UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚFACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA TEMA: DETERMINACIÓN DEL TIEMPO DE VACIADO EN UN TANQUE CILÍNDRICO CÁTEDRA CATEDRÁTICO ALUMNO SEMESTRE : : : : SIMULACIÓN DE PROCESOS QUÍMICOS I ING. GUEVARA YANQUI Pascual SOLANO HUANAY EDGAR. IX HUANCAYO –PERÚ 2012 INTRODUCCION El presente informe muestra los cálculos realizados para el diseño de un tanque del tipo cilíndrico, así como los datos experimentales obtenidos del tiempo de descarga de agua, así mismo se desarrollaron los modelos matemáticos y su respectiva comparación con los datos obtenidos del experimento. Finalmente se compararon los datos experimentales con los teóricos, con el objetivo de analizar las diversas razones que generan experimento. los efectos en el I. OBJETIVOS 1.1 OBJETIVOS GENERALES Determinar el coeficiente de descarga Cd para el vaciado de un tanque. Comparar el Cd teórico con el Cd experimental. 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar el área del chorro contraído Ach. Determinar la velocidad real VR. Determinar la velocidad teórica VT. Determinar el caudal real QR. Determinar el caudal teórico QT. Determinar el coeficiente de velocidad Cv. Determinar el coeficiente de contracción Cc. II. a. MARCO TEORICO PLANTEAMIENTO DEL FENÓMENO Una placa orificio es una placa plana con un orificio. Cuando se coloca en forma concéntrica dentro de una tubería ésta provoca que el flujo se contraiga bruscamente conforme se aproxima al orificio y se expanda nuevamente al diámetro total de la tubería luego de atravesarlo. La corriente que fluye a través del orificio forma una vena contracta y la rápida velocidad del flujo resulta en una disminución de presión aguas abajo del orificio. Es por ello que en la descarga de fluidos a través de sistemas de procesos industriales es necesario tomar la medición correcta y exacta del volumen de líquido que se envasa en un tiempo determinado. Es decir, la medición del caudal real que pasa por el orificio de descarga. El caudal teórico es aquel que relaciona el área del recipiente y la velocidad que tiene el fluido para un instante dado. Generalmente el caudal real se reduce en un 60% del caudal teórico y esa relación da origen al llamado coeficiente de descarga de un orificio. El tanque se asume lo suficientemente grande para que la velocidad del fluido en este sea despreciable excepto para cerrar el orificio. En la vecindad del orificio, el fluido se acelera hacia el centro del hueco, así que cuando el chorro emerge este sufre una reducción de área debido a la curvatura de las líneas de corriente, una línea de corriente típica se muestra en la Fig. 7.1 (MN) la reducción de área debido a esta curvatura local puede ser completa o cerca de la mitad del diámetro del orificio al final de la línea corriente (N) en el plano del orificio, la reducción de área es usualmente conocida como vena contracta. La presión sobre la superficie del chorro en cualquier lado es la atmosférica. Diagrama del fluido a través del orificio Considérese ahora la cabeza total de agua y los puntos M y N de una típica línea de corriente, M comienza en la superficie y N comienza en el plano de la vena contracta. De acuerdo con el teorema de Bernoulli la cabeza total en el punto M es: (UM / 2g) + (PM / W) + (ZM)................................................................ (7.1) y en N es: (UN /2g) + (PN /W) + (ZN)................................................................... (7.2) Así que si la energía es conservada y no se consideran pérdidas en la cabeza se tiene: (UM / 2g) + (PM / W) + (ZM) = (UN /2g) + (PN /W) + (ZN).......................... (7.3) En esta ecuación PM y PN son iguales (Presión Atmosférica) y UM es despreciable de acuerdo a lo asumido al principio. Además: ZM - ZN = Ho .............................................................................................(7.4) Así que desde las ecuaciones (7.3) y (7.4) la velocidad ideal en N esta dada por: (UN )2 /2g = Ho.........................................................................................(7.5) Este resultado se aplica a todos los puntos en el plano de la vena contracta y cambiando la notación a UO para la velocidad ideal en el plano de la vena contracta se tiene: (U O ) 2 2 × g = Cd .............................................................................................(7.6) la actual velocidad Uc en el plano de la vena contracta será menor que Uo, y será calculada desde el tubo Pitot con la siguiente ecuación: (U C ) 2 2 × g = H C .............................................................................................(7.7) está claro que (Ho-Hc) representa la energía perdida. La relación entre Uc y Uo se denomina coeficiente de velocidad (Cv) desde las ecuaciones 7.4 y 7.5 obtenemos: CV = U C U O = HC .....................................................................................(7.8) HO de manera similar el coeficiente de contracción Cc es definido como la relación del corte transversal de la vena contracta Ac y el corte transversal del orificio Ao: CC = AC AO ................................................................................................. (7.9) finalmente, el coeficiente de descarga Cd es definido como la relación de la actual descarga y la que seria si el chorro fuese descargado a la velocidad ideal sin reducción de área. La actual descarga esta dada por: Qr = U C × AC ................................................................................................(7.10) y si el chorro se descarga a la velocidad ideal Uo sobre el orifico de área Ao la descarga será Qt: Qt = U O × AO = 2 × g × H O × AO .........................................................(7.11) entonces, desde la definición de el coeficiente de descarga : Cd = Qr / Qt = U C × AC U O × AO .........................................................(7.12) o tenemos de cantidades medidas experimentalmente : Cd = Qr / 2 × g × H O × AO …................................................................(7.13) y relacionando las ecuaciones 7.8, 7.9 y 7.12 se obtiene que : Cd = CC ×CV ; en resumen: El coeficiente de descarga (Cd) es la relación entre el caudal real y el caudal teórico de un flujo de agua que pasa por un determinado orificio. El coeficiente de velocidad (Cv) es la relación entre la velocidad media real en la sección recta del chorro y la velocidad media lineal que se tendría sin efectos de rozamiento. El coeficiente de contracción (Cc) es la relación entre el área de la sección recta contraída de