema 3k es el diseño 32. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. en un diseño 3 2. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. hay 32-1 = 8 grados de libertad entre estas combinaciones de tratamientos y se pueden definir 32-1/3-1 = 4 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. 1 (intermedio) y 2 (alto). el segundo digito indica el nivel del factor B. Se hace referencia a los tres niveles de los factores como bajo. una posibilidad es representar los niveles de los factores con los dígitos 0 (bajo).Total 31 27006. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. 00 denota la combinación de tratamientos correspondientes a A y B ambos en el nivel bajo.05 Fcal B > Ftab B. y el dígito k-ésimo indica el nivel del factor k.62 CONCLUSIÓN Fcal A ≤ Ftab A. Diseño factorial 3k El diseño factorial 3k es un arreglo factorial de k factores que tienen tres niveles cada uno. Por ejemplo. Se usan letras mayúsculas para denotar los factores y las interacciones.7. Cada combinación de tratamientos del diseño 3k se denota por k dígitos. que en términos de los efectos factoriales.05 Fcal AC ≤ Ftab A.…. donde el primer dígito denota el nivel del factor A. cada uno con tres niveles. Se trata de un diseño factorial 33. B: efecto principal de B. AC: primera componente de la interacción AC. y la interacción AB tiene cuatro grados de libertad. B y C) bajo estudio y que cada factor tiene tres niveles dispuestos en un experimento factorial. Suponga ahora que hay tres factores (A. ABC: primera componente de la interacción ABC. 121 . AB2: segunda componente de la interacción AB. que en términos de los efectos factoriales. tales grupos son: A: efecto principal de A. ABC2: segunda componente de la interacción ABC. Las 27 combinaciones de tratamientos tienen 26 grados de libertad y se pueden definir 3 3-1/3-1 = 13 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno. AB: primera componente de la interacción AB. los efectos principales de A y B tienen dos grados de libertad cada uno. AB AB AB 2 Las componentes AB y AB2 de la interacción AB no tienen significado real y por lo general no se incluyen en el análisis de varianza. AB2C2: cuarta componente de la interacción ABC. Por lo tanto. C: efecto principal de C. AB2C: tercera componente de la interacción ABC. y la notación de las combinaciones de tratamientos se mencionaron anteriormente en el diseño factorial 32. Por lo tanto. BC2: segunda componente de la interacción BC. AC2: segunda componente de la interacción AC.AB: primera componente de la interacción AB AB2: segunda componente de la interacción AB Por lo tanto. BC: primera componente de la interacción BC. los efectos principales de A. cada una con cuatro grados de libertad. se ilustra la técnica de diseño factorial 3k con el siguiente ejemplo: Se usa una máquina para llenar contenedores metálicos de cinco galones con jarabe para una bebida gaseosa (Montgomery. Los conceptos utilizados en los diseños 32 y 33 pueden extenderse de inmediato al caso de k factores. k 2 interacciones de dos factores. En general. a un diseño factorial 3k. y una interacción de k factores. para resolver diseños experimentales más comunes. B en el nivel intermedio y C en el nivel alto.2 Haciendo uso de las hojas de cálculo. Por lo tanto. por lo que 0120 representa una combinación de tratamientos en un diseño 3 4 con A y D en los niveles bajos. cada uno con tres niveles. cada uno con dos grados de libertad. Estas combinaciones de tratamientos permiten determinar las sumas de cuadrados de k efectos principales.…. 2007). Se emplea la notación digital usual para las combinaciones de tratamientos. Hay 3k combinaciones de tratamientos. La variable de interés es la cantidad de jarabe perdida debido al espumeo. AC. las interacciones AB. estos componentes no tienen significación física. con 2k grados de libertad. es decir.AB AC AB AB 2 AC AC 2 BC ABC BC BC 2 ABC ABC 2 AB 2C AB 2C 2 Como en el diseño 32. elaboradas en Calc de Open Office. BC tienen cuatro grados de libertad y la interacción ABC tiene 8 grados de libertad. una interacción de h factores tiene 2h grados de libertad. Ejemplo 11. Se piensa que tres factores 122 . con 3k-1 grados de libertad entre ellos y se pueden definir 3k-1/3-1 grupos ortogonales con dos grados de libertad cada uno. B y C tienen dos grados de libertad cada uno. Datos de la pérdida de jarabe (las unidades son centímetros cúbicos70) Tipo de boquilla (A) 1 2 3 Velocidad (en rpm) (B) Presión (en psi) 100 120 140 100 120 140 100 120 140 (C) -35 -45 -40 17 -65 20 -39 -55 15 10 -25 -60 15 24 -58 4 -35 -67 -30 110 -10 80 55 -55 110 90 -28 110 15 75 30 54 120 -44 44 113 -26 135 4 -40 31 -23 -64 -20 -30 -61 54 20 5 -30 36 -5 -62 -31 -55 -52 4 Fuente: Montgomery (2007). 2 (1) y 3 (2). ¿Existen diferencias entre las combinaciones del tipo de boquilla (A). respectivamente. En el Cuadro 46 se muestran los datos codificados. Se seleccionaron tres boquillas. Los tratamientos a probar son: A 1 2 3 B 100 rpm 100 rpm 100 rpm C 10 psi 10psi 10 psi Tratamiento (000) (100) (200) 123 . bajo un experimento factorial 3 3 completamente al azar.influyen en el espumeo: el diseño de la boquilla (A). tres velocidades de llenado y tres presiones. 120 rpm (1) y 140 rpm (2) y 10 psi (0). la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C)?. y se corren dos réplicas de un experimento factorial 3 3. la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C). 100 rpm (0). Responda a la pregunta anterior con una confiabilidad del 95%. Cada uno de los factores A. Respuesta: Se tienen tres factores: el diseño de la boquilla (A). 15 psi (1) y 20 psi (2). la velocidad del llenado (B) y la presión de operación (C). Cuadro 46. B y C con tres niveles: 1 (0). 1... 1. Número de niveles del factor A. b 124 . 1. Número de niveles del factor B. l 1. 0... E( e 2 ) ijk 2 j 0.... r.. b.. a.. 2....1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 120 rpm 120 rpm 120 rpm 140 rpm 140 rpm 140 rpm 100 rpm 100 rpm 100 rpm 120 rpm 120 rpm 120 rpm 140 rpm 140 rpm 140 rpm 100 rpm 100 rpm 100 rpm 120 rpm 120 rpm 120 rpm 140 rpm 140 rpm 140 rpm 10 psi 10psi 10 psi 10 psi 10psi 10 psi 15 psi 15psi 15 psi 15 psi 15psi 15 psi 15 psi 15psi 15 psi 20 psi 20psi 20 psi 20 psi 20psi 20 psi 20 psi 20psi 20 psi (010) (110) (210) (020) (120) (220) (001) (101) (201) (011) (111) (211) (021) (121) (221) (002) (102) (202) (012) (112) (212) (022) (122) (222) El modelo lineal correspondiente al factorial completamente al azar es: Yijkl donde i a Ai 0. Bj Ck ( AB) ij k ( AC ) ik ( BC ) jk ( ABC ) ijk eijkl E( eijk ) 0 . c.... el j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. Las hipótesis a probar son: 1. Efecto medio general. Bj Ck ( AB)ij ( AC)ik Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C. Respuesta obtenida en la l-ésima repetición del i-ésimo nivel del factor A. H 0 : Todas las interaccio a i b j tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n ai b j produce un efecto diferente de los demás 4. Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B. el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C. eijk Término de error aleatorio. ( ABC)ijk Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A. ( BC) jk Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C. H 0 : b0 b1 b2 vs H a : b0 b1 b2 nes 3. Número de repeticiones. r Yijkl Ai Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B. H 0 : c0 c1 c2 vs H a : c0 c1 c2 125 . H 0 : a 0 a1 a 2 vs H a : a0 a1 a2 2. Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C.c Número de niveles del factor C. H 0 : Todas las interaccio nes a i c k tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n a i c k produce un efecto diferente de los demás nes 6. Error C. AB G. B G. A C. C C . ABC C. Error C . BC S. BC S. H 0 : Todas las interaccio a i b j ck tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n ai b j ck produce un efecto diferente de los demás El análisis de varianza correspondiente está dado por el Cuadro 47: Cuadro 47. B C .C.L.L.M . Error C . Error F (v1. Error C. ABC S.C.C.C.C.M. Error G. Error C.C.M . A S.M . C S. ABC S.M . AB S. BC C.5. Error C . v 2 ) F (v 4 .C.L.) (F.M .L. v 2 ) F (v 6 . v 2 ) F (v 7 .C. v2 ) F (v 3 .C. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 3 completamente al azar. v 2 ) F (v 8 .M . Error C. C G.L.C. AC G. H 0 : Todas las interaccio b j ck tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n b j c k produce un efecto diferente de los demás nes 7.C.M .M .M .M .) (C. ABC G.M . C S.V.L.C.M . A G.C. BC G. AC S. AC S.C. B S. v 2 ) F (v 5 .L. AC C.L. AB C.C. Error S.C.) (S.) A B AB C AC BC ABC Error a-1 b-1 (a-1)(b-1) c-1 (a-1)(c-1) (b-1)(c-1) (a-1)(b-1)(c-1) (abc-1)(r-1) S.M .M .C.L. B S. v 2 ) 126 . v 2 ) F (v 9 . A S. Fuente F F de Grados de Suma de Cuadrado de calculada tablas Libertad Cuadrados Medio Variación ( Fcal ) ( Ftab ) (G. AB S. C.B S . a b 2 Yi. A S . Grados de libertad del factor B. FC Y .Total Donde: F (v1 . (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.. v 2 ) abcr-1 S. C k 0 Yij2.C...C. AC k 0 Y.C FC 127 . jk S .C. BC j 0 k 0 br ar S ..C.. Total Ftab A Ftab B Ftab AB Ftab C Ftab AC Ftab BC Ftab ABC Cuantil de la distribución F.B FC b c Yi. v 2 ) F (v 3 . v 2 ) F (v 7 .C.2 . 2. Grados de libertad del factor A.C FC S.C. Grados de libertad de la interacció n BC. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. v 2 ) F (v 6 .C. A S . v 2 ) F (v 4 ..2k ..C. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. abcr c 2 Y. (Ver Tabla II del Apéndice) v2 v1 v3 v4 v5 v6 v7 v8 Grados de libertad del error. S. Grados de libertad de la interacció n ABC. Grados de libertad del factor C.C. v 2 ) F (v 5 . 2 . k S. v 2 ) F (v 8 . (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. B j 0 S. Grados de libertad de la interacció n AB.C. Grados de libertad de la interacció n AC. j FC S. FC S. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.C. AB i 0 j 0 abr a i 0 c cr S .C. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. A i 0 bcr a acr FC b Y.. ..C.C S .. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A..k. Y .B S . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A. 128 . Yi . Factor de corrección.. AB S . Total i 0 k 0 l 1 2 Yijkl F . AC S . ABC Donde: FC Y .C.C.. AB S . Y .C... j.C S .C. ABC r a b j 0 c r S . jk.C S . AC S .C.BC FC S .C.C.C. k .C. Yijk . Total .C. al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. Error S. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A y al k-ésimo nivel del factor C.C. A S .C.S . k 0 S.C. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A y al j-ésimo nivel del factor B.a i 0 b j 0 c 2 Yijk.C. Y .BC S .. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor B.C. Yi .l Yijkl Suma de todas las observaciones que pertenecen al l-ésimo bloque. al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. A S . Yij . Respuesta para la l-ésima repetición perteneciente al i-ésimo nivel del factor A.B S . Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo nivel del factor C. Suma de todas las observaciones en el experimento..C. Y. los totales de tratamiento. ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. El Cuadro 48 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se introducen los datos del experimento. y los totales de los niveles de los factores y de las interacciones. Para este ejemplo se tienen tres factores con tres niveles cada uno y dos repeticiones. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. genera el Cuadro 48. el diseño factorial 3k. aparece el Cuadro 43. En la 129 . Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6.7) en donde se selecciona el tipo de diseño factorial que se va a emplear. se va a seleccionar en diseños factoriales completamente al azar. ya sea completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes (mencionado en la sección 11.La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal Ftab Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. Para este ejemplo. en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se escoge el tipo de diseño experimental que se va a usar. en diseños factoriales completamente al azar en el cuadro 43. Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 3 k. aparecen en las últimas columnas del Cuadro 48. Una vez introducidos los datos. En este caso se hace clic en diseños factoriales. las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). en donde se deben introducir los datos del ejercicio. Para este tipo de diseño se puede introducir un máximo de tres factores y cinco repeticiones. Cuadro 48.última fila aparecen el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento y la suma de los totales de los niveles de los factores y de las interacciones . Sumas del Totales de los niveles de los factores y de las Repeticiones de cuadrado interacciones Tratamientos de obs. A B AB C AC BC ABC Trat. DISEÑO FACTORIAL 3k COMPLETAMENTE AL AZAR Tot. 000 -35 -25 -60 1850 155 366 134 -459 -190 -93 -60 100 200 010 110 210 020 120 220 001 101 201 011 111 211 021 121 221 002 102 202 012 112 212 022 17 24 -39 -35 -45 -60 -65 -58 -55 -67 -40 15 20 4 15 -30 110 75 55 120 90 113 -10 30 -55 -44 -28 -26 80 54 110 44 110 135 4 5 -23 -5 -30 -55 -40 -30 -64 -62 -61 -52 31 36 41 -74 -105 -123 -122 -25 24 -15 185 175 203 20 -99 -54 134 154 245 9 -28 -85 -70 -126 -113 67 865 2746 5625 7589 7514 1825 416 1125 17725 17425 20869 1000 4961 1460 9316 14036 30325 41 554 3925 2500 7940 6425 2257 -33 43 -792 591 188 44 -155 -348 -289 176 127 288 963 -339 -58 -211 339 230 394 6 -205 -140 -350 -16 563 -133 533 -104 -309 74 41 Ir al análisis -74 -105 -123 Regresar -122 -25 24 -15 185 175 203 20 -99 -54 134 154 245 9 -28 -85 -70 -126 -113 67 130 . A la derecha del Cuadro 48 aparecen dos hiperenlaces. uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño factorial. por 1 2 3 4 5 Trat. Diseño factorial 3k completamente al azar. Análisis de varianza para el diseño factorial 33 completamente al azar.17 71. G. A la derecha del Cuadro 49 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento.74 3.17 BC 4 12854. C. Cuadro 49. a excepción del valor de alfa.58 7.69 2. genera el Cuadro 49.05).33 34552.122 222 Totales -20 -31 54 4 -51 58 165 1361 -51 2932 58 174607 26963 1110501 413935 1252971 468703 861925 326183 Al hacer clic en el hiperenlace. AC y BC lo que indica que existen diferencias entre los niveles de esos factores y entre los niveles de esas interacciones. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas.47 4.C. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0. el factor B (b) y el factor C (c) con sus respectivos números de niveles.73 FC = 504.78 496.33 30595.73 r= 2 C 2 69105. Todas las celdas del Cuadro 49.33 3213.73 131 . el número de repeticiones (r).V. Para este ejemplo.01 3. y el factor de corrección (FC). Ir al análisis.22 3.17 3.40 2.89 1878. donde aparecen el factor A (a).35 c= 3 AB 4 6300. S.89 1. