15DILATACIÓN 150 FÍSICA GENERAL TÉRMICA LA TEMPERATURA (T ) se puede medir en la escala Celsius, donde el punto de congelación del agua es a 0 °C y el punto de ebullición (bajo condiciones normales) es a 100 °C. La escala Kelvin (o absoluta) está desplazada 273.15 grados respecto de la escala Celsius, así que el punto de congelación del agua está a 273.15 K y el punto de ebullición a 373.15 K. El cero absoluto, temperatura que se analizará en el capítulo 16, está a 0 K (273.15 °C). La aún usada escala Fahrenheit se relaciona con la escala Celsius mediante la ecuación Temperatura Fahrenheit 9 5 (temperatura Celsius) 32 DILATACIÓN LINEAL DE UN SÓLIDO: Cuando un sólido sufre un aumento de temperatura ∆T, su incremento en longitud ∆L es casi proporcional al producto de su longitud inicial L0 por el cambio de temperatura ∆T. Esto es, ∆L L0 ∆T donde la constante de proporcionalidad se llama coeficiente de dilatación lineal. El valor de depende de la naturaleza de la sustancia. Para los fines de esta obra se puede tomar como constante independiente de T, aun cuando esto rara vez es exactamente cierto. De la ecuación anterior, es el cambio en longitud por unidad de longitud inicial y por unidad de temperatura. Por ejemplo, si 1.000 000 cm de longitud de latón se convierte en 1.000 019 cm de longitud cuando la temperatura se eleva 1.0 °C, el coeficiente de dilatación lineal para el latón es DILATACIÓN SUPERFICIAL: Si un área A0 se dilata a A0 ∆A cuando se sujeta a un aumento de temperatura ∆T, entonces ∆A A0 ∆T donde es el coeficiente de dilatación superficial. Para un sólido isotrópico (que se expande de la misma manera en todas direcciones), 2. DILATACIÓN VOLUMÉTRICA: Si un volumen V0 cambia por una cantidad ∆V cuando se sujeta a un cambio de temperatura ∆T, entonces ∆V V0 ∆T donde es el coeficiente de dilatación volumétrica, el cual puede ser un aumento o una disminución en volumen. Para un sólido isotrópico, 3. PROBLEMAS RESUELTOS 15.1 [I] Una barra de cobre tiene una longitud de 80 cm a 15 °C. ¿Cuál es el incremento de su longitud cuando su temperatura aumenta a 35 °C? El coeficiente de dilatación lineal del cobre es 1.7 × 105 °C1. ∆L L0∆T (1.7 × 105 ºC1)(0.80 m)[(35 15) ºC] 2.7 × 104 m 15.2 [II] Un cilindro de 1.000 00 cm de diámetro a 30 °C se tiene que deslizar dentro de un agujero en una placa de acero. El agujero tiene un diámetro de 0.99970 cm a 30 °C. ¿A qué temperatura se debe calentar la placa? Para el acero, 1.1 × 105 °C1. 150 www.FreeLibros.com 8990 cm (0.00030 cm Al usar ∆L L0 ∆T.10 × 105 °C1) ∆T 0. Por consiguiente.4 [II] Una barra de cobre ( 1.0 °C.9000 cm. cuando la temperatura es de 15 °C.20 m) ∆T donde L0 es la longitud de la barra de cobre y ∆T es la misma para las dos barras.70 × 105 °C1)L0 ∆T (2. En un día frío. para una temperatura ∆T mayor que 20. la temperatura final debe ser de 121 °C.88 m. ∆L tiene que ser la misma para ambas barras con el mismo cambio de temperatura.6 [II] Una cinta métrica de acero se utiliza para medir la longitud de una barra de cobre de 90. se tiene ∆T 35 °C. A 30 °C. ¿cuál será el error porcentual en la cinta? acero 1. Como la temperatura inicial era de 20.8990 cm.com . Para un cambio de temperatura de 20 °C a 15 °C. Esto es.70 × 105 °C1) es 20 cm más larga que una barra de aluminio ( 2.1 × 105 °C1.5 [II] Una esfera de acero ( 1. ¿A qué temperatura (la misma para ambos) apenas pasará la esfera por el orificio? Se desea que.00000 0. 15.10 × 105 °C1) a 20. se encuentra La temperatura de la placa debe ser 30 27 57 °C.9000 cm (0.20 × 105 °C1). 