DECISIONES GERENCIALES II Bibliografía BásicaCuantitativos para los Negocios. Barry Render y Otros (libro texto) • Métodos Cuantitativos para Administración. Frederick Hiller y otros. • Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. F. J. Gould y otros. • Investigación de Operaciones. Wayne Winston. • Investigación de Operaciones. Handy Taha. • Programación Lineal: Elementos Básicos y Problemas Resueltos. Marisela Hernández. • Métodos LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES Estrategia de Evaluación Se realizarán cuatro (4) pruebas presénciales que aportarán el 80% de la calificación total de cada estudiante. Igualmente los estudiantes entregarán un informe escrito con el análisis de las interpretaciones de casos propuestos, artículos, o cualquier otro material que el profesor crea conveniente, el cual será expuesto y aportará el 20% para completar la nota total individual de los estudiantes. La asistencia a clases es estrictamente obligatoria, sobre todo a las exposiciones, la cuales se desarrollan en el transcurso del semestre. La ausencia sin justificación a cada exposición será motivo suficiente para restar cinco (5) puntos sobre la exposición inherente a cada estudiante. No hay recuperativo, solo diferido debidamente justificado y comprobado con certificación de CAMIULA si fuese el caso. LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES Un administrador puede incrementar la toma de decisiones aprendiendo más sobre metodología cuantitativa y comprendiendo mejor su contribución al proceso de toma de decisiones. Aquel administrador que se familiarice con los procedimientos cuantitativos de toma de decisiones estará en mucha mejor posición para comparar y evaluar las fuentes cualitativas y cuantitativas, y finalmente de combinar ambas, a fin de tomar la mejor decisión posible. Taylor. Publicación del primer libro sobre Investigación de Operaciones en el año 1957 por parte de Churchman. y Arnoff. gran parte de estos equipos multidisciplinarios continuaron investigando procedimientos cuantitativos par la TOMA DE DECISIONES. Ackoff. Años más tarde. a principios del siglo pasado. cuando se formaron grupos para resolver problemas mediante métodos científicos. puso las bases para el uso del los métodos cuantitativos en la administración. Tres hechos llevaron al desarrollo y uso de los métodos cuantitativos: • • • Descubrimiento por parte de George Dantzing en 1947 del método simplex para la resolución de problemas de programación lineal. Desarrollo del procesador electrónico. .LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES La revolución de la Administración Científica que inició Frederick W. pero se considera que el uso de los métodos cuantitativos se originó a mediados de los cuarenta. ROL DEL ANÁLISIS CUALITATIVO Y CUANTITATIVO Estructuración del Problema Análisis del Problema Definir el problema Identificar alternativas Determinar los criterios Análisis Cualitativo Resumen y Evaluación Análisis Cuantitativo Toma de Decisión . Las habilidades en el procedimiento cuantitativo sólo pueden aprenderse mediante el estudio y el uso de los métodos cuantitativos. si el administrador ha tenido poco experiencia en problemas similares. se puede poner mucho énfasis en el análisis cualitativo. Si el administrador ha tenido experiencia en problemas similares. Sin embargo. entonces un análisis cuantitativo puede resultar de especial importancia en la decisión final del administrador. El analista se concentra en los hechos o los datos cuantitativos asociados con el problema y desarrollará expresiones matemáticas que describan los objetivos. incluye la “intuición” del administrador en relación con el problema. o si el problema es relativamente simple. para así recomendar un curso de acción . los límites y otras relaciones que existen dentro del problema.LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES El análisis cualitativo se basa principalmente en el juicio del administrador. o si el problema es lo suficientemente complejo. 4. 9. 5. 7. 3. 2.LA GESTIÓN DE TOMA DE DECISIONES Métodos más utilizados 1. Programación Lineal Programación Lineal Entera Gerencia de Proyectos (PERT-CPM) Modelos de Inventarios Modelos de Líneas de Espera (colas) Simulación por Computadora Análisis de Decisiones Pronósticos Teoría de Juegos . 8. 6. 2. En algunas aplicaciones. …). Este es el tipo de situación que estudia la programación entera. esto es un número entero (0. Tipos de problemas de programación entera • Programación entera pura Pueden ser con variables binarias (valores de 0 o 1) • Programación entera mixta . 1. las variables de decisión tendrán sentido si y sólo si tienen valores enteros. máquinas. Por ejemplo. algunas veces tendran un valor fraccionario (por ejemplo. 2¾ o 4. puede ser necesario asignar personas. Ninguna de las rectricciones de un modelo de programación lineal prohibe valores fraccionarios.TEMA I PROGRAMACIÓN CON ENTEROS (PE) En una solución óptima para programación lineal a veces las variables de decisión tendrán un valor entero. o vehículos a actividades en cantidades enteras.11353). Sin embargo. PROGRAMACIÓN CON ENTEROS (PE) Ejemplo-problema TBA Airlines es una compañía regional pequeña que se especializa en vuelos cortos en aviones pequeños. El asunto básico que ahora enfrenta la administración es si comprar más aviones pequeños para agregar algunos vuelos o comenzar a desplazarse al mercado nacional. La compañía ha tenido un buen desempeño y la administración decidió ampliar sus operaciones. comprando algunos aviones grandes para nuevos vuelos a través de todo EEUU (o ambos). La información pertinente se encuentra en la siguiente tabla: Avión pequeño Ingreso neto anual por avión Costo de compra por avión Número máximo de compra $1 millón $5 millones 2 Avión grande $5 millones $50 millones Sin máximo 100 millones Capital disponible ¿Cuántos aviones de cada tipo se deben comprar para maximizar la ganancia anual neta total? . pero el más importante es cual estrategia es probable que sea más redituable. Entraran muchos factores en la decisión final de la administración. entonces. