Dinamica Oceanica Propiedades Termodinamicas Del Agua

PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DEL AGUASUBENFRIADA SEGÚN LAS ECUACIONES DE KEENAN Y KEYES EN INTERVALOS MÁS ESTRECHOS DE PRESIÓN Y TEMPERATURAS José Aguilera Ricardo, Daniel Hidalgo Feria Universidad de Oriente En este artículo se da a conocer un método de solución de la ecuación de estado de Keenan, Keyes y colaboradores, basado en el método de Newton-Raphson. El propósito del trabajo consistió en la elaboración de un programa computacional capaz de proporcionar la determinación de las propiedades termodinámicas del agua, en los estados de subenfriamiento. El objetivo principal fue obtener las propiedades citadas en rangos estrechos de temperaturas y presiones que permitan la interpolación, en trabajos prácticos. Ambos objetivos fueron logrados. Palabras clave: propiedades termodinámicas, agua. _____________________ In this paper a method of solution of the Keenan, Keyes, and et al equation based on NewtonRaphson is shown. The purpose of the work was to elaborate a computer program which could provide the thermodynamical water properties, in subcooled states. The main objective was to get the stated properties in closed ranges of temperatures and pressures that allow the interpolation, in practical tasks. Both objectives were achieved. Key words: thermodynamical properties, water. Introducción En la actualidad ha alcanzado gran importancia el uso de las ecuaciones de estado P-V-T en la determinación de las propiedades de las sustancias, tanto en la fase de vapor como en la líquida. El primer intento fue realizado en la séptima década del siglo XIX (1873) por J. D. van der Waals quien, con la primera ecuación de estado P-V-T sustentada en consideraciones teóricas, logró al menos, una evaluación cualitativamente aceptable de las propiedades de las sustancias en los estados líquido y gaseoso. Posteriormente se han formulado un gran número de dichas ecuaciones, capaces de predecir con gran exactitud las propiedades en la fase gaseosa. No fue sino hasta 1940, que Benedict-WebbRubin /1/ presentaron una ecuación capaz de describir con exactitud las propiedades de las sustancias hidrocarbonadas en ambas fases. TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXI, No. 1, 2001 Posteriormente Lydersen, Greenkorn y Hougen (1955) desarrollaron tablas termodinámicas generalizadas completas de las sustancias en ambas fases /2/, basados en el principio de los estados correspondientes de tres parámetros. De forma análoga otros investigadores, entre ellos Lee y Kesler /3/ y Wu y Stiel /4/, desarrollaron el método generalizado; los primeros, para sustancias no polares y los segundos, incluyendo un cuarto parámetro, para sustancias polares. Según Wu y Stiel, así como otras fuentes de crédito reconocidas, señalan que las ecuaciones de Keenan, Keyes y colaboradores /5/ constituyen las mejores representaciones de las propiedades del agua en sus tres estados de agregación. Para el desarrollo del método de Wu y Stiel se requiere la solución analítica de la ecuación generalizada de B. W. R., de 11 constantes empíricas, una ecuación generalizada de la presión de vapor, según la versión de Lee y Kesler y la 31 según el método de solución de los que escriben.8⋅ρ −4. Las derivadas requeridas quedan expresadas por las ecuaciones siguientes: FG ∂ Q IJ = bτ − 1. en la región de líquido subenfriado los intervalos de presión y temperatura resultan poco apropiados para la interpolación. de Keenan y Keyes (K.8 2 9j i jOPQUVW + A10 j ρ − 9. donde: LM FG IJ + ρ ⋅ Q + ρ ⋅ F ∂Q I OP (5) GH ∂ρ JK PQ MN H K FG ∂Q IJ = bτ − 1. 