Desenho geométrico-pdf

Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.1 APOSTILA DE DESENHO GEOMÉTRICO - 8º ano / EF elaborada pela professora Rosely Maria Wischral, para o Colégio Militar de Curitiba Aluno(a): __________________________________________ Número: _______ Turma: _______ Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 2 ÍNDICE DE ASSUNTOS POR UNIDADE DIDÁTICA (UD) UD I Entes geométricos e ângulo 1 2 1 2 II Os lugares geométricos (LG) 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 1 2 ASSUNTO Entes geométricos: ponto, reta e plano Ângulo LG 1 - Circunferência Retas perpendiculares LG 2 - Mediatriz LG 3 - Retas paralelas Divisão de segmentos LG 4 - Bissetriz Construção de ângulos LG 5 - Arco capaz Introdução Estudo geral dos triângulos Construção de triângulos escalenos Construção de triângulos eqüiláteros Construção de triângulos isósceles Construção de triângulos retângulos Estudo geral dos quadriláteros Construção de quadrado Construção de losango Construção de retângulo Construção de paralelogramo Construção de trapézio Circunferência: estudo geral e determinação Divisão de circunferências e construção de polígonos regulares inscritos Introdução Retas tangentes a circunferências Construção de polígonos regulares circunscritos Circunferências tangentes a retas Circunferências tangentes a circunferências Princípios fundamentais da concordância Concordância dupla Processo de Arquimedes Processo do segmento-soma Processo de Terquem Problemas inversos sobre retificação Retificação de arcos - problema direto Retificação de arcos - problema inverso Pág 3 14 24 30 34 36 39 44 48 52 57 59 64 67 68 71 74 75 77 79 81 83 88 92 103 105 110 112 115 119 126 136 138 139 140 145 152 154 III Triângulos IV Quadriláteros V Circunferências VI Posições relativas de retas e circunferências 1 2 3 1 2 1 2 3 4 5 6 VII Concordância VIII Retificação de circunferência Referências bibliográficas Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 3 UNIDADE DIDÁTICA I - ENTES GEOMÉTRICOS E ÂNGULO Assunto 1. Entes Geométricos: ponto, reta e plano. Assunto 2. Ângulo. UD I - Ass 1. ENTES GEOMÉTRICOS: ponto, reta e plano. O plano, a linha e o ponto são entes ideais. Nossa capacidade de imaginar nos permite entendê-los e reconhecê-los no vasto espaço que nos rodeia. O PONTO - é o elemento básico da geometria. Os pontos são representados por letras MAIÚSCULAS do nosso alfabeto. Exemplos: A B .C A LINHA - é uma seqüência infinita de pontos. Se os pontos estiverem alinhados numa mesma direção, temos uma RETA. As linhas (retas) são identificadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplo: r O PLANO - é um conjunto infinito de pontos. Representamos a idéia de plano por meio de figuras como esta: a Os planos são identificados por letras minúsculas do alfabeto grego, como por exemplo: alfa ( ), beta ( ), gama ( ), delta ( ), ômega ( ), lâmbda ( ), entre outros. Agora responda: 1. Quais são os entes ideais da geometria?___________________________________ 2. Pontos são identificados por letras_______________________________________ 3. Retas são identificadas por letras_________________________________________ 4. Planos são identificados por ____________________________________________ 5. Por um ponto passam ______________________________________________retas. 6. Por dois pontos passa ______________________________________________reta. 7. Identifique os entes geométricos abaixo: t P F duas retas são concorrentes ou secantes quando possuem um único ponto comum. r s=P P é o ponto de intersecção entre as retas r e s. ATENÇÃO 1. complete as sentenças usando os símbolos . para reta e plano. 4 8.duas retas são coincidentes quando possuem todos os pontos comuns. .duas retas de um plano são paralelas quando não possuem ponto comum. r P s Retas paralelas .Use 2. Dizemos que duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si. Retas concorrentes . Reta = subconjunto •E Plano = conjunto t r a A_____s C_____r •C B_____s t_____a r_____a D_____a A_____r C_____s B_____a D_____s B_____r C_____a A_____a E_____a A RETA NO PLANO Retas coincidentes . r s Indicação: r = s Temos que r e s são conjuntos formados pelos mesmos pontos. r s Indicação: r // s . para ponto e reta e para ponto e plano. No desenho abaixo.Use Ponto = elemento s A •D •B e e e .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Observando os seguintes pares de retas. para se estabelecer uma demonstração. A B Indicação: AB (reta AB) . • B P. existem infinitos pontos. complete de acordo com a posição relativa entre elas: r n s m a. 3: Dois pontos distintos determinam uma reta. m e n são retas_______________________ t a = b u c. 1: Num plano existem infinitos pontos. P. a e b são retas _______________________ d. •D . bem como fora dela. t e u são retas _______________________ Postulados: princípios primários que são admitidos. princípios reconhecidos como certos. • A • C .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. r e s são retas_______________________ b. . 5 9. •A •C •B P. 2: Numa reta. mas não demonstrados. Ela tem um ponto de origem. A reta AB é chamada reta suporte do segmento AB . Indique as semirretas representadas nas figuras abaixo. E B ______. O D _______ e ______ Segmento de reta . a Semi-reta . nas quais ela está contida. P. A B C b.a semirreta é limitada apenas em um sentido.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 5: Uma reta de um plano divide-o em duas partes. ______ e ______ C ______. O A ___________ b. A) (semi-plano de origem na reta r e que passa pelo ponto A). ______. C a. . A r Indicação: Ar O ponto A é a origem. • A r Indicação: Ar (semirreta Ar) O ponto A é a origem. A A B B Indicação: AB (segmento AB) 11. 10. que tenham como origem o ponto O. 4: Um ponto de uma reta divide-a em duas partes (semirretas). 6 P. às quais ele pertence.uma parte limitada da reta. •A r Indicação: Semi-plano (r. ______ e ______. ______. Indique segmentos de reta nas figuras dadas: A D a. BC e CD são colineares. Segmentos congruentes . B é comum F E F é comum G A B C r AB e BC são consecutivos e colineares. A= C B= D .segmentos com a mesma medida. A B C D r AB . Indicação: AB CD Segmentos coincidentes ou sobrepostos .segmentos com uma extremidade comum. É evidente que os extremos de dois segmentos coincidentes irão coincidir. o que se representa por AB = CD . reciprocamente.8 cm.8 cm D AB e CD são congruentes (têm a mesma medida). Segmentos consecutivos . e que se lê: AB coincide com CD ou AB está sobreposto a CD . AB = CD = 4. 7 TIPOS DE SEGMENTOS Segmentos colineares .dois segmentos AB e CD são coincidentes (ou sobrepostos) se cada ponto de AB coincide com um ponto de CD e. ou seja. 4.8 cm A B C 4. Na figura abaixo estão representados os segmentos coincidentes AB e CD em que A = C e B = D. EF e FG são consecutivos e não colineares.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. cada ponto de CD coincide com cada ponto de AB .segmentos contidos na mesma retas suporte. CD = 2. CD e EF de modo que: AB = 3. ) AB e BD são congruentes. ) BC e CD são consecutivos e não colineares. ) AB e BC são consecutivos. ( b. Observando a figura. Posição absoluta de uma reta . ( d.5 cm é horizontal. d c horizontal a b vertical inclinadas 13. ) BC e OC são consecutivos. marque nos itens abaixo C (certo) ou E (errado). EF = 4. Trace os segmentos AB . ) BO e DO são consecutivos e colineares. ) OC e CD são colineares. ( i. .7 cm é vertical. ( B a. ( l.posição absoluta de uma reta é posição que uma reta ocupa sozinha no plano e está relacionada com a linha do horizonte. ( f. ( j. ( e.2 cm é inclinada. ( h. ) AC e AE são coincidentes. Há três posições absolutas: horizontal. ) CD e EF são coincidentes. ( c. ) AB e CD são colineares e consecutivos. 8 12. ) AD e BC são congruentes.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. ) AB e CD são congruentes. ( k. vertical e inclinada. A O C= F D =E g. ( ) AB e BC são colineares. Palitos de fósforo são segmentos congruentes. 2. Na prática: 1. 9 TRANSPORTE DE SEGMENTOS . b e c.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. As toras são segmentos que estão sendo transportados para o caminhão.é a mudança de lugar de um segmento de reta. usando o compasso. 14. b A B a c . Transporte o segmento AB dado para as retas a. 10 OPERAÇÕES COM SEGMENTOS DE RETA Adição de segmentos . Assim: • AB é uma máquina. # Emendando três pedaços de cano. na qual cada vagão corresponde a um segmento de reta. • AE é a soma desses segmentos ( AB + BC + CD + DE ). basta coloca-los consecutivamente na mesma reta suporte. obtemos um pedaço maior.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Na prática: # O trem da figura abaixo representa uma adição. AB + CD + EF = AF Atenção: é importante indicar e identificar os pontos coincidentes. . • BC . CD e DE são vagões.para efetuar a adição de dois ou mais segmentos. quanto sobrará? . Na prática: Na escada abaixo.7cm e FG = 7.realizamos essa operação colocando o segmento menor sobre o maior.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. é preciso substituir o degrau que quebrou. MN = 5. SP = 3. Se tirarmos do sarrafo a parte que necessitamos. 11 15. de forma que tenham uma extremidade comum. Dados os segmentos AB = 7. Os pontos não comuns constituem a diferença.5cm. FG + MN = ____________ n c. AB + MN = ____________ ______________________________________________________________ t Subtração de segmentos . efetue graficamente as operações a seguir solicitadas (primeiro trace os segmentos no espaço abaixo para depois trabalhar somente com o compasso): a.8cm.1cm. AB + SP = ____________ u b. MN + AB + SP = ___________ s d. 16. MN e OP . de AB tirarmos CD .OP = ___________ s . que corresponde ao degrau que está faltando. CD é a medida do comprimento de cada degrau.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. sobrará BD . Dados os segmentos AB . Se. 12 AB é a medida do comprimento do sarrafo. CD . efetue graficamente as operações a seguir solicitadas. A B C M N O P D a.CD = _________ r b. AB . MN . sobre as retas suporte dadas. A B Construção: . C D t . 13 c.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Dado o segmento CD . . Ex: Dado AB .( MN + OP ) = r Multiplicação de segmentos . conforme o modelo abaixo.AB = __________ t d.transportamos AB para a reta r tantas vezes quantas foram pedidas (soma): A1 Na prática: Para canalizar o esgoto de uma rua. Resp: 8 tubos 17. ( AB + CD ) . ( MN + OP ) . a prefeitura utiliza tubulões de cimento. Quantos desses tubulões serão necessários para canalizar o trecho a seguir? B 1 A2 B2 A3 B3 r 3 x AB = A1B3. efetue graficamente 3 x AB .basta colocar o segmento consecutivamente numa reta suporte tantas vezes quantas forem pedidas. determine graficamente 5 x CD sobre a reta suporte t.traçamos a reta suporte r auxiliar. um ângulo representa uma mudança de direção. Podemos reconhecer essa mudança: DEFINIÇÃO DE ÂNGULO: é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem a mesma origem.Ass 2. Observe o ângulo e complete relacionando a 1ª coluna com a 2ª: A ( 1 ) lados ( 2 ) vértice ( ( ( ) AÔB ) OB e OA )O O ( 3 ) ângulo B . 18. O ângulo pode ser identificado das seguintes formas: M Indicação: MÔN (ângulo MON) ou (ângulo alfa) O N ou ELEMENTOS DE UM ÂNGULO: as duas semi-retas são chamadas de lados ( OM e ON ) e a origem (O) comum aos dois lados é denominada de vértice. 14 UD I .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. dividindo este plano em duas partes. ÂNGULO Idéia de ângulo . complete as medidas dos ângulos indicados: Linha de fé a. Observando a figura do transferidor baixo. EÔF=___________________ C E O F O D c. AÔB=_______________ G A O O B H . CÔD= ________________ b. med (AÔC) = ____________ b. med (AÔN) = ____________ c. GÔH=___________________ d. med (AÔP) = ____________ f. Usando o seu transferidor. determine as medidas dos ângulos abaixo: a.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. med (AÔB) = ____________ d. med (AÔQ) = ____________ 20. 15 19. med (AÔD) = ____________ e. Ângulo reto .quando a abertura é zero ( a = 0° ) a b 2. construa os ângulos: a. os ângulos podem ser classificados como: 1.sua medida é maior do que 0° e menor do que 90° ( 0° < a < 90° ). Seus lados são semi-retas perpendiculares entre si (a = 90°). Ângulo obtuso . Usando o seu transferidor.sua medida é exatamente 90°. a . a 3. 16 21.sua medida está entre 90° e 180° ( 90° < a < 180° ). a 4. Ângulo agudo . Ângulo nulo . EÔF = 135° O• O• CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS: com relação à abertura dos seus lados (suas medidas). AÔB = 45° b.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. a a b O 6. 175° = ______________________ b.mede exatamente 180° e os seus lados são semi-retas opostas ( a = 180° ). a a b 22. 