Desarrolo Final APMFI

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – ENERGÍA INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN “TEXTO: APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA MECÁNICA DE FLUÍDOS INCOMPRESIBLE” INFORME FINAL JEFE DEL PROYECTO ING. JORGE LUIS ALEJOS ZELAYA CRONOGRAMA 01 OCTUBRE 2011 AL 30 SETIEMBRE 2013 RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 1081-2011-R CALLAO- PERÚ 2013 ÍNDICE RESUMEN 1 INTRODUCCIÓN 2 MARCO TEÓRICO 4 MATERIALES Y MÉTODOS 5 RESULTADOS 6 CAPÍTULO 1 7 DIMENSIONEM BÁSICAS – SISTEMA DE UNIDADES – PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD CAPÍTULO 2 28 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS CAPÍTULO 3 80 HIDROSTÁTICA CAPÍTULO 4 167 CINEMÁTICA DE LOS FLUIDOS – CUANTIFICACIÓN DE FLUJOS FLUIDOS CAPÍTULO 5 196 ANÁLISIS GLOBAL DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE LOS FLUIDOS DISCUSIÓN 284 REFERENCIALES 285 APÉNDICE 286 ANEXOS 289 1 RESUMEN La Mecánica de Fluidos Incompresible es una de las disciplinas del amplio campo de la Mecánica que estudia el comportamiento de líquidos en reposo ó en movimiento. En casi la totalidad de los Procesos Industriales de conversión de energía, un fluido está siempre en juego ya sea cediendo o tomando energía de un sistema mecánico y lo que se diseña para estar en contacto con ellos o utilizarlos de algún modo, requiere de su conocimiento para su orientación en las diversas aplicaciones. El propósito es presentar el “TEXTO: APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA MECÁNICA DE FLUÍDOS INCOMPRESIBLE” en forma ordenada y sistemática, como una disciplina estimulante y útil a los estudiantes de las ramas de la Ingeniería, siendo esta un vértice de un triángulo en la mejora del proceso de Enseñanza – Aprendizaje que no sufre las presiones de un tiempo limitado, siendo los otros dos vértices el Profesor y el Estudiante Por tratarse de un texto universitario, este tiene una estructura didáctica con análisis y metodología propia en la solución clara de cada uno de los problemas de aplicación que se presentan, lo que permitirá a los estudiantes a reconocer e identificar los problemas y su relación con la labor del ingeniero, en el análisis y diseño de cualquier sistema en el cual el fluido incompresible es la sustancia de trabajo. El contenido del trabajo se ha estructurado siguiendo el enfoque típico del estudio la Mecánica de Fluidos y se resuelven problemas de aplicación en forma secuencial de: Dimensiones Básicas - Sistema de Unidades – Principio de Homogeneidad. Propiedades de los Fluidos. Hidrostática. Cinemática de los Fluidos - Cuantificación de Flujos Fluidos. Análisis Global del comportamiento dinámico de los fluidos. Profesores y Estudiantes construyen el saber, moldean las ideas, aportan visiones diferentes, de esta forma la mejora del APRENDIZAJE de la materia en estudio se me planteó desde un comienzo como un intercambio permanente de experiencias, en que los que aportan son tanto el Estudiante como el Profesor. Por ello debo manifestar que dichos actores del sistema universitario son definitivamente los autores de este texto ya que no hubiera sido posible este trabajo sin la colaboración de quienes lo escucharon y lo fueron enriqueciendo con sus visiones particulares e inquietudes. 2 INTRODUCCIÓN Este texto está preparado para que el estudiante de pregrado de Ciencias Básicas de Ingeniería, pueda identificar, analizar, plantear y solucionar problemas de aplicación de la Mecánica de Fluidos Incompresible tomando como referencia el modelo estructural tradicional en su contenido: Dimensiones Básicas - Sistema de Unidades – Principio de Homogeneidad. Propiedades de los Fluidos. Hidrostática. Cinemática de los Fluidos - Cuantificación de Flujos Fluidos. Análisis Global del comportamiento dinámico de los fluidos, en las condiciones que corrientemente se encuentran en Ingeniería. Adicionalmente se busca poner al alcance del lector un medio complementario práctico de apoyo para una mejor comprensión de una disciplina fuertemente conceptual, donde el estudiante podrá aprender a manejar métodos y técnicas en el análisis cuantitativo de la solución de los casos prácticos del comportamiento de los fluidos incompresible y entienda las limitaciones que estos procedimientos puedan tener. Se supone que el alumno posee conocimientos en el Calculo Diferencial e Integral, las nociones básicas de la Mecánica en relación a condiciones de equilibrio estático, cinemática y dinámica de la partícula. Los conceptos necesarios de Termodinámica pueden adquirirse en forma paralela. En el Primer Capítulo se dan solución a problemas sobre Sistemas de Unidades y Análisis Dimensional. Actualmente se utilizan en algunos países dos sistemas básicos de unidades, el Sistema Gravitacional Británico al que nos referimos como Sistema Ingles y el Sistema Internacional (SI), que se basa en el sistema MKS con algunas modificaciones. Finalmente se busca la relación entre la fuerza, masa y aceleración, por la Segunda Ley de Newton. En el Segundo Capítulo de Propiedades de los Fluidos, se tratan problemas del comportamiento de los fluidos como un medio continuo, sin considerar lo que ocurre a nivel de sus moléculas; así mismo se analizan sus propiedades intensivas y extensivas. Al término de este capítulo el lector podrá distinguir el comportamiento de un fluido en comparación con el de otros estados de la materia y conocerá el orden de magnitud de las propiedades básicas del agua y del aire. 3 En el Tercer Capítulo, se da soluciones a problemas en las condiciones de equilibrio bajo las cuales un fluido está en reposo, sabiendo que para ello se requiere que todos los elementos que lo forman se muevan a la misma velocidad, es decir que no se desplacen unos con respecto a los otros y por lo tanto no haya escurrimiento. El fluido está entonces detenido o se mueve como si fuera un cuerpo rígido sin deformarse Mediante el uso adecuado de la ecuación General de la Hidrostática es posible determinar las condiciones generales de equilibrio de grandes masas de fluidos, calcular las fuerzas que ejercen los fluidos en reposo sobre las superficies que se encuentran en contacto con ellos o los recipientes que los contienen, las fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes, así como sus condiciones de equilibrio y medir las presiones en cualquier punto al interior del fluido. En el Cuarto Capítulo se describe el movimiento del fluido como un medio continuo. El método de Lagrange se basa en el uso de las trayectorias y el de Euler utiliza las líneas de corriente. El fluido al moverse se traslada, rota y deforma, todas estas transformaciones dependen del campo de velocidades y son determinadas a través de las características cuantificables del movimiento en los diversos problemas de aplicación que se presentan. En el Quinto Capítulo se dan soluciones de problemas prácticos, recurriendo al enfoque de Sistema y de Volumen y la forma que se comportan las propiedades intensivas y extensivas del sistema. Así mismo debe entender claramente la relación entre la variación de una Propiedad del Sistema y las variaciones de esa propiedad en un Volumen de Control de acuerdo al Teorema del Transporte de Reynolds. Las leyes básicas que se aplican a un Volumen de Control, en el análisis global del comportamiento de un fluido corresponden a: Conservación de la Masa, Conservación de la Energía, Cantidad de Movimiento y Momento de la Cantidad de Movimiento, con aplicación de problemas a: Control y Medida de flujos fluidos, Máquinas Hidráulicas, su función y el papel que juega en los intercambios de energía de un fluido en que intervengan: Bombas, Ventiladores y Turbinas, Deflector Estacionario, Deflectores Móviles y Hélices o Molinos de Viento. Se espera que este libro pueda proporcionar bases sólidas a los estudiantes de Ingeniería. Serán muy apreciados todos los comentarios, sugerencias ó críticas. Ing. Jorge Luís Alejos Zelaya 4 MARCO TEÓRICO De acuerdo a la sumilla establecida en los currículos de estudios de la Escuelas Profesionales de Ingeniería Mecánica e Ingeniería en Energía, de la Universidad Nacional del Callao, en la asignatura de Mecánica de Fluidos se estudia entre otros los tópicos siguientes: Dimensiones y Sistema de Unidades. Propiedades de los Fluidos. Mecánica de fluidos sin movimiento. Cinemática de los fluidos. Características cuantificables del movimiento. Dispositivos de medición y Control de flujo fluido y Análisis global del comportamiento dinámico de los fluidos. El estudio adecuado y compresible de los tópicos antes descritos se basan en Leyes, Principios y Teorías científicas, tales como: Principio de Homogeneidad Dimensional, Propiedades Extensivas e Intensivas del fluido, Medio continuo, Propiedades relacionadas con la temperatura y la energía, Gas Ideal, Ley General de la Estática de los Fluidos. Variación de la presión, Ley de Pascal, Principio de Arquímedes, Estabilidad Rotacional de cuerpos flotantes, Ecuación de Euler y la variación de la Presión como sólido rígido, Efecto Venturi y Dispositivos de medición de flujo volumétrico, Modelos matemáticos que describen la cinemática de los fluidos, Ecuación de Volumen de Control ó Teorema de Transporte de Reynolds, Principios de: Conservación de la Masa, Energía y Cantidad de Movimiento, Momento cinético de los fluidos. Muchos autores tales como WHITE FRANK. “Mecánica de Fluidos”,1983. FOX ROBERT, “Introducción a la Mecánica de Fluidos”, 1995. MOTT ROBERT. “Mecánica de Fluidos Aplicada”,1996. SHAMES IRVIN. “Mecánica de Fluidos”, 2000. MUNSON YOUNG. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, 1985. POTTER MERLE. “Mecánica de Fluidos”,1998. MATAIX CLAUDIO. “Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas”,1982. ROBERSON CROWE. “Mecánica de Fluidos”,2007. GERHART, PHILIP. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”,1998. YUNUS CENGEL. “ Mecánica de Fluidos”, 2007, han escrito textos con exposición de conceptos y definiciones generalmente extensas, y descuidan la aplicación correspondiente con escasa presentación y solución de problemas con casos prácticos. Las aplicaciones prácticas tienen su sustento o fortalecimiento de sus teorías en el estudio experimental, tales como: Medición Directa de caudal, Viscosidad cinemática, Contrastación y calibración de manómetros, Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas, Estabilidad rotacional de cuerpos flotantes, Medición indirecta de flujo fluido. Ensayo elemental de Bomba centrífuga e Impacto de Chorro Hidráulico. 5 MATERIALES Y MÉTODOS El “TEXTO: APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA MECÁNICA DE FLUÍDOS INCOMPRESIBLE”, se ha desarrollado considerando la propuesta temática que muchos autores que se citan en la referencia han escrito con amplitud sobre teorías. En la mayoría de los textos, los autores dan a entender que los otros libros sobre el tema tienen ciertas deficiencias que ellos corregirán y descuidan en muchos casos las aplicaciones correspondientes; es así que el material bibliográfico es amplio y variado, seleccionándose desde aquellos donde las aplicaciones que tratan ligeramente los temas teóricos hasta aquellos que lo hacen con más profundidad y que se encuentran con aplicaciones en la industria, con conceptos técnicos y de acorde al avance tecnológico actual Se han seleccionado y resueltos una diversidad de problemas propuestos por los autores citados en sus textos, con la aplicación práctica correspondiente. La información y el procesamiento respectivo ha sido utilizando una PC - Microsoft Word for Windows 2007, para dar cumplimiento a las directivas vigentes. Así mismo se tuvo que realizar algunas investigaciones experimentales en las instalaciones del Laboratorio de Mecánica de Fluidos y Máquinas Térmicas de la Facultad de Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional del Callao, lo hecho complementa el texto en su desarrollo de sus problemas de aplicación. El método empleado en la investigación, es el inductivo – deductivo, que permite presentar un texto ordenado, analítico y pedagógico en la solución de sus numerosos y diversificados problemas en su contenido que se encuentran en muchos de los campos de la Ingeniería. Así mismo el estudiante aprenderá a utilizar métodos y técnicas en el análisis cuantitativo del comportamiento de los fluidos incompresible en un sentido global. La metodología empleada fue: Identificación y compilación de la información. Análisis de la información. Formulación del índice del texto. Solución sistematizada y ordenada de los problemas. Redacción del texto en función al índice y Revisión del resultado y complementación. 6 RESULTADOS El resultado del presente trabajo de investigación es el “TEXTO: APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA MECÁNICA DE FLUÍDOS INCOMPRESIBLE”, que servirá como complemento a los textos teóricos citados por los autores indicados en la referencia y a los académicos estudiosos de esta ciencia muy útil en el desarrollo e innovación tecnológica que la sociedad requiere. El contenido de la investigación se da en cinco capítulos en el orden indicado en el índice y que se presentan en las páginas siguientes. En cada capítulo se expone una breve teoría general sobre el tema y se desarrollan problemas de aplicación en forma ordenada y sistemática para su mejor comprensión de los estudiantes y/o personas interesadas en esta ciencia pueden encontrar en él aplicaciones de técnicas de solución a problemas en el que intervienen el fluido incompresible como sustancia operante. Los problemas tratados en el texto se explican en forma clara y sencilla y a la vez rigurosa, con la exigencia que requiere un estudiante o profesional en la ciencia de Ingeniería. Los temas pueden ser comprendidos por el lector con un pequeño esfuerzo intelectual, y es recomendable que el alumno tenga conocimientos básicos del Cálculo Diferencial e Integral asociados a la Mecánica en relación a condiciones de equilibrio estático, cinemática y dinámica de la partícula. El sector que se verá beneficiado con los resultados de la Investigación, será el sector académico, conformado por profesores y estudiantes de Ingeniería a nivel Superior que tengan relación con la Mecánica de Fluidos Incompresible y sus Aplicaciones Prácticas, favoreciendo de esta manera el proceso de ENSEÑANZA – APRENDIZAJE de la asignatura, la misma que concuerda con la propuesta silábica para su estudio. A continuación se muestra una teoría básica para un mayor entendimiento en el desarrollo de los problemas de aplicación de la Mecánica de Fluidos Incompresible establecidos en cada uno de los capítulos planteados inicialmente en el índice del Proyecto de Investigación. 7 CAPITULO 1 DIMENSIONES BÁSICAS – SISTEMA DE UNIDADES – PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Todos los problemas de Ingeniería tratan de entidades físicas que requieren una descripción cuantitativa. La magnitud de tales entidades se expresa por medio de un número y una unidad de medición asociada. Se podría hablar de un automóvil con una masa de 1000 kilogramos, que se desplaza a una velocidad de 70 Kilómetros por hora ó de una tubería de 2 pulgadas de diámetro con un flujo de 100 galones de agua por minuto, con una temperatura de 150 grados Fahrenheit. Se sabe que “Kilogramos”, “Kilómetros”, “pulgadas”, “horas”, “minutos” “grados Fahrenheit” son unidades de medición de las entidades físicas como masa, longitud, tiempo y temperatura. Por lo que se puede generalizar con las siguientes afirmaciones: - Las dimensiones de una entidad física indican el tipo de unidades involucradas en una descripción cuantitativa de la magnitud de la entidad misma. - Se puede elegir un conjunto de dimensiones fundamentales independientes, por lo que las dimensiones de todas las entidades físicas se deben expresar en función de tales dimensiones fundamentales. Actualmente se emplean el Sistema Internacional de Unidades (SI), el Ingles de Ingeniería (II) y el Británico Gravitacional (BG), 1 aunque deseáramos que las unidades en el SI se usen universalmente, en el ámbito industrial todavía se usa el viejo sistema “pie, libra y pulgada”, por lo que preparar un texto de Ingeniería en un solo sistema no prepararía adecuadamente a los estudiantes para el mundo real. En el estudio de la Mecánica de Fluidos en el Sistema Internacional solo intervienen la masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica e intensidad luminosa. Las Unidades Derivadas se expresan convenientemente como productos de las unidades fundamentales elevadas a ciertos exponentes. A veces las unidades derivadas se expresan con nombres especiales, (ver Apéndice: Tabla A.1 y Tabla A.3 y Anexo: Tabla A.5) 1 Tener presente que el “segundo” se abrevia como “s” en unidades SI y como “seg” en unidades BG 8 Se debe tener presente que se debe emplear los corchetes | | para indicar “las dimensiones de”. Los símbolos [], [], [] y [] representan dimensiones básicas de masa, longitud, tiempo y temperatura. Ejemplo empleando esta notación, se puede escribir “las dimensiones de la velocidad”: [] Si se escogen tres DIMENSIONES BÁSICAS O FUNDAMENTALES y se asigna una unidad a cada una de estas tres magnitudes, las restantes magnitudes se denominan MAGNITUDES DERIVADAS y se pueden expresar en función de las tres magnitudes fundamentales; así como sus unidades, se denominan unidades derivadas y pueden expresarse en función de las tres unidades fundamentales. 1 El Sistema Internacional de Unidades denominado actualmente en el mundo entero con las siglas SI, no es más que una extensión y perfeccionamiento del sistema Giorgi o MKS. La Fuerza y la Masa 2 quedan relacionadas por la ecuación de Newton, donde “g c ” es una constante de proporcionalidad que hace que la ecuación sea dimensionalmente homogénea: ∑ EL PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL: Establece que “Todos los términos de una ecuación que expresan una ley deben ser dimensionalmente iguales”. Se acepta como premisa fundamental que todas las ecuaciones que describen fenómenos físicos deben ser dimensionalmente homogéneas, si esto no fuese cierto, se estaría tratando de igualar o sumar cantidads físicas distintas, lo cual carecería de sentido. Por ejemplo, la ecuación para determinar la velocidad “V” de un cuerpo uniformemente acelerado es: . Donde “V 0 ” es la velocidad inicial, “a” es la aceleración y “t” es el intervalo de tiempo. En términos de dimensiones, la ecuación es: L T -1 = L T -1 + L T -1 2 En el SI, se prefiere el uso de los términos “fuerza de gravedad sobre” y “fuerza gravitacional sobre” en lugar de “peso”. 9 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01.- En el flujo estacionario (laminar) a baja velocidad a través de un conducto de sección circular de pared delgada de radio “R”, la velocidad local “u (r) ” varía con el radio según la expresión: () ( ). Donde: s la viscosidad absoluta ó dinámica del fluido y s la caída de presión entre la entrada y salida del conducto. Determinar la representación dimensional de “B”. (White Frank P1.12). Solución: Tomaremos para el análisis como Dimensiones Primarias: F, L, T [] [] PROBLEMA 02.- Demuestre que la ecuación dada es dimensionalmente homogénea y citar las unidades correspondientes en el sistema Gravitacional Británico. Considere como una velocidad, “y” como una longitud, “x” una longitud, “P” una presión y viscosidad absoluta o dinámica. (Gerhart Philip 1.82). Solución: Por la condición de ecuación dimensionalmente homogénea, se tiene: [ ] [ ] ( ) PROBLEMA 03.- La segunda Ley de Newton es el cimiento de la ecuación diferencial de la conservación de la cantidad de movimiento lineal. En términos de la aceleración material que sigue una partícula de fluido se escribe la segunda Ley de Newton del modo siguiente: 10 ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ Escriba las dimensiones primarias de cada término aditivo en la ecuación y verifique que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Solución: Por ser la ecuación dimensionalmente homogénea, se cumple: [ ⃗ ] [ ⃗⃗⃗ ] [( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ] PROBLEMA 04.- La ecuación de Bernoulli para un fluido ideal se puede escribir en términos de carga, como: Donde: “P” es la presión, “Z” es la elevación, “V” es la velocidad media del flujo, “g” aceleración de la gravedad y peso específico del fluido. Demuestre que esta ecuación es dimensionalmente homogénea. Solución: Si la ecuación es dimensionalmente homogénea se cumple que cada término de la ecuación debe tener la misma representación dimensional. [ ] [ ] [ ] [ ] = L PROBLEMA 05.- Determinar las dimensiones de los coeficientes “A” y “B” que aparecen en la ecuación dimensionalmente homogénea. Donde: “x” es una longitud y “t” es el tiempo. (Munson Young 1.10). 11 Solución: Por ser la ecuación dimensionalmente homogénea cada término de la ecuación debe tener la misma representación dimensional. [] [] [] [] [] [] PROBLEMA 06.- Determinar las dimensiones de “Z”, y “G” en la ecuación dimensionalmente homogénea: ( ) . Donde “V” es una velocidad. (Munson Young 1.12). Solución: []( ) [] [] [] [] () PROBLEMA 07.- Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea. ( )( ) [( ) ( ) ] Donde: E: Modulo de elasticidad longitudinal (Young), Coeficiente de Poissón, d y h: Distancia, R: Relación de Distancias, F: Fuerza. ¿Cuáles son las dimensiones de t? (Shames Irving 1.11) Solución: El análisis se hará tomando como dimensiones básicas: F, L, T ( ) t = L (Longitud) PROBLEMA 08.- En el cuadro adjunto se detallan ciertas propiedades muy utilizadas en Mecánica de Fluidos. Marcar con una (X) si la propiedad es Extensiva (E) ó Intensiva (I). 12 Solución: Cantidad de Movimiento Entalpia Densidad Energía cinética Volumen específico Viscosidad Extensiva X X X Intensiva X X X PROBLEMA 09.- Utilizando como dimensiones primarias F, L, T, exprese las dimensiones de las siguientes propiedades a) Densidad b) Presión c) Potencia d) Energía e) Razón de flujo o caudal (Potter Merle 1.3) Solución: a) [] = b) [] = F L -2 c) [] = d) [] e) [] PROBLEMA 10.- Si “P” es fuerza y “X” es longitud. Determinar las dimensiones en el Sistema F, L, T de: a) dP/dx b) c) ∫ Solución: a) [ ] b) [ ] c) [ ] PROBLEMA 11.- Un fluido incompresible de densidad y viscosidad fluye a una velocidad promedio “V” a través de un largo tramo horizontal de tubería de longitud “L” y sección circular de diámetro “D”. Considere una rugosidad absoluta de la tubería de “. La tubería es lo suficientemente larga como para que el flujo esté totalmente desarrollado, lo que 13 significa que el perfil de velocidad no cambia a lo largo de la tubería. La presión disminuye linealmente a lo largo de la tubería con la finalidad de “empujar” el fluido a través de la tubería para superar la fricción. Determinar el número de parámetros adimensionales 3 para el estudio experimental del problema. Solución: Nº = Nº variables - Nª Dimensiones Fundamentales La ecuación funcional del problema objeto de estudio, queda establecido: ( ) Se determinará la representación dimensional de cada variable: [] [] [] = M [] [] = L [] [] En el análisis participan tres dimensiones fundamentales: M, L y T Nº = 7 - 3 = 4 PROBLEMA 12.- Se sabe que la fuerza sobre cuerpo inmerso en la corriente de un fluido, depende de la longitud característica “L”, de la velocidad de la corriente “V”, de la densidad del fluido y su viscosidad dinámica . Determinar el número de parámetros adimensionales. Solución: La ecuación funcional del problema, queda establecida por: ( ) por lo que se determina la representación dimensional de cada una de las variables de la ecuación funcional: [] = F [] [] [] [] Se observa que las dimensiones básicas F, L y T participan en el problema, por lo que el número de parámetros adimensionales, son: N° = (Variable Dependiente + ∑ ) – Nª Dimensiones básicas Nº = (1 + 4) – 3 = 2 3 Parte de la solución del Teorema de ó Buckingham 14 PROBLEMA 13.- Una razón útil sin dimensiones en Mecánica de Fluidos, es el número de Reynolds 4 establecida por la ecuación . Donde: es la densidad, “D” es el diámetro de un conducto en el cual fluye el fluido, “V” es la velocidad media del fluido y es la viscosidad dinámica. Determine el número de Reynolds en los sistemas BG e II, para un fluido con una densidad de 52 lb/ft 3 y una viscosidad dinámica de 4 x 10 -2 lb f .s/ft 2 fluyendo a una velocidad media de 8,0 ft/s a través de un ducto de 6,25 in de diámetro interior. (Gerhart Philip 1.65). Solución: a.- Sistema Británico Gravitacional b.- Sistema Ingles de Ingeniería PROBLEMA 14.- La Potencia Hidráulica (P) es una variable muy utilizada en el diseño y selección de las Máquinas Hidráulicas Generadoras y Motoras (Bombas Hidráulicas, Ventiladores y Turbinas Hidráulicas) y queda definida por la ecuación: Donde: “ es la densidad del fluido, “g” aceleración local de la gravedad, “Q” es la capacidad ó caudal, “H” es la carga y “g c ” es la constante de proporcionalidad. Exprese las unidades de la Potencia Hidráulica en: a) SI b) BG c) II Solución: La representación dimensional de “P” es: []= F L T -1 = M L 2 T -3 a.- Sistema Internacional de unidades (SI) 4 Relación de fuerza de inercia a la fuerza viscosa y muy utilizada en Mecánica de Fluidos para precisar el tipo de flujo. 15 ( ) b.- Sistema Británico Gravitacional (BG) ( ) c.- Sistema Ingles de Ingeniería (II) ( ) PROBLEMA 15.- La ecuación de Bernoulli para un flujo ideal 5 que fluye a través de una tobera, es: Los parámetros y sus valores en un punto particular, son: P = Presión: 101 400 N/m 3 (14,7 lb f /in 2 ), = Densidad: 1 000 Kg/m 3 (1,94 slug/ft 3 ), V = Velocidad media del flujo: 3 m/s (9,84 ft/s), g = Aceleración local de la gravedad: 9,6 m/s 2 (31,5 ft/s 2 ) y Z = Elevación sobre el nivel de referencia: 5 m (16,4 ft). Determinar el valor de la constante en el sistema de unidades: a) SI b) BG c) II. (Gerhart Philip 1.4). Solución: Se remplaza los valores dados en la ecuación de Bernoulli para cada uno de los sistemas de unidades en estudio. a.- Sistema Internacional de unidades (SI) ( ) = 153,9 = 153,9 b.- Sistema Británico Gravitacional (BG) ( ) = 1656,14 5 Bajo la hipótesis de que los efectos viscosos son insignificantes, flujo estable e incompresible. 16 c.- Sistema Ingles de Ingeniería (II) C = ( ) PROBLEMA 16.- Un motor eléctrico tiene una potencia de salida de 20 HP y una eficiencia de 80 %. La electricidad tiene un costo de $ 0,07/KWh. Determinar el costo por emplear el motor durante 24 h. (Gerhart Philip 1.73). Solución: El costo de la energía queda definido, por: Costo = 0,07 $/KWh x N° horas X Potencia al eje / eficiencia del motor Costo = 0,07 $/KWh x 24 horas X 20 HP / 0,80 x 0,746 KW/HP = $ 31,33 PROBLEMA 17.- Convertir 8 at – L a calorías. Solución: = 193,69 cal PROBLEMA 18.- Las especificaciones del fabricante de una bomba de engranajes determinan que se requiere 0,9 HP para impulsar la bomba cuando mueve 10 gpm de aceite (S=0,90) con una carga total de 260 ft. Determinar la eficiencia (%) de la bomba. Solución: La eficiencia total de la bomba, queda establecida por la ecuación: PROBLEMA 19.- Los ingenieros suelen usar la siguiente fórmula para determinar el caudal “Q” de un líquido que fluye a través de un agujero de diámetro “D” en la pared lateral de un tanque: √ . Donde “g” es la aceleración de la gravedad y “h” es la altura de la superficie del líquido respecto al agujero. ¿Qué dimensiones tiene la constante 0,68? Precisar las unidades correspondientes en el sistema de unidades BG? (White Frank P1.11). Solución: [] [ ][ ] [√ ] 17 [ ] ( ) [ ] () PROBLEMA 20.- Un cuerpo pesa 20 Kg f . Determine su masa (UTM), si g = 10 m/s 2 . Solución: El análisis se hará en el Sistema Técnico () m = 0,2 UTM PROBLEMA 21.- Para el caso general de un volumen de control en movimiento y/o deformante, el Teorema de Transporte de Reynolds (RTT) 6 se escribe como: ( ) ∭ ∮ ̅ ̅̅̅̅ Donde: “V” es la velocidad del fluido relativa a la superficie de control, densidad del fluido, “A” área, “t” tiempo, ” volumen y “B” es una propiedad extensiva cualquiera del flujo. Escriba las dimensiones primarias de cada término aditivo en la ecuación y verifique que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Solución: Cada término del Teorema de Transporte de Reynolds, debe tener la misma representación dimensional, por condición del problema. ( ) = B T -1 [ ∭ ] = B T -1 [∮ ̅ ̅̅̅̅ ] = x = B T -1 6 Permite relacionar las variaciones totales referidas al sistema de una propiedad extensiva “B”, cuya propiedad específica que se mueve con el fluido, en términos de lo que ocurre en un volumen de control fijo en el espacio, definido por el V control y S control. 