7/.461 51⋅ T K dT 0 e d aj i −3 i + e −4 . Una mejor distribución fue lograda por Vukalovich /8/.6 ⋅ e −4 .8 ρ A10 j (9) OPUV QW (10) TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. Sin embargo.544 912 .8⋅ρ −4. las tablas de K. Sin dudas.249 ⋅ ln T g τ P Q 2 ρ τ 7 j −2 H0 = i =1 τ 7 ij aj τ 32 i =1 i −2 j −2 8 ij i =1 dτ h + R' T (7) FG P IJ − dA H 0. ρ aj = 0.461 51⋅ ρ ⋅ T g H ∂ρ K PQ b g dA + e −4 . 1. XXI. La energía libre de Helmholtz por esta ecuación queda expresada por: A = A 0 + R' T ⋅ ln ρ + ρ ⋅ Q (1) τ g∑ RSTdτ − τ i ⋅ LMN∑ A ⋅ dρ ⋅ ρ i 7 FG ∂Q IJ OP = P / b0.544 912g∑ RSdτ − τ i L∑ A bi − 1gdρ − ρ i MN H ∂ρ K T ∂Q H − H0 = ρ ⋅T ⋅ ∂τ R' T (2) ∂Q S − S0 = ln Z − ρ ⋅ Q + ρ ⋅ τ ⋅ R ∂τ (4) A y A0 en (J/g). según K.K). K. Wu y Stiel y las tablas termodinámicas para el agua. logrando reproducir los métodos de Lee y Kesler. el objetivo de este artículo es presentar el método de solución de las ecuaciones b Q = τ − 1.ecuación de Keenan y colaboradores /5/ en las fases líquida y gaseosa.544 912 de Keenan y la obtención de las propiedades del agua subenfriada en intervalos más estrechos de presiones y temperaturas que permitan interpolaciones confiables en esta región.K constituyen una excelente representación de las propiedades del agua. τ aj = 1.634 j = 1 . 2001 . Las propiedades residuales de entalpia y entropia del agua a valores especificados de P y T se determinan mediante el valor de ρ calculado de las ecuaciones (1) y (2) y las ecuaciones: iOPQUVW FG IJ H K Las constantes Aij se reportan por Keenan /5/.5 y ρ aj = 1 (3) L = M∑ a N 6 A0 i τ i −1 i −1 O + 46 ln T − b1 011.544 912g∑ RSdτ − τ i L∑ A bi − 1gbi − 2gdρ − ρ i MN H ∂ρ K T 2 c d A0 ⋅τ S 0 = − R '⋅ ln 8 aj b j > 1g.K. Los autores de este artículo programaron y resolvieron exitosamente las ecuaciones anteriores /6.8 A9 j + A10 j ρ + A10 j i =1 aj 2 (6) ρ (8) Las ecuaciones para otras propiedades no se dan por razones de espacio. Fundamentos teóricos Según Wu y Stiel las ecuaciones de K. en trabajos prácticos. Precisamente. 8 j −2 aj ij j =1 i −1 aj d + e −4 . τ aj = 2.8⋅ρ ⋅ A9 j + A10 j ⋅ ρ i =1 b g τ = 1 000 T . No. pueden expresarse como: LM MN Z = 1+ ρ ⋅Q ⋅ ρ2 ⋅ donde: ρ: densidad del agua (g/cm3). No.Cp).K. quedará como: b C p0 = 46 T + 1.FG ∂Q IJ = ∑ RSdτ − τ i H ∂τ K T LM∑ A dρ − ρ i + e N 7 j −2 aj j =1 ρ 8 i −1 ij −4 .K´.838 93 ⋅ 10−3 T − 0. 8 ρ aj i =1 LM∑ A dρ − ρ i N d A + A ρiOPQUVW 8 ij 9j 7 2 ρ i −1 ij aj −4 . no se dan por razones de espacio.461 51·T.472 76 + 0. como sigue: De la ecuación (1): Z = P/(0. La capacidad calorífica a presión y densidad cero según K. XXI.461 51 ρ · T ) haciendo K = P/0.K.U). sugiriendo la toma de valores de ρ=1/ν de las tablas de K.219 989 τ 2 + 0.097 466 ⋅ 10−12 T 4 J g ⋅ K Desarrollo del trabajo La obtención de las ecuaciones desde la (9 hasta la 13') constituye de por sí parte del desarrollo del trabajo. 