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad. . de modo que el nivel de cada actividad es el número de aviones de ese tipo comprados. se puede suponer que las actividades pueden realizarse a niveles fraccionarios. debe emplearse la Programación Entera (PE) en lugar de la Programación Lineal (PL). que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. las actividades son las compras de aviones de tipos diferentes. Así. es necesario violar el supuesto de divisibilidad. Si se viola esta suposición porque el problema real requiere que las variables de decisión tengan valores enteros.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS PL vs. PE Suposiciones Básicas de un PL Suposición de divisibilidad de Programación Lineal (PL): las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor. estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Para el problema de TBA Airlines. incluso valores fraccionarios. Dado que el número comprado tiene que tener un valor entero. R. O.0). y ≥ 0 X.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE La formulación de Programación Entera de este problema es exactamente la misma que la de Programación Lineal. (2.1). 1) y (0. S. y son enteros Las únicas soluciones factibles para este problema entero son las soluciones enteras que se encuentran en la región sombreada. U = x + 5y S. la forma algebraica del modelo de programación entera es: F. (1.2). Por lo tanto. . es decir (0.0). Max. (0. (2. salvo por una diferencia crucial: se agregan restricciones que requieren que las variables de decisión tengan valores enteros. 1). (1.0). 1) 5x + 50y ≤ 100 2) x ≤ 2 3) x. . entonces la solución óptima de la relajación PL será también la solución óptima del PE. la mayoría de los problemas de Programación Entera se resuelven mediante el uso de la técnica de ramificar y acotar.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE Método de RAMIFICAR Y ACOTAR En la práctica. Antes de explicar como funciona la ramificación y el acotamiento es necesario hacer la siguiente observación elemental. pero importante: si resuelve la relajación PL de una PE pura y obtiene una solución en la cual las variables son números enteros. Los métodos de ramificar y acotar encuentran la solución óptima para una PE mediante la enumeración eficiente de los puntos en la región factible de un subproblema. ramificamos respecto a la variable y y creamos los siguientes dos subproblemas: Subproblema 2: Subproblema 1 + la Restricción y ≥ 2 Subproblema 3: Subproblema 1 + la Restricción y ≤ 1 .8. (¿Por qué no puede tener una solución factible para PE. y y = 1. Con esto en mente. Esto significa que el valor óptimo de z para el PE no puede ser mayor que 11. * Luego procedemos a dividir la región factible del problema relajado en un intento de buscar más información que me ayude a optimizar el problema. en este caso seleccionamos y (además es la única variable fraccionada). Ahora obsérvese que cada punto en la región factible para el PE tiene que ser y ≤ 1. o bien y ≥ 2. x = 2.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE Método de RAMIFICAR Y ACOTAR Pasos: * La solución óptima para el problema relajado es: z = 11. Para ello escogemos arbitrariamente cualquier variable fraccionaria de los valores que nos haya otorgado la función objetivo. 1 < y < 2). ni el subproblema 3 incluyen puntos con y = 1. Encontramos la solución final en el Método de Ramificar y Acotar. * Si los resultados de los subproblemas fuesen fraccionados. cuando los subproblemas otorguen resultados enteros y en donde se optimice z. . * En este problema relativamente sencillo resulta que la solución al PE se obtuvo al desarrollar el subproblema 2.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Solución de TBA Airlines por PE Método de RAMIFICAR Y ACOTAR Obsérvese que ni el subproblema 2. se continua ramificando y acotando hasta encontrar una solución final. Esto significa que la solución óptima para la relajación PL no puede volver a aparecer cuando resolvamos el subproblema 2 o el subproblema 3. Procedemos entonces a acotar el problema.8. Las variables binarias son variables cuyos únicos valores posibles son 0 y 1.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Tipos de problemas de PE Los problemas de Programación Lineal Pura son aquellos donde todas las variables de decisión tienen que ser enteros. Normalmente en más difícil resolver un PE que resolver la relajación PL de un PE. se podría esperar resolver un PE mediante un algoritmo que pasara una solución entera factible a una solución entera mejor. Los problemas de Programación Entera Mixta sólo requieren que algunas variables tengan valores enteros (de modo que el supuesto de divisibilidad se cumple para el resto). Los problemas de Programación Entera Binaria son aquellos donde las variables de decisión restringidas a valores enteros. 0 o 1. Importarte: de manera análoga al algoritmo simplex. están además restringidas a ser variables binarias. Por desgracia no se conoce tal algoritmo. . También estos problemas pueden ser puros y mixtos. Muchas aplicaciones de Programación Entera (ya sea pura o mixta) restringen aun más las variables enteras a sólo dos valores. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera. una silla requiere e 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. y cada silla contribuye con 5 dólares a la utilidad. . Cada tabla contribuye con 8 dólares a la utilidad. Formule y resuelva por PE a fin de maximizar la utilidad por el método de ramificar y acotar. Actualmente se dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Problema resuelto en clase La carpintería de Juanita fabrica mesas y sillas. la inversión 2 un VAN de 22000 dólares. la inversión 3. 7000 dólares. Formule un PE cuya solución dirá a esta empresa como maximizar el VAN global obtenido de las inversiones 1-4. La inversión 1 proporcionará un valor actual neto (VAN) de 16000 dólares. y la inversión 4 un VAN de 8000 dólares. . Cada inversión requiere cierto flujo de caja en el momento actual: la inversión 1. 5000 dólares. la inversión 3 un VAN de 12000 dólares. y la inversión 4.