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Teorema cEs una función ( ) es diferenciable en p, entonces es continua en p. DERIVADA DIRECCIONAL TEOREMA A Sea ( ) diferenciable en p, entonces ( ) tiene una derivada direccional en p en la dirección de vector unitario. Es decir: , = = + = • , + , Demostracion : Como es diferenciable en p. +ℎ La derivada direccional es largo de cambio en = en una direcciona albitraria dada por TEOREMA B Una función crece más rápidamente en p en la dirección del gradiente (con razón || ||) y decrece más rápidamente en la dirección opuesta (con −|| || TEOREMA C El gradiente de p. || en p es perpendicular a la curva de nivel de que pasa por || y ; 8 9 , :9 Vector tangente unitario 9 , :9 x = + 2 + . #, $, % = #$ &'( % en el punto )1,2, , Determine la derivada direccional de la función en la dirección del vector Vector unitario: =< 0 , , √2 √2 √2 0 = • > =< , , > El gradiente 4 4 4 derivada parcial. =< $ &'( % , #&'( % , #$ cos % Vector gradiente evaluado en < )1,2, - =< 2,1,0 > 2 Derivada direccional = 4 3 Ejercicio 2 Suponga que escarabajo este sobre el paraboloide hiperbólico % = $² − #² en el punto 1,1,1 como es la figura 2. =< −2#, 2$ > @| @| 1,1 =< −2,2 > 1, 0 |@ = A−2² + 2² 1, 0 |@ = , B Pendiente Ejercicio 3 Para el paraboloide % = el punto. C D − $ determine la ecuación de su curva de nivel que pasa por La curva de nivel se obtiene: #, $ = E 2,1 = 1 + 1 = Curva de nivel: C D + $ =2 C D +$ =D+1 =1+1= D √2 Dado para forma el elipse C D C D/ +$ =2 + C √2 -x= = =1 =< , 2$ > Derivada parcial ∇ 2,1 =< , 2$ ≥ = 1,2 y Vector gradiente 1 2 -y Ejercicio 4 √2 =< √2 Si la temperatura en cualquier punto de un cuerpo homogéneo esta dado por < = ' #$ − # $% ¿Cuál es la dirección de mayor descanso de temperatura en el punto (1,-1,2)? I=' = − #$ − # $% K = $' KL KM = −# $ KL KL K =' J = 0, −0, − $ − 2#$% Gradiente con respecto a x − 2#$ − # % Gradiente con respecto a y =< $' Gradiente con respecto a y − $ − 2#$%; #' OP 1, −1,2 = ' Q + 3 = −' Q + 3 − ' Q + 'Q −E − 2$# − # %; −# $ > + 1 ∗ . −1 x − REGLA DE LA CADENA TEOREMA A Sean # = # \ y $ = $ \ diferenciables en \ , y sea % = #, $ diferenciables en T# \ , $ \ U. Entonces % = diferenciable en \ y || opuesta (con razón−|| )T# \ , $ \ U- es ||) y decrece más rápidamente en la dirección ||). KM Z% [# Z% [$ = + K Z# [\ Z$ [\ TEOREMA B Suponga que # = # &, \ y $ = $ &, \ tienen primeras derivadas parciales en &, \ y sea % = #, $ diferenciable en T# &, \ , $ &, \ U. Entonces % = )T# &, \ , $ &, \ U-tiene primeras derivadas parciales dadas por 1. K^ = _ KM +_ _a _` _ Sea S , = T determinante V , = K WKK K K K K K 2. K = _ _` _ , KM _b U, $ T , JACOBIANO U entonces el jacobiano V +_ _a _` _ , W Cuando la transformación