15. mientras que el diámetro de un agujero en una placa de aluminio ( 2.20 × 105 °C1) ∆T Al resolver para ∆T se encuentra que ∆T 101 °C.FreeLibros.0 °C tiene un diámetro de 0. Entonces 15.1 × 105 °C1. cobre 1. Al resolver se encuentra que L0 0.20 × 105 °C1) es de 0.00 cm cuando ambas se encuentran a 10 °C. ya sea que exista o no un agujero en ella. el agujero se expandirá de idéntica forma como lo haría un círculo colocado dentro del agujero. los diámetros de la esfera y del agujero sean los mismos: 0.7 × 105 °C1. la barra de cobre tendrá una longitud L0(1 c ∆T ) mientras que las marcas de “centímetros” adyacentes en la cinta de acero estarán separadas una distancia de (1.99970) cm 0. ¿Cuál debe ser la longitud de la barra de cobre si la diferencia en longitudes es independiente de la temperatura? Para que la diferencia de longitudes no cambie con la temperatura. (L0 ∆T )cobre (L0 ∆T )aluminio o (1.000 cm)(1 s ∆T ) www.20 × 105 °C1)(L0 0.9000 cm)(1. Se desea que el diámetro del agujero cambie en una cantidad ∆L (1.3 [I] Una cinta métrica de acero se calibra a 20 °C. ¿Cuál será la lectura de la cinta para la longitud de la barra cuando ambas están a 30 °C? acero 1.0° C.8990 cm)(2. 15. que es la temperatura de calibración de la cinta.CAPÍTULO 15: DILATACIÓN TÉRMICA 151 La placa se expandirá de la misma manera. 15 cm3 15. se tiene la lectura en la cinta será de 90. de donde se sigue que Pero Al sustituir en la primera ecuación se obtiene 15. Después de un cambio de temperatura ∆T el nuevo volumen es V V0 V0 ∆T www.82 104 °C1. El interior del vaso se dilatará como si fuera una pieza sólida de vidrio. ¿cuánto mercurio estará por arriba de la marca? vidrio 9. Volumen de mercurio sobre la marca (∆V del mercurio) – (∆V del vidrio) mV0 ∆T gV0 ∆T (m g )V0 ∆T [(182 27) × 106 °C1](50. Se tomará vidrio 3vidrio como una buena aproximación.9 [II] Demuestre que la densidad de un líquido o un sólido varía con la temperatura de la siguiente forma: ∆ ∆T 0 ∆T.00 cm3 de mercurio a 18 °C.01 cm.00 cm3)[(38 18) °C] 0. el número de “centímetros” leídos en la cinta será Usando la aproximación para x muy pequeña comparada con 1.152 FÍSICA GENERAL Por consiguiente. 15.com .FreeLibros.0 × 106 °C1 y mercurio 182 × 106 °C1. 0 densidad del mercurio a 0 °C 1 densidad del mercurio a 50 °C V0 volumen de m kg de mercurio a 0 °C V1 volumen de m kg de mercurio a 50 °C Dado que la masa no cambia.8 [II] La densidad del mercurio a exactamente 0 °C es de 13 600 kgm3. para el cual 0 mV0. Considere una masa m de líquido que tiene un volumen V0. y su coeficiente de dilatación volumétrica es de 1. m 0V0 1V1.7 [II] Un vaso de precipitados se llena “hasta la marca” con 50. Entonces.0 °C. Calcule la densidad del mercurio a 50. Si el vaso y su contenido se calientan a 38 °C. 1 × 105 °C1 y Y 2. y si los dos puntos permanecen fijos.6 × 104 m Pero los extremos están fijos.5 m)(40 °C) 6.9. esto tendrá que realizarse en el espacio para que el alambre no tenga peso. Se procede de la misma forma que en el problema 15. Por consiguiente. el error es despreciable a pesar de no tomar en cuenta dicho valor. las fuerzas en los extremos. se tiene Tensión = Estrictamente. de hecho.com . se contraería una distancia ∆L al enfriarse.10 [II] Resuelva el problema 15. 1.11: de donde www.0 mm2 de sección transversal a 30 °C se mantiene recto (sin tensión alguna) sujetándolo firmemente a dos puntos separados una distancia de 1. donde ∆L L0 ∆T (1. Si la temperatura decrece a 10 °C.1 × 105 °C1)(1.1 × 105 °C1 y Y 2.8 utilizando el resultado del problema 15.CAPÍTULO 15: DILATACIÓN TÉRMICA 153 y la densidad será Pero mV0 0. tiene un valor muy próximo al de 0.6 × 104) m por L en la expresión de la tensión.0 × 1011 Nm2. No obstante.11 [III] Un alambre de acero de 2.0 × 1011 Nm2. Como resultado.0 °C) 124 kgm3 50 °C 0 °C 124 kgm3 13. de la ecuación Y (FA)(∆LL0). ¿cuál será la fuerza de compresión sobre la viga cuando la temperatura suba a 25 °C? Para este tipo de acero. pero no se preocupe por ello). 