Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1) Seja uma função definida numa região do espaço tridimensional. Por exemplo, a temperatura de uma sala pode ser representada pela função posição. ou , onde é o vetor Seja um ponto dessa região. Com que taxa, numa direção específica? varia quando partimos de Observe que nas direções dos eixos são dadas pelas derivadas parciais , e sabemos que as taxas de variação de Mas como calcular a taxa de variação de se partimos de ? numa direção que não é a de nenhum eixo coordenado? Se partimos de que teremos a máxima e a mínima taxa de variação de , quais as direções em A procura das respostas para estas perguntas nos leva aos conceitos de derivada direcional e gradiente de uma função. Veremos inicialmente a derivada direcional de funções de duas variáveis. Para isso, sejam a função ponto , diferenciável numa região e o . Além disso, considere no plano uma direção orientada O acréscimo da função . Deste modo. quando passamos de para . Dividindo por . segue que .é onde e quando . próximo de .dada pelo vetor unitário . a é o vetor unitário do vetor figura abaixo. Tomemos o ponto tal que o vetor tenha a mesma direção e sentido do vetor conforme . temos Do triângulo retângulo . Substituindo estes valores em . conforme a figura abaixo: . Mas para isto. O limite no ponto quando existir e for finito é chamado derivada direcional da função . e sendo Logo. precisamos dos conceitos de ângulos e cossenos diretores. de modo que . Logo. veremos a derivada direcional de funções de três variáveis. Por outro lado.Assim. segue que . no ponto No próximo post. Seja o vetor não-nulo. Exemplo 1: Determine a derivada direcional de na direção do vetor . no ponto Resolução: Note que . Exercício: Determine a derivada direcional de na direção de com o eixo . na direção do vetor e indicaremos pelo símbolo . . temos Analogamente. os ângulos e . os cossenos dos Da definição de ângulos diretores.Definição 1: Chama-se ângulos diretores de e que o vetor respectivamente. . Uma propriedade interessante sobre os cossenos diretores de um vetor é dada pela proposição. Definição 2: Chama-se cossenos diretores de ângulos . . forma com os vetores . e . 1 que donde segue que . . e são os ângulos diretores do vetor Demonstração: De fato. Exemplo 3: Calcule os cossenos diretores do vetor .Proposição 1: Se . Exemplo 2: Se . então . Resolução: Sendo segue que . e são os ângulos diretores de um vetor. determine . Resolução: Segue da Prop. e . vimos que a derivada direcional no ponto é dada por: . diferenciável numa região . definida pelo . então são dadas por . o e a direção orientada no espaço é definida por: . veremos a definição da variáveis independentes e o máximo da . As derivadas parciais de . segue que e Máximo da Derivada Direcional Para funções de duas variáveis.Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 2) derivada direcional para funções de derivada direcional. A derivada direcional da função Exemplo 1: Seja dada a função direcional Resolução: no ponto Sendo e na direção do vetor . Achar a derivada . Definição 1: Sejam a função ponto vetor unitário no ponto e na direção de Neste post. . . Admitindo é definido definida e contínua na região existam. Logo. Observações: 1) Pela definição acima segue que aponta na direção e sentido em que 2) O gradiente de funções de . ou seja. Da expressão . obtemos ou seja. Geometricamente. Isto sugere a seguinte definição: . então ordem calculadas em . a Se houver uma direção em que a direção direcional tem um valor máximo. é . o vetor gradiente possui o maior crescimento. Assim. temos um único valor para derivda direcional é uma função da variável . segue que Substituindo essas expressões em e simplificando. o gradiente é a inclinação da tangente de maior declividade que pode ser traçada no ponto . Dependendo dos sinais das derivadas parciais de e e quadrantes ou e . o vetor gradiente da função no ponto cujas coordenadas são as derivadas parciais de chamado gradiente da função no ponto . fazemos . este valor é chamado gradiente de em . Para achar essa direção. é definido de maneira análoga. .Para cada vetor . o ângulo é um ângulo do quadrantes. se . ou seja. ou seja. o gradiente de componentes são Definição 2: Seja que por e e em é o módulo de um vetor cujas . determine as derivadas direcionais das funções dadas nos pontos dados e nas direções indicadas. a) do vetor . o vetor definido por: Este vetor possui propriedades análogas às dos vetores comuns e simplifica bastante ao vetor gradiente definido acima. onde é o ângulo entre os vetores e . b) funções abaixo nos pontos em dados: . Assim. e o ponto Demonstração: Sejam .Definição 3: Chama-se operador diferencial vetorial ou operador nabla. . sendo um vetor unitário dado. a) . . . Teorema 1: A derivada direcional componente escalar do em qualquer direção dada é a naquela direção. 2) Calcule o vetor gradiente das . denotado por ou . b) em em na direção na direção do vetor em 3) Mostre que a) b) c) d) . isto é. ou seja. . diferenciável numa região Exercícios Propostos: 1) Nos exercícios abaixo. na direção .Sobre o Produto Escalar.Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1). determine: Gostará de ler também: .Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potência Enésima de x . Paulo Sérgio às 12. .10 .10.4) A temperatura é dada por de uma placa circular aquecida. . em qualquer dos seus pontos estando a origem no centro da placa. Postado por Prof. No ponto a) A taxa de variação de b) .
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