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Ejemplo-problema Cierta empresa considera cuatro inversiones. la inversión 2. Se dispone de 14000 dólares para la inversión. 4000 dólares. 3000 dólares respectivamente. 4) . Esto conduce a definir una variable 0-1.r. y x2 = 0 si no se realiza. empezamos con la definición de una variable para cada decisión que esta empresa debe tomar.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Solución al PEB Como en las formulaciones de los PL. 4 ) = 0 de otra manera Por ejemplo.s. x2 = 1 si se realiza la inversión 2. Planteamiento formal: Max = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8x4 s. 2. 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14 xj = 0 o 1 (j = 1. 2. 3. 1 si se realiza la inversión j xj ( j = 1. 3. También se puede resolver la relajación PL (y otros subproblemas) mediante inspección. Para darse cuenta de ello. 2. Ya que cada variable debe ser igual a 0 y 1.S. Para resolver cualquier subproblema que se presenta en un problema de mochila. n) Cuando se resuelven problemas de mochila mediante el método de ramificar y acotar. Luego . proporcionará una rama xi = 0. calcule todas las razones ci /ai. observe que se puede interpretar ci /ai como el beneficio que obtiene el artículo i por cada unidad del recurso que usa el artículo i. los mejores artículos tienen mayores valores ci /ai y los peores artículos tienen valores mas pequeños de ci /ai. que tiene solamente una restricción. la ramificación con respecto xi. tal como el ejemplo anterior. Así. y otra rama con xi = 1. a1x1 + a2x2 + … + anxn ≤ b Xi = 0 o 1 (i = 1. … . se simplifican enormemente dos aspectos del enfoque de ramificar y acotar.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Solución al PEB → Continuación Cualquier PE.R. Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn S. se llama problema de la mochila. 3. 7) .PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Solución al PEB → Continuación coloque el mejor artículo en la mochila. Ramifique y acote de acuerdo a los artículos más rentables hasta obtener la solución candidato aceptable. Ejercicio: Max = 40x1 + 80x2 + 10x3 + 10x4 + 4x5 + 20x6 + 60x7 s.s. 5. Después coloque el artículo que quedo en el segundo lugar en la mochila. 2. Entonces llene la mochila con la mayor cantidad posible de este artículo. 40x1 + 50x2 + 30x3 + 10x4 + 10x5 + 40x6 + 30x7 ≤ 100 xj = 0 o 1 (j = 1.r. 4. Siga así de esta manera hasta que el mejor artículo que quede rebose la mochila. 6. a estas variables se les llama variables fijas. para alguna variable xi. tal que xi = 0 o xi = 1.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita El método de la enumeración implícita se usa frecuentemente para resolver PE 0-1. en esa misma medida se van descartando variables por ser tomadas en cuenta en el desarrollo de dicha ramificación. De tal manera que para llegar a cada nodo. En la enumeración implícita se aplica el hecho de que cada variable debe ser igual a 0 o 1 para simplificar las componentes de ramificar y de acotar a fin de determinar eficazmente cuándo un nodo no es factible. Cada rama de árbol se especificará. El árbol que se utiliza en la enumeración implícita es similar a los árboles que se utilizaron para resolver problemas 0-1 tipo mochila. y las restantes que queden por fijar se les denomina variables libres. . se deben especificar algunas de las variables. En la medida en que se va ramificando el árbol. En este caso.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita La idea de este método en general. una especificación o asignación de valores 0 o 1 de todas las variables libres se denomina integración) al observar cada restricción y al asignar el mejor valor a variable libre. sabemos que el nodo no tiene un completamiento factible. Para la asignación de estos valores (0-1) resulta de gran utilidad a la siguiente tabla: TIPO DE RESTRICCIÓN SIGNO DEL COEFICIENTE DE LA VARIABLE LIBRE EN LA RESTRICCIÓN VALOR ASIGNADO A LA VARIABLE LIBRE EN LA VERIFICACIÓN DE FACTIBILIDAD ≤ ≤ ≥ ≥ + + - 0 1 1 0 Si la asignación de una determinada integración a un nodo no satisface alguna restricción. es la verificación de si un nodo tiene una integración factible (para cualquier nodo. el nodo no puede proporcionar la solución óptima para la PE original. . PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita Ejemplo: Utilice la enumeración implícita para resolver el siguiente PE 0-1: Max z = -7x1 – 3x2 – 2x3 – 4x4 – 2x5 SSR: 1) -4x1 – 2x2 + x3 – 2x4 – x5 ≤ -3 2) -4x1 – 2x2 + 4x3 + x4 – 2x5 ≤ -7 3) xi = 0 o 1 (i = 1. aplicando y verificando los valores de las variables libres de acuerdo a la tabla suministrada anteriormente en cada restricción. b) Ahora verificamos si el nodo 1 tiene una integración factible. 3. . x2 = 0. La mejor integración del nodo 1 es x1 = 0. 4. 2. x3 = 0. todas las variables son libres. x4 = 0. que no es una solución factible (viola ambas restricciones). x5 = 0. 5) Pasos para la solución: a) Al inicio (el nodo 1). Primero verificamos si la mejor integración del nodo 1 es factible. La regla LIFO (del inglés last-in-first-out) señala esta conveniencia. al pasar el problema al pizarrón se presentaron errores de trascripción. La respuesta final es x1 = x3 = 1. procedemos a ramificar con respecto a una variable libre: seleccionamos cualquiera arbitrariamente. que luego señalará de manera práctica.PROGRAMACIÓN CON ENTEROS Programación Entera Binaria Método de Enumeración Implícita c) Si en realidad el nodo 1 tiene una integración factible. Nota: estimados estudiantes. x2= 4x4 = 2x5. d) Se sigue el mismo procedimiento para cada nodo restante. . Ver solución gráfica en la web. ya que no asistieron todos por motivos de las entrevistas programadas. e) Importante: en la ramificación y resolución de los nodos se le debe dar prioridad a la resolución del último nodo graficado (esto también es aplicable a los métodos de ramificación explicados anteriormente). De todas maneras esta clase se repetirá (18/04/06). Es decir el problema que deben resolver es el que se encuentra en la diapositiva anterior (compárenla con la que tienen en el cuaderno). Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine. Introducción: Las colas (líneas de espera) son parte de nuestra vida cotidiana.DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORÍA DE COLAS 2. tener que esperar no es sólo una pequeña molestia personal. enviar un paquete por correo.3 Modelo de colas con un servicio único. 2.1 Introducción. 2.4 Modelo de colas con servicio múltiple. . pagar víveres. pero aún nos molestamos con las esperas prolongadas. etcétera. efectuar un depósito bancario.2 Estructura del sistema. 2. obtener comida en la cafetería. comenzar un recorrido en un parque de diversiones. Sin embargo. La cantidad de tiempo que la población de un país desperdicia esperando en las colas es un factor primordial tanto de la calidad de vida como de la eficiencia de un país. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera. Los dos elementos que definen la zona de espera son la estructura de la línea y la regla de prioridad. o de una porción de una población determinada. los pedidos de duración más corta son los primeros en atenderse. por ejemplo el conjunto de camiones que deberán cargarse en una empresa. por ejemplo la población de una región dada. las llegadas anteriores ceden su lugar a los casos de urgencia.DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORÍA DE COLAS Estructura del sistema: a) Insumo. . Por tanto. b) Sistema de servicio. En éste se distinguen dos zonas: la zona de espera y la zona de servicio. el número de llegadas puede definirse por una distribución aleatoria. etc. La regla de prioridad puede ser: la primera llegada es la que se atiende primero. La población que deberá atenderse puede venir de una porción de la población indefinida. Son dos los elementos que constituyen los insumos del sistema: la población y la tasa de llegadas. La línea de espera o “cola” se caracteriza por la longitud (infinita o limitada) y por su número (una sola línea o varias). La tasa de llegada del insumo puede ser constante (las piezas que se desplazan por una línea de montaje) o variable (la llegada de pacientes a una clínica de emergencias). etc. de salas de emergencia y de estaciones de servicio.DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORÍA DE COLAS c) Producto. Modelos de líneas de espera. a) Línea única y canal único de servicio c) Varias líneas y canales múltiples de servicios b) Línea única y canales múltiples de servicios d) Línea única y canal único con etapas múltiples . y la que no volverá (productos terminados no defectuosos). En cuanto al producto se distinguen dos categorías: la que volverá al sistema y reconstituirá así parte de la población que deberá atenderse (clientes de sucursales bancarias.). en forma automática se “atrae” a un cliente en espera. Los clientes se generan en una fuente. como el funcionamiento de una oficina de correos. o determinísticos. si la instalación está ocupada. . la instalación se vuelve inactiva hasta la llegada de un nuevo cliente. el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas. de los clientes sucesivos. o esperar en una cola. como en la llegada de solicitudes a las entrevistas de trabajo. como en el área de reserva entre dos máquinas consecutivas. Desde el punto de vista del análisis de las colas. los tiempos entre llegadas y servicio pueden ser probabilísticos. El tamaño de la cola desempeña un papel en el análisis de las colas.TEORÍA DE COLAS Elementos de un sistema de colas Los actores principales en una línea de espera o cola son el cliente y el servidor. Por lo general. Si la cola está vacía. si lo hay. y puede ser finito. y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente. Cuando en una instalación se termina un servicio. o puede se infinito. de la cola. Al llegar a la instalación pueden recibir servicio de inmediato. como en las instalaciones de pedidos por correo. Por ejemplo. primero en servirse. que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola. El comportamiento de los clientes en espera juegan un papel en el análisis de las líneas de espera. es un factor importante en el análisis de los modelos de colas. una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo. Los clientes humanos se pueden saltar de una cola a otra. . También pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado. La fuente en donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que lleguen al servicio (por ejemplo. las llamadas que llegan a una central telefónica). primero en servirse. También. los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales. También. los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad.TEORÍA DE COLAS Elementos de un sistema de colas La disciplina de la cola. las máquinas que piden el servicio de mantenimiento). y de dar servicio en orden aleatorio. tratando de reducir la espera. La disciplina más común es la de primero en llegar. Entre otras disciplinas están último en llegar. y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio. El modelo es la base para deducir modelos especializado de Poisson que se verán más adelante. Esta clase de análisis contrasta con el comportamiento transitorio (de calentamiento) que prevalece durante el inicio del funcionamiento del sistema. que se alcanza después de que el sistema ha funcionado durante un tiempo suficientemente largo.TEORÍA DE COLAS Modelo Generalizado de Cola de Poisson La siguiente teoría y fórmulas se derivan del modelo general de cola en donde se combinan llegadas y salidas. Una razón para no describir el comportamiento transitorio en esta parte del programa es su complejidad analítica. El desarrollo de este modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo. o de estado estable. Otra es que el estudio de la mayor parte de los casos de líneas de espera sucede bajo condiciones de estado estable. de la cola. El modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegadas como de salidas dependen del estado. basándose en la hipótesis de Poisson: los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribución exponencial. . L = número esperado de clientes en el sistema. Se presentan estas cuatro medidas y su símbolos.TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Definición de las medidas de desempeño 1. incluye a quienes están en el servicio (el símbolo L proviene de longitud) Lq = número esperado de clientes en la cola. . ¿Cuánto suelen esperar estos clientes? Estas dos medidas expresadas en forma de interrogantes. W = tiempo de espera esperado en el sistema (incluye el tiempo de servicio) para un cliente individual (el símbolo W proviene de tiempo de espera) Wq = tiempo de espera esperado en la cola (excluye el tiempo de servicio) para un cliente individual. por lo común se expresan en términos de sus valores esperados (en el sentido estadístico). Estas dos formas de definir los dos tipos de medidas proporcionan cuatro medidas de desempeño. ¿Cuántos clientes suelen esperar en el sistema de colas? 