UNIDAD III CINETICA DE PARTICULASHasta ahora hemos analizado los movimientos de los cuerpos sin considerar las fuerzas que los causan. En esta unidad relacionaremos causa y efecto: dibujando un diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas que actúan sobre él, podemos utilizar la segunda ley de Newton para determinar su aceleración. Una vez conocida la aceleración, podemos determinar su velocidad y posición con los métodos desarrollados en las unidades anteriores. SEGUNDA LEY DE NEWTON: La magnitud de la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. LA DIRECCIÓN DE LA ACELERACION ES LA MISMA DIRECCIÓN DE LA FUERZA RESULTANTE QUE ACTUA SOBRE EL CUERPO. Esta ley solo puede demostrarse experimentalmente. LA MASA ES UNA PROPIEDAD DE LA PARTICULA Y ES UNA MEDIDA DE SU INERCIA O SEA, DE SU RESISTENCIA AL CAMBIO DE SU VELOCIDAD. Para aplicar la segunda ley de Newton hay que hacer las siguientes consideraciones: 1.- La F debe ser la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. 2.- La ecuación está definida para una sola partícula. Puede usarse para un sistema de partículas, si la aceleración se considera como la aceleración del centro de masa del sistema de partículas. 3.- El movimiento de la partícula se determina con respecto a un sistema de referencia fijo no acelerado. SISTEMA DE UNIDADES UTILIZADO: Se utiliza el SISTEMA INTERNACIONAL y EL SISTEMA INGLES. En la ecuación de Newton hay cuatro unidades, tres de ellas pueden ser seleccionadas arbitrariamente, la cuarta depende de las otras tres. 81 m/s2 en el S.3 ft/s2 en el sistema inglés. y 32.SISTEMA INTERNACIONAL: [ [ [ [ ] ] ] ] EL NEWTON ES LA UNIDAD DE FUERZA. [ ] [ ]* ⁄ + Es importante distinguir entre MASA y PESO de un cuerpo.I. El peso es una fuerza causada por un campo gravitacional. La masa es una propiedad del cuerpo independiente de su posición y movimiento. SISTEMA INGLES: [ [ [ [ ] ] ] ] ( ) ( ) ( ) De la ecuación de la segunda ley de Newton se deduce que: . m es la masa y g es la aceleración causada por la gravedad terrestre. se define como la fuerza que acelera una masa de un kilogramo a razón de un metro sobre segundo al cuadrado. Donde W es el peso del cuerpo. 9. para el movimiento curvilíneo plano.ECUACIONES DE MOVIMIENTO: En la mayoría de las situaciones varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo. Para resolver problemas es conveniente expresar la ecuación anterior en términos de sus componentes rectangulares: EN NOTACION VECTORIAL: ∑( EN NOTACION ESCALAR: ∑ ∑ ∑ COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL. entonces: ∑ Esta es la llamada ecuación del movimiento. ∑ ∑ ) ( ) . 5 Nw N = fuerza normal f = fuerza de fricción = µN N f Ecuaciones de movimiento: ∑ ∑ Despejando N queda N = 290.3.5 Nw Sustituyendo en la primera ecuación nos da Como la aceleración es constante. Si la caja está sujeta a la acción de una fuerza remolcadora de 400 Nw como se indica. P = 400 Nw 30º DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: W P W = mg = 50kg x 9.EJEMPLO: Una caja de 50 kg descansa sobre un plano horizontal para el cual el coeficiente de fricción cinético es µ = 0.81 m/s2 = 490. Determinar la velocidad de la caja 5 segundos después de haber partido del reposo. entonces: Si t = 5 seg entonces: ( ⁄ )( ) ⁄ . b) si la resistencia del aire se mide como Fa = 0.EJEMPLO: Un proyectil de 10 kg se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo.01v2 donde v es la rapidez en cualquier instante medida en m/s. con velocidad inicial de 50 m/s. sin la resistencia del aire: W = (10) (9. Determinar la altura máxima a la que llegará si: a) Se desprecia la resistencia del aire.81) = 98. Diagrama de cuerpo libre.1 Nw ( Cuando y es máxima v = 0 ( ) ( ) )( ) Diagrama de cuerpo libre considerando la resistencia del aire: Fa W ∑ La aceleración es f (v) . Aplicando Sustituyendo el valor de la aceleración: Haciendo Tenemos: ( ( ∫ ∫ ( ( [ ( )] [ Y es máxima cuando v = 0 ( ) )] ( ] ) ) ) ) . 