18 PROBLEMA 22.- Calcule la masa de un cuerpo en gramos, si cuando se mueve a 2,25 m/s tiene una energía cinética de 94,6 mN.m. Solución: La energía cinética queda establecida por la ecuación: ( ) PROBLEMA 23.- Determinar las dimensiones en los sistemas F L T y M L T, para: a) El producto de masa por velocidad b) El producto de fuerza por volumen c) Energía cinética dividida entre el área. Solución: En el cuadro adjunto se muestra los resultados correspondientes de la operación de la representación dimensional de cada variable. F L T M L T masa x velocidad F T M L T -1 fuerza x volumen F L 3 M L 4 T -2 energía cinética / área F L -1 M T -2 PROBLEMA 24.- Determinar las dimensiones en el sistema M L T y las unidades BG y CGS respectivas, para: a) Potencia x Módulo de Elasticidad b) Energía x Esfuerzo de corte c) Presión x Velocidad angular d) Cantidad de Movimiento x Energía Solución: Los resultados se presentan en el cuadro adjunto Representación Dimensional M L T Unidades BG Unidades CGS Potencia x Módulo de Elasticidad M 2 L T -5 Energía x Esfuerzo de corte M 2 L T -4 Presión x Velocidad angular M L -1 T -3 Cantidad de Movimiento x Energía M 2 L 3 T -3 19 PROBLEMA 25.- La diferencia de presión a través de una obstrucción parcial de una arteria denominada “estenosis” se puede aproximar por la ecuación: ( ) Donde: “V” es la velocidad del torrente sanguíneo, y son la viscosidad dinámica y la densidad de la sangre, “D” es el diámetro de la arteria, “A 0 ” es el área de la arteria no obstruida y “A 1 ” es el área de la estenosis. Determinar las dimensiones (F, L, T) de las constantes “K A ” y “K B ”. (Munson Young 1.11). Solución: [] [ ] [ ] [ ] [ ] = [] [ ] [( ) ] [ ] [ ] = PROBLEMA 26.- Teniendo presente que todos los términos de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Determinar las dimensiones de las constantes en las ecuaciones siguientes y las unidades respectivas en el SI, BG e II. (Potter Merle 1.5) a) . Donde “d” es distancia t “t” es tiempo. b) . Donde “F” es una fuerza y “m” es masa. c) . Donde “A” es área, “R” es un radio, “S 0 ” es la pendiente y “Q” es la rapidez de flujo de volumen. Solución: a. - [] [] m/s 2 , ft/s 2 , ft/s 2 b. - [] [] [] m/s 2 , ft/s 2 , ft/s 2 c. - [] [] m 1/3 /s , ft 1/3 /s , ft 1/3 /s PROBLEMA 27.- Calcule la masa (slug) de un galón de aceite que pesa 7,8 lbf. Solución: El análisis se hará en el sistema Británico Gravitacional de unidades. 20 () m = 0,242 slug PROBLEMA 28.- Calcule el peso (N) de 1 m 3 de kerosene si su masa es de 825 Kg. Solución: El análisis se hará en el Sistema Internacional de unidades. PROBLEMA 29.- Un cuerpo pesa 60 lb f en la tierra. Calcular su peso (lb f ) en la Luna, donde g = 5,4 ft/s 2 Solución: La masa del cuerpo en la Tierra y la Luna no cambia. ( ) () ( ) () Remplazando valores, se tiene: ( ) = 60 lb f lb f PROBLEMA 30.- ¿Qué fuerza (N) se necesita para acelerar una masa de 10 Kg a razón de 40 m/s 2 ? a) Horizontalmente b) Verticalmente hacia arriba c) Hacia arriba por una pendiente de 30° Solución: Aplicando la segunda ley de Newton: a.- Horizontalmente F = 10 Kg x 40 m/s 2 x N.s 2 /1 Kg. m = 400 N b. - Verticalmente hacia arriba 21 F – Peso = m x a /g c F = m (g + a)/g c F = 10 Kg x (9, 81 + 40) m/s 2 x N.s 2 /1 Kg. m = 498, 1 N c.- Hacia arriba por una pendiente de 30° F – Peso sen 30° = m x a /g c F = m (g sen 30° + a)/g c F = 10 Kg x (9, 81 sen 30° + 40) m/s 2 x N.s 2 /1 Kg. m = 449, 05 N PROBLEMA 31.- Un tanque que tiene un volumen de 0.05 m 3 , contiene aire a 25 KPa manométrico y 25 °C. Considerando la presión barométrica de 90 KPa y la aceleración local de la gravedad de 9,61 m/s 2 . Determinar el peso (N) del aire en el tanque. Solución: La ecuación de estado de los gases ideales, establece que: ( ) ( ) PROBLEMA 32.- Determine las unidades de “C”, “K” y “f(t)” en la ecuación siguiente: () Si “m” está en Kilogramos, “y” está en metros y “t” está en segundos. (Potter Merle 1,7) Solución: Cada término de la ecuación debe tener igual dimensión y unidades para cumplir con el principio de homogeneidad. Kg. m/s 2 + (C) m/s = Kg. m/s 2 C = Kg/s (K) m = Kg. m/s 2 K = Kg/s 2 () = Kg. m/s 2 22 PROBLEMA 33.- Una bomba hidráulica para agua requiere de 5 HP para crear una carga de 20 m. Si su eficiencia es del 87%. Determinar la rapidez de flujo de volumen (L/s y cfs) que impulsa. Solución: Por definición de Eficiencia de Máquina Hidráulica Generadora, se tiene: ( ) Q = 0,016539 m 3 /s (16,539 L/s; 0,584 cfs) PROBLEMA 34. - Un cuerpo pesa 360 N en un lugar donde g = 8,80 m/s 2 . Determinar la fuerza (N) requerida para acelerar este cuerpo a razón de 10,0 m/s 2 . Solución.- Por la segunda Ley de Newton, se sabe que: El peso y la masa están relacionadas, por: Por lo que: ( ) ( ) = PROBLEMA 35.- Un cuerpo pesa 30 lb f en un lugar donde g= 32,0 ft/s 2 . a) ¿Cuál es su masa en (lb) y (slug)? b) ¿Cuál es su peso en (lb f ), su masa en (lb) y (slug), en un lugar donde g= 16,0 ft/s 2 . Solución.- a.- Trabajando en el Sistema Gravitacional Británico (SGB) () 23 b.- La masa se mantiene constante: PROBLEMA 36.- Una familia tiene tres adolescentes, cada uno de los cuales emplea por las mañanas un secador de cabello durante 10 minutos. El secador consume 1200 W y la electricidad cuesta $ 0.08/KWh. Determinar el gasto mensual de energía. (Gerhart Philip 1.74). Solución.- PROBLEMA 37.- Cierto líquido tiene una viscosidad dinámica de 6,20 x 10 -5 slug/ft.s a temperatura ambiente. Determinar el valor de la viscosidad dinámica en cada uno de los siguientes conjuntos de unidades: lb f .s/ft 2 , N.s/m 2 , poise y lb/ft.s. Solución.- ( ) PROBLEMA 38.- Determine la masa (Kg) y el peso (N) del aire contenido en un cuarto cuyas dimensiones son 6m x 6m x 8m. Suponga que la densidad del aire es 1,16 kg/m 3 . Solución.- 24 PROBLEMA 39.- El rendimiento ( ) de una bomba 7 se define como la relación entre la potencia consumida por el flujo y la potencia requerida para accionar la bomba. Suponga que cierta bomba desarrolla una sobre presión de 25 lb f /in 2 para un caudal de 40 l/s. Si la potencia consumida es de 12 HP. ¿Cuál es el rendimiento (%)? (White Frank P1.13). Solución.- PROBLEMA 40.- El barómetro de un montañista registra 13,8 Psia al principio de un ascenso y 12,6 Psia al final. Despréciese el efecto de la altura sobre la aceleración gravitacional local. Determine la distancia vertical (ft) ascendida. Suponga una densidad del aire promedio de 0,074 lb/ft 3 y tome g= 31,8 ft/s 2 . (Yunus Cengel 3,19) Solución.- Se sabe que la variación de la presión en un fluido estático se debe a la gravedad y en el plano vertical. ( ) () h = 2364,5 ft PROBLEMA 41.- El número de Mach es una relación adimensional de la velocidad de un objeto en un fluido con la velocidad del sonido en el fluido. Para un avión que vuela a una velocidad “V” en aire a una temperatura absoluta “T”, el número de Mach “M”, es: √ . Donde: K es una relación de calores específicos del aire y R es la constante específica de los gases para el aire. Demuestre que el número de Mach es adimensional. (Gerhart Philip 1.69). Solución.- [] [] [√ ] 7 Nos permite precisar las pérdidas en el interior de la máquina generadora. 25 [] √ ( ) PROBLEMA 42.- La fórmula de Stokes – Oseen para el estudio de la fuerza de arrastre “F D ” sobre una esfera de diámetro “D”, que viaja a una velocidad “V” en un medio fluido viscoso de densidad y viscosidad dinámica , es: . ¿Es esta ecuación dimensionalmente homogénea? (White Frank P1.13). Solución.- Para verificar si la ecuación es dimensionalmente homogénea, debe tener la misma representación dimensional en ambos miembros de la ecuación. [ ] [ ] [ ] La ecuación propuesta por Stokes – Oseen, es homogénea. PROBLEMA 43.- La potencia “P” requerida para accionar una bomba centrifuga, es función del caudal “Q”, del diámetro del rotor “D”, el régimen de operación “, la densidad del fluido “ y su viscosidad dinámica “ Determinar el número de parámetros adimensionales para su estudio. Solución.- La ecuación funcional del problema, queda establecida por: ( ) Se determina la representación dimensional de cada una de las variables de la ecuación funcional: [] = F L T -1 [] [] [] [] Se observa que las dimensiones básicas F, L y T participan en el problema, por lo que el número de parámetros adimensionales, son: N° = (Variable Dependiente + ∑ ) – Nª Dimensiones básicas 26 Nº = (1 + 5) – 3 = 3 PROBLEMA 44.- Hallar (a – b) en la ecuación de Hagen Pouseuille (Flujo Laminar) que establece que el gasto volumétrico (Q) que pasa a través de un tubo de radio (R), longitud del tubo (L), diferencia de presiones entre los extremos del tubo ( ) y la viscosidad absoluta (), está dado por la expresión: Solución.- Se establece la representación dimensional para cada una de las variables que intervienen en el problema objeto de estudio. [] [ ] [ ] [] [] ( ) F: b=1 L: a = 4 (a-b) = 3 PROBLEMA 45.- Un avión de propulsión a chorro vuela a 550 ( ) a una altitud de 35000 ft, donde la temperatura es de -66 °F. Determinar el Número de Mach 8 . Considerar la constante adiabática del aire K: 1,4. Solución.- El número de Mach queda establecido por: La velocidad del sonido, se puede relacionar con la ecuación de los gases perfectos: M √ √ ( ) 8 Relaciona los efectos de propagación y compresibilidad del sonido, caracteriza a los fluidos compresibles. 27 PROBLEMA 46.- El valor de la aceleración gravitacional “g” decrece con la elevación de 9,807 m/s 2 a nivel del mar, hasta 9,767 m/s 2 a una altitud de 13000 m en donde se desplazan los grandes aviones de pasajeros. Determinar el porcentaje de reducción en el peso de un avión que viaja a 13000 m, en relación con su peso a nivel del mar. Solución.- ( ) ( ) 28 CAPITULO 2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Todo fluido posee ciertas características por las que es posible describir su condición física, estas características se denominan “Propiedades del Fluido” y se expresan en términos de un número limitado de Dimensiones Básicas (Longitud, Masa ó Fuerza, Tiempo y Temperatura) que a su vez se cuantifican mediante unidades fundamentales. Una propiedad es una característica de un sistema que depende de su estado. Hay dos tipos de propiedades: 1. Propiedades intensivas.- Estas propiedades no dependen de la mas del sistema. Ejemplos: Temperatura y Presión. 2. Propiedades extensivas.- Estas propiedades dependen de la masa del sistema. Ejemplos: Volumen y Energía. Las propiedades extensivas con frecuencia se dividen mediante la masa asociada con ellas para obtener la propiedad intensiva. Por ejemplo, si el volumen de un sistema de mas “m” es “ entonces el volumen especifico de la materia dentro del sistema es una propiedad intensiva. Si consideramos una propiedad extensiva “B” y su correspondiente propiedad intensiva “ ”, estas están relacionadas, por: ∫ ∫ En un flujo dado, la determinación experimental ó teórica de las propiedades del fluido en función de la posición y del tiempo se considera solución del problema. En casi todos los casos, el énfasis se hace sobre la distribución espacio – temporal de las propiedades fluidas. Aunque el campo de velocidades es la propiedad más importante del flujo, éste interactúa con las propiedades termodinámicas del fluido; siendo las tres más importantes: Presión, Densidad y Temperatura. Son los compañeros permanentes de la velocidad en el análisis de los flujos. Al entrar en juego el Trabajo, el Calor y el Equilibrio energético aparecen otras cuatro propiedades, como: Energía interna, Entalpia, Entropía Y Calores específicos. Por otro lado, los efectos de fricción y conducción de calor están gobernados por los denominados coeficientes de transporte: Coeficiente de viscosidad y Conductividad térmica. 29 Los métodos de medición de flujo se pueden clasificar en un sentido general como Directos ó Indirectos. Los métodos directos comprenden la medición real de la cantidad de flujo para un tiempo dado. Los métodos indirectos abarcan la medición de un cambio de presión “efecto Venturi” que a su vez está directamente relacionada con el gasto. 1.- RAPIDEZ DE FLUJO FLUIDO.- Es la cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar mediante los siguientes términos que se muestra en el cuadro 2.1 Cuadro 2.1. Rapidez de flujo 9 RAPIDEZ DE FLUJO DEFINICIÓN VOLUMEN ( ̇ ) PESO (̇ ) MASA (̇ ) FUENTE: Elaboración Propia 2.- PROPIEDDES QUE COMPRENDEN LA MASA O PESO ESPECÍFICO A.- DENSIDAD ().- Es la masa por unidad de volumen. Se representa por la letra griega (rho). La representación dimensional correspondiente, es M L -3 ó F L -4 T 2 . En general, la densidad de una sustancia depende de la temperatura y de la presión. La densidad de la mayoría de los gases es proporcional a la presión e inversamente proporcional a la temperatura. Por otro lado los líquidos son incompresibles y la variación de su densidad con la presión suele ser despreciable. Por ejemplo, la densidad del agua desde 0 °C hasta 10 °C es 1000 Kg/m 3 (1,94 slug/ft 3 , 102 UTM/ m 3 , 1 gr/cc) y la densidad del aire a 20 °C y presión atmosférica normal es de 1,2 (Kg/m 3 ). B.- PESO ESPECÍFICO ().- La fuerza gravitacional por unidad de volumen de fluido ó simplemente el peso por unidad de volumen, se define como peso específico. Se representa por la letra griega “ (gamma). 9 Se complementa con la experimentación en la medición directa de flujo. 30 Su representación dimensional, es F L -3 . El agua a 20 °C tiene un peso específico de 9,79 KN/m 3 . En contraste el peso específico del aire a la misma temperatura y a una presión atmosférica normal es de 11,8 N/m 3 . El peso específico y la densidad están relacionados por: C.- GRAVEDAD ESPECÍFICA 10 (S).- Es la razón entre el peso específico ó densidad de una sustancia (por lo regular un líquido) y la densidad del agua a una temperatura de referencia de 4 °C. Es adimensional y es independiente del sistema de unidades que se utilice. 3.- PROPIEDDES QUE COMPRENDEN EL FLUJO DE CALOR A.- CALOR ESPECÍFICO (C).- La propiedad que describe la capacidad de una sustancia para almacenar energía térmica se denomina calor específico. Está definición, es la cantidad de energía térmica que debe ser transferida a una unidad de masa de sustancia para elevar su temperatura en un grado. El calor específico de un gas depende del proceso que acompañe al cambio de temperatura. Para cantidades pequeñas, tenemos: Para un gas hay un número infinito de maneras en las que se puede agregar calor entre dos temperaturas. Sin embargo para gases, solo se definen dos calores específicos: - Calor específico a volumen constante (C V ) - Calor específico a presión constante (C P ): Quedando ambas relacionadas por la constante adiabática “K”: 10 Llamada también densidad relativa, para los gases el fluido de referencia es el aire seco. 31 B.- ENERGÍA INTERNA ESPECÍFICA (u).- La energía que posee una sustancia al estado de su actividad molecular se denomina energía interna, que suele expresarse como una cantidad específica, esto es, energía por unidad de masa. La energía interna es por lo general una función de temperatura y presión, pero para un gas ideal, es una función sólo de la temperatura. C.- ENTALPIA ESPECÍFICA 11 (h).- La combinación ( ) se encuentra con frecuencia en las ecuaciones para termodinámica y flujo compresible. Para un gas ideal es función de la temperatura. 4.- ESCALAS DE PRESIÓN Y TEMPERATURA En Mecánica de Fluidos la presión es el resultado de la acción de una fuerza de compresión normal (F n ) sobre un área (A). La presión queda definida por: La presión en cualquier punto en un fluido es la misma en todas las direcciones, es decir tiene magnitud pero no una dirección específica, en consecuencia es una cantidad escalar. La representación dimensional es F L -2 ó M L -1 T -2 . Ejemplo en el Sistema Internacional de Unidades es el N/m 2 (Pa) ó Kg/m.s -2 . La presión se mide con respecto a un nivel de referencia. La presión que se mide en relación con la presión atmosférica local se denomina “presión manométrica” y la que se mide en relación con una presión cero se denomina “presión absoluta”. Las presiones manométrica y absoluta se relacionan de acuerdo con la siguiente expresión: Presión absoluta = Presión manométrica + Presión atmosférica local El empleo de los subíndices “g” y “a” con las unidades de una presión, indican si la presión es manométrica ó absoluta respectivamente. La presión atmosférica estándar a nivel del mar tiene los siguientes valores: 101,3 KPa, 14,7 Psi, 30,0 in Hg, 760 mmHg, 34 ft de agua, 1,013 bar. 11 Es una propiedad muy importante en el análisis de fluidos compresibles, debido al acoplamiento entre la forma mecánica y térmica de energía. 32 La temperatura está relacionada con el nivel de energía interna del fluido. Hay dos escalas de temperatura de uso común, la escala Celsius (°C) y la escala Fahrenheit (°F), ambas se basan en el punto de congelamiento y el punto de vapor del agua a una presión atmosférica de 101,3 KPa. En l escala Celsius son 0 y 100 °C y 32 °F y 212 °F en la escala Fahrenheit. La escala absoluta que corresponde a la escala Celsius es la escala Kelvin (K) y la que corresponde a la escala Fahrenheit es la escala Rankine (°R). La relación entre las escalas, son: y 5.- GAS PERFECTO El comportamiento de los gases en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería se puede describir con la ley de los gases ideales, también conocida como ley de los gases perfectos. Si la temperatura es relativamente baja y/o la presión es relativamente alta, debemos tener cuidado y aplicar la ley de los gases reales. La ley de los gases ideales está dado por: Donde la Presión y la Temperatura son condiciones absolutas y R GAS es la constante del gas en estudio. La constante de los gases se relaciona con la constante universal de los gases y la masa molar, según la ecuación: ̅ ̅ Otras formas que adopta la ley de los gases ideales, son: ̅ ̅ ̅ ̅̅̅ Donde “n” es el número de moles. Algunos valores de la constante universal de los gases son: ̅ Así mismo, se sabe que: 33 6.- VARIABILIDAD DEL VOLUMEN O DENSIDAD DE UN FLUIDO POR EFECTOS COMBINADOS DE LA PRESIÓN Y TEMPERATURA Por experiencia se sabe que existe un cambio relativo en el VOLUMEN () ó la DENSIDAD () de un fluido al variar su TEMPERATURA y PRESIÓN (efectos combinados) a.- La cantidad del cambio en el VOLUMEN ó la DENSIDAD es diferente para fluidos diferentes y se necesita definir las propiedades que relacionan sus cambios con la TEMPERATURA y PRESION. Estas propiedades son: - Módulo de Elasticidad de Volumen (E) a Temperatura constante, llamado también “Coeficiente de Compresibilidad” ó “Módulo de Compresibilidad de Volumen” - Coeficiente de Expansión Volumétrica ) (| a Presión constante. b.- Los fluidos: se expanden cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían. c.- Un fluido se contrae cuando se aplica más presión sobre él y se expande cuando se reduce la presión que actúa sobre el. d.- Se puede determinar los efectos combinados de los cambios en la TEMPERATURA y PRESIÓN sobre el cambio de volumen de un fluido cuando se toma el volumen como una función de “P” y “T”. El diferencial total de ( ) ( ) ( ) A.- COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD 12 (E).- Representa el cambio en la presión correspondiente a un cambio relativo en el volumen ó la densidad del fluido, mientras la temperatura permanezca constante. ( ) ( ) - El Coeficiente de compresibilidad, tiene representación dimensional [] - El signo negativo expresa que a un incremento de presión corresponde un decremento de volumen. 12 Llamado también módulo de elasticidad volumétrico, para el agua es aproximadamente 2,2 GN/m 2 34 - El módulo de elasticidad de volumen del agua en condiciones estándar es 2100 MPa. - Para el caso de gases ideales, el módulo de elasticidad de volumen no es constante, si no que depende del proceso. - El Módulo de Elasticidad de Volumen también sirve para calcular la velocidad del sonido. - Un valor grande de “E” indica que se necesita un cambio también grande en la presión para causar un pequeño cambio relativo en el volumen, por lo que un fluido con un “E” grande en esencia es incompresible. Esto es típico para los líquidos y explica por qué estos suelen considerarse como incompresibles. El inverso del COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD de un fluido se llama COMPRESSIBILIDAD ISOTERMICA ) (o y representa el cambio relativo en el volumen o la densidad correspondiente a un cambio unitario en la presión. T T P P | . | \ | c c = | . | \ | c c¬ ¬ ÷ = µ µ o 0 0 1 1 B.- COEFICIENTE DE EXPANSIÓN VOLUMETRICA ) (| .- En general, la densidad de un fluido depende con mayor fuerza de la temperatura que la presión y la variación de la densidad con la temperatura causa numerosos fenómenos naturales (Los vientos, las corrientes marinas en los océanos, ascenso de columnas de humo en las chimeneas, etc.). Para cuantificar estos efectos se necesita una “propiedad que represente la variación de la densidad de un fluido con la temperatura a presión constante” ( ) ( ) El inverso del COEFICIENTE DE COMPRESIBILIDAD de un fluido se llama COEFICIENTE DE EXPANSIÓN VOLUMÉTRICA ) (| y representa el cambio relativo en el volumen o la densidad del fluido, correspondiente a un cambio unitario en la temperatura. P P T T | . | \ | c c ÷ = | . | \ | c c¬ ¬ = µ µ | 0 0 1 1 35 Por lo que la variación del volumen o densidad de un fluido, queda establecido por: 0 0 ¬ + ¬ ÷ = ¬ | o dP d ( ) dP dT o | ÷ ¬ = 0 Así mismo el cambio relativo en el volumen ó la densidad debido a cambios en la presión y temperatura se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como: ) ( 0 0 P T A ÷ A ~ A ÷ = ¬ ¬ A o | µ µ 7.- VISCOSIDAD.- Es una medida cuantitativa de la resistencia de un fluido a fluir. Más concretamente la viscosidad determina la velocidad de deformación del fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante dado. La distinción más importante entre un sólido y un fluido viscoso es el esfuerzo cortante, en un material sólido es proporcional a la deformación de corte y el material deja de deformarse cuando se alcanza el equilibrio; mientras que el esfuerzo cortante en un fluido viscoso es proporcional a la rapidez de deformación. El factor de proporcionalidad para un fluido viscoso es la viscosidad absoluta ó dinámica La viscosidad de un fluido depende tanto de la temperatura como de la presión, aun cuando la dependencia respecto a la presión es más débil. Para los líquidos, la viscosidad dinámica y la cinemática son prácticamente independientes de la presión y suele descartarse cualquier variación pequeña con ésta, excepto a presiones extremadamente elevadas. - Para los líquidos en forma muy aproximada se puede determinar la viscosidad absoluta, mediante la ecuación de Andrade: . Donde “A” y “B” se determinan a partir de mediciones. - Para los gases una estimación razonable para la variación de la viscosidad con la temperatura absoluta es la ecuación de Sutherland: ( ) ( ) 36 Donde es la viscosidad a una temperatura y S es la constante de Sutherland (ver Anexo Tabla A.3). Ejemplo para el aire es 111 K Muchos cálculos de la dinámica de los fluidos involucran la razón de la viscosidad dinámica en la densidad del fluido, por lo que la viscosidad cinemática queda establecido, por: Existen procedimientos y equipos variados para determinar la viscosidad de los fluidos llamados viscosímetros ó reómetros. Viscosidad absoluta: Viscosímetro de tambor rotatorio, viscosímetro de tubo capilar, viscosímetro de bola que cae, etc. Viscosidad cinemática: Viscosímetro Engler, Viscosímetro Saybolt Universal 13 , Viscosímetro Saybolt Furol, Viscosímetro Redwood, etc. Una ecuación empírica para determinar la viscosidad cinemática en forma experimental, es: ( ) Donde “A” y “B” dependen del tipo de viscosímetro y del tiempo “t” de escurrimiento de la muestra que fluye por un orificio de diámetro pequeño. La ASTM – 2161, describe los métodos de conversión entre las mediciones de la viscosidad en SSU y la viscosidad cinemática en mm 2 /s. Se presentan los siguientes casos: Caso 01.- Cuando la viscosidad cinemática es menor a 75 mm 2 /s y la temperatura del fluido es 100 °F. Caso 02.- Cuando la viscosidad cinemática es mayor a 75 mm 2 /s y la temperatura del fluido es 100 °F Caso 03.- Cuando la temperatura del fluido es diferente de 100 °F y la viscosidad es mayor a 75 mm 2 /s. 13 La facilidad con que un fluido pasa por un orificio de diámetro pequeño es un indicador de su viscosidad, es el principio de su funcionamiento. 37 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01.- Hay que seleccionar una tubería de acero estándar - Cedula 40, para que lleve 15 gpm de agua, con velocidad de 1,5 ft/s. ¿Cuál es el diámetro (in) de la tubería que debe utilizarse? (Robert Mott 6,42). Solución.- Del Anexo: Tabla A.4: Tubo de acero estándar – Cédula 40: Área de flujo = 0,0233 ft 2 (2 in de diámetro nominal - Seleccionar en exceso) PROBLEMA 02.- Un ventilador 14 funciona de manera continua y extrae aire de un ambiente que se encuentra a 750 mmHg (abs) y 20 °C, a razón de 30 L/s. Determine la masa (Kg) de aire que se extrae en un día. (Robert Mott 6,33C). Solución.- Convertir la carga del mercurio a unidades de presión. Cálculo de la densidad del aire: ( ) Cálculo de la masa removida en un día. PROBLEMA 03.- Una tubería de 2 m de diámetro lleva agua a razón de 4 m/s. Determinar la descarga (m 3 /s y cfs). (Roberson Crowe 5,3). Solución.- () 14 También se conoce como máquina hidráulica generadora para gases y su análisis de diseño se hace como fluido incompresible 38 PROBLEMA 04.- Una tubería cuyo diámetro es 80 mm transporta aire con una temperatura de 20 °C y presión de 200 KPa absolutos a razón de 20 m/s. Determinar el flujo másico (Kg/s). Solución.- Consideramos la sustancia de trabajo como un gas ideal, para determinar luego su densidad utilizando la ecuación de estado del gas ideal. ( ) ̇ () PROBLEMA 05.- Un tubo de prueba del motor de un avión es capaz de proporcionar un flujo másico de 80 Kg/s, en condiciones de altitud correspondientes a una presión absoluta de 50 KPa absolutos y una temperatura de – 18 °C. La velocidad del aire que pasa por el conducto unido al motor es de 400 m/s. Calcular el diámetro del conducto. (Roberson Crowe 5,6). Solución.- Determinamos primeramente la densidad del aire ( ) ̇ ( ̇ ) ( ) PROBLEMA 06.- Un ingeniero especialista en calefacción y aire acondicionado está diseñando un sistema para mover 1100 m 3 /h de aire a 100 KPa y 30 °C. El conducto es rectangular con dimensiones de sección transversal de 1 m por 20 cm. ¿Cuál será la velocidad (m/s) del aire en el conducto? (Roberson Crowe 5,7). Solución.- PROBLEMA 07.- Un ventilador mueve 700 ft 3 /min de aire. Si la densidad del aire es de 1,2 Kg/m 3 . Determinar el flujo másico (Slug/s) y el flujo en peso (lb f /h). Solución.- 39 ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 08.- Determinar la rapidez de flujo de volumen (cfs) de combustible a 45 °C (S= 0,895 y ) en la que el flujo permanecerá como laminar en una tubería de 100 mm de diámetro. Solución.- Se tiene flujo laminar para un numero de Reynolds de 2000 (Zona crítica) 15 PROBLEMA 09.- Una bomba centrifuga retira de un tanque 1 gpm de agua a 20 °C. ¿Cuánto tiempo (h) le llevará vaciar el tanque, si este contiene 3000 lb f ? Solución.- ̇ PROBLEMA 10.- El agua de una tubería se desvía hacia un tanque de pesado durante 10 min, registrándose 4500 lb f . Suponiendo el agua a 50 °F ( ). Determinar la rapidez de gasto volumétrico (cfs). (Roberson Crowe 13,7). Solución.- PROBLEMA 11.- Fluye un flujo de 2,35 x 10 -3 m 3 /s de aceite (S = 0,90). Calcular el flujo en peso (N/s) y el flujo másico (Kg/s). (Robert Mott 6,30). 15 Para velocidades por debajo de la zona crítica el flujo es laminar 40 Solución.- ̇ ̇ PROBLEMA 12.