2. Para hacer esto. que excluye a los clientes que están en el servicio. es necesario aclarar si sólo se están contando con clientes mientras esperan en la cola (previo al iniciar el servicio) o mientras se encuentran en cualquier punto en el sistema de colas (ya sea en la cola o en servicio). = Lq + λ /μ . La fórmula anterior (L = λ W). otra versión de esta fórmula es: Lq = λ Wq Al combinar las relaciones anteriores también se obtiene la siguiente relación L = λ W = λ (Wq + 1/ μ) directa entre L y Lq. también se aplica a la relación entre Lq y Wq. Lq y Wq La única diferencia entre W y Wq es que W incluye el tiempo esperado de servicio y Wq no. μ = tasa media de servicio. Por lo tanto. Quizá la fórmula más importante en la teoría de las colas proporciona una relación directa entre L y W.TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Relaciones entre L. W. Así 1/μ es el símbolo de tiempo esperado de servicio. donde W = Wq + 1/ μ. Esta fórmula es L = λ W. donde λ = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas. la suma de distribuciones exponenciales independientes) GI = Distribución general del tiempo entre llegadas G = Distribución general del tiempo de servicio Entre la notación de disciplinas de cola están: PLPS = Primero en llegar. distribución exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio) D = Tiempo constante (determinístico) Ek = Distribución Erlang o gamma de tiempo (o bien. primero en ser servido ULPS = Último en llegar.TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Las notaciones normales o estándar para representar las distribuciones de llegadas y de salidas son: M = Distribución de Markov (o de Poisson) de las llegadas o de las salidas (o lo que es igual. cualquier tipo de disciplina) . primero en ser servido SEOA = Servicio de orden aleatorio DG = Disciplina en general (es decir. también les preocupan los peores escenarios. W.TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Uso de las probabilidades como medidas de desempeño Con frecuencia los gerentes se interesan en más de lo que ocurre en promedio en un sistema de colas. Usando la notación: Pn = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n = 0. Lq y Wq no excedan valores meta. suponga que la meta es no tener más de tres clientes en el sistema al menos 95% del tiempo. ¿Cuál será el máximo de clientes en el sistema (o en la cola) que sólo será excedido una pequeña fracción de tiempo (esto es. Aparte de querer que L. El alcance de ese objetivo requiere del uso de la distribución de probabilidad del estado estable de estas cantidades (el número de los clientes y el tiempo de espera). con una pequeña probabilidad)? ¿Cuál será el máximo tiempo de espera de los clientes en el sistema (o en la cola) que sólo será excedido una fracción de tiempo? Un gerente podría especificar que el sistema de colas debe estar diseñado de forma tal que esos números máximos no exceden ciertos valores. 1. 2.95 . Por ejemplo. …) Para cumplir con esta meta se requiere que P0 + P1 + P2 + P3 ≥ 0. alcanzar la meta requiere que P(W ≤ 2 horas) ≥ 0.TEORÍA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Uso de las probabilidades como medidas de desempeño Del mismo modo.95 Si por otro lado el objetivo está planteado en términos del tiempo de espera en la cola. (Así. Sea la variable aleatoria W el tiempo de espera en el sistema para un cliente individual mientras el sistema está en una condición de estado estable. W es el valor esperado de esta variable aleatoria. entonces se usaría del mismo modo otra variable aleatoria W q que representa este tiempo de espera. Se dispone de fórmulas para calcular al menos algunas de esta probabilidades para varios modelos de colas considerados más adelante.) Usando la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. suponga que otra meta es que el tiempo de espera en el sistema no exceda a dos horas al menos para el 95% de los clientes. . y que no hay límite para la cantidad máxima del sistema y también supone una fuente de capacidad infinita. significa que el modelo obedece a una disciplina general (ver teoría). y la tasa de servicio es μ clientes por unidad de tiempo. En el primer modelo no se establece límite para la cantidad máxima en el sistema.TEORÍA DE COLAS Modelos con un servidor En esta sección se presentan dos modelos para el caso en que hay un solo servidor (c = 1). . y en el segundo se supone un límite finito del sistema. Las llegadas suceden con frecuencia de λ clientes por unidad de tiempo. Ambos modelos suponen una fuente de capacidad infinita. DG/∞/∞. Modelo (M/M/1) : (DG/∞/∞) El modelo M/M/1 es el modelo de un servidor que supone que ambos tiempos entre llegadas y servicios tienen distribución exponencial. A esta cantidad ρ se llama factor de utilización. o número esperado de terminaciones de servicio por unidad de tiempo. Un nuevo símbolo para esta sección es ρ=λ/μ donde ρ es la letra griega ro. Se usarán los símbolos claves introducidos anteriormente: λ = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas.TEORÍA DE COLAS Modelos con un servidor Esta sección se centra en los sistemas de colas básicos que tiene un solo servidor. o número esperado de llegadas por unidad de tiempo. . y representa la fracción de tiempo promedio que utiliza el servidor para atender a los clientes. μ = tasa media de servicio (para un servidor normalmente ocupado). Entonces podemos decir que 1/λ es el tiempo esperado entre llegadas (el tiempo promedio entre la llegada del clientes consecutivos) y 1/μ es el tiempo esperado de servicio para cada cliente. Dos fórmulas equivalentes del número esperado de clientes en el sistema son L = ρ/(1 .1/ μ = [μ – (μ – λ )]/ [μ (μ – λ)] Entonces Wq = λ/[μ (μ – λ)] Al aplicar la otra versión de Lq = λ Wq.