DERIVACION E INTEGRACION /2 6 3cos x dx 1. Evalué la integral siguiente: 0 a) En forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n=2 y 4 d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3 ; e) con aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n=4; f) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8; y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n=5. Para cada una de las estimaciones numéricas de los incisos b) a g), determinar el error relativo porcentual con base en el inciso a) 1-x-4x 4 2. Evalué la integral siguiente: 2 3 2x5 dx a) En forma analítica b) con una sola aplicación de la regla del trapecio c) con la regla del trapecio compuesta, con n=2 y 4 d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la regla de Simpson 3/8; y f) con la regla de Boole. Para cada una de las estimaciones numéricas de los incisos b) a f) , determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). 3. Integre la función siguiente en forma analítica y con el empleo de la regla del trapecio, x+2/x 2 con n= 1,2,3 y 4: 2 1 dx Use la solución analítica para calcular los errores relativos porcentuales verdaderos para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio. 4. Integre la función siguiente en forma tanto analítica como con la regla de Simpson , con 4x-3 5 n=4 y 5. Analice los resultados: 5. Integre la función 3 0 3 3 dx x 2 e x dx ,tanto en forma analítica como numérica. Emplee las reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numéricamente la función. Para ambos casos, utilice la versión de aplicación múltiple, con n=4. Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos. 6. Integre la función 1.5 0.5 142 x dx , tanto analítica como numéricamente. Para las evaluaciones numéricas use a) una sola aplicación de la regla del trapecio, b) la regla de Simpson 1/3 c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos. 5+3 cos x dx , 3 7. Integre: 0 tanto en forma analítica como numérica. Para las evaluaciones numéricas utilice: a) una sola aplicación de la regla del trapecio; b) la regla de Simpson 1/3;c) la regla de Simpson 3/8; d) aplicación múltiple de reglas de Simpson con n= 5; e) la regla de Boole f) la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos y g) la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos. 8. Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con: gm tanh cd v(t ) gcd t m Donde cd =coeficiente de arrastre de segundo orden a) si g=9.8 m/s2 , m=68.1kg y cd =0.25 kg/m, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 segundos b) haga lo mismo pero evalué la integral con la regla del trapecio de segmento múltiple . Use una “n” suficientemente grande para obtener tres dígitos significativos de exactitud. 9. Evalué la integral de los datos que se tabula en seguida con a) la regla del trapecio y b) las reglas de Simpson x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 F(x) 1 8 4 3.5 5 1 10. Evalué la integral de los datos que se tabula en seguida, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson: x -2 2 4 6 8 10 F(x) 35 5 -10 2 3 20 11. Determine el valor medio de la función: f ( x) 46 45x 14 x 2 2 x3 0.075x 4 Entre x=2 y 10, por medio de a) graficar la función y estimar visualmente el valor medio, b b) con la ecuación Media f ( x) dx a (b a ) y la evaluación analítica de la integral, y c) con la ecuación anterior y una versión de cinco segmentos de la regla de Simpson para estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo. 12. La función f ( x) 2e 1.5 x se puede utilizar para generar la tabla siguiente de datos espaciados en forma desigual: x 0 F(x) 2 0.05 0.15 0.25 0.35 0.475 0.6 1.8555 1.5970 1.3746 1.1831 0.9808 0.8131 Evalué la integral de a=0 a b= 0.6, con el uso de a) medios analíticos b) la regla del trapecio y c) una combinación de las reglas del trapecio y de Simpson, emplee las reglas de Simpson siempre que sea posible a fin de obtener la exactitud más alta. Para los incisos b) y c) calcule el error relativo porcentual x 1 13. Investigue como evaluar la integral doble siguiente: 2 2 1 0 2 y 2 xy 3 dxdy a) En forma analítica; b) con una aplicación múltiple de la regla del trapecio con n=2 y c) con aplicaciones únicas de la regla de Simpson 1/3.Para los incisos b) y c); calcule el error relativo porcentual . Cree las mallas con los valores correspondientes de la función. x 2 14. Investigue como evaluar 2 2 1 3 3 0 3 yz dxdydz , a) en forma analítica y b) con el uso de aplicaciones únicas de la regla de Simpson 1/3. Para el inciso b) calcule el error relativo porcentual ,. Cree la malla con los valores correspondientes. 