- Un tubo largo con diámetro interior de 1,20 m conduce aceite similar al SAE 10 a 40 °C (S: 0,87 y ). Calcular la rapidez de flujo de volumen que se requiere para producir un Número de Reynolds de 3,60 x 10 4 . Solución.- El número de Reynolds queda establecido, por: ̇ Remplazando los datos del problema, se tiene: ̇ PROBLEMA 13.- A través de una tubería de 150 mm de diámetro circula aire a una presión manométrica de 2,1 bar y una temperatura de 37 °C. Considerando la presión atmosférica como 750 mmcm y velocidad media del aire de 3 m/s. Determinar la rapidez de flujo en peso (N/s) Solución.- La presión atmosférica: 750 mmHg = 0,99 bar ( ) ̇ PROBLEMA 14.- El vino tiene una densidad relativa de 1,15, el químico de la vinatería decide diluirlo en agua para obtener una densidad relativa de 1,1. ¿Qué porcentaje del volumen nuevo constituye el agua añadida? (Philip Gerhart 1,4). Solución: Consideramos el volumen de la mezcla igual a la unidad, por lo que: masa (mezcla) = masa (vino) + masa (agua) 41 ( ) Dividiendo la ecuación anterior entre la densidad del agua, se tiene: ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 15.- Un cuerpo cilíndrico de 1 m de diámetro y 2 m de alto pesa 0,3 KN, si se llena con un líquido el conjunto pesa 15 KN. Determinar en el SI de unidades el peso específico, la densidad y la densidad relativa del fluido. Solución. Peso total = Peso cilindro + Peso del líquido ( ) ( ) PROBLEMA 16.- Se lee que la presión manométrica en un líquido a una profundidad de 3 m es de 28 KPa. Determine: a) La presión manométrica (KPa) en el mismo líquido a una profundidad de 12 m b) La densidad relativa del fluido. (Yunus Cengel 3.10) Solución.- La presión manométrica a diferentes profundidades, queda establecida por: P (3 m de Prof.) y P (12 m de Prof.) = Al ser el medio fluido el mismo: 42 ( ) ( ) PROBLEMA 17.- Un tanque de plástico de 3 kg que contiene un volumen de 0,2 m 3 . Se llena con agua líquida a 20 °C. Determine el peso (KN) del sistema combinado. Considerar g = 10 m/s 2 . Solución.- () ( ) () ( ) PROBLEMA 18.- Estime la masa de un émbolo que puede soportar un gas atrapado debajo del émbolo en un cilindro vertical de 200 mm de diámetro, cuando un manómetro indica una presión de 117 mmHg para la presión del gas. Considerar la densidad relativa del mercurio 13,6. Solución.- Cuando el émbolo se encuentra en equilibrio, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Masa = 49,989 Kg PROBLEMA 19.- El peso específico relativo del mercurio suele tomarse como 13,6. Calcular el porcentaje de error, si se emplea un valor de 13,6 a 50 °C. (Potter Merle 1.24) Solución.- () () 43 PROBLEMA 20.- En general los globos aerostáticos se llenan con helio debido a que solo pesa 1/7 de lo que pesa el aire en condiciones idénticas. La fuerza de sustentación del objeto en el aire empujará el globo hacia arriba. Considerar 10 m el diámetro del globo y g = 10 m/s 2 . Si el globo transporta 3 personas con una masa total de ellos de 200 Kg. Determinar la aceleración (m/s 2 ) del globo en el momento en que se suelta. Suponga el aire a 10 °C y presión atmosférica. No tome en cuenta el peso de las cuerdas y de la canasta. (Yunus Cengel 3,111) Solución.- Aplicamos la segunda ley de Newton: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ () ] Calculo de la densidad del aire: Remplazando valores, se tiene: ( ) [ ] 44 PROBLEMA 21.- El diámetro de un contenedor cilíndrico es de 150 mm y su peso cuando está vacío es de 2,25 N. Si se llena con cierto tipo de aceite hasta una profundidad de 200 mm pesa 35,4 N. Determinar la gravedad específica del aceite. Solución.- ( ) ( ) PROBLEMA 22.- La densidad del mercurio está dada como 26,3 slug/ft 3 . Determinar: a) La densidad relativa y el volumen específico (m 3 /Kg) del mercurio. b) El peso específico (lb f /ft 3 ) en la tierra y en la luna si la aceleración de la gravedad en el satélite es de 5,47 ft/s 2 . Solución.- a.- Densidad relativa: Volumen específico: b.- Peso específico en la tierra: Peso específico en la luna: ( ) ( ) PROBLEMA 23.- Un recipiente de forma cilíndrica de forma cilíndrica de 500 mm de diámetro y 750 mm de altura, contiene 4 Kg de un gas. La presión medida con un manómetro indica 620 mmHg arriba de la atmosférica. Cuando el barómetro indica 760 mmHg. Determinar: a) La 45 presión absoluta (bar) del gas contenido en el recipiente. b) El volumen específico y la densidad del gas. Solución.- a) [ ] b) PROBLEMA 24.- Para los ejercicios propuestos. Determinar: a) El peso específico y la densidad del benceno, si su gravedad específica es de 0,876. b) El volumen (m 3 ) del mercurio, si tuviera un peso de 2,25 KN. A saber que a 100°C el mercurio tiene un peso específico de 130 KN/m 3 . Solución.- a. b. PROBLEMA 25.- En los ejercicios propuestos. Determinar: a) El peso (MN) y la masa (Mg) de gasolina (S: 0,68) contenido en un cilindro vertical de 10 m de diámetro. Si se llena este depósito hasta una profundidad de 6,75 m. b) El peso (lb f ) que tendrá la gasolina ( ) contenido en el tanque de combustible de una automóvil que tiene una capacidad de 25 gal. Solución.- a.- 46 b.- PROBLEMA 26.- Un manómetro de vacío conectado a una cámara da una lectura de 24 KPa en un lugar donde la presión atmosférica es de 92 KPa. Determine la presión absoluta (KPa y mmcm) en la cámara. (Yunus Cengel 3,7) Solución.- P ABS = P 0 + L P ABS = 92 + (- 24) = 68 KPa PROBLEMA 27.- Determine la presión (KPa) atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de 750 mmHg. Considere la densidad relativa del mercurio igual a 13,6. (Yunus Cengel 3,10) Solución.- PROBLEMA 28.- Un hombre que pesa 200 lb f tiene un área total de impresión de sus pies de 72 in 2 . Determine la presión (Psig) que este hombre ejerce sobre el suelo, si a) Si está parado sobre los dos pies b) Si está parado sobre uno de ellos. (Yunus Cengel 3,14 I) Solución.- a.- Si está parado sobre los dos pies: b.- Si está parado sobre uno de ellos: PROBLEMA 29.- Se puede usar un barómetro básico para medir la altura de un edificio. Si las lecturas barométricas en las partes superior e inferior del edificio son de 730 y 755 mmHg respectivamente. Determine la altura (m) del edificio. Suponga una densidad promedio del aire de 1,18 Kg/m 3 . (Yunus Cengel 3,20) Solución.- ( ) PROBLEMA 30.- La presión sanguínea 16 máxima en el antebrazo de una persona sana es de alrededor de 120 mmHg. Se conecta a la vena un tubo vertical abierto a la atmósfera, en el 16 Se conoce como Presión sistólica a la mayor presión y Presión diastólica a la presión menor 47 brazo de una persona. Determine la altura (m) hasta la que ascenderá la sangre en el tubo. Tome la densidad relativa de la sangre como 1,050. (Yunus Cengel 3,32) Solución.- Presión sangre = Presión mercurio PROBLEMA 31.- Un depósito cerrado contiene 1,5 m de aceite SAE 30 (S: 0,8), 1 m de agua, 200 mm de mercurio (S: 13.6) y una bolsa de aire en su parte superior. La presión en la base del depósito es de 60 KPa. ¿Cuál es la presión (KPa) en la bolsa de aire? Considerar aceleración de la gravedad g: 10 m/s 2 . Solución.- ( ) ( ) P Aire = 10,8 KPa PROBLEMA 32.- Obtener una expresión para determinar la presión absoluta ( ) en un líquido en que su peso específico aumenta con la profundidad “h” según la relación: . Donde: “K” es una constante, “ es el peso específico del líquido en la superficie. Solución.- ∫ ∫ ( ) PROBLEMA 33.- Determinar la presión (mmcm) equivalente a 200 mmca más 150 mm de cierto fluido (S: 2,94). Solución.- Convertir la carga de agua y del fluido a una carga equivalente de mercurio. ( ) 48 ( ) PROBLEMA 34.- Un dispositivo Cilindro – Pistón que contiene un gas, tiene un pistón cuya masa es de 60 Kg y un área de sección transversal 0,04 m 2 . La presión atmosférica local es de 0,97 bar y la aceleración gravitacional es 9,81 m/s 2 . ¿Determinar la Presión (bar) dentro del cilindro? Solución.- Cuando el pistón se encuentra en equilibrio, se cumple: Fuerza (Presión atmosférica) + Peso (Pistón) = Fuerza del gas (interior del cilindro) ( ) PROBLEMA 35.- Un medidor de vacío conectado a un tanque, registra 5,4 Psig en un sitio donde la lectura barométrica es de 28,5 inHg. Determinar la Presión (Psia) en el tanque. Solución.- La presión de 28,5 inHg, es equivalente a 14 () PROBLEMA 36.- Una olla cuyo diámetro es 200 m, contiene agua y está cubierta por una tapa de 4 Kg. Si la presión atmosférica local es de 101 KPa. Determinar la temperatura (°C) a la cual el agua empezará a hervir 17 cuando se calienta. Solución.- El análisis se hará cuando la tapa esta en equilibrio. Tablas de vapor del agua con presión de 0,102 MPa, corresponde T sat = 100,2 °C 17 Recordar que para una presión de vaporización, corresponde una temperatura de saturación (Sustancia Pura) 49 PROBLEMA 37.- El vacío registrado en el condensador de una planta de energía de vapor es 740 mmHg. Determinar la presión absoluta (Pa) en el condensador. La lectura barométrica es 760 mmHg. Considerar la densidad relativa del mercurio 13,6. Solución. [ ( )] PROBLEMA 38.- Una escala de temperatura de cierto termómetro está dada por la relación: () . Donde “a” y “b” son constantes y “P” es una propiedad termodinámica del fluido. Si en el punto de hielo y en el punto de vapor, las propiedades termodinámicas se determinan por 1,5 y 7,5 respectivamente. Determinar la temperatura correspondiente a la propiedad termodinámica de 3,5 en la escala Celsius. Solución.- Punto de hielo: 0 = a ln 1,5 + b 0 = 0,40 54 a + b Punto de vapor: 100 = a ln 7,5 + b 100 = 2,015 a + b Resolviendo las ecuaciones anteriores, se tiene: a = 62,127 y b = - 25,1718 PROBLEMA 39.- ¿Cuan alta (m) debe ser una columna de aceite SAE – 30 para obtener la misma presión que 700 mm Hg 18 ? Solución.- La presión del aceite y del mercurio debe ser igual. PROBLEMA 40.- Si se puede expresar el peso específico de un lodo como . Determine la presión en (Psig) a una profundidad de 12 ft por debajo de la superficie; se expresa en lb f /ft 3 y “h” en ft por debajo de la superficie. Solución.- 18 Es el típico problema de la presión expresada como altura de una columna de líquido. 50 ∫ ∫ ( ) [ ] [ ] Como solicita presión manométrica, se desprecia la presión atmosférica: P = 5,43 Psig PROBLEMA 41.- En la figura 2 kg de argón y 2 kg de N 2 se encuentran ocupando igual volúmenes de 0.5 m 3 cada uno y separados por un pistón sin fricción y no conductor del calor; la temperatura del argón es de 50 °C. Se le suministra calor a ambos recipientes hasta conseguir un incremento de temperatura en el argón de 200 °C. Determínese las temperaturas (K) iniciales y finales del N 2. Solución. De tablas de gases R arg : 0,20813 KJ/Kg.K y R Nit : 0,29680 KJ/Kg.K Condición inicial: Se determina la presión inicial del argón. ( ) Al encontrarse el pistón en equilibrio, la presión del argón y del nitrógeno son iguales en sus compartimientos. Condición final: Cuando se suministra calor al sistema, los volúmenes de gas en los compartimientos no cambian, así mismo el pistón sigue en equilibrio. ( ) ( ) 51 P ABS = S Hg x x h PROBLEMA 42.- La presión en un neumático de automóvil depende de la temperatura del aire contenido en el. Cuando la temperatura del aire es de 25 °C, la lectura del manómetro es de 210 KPa. Si el volumen del neumático es de 0,025 m 3 . Determinar: a.- La elevación de la presión (KPa) cuando la temperatura del aire en él sube hasta 50 °C. b.- La cantidad de aire (Kg) que debe purgarse para restablecer la presión hasta su valor original, a esta temperatura. Suponga que la presión atmosférica es de 100 KPa. Solución.- Considerando el aire como un gas ideal, se tiene: a. Por condición del problema la presión es solo función de la temperatura, por lo que el volumen contenido en el neumático permanece constante. ( ) ( ) ( ) ( ) b.- La presión inicial y final no varían: ( ) ( ) PROBLEMA 43.- Se comprime isoentropicamente aire a 15 °C y 101,3 KPa de manera que su volumen se reduce en un 50%. Determinar la variación de la velocidad sónica (m/s) durante el proceso. Solución.- Determinamos la temperatura absoluta al final del proceso isoentrópico. ( ) ( ) ( ) La velocidad del sonido (C) queda establecido por la ecuación: √ ( ) ( ) ( ) ( ) 52 PROBLEMA 44.- El aire en una llanta de automóvil con un volumen de 0,53 ft 3 se encuentra a 90 °F y 20 Psig. Determine la cantidad de aire (lb) que debe agregarse para elevar la presión al valor recomendado de 30 Psig. Suponga que la presión atmosférica corresponde a 14,6 Psia y que la Temperatura y el Volumen permanecen constantes. Solución.- La ecuación de estado de los gases ideales para las condiciones inicial y final ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 45.- Un tanque rígido contiene 10 Kg de aire a 150 KPa (abs) y 20 °C. Se añade más aire al tanque hasta que la presión y la temperatura aumentan a 250 KPa (abs) y 30 °C. ¿Determinar la cantidad (Kg) de aire añadido al tanque? Solución.- Aplicamos la ecuación de estado de los gases ideales. ( ) ( ) La cantidad de aire añadido, es: 16,115 - 10 = 6,116 Kg PROBLEMA 46.- Se almacena gas natural en un tanque esférico a una temperatura de 10 °C. En un tiempo inicial dado la presión del tanque es de 100 KPa manométricos y la presión atmosférica de 100 KPa absolutos. Transcurrido cierto tiempo, después que se ha bombeado bastante más gas en el tanque, la presión de este es de 300 KPa manométrica y la temperatura es todavía de 10 °C. ¿Cuál será la razón entre la masa del aire en el tanque para las condiciones de presión final e inicial del proceso? (Roberson Crowe 2,4) Solución.- Por la condición de un gas, el volumen se mantiene constante. 53 ( ) ( ) PROBLEMA 47.- Un gas casi ideal tiene un peso molecular de 44 y un calor específico Cv = 610 J/Kg.K. Determinar: a) La relación de calores específicos. b) La velocidad del sonido (m/s) a 100 °C Solución.- ) ̅ ̅ b) √ √ PROBLEMA 48.- Determine la velocidad final (m/s) de una masa de 15 kg que se mueve en sentido horizontal, si inicialmente viaja a 10 m/s y se mueve a una distancia de 10 m, mientras la fuerza (N) neta de “20 s” actúa en la dirección del movimiento (donde “s” es la distancia en la dirección del movimiento). Solución.- Por la primera ley de la Termodinámica: Despreciando la variación de la energía potencial e interna y considerando el sistema en el análisis como adiabático, se tiene: ∫ 54 PROBLEMA 49.- En un cilindro rígido que contiene un pistón hay aire encerrado. Un manómetro conectado al cilindro indica una lectura inicial de 20 lb f /pulg 2 . Determinar la lectura del manómetro cuando el pistón ha comprimido el aire a la tercera parte de su volumen original. Suponer que el proceso de compresión es isotérmico y que la presión atmosférica local es de 14,7 lb f /pulg 2 . Solución.- Por condición del problema, el gas se comprime isotérmicamente. ( ) PROBLEMA 50.- Si un avión de alto rendimiento es capaz de volar con un número de Mach de 3,0 a una altitud de 80000 ft. ¿A qué velocidad (mill/h) estará volando el avión? Solución.- Para la Presión Atmosférica Estándar a una altitud de 80000 ft se evalúa la temperatura correspondiente del aire, quedando definido como -61,98 °F [ ( )] PROBLEMA 51.- Un tanque herméticamente cerrado contiene 1 m 3 de aire a 27°C y 4 bar abs. El tanque alimenta aire a un cilindro – pistón mediante la regulación de una válvula de control. Cuando sucede esto, el pistón (m = 20 Kg y A = 0,0049 m 2 ) se eleva hasta alcanzar su equilibrio y disminuye la temperatura del aire en el tanque a 17°C. Determinar: a) La masa (kg) final de aire contenido en el tanque. b) El volumen (m 3 ) de aire en el cilindro – pistón. Solución.- El volumen del aire contenido en el tanque no varía. a.- ( ) ( ) ( ) ( ) () - Cálculo de la masa inicial ( ) ( ) 55 - Cálculo de la presión final ( ) Cuando el pistón está en equilibrio. () Remplazando valores en la ecuación (1), se tiene: ( ) ( ) b.- El volumen de aire contenido en el cilindro – pistón. ( ) ( ) PROBLEMA 52.- Un objeto viaja con un número de Mach de 1,5 en una atmósfera de helio a 68 °F, siendo su exponente politrópico de 1, 667 ¿Calcular su velocidad en m/s? Solución.- Propiedades del helio: √ √ PROBLEMA 53.- Se observa que la densidad de un gas ideal decrece en 10 % cuando se comprime en forma isotérmica de 10 atm a 11 atm. Determinar el porcentaje de disminución en la densidad del gas, si se comprime en forma isotérmica de 100atm a 101 atm. (Yunus Cengel 2,30) Solución.- Se sabe que para un gas ideal que sigue un proceso isotérmico, se cumple que el Módulo de compresibilidad de volumen a temperatura constante, es igual a la presión del gas. ( ) ( ) - Cuando se comprime de 10 atm a 11 atm: 56 ( ) - Cuando se comprime de 100 atm a 101 atm: ( ) PROBLEMA 54.- Se tiene agua a 20 °C y 1 atm. Determine la densidad final del agua, si: a) Se calienta el agua asta 50 °C a una presión constante de 1 atm. b) Se comprime hasta alcanzar la presión de 100 atm a una temperatura constante de 20 °C. Considerar la compresibilidad isotérmica del agua: Solución.- El cambio relativo en el volumen ó la densidad debido a cambios en la presión y temperatura, se puede expresar: ( ) De las tablas de propiedades para el agua: Con 20 °C y 1 atm, la densidad es 998 Kg/m 3 , Con temperatura promedio del agua 35 °C: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Debe recalcarse que en tablas para el agua a 50 °C y 1 atm, la densidades 988,1 b) ( ) 57 PROBLEMA 55.- Se comprime isentrópicamente un metro cúbico de Nitrógeno (K=1,4) a 40 °C y 340 KPa (abs) hasta 0,2 m 3 . Determinar la presión (KPa) y el módulo de elasticidad volumétrico (KPa) al final del proceso. Solución.- ( ) ( ) Para un gas ideal y proceso adiabático: PROBLEMA 56.- Suponga que circula glicerina a 20 °C ( ) entre dos placas estacionarias y que el gradiente de presión dP/dx es – 1,6 KN/m 3 . Si la distancia vertical “B” entre las paredes es 50 mm y considerando la distribución de velocidad para flujo viscoso entre las placas, como: ( ) Determinar: a) La velocidad (m/s) en la pared y a 12 mm de esta b) El esfuerzo cortante (Pa) en la pared y a 12 mm de esta. (Roberson Crowe 2.33) Solución: a.- Cálculo de la velocidad. De la ecuación del perfil de velocidad (dato del problema): ( ) ( )( ) () b.- Calculo del esfuerzo cortante. [ ( )( )] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) ()() PROBLEMA 57.- La distribución de velocidades para flujo laminar entre placas paralelas está dada por: ( ) . Donde “h” es la distancia que separa las placas e “y” el 58 origen que se ubica en el punto medio entre las mismas. Considere un flujo de agua a 15 °C ) . 10 15 , 1 ( 3 s Pa x ÷ = µ con una V max = 0,30 m/s y h = 0,50 mm. Calcular el esfuerzo de corte (N/m 2 ) en la placa superior. Solución: [ ( )] [ ( )] ( ) Para la condición del problema: ( ) ( ) PROBLEMA 58.- El perfil de velocidad para el flujo turbulento es muy diferente de la distribución parabólica del flujo laminar. La velocidad cerca de la pared de la tubería cambia con rapidez desde cero en la pared a una distribución de velocidad casi uniforme en toda la sección transversal. La forma real del perfil de velocidad varía con el factor de fricción “f”, el que a su vez varía con el número de Reynolds y la rugosidad relativa de la tubería. La ecuación que gobierna el fenómeno, es: () [ √ √ ( )] Obtenga la distancia “Y” para el cual la velocidad local () es igual a la velocidad media “V” Solución.- Por condición del problema () √ √ ( ) ( ) ( ) = - 0,665 Y = 0,21627 R 59 PROBLEMA 59.- Por una tubería de acero comercial nuevo ( ) 19 de 360 mm de diámetro circula un fluido en régimen turbulento. La velocidad en la línea central es 6 m/s y a 80 mm de la pared del tubo es de 5,4 m/s. Determinar: a) La velocidad media (m/s) del flujo b) El Número de Reynolds c) El coeficiente de fricción Solución. Para régimen turbulento el perfil de velocidad viene dado por la expresión: () ( ) Remplazando valores: ( ) ( ) n = 7,7 La velocidad media en función de la velocidad máxima, es. ( )( ) () ( )( ) () La forma real del perfil de velocidad varía con el factor de fricción “f”, el que a su vez varía con el número de Reynolds y la rugosidad relativa de la tubería. () [ √ √ ( )] [ √ √ ( )] f: 0,0152 (c) La rugosidad relativa: Con el coeficiente de fricción y la rugosidad relativa se va al diagrama de Moody, obteniéndose: Re = 5,5 x 10 5 (Régimen Turbulento) (b) 19 Las tuberías son lisas ó rugosas, que tienen relación con la rugosidad absoluta del material de construcción 60 PROBLEMA 60.- Un fluido Newtoniano con densidad relativa de 0,92 y viscosidad de 4 x 10 -4 m 2 /s fluye por una superficie fija. La variación de la velocidad en el eje vertical (y), viene dado por la ecuación: () ( ) Donde: u (y) : Es la velocidad local (en la pared de la superficie fija vale cero), V max : Es la velocidad máxima, alcanzando este valor a una distancia vertical “ “desde la pared. Determinar la magnitud del esfuerzo cortante (Pa) desarrollado sobre la placa. Expresar la respuesta en términos de V max y “o ” expresado en unidades de (m/s) y (m) respectivamente. Solución.- Calculo del esfuerzo en la pared (y = 0) () ( ) ( ) De la ecuación del perfil de velocidades: [ ] [ ] ( ) () PROBLEMA 61.- La viscosidad para petróleo crudo a 100 °F es 8x10 -5 lbf.s/ft 2 . La distribución de velocidades entre dos paredes está dada por: ( ) ( ), donde “y” se mide en pies (ft) y el espacio entre las paredes es 0,1 ft. Determinar el esfuerzo cortante (lbf/ft 2 ) a una distancia de 0,1 ft. (Roberson Crowe 2.31) Solución.- [ ( )] ( ) 61 ( ) ( ) PROBLEMA 62.- Si la viscosidad de un líquido es de 6 cp. ¿Cuál es su viscosidad (mm 2 /s), si su densidad relativa es de 1,2? Solución.- PROBLEMA 63.- Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 1,25 x 10 -4 m 2 /s y una densidad relativa de 0,80. ¿Cuál es su viscosidad en Kg/m.s? Solución.- PROBLEMA 64. La viscosidad cinemática del oxigeno a 20 °C y 150 KPa (abs) es 0,104 st. Determinar la viscosidad (Pa.s) del oxigeno a estas condiciones. Solución.- Calculamos inicialmente la densidad del oxigeno. ( ) PROBLEMA 65.- Para una viscosidad de 5,7 x 10 – 6 m 2 /s y una densidad relativa de 0,8. ¿Determinar la viscosidad dinámica del aceite en el Sistema Gravitacional Métrico y SI? Solución.- Sistema Gravitacional Métrico: 62 Sistema Internacional: PROBLEMA 66.- Determinar la viscosidad dinámica ó absoluta en el Sistema Internacional, tomando como dimensiones básicas: M, L, T; en los siguientes ejercicios: a.- Para el oxigeno (R: 259,9 J/kg-K) a 20 °C y 1,4 bar abs. Si la viscosidad cinemática es 10,4 cst. b.- Para un fluido de densidad relativa de 0,9 y viscosidad cinemática de 6x10 -6 m 2 /s Solución.- a. b. PROBLEMA 67.- Determinar la viscosidad cinemática (st), en los siguientes ejercicios. a.- Para un líquido de viscosidad 3 cp y densidad relativa de 1,6. b.- Para un líquido de viscosidad 4,07 x 10 -4 UTM/m.s y densidad relativa de 0,8. Solución.- a. b. PROBLEMA 68.- Resolver en forma ordenada y completa los ejercicios propuestos: a.- Un aceite tiene como viscosidades 25 x 10 -7 UTM /m.s y 4 x 10 -4 st. Determinar su densidad relativa. 63 b.- Un esfuerzo cortante de 4 dina / cm 2 da lugar que un fluido newtoniano experimente una deformación angular de 1 rad / s ¿Determinar la viscosidad en Pa.s? c.- ¿Que valores tienen la viscosidad absoluta y cinemática en el Sistema Técnico, un aceite (S= 0,932) con una viscosidad a 37 °C de 155 SSU? Considerar: A = 0,0022 y B = 1,35 Solución.- a.- b.- c.- En el Sistema Técnico: ( ) PROBLEMA 69.- La viscosidad absoluta ó dinámica del agua a 20 °C es 1,00 x 10 -3 Pa.s y a 40 °C es 6,53 x 10 -4 Pa.s. Estimar la viscosidad a 30 °C. Solución: Por tratarse de un líquido se utiliza la ecuación de Andrade. (1) Agua a 20 °C: ln (0,001) = ln A + () - 6,908 = ln A + 0,00341 B …….. (2) Agua a 40 °C: ln (6,53 x 10 -4 ) = ln A + () - 7,334= ln C + 0,00319 b ………. (3) 64 Resolviendo las ecuaciones (2) y (3), se tiene: ln A = - 13,51 y B = 1936 Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) () PROBLEMA 70.- La viscosidad del metano a 15 °C y 1 atm es 1,6 x 10 -5 m 2 /s. Utilizando la ecuación de Sutherland y Gases ideales, determinar su viscosidad (m 2 /S) a 200 °C y 2 atm. Considerar la constante de Sutherland como 198 K. (Roberson Crowe 2,20) Solución.- Se sabe que la ecuación de Sutherland se aplica solo a gases. ( ) Para gases ideales, se cumple: Remplazando la densidad, en la ecuación anterior, se tiene. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 71.- La viscosidad del aceite SAE 10W30 para motor a 38,8 °C es 0,067 Pa.s y a 99 °C es 0, 011 Pa. s. Usando la ecuación de Andrade. Determine la viscosidad (Pa.s) a 60 °C Solución.- La ecuación de Andrade, se usa para líquidos. ……… (1) Aceite SAE 10W30 a 38,8 °C: ( ) -2,703 = ln A + 0,003207 B …… (2) Aceite SAE 10W30 a 99 °C: ( ) 65 -4,50986 = ln A + 0,002688 B ……. (3) Resolviendo la ecuación (2) y (3), se tiene: B = 3481,4258 ln A = - 13,8679 A = e - 13,8679 A = 2,71828 - 13,8679 = 9,48968 x 10 -7 Remplazando valores en la ecuación (1) () PROBLEMA 72.- La viscosidad del nitrógeno a 59 °F es 3,59 x 10 -7 lbf-s/ft 2 . Usando la ecuación de Sutherland. ¿Hallar la viscosidad (lbf-s/ft 2 ) a 200 °C? (Roberson Crowe 2,21) Solución.- Aplicamos la ecuación de Sutherland ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 73.- La viscosidad cinemática del helio a 59 °F y 1 atm es 1,22 x 10 -3 ft 2 /s. Mediante la ecuación de Sutherland y la Ley de los gases ideales. ¿Determinar la viscosidad cinemática (ft 2 /s) a 30 °F y 1,5 atm? Considerar S He = 143 °R. (Roberson Crowe 2,22) Solución.- La ecuación de Sutherland, es: ( )( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 74.- Utilizando los métodos propuestos por la ASTM – 2161, para convertir la viscosidad cinemática (cst) a SSU 20 ó viceversa. Resolver cuando un fluido: a) A 100 °F tiene una viscosidad de 30 mm 2 /s. Determinar los SSU a 100°F. 20 Unidad empírica de la viscosidad , que se interpreta como el tiempo (s) de vaciado de una muestra (aceite) de 60 cc en un viscosímetro Universal 66 b) A 100 °F tiene una viscosidad de 220 mm 2 /s. Determinar los SSU a 100°F. c) A 260 °F tiene una viscosidad de 145 mm 2 /s. Determinar los SSU a 260°F. Solución.- Se debe observar que la grafica está construida para un fluido a 100 °F, con un alcance máximo de 75 mm 2 /s y 344 SSU. a.- Se tiene que 30 mm 2 /s < 75 mm 2 /s. Por lo solicitado es lectura directa en la gráfica. b.- Se tiene que 220 mm 2 /s > 75 mm 2 /s. Por lo solicitado se determina por la ecuación: () c.- La temperatura del fluido es diferente a 100 °F. - Cálculo del factor A: A = 6,061 x 10 -5 x T (°F) + 0,994 A = 6,061 x 10 -5 x 260 + 0,994 = 1,009756 - Cálculo de los - Remplazar valores en la ecuación general: 1,009756 PROBLEMA 75.- Se probó un aceite en un Viscosímetro Saybolt y su viscosidad fue de 4690 SSU a 80 °C. Determinar la viscosidad cinemática (cst) del aceite a esta temperatura. (Robert Mott 2,75). Solución.- Convertir la temperatura de 80 °C a °F (80 °C = 176 °F) Cálculo del factor A: A = 6,061 x 10 -5 x 176 + 0,994 = 1,00466 Cálculo de la : 4690 = 1,00466 x 67 PROBLEMA 76.- Dos placas se encuentran separadas por un espacio de ½”. La placa inferior es estacionaria, la superior se mueve a una velocidad de 10 ft/s. Cierta cantidad de aceite (SAE 10W30 a 150 °F) llena el espacio entre las placas y tiene la misma velocidad que las placas en la superficie en contacto. La variación en velocidad del aceite es lineal. ¿Cuál es el esfuerzo cortante (lbf/ft 2 )? Solución.- De tablas de propiedades del aceite SAE 10W30 a 150 °F, se tiene que la viscosidad dinámica o absoluta, es 5,2 x 10 -4 . Aplicar la ecuación de Newton de la viscosidad: PROBLEMA 77.- Una forma muy sencilla de medir la viscosidad, es determinar el tiempo “t” que tarda una esfera sólida de diámetro “D” en caer una distancia “L” a través de un fluido de ensayo de densidad . La viscosidad del fluido viene dada por la ecuación: ; Se cumple si: Donde: W NETO es el peso neto de la esfera dentro del fluido. Suponga una esfera de aluminio (S = 2,7) de 2,5 mm de diámetro cae a través de un aceite (S = 0,85). Si el tiempo que tarda en caer 500 mm es de 32 s. Determinar la viscosidad del aceite en el sistema de unidades CGS y GB y verifique que se cumple la desigualdad propuesta. (White Frank P.1.50) Solución: Es el tipo de viscosímetro de bola que cae en un medio viscoso. Cuando la esfera alcanza el equilibrio, se cumple: Peso (BOLA) = Empuje + Fuerza de arrastre viscoso Para fluidos muy viscosos y una velocidad muy pequeña de la esfera, la fuerza de arrastre viscoso, es: Peso neto = Peso (BOLA) - Empuje = Fuerza de arrastre viscoso ( ) ( ) 68 ( ) ( ) ( ) Verificar la respuesta con la restricción del problema. (Cumple la desigualdad) PROBLEMA 78.