Derivadas Parciales Con La Regla de La Cadena

March 26, 2018 | Author: bacr1493 | Category: Curve, Derivative, Gradient, Function (Mathematics), Tangent


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GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12.MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 1 4. Las reglas de la cadena. Las reglas de la cadena nos permiten calcular las derivadas parciales de una función cuando hace- mos un cambio de variables independientes. Regla de la cadena para una variable independiente. El caso más simple es cuando tenemos una función de dos variables ( , ) f x y y hacemos depender las variables x e y de una nueva variable in- dependiente: ( ) x x t = e ( ). y y t = Esto es lo que ocurre, por ejemplo, cuando nos interesa conocer la variación de f cuando las variables independientes recorren una curva en el dominio de la función. PROPOSICIÓN. Sea ( , ) f x y un campo escalar diferenciable en un punto 0 0 ( , ) x y interior al dominio U donde está definida la función . f Sean ( ) x x t = e ( ) y y t = dos funciones de la variable t deri- vables en un punto 0 , t de forma que tenemos 0 0 ( ) x x t = e 0 0 ( ). y y t = Entonces la función composi- ción ( ) ( ( ), ( )) z z t f x t y t = = es una función derivable respecto de t en 0 t y su derivada verifica ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ), ( ) . x y z t f x y x t f x y y t Df x y x t y t ′ ′ ′ ′ ′ = ⋅ + ⋅ = ⋅ DEM. Si f es diferenciable en el punto 0 0 ( , ) x y sabemos que 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( ) ( , ), x y f x y f x y f x y x x f x y y y x y ε = + − + − + con 0 0 2 2 ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) lim 0. ( ) ( ) x y x y x y x x y y ε → = − + − Tenemos que probar que 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( , ) ( ) ( , ) ( ). x y t t z t z t f x y x t f x y y t t t → − ′ ′ = ⋅ + ⋅ − Lo haremos sólo en el caso en que 0 . t t > Para comprobar esto observemos que 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( , ) ( , )( ( ) ) ( , )( ( ) ) ( ( ), ( )). x y z t z t f x t y t f x y f x y x t x f x y y t y x t y t ε − = − = − + − + Por tanto, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( , ) ( , ) . x y z t z t x t x t y t y t x t y t f x y f x y t t t t t t t t ε − − − = + + − − − − Para terminar la prueba basta comprobar que 0 0 ( ( ), ( )) lim 0. t t x t y t t t ε → = − Pero 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ) ) ( ( ) ) t t t t x t y t x t x t y t y t x t y t x t y t t t t t x t x y t y x t x t y t y t x t y t t t t t x t x y t y ε ε ε → → → ′ ′ → + − + − = − − − + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − + − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0. t t → → GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 2 EJ EMPLO. (1) Consideremos la función 2 2 ( , ) z x y x y = + y las funciones 1 ( ) x t t = e 2 ( ) . y t t = La función composición de estas funciones es 4 2 1 ( ) . z t t t = + Su derivada es entonces 3 3 2 ( ) 4 . z t t t ′ = − + La regla de la cadena nos dice que esta derivada se puede obtener de la siguiente forma 3 2 3 1 2 ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) 2 ( ) 2 ( )2 4 . x y z t z x t y t x t z x t y t y t x t y t t t t t ′ ′ = + = − + = − + (2) Consideremos la función 2 ( , ) 2 z z x y x xy = = + y las funciones dadas por ( ) cos x x θ θ = = e ( ) sen . y y θ θ = = La función composición ( ) z z θ = se puede derivar mediante la regla de la cadena 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sen sen ( ) ( sen ) cos . 