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones.67 81.89 1575.53 2.35 b= 3 BB 2 61190. están protegidas contra escritura. y la interacción ABC no se rechazan lo que indica que existen diferencias entre los niveles de ese factor y entre los niveles de esa interacción. ANÁLISIS DE VARIANZA F.L. mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los factores B y C y de las interacciones AB. Fcal Ftab Regresar a= 3 A 2 993.M.35 AC 4 7513. mientras que las hipótesis nulas (H0) para el factor A. El sistema de tres niveles también mencionado antes es de utilidad mucho menor debido a que los diseños son relativamente grandes incluso para un número modesto de factores. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. 2003). en los diseños factoriales con dos niveles existen situaciones en las que es necesario incluir un factor (o algunos factores) que tienen más de dos niveles. La notación para las combinaciones de tratamientos es la notación digital usual. se ilustra la técnica de diseño factorial 3k x 2l con el siguiente ejemplo: La cobertura de un equipo de aplicación manual de herbicidas se define como la superficie máxima en la cual se logra distribuir el herbicida de forma uniforme sobre la maleza al operar el equipo a una velocidad constante (Castillo.05 ABC Error Total 8 27 53 4628.05 Fcal AB > Ftab AB.78 11515. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.Alfa 0. para resolver diseños experimentales más comunes. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 11.05 Fcal C > Ftab C.50 1. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. El sistema con dos niveles mencionado anteriormente es de particular utilidad.36 2.31 CONCLUSIÓN Fcal A ≤ Ftab A. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. En ocasiones.3 Haciendo uso de las hojas de cálculo.83 578. 132 . Diseño factorial 3k x 2l Se han resaltado los diseños factoriales en los que todos los factores tienen el mismo número de niveles.60 426.05 Fcal B > Ftab B.50 174102.05 Fcal BC > Ftab BC. Ejemplo 11.05 Fcal AC > Ftab AC. elaboradas en Calc de Open Office. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.8. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal ABC ≤ Ftab ABC. La unidad experimental consistió en dos hileras con estacas colectoras de kromekotes cada una con 25 metros de largo. es decir. Un experto en malezas desea probar bajo qué condición de presión. Las presiones de aspersión utilizadas fueron 25 y 30 libras / pulgada2 y las velocidades de recorrido fueron 2 y 3 metros / segundo. Como el viento es un factor que puede alterar la cobertura de un equipo de aplicación manual. Los tamaños de boquillas seleccionados fueron 6150. el tamaño de boquilla y la velocidad de recorrido al momento de aplicar el herbicida. PRESIÓN (psi) TAMAÑO 25 30 DE BLOQUE VELOCIDAD (m / seg) VELOCIDAD (m / seg) BOQUILLA 2 3 2 3 I 15 25 25 35 6510 II 25 30 30 35 6515 I 30 40 40 60 133 . tipo de boquilla y velocidad de recorrido se obtiene una mejor cobertura de herbicida. Número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes. El kromekotes es un tipo de papel especial que cambia de coloración al contacto con las gotas de un líquido.Los factores que determinan en gran medida la cobertura de un equipo aspersor de mochila son la aspersión de presión. El terreno donde se ejecutó el experimento se encuentra en las faldas de un cerro y la forma en que se dispersa el viento no es uniforme sobre todo el terreno. La variable respuesta fue el número de gotas por centímetro cuadrado presentes en el papel kromekotes. se constituye de confusión. El herbicida seleccionado para la aplicación fue el Gesaprim. se decidió la utilización de un factorial en bloques completos al azar con dos bloques. 6515 y 6520. El experto en maleza decidió utilizar boquillas de abanico plano de diferentes tamaños para la aplicación de Gesaprim. Los resultados del experimento se encuentran en el Cuadro 50: Cuadro 50. respectivamente. bajo un experimento factorial 3 x 2 2 en bloques completos al azar. 6515 (1) y 6520 (2). presión y velocidad de recorrido? Responda al cuestionamiento anterior con una confiabilidad del 95% Respuesta Se tienen tres factores: tamaño de boquilla (A). 134 . 35 55 50 35 65 60 45 65 75 55 80 85 ¿Existe diferencias entre las combinaciones de tamaño de boquilla. El factor A con tres niveles: 6510 (0). el factor B y el factor C cada uno con dos niveles: 25 psi (0) y 30 psi (1) y 2 m / seg (0) y 3 m / seg (1). presión (B) y velocidad de recorrido (C).II I 6520 II Fuente: Castillo (2003). Los tratamientos a probar son: A B C Tratamiento (000) (100) (200) (010) (110) (210) (001) (101) (201) (011) (111) (211) 6510 25 psi 2 m / seg 6515 25 psi 6520 25 psi 6510 30 psi 6515 30 psi 6520 30 psi 6510 25 psi 6515 25 psi 6520 25 psi 6510 30 psi 6515 30 psi 6520 30 psi 2 m / seg 2 m / seg 2 m / seg 2 m / seg 2 m / seg 3 m / seg 3 m / seg 3 m / seg 3 m / seg 3 m / seg 3 m / seg Se tienen un total de 12 tratamientos. . Efecto atribuido al j-ésimo nivel del factor B.. b.1. Número de niveles del factor C.. Número de niveles del factor B. k 0. E( eijk ) 2 0 . Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el jésimo nivel del factor B. b c r Yijkl Blol Ai Efecto atribuido al l-ésimo bloque. Las hipótesis a probar son: 1. c.. a. el jésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.. eijk Término de error aleatorio. r. 1. Respuesta obtenida en el i-ésimo nivel del factor A. ubicados en el l-ésimo bloque.. Efecto atribuido al k-ésimo nivel del factor C. H 0 : a0 a1 a2 135 .... ( BC) jk Efecto atribuido a la interacción entre el j-ésimo nivel del factor B y el késimo nivel del factor C.. Número de bloques (repeticiones). Efecto medio general.. j 0. 2. 1.. Efecto atribuido al i-ésimo nivel del factor A. el j-ésimo nivel del factor B y el k-ésimo nivel del factor C.. Bj Ck ( AB)ij ( AC)ik Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A y el késimo nivel del factor C.El modelo lineal correspondiente al factorial en bloques completos al azar es: Yijkl donde i 0. l 1. ... E( eijk ) 2 Blol Ai Bj Ck ( AB ) ij ( AC ) ik ( BC ) jk ( ABC ) ijk eijkl a Número de niveles del factor A. ( ABC)ijk Efecto atribuido a la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A. ) 136 . H 0 : Todas las interaccio a i b jck tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n ai b j c k produce un efecto diferente de los demás El análisis de varianza correspondiente está dado por el Cuadro 51: Cuadro 51.vs H a : Al menos un nivl ai produce un efecto diferente de los demás 2. H 0 : Todas las interacciones a i b j tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n ai b j produce un efecto diferente de los demás 4. H 0 : c0 c1 vs H a : c0 c1 5.) (C.L. Estructura del análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 2 2 en bloques completos al azar. F de Fuente Suma de Cuadrado F calculada Grados de tablas de Cuadrados Medio ( Fcal ) Libertad (G. H 0 : Todas las interacciones a i ck tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n ai c k produce un efecto diferente de los demás nes 6.M.) ( Ftab ) Variación (S. H 0 : b0 b1 vs H a : b0 b1 5.C. H 0 : Todas las interaccio b jck tienen el mismo efecto vs H a : Al menos una interacció n b jc k produce un efecto diferente de los demás nes 7. ABC G. (Ver Tabla II del Apéndice) r-1 a-1 b-1 (a-1)(b-1) c-1 (a-1)(c-1) (b-1)(c-1) (a-1)(b-1)(c-1) (abc-1)(r-1) Abcr-1 S.C. C G. AB S. v 2 ) F (v 4 . Bloques S.M .M .C. v 2 ) F (v 5 . v 2 ) F (v 7 .M . v 2 ) Ftab Bloques Ftab A Ftab B Ftab AB Ftab C Ftab AC Ftab BC Ftab ABC Cuantil de la distribución F. v 2 ) F (v 5 . Error G.C. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) 137 . Error S. AB C. A S. BC S. C C . AC S. A G.) Bloques A B AB C AC BC ABC Error Total Donde: F (v1 . v 2 ) F (v 9 . C S. v2 ) F (v 3 . BC G. A S. v 2 ) F (v 3 .C.M . Error C. B G.M .L. B S. ABC S. Bloques C. v 2 ) F (v 8 .M . Error C. v 2 ) Cuantil de la distribución F.L.C.C.C. Bloques S.M . AB S.C. v 2 ) F (v 6 .C.(F. Error C. Total S. Error C. BC S.C.L. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. ABC S.V. Error C .C. ABC C.L. BC C.C. Error C .C.C. C S.M .C. A C. B S.M .M .M . AC S.L. v 2 ) F (v 6 . AB G.M .C. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.L.M . Error F (v1. v 2 ) F (v 9 . v 2 ) F (v 7 . AC C. v 2 ) C.L. Bloques G. Error C.M .C. Error F (v 4 .C.M . AC G.L. B C .M . (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F.C. v 2 ) F (v 8 .L. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. AB S .. BC j 0 k 0 br a i 0 b j 0 c ar S . Grados de libertad del factor C.C. AC S . Bloques l 1 abc c FC S. l 2 Yi.C. B j 0 Y. C k 0 Yij2. S. A S .B FC Yi.. AB i 0 j 0 acr a i 0 c abr cr b c S .BC FC S . Grados de libertad del error..C..C. ABC Donde: FC Y .C.C.C. A S . ABC k 0 r a b j 0 c r S . Grados de libertad de la interacció n AC.C. Suma de todas las observaciones en el experimento. Grados de libertad del factor A.. Grados de libertad de la interacció n ABC. k FC S.B S .C FC S.C S .C.. jk S . Grados de libertad de la interacció n AB. Error S. j S.C.C.C.C.BC S .C.C FC 2 Yijk.C.B S . Grados de libertad del factor B. i 0 FC Y . r a 2 Y.C.C..C..C S . AC k 0 Y.C. Total .C. Total i 0 k 0 l 1 2 Yijkl F . FC S.2 .C. AB S ..C.C.C. A S . S.C S .2k . A S .v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 Grados de libertad de los bloques.C.C.C.B S . 2.. 2 .. abcr b 2 S..C.. Factor de corrección. 138 .C.C. A bcr a b FC Y. AC S . Grados de libertad de la interacció n BC.S . . 139 . Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A y al k-ésimo nivel del factor C. jk.. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor B. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A y al j-ésimo nivel del factor B. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A.Yi . La regla de decisión que se utiliza para cualquier factor o interacción es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal Ftab Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. En este caso se hace clic en diseños factoriales. j. al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C... k . en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se escoge el tipo de diseño experimental que se va a usar.. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6).l Yijkl Suma de todas las observaciones que pertenecen al l-ésimo bloque.k. Y . al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”. Yijk . Respuesta para la l-ésima repetición perteneciente al i-ésimo nivel del factor A.. Suma de todas las observaciones que pertenecen al j-ésimo nivel del factor B y al k-ésimo nivel del factor C. Suma de todas las observaciones que pertenecen al k-ésimo nivel del factor C. Suma de todas las observaciones que pertenecen al i-ésimo nivel del factor A. Y . Yij . Y. Yi . Y .. en diseños factoriales en bloques completos al azar en el cuadro 43. Para este tipo de diseño se puede introducir un máximo de tres factores y un máximo de 18 tratamientos y cinco bloques.7) en donde se debe seleccionar el tipo de diseño factorial que vamos a emplear. uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño factorial. En la última fila aparecen el total por bloques y el total de las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento. ya sea completamente al azar o en bloques completos al azar y genera un formato para ese tipo de diseño para introducir los datos del experimento. por Trat. uno con tres niveles y dos con dos niveles cada uno para formar en total 12 tratamientos en dos bloques. Después de seleccionar el tipo de diseño factorial 3k x 2l. El Cuadro 52 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento. Para este ejemplo. Tot. se selecciona en diseños factoriales en bloques completos al azar.Después de hacer clic en diseños factoriales en el Cuadro 6. aparecen en las últimas columnas del Cuadro 52. de 40 850 Totales de los niveles de los factores y de las interacciones A B AB C AC BC ABC 220 465 95 490 95 210 40 k l 15 25 140 . Una vez introducidos los datos. las sumas del cuadrado de observaciones por tratamiento. de obs. Cuadro 52. en donde se introducen los datos del ejercicio. Diseño factorial 3k x 2l en bloques completos al azar DISEÑO FACTORIAL 3 x 2 EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Tratamientos I 000 Bloques Sumas del cuadrado II III IV V Trat. aparece el Cuadro 52. el diseño factorial 3k x 2l. Para este ejemplo se tienen tres factores. ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. A la derecha del Cuadro 52 aparecen dos hiperenlaces. los totales de tratamiento. aparece el Cuadro 43 con hiperenlaces para diferentes tipos de diseños factoriales más comunes (mencionado en la sección 11. el efecto y los totales de efectos. donde aparecen el factor A (a). mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los factores A. el número de bloques (r). lo que indica que existen diferencias entre los niveles de esos factores. Para este ejemplo. mientras que las 141 .05). A la derecha del Cuadro 53 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento. B y C. están protegidas contra escritura. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto sus factores y a sus interacciones. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0. Ir al análisis. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas. y el factor de corrección (FC). Todas las celdas del Cuadro 53. a excepción del valor de alfa. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. el factor B (b) y el factor C (c) con sus respectivos números de niveles.100 200 010 110 210 020 120 220 001 101 201 011 111 211 021 121 221 Totales 30 35 55 50 25 30 40 45 65 75 65 105 55 85 140 0 0 0 2125 5525 1525 3625 9850 0 0 0 1525 2825 7825 2450 6625 13625 0 0 0 58375 340 535 630 0 140 230 125 200 305 0 0 0 605 150 245 125 190 290 280 0 255 350 0 65 105 55 85 140 0 0 0 55 75 125 70 115 165 0 0 0 Ir al análisis Regresar 25 30 40 35 65 60 35 35 60 55 80 85 55 75 125 70 115 165 0 0 0 535 560 0 0 0 1095 450225 613125 230175 606125 227375 310025 116325 Al hacer clic en el hiperenlace. genera el Cuadro 53. Fcal Ftab Bloques 1 26.05 12. Cuando esto sucede.38 BC 1 26.46 16.V.54 4.04 1.05 Fcal AC ≤ Ftab AC.05 ABC 2 27. AC.43 3.98 2 C 1 551. Análisis de varianza para el diseño factorial 3 x 2 2 en bloques completos al azar. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal B > Ftab B.04 32.05 Fcal ABC ≤ F tab ABC.04 1.87 3. S.39 3.08 13.75 3159.98 2 B 1 1134. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. es impráctico. G. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.04 26.38 1134. Cuadro 53.84 0.04 551. por cuestiones económicas u operacionales.80 3. 12. lo que indica que existen diferencias entre los niveles de esas interacciones.25 65.38 186.38 66.98 49959.84 2 AB 2 131.63 3.95 Total 23 8415.L.04 26.84 AC 2 14. C.51 4.05 Fcal AB ≤ Ftab AB.98 Error 11 186. ANÁLISIS DE VARIANZA F.92 4. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0. BC y ABC no se rechazan.63 CONCLUSIÓN Fcal A > Ftab A. es recomendable utilizar el diseño en parcelas divididas. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. Características 142 .54 0. aleatorizar de forma clásica las diferentes combinaciones de los niveles de los factores bajo estudio.58 7.M.84 Regresar 3 A 2 6318. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS a= b= c= Blo = FC = Alfa En algunos experimentos que involucran dos factores dispuestos en bloques completos al azar.hipótesis nulas (H0) para las interacciones AB.1.29 0.54 4.05 Fcal BC ≤ F tab BC.05 Fcal C > Ftab C. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.C. b....Se emplea cuando se prueban dos factores a diferentes niveles en bloques completos al azar y es impráctico aplicar las diferentes combinaciones de los niveles de los factores a las unidades experimentales. por lo que el modelo lineal y el análisis de varianza sufren algunas modificaciones con respecto a los otros diseños estudiados.. Modelo lineal El modelo lineal para el diseño en parcelas divididas es el siguiente: Yijk donde i 1. s.. t s 143 .... k 1. Los niveles de un factor se prueban sobre las parcelas grandes y los niveles del otro factor sobre las parcelas chicas. Cada parcela grande se divide en unidades menores llamadas parcelas chicas. Número de subtratamientos. Número de bloques. mientras que los niveles que se ubica sobre las parcelas chicas son considerados como subtratamientos. ya sea por el tamaño de éstas..2.. 2. t. Los niveles del factor que se ubica sobre las parcelas grandes son considerados como los tratamientos. Número de tratamientos. 2.2. Las extensiones grandes de terreno son conocidas como las parcelas grandes. por restricciones económicas o por restricciones operativas.. Es necesario utilizar extensiones grandes de terrenos para el ensayo de las combinaciones de los niveles de los factores. 12. b i j ij Sk ( S ) jk eij j 1.. Los efectos de los tratamientos en la parcela grande están completamente confundidos con los efectos de los subtratamientos en la parcela chica. Yijk Respuesta obtenida en el j-ésimo tratamiento y el k-ésimo subtratamiento ubicado en el i-ésimo bloque. Efecto medio general. i i Efecto atribuido al i-ésimo bloque. Efecto atribuido al j-ésimo tratamiento. Error aleatorio en la parcela grande. Efecto del k-ésimo subtratamiento. Efecto de la interacción entre el j-ésimo tratamiento y el k-ésimo ij Sk (TS) jk subtratamiento. eij Error aleatorio en la parcela chica. 12.3. Hipótesis a probar Las hipótesis a probar en este tipo de diseños experimentales son sobre los bloques, sobre los tratamientos, sobre los subtratamientos y sobre las interacciones entre los tratamientos y los subtratamientos, que son las siguientes: 1. H 0 : 1 2 ... b vs H a : Al menos en uno de los bloques se tiene un efecto diferente de los demás. 2. H 0 : T1 T2 ... Tt vs H a : Al menos en uno de los tratamien tos se tiene un efecto diferente de los demás. 3. H 0 : S1 S2 ... Ss vs H a : Al menos en uno de los subtratamientos se tiene un efecto diferente de los demás. 4. H 0 : (TS )11 (TS )12 ... (TS )ts 144 vs H a : Al menos en una interacción entre tratamiento y subtratami ento tiene un efectodiferente de los demás. 12.4. Análisis de varianza El análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas está dado por el Cuadro 54: Cuadro 54. Estructura del análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. F de Cuadrado Grados de Suma de F calculada Fuente de tablas Libertad Cuadrados Medio ( Fcal ) Variación (F.V.) ( Ftab ) (G.L.) (S.C.) (C.M.) S .C. Bloques F (v1, v2 ) C.M . Bloques Bloques b-1 t-1 (b-1)(t-1) bt-1 s-1 S.C. Bloques G.L. Bloques S .C. Tratamientos G.L. Tratamient os S .C. Error PG G.L. Error PG C.M . Error PG Tratamientos Error en Parcela grande Subtotal S.C. Tratamientos S.C. Error PG S.C. Subtotal S.C. Subtratamientos S.C. TS S.C. Error PCh S.C. Total C.M . Tratamient os C.M . Error PG F (v 3 , v 2 ) Subtratamientos S .C. Subtratamientos G.L. Subtratami entos C.M . Subtratami entos F (v 4 , v 5 ) C.M . Error PCh F (v 3 , v 2 ) F (v 3 , v 2 ) TS Error en parcela chica Total (t-1)(s-1) (b-1)(s-1)t bts-1 S .C. TS G.L. TS S .C. Error PCh G.L. Error PCh C.M . TS C.M . Error PCh F (v 6 , v 5 ) Donde: 145 F (v1 , v 2 ) F (v 3 , v 2 ) F (v 4 , v 5 ) F (v 6 , v 5 ) v1 v2 v3 v4 v5 v6 Ftab Blo Ftab Trat Ftab Subtr Ftab TS Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Cuantil de la distribución F. (Ver Tabla II del Apéndice) Grados de libertad de los bloques. Grados de libertad del error en parcela grande. Grados de libertad de los tratamien tos. Grados de libertad de los subtratamientos. Grados de libertad del error en parcela chica. Grados de libertad de la interacció n entre los tratamien tos y subtratamientos. b t 2 Yi.. FC Y 2 ... bts b t Y. 2. j FC S.C. Tratamient os i 1 S.C. Bloques i 1 ts bs FC Yij2. S .C. Total i 1 j 1 s - FC S.C. Error PG S.C. Subtotal - S.C. Bloques - S.C.Tratam ientos s t s Y..2 k S.C. Subtratami entos k 1 Y. 2 jk FC S .C. TS j 1k 1 bt b - S.C. Trataminet os - S.C. Subtratami entos - FC b t s 2 Yijk S .C. Total i 1 j 1k 1 FC S.C. Error PCh S.C. Total - S.C. Subtotal - S.C.Subtra tamientos - S.C. TS 146 ésimo tratamien to. j..ésimo bloque. Y. 20 cm).ésimo tratamien to. Suma de todas las observaciones en el experiment o. Suma de las observaciones que pertenecen a la interacció n entre el j .. k Y.Donde Y . Yi j . Monocron y Furadan) y un testigo sin aplicar. se ilustra la técnica de diseño en parcelas divididas con el siguiente ejemplo: En un experimento se probó el efecto combinado de dos factores (láminas de riego e insecticidas) en el control del barrenador del tallo (Diatraea spp. 147 . Suma de las observaciones que pertenecen al j . Se esperaba que las láminas de riego lograran eliminar a las pupas del barrenador del tallo que se depositaban en el suelo. Se probaron 3 láminas de riego (10.ésimo subtratamiento.1: Ftab Haciendo uso de las hojas de cálculo. con tres insecticidas sistemáticos (Nuvacron. Yi .ésimo tratamien to.ésimo tratamien to y el k ..ésimo bloque.. Valor que se registra para el j .ésimo tratamien to y el k . subtratamientos y la interacción entre los tratamientos y subtratamientos es la siguiente: Se rechaza H 0 si Fcal Ejemplo 12.) que ataca al cultivo de caña de azúcar (Castillo.5. 2003). 12. tratamientos. Regla de decisión La regla de decisión que se utiliza para el caso de los bloques. Suma de las observaciones que pertenecen al subtotalformado por la interacció n entre el i . lo que combinado con el control químico redituaría quizás en un mayor rendimiento en la caña de azúcar. para resolver diseños experimentales más comunes. j k Yijk Suma de las observaciones que pertenecen al i .ésimo subtratamiento en el i . elaboradas en Calc de Open Office.