1Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line www.mat.uel.br/geometrica Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.4b. 2005. Desenhos construídos por: Giuliano M. Belussi. DESENHO GEOMÉTRICO – AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É ÁUREO. Seja o segmento AB = 5 cm pertencente à reta s. Encontre (M) o ponto médio de AB. Levante uma perpendicular (r) por B. Centre o compasso em B e com abertura BM trace um arco que corte a reta (r) em O. Ligue os pontos A e O construindo assim o triângulo retângulo AOB cujo cateto maior é AB, cateto menor é AB/2 e hipotenusa é AB√5/2. 1 n. O ponto D' divide o segmento AB em extrema razão pois a medida AD' é igual a AB/2 + AB√5/2 . Geometria e Arquitetura On-Line www. Coloque a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a AD' trace um arco que corte a reta (s) no ponto D transferindo assim. Centre a ponta seca do compasso em O e com abertura OB trace um arco que corte a reta (t) em D'.2 Desenho. Belussi. Desenhos construídos por: Giuliano M. Geométrica vol. Para encontrar o ponto D' que divide o segmento AB em extrema razão. passe por AO uma semi-reta (t).AB√5/2.4b. a medida AC' para o segmento AB. a medida AD' para a reta suporte do segmento AB.br/geometrica Resumo. Centre o compasso em O e com abertura igual à OB trace um arco que corta a hipotenusa em C'.uel. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico.mat. O ponto C' divide o segmento AB em média razão pois a medida AC' é igual a AB/2 . Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual a AC' trace um arco que corte AB no ponto C transferindo assim. 2005. 3 Desenho.4b. Geometria e Arquitetura On-Line www.br/geometrica Resumo. Belussi. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Em outras palavras: "O segmento menor resultante da divisão está para o maior assim como o segmento maior está para o segmento todo" 2. O segmento AC' é o segmento áureo de AB. .uel. Geométrica vol. A proporção áurea é: C'B/AC'=AC'/AB e BD'/AB=AB/AD'. O segmento AB é o segmento áureo de AD'. 2005. Desenhos construídos por: Giuliano M.mat.1 n. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MAIOR DO RETÂNGULO 5 CM Seja o lado AB = 7 cm e C o ponto que divide o segmento AB em média razão. 4b. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Geométrica vol. Centre o compasso em A e com abertura AC trace um arco que corte a reta (p) em C. Com a ponta seca do compasso em C e abertura AB trace um arco. Desenhos construídos por: Giuliano M.br/geometrica Resumo. 3. levante por A uma perpendicular (p).1 n.uel. Obtemos assim o retângulo áureo ABCD cujo lado menor é o segmento áureo do lado maior AB dado. Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura AC trace um arco que corte o arco anterior em D.mat. Geometria e Arquitetura On-Line www. 2005. CONSTRUIR UM RETÂNGULO ÁUREO SENDO DADO O LADO MENOR DO RETÂNGULO L=4 CM Seja AB o lado menor do retângulo .4 Desenho. Belussi. uel. Levante por D uma perpendicular (u) que corte a reta (t) em E encontrando assim o retângulo áureo ABED.mat.br/geometrica Resumo. Levante uma perpendicular (t) por A encontrando assim o quadrado de lado AB. Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MC trace um arco que corte a reta (s) em D. no qual o lado AB dado é o segmento áureo do lado BD encontrado.5 Desenho. Levante uma perpendicular (r) à reta (s) por A' e encontre o ponto médio de BA' (M). Levante por B uma perpendicular e com a ponta seca do compasso em B e abertura igual a BA' trace um arco que corte a perpendicular no ponto A. . Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. 2005.4b. Geométrica vol. Belussi. Geometria e Arquitetura On-Line www. Desenhos construídos por: Giuliano M.1 n. Belussi. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n. Geometria e Arquitetura On-Line www.br/geometrica Resumo.mat. Com a ponta seca do compasso em G e abertura igual à GC trace o arco CF. Levante uma perpendicular ao lado AB por F encontrando o ponto G em CD. INSCREVER UMA ESPIRAL EM UM RETÂNGULO ÁUREO Seja um retângulo áureo ABCD. 4. Desenhos construídos por: Giuliano M. 2005. Veja a resposta: retângulo ABED cujo lado dado AB é o segmento áureo do lado maior encontrado BD.6 Desenho. . Transporte o segmento AC para o lado AB encontrando o ponto F em AB.4b.uel. Com a ponta seca do compasso em R e abertura igual a RJ trace o arco JT.4b. Geométrica vol.7 Desenho.mat. Geometria e Arquitetura On-Line www. Levante por V uma perpendicular encontrando o ponto U. Levante uma perpendicular por R encontrando o ponto T. . Com a ponta seca do compasso em V e abertura igual a VT trace o arco TU. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Belussi. Levante por L uma perpendicular encontrando o ponto J. 2005. Transporte o segmento JG para o segmento JL encontrando o ponto R. Transporte o segmento TI para o segmento TR encontrando o ponto V. Levante por I uma perpendicular encontrando o ponto H em BD.br/geometrica Resumo.1 n. Com a ponta seca do compasso em L e abertura LH trace o arco HJ. Transporte o segmento FB para o segmento FG encontrando o ponto I. Com a ponta seca do compasso em I e abertura IF trace o arco FH. Desenhos construídos por: Giuliano M. Transporte o segmento HD para o segmento IH encontrando ponto L.uel. . INSCREVER UM PENTÁGONO ESTRELADO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 5 CM Seja uma circunferência de diâmetros AB e CD. Geométrica vol. Desenhos construídos por: Giuliano M. Com a ponta seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferência trace um arco que corte a circunferência nos pontos 1 e 2. Transporte o segmento UL para o segmento UV encontrando o ponto Y.1 n. Para encontrar o pólo da espiral trace os segmentos AD e GB. Levante por Y uma perpendicular encontrando o ponto Z.uel.8 Desenho.mat. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. 5. 2005. Belussi. Com a ponta seca do compasso em Y e abertura igual a YU trace o arco UZ.4b. Geometria e Arquitetura On-Line www.br/geometrica Resumo. uel. Geometria e Arquitetura On-Line www. Com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o diâmetro AB no ponto E. Depois coloque a ponta seca em G e F e com a mesma abertura (L5) trace mais dois arcos encontrando H e I respectivamente. 2005.mat.9 Desenho.br/geometrica Resumo. Ligando os pontos CHFGIC consecutivamente teremos o pentágono regular estrelado (pentagrama). Para construir o pentágono coloque a ponta seca do compasso em C e com abertura CE (L5) trace um arco que corte a circunferência em G e F.4b. .1 n. Ligue CE obtendo assim o lado L5 do pentágono regular inscrito na circunferência. Geométrica vol. Belussi. Desenhos construídos por: Giuliano M. As diagonais se cruzam nos pontos que as dividem em média e extrema razão. Ligue os pontos1 e 2 encontrando M o ponto médio do raio. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. 1 n.4b. RELACIONAR A CONSTRUÇÃO DO PENTÁGONO. Geometria e Arquitetura On-Line www. 6. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. O segmento OE é igual ao L10 (lado do decágono) inscrito na mesma circunferência. Desenhos construídos por: Giuliano M. Encontre M o ponto médio do raio OB e com a ponta seca do compasso em M e abertura MC trace um arco que corte o raio OA no ponto E.10 Desenho. . O triângulo OCM possui lados iguais a R e R/2 e hipotenusa x=R√5/2.mat. O segmento CE é igual ao L5 (lado do pentágono) inscrito na circunferência. Belussi.br/geometrica Resumo. DECÁGONO E Seja a circunferência de diâmetros AB e CD. PENTAGRAMA COM A PROPORÇÃO ÁUREA. Geométrica vol.uel. 2005. As diagonais do pentágono se cortam no ponto que as divide em média e extrema razão.1 n.11 Desenho. 2005. Com o valor L5 é possível encontrar os vértices CFEGH do pentágono e com o valor L10 é possível encontrar os vértices CJIFEKNGH do decágono. Desenhos construídos por: Giuliano M. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico.br/geometrica Resumo.4b. .R√5/2 que é o segmento áureo do raio. O segmento DO = L10 (lado do decágono) é segmento áureo do raio da circunferência. 