15. y por tanto se puede escribir (1 ∆T) 0 Entonces se encuentra ∆ 0 ∆T En la práctica. estiran al alambre la misma longitud ∆L.5 6. se debió sustituir (1.12 [III] Cuando un edificio se construye a 10 °C.FreeLibros. Se tiene de donde de modo que ∆ (13 600 kgm3)(182 × 106 °C1)(50. Si los extremos cementados no se pueden mover. ¿cuál será la tensión en el alambre? Para el acero 1. de tal forma que es posible concluir ∆ 0 ∆T.50 m (por supuesto. 15. En caso de que el alambre no estuviera fijo en sus extremos.5 103 kgm3 15. una viga de acero (con un área de 45 cm2 en la sección transversal) se coloca en su lugar cementando sus extremos a las columnas. 45 cm3.3 × 106 °C1.23[II] La densidad del oro a 20. el coeficiente de dilatación volumétrica de la trementina es 97 × 105 °C1. 15. www. a) 0. Resp. 1.7 °C. calibrada a 5.7 cm. Eche un vistazo al problema 15.0 × 106 °C1.14[I] Una barra de 3. ¿Cuál es el valor de para el material de que está hecha la barra? Resp. 15. 15.15[I] Una rueda lisa tiene un diámetro de 30. Resp. 54 °C. Calcule su capacidad a 25 °C. 15. 15.0 °C es de 19. 1.0 × 106 °C1. 50.42 cm a 35. b) Se encuentra que la longitud de una barra de acero medida con la regla es de 88.10 × 105 °C1. cuando la temperatura cambia de 15 °C a 47 °C.000 mL a 15 °C.com .13 [I] Calcule el incremento de longitud de un alambre de cobre que mide 50 m cuando su temperatura cambia de 12 °C a 32 °C. 15.058 cm.0 m de longitud se expande 0. 1 2 ∆T (∆T )2.17[II] a) Una regla de aluminio.1 × 106 °C1.18[II] Una esfera sólida de masa m y radio b gira libremente sobre su eje con una velocidad angular 0.0 °C. 15.00018° C1. su velocidad angular cambia a . Calcule la densidad del oro a 90.42 cm a 35. Resp. 0. 15.930 cm ¿A qué temperatura se debe calentar el aro para que pueda resbalar sobre la rueda? Para este tipo de acero. El coeficiente de dilatación lineal del hierro fundido es 0. 15.22[II] Un recipiente de vidrio se llena exactamente con 1 litro de trementina a 20 °C. Resp.2 × 105 °C1 y 1. 19. respectivamente. Calcule 0 si el coeficiente de dilatación lineal para el material de la esfera es .0 °C.000 cm a una temperatura de 15.9 × 105 °C1 para el hierro y el bronce.FreeLibros. tanto la placa como la esfera están a una temperatura de 30 °C.091 cm después de un aumento de temperatura de 60 °C.0 °C. 0. Resp. Calcule el error en la medición debido a la dilatación de la regla.0 °C.0 cm × 10 cm × 6.7 × 105 °C1.0 °C. ¿A qué temperatura (la misma para la esfera y la placa) apenas pasará la esfera por el agujero? 1.014 mL.16[II] Una esfera de hierro tiene un diámetro de 6 cm y es 0.010 mm más grande que el diámetro de un agujero que se encuentra en una placa de bronce. Cuando su temperatura se incrementa ∆T.2 gcm3.154 FÍSICA GENERAL PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 15. Resp. Resp.21[II] Determine el cambio en el volumen de un bloque de hierro fundido de 5. ¿Qué volumen de líquido se derramará cuando su temperatura se eleve a 86 °C? El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9. Para el cobre. y el coeficiente de dilatación lineal es 14. se utiliza para medir cierta distancia como 88.000010 °C1. ¿cuál es la longitud correcta de la barra de acero a 35 °C? El coeficiente de dilatación lineal del aluminio es 22 × 106 °C1.30 gcm3. Resp. Resp.9. 1.20[II] El coeficiente de dilatación lineal del vidrio es de 9.29 cm3. 5. 62 mL. Un picnómetro (frasco que sirve para determinar la densidad relativa de líquidos) tiene una capacidad de 50. b) 88 cm. 227. 15. El diámetro interior de su aro de acero mide 29.0 cm. El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es 0. Resp.19[I] Encuentre el aumento en volumen de 100 cm3 de mercurio cuando su temperatura cambia de 10 °C a 35 °C.