ésimo bloque y el j .15. Y . Suma de las observaciones que pertenecen al k . cuyos tres tipos fueron considerados como los tratamientos y se aplicaron sobre las parcelas grandes. en el que se debe de hacer clic en el tipo de diseño 148 . Al abrir el documento nombrado “DISEÑOS EXPERIMENTALES”.La unidad experimental consistió en un cuadro de terreno de 10 x 10 metros y la variable respuesta fue la producción de caña en toneladas por hectárea. Producción de caña en toneladas por hectárea. por lo que se decidió utilizar 3 bloques en el experimento. Se detectó un gradiente de fertilidad a 3 niveles. Bloques I II III Insecticidas Láminas de riego Láminas de riego Láminas de riego 10 15 20 10 15 20 10 15 20 Nuvacron 60 66 70 50 56 60 40 47 52 Monocron 100 105 110 80 87 90 67 67 70 Furadan 70 80 83 50 54 58 37 38 40 Sin aplicar 21 30 39 18 16 16 15 15 14 Fuente: Castillo (2003) ¿Existen diferencias entre las combinaciones de láminas de riego e insecticidas en la producción de caña de azúcar? Responda a la pregunta anterior con una confiabilidad del 95%. Cada parcela grande estuvo formada por cuatro parcelas chicas y cada bloque estuvo conformado por tres parcelas grandes. Respuesta Para resolver el ejemplo anterior se hace uso de las hojas de cálculo hechas en Calc de Open Office. Los insecticidas fueron considerados como los subtratamientos y se aplicaron sobre las parcelas chicas. Los resultados del experimento se muestran en el Cuadro 55: Cuadro 55. en la primera hoja de cálculo (Inicio) aparece el Cuadro 6 (mencionado en el capítulo 6). El factor que es limitante en la implementación del experimento es la lámina de riego. El Cuadro 56 sólo da la opción de escribir sobre las celdas donde se deben de introducir los datos del experimento. En este caso se hace clic en diseño en parcelas divididas. hay cuatro tratamientos. Cuadro 56. A la derecha del Cuadro 56 aparecen dos hiperenlaces. los cuales se necesitan para el análisis de varianza. En este ejemplo. Para este tipo de diseño se pueden introducir hasta 10 tratamientos. Diseño en parcelas divididas. los totales de bloque. uno para ir a la hoja de análisis de datos y el otro para regresar hasta la hoja de cálculo donde se seleccionó el tipo de diseño. los totales de tratamiento y las interacciones entre tratamientos y subtratamientos. los totales de subtratamiento.que se quiera usar y mediante un hiperenlace genera otra hoja donde se introducen los datos del experimento. Después de hacer clic en diseño en parcelas divididas el Cuadro 6. Una vez introducidos los datos. 1 2 3 45 1 50 80 50 18 2 56 87 54 16 3 45 1 60 90 58 16 40 67 37 15 2 47 67 38 15 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 subtrat. en donde se introducen los datos del experimento. aparece en la última columna del Cuadro 56. de Subtrat. por lo que el cuadro latino tendrá 4 hileras y 4 columnas. en las últimas filas aparecen el subtotal. 52 70 40 14 Ir al análisis 60 66 70 100 105 110 70 80 83 21 30 39 251 281 302 501 776 510 Regresar 184 198 213 224 159 167 176 149 . ya que el resto de las celdas se encuentran protegidas contra escritura. 1 2 3 4 5 Subtot. las sumas del cuadrado de observaciones de bloque. DISEÑO EN PARCELAS DIVIDIDAS Bloques I II III IV V Tratamientos Tratamientos Tratamientos Tratamientos Tratamientos tot. aparece el Cuadro 56. debido a que Fcal TS = 0. los tratamientos y los subtratamientos. por lo que no es posible modificar el contenido de las mismas. respectivamente. = 9. Fcal Trat. 635 40921 502 25450 150 169 182 247 259 270 157 172 181 54 61 69 Al hacer clic en el hiperenlace. lo que indica que al menos el efecto de un bloque. están protegidas contra escritura. el número de tratamientos (t). 834 Sumas del cuadrado 67032 de obs. donde mediante fórmulas aparecen el numero de bloques (b). de Bloque. = 6. de Trat. Todas las celdas del Cuadro 57. Tot. 608 661 702 Interacc.99 > Ftab Subtrat.16. respectivamente.66. así como el análisis de varianza y la conclusión del juego de hipótesis con respecto a los bloques. subtratamientos e interacción tratamiento subtratamiento. mediante el análisis de varianza y con una confiabilidad del 95% se rechazan las hipótesis nulas (H0) de los bloques. lo que indica que el efecto las interacciones tratamiento subtratamiento son iguales. = 6. = 143.de blo. Ir al análisis. un tratamiento y un subtratamiento es diferente al de los demás.10 ≤ Ftab TS = 2. y el factor de corrección (FC). debido a que Fcal Blo. A la derecha del Cuadro 57 aparece un hiperenlace que para regresar hasta la hoja de cálculo donde se introducen los datos del experimento. pero se puede cambiar para tener la confiabilidad que se desee. en el Cuadro 56. 150 .Tot. El valor de alfa está determinado para una confiabilidad del 95% (Alfa = 0. a excepción del valor de alfa.94 y Fcal Subtrat. = 3. mientras que la hipótesis nula (H0) para la interacción tratamiento subtratamiento no se rechaza.94.82 > Ftab Blo. genera el Cuadro 57.29 > Ftab Trat. Para este ejemplo. tratamientos. el número de subtratamientos (s).05). = 116. > Ftab Trat.L. C.25 chica Total 35 25490.V.82 Tratamientos 2 370.58 116. Se rechaza H0 y hay significancia al 0.05 Fcal TS ≤ Ftab TS.M. es una alternativa más para utilizar un software que sea gratuito y fácil de usar y no depender tanto de algún software que no sea libre. No se rechaza H0 y no hay significancia al 0.278 4.66 143.Cuadro 57.94 Regresar 3. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. CONCLUSIONES Las hojas de cálculo.05 Fcal Subtrat.38 0.50 45. Fcal S= 4 Bloques 2 4653. que hace que el usuario tenga una rápida familiarización con esta herramienta para trabajar con hojas de cálculo.10 Error en parcela 18 814.05 13. Se rechaza H0 y hay significancia al 0. > Ftab Subtrat. El uso de la herramienta para trabajar con hojas de cálculo.16 2. > Ftab Blo.94 6.08 9.75 Ftab 6.167 2326. son muy fácil de usar debido a su enorme similitud con Excel de Microsoft®.167 185.05 Fcal Trat. el uso de Calc de Open Office como herramienta para trabajar con hojas de cálculo es de gran utilidad.667 19.000 Subtratamientos 3 19546. 151 .C.66 CONCLUSIÓN Fcal Blo.97 6515. G.25 4 79. Calc de Open Office.05 Subtotal 8 5103.29 Error en parcela FC = 107912. de Calc de Open Office. En los diseños experimentales más comunes. Análisis de varianza para el diseño en parcelas divididas. S.92 grande Alfa 0. ya que se puede llegar a resolver problemas de tratamientos o comparación de medias de tratamientos en algún tipo de diseño experimental sin tener que recurrir a otros tipos de software que son más complicados de usar o no son libres. B= 3 ANÁLISIS DE VARIANZA T= 3 F.99 TS 6 26. Con el uso de Calc de Open Office para resolver diseños experimentales más comunes, se llegó a obtener una alternativa más para resolver algunos diseños experimentales mediante las hojas de cálculo generadas en este trabajo. 14. BIBLIOGRAFÍA Castillo, L. (2003). UACH. Introducción a la estadística experimental. Segunda Edición, Chapingo, Méx.: UACH. Departamento de Parasitología Agrícola. 277 p. Cochran, W. y Cox, G. (1980). Diseños experimentales. Sexta reimpresión, Editorial Trillas. 661 p. Cramer, H. (1960). Métodos matemáticos de estadística. Segunda Edición, Editorial Aguilar, Madrid, España. 660 p. Fernández T., J. A. Tutorial de openoffice.org. 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Editorial McGraw-Hill, Méx. 622 p. http://es.openoffice.org/ (29 de septiembre de 2009) Wikimedia Foundation, Inc. http://es.wikipedia.org/wiki/openoffice.org (29 de septiembre de 2009) 152 15. APÉNDICE Tabla I. Cuantiles para la distribución t de Student. Tabla II. Cuantiles de la distribución F. Tabla I. Cuantiles para la distribución t de Student. gl = v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 0.005 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 3.17 3.11 3.05 3.01 2.98 2.95 2.92 2.90 2.88 2.86 2.85 2.83 2.82 2.81 2.80 2.79 2.78 2.77 2.76 2.76 2.75 2.70 2.68 2.66 2.65 2.64 2.63 2.63 0.01 31.82 6.96 4.54 3.75 3.36 3.14 3.00 2.90 2.82 2.76 2.72 2.68 2.65 2.62 2.60 2.58 2.57 2.55 2.54 2.53 2.52 2.51 2.50 2.49 2.49 2.48 2.47 2.47 2.46 2.46 2.42 2.40 2.39 2.38 2.37 2.37 2.36 Valores de α 0.025 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.20 2.18 2.16 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 2.09 2.09 2.08 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2.05 2.05 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 1.99 1.99 1.99 1.98 0.05 6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.89 1.86 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.75 1.74 1.73 1.73 1.72 1.72 1.72 1.71 1.71 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70 