HISTORIA DE LA DINÁMICA DE SISTEMASJ. Forrester, ingeniero de sistemas del Instituto Tecnológico de Masachussets (MIT) desarrolló esta metodología durante la década de los cincuenta. La primera aplicación fue el análisis de la estructura de una empresa norteamericana, y el estudio de las oscilaciones muy acusadas en las ventas de esta empresa, publicada como Industrial Dynamics. En 1969 se publica la obra Dinámica Urbana, en la que se muestra cómo el "modelado DS" es aplicable a sistemas de ciudades. En 1970, aparece El modelo del mundo, trabajo que sirvió de base para que Meadows y Meadows realizasen el Informe al Club de Roma, divulgado posteriormente con el nombre de Los límites del crecimiento. Estos trabajos y su discusión popularizaron la Dinámica de Sistemas a nivel mundial. Forrester estableció un paralelismo entre los sistemas dinámicos (o en evolución) y uno hidrodinámico, constituido por depósitos, intercomunicados por canales con o sin retardos, variando mediante flujos su nivel, con el concurso de fenómenos exógenos Todos estos elementos tienen su correspondiente símbolo propio en la DS. Dinámica de Sistemas: Durante los últimos treinta años he estado desarrollando un campo conocido como dinámica de sistemas. La dinámica de sistemas combina la teoría, los métodos y la filosofía para analizar el comportamiento de los sistemas (Jay Forrester). La dinámica de sistemas surgió de la búsqueda de una mejor comprensión de la administración. Su aplicación se ha extendido ahora al cambio medio ambiental, la política, la conducta económica, la medicina y la ingeniería, así como a otros campos. La dinámica de sistemas muestra cómo van cambiando las cosas a través del tiempo. Un proyecto de dinámica de sistemas comienza con un problema que hay que resolver en un comportamiento indeseable que hay que corregir o evitar. Definición de la DS El primer paso sondea la riqueza de información que la gente posee en sus mentes. Las bases de datos mentales son una fecunda fuente de información acerca de un sistema. La gente conoce la estructura de un sistema y las normas que dirigen las decisiones. En el pasado, la investigación en administración y las ciencias sociales han restringido su campo de acción, indebidamente, a datos mensurables, habiendo descartado el cuerpo de información existente en la experiencia de la gente del mundo del trabajo, que es mucho más rico. La dinámica de sistemas usa conceptos del campo del control realimentado para organizar información en un modelo de simulación por ordenador. Un ordenador ejecuta los papeles de los individuos en el mundo real. La simulación resultante revela implicaciones del comportamiento del sistema representado por el modelo. Texto inédito: Jay Forrester (universidad de sevilla, sevilla españa) diciembre de 1998 ftp://sysdyn.mit.edu/ftp/sdep/papers/D-4808.pdf La dinámica de sistemas, permite en estos días ir más allá de los estudios de casos y las teorías descriptivas. La dinámica de sistemas no está restringida a sistemas lineales, pudiendo hacer pleno uso de las características no-lineales de los sistemas. Combinados con los ordenadores, los modelos de dinámica de sistemas permiten una simulación eficaz de sistemas complejos. Dicha simulación representa la única forma de determinar el comportamiento en los sistemas no-lineales complejos. La Dinámica de Sistemas en el contexto de la Ingeniería de Sistemas Un sistema lo entendemos como una unidad cuyos elementos interaccionan juntos, ya que continuamente se afectan unos a otros, de modo que operan hacia una meta común. Es algo que se percibe como una identidad que lo distingue de lo que la rodea, y que es capaz de mantener esa identidad a lo largo del tiempo y bajo entornos cambiantes. Javier Aracil Al hablar de dinámica de un sistema nos referimos a que las distintas variables que podemos asociar a sus partes sufren cambios a lo largo del tiempo, como consecuencia de las