8 ρ aj 9j i =1 iOPQUVW + bτ − 1. No obstante. (U 8 . como LM MN Z = 1+ ρ ⋅Q + ρ2 FG ∂Q IJ OP H ∂ρ K PQ LM MN . haciendo: Y = 1 − K ρ + ρ ⋅ Q + ρ 2 τ FG ∂Q IJ OP = 0 H ∂ρ K PQ (14) τ donde: Y=φ (ρ)=0 a una T y P dadas.246 619 ⋅ 10−9 T 3 − 0. Según Wu y Stiel resulta conveniente hacer uso del método o "regla de la falsa posición" para g (13') hallar las raíces o valores de ρ de la ecuación (1). 8 ρ 9j aj i =1 8 i −1 ij −4 . TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. etcétera.046 ⋅ τ + 1. para el agua es dada por: b C p0 = 0.472 76 + 0. 1.8 ρ 9j aj 10 j j −3 aj i =1 j =1 7 j −4 10 j aj j =1 (12) 10 j Las derivadas necesarias para otras propiedades tales como ln(f /p). la mayor importancia radica en el método de solución empleado. (Cp8 .8 ρ A9 j + A10 j ρ i =1 FG ∂ Q IJ = ∑ RSb j − 2gdτ − τ H ∂τ K T LM∑ A dρ − ρ i + e d A N LM∑ A dρ − ρ i + e d A N 2 i −1 aj 8 i −1 ij 7 −4 .097 466 τ 4 J g ⋅ K y como τ = 1 000/T g (13) T . Z podrá expresarse como: Z = K / ρ . 2001 33 .838 93 τ − 0. El método aquí empleado no toma ningún valor de dichas tablas y hace uso del método de Newton-Raphson.219 989 ⋅ 10−6 T 2 + 0.544 912g∑ {b j − 2gb j − 3gdτ − τ i QW OU + A ρ iP V QW j −3 j =1 8 d + e −4 .246 619 τ 3 − 0.544 912g∑ {b j − 2gdτ − τ i 7 j −3 aj j =1 10 j i LMN∑ A dρ − ρ i + e d A + A ρiOPQUVW + ∑ {b j − 2gdτ − τ i OU + A ρ iP V + bτ − 1. subenfriamiento.461 51 ⋅ T H L0 T0 .K. líquido saturado a tsat = 0. 10. Greenkorn y Hougen /2/ para el agua. P − H Po . sobrecalentamiento y región fluida.se calcula K y con ρ = K/Z0 se obtiene el primer estimado de ρ. T * El esquema anterior equivale a: c h z T c H L − H L 0 = ∆HvTo − HvTo − HToo + C po dT + H LT . ρlse. P0 g ABS ρ N − ρ =< ξ (∆H ) vap To (1) (17) H vo . 2001 .01 kJ/kg: estado de referencia. 15 y 16) se desarrolla el proceso iterativo hasta lograr que: Así: LM MN DY = K ρ 2 + Q + 3ρ ⋅ FG ∂Q IJ H ∂ρ K + ρ2 ⋅ τ FG ∂ Q IJ OP = 0 (15) H ∂ρ K PQ 2 2 τ b donde: Q = φ ' (ρ)P. 14. con la ecuación: K = P 0. Po − S Po C po . se obtiene los valores de ρes.T T P0 h (19) TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol.T h (18) To donde: HL: es la entalpia del líquido subenfriado a T y P. Po c h z T o − SvTo . Así: ρN = ρ − Y DY (16) los valores de ρ se obtienen siguiendo el procedimiento siguiente. obtenido con un selector que distingue. luego con las ecuaciones (9. en los estados de saturación. HLo=0. en el cálculo. Haciendo ρ = K/Z0 donde Z0 es el valor del factor de compresibilidad del agua. El éxito de obtener la convergencia en los valores de ρ consiste en una adecuada asignación de Z0 en dependencia de los intervalos de Pr y Tr correspondientes.) d S L − S Lo = ∆Svap i To . No. ρvsobrec gas o en la región fluida. XXI. De igual modo el valor de ξ (criterio de convergencia) debe también ser adecuadamente elegido. Con las ecuaciones (14 y 15) puede plantearse el Newton-Raphson requerido para obtener los valores reales positivos de ρ en la fase líquida y vapor.000 611 3 MPa (El usado por K. ρvs. /7/ Finalmente.To + To 34 c dT P − R ln + S LP .T − S P . T0 . 