un chorro y el área del orificio por el cual pasa el fluido. Existen dos formas de hallar el coeficiente de descarga y los denominaremos Cd1 y Cd2: Cd 1 = CC ×CV . Cd 1 = AC AO × H O H O y Cd 2 = Qr Qt ; en donde Qr = M ρ × t = Masa/ (Densidad x tiempo). Qt = AO × 2 × g × H O 2.1.4 Ecuaciones matemáticas porcentaje Se presentan los modelos matemáticos para determinar los Coeficientes de descarga, velocidad y contracción, y también para determinar el de error. Para hallar estos coeficientes se requiere determinar el área del orificio, el área del chorro contraído, la velocidad real, la velocidad teórica, el caudal real y el caudal teórico. a) Teorema de Bernoulli Una forma especial de la ecuación de Euler derivada por una corriente natural se llama la ecuación de Bernoulli. p1 + ρgy1 + 1 2 1 2 ρv1 = p 2 + ρgy 2 + ρv 2 + perdidas 2 2 (1) Donde: p = la presión (N/M2) ρ = Densidad (kg/m3) g = Constante de gravitación (m/s2) y = La elevación (m) v = Velocidad (m/s) b) Ecuación de continuidad Si dentro de un tubo el caudal o flujo de un fluido que va a una velocidad media v1 es: Q = A1v1 Donde: A= Área de la sección transversal del tubo El principio de conservación de la masa en dinámica de fluidos, para flujo en una dirección es: ρ1v1 A1 = ρ 2 v 2 A2 + A ∂ ( ρv) ∂t (2) En estado estacionario el término de la derivada respecto del tiempo es cero. Un fluido de densidad constante (como los líquidos) se denomina incompresible. ρ1v1 A1 = ρ 2 v 2 A2 b. MODELOS MATEMÁTICOS (3) Se presentan los modelos matemáticos para determinar los Coeficientes de descarga, velocidad y contracción, y también para determinar el porcentaje de error. Para hallar estos coeficientes se requiere determinar el área del orificio, el área del chorro contraído, la velocidad real, la velocidad teórica, el caudal real y el caudal teórico. Área Del Orificio (B) 2 πDB B= 4 (4) Donde: B = Área del orificio (m2). DB: Diámetro del orificio (m). Área Del Chorro Contraído (B0) 2 πDB0 B0 = 4 (5) Donde: B0 = Área sección contraída del chorro (m2 ). DBo: Diámetro del chorro (m). Velocidad Teórica (Vt) Vt = ( 2gh ) Donde: 1/ 2 (6) Vt: Velocidad teórica (m/s) g: Gravedad (m/s2). h: Altura piezométrica (m). Velocidad Real (VR) V R = X ( g / 2Y ) 1 / 2 Donde: VR: Velocidad real (m/s) X: Alcance del chorro (m). Y: Distancia vertical (m). g: Gravedad (m/s2). Caudal Real (Qr) (7) V Qr = t Donde: Qr : Caudal real (m3/s). = B0 × vr (8) V: volumen experimental (m3). t: tiempo experimental(s). Caudal Teórico (Qt) Qt = B( 2gh ) Donde: Qt: Caudal teórico (m3/s). B: Área (m2). g: gravedad (m/s2). 1/ 2 (9) h: Altura piezométrica (m). Coeficiente De Descarga (CD) Q CD = r Q t Donde: CD: Coeficiente de descarga Qr: Caudal real (m3). Qt: Caudal teórico (m3). Coeficiente De Velocidad (CV) (10) V Cv = r V t Donde: (11) CV: Coeficiente de velocidad Vr: Velocidad real (m/s). Vt: Velocidad teórica (m/s). Coeficiente De Contracción (CC) B Cc = 0 B Donde: CC: Coeficiente de contracción B0: Área del chorro contraído (m2). B : Área del orificio (m2) (12) DESARROLLO DEL MODELO MATEMATICO DISEÑO DEL TANQUE D1 H1 Base de Cálculo = 3 Lt de agua Asumiendo que: Este volumen debe ser igual al volumen del tanque cónico truncado. Es un volumen apropiado para realizar las corridas de manera rápida, puesto