ECUACIONES DE DIFUSIÓN DE CALORPermiten obtener perfiles de temperatura entre dos puntos del sistema. Sus aplicaciones están limitadas para sistemas o sub-sistemas con transferencia de calor por CONDUCCIÓN. Puede haber generación de energía y variación de la energía almacenada (estado no estacionario). DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN EN COORDENADAS CARTESIANAS Q g ● z y x q z+∆z ● ∆x ∆y ∆z q x+∆x ● q y+∆y ● q x ● q z ● q y ● Q alm ● • Volumen infinitesimal: ∆x·∆y·∆z • Transferencia de calor en las tres direcciones: x, y, z. A Q q . . = q : Flujo de calor (W/m 2 ) ● Balance microscópico de energía (Sin cambio de fase) q g : Velocidad de generación de calor por unidad de volumen · • Reagrupando términos: • Dividiendo por ∆x∆y∆z y tomando los límites cuando ∆x, ∆y y ∆z → 0 : • Aplicando la ley de Fourier de la conducción y asumiendo conducción isotrópica (k es independiente de la dirección): Ecuación de difusión de calor (coordenadas cartesianas) • Si la conductividad térmica se puede considerar constante para el rango de temperatura del sistema: Difusividad térmica (Capacidad del material para conducir calor en relación con su capacidad para almacenarla). • De manera similar se hallan las ecuaciones para los otros sistemas de coordenadas: Coordenadas cilíndricas: Coordenadas esféricas: EJEMPLO En un alambre largo (K = 15 W/m·°C) de radio r 1 = 0,2 cm se genera calor de manera uniforme como resultado del calentamiento de la resistencia al hacer pasar una corriente, donde q g = 50 W/cm 3 . El alambre está recubierto por una capa de 0,5 cm de espesor de cerámica (K = 1,2 W/m·°C). En condiciones estables, la temperatura de la superficie exterior de la capa cerámica es T s = 45°C. Determinar las temperaturas en el centro del alambre y en la interfase alambre-capa cerámica en condiciones estables. r 1 r 2 T S = 45°C Alambre Capa cerámica MÉTODO DE LAS RESISTENCIAS TÉRMICAS Forma sencilla de resolución de problemas de transferencia de calor. Especialmente útil para el análisis de sistemas con paredes compuestas. Aplicable a sistemas estacionarios y sin generación de calor. 1. SISTEMAS CON PAREDES PLANAS • Transferencia de calor por conducción • Estado estacionario • Transferencia de calor unidireccional (x) • Conductividad térmica, k, constante • Sin generación de calor en su interior A L T 1 T 2 x Q . dx dT kA cond Q ÷ = . . Aplicando Ley de Fourier: } ÷ = } 2 1 0 . . T T L dT dx kA cond Q ) ( . . 2 1 T T L kA cond Q ÷ = Integrando: (1) ) ( : ) ( 2 1 2 1 V V L A I A L R Donde e R V V I e e e ÷ = = ÷ = o o Ley de Ohm: Flujo de una corriente eléctrica a través de un conductor I: Flujo de corriente eléctrica (V 1 -V 2 ): Caída de potencial R e : Resistencia eléctrica L: longitud del conductor o e : Conductividad eléctrica A: Área de flujo en el conductor (2) A L R e R V V I V V L A I e e e o o = ÷ = ÷ = ) ( ) ( 2 1 2 1 Analogía entre las ecuaciones (1) y (2): Flujo de calor por conducción Flujo de corriente eléctrica kA L R R T T Q T T L kA Q cond cond cond cond = ÷ = ÷ = . . 2 1 . . 2 1 . . ) ( ) ( R e I V 1 V 2 R cond. T 1 T 2 . . cond Q Para la transferencia de calor por convección: s conv conv s conv s s conv hA R R T T Q T T hA Q 1 ) ( ) ( . . . . . . = ÷ = ÷ = · · R conv. T s T o . . conv Q Para la transferencia de calor por radiación: ) )( ( 1 ) ( ) ( . 2 . 2 . . . . . . . 4 . 