ρ)] = 1/(μ – λ) Por lo tanto el tiempo esperado de espera en la cola (incluye el tiempo de servicio) es Wq = W – 1/ μ = 1/(μ – λ) .ρ) . 2.ρ)] = 1/[ μ (1 .ρ) = λ/(λ – μ) Debido a la fórmula L = λ W.Modelos con un servidor M/M/1 (DG/∞/∞) Suposiciones 1. el tiempo de espera previsto en el sistema es W = L / λ = ρ/[ λ (1 . 3.El sistema de colas tiene un servidor.Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con media 1/μ..Los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial con media 1/λ... el número esperado de clientes en la cola (excluye clientes en servicio) es Lq = λ Wq = λ2/[μ (μ – λ)] = ρ2/(1 . Modelos con un servidor M/M/1 (DG/∞/∞) Ejemplo 1 A un cajero automático sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: 1.- ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno? Se considera que un vehículo que está ocupado en el cajero automático, no está esperando en la cola. 2.- Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo de servicio? 3.- En promedio, ¿cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático? 4.- ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero automático se encuentre vacío? Modelos con un servidor M/M/1 (DG/∞/∞) Ejemplo 1 Para responder la interrogante anterior es necesario plantear el siguiente modelo de probabilidad para el sistema de colas con un servidor: Pn = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n = 0, 1, 2, …) Si ρ = λ / μ, la ecuación de Pn en el modelo generalizado de colas con un servidor se reduce a: Pn = ρn P0 Para determinar el valor de P0 se usa la siguiente identidad: P0 (1 + ρ + ρ2 + …) = 1 Suponiendo que ρ < 1, la serie geométrica tiene la suma finita (1/(1- ρ)), y entonces P0 = 1- ρ, siendo que ρ < 1. La fórmula general de Pn es entonces la de la siguiente distribución geométrica: Pn = (1 – ρ) ρn, n = 1, 2, … (ρ <1) Modelos con un servidor M/M/1 (DG/N/∞) Este modelo difiere del modelo M/M/1 (DG/∞/∞) en que hay un límite de N para la cantidad de clientes en el sistema (longitud máxima de la cola = N – 1), es decir cuando hay presente N clientes en todo el sistema, todas las llegadas se regresan y el sistema las pierde para siempre. Como en el modelo anterior, suponemos que los tiempos entre llegadas son exponenciales con rapidez λ y que los tiempos de servicio son exponenciales con rapidez μ. Cuando la cantidad de clientes en el sistema llega a N no se permiten más llegadas, y entonces λ, n = 0, 1, …, N -1 λn = 0, n = N, N + 1, … μn= μ, n = 0, 1, …, ρ=1 [(1 – ρ) ρn] / (1 – ρN + 1). n = 0. ρ≠1 . …. 1. ρ≠1 . n>N Para determinar el valor de P0 se usa la siguiente identidad: P0 (1 + ρ + ρ2 + …+ ρN ) = 1 o sea P0 = 1 /(N + 1). N ρ=1 (1 – ρ) / (1 – ρN + 1). n ≤ N Pn = 0. Así. Pn = 1 /(N + 1). entonces el modelo generalizado da como resultado ρnP0.Modelos con un servidor M/M/1 (DG/N/∞) Sea ρ = λ / μ. Modelos con un servidor M/M/1 (DG/N/∞) La cantidad esperada de clientes en el sistema se calcula como sigue: L = Σ n Pn n=0 N L = [(1 – ρ) / (1 – ρN + 1)] n=0 Σ nρn N Desarrollando esta expresión. nos queda ρ[1 – (N + 1)ρN + NρN + 1] L= (1 – ρ)(1 – ρN + 1) .ρ≠1 . donde los clientes llegan desde la fuente con la frecuencia λ. se puede calcular si se observa el esquema anterior. El valor de ρ = λ / μ no necesita ser menor que 1 en este modelo. λ perdido = λ PN λ ef = λ . Lo que significa que λ = λ ef + λ perdido. λ ef. Un auto no podrá entrar al estacionamiento si ya hay N autos en él. Como los clientes se pierden cuando hay N en el sistema. con las frecuencias respectivas λ ef o λ perdido. Eso quiere decir que la proporción de vehículos que no pueden entrar al lote es PN.Deducción de λ.λ perdido = λ (1 – PN)este modelo. y λ perdido en M/M/1 (DG/N/∞) λ λef λ perdido La tasa efectiva de llegadas λ ef. Por ejemplo un auto que llega puede entrar al estacionamiento o irse al otro lado. Esto quiere decir que la rapidez que importa en este caso es λ ef y no λ . porque las llegadas al sistema están controladas por el límite N del mismo. entonces. porque lasλ . A partir de esta fórmula se pueden obtener W. L = N / 2 (¡por favor compruébelo!). y llega en promedio de 20 clientes posibles por hora.Modelos con un servidor M/M/1 (DG/N/∞) Cuando ρ = 1. cuando entra? .(λ ef / μ).En promedio. 1. y Wq = W – (1 / μ) Problema: En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. ¿cuántos cortes de pelo por hora hará el peluquero? 2. Los que llegan cuando la peluquería está llena no entran. Los tiempos de corte de pelo tienen una distribución exponencial.En promedio. W = L / λ ef.. Por lo tanto: Lq = L . Los tiempos de llegada tienen una distribución exponencial. ¿cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería. Wq y Lq usando λ ef. El peluquero tarda en promedio 12 minutos en atender cada cliente.. Como no hay límite de cantidad en el sistema. Fórmulas asociadas a este modelo: lo que resulta en P0 . λ = λ ef. La frecuencia de llegadas es λ y la rapidez de servicio es μ por servidor.Modelos con varios servidores En esta sección se estudiarán dos modelos de colas con varios servidores en paralelo. El efecto de usar c servidores en paralelo es un aumento en la tasa de servicio de la instalación proporcional a c. M/M/c (DG/∞/∞) En este modelo hay c servidores en paralelo. Dichos modelos son las versiones de los dos modelos vistos anteriormente para un solo servidor. Los valores de W y Wq se pueden determinar dividiendo L y Lq entre λ. Lq = Como en este modelo λ ef = λ. .Modelos con varios servidores Para Pn se presenta la siguiente fórmula: Pn = Nota importante: tener muy en cuenta los