2 2 2 2 cos 2cos sen x y x z x xy x xy θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + − − ′ = − + = + + + Si derivamos directamente obtenemos el mismo resultado. OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA DE LA CADENA). Consideremos la curva plana C parametrizada por ( ) 2 0 0 : ( , ) ( ) ( ), ( ) , C t t r t r C t x t y t ∈ − + → = ∈ siendo 0 r > suficiente- mente pequeño como para que ( ) C t U ∈ para todo valor 0 0 ( , ). t t r t r ∈ − + Consideremos también la curva Γ que se obtiene al transformar los puntos de la curva C por la función . f Esta otra es una curva en la superficie de la gráfica de la función f (y, por tanto, en el espacio) que se puede para- metrizar por la función ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) , t x t y t z t Γ = siendo ( ) ( ) ( ), ( ) , z t f x t y t = con 0 0 ( , ). t t r t r ∈ − + Esta parametrización levanta la curva , C que está en el plano , OXY hasta la superficie. Las coor- denadas x e y de la curva Γ y C coinciden y la coordenada z de Γ viene dada por ( , ). z f x y = El vector tangente a la curva Γ en el punto 0 0 0 0 ( ) ( , , ) t x y z Γ = sabemos que es 0 ( ), t ′ Γ pero 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ( ), ( ), ( , ) ( ) ( , ) ( )) ( )(1,0, ( , )) ( )(0,1, ( , )). x y x y t x t y t z t x t y t f x y x t f x y y t x t f x y y t f x y ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ Γ = = + ′ ′ = + Entonces, el vector tangente 0 ( ) t ′ Γ está en el plano determinado por los vectores ( ) 0 0 1,0, ( , ) x f x y y ( ) 0 0 0,1, ( , ) . y f x y Puesto que cualquier curva en la gráfica de f que pase por el punto 0 0 0 ( , , ) x y z puede ser descrita como se describe la curva , Γ los vectores ( ) 0 0 1,0, ( , ) x f x y y ( ) 0 0 0,1, ( , ) y f x y forman una base del espacio de todos los vectores tangentes a la superficie en el punto 0 0 0 ( , , ). x y z PROPOSICIÓN (NORMALIDAD DE LA DIFERENCIAL). Sea 2 :( , ) ( , ) f x y U f x y ∈ ⊆ → ∈ una fun- ción diferenciable en un punto 0 0 ( , ) x y interior a U y sea 0 0 0 ( , ). z f x y = Entonces, la diferencial 0 0 ( , ) Df x y es normal en 0 0 ( , ) x y a la curva de nivel 0 ( , ) f x y z = que pasa por dicho punto. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 3 DEM. Esta curva de nivel 1 será la proyección sobre el plano OXY del corte de la gráfica de la fun- ción f con el plano de ecuación 0 . z z = Consideremos una parametrización ( ) ( ( ), ( )) C t x t y t = de la curva de nivel, donde 0 0 ( , ) t t r t r ∈ − + siendo 0 r > suficientemente pequeño para que ( ) C t U ∈ para todo 0 0 ( , ). t t r t r ∈ − + Hemos elegido 0 t de forma que 0 0 0 ( ) ( , ). C t x y = Entonces se verifica que 0 ( ( ), ( )) f x t y t z = para todo 0 0 ( , ). t t r t r ∈ − + Derivando en la igualdad anterior respecto de la variable t y usando la regla de la cadena obtenemos la siguiente igualdad para la diferencial ( ( ), ( )) ( ) 0 Df x t y t C t ′ ⋅ = para todo 0 0 ( , ). t t r t r ∈ − + En particular, para 0 t t = obtenemos que 0 0 0 ( , ) ( ) 0, Df x y C t ′ ⋅ = es decir, la diferencial 0 0 ( , ) Df x y es ortogonal al vector 0 ( ) C t ′ tangente a la curva de nivel. OBSERVACIÓN. La regla de la cadena asegura que ( ) ( ) ( ( ), ( )) , ( ) x t z t Df x t y t y t ′ ⎡ ⎤ ′ = ⋅ ⎢ ⎥ ′ ⎣ ⎦ siendo t un valor cualquiera. Si ( , ), z f x y = tiene derivadas parciales segundas continuas y las funciones ( ) x x t = e ( ) y y t = son dos veces derivables, la función composición ( ) ( ) ( ), ( ) z t f x t y t = es dos veces deriva- ble y su derivada segunda se puede calcular derivando en la igualdad que tenemos para ( ). z t ′ Así 2 ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) 2 ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ( ) xx xy x yx yy y xx xy yy z t f x t y t x t f x t y t y t x t f x t y t x t f x t y t x t f x t y t y t y t f x t y t y t f x t y t x t f x t y t x t y t f x t ′′ ′ ′ ′ ′′ ⎡ ⎤ = + + ⎣ ⎦ ′ ′ ′ ′′ ⎡ ⎤ + + + ⎣ ⎦ ′ ′ ′ = + + [ ] 2 , ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) . ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ) ( ) x x xx xy xy yy y t y t f x t y t x t f x t y t y t f x t y t f x t y t x t x t x t y t Df x t y t f x t y t f x t y t y t y t ′ ′′ ′′ + + ′ ′′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ′ ′ = + ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ′′ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Regla de la cadena para dos variables independientes. Veamos ahora cómo se procede cuando cambiamos las variables independientes por dos nuevas variables independientes. PROPOSICIÓN. Sea ( , ) f x y un campo escalar con derivadas parciales de primer orden continuas. Sean ( , ) x x u v = e ( , ) y y u v = dos funciones cuyas derivadas parciales de primer orden con respecto a u y v existen y son continuas. Entonces la función composición ( ) ( , ) ( , ), ( , ) z z u v f x u v y u v = = es una función diferenciable con respecto a u y v y sus derivadas parciales verifican ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ), ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ). u x u y u v x v y v z u v f x u v y u v x u v f x u v y u v y u v z u v f x u v y u v x u v f x u v y u v y u v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ 1 NOTA. Si la diferencial ( ) 0 0 ( , ) 0,0 , Df x y = entonces no hay nada que probar ya que el vector nulo es ortogonal a cualquier vector. Por el contrario, si 0 0 ( , ) (0,0), Df x y ≠ el teorema de la función implícita, que estudiaremos más ade- lante, nos garantiza que existe curva de nivel que pasa por el punto 0 0 ( , ) x y y ésta es una curva regular. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 4 DEM. Para obtener este resultado basta aplicar la condición suficiente de diferenciabilidad y la regla de la cadena para una variable independiente a las funciones 1 1 ( ) z z u = y 2 2 ( ) z z v = definidas por 1 1 2 2 ( ): ( , ) ( ( , ), ( , )), ( ): ( , ) ( ( , ), ( , )). z z u z u v f x u v y u v z z v z u v f x u v y u v = = = = = = NOTACIÓN. Normalmente se utiliza la misma letra para denotar la función dependiente, sin tener en cuenta qué variables independientes estamos considerando en cada momento. Por eso, es muy fre- cuente expresar la regla de la cadena, usando subíndices, de la siguiente forma u x u y u z z x z y = + o bien . v x v y v z z x z y = + Señalemos el doble papel que juega la variable z en estas expresiones: como función que depende de x e , y en primer lugar, y como función de u y v tras el cambio. EJ EMPLO. Vamos a comprobar la igualdad de la regla de la cadena para el campo escalar f dado por 2 ( , ) sen( ), f x y x xy = + en el punto ( , ) (0,1), u v = al hacer el cambio de variables 2 2 x u v = + e . y uv = Observemos, en primer lugar, que ( , ) 2 cos( ) x f x y x y xy = + y ( , ) cos( ). y f x y x xy = Por otra parte tenemos que 2 , u x u = 2 , v x v = u y v = e . v y u = Observemos también que si ( , ) (0,1), u v = entonces ( , ) (1,0). x y = Por tanto, para la función ( ) ( , ): ( , ), ( , ) , z u v f x u v y u v = tenemos ( ) ( ) 2 cos( ) 2 cos( ) , 2 cos( ) 2 cos( ) u x u y u v x v y v z f x f y x y xy u x xy v z f x f y x y xy v x xy u = + = + + = + = + + y, por tanto, (0,1) cos0 1 u z = = y (0,1) 4. v z = Si ahora calculamos directamente la función obtene- mos ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ), ( , ) , sen ( ) z u v f x u v y u v f u v uv u v u v uv = = + = + + + y si calculamos sus derivadas parciales obtenemos que ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 2 ( , ) 2 2 cos 3 , ( , ) 2 2 cos 3 . u v z u v u v u u v uv u v v z u v u v v u v uv u uv = + + + + = + + + + Entonces (0,1) cos0 1 u z = = y (0,1) 2 2 4. v z = ⋅ = OBSERVACIÓN (CÁLCULO DEL GRADIENTE EN OTRAS COORDENADAS). Si tenemos un campo escalar f definido en términos de las variables cartesianas x e y sabemos que su gradiente viene dado por la igualdad ( ) ( , ) ( , ), ( , ) . x y f x y f x y f x y ∇ = Sin embargo, si tenemos un campo escalar definido en términos, por ejemplo, de las coordenadas polares ¿cómo calculamos su gradiente, el vector de las derivadas parciales con respecto a las variables espaciales? El instrumento adecuado para reali- zar este cálculo es la regla de la cadena. Las derivadas parciales de f como función de las coorde- nadas cartesianas x e y están relacionadas con las derivadas parciales de f como función de las coordenadas polares r y θ de la siguiente manera: cos sen r x y f f f θ θ = + y sen cos , x y f f r f r θ θ θ = − + o bien, invirtiendo las variables tenemos que sen cos x r f f f r θ θ θ = − y cos sen . y r f f f r θ θ θ = + GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 5 Por tanto, se verifica que sen cos ( , ) ( , )cos ( , ) , ( , )sen ( , ) . r r f r f r f r f r f r r r θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ ∇ = − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Por ejemplo, para el campo 2 ( , ) f r r θ = se tiene que ( ) ( ) ( , ) 2 cos ,2 sen 2 ,2 , f r r r x y θ θ θ ∇ = = co- mo ya sabíamos de antes. Laplaciano: funciones armónicas. Un problema importante consiste en obtener funciones armóni- cas en un cierto conjunto del plano. Veamos primero qué es una función armónica. DEFINICIÓN. Sea f un campo escalar con derivadas segundas continuas en un conjunto U ⊆ 2 y denotemos por x e y las coordenadas espaciales. El laplaciano de f es el campo escalar dado por 2 ( , ): ( , ) ( , ). xx yy f x y f x y f x y ∇ = + Los campos escalares con laplaciano igual a cero en cada punto ( , ) x y U ∈ se llaman campos armónicos en . U Observemos que en una variable ( ), y f x = la expresión del laplaciano se reduce a ( ). f x ′′ Luego encontrar funciones armónicas en una variable se reduce a obtener funciones cuya segunda derivada sea nula. Como sabemos estas funciones son ( ) , f x ax b = + siendo a y b dos constantes reales arbitrarias. En este sentido, las funciones armónicas son la extensión a dos variables de las funcio- nes afines en una variable, pero existen muchas más (y mucho más complicadas) que las funciones afines ( , ) f x y ax by c = + + en dos variables. Cómo obtenerlas es un problema realmente complica- do: se trata de resolver la ecuación diferencial 2 : 0, xx yy f f f ∇ = + = que se llama ecuación de La- place o ecuación del potencial. EJ EMPLO. Vamos a calcular el laplaciano de algunos campos escalares. (1) ( , ) sen . x f x y e y = Puesto que ( , ) sen x x f x y e y = y ( , ) cos , x y f x y e y = si ahora calculamos las derivadas segundas, obtenemos que 2 ( , ) ( , ) ( , ) sen sen 0. x x xx yy f x y f x y f x y e y e y ∇ = + = − = (2) ( , ) cos . x f x y e y = Puesto que ( , ) cos x x f x y e y = y ( , ) sen , x y f x y e y = − si ahora calculamos las derivadas segundas, obtenemos que 2 ( , ) ( , ) ( , ) cos cos 0. x x xx yy f x y f x y f x y e y e y ∇ = + = − = (3) ( ) 2 2 ( , ) log . f x y x y = + Puesto que 2 2 2 ( , ) x x f x y x y = + y 2 2 2 ( , ) , y y f x y x y = + si