39DINAMICA UNIDAD 3 CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO 40 En esta unidad analizaremos la cinemática de cuerpos, es decir, la descripción y el análisis del movimiento de los cuerpos sin considerar las fuerzas que lo generan. En lo particular, veremos la manera de como los movimientos de puntos individuales de un cuerpo se relacionan con su movimiento angular. Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma. Se podría definir de esta manera: un cuerpo rígido es aquel en el cual la distancia entre un par de puntos de dicho cuerpo, permanece constante. Sin embargo antes de entrar al análisis de la cinemática de los cuerpos rígidos necesitamos estudiar o recordar, en su caso, algunos conceptos. B El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación. Si el punto A en el disco gira hasta el punto B, el desplazamiento angular se denota por el ángulo Θ. Hay varias formas de medir éste ángulo. A Estamos acostumbrados a medir los ángulos en grados, pero en el movimiento circular es conveniente medirlos en radianes. También se utiliza la revolución como unidad de medida de un ángulo. en realidad esta girando el radio R.41 Si observamos la primera figura nos damos cuenta que para que A se desplace hasta B. La velocidad angular de R (la velocidad con que gira) está definida por: rad/s Y la aceleración angular de R: rad/s2 MOVIMIENTO CIRCULAR: Si un punto A se mueve con una trayectoria circular de radio R. . La distancia S (arco de circunferencia) está relacionada con el ángulo θ por: A S = Rθ (por geometría) Derivando s con respecto a t: Derivando de nuevo: También ESTO SOLO ES APLICABLE A UNA TRAYECTORIA CIRCULAR. Por ejemplo: Supongamos que conocemos la velocidad angular y la aceleración angular del engrane izquierdo de la figura y queremos determinar la velocidad y aceleración angular del engrane de la derecha.42 Con estas relaciones podemos analizar problemas de cuerpos que giran alrededor de ejes fijos. son iguales. Las velocidades de los puntos de los engranes en donde hacen contacto. entonces: Entonces: . Para el engrane A: Para el engrane B: Como También las aceleraciones tangenciales son iguales en el punto de contacto. TRASLACION: Este tipo de movimiento ocurre si cualquier segmento de recta sobre el cuerpo se conserva paralelamente a su dirección original durante el movimiento. el movimiento se llama traslación rectilínea. se dice que el cuerpo experimenta un movimiento plano. Traslación rectilínea Trayectoria de traslación curvilínea . Existen tres tipos de movimiento plano. Cuando la trayectoria del movimiento de todas las partículas de un cuerpo son rectas paralelas.43 MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RIGIDO Cuando cada una de las partículas de un cuerpo rígido se mueve a lo largo de una trayectoria que es equidistante de un plano fijo.. Sin embargo si las trayectoria quedan a lo largo de líneas curvas que son entre si todas paralelas al movimiento se le llama traslación curvilínea. mencionándolos por orden de complejidad creciente son: 1. 44 2. excepto las que quedan sobre el eje de rotación. Como resultado de esto. corredera C experimenta un movimiento de traslación rectilínea. La traslación ocurre dentro de un plano de referencia. se mueven a lo largo de trayectorias circulares 3. Si analizamos con mucho cuidado la traslación de un cuerpo rígido. En la figura la manivela AB gira alrededor de un eje fijo que pasa por A la..ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo. experimenta una combinación de una traslación y una rotación. y la rotación ocurre alrededor de un eje perpendicular al plano de referencia.. observaremos que todas las partículas del cuerpo tienen la misma velocidad y la misma aceleración.MOVIMIENTO PLANO GENERAL: Cuando un cuerpo se sujeta a un movimiento plano general. . pero la biela BC tiene un movimiento plano general (se traslada y gira) TRASLACION DE UN CUERPO RIGIDO. todas sus partículas. por consiguiente no repetiremos dicho estudio. la cinemática del movimiento de una partícula que estudiamos en la primera unidad puede aplicarse para especificar la cinemática de un cuerpo rígido en traslación. 