15. Una viga de 11 metros está sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la ecuación V x 5 0.25 x 2 Donde V es la fuerza cortante y x es la distancia a lo largo de la viga. Se sabe que V dM / dx y M es el momento flexionante. La integración conduce a la relación: x M M 0 Vdx 0 Si M0 es cero y x=11 con el empleo de a) integración analítica b) aplicación múltiple de la regla del trapecio y c) aplicación múltiple de las reglas de Simpson. Para los incisos b) y c) use incrementos de 1 m. 16. El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura, presión y volumen constante se calcula por medio de: pdV Donde W es el trabajo, p la presión, y V el volumen. Con el empleo de una combinación de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3 y la de Simpson 3/8, utilice los datos siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ=kN.m): Presion (kPa) 336 294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6 Volumen (m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11 17. Determine la distancia recorrida para los datos siguientes: t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10 v m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5 a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinación de las reglas del trapecio y de Simpson, y c) la integración analítica de polinomios de segundo y tercer orden, determinados por regresión. 18. La masa total de una barra de densidad variable es: m L 0 x Ac x dx Donde m=masa, ρ(x) =densidad, Ac(x) =área de la sección transversal, x= distancia a lo largo de la barra y L =longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en kilogramos con la exactitud mejor posible. 30 Ac. Determine el valor promedio para los datos de la figura mostrada: Realice la integral que se necesita para el promedio en el orden que muestra la ecuación siguiente: xn yn I f x. b] . 22. y dy dx .45 8.00 8.15 Tasa (autos por 4 min) 18 24 14 24 21 9 20.80 3. Un estudio de ingeniería de transporte requiere que usted determine el número de autos que pasan por una intersección cuando viajan durante la hora pico de la mañana. y [ c.x. luego una integral usando los resultados anteriores por columna).30 y las 9.41 3. g/cm3 4 3. como se muestra en la tabla a continuación.15. y dx dy . (d c)(b a) b a (Primero calcule las integrales por cada fila. cm2 100 103 106 110 120 133 150 19. 21.89 3. d ] .45 9.60 3. Utilice el mejor método numérico para determinar a) el número total de autos que pasan entre las 7. m 0 2 3 4 6 8 10 ρ.95 3. x0 y0 Recuerde que para calcular el valor promedio de una función bidimensional se usa: d I c f x. Usted se para al lado de la carretera y cuenta el número de autos que pasan cada cuatro minutos a varias horas. La cantidad de masa transportada por un tubo durante cierto periodo de tiempo se calcula con: M Q t c t dt t2 t1 . y b) la tasa de autos que cruzan la intersección por minuto (recomendación: tenga cuidado con las unidades) Tiempo (h) 7.30 7.15 8. Determine numéricamente el valor de: (considere diferentes valores cada vez más grandes en los extremos para determinar si la integral converge) a) d) 2 2 dx x x 2 b) 0 e y sen2 y dy y ye dy c) e) 1 1 y 1 y 2 0 1 0 2 e x2 2 2 / 2 dy dx Observe que la integral del inciso e) es la distribución normal. x [ a. lo que da la masa total que entra o sale de t1 a t2.min t. t1=tiempo final (min). Q(t)=tasa de flujo (m3/min). Esta fórmula es de sentido común si se recuerda la analogía entre la integración y la suma.6) Donde el flujo de masa =cantidad de masa que pasa a través de una unidad de área por unidad de