360° = ______________________ e. 75° = ______________________ d. Classifique os ângulos de acordo com a abertura dos lados. Também pode ser chamado de ângulo de meia volta. AÔB = ____________________ A b. a. 90° = ______________________ h. 60° = ______________________ f. Ângulo raso . a. 135° = ______________________ g. Classifique os ângulos abaixo de acordo com a abertura dos lados.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 180° = ______________________ c.mede 360º ( a = 360° ) Também pode ser chamado de ângulo de uma volta. AÔA = ____________________ O B O A . Ângulo Giro ou Completo . 195° = ______________________ 23. 17 5.mede mais de 180° e menos de 360° ( 180° < a < 360° ) 7. Ângulo côncavo . No exemplo abaixo. são consecutivos os ângulos: A . tais que os lados não comuns estão em semi-planos opostos em relação ao lado comum). Ângulos adjacentes .são denominados ângulos adjacentes dois ângulos que possuem um lado comum (são ângulos consecutivos.CÔD e DÔF O D C Lado comum F .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Não possuem ponto comum. MÔN = ____________________ M d. B D Notação: BÂC A C E F DÊF POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE ÂNGULOS 1. Ângulos consecutivos .são dois ângulos que possuem a mesma medida. 18 c. Podem possuir ponto comum ou não.AÔC e BÔC C O B 2.dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum (pertence aos dois ângulos).AÔB e BÔC . TÔU (maior) = ____________________ U O O N T Ângulos congruentes . são adjacentes os ângulos: .AÔB e AÔC . No exemplo abaixo. a + ß = 360° a 6.são dois ângulos tais que os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro. a + ß = 180° a ß 5. Ângulos complementares .são aqueles cuja soma corresponde a 360°. Opostos pelo vértice (OPV) . Ângulos suplementares . a + ß = 90° a ß 4. Os ângulos opv são congruentes (possuem a mesma medida). Ângulos replementares .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.são aqueles cuja soma corresponde a 90°.são aqueles cuja soma corresponde a 180°. 19 3. # a 1 e a 2 são ângulos opostos pelo vértice 1 e 2 são ângulos opostos pelo vértice 1 a1 2 a2 # . ) Um ângulo de volta inteira é reto. nos espaços indicados. conforme a afirmação seja certa ou errada: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) Um ângulo de meia volta mede 90°. ) Um ângulo de 60° é obtuso. ) Para medir um ângulo. M O N E O F G P Ângulos EÔF e FÔG EÔG e EÔF FÔG e EÔG MÔN e MÔP NÔP e PÔM MÔN e NÔP consecutivo ou adjacente? 25.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. se os respectivos ângulos são consecutivos ou adjacentes. ) Um ângulo agudo mede menos de 90°. Sendo dados os ângulos abaixo. ) Os lados de um ângulo são semi-retas. ) O ângulo de meia volta mede o dobro do ângulo reto. . ) O ângulo de 90° é reto. ) Um ângulo pode medir mais de 360°. escreva. 20 24. Coloque nos parênteses C ou E. ) Um ângulo obtuso mede mais de 90°. utiliza-se o esquadro. sobre a semi-reta dada: a. A abertura de um ângulo é medida em ____________________ (graus / centímetros) b. Complete as frases com uma das duas palavras que estão dentro dos parênteses: a. A origem das semirretas que formam um ângulo é o __________________(lado / vértice) d. ) Dois ângulos são consecutivos quando possuem um lado e um vértice comum. graficamente. DÔG = 53º t b. 21 26. 27. Construa com o transferidor o ângulo solicitado sobre a reta t e depois o transporte.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. ) Dois ângulos são retos quando a soma de suas medidas for 120°. Marque com “X” a(s) alternativa(s) correta(s): ( ( ( ( ( ) Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 180°. ) Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida. ) Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 90°. = 156º t . O instrumento com o qual se mede ângulos chama-se __________________________________ (transferidor / esquadro) TRANSPORTE DE ÂNGULOS COM COMPASSO 28. As semirretas em um ângulo correspondem aos ____________________(lados / vértices) c. O C + P A M N = c. sobre a semirreta. L S + E J K B = . + = b. a soma gráfica dos ângulos dados: a.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Efetue. 22 ADIÇÃO GRÁFICA DE ÂNGULOS CONHECIDOS 29. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Efetue. X S _ Y R T = Z c. _ = b. sobre a semirreta. 23 SUBTRAÇÃO GRÁFICA DE ÂNGULOS CONHECIDOS 30. L B K _ E J S = . a subtração gráfica dos ângulos dados: a. LG-3 Retas paralelas Assunto 4. COMUM: a propriedade pertence a TODOS os pontos desse conjunto EXCLUSIVA: a propriedade pertence SOMENTE a esses pontos. UD II . Portanto. Podemos concluir então que: O último andar do shopping é um conjunto de lojas que possuem uma propriedade _________________ e ___________________________. Retas perpendiculares e LG-2 mediatriz Assunto 3. LG-4 Bissetriz Assunto 5.circunferência de centro no ponto O e raio de medida r. LG-1 CIRCUNFERÊNCIA LG-1 CIRCUNFERÊNCIA É o LG dos pontos do plano que estão eqüidistantes (a uma mesma distância) de um ponto fixo desse plano. Notação: C ( O . r ) . A essa distância chamamos de raio (r) e o ponto fixo chamamos de centro (O). LG-1 Circunferência Assunto 2. complete as frases abaixo: # ________________ as lojas do último andar têm iluminação natural. # As lojas dos outros andares __________________________ iluminação natural. 24 UNIDADE DIDÁTICA II .Lugar Geométrico (LG) Para compreender o conceito de lugar geométrico: Num shopping center. enquanto nos demais andares a iluminação é artificial. LG-5 Arco Capaz Introdução . De acordo com essa afirmação. LUGAR GEOMÉTRICO (LG) É um conjunto de pontos que possuem uma propriedade COMUM e EXCLUSIVA. # A _______________________________ é uma propriedade comum a todas as lojas do último andar.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. todas as lojas do último andar são iluminadas pela luz solar durante o dia. .Ass 1.OS LUGARES GEOMÉTRICOS (LG) Assunto 1. a iluminação natural é uma propriedade exclusiva das lojas do ___________________________________________. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 25 Elementos da circunferência: •Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência. •Arco - é um pedaço da curva da circunferência. •Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência. •Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio. •Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente. •Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda. •Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência). •Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro. I s H O • F G E A t T D O - centro da circunferência. DT = diâmetro OA = OD = OT = raio DGE = um arco da circunferência DE = uma corda da circunferência, correspondente ao arco DGE FG = flecha do arco DGE reta s = secante H e I = pontos de secância HI = corda determinada pela secante s reta t = tangente T = ponto de tangência Ângulos da circunferência a. Ângulo central – é aquele que tem o vértice no centro da circunferência (O). AÔB O• B A b. Ângulo inscrito – é o que tem o vértice na circunferência e os seus lados são cordas. AÛB A U •O B Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 26 31. De acordo com os elementos da circunferência abaixo, complete as lacunas: B A C O• D E a. O = _______________________ f. CÔE= _______________________ g. EÔD =________________________ h. CDE =_______________________ i. OD = _______________________ b. AB = _______________________ c. CD = _______________________ d. OE = _______________________ e. ED = _______________________ 32. Construa geometricamente uma circunferência de centro em O e raio r = 1,2cm. O. 33. Construa geometricamente as seguintes circunferências: a. C ( A ; 1,5 cm ) b. C ( B ; 2,5 cm ) Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 27 34. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de um ponto conhecido? R: ________________________________________________________________ 35. Construa o LG dos pontos situados a 21 mm do ponto P. P 36. Determine, geometricamente, os pontos P1 e P2 que estejam a 2 cm do ponto A e também a 3 cm do ponto B. A• •B 37. Determine, geometricamente, os pontos T1 e T2 que estejam à distância d do ponto A e estejam à distância s do ponto B. d s Ax xB Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Determine. geometricamente. Dado o quadrilátero ABCD. distantes 5. 28 38.9 cm do ponto A. determine geometricamente os pontos T1 e T2 dos lados CD pectivamente. res- C D B A . e BC . os pontos X e Y que pertencem à reta t e que estejam à distância d do ponto P. d P• t 39. Para visitar Rosângela.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. e a distância entre as casas de Rosely e Rosângela é de 450 m. A casa de Rosely fica a 550 m de distância da casa de sua amiga Raquel. Assinale no mapa o local onde Rosely mora ( R ). sabendo que 1 cm no papel corresponde a 100 m no terreno. . Rosely precisa passar pela ponte sobre o rio. 29 40. Trace CP = s • P r . 30 UD II . Construa. a. “x”). 2º passo: com raio maior que a distância entre A e P. RETAS PERPENDICULARES Retas perpendiculares . a perpendicular s à reta r que passa pelo ponto P pertencente à reta. geometricamente. obtendo o ponto C na sua intersecção.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Notação: s r • P r 1º passo: com centro em P e raio qualquer. trace um arco que determine A e B na reta r. Perpendicular a uma reta por um ponto pertencente a ela 41.são retas concorrentes que formam ângulo de 90º entre si (“cruz”.Ass 2. trace dois arcos com centros em A e B. trace dois arcos com centros em A e B obtendo C na sua intersecção. trace um arco que determine A e B na reta. 2º passo: com o mesmo raio. a perpendicular à reta r pelo ponto P não pertencente à reta. Perpendicular a uma reta por um ponto não pertencente a ela 42. Trace PC =s r • P . geometricamente.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 31 b. • P Indicação: s r r 1º passo: com centro em P e raio qualquer. Construa. A . obtendo o ponto F na sua intersecção. as perpendiculares nas extremidades do segmento AB dado. retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A. geometricamente. 3º passo: ainda com o mesmo raio. marque no arco duas vezes a mesma medida. 2º passo: com o mesmo raio e ponta seca em C. C . . determinando os pontos D e E. B. geometricamente. D r . C e D dados: B . Perpendicular pela extremidade de um segmento 43. A B 1º passo: com centro em A e raio qualquer. trace um arco (maior que 90º) determinando o ponto C no segmento dado. Construa. 44. trace dois arcos com centros em D e E. Construa. 32 c. Trace a perpendicular AF .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. C 46. Construa. Construa.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. C e D dados: B . s J t 47. B. D r . geometricamente. 33 45. representando o cano. essa perpendicular r. Na parede da casa abaixo. geometricamente. retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A. P indica o ponto de onde deverá descer um cano perpendicular ao chão. retas perpendiculares às retas s e t pelo ponto J. . A . . Construa. usando o par de esquadros. é a reta que passa perpendicularmente (formando um ângulo de 90º) no ponto médio (M) de um segmento. O ponto M intersecção do segmento com sua mediatriz. 34 LG-2 MEDIATRIZ É o LG dos pontos equidistantes de dois pontos fixos. trace dois arcos obtendo C e D. Mediatriz .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. é o ponto médio do segmento F E D G . AM MB A M B Notação: Mtz AB 48. determinando os pontos médios: A B 1º passo: com centro em A e em B e raio maior que a metade da medida de AB. Construa as mediatrizes dos segmentos dados. dividindo-o em duas partes congruentes. 2º passo: trace CD = mediatriz de AB. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. geometricamente. geometricamente. 35 49. Determine. m A •D B . Determine. X. r 51. o ponto P eqüidistante dos pontos X e Y e pertencente à reta r dada: Y. os pontos P1 e P2 tais que estejam eqüidistantes de A e B e estejam à distância m do ponto D. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de dois pontos conhecidos? R: ________________________________________________________________ 50. 2 cm dela. Ligue A1 com B1 e A2 com B2. Trace perpendiculares por dois pontos A e B quaisquer da reta v (afastados).2 cm para cima de A e de B em cada perpendicular determinando A1 e B1. A partir da reta v. 3. s d r d t Notação: s r t 52. 2. as retas s e t estão equidistantes da reta r e são as paralelas que distam d de r (LG-3). v Passos: 1. Construa. 36 UD II . LG-3 RETAS PARALELAS LG-3 RETAS PARALELAS É o LG dos pontos equidistantes de uma reta.Ass 3. . as retas s e t estão a uma distância d da reta r. obtendo as duas retas paralelas. o par de retas paralelas à reta v dada. Assim. Na figura abaixo. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de uma reta conhecida? R: ________________________________________________________________ 53. e para baixo de A e de B em cada perpendicular determinando A2 e B2. geometricamente. que distam 2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. marque 2. pois TODOS os pontos que distam d da reta r NECESSARIAMENTE pertencem às retas s e t. Ligue PC = reta w. Transporte medida BP para o outro arco com ponta seca em A. P • s Passos: 1.8 cm da reta s e que pertencem à circunferência. sabendo que: . ponta seca em A.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. trace um arco e determine A na reta s. 55. .L e M estão na reta t.G e H estão na circunferência. 2. 37 54. abertura qualquer. que passe pelo ponto P. ao triângulo e à reta t. geometricamente.I e J pertencem ao triângulo e . determinando C. Determine os pontos que distam 1. uma reta w paralela à reta s dada. 4. Construa. trace um arco passando por P e determine B na reta s. Mesma abertura (AP). t s . 3. Ponta seca em P. H e G. utilizando o par de esquadros. R • H • y G • . B.P n 58. 38 56. Determine geometricamente os pontos A. . Traçar o par de paralelas distantes 3.5 cm do ponto P.5 cm da reta n e 2. utilizando o par de esquadros. Construa retas paralelas à reta y dada. C e D distantes 1.3 cm da reta r.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. r 57. que passem pelos pontos R. . 39 Divisão de segmentos .Processo geral: permite dividir um segmento em qualquer número de partes. . 4 1.0 cm.Processo das mediatrizes: só pode ser aplicado quando o divisor for potência de 2 (2.na divisão de segmentos veremos dois processos: 1º ..0 cm. determinar graficamente . os pontos que dividem o segmento em quatro partes iguais devem ter entre si a distância de 2. Processo Geral A B A medida é de 2.) 2º . 4. Portanto. 8.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. AB Exemplo: dado AB = 8. Processo das mediatrizes A B 2. pelos dois processos. Confira!! .0 cm. AB = ________ 8 A B . determine graficamente: a.0 cm A B Resposta: os pontos _____.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. CD = ________ 2 C D b. Indicar os pontos de corte. AB = 10. 40 Na prática: Quero cortar o sarrafo abaixo em quatro partes congruentes para usar como pernas de um banquinho. _____ e _____são os pontos de corte. Dados os segmentos abaixo. 59. 7 .0 cm. graficamente. 6 62. determine graficamente AB . 5 A B 61. Dado o segmento AB . 41 60. Determine.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Determine. graficamente. 4 de SP = 10 cm. 3 de MN = 9. 3 de DE = 11 cm. Divida graficamente MN na proporção 2:1:3. 42 63. Divida graficamente SP na proporção 5:3:2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 8 Divisão em partes proporcionais 64. M N . graficamente. S P 65. Determine. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Pelo processo das mediatrizes de divisão de segmentos. C D . divida o segmento CD em 8 partes congruentes. V F 67. Divida graficamente o segmento VF na proporção 3:2:4. Dica: para facilitar a construção da 1ª mediatriz. 43 66. reduza o tamanho de CD . diminuindo a mesma medida em ambas as extremidades. bissetriz 1 4. LG-4 BISSETRIZ LG-4 BISSETRIZ É o LG dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes conhecidas. 3. Ligue OD = bissetriz 69.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. cruzando com o arco anterior. trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). s O r Passos: 1. O mesmo em B. trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). 3. O mesmo em B.Ass 4. geometricamente.bissetriz 2 . B e C nas retas r e s. cruzando com o arco anterior. determinando o ponto D. Construa. 5. determinando o ponto D. Repita o passo 2 nos pontos B e C. Trace um arco de 180°. 2. . Notação: Btz O Passos: 1. Ligue OE . 68. Construa geometricamente o LG dos pontos equidistantes das retas r e s dadas. com a mesma abertura. Ligue OD . com centro em O. determinando o ponto E. a bissetriz do ângulo dado. 2.Bissetriz de um ângulo é o segmento que divide o ângulo em duas partes congruentes. determinando os pontos A e B nos lados. determinando os pontos A. Ponta seca em A. com a mesma abertura. 44 UD II . Trace um arco qualquer com centro em O. Ponta seca em A. O O c. b.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de duas retas conhecidas? R: ________________________________________________________________ 71. as bissetrizes dos ângulos dados: a. geometricamente. O d. O . Construa. O e. 45 70. Marque dois pontos quaisquer: A na reta y e B na reta z e ligue AB. Trace. sendo dois de um lado de AB e os outros dois do outro lado. determinamos quatro ângulos “no interior” das retas y e z. Construa as quatro bissetrizes desses quatro ângulos. Ao ligar AB. 3.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. w 73. geometricamente. Determine. v O. determinando os pontos C e D nos cruzamentos das bissetrizes. 46 72. R e S que se encontram a 2. Q. Ligue CD = s . graficamente. y z Passos: 1. 2. os pontos P. 4. a reta s equidistante das retas y e z. sem recorrer ao vértice. um de cada lado de AB.7 cm de O e que sejam equidistantes das retas v e w dadas. s r t 75. r O •C s 76. Determine.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.0 cm do ponto C. geometricamente. Determine. os pontos P1 e P2 equidistantes das retas m e n. e que distam 1.8 cm da reta k. os pontos U e T equidistantes das retas r e s. o ponto P que pertence à reta r e está equidistante das retas s e t. geometricamente. geometricamente. Determine. 47 74. m k n . e que distam 2. Será construído um salão de festas (S) a 30 mm do restaurante e a 50 mm do salão de jogos. 48 77. Pretendese construir também uma quadra poliesportiva (Q) a 40 mm da cachoeira e que esteja eqüidistante das retas AB e AC (linhas de divisa do terreno da fazenda com a estrada e com o sítio primavera). nas semirretas dadas. Determine na figura os pontos onde o salão (S) e a quadra (Q) serão construídos. 90° A r b. bem próximo da piscina. os seguintes ângulos: a. 60° B r . Construa graficamente.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. A figura abaixo representa a área de um hotel fazenda que será ampliado. 78. 15° r D e. 30° C d. 45º r E C ’ f. 120° G r . 49 c. 75º F r g.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 50 h. 67º 30’ J r . 150º H r i. 135º I r j.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 51 k.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 105º M r . 82º 30’ L r m. 165º K r l. observe a figura. 52 UD II . dizemos que o arco APB é um ARCO CAPAZ do ângulo a descrito sobre AB .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. cujos lados passam pelas extremidades do segmento AB. FIGURA 5 cm Nesse caso. Dizemos que o ponto P “enxerga” o segmento AB segundo um ângulo de medida a . Sobre um mesmo segmento AB é possível descrever dois arcos capazes do ângulo a .Ass 5. Observe a figura abaixo. cada um de um lado de AB . você o vê segundo certo ângulo. A B Agora. podemos concluir que todos os pontos do arco APB enxergam AB segundo um mesmo ângulo a . Uma vez que todos os ângulos inscritos num mesmo arco possuem medidas iguais. LG-5 ARCO CAPAZ Arcos como lugares geométricos . a P O ponto P é vértice de um ângulo de medida a .introdução Quando você olha para um poste na rua. . Esse ângulo pode variar em função da posição de onde você esteja olhando. determinando O2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Trace a reta s. pois os seus pontos satisfazem as seguintes condições: • Todo ponto pertencente a qualquer um dos arcos enxerga AB segundo um ângulo a . a A B Passos 1. . 5. perpendicular a t passando por A. 79. 2. Na mediatriz. Transporte o ângulo a para baixo de AB. 53 A reunião dos dois arcos capazes é um lugar geométrico. com centros em O1 e O2 e raios O1A = O2A. Construa. Construa os dois arcos. LG-5 ARCO CAPAZ É o LG dos seus pontos que “enxergam” um segmento conhecido sob um determinado ângulo. marque o simétrico de O1 em relação a AB. geometricamente. 4. o par de arcos capazes de enxergar AB sob o ângulo a dado. determinando O1 no cruzamento com s. O outro lado chame de t. com o vértice em A e um lado coincidindo com AB. 3. Construa a mediatriz de AB. • Somente os pontos pertencentes a qualquer um dos arcos enxergam AB segundo um ângulo a . A B . C D 81. Construa. o par de arcos capazes de enxergar AB sob um ângulo de 120°.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. o par de arcos capazes de enxergar CD sob um ângulo de 60°. Construa. geometricamente. geometricamente. 54 80. A B . geometricamente. somente um arco capaz de enxergar AB sob um ângulo de 75°. F G 83. Construa.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construa. geometricamente. o par de arcos capazes de enxergar FG sob um ângulo de 90º. 55 82. . 85.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. . . . . . . . . . quadro negro . Um faroleiro em vigília foi contatado por um barco em dificuldade que. Considere o desenho a seguir como sendo a sua sala de aula. . . . . . . . . . . . . . determine na figura. . . a localização do barco ( B ) no momento da ocorrência. Com essas informações. o faroleiro indicou o local exato do barco. . . . logo após enviar sua mensagem. Ao relatar a ocorrência. . geometricamente. . . . Marque o quadrinho que corresponde à sua posição na sala. 56 84. pois o marinheiro havia informado que podia ver o farol ( F ) e as ruínas do forte ( R ) segundo um ângulo 60° e que enxergava o farol ( F ) e a torre de petróleo ( T ) sob um ângulo de 90°. Descubra se mais algum aluno observa o quadro negro sob o mesmo ângulo que você. . perdeu seu sistema de comunicação. . . . não colineares que se fecham. Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos. Construção de triângulos isósceles. Assunto 5. Estudo geral. Construção de triângulos escalenos. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter. Assunto 3. segmentos de reta que não estão alinhados na mesma reta e que não se fecham. INTRODUÇÃO Linha poligonal aberta Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares. M A D N G P B C Q I J F H Linha poligonal fechada (polígono) Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli (muitos) + gonos (ângulos). . E A P Q F G C I H S R B A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construção de triângulos retângulos. Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região localizada dentro da linha poligonal fechada. Assunto 2. ou seja. Construção de triângulos equiláteros. 57 UNIDADE DIDÁTICA III . Assunto 4. pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.TRIÂNGULOS Assunto 1. mas é bom deixar claro que polígono representa apenas a linha. Os ângulos do polígono são: A. C. Polígono irregular: é o polígono que não possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. 2. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal. Nomes dos polígonos Dependendo do número de lados. Ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas não estão totalmente contidos na região poligonal. CD. E A B C D Polígonos quanto à convexidade 1. B. DE e EA são os lados do polígono. 58 Considerando a figura ao lado. B. D e E. Polígono convexo: É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. E são os vértices do polígono. C. um polígono recebe os seguintes nomes: nº de lados 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 polígono não existe não existe triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono eneágono decágono nº de lados 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 polígono undecágono dodecágono tridecágono tetradecágono pentadecágono hexadecágono heptadecágono octadecágono eneadecágono icoságono . BC.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Polígono regular: é o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Polígono não convexo: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma. observamos que: Os segmentos AB. D. Os pontos A. Talvez seja o polígono mais importante que existe. 59 UD III .vértices E = oposto ao lado e O = oposto ao lado o Ô e o  = ângulo correspondente ao vértice A .seja o triângulo AOE ao lado: a = lado de extremidades O e E . É o polígono que possui o menor número de lados.quanto aos ângulos acutângulo = três ângulos agudos (< 90º) obtusângulo = um ângulo obtuso (> 90º) retângulo = um ângulo reto (90º) .ângulos internos Ê = ângulo correspondente ao vértice E Ô = ângulo correspondente ao vértice O Ê O a E .Ass 1.o triângulo retângulo é o único cujos lados recebem nomes: hipotenusa (a) = lado oposto ao ângulo reto catetos (b.a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180º # Classificação eqüilátero = três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um) isósceles = dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes escaleno = três lados diferentes e três ângulos diferentes . ESTUDO GERAL DOS TRIÂNGULOS # Definição: triângulo é um polígono de três lados.lados e = lado de extremidades A e O o = lado de extremidades A e E A  A = oposto ao lado a . # Elementos .