interacciones que se producen en ellas. Su comportamiento vendrá dado por el conjunto de trayectorias de todas las variables, que suministra algo así como una narración de lo acaecido en el sistema. Modelos y ayuda en la toma de decisiones La dinámica de sistemas es una metodología ideada para resolver problemas concretos. Los campos de aplicación de la dinámica de sistemas son muy variados. Por ejemplo, para construir modelos de simulación informática, sistemas sociológicos, ecológicos y medioambientales. Otro campo interesante de aplicaciones es el que suministran los sistemas energéticos, en donde se ha empleado para definir estrategias de empleo de los recursos energéticos. Se ha empleado también para problemas de defensa, simulando problemas logísticos de evolución de tropas y otros problemas análogos. CONCEPTUALIZACIÓN a) Descripción verbal del sistema b) Definición precisa del modelo en el tiempo c) Diagrama causal FORMULACIÓN d) Construcción del diagrama de Forrester e) Establecimiento de las ecuaciones para la simulación ANÁLISIS Y EVALUACIÓN e) Análisis del modelo (comparación, análisis de sensibilidad, análisis de políticas) f) Evaluación, comunicación e implementación. No se toman en cuenta aspectos irrelevantes. PARÁMETROS ESTIMADOS 3. 2. preferencias. El grado de agregación es en base a la experiencia... inspiraciones. Limites del sistema Selección de aquellos componentes que sirvan para generar los modos de comportamiento. ETAPAS DE MEJORA DE MODELOS Óptica del sistema real Ensayos de tipo formal ETAPA INICIAL Y ETAPA DE PERFECCIONAMIENTO Elaborar un diagrama de Forrester Gráficas del comportamiento Verificación de la realidad contra el modelo DATOS EN LA DINÁMICA DE SISTEMAS Variables no cuantificables factores psicológicos. BASADOS EN LA OPINIÓN DE EXPERTOS 3. A mayor realidad mayor nivel de agregación.. 3. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS 1. Empezar con un alto nivel de agregación. MODELOS DE SENTIDO COMÚN 2.1 NOCIÓN DE SISTEMA DINÁMICO La característica fundamental que interesa considerar es la evolución del sistema en el tiempo.GENERALIZACIÓN DE MODELOS Construcción de varios modelos. Determinar las interacciones que permiten observar su evolución. aspiraciones VARIABLES NO CUANTIFICABLES Y AGREGADAS Qué es un modelo agregado? Tiene mucha generalización y poco detalle Qué se recomienda para un buen modelo 1... Espacio en donde se llevará a cabo el estudio. . Diagramas Causales: Tipo de Variables Variables exógenas: Afectan al sistema sin que este las provoque. dada por la especificación de las variables y la relación de cada par de variables.2 DIAGRAMAS CAUSALES Muestran el comportamiento del sistema. . con relación de Causa a Efecto. sin existir entre ellos una relación Causa-Efecto Diagramas Causales BUCLES DE REALIMENTACIÓN POSITIVA: Son aquellos en los que la variación de un elemento se propaga a lo largo del bucle de manera que refuerza la variación inicial. Del mismo modelo se pueden generar distintos modelos. Diagramas Causales Tipos de relaciones que ligan dos elementos entres si: RELACIÓN CAUSAL: Aquella en la que un elemento A determina a otro B. RELACIÓN CORRELATIVA: Existencia de una correlación entre dos elementos del sistema. Sistemas de primer orden con realimentación positiva Se relacionan a fenómenos de crecimiento. Sistemas dinámicos de primer orden Este tipo de sistemas dinámico posee un único nivel en su estructura y además pueden estar formados por bucles de realimentación positiva o por bucles de realimentación negativa.Elementos y relaciones en los modelos. con comportamiento explosivo. Un sistema esta formado por un conjunto de elementos en interacción. TIENDE A CREAR EQUILIBRIO. BUCLES DE REALIMENTACIÓN NEGATIVA: Son aquellos en los que la variación de un elemento se propaga a lo largo del bucle de manera que contrarreste la la variación inicial. Variables endógenas: Afectan al sistema pero este sí las provoca. 