tiempo (g/cm2/s).1% 23. c=concentración. que se presenta a . mg/m3 12 22 32 45 58 75 70 48 Para un flujo de salida de Q=0. D=coeficiente de difusión (cm2/s). Si la tasa de flujo es constante.Donde M=masa (mg). con valores de T en incrementos de 50ºC.3 m3/s. luego aplique la regla de Simpson para hacer su cálculo.56*10 T 2. con integración de Trapecio compuesto para una tolerancia de 0. en gramos. y x=distancia (cm). que sale del reactor entre t 0 y t 20min 26. Determine la cantidad de calor requerido para elevar la temperatura de 1200 g del c T dT c (T ) T2 material de -150 a 100 ºC. La primera ley de la difusión de Fick establece que Flujo de masa D dc dx (P24.64*10 T . La integración proporciona un medio de calcular cuanta masa entra o sale de un reactor durante un periodo específico de tiempo. Es decir. Observe que Q=4 m3 . min 0 10 20 30 35 40 45 50 c. respectivamente.4t c t 5e0. Las representaciones funcionales siguientes definen las variaciones temporales en el flujo y la concentración: Q t 9 4 cos 2 0.5t 2e0. 4 7 2 Genere una tabla usando la función c (T ) 0. t2 M Q c dt t1 Utilice la integración numérica para evaluar esta ecuación para los datos que se enlistan a continuación. usando la el valor promedio de c(T): T1 T2 T1 . 24. Q se puede sacar de la integral. min 0 1 4 6 8 12 16 20 c. así: M t2 t1 Qc dt Donde t1 y t2 =tiempos inicial y final.132 1. Se mide la concentración química de la salida de un reactor mezclado por completo t.15t Determine la masa transportada entre t1=2min y t2= 8 min. Un ingeniero ambiental mide la concentración. la integral representa la suma del producto del flujo por la concentración. mg/m3 10 35 55 52 40 37 32 34 25. calcule la masa del producto químico. y c(t)=concentración (mg/m3). la cual es una relación fundamental para el tejido suave: d E0 a d Para evaluar E0 y a. a) Calcule la derivada de d / d por medio de diferencias finitas con exactitud de segundo orden.6 x 106 m2 de sedimentos.17 1.continuación.6 Utilice la mejor técnica numérica de diferenciación disponible para estimar la derivada en x=0. cm -6 c. 10 barriles 0 10 20 30 45 60 75 0. debido a la fricción con el fondo. ¿a qué profundidades las haría para obtener la mejor estimación de la velocidad promedio? Elabore recomendaciones en términos del porcentaje total de profundidad d medida a partir de la superficie del fluido. min 6 V. Esto se expresaría así: E0 at e 1 a Donde esfuerzo tensión. Para evaluar las dos constantes materiales se deriva la ecuación anterior con respecto a .7 0. 29. y la pendiente e intersección de esta grafica con las dos constantes del material respectivamente. si se midiera en la superficie se tendría 0% d. Grafique los datos y elimine aquellos puntos cerca de cero que .05 1.88 1. Usted sabe que. se emplean datos de esfuerzo – tensión para graficar d versus d . se obtendrían curvas distintas durante la descarga.4 0. y E0 y a son constantes materiales que se determinan en forma experimental. Los siguientes datos se obtuvieron al cargar un gran buque petrolero: t. Por ejemplo.6) para calcular el flujo de masa del contaminante que se desprende de los sedimentos hacia las aguas superiores (D=1. la velocidad varia con la profundidad del canal.77 0. ¿Cuánto contaminante será transportado hacia el lago durante un año? 27.52x10-6 cm2/s). Emplee esta estimación junto con la ecuación (P24. La tabla siguiente contiene datos de esfuerzo – tensión para los tendones cordados del corazón (tendones pequeños que durante la contracción del musculo cardiaco mantienen cerradas sus válvulas) estos son los datos tomados durante la carga del tejido. mientras se encuentre en el rango fisiológico o normal de elongación. Para un lago con 3. Si los técnicos solo disponen de tiempo para hacer dos mediciones de la velocidad.32 0. dV/dt) para cada tiempo en un orden de h2 28. de un contaminante en los sedimentos en el fondo de un lago (x=0 en la interfase sedimento – agua y aumenta hacia abajo) x. 10 g/cm 3 0 1 3 0. El tejido suave sigue una deformación de comportamiento exponencial ante la tensión uniaxial. Usted está interesado