4 10º Y (+) Diagrama de cuerpo libre: f N W ∑ n (+) ∑ Sustituyendo el valor de N ( ) √ ( )( ) ⁄ .EJEMPLO: Un automóvil se mueve sobre una curva de radio igual a 100 m que tiene un ángulo de peralte θ = 10º. Calcular la velocidad máxima del automóvil si éste no debe deslizarse sobre el pavimento donde el coeficiente de fricción estática es de 0. Hay casos en que es mejor analizar la cinética del cuerpo sin necesidad de considerar las aceleraciones. La componente Fy no realiza ningún trabajo. se define el trabajo de una fuerza como el producto de la fuerza aplicada al cuerpo por la distancia que recorre dicho cuerpo.METODO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA. El método de analizar la cinética de un cuerpo utilizando la segunda ley de Newton no siempre es conveniente en la práctica. . Necesitamos considerar algunos conceptos como: TRABAJO DE UNA FUERZA: Se dice que toda fuerza es capaz de realizar un trabajo. Ejemplo 1 1 F x 2 U1-2 = TRABAJO = (FUERZA x DISTANCIA) = Fx Ejemplo 2 F θ 1 2 x U1-2 = (F cosθ) x SOLO LA COMPONENTE Fx = F cosθ es la que realiza trabajo. esta es el caso del método del trabajo y la energía. puesto que no hay desplazamiento en la dirección y. La componente (F senθ) no realiza trabajo porque no hay desplazamiento en esa dirección.Ejemplo 3 2 y x 1 F θ U1-2 = F x x Ejemplo 4 2 y x F θ 1 x θ U1-2 = (F cosθ) x En resumen: Si F se encuentra formando un ángulo θ con respecto al plano de deslizamiento UNICAMENTE (F cosθ) está asociada con el desplazamiento del bloque por lo tanto es la única componente que realiza trabajo. . LA RELACION ENTRE TRABAJO Y ENERGIA PODEMOS EXPRESARLA COMO: Esta ecuación se conoce como el PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGIA. LA ENERGIA CINETICA SIEMPRE ES POSITIVA LAS UNIDADES DEL TRABAJO Y LA ENERGIA SON: (Newton) x (metro) = Joule en el SI (Libra) x (pie) en el sistema Inglés. . tenemos por la segunda ley de Newton: Integrando desde 1 hasta 2: . Ft P 1 Fn F 2 Si consideramos la masa m de la partícula.ENERGIA CINETICA Cuando una partícula está en movimiento.∫ ∫ Donde la masa es constante. tiene energía cinética debido a su velocidad. U1-2 es el trabajo realizado para desplazarse de 1 a 2 y EL TRABAJO PUEDE SER POSITIVO O NEGATIVO DEPENDIENDO DEL SENTIDO DE LA FUERZA. su velocidad y su desplazamiento instantáneos. Del trabajo y la energía: . podemos hacer las siguientes consideraciones: El trabajo es positivo (+) si T2 > T1 El trabajo es negativo (-) si T2 < T1 EJEMPLO: Un automóvil con una masa de 1000 kg se está moviendo horizontalmente a una velocidad de 100 km/h cuando se aplican los frenos. la única fuerza que efectúa trabajo es f (fuerza de rozamiento debida al frenado). si µ = 0. ( )( ) Aplicando la ec. asi que: U1-2 = .5.Ya que el trabajo puede ser positivo o negativo.fΔx ∑ ( ( Entonces: ) ) Calculando las energías: ya que el auto llega al reposo. Despreciar la resistencia del aire W f DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE N Aquí hay que notar que W y N no realizan trabajo. Calcular la distancia recorrida hasta que llega al reposo. b) La velocidad del paquete al regresar a su posición inicial. c) La cantidad total de energía disipada por causa del rozamiento.15 entre el paquete y el plano. con una velocidad de 40 ft/s. determinar: a) La distancia máxima que subirá el paquete sobre el plano inclinado. Si µ = 0. Aplicando la ecuación del trabajo y la energía: ( ) . DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE y x (1) f = µN 20º N W a) Para la posición inicial (1) vo = 40 ft/s ∑ ∑ ( ( )( ) ) lb ( ) La energía cinética para la posición (1) ( )( ) La energía cinética para la posición final (2) ya que al alcanzar su máxima elevación el paquete se detiene.EJEMPLO: Un paquete de 50 lb se proyecta hacia arriba en un plano inclinado 20º con respecto a la horizontal. POSICIÓN INICIAL (2) (2) f N 20º W ( ( Energías cinéticas: ( )( ) ) ) c) ENERGIA DISIPADA = ENERGIA FINAL – ENERGIA INICIAL ( )( )( ) ( )( )( ) El signo negativo indica pérdida de energía.b) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE. . 