- Una placa infinita se mueve horizontalmente por encima de una segunda placa (fija), a una velocidad uniforme de 0,3 m/s; si entre ellos hay un fluido de viscosidad 0,65 cp. y densidad relativa igual a 0,88. Considerando un pequeño ancho de separación entre las placas de 0,3 mm. Calcular: a) La viscosidad absoluta (F, L, T) del líquido, en el Sistema Británico Gravitacional (BG). b) El esfuerzo cortante (Pa) en la placa. Solución.- a) b) PROBLEMA 79.- El espacio entre dos grandes superficies planas fijas es de 20 mm y se ha llenado con un líquido de densidad relativa igual a 0,8. Determinar a) La viscosidad cinemática (m 2 /s), si la fuerza requerida para remolcar una lámina muy delgada de 4000 cm 2 paralela a ellas a una velocidad de 20 cm/s, es de 7 N, cuando dicha lámina permanece equidistante de las superficies b) La fuerza (N) si la lámina se encuentra a 7 mm de la placa inferior. Solución. Por el principio de acción y reacción, se tiene: a.- (lámina equidistante con las superficies) 69 b.- La lámina no está equidistante con las superficies superior e inferior. ( ) ( ) PROBLEMA 80.- La separación entre dos placas horizontales fijas y paralelas es h: 0,002 m. y contiene aceite SAE 10W ( ). Una placa que mide 300mm x 300mm se inserta horizontalmente en forma equidistante a dichas paredes y se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de V = 0,1 m/s. Determinar la fuerza(N) de tiro “F”. Si la placa sigue moviéndose a una velocidad de 0,1 m/s pero las placas superior e inferior se mueven hacia la izquierda a razón de 0,05 m/s. Determinar la fuerza (N) de tiro “F”. Solución: En ambos casos del problema se cumple el principio de acción – reacción ( ) ( ) En este caso en la ecuación de Newton de la viscosidad se considera velocidad relativa: [ ( ( ) )] [ ( ( ) )] ( ) () PROBLEMA 81.- Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido por dos cilindros concéntricos de 3 ft de largo. Si se hace girar el cilindro interior a 250 RPM y se mide que el par torsión es de 1,2 lb f – ft. Determinar la viscosidad dinámica del fluido ( ) (Yunus Cengel 2,52 I) 70 Solución.- Se trata de dos cilindros concéntricos (fijo – móvil) ( ) ()( )()() ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 82.- Un eje de 60 mm de diámetro se aloja en una carcasa de 60,2 mm de diámetro y 400 mm de largo. La holgura que se supone uniforme, está llena de un aceite de viscosidad 0,003 m 2 /s y densidad relativa S: 0,88. Si el eje se mueve en la dirección axial a razón de 0,4 m/s. Determinar la fuerza (N) de resistencia producida por el aceite. (Munson Young 1,70) Solución.- Aplicar la ecuación de Newton de la viscosidad. ()( )() ( ) ()( )()() ( ) ()( )()() ( ) PROBLEMA 83.- Se tiene tres cilindros concéntricos de pared delgada de radios: R 1 = 30 mm, R 2 = 50 mm y R 3 = 70 mm. El espacio entre los cilindros contiene una película de aceite de viscosidad 5,6 x 10 -4 m 2 /s y densidad relativa 0,92. Todos los cilindros tienen 600 mm de longitud. Si el cilindro interior gira en sentido horario a régimen constante de 40 RPM. ¿Qué velocidad de giro se debe esperar en el cilindro exterior, para que el cilindro intermedio no gire? 71 Solución.- Para que el cilindro intermedio no gire, los torques de los cilindros interiores y exteriores deben ser iguales. ( ) ( ) () ( ) ( )( ) () ( ) ( )( ) ( ) ( ) PROBLEMA 84.- Una polea de 50 mm de diámetro interior gira sobre un eje a razón de 400 RPM, con un huelgo radial de 0,075 mm. El inter espaciamiento contiene aceite cuya viscosidad es 1p. Determinar la potencia (Watts) necesaria para vencer la resistencia viscosa debido al aceite por metro de longitud. Solución.- Potencia = Torque (N.m) x ( ) ( ) ()() ( )() () ( ) [ ( ) ] PROBLEMA 85.- Entre dos placas paralelas separadas una distancia “h” está lleno de un líquido en el cual como consecuencia del cambio de la temperatura la viscosidad varía linealmente desde un valor en la placa fija inferior hasta el valor “ ” en la placa superior que se mueve con velocidad “U 0 ”. Calcular la relación entre el esfuerzo cortante en el seno del fluido en estas condiciones y el esfuerzo cortante en el caso en que la viscosidad es constante Solución.- La viscosidad absoluta varía linealmente en el seno del fluido por causa del cambio de la temperatura, por lo que: 72 Para: Luego: [ ] () [ ] ∫ ∫ ( ) () En el caso que la viscosidad es constante: () La relación solicitada en el problema, es: PROBLEMA 86.- Se tienen tres cilindros concéntricos con un inter espaciamiento entre ellos de 5 mm conteniendo en el un aceite. El cilindro intermedio puede girar a una velocidad constante de 40 RPM en sentido horario (permaneciendo fijo los otros dos) para el cual se requiere de un par de torsión de 5 N-m para vencer el efecto viscoso. ¿Determinar la viscosidad del aceite en Pa.s? Considerar la longitud de los tres cilindros de 500 mm y radio del cilindro intermedio de 150 mm. Despreciar los efectos de extremo. Solución.- El Torque total, es igual al Torque respecto al cilindro interior más el Torque respecto al cilindro exterior que se origina al girar el cilindro intermedio. [( ) ( ) ] ( ) () ()()()() ( ) ( ) 73 PROBLEMA 87.- Se jala horizontalmente de una placa plana delgada de 300 mm x 300 mm a 1m/s a través de una capa de aceite de 3,6 mm de espesor que está entre dos placas; una estacionaria y la otra moviéndose a una velocidad constante de 0,3 m/s como se muestra en la figura. La viscosidad del aceite es 0,25 gr/cm.s. Suponiendo que la velocidad en cada una de las placas de aceite varía en forma lineal a) Determine la distancia vertical desde la pared en movimiento, donde la velocidad del aceite es cero b) Determine la fuerza (N) que se necesita aplicar sobre la placa para mantener este movimiento. (Yunus Cengel 2,45) Solución.- a.- El análisis se hace entre la placa y la pared en movimiento que tienen igual pendiente: h = 0,6 mm b.- Aplicar la Tercera ley de Newton: Principio de acción – reacción. = ( ) ( ) [ ] PROBLEMA 88.- Un interespaciamiento vertical de 25 mm de anchura y de extensión infinita contiene aceite de densidad relativa de 0,95 y viscosidad de 2,4 Pa.s. A través del interespaciamiento se va levantar una placa metálica de 1,5 m x 1,5 m x 1,6 mm, que pes 45 N a una velocidad constante de 0,06 m/s. Determinar la fuerza (N) requerida. 74 Solución.- Del diagrama de cuerpo libre. F + Empuje = F 1 + F 2 + Peso Al estar la placa igualmente espaciada respecto a los extremos derecho e izquierdo, se tiene. PROBLEMA 89.- Un cilindro de 20 lbf de peso se desliza dentro de un tubo lubricado. La holgura entre el cilindro y el tubo es 0,1 pulg 2 . Si se observa que el cilindro se desacelera a una tasa de 2 ft/s 2 cuando la velocidad es 20 ft/s. ¿Determinar la viscosidad del aceite ( )? Considerar el diámetro “d” del cilindro igual a 6 in y la longitud “L” de 5 in. Solución.- ( ) ( ) ( ) () El área de la holgura es el área de la corona. ( ) ( ) ( ) 75 Cálculo de la holgura “e”: Remplazando valores en la ecuación (1): ( ) PROBLEMA 90.- El interespaciamiento “h” que es muy pequeño se llena con un aceite de viscosidad . Calcular el par de torsión “T 0 ” que se requiere para hacer girar el cono a una velocidad constante Solución.- El par de torsión solicitado corresponde al torque lateral del cono interior. - Cálculo del “dT” a un radio “x” ()() ( ) () ()()( ) ( ) ()()() ( ) - Cálculo del “dA” que corresponde al área lateral del tronco de cono. ( ) ( ) 76 - Pero la generatriz, es: ∫ ∫ ( ) PROBLEMA 91.- El sistema de embrague que se muestra en la figura se usa para transmitir par torsión mediante una película de aceite de viscosidad dinámica de 0,38 Pa.s que está entre dos discos idénticos de 30 cm de diámetro. Cuando la flecha impulsora gira a una velocidad de 1450 RPM se observa que la flecha impulsada gira a 1398 RPM. Suponiendo un perfil lineal de velocidad para la película de aceite. Determinar el par de torsión (N.m) transmitido. (Yunus Cengel 2,49) Solución.- Como el radio del disco es variable se presentan diversos torques, por lo que se calcula un dT a una distancia “r” del centro del disco de radio “R” ∫ ∫ Por lo que se puede generalizar para casos de discos: Para nuestro problema hay que trabajar con velocidad relativa, por que ambos discos están en movimiento y se observa que lo hacen en el mismo sentido. ( ) ( ) 77 PROBLEMA 92.- Calcular la viscosidad absoluta (Pa.s) del aceite. (White Frank P. 1.45) Solución.- La placa se desplaza por el plano inclinado a velocidad constante. PROBLEMA 93.- Un viscosímetro de cilindros concéntricos es accionado por una masa “M” que cae y que está conectada mediante una cuerda y una polea al cilindro interior, como se muestra en la figura. El líquido que se va a probar se llena el claro anular de ancho “a” y altura “H”. Después de una etapa transitoria inicial, la masa cae a una velocidad constante “V”. Determinar la viscosidad (cp) del líquido empleado. Considere los siguientes datos: M= 0,10 Kg, R = H = 50 mm, r = 25 mm, a = 0,20 mm y V = 40 mm/s. Despreciar el esfuerzo cortante debido al fluido ejercido sobre la cara inferior. (Philip Gerhart P.1.37) Solución.- 78 ()( )( )() La velocidad tangencial en la polea: ( )( ) ( ) ( ) PROBLEMA 94.- Un cuerpo en forma de cono cortado gira a velocidad constante de 200 rad/s en un recipiente lleno de aceite SAE10W a 20 °C ( ) como se muestra en la figura. Considerando un espesor de película de aceite que llena los interespaciamientos igual a 1,2 mm. Determinar la potencia (KW) necesaria para mantener este movimiento. (Yunus Cengel 2,46) Solución.- () - Cálculo del Torque Total (T T ) …………… (2) Se observa en el problema que el Torque de la base mayor ( ) y menor ( ) corresponden al caso de discos, por lo que: ( ) 79 ( ) Cálculo del Torque lateral (T L ) ()() ( ) () ( ) () () √ √ Cálculo del dA (Tronco de cono): ( ) √ ( ) ( )(√ ) Remplazando dA en la ecuación (3): ( )(√ ) ∫ ( ) (√ ) ∫ ( ) (√ ) ( ) Remplazar en la ecuación (1): ( )(√ ) ( ) [( ) (√ ) ( ) ] [( ) ( )√ ] 80 CAPITULO 3 HIDROSTÁTICA En muchas aplicaciones prácticas de la Mecánica de los Fluidos no existe movimiento y solo se estudia la distribución de presiones en un fluido en reposo y sus efectos sobre los objetos sumergidos ó en flotación. Cuando la velocidad de un fluido es nula, lo que se denomina condición hidrostática, las variaciones de la presión se deben exclusivamente al peso del fluido. Considerando conocidas las características de un fluido se puede evaluar la distribución de presiones en presencia de un campo gravitatorio dado mediante integración. Aplicaciones prácticas se dan en: la distribución de presiones en la atmósfera y el océano, el diseño de instrumentos de medida de flujos fluidos, la determinación de las fuerzas sobre superficies sumergidas planas y curvas, la fuerza de flotabilidad que actúa sobre cuerpos sumergido y el comportamiento de los cuerpos en flotación. Cuando un fluido se mueve como un sólido rígido, como es el caso de un depósito de líquido que está en rotación durante un tiempo suficiente, traslación de masas líquidas en diferentes planos, la variación de la presión se puede evaluar fácilmente ya que los esfuerzos cortantes del fluido son nulos para lo que se establece la ecuación 21 : ( ) Donde: a x , a y y a z son las componentes de la aceleración de la masa fluida en coordenadas cartesianas y es la densidad del fluido. A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tenga algunas características diferentes. Un caso particular es para un fluido en reposo: Si consideramos la presión atmosférica P 0 , la variación de la presión con la elevación y la profundidad, viene expresado por: 21 Ecuación general para el estudio de la variación de la presión como sólido rígido 81 Así mismo la variación de la presión en una atmósfera: a.- ISOTÉRMICA: Estratósfera b.- Con GRADIENTE DE TEMPERATURA: Tropósfera ( ) Un caso de análisis más completo para determinar la variación de la presión, es considerar el módulo de elasticidad volumétrico. ( ) Utilizar el signo (+) para fluido incompresible y el signo (-) para fluido compresible. Para fluidos en movimiento se hace necesario evaluar el gradiente de presión: (Movimiento horizontal) ( ) (Movimiento vertical) Para el estudio de estabilidad rotacional de cuerpos flotantes, se tiene presente el principio de Arquímedes y el radio ó altura metacéntrica, por lo que el momento ó par restaurador, es: Cuando un fluido se mueve en un plano horizontal con aceleración “a”, el ángulo que forma la isobárica con la horizontal, es: Si el movimiento ascendente se da en un plano inclinado: Si la masa líquida gira con velocidad constante como sólido rígido, la altura “H” que alcanza la parábola en la pared del recipiente 22 de radio “R”, es: 22 Se conoce también como vórtice forzado 82 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01.- ¿Cuál es la presión (KPa) en el centro del tubo “B”? (Roberson Crowe 3.30). Solución.- Por consideraciones geométricas: ( ) ( ) PROBLEMA 02.- La razón entre el diámetro de una cisterna y el diámetro del tubo es 8. Cuando el aire de la cisterna esta a presión atmosférica, y la superficie libre del tubo se encuentra en la posición “1” cuando la cisterna se presuriza, el liquido del tubo se mueve a 40 cm hacia arriba del tubo de la posición “1” a la posición “2” ¿Cual es la presión de la cisterna (Pa) que produce esta desviación? La densidad relativa del líquido es 0.8. (Roberson Crowe 3.31). Solución.- ( ) () 83 () Igualamos volumen del líquido en el tubo y la cisterna ( ) () Remplazando las ecuaciones (α) y (β) en (1) [ ( ) ] [ ( ) ] PROBLEMA 03.- La desviación en el manómetro es “h” metros cuando la presión del tanque es de 150 KPa absoluta. Si la presión absoluta del tanque se duplica ¿Cuál será la desviación en el manómetro? (Roberson Crowe 3.50). Solución.- () Si se duplica la presión: 84 PROBLEMA 04.- Si las elevaciones Za y Zb son 10 m y 11 m respectivamente. Considerando l 1 = 1m y la desviación manométrica l 2 es de 50 cm. Determine. a) La diferencia de presiones (KPa) entre “A” y “B” b) La diferencia de la carga piezométrica entre los puntos “A” y “B”. (Roberson Crowe 3.49). Solución.- a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) = () PROBLEMA 05.- Si el agua tiene un modulo de elasticidad de volumen E = 2x10 4 bar. Determinar la presión (bar) y la densidad (Kg/m 3 ) en el mar a 6000 m. de profundidad. Si en la superficie el agua tiene una densidad relativa de s = 1.025. Compare los resultados despreciando E, considerar la presión atmosférica como 1.013 bar. Solución.- a) Sin considerar el valor de E. 85 ∫ ∫ () b) Considerar el valor de E. ∫ ( ) ∫ () ( ) () ∫ ∫ ()( ) () Remplazando la ecuación (1) en (2) [ ( ) ] [ ] ( ) 86 ∫ ∫ ()( ) () La densidad aumenta en 3.015 % PROBLEMA 06.-Un tubo abierto se conecta a un tanque y el agua sube hasta una altura de 900 mm dentro del tubo. Un tubo utilizado en esta forma se conoce como un piezómetro. ¿Cuáles son las presiones (KPa) en “A” y “B” del aire por encima del agua? Ignore los efectos capilares en el tubo. Solución.- = PROBLEMA 07.- El peso especifico del agua en mar se puede calcular a partir de la ecuación empírica √ en la cual” h” es la profundidad bajo la superficie del océano. Derivar una expresión para determinar la presión en cualquier punto “h” y determinar el peso especifico (KN/m 3 ), así como la presión a una profundidad de 3.22 Km. Suponer que , h en metros y k = 7.08. (Munson Young 2,11) Solución.- La ecuación para determinar la presión para fluido estático, es: 87 ∫ ∫ ( ) | | Considerando presión manométrica: ( ) √ [ √] PROBLEMA 08.- Un recipiente abierto contiene tetracloruro de carbono (s=1.59) hasta una profundidad de 2 m. y agua sobre el CCl 4 hasta una profundidad de 1. 5 m. Determinar la presión (KPa) en el fondo de este tanque. Solución.- ( ) ( ) PROBLEMA 09.- El sistema de la figura está abierto a la atmosfera en el lado derecho. a) Si L = 120 cm ¿Cuál es la presión (KPa) en el depósito “A”? b) Si Pa = 135 KPa ¿Cuál es la longitud (m) de L? Solución.- ( ) a) ( ) 88 b) ( ) PROBLEMA 10.- El manómetro del tubo inclinado que se muestra en la figura, tiene D = 3 in y d = 0.25 in y se llena con aceite (S=0.897). Calcular: a) El ángulo que producirá una superación de 5 in del aceite a lo largo del tubo inclinado para una producción aplicada de 1 in de agua (manométrica) b) La sensibilidad de este manómetro, esta es la separación en milímetro por milímetro de presión diferencial del agua aplicada. (Fox Robert 3,46). Solución.- a) ( ) () Igualar volumen del benceno: ( ) () Remplazando la ecuación (2) en la ecuación (1): [ ( ) ] ( ) ( ) b) Sensibilidad (S) 89 PROBLEMA 11.- Se tiene un manómetro diferencial conectado a la tubería como se indica en la figura. Determinar: a) La diferencia de la presión (Pa) entre las corrientes aguas arriba y aguas abajo del flujo de la sustancia operante en la tubería considerar la densidad relativa del benceno como 0.879 b) La diferencia de altura piezométrica (m) entre los puntos antes considerados. (Fox Robert 3,37). Solución.- a) ( ) ( ) = b) ( ) ( ) = ( ) PROBLEMA 12.- El esquema presenta un manómetro de reservorio con tubo vertical 23 . Si D=18 mm, d=6 mm, s=0.827 y ΔP=25 mmca (man). Determinar: a) El desplazamiento del líquido L (mm) en el tubo b) La sensibilidad del manómetro. 23 Algunos autores lo llaman de cubetas, se utilizan para determinar pequeñas caídas de presión. 90 Solución.- ) ( ) Igualando volúmenes: ( ) [ ( ) ] Del dato: ΔP=25 mmca (man) ( ) ( ) ) PROBLEMA 13.- Un casco hemisférico lleno de aire esta fijo en el fondo del océano a una profundidad de 10 m. la lectura de un barómetro de mercurio situado dentro del casco es de 765 mmHg y un manómetro de tubo en U diseñado para proporcionar la presión del agua exterior indica una lectura diferencial de 735 mmHg. Determinar la presión atmosférica (KPa) en la superficie del océano. Considerar y . Solución.- 91 ( ) ( ) PROBLEMA 14.- Un sistema se equipa con dos manómetros de carátula y un tubo en “U” como se muestra en la figura. Para Δh=80 mm y columna de aceite (Sac=0.87) de 650 mm. Determinar P 2 - P 1 (KPa). (Yunus Cengel 3,134). Solución.- ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 15.- Determinar el ángulo “θ” del tubo inclinado que se muestra en la figura, si la presión en “A” es de 2 Psig mayor que en “B”. (Munson Young 2.40). Solución.- ( ) 92 PROBLEMA 16.- Para la posición indicada en la figura, el manómetro marca valor o de presión y el pistón toca el resorte sin comprimirlo. El resorte tiene una constante de 360 KN/m y la densidad relativa del aceite es de 0.85. El diámetro del cilindro “A” es 0.7 m y el del cilindro “B” es 0.5 m. Determine la presión leída en el manómetro cuando el resorte se comprima 50 cm. Considerar la presión atmosférica P o =0.1 MPa Solución.- Para la condición inicial: ( ) ( ) Para la condición final: Volumen ascenso A = Volumen descenso B 93 PROBLEMA 17.- En la figura se esquematiza una tubería con 45° de inclinación por el que fluye agua. Determinar: a) La caída de presión (Psig) entre las tomas aguas arriba y aguas debajo de la tubería debido a la gravedad y a la fricción. b) La diferencia de carga piezométrica entre los puntos “1” y “2”. (Frank White 2.44). Solución.- a) [( ) ] [ ( ) ] b) Diferencia de altura piezométrica ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 18.- El manómetro de la figura contiene dos líquidos. El liquido “A” tiene una densidad relativa S A =0.88 y el liquido “B” S B =2.95. Calcular la separación “h” (mm) cuando la diferencia de presión aplicada P 1 -P 2 = 870 Pa. 94 Solución.- ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 19.- Un manómetro diferencial 24 de vidrio de liquido múltiple se ha instalado entre la tubería “A” y “B” por la que circula agua, tal como se ilustra en la figura, el fluido manométrico que se encuentra en la parte inferior de los tubos en “U” del manómetro es mercurio (S Hg =13.56). El fluido que está en la parte superior del manómetro es aceite (S ac =0.8). Considerando: h 1 = 250 mm, h 2 = 75 mm, h 3 = 100 mm, h 4 = 125 mm y h 5 = 200mm. Determinar (P A -P B ). Solución.- 24 Son usados para determinar la diferencia de presiones entre dos puntos, cuando la presión en cualquier punto del sistema no puede ser determinada. 95 [( ) ( ) ] [( ) () ] PROBLEMA 20.- En el esquema adjunto, si: P o =1 bar. Determinar: (L 1 -L 2 ) bar. Considerar los datos que se muestran en el cuadro. 1 2 3 h (m) 1.5 0.5 2.5 S 0.8 1.6 1.0 Solución.- ( ) ( ) PROBLEMA 21.- En el esquema adjunto, determinar h 1 (ft). Si h 2 =0.1 ft, P o =1 bar y L=0.5 Psig Solución.- 96 ( ) = [ ( ) ] ( ) ( ) PROBLEMA 22.- En el esquema que se muestra, si: P o =1 bar, L 2 -L 1 =0.5 bar. Determinar: L (KPa) 1 2 3 4 h (m) 2.5 2.0 0.5 0.5 S 1.5 1.0 0.8 13.6 Solución.- Análisis en los tanques “A” y “B” Resolviendo las ecuaciones anteriores ( ) () Cálculo de P A () Igualando las ecuaciones (1) y (2) ( ) [ ] [ ] PROBLEMA 23.- En el esquema adjunto, si P o = 1 bar y L 2 -L 3 = 2.5 bar. Determina: (L 1 -L 4 ) bar 97 Solución.- () () () () Resolver las ecuaciones (1) y (4): () Resolver las ecuaciones (2) y (3): () Resolviendo las ecuaciones (5) y (6): PROBLEMA 24.- Es el esquema adjunto. Determinar: a) (P A -P B ) Psi b) La variación de altura piezométrica (ft) 98 Solución.- a) ( ) ( ) b) Variación de altura piezométrica. ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] PROBLEMA 25.- El esquema adjunto muestra un manómetro diferencial. Si S 2 =S 6 , S 3 =S 5 . Considerando los siguientes datos: S 2 = 1.5; S 3 = 2.0; S 4 = 0.8, h 4 = 0.5 m; h 2 -h 6 = 0.5 m y h 3 +h 5 = 0.4 m. Determine: (P A -P B ) mca. Solución.- Despreciando la variación de la presión del aire ( ) ( ) 99 ( ) ( ) () () () PROBLEMA 26.- a) El elevador hidráulico en un taller de reparación de automóviles tiene un diámetro de salda de 300 mm y debe levantar automóviles de 2000 Kg. Determinar la presión (bar) manométrica del fluido que debe mantenerse en el depósito. b) En la figura adjunta. Determinar “h” (m) en los niveles de mercurio Solución.- a) Cuando el pistón esta en equilibrio () b) ( ) ( ) 100 PROBLEMA 27.- En el esquema adjunto, considerar H = 5 in, S = 0.8, L 2 = 10 in Hg (vacío); P o =34 ft agua. Los tanques “A” y “B” contienen Oxigeno y Nitrógeno respectivamente. Determinar la lectura L 1 (KPa). Solución.- y L 2 = P B - P 0 () Remplazando en la ecuación (1): PROBLEMA 28.- En el esquema adjunto, si , , y . Determinar: (Munson - Young. 2.46). 101 Solución.- El análisis se hará para las condiciones inicial y final del problema. Condición inicial () Condición final ( ) () Por condición P A Igualando las ecuaciones (1) y (2): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Igualando volumen A 1 () Remplazando la ecuación (3) en (4): PROBLEMA 29.- La placa AB de 3m por 4m de un depósito al aire es basculante en torno a su borde inferior y se mantiene en posición mediante una barra delgada BC. Sabiendo que va a 102 llenarse de glicerina, cuya densidad es de 1263 kg/m 3 . Determinar la fuerza T (KN) en la barra y las reacciones (KN) en la bisagra A, cuando el depósito se llena hasta una profundidad d=2.9m Solución.- ̅ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ∑ PROBLEMA 30.- Una compuerta circular de 3m de diámetro, tiene su centro de gravedad a 2.5m debajo de la superficie del agua, y descansa sobre un plano con pendiente de 60°. Determine la magnitud, dirección y localización de la fuerza total con respecto al centro de gravedad sobre la superficie, debido al agua. 103 Solución.- Cálculo que ejerce la fuerza del agua sobre la compuerta circular ̅ Cálculo de la ubicación de la fuerza PROBLEMA 31.- La fuerza de rozamiento entre una compuerta AB cuadrada de 1.8m de lado y sus guías es el 10% de la resultante de las fuerzas de presión que el agua ejerce contra la cara de la compuerta. Hallar la fuerza inicial necesaria para elevar la compuerta, si esta pesa 4.5 kN. Solución.- ̅ ( ) ( ) = ∑ 104 PROBLEMA 32.- Encuentre la fuerza total sobre la compuerta AB causada por los fluidos. Suponga que la densidad relativa del aceite es 0.6. Encuentre además la posición de esta fuerza medida desde el fondo de la compuerta. Solución: Cálculo de la fuerza que ejerce el aire y el agua (F 1 ) ( ̅ ) [ ( )] ( ) Punto de aplicación con respecto a su centro de gravedad (e 1 ) Ubicación con respecto al punto B (d 1 ) ( ) Cálculo de la fuerza que ejerce el aceite (F 2 ) ̅ [ ] ( ) Ubicación con respecto a su centro de gravedad (e 2 ) 105 Ubicación con respecto al punto B (d 2 ): ( ) Cálculo de la fuerza resultante (F) respecto al punto B: Sumatoria de momentos en B: ∑ PROBLEMA 33.- La compuerta AB es una placa rectangular de 2.8 kN que tiene 1.5m de altura y 1.1m de ancho, y se utiliza para cerrar el canal de desagüe en la parte inferior de un depósito de petróleo. A consecuencia de la condensación en el depósito, se recoge agua dulce en la parte inferior del canal. Calcular el momento M respecto del eje del pasador en B necesario para cerrar la compuerta contra la acción de las fuerzas hidrostáticas del agua y del petróleo. La densidad relativa del petróleo es de 0.85. Solución.- F pet ̅ ( ) 106 ( ) ( ) ∑ PROBLEMA 34.- Encuentre la fuerza resultante sobre la compuerta AB producida por los fluidos de adentro y de afuera. Determine la distancia “d”, por debajo de B, de la posición de esa fuerza. Solución: [ ] [ ] PROBLEMA 35.- Calcular la fuerza (KN) vertical mínima requerida para mantener cerrada la puerta que tiene un ancho de 3m perpendicular al plano del dibujo. 107 Solución: ̅ [ ( )] [ ( )] ∑ ( ) PROBLEMA 36.- El depósito que se muestra en la figura tiene un tapón de 40mm de diámetro, el mismo que saltará si la fuerza hidrostática que soporta supera los 30N. Determinar la lectura “h” (mmHg) en el manómetro de la izquierda. Considerar: γ agua = 10 kN/m 3 y S Hg =13.6 Solución.- ( ) Si P o = 0 108 ( ) ( ) PROBLEMA 37.- Si el peso específico de un líquido varía linealmente 25 según la profundidad h de acuerdo con la ecuación: . Determinar la fuerza hidrostática por ancho unitario (L= 1 m) sobre la compuerta y su punto de aplicación. Solución: Evaluar el dF que actúa sobre un dA ubicado a una profundidad h. ( )()( ) ( )( ) ∫ ∫ ( ) | ( ) La ubicación de la fuerza es: ∫ 25 La solución del problema se hace en forma diferencial, al variar verticalmente el peso específico del fluido. 109 ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 38.- El esquema muestra una placa inclinada de sección compuesta. Si AB = 8 m y considerando: S 1 =1.5; S 2 =0.8; S 3 =3.0; S 4 =1.2; L 1 =1.5bar; L 2 = 2bar; α=30°; γ agua = 10 kN/m 3 . Determinar: a) La fuerza (kN) hidrostática que ejercen los fluidos contenidos en el compartimiento izquierdo sobre la placa AB b) La fuerza (kN) hidrostática que ejercen los fluidos contenidos en el compartimiento derecho sobre la placa AB c) La fuerza (kN) neta que ejercen los fluidos sobre la placa AB d) El punto de aplicación de la fuerza neta respecto a la base B (en mm). Solución.- Cálculo del centro de gravedad de la superficie compuesta: Cálculo del momento de inercia ( ) ( ) Análisis de F I y la ubicación e I en el comportamiento izquierdo [ ] () 110 Análisis de F II y la ubicación e II en el comportamiento derecho [ ] () (c) ∑ : ( ) ( ) La ubicación respecto al punto A será: (d) PROBLEMA 39.- Un camión de combustible tiene un depósito de sección transversal aproximadamente elíptica de 3m de eje mayor horizontal y 3m de eje menor vertical. Su parte superior está ventilada a la atmosfera. Si la mitad del tanque está lleno con gasolina y la otra mitad con agua. ¿Cuál es la fuerza hidrostática (kN) sobre el panel elíptico final? Considerar S gas =0.68 Solución: La fuerza que se ejerce sobre la tapa es: ……….. (1) Cálculo de la fuerza que ejerce la gasolina (Fgas) ( ) ( ) Cálculo de la fuerza que ejerce el agua (Fag) ( ) ( ) ( ) Remplazando en la ecuación (1): ( ) 111 PROBLEMA 40.