1.70 1.68 1.68 1.67 1.67 1.66 1.66 1.66 0.10 3.08 1.89 1.64 1.53 1.48 1.44 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.29 153 Tabla II. Cuantiles de la distribución F. v2 Α 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 0.1 0.05 0.025 0.01 v1 1 39.86 161.45 647.79 4052.18 8.53 18.51 38.51 98.50 5.54 10.13 17.44 34.12 4.54 7.71 12.22 21.20 4.06 6.61 10.01 16.26 3.78 5.99 8.81 13.75 3.59 5.59 8.07 12.25 3.46 5.32 7.57 11.26 3.36 5.12 7.21 10.56 3.29 4.96 6.94 10.04 3.23 4.84 6.72 9.65 2 49.50 199.50 799.50 4999.50 9.00 19.00 39.00 99.00 5.46 9.55 16.04 30.82 4.32 6.94 10.65 18.00 3.78 5.79 8.43 13.27 3.46 5.14 7.26 10.92 3.26 4.74 6.54 9.55 3.11 4.46 6.06 8.65 3.01 4.26 5.71 8.02 2.92 4.10 5.46 7.56 2.86 3.98 5.26 7.21 3 53.59 215.71 864.16 5403.35 9.16 19.16 39.17 99.17 5.39 9.28 15.44 29.46 4.19 6.59 9.98 16.69 3.62 5.41 7.76 12.06 3.29 4.76 6.60 9.78 3.07 4.35 5.89 8.45 2.92 4.07 5.42 7.59 2.81 3.86 5.08 6.99 2.73 3.71 4.83 6.55 2.66 3.59 4.63 6.22 4 55.83 224.58 899.58 5624.58 9.24 19.25 39.25 99.25 5.34 9.12 15.10 28.71 4.11 6.39 9.60 15.98 3.52 5.19 7.39 11.39 3.18 4.53 6.23 9.15 2.96 4.12 5.52 7.85 2.81 3.84 5.05 7.01 2.69 3.63 4.72 6.42 2.61 3.48 4.47 5.99 2.54 3.36 4.28 5.67 5 57.24 230.16 921.85 5763.65 9.29 19.30 39.30 99.30 5.31 9.01 14.88 28.24 4.05 6.26 9.36 15.52 3.45 5.05 7.15 10.97 3.11 4.39 5.99 8.75 2.88 3.97 5.29 7.46 2.73 3.69 4.82 6.63 2.61 3.48 4.48 6.06 2.52 3.33 4.24 5.64 2.45 3.20 4.04 5.32 6 58.20 233.99 937.11 5858.99 9.33 19.33 39.33 99.33 5.28 8.94 14.73 27.91 4.01 6.16 9.20 15.21 3.40 4.95 6.98 10.67 3.05 4.28 5.82 8.47 2.83 3.87 5.12 7.19 2.67 3.58 4.65 6.37 2.55 3.37 4.32 5.80 2.46 3.22 4.07 5.39 2.39 3.09 3.88 5.07 7 58.91 236.77 948.22 5928.36 9.35 19.35 39.36 99.36 5.27 8.89 14.62 27.67 3.98 6.09 9.07 14.98 3.37 4.88 6.85 10.46 3.01 4.21 5.70 8.26 2.78 3.79 4.99 6.99 2.62 3.50 4.53 6.18 2.51 3.29 4.20 5.61 2.41 3.14 3.95 5.20 2.34 3.01 3.76 4.89 8 59.44 238.88 956.66 5981.07 9.37 19.37 39.37 99.37 5.25 8.85 14.54 27.49 3.95 6.04 8.98 14.80 3.34 4.82 6.76 10.29 2.98 4.15 5.60 8.10 2.75 3.73 4.90 6.84 2.59 3.44 4.43 6.03 2.47 3.23 4.10 5.47 2.38 3.07 3.85 5.06 2.30 2.95 3.66 4.74 9 59.86 240.54 963.28 6022.47 9.38 19.38 39.39 99.39 5.24 8.81 14.47 27.35 3.94 6.00 8.90 14.66 3.32 4.77 6.68 10.16 2.96 4.10 5.52 7.98 2.72 3.68 4.82 6.72 2.56 3.39 4.36 5.91 2.44 3.18 4.03 5.35 2.35 3.02 3.78 4.94 2.27 2.90 3.59 4.63 10 60.19 241.88 968.63 6055.85 9.39 19.40 39.40 99.40 5.23 8.79 14.42 27.23 3.92 5.96 8.84 14.55 3.30 4.74 6.62 10.05 2.94 4.06 5.46 7.87 2.70 3.64 4.76 6.62 2.54 3.35 4.30 5.81 2.42 3.14 3.96 5.26 2.32 2.98 3.72 4.85 2.25 2.85 3.53 4.54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 154 28 2.83 8.53 3.01 0.06 2.56 1.42 5.41 4.025 0.15 5.22 2.44 4.56 2.1 0.22 2.90 2.80 3.05 0.51 1.03 2.07 3.39 2.31 4.56 4.84 2.18 2.43 3.67 6.58 2.03 4.18 2.41 2.12 5.48 3.54 6.52 4.08 2.25 4.89 5.06 3.01 0.70 3.49 2.89 2.39 3.20 4.44 3.29 4.60 6.32 2.89 2.10 2.29 2.Tabla II.35 2.11 3.10 4.64 2.95 2.92 2.13 2.39 2.62 2.76 7 2.54 3.57 3.10 2.63 4.05 0.44 4.10 3.70 2.33 3.58 3.77 3.73 3.88 3.20 4.84 3.44 4.01 0.70 3.30 2.27 2.69 6.51 2.52 1.19 2.70 3.79 7.51 4.87 8.70 3.06 2.77 3.54 3.08 2.21 4.66 3.43 2.30 8.85 3.99 3.74 3.77 6.73 4.59 3.69 2.67 3.69 2.56 6.22 4.55 3.45 2.24 5.75 3.77 4.14 4.38 4.07 4.01 0.91 3.18 2. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2 α 0.98 2.49 6.76 3.38 2.1 0.59 4.12 2.36 3.74 2.71 3.14 2.68 3.37 1.90 5.50 4.89 2.46 1.05 0.36 3.51 3.83 3.66 4.13 3.00 2.97 3.61 3.01 2.51 3.33 4.61 3.13 2.46 3.66 3.63 2.01 3.31 2.93 3.54 3.17 3.82 4.18 2.46 2.29 4.09 3.15 2.55 4.00 2.1 0.13 2.1 0.16 2.01 5.81 3.82 3.60 1.84 3.12 8.48 4.91 3.49 4.03 2.66 4.47 5.72 3 2.01 0.29 4.18 4.01 4.82 4 2.62 3.49 2.71 3.025 0.15 3.05 0.30 5.80 4.35 3.10 3.62 6.67 3.77 3.76 3.1 0.03 2.77 2.12 3.92 8.86 3.22 4.05 3.89 5.22 3.13 3.86 6.90 3.96 3.44 4.05 0.05 3.78 4.14 2.28 2.42 2.99 6 2.98 8.16 3.38 5.05 0.025 0.99 4.31 5 2.87 3.20 2.71 2.58 4.08 5.01 2.00 2.51 4.26 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 155 .67 2.93 3.95 5.79 2.95 2 2.1 0.20 2.51 5.60 3.66 3.78 2.82 2.30 2.94 2.01 0.73 4.02 2.025 0.04 2.96 3.05 3.33 3.41 2.98 2.31 1.06 3.64 3.74 4.87 3.27 2.77 2.73 3.93 2.21 2.96 2.23 2.38 3.74 3.59 1.05 0.63 3.25 2.12 2.59 8 2.42 2.32 5.30 2.45 6.10 6.04 2.49 2.31 2.40 3.19 2.14 2.23 2.025 0.48 4.10 2.97 4.16 3.96 3.61 4.025 0.61 3.38 4.06 2.26 4.05 0.92 3.71 3.80 3.32 2.01 v1 1 3.35 5.43 1.01 2.55 9.18 4.05 0.51 1.52 3.37 4.09 2.04 2.24 2.28 4.87 2.57 3.38 5.98 2.24 2.90 3.1 0.46 2.24 2.33 3.41 9.04 2.41 5.09 2.29 2.01 3.01 0.64 2.39 4.37 2.09 2.40 3.11 3.00 2.87 3.07 3.93 2.01 0.61 4.06 2.25 2.50 2.11 2.25 4.05 0.15 2.81 2.50 2.85 2.97 6.56 3.00 3.10 2.93 2.95 4.84 3.29 2.85 3.45 2.60 4.05 0.68 2.86 2.09 2.82 3.1 0.21 2.025 0.20 2.01 0.96 2.34 2.21 2.23 2.17 2.34 2.14 2.68 3.93 3.94 2.00 5.025 0.35 5.75 6.40 1.35 10 2.44 2.35 3.68 4.76 3.20 8.06 2.39 3.1 0.1 0.10 2.42 2.78 2.025 0.92 3.95 2.03 3.28 2.44 2.11 2.34 4.01 2.02 2.02 2.59 3.46 2.86 4.025 0.16 2.19 2.81 3.85 3.94 2.03 2.36 2.64 3.01 3.50 4.94 2.79 3.04 8.97 2.1 0.49 3.06 3.55 3.025 0.80 2.41 4.56 3.01 0.87 2.70 2.29 4.65 3.89 5.46 5.96 4.48 2.93 2.45 9 2.98 3.37 2.49 4.05 3.24 4.60 3.16 2.34 4.10 2.12 3.42 3.47 4.40 2.81 4.05 4.06 2.56 2.59 3. 40 4.98 2.05 0.72 2.87 2.50 1.02 2. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2 α 0.28 2.32 2.10 2.22 2.79 8 1.95 1.82 2.28 2.13 1.1 0.99 2.12 1.06 1.25 2.32 5.03 1.88 2.24 2.02 2.95 3.24 5.36 1.61 4.1 0.61 3.61 3.01 0.94 3.09 2.99 2.55 3.26 1.53 3.04 2.97 2.01 0.23 3.73 3.85 2 2.85 2.01 0.025 0.45 2.75 3.62 3.38 4.23 4.05 2.90 3.22 5.05 2.11 2.40 2.75 2.15 1.33 1.91 4.26 5.46 2.63 7.35 5.78 3.51 2.01 0.82 2.93 4.18 2.1 0.15 6.99 3.01 0.76 3.67 3.99 1.78 3.35 4.26 2.27 2.05 0.34 2.28 2.30 1.23 5.04 3.80 3.36 2.94 2.69 3.025 0.84 2.07 2.27 2.42 2.87 3.02 2.20 5.33 4.57 2.53 1.025 0.70 3.53 3.63 2.63 3.1 0.01 0.22 2.77 2.93 2.71 3.89 1.20 5.51 3.28 2.08 2.1 0.65 4.53 3.45 2.74 3.53 3.76 2.01 3.05 0.96 3.59 3.35 3.42 7.57 3.86 2.07 3.025 0.51 2.88 4.45 2.89 3.42 2.09 2.025 0.61 7.59 3.56 10 1.21 2.17 1.77 2.33 4.18 2.91 2.90 2.39 2.79 3 2.05 0.73 3.75 3.89 2.76 3.08 3.07 1.1 0.29 1.05 0.24 5.56 2.64 2.64 2.34 1.86 2.54 2.44 3.94 2.98 2.41 2.64 3.75 4.50 3.67 3.47 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 156 .13 2.16 2.14 2.96 2.81 3.71 2.18 2.55 3.04 2.16 2.73 3.37 4.22 1.51 2.98 2.15 2.76 3.14 2.69 4.37 2.33 2.43 2.28 5.82 2.10 2.42 2.21 5.95 4 2.59 3.96 7 1.22 2.53 3.17 2.41 4.01 0.25 2.88 2.83 2.06 2.27 4.75 3.60 2.12 1.31 2.88 2.45 2.93 3.17 2.35 2.32 2.05 0.33 3.17 2.09 1.78 2.1 0.95 2.18 2.94 4.92 5.83 2.82 2.96 2.08 5.46 1.67 2.32 2.30 1.54 1.12 2.18 2.89 4.62 3.79 3.52 2.49 2.18 5.72 1.48 5 2.90 2.36 2.025 0.84 4.41 1.025 0.71 1.92 2.50 3.70 3.18 2.15 3.31 2.01 2.82 1.92 3.21 2.73 2.09 2.31 2.1 0.85 2.79 4.82 2.89 4.85 3.31 2.66 7.83 2.72 4.99 2.09 1.00 5.30 2.68 1.19 2.95 2.32 1.77 2.89 2.68 2.88 3.79 2.16 2.94 2.67 4.50 1.70 2.87 3.23 1.32 4.61 3.60 3.57 2.49 3.37 2.21 1.72 2.25 2.12 1.30 2.98 3.17 5.39 2.51 1.04 2.93 4.99 2.59 4.56 3.68 2.13 2.65 3.30 2.27 2.54 3.18 1.05 0.90 3.80 4.34 3.33 2.51 2.71 3.05 0.13 3.15 3.05 0.00 1.01 v1 1 2.99 3.29 2.98 1.39 4.52 3.57 7.06 2.65 1.59 2.49 2.39 3.11 2.03 3.36 1.87 2.87 2.74 2.75 7.39 1.00 2.53 2.26 1.03 3.18 5.44 2.31 4.025 0.97 3.05 5.90 3.29 2.63 4.37 2.35 4.47 1.59 7.69 3.29 2.27 2.57 3.65 1.64 3.08 2.61 2.04 2.01 3.92 3.69 7.25 2.93 2.34 4.65 3.01 0.17 6 2.92 2.20 2.10 3.63 3.91 2.46 4.82 3.18 3.89 2.60 2.13 3.66 9 1.05 0.25 4.91 2.87 2.29 4.1 0.00 2.29 5.72 7.02 3.025 0.Tabla II.025 0.68 3.74 3.00 2.22 2.55 3.53 2.85 2.90 2.87 2.76 2.08 2.42 4.27 5.92 4.88 2.39 2.18 2.1 0.90 4.1 0.47 2.80 1.29 1.07 2.67 3.93 2.23 2.29 7.66 2.72 2.78 3.39 2.01 0.34 4.06 3.05 0.57 3.24 2.56 2.34 2.95 2.17 1.01 0.42 1.19 2.80 3.45 2.84 3.025 0.93 2.68 3.63 1.20 1. 