q el diámetro del orificio de escape es muy pequeño (0.3cm) para obtener un flujo laminar. Hallando el Volumen del tanque (VT) Por regla heuristica: VT = 20%VL + V L Entonces: VT = (0.2 × 0.003) + 0.003 = 0.0036 m 3 Diámetro del tanque: Por fórmula: 2V D= T π Reemplazando valores: 2 × 0.0036 D= π 1 3 1 3 = 0.132 m = 13.2cm Por regla heuristica la altura del tanque se dará por la relación: H =2 D Reemplazando valores: H=2(0.132) = 0.264 m = 26.4 cm H=2xD Hallando el tiempo de vaciado: Siendo: Donde: S1 = área del tanque = 137 cm2 S2 = área del orificio = 0.071cm2 h0 = h1 - h2 h1 = altura inicial del liquido h2 = altura después de un tiempo de vaciado Cd = Haciendo uso de la fórmula de Altschul C d ≈ 0.59 + Re = tv = S2 1 S1 Cd 2h0 g 5.5 Re ρ × d ×ν µ Donde a la temperatura de 16 ºC: r : densidad del Líquido = 0.9988 g/cm3 d : diámetro del tubo = 0.3 cm m : viscosidad del líquido = 1.1294 x 10-2 g/cm2*s ν : velocidad del liquido en el tubo = (2gh)1/2 cm/s g : gravedad =9.81*102cm/s2 NOTA: Re ≦2100 4000 < Re < 105 (FLUJO LAMINAR) (FLUJO TURBULENTO) Corrida Nº 1 Tomando en cuenta: Diámetro del tanque (D) = 13.2 cm Altura del tanque (h)= 13 cm Diámetro del orificio de escape = 0.2 cm El volumen será: V = πD 2 π × (13.2 ) 2 h= × 13 = 1779 ml 4 4 Nº DE ALTURA VOLUMEN VELOCIDAD Re CORRIDA h 1 12 136,8 153,4405 2713,9439 2 11 273,6 146,9081 2598,4035 TRANSICIÓN 3 10 410,4 140,0714 2477,4805 4 9 547,2 132,8834 2350,3444 5 8 684 125,2837 2215,9259 6 7 820,8 117,1921 2072,8089 7 6 957,6 108,4988 1919,0482 8 5 1094,4 99,0454 1751,8433 LAMINAR 9 4 1231,2 88,5889 1566,8963 10 3 1368 76,7203 1356,9720 11 2 1504,8 62,6418 1107,9630 12 1 1641,6 44,2945 783,4481 Como vemos el rango de flujos laminares va aumentando así q seguiremos desminuyendo el diámetro del orificio de descarga. Corrida Nº 2 Tomando en cuenta: Diámetro del tanque (D) = 13.2 cm Altura del tanque (h)= 13 cm Diámetro del orificio de escape = 0.15 cm El volumen será: V = πD 2 π × (13.2 ) 2 h= × 13 = 1779 ml 4 4 Nº DE ALTURA VOLUMEN VELOCIDAD Re CORRIDA h 1 12 136,8 153,4405 2035,4579 2 11 273,6 146,9081 1948,8026 3 10 410,4 140,0714 1858,1104 4 9 547,2 132,8834 1762,7583 5 8 684 125,2837 1661,9445 FLUJO 6LAMINAR 7 820,8 117,1921 1554,6067 7 6 957,6 108,4988 1439,2861 8 5 1094,4 99,0454 1313,8825 9 4 1231,2 88,5889 1175,1722 10 3 1368 76,7203 1017,7290 11 2 1504,8 62,6418 830,9722 12 1 1641,6 44,2945 587,5861 Ahora si se obtuvo el rango de flujos laminares requeridos, así q optaremos por este diseño. TIEMPO DE EVACUACION DE UN RECIPIENTE Si se desea estimar el tiempo de vaciado de un recipiente, tv , por una abertura S1: Suponiendo que durante el vaciado del tanque C d es aproximadamente constante, el flujo saliente de líquido Q1 , será: Q1 = S1. v1 = S2. v2 = S1 .C d .γ 2 gh Dado que v2 = dh/dt, tenemos que: dh S1 = C d .γ . 2 gh dt S 2 Por lo tanto, integrando esta última expresión tenemos: hh ∫ h dh h =∫ t 0 S1 C d .γ . 2 g dt S2 2 h − h0 = h − h0 = − ( ) S1 C d .γ . 2 g .(0 − t v ) S2 1 S1 C d .γ . 2 g . t v 2 S2 Dado que el tiempo de vaciado t v se da cuando h = 0 − h0 = − tv = 1 S1 C d .γ . 2 g . t v 2 S2 h0 1 S1 C d .γ . 2 g 2 S2 h0 S2 S1 C d .γ . 2 g 4h0 2g tv = 2 tv = S2 1 S1 C d .γ Aquí, h0 = h1 – h2. De donde el tiempo de vaciado tv, vendrá dado por: tv = S2 1 S1 C d .