45 ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO. en el cual la velocidad lineal de P sería . perpendicular al eje Z y la velocidad angular ω es un vector perpendicular al plano de giro. donde r es el radio del círculo descrito por P. de dirección igual a la del eje Z y su sentido se determina por la regla de la mano derecha . En la figura se puede observar que la partícula P (es una partícula del cuerpo en rotación) gira alrededor del eje Z y aquí consideramos el movimiento en un plano perpendicular al eje Z. 2 rad/s2 en sentido horario. Calcular la distancia vertical que se eleva H y su velocidad en t = 10s. por lo tanto su aceleración tangencial también es igual. el de C es de 50 mm. El radio de B es de 200 mm y el de A es de 100 mm. v En el punto de contacto de A y B la velocidad es la misma para ambos engranes. C H Entonces tenemos: Como ∫ ∫ como ∫ ∫ integrando de nuevo Para 10 segundos . Si A parte del reposo en t = 0 y su aceleración angular αA = 0.46 EJEMPLO: El engrane A del malacate hace girar a B que eleva el bloque H. 833 m.05(5) = 0. b) Las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto A en t = 1 s. Entonces ( ) 4t = α (0. determinar: a) La velocidad angular de la rueda en t = 1 s. a) El punto p de la rueda coincide con un punto de la cuerda. EJEMPLO: Una cuerda se enrolla alrededor de una rueda que está inicialmente en reposo.25 m/s.05m) = 0.2) α = 20t rad/s Entonces ∫ ∫ ∫ Si t = 1 s ώ = 10 rad/s .47 La longitud del cable que se ha arrollado es S = rθ luego Lo que se eleva H = (16. Si se aplica una fuerza F a la cuerda y le da una aceleración de a = 4t m/s2. c) El número de revoluciones que gira la rueda durante el primer segundo de su movimiento. Para t = 10s y como = rώ = 0.66 rad)(0. 1) = 2 m/s2 (aA)n = ώ2r = (10)2(0. ( una vuelta ) hay 2л radianes Entonces ( ) .1) m/s La aceleración de A tiene componente tangencial y normal. así: (aA)t = αr = 20t(r) = 20(1)(0.2 m/s2 c) La velocidad angular omega se relaciona con el tiempo de acuerdo a : Luego: ∫ ∫ rad rad En una revolución.1) = 10 m/s2 √ = 10.48 b) vA es tangente a la trayectoria del punto A Si cuando t = 1 s ώ = 10(0.1) Entonces vA = 10(0. entonces la aceleración angular es constante. cuando t = 5s. a) La distancia total que recorre el punto durante los primeros 10s. Como la velocidad angular aumenta uniformemente. Su velocidad angular aumenta uniformemente de 10 rad/s cuando t = 0 hasta 25 rad/s cuando t = 10s. Determinar: La magnitud de las componentes an y at del punto P situado a una distancia radial de 1 ft del eje de la rueda. Entonces se pueden aplicar las fórmulas del movimiento cuando la aceleración es constante: Aplicando la primera ecuación: Cuando t = 5s ⁄ Entonces: ⁄ ⁄ .49 EJEMPLO: Una rueda con un radio de 2 ft gira alrededor de un eje fijo. 1ft/s2 12. La carga A tiene una aceleración constante de 10 ft/s2 y una velocidad inicial vo = 15 ft/s ambas dirigidas hacia arriba.5º . c) La aceleración del punto C sobre el aro de la polea en t = 0 Respuestas: a) 2. PROBLEMAS: 1..50 b) 10seg. Determinando el desplazamiento angular durante los primeros Ya sabemos que por geometría S = 175 ft.Una polea y dos cargas están unidas por cuerdas inextensibles como se indica en la figura. Determinar: a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 3 segundos. b) La velocidad y la posición de la carga B después de tres segundos.68 revoluciones b) vB = 27 ft/s SB = 54 ft c) aC = 46. 2 rad/s sentido opuesto al reloj. .. α = 2... determinar la velocidad angular del disco B y su aceleración angular justamente después de que el disco A gira 10 revoluciones. determinar el número de revoluciones que da el motor: a) Para alcanzar su velocidad nominal. Calcular su velocidad angular y el número de revoluciones que realiza en 90 s. 5. Resp. Si el disco A está en contacto con el disco B y no hay deslizamiento relativo entre ellos.67 rad/s2 sentido opuesto al reloj. Cuando se enciende alcanza su velocidad nominal en 5 segundos y al cortarse la energía llega al reposo en 70 segundos.Un gancho parte del reposo con aceleración de 20 ft/s2.3 rev. 4. 