82 3.78 5.05 0.41 3.78 3.38 3.41 99. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2 α 0.33 2.57 6.1 0.46 13.68 3.22 4.11 2.21 2.1 0.14 2.01 0.25 20 61.06 2.42 19.67 2.58 3.03 6083.20 1009.20 4.28 4.1 0.96 2.02 30 62.71 6.89 5.66 4.74 14.22 8.79 3.66 14.79 2.025 0.40 39.94 8.55 13.20 2.46 99.75 3.84 3.07 2.96 7.16 4.01 0.05 0.13 3.76 14.03 2.47 2.47 99.50 3.38 4.83 3.31 13.57 2.28 2.92 4.73 2.40 15 61.56 3.23 2.20 2.03 2.11 2.42 3.20 5.61 3.32 3.31 5.01 0.07 9.1 0.01 0.41 39.23 9.70 6.90 6.91 8.75 3.95 26.63 9.21 4.51 3.025 0.70 3.00 5.48 39.39 4.17 2.52 9.25 5.45 39.46 19.52 3.41 2.28 4.36 5.025 0.94 3.01 993.41 5.24 4.49 99.15 4.47 2.44 4.00 5.43 9.74 2.34 27.86 60 62.46 3.20 2.87 3.22 245.28 9.12 3.82 2.25 2.78 9.93 3.42 4.52 2.31 4.85 3.77 3.36 13.63 3.25 1014.45 99.43 39.1 0.45 2.56 6.55 2.82 5.65 2.49 3.71 2.14 4.18 8.23 2.05 0.16 8.01 0.12 3.17 2.1 0.46 99.14 4.99 2.45 5.34 3.51 4.12 9.46 5.40 2.40 2.47 4.56 3.61 4.28 9.95 2.16 2.86 8.54 2.43 99.41 6.36 3.23 2.83 5.07 7.01 0.10 3.00 249.47 19.80 8.44 19.17 4.10 2.02 3.27 7.49 3.59 3.81 5.94 40 62.01 7.025 0.03 9.47 5.66 14.14 1005.45 39.48 99.62 6.42 5.20 3.96 2.1 0.1 0.33 9.17 26.18 2.24 2.05 0.33 4.10 6208.49 5.87 5.75 8.58 3.025 0.47 39.12 2.50 3.30 2.26 250.79 3.74 248.49 39.98 973.00 2.40 6.86 3.94 3.94 5.00 2.60 3.95 5.22 3.51 4.37 4.56 4.69 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 157 .17 8.05 0.72 8.87 5.38 3.20 8.80 5.05 2.025 0.1 0.66 3.80 6313.90 4.84 5.71 6106.37 7.46 12 60.73 9.025 0.05 0.67 4.48 5.51 13.67 6.47 242.70 4.73 2.56 2.64 14.41 19.47 19.97 3.72 2.1 0.04 26.56 14.62 14.40 19.12 4.66 8.06 253.05 0.36 2.54 3.91 976.76 3.45 4.23 4.30 4.79 14.32 2.05 0.00 3.22 8.17 7.65 9.47 5.41 7.56 2.87 6157.20 5.45 19.90 3.74 3.89 2.67 3.12 7.75 14.87 3.84 5.72 3.74 3.69 3.04 3.31 2.72 2.34 4.10 v1 24 62.21 2.26 4.10 1001.48 19.34 3.11 2.28 2.78 120 63.90 5.41 6260.40 3.05 0.08 2.69 8.01 3.81 2.47 6.50 6.29 2.79 5.08 2.05 0.27 4.39 9.17 4.18 2.18 2.99 26.25 6234.77 8.57 3.43 4.03 5.41 13.46 6.45 3.15 8.025 0.57 9.40 3.84 5.91 3.32 9.18 9.53 251.06 3.01 3.32 9.41 4.01 0.91 5.08 2.01 11 60.30 2.025 0.01 0.18 8.84 3.91 5.80 3.46 39.05 0.05 997.48 2.59 14.77 4.57 13.01 0.25 26.77 5.41 99.05 3.31 2.68 6.82 3.14 8.78 5.52 4.08 3.60 4.77 2.02 6339.94 3.87 5.08 26.70 14.01 0.16 2.43 5.53 3.65 3.71 243.97 2.27 4.13 2.57 4.31 4.025 0.65 3.1 0.43 6.53 6.Tabla II.28 2.12 26.37 3.12 2.07 3.25 2.91 2.95 984.025 0.38 2.10 5.37 27.73 4.60 6286.24 5.19 4.62 4.74 4.79 252.62 3. 38 2.51 1.63 3.75 1.26 1.15 2.76 1.25 2.11 2.01 0.32 2.38 2.29 2.70 1.26 2.84 1.10 2.75 2.97 2.43 1.10 2.67 1.95 3.94 2.84 3.78 2.91 2.19 2.31 2.20 2.82 3.70 3.93 2.60 3.29 1.20 2.78 3.45 1.73 2.70 1.62 1.84 1.04 2.46 2.01 0.60 3.05 2.05 3.19 2.03 2.86 2.34 1.64 1.59 1.86 3.93 2.84 3.81 2.34 2.07 2.65 3.00 1.29 1.05 2.31 2.01 0.51 3.06 2.35 2.98 20 2.05 3.03 1.11 2.40 2.15 2.10 2.70 1.05 0.44 2.025 0.46 2.76 3.89 3.57 3.96 2.91 2.01 3.85 3.41 2.89 3.72 2.27 2.10 1.84 2.89 2.86 2.25 2.93 2.53 3.87 3.50 2.75 30 2.35 2.69 1.94 1.46 2.36 1.1 0.35 1.37 1.01 0.06 2.90 2.62 1.51 3.81 2.18 12 2.04 2.27 2.86 1.05 0.92 2.18 1.86 2.025 0.25 2.31 2.37 2.43 1.99 2.61 3.72 3.79 3.13 1.79 3.53 3.41 1.1 0.28 2.91 3.68 3.90 2.10 2.86 2.88 2.025 0.20 2.63 3.39 2.59 3.55 1.72 3.01 2.96 2.67 40 1.37 2.95 2.06 2.67 1.05 0.95 2.67 3.34 2.16 2.24 2.84 2.62 3.46 1.94 2.37 1.18 2.02 2.79 2.73 2.01 2.025 0.18 2.88 2.30 2.16 2.89 2.72 2.69 3.1 0.98 2.89 2.05 0.61 1.89 2.90 2.96 2.79 3.77 3.31 1.18 1.96 3.05 1.15 3.20 4.67 1.41 2.27 1.98 2.72 1.28 2.23 1.33 2.79 2.66 1.78 1.75 2.03 2.93 3.18 2.60 1.00 1.07 2.93 2.45 2.24 1.99 2.05 0.38 2.84 2. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2 α 0.08 2.92 1.05 0.52 1.02 1.39 2.38 2.62 3.08 2.50 3.75 1.22 2.01 11 2.025 0.27 2.14 2.17 2.80 2.78 2.01 0.42 2.87 2.75 2.85 2.72 2.05 0.33 2.23 2.64 1.01 2.35 2.92 1.82 2.52 1.64 1.58 60 1.64 3.02 2.72 3.98 2.71 1.08 1.42 2.76 2.32 4.1 0.15 1.43 2.55 1.84 2.86 2.34 2.98 2.31 2.16 2.21 2.01 2.52 3.97 2.54 3.99 2.31 2.72 3.05 0.38 2.51 3.58 1.83 1.46 1.23 2.66 1.05 0.50 120 1.11 2.28 4.55 3.51 3.025 0.84 2.01 0.78 2.81 2.28 2.56 3.44 2.39 2.73 3.43 1.94 2.25 2.54 1.01 0.87 2.07 3.025 0.64 3.01 0.09 1.09 1.48 2.02 2.86 2.00 1.66 1.23 2.22 2.1 0.46 2.25 1.19 2.51 1.67 3.01 2.96 1.56 3.78 1.05 0.69 1.025 0.22 2.76 3.81 3.025 0.27 2.96 2.90 2.91 2.15 2.81 2.87 2.92 2.01 0.68 1.68 3.62 3.34 2.1 0.79 2.33 2.1 0.23 1.025 0.16 1.88 1.Tabla II.96 2.47 2.05 2.12 2.81 2.89 2.80 1.1 0.82 2.53 3.26 2.67 1.17 1.11 2.83 2.84 1.025 0.66 1.11 2.32 2.46 2.40 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 158 .38 2.68 3.96 2.66 3.72 3.1 0.12 15 2.57 3.29 2.02 3.01 0.1 0.1 0.93 2.93 1.69 1.62 1.87 2.04 2.07 2.08 1.30 1.74 2.78 2.76 2.50 3.91 2.45 2.09 3.75 2.18 4.16 2.42 2.77 2.15 2.06 2.01 2.05 0.12 2.52 1.96 3.92 1.73 2.21 1.15 2.83 2.83 v1 24 2.57 3.01 2.95 3. 32 2.61 1.67 1.21 1.02 1.81 2.03 2.54 1.01 0.29 1.69 1.00 2.17 2.90 2.11 1.81 2.63 1.64 1.82 2.58 1.62 3.55 1.01 2.14 2.43 1.20 1.72 2.12 2.53 1.64 1.63 1.15 2.24 2.08 2.51 1.55 1.54 1.68 1.94 2.94 1.05 2.73 1.98 2.25 2.03 2.01 0.47 1.05 0.12 1.58 1.85 2.86 40 1.35 1.59 1.74 1.93 2.59 3.29 2.91 2.66 1.82 2.30 2.18 2.52 1.41 1.47 1.59 1.55 1.70 1.92 1.24 2.74 2.66 1.69 1.01 0.84 2.64 1.84 2.55 1.58 1.97 2.22 2.50 1.71 2.45 1.49 1.76 2.89 2.35 1.025 0.93 1.15 2.025 0.84 1.30 1.56 1.32 1.91 2.33 1.61 1.05 0.025 0.89 1.80 2.95 30 1.05 0.82 2.84 2.35 1.21 2.58 1.38 1.67 1.79 2.05 0.41 2.01 0.72 2.87 2.76 60 1.64 1.60 1.89 2.05 0.35 1.57 1.93 1.14 1.81 2.05 0.44 1.43 2.70 1.05 0.57 1.99 1.96 2.85 2.39 1.98 2.26 1.41 2.65 1.025 0.92 2.15 2.94 2.83 2.41 1.22 2.45 1.1 0.51 2.025 0.23 2.50 1.52 1.74 1.95 2.18 2.35 1.1 0.1 0.90 1.06 2.96 2.1 0.01 11 1.76 1.81 1.39 2.74 1.16 2.93 2.56 3.70 1.43 1.44 1.74 1.13 2.18 2.01 2.21 2.74 2.86 2.99 1.54 3.04 2.96 1.01 0.26 1.44 2.1 0.07 2.34 2.40 1.81 2.95 2.50 1.37 1.48 1.85 2.05 0.94 2.75 1.75 1.73 1.33 2.23 1.51 2.72 1.12 2.82 2.75 2.56 1.87 2.72 2.88 2.80 2.01 0.70 1.70 1.20 1.70 1.69 1.02 1.45 1.03 2.01 2.84 2.50 1.31 2.09 1.42 1.19 20 1.20 1.75 1.75 1.60 1.20 2.025 0.29 1.79 2.53 1.40 12 1.79 2.00 2.09 2.37 1.88 2.33 2.1 0.01 0.14 2.53 1.78 2.1 0.73 1.49 2.51 1.23 1.03 2.1 0.79 2.84 2.025 0.54 1.47 1.96 1.10 2.54 1.01 2.07 1.74 2.24 2.49 2.57 1.13 2.63 1.77 2.10 2.48 1.69 1.66 1.66 1.025 0.87 2.68 1.16 2.60 1.94 2.025 0.83 2.025 0.01 0.78 1.27 1.20 2.54 1.09 2.15 2.96 2.68 1.87 1.63 1.46 2.65 1.07 2.11 2.83 2.01 0.05 2.79 2.57 3.82 2.33 1.54 1.96 2.31 1.61 1.99 2.84 1.82 2.11 2.57 1.77 2.84 2.05 2.03 1.1 0.11 1.17 2.91 2.89 2.92 2.95 2.60 1.01 2.61 1.61 1.18 2.1 0.Tabla II.66 1.17 2.06 1.34 15 1.40 1.05 0.98 2.36 1.13 2.19 2.01 2.77 1.52 1.85 1.87 2.59 1.45 2.36 2.80 2.01 0.09 2.1 0.36 2.05 0.49 1.62 1.07 2.90 2.94 2.84 2.07 2.03 v1 24 1.68 1.04 2.06 2.42 1.09 2.94 2.58 1.77 1.17 1.03 1.67 1.04 2.58 1.91 1.48 2.13 2.27 2.71 1.61 1.62 1.22 2.05 2.66 1.14 1.47 2.55 1.51 1.025 0.88 2.18 2.78 1.66 1.71 1.87 2.66 120 1.66 1.11 2.30 2.59 1.73 1.67 1.73 2.79 2.53 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 159 .20 2.28 2.54 3. Cuantiles de la distribución F (continuación) v2 α 0.66 1.62 1.56 1.80 2.80 2.62 1.57 1.47 1.69 1.93 2.47 2.65 1.93 1.05 0.70 1.73 2.75 1.78 2.92 2.
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