4 . . alr s alr s rad s rad rad rad alr s rad alr s s rad T T T T h A h R R T T Q T T A Q + + = = ÷ = ÷ = co co R rad. T s T alr. . . rad Q Si ocurre convección y radiación simultáneamente, se consideran las dos resistencias en paralelo: R rad. T s T alr. . . rad Q T o . . conv Q R conv. . . . . . rad conv total Q Q Q + = Si T o = T alr. : s total s rad conv total s rad s conv rad conv total total s total A h A h h R A h A h R R R R T T Q = + = + = + = ÷ = · ) ( 1 1 1 1 ) ( . . . . . . . h total = Coeficiente de transf. calor combinado convección-radiación R rad. T s . . rad Q T o . . conv Q R conv. R total T s T o total Q . PROBLEMA Una pared de 3 m de alta y 5 m de ancho consta de ladrillos de 16 cm x 22 cm de sección transversal horizontal, separados por capas de mortero de 3 cm de espesor. También se tienen capas de mortero de 2 cm de espesor sobre cada lado del ladrillo y una espuma rígida de 3 cm de espesor sobre el lado interior de la pared. Las temperaturas dentro y fuera son de 20°C y -10°C respectivamente. Determinar la transferencia de calor a través de las pared en estado estacionario, si se desprecia el efecto de radiación sobre las superficies y se supone transferencia de calor unidimensional. Datos: K ladrillo = 0,72 W/m·°C h aire interior = 10 W/m 2 ·°C K mortero = 0,22 W/m·°C h aire exterior = 25 W/m 2 ·°C K espuma rígida = 0,026 W/m·°C 23 cm 5 m 3 m 3 cm 22 cm 3 cm 2 cm 2 cm 16 cm 2. SISTEMAS CON PAREDES CILÍNDRICAS • Tubo cilíndrico largo con temperaturas interior (T 1 ) y exterior (T 2 ) constantes (Estado estacionario). • Transferencia de calor unidireccional (r). • Conductividad térmica, k, constante. • Sin generación de calor. r 1 r 2 Pared cilíndrica T 2 T 1 L · r Q dr dT kA cond Q ÷ = . . Aplicando Ley de Fourier: } } ÷ = 2 1 2 1 2 . . T T r r LkdT dr r cond Q t ( ) ) ( 2 . . 2 1 1 2 T T Lk Ln cond Q r r ÷ = t Integrando: rL A t 2 = (Varía con r) dr dT kLr cond Q t 2 . . ÷ = ) ( ) ( 2 . . 2 1 1 2 T T Ln Lk cond Q r r ÷ = t cilínd. cond. 2 1 cilínd. cond. ) ( . R T T Q ÷ = Lk Ln R r r t 2 ) ( 1 2 cilínd. cond. = 3. SISTEMAS CON PAREDES ESFÉRICAS • Esfera hueca con temperaturas interior (T 1 ) y exterior (T 2 ) constantes (Estado estacionario). • Transferencia de calor unidireccional (r). • Conductividad térmica, k, constante. • Sin generación de calor. r 1 r 2 Pared esférica T 2 T 1 · r Q dr dT kA cond Q ÷ = . . Aplicando Ley de Fourier: } } ÷ = 2 1 2 1 4 . . 2 T T r r kdT dr r cond Q t ) ( 4 1 1 . . 2 1 2 1 T T k r r cond Q ÷ = | | . | \ | ÷ t Integrando: 2 4 r A t = (Varía con r) dr dT kr cond Q 2 4 . . t ÷ = esfér. cond. 2 1 esfér. cond. ) ( . R T T Q ÷ = 2 1 1 2 esfér. cond. 4 ) ( r kr r r R t ÷ = ) ( ) ( 4 . . 2 1 1 2 2 1 T T r r r kr cond Q ÷ ÷ = t PROBLEMA A través de un tubo de acero, cuyos radios interior y exterior son 2,5 cm y 2,75 cm respectivamente, se hace fluir vapor de agua con una temperatura promedio de 320°C. El tubo está cubierto con una capa aislante de fibra de vidrio de 3 cm. La temperatura del aire exterior es de 5°C y sobre la superficie exterior del aislante el coeficiente combinado de convección y radiación es de 15 W/m 2 ·°C. Si el coeficiente convectivo dentro del tubo es de 80 W/m 2 ·°C, determinar: a) La velocidad de pérdida de calor del vapor por metro de tubería. b) Las temperaturas en las interfases del sistema. c) El espesor óptimo del recubrimiento, con el cual se minimizan las pérdidas de calor. Datos: K acero = 15 W/m·°C K fibra de vidrio = 0,038 W/m·°C r 2 r 3 T 3 T 2 · r Q r 1 T 1 Fibra de vidrio K aisl. = 0,038 W/m·°C Acero K acero = 15 W/m·°C Vapor T ∞1 = 320°C h 1 = 80 W/m 2 ·°C Aire exterior T ∞2 = 5°C h 2 = 15 W/m 2 ·°C r 1 = 2,5 cm r 2 = 2,75 cm r 3 = 5,75 cm Radio crítico (r c ): Al recubrir con aislante un cilindro conductor pueden ocurrir dos efectos contrarios: 1) Si el radio exterior del aislante es pequeño (r < r c ): Al aumentar el espesor del aislante aumenta la pérdida de calor (Disipación de calor). 2) Si el radio exterior del aislante es grande (r > r c ): Al aumentar el espesor del aislante disminuye la pérdida de calor (aislante térmico). r c r 3 R tot. 2 . h k r aisl c = Prevalece la convección Prevalece la conducción