3. es un ejemplo de un sistema de primer orden. el caso de un crecimiento desmedido en la población. Permite conocer la estructura de un sistema dinámico. Los sistemas de realimentación negativa también son llamados sistemas autorreguladores y homeostáticos. A continuación en la figura 1. se observa el diagrama de Forrester correspondiente al diagrama causal anterior. En su comportamiento esta implícito la definición de un objetivo. por lo tanto. es una variable exógena. el cual requiere para su construcción. El nivel es el objeto de control que representa la acumulación de todas las acciones pasadas. además este solo puede ser variado por medio del flujo. Estos sistemas se caracterizan por tener un comportamiento determinado por un objetivo. . un flujo y una variable auxiliar.22. el empleo de un nivel.21 Diagrama causal de un sistema de primer Orden con realimentación negativa. En la figura 1. Figura 1.21.Sistemas de primer orden con realimentación negativa. el cual se determina externamente. se muestra un diagrama causal de la regulación de una variable de nivel con relación de un objetivo. el crecimiento celular de una planta. una de ellas en crecimiento exponencial y la otra en decrecimiento asintótico. los rumores. la religión. El crecimiento en S se encuentra ampliamente en la realidad. que conduce a la estabilizacion del crecimiento. Crecimiento en S Este tipo de crecimiento se caracteriza por tener en su régimen transitorio dos fases.Figura 1. Lo anterior indica que el crecimiento exponencial sostenido no existe en el mundo real. La representación de un comportamiento en S la podemos ver en el siguiente ejemplo dinámico en el que se trata de estudiar como una población sana pasa . Esto es que todo proceso exponenecial pasa por un proceso estabilizador que limita el crecimiento. incluso el desarrollo físico y mental de un niño muestran un crecimiento en S. se estrecha por la realimentación negativa. áreas sociales. por ejemplo. la difusión de una moda.22 Diagrama de Forrester de un sistema de Primer orden con realimentación negativa. la saturación del mercado. la urbanización de cierta área. epidemias. en estudios ecológicos. La realimentación positiva que genera el crecimiento exponenecial. Editorial Alianza . 2. 4. es decir no se producen fenómenos migratorios.24 Diagrama causal complejo de los efectos de una epidemia 1[1] Javier Aracil y Francisco Gordillo. La población enferma y la sana se encuentran homogéneamente mezcladas. 1997: Dinámica de Sistemas. La población es constante.a formar parte de una población enferma. 3.25. y éstos no se curan completamente durante el período de la epidemia. cada comportamiento de las variables más críticas se presentan en las gráficas Figura 1. La enfermedad es lo suficientemente suave como para que los enfermos no dejen de hacer vida normal. Ejecutar el modelo 30 días El diagrama causal que representa a esta situación se presenta en la figura 1.24 y el diagrama de Forrester en la figura 1. para ello se consideran las siguientes hipótesis1[1]: 1. con ello se evita la re infección. Fig 1. es decir que el cambio en el dominio de la curva produce el crecimiento en S.26 . como se muestra en la figura 1. donde un diagrama causal esta formado por un bucle 1 de realimentación positiva y un bucle 2 de realimentación negativa.1 Comportamiento gráfico de las variables más críticas El estudio de la estructura de un crecimiento en S se basa en considerar que durante un tiempo el comportamiento es similar al de un sistema de realimentación positiva. . pasando después a un segundo periodo que es análogo a un sistema de realimentación negativa.25 Diagrama de Forrester de los efectos de una epidemia Gráfica 1. la curva negativa también aumenta hasta que el dominio cambia y se forma la curva negativa. pero su efecto depende de la influencia de una variable en la curva positiva.26 Diagrama causal del crecimiento en S Un gran