3. Calcular la aceleración angular del tambor y su velocidad angular al completar 10 revoluciones.Una pequeña rueda de afilar está unida al eje de un motor eléctrico cuya velocidad nominal es de 3600 rpm.5 rad/s2. Suponiendo que la aceleración angular es constante. Respuestas: a) θ = 150 revoluciones.El disco A parte del reposo y gira con aceleración angular constante de ¿Cuánto tiempo se necesita para que gire 10 revoluciones.51 2.Un volante parte del reposo y está sujeto a una aceleración angular constante de 0. b) Para detenerse.5 rad/s θ = 322..: ω = 4. Respuestas: t=7. b) θ = 2100 revoluciones.95 seg ωB = 21. Está fijo a una cuerda enrollada en un tambor. partiendo del reposo.4 rad/s θ = 35.: α = 2. el motor M hace girar el eje S para alcanzar 100 rpm en t = 2s.6653 rad . 6. α = 10 rad/s2 ω = 35..52 ¿Cuántas revoluciones mas girará el tambor después de haber completado las 10 revoluciones y que el gancho continúe moviéndose durante 4s Resp.24 rev.La figura muestra el tren de engranaje de una barrena de perforación de pozos. Calcular la aceleración angular del tubo de la barrena D y el número de revoluciones que efectúa en 2s de arranque. Resp. Con aceleración angular constante.09 rad/s θ = 0. 53 MOVIMIENTO GENERAL EN UN PLANO Se dice que un cuerpo rígido experimenta un movimiento general en un plano cuando además de una traslación. Observemos la siguiente figura: B2 En esta figura se ilustra un cuerpo rígido que experimenta un movimiento general en un plano. Se considera que este movimiento es equivalente a la traslación de un punto del cuerpo más una rotación alrededor de un eje que pasa por ese punto. Si A y B son puntos del cuerpo. entonces la velocidad de B respecto a A es: ⁄ despejando vB ⁄ la cual podemos escribir como ⁄ . gira alrededor de un punto fijo del cuerpo. . Otro ejemplo de movimiento plano general sería: RODADURA SIN PATINAR En la figura aparece un disco circular de radio r que rueda sobre una superficie horizontal con una velocidad angular ω y una aceleración angular α.. Si el número de incógnitas es mayor de dos. la velocidad de cada punto del cuerpo es igual a la velocidad del punto de referencia A ( vB = vA ). todavía puede resolverse el problema si se consideran otros puntos cinemáticamente importantes. 2.La velocidad relativa del punto B del cuerpo rígido alrededor del punto A es vB/A. Entonces tenemos que: ⁄ ⁄ ⁄ Esta ecuación puede usarse para determinar la velocidad de cualquier punto arbitrario B del cuerpo.En la traslación de un cuerpo rígido. dada la velocidad de un punto A y la velocidad angular del cuerpo.54 Aquí hay que hacer notar que: 1. el giro es a favor del sentido horario (negativo) . 55 Observe que la trayectoria del centro O es una recta paralela a la superficie. tenemos: ⁄ Al sustituir vC = 0. . y ⁄ obtenemos: Como se esperaba. Si el diámetro de una rueda es de 550 mm. La rodadura sin patinar ocurre si el punto C de contacto sobre el disco no tiene velocidad. este resultado muestra que la velocidad del centro O es paralela a la superficie en que rueda el disco. D y E del borde de la rueda. C. es decir si el disco no se desliza sobre la superficie. siendo su magnitud como se muestra en la siguiente figura: EJEMPLO: Un automóvil viaja hacia la derecha con una velocidad constante de 90 km/h. determinar: Las velocidades de los puntos B. Este caso merece mucha atención porque ocurre en muchas aplicaciones de la ingeniería. Al relacionar las velocidades de los puntos O y C. 56 SOLUCION: ⁄ ⁄ ⁄ ( ) ⁄ ⁄ 30º vD vA ⁄ 30º vD/A ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ o RESPUESTA: 15º . 57 vA vE vE/A √ = 35.4 ft/s 45º EJEMPLO: Un eslabón CD está guiado por dos bloques A y B que se mueven en ranuras como se muestra en la figura. El bloque A se mueve a la derecha a 5 m/s. Determinar la velocidad de la punta c del eslabón en el instante en que θ = 35º La velocidad de C la podemos expresar: ⁄ ⁄ Donde ⁄ . no tiene componente X. entonces: Para la barra DC tenemos: Sustituyendo el valor de ώ = 1. ⁄ ⁄ VECTORIALMENTE: [ [ ] ] La velocidad de B.58 La velocidad angular del eslabón A tendrá que determinarse utilizando la información del movimiento de B.09k en la primera ecuación: [ ] . 173 rad/s vA = 3. C El collarín B se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 5 ft/s.59 √ La dirección de vC se obtiene calculando el ángulo que forman los componentes i y j: 8.33 ft/s 25º . determinar: a) la velocidad angular de la barra AB y b) la velocidad del extremo A de la barra Respuestas: ωAB = 1.93j 1. En el instante en que θ = 50º.25i PROBLEMA.