valores de c y n para el cálculo de los diferentes items de un determinado problema. entonces L = Lq + ρ. b) El tiempo promedio en que el usuario obtiene resultados. El tiempo de ejecución por solicitud es exponencial. Cada usuario puede solicitar trabajo por una terminal. Esto se ve porque llegan ocho llamadas por hora a la oficina de cada empresa. y se sabe que las dos empresas comparten partes iguales del mercado. pero el tiempo real solicitudes es exponencial. El tiempo promedio en el viaje es de 12 minutos. un inversionista compró las dos empresas. La llamadas llegan siguiendo una distribución de Poisson. Los trabajos que llegan pasan en forma automática a la primera computadora disponible. Hace poco tiempo.Modelos con varios servidores Problema 1: Hay dos empresas de taxis que dan servicio a una población. y el tiempo de viaje es exponencial. Cada empresa es dueña de dos taxis. y le interesa consolidarlas en una solo oficina para dar un mejor servicio a los clientes. d) El porcentaje del tiempo durante el cual el centro de cómputo está inactivo. e) La cantidad promedio de computadoras ociosas. Calcule lo siguiente: a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute en inmediato al solicitarlo. Problema 2: El centro de computo de la Hechicera tiene cuatro computadoras principales idénticas. . La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Analice la propuesta del nuevo dueño. con un promedio de 2 minutos. c) La cantidad promedio de trabajos que esperan su procesamiento. cada 15 minutos en promedio. Las tasas de llegada y de servicio son λ y μ. a causa del límite N del sistema. Este modelo difiere del M/M/c (DG/∞/∞) en que el límite del sistema es finito.Modelos con varios servidores M/M/c (DG/N/∞). La frecuencia efectiva de llegada λ ef es menor que λ. Fórmulas asociadas a este modelo: . igual a N. Eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N-c. c ≤ N. como sigue: λ perdido = λ PN λ ef = λ . y en consecuencia W y L. se calcula el valor de λ ef .Modelos con varios servidores A continuación se calcula Lq para el caso en que como sigue: Lq Se puede demostrar que Lq se reduce a Lq Para determinar Wq.λ perdido = λ (1 – PN) . Nota importante 2: tener muy en cuenta el manejo de memorias normales y acumulativas de una buena calculadora para el cálculo de los diferentes items de un determinado problema. y n para el cálculo de los diferentes items de un determinado problema. Investigar la plausibilidad del consejo del amigo.Modelos con varios servidores Por lo tanto: L = Lq + (λ ef / μ). suponga que no se pueden conseguir más fondos para comprar nuevos automóviles. c. Problema 1: En el problema de los taxis consolidados desarrollado anteriormente. una vez que la lista de espera llegue a 6 clientes. y Wq = W – (1 / μ) Nota importante 1: tener muy en cuenta los valores de ρ. W = L / λ ef. N. . Se tiene la seguridad que con esta medida los clientes nuevos buscarán servicio en otra parte. Un amigo aconsejó al dueño que una forma de reducir el tiempo de espera es que la oficina despachadora informe a los clientes nuevos de las demoras excesivas potenciales. pero se reducirá el tiempo de espera para los que hay en la lista de espera. respectivamente. . es la siguiente: B1 A1 A2 . Bn a1m a2m . A esos juegos se les llama juegos entre dos jugadores con suma cero. . llamados jugadores. . ….. y entonces la recompensa par B es -aij . . el juego se suele representar con la matríz de recompensa para el jugador A. En un conflicto de juego hay dos oponentes. …. B2 a12 a22 . y la planeación de estrategias bélicas en los ejércitos contrarios. con m y n estrategias. y cada uno tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias. Am am1 am2 ….. porque la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro. a11 a21 . Si se presentan dos jugadores con A y B. Asociada con cada par de estrategia hay una recompensa que paga el jugador al otro. ….. Entre los ejemplos característicos están lanzamientos de campañas de publicidad para productos que compiten. amn La representación indica que si A usa la estrategia i y B usa la estrategia j. . la recompensa para A es aij.TEORÍA DE JUEGOS Tema III La Teoría de Juegos maneja situaciones de decisión en las que hay dos oponentes inteligentes que tienen objetivos contrarios. .. . es cero la suma de la recompensas a los jugadores.Hay dos jugadores: el jugador de filas y el jugador de columnas. el de filas recibe una recompensa aij y el de columnas pierde una cantidad aij.TEORÍA DE JUEGOS JUEGOS DE DOS PERSONAS CON SUMA CERO Y SUMA CONSTANTE: PUNTOS SILLA A) Características de los juegos de dos personas con suma cero 1. podemos pensar que la recompensa aij del jugador de filas proviene del jugador de columnas.El jugador de filas debe escoger una de m estrategias. 2.. Por lo mismo. . Un juego de dos personas con suma cero tiene la propiedad que para cualquier elección de estrategias. no puede haber cooperación entre los dos jugadores. cada bolívar que gana un jugador proviene del bolsillo del otro. el jugador de columnas debe escoger una de n estrategias. En forma simultanea.. En n juego de suma cero. Así. 3.Si el jugador de filas escoge su í-ésima estrategia y el de columnas su j-ésima estrategia. Por eso los jugadores tienen intereses totalmente opuestos. Así. Uno se podría imaginar también que un punto silla es un punto de equilibrio en el que ninguno de los jugadores puede beneficiarse a partir del cambio unilateral de estrategia. . Si un juego de dos personas con suma cero tiene punto silla.TEORÍA DE JUEGOS El caso de la teoría de juegos que acabamos de analizar tiene la propiedad de satisfacer la condición de punto silla: max (mínimo de filas)=min(máximo de columnas) Cualquier juego entre dos personas con suma cero que cumpla con la relación anterior se dice que tiene un punto silla. un punto silla es estable porque ninguno de los jugadores tiene incentivo alguno de alejarse de él. el jugador de filas debe escoger cualquier estrategia (fila) que alance el máximo del primer miembro de la relación. las estrategias óptimas y el valor mismo para un