UNIVERSIDAD DE PIURAFACULTAD DE INGENIERIA ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 RAZÓN DE CAMBIO 1. Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5cm 3 por minuto. Hallar la razón de cambio del radio, cuando éste es de 2cm. 2. Un hombre de 1.8m de estatura camina hacia un edificio a razón de 1.5 m/seg. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15m. del edificio. ¿Con qué rapidez se acorta la sombra del hombre sobre el edificio cuando se encuentra a 9m. del mismo? 3. Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/s alejándose de una farola cuya bombilla está a una altura de 15 pies sobre el suelo. Cuando el hombre está a 10 pies de la base de la farola, ¿a que velocidad se mueve el extremo de su sombra y a que ritmo está cambiando la longitud de su sombra? 4. A un circuito eléctrico se suministra un voltaje de 12 voltios. Si a medida que el circuito se calienta aumenta su resistencia a razón de 0,1 ohmios por segundo, encuentre la razón de cambio de la intensidad de corriente cuando la resistencia es de 4 ohmios. (Ley de Ohm E = R.I; donde E = voltaje, R = resistencia; I = corriente.) 5. En cada uno de los extremos de un cilindro de radio r y altura h, se coloca un hemisferio de radio r. Si r aumenta a razón de 50 cm. por minuto, ¿A qué razón debe disminuir h para mantener el volumen constante? 6. En un instante dado la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es de 5m y está aumentando a razón de 1m/min. y el otro cateto es de 6m y está aumentando a razón de 2m/min. Hallar la razón de cambio respecto al tiempo del ángulo agudo opuesto al cateto que en ese instante mide 6m. 7. Una piedra se deja caer en un estanque y produce ondas concéntricas, el radio r de las ondas está creciendo a razón de 30cm/s. Cuando su radio es 120cm. ¿A qué ritmo está creciendo el área total de la zona perturbada? 8. Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea “s” la distancia (en millas) entre el avión y el radar. Si “s” está decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando s es 10 millas, ¿Cuál es la velocidad del avión? 9. Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2m 3 por minuto. Hallar la razón de cambio de la altura del montón cuando su altura es 1,5m (Suponga que el radio del cono es igual a su altura) 10. Una escalera de 7m de longitud está apoyada en una pared, como se indica en la figura. Si la base de la escalera se separa de la pared a razón de 0,5m/s, ¿A qué velocidad está bajando su extremo superior cuando la base está a 2m de la pared? 11. Del filtro cónico de una cafetera (ver figura). cae café a razón constante de 10cm 3/min. por un orificio se está sacando agua a razón de 3. De un recipiente cónico de 3m de radio y 10m de profundidad sale agua a razón de 4 metros cúbicos por minuto. La cámara está situada a 2000 pies de la rampa de lanzamiento.5m 3/min. Hallar la razón de cambio de la distancia entre la cámara y la base de la nave a los 10 seg. Un aviso rectangular. y su ancho está aumentando? 16. (suponemos que la cámara y la base de la nave están a la misma altura en t = 0) 14. La motocicleta que viaja hacia el oeste está desplazándose a razón de 25 m/s. Hallar la variación con respecto al tiempo de la altura de la superficie libre y del radio de ésta cuando la profundidad del agua es de 6 metros. se está echando agua a razón de 2m3/min. y a la vez. da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro. Dos motocicletas que viajan de noche en dirección opuesta por una carretera recta de doble vía están aproximándose la una a la otra. se pide: a) ¿Con qué rapidez está variando la altura del nivel de agua? b) ¿Cuánto tiempo requiere para vaciar la mayor cantidad de agua posible? ¿Queda agua? ¿Cuánto? 6 cm 2m3/min 6 cm 10cm3/min 5m 3. que tiene 24 m de ancho y una profundidad despreciable. Cada moto va por el centro de su respectivo carril y los centros de los 2 carriles están a 10 metros de distancia uno del otro. ¿Con qué rapidez se mueve la sombra que proyecta sobre la cerca la motocicleta que viaja en dirección oeste? 