ahora calculamos las derivadas segundas, obtenemos que 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 2( ) 4 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0. ( ) ( ) ( ) xx yy x y x x y y x y x y f x y f x y f x y x y x y x y + − + − − + + − ∇ = + = + = = + + + (4) ( , ) arctan . y f x y x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Puesto que 2 2 ( , ) x y f x y x y − = + y 2 2 ( , ) , y x f x y x y = + si ahora calculamos las derivadas segundas, obtenemos que GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0. ( ) ( ) xx yy xy xy f x y f x y f x y x y x y − ∇ = + = + = + + OBSERVACIÓN. (LAPLACIANO EN COORDENADAS POLARES). Usando la regla de la cadena podemos obtener la expresión del laplaciano en coordenadas polares 2 2 1 1 : . xx yy rr r f f f f f f r r θθ ∇ = + = + + Es- ta fórmula nos permitirá obtener, por ejemplo, las funciones armónicas que dependen del radio, es decir, de la distancia al origen 2 2 . r x y = + En coordenadas polares, estas funciones (las que de- penden del radio) se expresan como ( , ) ( ), f r g r θ = siendo g una función de una variable. Se verifica la fórmula 2 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ). rr r f r f r f r f r r r θθ θ θ θ θ ∇ = + + Usamos las igualdades cos , x r θ = sen y r θ = y sus inversas 2 2 , r x y = + arctan y x θ = obtene- mos las siguientes relaciones con las derivadas cos , x r θ = sen y r θ = y también sen , x r θ θ = − cos . y r θ θ = Ahora, teniendo en cuenta que sen cos , x r f f f r θ θ θ = − cos sen y r f f f r θ θ θ = + y las relaciones anteriores, obtenemos [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 2 sen sen cos cos sen sen cos cos (cos ) sen sen cos (sen ) sen cos cos xx r r r r x x rr x r x r x r x x rr r f f f f f x r x x r f f f f x x x r x r r r f r f f f r f f r r f f r θ θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤ = + − − ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ − ⎛ ⎞ = + − − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sen sen sen sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen cos sen sen cos cos 2 sen cos sen sen sen cos cos 2 2 r r rr r r r rr r r f f f r r r r r f r f f f f f f r r r r r f f f f f r r r r θ θθ θ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + − + + = − + + + 2 . Análogamente, de sen cos , x r f f f r θ θ θ = − cos sen y r f f f r θ θ θ = + obtenemos que GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 7 2 2 2 2 2 sen cos cos cos sen cos sen 2 2 . yy rr r r f f f f f f r r r r θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ = + + + − Entonces 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sen cos sen sen sen cos cos 2 2 sen cos cos cos sen cos sen 2 2 1 1 . xx yy rr r r rr r r rr r f f f f f f f r r r r f f f f f r r r r f f f r r θ θθ θ θ θθ θ θθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + = − + + + + + + + − = + + Una función armónica ( , ) ( ), f r g r θ = que sólo depende del radio, verifica la ecuación diferencial de Euler–Cauchy 1 0. g g r ′′ ′ + = La solución general de esta ecuación, como veremos más adelante, es ( ) log , g r A B r = + siendo A y B constantes arbitrarias, luego 2 2 ( , ) log , f x y A B x y = + + con A y B constantes arbitrarias. EJERCICIO 1. Para las siguientes funciones, expresa ( ) z t ′ en función de la variable t usando la re- gla de la cadena y calculando directamente una expresión de ( ). w t Después calcula 0 ( ). z t ′ (1) 2 2 0 ( , ) , ( ) sen , ( ) cos , . z x y x y x t t y t t t π = + = = = (2) 2 2 0 ( , ) , ( ) cos sen , ( ) cos sen , 0. z x y x y x t t t y t t t t = + = − = − = (3) ( ) 2 2 0 ( , ) log , ( ) cos , ( ) , 1. z x y x y x t t y t t t = + = = = EJERCICIO 2. Considera la función 3 ( , ) log y f x y x x = − y supongamos que x e y dependen de la variable t mediante t x e = e . t y e − = Comprueba que ( ) ( ) ( ), ( ) z t f x t y t = es creciente, sin sustituir directamente . t EJERCICIO 3. Para las siguientes funciones, expresa ( , ) u w u v y ( , ) v w u v en función de las variables u y v usando la regla de la cadena y calculando directamente una expresión de ( , ). w u v Después calcula 0 0 ( , ) u w u v y 0 0 ( , ). v w u v (1) 0 0 ( , ) 4 log , ( , ) log( cos ), ( , ) sen , ( , ) 2, . 4 x w x y e y x u v u v y u v u v u v π ⎛ ⎞ = + = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2) 0 0 ( , ) arctan , ( , ) cos , ( , ) sen , ( , ) 1, . 6 x w x y x u v u v y u v u v u v y π ⎛ ⎞ = = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3) ( ) 2 3 2 2 0 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) 1,1 . w x y x y x u v u v y u v uv u v = = + = = EJERCICIO 4. Escribe las reglas de la cadena para calcular las derivadas parciales de una función de tres variables ( , , ) f x y z cuando las tres variables , x y y z pasan a depender de: GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Deri- vadas parciales. 8 (i) una variable t (digamos ( ), x x t = ( ) y y t = y ( ) z z t = ), (ii) dos variables u y v (digamos ( , ), x x u v = ( , ) y y u v = y ( , ) z z u v = )) y (iii) tres variables , u v y w (digamos ( , , ), x x u v w = ( , , ) y y u v w = y ( , , ) z z u v w = )). EJERCICIO 5. Para las siguientes funciones, expresa ( ) w t ′ en función de la variable t usando la regla de la cadena y calculando directamente una expresión de ( ). w t Después calcula 0 ( ). w t ′ (1) 2 2 0 1 ( , , ) , ( ) cos , ( ) sen , ( ) , 3. x y w x y z x t t y t t z t t z z t = + = = = = (2) 2 0 ( , , ) 2 log , ( ) log( 1), ( ) arctan , ( ) , 1. x t w x y z ye z x t t y t t z t e t = + = + = = = (3) 1 0 ( , , ) sen( ), ( ) , ( ) log , ( ) , 1. t w x y z z xy x t t y t t z t e t − = − = = = = EJERCICIO 6. Para las siguientes funciones, expresa ( , ) u w u v y ( , ) v w u v en función de las variables u y v usando la regla de la cadena y calculando directamente una expresión de ( , ). w u v Después calcula 0 0 ( , ) u w u v y 0 0 ( , ). v w u v (1) 0 0 1 ( , , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,1 . 2 w x y z xy yz xz x u v u v y u v u v z u v uv u v ⎛ ⎞ = + + = + = − = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 ( , , ) log , ( , ) sen , ( , ) cos , ( , ) ,( , ) 2,0 . v v v w x y z x y z x u v ue u y u v ue u z u v ue u v = + + = = = = EJERCICIO 7. Calcula el gradiente de los siguientes campos escalares dados en coordenadas polares (1) ( , ) , n f r r θ = (2) ( , ) tan . f r θ θ = EJERCICIO 8. Sea 2 2 2 ( , , ) r x y z x y z = + + el campo que da la distancia desde un punto al el ori- gen. Calcula el gradiente del campo escalar [ ] ( , , ) ( , , ) , n f x y z r x y z = siendo 0, 1, 2,... n = ± ± EJERCICIO 9. Determina valores de los parámetros , a b y c para que el campo escalar dado por 2 2 ( , ) f x y ax bxy cy = + + sea armónico. EJERCICIO 10. Sea ( ) f t una función de una variable derivable y sea ( , ) g x y una función diferen- ciable. Entonces, la función ( ) ( , ): ( , ) z x y f g x y = es diferenciable. Expresa las derivadas ( , ) x z x y y ( , ) y z x y en función de derivadas de las funciones f y . g Si a y b son dos constantes, comprueba que la función 2 3 1 1 ( , ) 2 3 z x y f bx ay ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ verifica la ecuación 2 0. x y ay z bxz + =
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