1. con el valor de ρ correcto para el estado correspondiente.01 °C y Posat = 0. P0 T (2) ∫c 0 p H L. Hv o H g T dT ó To ∫c To P0 . El paso siguiente consiste en resolver las ecuaciones (5 y 6) y seguir el esquema termodinámico: La ecuación (15) justifica la necesidad de las ecuaciones (9) y (10). tanto en los estados de saturación como en el de líquidos subenfriados o vapores sobrecalentados.T0* 0 p dT P − R′ ln T P0 (4) (3) P.T Los valores de Z0 fueron tomados de los reportados por Lydersen. el estado de agregación y condición termodinámica en cuestión. K. 6. 2001 2.50 (179.49 0.998 9 23. (Para P < Pc). El programa consta de las siguientes subrutinas: 1.076 4 35 . Po y términos en saturación.K. del líquido subenfriado. h en kJ/kg. se obtiene análogamente por las ecuaciones (6 y 13') con la sustracción de .999 6 1.91) h TsatºC s v 1. 5. Esta sigue el mismo formato que el usado por K. de o T LP . para diferentes valores de presión e intervalos de temperaturas.076 4 0. Opciones de cálculo. S en kJ/kgm P 1.00 TsatºC T ºC v 0. Resultados y su discusión A continuación se da sólo algunas tabulaciones obtenidas. 3. Esto último se hizo porque tiende a confundir a usuarios no especializados en termodinámica que ignoran sus empleos e importancia. Entrada de datos básicos.00 0.50 (198. To To dT − R 'ln P P0 y valores finales de T v=1/ρ.0) s v h S 1.00 0. 1. sobrecalentado o un estado en la región fluida (T>Tc o T<Tc y P>P c).T − H Po .000 3 0.49 0.47 0.T . 7. C Po ecuación (13') La entropia SLP.K.98 0.999 4 TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. Obsérvese que el estado final pudiera ser un líquido saturado.999 5 21. 6b) Cálculo de las condiciones de subenfriamiento. el cual fue vali- Tabla Propiedades termodinámicas de subenfriamiento del agua.32) h TsatºC (224. Entrada de presiones.999 0 2. h IJ R' T K c I F h GH c H R' T− H h JK R' T Este incluye: 6a) Cálculo de las condiciones de saturación en el estado de referencia To. XXI.) Los valores de los diferentes términos se obtienen por: ∆H vapTo = − LM c H − H h − c H − H h OP R' T R' T MN R' T PQ o To Lo o To vo c c c c F h GH c H R−' TH Hvo − HToo = vo o To c c dado por la concordancia de los resultados obtenidos con los reportados por K.T = c c z Según la ecuación (5) T C Po dT = HTo − HToo se obtiene integrando la z z T To T C Po dT .000 611 3 MPa (el usado por K.01 °C y Posat = 0. objetivo del trabajo.000 3 0. Salida de resultados.R'ln P/Po. 2.. v en m3/kg·103.000 2 22. Entrada de temperaturas de trabajo. Cálculo de las temperaturas de saturación a las P introducidas.K. h y S del estado de saturación a la P dada (P < Pc) y eliminación de estados metaestables. vapor saturado.48 0. 4. según las ecuaciones de K.T H LP . con la diferencia de no reportar v. Núcleo principal de cálculo.donde: SLo=0 a t=0. No.999 7 5. subenfriado. con una nueva redistribución de intervalos de P y T realizada por José Aguilera Ricardo y Daniel Hidalgo Feria P en MPa.00 0. h y S subenfriados. Aquí se ha ejemplificado sólo el líquido subenfriado.076 4 0. por razones lógicas de espacio: El primer resultado consistió en la confección de un programa computacional. 133 9 1.01 0.416 8 1.040 0 1.000 2 64.024 8 315.15 2.70 335.436 9 0.01 1.92 0.074 6 1.841 5 1.63 377.83 2.14 1.98 63.296 7 0.572 4 0.113 7 719.041 3 1.77 0.32 ------------- s 0.248 5 1.19 0.571 8 1.67 2.525 8 1.892 3 1.45 1.738 7 1.00 230.100 6 676.27 0.039 2 1.114 1 ------------- 1.014 8 1.089 8 632.91 1.50 MPa a 2. 