15. Un farol de alumbrado público tiene 20 pies de altura y está a 5 pies de la acera.. a razón de 5 revoluciones por minuto. donde s mide en pies y t en segundos. ¿Con qué rapidez esta cambiando el ancho aparente del aviso cuando éste tiene 12 m de ancho. Una cámara de televisión está filmando desde el suelo el despegue de una nave espacial que sube verticalmente de acuerdo con la ecuación de posición s = 50t 2. En un tanque cilíndrico que inicialmente tiene agua hasta una altura de 5m. según lo ve el observador. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. La motocicleta que viaja hacia el este se desplaza a razón de 30 m/s. y la luz de su faro proyecta la sombra de la otra motocicleta sobre la cerca que bordea la carretera. a 20 metros del centro del carril contrario. a) ¿Con qué rapidez se eleva el nivel de café en la jarra cilíndrica cuando el café tiene 5cm de profundidad en el cono? b) ¿Con qué rapidez baja el nivel de café en el cono en ese instante? 12. Una persona que mide 6 pies camina sobre la acera a razón de 4 pies/s. ¿Con qué rapidez está cambiando la longitud de su sombra cuando él está a 13 pies de distancia de la base del poste? 17. .5m3/min 1m Problema 7 6 cm 2m Problema 8 Problema 9 13. del despegue. 8. Hallar las dimensiones de la caja de máximo volumen que cumpla estos requerimientos. cortando en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante.18. 2. Se va ha cercar un campo rectangular una de cuyas fronteras es la ribera de un río. si se quiere emplear la menor cantidad de material en su fabricación? 13. ¿De que modo debe ser cortado para que la suma de las áreas sea máxima? 9. Hallar los puntos de la hipérbola x2 – y2 = 1 más próximo al punto (0. El material para cercar el lado paralelo al río cuesta 24 soles el metro lineal. Si luego de cierto tiempo se sabe que a un ángulo de inclinación de 60º el ángulo disminuye a razón de 30º/min. tal que su suma sea igual a 60 y su producto sea el mayor posible. ¿Cuál será la velocidad del avión?. Se desea fabricar una lata cerrada de estaño de forma cilíndrica. Hallar los puntos de la gráfica de y = 4-x2 que están más próximos del punto (0. Encontrar 2 números. 6y = x2 –12. MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1. El área combinada de los lados y el fondo es de 48 centímetros cuadrados. Hallar el área del mayor rectángulo. 4. 14. con lados paralelos a los ejes coordenados que pueden inscribirse en la región limitada por las parábolas. Una estación de telecomunicaciones esta situada en un bosque a 4Km en línea recta de una carretera y la distancia desde este punto de la carretera a una tienda. 5. 3. Encontrar la longitud del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible. 7. 11. Halle el máximo valor del volumen del cilindro que puede inscribirse en una esfera de radio 3 m. por el bosque y a 5Km/h por la carretera? 12. Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. Encontrar la altura del cono de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R. Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas a partir de cartones cuadrados de 100cm 2 de área. 6. ¿Qué ruta debe seguir si puede caminar a la velocidad de 50m/min. Un alambre de longitud L es cortado en dos partes. con una parte se forma un cuadrado y con la otra una circunferencia. de altura pasa por un radar. Encuentre los puntos sobre la curva en los 3 cuales la ordenada está cambiando 9 veces más rápido que la abcisa. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados de modo que el volumen de la caja sea el mayor posible. 10. cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. situada en la misma carretera es de 9km. se desea construir con ella una caja sin tapa. Calcular la máxima área del rectángulo inscrito en la región encerrada por la curva y = 3 – x 2 y el eje x. Una partícula se mueve a lo largo de la curva 3 y x 2 .1). El material para cercar los extremos . Dada una hoja cuadrada de lado “a”. Si una persona desea caminar de la estación a la tienda en el menor tiempo posible. 