Dinámica de Fluidos … 43Transporte de Cantidad de Movimiento Convectivo En las secciones anteriores se había hablado del transporte de cantidad de movimiento molecular, lo que condujo a un conjunto de cantidades πij (o σij) que proporcionan la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la dirección j a través de una superficie perpendicular a la dirección i. Luego se relacionó a πij con los gradientes de velocidad y la presión (ecuación constitutiva) y surgieron los parámetros µ y κ. La cantidad de movimiento (momento) puede, además, transportarse por medio del flujo volumétrico del fluido, y este proceso se denomina transporte convectivo. Hagamos un análisis similar al que usamos para generalizar la ley de viscosidad de Newton (para obtener la ecuación constitutiva de un fluido Newtoniano), partiendo de la Figura 1.7-1: Dr. Eduardo Vivaldo Lima, FQ-UNAM; Referencia: Bird et al. . Todas las componentes posibles de esta cantidad. Eduardo Vivaldo Lima. La densidad de flujo de momento a través del área sombreada es VxρV. • Por ejemplo.z) la velocidad es V (con barra). En el centro del cubo (x. Este fluido lleva consigo un momento ρV (barra) por volumen unitario. FQ-UNAM.y. Hagamos cortes y preguntemos ¿cuánto momento pasa a través de ellos?. Esta es la densidad de flujo desde la región de menor x hasta la de mayor x. Cada uno de estos vectores tiene una componente x-. • En notación de índices. la componente ρVxVy es la densidad de flujo convectivo de momento en la dirección y a través de una superficie perpendicular a la dirección x. definen un tensor. VyρV y VzρV) describen la densidad de flujo de momento a través de las 3 áreas perpendiculares a los ejes respectivos.Dinámica de Fluidos … 44 Región cúbica a través de la cual circula el fluido. El caudal volumétrico a través del área en (a) es Vx. • Estos tres vectores (VxρV. Referencia: Bird et al. respectivamente. Dr. ρVV.y z-. Planos de área unitaria. y. Análisis similar para (b) y (c) resulta en VyρV y VzρV. ese tensor se representa como ρViVj. Eduardo Vivaldo Lima.Dinámica de Fluidos … 45 El tensor ρViVj se denomina tensor de densidad de flujo de momento convectivo. FQ-UNAM. φij. . que es la suma de πij (o σij): En resumen: ϕ = π + ρ V V = ( −) p δ + τ + ρ V V Dr. Resulta útil definir a otro tensor. Referencia: Bird et al. que llamaremos tensor de densidad de flujo de momento combinado (o tensor de esfuerzos combinados). FQ-UNAM.2-1. Eduardo Vivaldo Lima. Referencia: Bird et al.Dinámica de Fluidos … 46 Ecuación de Movimiento Para obtener la ecuación de movimiento escribimos un balance de cantidad de movimiento (momento) sobre el elemento de volumen ∆x ∆y ∆z de la Figura 3. de la forma: …(46) Dr. . FQ-UNAM. Dr.2-1 (ver abajo).2-1 (46). Eduardo Vivaldo Lima. las componentes y y z pueden tratarse en forma semejante.Dinámica de Fluidos … 47 Desarrollaremos la componente x de cada término de la ecuación 3. . Primero. Referencia: Bird et al. consideremos las velocidades de flujo de la componente x de cantidad de movimiento de entrada y salida en el elemento de volumen que se muestra en la Figura 3. La cantidad de movimiento entra y sale en ∆x ∆y ∆z por dos mecanismos: transporte convectivo y transporte molecular. Eduardo Vivaldo Lima.. respectivamente. Referencia: Bird et al. 47).. FQ-UNAM. .(47) ( ) Luego está la fuerza externa (típicamente la fuerza de gravedad) que actúa sobre el fluido en el elemento de volumen. La componente x de esta fuerza es: ρg x ∆x∆y∆z .. Al sumar estas contribuciones se obtiene la rapidez neta de adición de cantidad de movimiento en la dirección x a través de los 3 pares de caras (ec. De manera semejante.. las velocidades a las que la cantidad de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras en z y z+∆z son (φzx)|z ∆x ∆y y (φzx)|z+∆z ∆x ∆y. ∆y∆z(ϕ xx x − ϕ xx x + ∆x ) + ∆x∆z ϕ yx y − ϕ yx y + ∆y + ∆x∆y(ϕzx z − ϕzx z + ∆z ) .(48) Dr.Dinámica de Fluidos … 48 La velocidad a la que la componente x de la cantidad de movimiento entra a través de la cara sombreada en x por todos los mecanismos (tanto convectivo como molecular) es (φxx)|x ∆y ∆z. Las velocidades a las que la cantidad de movimiento en la dirección x entra y sale a través de las caras en y y y+∆y son (φyx)|y ∆x ∆z y (φyx)|y+∆y ∆x ∆z. y la velocidad a la que sale de la cara sombreada en x+∆x es (φxx)|x+∆x ∆y ∆z. la suma de estos tres términos debe ser igual a la velocidad de incremento de cantidad de movimiento en la dirección x. . Referencia: Bird et al. resulta la siguiente ecuación: ∂ ∂ ∂ ∂ (ρVx ) = − ϕ xx + ϕ yx + ϕzx + ρg x ∂x ∂t ∂y ∂z . Así. Cuando esta ecuación se divide entre el volumen ∆x∆y∆z y se toma el límite cuando ∆x. se obtiene la componente en la dirección x del balance de cantidad de movimiento. Eduardo Vivaldo Lima. ∆x∆y∆z ∂(ρVx)/∂t. dentro del volumen. y ∆z tienden a cero..Dinámica de Fluidos … 49 Las ecuaciones (47) y (48) proporcionan las componentes x de los tres términos en el lado derecho de la ecuación 3.. FQ-UNAM.2-1.(49) Dr. ∆y. es decir. Al hacer lo anterior. (52) ∂t Dr..(50) ∂x ∂y ∂z ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ (ρVz ) = − ϕxz + ϕ yz + ϕzz + ρg z . Referencia: Bird et al. FQ-UNAM. que es: ( ) ∂ (ρ V ) = − ∇ • ϕ + ρ g ...Dinámica de Fluidos … 50 De forma análoga se pueden obtener ecuaciones para las componentes en las direcciones y y z del balance de cantidad de movimiento (momento): ∂ ∂ ∂ ∂ ρVy = − ϕ xy + ϕ yy + ϕzy + ρg y . las ecuaciones (49) a (51) se engloban en una sóla ecuación.... Eduardo Vivaldo Lima. [ ] .(51) ∂x ∂t ∂y ∂z En notación vectorial. Dinámica de Fluidos … 52 El tensor φ (ponerle la doble barra) está dado por: ϕ = ρV V + pδ + τ .(53) Por lo que la ecuación (52). Referencia: Bird et al.. queda como: Dr.. FQ-UNAM. Eduardo Vivaldo Lima. que es la ecuación de cantidad de movimiento. . Dinámica de Fluidos … 53 Dr. Referencia: Bird et al. FQ-UNAM. . Eduardo Vivaldo Lima. Referencia: Bird et al. Eduardo Vivaldo Lima.Dinámica de Fluidos … 54 Dr. . FQ-UNAM.