1.00 100.191 8 1.63 398.737 1 1.66 356.51 1. según las ecuaciones de K.50 TsatºC (198.79 461. No.000 4 1.830 9 0.74 0.151 1 0.028 4 336.039 0 399.54 632.11 1.069 0 547.80 589.39 0.367 0 1.04 1.00 45.91) h 42.151 2 0.81 1.00 150.K.031 3 357.73 2.16 1.003 2 128.009 4 1.91 504.079 3 1.999 9 1.112 9 720.47 2.82 1.022 5 1.526 7 1.050 3 463.069 3 1.424 1 1.03 1.767 7 0.06 1.089 1 633.97 2.035 3 378.57 168.32) v h s 0.078 4 590.059 0 505.46 0.025 2 315.703 4 1.638 5 0.18 231.86 293.81 126.137 8 1.362 5 1.00 95.69 147.090 1 1.00 40.50 MPa para quien desee confrontar los resultados con P = 2.00 160.042 8 420.101 3 676.00 50.27 546.19 0.632 5 1.008 8 190.517 7 ------- 1.78 314.954 3 1.035 6 1.004 9 148.87 1.981 1.527 2 1.155 0 852.005 5 1. Resulta admirable y sorprendente como las ecuaciones de K.329 7 1.003 9 1.101 7 1.011 7 1.504 7 1.002 5 1.028 0 336.09 1.367 4 0.633 5 1.022 1 294.00 220.36 0.702 9 1.892 9 1.60 2.999 6 43.000 6 86. se han variado los intervalos de T por razones de espacio.073 9 1.192 1 1.00 Notas: TsatºC v 0.141 2 807. K prevén la máxima densidad del agua subenfriada a 4 ºC (¡Obsérvense los valores de v a 0 ºC.00 140.703 6 0.999 2 44.00 70. XXI.840 9 1.00 30.059 6 504.00 20.71 440.296 6 1.00 15.505 0 1.99 0.051 1 1.89 0.127 0 763.014 2 1.33 0. h en kJ/kg.5 MPa y las T de 5 ºC en 5 ºC pero se ha saltado de 1.30 210.038 5 399.013 4 232.224 7 0.022 4 1.893 2 0.079 0 589. 5 ºC y 10 ºC!).19 2.00 (179.001 1 85.041 9 ------------- 1.00 120.014 1 1.00 35.189 8 943.034 8 378.46 0.306 0 1.940 7 1.62 1.953 7 1.191 0 1. K.296 4 1.77 719.00 180.305 3 1.028 7 1.042 3 420.417 6 1.830 6 1.151 2 1.031 8 357.133 5 1.32 1.050 9 462.003 7 127.00 105.074 9 1. con una nueva redistribución de intervalos de P y T realizada por José Aguilera Ricardo y Daniel Hidalgo Feria P en MPa.367 3 1.81 1.007 2 168.634 0 1.44 189.85 1.02 1.00 190.00 210.249 2 1.002 2 106. S en kJ/kgm P T ºC 10.83 1.06 0.21 0.00 90.839 8 1.00 110.436 8 1.019 5 1.637 9 1.15 0.362 1 1.059 9 1.016 5 252.767 0 1.50 TsatºC (224.140 3 808.306 4 1.39 0.65 1.89 105.249 6 1.011 5 210.00 85.007 4 1.45 0.94 272.98 2.234 3 1.021 7 294.126 1 763.0) v h S 0.44 0.361 3 1.61 0.00 60.00 130.013 9 231.830 1 1.171 9 897.005 3 148.06 1.235 8 ------------------------- 2.00 200.001 8 107.00 55.068 4 547.27 0.009 2 189.505 2 0. 36 TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 2001 .95 84.Tabla (cont) Propiedades termodinámicas de subenfriamiento del agua.00 25.81 1.48 0. v en m3/kg·103.738 2 1.60 0.941 9 1.05 251.418 0 1.767 5 1.00 75.28 1.67 419.572 2 1.224 6 1.954 6 1.00 170.001 3 1.016 7 1.53 675.31 0.638 3 1.032 0 1.50 MPa con los dados por K. En realidad los intervalos de presión usados son de 0.436 5 1.046 8 441.999 7 65.011 0 211.006 7 169.043 0 1.132 9 1.84 1.942 5 2.10 0.047 0 1.016 0 253.018 8 274.015 1 1.139 2 1.00 65.224 4 1.00 80.046 2 441. 2.019 2 273. Rept. M. 10.K. 4. 49-51. Benedict. 1985. Química. con respecto a las de K.5. la entropia no deberá ser igual a cero. "Chemical Process Principles". .. 7. 10. núm. G. 37 . tomado de Hougen. 79-85 y núm. Wisconsin Eng. XXI. Wu. generalizada.. U.. vol. en AICHE Journal. G. Se confeccionó y validó un programa capaz de permitir el cálculo de las propiedades termodinámicas del agua en los estados de líquido subenfriado. A0 energía libre de Helmholtz (kJ/kg) A i. 5. K. G.. Exp. adimensional Letras griegas ∂ φ . P. New York. Conclusiones Se logró los dos objetivos básicos del trabajo. Vukalovich. Zubarev and Alexandrov. Facultad de Ingeniería Química. M.. Stiel. 