2). sección circular y de volumen V (conocido) ¿Cuál será la razón de la altura al radio del cilindro. Un avión que vuela a 4 Km. 3y = 12 – x2. 19. 23. y para los lados es de 2 soles por cm2. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una semicircunferencia de radio R = 3 . mientras que el semicírculo es de cristal de color. en tanto que la fabrica A en el tercer vértice y a una distancia de 10Km de la base. El perímetro total es fijo. Una isla está situada en un punto I a 6Km al norte del punto P más cercano. Tender el cable por tierra cuesta 3 dólares el metro y tenderlo bajo agua 5 dólares el metro. no se requiere cerca alguna a lo largo del río. Una estatua de 4m de altura tiene su base a 2m arriba del nivel del ojo de un observador. ¿A que distancia de A. cuesta 16 soles por metro lineal. sabiendo que uno de los lados se encuentra en el diámetro de la semicircunferencia y los otros dos vértices están sobre la semicircunferencia. a lo largo de la altura se debe colocar una instalación de bombeo de agua de manera que emplee la menor longitud de cañerías para abastecer agua a las tres fabricas? . Tres fábricas están situadas en los vértices de un triángulo isósceles. A que distancia de la estatua debe colocarse el observador para que el ángulo subtendido () desde su ojo por la estatua sea máximo. Encontrar las dimensiones del campo de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de 7200 soles. ¿Cuál es el tendido más económico? 19. A un lado de un río de 1Km de anchura hay una central eléctrica y al otro lado. Si los puntos A y B se encuentran separados 9 metros ¿Cuál es la longitud más corta de alambre a usarse? 20. Hallar las dimensiones de la caja que minimizan sus costos. Un almacén está en el punto A a 7Km al oeste de P sobre la playa. Si un hombre puede remar a razón de 4Km/h y caminar a razón de 5Km/h. El rectángulo es de cristal transparente. 16. Un fabricante desea construir cajas cerradas de 256cm 3 de capacidad. Suponga que una pesa será sostenida 15 metros debajo de una recta horizontal AB por un alambre en forma de Y. Al considerar un aumento de tarifa. una factoría. Bajo estas condiciones ¿cuál debe ser el aumento para que el ingreso sea máximo? 22. Halle las proporciones de la ventana que den la mayor cantidad de luz. Una compañía de transporte con una tarifa de 800 soles transporta 8000 pasajeros por día. Hay una ventana que tiene la forma de un semicírculo de radio r montado sobre un rectángulo de altura h. El precio del material para la base y la tapa es de 3 soles por cm 2. 4km aguas arriba. la base debe ser un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho. que transmite la mitad de la luz por unidad de área que el transparente. 4m 2m x 21. Las fabricas B y C distan entre sí 16Km están situadas en la base (lado diferente). sobre una playa recta. la compañía determina que perderá 400 pasajeros por cada 50 soles de aumento. No considere el grosor del marco 18. ¿Dónde debería desembarcar para ir de la isla al almacén en el menor tiempo posible? 17. 15. 0). Sea y x . ¿En qué punto deberá atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se requiere para llegar al destino deseado? RECTAS TANGENTE Y NORMAL: 1. es mínima la iluminación? 29. aproximar mediante diferenciales el posible error cometido al calcular: a) el volumen del cubo. Dos lámparas de intensidades I 1 y I 2 están separadas una distancia d. Se forma un sólido adosando dos semiesferas a los extremos de un cilindro circular recto. Un rectángulo cuya base está en el eje de las x tiene sus dos vértices superiores en la parábola y 12 x 2 . Dar la ecuación de cada de una de las rectas tangentes a la curva y = x 2-7 y que pasan por el punto (3. Hallar los puntos donde las tangentes a la curvas y=x 2 y y=x3 son paralelas. forma un ángulo de 45º con la recta L1: 3x – y +1 = 0? 