incremento en la curva positiva conduce a una curva negativa. al contrario se encuentra presente en todo el momento. Cuando la curva positiva empieza a aumentar a todas las variables envueltas en el ciclo. la curva negativa no aparece espontáneamente.27.Figura 1. . como se muestra en la figura 1. .27.28. donde se observa que el comportamiento del sistema depende de que constante de tiempo sea la dominante. Figura 1. como se observa en la figura 1. se muestra el diagrama Forrester que corresponde al diagrama causal de la figura 1.28.Figura 1.27 Cambio en el dominio de la curva En la figura 1.29. Diagrama causal del crecimiento en S La evolución que sufre el Nivel en el tiempo depende de los valores relativos de las constantes K1 y K2. El error más común es pensar que el crecimiento se eleva mas allá de la capacidad de carga del ambiente (recurso limitado) hasta que se establece el equilibrio. Solo puede darse el crecimiento en S. esto es que si el nivel con el que cuentan llega a un punto de equilibrio temporal difícilmente podrá salir de él.K1< K2 Exponencial K1 = K2 Creciente K1>K2 Asintótica Figura 1. característica de los sistemas de segundo orden. lo que nos lleva a concluir que para que se produzcan oscilaciones se necesitan dos o más niveles. Cuando se pregunta que tipo de comportamiento presenta la población de conejos en la figura 1. Para salir de esta situación es necesario que el flujo de salida del nivel dependiese de alguna otra variable que evolucione con el tiempo. .29 Evolución del nivel dependiendo de las constantes K1 y K2 Sistemas de primer orden sin oscilaciones Los sistemas de primer orden no presentan oscilaciones. El análisis del modelo demuestra que es imposible que llegue mas allá de la capacidad de carga. ya que este tipo de sistemas solo cuenta con un nivel en su estructura.30. Entonces el sistema despliega el crecimiento en S. y las muertes se acercan gradualmente a los nacimientos. los nacimientos exceden a las muertes y la población de conejos crece. como se muestra en la figura 1. . nada puede moverlo del equilibrio. el nivel de la población de conejos puede cambiar solamente si los flujos son iguales. el sistema esta bloqueado en el equilibrio. la población de conejos crece cada vez más. Así. nada puede alterar el valor de los dos flujos del sistema. El resto de los términos en las ecuaciones de los índices son constantes. ya que en el incremento inicial.31. Los dos únicos flujos del nivel. entonces los nacimientos y las muertes deben ser iguales momentáneamente. Mientras que se utilizan el espacio y los recursos limitados. Sin embargo. la densidad de la población llega a ser significativa. Así mismo. Si sé esta llegando más allá de la capacidad de carga. Por otra parte. pero cuando estos flujos son iguales nada puede alterar el valor del nivel. los nacimientos y las muertes varían solamente sí la población varia.30 Dinámica de la población de conejos Esto sucede. Debido a que el balance no puede ser quitado. si la población de conejos esta en equilibrio temporal.Figura 1. siendo uno de estos el principal y dos bucles más que son los secundarios.Figura 1. estos niveles se encuentran inmersos en un número de hasta tres bucles realimentados. ver figura 1.32. La característica más importante de los sistemas de segundo orden es el hecho de que tienen la posibilidad de presentar oscilaciones. El bucle principal conecta a los dos niveles mientras los secundarios conectan a un nivel consigo mismo. dado esto por la presencia de los dos niveles en su estructura. .31 Comportamiento de la población de conejos Sistemas dinámicos de segundo orden tipos de oscilaciones Oscilaciones en un sistema de segundo orden Los sistemas dinámicos de segundo orden cuentan con dos niveles de en su estructura. Figura 1. como se muestran en la figura 1. Mantenidas y Crecientes.33 .32 Diagrama causal de un sistema de segundo orden Tipos de oscilaciones Un sistema