en medir la velocidad de un fluido a través de un canal rectangular angosto abierto que condujera desperdicios de petróleo entre distintos lugares de una refinería.35 Calcule la tasa de flujo Q (es decir.06 0. mientras que en el fondo sería 100%d. Lleve a cabo un análisis de regresión de los demás puntos para determinar los valores de Eo y a. desarrollado por Hamilton.6 mg.4 27 1.25 17 8 33 2.43 766 . La técnica estándar para determinar la salida cardiaca es el método de dilución de un colorante. Se selecciona un punto . Para resolver este problema. Estos valores se sustituyen en la primera ecuación y se determina un valor E0 la que se a e 1 a e 1 remplaza en la primera ecuación: Con este enfoque. los datos experimentales que están bien definidos producirán un buen ajuste entre los datos y la curva analítica.11 25 0.2 35 2.parezcan no seguir la relación de línea recta.3 7 0. de los datos que este a la mitad del rango empleado para el análisis de regresión. s Concentración.32 19 4.6 176 263 350 569 833 1227 1623 2105 2677 3378 4257 x103 m / m 153 198 270 320 355 410 460 512 562 614 664 716 30. mg/L Tiempo. 5. que registra en forma automática la concentración del colorante en la sangre. mg/L 5 0 21 2.1 29 2. Emplee esta nueva relación y grafique otra vez los datos del esfuerzo versus la tensión y también la nueva curva analítica.8 96. se inyecto con rapidez una cantidad conocida. b) Es frecuente que el análisis anterior no funciona bien debido a que es difícil evaluar el valor de E0 .06 15 9.1 31 2. de colorante y se obtuvieron los datos siguientes: Tiempo. El error en dichos datos proviene de la incapacidad de los instrumentos para medir los valores pequeños en dicha región. Grafique los datos de esfuerzo versus tensión junto con la curva analítica expresada por la primera ecuación. x103 N / m2 87.1 9 0.1 23 1. s Concentración. Esto indicara que tan bien se ajustan los datos a curva analítica.9 11 0.75 13 4. no se utiliza E0 . Se inserta el extremo de un catéter pequeño en la arteria radial y el otro se conecta a un densítometro. mm Hg Edad. Existe la hipótesis de que la presión elevada daña un subconjunto de células en el ojo responsables de la vista. Un investigador postula que la relación entre la perdida de la visión y la presión esta descrita por la ecuación. Entonces. y k y A son constantes. VL A exp k t 25 P 13 dt Donde VL es el porcentaje de pérdida de visión. En la figura b). los analistas extienden la porción de la línea recta.Al graficarse los datos anteriores se obtienen la curva de dilución del colorante que se muestra en la figura de arriba. estime los valores de las constantes k y A. La concentración alcanza un valor máximo alrededor de 15 segundos después. se muestra la curva graficada en papel semilogarítmico. mm Mg 25 13 25 11 25 13 40 15 40 30 40 14 50 22 41 32 50 15 60 23 42 33 60 17 65 24 43 35 80 19 . A fin de separar el efecto de recirculación. La presión intraocular alta (presión dentro del ojo) casi siempre acompaña la perdida de la visión. P es la presión intraocular (mm de mercurio (mm Hg). luego hay una disminución seguida de un aumento ocasionado por la recirculación del colorante. años P. años P. t es el tiempo (años). la salida cardiaca se calcula por medio de la ecuación siguiente. mm Hg Edad. 31. En todo el mundo. Paciente A B C Edad al emitir el 65 43 80 diagnostico 60 40 30 Edad. el glaucoma es la segunda causa principal de perdida de la vista. M=cantidad de colorante inyectado (mg). años P. Observe que la rama descendente de la curva de dilución se aproxima a una línea recta. C M x60 s / min A Donde C= salida cardiaca (L/min). y A=área bajo la curva con la correlación lineal. Con el uso de los datos siguientes procedentes de tres pacientes. Calcule la salida cardiaca de este paciente con el empleo de la regla del trapecio con un trapecio con un tamaño de paso de 2 s. 980 8 26.843 16 31. 