juego de dos personas con suma constante se pueden calcular con los mismos métodos que se utilizaron para determinar las estrategias óptimas y el valor para un juego de dos personas con suma cero. la recompensa del jugador de filas y la de jugador de columnas se suman para dar un valor constante c. En general. Para ejemplarizar esto. Un juego de dos personas con suma constante mantiene características que el jugador de filas y el de columnas están en contraposición total. Desde luego que un juego de dos personas con suma cero es tan sólo uno de dos personas con suma constante en donde c=0. veremos ahora juegos de dos personas con suma constante. las dos pueden estar todavía en conflicto total. Un juego con suma constante es aquel en que. porque un aumento unitario en la recompensa del jugador de filas siempre ocasionará una disminución unitaria en la recompensa del jugador de columnas.TEORÍA DE JUEGOS B) Características de los juegos de dos personas con suma constante Aún si un juego de dos personas no tiene suma cero. para cualquier selección de estrategias de ambos jugadores. . La cadenas deben anunciar en forma simultanea el espectáculo que emitirán en ese horario.TEORÍA DE JUEGOS Ejemplo de juego de dos personas con suma constante En el horario de 8 a 9 p.. en millones aparecen en la siguiente tabla. Las elecciones posibles de cada cadena y el número de televidentes de la cadena 1. oeste Película del oeste Cadena 2 Telenovela Comedia 60 50 70 70 Mínimo fila 15 45 14 35 45 38 45 15 58 14 58 Telenovela Comedia Máximo columna . dos cadenas televisivas compiten por la audiencia de 100 millones se espectadores. ¿Tiene el juego punto silla? ¿Cuál es el valor del juego para la cadena? Cadena1 Pel.m. por lo general. Pero es importante destacar que la simulación no es una técnica de optimización. Estado: El estado de un sistema es un conjunto de variables necesarias para describir la condición del sistema en un momento determinado. al crear un modelo de simulación. Se puede definir la simulación como la técnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo.SIMULACIÓN Tema IV La simulación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias administrativas. Esto se hace . para analizar y estudiar sistemas complejos. Terminología Básica Sistema: Un sistema en un conjunto de entidades que actúan e interactúan para la realización de un fin lógico. Sistema Discreto: Es aquel en el cual las variables de estado cambian sólo en puntos discretos o contables en el tiempo . dependiendo de su uso. la simulación es útil para enseñar a los administradores y a los trabajadores cómo opera el sistema real. en el terreno de los negocios normalmente se refiere a emplear una computadora para hacer experimentos con un modelo de un sistema real. Modelo Estático de Simulación: Es una representación de un sistema en determinado punto del tiempo. Si bien la palabra simulación tiene distintos significados.SIMULACIÓN Sistema Continuo: Es aquel en el que las variables de estado cambian en forma continua a través del tiempo. cómo controlar el tiempo real y cómo desarrollar ideas nuevas para manejar un negocio. Algunos ejemplos de otros tipos de simulación son los simuladores de vuelos de aviones. Modelo Dinámico de Simulación: Es una representación de cómo evoluciona Un sistema a través del tiempo. video juegos y la animación con realidad virtual. Además. . les demuestra los efectos de los cambios en las variable y del sistema. . Validad. Codificar. GPSS/H y RESQ. Así mismo. algunos que repercuten directamente en las simulaciones son: • • • • • • Escoger el lenguaje de la computadora. Si bien no corresponde a este curso detallar los aspectos técnicos de los modelos por computadora. Alguno ejemplos son SLAM II. Los softwere de propósito general es realmente lenguajes que permiten a los programadores crear sus propios modelos. SIMSCRIPT II. podemos clasificar los programas de simulación como de propósito general y de propósito especial. Hacer gráficas de flujo. Generar datos. Hacer informes de resultados. SIMAN.SIMULACIÓN Cuando usamos un modelo de computadora. reducimos el sistema que estudiando a una representación simbólica que corremos en ella. • La simulación no interrumpe las actividades que están desarrollando en el sistema real. podemos comprimir los muchos años de experiencia del sistema real a unos cuantos segundos o minutos. es decir. VENTAJAS DE LA SIMULACIÓN • Crear el modelo de un sistema nos permite. entender mejor el sistema real. • En una simulación podemos comprimir el tiempo. por ejemplo. MAP/1 y SIMFACTORY. • La simulación es mucho más real que los modelos matemáticos y la podemos usar cuando las condiciones no son idóneas para un análisis matemático estándar.SIMULACIÓN Los programas de softwere de simulación para propósitos especiales son creados para simular aplicaciones específicas. • Podemos usar la simulación como un juego que brinda una experiencia para la capacitación. . generalmente. • La simulación ofrece una réplica más realista de un sistema que un análisis matemático. DEVENJAS • Si bien podemos invertir mucho tiempo y esfuerzo para crear un modelo para la simulación. En el mercado existen muchos paquetes estándar de modelos que abarcan una amplia gama de temas. Los sistemas complicados pueden ser complicados y tomar mucho tiempo. no existe garantía alguna de que éste. mientras que las técnicas matemáticas normalmente no permite hacerlo. de hecho. la creación de un modelo simulado puede tomar desde una hora hasta 100 años-hombre. • No hay manera de demostrar que el desempeño del modelo de simulación es fiable por completo. dada la combinación correcta de hechos (aun cuando sea poco probable). ofrezca buenas respuestas. • De acuerdo con el sistema que simularemos.SIMULACIÓN • • Podemos usar la simulación para analizar condiciones transitorias. que están basadas en ocurrencias generadas en forma aleatoria. . Un sistema aparentemente estable. puede explotar. • Tal vez se necesite mucho tiempo de computadora para correr modelos complejos. La simulación entraña numerosas repeticiones de secuencias.