2. a medida OE que é o valor do L10 (lado do decágono) será igual a: R . Então. A relação áurea é a seguinte: 1. Ligando as diagonais CGEFHC é possível de se traçar o pentagrama. Geometria e Arquitetura On-Line www.uel. Geométrica vol. Belussi.mat. 7. Geometria e Arquitetura On-Line www.mat.12 Desenho.1 n. Repita o processo e obterá um outro triângulo BFG e assim sucessivamente dividindo todos os segmentos áureos resultantes em média razão.uel. Geométrica vol. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E. Desenhos construídos por: Giuliano M. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AB em D. Temos agora um novo triângulo BDE.4b. Levante uma perpendicular por A e marque nela a metade de AB. Ligue BC encontrando assim o triângulo ABC de lados AB. CONSTRUIR AS SÉRIES VERMELHA E AZUL DO “LE MODULOR” SÉRIE AZUL Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. AB/2 e hipotenusa ABV5/2.br/geometrica Resumo. . Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a hipotenusa CB no ponto E. Belussi. 2005. . Os pontos F. J.. As duas séries azul e vermelha se intercalam da seguinte forma: 1. SÉRIE VERMELHA Seja AB a altura média do homem europeu com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. M. HJ. Siga a mesma construção da série azul.. Os pontos D.4b. Em seguida divida também MB em média razão (ponto H). dividindo AM em média razão (Ponto F). 2. da série azul dividem os segmentos FM. Belussi. Têm-se os triângulos ACM e MDB. 2005. Desenhos construídos por: Giuliano M..1 n. H. DF. . Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. agora para o segmento BH encontrando J.. Repita o processo para encontrar mais divisões áureas.13 Desenho. da série azul pela metade. FH. Construa dois triângulos retângulos nos quais o lado menor é igual à 1/4 do segmento AB.uel... da série vermelha dividem os segmentos AD. Continue a divisão áurea. . Geométrica vol. Geometria e Arquitetura On-Line www. MH. H.da série vermelha em média razão.br/geometrica Resumo. F... Divida o segmento AB pela metade encontrando M o ponto médio de AB.mat. isósceles cujos ângulos adjacentes à base medem 72 graus e o ângulo oposto à base mede 36 graus. Trace a bissetriz (reta v) do ângulo JLI encontrando P no segmento JN. Seja o triângulo áureo FHI. trace a bissetriz do ângulo JIH (reta u) encontrando o ponto L no segmento JH. Em seguida. E assim sucessivamente até chegar ao pólo da espiral. Trace a bissetriz do ângulo IJH. obtemos um triângulo áureo. Trace a bissetriz (reta x) do ângulo LNJ encontrando Q no segmento LP. Com a ponta seca do compasso em Q trace o arco LN. Depois trace a bissetriz do ângulo NPL encontrando o ponto R no segmento NQ.1 n.uel. 8. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ.4b. Para iniciar o traçado da espiral. Co a ponta seca do compasso em R trace o arco NP. trace a bissetriz do ângulo FHI (reta s) que corta o lado iF no ponto J. Com a ponta seca do compasso em N trace o arco IJ. 2005. Coloque a ponta seca em L e trace o arco HI. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. Com a ponta seca do compasso em P trace o arco JL. Coloque a ponta seca do compasso em J e trace um arco. Desenhos construídos por: Giuliano M. Considerando as diagonais FHI do pentágono. Belussi.14 Desenho. O ponto J é o vértice do ângulo FJH. Geométrica vol.br/geometrica Resumo. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ÁUREO DE BASE 8 CM E INSCREVER NELE UMA ESPIRAL Seja um pentágono inscrito em uma circunferência de diâmetro AB. Geometria e Arquitetura On-Line www. . Trace a bissetriz do ângulo IJH.mat. BIBLIOGRAFIA BRAGA. NEUFERT. E. 1985. A Divina Proporção . RIVERA.mat.uel.4b. Desenho Linear Geométrico. Dinei (1986). . 13° ed. GONÇALVES. São Paulo : Ícone. 389 p. Desenhos construídos por: Giuliano M. Theodoro . Félix . Juarenze.Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática.1 n. Brasília : Editora Universidade de Brasília. NEVES. Belussi. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre PROPORÇÃO ÁUREA em Desenho Geométrico. HUNTLEY. 230 p. A Arte de Projetar em Arquitetura. Geométrica vol. 178p.15 Desenho. Geometria e Arquitetura On-Line www. 2005. Traçados em Desenho Geométrico. H.br/geometrica Resumo. Rio Grande: editora da Furg.