dinámico de segundo orden puede presentar oscilaciones. las cuales pueden clasificarse en Amortiguadas. Figura 1. la variable no deberá estar sólo en función de la población de conejos. etc. otra variable debe continuar para cambiar aún si la población queda fija momentáneamente.despertar de una persona. .33 Tipos de oscilaciones( 1 )Amortiguadas. Es decir si una variable auxiliar afectara los nacimientos. la economía nacional. Por ejemplo en el sistema de la población de conejos que se observo en los sistemas de primer orden. Mientras que una persona promedio observa un sin número de sistemas oscilantes a través de la vida. Si el sistema es desviado de su punto de equilibrio.( 2) Mantenidasy( 3 ) Crecientes. Por consiguiente tiene que existir otro nivel o almacenamiento para cambiar la población de conejos y sus nacimientos. y así hacer oscilar al sistema. el péndulo del reloj antiguo del abuelo. una población de depredadores u otro factor ambiental. comprender el por que de ese comportamiento resulta ser algo muy interesante. Oscilaciones en un sistema de segundo orden Los sistemas oscilantes abundan en la naturaleza. ésta quedaría en función de la población y no podría así irrumpir el equilibrio temporal y generar oscilaciones. por ejemplo los patrones del dormir . La variable adicional puede ser algún cambio en la comida o provisión de agua. Entonces el ejemplo del sistema de primer orden de la población de conejos nos muestra que hace falta agregar una segunda variable de nivel para lograr la oscilación. Sin embargo. el número de manchas solares. si la variable lleva al sistema fuera de su equilibrio. El sistema debe tener como mínimo dos variables de nivel. la cual al llegar a su límite. se muestra como los bucles de realimentación negativa en los sistemas de primer orden (un solo nivel). estas son: El sistema debe ser un bucle de realimentación negativa. las muertes aumentarían y así la población se vería decrementada. Por ejemplo. entonces el sistema inmediatamente vuelve a comparar el sistema actual contra la meta y reajusta estos índices como consecuencia. .generan un crecimiento asintótico en sus resultados. si el valor inicial de la población de conejos fuera más grande que la capacidad del campo para mantenerlos. Este comportamiento ocurre debido a que el sistema se da cuenta de que existe una discrepancia entre el estado deseado y el estado actual. Por ejemplo el bucle de realimentación negativo presentado en el modelo dela población de conejos. termino con la discrepancia entre la población y la capacidad que tenia el campo para mantener a los conejos. Los bucles de realimentación negativa siempre tratan de terminar con la discrepancia surgida entre el estado deseado del sistema y el estado actual del sistema. se presentaría un crecimiento del tipo asintótico. disminuiría la cantidad de muertes. En capítulos anteriores. ajustándose entonces las tasas o índices.Los sistemas de segundo orden necesitan algunos requerimientos estructurales para realizar oscilaciones. En la figura 1.34. es entonces cuando sé esta en presencia de un retraso. se muestra un retraso de material de primer orden. Un retraso es conocido también por retardo o demora. Para formarse una idea sobre la situación de cierto problema es necesario que trascurra cierto tiempo antes de tomar una decisión. y una vez tomada está. debe transcurrir algún tiempo hasta que se observen los efectos en la misma.Retrasos en los sistemas. El retraso 2[1] es producido a través de la acción combinada del nivel y el flujo como se observa en el recuadro de la figura 1.35 2 . Introducción restrasos en la transmisión de material retrasos en la transmisión de información reglas para aplicar retrasos Introducción Un aspecto importante que se debe considerar en el estudio de sistemas dinámicos es el retraso que se produce en la transmisión de información o de materiales a lo largo de estos. El orden viene dado por el número de niveles necesarios para la simulación del mismo. Retrasos en la transmisión de material. Los retrasos de materiales se producen cuando existen elementos en el sistema que almacenan el material que fluye por el mismo. Al construir el diagrama causal de un sistema se debe considerar que la relación causal que liga a dos variables puede implicar la transmisión de información o material para la cual se requiere el transcurso de cierto tiempo. 