2 · · · 6. Universidad de Oriente. John Wiley and Sons. J. B. No. New York. 3.000 2 unidades. State Publishing-House of Scientific Technical Literature Concerning Mechanical Engineering. Aguilera Ricardo. Webb. mediante las ecuaciones de K. Universidad de Oriente. K C0p capacidad calorífica para el agua a presión y densidad cero (kJ / kg K) d operador de derivada e base de los exponenciales f fugacidad H0-H función entalpia residual. Trabajo de Diploma. etcétera. Facultad Ing. que posibilitan las interpolaciones en tareas prácticas. Santiago de Cuba. 1. Z. Moscú. Las diferencias se deben a las impresiones del orden de precisión en los cálculos. págs. 1978. éstas difieren en 0. Ragatz. Greenkork y Hougen "Generalized Thermodynamic Properties of Pure Fluid.000 611 3 MPa. K a subíndice de las constantes de la ecuación de K. S. 1. 11) etcétera. F. M. Santiago de Cuba.1997. edic. J. More. 8. Los autores no pretenden discrepar con Keenan. H0 entalpia en el estado de gas ideal H entalpia en el estado de gas o líquido real h entalpia específica del agua (kJ/kg) i subíndice de las constantes j subíndice de las constantes P presión total (MPa) Q función de la ecuación (1. Z° factor de compresibilidad. and Kesler. 8. en AICHE Journal. El programa elaborado permite obtener las propiedades referidas en intervalos estrechos de presiones y temperaturas. Teploenerg. "A Generalized Equation of State for Thermodynamic Properties of Polar Fluids". 2001 S0-S entropía residual S0 entropia para el gas ideal S entropia a una T y P real dadas T temperatura (K) t temperatura (ºC) U energía interna v volumen específico del agua (m3/kg) Y función en las ecuaciones (14 y 16) DY derivada de la función Y Z... 10.. 2da.5 MPa. L. Programa general para la obtención de tablas de propiedades termodinámicas de hidrocarburos puros mediante la ecuación de estado de B. Nomenclatura A. 2.A.5 MPa (aunque esto se hizo para toda una gama de presiones) los volúmenes específicos concuerdan exactamente. Según se ha definido R' 0. núm.. 3. Bakattah. Inc. W. 1. I. En lo que a la entropia se refiere. edic.. A. 1964. "Steam Tables". Aguilera R.461 51 (kJ/kg K) constante del gas perfecto para el agua TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. 334 (1940). j constante de la ecuación de K. Keenan. Curso 1996 . Documentación personal. por lo que a presiones de 1. 2. por exceso. 9.. 2. 1962. vol..16 K) y Pasat = 0. Univ.. según versión de Lee y Kesler. Mc Graw Hill Book Co. las entalpias pueden tomarse como iguales.S.0. Lydersen. 1975. Phys.φ ' ρ ξ operador de derivada parcial operador de funciones densidad del agua (cm3/g) o (L/kg) criterio de tolerancia Bibliografía 1. Sta.. G. N. a 0 ºC. Rubin L. Keyes.. 1958.. J. J.Discusión de los resultados Como puede comprobarse a P = 2. Lee. 6ta. 1995).. núm. "A Generalized Thermodynamic Correlation Based on Three Parameters Corresponding States". 1. XXI. XXXI. págs.01 ºC (273. 6. J. Thermodynamic Properties of Water and Steam... Watson. 4 (Oct. Chem. 1961. pero destacan el hecho de que So = 0 a 0. C. 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