25 entre los paquetes y la superficie ABC. 30º Problema: Un remolque de 1200 kg está enganchado a un automóvil de 1400 kg. b) la componente horizontal de la fuerza ejercida por el enganche del remolque sobre el automóvil.26 ft.Problema: Se tiran paquetes sobre una pendiente en A con una velocidad de 4 ft/s. ambos se desplazan a 72 km/h cuando el conductor aplica los frenos tanto en el automóvil como en el remolque. determínense: a) la distancia recorrida por el auto y el remolque antes de detenerse.78 m b) F = 154 N . respectivamente. Los paquetes resbalan a lo largo de la superficie ABC hasta una banda transportadora que los mueve a una velocidad de 8 ft/s. determinar la distancia d desde donde se sueltan si los paquetes llegan a C con v = 8 ft/s. Si el coeficiente de fricción es µ = 0. v = 4 ft/s A d v = 8 ft/s C B 20 ft Respuesta: d = 20. Si las fuerzas de frenado ejercidas sobre el automóvil y el remolque son 5000 N y 4000 N. Repuesta: a) d = 57. En la posición (2) la energía potencial es cero. Para elevar el cuerpo de (2) a (1) se necesita realizar un trabajo: Esto puede aplicarse en el siguiente caso: W (1) y1 y W (2) y2 .ENERGIA POTENCIAL Y TRABAJO. el cual sería: Entonces: El trabajo que puede realizar el cuerpo de peso W es igual a su energía potencial. La energía potencial es la que tiene un cuerpo debido a la posición (altura) que ocupa. de acuerdo con la definición de energía entonces es capaz de realizar un trabajo para pasar de la posición (1) a la posición (2). Observemos el siguiente diagrama: (1) W h (2) El cuerpo de peso W tiene una energía potencial debido a su altura h. (A) C 50 ft ρ = 50 ft (B) Utilizando el método del trabajo y la energía: ( )( ) ( ) . EJEMPLO: Un carro de montaña rusa parte del reposo en A y se desliza hacia abajo según la figura. O sea: También: NOTA: El trabajo es positivo cuando se realiza a favor del desplazamiento del cuerpo. Determinar el peso aparente de un pasajero de 150 lb de peso en B. y es negativo en caso contrario. Suponiendo que no hay pérdida de energía y sabiendo que el radio de curvatura de la vía en B es de 50 ft.Podemos calcular el trabajo realizado por el peso W al pasar de la posición (1) a la posición (2) utilizando las energías potenciales: ( ) Lo cual nos muestra que el trabajo sería positivo cuando el peso W se desliza hacia abajo. ( Dividiendo entre W + 150 )( ) ( ) Diagrama de cuerpo libre del pasajero: 150 lb R = peso aparente ( ) ∑ ( ) . Nota. La deformación de los cuerpos elásticos fue estudiada por el físico Robert Hooke utilizando resortes. Consideremos las siguientes figuras: L L d W L 2d 2W .En este caso se considera que todos los cuerpos elásticos son ideales o sea que recuperan sus dimensiones originales una vez que dejan de actuar sobre ellos las fuerzas que los deforman. Cuando un cuerpo elástico se deforma adquiere ENERGIA POTENCIAL..ENERGIA POTENCIAL ELASTICA. Utilizando esta expresión en la ecuación del trabajo: ∫ ∫ En general. el trabajo U de una fuerza externa F que causa una deformación x a un cuerpo elástico. medida ésta (deformación) desde la posición donde el cuerpo no estaba deformado. es: . es: Donde U es el trabajo de F desde 0 hasta x. La expresión matemática de lo explicado anteriormente se conoce como la ley de Hooke: y eliminando el signo de proporcionalidad introduciendo una constante: En la cual x es la deformación del resorte.Y 2W W d 2d X Esta grafica muestra que la deformación d de un resorte es directamente proporcional a la fuerza (W) aplicada. y tiene el resorte debido a la deformación x. La pendiente k de la línea recta se conoce como la constante del resorte o rigidez del resorte y es una propiedad de cada resorte. es la ENERGIA POTENCIAL que Desde una posición deformada x. Sus unidades son N/m ó lb/ft. el trabajo U de la fuerza que ejerce el resorte para