35 Retraso de Material Las ecuaciones que rigen el comportamiento del sistema son: flujo de entrada = STEP(2000. 4 ) flujo de salida = DELAY1(flujo de entrada.34 Retraso de Material de primer orden Flujo de entrada Flujo de salida Figura 1.Figura 1. tiempo promedio de retraso ) . 2 comportamiento de un sistema de primero orden con retraso con la función Delay1 La figura 1.36 muestra como se modelaría en Vensim esta situación sin considerar la función especial Delay1 considerando las siguientes ecuaciones. material en transito = INTEG (flujo de entrada-flujo de salida.2 Gráfica 1.10) El comportamiento que generan en el sistema es el que se observa en la grafica 1.36 Retraso de primer orden con realimentación del nivel al flujo de salida . Figura 1. 4 ) flujo de salida = material en transito / tiempo promedio de retraso material en transito = INTEG (flujo de entrada-flujo de salida.3 Simulación del Retraso de primer orden con realimentación del nivel al flujo de salida El ejemplo del reparto de cartas es uno muy sencillo del comportamiento de retrasos en la entrega. flujo de entrada = STEP(2000. .39. El sistema se muestra en el diagrama de Forrester de la figura 1.2 como lo podemos constatar en la gráfica de la figura 1.10) El comportamiento generado es semejante al de la gráfica 1.3 Gráfica 1. 5 Comportamiento de tres variables de nivel Retrasos en la transmisión de información . Sistema de reparto de cartas El comportamiento del reparto se muestra en la gráfica 1.39. Gráfica 1.5 en donde se muestran los retrasos de un nivel a otro hasta que las cartas llegan a su destino final.Figura 1. Entrada Salida Figura 1. El proceso para lograr esto es llamado proceso de promedio o aislado. tomando un valor promedio de la misma. comportamientos individuales o de grupo. En cualquier proceso aislado se debe establecer un compromiso entre realizar un aislado intenso para reducir el ruido significativo. .Este tipo de retrasos resulta de la necesidad de conservar y almacenar información del sistema antes de tomar una decisión.37). Los retrasos en la transmisión de información actúan como filtros que son capaces de aislar los picos que presenta la evolución de una variable (figura 1. pero con un tiempo de retraso mucho menor. Al promediarse ponderaran los datos disponibles de manera que los más recientes influyan significativamente en los más antiguos. a costa de un retraso importante o de un aislado menor que arrastrara a un cierto ruido. Estas irregularidades se deben filtrar para determinar las variaciones significativas subyacentes.37 Gráfica de filtración de la transmisión de la información Normalmente la información empleada para tomar decisiones con lleva a irregularidades debido a errores. intermitencias. Este proceso elimina el ruido de alta frecuencia e introduce retrasos en la transmisión de la información. periodos no uniformes. etc. En los sistemas en donde se manejan retrasos de información se presenta un ejemplo en donde se desea hacer llegar un mensaje a un grupo de personas.4 en donde sé vario el parámetro de tiempo de recepción de 0.5 minutos para que llegara el mensaje a las personas. tr1) Figura 1.38 Retraso en la transmisión de información La simulación de este evento se presenta en la gráfica 1. este evento se simulara con la función especial Smooth (suavización) La figura 1.8 y 0.38 muestra el diagrama de Forrester en donde se consideran dos niveles y tres flujos la variable de flujo fsb será la que considera la función especial y esta es igual a SMOOTH(llegada. . 