33.251 52 38.146 24 37. Se emplea la video angiografía para medir el flujo sanguíneo y determinar el estado de la función circulatoria. Tiempo. Una de sus colegas diseño una parche transdermico nuevo para aplicar insulina a través de la piel de los pacientes diabéticos en forma controlada. Proporcione su mejor estimación posible de la cantidad de medicina distribuida a través de la piel en 24 horas de uso de un parche de 12 cm2.936 12 28. 34.124 84 37.925 92 31.813 88 35. encuentre las fronteras del vaso sanguíneo y estime el diámetro de este.920 76 38.658 Las fuerzas del viento (f) .432 68 38. de modo que se determine el flujo total de la sangre.351 36 39. Mg/cm2/h h mg/cm2/h h 15 0 8 5 14 1 5 10 12 2 2. .103 60 38.343 40 39. Con los datos que se proporciona.666 104 26.631 80 38. Recabo los datos siguientes acerca del flujo de masa de la insulina que se aplica a través del parche (y piel) como función del tiempo: Flujo Tiempo.100 44 39.013 28 38. Calcule la fuerza de tensión T en el cable de soporte izquierdo del mástil.163 72 38.804 96 28. A fin de cuantificar los video angiogramas se necesita conocer el diámetro del vaso sanguíneo y la velocidad de la sangre. Emplee fórmulas de diferencias centradas tanto O(h2) como de O(h4) y compare los resultados.995 32 39. ejercidas por pie de mástil de las velas (de un bote de vela de carreras) varian en función de la distancia sobre la cubierta del bote (z) .5 15 11 3 2 20 9 4 1 24 Recuerde que el flujo de masa es la tasa de flujo a través de un área. pero no momentos.025 64 38. A continuación se presenta el perfil densiométrico tomado de un video angiograma de cierto vaso sanguíneo: Una forma de determinar de modo consistente a que distancia del angiograma se localiza el borde del vaso sanguíneo.331 4 26.667 48 38.273 56 39. es determinar la primera derivada del perfil en un valor extremo. Suponga que el mástil permanece vertical. con lo que se elimina la necesidad de inyecciones dolorosas. Distancia Densidad Distancia Densidad Distancia Densidad Distancia Densidad 0 26.309 20 34.806 100 26. Flujo. suponiendo que el cable de soporte derecho está totalmente flojo y que el mástil se une a la cubierta de modo que transmite fuerzas horizontales o verticales. o (1/A)dm/dt.32. el flujo promedio Q (m3/s) se calcula por medio de: Q U y H y dy B 0 Donde U=velocidad del agua (m/s). m 0 2 4 5 6 9 H. Los puntos de los datos representan ubicaciones en las que ancló un barco y se hicieron mediciones de la profundidad.25 1. calcule el valor F con el uso de la regla del 6 z trapecio y las de Simpson 1/3 y 3/8. m 0. z .05 0.02 . el ingeniero debe basarse en mediciones discretas de la profundidad para calcular A. Divida el mástil en intervalos de cinco pies. De acuerdo al problema anterior.3 1. y y=distancia desde uno de los márgenes (m). A menos que se disponga de dispositivos electrónicos muy avanzados para obtener perfiles continuos del fondo del canal. f ( z )dz f ( z ) dz Las áreas (A) de la sección transversal de una corriente se requieren para varias tareas de la ingeniería de recursos hidráulicos. como el pronóstico del escurrimiento y el diseño de presas.06 0.5 1. Utilice aplicaciones (h=4 y 2 m) de la regla del trapecio y de la de Simpson 1/3 (h=2m) para estimar el área de la sección transversal representada por esos datos.11 0. m/s 0.7 1 0. En forma similar. Calcule también la fuerza efectiva “d” sobre la línea de acción.25 U.Considere que la fuerza distribuida “f” se convierta en una fuerza total equivalente F y que se calcula su localización “d” sobre la cubierta. para os datos siguientes: y. mediante la integral: 30 d 0 30 0 35.12 0. H=profundidad (m). el área de la sección transversal de un canal se calcula con: Ac H y dy B 0 Donde B=ancho total del canal (m). 