γ 2h0 g La ecuación anterior, se simplifica afirmación: - de acuerdo a la siguiente Suponer la siguiente aproximación: d1<<d2, por ello (d1/d2)4 ≈ 0 y γ =1 tv = S2 1 S1 C d 2h0 g III. PARTE EXPERIMENTAL 1. MATERIALES Un recipiente con forma de tanque cilindrico con tubo de salida (para el fluido) Una probeta de 100 mL Un cronómetro 2. PROCEDIMIENTO Acondicionar el equipo para realizar la práctica. Llenar el recipiente con agua hasta la altura de 20 cm , teniendo en cuenta que debe estar tapado el tubo de salida del fluido. Medir el tiempo de vaciado cada cm de descenso. Medir el volumen de agua en cm de descenso. Para calcular el tiempo de vaciado en un tanque en forma de cilindro: Conecte una manguera al grifo con orificio encontradas en el Laboratorio. Determine el diámetro interno del orificio por medio del Pie de Rey Llene la cañeria hasta determinada altura (h1) y mídala. Asegurese de mantener constante el caudal de cabeza o altura de agua adicionando agua. Mida inmediatamente el diámetro del chorro de agua. (Diámetro del chorro contraído). Mida las distancias X y Y (Alcance y altura del chorro respectivamente), con la ayuda de una huincha. 3. DATOS EXPERIMENTALES Altura del recipiente (H) = 13 cm Diámetro del recipiente (d2 )= 13.2 cm Temperatura del agua = 16ºC g = aceleración de la gravedad =980 cm2/s N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (s) 12.5 13.7 24.4 29.3 39.2 52.4 64 78 92 107 121 136 141 147 150 Altura Volumen (cm) (ml) 24 137 23 137 22 137 21 137 20 137 19 137 18 137 17 137 16 137 15 137 14 137 13 137 12 137 11 137 10 137 IV. CÁLCULOS REALIZADOS • GRÁFICO DEL SISTEMA • CALCULOS TEÓRICOS: Cálculo de la velocidad real (vR) V R = X ( g / 2Y ) 1 / 2 VR = 10cm 9.81 × 10 2 cm / s 2 / 2 × 0.3 VR = 121.31cm / s • Calculando la velocidad teórica (Vt) ( ) 1/ 2 Vt = ( 2gh ) 1/ 2 Vt = 2 × 9.81 × 10 2 cm / s 2 × 13cm Vt = 159.7cm / s ( ) 1/ 2 • Calculando el caudal real (Qr) V Qr = = B0 × vr t Qr = 1779 1212 .7049 Qr = 1.624 cm3 / s = 0.1624 ×10 −5 m3 /s • Caudal teórico (Qt) Qt = B( 2gh ) 1/ 2 2 πDB π ( 0.3) 2 2 B= 4 = 4 = 0.0176cm = S2 Luego: Qt = 0.0176 ( 2 × 9.81 × 10 2 × 13) 1/ 2 Qt = 2.121cm3 / s = 0.2121 ×10 −5 m3 / s • Coeficiente de descarga Q Cd = r Q t 1.624 Cd = = 0.77 2.121 • Coeficiente de velocidad V Cv = R V t 121.31 Cv = = 0.76 159.7 • Coeficiente de contracción B Cc = 0 B Donde: 2 πDB0 B0 = 4 π × 0.32 2 = = 0.080 4 Entonces: 0.080 Cc = = 1.13 0.071 Hallando el tiempo de vaciado: Siendo: tv = S2 1 S1 Cd 2h0 g Donde: S1 = área del tanque = 137 cm2 S2 = área del orificio = 0.0176cm2 h0 = h1 - h2 h1 = altura inicial del liquido h2 = altura después de un tiempo de vaciado Cd = 1 por ser flujo laminar Re = ρ × d ×ν µ Donde a la temperatura de 16 ºC: : densidad del Líquido = 0.9988 g/cm3 d : diámetro del tubo = 0.15 cm : viscosidad del líquido = 1.1294 x 10-2 g/cm2*s ν : velocidad del liquido en el tubo = (2gh)1/2 cm/s g : gravedad =9.81*102cm/s2 NOTA: Re ≦2100 4000 < Re < 105 (FLUJO LAMINAR) (FLUJO TURBULENTO) CÁLCULOS EXPERIMENTALES: Nº de Corrid a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tiempo (s) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Altura h (cm) 137 273,8 410,6 547,4 684,2 821 957,8 1094,6 1231,4 1368,2 1505 1641,8 Volume n (ml) 1,45870 1,07780 1,12350 