Diagramas de Venn - Ejercicios Resueltos¿Qué son los diagramas de venn? Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. Diagramas de Venn explicación de la teoría y ejemplos Problemas Resueltos con Diagramas de Venn. Problema 01 En una escuela de 600 alumnos, 100 no estudian ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés. ¿Cuántos estudian solo inglés? Problema 02 En una encuesta realizada en la ciudad de Medellín, acerca de los medios de transporte mas utilizados entre bus, metro o moto, se obtuvieron los siguientes resultados: de los 3200 encuestados, 1950 utilizan el metro, 400 se desplazan en moto, 1500 van en bus, 800 se desplazan en bus y metro, además ninguno de los que se transporta en moto utiliza bus o metro. 1. El número de personas que solo utiliza el metro es. 2. Las persona que solo utilizan máximo 2 medios de transporte son. Problema 03 En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias mencionadas? Problema 04 En una investigación hecha a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudian idiomas fueron las siguientes: español, 28; alemán, 30; y francés, 42; español y alemán, 8; español y francés 10; alemán y francés 5; los tres idiomas 3. a) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma? b) ¿Cuántos estudiantes tenían el francés como único idioma de estudio? Problema 05 Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos. Los resultados obtenidos son: ▪ 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media y Universitaria. ▪ 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria. ▪ 30 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica. ▪ 22 familias tienen hijos en Enseñanza Media y Universitaria. ▪ 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media. ▪ 71 familias tienen hijos en Enseñanza Básica. ▪ 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria. Con la información anterior, deducir: - El número de familias que solo tienen hijos universitarios. - El número de familias que tienen hijos solo en dos niveles. - El número de familias que tienen hijos que no estudian. Problema 06 De un grupo de 55 contratos internacionales, 25 son redactados en Inglés, 32 en Francés, 33 en Alemán y 5 en los tres idiomas. ¿Cuántos contratos han sido redactados en dos (02) de los referidos idiomas, sabiendo que todos pueden ser redactados por lo menos en uno de los tres (03) idiomas? Problema 07 En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último 9 a las fiestas y al vino solamente. Determinar: a) El número de personas que es aficionada al vino solamente. b) El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente. Problema 08 El departamento de Ciencias Sociales de una universidad cuenta con 800 estudiantes, por lo que decidió realizar un estudio sobre el número de estudiantes que durante el actual semestre cursaran la asignatura de Metodología de la Investigación, Administración, y Estadística. A través de una encuesta, se obtuvieron los siguientes datos: Metodología 490, Administración 160 y Estadística 320. Metodología y Administración 90, Metodología y Estadística 22, Administración y Estadística 78. Determinar la cantidad de los que: 1. Estudian las 3 asignaturas. 2. Estudian solo Estadística. 3. Estudian Metodología y Administración. 4. Estudian Administración y Estadística. Problema 09 Una encuesta sobre 500 estudiantes inscritos en una o más asignaturas de Matemática, Física y Química durante un semestre, reveló los siguientes números de estudiantes en los cursos indicados: Matemática 329, Física 186, Química 295, Matemática y Física 83, Matemática y Química 217, Física y Química 63. Cuántos alumnos estarán inscritos en: a) Los tres cursos b) Matemática pero no Química c) Física pero no matemática d) Química pero no Física e) Matemática o Química, pero no Física f) Matemática y Química, pero no Física g) Matemática pero no Física ni Química Ejercicios de Diagramas de Venn Euler con Porcentajes Problema 01 De un grupo de alumnos de grado 11, se sabe que el 25% de los que aprueban matemáticas, aprueban física y que la mitad de los que aprueban matemáticas aprueban física. Si se sabe que el 25% de los alumnos no aprueban matemáticas y no aprueban física, entonces, el porcentaje de alumnos que aprueban matemáticas y física a la vez es: (ver solución) A) 15% B) 12% C) 20% D) 18% Problema 02 En un reunión el 44% de los asistentes toman y el 37% fuman; además el 25% de los que toman, fuman. Si no toman y no