4 retrasos en la información Reglas para aplicar retrasos.Gráfica 1. Selección del orden del sistema: Se debe seleccionar de primer orden si el retraso responde inmediatamente a un cambio en el flujo de . La introducción de retrasos en la dinámica de sistemas sólo esta justificada por la bondad de los resultados finales que desde un punto de vista práctico se alcanzan con ellos. Estas son: Cuando incluir un retraso: Se debe de hacer siempre que el tiempo de ajuste este comprendido entre 1/20 y 10 veces el horizonte temporal del modelo. Para lograr una correcta utilización de los retrasos es necesario la utilización de ciertas reglas prácticas basadas en la experiencia. entrada. el cual es el tiempo medio empleado en un retraso material Proyecto Final objetivo del proyecto: desarrollar un modelo integral tomando en cuenta distintos escenarios de ciudad obregón sonora. utilizando para ello la metodología de la Dinámica de Sistemas ETAPAS DEL MODELO. debe usarse un retraso de tercer orden. en donde se de respuesta a una problemática detectada. Por otro lado si lo que se requiere es un cierto tiempo para que la salida responda. Se debe considerar que el orden de un retraso tiene normalmente un poco efecto en el comportamiento del modelo. La variable más importante que caracteriza a un retraso es el tiempo de ajuste. PRIMERA FASE: CONCEPTUALIZACIÓN Tiempo requerido: 40 días Seleccionar el Escenario Definir el proposito del modelo Identificar las variables criticas y los limites del moelo Establecer el horizonte de tiempo Establecer las relaciones entre las variables Desarrollar el diagrama causal (modelo conceptual) SEGUNDA FASE: FORMULACIÓN Tiempo requerido: 15 días Desarrollar el diagrama de bloques (diagrama de Forrester) Determinar las ecuaciones . BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA 2.matemáticas del modelo (modelo formal) Estimar y seleccionar los parámetros del modelo. REFERENCE Manual Profesional Dynamo. Editorial Ateneo. 1986. 1991. US.A. Elements of the Study Dynamics Method (pp. 1981. Introduction to System Dynamics Modeling With Dynamo. U. . Wright Allen. U. 1978. Productivity Press. 1986. México. Pugh III A. 8. Productivity Press.117-139) Portland Oregon. MEADOWS Dennis L: Dynamics of Commodity Production Cycles. 6. Edward: Managerial Applications of System Dynamics. ZILL Denis G: Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Editorial Diana. US. FORRESTER Jay W: Dinámica Industrial. México.A. 7. Editorial Alianza. Editorial Grupo Iberoamérica.A. 5. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 1. 334 pp. Productivity Press. Madrid.S. GORDON Geoffey: Simulación de Sistemas. 3. 1982. ARACIL Santoja Javier: Introducción a la Dinámica de Sistemas. ROBERTS B.S. RICHARDSON G. 1980.A. 1981. TERCERA PARTE: EVALUACION Tiempo requerido: 15 días Simualción del modelos y prueba de hipótesis dinámicas Prueba del modelo bajo supuestos Respuesta del modelo con Análisis de sensibilidad CUARTA PARTE: IMPLEMENTACIÓN respuesta del modelo a diferentes politicas presentar el modelo en una forma accesible Jorgen Randers. 1969. Sexta Edición. 4. Buenos Aires. VIRGINIA Anderson y Lauren Johnson: Systems Thinking Basics from Concepts to Causal Loops. INTRODUCTORY Guide and Turorial Professional Dynamo. 12. MA. Granica. 11. 1968. Text and Workbook. MIT Press/WrightAllen. 15. 1997 . MANUAL de Vensim: User’s Guide Versión 1. 1998. Alianza. Waltham. Pegasus Comunications. 13.9. Inc. JAY W. Forrester: Principles of Systems. 1997. NANCY Roberts y Otros: Introduction to Computer Simulation for System Dynamics Modeling Approach. PETTER Senge: La Quinta Disciplina en la práctica. Productivity Press.A. ARACIL y Gordillo: Dinámica de Sistemas. 10. Ventana Sistems 1995. 1996. España 1998. 16. CARLOS Scheel Mayenberger: Modelación de la Dinámica de Ecosistemas. España.S. 1986. 14. U.62. Editorial Trillas.