recuperar su posición no deformada. b) la velocidad máxima que alcanza.En la posición mostrada el resorte no está deformado) 6 lb a) Diagrama de cuerpo libre: posición inicial (1) P = 3 lb W = 6 lb Fs ∑ .EJEMPLO.. Un bloque de 6 lb está unido a un cable y a un resorte como se muestra en la figura. La constante del resorte es k = 8 lb/in y la tensión en el cable es de 3 lb. Si se corta el cable. (Nota. determinar: a) el desplazamiento máximo del bloque. Diagrama de cuerpo libre: posición final (2) W = 6 lb FT = Fs + kx La energía cinética (2): Calculando el trabajo: Trabajo del peso: ( ) Trabajo del resorte: ∫ ∫ ( ) TRABAJO TOTAL: Aplicando la ecuación del trabajo y la energía: Donde x es máxima cuando v = 0 . Cuando el seguro libere el resorte. El resorte se encuentra pre comprimido 0. el coeficiente de fricción entre la pieza y el plano inclinado 30º es µ = 0.1 y se requiere que la velocidad de la pieza cuando llegue a B sea de 5 m/s. B A 4m v = 5 m/s 30º . este impulsa una pieza de 30 kg que está recibiendo tratamiento térmico en A. hacia arriba del plano inclinado hasta una banda transportadora en B. hay que encontrar el máximo de Esto se consigue haciendo: ( ) Sustituyendo en la ecuación original: ( ) ( ) ⁄ ⁄ EJEMPLO: Un resorte comprimido se mantiene en su posición por medio de un seguro. Calcular la constante k del resorte que debe utilizarse. la cual es la velocidad de la banda transportadora.2 m.b) Para que v sea máxima. Diagrama de cuerpo libre: Y(+) X(+) F Fs 30º N W Trabajo del resorte: Trabajo de W: Trabajo de f : TRABAJO TOTAL: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ( )( ( )( ) ) Calculando las energías: Como parte del reposo ( )( ) . 8 m/s 200 m B .-El tren mostrado en la figura está viajando con una rapidez de 30 mi/h cuando se aplican los frenos sobre las ruedas de los vagones B y C provocando que patinen sobre las vías. determinar a) la distancia necesaria para que el tren se detenga y b) la fuerza en cada acoplamiento.066 ft 100 000 lb b) 80 000 lb FBC =8 620 lb FAB = 19 384 lb 2.. Si el coeficiente de fricción cinético es de 0. La longitud total de la trayectoria es de 800 m y la fuerza neta de fricción es de 10 N en todo el trayecto.En una competencia de esquí. Calcular la velocidad en el punto B de un competidor de 70 kg el cual no utiliza los bastones para impulsarse.PROBLEMAS para resolver por el método del trabajo y la energía: 1. los competidores arrancan desde el reposo en el punto A. pero no se aplican sobre las ruedas del vagón A.35 entre las ruedas y la vía. v = 30 mi/h A B C 80 000 lb Respuestas: a) 124. A Respuesta: vB = 60. el cual tiene una elevación de 200 m sobre el punto B. El resorte que no está fijo al bloque tiene una rigidez k = 500 N/m e inicialmente está comprimido 0.2 m de C a A.2 m A C D . calcule su velocidad cuando pasa por el punto D.3. Después de soltar el bloque en A a partir del reposo.2 Respuesta: vD = 0..Un bloque de 4 lb está en reposo sobre un resorte de k = 2 lb/in.656 m/s 0. Determinar: a) la velocidad máxima que alcanzan los bloques y b) la fuerza máxima ejercida por los bloques sobre el resorte..Un bloque de 10 kg descansa sobre una superficie horizontal como se muestra en la figura. pero sin apoyarse sobre él y luego se suelta.67 ft/s b) Fmáx = 20 lb 4 lb 4. Se le pone encima otro de 8 lb de manera que lo toque justamente. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es µ = 0. 8 lb Respuestas: a) vmáx = 2.4 m 0. 5.4 m Constante k del resorte = 200 N/m Respuesta: h = 0. que alcanza el bloque en el aire.963 m .6 m cuando la plataforma está vacía.4 m de longitud mantienen el resorte comprimido 0.1 m hacia abajo. medida desde el suelo.La plataforma P de la figura tiene una masa despreciable y está sujeta de modo que las cuerdas de 0. calcular la altura máxima h. Si se coloca un bloque de 2 kg sobre la plataforma y se suelta desde el reposo después de haberla empujado 0. h altura original de la plataforma 2 kg 0.1 m 0..