fuman 84 personas, el número de personas es: A) 80 B) 380 C) 280 D) 260 E) 300 Problema 03 Entre los habitantes de un distrito, se ha realizado una encuesta sobre el uso de ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: - 80% tienen televisor. - 90% tienen radio. - 60% tienen cocina a gas. - 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores. - 55% tienen los tres artefactos. ¿Qué porcentaje de los encuestados poseen uno sólo de estos artefactos? Problema 04 En una encuesta sobre consumo de bebidas, se obtuvieron los siguientes datos: a) 67% beben A o B, y 13% beben ambas. b) 59% beben B o C y 11% beben ambas. c) 75% beben A o C y 15% beben ambas. d) el 16% no consume ninguna bebida. 1. Calcular el porcentaje que consume sólo una bebida. 2. Determine el porcentaje que beben las tres bebidas Diagramas de Venn Euler - Ejemplos Resueltos. Ejercicio 01 En una encuesta realizada sobre la preferencia de su bebida en el desayuno, se preguntó a las personas si tomaban té o café. Los resultados fueron: 6 tomaban té, 9 café, a una no le gustaba ninguna de esas bebidas y cuatro tomaban ambas. Responder las siguientes preguntas: ¿Cuántas personas no tomaban té? ¿Cuántas personas no tomaban café? ¿Cuántas personas tomaban té y café? ¿Cuántas personas tomaban sólo café? ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Ejercicio 02 Una persona come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Abril. Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevo y tocino? A) 30 B) 25 C) 18 D) 13 E) 11 Ejercicio 03 En una empresa trabajan 260 empleados. Por fiestas patrias, la empresa decidió regalar una casaca a la mitad de sus empleados, y por navidad, la empresa regalo un pavo a la mitad de sus empleados. Si exactamente 8 empleados recibieron una camisa y un pavo durante el año, ¿cuántos empleados no recibieron ningún regalo durante el año? A) 7 B) 14 C) 16 D) 8 E) 11 Ejercicio 04 Al realizar una encuesta entre alumnos del quinto año de un colegio se sabe que: 1/2 de los alumnos postulan a la UNI, 7/12 de los alumnos postulan a la UNMSM, 1/6 de los alumnos postulan a las dos universidades y 35 alumnos aun no deciden donde postular. ¿Cuántos alumnos hay en quinto año de dicho colegio? Ejercicio 05 En una comunidad de 100 deportistas se sabe que 30 de ellos entrenan fútbol, 50 entrenan squash y 60 entrenan tenis. 22 entrenan tenis y fútbol, 30 entrenan squash y tenis y 15 entrenan squash y fútbol. Si 10 deportistas entrenan los tres deportes ¿cuántos entrenan tenis o fútbol? Ejercicio 06 Si de 76 postulantes que se prepararon en las academias ORO, PLATA y COBRE, se sabe que 42 estudiaron en ORO, 30 en PLATA y 28 en COBRE y 1 estudió en las 3 academias. Entonces el número de postulantes que estudiaron sólo en 2 academias es: (ver solución) A) 19 B) 21 C) 24 D) 25 E) 22 Ejercicio 07 De 180 alumnos de una academia preuniversitaria que gustan de los cursos razonamiento matemático, álgebra, aritmética, se sabe que: 1) 34 gustan de razonamiento matemático pero no de álgebra. 2) 28 gustan de razonamiento matemático pero no de aritmética. 3) 16 gustan álgebra pero no razonamiento matemático. 4) 24 gustan de álgebra pero no de aritmética .5) 48 gustan de aritmética pero no de razonamiento matemático. 6) 18 gustan de aritmética pero no de álgebra. ¿A cuantos jóvenes les gustan los tres cursos mencionados? (ver solución) A) 84 B) 168 C) 96 D) 100 E) 120 Ejercicio: Señala el conjunto que representa la zona sombreada. Se diseño un experimento para estudiar el hábito de consumo de la soda y problemas de salud con el riñón. En el diagrama de Venn, se muestra en la Figura A, representa el conjunto de pacientes con hábitos de consumo de soda y la B el conjunto de pacientes con problemas en el riñón. Señala el conjunto que representa la zona sombreada.(ver solución) Ejercicio: Para los conjuntos, U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A={2,4,8} B={3,5,9} C={9} Elabore a) Diagrama de Venn. b) Identifique un subconjunto propio o menor de B. c) Liste los subconjuntos posibles de A. (ver solución) Representación de los Diagramas de Venn con Cuatro Conjuntos. Test de Diagramas de Venn, problemas resuelto en vídeo. (Evaluación de Razonamiento Matemático, preguntas de examen) Más problemas resueltos de Teoría de Conjuntos y Diagramas de Venn: Diez problemas propuestos. (Con respuestas). 1) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B. a. b. c. d. ¿Cuántas personas consumían A? Rta: 344 personas. ¿Cuántas personas consumían B? Rta: 318 personas. ¿Cuántas personas consumían B pero no A? Rta: 112 personas. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos? Rta: 456 personas. 2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A. 78 personas consumían A pero no B. a. b. c. d. ¿Qué porcentaje de personas consumía B? Rta. El 66,4% ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B? Rta. El 23,2% c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos? Rta. El 43,2% d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos? Rta. El 18% 3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 310 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 270 personas consumían A. 205 personas consumían B pero no A. Demostrar que los resultados de la encuesta no son atendibles. Rta: Cuando se trata de volcar los datos se ve que donde dice que debe haber 270, sólo cabrían solamente 105. 4) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A 25 personas consumían sólo B. 10 personas consumían sólo C 15 personas consumían A y B, pero no C. 80 personas consumían B y C, pero no A. 8 personas consumían C y A, pero no B. 17 personas no consumían ninguno de los tres productos. a. b. c. d. e. ¿Cuántas personas consumían A? Rta. 68 personas. ¿Cuántas personas consumían B? Rta. 160 personas. ¿Cuántas personas consumían C? Rta. 138 personas. ¿Cuántas personas consumían A, B y C? Rta. 40 personas. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? Rta. 183personas. f. ¿Cuántas personas consumían A o B? Rta. 173 personas. g. ¿Cuántas personas no consumían C ? Rta. 62 personas. h. ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A? Rta. 42 personas. 5) Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 30 personas consumían A. 85 personas consumían B. 103 personas consumían C. 10 personas consumían A y C, pero no B. 13 personas consumían A y C. 18 personas consumían B y C. 5 personas consumían A y B, pero no C a. b. c. d. e. ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? Rta. 18 personas. ¿Cuántas personas consumían los tres productos? Rta. 3 personas. ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? Rta. 12 personas. ¿Cuántas personas no consumían A? Rta. 170 personas. ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? Rta. 181 personas. 6) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia ficción. 17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos. 1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos. 4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción. ¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. ¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción? Rta. 10 alumnos. 7) Una encuesta sobre 500 niños internados en un hogar reveló los siguientes datos: 308 eran menores de diez años. 5 eran huérfanos de padre y madre. 22 eran huérfanos de padre 174 no eran menores de 10 años, ni eran huérfanos de madre o padre. 3 eran menores de diez años, huérfanos de madre y padre. 9 eran menores de diez años, huérfanos sólo de padre. 13 eran huérfanos sólo de madre. a. ¿Cuántos niños eran huérfanos de madre? Rta. 18 niños. b. ¿Cuántos niños menores de diez años eran huérfanos de madre? Rta. 8 niños. 8) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 126 personas consumían C. 124 personas no consumían A. 36 personas no consumían ni A ni B. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos. 56 personas no consumían B. a. ¿Cuántas personas consumían solamente B? Rta. 28 personas b. ¿Cuántas personas consumían A y B? Rta. 56 personas. c. ¿Cuántas personas consumían solamente A? Rta. Ninguna persona. 9) En una fábrica de 3.000 empleados, hay: 1.880 varones. 1.600 personas casadas. 380 técnicos (varones o mujeres) 150 técnicos casados 120 técnicos varones casados. 1.260 varones casados. 260 técnicos varones. a. b. c. d. ¿Cuántas mujeres no casadas trabajan en la fábrica? Rta. 780 mujeres. ¿Cuántas mujeres técnicas trabajan en la fábrica? Rta. 120 mujeres. ¿Cuántas mujeres técnicas casadas trabajan en la fábrica? Rta. 30 mujeres. ¿Cuántas mujeres trabajan en la fábrica? Rta. 1.120 mujeres. 9) Una encuesta sobre un grupo de personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 59% usan A. 73% usan B. 85% usan C. 41% usan A y B. 33% usan A y C. 47% usan B y C. 15% usan los tres productos. ¿Son atendibles los datos de la encuesta? ¿Por qué? Rta. No son atendibles porque el total de la gente encuestada sería del 111% y no del 100%.