- El esquema muestra un tanque que contiene fluidos no miscibles 26 : aceite (γ ac =55lbf/ft 3 ); agua (γ agua = 62.4lbf/ft 3 ) y mercurio (γ Hg =846lbf/ft 3 ). El fondo del recipiente es de 7 ft. Determinar la fuerza hidrostática que se ejerce sobre la pared lateral de 18ft de alto y la ubicación respectiva respecto a la superficie. Solución.- Se hace el cálculo por separado de las fuerzas que ejercen el aceite, el agua y el mercurio y las ubicaciones respectivas. Cálculo de la fuerza hidrostática que ejerce el aceite: Cálculo de la fuerza hidrostática que ejerce el agua ( )( ) Cálculo de la fuerza hidrostática que ejerce el mercurio ( )( ) 26 Fluidos estratificados 112 Tomando momentos respecto a la superficie tenemos: () () ()() ()() h P = 13.94 ft PROBLEMA 41.- La compuerta rígida OAB de la figura, está articulada en “O” y permanece contra un soporte rígido en B. ¿Cuál es la mínima fuerza (kN) horizontal P que se requiere para mantener cerrada la compuerta de 3m de ancho? Ignorar el peso de la compuerta y la presión en la articulación. La parte posterior de la compuerta está expuesta a la atmósfera. Solución.- Cálculo de la fuerza hidrostática (F 1 ) que ejerce el agua sobre OA Cálculo de la fuerza hidrostática (F2) que ejerce el agua sobre AB ∑ ()( ) ()() PROBLEMA 42.- En el esquema que se muestra. Determinar la lectura L 2 (bar) para que la compuerta esté en equilibrio. Considerar γ ag =10kN/m 3 113 Solución: Cálculo de la fuerza hidrostática (F) que ejercen el aire y el agua en el compartimiento izquierdo. ( ( ))( ) ( )() ∑ ( ) ()( ) PROBLEMA 43.- El cilindro mostrado en la figura tiene 2.4m de longitud normal al plano del papel y está pivotado en O. Calcular el momento (kN-m) respecto a O que se requiere para mantenerlo en su posición. Solución: Cálculo de la fuerza horizontal que ejerce el agua: 114 ( ) Ubicación de la fuerza horizontal: Por encontrarse la superficie a flor de agua, se tiene: Cálculo de la fuerza vertical: ( ) () () PROBLEMA 44.- ¿Cuál es la fuerza (kN) resultante producida por los fluidos que actúan sobre la compuerta AB cuya sección es un cuarto de círculo? El ancho de la compuerta es 1.3m. (Shames Irving 3.28) Solución.- Despreciando la presión atmosférica ( )( ) ()() [( ) ] √  PROBLEMA 45.- Determine la magnitud de la fuerza (kN) resultante que actúa sobre la superficie semiesférica mostrada en la figura. 115 Solución.- √ PROBLEMA 46.- ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos secciones del tanque están completamente aisladas una de la otra por el tabique AB? (Shames Irving 3.36) Solución.- Cálculo de la presión P en la interfase Agua-Aceite Cálculo de la fuerza vertical que ejerce el agua () [ ] () [ ] Cálculo de la fuerza vertical que ejerce el aceite () [ ] [ ] 116 () [ ] La fuerza resultante sobre la esfera será: () () PROBLEMA 47.- En el esquema adjunto. Determinar la fuerza horizontal (kN) neta y la fuerza vertical (kN) neta que actúa sobre la esfera de 600 mm de diámetro. Considerar: γ agua =10kN/m 3 , ΔH=100mmcm, S Hg =13.6, S ac =0.8. (Shames Irving 3.36) Solución.- - Cálculo de la fuerza horizontal neta (F HN ) [ ] [ ] [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] [ ( )] Cálculo de la fuerza vertical neta (F VN ) 117 ( ) ( ) ( )( ) ( ) PROBLEMA 48.- Calcular las fuerza F (kN) necesaria para mantener la compuerta mostrada en la figura en la posición cerrada. Considerar R=60cm y que la compuerta tiene un ancho de 1.2m. H = 0.60 cm. Solución Cálculo de la fuerza horizontal (F H ) [ ] Despreciamos la presión atmosférica ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) Cálculo de la fuerza vertical ( F V ) Primero se calcula la presión P A en la articulación: ( ) ( ) 118 ( ) [ ] Cálculo de la ubicación de la Fuerza Vertical (X) ( ) ( ) ∑ : PROBLEMA 49.- La compuerta ABC a veces llamada compuerta “Tainter” tiene la forma de arco de círculo y se puede subir y bajar haciéndola girar alrededor del perno O. Para la posición mostrada, determinar la fuerza (kN) resultante y el ángulo “ϴ” que forma dicha fuerza con la horizontal. Considerar: γ agua =10kN/m 3 y la profundidad de la compuerta 1m. (Frank White 2,88). Solución: Como está a flor de agua: [ ] [ ] √ 119 PROBLEMA 50.- Un tapón en el fondo de un recipiente a presión, es como se muestra en la figura. La presión del aire es de 50 kPa y el líquido en el recipiente tiene un peso específico de 27kN/m 3 . Determinar la magnitud de la fuerza (kN) ejercida sobre la superficie curva del cono dentro del recipiente, debido a la presión de 50 kPa y al líquido. (Munson Young 2,77). Solución: Cálculo del radio “r” (cono pequeño dentro del líquido) ( ) [ ( ) ] [( ) ] [ ] PROBLEMA 51.- Hallar las reacciones Ra y Rb en los puntos A y B respectivamente, si la compuerta es un cilindro de peso “W”. Considerar la longitud “L” del cilindro. Solución: 120 Cálculo de la fuerza horizontal (F H ) ( ) ( ) Cálculo de la fuerza vertical (F v ): ∑ : PROBLEMA 52.- En el esquema adjunto, determinar la fuerza vertical neta (FVN) que ejercen el agua y el aceite (S = 0.8) sobre a esfera de 500mm de diámetro. Considerar γ agua = 10kN/m 3 . Solución: Análisis de la F V que ejerce el agua [ ] Donde: [ ] [ ] ( ) Análisis de la F V que ejerce el aceite 121 [ ] Donde: [ ] [ ] ( ) FVN PROBLEMA 53.- Determinar la fuerza (kN) que ejercen los fluidos sobre el cilindro. El fondo del depósito es un agujero rectangular de 1m de longitud. Considerar γ agua = 10kN/m 3 . Solución.- Pasar la lectura “L” a una altura equivalente del fluido en contacto con la superficie en estudio Cálculo de la fuerza vertical (F V ): [( ( ) ) ( )] PROBLEMA 54.- La esfera sin peso de diámetro “d” está en equilibrio en la posición mostrada. Derivar una ecuación funcional para determinar “d”: d = ϕ (S 1 , h 1 , S 2 , h 2 ) 122 Solución.- Al despreciar el peso de la esfera y mostrarse en la posición indicada, se debe cumplir: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) PROBLEMA 55.- El depósito de la figura está lleno con agua presurizada (γ agua =9.81kN/m 3 ). Calcular la fuerza hidrostática neta (kN) sobre la superficie cónica ABC Solución.- Cálculo de la altura equivalente de agua que origina la presión de 150 kPa 123 [ ] [ ] Pero: [ ] PROBLEMA 56.- Calcular la fuerza (kN) resultante que ejercen el agua y el aire sobre la superficie ABC de forma de un cuarto de cilindro. Suponer una longitud del elemento en estudio de 3m. Solución: Cálculo de la fuerza horizontal neta (F HN ) ( ) ( ) Como el área proyectada de ABC es la misma y las presiones son iguales, se tiene que: Cálculo del radio del cilindr0: Cálculo de la fuerza vertical neta (F VN ) ( ) ( ) [ ] Cálculo del área (A) 124 ( ) ( ) PROBLEMA 57.- Determinar la fuerza (kN) por perno que mantiene la sección unida con una fuerza total de 6 kN entre las pestañas, con el fin de prevenir filtraciones. Solución: Cálculo de la presión en A ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] Cálculo de la fuerza vertical (Fv) [ ( ) ] [ ] ( ) ( ) 125 PROBLEMA 58.- El depósito de la figura está lleno con agua presurizada. Calcular la fuerza hidrostática neta (kN) sobre la superficie cónica de la superficie ABC. (Frank White 2,63). Solución: [ ] [ ] [ ] PROBLEMA 59.- Un globo aerostático debe permanecer estacionario a un nivel de la atmosfera donde las condiciones hacen que el peso específico del aire sea 0.96 para la cual en el momento de la partida debe colocarse un peso adicional. Sabiendo que el globo es inflado en hidrogeno de peso especifico 0.08 ocupando un volumen de y siendo el peso de la parte solida 12 kgf. Determinar a) El empuje (kgf) que ejerce el aire b) El peso del hidrogeno (kgf) c) El peso (kgf) adicional Solución.- Para que el globo aerostático permanezca en equilibrio, se debe cumplir ∑ () 126 a) Empuje (E) = 0.96 *25= 24 kgf b) Peso del hidrogeno ( ) c) Peso adicional ( ) Remplazando valores en la ecuación (1) ( ) ( ) PROBLEMA 60.- Un cuerpo homogéneo compacto es colocado en un líquido de peso específico y pesa y colocado en un líquido de peso especifico y pesa . Determinar el peso específico del cuerpo . Solución.- W cuerpo (aire) - W aparente 27 = Empuje Cuando se sumerge en el fluido de ( ) () Cuando se sumerge en el fluido de ( ) () Igualando de las ecuaciones (1) y (2) ( ) ( ) ( ) 27 Es el peso del cuerpo en otro medio fluido 127 ( ) PROBLEMA 61.- El cubo de latón con aristas que miden 6 in, pesa 67 lbf. Se desea mantenerlo en equilibrio bajo el agua ( ) Sujetándolo a una boya de hule espuma ligera. ( ). ¿Determinar el volumen (f ) requerido de la boya? Solución.- La ecuación cuando el sistema está en el equilibrio, es: ( ) ( ) PROBLEMA 62.- El paquete de instrumentos mostrado en la figura pesa 258 N. Calcule la tensión (KN) en el cable, si el paquete está sumergido por completo en agua de mar, la cual tiene un peso especifico de 10.05 . (Robert Mott 5.1). 128 Solución.- Cuando está en equilibrio: Peso + Tensión cable = Empuje Tensión cable = Empuje - Peso Tensión cable = Tensión cable = 10.05 *0.45 *0.6*0.3 – 0,258 = 0.55605 KN PROBLEMA 63.- Una esfera hueca de 1m de diámetro pesa 200 N y está sujeta a un bloque de concreto solido que pesa 4,1 KN. Si el concreto tiene un peso especifico de 23.6 KN/ . Diga si los dos objetos unidos flotaran o se hundirán. (Robert Mott 5.2). Solución.- W total . ( ) [( ) ] [( ) () ] Los objetos unidos flotarán PROBLEMA 64.- Un flotador cilíndrico tiene su diámetro 0,258 de 10 in y una longitud de 12 in. Determinar el peso específico ( ) del material del flotador si ha de tener de su volumen bajo la superficie de un fluido cuya gravedad esférica es de 1.10. (Robert Mott 5.4) Solución.- Aplicamos el Principio de Arquímedes PESO =EMPUJE 129 PROBLEMA 65.- Un bloque de concreto con peso especifico de 23.6 se encuentra suspendido por medio de una cuerda en una solución con gravedad especifica de 1.15 ¿Cual es el volumen ( ) del bloque de concreto , si la tensión en la cuerda es de 2.67 KN? (Robert Mott 5.7). Solución.- Peso cuerpo (W) = EMPUJE (E) + TENSION (T) ( ) PROBLEMA 66.- La figura muestra un cubo de arista “S” que flota en un fluido de “ Derívese una expresión que relacione el calado “x” el peso específico del cubo “ y el peso especifico del fluido. (Robert Mott 5.12) Solución.- PESO = EMPUJE PROBLEMA 67.- Una boya tipo mástil es una barra flotante lastrada para flotar vertical mente y sobresalir del agua según se muestra en la figura. Puede usarse para realizar medidas o como baliza. Suponga que la boya está fabricada con madera ( ) y flota en agua del mar ( 130 ). ¿Cuántas libras de acero (S =7,85) deberán añadirse en su extremo inferior para que h =18 in? (Frank White 2.113) Solución.- () = 15,10 lbf Remplazando valores en la ecuación (1) PROBLEMA 68.- Un globo esférico se llena a nivel del mar con helio. Conjuntamente el peso del helio y del material del globo es de 500 N. si la fuerza neta que levante el globo es también de 500 N. ¿Cuál es el diámetro del globo? (Frank White 2.123). 131 Solución.- Considerando la densidad del aire como d = 5.414 m PROBLEMA 69.- Un globo de 6 de diámetro pesa 3.5 lbf. El globo está lleno con hidrógeno a una presión absoluta de 18 y F en el momento de soltarse. ¿A qué altura de la atmosfera estándar el globo se quedara flotando en equilibrio? (Frank White 2.124). Solución.- Considerar la constante del hidrógeno ( ) PESO = EMPUJE En la tabla de propiedades de la atmosfera estándar: H = 6850m <> 22500 PROBLEMA 70. - Un hidrómetro flota a un nivel que es una medida de la densidad relativa al líquido. El vástago tiene un diámetro constante “D” y en su parte inferior un peso lo estabiliza para que flote verticalmente, como se muestra en la figura. Si la posición h=0 corresponde con agua para (S=1). Obtenga una fórmula para determinar “h” como una función del peso total “W”, D, S y el peso especifico de agua (Frank White 2.109). 132 Solución.- ⌊ ⌋ ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 71.- Se tiene una esfera de aluminio ( ) de diámetro .Se solicita determinar el peso (KN) de la esfera cuando se sumerge completamente en agua y en aceite ( ) del agua 10 . Solución.- (aire) - W c (fluido) = Empuje. Agua W c = (aire) - Empuje ( ) ( ) Aceite ( ) ( ) 133 PROBLEMA 72.- Un cuerpo pasa 0.3 KN en el aire y 0.19 KN sumergido en aceite ( ) Determinar su volumen ( ) y su densidad relativa. Considerar el peso específico del agua igual a 10 . Solución.- () () V=0.01466 () () PROBLEMA 73.- Un hidrómetro pesa 0.11 N y el área de la sección recta de su vástago es de 0.16 ¿Cuál es la diferencia de alturas (m m) al sumergirlas en dos líquidos de densidad relativa 1.25 y 0.9 respectivamente? Considerar el peso específico del agua igual a 10 . Solución.- Cuando se sumerge en fluido “1”: Cuando se sumerge en el fluido “2”: El peso del hidrómetro no varía () 134 : Remplazando valores en la ecuación (1): PROBLEMA 74.- Un recipiente contiene una capa de agua (S = 1) sobre la que flota una capa de aceite ( ) n objeto cilíndrico de densidad relativa desconocida, cuya área en la base es “A” y cuya altura es “h”, se deja caer al recipiente quedando a flote finalmente cortando la superficie de separación entre el aceite y el agua sumergido en esta ultima hasta la profundidad de (2/3) h, como se indica en la figura. ¿Determinar la densidad ( ) del cuerpo cilíndrico? Solución.- PESO = Empuje El área del cilindro es constante. ( ) ( ) 135 PROBLEMA 75.- Un cilindro solido de madera ( = 0.8) de 200 mm de diámetro y 100 mm de altura se sumerge en agua con su eje en posición vertical como se muestra en la figura. Determinar: a) El calado (mm) b) La distancia (mm) vertical del centro de flotación o empuje a la superficie del fluido. c) La distancia o radio metacéntrico (mm) d) El tipo de equilibrio Solución.- a) PESO = EMPUJE C = 0.8*0.1 = 0.08 m <>80 mm b) ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ d) Como ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Equilibrio Estable PROBLEMA 76.- Un cilindro de madera ( : 0.35) de 2 de longitud y de 1 in de diámetro, se une a un cilindro de metal ( = 3. 2) de 1 longitud y ½ in de diámetro. Haga un análisis y precise el tipo de estabilidad del objeto cuando se sumerge en agua con la orientación mostrada en la figura. (Irving Shames 3,99). 136 Solución.- PESO = EMPUJE [ ] [ ] SE OBSERVA QUE Cálculo de calado (c). ( ) Cálculo de ̅̅̅ del cuerpo: 137 ̅̅̅ Cálculo de BM: ̅̅̅̅̅ ( ) Por lo que BM < BG: (Equilibrio inestable) PROBLEMA 77.- Se dice que Arquímedes descubrió la ley de flotación cuando el rey Hiero de Syracusa le ordeno determinar si su corona era de oro puro (S =19.3). Arquímedes midió que el peso de la corona en el aire era de 12 N y su peso en el agua fue de 11N ¿Era de oro pura la corona? (Frank White 2,105). Solución.- PESO (aire) –PESO (agua) =Empuje () () () () ( () ) ( () () ) () () () Como 12 (no es oro puro) PROBLEMA 78.- a) Si el cono que se observa en la figura esta hecho de madera de pino con peso especifico de 30 ¿Tendrá estabilidad 28 en la posición que se muestra cuando flota en agua? b) Tendrá estabilidad si estuviera hecho de madera de peso específico de 55 (Robert Mott 5.62) 28 La estabilidad queda definida por la altura ó radio metacéntrico, que debe estar encima del centro de gravedad del cuerpo 138 Solución.- Se sabe que: ̅̅̅̅ ( ) a) PESO = EMPUJE ( ) C =2.398 pulgadas Por lo que: OG = 9m y OB = 7.048 in BG = OG – OB= 1.952 in r =2.3495 in 139 Cálculo de BM: ̅̅̅̅̅ ( ) Como BM < BG (Es inestable) b) C = 11.47 in ( ) OB= 8.6 in y OG =9 in: BG = OG-OB= 0.3975 in BM > BG (Equilibrio estable) PROBLEMA 79.- Un densímetro 29 tiene una masa de 0.045 kg y el área de la sección transversal es de 290 . Determinar la distancia entre las marcas de graduación (sobre el vástago) para densidades relativas de 1.0 y 0.9 respectivamente. (Munson –Young 2.93). 29 Es utilizado en laboratorio clínico, para determinar la densidad del fluido 140 Solución.- Caso agua: Caso fluido () ( ) El peso no varia ( ) ( ) Pero: ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 80.- El madero homogéneo AB de la figura mide 0.15 m por 0.35 m de sección transversal. Determine el peso específico del madero y la tensión de la cuerda. (Munson – Young 2.88) Solución.- Del diagrama de cuerpo libre Cálculo del Empuje (E) 141 ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) PROBLEMA 81.- Un hidrómetro es un dispositivo que indica la gravedad específica de los líquidos. La figura muestra el diseño de un hidrómetro cuya parte inferior es un cilindro hueco de 1 pulgadas de diámetro y la superior es un tubo de 0.25 pulgadas de diámetro. El hidrómetro vacío pesa 0.020 lbf. ¿Qué peso (lbf) de bolas de acero debe agregarse para hacer que el hidrómetro flote en una posición que se indica en agua dulce? observe que el agua tiene una gravedad específica de 1.0. (Robert Mott 5.13). Solución.- () ( ) () ( ) 142 PROBLEMA 82.- Para el hidrómetro diseñado en el problema anterior. Cuál será la densidad relativa del fluido (S) en el que el hidrómetro flotara, hasta: a) La marca superior b) La marca inferior Solución.- a) ⌊ ⌋ b) ⌊ ⌋ PROBLEMA 83.- Para el cilindro compuesto que se ilustra ¿Cual es el espesor “ t” del latón necesario para hacer que el cilindro flote en la posición mostrada en tetracloruro de carbono a 25 °C (Robert Mott 5.26). Considerar como peso específico: 143 Solución.- ( ) El diámetro permanece contante: ( ) ( ) PROBLEMA 84.- Un barco de forma aproximada rectangular, tiene las siguientes dimensiones: 20m de eslora, 6m de manga y 4 m de altura .El barco pesa 1500KN y flota en agua salada (s = 1.025). El centro de gravedad esta a 1.4 m por debajo de la parte superior de la plataforma flotante. Considerar a) Situar el centro de carena cuando flota horizontalmente b) Situar el centro de carena con respecto a la línea de simetría cuando a girado alrededor del eje longitudinal c) Determinar el radio metacéntrico (mm) y precisar el tipo de estabilidad d) Determinar el par restaurado (kN.m) Solución.- Peso =Empuje a) 1500=10*1.025*6*20*c C = 1.2195m 144 ̅̅̅̅ OB = OG - OB BG = (4 - 1.4) - 0.609 = 1.991 m b) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ () Cálculo de BM: ̅̅̅̅̅ ( ) ()() Remplazando en la ecuación (1): ̅ c) Cálculo de GM: GM = BM – BG = (2.628 - 1.991) = 0.637 m BM > BG (Equilibrio estable) d) Por lo que el par ó momento restaurador queda definido, por: ̅̅̅̅ PROBLEMA 85.- Un cono invertido a contiene agua como se muestra en la figura. El volumen del agua en el cono esta dado por: V = * .La profundidad original del agua es de 10 cm. Un bloque con volumen de 200 cc y gravedad específica de 0.6 se hace flotar en el agua. ¿Cuál es el cambio (mm) en la altura de la superficie del agua en el cono? (Robertson Crowe 3.114). 145 Solución.- Calculo de volumen de desplazamiento ( ) Peso = Empuje ( ) ( ) PROBLEMA 86.- Un bote tiene las dimensiones de su sección transversal y superior como se muestra en la figura. El casco es sólido. Determinar: a) El radio metacéntrico (mm) b) Analizar y definir el tipo de equilibrio. (Robert Mott 5.61). 146 Solución.- Calculo del centro de gravedad (YG) ̅̅̅̅ ( ) () ( ) () ( ) ( ) Calculo del centro de gravedad del volumen desplazado: ̅̅̅̅ ( )() ( ) ( ) ( ) BG = YG - YB = (1.04-0.8875) = 0.1525 m ( ) ⌊( ) ( )⌋ BM > BG (Equilibrio estable) ( ) = 247.5 mm PROBLEMA 87.- a) En la figura se muestra una chalana de rio que se utiliza para llevar materiales voluminosos. Suponga que el centro de la gravedad de la chalana se encuentra en su centroide, y que esta flota con 8 ft sumergidos a) Determine la manga (ft) mínima que se asegurara su estabilidad en agua dulce b) Repetir el enunciado anterior, solo que a hora suponga que se agrega carbón en trozo a la chalana, de modo que se sumerge una profundidad de 16 ft y su centro de gravedad se eleva a 13.5 ft del fondo. Determinar la manga (ft) mínima para que haya estabilidad. (Robert Mott 5.46) 147 Solución.-Del grafico se tiene que: BG = 12 -4 = 8 ft a) ( ) BM = 8 ft m = 27.71 ft Se sabe que, si BM = BG (Equilibrio neutro) y BM > BG (Equilibrio Estable) BM = 8.16 ft m = 28 ft b) BG = (13.5-8) ft = 4.5 ft ( ) BM (ft) m (ft) 4.5 29.39 4.6 29.71 5.0 30.98 5.5 32.49 PROBLEMA 88.- Los cuerpos “A” Y “B” de la figura son dos cilindros sólidos y homogéneos, la sección transversal de cada cilindro es 0.09 . Las densidades relativas de los cilindros “A” Y “B” son respectivamente. Un resorte que solo actúa a tensión interconecta “A” con el fondo del tanque. En la figura se representa al resorte sin deformar. Calcule la posición de la superficie del cilindro “A” con respecto a la superficie correspondiente del cilindro “B” cuando el modulo de elasticidad del resorte es 900 N/m. Considerar 148 Solución.- Análisis en el cuerpo “A”: () Análisis en el cuerpo “B”: () En las ecuaciones (1) y (2) la tensión “T” son iguales ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( ) ( )] PROBLEMA 89. - Una tubería tiene una pendiente ascendente en la dirección del flujo de un fluido, a un ángulo de 30° con la horizontal. ¿Cuál es el gradiente de presión en la dirección del flujo a lo largo de la tubería, en términos del peso específico del líquido, si se está desacelerando (acelerando en sentido opuesto a la dirección del flujo) a razón de 0,3 g? (Robertson Crowe 5.1) Solución.- ( ) 149 ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 90. -¿Qué gradiente de presión es necesario para acelerar kerosene (S = 0,81) verticalmente hacia arriba en una tubería vertical a razón de 0,2 g? (Robertson Crowe 5.2) Solución.- Aplicamos la ecuación de la variación de la presión como sólido rígido ( ) ( ) ( ) ( ) Otra forma: Aplicamos la ecuación de Euler, para un movimiento vertical: ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 91. - El líquido hipotético del tubo que se ilustra en la figura, tiene viscosidad cero y un peso específico de 10 KN/m 3 . Si P B - P A es igual a 12 KPa, se puede concluir que el líquido del tubo está siendo acelerado a) Hacia arriba b) Hacia abajo c) Ninguno de los dos d) aceleración = 0 (Robertson Crowe 5.3). 150 Solución.- Consideremos que el fluido circula de B hacia A (punto más alto) ( ) ∫ ( ) ∫ ( )( ) ( )() ( ) ( ) (Es correcta la suposición) PROBLEMA 92. - Si el embolo y el agua son acelerados hacia arriba a razón de 0,5 g. ¿Cuál será la presión a una profundidad de 2 ft en la columna de agua? (Robertson Crowe 5.4). Solución.- ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) 151 PROBLEMA 93. - ¿Qué gradiente de presión se requiere para acelerar agua en una tubería horizontal a razón de 6 m/s 2 ? (Robertson Crowe 5.6). Solución.- PROBLEMA 94. - Se acelera agua desde el reposo en una tubería horizontal que mide 100 m de largo y 30 cm de diámetro. Si el incremento de aceleración (hacia el extremo corriente abajo) es de 6 m/s 2 . ¿Cuál es la presión en el extremo corriente arriba si la presión en el extremo corriente abajo es de 90 KPa manométrica? (Robertson Crowe 5.7). Solución.- ( ) ∫ ∫ ()( )() PROBLEMA 95. - Un manómetro gira alrededor de una pierna como se muestra en la figura. La pierna alrededor de la cual gira el manómetro contiene agua con una altura de 10 cm. La otra pierna que está a 1 m del eje de rotación contiene mercurio (S Hg = 13,6) con una altura de 1 cm. ¿Cuál es la velocidad de rotación en rad/s? (Robertson Crowe 5.32). Solución.- Aplicamos la ecuación de Euler para fluidos con rotación como sólido rígido. 152 Los puntos (1) y (2) están contenidos en el tubo vertical de agua ( ) ……………….. (1) El punto (3) está en el borde superior del tubo izquierdo que contiene mercurio. ( ) () Igualando las ecuaciones (1) y (2) [ ] PROBLEMA 96. - El tubo en “U” está unido a la plataforma “B” y los niveles del líquido en el tubo en “U” se muestran para condiciones de reposo. La plataforma y el tubo en “U” se hacen girar entonces alrededor del eje A-A a razón de 4 rad/s. ¿Cuál será la elevación del líquido en la pierna más pequeña del tubo en “U” después de la rotación? (Robertson Crowe 5.31). Solución.- Considerando que el fluido desciende “b” es el tubo de diámetro “d” y asciende “a” en el tubo de diámetro “2d”. 153 ( ) ( ) ( ) ( ) Pero: ( ) ( ) () Igualar el volumen del fluido en los tubos: () () Remplazando en la ecuación (1) y La elevación en la pierna más pequeña es: 12.172 cm PROBLEMA 97. - Un tubo en “U” se hace girar a razón de 60 RPM alrededor de una de sus piernas. El fluido en el fondo del tubo en “U” tiene una gravedad específica de 3,0. La distancia entre las dos piernas del tubo en “U” es de 1 ft. Una altura de 6 pulgadas de otro fluido está en la pierna exterior del tubo en “U” Ambas piernas están abiertas a la atmósfera. Calcule la densidad relativa del otro fluido. (Robertson Crowe 5.29) 154 Solución.- Considerando los puntos (1) y (2) en el mismo nivel del liquido y el punto (3) por encima del punto “1” del liquido “S”. ( ) () ( ) () Igualando las ecuaciones (1) y (2): ( ) ( ) En la ecuación (1) : ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 98. - Un tanque cerrado de líquido (S=1,2) se hace girar alrededor de un eje vertical (véase la figura) y al mismo tiempo todo el tanque se acelera hacia arriba a razón de 4 m/s 2 . Si la rapidez de giro es de 10 rad/s. ¿Cuál es la diferencia de presión entre los puntos A y B (P B – P A )? El punto “B” está en el fondo del tanque a un radio de 0,5 m del eje de rotación y el punto “A” en la parte superior del eje de rotación. (Robertson Crowe 5.27) 155 Solución.- ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ( )() [ ( )()] Otra forma: Es considerar el punto “C” en la parte inferior del eje de rotación, análisis en la vertical entre los puntos “A” Y “C” ( ) ∫ ( ) ∫ ( )() ( )() () Análisis en la horizontal entre los puntos “B” y “C” ∫ ∫ ∫ ( ) () () () 156 PROBLEMA 99. - Un camión transporta un tanque qué está abierto en la parte superior. El tanque mide 18 ft de largo, 6 ft de ancho y 7 ft de altura. Si se supone que el conductor no va acelerar ni desacelerar el camión más allá de 8,02 ft/s 2 . ¿A qué profundidad máxima puede llenarse el tanque para que el agua no se derrame? (Robertson Crowe 5.21) Solución.- El nivel del agua sube y baja en respecto a la superficie inicial una altura “h” Puede llenarse: (7 - 2.24) ft. El nivel del agua en el tanque es 4.758 ft PROBLEMA 100. - Un camión transporta un tanque cilíndrico (eje vertical) de líquido que está abierto en la parte superior. Si se supone que el conductor no va acelerar ni desacelerar el camión más de 1/3 g. a) ¿A qué profundidad máxima puede llenarse el tanque para que el agua no se derrame? También si el camión circula por una curva sin pendiente (r = 50 m) b) ¿A qué velocidad máxima puede ir antes que el agua se derrame? Suponga que la altura del tanque es igual a su diámetro y que la profundidad para la segunda parte del problema es la misma que para la primera. (Robertson Crowe 5.22). Solución.- El agua sube en respecto de la superficie “h” a) Debe llenarse: ( ) b) La aceleración radial queda definida, por. 157 PROBLEMA 101. - El tanque cerrado que se ilustra lleno de líquido es acelerado hacia abajo a 1,5 g y a la derecha a 0,9 g. Aquí L = 3 ft. H = 4 ft y la gravedad específica del líquido es 1,1. Determine P C - P A y P B – P A . (Robertson Crowe 5.19) Solución.- a) Análisis entre los puntos “A” y “C” ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ ( )() ( )() ( ) b) Análisis entre “A” y “B” ( ) ∫ ( ) ∫ 158 ( )() ( )() PROBLEMA 102. - Un tanque de líquido (S = 0,80) que mide 1 ft de diámetro y 1 ft de alto (h = 1,0 ft) se fija de manera rígida (como se ilustra) a un brazo giratorio que tiene un radio de 2 ft. El brazo gira de modo que la velocidad en el punto “A” es 20 ft/s. Si la presión en “A” es de 25 Psf. Determinar la presión en el punto “B”. (Robertson Crowe 5.26) Solución.- Análisis entre “B” y “A” ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ()()] 159 PROBLEMA 103. - El manómetro de tres ramas de la figura está lleno de agua hasta una altura de 20 cm. Todas las ramas son largas y tienen igual diámetro. Si el sistema gira a una velocidad angular “W” alrededor del tubo central. Determinar la altura (cm) en cada tubo si gira el sistema a 120 RPM (el tubo central debe proporcionar agua a los dos laterales). (Frank White 2,159) Solución.