1,08540 1,02540 0,98740 0,86440 0,78450 0,65747 0,54687 0,50145 0,49870 Caudal Q (cm3/s) 0,16397 0,03254 0,05057 0,03559 0,01089 -0,00551 -0,06329 -0,10541 -0,18212 -0,26212 -0,29977 -0,30216 Ln(Q) 1,07918 1,04139 1,00000 0,95424 0,90309 0,84510 0,77815 0,69897 0,60206 0,47712 0,30103 0,00000 Ln(h) 364 502 601 711 769 864 915 1008 1084 1132 1178 1245 Graficando Log h vs Log Q tenemos Log Q vs Log H 0,2 0,1 0,0 Log Q -0,1 0,0 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 Log H 0,2 y = 0,4413x - 0,3965 R2 = 0,8931 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 CONCLUSIONES Se determinó el modelo matemático para el cálculo de tiempo de vaciado. Se logro calcular y analizar la determinación del tiempo de descarga en un flujo laminar en un tanque cilíndrico, y esta se comprobó con el valor de Reynolds. Se diseño la simulación de los sistemas en el software LabVIEW 7.1, tomamos como fluido problema el agua, se tomo puntos para calcular el volumen y tiempo. Se determinó el coeficiente de descarga el cual es equivalente a 0.77 cuando el caudal es constante. Se determino el coeficiente de velocidad (Cv) que es igual a 0.76. El caudal teórico es 2.121 cm3/seg y el experimental es 1.624 cm3/seg. La velocidad teórica es 159.7 cm / seg y el experimental es 121.31 cm /seg. El coeficiente de contracción es: 1.13 RECOMENDACIONES Estudiar bien los modelos de diseño para cada tipo de tanque. Tomar los tiempos y volúmenes de la manera mas precisa. Realizar el experimento a temperatura constante. No deben de existir impurezas en el tanque. Al momento de diseñar el tanque se recomienda dar un 10 % del volumen hallado para un mejor experimento. BIBLIOGRAFIA • LOZANO ANTONIO MANUEL, “LabView 6.1 Programación Gráfica por el control de Instrumentación”, Editorial Paraninfo, Año 2001, Madrid – España Cap: I, II, III, IV. • MATAIX CLAUDIO, “Mecánica de Fluidos y Maquinas Hidráulicas”, Editorial Harla, 2da Edición, México, Pág. 654 Apéndice 7. • ING. BELTRAN LAZARO ENRIQUE; ING. GUEVARA YANQUI VICTOR, Informe Final del Proyecto de Investigación “Determinación del tiempo de descarga de un fluido newtoniano de un deposito cilíndrico en estado estacionario” , 1997 • O. LEVENSPIEL “Fenómenos de fluidos e intercambio de calor” Editorial Reverte S.A. España 1993 • • • • • • http//:www.antartic.cl http//:www.combustionindustrial.com/combustibles.htm#d http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm http://www.albaiges.com/fisica/depositos.htm http://www.gas-training.com/Articulos/medicion.htm Porqué la medición del gas natural por instrumentos de caja orificio. http://www.frh.utn.edu.ar/investigacion/aero/Albun_Fotos/Placaorificio_helesha w.htm Modelo de flujo en placa orificio. NOMENCLATURA Cd d1 d2 ρ g H P1 y P 2 Q Re S1 S2 tv µ v1 y v2 v Coeficiente de descarga Diámetro del tubo (cm) Diámetro del recipiente (cm) Densidad del fluido (g / cm3) Aceleración de la gravedad (cm2/s) Altura del recipiente (cm) Presiones de los puntos 1 y 2 respectivamente Caudal (cm3/s) Numero de Reynolds Área del espejo del agua (cm2) Área del orificio de fuga (cm2) Tiempo de vaciado (s) Viscosidad del fluido (kg/m.s) Velocidades del fluido en los puntos 1 y 2 respectivamente velocidad del fluido (m/s)
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