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.quanto aos lados . c) = lados que formam o ângulo reto C b A c a B . Bissetriz interna: é a ceviana que divide um ângulo em duas partes iguais.Mediatriz (não é ceviana) o encontro das três mediatrizes determina o circuncentro (C) = centro da circunferência circunscrita ao triângulo. ˆ. 60 # Ceviana: é todo segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao seu prolongamento.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.Altura: é a ceviana perpendicular ao lado oposto ou ao seu prolongamento (forma um ângulo reto). o encontro das três bissetrizes determina o incentro (I) = centro da circunferência inscrita no triângulo. sempre no interior do triângulo. . # Cevianas notáveis e pontos notáveis . .B ˆ esˆ eC .Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. podendo estar dentro ou fora do triângulo. sempre no interior do triângulo. Observação: o baricentro situa-se a 1/3 do comprimento da mediana a partir do ponto médio do lado. o encontro das três alturas determina o ortocentro (O). podendo estar dentro ou fora do triângulo. . Os ângulos A tão divididos ao meio. AMa é uma mediana. BHb e AHa são alturas. o encontro das três medianas determina o baricentro ou centro de gravidade (G). Construa geometricamente as três medianas dos triângulos dados e determine os seus baricentros (G). Construa geometricamente as três alturas dos triângulos dados e determine os seus ortocentros (O). A B C . A B C R Q P 87. 61 86.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. determine os seus incentros (I) e trace as circunferências inscritas nos triângulos. traçando uma perpendicular do incentro a qualquer um dos lados.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Observação: após determinar o incentro. 62 R Q P 88. Construa geometricamente as três bissetrizes internas dos triângulos dados. A B C R Q P . há necessidade de se determinar o raio da circunferência. 63 89. A B C R Q P Y X Z . determine os seus circuncentros (C) e trace as circunferências circunscritas aos triângulos.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construa geometricamente as mediatrizes dos três lados dos triângulos dados. 64 UD III . .Ass 2. Construa geometricamente o triângulo FGH de 112 mm de perímetro sabendo que as medidas de seus lados obedecem à proporção 2:3:4. Dica: para resolver os problemas envolvendo construção de figuras planas. y = 49 mm e z = 58 mm. veja bem o que está sendo solicitado. Dica: perímetro é a soma de todos os lados. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ESCALENOS Triângulo escaleno: possui três lados diferentes e três ângulos diferentes. analise o enunciado.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. use divisão proporcional de segmento. Construa geometricamente o triângulo XYZ de lados x = 35 mm. faça uma figura auxiliar e decida o caminho para a solução da questão. 91. 90. Traçados auxiliares fracos e solução reforçada. 93. Construa geometricamente o triângulo AOE. .5 cm. b = 2. 65 92. Dica: trace uma paralela ao lado r distante hr (hr é a altura relativa ao lado r). Dica: use arco capaz. Ô = 45º e Ê = 60º. s = 53 mm e hr = 32 mm.8 cm. 94.5 cm e  = 45º.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construa geometricamente o triângulo RST sendo dados: r = 68 mm. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 4. sendo a = 5. ponto médio.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Dica: base a. Û = 60º e Î = 30º. 96.6 cm e ma = 4 cm. ma e b (ma é a mediana relativa ao lado a). b = 3. 66 95.5 cm. Construa geometricamente o triângulo UIQ sendo dados: u = 7 cm. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 5. Dica: arco capaz . (duas soluções) . 67 UD III . CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS Triângulo equilátero: possui três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um) # No triângulo equilátero as cevianas notáveis e os pontos notáveis coincidem.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 97. Construa geometricamente o triângulo eqüilátero ABC de lado 4.Ass 3.3 cm 98. Construa geometricamente o triângulo equilátero OAP com h = 5 cm. UD III .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.Ass 4. .5 cm e  = 45°. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ISÓSCELES Triângulo isósceles: possui dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes Lembrando => No triângulo AOE abaixo temos: A e e o = lados congruentes a = base (lado diferente) e Ô o Ê Ô e Ê = ângulos da base (congruentes) a + e + o = perímetro (2p) do triângulo E O a 100. Construa geometricamente o triângulo isósceles ABC de base c = 6. Construa geometricamente o triângulo equilátero PQR de 108 mm de perímetro. 68 99. Construa geometricamente o triângulo isósceles JKL de base k = 6.5 cm e  = 75°.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.5 cm e hk = 4.5 cm. 69 101. Construa geometricamente o triângulo isósceles AMU de base a = 6. (arco capaz) . 103. Construa geometricamente o triângulo isósceles MNR de lado m = 5 cm e h base n = 3. 102.2 cm. . sabendo que o lado n é congruente ao lado o e NO = 4 cm. 70 104. sabendo que a base b mede a metade dos lados congruentes a e c. com C o circuncentro e N um dos vértices do triângulo.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construa geometricamente o triângulo isósceles ABC de perímetro 2p = 10 cm. sendo CN = 2.8 cm. Construa geometricamente o triângulo isósceles e acutângulo PON. 105. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Triângulo retângulo: possui um ângulo reto (90º) Lembrando => No triângulo AEO abaixo temos: A  e e a = catetos (formam o ângulo reto) o = hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) Ô = ângulo reto (90º) e Ô o a + e + o = perímetro (2p) do triângulo Obs: Quando for retângulo isósceles.6 cm.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.7 cm e c = 4. b = 3. temos: Ê O a e=a E e  = Ê = 45º Construa o triângulo retângulo ABC.5 cm 107. 71 UD III . . retângulo em  (hipotenusa a e catetos b e c) sendo dados: 106.Ass 5. a = 6.3 cm e b = 4. . b + c = 8.5 cm e b = 3c. 109. a = 58 mm e ângulo do vértice C = 30º.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 72 108. marque A qualquer. 5 4 3 . 2p = 120 mm e a b c = = . trace b. 111. 73 110. b = 5. Dica para uma solução: paralelas distantes ha...6 cm.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.5 cm e ha = 3. . Lados opostos congruentes. Quatro ângulos retos. ângulos opostos congruentes. Os lados opostos são paralelos entre si 2. Assunto 5. ângulos opostos congruentes. Assunto 3. Construção de retângulo. 74 UNIDADE DIDÁTICA IV . Construção de trapézio. quatro ângulos retos. Estudo geral.Ass 1. Paralelogramos Obs: as diagonais cruzam-se no meio .ponto médio. ISÓSCELES RETÂNGULO . diagonais congruentes e perpendiculares. Assunto 4. lados opostos congruentes. Assunto 2. ESTUDO GERAL DOS QUADRILÁTEROS Classificação Principal característica Não possuem lados paralelos Tipos Principal característica (exemplo) 1. ESCALENO Lados não paralelos não congruentes Lados não paralelos congruentes. Dois ângulos retos. Assunto 6. Genéricos (Trapezóides) Quatro lados congruentes. Quatro lados congruentes. diagonais congruentes. Construção de quadrado. chamados de base maior e base menor. UD IV .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. QUADRADO LOSANGO RETÂNGULO PARALELOGRAMO 3.QUADRILÁTEROS Assunto 1. Trapézios Apenas dois lados paralelos. Construção de losango. diagonais perpendiculares. Construção de paralelogramo. Ângulos opostos:  e Î. I. • o raio da circunferência inscrita no quadrado é o apótema = distância de M ao ponto médio de um lado • o raio da circunferência circunscrita ao quadrado é a distância de M a um vértice . Ê e Ô Ê . EI .Lados: AE .Soma dos ângulos internos = 360º E .Vértices: A. CONSTRUÇÃO DE QUADRADO Quadrado . EI e AO O Ô d1  d2 .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.possui lados e ângulos congruentes. Valem para o quadrado todas as propriedades dos paralelogramos: ele é um retângulo e é também um losango.Ângulos internos: Â. O . • as alturas coincidem com os lados (medida h).Ass 2. Î e Ô .é um paralelogramo eqüilátero e eqüiângulo . # Podemos observar no quadrado ABCD: • os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos • as diagonais são congruentes e perpendiculares entre si AC = BD e AC BD • as diagonais são também bissetrizes dos ângulos dos vértices • a intersecção das diagonais se dá no ponto médio M • o ponto M é o centro do quadrado. IO e AO .Diagonais d1 e d2: AI e OE A UD IV . Ê.Lados opostos: AE e IO . O quadrado é o único quadrilátero regular. E. 75 Quadrilátero qualquer AEIO: I Î . lado l = 4.0 cm 114. 76 # Construa geometricamente o quadrado ABCD. apótema = OM Dica: lado do quadrado = dobro do apótema (distância do centro O ponto médio M de um lado) •O M . sendo dado: 112.0 cm 113. diagonal = 6.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 77 UD IV - Ass 3. CONSTRUÇÃO DE LOSANGO Losango - é o paralelogramo eqüilátero: os quatro lados são congruentes. # Podemos observar no losango ABCD: • as diagonais são perpendiculares entre si e com medidas diferentes. São chamadas de diagonal maior e diagonal menor e se cruzam no ponto médio: AC BD • as diagonais de um losango são bissetrizes dos seus ângulos internos ˆ • os ângulos opostos são congruentes: A ˆ eB ˆ C ˆ D ˆ +B ˆ = 180° • dois ângulos consecutivos são suplementares: A • a distância de um vértice ao lado oposto chama-se altura do losango (h) • o triângulo BCD é isósceles (BC CD) # Construa geometricamente o losango ABCD, sendo dados: 115. lado = 3 cm e diagonal maior = 5 cm 116. diagonais d1 = 5,0 cm e d2 = 7,0 cm Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 78 117.  = 60° e AB = 4,5 cm 118. diagonal BD = 4 cm e lado = 5 cm 119. altura h = 3,0 cm e  = 45° Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 79 UD IV - Ass 4. CONSTRUÇÃO DE RETÂNGULO Retângulo - é o paralelogramo eqüiângulo: os quatros ângulos são congruentes (retos). # Podemos observar no retângulo ABCD: • as duas diagonais são congruentes e se cruzam no ponto médio: AC BD • podemos chamar BC de base e AB de altura (= CD ) • o retângulo possui uma circunferência circunscrita, cujo centro é o ponto M (intersecção das diagonais). Esse ponto é eqüidistante dos vértices do retângulo, pois é o ponto médio das diagonais. O raio da circunferência é a distância de M a qualquer d um dos vértices (Ex: AM ), e mede a metade da diagonal 2 # Construa geometricamente o retângulo ABCD, sendo dados: 120. base = 5,2 cm e altura = 3 cm B A M D C 121. diagonal = 6,2 cm e ângulo formado pelas diagonais = 45º 5 cm e a diagonal BD = 7.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 124. Depois construa a circunferência circunscrita. lado AB = 6. base = 5.0 cm.5 cm e altura = 2. 80 122.4 cm. . perímetro (2p) = 13 cm e base = dobro da altura 123. 5 cm e  = 60º .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. l1 = 3. CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMO Paralelogramo .é o quadrilátero de lados opostos paralelos.Ass 5. sendo dados: 125. l2 = 6. # Podemos observar no paralelogramo ABCD: • os lados opostos são congruentes: AB AD BC DC e ˆ D ˆ • os ângulos opostos são congruentes: A ˆ eB ˆ C ˆ +B ˆ = • dois ângulos consecutivos são suplementares: A 180° • as diagonais cruzam-se em seus pontos médios • a distância de um vértice ao lado oposto ou ao prolongamento desse lado chama-se altura do paralelogramo ( h ou h’ ) • cada uma das diagonais divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes: ABD CDB ABC CDA e # Construa geometricamente o paralelogramo ABCD.5 cm. 81 UD IV . Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. l1 = 4.0 cm e altura h relativa a l2 = 3. 82 126. l1 = 2.7cm.0 cm.5 cm e o ângulo formado pelas diagonais = 45° .5cm 128.7 cm. diagonal maior = 9.3 cm 127. diagonal menor = 6. l2 = 5.0 cm e d1 = 6. l2 = 8. possui os lados transversais não congruentes. os ângulos das bases e as diagonais congruentes. e suas extremidades são os pontos médios dos lados transversais AD + BC • a medida da base média é a média aritmética das bases menor e maior: MN = 2 Classificação dos trapézios e suas principais características 1. 3. # Podemos observar no trapézio ABCD: • os segmentos paralelos são chamados de: base maior ( BC ). Trapézio isósceles . Trapézio retângulo .é todo quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos. . 