- El agua asciende en los extremos h 1 y h 3 y en el centro del tubo desciende h 2 (respecto al nivele que tiene el agua en el tubo sin girar) Igualamos volumen: Como d 1 = d 2 = d 3 h 2 = 2 h 1 ……………. (1) ( ) De la ecuación (1) y El nivel del agua en los tubos (1) y (3): ( ) El nivel del agua en el tubo (2): ( ) PROBLEMA 104.- Cuando no hay rotación se acumula agua en el tubo en “U” de extremo cerrado, como se muestra en la figura. Si l = 10 cm y si todo el sistema gira alrededor del eje A - A ¿A qué velocidad angular empezará el agua a derramarse apenas del tubo abierto? 160 Suponga que la temperatura para el sistema es la misma antes y después de la rotación. (Robertson Crowe 5.41). Solución.- Considerando los puntos “1” (extremo inferior del tubo izquierdo) y “2” (extremo superior del tubo derecho) Igualamos volumen de aire en el ramal izquierdo () Aplicar Euler entre los puntos (1) y (2) ( ) ( ) ( ) 161 ( ) ( ) () ( ) PROBLEMA 105.- El depósito de agua de la figura tiene una anchura de 12 cm perpendicular al papel. Si el depósito se acelera como un sólido rígido a razón de 6,0 m/s 2 . Calcular: a) La profundidad del agua en el lado AB b) La fuerza que la presión ejerce sobre el papel AB. Suponga que no se derrama el agua. (Frank White 2,142). Solución.- a) El nivel del agua sube “h” ̅̅̅̅ ( ) ) ( )( ) 162 PROBLEMA 106.- Una lata muy profunda de 18 cm de diámetro contiene 12 cm de agua bajo 10 cm de aceite SAE 30 cuya densidad relativa es 0,891. Si la lata gira como un sólido rígido alrededor de su eje central a 150 RPM. ¿Cuál será la máxima presión manométrica (KPa) en la lata? (Frank White 2,154) Solución.- Convertir la altura de aceite ( ) a una altura equivalente de agua La altura de la parábola que alcanza en la pared ( ) () ( ) PROBLEMA 107.- Un depósito cónico de eje vertical y generatriz inclinada 30° con respecto a su eje, gira alrededor de un eje vertical distante 1m del eje del cono. Determinar las RPM para expulsar toda el agua contenida en el. Solución.- Para que se derrame completamente el agua, la superficie parabólica debe ser tangente a la generatriz en el vértice del cono. 163 √ PROBLEMA 108.- Un tanque cilíndrico abierto de 1.20m de diámetro y 1.50 m de altura, esta lleno de agua y esta echo girar alrededor de su propio eje que permanece vertical; con una velocidad de 180RPM. Determinar: a) El área circular ( ) descubierto en el fondo b) El volumen ( ) c) Si el tanque fuese cerrado, la presión máxima (mca) abs. Solución.- a) Calculo de la altura de la parábola A O B. ( ) ( ) ( ) Calcula del radio de la parábola COD. ( ) 164 b) Calculo de volumen del liquido derramado ( ) () [ ] c) Al cerrar el recipiente y considerando lleno de agua se forma una parábola imaginaria por encima de la tapa cuya altura (H), es: ( ) Por lo que la presión absoluta máxima, será: () PROBLEMA 109.- Un cilindro cerrado de altura H, tiene las tres cuartas partes de su volumen ocupadas por un líquido. Derívese una expresión para determinar la velocidad “w” en la que ha de girar el círculo alrededor de su eje para que el paraboloide que se forme sea tangente a la base Solución.- La altura (H) de la parábola, queda definida por la ecuación: () 165 Igualando volumen de aire: () Remplazando la ecuación (2) en la ecuación (1): √ PROBLEMA 110.- Un camión transporta un tanque cilíndrico el mismo que contiene completamente un fluido (S=1.02), si se acelera horizontalmente en forma constante a razón de 2.5 . Determinar la diferencia de presiones () máxima y mínima que ejerce el fluido sobre el tanque. Solución.- Por el sentido que tiene la aceleración, se tiene que: ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) [ ] ⌊ ⌋ 166 PROBLEMA 111.- Un tubo en “V” a 45 contiene agua y está abierto en “A” y cerrado en “C” a) ¿A qué velocidad (RPM) de rotación uniforme alrededor del eje AB, hará que la presión sea igual en los Puntos “B” y “C” en esta condición? b) En qué punto de la rama “BC” la presión es la mínima (Frank White 2,157). Solución.- a) Para que las presiones “B” y “C” sean iguales, la parábola pasa por dichos puntos. ( ) b) La presión es mínima, cuando la parábola es tangente a la rama “BC” ( ) 167 CAPITULO 4 CINEMATICA DE LOS FLUIDOS. CUANTIFICACIÓN DE LOS FLUJOS FLUIDOS La Cinemática estudia la descripción del movimiento de los fluidos sin considerar las fuerzas ó momentos que lo causan. En un flujo dado la determinación experimental ó teórica de las propiedades de los fluidos en función de la posición y del tiempo se considera solución del problema. En casi todos los casos el énfasis se hace sobre la distribución espacio – temporal de las propiedades fluidas. MODELOS MATEMATICOS QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS I. METODO LAGRANGIANO.- En honor al matemático Italiano Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813). El estudio se concentra en una partícula individual en el que se observa su movimiento como una función del tiempo. Su posición, velocidad y aceleración se denotan, por: r (t), v (t) y a (t) . Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas el vector posición, que definido por: ̅ () ⃗ ⃗ ⃗⃗ La velocidad de la partícula se obtiene derivando respecto al tiempo la expresión del vector posición de la partícula: ̅ () ̅ ̅ ̅ ̅ () ̅ ̅ ̅ En el estudio de flujos fluidos este análisis es muy tedioso debido al gran número de partículas. II. METODO EULERIANO.- En honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783).- Es apropiado en el análisis del flujo en La Mecánica de Fluidos. Trata del campo de flujo contenido en un Volumen Finito, llamado Dominio del Flujo ó Volumen de Control, a través del cual fluye hacia adentro ó fuera el fluido. - En este enfoque se definen las variables del campo en funciones del espacio y el tiempo dentro del Volumen de Control. 168 - El vínculo ó conexión entre Sistema (Lagrange) y Volumen de Control (Euler) es el Teorema de Transporte de Reynolds (RTT) 30 , que se aplicará posteriormente a las relaciones básicas de la Dinámica de los Fluidos. - En la descripción Euleriana del movimiento del fluido, el vector velocidad en general depende de tres variables espaciales y del tiempo, es decir: ̅ ( ) El diferencial total de la velocidad se determina mediante la regla de la cadena: Para determinar la aceleración, dividimos la ecuación anterior entre “dt”. Aceleración Convectiva Aceleración Local - La aceleración convectiva representa el cambio de la velocidad que ocurre debido al cambio de posición de la partícula en el campo de flujo. - La aceleración local representa el cambio de la velocidad respecto al tiempo en un punto dado (x,y,z) ̅ ̅ ̅ ̅ Componentes escalares de la aceleración en coordenadas cartesianas: 30 Se aplica para volúmenes de control fijos en un espacio inercial 169 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01.- Si la velocidad del agua a 20 °C varía linealmente con la distancia en la tobera convergente. ¿Cuál es el gradiente de presión ( ) a la mitad de la longitud de la tobera? (Roberson Crowe 5.10).- Solución: Aplicamos la ecuación general para el análisis de la variación de la presión de un fluido como sólido rígido. ( ) () Dónde, la aceleración Convectiva y local, queda establecida, por: Considerando flujo estable: Aceleración local ; () Calculo del gradiente de velocidad: Calculo de la velocidad del flujo a la mitad de la tobera: ( ) ….. (3) Remplazando la ecuación (3) en (2): 170 Remplazar en la ecuación (1): PROBLEMA 02.- Determine el diámetro (mm) de una placa de orificio necesario que se instala en una tubería horizontal de 150 mm de diámetro, para medir un flujo volumétrico de 0.03 , con una desviación de 1 m en un manómetro de mercurio (S = 13.6) y agua. (Roberson Crowe 13.29). Solución: El caudal real de agua que circula por la tubería, es: ̇ √ () Dónde: . K = Coeficiente de flujo. Se determina utilizando la figura N° 13.13- Pág. 596 (Robertson Crowe). A 0 = Área del orificio de la placa. g = Aceleración de la gravedad Cálculo de la variación d e la energía cinética () Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre la corriente arriba y abajo del flujo que pasa por la placa de orificio. Aplicamos manometría entre los puntos considerados del flujo: ( ) () Paso 01.- Remplazar los datos del problema en la ecuación (1) ̇ √ ( ) 171 () Paso 02.- Asumir un coeficiente de flujo K* Remplazamos en la ecuación (3) Paso 03.- Comprobar el valor de asumido: ̇ γ Con los parámetros adimensionales. Re y ; se determina el Coeficiente de flujo: . Como: Paso 04.- Se reajusta el diámetro, por: √ √ PROBLEMA 03.- Las velocidades del agua en una conducción horizontal convergente está dado por ( ) (aguas arriba) y ( ) (aguas abajo); donde “t” está en segundos. Determinar la aceleración local en las secciones (1) y (2) contenidos en la línea de simetría horizontal. ¿La aceleración convectiva media entre estos puntos, es negativa, cero o positiva? (Munson Young 4.49) Solución: () a) () ( ) () ( ) b) Como: (La aceleración Convectiva es positiva) 172 PROBLEMA 04.- La velocidad del fluido a lo largo del eje “x” que se muestra en la figura cambia de en el punto “A” hasta en el punto “B”. También se sabe que la velocidad es una función lineal de la distancia a lo largo de la línea de corriente. Determinar la aceleración ( ) en los puntos “A”, “B” y “C”. Suponga que el flujo es estable. (Munson Young 4.23). Solución: La aceleración total (Convectiva más local), viene expresado por: Por condición del problema para flujo estable: …… (1) Calculo del gradiente de velocidad ( ) PROBLEMA 05.- Dos corrientes “A” y “B” de agua a 20 C se descargan en una tubería de área de . El flujo es incompresible. El flujo volumétrico de la corriente “A” que entra en la tubería está dado por: ( ) y el de la corriente “B” por 173 ( ); donde “t” se expresa en segundos. Determinar la velocidad en ( ) y aceleración en ( ) del flujo a la salida en . (Robertson Crowe 4.47). Solución: Por conservación de la masa, para flujo incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para t = 1 s: () () ( ) ( ) Para t = 1 s: () ( ) PROBLEMA 06.- Dadas las componentes de la velocidad en los ejes X, Y y Z: Y ¿Cuál es la aceleración en el punto x = 1 m, y = 2 m y en el tiempo t = 3 s? (Robertson Crowe 4.43). Solución: ̅ ̂ ̂ ̂ ()  ( )() ( )() ( )() ( )() ( ) 174  ( )( ) ( )() ( ) ( )() ( )() ( ) ( ) Remplazando en la ecuación (1): ̅ ̂ ̂ PROBLEMA 07.- Las componentes de velocidad “u” y “v” de un campo de flujo, están dados por: , a) Este campo de flujo ¿satisface la ecuación de continuidad? b) Determine la vorticidad y la rapidez de rotación del campo de flujo. (Robertson Crowe 4.28). Solución: a) La forma diferencial del Principio de Conservación de la masa o continuidad para flujo incompresible y permanente, es: Para fluido incompresible, para satisfacer la ecuación de continuidad, la suma debe ser igual a cero. b) Rotación ̅ ̂ ̂ ̂ ̅ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ̅ ( ) ̂ = ( ()) ̂ ̂ Vorticidad (̅) ̅ ̂ PROBLEMA 08.- La distribución hipotética de velocidad en un conducto circular es () ( ) ; donde “r” es la ubicación radial del conducto, “R” es el radio y “V max” es la velocidad sobre el eje. Encuentre la razón entre la velocidad media y la velocidad sobe el eje. (RobersonCrowe4.24). 175 Solución: ̇ ∫ () ∫ ( ) ∫ ( ) PROBLEMA 09.- El campo de temperaturas en unidades arbitrarias, está asociado al campo de velocidades bidimensional, dado por: ( ) ̂ ( ) ̂ . Calcular la rapidez de cambio de la temperatura en (x, y) en (2,1). (Frank White4.4). Solución: Las componentes de la velocidad en los ejes X e Y, son: El diferencial total de T (Regla de la cadena), es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( )( ) Para x = 2 e y = 1 ( ) 176 PROBLEMA 10.- Ignorando las constantes de integración, determine la componente desconocida de la velocidad “w” y “v” que satisface la ecuación de continuidad correspondiente a un flujo tridimensional, incompresible y permanente en los siguientes casos: a) b) (Frank White4.16). Solución: La ecuación de continuidad, para flujo permanente e incompresible es: a) ( ) ( ) () () b) ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 11.- Por una tubería recta de radio “R” circula agua a 10C. Considerando la siguiente distribución hipotética de velocidades: Vmin = 0 (centro de la tubería) y crece linealmente con el radio “r” hasta Vmax en la pared de la tubería. Determinar: a) La relación b) El factor de corrección de la energía cinética “α” Solución: La ecuación del perfil de velocidades, está dado por: () ( ) 177 a) ̇ ∫ () ∫ ( ) ∫ b) ∫ ( () ) ∫ [ ( ) ] ∫ PROBLEMA 12.- Asuma la temperatura de un fluido que pasa por una tubería horizontal cambia aproximadamente con: ( )[ ()]. Dónde: To = 100 °C; a = 3 ; b = 0.03 ; c = 0.05 ; w = 100 ; t = tiempo (s) . Si el fluido circula con una velocidad constante de 2 m/s. Determinar la rapidez de cambio de la temperatura de una partícula fluida, en x = 0 y x = 4 m cuando t = 0 s. (Munson Young 4.35). Solución: ( ) ( ) ( )[ ()] [ ()]( ) Para t = 0: ( ) ( ) Remplazando datos: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) a) Para x = 0 y t = 0 178 ( ) b) Para x = 4 y t = 0 ( ) PROBLEMA 13.- Se tiene el flujo de Poiseville entre dos placas fijas paralelas infinitas separadas por una distancia “h”. Considerando el flujo bidimensional, incompresible y estacionario en el plano XY. Si las componentes de la velocidad se dan por: ( ) y . Donde es la viscosidad dinámica del fluido, gradiente de presión por grados que impulsa el flujo e “y” es la distancia vertical entre las placas. Es este flujo ¿rotacional o Irrotacional? ¿Por qué? Si es rotacional determine la componente de la vorticidad. Solución: ̅ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ̅ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̅ ( ) ̂ PROBLEMA 14.- Circula agua a 20 °C por una tubería de acero comercial de 80 mm de diámetro. Considerando hipotéticamente el perfil de velocidades como se muestra en la figura, donde Vmax = 10 m/s. Determinar: a) b) El gasto másico ( ) c) El flujo volumétrico ( ) Solución: La ecuación del perfil de velocidad es: 179 () ( ) a) ̇ ∫ () () ∫ ( ) [ ] [( ) ( )] [ ] b) ̇ ̇ () c) ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 15.- Si la intensidad de iluminación de una partícula en (x, y, z) al tiempo “t” está dado por: ( ) Y el campo de velocidad del fluido está dado por: ( ) ( ); ( ). Dónde: “A” y “B” son constantes conocidas. Determinar la velocidad de variación de la iluminación experimentada al tiempo “t” 31 por la partícula fluida que está en el punto (1, 2, -2) al tiempo “t”. 31 Se trata de derivada sustancial ó material, es el enfoque de sistema 180 Solución: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) Remplazando en la ecuación (1) ( ) ( ) [ ( ) ( )] Evaluando para el punto (1, 2 -2): ( ) ( ) PROBLEMA 16.- Un tubo de acero (Rugosidad absoluta 0.046 mm) con diámetro interior de 1.20 m, conduce aceite similar al SAE 10 a 40 °C (S = 0.87 y ). Si se requiere un numero de Reynolds de . Determinar: a) La velocidad máxima ( ) b) La distancia (mm) vertical desde el eje de la tubería para la cual la velocidad local es igual a la velocidad media. Solución: Como el número de Reynolds es dato, se puede calcular la velocidad media (V) del aceite ( ) 181 Con el número de Re y la Rugosidad relativa, al Diagrama de Moody: a) Para flujo turbulento [ √ ] [ √ ] b) () [ √ √ ( )] Por condición del problema: () ( ) ( ) ( ) Pero: : ( ) ( ) PROBLEMA 17.- Por una tubería de acero comercial nuevo ( ) de 360 mm de diámetro circula un fluido en régimen turbulento. La velocidad en la línea central es 6 m/s y a 80 mm de la pared del tubo es de 5.4 m/s. Determinar: a) La velocidad ( ) media del flujo b) El coeficiente de fricción. c) El número de Reynolds Solución: a) La ecuación de distribución de velocidades para flujo turbulento es: () ( ) ( ) ( ) 182 ∫ () ∫ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) b) () [ √ √ ( )] [ √ √ ( )] √ c) La rugosidad absoluta, es: Con el valor del coeficiente de fricción “f” y la rugosidad relativa ( ), al Diagrama de Moody: PROBLEMA 18.- Fluye glicerina a 25 °C ( ) por una tubería de 150 mm de diámetro. Si la velocidad media del fluido es 3.6 m/s. Determinar: a) El coeficiente de fricción. b) El radio r (mm) donde la velocidad local sería igual a la velocidad media para el mismo régimen de flujo c) Evaluar el perfil de velocidades. Solución: a) El coeficiente de fricción: ( ) 183 b) El perfil de velocidades para flujo laminar: () ( ) Pero ( ) () ( ) Por condición del problema: () √ √ c) Evaluación del perfil: r (mm) (r/R) u ( r ) 75 1 0 60 0.8 2.592 45 0.6 4.608 30 0.4 6.048 15 0.2 6.912 0 0 7.2 () [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Nota: El caudal se puede determinar graficando: () y el área bajo la curva es el caudal deseado. (Método por integración de velocidad y área) PROBLEMA 19.-¿Cuál es el diámetro (m) de garganta necesario para un medidor de Venturi, instalado en un tubo horizontal de 200 cm de diámetro que transporta agua ( ) con una descarga de ( ) si la presión diferencial entre la garganta y la sección corriente arriba se va a limitar a 200 KPa a esta descarga? (Robertson Crowe 13.35). Solución: Cálculo de la variación de la energía cinética () 184 Agua a 20°C ( ) La ecuación general para evaluar el caudal real para Venturi, Tobera y Placa de orificio, es: ̇ √ Dónde: “K” es el coeficiente de flujo. Su evaluación se hace en la figura 13.13 (Roberson Crowe. Pág. 596) y A o : Área de la garganta ̇ √ √ () Asumir un K* = 1.01 y remplazando en la ecuación (1): Comprobar el valor asumido Con dichos valores, en la gráfica antes mencionada: K = 1 Como . Se corrige el diámetro √ √( ) PROBLEMA 20.- Estime el gasto (cfs) de agua que pasa por el medidor de Venturi mostrado (Robertson Crowe13.36). 185 Solución: ̇ √ () Calculo de la variación de la energía cinética () () Aplicamos manometría: () La ecuación (2) es igual a (3): Calculo del coeficiente de flujo considerando √ ( ) √ 186 Del grafico 13.13 (Robertson Crowe Pág. 596): K = 0.97 Remplazando valores en la ecuación (1): ̇ ( ) √ PROBLEMA 21.- Demostrar que la ecuación para evaluar el caudal, cuando se instala un Venturi, Tobera o Placa de orificio es: ̇ √ Solución: El análisis se hará considerando una tubería horizontal, en el cuál se instala una placa de orificio. Así mismo corriente arriba y corriente abajo del flujo se instalará tubos piezométricos para las lecturas de las presiones estáticas respectivas. Como la tubería es horizontal: () ( ) Pero: coeficiente de estrechamiento ( ) [ ( ) ] 187 √ ( ) ( ) [ √ ( ) ] ̇ () () [ √ ( ) ] ̇ √ ( ) √ √ ( ) √ El coeficiente de flujo K, es: √ ( ) Por lo que: ̇ √ PROBLEMA 22.- Un deposito es alimentado con agua a 60°F por un tubo con medidor de Venturi, como se ve en la figura siguiente, el agua sale por un vertedero triangular con un ángulo incluido de 60°. Considerando: el coeficiente de flujo del Venturi es la unidad, el área de la garganta del Venturi es y el medido es 10 Psig. Encuentre la carga H (ft) del vertedero triangular. (Robertson Crowe13.60). 188 Solución: ̇ ̇ √ √ ( ) Para: y √ √ √ √ PROBLEMA 23.- En un instante en particular entra agua en tanque que se ilustra, por los tubos “A” y “B” y sale sobre el vertedero rectangular que está en “C”. El ancho del tanque y la longitud del vertedero (dimensiones normales a la página) son 2 ft. Entonces parea las condiciones dadas. ¿El nivel del agua del tanque está subiendo o bajando? (Robertson Crowe13.61). Solución: La entrada del agua al depósito se hace por las secciones (1) y (2): ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) 189 ̇ ( ) ̇ ̇ ̇ √ Pero: ( ) ( ) ̇ √ Por lo que: ̇ ̇ (El nivel de agua está bajando) PROBLEMA 24.- Del primer depósito sale agua hacia el segundo sobre un vertedero rectangular, con una razón entre ancho y carga de 3. La altura “P” del vertedero es el doble de la carga. El agua del segundo depósito corre sobre un vertedero triangular de 60° a un tercer depósito. La descarga por ambos vertederos es la misma. Encuentre la razón entre la carga sobre el vertedero rectangular y la carga sobre el vertedero triangular. (Robertson Crowe13.62). Solución: Por condición del problema: ̇ ̇ () ̇ √ ( ) ̇ √ 190 ̇ √ () ̇ √ ( ) Para: ̇ √ () Las ecuaciones (2) y (3) en (1): √ √ PROBLEMA 25.- Determine el caudal (cfs) a través del orificio sumergido que se muestra en la figura. Si el coeficiente de corrección es Ce = 0.68. (Munsong Young 3.84). Solución: Tomando Bernoulli entre la superficie del agua en el depósito derecho (1) y el orificio (2), tenemos: ̇ ( ) ( ) 191 PROBLEMA 26.- ¿Qué presión P1 (Psig) se requiere para obtener un gasto de 0.09 cfs del depósito que se muestra en la figura? (Munsong Young 3.73). Solución: ( ) Pero: ( ) () ̇ Remplazando valores en la ecuación (1) 192 PROBLEMA 27.- Se mide la velocidad del aire en un ducto por medio de una sonda de Prandtl conectado a un manómetro diferencial que registra una lectura de 0.15 Psig. Si el aire está a 13.4 Psia de presión absoluta y 70 °F. Determinar la velocidad ( ) del aire. Considerar Solución: ( ) Tubo de Prandtl mide la Presión Dinámica: () Manometría: ( ) () Igualando las ecuaciones (1) y (2): √ ( ) Ecuación que nos permite evaluar la velocidad local, a lo largo de la línea diametral vertical. Para nuestro caso: () Remplazando valores en la ecuación (1): 193 PROBLEMA 28.- Calcular la altura “H” en función de “R”, sabiendo que la perdida en la boquilla es 0.1 H. Solución: ( ) () Manometría: ( ) () Igualando las ecuaciones (1) y (2) ( ) ( ) PROBLEMA 29.- En el esquema adjunto se observa que fluye por tubería Kerosene ( ). Al instalarse un tubo de Prandtl se registra una deflexión de mercurio ( ) de 7in. Determinar la velocidad del flujo en ( ). 194 Solución: () Aplicando manometría: ( ) () Igualando (1) y (2) √ ( ) √ ( ) PROBLEMA 30.- Se introduce aire ( ) a un túnel de viento que se usa para prueba de automóviles, como se muestra en la figura. Si los efectos viscosos son insignificantes. Determinar: a) La lectura “h” (ft) en el tubo piezómetro en “u” b) La diferencia de presiones ( ) 195 Solución: a) Calculo de “h” ( ) () Remplazando valores en la ecuación (1) () b) = 196 CAPITULO 5 ANALISIS GLOBAL DEL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE LOS FLUIDOS El análisis global ó integral del comportamiento dinámico de los Fluidos estudia los fluidos en movimiento o el desplazamiento en el espacio de las partículas de un fluido. El estudio abarca la aplicación de los principios fundamentales de la MECÁNICA y la TERMODINÁMICA para desarrollar un entendimiento físico entre las propiedades de los fluidos y las fuerzas que interactúan entre el fluido y sus fronteras. Sus aplicaciones se dan en el diseño de las conducciones hidráulicas, diseño termo – fluido de aparatos térmicos, diseño de redes de distribución hidráulica, en la determinación de la potencia hidráulica en las maquinas hidráulicas generadoras y motoras y determinación del punto de funcionamiento. En el análisis global del comportamiento de los fluidos se recurre a la idea de VOLUMEN DE CONTROL, así como en la Termodinámica se utiliza la idea de SISTEMA y en la Mecánica es común recurrir al concepto de CUERPO LIBRE. Las LEYES BÁSICAS 32 que gobierna la dinámica de los fluidos, se basan en la ECUACIÓN DE TRANSPORTE DE REYNOLDS o ECUACIÓN DE VOLUMEN DE CONTROL (conexión entre el Método del Sistema y el Método del Volumen de Control) que establece: “La variación total de una propiedad extensiva “N” del sistema en el tiempo es igual a la variación de la propiedad extensiva “N” en el interior del volumen de control más el flujo neto de la propiedad extensiva “N” a través de la superficie de control” ( ) ∭ ∮ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ I.- Las Leyes Básicas que describen el flujo en movimiento son: 1.-PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA MASA.- El principio de continuidad está basado en la conservación de la masa al flujo de fluidos: “Para conservar la masa, la razón de cambio con respecto al tiempo de la masa en el volumen de control más la razón de flujo neto de masa a través de la superficie de control debe ser igual a cero”. 32 Todas se refieren a derivadas temporales de propiedades fluidas. 197 ∭ ∮ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA (Primera ley de la Termodinámica): “ La rapidez de transferencia de calor a un sistema menos la rapidez con que el sistema efectúa trabajo es igual a la rapidez con que está cambiando la energía del sistema” ̇ ̇ ∫ Donde la energía específica “e” incluye la energía cinética, la energía potencial y la energía interna por unidad de masa. 3.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (Segunda Ley del movimiento de Newton). “La fuerza resultante 33 que actúa sobre un sistema es igual a la rapidez con que está cambiando el momentum del sistema” ( ) ∫ 4.- ECUACIÓN DE MOMENTO DE MOMENTUM.- Es el resultado de la Segunda Ley de Newton: “El momento resultante que actúa sobre un sistema es igual a la rapidez del momentum angular del sistema”. ∫ ⃗ Donde: El vector “r” sitúa el elemento de volumen “ ¬ d ” y se mide desde el origen de los ejes de coordenadas, el punto relativo al cuál se mide el momento resultante. II.- Las Leyes Secundarias, son: 1.- PRINCIPIO DE ENTROPÍA (Segunda Ley de la Termodinámica): Nos permite determinar el grado en que puede realizarse una conversión de energía y si la conversión de energía es posible. 2.-ECUACIÓN DE ESTADO DE LOS GASES PERFECTOS. Aplicable solo a los fluidos que se aproximan al gas perfecto 33 Es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre el volumen de control material considerado como cuerpo libre. 198 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 01.- La aguja hipodérmica de la figura contiene suero (S=1.05). Si se tiene que inyectar este suero en forma estable a razón de 6 ¿A qué velocidad (in/s) debe avanzar el embolo? a) Si se desprecian las perdidas en la aguja b) Si hay una pérdida del 10% del flujo volumétrico que sale por la aguja. (Frank White 3.23) Solución.- a) Conservación de la masa: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para fluido incompresible: ∑ ̇ ∑ ̇ ̇ ̇ b) ( ̇ ̇ ) ( ̇ ) ( ) 199 PROBLEMA 02.- Derívese una ecuación en función de Ho, Hf, d, D y el tiempo “t” de vaciado de un líquido a través de un orificio. Solución.- ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ̇ √ √ ∫ √ ( ) ∫ √ √ ( √ ) ( ) a) Determinar Hf, para un tiempo de vaciado “t”. [√ ( √ ) ( ) ] b) ¿Qué tiempo “t” demora en descargar el fluido? [√ ( √ ) ( ) ] 200 PROBLEMA 03.- Un depósito esférico de volumen “V” contienen gas, que inicialmente se encuentra a condiciones absolutas de Po y To. Si hay una fuga por las paredes, establecida por la ecuación: ̇ √ Derívese una expresión para evaluar el tiempo “t” cuando la presión disminuye a “P”. Donde “A 0 ” es el área del orificio de fuga del gas en el depósito esférico. Solución.- ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ √ Considerando un gas ideal: √ ∫ √ ∫ ( ) √ √ ( ) PROBLEMA 04.- Una bañera se llena con agua del grifo. El flujo volumétrico del grifo es estable e igual a 9 gpm. El área de la base de la bañera es de . Calcular la razón de cambio con respecto al tiempo de la profundidad del agua en la bañera (in/min) en cualquier instante. 201 Solución.- ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ̇ ( ) PROBLEMA 05.- El motor cohete de la figura opera en régimen estacionario, los productos de la combustión salen por la tobera, comportándose aproximadamente como un gas perfecto ( ̅ ). Para las condiciones establecidas. Calcular la velocidad V GAS (ft/s). (Frank White 3.34) Solución.- ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∑̇ ∑̇ ̇ ̇ ̇ () Calculo de la densidad del gas ( ) 202 ̅ ̅ ( ) Remplazando en la ecuación (1): ( ) PROBLEMA 06.- Un tanque cilíndrico se llena con velocidad constante, con las válvulas de alimentación “A” y “B” y se vacía con las descargas “C” y “D”. La válvula “A” puede llenar el tanque en 4 h y la válvula “B” puede hacerlo en 5 h. La válvula “C” puede vaciarlo en 3 h y la “D” en 6 h. Suponiendo que para un tiempo t = 0, el tanque está lleno hasta la mitad ( ). Si se abren todas las válvulas en forma simultánea. Determinar el tiempo (h) que demora en alcanzar la octava parte de la altura del tanque. Considerar la altura del tanque como “H”. Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ () Para el llenado total: Válvula “A”: 4h ̇ Válvula “B”: 5h ̇ Vaciado total: 203 Válvula “C”: 3h ̇ Válvula “D”: 6h ̇ Remplazando valores en la ecuación (1) ∫ ∫ PROBLEMA 07.- Se hace circular aire entre dos placas lisas paralelas. El flujo es uniforme en la entrada, con: P1 = 3.5 bar (abs); T1 = 27°C; V1 = 1.2 m/s. Suponiendo que el flujo es isotérmico y que la presión de descarga es 1.75 bar (abs). Calcular la velocidad máxima (m/s) si esta se da en la línea central entre las dos placas. (Arthur G. Hansen 4.13). Si [ ( ) ] Solución: El principio de conservación de la masa en su forma general, es: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo permanente: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∑̇ ∑̇ ∫ ∫ 204 ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) [ ] ( ) ( ) () Por condición de flujo isotérmico: () Remplazar la ecuación (2) en (1): ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 08.- Un ventilador mueve 0.1 kg/min de flujo másico de aire ( ). Corriente arriba del ventilador el diámetro del ducto mide 60 mm, el flujo es laminar y el coeficiente de corrección de la energía cinética es Corriente abajo del ventilador el diámetro del ducto mide 30 mm, el flujo es turbulento, con un perfil de velocidad uniforme y coeficiente de corrección de la energía cinética es . Si el aumento de presión estática a través del ventilador es 0.1 KPa y la potencia de accionamiento del ventilador es igual a 0.18 W. Determinar: a) La energía que se pierde en el ventilador (W) b) La presión útil del ventilador (Pa) c) La eficiencia del ventilador (%). Suponer sus cálculos con distribución de velocidad uniforme en los ductos de entrada y salida. Solución: ( ) ( ) () Cálculo de la velocidad (V) media del aire en las secciones de entrada y salida: 205 ̇ Remplazando valores en la ecuación (1) ( ) () ̇ Energía que se pierde (E) ̇ () Eficiencia del ventilador (n V ) ̇ () PROBLEMA 09.- Un compresor alimenta aire a un tanque de . El flujo másico de entrada está dado por la ecuación: ̇ . Donde es la densidad del gas en el tanque y es la densidad inicial del gas. Estime el tiempo “t” (s) que tomara en aumentar la densidad del gas en el tanque tres veces. Considerar la densidad inicial de . Suponga que la densidad del gas es uniforme en todo el tanque (Roberson Crowe 4,82) Solución: Aplicamos conservación de la masa para flujo no permanente y compresible. ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ 206 ∫ ∫ Para la condición: ; PROBLEMA 10.- Para el Volumen de Control que se muestra. Determinar: b, ( ) ∯ ̅ ̅̅̅̅ y ∭ respecto a la aplicación de la ecuación de volumen de control ó de Transporte de Reynolds al Principio de continuidad. Considerar ̇ y ̇ ; Sac = 0.9; Smez = 0.95. Solución: Por el Principio de Conservación de la Masa: b = 1 y ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Cálculo de ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ( ̇ ̇ ) ̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ( ) ∯ ̅ ̅̅̅̅ ( ) ( ) ∭ 207 PROBLEMA 11.- Un fluido de densidad fluye estacionariamente a través del volumen de control que se muestra en la figura. Si , , , ( ) y ( ) Determinar ( ). Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̅ PROBLEMA 12.- El depósito abierto que se muestra en la figura contiene agua a y se está llenando a través de la sección (1). Suponiendo flujo incompresible, a) Obtenga una expresión analítica para evaluar el cambio de nivel de agua ( ) en función de los flujos volumétricos ̇ ̇ ̇ y el diámetro del depósito “D”. Hecho esto, si el nivel del agua “h” es constante b) Determine la velocidad de salida , dados , , ̇ , y . (Frank White 3.14). 208 Solución: a) Conservación de la masa para flujo incompresible ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∭ ∑ ̇ ∑ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ̇ ̇ ) b) Si “h” es constante, el flujo es permanente, luego: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) PROBLEMA 13.- A través del dispositivo que se muestra en la figura fluye agua a . Los efectos del calor, gravedad y temperatura son despreciables. Determinar la rapidez del trabajo (W) que entra o sale del sistema. (Frank White 3.126). 209 Solución: Por conservación de la masa para estado permanente – incompresible: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ = Calculo de los flujos másicos: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Cálculo de la velocidad media: ̇ Conservación de la energía: ∭ ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 14.- Una bomba de bomberos saca agua de mar (S = 1.025) mediante un tubo sumergido y la descarga a través de una tobera, según se muestra en la figura. Considerando la 210 pérdida de carga como 6.5 ft y eficiencia de la bomba de 75% ¿Qué potencia (HP) se requiere para su funcionamiento? (Frank White 3.137). Solución: Aplicamos conservación de la energía para flujo real ( ) ̇ ( ) ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 15.- La bomba de la figura mueve kerosene (S = 0.8) a razón de 2.3 cfs. La pérdida de carga entre las tomas de succión y descarga es de 8 ft. Si la bomba proporciona al flujo 8 HP de potencia. ¿Cuál es la lectura “h” (ft) en el manómetro diferencial? (Frank White 3.146). 211 Solución: Aplicamos conservación de la energía para flujo real ( ) () Aplicamos manometría entre (1) y (2): ( ) () Remplazamos la ecuación (2) en (1) ( ) () Cálculo de la altura útil ( ): ̇ Cálculo de la velocidad media ( ) ( ) Remplazamos valores en la ecuación (3) ( ) 212 PROBLEMA 16.- ¿Cuál es la máxima potencia (MW) proporcionada a la turbina en la Central Hidroeléctrica? (Munson Young 5.107). Solución: ( ) ̇ PROBLEMA 17.- A una turbina hidráulica se suministra de agua a 415 KPa. La lectura de un medidor de vacío en la descarga de la turbina a 3 m por debajo de la línea central de entrada de la turbina es de 250 mmHg al vacío. Si la potencia de salida al eje de la turbina es de 110 KW. Calcular la pérdida de potencia (KW) a través de la turbina. Los diámetros interiores de los tubos de abastecimiento y de descarga son idénticos de 800 mm. (Munson Young 5.110). Solución: Convertir la presión de mmHg a KPa: ( ) ̇ 213 PROBLEMA 18.- En la conducción hidráulica que se muestra, se bombea agua desde el tanque. La pérdida de carga por fricción en el sistema está dado por , donde “v” es la velocidad media del agua en la tubería de 70 mm de diámetro. La curva de capacidad de carga de la bomba, proporcionada por el fabricante está dada por la ecuación: ̇ , donde la carga “H” está en (m) y la capacidad “V” en ( ). Determine el caudal en ( ) a través de la bomba. Solución: ( ) ̇ ̇ Para el punto de operación, se cumple que: ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 19.- El flujo de agua a llena el depósito cilíndrico que se muestra en la figura. En el instante t = 0, la profundidad del agua en el deposito es de 300 mm. Estime el tiempo (s) necesario para llenar el depósito. (Frank White 3.12) 214 Solución: Considerando el flujo de agua que sube al depósito ( ̇ ) ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ () [ ] ̇ Conservación de la masa en el depósito: ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ∫ ∫ 215 PROBLEMA 20.- Una bomba mecánica se utiliza para inyectar presión a la llanta de una bicicleta. La entrada a la bomba es de 1 cfm. La densidad del aire que entra a la bomba es de 0.075 . El volumen inflado de una llanta de bicicleta es de . La densidad del aire de la llanta inflada es de 0.4 . ¿Cuántos segundos se necesitan para presurizar la llanta, si inicialmente no hay aire en ella? (Robertson Crowe 4.58) Solución: Conservación de la masa para estado no permanente y compresible. ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ∫ ̇ ∫ ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 21.- Un embolo está subiendo durante la carrera de escape de un motor de 4 tiempos. Escapa masa de gas por las válvulas de escape, con una rapidez dada por: ̇ √ Donde: Pc y Tc son la Presión y Temperatura del cilindro, Ao es el área de abertura de la válvula de escape y R es la constante de los gases de escape. El diámetro interior del cilindro es de 100 mm y el embolo se mueve hacia arriba a razón de 30 m/s. La distancia entre embolo y la cabeza es de 100 mm. El área de abertura de la válvula es , la presión de la cámara 300 KPa (abs), la temperatura de la cámara es 600 °C y la constante de los gases es Aplicando la ecuación de continuidad, determine la rapidez con que la densidad del gas está cambiando en el cilindro. Suponga que la densidad y presión son uniformes en el cilindro y el gas es ideal. (Robertson Crowe 4.98). Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ 216 ̇ ̇ √ () El volumen del gas que se va expulsar es: Calculo de: Remplazando valores en la ecuación (1) () √ PROBLEMA 22.- En el esquema adjunto, se muestra la velocidad de flujo y la elevación de la superficie del agua en t = 0. Al final de 20 s ¿Estará subiendo o bajando la superficie del agua y a qué velocidad? Roberson Crowe 4.78) 217 Solución: La ecuación de conservación de la masa, establece que: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) () ( ) () Tanque , para t = 20 s. H = 10 ft Tanque , para t = 20 s. H = 2.5 ft PROBLEMA 23.- Un fluido incompresible pasa sobre una placa plana impermeable como se muestra en la figura, entrando con un perfil de velocidad uniforme y saliendo con un perfil polinómico ( ). Dónde: . Calcular el caudal que atraviesa la superficie superior del volumen de control. Considerar una placa impermeable de anchura “b”. (Frank White 3.16).- Solución: El principio de conservación de la masa en su expresión general, establece: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ 218 Considerando flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ ∫ ( ) ∫ ̇ ∫ ( ( ) ) ∫ ̇ ∫ ( ( ) ) ∫ ̇ PROBLEMA 24.- En el fondo de un depósito rectangular de aceite se acumula agua, como se muestra en la figura. ¿Cuánto tiempo tardara en salir el agua del depósito a través de un orificio de 0.02 m de diámetro ubicado en el fondo del depósito? Suponer flujo cuasi estático. (Munson Young 3.74). Solución: Aplicamos Bernoulli entre la superficie del agua (2) y la salida del agua (3) ( ) ( ) Por conservación de la masa para flujo incompresible: 219 ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) () ∫ ( ) ∫ PROBLEMA 25.- La bomba a chorro opera induciendo un flujo causado por la alta velocidad en el interior del tubo de 50 mm de diámetro como se muestra en la figura. La velocidad en el tubo pequeño es: () [ ( ) ]. Determinar la velocidad media (m/s) en la salida de la tubería de 20 cm de diámetro. (Potter 4.45). Solución: Conservación de la masa para flujo permanente e incompresible: ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ 220 ( ) () ∫ ( ) Remplazando valores en la ecuación (1): ( ) PROBLEMA 26.- Un lago que no tiene salida recibe agua de un rio a un flujo constante de 900 cfs. El agua se evapora de la superficie a un ritmo constante de 12 cfs por milla cuadrada de área de la superficie. El área varía con la profundidad h (ft) a razón: ( ) (). Determinar: a) La profundidad (ft) del agua en equilibrio en el lago b) Bajo que descarga (cfs) del rio se secara el lago. Solución: El principio de conservación de la masa, establece que: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ a) Para flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ( ) b) El lago se secara cuando h=0, por lo que: ̇ ̇ ̇ ( ()) PROBLEMA 27.- Una tubería alimenta fluido a un embudo como se muestra en la figura. La descarga de la tubería es de 0.03 cfs. La velocidad de salida varia con la altura del líquido del 221 embudo, según: √ . Donde “g” es la aceleración debida a la gravedad. El área de sección transversal del tanque varía según: () , donde “h” esta expresado en pies. El diámetro de salida de la tubería es de 1 in. Encuentre el nivel del fluido en el embudo para la cual se alcancen condiciones de flujo permanente. (Robertson Crowe 4.87). Solución: La condición del problema establece un flujo permanente ó estacionario. ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ √ ̇ ( ) PROBLEMA 28.- Un tanque cilíndrico vertical de sección transversal “A” contiene agua a 20C, el cual está sometido a una presión “P”, la profundidad inicial “ho” del agua en el tanque es de 2 m. si se hace un orificio en el fondo del tanque de sección transversal “a”, la velocidad aproximada de salida del agua está dada por: √ . Dónde: “P” es la presión, densidad del agua y “h” es la elevación de la superficie del agua sobre sobre la salida. Considerando: , y P = 15 KPa. Determinar el porcentaje del tiempo que se ahorra para vaciar totalmente el agua del tanque, cuando el agua está sometida a presión y no lo está. (Roberson Crowe 4,88) 222 Solución: El principio de conservación de la masa, establece que: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅  Tanque de agua sin presión: Para flujo incompresible: () √ √ ( ) ∫ ∫ √ ( ) √ √ Si se vierte totalmente h f = 0 √ √ ( ) √ ( )  Tanque de agua con presión: De la ecuación (1) √ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ Vaciado completo: h f = 0 ( ) [( ) ( ) ] 223 ( ) ( )[( ) ( ) ] Por lo que el tiempo se reduce en 54.63% PROBLEMA 29.- Agua a 20C fluye del tanque “A” al tanque “B”. Ambos tanques están conectados por un orificio de 60 mm de diámetro, hecho en la parte lateral de ambos. Las áreas (vistas de planta) son: y . Los gastos volumétricos de ingreso de agua al tanque “A” son: 6 L/s y 12 L/s y de salida del tanque “B” son: 4 L/s y 8 L/s. considerando que la superficie libre del agua en el tanque “B” baja con una velocidad de 0.5 mm/s. Determinar la rapidez de cambio (mm/s) de la superficie libre del agua en el tanque “A”. Solución: Análisis en el tanque “B”: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) Análisis en el tanque “A” ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ 224 ( ) ( ) PROBLEMA 30.- Conforme fluye aire como se muestra en la figura, sobre una placa plana su velocidad se reduce a cero en la pared. Si () ( ) . Calcule el flujo másico (̇ ) a través de una superficie de una superficie llana paralela a la placa y a 0.02 m sobre ella. La placa es de 2 m de ancho y . (Potter 4.34). Solución: Aplicar conservación dela masa sobre la placa en estudio. ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Considerando flujo permanente: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ∫ ( ) ̇ ∫ ( ) ̇ ̇ PROBLEMA 31.- En la figura que se muestra, si la masa del volumen de control no cambia. Determinar ( ) (Potter Merle 4.37) 225 Solución: Condición del problema es flujo permanente. ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ …….. (1) Análisis en la sección (1): ∫ () ∫ ( ) ( ) ( ) Remplazando valores en la ecuación (1): PROBLEMA 32.-Una fina capa de agua a 10°C en régimen estacionario se desplaza por una capa impermeable de 2m de ancho. Aguas arriba se tiene flujo uniforme con una profundidad de 0.75 ft; 10 m aguas abajo la distribución de velocidad está dado por la ecuación: () ( ); donde “y” está dado en (ft) y ()en (ft/s). Considerando una profundidad en esta sección de 1 ft. Determinar la velocidad (ft/s) agua arriba. Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 226 PROBLEMA 33.- Hacia un compresor se inyecta aire a condiciones atmosféricas normales a un régimen estable de .La razón de presión del compresor es de 10 a 1. A través del compresor se cumple , con n = 1.4. Si la velocidad media en el tubo de descarga del compresor no debe exceder de . Calcular el mínimo diámetro necesario del tubo de descarga. (Munson Young 5.13).- Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ √ ̇ () Por condición del problema: ( ) () Remplazando la ecuación (2) en (1): √ ( ) PROBLEMA 34.- Una fuga lenta se presenta en un neumático (suponga volumen constante) donde se necesitan 3 horas para que la presión baje de 30 Psig a 25 Psig. El volumen de aire del neumático es de y la temperatura permanece constante a 60 °F. El flujo másico del aire está dado por: ̇ √ . Considerando la presión atmosférica . Determinar el área ( ) del agujero. Considerar (Robertson Crowe 4.83). 227 Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ √ ( ) ( ) ∫ √ ∫ ( ) √ √ ( ) √ ( ) PROBLEMA 35.- La velocidad del agua que entra al volumen mostrado en la figura es () ( ). Suponiendo h(0) = 0. Calcule h (t) si el volumen es un cono. (Potter 4.51). Solución: El volumen para un tronco de cono, es: ( ) 228 ( ) ( ) ()( ) [ ] ( ) Conservación e la masa para flujo incompresible. ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ∫ ∫ (√) ∫ ( ) ( ) () ( ) PROBLEMA 36.- En algunos túneles de viento la sección de ensayos esta perforada para succionar el fluido y reducir el espesor de la capa limite viscosa. La pared de la sección de ensayos contiene 1200 orificios de 5 mm de diámetro por metro cuadrado de pared. La velocidad de succión por cada orificio es de 8 m/s y la velocidad entrada a la sección de ensayos es de 35 m/s. suponiendo un flujo de aire estacionario e incompresible a 20°C. Determinar la velocidad (m/s): a) De ingreso de aire por la sección de 2.5 m de diámetro b) De salida a la sección de ensayo c) De salida del aire por la sección de 2.2 m de diámetro. Frank White 3.33). 229 Considere los siguientes datos: () Solución: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ Análisis entre las secciones (0 – 1) ( ) = ( ) Análisis en la sección de ensayo: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ () ̇ ( ) ̇ ̇ Análisis entre las secciones (2 – 3): 230 PROBLEMA 37.- Determine el tamaño de tubería de acero ( ) cedula 80 que se necesita para conducir agua a 160 °F ( ) , ( ) con una caída de presión máxima de 10 Psi por cada 1000 ft de longitud, cuando el flujo volumétrico es de 0.5 cfs. (Robert Mott 11.17). Solución: Considerando una tubería horizontal de sección transversal constante: ̇ () Asumir y remplazar dicho valor en la ecuación (1), Comprobar el valor de asumido: ̇ Con dichos valores, en el Diagrama de Moody: f = 0.0175 Acero Cedula 80: 4”: di = 0.3185 ft 5”: di = 0.4011 ft Nuestros cálculos dan d: 0.3418 ft: Se selecciona en exceso: 5” PROBLEMA 38.- El arreglo mostrado en la figura se utiliza para medir la perdida de energía en una válvula. La velocidad del flujo de agua a 40 °F es de 0.10 cfs. Determinar el índice o coeficiente “K” de perdida secundaria de la válvula. Si (Robert Mott 7.6). 231 Solución: () Por manometría: () () Igualamos las ecuaciones (1) y (2): () Dimensiones de tuberías de acero: Cedula 40: ̇ ( )( ) PROBLEMA 39.- Un tambor cilíndrico que contiene agua, guarda la disposición que se muestra en la figura. Se está vaciando por un tubo corto de 2 in de diámetro situado en el fondo del tambor. La velocidad del agua que sale del fondo del tubo es √, donde “g” es la aceleración debida a la gravedad y “h” es la altura de la superficie del agua arriba de la salida del tanque. El tanque mide 4 ft de largo y 2 ft de diámetro. Inicialmente el tanque está lleno hasta la mitad. Encuentre el tiempo (s) necesario para que el tanque se vacíe. (Roberson Crowe 4.84). 232 Solución √( )( ) √ Conservación de la masa: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo incompresible: ̇ √ √ () Remplazando en la ecuación (1): √ √ √( )( ) √ √ √( ) √ √ ( ) 233 ∫ √ ∫ ( ) √ ( ) [() ] PROBLEMA 40.- Como se muestra en la figura. Un conducto consiste en 7 tubos lisos de 20 mm de diámetro agrupados en una malla hexagonal, dentro de un tobo de 60 mm de diámetro. Estime la caída de presión (Pa) por unidad de longitud, si por el interior del conducto fluyen 150 mch de aire a 20 °C y 1.013 bar ( ) Solución: La ecuación de Darcy establece que la caída de presión, es: () Calculo de la velocidad del aire por cada tubo ̇ ( ) Calculo de la densidad del aire: Calculo del coeficiente de fricción: ( ) Los tubos son lisos, por lo que el coeficiente de fricción () 234 Por lo que f = 0.0245. Remplazar valores en la ecuación (1) PROBLEMA 41.- En la figura se muestra un intercambiador de calor de coraza y tubos de 15 m de largo de hierro galvanizado ( ). Los tubos son de 50 mm de diámetro. Por el lado de la coraza circula agua con una temperatura promedio de 20°C ( ) a razón de . Determinar la caída de presión (KPa) por el lado de la corza (mm). Solución: La ecuación de Darcy establece que la caída de presión, es: () Cálculo de la velocidad media (V) () ̇ Cálculo del diámetro hidráulico ( ) 235 Cálculo del coeficiente de fricción “f” Diagrama de Moody: f = 0.023. Remplazando valores en la ecuación (1) PROBLEMA 42.-En el esquema adjunto se muestra una tubería horizontal en la que circula un fluido en régimen laminar. Si la tubería es lisa. Determinar la caída de presión, según la ecuación funcional siguiente: ( ̇ ) Solución: La ecuación de Darcy establece que la caída de presión, es: Para régimen laminar, el coeficiente de fricción, es. 236 ̇ ̇ PROBLEMA 43.- Por gravedad, de un lago a otro fluye agua a razón estable de 900 gpm, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la perdida de energía disponible asociada en este flujo? Si esta misma cantidad de pérdida se asocia con el bombeo del fluido del lago inferior al lago superior al mismo caudal. Calcular la cantidad de potencia de bombeo requerida. (Munson Young 5.118) Solución: Conservación de la energía entre (1) y (2). ( ) Aplicamos la ecuación de la energía entre (2) y (1) y utilizamos una bomba ( ) ̇ ( ) PROBLEMA 44.- Se utiliza una bomba para transferir aceite SAE – 30 del tanque “A” al tanque “B”, como se muestra. Los tanques tienen un diámetro de 10 m. la profundidad inicial en el 237 tanque “A” es 20 m y en el tanque “B” la profundidad del aceite es 1 m. la bomba entrega una carga constante de 60 m. la tubería de conexión tiene un diámetro de 200 mm y la pérdida de carga debida a la fricción en la tubería es . Encuentre el tiempo (h) necesario para transferir el petróleo del tanque “A” al “B”, es decir, el tiempo necesario para llenar el tanque “B” a 20 m de profundidad. (Robertson Crowe 7.45). Solución: ( ) ( ) [ ( ) ] () Análisis en el tanque “B”: ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para fluido incompresible: ( ) () Remplazar la ecuación (1) en (2) [ ( ) ] [ ] 238 ∫ ( ) ∫ PROBLEMA 45.- Por los conductos “I” y “II” circula el mismo fluido, a la misma temperatura. Si ambos conductos son del mismo material y transportan el mismo caudal. Demuestre en cuál de ellos se genera mayor coeficiente de fricción. Solución: Condición del problema: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Por lo que: PROBLEMA 46.- El esfuerzo cortante en la pared de una porción de flujo totalmente desarrollado de una tubería de 12 in que transporta agua es de 1.85 . Determine el gradiente de presión ( ), donde “x” está en la dirección del flujo, si la tubería es a) Horizontal, b) Vertical con el flujo hacia arriba y c) Vertical con el flujo hacia abajo. (Munson Young 8.10). 239 Solución: Para el análisis del problema se trazará el diagrama de fuerzas correspondiente: Fuerzas Superficiales y Fuerzas Volumétricas. ( ) ( ) a) Tubería horizontal (Ɵ = 0) ( ) b) Tubería vertical, hacia arriba (Ɵ=90) ( ) ( ) c) Tubería vertical, hacia abajo ( ) 240 PROBLEMA 47.- La caída de presión necesaria para forzar el agua a través de una tubería horizontal de 1 in de diámetro es 0.60 Psig para cada 12 ft de longitud de tubería. Determinar el esfuerzo cortante ( ) a distancia de 0.3”, 0.5” y en la pared de la tubería. Solución: De la ecuación general, del problema anterior: ( ) Consideramos el flujo de agua de izquierda a derecha en la tubería horizontal (Ɵ=0) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) PROBLEMA 48.- El aceite (S=0.86) se enfría al bombearlo por un canal espiral arrollado sobre una tubería de 70 mm de diámetro (20 espiras). La sección del canal es una semicircunferencia de 10 mm de diámetro. Determinar el gasto de aceite, si la diferencia de presiones en el canal es 2 bar. Considerar el coeficiente de rozamiento f = 0.03. Despreciar las perdidas locales. Solución: () Cálculo del diámetro hidráulico ( ) ( ) 241 Cálculo de la longitud (L). Remplazar valores en la ecuación (1) ̇ () PROBLEMA 49.- En el sistema que se muestra en la figura, la tubería (1) tiene una longitud de 40 m y 80 mm de diámetro. La tubería (2) mide 20 m de largo y 80 mm de diámetro. Se instala una bomba centrifuga en el ramal (1) cuya curva característica de Carga Vs Caudal está dado por la ecuación: ̇ ; donde la carga está dada en (m) y la capacidad en ( ). Considerar agua a 20°C, igual coeficiente de fricción en las tuberías e igual a 0.025. Despreciando la variación de energía potencial y las perdidas secundarias. Determinar a) El caudal ( ) de bombeo b) La Potencia hidráulica (KW) Solución: El análisis del problema se hará en cada uno de los ramales. Ramal (1): () Ramal (2): () Remplazar la ecuación (2) en (1) 242 ̇ ̇ [ ̇ ̇ ] ̇ [ ̇ ̇ ] Pero: Por lo que: ̇ ̇ ̇ [ ̇ ̇ ] ̇ () PROBLEMA 50.- Agua contenido en un cilindro de 900 mm de diámetro, es descargado a través de una tubería de 3.6 m de largo y 50 mm de diámetro. ¿En qué tiempo la carga sobre la salida del cilindro pasa de 2.4m a 1.2m? Considerar f = 0.04 y la pérdida de carga a la entrada de la tubería igual a . 243 Solución: Aplicar conservación de la energía entre (1) y (2) ( ) ( ) [ ] [ ] Aplicamos conservación de la masa ( ) ∭ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para fluido incompresible: ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ [√ √] PROBLEMA 51.- En la conducción hidráulica que se muestra. Determinar los caudales ̇ ̇ ̇ ( ). Si los tubos son ásperos ( ), ; ; y . Utilice la ecuación de NIkuradse: √ 244 Solución: ( ) () √ Remplazando valores en la ecuación (1) ( ) () Pero: ̇ ( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ̇ ̇ () 245 Se sabe que: ̇ ̇ ̇ Y ̇ ̇ ̇ Resolviendo la ecuación (3): ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 52.-Por una tubería ( ) con una pendiente 1/10 fluye un fluido ( ). Considerando 100 mm de diámetro de la tubería. Calcular: a) El esfuerzo cortante máximo (KPa) b) El caudal que circula ( ) Solución: a) Cálculo del esfuerzo cortante ( ) ( ) () ( ) () Igualamos las ecuaciones (1) y (2) () Cálculo de la pérdida de energía Remplazar valores en la ecuación (3) 246 b) Cálculo del caudal () La solución es por método iterativo:  Asumimos ; reemplazamos este valor en la ecuación (4) para determinar  Comprobar el valor asumido En el diagrama de Moody: , lo que confirma el valor supuesto. ̇ PROBLEMA 53.- Circula agua a 10°C ( )a razón de del depósito al manómetro. Considerando la pérdida de carga en la succión de , donde V es la velocidad del agua en la tubería de 30 cm de diámetro. Considerando tubería lisa en la descarga de 20 m y una eficiencia de la bomba de 85%. Determinar la potencia de accionamiento de la bomba (KW). 247 Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ()  Calculo de la velocidad “V”, en:  Cálculo del coeficiente de fricción “f” en la descarga Remplazar valores en la ecuación (1) ( ) ̇ ̇ PROBLEMA 54.- En el esquema adjunto derívese una expresión para determinar la energía que se comunica al fluido: ( ̇ ) 248 Solución: () Aplicamos manometría entre (1) y (2) ( ) () Igualando las ecuaciones (1) y (2): ( ) ( ) ( ̇ ) ̇ ̇ ( ( ) ( ̇ )) PROBLEMA 55.- En una prueba de laboratorio fluyen 222 kg/min de agua a 20°C a través de un tubo de 50 mm de diámetro y 9 m de longitud. Un manómetro diferencial conectado a los extremos del tubo, registra una deflexión de 480 mm. Considerando un fluido manométrico con densidad relativa de 3,20. Determinar el coeficiente de fricción. Solución: Considerando un tubo horizontal, sin cambio de sección entre las tomas: ̇ () Manometría entre las tomas (1) y (2): 249 ( ) () Remplazamos (2) en (1): ( ) ̇ ()( )() () ( ) PROBLEMA 56.- En el esquema, suponga que la pérdida de carga en los tubos esta dado por , donde “V” es la velocidad media del fluido en el tubo, “d” diámetro del tubo. Las elevaciones de la superficie del agua de los depósitos superior e inferior son 100 m y 70 m respectivamente. Las dimensiones respectivas para los tubos corriente arriba y corriente abajo son 300 mm; 200 m y 150 mm; 100 m. Determine la descarga ( ) del agua en el sistema. (Robertson Crowe 7.67). Solución: [ ] [ ] () 250 ( ) ( ) ̇ PROBLEMA 57.