2 12. b) el área del cubo. 3. La iluminación de una lámpara es directamente proporcional a su intensidad e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la lámpara. 5 Calcular en cada caso la diferencia ∆ y . 28. Hallar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva 3 y x 3 x 6 x 4 que sean 3 2 paralelas a la recta L : 2 x y 3 0 6.25 cm. 2. ¿En qué punto la tangente a f ( x ) x . cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. ¿En qué punto del segmento recto que las une. 2 8. Calcular el área del triángulo formado por la tangente y la normal a la curva y 6 x x en x 5 . Usar diferenciales para estimar el error que se cometerá al calcular con ese dato el área de la sección del tronco.03 cm. 2. con un margen de error de 0. 3. DIFERENCIALES: 1.24. Hallar la ecuación de las mismas. 1 9. Obtener las ecuaciones de la tangente y la normal en ( x1 . Si la medida de la arista de un cubo da 12 cm con un margen de error de 0. ¿Cuál es la mayor área que puede tener este rectángulo? 25. El volumen total es de 12 dm 3 . 11.001 . 0.0001. y1 ) a la elipse b x a y a b . Demostrar que el círculo x y 8ax y la curva (2a x ) y x se cortan en un ángulo de 45º en 2 2 2 3 dos puntos que no sean el origen. . por hora en tierra. La medida del radio del tronco ha dado 28 cm. ¿Qué ángulo forman al cortarse la hipérbola y y la parábola y x? x 10. 2 2 2 2 2 2 7. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x y x 1 cuya inclinación es 45º.01. Hallar las dimensiones del trapecio de área máxima que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. Un hombre que está en un bote. Hallar una ecuación de la recta normal a la curva x y x y en el punto (3. Puede viajar a 5 Km. 0. al norte de un punto P situado en una playa recta y desea alcanzar un punto Q situado a 20 Km. 2 4. 27. tomando valores de dx = 0. Comparar dy y ∆ y cuando x = 2 .dy . al oeste del punto P. por hora en el bote y a 13 Km. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva xy 2 x 4 0 en el punto (2. se encuentra a 24 Km.1). Encontrar una ecuación de cada una de las rectas normales a la curva y x 4 x que sean paralelas 3 a la recta L : x 8 y 8 0 5.- 2). Se planea fabricar una caja rectangular sin tapa de una pieza de cartón de 8 por 15 pulgadas. Calcular también el error relativo. Hallar el radio del cilindro que produce la mínima área de de dicho sólido. 26. Se mide el radio de un cilindro de 25 pulgadas de altura encontrándose que es de 20 pulgadas de radio con un error de 0.009 w (3. Lim 1 x tan x 0 x x 1 2 ln ( sen x) 8. Encontrar el porcentaje de error aproximado de a) volumen b) La superficie lateral c) el área de la base. 5. Lim 12. Ln ( x 2 ) 4x e) f ( x) x2 4 k) y ( x 1 ) Ln 2 ( x 1 ) 2 x3 x2 l) f ( x) 6x 3 2 x2 1 f) f ( x) x2 4 x2 m) f ( x ) x2 1 . x 1 ln x 1 x x 2 x senx 6.05 pulgadas. Lim x x 14. x Lim x x 2 1 2. Lim 11.02) 2 (12.03) 2 2 L`HOPITAL: 1. Lim1 x 0 5x x x 1 1 Lim tan x sec x 5. Lim x ln ( sen x) 16. Lim x 0 x ( 2 x) 2 2 GRAFICAS Dadas las siguientes funciones: a) f ( x ) x 3 4 x 2 3 x 18 x2 g) f ( x) ( x 2)2 b) y x3 3 x2 9 x 2 5 x x3 5x2 h) f ( x) c) f ( x) 6x 3 x 5 3 2 i) f ( x ) x 2 / 3 ( x 3)1 / 3 d) f ( x) x 1 x2 j) f ( x ) x . Halla la linealización de f (x ) en el punto x 0 indicado a) f ( x ) x 2 x 3 3 . Lim x 0 x 0 ( x senx) 3 / 2 ex x 7. Lim 13. x0 0 6. Lim1 x 0 x2 x x x2 ln(1 x) a bx 4. Lim x x2 x 1 x2 x cos mx cos nx 3 5 x 3. Lim 15. x0 2 b) f ( x) x2 9 . Lim x ln x x 0 9. x 0 4 c) f ( x) x 1 senx .01) 2 (4.4.0002) b) c) 50 3 1. Lim x 0 tan x senx x3 10. Usar la aproximación mediante diferenciales para estimar: 1 a) (1. mínimos y de inflexión. Determinar los puntos máximos.n) f ( x) x2 9 x3 q) f ( x) 3 x 4 x o) f ( x) 1 x2 x2 x 2 r) f ( x) x5 ( x 1)2 si x 1 f ( x) 4x p) h( x) s) 2 x 15 3 x 1 si x 1 Se pide: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hacer el gráfico. .