2. base menor ( AD ) e base média ( MN ) • lados transversais (não paralelos): AB e CD • diagonais: AC e BD ˆ .C ˆ • ângulos internos: A • a distância entre a base maior ( BC ) e a base menor ( AD ) é a altura h ( AH ) do trapézio ˆ +B ˆ + D ˆ = 180° e C ˆ = 180° • os ângulos adjacentes a um lado transversal são suplementares: A • a base média do trapézio é um segmento paralelo às bases maior e menor. Trapézio escaleno .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.possui um dos lados transversais perpendicular às bases.B ˆ e D ˆ. 83 UD IV . CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIO Trapézio . formando dois ângulos retos.Ass 6.possui os lados transversais. de A trace l1 determinando D na outra paralela (D’) 4. 84 # Construa geometricamente o trapézio ABCD. reforce a solução .5 cm. de B trace l2. Passos: 1. determinando B 6. lado1 = 6 cm. lado2 = 5 cm e altura h = 3. Apresente somente uma solução.5 cm (h) 2. lado AD = 50 mm. reforce a solução 130. numa reta suporte qualquer trace CD 2. de D trace AD determinando A ou A’ na diagonal 4. Base maior CD = 85 mm. Passos: 1. na superior trace b (AB) 3. construa duas paralelas distantes 3. Apresente uma solução. base menor AB = 40 mm e a = 30º (ângulo formado pela diagonal CA com CD ). determinando C na outra paralela (C’) 5. em C construa ângulo 30° (suporte da diagonal AC) 3.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. base menor = 4 cm. sendo dados: 129. de A trace AB. por A construa uma paralela a CD 5. base menor CD = 3 cm. de A trace AD determinando D ou D’ na outra paralela (uma solução) 4. construa duas paralelas distantes 5 cm (h) 2. determinando C 5. de D trace CD. bases AB = 10. na inferior trace AB 3.6 cm e CD = 4. lado AD = 5.8 cm.9 cm e altura h = 5 cm Passos: 1.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 85 131. base maior AB = 6 cm. reforce a solução 132. altura h = 5.9 cm e  = 45° . lado AB = 4. base maior AB = 6.0 cm e  = 75° ˆ =  e AD = BC Dica: B 134. base menor BC = 6.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.0 cm e altura h = 3. sendo dados: 133.0 cm Dica: similar ao 129 .0 cm.0 cm. 86 # Construa geometricamente o trapézio isósceles ABCD. lado BC = 4. 5 cm. onde você pode marcar h 136. altura h = 5. base maior BC = 8. base menor AD = 4. 87 135.8 cm Dica: dois ângulos retos . sendo dados: base maior AB = 7.3 cm e altura h = 4.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construa geometricamente o trapézio retângulo ABCD.2 cm Dica: os pontos médios das duas bases pertencem à mesma mediatriz.5 cm.6 cm e base menor CD = 4. é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda). Divisão de circunferências.Ass 1. UD V . Assunto 2. mede o dobro do raio. • Corda .é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). O .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. portanto. • Semi-circunferência . Elementos da circunferência: • Raio (r) . Circunferência: estudo geral e determinação.é a porção do plano limitada por uma circunferência.é o segmento de reta que une as extremidades de um arco.CIRCUNFERÊNCIAS Assunto 1.centro da circunferência. • Arco . • Flecha . • Círculo . • Reta tangente . é um segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência. DT = diâmetro OA = OD = OT = raio DGE = um arco da circunferência DE = uma corda da circunferência. • Reta secante . Daí afirmar-se que a circunferência é o contorno do círculo. r ) . correspondente ao arco DGE FG = flecha do arco DGE reta s = secante H e I = pontos de secância HI = corda determinada pela secante s reta t = tangente T = ponto de tangência I s H D F G E A t • O T .é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência). CIRCUNFERÊNCIA: estudo geral e determinação. • Diâmetro (d) .circunferência de centro no ponto O e raio de medida r.é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente. O círculo é.é um pedaço da curva da circunferência. A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda. • Notação: C ( O .é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência.é a metade da circunferência. 88 UNIDADE DIDÁTICA V . uma superfície. é o arco definido por um diâmetro. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 89 138. Construa geometricamente uma circunferência de centro em O e raio r = 4,3cm. O. 139. Construa geometricamente UMA circunferência de raio = 3,7 cm que passa pelos dois pontos F e G dados. F• • G Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 90 PROPRIEDADES DA CIRCUNFERÊNCIA 140. Na circunferência ao lado: - marque dois pontos A e B e trace a corda AB; - trace a mediatriz m dessa corda, determinando o ponto médio M de AB; - nomeie C e D os pontos comuns da circunferência e da mediatriz. O centro O pertence à reta mediatriz m. Então CD é um diâmetro da circunferência. O ponto C é ponto médio do arco ACB: AC O ponto D é ponto médio do arco ADB: AD BC •o BD Baseado nas informações acima, complete a importante propriedade da circunferência: “A ______________________ de uma corda passa pelo ________________ da circunferência e pelos ________________________________________ dos arcos determinados pela corda” 141. Dada uma circunferência e três pontos P, R e S, determine geometricamente o centro O da circunferência. P. .R . S - Trace as mediatrizes de PR e de SR. Essas mediatrizes cruzam-se em apenas UM PONTO, eqüidistante dos pontos P, R e S. Então podemos concluir que esse ponto é o CENTRO da circunferência. Baseado no exercício acima, complete esta outra importante propriedade da circunferência: “As __________________ de duas cordas não paralelas determinam o ____________ de uma circunferência. Por três pontos não colineares podemos traçar uma única ____________________” Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 91 142. Determine geometricamente o centro O e construa a circunferência que passa pelos três pontos dados P, T e U, não colineares. T • P• • U 143. Construa geometricamente um diâmetro qualquer PC na circunferência dada, de centro desconhecido. DIVISÕES EXATAS: 3. • O .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.O . 92 UD V . centro em B abertura BO. trace um diâmetro AB qualquer 2.O Passos: 1.Ass 2. AC = AD = CD = l3 145. • O . DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS # construção de polígonos regulares inscritos # polígono regular inscrito: polígono cujos lados são congruentes e cujos vértices pertencem à circunferência circunscrita. 6 e 8 partes 144.O • O . 4. Divida geometricamente a circunferência dada em 3 partes iguais. Divida geometricamente as circunferências dadas em 3 partes iguais e inscreva o triângulo eqüilátero. 1. trace um arco determinando C e D 3. O . Divida geometricamente as circunferências dadas em 4 partes iguais e inscreva o quadrado. • O . AB = BC = CD = DA = l4 147.O • O . trace dois diâmetros perpendiculares entre si. • O .O Passos: 1. C e D 2. Divida geometricamente a circunferência dada em 4 partes iguais. determinando os pontos A. B. 93 146.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Divida geometricamente a circunferência dada em 6 partes iguais. 94 148. a partir de um ponto A (qualquer) da circunferência. • O . E e F 2.O Passos: 1. marque os pontos B. Divida geometricamente as circunferências dadas em 6 partes iguais e inscreva o hexágono regular. D. C.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.O . r = l6 149. • O . abertura igual ao raio.O • O . • O .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 95 150. Dica: divida em 4 partes e trace as bissetrizes dos ângulos retos • O .O . Divida geometricamente as circunferências dadas em 8 partes iguais e inscreva o octógono regular.O 151.O • O . Divida geometricamente a circunferência dada em 8 partes iguais. • O . • O . 96 2. determinando N 4. trace um arco. 9 e 10 partes 152. DIVISÕES APROXIMADAS: 5. Divida geometricamente as circunferências dadas em 5 partes iguais e inscreva o pentágono regular.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.O . raio MB. centro em M. BN = l5 (aproximado) 153. 7.O • O . Divida geometricamente a circunferência dada em 5 partes iguais. trace dois diâmetros perpendiculares entre si. obtendo o ponto X 2.O Passos: 1. determine o ponto médio M de OX 3. O .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. l7 = l3 (aproximado) 2 155.O • O . Divida geometricamente a circunferência dada em 7 partes iguais.O Passos: 1. determine l3 2. Divida geometricamente as circunferências dadas em 7 partes iguais e inscreva o heptágono regular. • O . 97 154. • O . determine P’’’ no prolongamento do diâmetro 4.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. centro em P’’’ e raio P’’’P. trace o arco determinando N 5. 98 156. Divida geometricamente a circunferência dada em 9 partes iguais. determine P’ 3. centro em P” e raio P’P’’. trace dois diâmetros perpendiculares entre si. AN = l9 (aproximado) 157.O • O . P e P’’ 2. • O .O Passos: 1. Divida geometricamente as circunferências dadas em 9 partes iguais e inscreva o eneágono regular. centro em P e raio OP. • O .O . determinando os pontos A. 1. centro em M. cujos catetos são OB = r = l6 e ON = l10 e a hipotenusa BN = l5.3. trace um arco.O . Divida geometricamente a circunferência dada em 10 partes iguais.O • O . 99 158. Divida geometricamente as circunferências dadas em 10 partes iguais e inscreva o decágono regular. verá que ao determinar o ponto N.O Passos: 1. determine o ponto médio M de OX 1. ON = l10 (aproximado) B l5 N l6 O Observação: se você prestar atenção na resolução deste exercício. trace dois diâmetros perpendiculares entre si.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. • O . obtendo os pontos X e B 1. obtemos o triângulo retângulo OBN. raio MB. conforme mostra a figura ao lado l10 159. determinando N 2. • O .2. siga os 3 passos para determinar o l5: 1. 7. evite traçar retas longas quando for possível somente marcar pontos) 1. 3. partindo de A = 0 4.O Passos orientados pelo professor: (neste exercício.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Divida geometricamente a circunferência dada em 12 partes iguais e inscreva o polígono regular. a circunferência deverá ficar dividida pelo número de partes solicitado no exercício. agora partindo de C’ e marcando a circunferência do outro lado 6. trace um diâmetro AB vertical 2. 5. centro em A e em B e raio AB. numerando somente os pontos ímpares (neste caso: 1. partindo de C e passando por cada um dos pontos ímpares assinalados no item anterior. marque os pontos na circunferência do outro lado (Ex: sai de C. divida AB pelo mesmo número de partes (pontos) que se deseja dividir a circunferência (neste caso: 11). passa por 1 e na seqüência vai encontrar a circunferência) 5. no final dos traçados. trace dois arcos determinando os pontos C e C’ 3. 9 e 11).O . mesma coisa do item 4. evite fazer traçados desnecessários. • O . 100 3.Processo de RINALDINI 160. DIVISÕES APROXIMADAS: 11 partes em diante . • O . Divida geometricamente a circunferência dada em 11 partes iguais. lembrando que este processo é aproximado 161. 101 162.O 163.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.O . Divida geometricamente a circunferência dada em 14 partes iguais e inscreva o polígono regular. • O . Divida geometricamente a circunferência dada em 13 partes iguais e inscreva o polígono regular. • O . 3 2 4 • O . delimite as partes desejadas de acordo com a proporção (neste caso: 1 parte para o K.O . some os denominadores para obter o número de partes a dividir a circunferência (neste caso: 1 + 3 + 4 = 8 partes). reforce a solução 165.EDUARDO. Represente no círculo abaixo as partes que cada um comeu. divida a circunferência pelo número de partes obtido (neste caso: 8) 3. MAURÍCIO e PAULO. compraram uma pizza grande. Divida o círculo dado na proporção K 1 L 3 B . 2. 4 • O . 3 partes para o L e 4 partes para o B) 4. 102 4.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. que foi dividida em 9 pedaços iguais. sabendo que a PAULO EDUARDO MAURÍCIO proporção foi a seguinte: = = . DIVISÕES PROPORCIONAIS 164. Três amigos .O Passos: 1. Na figura ao lado. 103 UNIDADE DIDÁTICA VI . Na figura ao lado. T • t •O reta exterior .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Retas tangentes a circunferências. Posições relativas de uma reta e uma circunferência reta secante . os pontos S1 e S2 são os pontos de secância e S 1S 2 é a corda da circunferência que está contida na reta secante s. a reta e a circunferência não possuem ponto(s) em comum. Na figura ao lado. Circunferências tangentes a circunferências. Assunto 2.uma reta exterior a uma circunferência é uma reta que não intercepta a circunferência. Assunto 3. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. a reta e é uma reta exterior à circunferência. podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto T.uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos S1 e S2. o ponto T é o ponto de tangência e a reta t é uma reta tangente à circunferência.POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Assunto 1. a reta s é uma reta secante à circunferência. S2 • •O • S1 s reta tangente . Circunferências tangentes a retas. ou seja. •O e . encostam) duas a duas.introdução A figura abaixo representa duas rodas dentadas e uma cremalheira. . podemos notar que sua estrutura básica é constituída por duas circunferências e uma reta que se tangenciam (tocam. T r . partes da engrenagem de um motor. 104 TANGÊNCIA . • O T1 . Desconsiderando os detalhes.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.C . num ponto comum chamado ponto de tangência. Na figura abaixo T é o ponto de tangência entre a reta r e a circunferência de centro C e T1 é o ponto de tangência entre as duas circunferências de centros O e C. Observe o exemplo acima. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência dada. T • r •O Condição de tangência entre uma reta e uma circunferência Quando uma circunferência e uma reta estão em tangência. A reta suporte do raio perpendicular à tangente é chamada de reta normal. Identifique o ponto de tangência T. 105 UD VI . Agora enuncie a propriedade: “A reta_______________________ a uma circunferência é SEMPRE perpendicular ao raio que tem por extremidade o _______________ de _______________________” 166. RETAS TANGENTES A CIRCUNFERÊNCIAS Uma reta é tangente a uma circunferência quando há apenas um ponto comum entre elas e esse ponto é chamado ponto de tangência.Ass 1. o raio da circunferência sempre é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. a reta r é tangente à circunferência de centro O no ponto de tangência T.O . Na figura. • O . construa uma perpendicular a OT passando por T 168. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência. que necessariamente passará por T 3.O Passos: 1. 1.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. . • O . 106 167. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência cujo centro é desconhecido. construa a mediatriz de AB. abertura qualquer. construa uma perpendicular à mediatriz de AB passando por T .T Passos: . trace a reta OT 2.Precisamos construir um diâmetro que passe por T. marque dois pontos A e B na circunferência 2. Sabemos que a mediatriz de qualquer corda passa pelo centro da circunferência. passando pelo ponto de tangência T dado. ponta seca em T. passando pelo ponto de tangência T dado.T • O . construa geometricamente retas tangentes à circunferência.P Passos: 1. construa as duas tangentes t1 e t2 ligando P com os pontos T1 e com T2 . obtendo os pontos T1 e T2 na circunferência 3. construa duas tangentes à circunferência que passem pelos pontos de tangência T1 e T2 170. construa uma perpendicular ao lado do ângulo que não está apoiado em r. 107 169. Dada uma circunferência e um ponto P fora dela.O . que formem com a reta r um ângulo a .os triângulos retângulos OT1P e OT2P estão inscritos em semi-circunferências (arco capaz de 90°) . a •O r Passos: 1. • O . descreva dois arcos que determinam na circunferência os pontos T1 eT2 3. com centro em M e raio MO.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. transporte o ângulo a para a reta r 2. trace geometricamente as retas tangentes à circunferência ( t1 e t2 ) que passem por P. uma reta r e um ângulo a . passando pelo centro O. Dada uma circunferência. trace OP e determine seu ponto médio M 2. determine graficamente a diferença entre os raios das circunferências dadas (r1 . construa a circunferência auxiliar de raio r3 4.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. centro em M e raio MO1. Construa geometricamente duas retas tangentes exteriores às duas circunferências dadas. ligue O1 e O2 e determine o ponto médio M do segmento O1O2 3. • O . trace uma reta determinando T1 na circunferência dada (maior) 6.O1 • O2 Passos: 1.r2) e chame de r3 2. • O1 • O2 . trace um arco cortando a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2 5. unindo T2 com T4 obtém–se a tangente exterior t2 172. unindo T1 com T3 obtém–se a tangente exterior t1 10. trace uma reta determinando T2 na circunferência dada (maior) 7. por O2 trace uma paralela a O1T2 obtendo T4 na circunferência de centro O2 9. centro em O1. 108 171. numa reta auxiliar. Construa geometricamente duas retas tangentes exteriores às duas circunferências dadas. por O2 trace uma paralela a O1T1 obtendo T3 na circunferência de centro O2 8. partindo de O1 e passando por 2. partindo de O1 e passando por 1. determine graficamente a soma entre os raios das circunferências dadas (r1+ r2) e chame de r3 2. determinando T2 na circunferência dada (menor) 7. Construa geometricamente duas retas tangentes interiores às duas circunferências dadas. Construa geometricamente duas retas tangentes interiores às duas circunferências dadas. centro em M e raio MO1.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. trace O11. por O2 trace uma paralela a O1T2 obtendo T4 na circunferência de centro O2 9. construa a circunferência auxiliar de raio r3 4. ligue O1 e O2 e determine o ponto médio M do segmento O1O2 3. trace um arco cortando a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2 5. unindo T1 com T3 obtém–se a tangente interior t1 10. • O1 • O2 Passos: 1. unindo T2 com T4 obtém–se a tangente interior t2 174. por O2 trace uma paralela a O1T1 obtendo T3 na circunferência de centro O2 8. • O1 • O2 . 109 173. determinando T1 na circunferência dada (menor) 6. centro em O1. trace O12. numa reta auxiliar. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 175. Divida geometricamente as circunferências dadas em 3 partes iguais e circunscreva o triângulo eqüilátero.O . 110 # construção de polígonos regulares circunscritos # polígono regular circunscrito: polígono cujos lados (congruentes) são tangentes à circunferência inscrita. • O . nos pontos de tangência. Divida geometricamente as circunferências dadas em 4 partes iguais e circunscreva o quadrado.O 176. • O . 111 177. • O .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. • O .O 178. Divida geometricamente a circunferência dada em 11 partes iguais e circunscreva o polígono regular.O . Divida geometricamente as circunferências dadas em 5 partes iguais e circunscreva o pentágono regular. a circunferência de centro O é tangente à reta r no ponto de tangência T.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 179. CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A RETAS Uma circunferência é tangente a uma reta quando há apenas um ponto comum entre elas e esse ponto é chamado ponto de tangência. o raio da circunferência sempre é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. T • r •O Condição de tangência entre uma circunferência e uma reta Quando uma circunferência e uma reta estão em tangência.Ass 2. 112 UD VI . Observe o exemplo acima. Na figura. •O t . com centro em O. Construa geometricamente uma circunferência tangente a uma reta t dada. sendo dado o ponto T de tangência em r.... tangente à reta t em T. Construa geometricamente uma circunferência tangente às duas retas concorrentes dadas.5 cm. Construa geometricamente uma circunferência de raio = 2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.. Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante das retas s e r (LG . T • t 181.) s • T r .. 113 180. T r 183..M .. Construa geometricamente uma circunferência tangente à reta r dada no ponto de tangência T.) s • T r .. 114 182... Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante das retas s e r (LG . Construa geometricamente uma circunferência tangente às duas retas paralelas dadas.. que passe pelo ponto M ( MT é corda da circunferência). sendo dado o ponto T de tangência em r...) .. Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante dos pontos T e M (LG ...Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.Ass 3.são circunferências com centros diferentes. se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2.são circunferências que possuem dois pontos comuns circunferências tangentes . circunferências secantes .são circunferências que possuem um só ponto em comum (ponto de tangência). Podem ser interiores ou exteriores. CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A CIRCUNFERÊNCIAS Posições relativas entre circunferências circunferências internas .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. circunferências excêntricas .duas ou mais circunferências com os centros coincidentes mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. 115 UD VI . Podem ser exteriores ou interiores. circunferências tangentes .uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2. circunferências concêntricas . • O2 • O1 185.. Construa geometricamente uma circunferência de centro O2 dado.. se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. 116 # duas circunferências que estão no mesmo plano são tangentes entre si.. (LG . Construa geometricamente uma circunferência tangente à circunferência dada no ponto T dado e que passe pelo ponto P. # os centros e o ponto de tangência são colineares (estão na mesma reta): OTO ou TOO tangentes externas # a distância entre os centros é igual à soma dos raios: d(O1. tangente à circunferência de centro O1 dado. O2) = r1 – r2 # 184.) •O •T •P .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.. Dica: o centro está eqüidistante dos pontos P e T. O2) = r1 + r2 # tangentes internas # a distância entre os centros é igual à diferença dos raios: d(O1... ..O • S 187. ligue OT e construa uma perpendicular a OT passando por T. Dica: o centro está eqüidistante dos pontos S e T.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. construa a circunferência pedida. sendo T o ponto de tangência. Construa geometricamente uma circunferência tangente à dada e que passe no ponto S..) •T .. construa agora uma perpendicular a r passando por O1. determinando o ponto X em r 2. construa a bissetriz do ângulo TXr. determinando T1 . 117 186.ponto de tangência entre a circunferência e a reta 4.. determinando O1 na reta OT 3.. com centro em O1 e raio O1T ou O1T1 . Construa geometricamente uma circunferência tangente à reta r dada e tangente à circunferência dada no ponto T. r •T •O Passos: 1. (LG . com centro em O1 e raio O1P. Construa geometricamente uma circunferência de centro O3 e r3 = 2 cm. •O • P r Passos: 1. 118 188. • O1 • O2 Passos: 1. O3 está (r1 + r3) de O1 e (r2 + r3) de O2 189. que seja tangente externa às duas circunferências dadas. construa a circunferência pedida .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. determine (r1 + r3) e (r2 + r3) 2. determinando O1 na perpendicular construída 3. construa a mediatriz de OQ. trace uma perpendicular a r por P e marque PQ = raio da circunferência dada para baixo de r 2. Construa geometricamente uma circunferência que seja tangente à circunferência dada e tangente à reta r dada no ponto P. Em geometria. Podemos ligar um arco de circunferência e uma semi-reta ou dois arcos de circunferência de maneira aleatória. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONCORDÂNCIA. Concordância Reversão C . é necessário que eles sejam tangentes e que possamos passar de um para outro com suavidade. Assunto 2. Assim. Se o arco e a semi-reta estiverem do mesmo lado da normal (perpendicular). Concordância A palavra concordância sugere harmonia. dizemos que há uma reversão. mas. dizemos que há uma reversão.CONCORDÂNCIA Assunto 1. Princípios fundamentais. Concordância Reversão Se os dois arcos estiverem do mesmo lado da linha dos centros. significa estabelecer a concordância entre duas linhas (semi-retas e/ou curvas) e uni-las de modo que não sejam formados ângulos nos pontos de união. 119 UNIDADE DIDÁTICA VII .Ass 1. de contato. Gola e Ducina. ausência de conflitos. Concordância dupla. UD VII . para que haja concordância entre esses pares de objetos. Agora chamaremos o ponto de tangência de ponto de concordância (de contato das duas linhas em concordância) e cada um dos centros das circunferências suportes dos arcos concordantes de centro de concordância. a passagem de uma linha para outra se dá harmoniosamente.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 120 A concordância baseia-se em dois princípios fundamentais: 1° - Para concordar uma semi-reta e um arco de circunferência, é necessário que a reta seja tangente à curva no ponto de concordância. Neste caso a perpendicular à semi-reta nesse ponto contém o raio e o centro da curva. Há concordância Não há concordância 2° - Para concordar dois arcos de circunferência, é necessário que as duas circunferências sejam tangentes no ponto de concordância e, neste caso, os centros dos dois arcos e o ponto de concordância pertencem à mesma reta, são colineares. Há concordância Não há concordância , C Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 121 1. Concordância entre uma semi-reta e um arco: o raio do arco concordante é sempre perpendicular à semi-reta concordante no ponto de concordância. 