- Un conducto de 90 ft de longitud con láminas de acero ( ) transporta aire a 1 bar y 20°C. La sección del conducto es un triangulo equilátero de 9 in de lado. Si un ventilador proporciona una potencia de 1 HP al fluido. Determinar el caudal (cfs). (Frank White 6.90). Solución: - Cálculo del diámetro hidráulico √ √ √ - Cálculo de la caída de presión en el ducto Propiedades del aire a 20°C y 1 bar ( ) () ̇ ̇ ( ) ̇ 251 ̇ () ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ () La solución del problema se hace por método iterativo, es decir asumiendo un valor de y luego comprobar dicho valor en un margen de error del ̇ Diagrama de Moody: f = 0.017, lo que indica que la suposición está bien hecha ̇ PROBLEMA 58.- Dos tuberías “A” y “B” se conectan en paralelo, ambos son del mismo diámetro de 1.5 in y de hierro galvanizado. Si la razón de longitudes es . Suponiendo el mismo coeficiente de fricción e igual a 0.023 y despreciando las perdidas localizadas. Determinar la razón de caudales ̇ ̇ . Solución: Como las tuberías están conectadas en paralelo, la caída de presión entre los nodos es la misma ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ √ √ 252 PROBLEMA 59.- Fluye aire a 60°F ( ) en un conducto horizontal con una sección transversal correspondiente a un triangulo equilátero de 6 in de lado. El conducto mide 100 ft de largo y está construido de hierro galvanizado ( ). La velocidad media del aire en el conducto es de 12 ft/s. Determinar la caída de presión (Psig) en el conducto. (Roberson Crowe 10.116). Solución: - Cálculo del diámetro hidráulico ( ) √ ( ) - Cálculo del coeficiente de fricción (f) En el diagrama de Moody: f = 0.03 - Cálculo de la caída de presión: PROBLEMA 60.- Al ensayar una turbina Pelton, para una posición del inyector y una altura manométrica constante, se obtiene los siguientes datos: , y ̇ . Donde: H: altura neta (m); h: carga en el vertedero triangular (m); To = Torque en la volante (Kgf.m); ̇ =Caudal ( ) y N: régimen de operación (RPM). Determinar: a) La máxima velocidad de rotación (RPM) b) La potencia hidráulica (KW) y la eficiencia de la turbina. Para una velocidad igual a ½ de la velocidad máxima sin carga y con h = 230 mm. Solución: 253 a) La velocidad es máxima, cuando el torque es cero: b) ̇ ̇ ̇ ̇ [ ] PROBLEMA 61.- La figura muestra un sistema ramificado donde la presión en el nodo “A” es 700 KPa y el nodo “B” es 550 KPa. Cada ramal mide 40 m de largo. Ignore las perdidas en las intersecciones, pero tome en cuenta todos los codos (Kcodo = 0.4). Si el sistema conduce aceite ( ). Determinar el flujo volumétrico total (L/s). (Robert Mott 12.1) Solución: De tabla de acero: 254 Análisis en el tramo 0-1 ∑ ( ) ( ) La solución es por método iterativo, asumir ; por lo que: Comprobar el valor de asumido En el Diagrama de Moody: f = 0.020 ̇ Análisis en el tramo 0-2 ( ) ( ) Asumir : 255 En el diagrama de Moody: f = 0.022, dicho valor confirma nuestra suposición. ̇ ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 62.- Se emplea una bomba para transferir 1200 L/min de agua desde un tanque abierto hacia otro que tiene aire a KPa sobre el agua como se ve en la figura. Determinar la potencia (KW) que la bomba transmite al agua. Suponga que el nivel de la superficie de cada tanque es el mismo y la pérdida de carga total igual a . (Robert Mott 7.8) Solución: Tubería de acero 3” – calibre 40: di = 77.9 mm ̇ ̇ 256 Si el tanque del lado izquierdo también estuviera sellado y hubiera una presión de aire sobre agua de 68 KPa. Determinar la potencia hidráulica (KW). ( ) PROBLEMA 63.- Un fluido viscoso de densidad igual a la del agua es bombeado desde un pozo hasta un depósito presurizado como se muestra en la figura. La bomba entrega 2 HP al fluido y se sabe que la pérdida de carga total está dada por 100V, donde “V” es la velocidad media del fluido en la tubería (ft/s) y la pérdida de carga esta en (ft). Determinar el caudal (cfs). Solución: ( ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Resolviendo: ̇ 257 PROBLEMA 64.- En un tubo de acero comercial de 20 mm de diámetro, fluye glicerina a 20°C ( ) a una velocidad de 0.6 m/s. Se utilizan dos piezómetros como se ilustra en la figura; para medir la carga piezometrica. La distancia a lo largo del tubo entre los tubos verticales es 1 m. La inclinación del tubo es 20°. ¿Cuál es la diferencia de altura () entre la glicerina en los dos tubos verticales? (Robertson Crowe 10.34). Solución: () Aplicando manometría entre (1) y (2) () Igualamos las ecuaciones (1) y (2) () Cálculo del coeficiente de fricción “f” 258 () Reemplazando valores en la ecuación (3): PROBLEMA 65.- Dos depósitos “A” y “B” contienen agua a 15C ( ) y están conectados por medio de tuberías de hierro galvanizado ( )como se muestra en la figura. Suponga que d1 = 75 mm, d2 = 50 mm y h = 10.5 m. Ambas tuberías miden 100 m. Despreciando las perdidas secundarias. Determine el caudal (L/s) en las tuberías (1) y (2). Solución: Análisis en la tubería (1) () Solución por método iterativo.  Suponer , se reemplaza dicho valor en la ecuación (1) y se obtiene 259  Comprobar el valor asumido. En el diagrama de Moody: f = 0.0248. El valor obtenido confirma nuestra suposición. ̇ Análisis en la tubería (2) () Asumir ; siguiendo el procedimiento seguido para la tubería (1), se tiene En el diagrama de Moody: f = 0.028: ̇ PROBLEMA 66.- Al ensayar un ventilador 34 centrifugo, se obtienen los siguientes datos: ̇ , Torque en el eje: 1.8 N.m, ΔP estática medida con un tubo en “U” (diferencial) de 167.5 mmcagua, N: 3442 RPM. Considerando los diámetros de succión y descarga iguales. Determinar: a) La presión total o útil del ventilador (KPa) b) La potencia en el eje (KW) c) La eficiencia del ventilador. Asumir 34 El análisis en la máquina hidráulica citada se puede considerar el fluido como incompresible. 260 Solución: a) ()  Por manometría entre (1) y (2) ( ) () Igualar las ecuaciones (1) y (2): ( ) ( ) b) ̇ c) Cálculo de la potencia hidráulica ̇ PROBLEMA 67.- Una bomba centrifuga presenta las curvas características de Carga – Capacidad: ̇ ̇ . La maquina hidráulica generadora opera en un sistema cuya curva es: ̇ . En ambas ecuaciones, ̇ esta en (L/s) y H (m). Se 261 solicita: a) El caudal y carga de operación, operando en serie 2 bombas iguales b) En forma análoga en (a) pero operando en paralelo. Solución: Se sabe que para el punto de operación: a) Bombas asociadas en serie: ̇ ̇ ̇ y ( ̇ ̇ ) ̇ Resolviendo: ̇ y b) Bombas asociadas en paralelo ( ̇ ) ( ̇ ) ̇ ̇ PROBLEMA 68.-Un líquido con densidad relativa 0.8 se bombea desde un tanque de almacenamiento hasta una descarga de chorro libre a través de una tubería con longitud “L” y diámetro “d”. La bomba proporciona una potencia “P” al fluido. Suponiendo un factor de fricción constante de 0,020. Para la condición siguiente: Z1= 25 m, P1=110 KPa, Z2= 15 m, L= 300 m, d= 200 mm, P= 8 KW. Determinar: a) La descarga ( ) b) La altura útil de la bomba (m). Considerar 262 Solución: ( ) ( ∑) ( ) ̇ [ ] ̇ [ ] ̇ () ̇ ̇ ̇ () Resolver las ecuaciones (1) y (2): ̇ ̇ ̇ PROBLEMA 69.- Si la descarga es de 200 250 cfs. ¿Qué salida de potencia (HP) se puede esperar de la turbina? Suponga que la eficiencia de la turbina es de 80% y que la pérdida total de carga es , donde “V” es la velocidad media del agua en el conducto forzado de 6 ft. (Robertson Crowe 7.39). 263 Solución: ( ) () ̇ Reemplazando en la ecuación (1): - Cálculo de la potencia hidráulica ̇ ̇ PROBLEMA 70.- A través de una bomba circula gasolina (S= 0.68) a razón de como se indica en la figura. La pérdida de carga entre las secciones (1) y (2) es igual a . Determinar la diferencia de presiones (KPa) entre las secciones corriente arriba y corriente abajo en la conducción, si la bomba suministra 20 KW al fluido. (Munson Young 5.10) Solución: 264 ( ) () - Cálculo de la altura útil de la bomba ̇ - Cálculo de la velocidad media (V) Remplazar valores en la ecuación (1) ( ) ( ) PROBLEMA 71.- Por un ducto horizontal rectangular de hierro galvanizado ( ) de 2 ft por 1.3 ft, circula aire a temperatura y presión a condiciones normales ( ) a razón de 8.2 cf. Determinar la caída de presión en pulgadas de agua por 200 ft de longitud de ducto. Solución: () Cálculo del diámetro hidráulico ( ) 265 Cálculo de la velocidad media (V) ̇ Cálculo del coeficiente de fricción (f) En el diagrama de Moody: f = 0.024 Reemplazando valores en la ecuación (1) PROBLEMA 72.- Dos tuberías están conectadas en paralelo. Una tiene el doble de diámetro que la otra y es tres veces más larga. Suponga que “f” en la tubería más grande es 0.010 y “f” en la tubería más pequeña es 0.014. Determine la razón entre las descargas de los dos tubos. (Robertson Crowe 10.110). Solución: Al estar las tuberías en paralelo: ̇ ̇ ̇ ̇ √ ( ) 266 ̇ ̇ √ () PROBLEMA 73.- En el sistema de tuberías en paralelo que se muestra en la figura, la tubería (1) tiene una longitud de 1000 m y 500 mm de diámetro. La tubería (2) mide 1500 m de largo y 400 mm de diámetro. Las tuberías son lisas. ¿Cuál es la división del flujo de agua a 10°C, si la descarga total debe ser de ? (Robertson Crowe 10.107). Solución: Análisis en la tubería (1): Asumir ̇ En el diagrama de Moody: - Cálculo de la pérdida de carga ( ) Análisis en la tubería (2): Por estar conectado en paralelo: () 267 Asumir Se observa que . Asumir ̇ Se observa que: ̇ Por lo que se hace un reparto proporcional: ̇ ̇ PROBLEMA 74.- Un flujo se divide en dos ramales, como se muestra en la figura. Una válvula de compuerta abierta a la mitad ( ) se encuentra instalada en la línea “A” y una válvula de globo abierto por completo ( ) está instalada en la línea “B”. La pérdida de carga debida a la fricción en cada ramal es insignificante en comparación con la perdida de carga en las válvulas. Encuentre la razón entre la velocidad en la línea “A” y la velocidad en la línea “B”. (Incluya pérdidas en codos para conexión roscada Kc: 0.9). (Robertson Crowe 10.106). Solución: ( ) ( ) 268 ( ) ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 75.- Del depósito “A” al depósito “B” circula agua. La temperatura del agua del sistema es 10°C, el diámetro “d” de la tubería es 1 m y la longitud “L” de la tubería es 300 m. Si H = 16 m, h = 2 m y la pérdida de carga de la tubería está dada por: Donde “V” es la velocidad media del agua en la tubería. ¿Cuál será la descarga ( ) en la tubería? En la solución debe incluirse la pérdida de carga en la salida de la tubería. ¿Cuál será la presión (KPa) en el punto “P” situado en un punto intermedio entre los dos depósitos? (Robertson Crowe 7.69). Solución: ( ) ( ) ( ) 269 ̇ ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 76.- Una bomba hidráulica presenta la descarga en las secciones (2), (3) y (4) y una entrada en la sección (1). Con las características que se detallan en el cuadro adjunto. Determinar la potencia hidráulica de la bomba (KW) 1 2 3 4 P (KPa) 100 500 200 300 V (m/s) 4 2 3 A ( ) 120 30 90 50 Solución: Conservación de la masa para flujo permanente – incompresible ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ 270 Cálculo de los gastos másicos en las secciones de entrada y salida ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Conservación de la energía ∭ ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ∯ ̅ ̅̅̅̅ Para flujo permanente – adiabático y no viscoso ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ ̇ ∯ ( ) ̅ ̅̅̅̅ Despreciando la variación de la energía cinética y potencial ̇ ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) ̇ PROBLEMA 77.- En el diseño de sistemas de bombeo, frecuentemente se instala una línea de derivación en paralelo con la bomba para que parte del fluido pueda recircular, como se muestra. Entonces la válvula de la derivación controla el caudal del sistema. Suponga que la curva característica de Carga – Capacidad de la bomba está dada por la ecuación: ̇ , donde la carga esta en metros y la capacidad ( ̇ ) esta en ( ). La línea de derivación tiene 10 cm de diámetro. Suponga que la única pérdida de carga es la debida a la válvula (Kv: 0.2). La descarga que sale del sistema es de . Encuentre la descarga por la bomba y la línea de derivación. (Robertson Crowe 10.114). 271 Solución: Análisis en la línea de la bomba ( ̇ ) () Análisis en la línea de derivación () Igualando las ecuaciones (1) y (2) ( ̇ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Resolviendo: ̇ ̇ 272 PROBLEMA 78.- Se va a diseñar un oleoducto para transportar petróleo crudo ( ) con una descarga de y una pérdida de carga por Km de 50 m. ¿Qué diámetro de tubería de acero y que potencia de salida de la bomba son necesarios para mantener este flujo? Los diámetros disponibles de tubos son 20, 22 y 24 cm. (Roberson Crowe 10.69). Solución: La ecuación de Darcy, establece que la pérdida de carga: ̇ √ () Asumir: y remplazar este valor en la ecuación (1), para evaluar el diámetro tentativo Comprobar el coeficiente de fricción asumido ̇ Según el diagrama de Moody: f = 0.021 PROBLEMA 79. Por la tubería de 24 in de longitud y 0.108 in de diámetro que se muestra en la figura circula aire ( ). Determine el factor de fricción si el caudal es 0.00191 cfs, cuando h = 1.70 in de agua. El flujo es laminar o turbulento. Comprar su resultado con . (Munson Young 8.40) 273 Solución: ( ) ( ) () Cálculo de la velocidad media (V) ( ) ( ) () Remplazar valores en la ecuación (1) ( ) ( ) PROBLEMA 80.- Determine las componentes de la fuerza (N) del agua a 15°C que actúa sobre el deflector que se muestra en la figura, si: a) El deflector esta estacionario b) El deflector se mueve hacia la derecha a razón de 20 m/s c) El deflector se mueve hacia la izquierda a razón de 20 m/s 274 Solución: Se aplica cantidad de movimiento en “X “ e “Y” Cantidad de movimiento en X ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) () Donde V 1 es la velocidad relativa: Cantidad de movimiento en Y ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ () a) ( ) b) Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2), se tiene: 275 c) ( ()) Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2), se tiene: PROBLEMA 81. Una paleta colocada sobre esta plataforma en movimiento desvía un chorro de agua de 10 cm como se aprecia en la figura siguiente. La velocidad inicial del agua del chorro es 20 m/s y la plataforma se mueve a una velocidad de 3 m/s. Si la paleta divide al chorro de modo que la mitad va una dirección y la otra mitad a otra. ¿Qué fuerza (N) es ejercida por el chorro sobre la paleta? (Robertson Crowe 6.73). Solución: Conservación de la masa: flujo permanente e incompresible: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ El chorro descarga a la atmosfera: P1 = P2 = P3 = Po Cantidad de movimiento en “X” ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) 276 ̇ ̇ ̇ Por condición: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) Cantidad de movimiento en “Y” ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Por condición: ̇ ̇ ̇ ( ) ( ̇ ) ( ) ( ) PROBLEMA 82. Una cuña divide una capa de agua a 20°C según se muestra en la figura. Tanto la cuña como la capa de agua son muy anchas. Si la fuerza requerida para mantener la cuña quieta es F = 124 N por metro de anchura. ¿Cuál es el ángulo de la cuña? (Frank White 3.39). 277 Solución: Conservación de la masa: Flujo Permanente. ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ ̇ ̇ Cantidad de movimiento en “X”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ̇ [ ( )] [ ( )] ( ) PROBLEMA 83.- En la conexión “Y” mostrada que se encuentra en un plano horizontal ¿Qué fuerzas (Lbf) ejercerán los pernos de la abrazadera para sostener la conexión en su lugar? Solución: Conservación de la masa: Flujo permanente e incompresible. ∯ ̅ ̅̅̅̅ (1) (2) (3) Área ( ) 1 1 0.3 P (Psf) 1000 900 0 ̇ () 20 11 9 278 ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Cálculo de la velocidad ̇ Cantidad de movimiento en “X” ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Cantidad de movimiento en “Y” ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̅ PROBLEMA 84.- El flujo en el conducto de sección variable de la figura, tiene D1 = 8 cm; D2 = 5 cm y P2 = 101 KPa. Todos los fluidos se encuentran a 20°C. Si V1 = 5 m/s y la lectura en el manómetro diferencial es ΔH: 588 mmHg. Estime la fuerza (N) que resisten las bridas. (Frank White 3.54). Solución: Para el agua a 20°C y 279 Por manometría ( ) ( ) Conservación de la masa: Flujo permanente e incompresible ̇ ̇ ( ) ( ) Cantidad de movimiento en “X” ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ( ) PROBLEMA 85.- El depósito de agua de la figura está colocado sobre un carro sin fricción y alimenta un chorro de 4 cm de diámetro con una velocidad de 8 m/s que se deflecta a 60° por medio de un alabe. Calcule la tensión (N) en el cable. (Frank White 3.58). Solución: Cantidad de movimiento en “X” ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) 280 PROBLEMA 86. El tubo que se muestra tiene un tubo horizontal de 180° como se aprecia en la figura y D es de 30 cm. La descarga de agua en el tubo y codo es de y la presión de ambos es de 100 KPa manométricas. Si el volumen del codo es de y el codo en si pesa 500 N, que fuerza en (KN) debe aplicarse en las bridas para mantenerla en su lugar. (Roberson Crowe 6.34). Solución: Conservación de la masa: Flujo permanente: ∯ ̅ ̅̅̅̅ ̇ ̇ Cantidad de movimiento en “X”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) Cantidad de movimiento en “Y”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̅ ( ) 281 PROBLEMA 87.- Para esta “T” horizontal para la cual está circulando agua ( ); se proporcionan los siguientes datos: ¿Para dichas condiciones que fuerza (KN) externa en el plano X-Y (por medio de tornillos u otros medios de soporte) es necesaria para mantener la “T” en su lugar? (Robertson Crowe 6.48). Solución: Conservación de la masa: Flujo permanente e incompresible. ∯ ̅ ̅̅̅̅ Cálculo de las velocidades Cantidad de movimiento en “X”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( ) ] Cantidad de movimiento en “Y”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ 282 ̇ ( ) [ ] PROBLEMA 88.- Un chorro vertical de aire de sección transversal circular choca contra un desviador cónico. Para mantener en su sitio el desviador se requiere una fuerza de sujeción vertical de 0.1 N. Determinar la masa (Kg) del desviador. La magnitud de la velocidad del aire permanece constante. Considerar (Munson Young 5.54). Solución: Conservación de la masa: Flujo permanente ̇ ̇ Cantidad de movimiento en “Y”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) PROBLEMA 89.- A través de un codo horizontal circula agua que descarga a la atmosfera. Cuando la presión manométrica es de 10 Psig. Determinar el caudal a través del codo y la fuerza de sujeción en “Y” ( ), necesaria para mantenerlo en su sitio. El flujo es sin fricción. (Munson Young 5.36). 283 Solución: Considerando la entrada (1) y la salida (2) Cantidad de movimiento en “X”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) ( ) Cantidad de movimiento en “Y”: ∑ ∯ ( ̅ ̅̅̅̅ ) ̇ ̇ 284 DISCUSIÓN La elaboración de un texto de cualquier materia, en particular de un texto que contenga APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA MECANICA DE FLUIDOS INCOMPRESIBLE, es un proyecto por demás ambicioso y difícil de realizar, donde no se podrá satisfacer a plenitud las aspiraciones y exigencias del lector por las múltiples aplicaciones que tienen los fluidos incompresibles en el sector industrial. No obstante el presente texto constituye un intento de llenar el vacío existente en la mayoría de obras de Mecánica de Fluidos y de esta manera complementar y ampliar los ya existentes, para contribuir en la formación de los alumnos y/o profesionales interesados en esta ciencia. Un buen conocimiento práctico de la Mecánica de Fluidos Incompresible se adquiere resolviendo una gran cantidad de problemas con aplicaciones práticas en la ingeniería. Al resolver problemas se pueden presentar dos tipos: Los problemas de análisis, a veces se le llama de “libro de texto” no son necesariamente fáciles; de hecho, podrían ser irresolubles a causa de limitaciones de tiempo, recursos, capacidad matemática ó computacional y los problemas de diseño que representan mejor los tipos de problemas que se tienen en la práctica de ingeniería, siendo un caso concreto como ejemplo, el dimensionamiento de una conducción hidráulica sometida a presión; donde se pretende dar solución : al gasto volumétrico que se transporta, a la pérdida de carga y a la determinación del diámetro, para su selección respectiva utilizando manuales prácticos. Estos tipos de problemas son por lo general multidisciplinarios y pueden tener más de una solución y que pueden ser satisfactorias. Se denominan problemas de solución abierta. 285 REFERENCIALES 1. FOX ROBERT – MC DONALD Alan. “Introducción a la Mecánica de Fluidos”, Ed. Mc Graw Hill. Cuarta edición. México. 1995. 2. GERHART PHILIP. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, Ed. Ibero Americana. Segunda edición. México. 1998 3. MATAIX CLAUDIO. “Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas”, Ed. Harla. Segunda edición. México. 1982 4. MOTT ROBERT. “Mecánica de Fluidos Aplicada”, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. Cuarta edición. México. 1996. 5. MUNSON, YOUNG. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, Ed. Limusa. Tercera edición. México. 1985. 6. POTTER MERLE. “Mecánica de Fluidos”, Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. Segunda edición. México. 1998. 7. ROBERSON CROWE. “Mecánica de Fluidos”, Ed. Patria. Octava edición. México. 2007. 8. SHAMES IRVIN. “Mecánica de Fluidos”, Ed. Mc Graw Hill. Novena edición. Colombia. 2000. 9. WHITE FRANK. “Mecánica de Fluidos”, Ed. Mc Graw Hill. Segunda edición. México. 1983. 10. YUNUS CENGEL. “ Mecánica de Fluidos”, Ed. Mc Graw Hill. Tercera edición. México. 2007 286 APÉNDICE TABLA A.1. UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL (SI) CANTIDAD NOMBRE SÍMBOLO Longitud metro m Masa Kilogramo kg Tiempo segundo s Fuerza newton N Momento de Fuerza Newton-metro N-m Presión, Esfuerzo Pascal Pa Temperatura Kelvin k Energía, Trabajo, Calor Joule J Potencia, Flujo de calor Watt W Ángulo plano radian rad FUENTE: Elaboración Propia ALGUNAS REGLAS Y SUGERENCIAS PARA EL USO DE LAS UNIDADES EN EL SI. 1. Debe tenerse cuidado de emplear el tipo correcto de letra (minúscula o mayúscula) para símbolos de unidades y prefijos. 2. Para números con cinco cifras o más, los dígitos deben separarse en grupos de tres, separando cada grupo mediante un espacio, contando los decimales tanto a la izquierda como a la derecha del punto decimal. El espaciamiento no es indispensable para números de cuatro dígitos. Los espacios se usan en lugar de las comas para evitar confusión ( en muchos países se emplea la coma en lugar del punto decimal ) 3. En unidades compuestas, formadas por multiplicación, use el punto de producto. 4. La división debe indicarse mediante una raya inclinada, o bien por medio de exponente negativo conjuntamente con el punto del producto. 5. Evite el uso de prefijos en el denominador. La excepción a esta regla es el prefijo k en la unidad básica kg. (kilogramo). 287 TABLA A.2: MÓDULO DE ELASTICIDAD DE VOLUMEN. PROCESO C MÓDULO DE ELASTICIDAD DE VOLUMEN (E) ISOBÁRICO 0 E = 0 ISOTÉRMICO 1 E = P ADIABÁTICO K E = K P POLITRÓPICO n E = n P ISOMÉTRICO · E = · FUENTE: Elaboración Propia TABLA A.3. SISTEMA DE DIMENSIONES Nombre Representación Dimensional g c Constante de Proporcionalidad M L T F M.K.S ó (SI) kg m s N 2 s . N m . kg 1 C.G.S. gr cm s dina 2 s . dina cm . gr 1 Métrico de Ingeniería kg m s kg f 2 f s . kg m . kg 81 . 9 Gravitacional. Métrico ó (ST) UTM m s kg f 2 f s . Kg m . UTM 1 Británico Gravitacional (BG) slug pie seg lb f 2 f s . lb pie . slug 1 Ingles de Ingeniería (II) lb pie seg lb f 2 f s . lb pie . lb 2 . 32 Absoluto Ingles lb pie s Poundal 2 s . pundal pie . lb 1 FUENTE: Elaboración Propia 288 TABLA A.4. SISTEMA DE UNIDADES DE LA VISCOSIDAD SISTEMA () () F L -2 T M L -1 T -1 L 2 T -1 M.K.S ó (SI) CGS Métrico de Ingeniería Gravitacional. Métrico ó (ST) Británico Gravitacional (BG) Ingles de Ingeniería (II) 32,2 Absoluto Ingles FUENTE: Elaboración Propia 289 ANEXOS TABLA A.1. PROPIEDADES FÍSICAS DEL AGUA A PRESIÓN ATMOSFÉRICA. Temperatura °C Densidad Kg/m 3 Peso específico N/m 3 Viscosidad dinámica Pa.s Viscosidad cinemática m 2 /s Presión de vapor Pa (abs) 0 1000 9810 1,79 x 10 -3 1,79 x 10 -6 611 5 1000 9810 1,51 x 10 -3 1,51 x 10 -6 872 10 1000 9810 1,31 x 10 -3 1,31 x 10 -6 1230 15 999 9800 1,14 x 10 -3 1,14 x 10 -6 1700 20 998 9790 1,00 x 10 -3 1,00 x 10 -6 2340 25 997 9781 8,91 x 10 -4 8,94 x 10 -7 3170 30 996 9771 7,97 x 10 -4 8,00 x 10 -7 4250 35 994 9751 7,20 x 10 -4 7,24 x 10 -7 5630 40 992 9732 6,53 x 10 -4 6,58 x 10 -7 7380 50 988 9693 5,47 x 10 -4 5,53 x 10 -7 12 300 60 983 9643 4,66 x 10 -4 4,74 x 10 -7 20 000 70 978 9594 4,04 x 10 -4 4,13 x 10 -7 31 200 80 972 9535 3,54 x 10 -4 3,64 x 10 -7 47 400 90 965 9467 3,15 x 10 -4 3,26 x 10 -7 70 100 FUENTE: ROBERSON CROWE. “Mecánica de Fluidos”. Grupo Editorial Patria. 8° Edición. Página A-14 290 TABLA A.2. PROPIEDADES FÍSICAS DEL AIRE A PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL Temperatura °C Densidad Kg/m 3 Peso específico N/m 3 Viscosidad dinámica Pa.s Viscosidad cinemática m 2 /s -20 1,40 13,7 1,61 x 10 -5 1,16 x 10 -5 -10 1,34 13,2 1,67 x 10 -5 1,24 x 10 -5 0 1,29 12,7 1,72 x 10 -5 1,33 x 10 -5 10 1,25 12,2 1,76 x 10 -5 1,41 x 10 -5 20 1,20 11,8 1,81 x 10 -5 1,51 x 10 -5 30 1,17 11,4 1,86 x 10 -5 1,60 x 10 -5 40 1,13 11,1 1,91 x 10 -5 1,69 x 10 -5 50 1,09 10,7 1,95 x 10 -5 1,79 x 10 -5 60 1,06 10,4 2,00 x 10 -5 1,89 x 10 -5 70 1,03 10,1 2,04 x 10 -5 1,99 x 10 -5 80 1,00 9,81 2,09 x 10 -5 2,09 x 10 -5 90 0,97 9,54 2,13 x 10 -5 2,19 x 10 -5 100 0,95 9,28 2,17 x 10 -5 2,29 x 10 -5 120 0,90 8,82 2,26 x 10 -5 2,51 x 10 -5 140 0,85 8,38 2,34 x 10 -5 2,74 x 10 -5 160 0,81 7,99 2,42 x 10 -5 2,97 x 10 -5 180 0,78 7,65 2,50 x 10 -5 3,20 x 10 -5 200 0,75 7,32 2,57 x 10 -5 3,44 x 10 -5 FUENTE: ROBERSON CROWE. “Mecánica de Fluidos”. Grupo Editorial Patria. 8 Edición. Página A-12 291 TABLA A.3. PROPIEDADES FÍSICAS DE GASES A PRESIÓN ATMOSFÉRICA NORMAL Y 15 °C. Gas Densidad Kg/m 3 Viscosidad cinemática m 2 /s Constante del gas (R) J/kg.K Calor especifico (C P ) Constante de Sutherland (S) K Aire 1,22 1,46 x 10 -5 287 1 004 1,41 111 Bióxido de Carbono 1,85 7,84 x 10 -6 189 841 1,30 222 Helio 0,169 1,14 x 10 -4 2077 5 187 1,66 79,4 Hidrógeno 0,0851 1,01 x 10 -4 4127 14 223 1,41 96,7 Metano 0,678 1,59 x 10 -5 518 2 208 1,31 198 Nitrógeno 1,18 1,45 x 10 -5 297 1 041 1,40 107 Oxígeno 1,35 1,50 x 10 -5 260 916 1,40 FUENTE: STRETER VICTOR. “Dinámica de Fluidos”. Editorial. Mc Graw- Hill. 3° Edición. Nueva York, 1961 292 TABLA A.4. DIMENSIONES DE TUBERIAS DE ACERO CÉDULA 40 CÉDULA 80 DIÁMETRO NOMINAL in Diámetro exterior mm Espesor de pared mm Diámetro Interior mm Diámetro exterior mm Espesor de pared mm Diámetro Interior mm 1/8 10,3 1,73 6,8 10,3 2,41 5,5 1/4 13,7 2,24 9,2 13,7 3,02 7,7 3/8 17,1 2,31 12,5 17,1 3,20 10,7 1/2 21,3 2,77 15,8 21,3 3,73 13,9 3/4 26,7 2,87 20,9 26,7 3,91 18,8 1 33,4 3,38 26,6 33,4 4,55 24,3 1 ¼ 42,2 3,56 35,1 42,2 4,85 32,5 1 ½ 48,3 3,68 40,9 48,3 5,08 38,1 2 60,3 3,91 52,5 60,3 5,54 49,3 2 ½ 73,0 5,16 62,7 73,0 7,01 59,0 3 88,9 5,49 77,9 88,9 7,62 73,7 3 ½ 101,6 5,74 90,1 101,6 8,08 85,4 4 114,3 6,02 102,3 114,3 8,56 97,2 5 141,3 6,55 128,2 141,3 9,53 122,3 6 168,3 7,11 154,1 168,3 10,97 146,3 8 219,1 8,18 202,7 219,1 12,70 193,7 10 273,1 9,27 254,5 273,1 15,06 242,9 12 323,9 10,31 303,2 323,9 17,45 289,0 14 355,6 11,10 333,4 355,6 19,05 317,5 16 406,4 12,70 381,0 406,4 21,39 363,6 FUENTE: MOTT ROBERT. “Mecánica de Fluidos” 6 Edición. Pág. 601 - 603 293 TABLA A.5. PREFIJOS USADOS EN EL SI. Factor de multiplicación Prefijo Símbolo 10 12 tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo K 10 2 hecto h 10 deka da 10 -1 deci d 10 -2 centi c 10 -3 mili m 10 -6 micro 10 -9 nano n 10 -12 pico p 10 -15 femto f 10 -18 atto a FUENTE: MATAIX CLAUDIO. “Mecánica de Fluidos y Máquinas Hidráulicas”. Segunda edición 1982 294 FIGURA A.1. DIAGRAMA DE MOODY.