sea de 3x3 el jacobiano esta dado por V , K K XK = XK KM KY K K K K KM KY K KY K X KYX KM KY _` _ _a esta dado por el EJERCICIO Si c = # − $ − % + #$ donde # = 5\ , $ = 5 − \ y % = 5 + 2\ determine = KY K K K KY K KY K _ _a +_ _e _ _a + _e _ _` _a = 2# + $ + 2$ + # −1 + T2% 2 U KY KY _e _ = 2 5\ + 5−\ 5 = 2 5 \ + 2 5−\ − 1 + 4 5 + 2\ + 5 − 5\ − 2& + 2\ − 5\ + 4& + 8\ = 5 2\ + 1 − 2&\ + 2& + 10\ Demuestre que la función % = ' &'( $ % = ' &'( $ Ecuación de Laplace K ² + K ² = 0 satisface la ecuación de Laplace K = ' &'( $ KM K²M K K²M K²M = ' &'( $ --------------KM K K²M K = ' gh& $ = −' &'( $ b). % = ijg\i( K = − KM k C l C m = − Q / C k l C m = − Q Ck C K K = −$ −1 # + $ K²M K = K²M K Ck C --------------KM K K²M =− K K²M K K²M K k / l C m = − = # −1 # + $ =− + Ck C 2# Q K²M K − Ck C C = 0 Ck C C / = ²k ² / ² Q 2# ²k ² = Ck C =0 EJERCICIOS 2 Determine KY Kn KY K^ Si & = 1 \=2< Donde # = &gh& \ # = o$ = & &'( I % = \ # = 1 cos 2< $ = 1&'( 2< KY K^ 0. KY K^ KY = KY K KY K^ K KY = & &'( I p p K^ ^q0 q r KY K KY K K KY K KY K • K^ KM REGLA DE LA CADENA + # + % + T&'( \ U + # + $ 0 = 2 1 0 1 = 2< + 2π 1 + 2π h + # + % + T&&'( \ U + # + $ 1 = T &'( \ + \ U + &&'( \ + & cos \ + \ = −&²T &'(² \ + \ U − &\&'( \ + & stu ² a + scos \ + &gh& \ + 5 cos \ + + &\gh& \ + & cos \ + &'( \ = &²T cos \ − &'(² \ U + & −&\&'( \ + cos \ + & gh& \ + &'( \ = &² gh& 2\ + 5 −\&'( \ + \ cos \ + &'( \ + cos \ Evaluó: KY KM = $ + % + cos \ &'( \ KY KY cos \ + scos \ + \ &'( \ + 0 Correspondiente a 2. K = $ + % + cos \ K^ ^q0 q r KY • K^ + K • K^ + p K^ ^q0 q r = 1 + 1 0 + 2< + 0 + 1 = 2 + 2< EJERCICIO Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide %² = 2#² − 2$² = 12 En el punto (1,-1,4) ∇ =< −4# − 4$, 2% > ∇ | 0,Q0,0 =< −4,4,8 > v →=< −4# − 4$, 2% > Jx →= #, $, % − 1, −1,4 =< # − 1, $ + 1, % − 4 > Punto cualquiera punto conocido Jx →• v →= 0 −4# + 4 + 4$ + 4 + 8% − 32 = 0 −4# + 4$ + 8% − 24 = 0 'g igyh( ['z {zi(h Recta normal Q0 Q| = k D = `QD } EJERCICIO Determine en qué dirección crece más rápidamente la temperatura de la superficie de una placa metálica si la función de distribución de la temperatura está dada por. J , = 20 − 4#² − $² Encuentre cual es la tasa de crecimiento a partir de punto , =< −8# − 2$ > , −4 = i . −8# − 2$ [yj'ggyh( [' ~i& ji{y[h gj'gy~y'(\h [' I • . @|∇\ 2,3 ‖ ∇\ =< −8#, 2$ > ∇\ = ‖< −16#, 6$ >‖ ∇\ = √292 ∇\ = 17.09 „… \i&i [' gj'gy~y'(\h „° JOSE OMAR SALDARRIAGA ANDRADE Documents Similar To derivada direccional.pdfSkip carouselcarousel previouscarousel nextHoja 4 TrabajoDocencia.mat.Utfsm.cl ~Mat023 2011-2 Images 2 2b AAVariasVariablesJunio2011 - Copia Censuradotransparenciasvol2cap5Campos Escalares- 5.pptIndice F- III.. 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