190. Concorde a semi-reta Pr dada com um arco de circunferência de 2,5 cm de raio, sabendo que P é o ponto de concordância. P r Passos: 1. construa a perpendicular à semi-reta no ponto P 2. marque nos dois lados da perpendicular o raio = 2,5 cm, determinando os pontos O1 (acima) e O2 (abaixo) 3. centro em O1 e abertura O1P, construa uma solução (sentido horário) 4. centro em O2 e abertura O2P (= O1P), construa a outra solução (sentido anti-horário) 191. Concorde a semi-reta Ma com um arco que passe pelo ponto P, sendo M o ponto de concordância. M a •P Passos: 1. perpendicular à semi-reta no ponto M 2. ligue MP e trace sua mediatriz, determinando o ponto O no encontro com a perpendicular 3. centro em O, construa o arco pedido Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 122 192. Concorde o arco AC de centro O dado com uma semi-reta, sendo A o ponto de concordância. C • •O • A Passos: 1. ligue OA (prolongar) 2. no ponto A trace uma perpendicular a AO, com origem em A 3. reforce a solução 193. Concorde, no ponto de concordância X, a semi-reta Xy dada com os seguintes arcos: a. arco XA de 2 cm de raio, no sentido horário b. arco XB de 1 cm de raio, no sentido anti-horário c. arco XC de 4 cm de raio, no sentido horário d. arco XD de 3 cm de raio, no sentido anti-horário Obs: trace arcos de 180° (semi-circunferências) X y 3 cm (raio) de E. os pontos O1 (à esquerda) e O2 (à direita) 3. construa o arco pedido . trace a reta OE 2. prolongue BO até a mediatriz. 194. centro em O2 e abertura O2E (= O1E) construa a outra solução (sentido horário) 195.. K • •O •M • B Passos: 1. Concordância entre arcos: os centros dos dois arcos e o ponto de concordância são colineares. 123 2. Concorde o arco KB dado com outro arco de mesmo sentido. mediatriz de MB 2. sendo B o ponto de concordância (tangente interna). com centro em O1. determinando O1 3.3 cm. Concorde o arco DE dado com arcos de circunferência de raio = 2. distantes 2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. que passa pelo ponto M. marque sobre OE. centro em O1 e abertura O1E construa uma solução (sentido anti-horário) 4. D• •O •E Passos: 1. sendo D e E o ponto de concordância. sendo C o ponto de concordância. de mesmo sentido a. que passa pelo ponto N. com centro em O1. de sentido oposto a. de mesmo sentido • P •O • C . mediatriz de FN 2. CB de raio = 3 cm. prolongue OF até a mediatriz. T • •O • F •N Passos: 1. PD de raio = 2 cm. PE de raio = 4 cm. Concorde o arco PC dado com os seguintes arcos: a. sendo F o ponto de concordância (tangente externa). construa o arco pedido 197. sendo C o ponto de concordância. sendo P o ponto de concordância.. CA de raio = 1 cm. 124 196. de sentido oposto a.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. sendo P o ponto de concordância. Concorde o arco FT dado com outro arco de sentido oposto. determinando O1 3. apoiada na mediatriz do vão A centro semi-reta B vão AB = distância entre as semi-retas 198.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 125 Concordância de semi-retas paralelas 1.2 cm. W K X Y 199. os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é igual à metade do vão. Construa geometricamente dois arcos romanos: um com vão WX e outro com vão KY . ARCO PLENO ou ROMANO .arco simples (possui apenas um centro). flecha . Construa geometricamente um arco pleno com vão AB = 4. . de mesmo sentido 1a. ligue VW e trace sua mediatriz 2.Ass 2. ligue O3O2 e prolongue 9. determinando o ponto Z 6. trace a mediatriz de O1Z. UD VII . a partir de W. Construa geometricamente um arco romano com flecha = 2. próximo de V (aproximadamente 1 cm) 4. com flecha = 2 cm. flecha A B semi-reta vão AB 201.centro em O2 e raio O2W.b ARCO ABATIDO . até encontrar a reta O3O2. concluindo.centro em O1 e raio O1V.5 cm. até encontrar a reta O3O1. 126 200. Passos: 1. marque um ponto O1 qualquer em VW. a partir de Y. pegue a medida VO1 e marque em VW. ligue O3O1 e prolongue 8. determinando o ponto de concordância C1 2° . marque a flecha. os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é menor que a metade do vão.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. até encontrar C2. ainda com a mesma medida VO1. construa 3 arcos concordantes: 1° . determinando o ponto de concordância C2 3° . determinando O3 na mediatriz de VW 7. marque na flecha. Este último arco necessariamente deverá passar por Y V W .arco composto (possui três centros). Construa geometricamente um arco abatido para as semi-retas dadas.centro em O3 e raio O3C1. determinando o ponto Y 3. CONCORDÂNCIA DUPLA 1. determinando o ponto O2 5. ARCO OGIVAL . flecha A B semi-reta vão AB . os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é maior que a metade do vão.arco composto (possui dois centros). 127 202.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. A intersecção dos dois arcos dá o vértice da curva. Os arcos não são concordantes entre si na extremidade da flecha. definindo o arco ogival. com flecha = 3. Construa geometricamente um arco abatido para as semi-retas dadas.5 cm. V W 1c. mas apenas com as semi-retas. centro em O2 e raio O2R. sabendo que sua flecha é igual ao vão. levanta outro arco até P Q R 204. determinando O2 em QR .para determinar os centros dos arcos: 3. como foi dada a medida da flecha. determinando O1 em QR 4. Construa geometricamente um arco ogival para as semi-retas de vão KW = 10 cm e flecha = 7 cm. Construa geometricamente o arco ogival para as semi-retas abaixo. trace a mediatriz de PR. determinando o ponto P . trace a reta QR. trace a mediatriz de PQ. devemos marcá-la na mediatriz de QR.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Passos: 1. prolongando para os dois lados 2. 128 203. Obs: use a reta dada para suporte de K e W e não esqueça de construir as semi-retas para baixo . levanta um arco até P 6.construa agora os dois arcos: 5. centro em O1 e raio O1Q. Passos: 1. 206. centro em S e raio ST.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. o vão ST é o raio dos arcos a serem traçados (observe que assim você estará construindo um triângulo eqüilátero) 1. determinando O2 na perpendicular por B 5. distante menos que a metade do vão 3. construa duas perpendiculares às semi-retas. Construa geometricamente um arco ogival eqüilátero para as semi-retas dadas. próximo de A. determinando C (BC AO1) 4. na perpendicular traçada por A. Construa geometricamente um arco esconso para as semi-retas dadas. centro em O1 e raio O1A. na outra perpendicular. ARCO ESCONSO . levanta um arco 2. levanta um arco até a reta O2O1. ligue O2O1 prolongando . uma por A e outra por B e ambas para dentro do vão 2. Passos: .arco composto (possui dois centros). trace a mediatriz de O1C. levanta outro arco S T 1d. A distância ente as duas semi-retas ainda é chamada de vão. 129 205. centro em O2 e raio O2B. determinando o ponto de concordância D 7. levanta um arco até o ponto de concordância D A B .como o arco é eqüilátero.construa agora os dois arcos: 6. centro em T e raio ST. medida AO1. a partir de B. marque O1 qualquer. os extremos não estão sobre a mesma linha horizontal. ligue AB e marque um ponto de concordância C qualquer em AB 2. sendo o ponto de concordância qualquer.construa agora os dois arcos: 3. trace as mediatrizes de AC e de CB. 208. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola AB. respectivamente . os extremos estão alinhados na mesma perpendicular às duas semiretas paralelas de sentidos opostos. A Passos: 1. 130 207. centro em M2 e raio M2B.arco composto.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. marcando os pontos médios M1 e M2. concorde outro arco no sentido horário até o ponto de concordância C B . ARCO GOLA . de sentidos opostos 2a. concorde um arco no sentido horário até o ponto de concordância C 4. Construa geometricamente um arco esconso para as semi-retas dadas. centro em M1 e raio M1A. B A 2. Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola XY. S T . X Y 210. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola ST. 131 209. com o ponto de concordância distante 2. sendo o ponto de concordância o ponto médio de XY.4 cm de T. centro em O1 e raio O1A.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina GK.arco composto. G K .construa agora os dois arcos: 5. 211. uma por A e a outra por B 2. os extremos não estão alinhados na mesma perpendicular às duas semi-retas paralelas de sentidos opostos. sendo o ponto de concordância qualquer. sendo o ponto de concordância o ponto médio de GK. construa duas perpendiculares às semiretas dadas. ARCO DUCINA . A Passos: 1. trace a mediatriz de AC e marque O1 na perpendicular por A 4. concorde outro arco no sentido horário até o ponto de concordância C B 212. ligue AB e marque um ponto de concordância C qualquer em AB 3. 132 2b. centro em O2 e raio O2B. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina AB. concorde um arco no sentido horário até o ponto de concordância C 6. trace a mediatriz de BC e marque O2 na perpendicular por B . Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. uma em R e a outra em S. centro em O1 e raio O1R.3 cm de D. com o ponto de concordância distante 4. determinando o ponto médio O2 4. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina DE. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos. sendo R e S os pontos de concordância. D E Concordância de semi-retas perpendiculares (nos prolongamentos) 214. 133 213. determinando o ponto de concordância C na perpendicular traçada por S 3. concorde um arco de 270°. concorde outro arco até C . trace a mediatriz de CS. R S Passos: 1. centro em O2 e raio O2S. trace duas perpendicular às semi-retas. determinando o ponto O1 no encontro das duas 2. uma em A e a outra em B.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. sendo A e B os pontos de concordância. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos. determinando o ponto O1 no encontro das duas 2. trace duas perpendicular às semi-retas. B Passos: 1. centro em O1 e raio O1A. 134 215. concorde um arco até a perpendicular traçada por B determinando o ponto de concordância C 3. M N Concordância de semi-retas concorrentes não perpendiculares (nos prolongamentos) 216. trace a mediatriz de CB. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos. sendo M e N os pontos de concordância. centro em O2 e raio O2B. determinando o ponto médio O2 4. concorde outro arco até C A . Concorde as duas semi-retas dadas por meio de arcos. sendo L e U os pontos de concordância. sendo Q e P os pontos de concordância. 135 217. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos. P Q 218. L U .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. obtém-se o segmento de reta que corresponde ao comprimento da circunferência. Retificação de arcos .Ass 1. Problemas inversos sobre retificação. Veremos três deles. PROCESSO DE ARQUIMEDES DE RETIFICAÇÃO. 136 UNIDADE DIDÁTICA VIII . Retificação de arcos .problema direto. aproximadamente. Problema direto: processo de Arquimedes. que é curva. e Arquimedes também sabia. Problema direto: processo de Terquem.RETIFICAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA Assunto 1.d = (3 + 0.14. torne-se reta.retificar uma circunferência é fazer com que toda a sua linha. Então: dividindo-se o diâmetro de uma circunferência em 7 partes iguais e transportando essa medida mais 3 vezes a medida do diâmetro sobre uma reta suporte. o triplo mais um sétimo do diâmetro. desenvolvidos por vários geômetras. que vale aproximadamente 3. Problema direto: processo do segmento-soma. Assunto 5. Assim: C d d 1 d = 3d + 7 7 p= C = p d = 3.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Assunto 2.14)d = 3d + 0. É o mesmo que traçar o segmento de reta que corresponde à medida de seu comprimento. Existem diversos métodos de retificação. Assunto 4.1416.problema inverso. Assunto 6. Arquimedes concluiu que o comprimento de uma circunferência é. Como sabemos. Assunto 3. Introdução .14d = 3d + C = 3d + d 7 Deste modo. . Tal razão é representada pela letra grega p (pi). existe uma razão constante entre o comprimento (C) de qualquer circunferência e seu diâmetro (d). UD VIII . Passos: 1. Construa uma circunferência de raio = 2. Utilize a reta suporte abaixo. 221. transporte para a reta suporte a sétima parte do diâmetro e mais três vezes o diâmetro 3. •O . trace um diâmetro AB na circunferência e divida-o em 7 partes 2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Arquimedes. identifique e reforce a solução •O 220. Utilize a reta suporte abaixo. 137 219. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte abaixo.5 cm e depois a retifique graficamente pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte abaixo.l3 sendo l4 = lado do quadrado inscrito na circunferência l3 = lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência Então: dividimos a circunferência em 4 partes iguais e determinamos o l4. Utilize a reta suporte abaixo. Assim. 138 UD VIII .l4 + 2. Acompanhe o raciocínio: sabemos que 2 = 1. Transportando duas vezes cada uma das medidas obtidas (l3 e l4) sobre uma reta suporte. determine o l3 3. •O .r = 2( 2 + 3 )r = 2(r 2 + r 3 ).p. PROCESSO DO SEGMENTO-SOMA DE RETIFICAÇÃO. 2 + 3 = 3. Passos: 1. a seguir dividimos a circunferência em 3 partes iguais e determinamos o l3. identifique e reforce a solução •O 223. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo do segmento-soma.Ass 2.73.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo do segmento-soma. transporte para a reta suporte duas vezes cada uma das medidas obtidas 4. 222.41 e 3 = 1. obtemos o segmento de reta que corresponde ao comprimento da circunferência.14 = p p= C d C = p d = 2. determine o l4 2. mas r 2 = l4 e r 3 = l3 C = 2. para obter o comprimento C = 2 pr some duas vezes AD numa reta suporte auxiliar 7. ligue AD. 139 UD VIII .identifique com A a extremidade inferior e com B a superior 2. Utilize a reta suporte abaixo. um lado OB e o outro lado corta a perpendicular ao diâmetro à esquerda de B. construa um ângulo de 30° com: vértice em O. marque na perpendicular 3 vezes o raio da circunferência. Utilize a reta suporte abaixo. construa uma perpendicular ao diâmetro passando por B 3. . que corresponde a pr 6.Ass 3. a partir de C. determinando o ponto C 4. Construa uma circunferência de raio = 2.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. trace um diâmetro AB na posição vertical . PROCESSO DE TERQUEM DE RETIFICAÇÃO. identifique e reforce a solução 225.5 cm e depois a retifique graficamente pelo processo de Terquem. •O Passos: 1. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Terquem (ou tangente de 30°). determinando o ponto D 5. 224. Resposta: r = ____________ cm . Para se obter o raio. 140 UD VIII . 1. A B O. ou seja. dividimos o diâmetro ao meio. conhecendo-se a medida dela retificada. determinando assim o diâmetro da circunferência.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.d = (3 + 0.Consiste em se determinar a medida do raio de uma circunferência.14. processo inverso de Arquimedes Já vimos que: p= C d C = p d = 3.14d = 3d + d 1 d = 3d + 7 7 C = 3d + d 7 d 22d 7C = d= . Utilizando o processo inverso de retificação de Arquimedes e sabendo que uma circunferência retificada mede AB . Os mesmos conhecimentos que permitiram resolver o problema direto podem ser utilizados na resolução do problema inverso. PROBLEMA INVERSO SOBRE RETIFICAÇÃO (DESRETIFICAÇÃO) . Então C = 3d + 226. determine geometricamente a medida do raio r dessa circunferência e construa a circunferência com centro em O dado.14)d = 3d + 0. PROBLEMAS INVERSOS SOBRE RETIFICAÇÃO.Ass 4. dividimos o comprimento da circunferência retificada em 7 7 22 22 partes e pegamos 7. Determine graficamente a medida do raio r de uma circunferência. pelo processo inverso de retificação de Arquimedes. Resposta: r = ____________ cm . pelo processo inverso de retificação de Arquimedes. Determine graficamente a medida do raio r de uma circunferência. 141 227. Resposta: r = ____________ cm 228. cujo comprimento é 14 cm.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. cujo comprimento é 18 cm. determinando R pr' r' = 5. utilizamos segmentos proporcionais. determinando Q 4. no outro lado do ângulo dado. reforce a solução r = ST . sabemos que AB = 2pr (comprimento da circunferência dada). marque pr (determinado no passo 1) a partir de P.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Divida AB ao meio (diminua o tamanho de AB nas duas extremidades para facilitar o traçado da mediatriz) e determine a medida de pr (metade de 2pr) 2. num dos lados do ângulo dado. processo inverso de Terquem 229. marque pr’ a partir de P. determinando T no outro lado 7. a partir de Q. P Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 226) Passos: 1. 142 2. que será visto com maiores detalhes no 9° ano: 3. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma circunferência retificada mede AB . construa uma circunferência de raio r’ qualquer com centro em O’ dado e retifique-a por Terquem obtendo pr’ . ligue SQ e trace uma paralela a SQ partindo de R. marque r’.para se determinar o raio pedido. determinando S pr r 6. determine geometricamente a medida do raio r dessa circunferência. A B O’. nesse mesmo lado. determine geometricamente a medida do raio r dessa circunferência. 143 230.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma circunferência retificada mede 14 cm. Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 227) . Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 228) . determine geometricamente a medida do raio r dessa circunferência. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma circunferência retificada mede 18 cm.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 144 231. Daí o termo retificar um arco.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. ajuste-o à curva entre os pontos. complete a circunferência 2. mediatriz de OC M1 5. construa uma tangente t à circunferência. é fácil calcular o comprimento de um arco de uma determinada curva: pegue um pedaço de barbante. Retificar um arco de circunferência é construir um segmento de reta cujo comprimento é igual ao comprimento do arco. Retifique geometricamente o arco AB de centro O dado. Retificação de arcos 1. o problema é um pouco mais complicado.PROBLEMA DIRETO. 145 UD VIII . 2pr l 360° x° l= prx 180 B • A • •O Passos: 1. passando por A 4. Algebricamente. estique o fio e meça o seu comprimento com uma régua. centro em C e raio CM2. determinando E na tangente t 8. utilizamos regra de três simples. menor que 90°. mas vamos estudar um processo aproximado de erro teórico desprezível. mediatriz de OM1 M2 6. Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados. ligue DB. RETIFICAÇÃO DE ARCOS . Como acontece na circunferência. Fisicamente.Ass 5. trace um arco determinando D no prolongamento do diâmetro AC 7. sendo l o comprimento do arco retificado e x° a medida do arco em graus. suporte do raio AO. trace a reta s. arco menor que 90° (arco < 90°) 232. não há processo exato para retificação de arcos. Geometricamente. determinando C na outra ponta do diâmetro AC 3. reforce a solução: AE . Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. Construa geometricamente um arco de 75° na circunferência dada e depois retifique o arco construído.O Resposta: _________ cm 234.O Resposta: _________ cm . . Construa geometricamente um arco de 60° na circunferência dada e depois retifique o arco construído. . determinando sua medida aproximada. determinando sua medida aproximada. 146 233. trace um arco determinando E no prolongamento do diâmetro CD 7. determinando D na outra ponta do diâmetro CD (a partir daqui. trace a reta s passando por O. serão duas retificações de arcos menores que 90°: um para cima e outro para baixo) 3. 147 2. ligue EB. determinando G na tangente t 9. arco entre 90° e 180° (90° < arco < 180°) 236. mediatriz de OM1 M2 6. determinando F na tangente t 8. passando por C 4. Retifique geometricamente um arco de 90° pertencente à circunferência dada. centro em D e raio DM2. construa uma tangente t à circunferência. ligue EA. 2pr 360° Dica: retifique por Terquem e divida pr ao meio. a partir do ponto C (próximo ao ponto médio do arco).Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. complete a circunferência 2. reforce a solução: FG . pr 180° pr 90° 2 •O Resposta: _________ cm 3. Retifique geometricamente o arco AB de centro O dado. determinando sua medida aproximada. B • •O • A Passos: 1. arco igual a 90° (arco = 90°) 235. mediatriz de OD M1 5. cuja medida está entre 90° e 180°. determinando sua medida aproximada. Construa geometricamente um arco de 135° na circunferência dada e depois retifique o arco construído.O Resposta: _________ cm 238. . Construa geometricamente um arco de 120° na circunferência dada e depois retifique o arco construído. 148 237. •O Resposta: _________ cm .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. determinando sua medida aproximada. Retifique geometricamente um arco de 180° pertencente à circunferência dada.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. arco igual a 180° (arco = 180°) 239. determinando sua medida aproximada. determinando sua medida aproximada. 2pr 360° Dica: retifique por Terquem e pr é a solução. 149 4. •O Resposta: _________ cm . Retifique geometricamente um arco de 180° pertencente à circunferência dada. pr 180° pr 90° 2 .O Resposta: _________ cm 240. Retifique geometricamente um arco de 300° pertencente à circunferência dada. retifique o arco replementar daquele cuja retificação se pede (neste caso: 360° . determinando sua medida aproximada. essa diferença é a solução Resposta: _________ cm . •O Passos: 1.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. efetue a subtração gráfica entre o segmento da retificação da circunferência e o segmento da retificação do arco replementar 4. retifique a circunferência por qualquer processo 2. arco superior a 180° (arco > 180°) 241. 150 5.300° = 60°) 3. Dica: 1. trace as tangentes comuns exteriores às circunferências. têm seus centros distantes 75 cm. 151 242. obtenha graficamente a soma das retificações dos arcos com os segmentos tangentes Resposta: _________ cm . No projeto de uma máquina. determinando os 4 pontos de tangência 2. Determine graficamente o comprimento aproximado da correia acoplada a essas polias (observe a figura). retifique os dois arcos definidos pelos pontos de tangência 3. Faça 1 cm no papel correspondendo a 10 cm no real.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. duas polias. de raios iguais a 15 cm e 30 cm. marque na tangente a partir de F. Determine geometricamente o arco cuja retificação m = 3. .Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág.1.siga a seqüência para retificação de arco < 90°: 2. RETIFICAÇÃO DE ARCOS . PROBLEMA INVERSO SOBRE RETIFICAÇÃO (DESRETIFICAÇÃO) . conhecendo-se a medida dele retificado. marque na tangente t a partir de A. determinando F na tangente t . se m for menor que AF. ligue ED. passando por A 4. centro em C e raio CM2.2. construa uma tangente t à circunferência. reforce a solução: arco DG (> 90°) .1 ligue IE e marque o ponto G na circunferência 9. O. mediatriz de OM1 M2 6. se m for maior que AF.8 cm e que pertence a uma circunferência de centro O e raio = 3 cm. Passos: 1. ligue IE e marque o ponto G na circunferência 8. Os mesmos conhecimentos que permitiram resolver o problema direto podem ser utilizados na resolução do problema inverso.2. utilizamos regra de três simples. trace um arco determinando E no prolongamento do diâmetro AC 7.aqui duas situações poderão ocorrer: 8. determinando o ponto I 8.PROBLEMA INVERSO. mediatriz de OC M1 5. 2pr l 360° x° x= 180l pr 243. construa a circunferência de raio 3 cm e divida-a em 4 partes ABCD (AC horizontal e BD vertical) .Ass 6.Algebricamente. sendo l o comprimento do arco retificado e x° a medida do arco em graus. 152 UD VIII .Consiste em se determinar a medida do arco. determinando o ponto I depois de A 9. reforce a solução: arco AG (< 90°) 9. prolongue o diâmetro AC para os dois lados 3. O 245. Um arco retificado mede MN e pertence a uma circunferência de centro O e raio r. r M N . O . 153 244. Determine geometricamente o arco.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. . Sabe-se que um arco retificado mede 8 cm e pertence a uma circunferência de centro O e raio = 4 cm. Determine geometricamente esse arco. . . Desenho Geométrico “Jota”.IBEP. volumes 2 e 3 . volume 3 – Moderna.Nida Helena S. volumes 2 e 3 . 1ª edição – Scipione.André Herling Eiji Yajima. São Paulo. São Paulo. .Isaias Marchesi Junior.Cecília Fujiko Kanegae Yamada. IBEP.5 cm. 2003. .5 cm e pertence a uma circunferência de centro O e raio = 3. Determine geometricamente o arco. São Paulo. . Desenho – Educação Artística 7ª e 8ª séries.Ângela Cantele Leonardi e Bruna Renata Cantele. Desenho Geométrico.Sonia Jorge. volumes 1 e 2 – Scipione.4ª edição – Scipione. 154 246. Correa Pinto. São Paulo. José Carlos. São Paulo. O -FIM- # REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . Desenho Geométrico volume 4. Sabe-se que um arco retificado mede 9. Desenho Geométrico Idéias e Imagem – volumes 2 e 3 – Saraiva. . 1995. 1991.Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 1995. . São Paulo.7ª e 10ª edições – Ática.Putnoki. 1977 e 1989.Elizabeth Teixeira Lopes e Cecília Fujiko Kanegae. 2007. . . Desenho Geométrico – 2º volume .