36. Use estas relaciones y algún método numérico para determinar Ac y Q. La fuerza total ejercida sobre el mástil se expresa como la integral de una función continua: F 30 0 250 z z /10 e dz . En la figura inferior se representa un ejemplo de sección transversal común de una corriente. Este cálculo se complica por el hecho de que la fuerza ejercida por pie de mástil varia con la distancia sobre la cubierta.03 0. El agua ejerce presión sobre la cara aguas arriba de una presa. Se midió la fuerza del viento distribuida contra el costado de un rascacielos. se le pide que calcule el área del terreno que se muestra en la figura inferior. Utilice los datos que se resumen en la tabla inferior para estimar el número total de autos que cruzan por día (tenga cuidado con las unidades) Tabla : Tasa de flujo de tráfico (autos/min) en una intersección medida en diferentes momentos durante un periodo de 24 horas. Un individuo la visita en diferentes momentos durante el curso de un día y cuenta durante un minuto los autos que pasan por la intersección. así: Altura. N/m 0 340 1200 1600 2700 3100 3200 3500 3800 Calcule la fuerza neta y fuerza efectiva sobre la línea de acción debida a este viento distribuido (véase ejercicio 36) 40. como se ilustra en la figura inferior : . F(l). Durante un levantamiento.37. Un estudio de ingeniería del transporte requiere que se calcule el número total de autos que cruzan por una intersección en un periodo de 24 horas. l. m 0 30 60 90 120 150 180 210 240 Fuerza. Emplee reglas de Simpson para determinar el área (limitada por 2 caminos y un cauce) 38. Hora Tasa Hora Tasa Hora Tasa 2 9:00 AM 11 6:00 PM 20 2:00 AM 2 10:30 AM 4 7:00 PM 10 4:00 AM 0 11:30 AM 11 8:00 PM 8 5:00 AM 2 12:30 PM 12 9:00 PM 10 6:00 AM 6 2:00 PM 8 10:00 PM 8 7:00 AM 7 4:00 PM 7 11:00 PM 7 8:00 AM 23 5:00 PM 26 12:00 medianoche 12:00 3 medianoche 39. Si se omite la presión atmosférica (porque opera contra ambos lados de la cara de la presa y en esencia se cancela).27 3. y D=elevación (en m) que hay del fondo de la presa a la superficie del agua. m /s Determine el volumen. De acuerdo con la ecuación p z g D z . 0 4 6 8 10 12 14 7. El panel tiene una eficiencia de absorción eab de 45 %.54 0. El calor total absorbido está dada por: t q 0 2 0.8m/s2). Como ingeniero . 42. g=aceleración de la gravedad (9.32 t h eab qAdt .80 8. Usted dispone de los datos históricos promedio para el rio: Fecha Med Med Med Med Med Med Med Med Med Ene Feb Mar Abr Jun Sep Oct Nov Dic 30 38 82 125 95 20 22 24 35 3 Flujo.La presión se describe con la ecuación: p z g D z Donde p(z) es la presión en pascales (o N/m2) que se ejerce a “z” metros de elevación sobre el fondo de la presa. La línea de acción también puede obtenerse con la evaluación de: gzw z D z dz gw z D z dz 0 d 0 D 0 Use la regla de Simpson para calcular ft y d. Para estimar el tamaño de una presa nueva.20 . la presión se incrementa en forma lineal con la profundidad.03 6. Compruebe los resultados con un programa de cómputo para la regla del trapecio.donde “A” es el área y “q” el flujo de calor. 41.00 8. la fuerza total f se determina con la multiplicación de la presión por el área de la cara de la presa (como se muestra en la figura (b).10 5. = densidad del agua. Tenga cuidado con las unidades y al hacer una estimación apropiada del flujo en los puntos extremos. la fuerza total se obtiene con la evaluación de: ft gw z D z dz D 0 Donde w(z)= ancho de la cara de la presa (m) en la elevación z (véase la figura b). usted tiene que determinar el volumen total de agua (m3) que fluye por un rio por un año. Como tanto la presión como el área varían con la elevación. que para este problema se supone ser constante de 103 kg/m3. Los datos que se enlistan en la tabla siguiente proporcionan mediciones por hora del flujo de calor q (cal/cm2/h) en la superficie de un colector solar. como se ilustra en la figura (a). usted debe estimar el calor total absorbido por un panel colector de 150000 cm2 durante un periodo de 14 horas. suponga que la corriente se describe por una senoide simple: i (t ) sen (2 / T ) . dicha corriente es capaz de realizar trabajo y generar calor. La ley de Fourier la emplean en forma rutinaria los ingenieros para determinar el flujo de calor a través de las paredes. 44. los ingenieros a menudo caracterizan esta corriente por: I RMC 1 T 2 i t dt . T= temperatura (ºC). Por consiguiente.9635 0. El valor promedio de la corriente eléctrica oscilante en un periodo puede ser cero . Se midieron las temperaturas siguientes a partir de la superficie (x=0) de una pared de piedra: x. Determine la concentración promedio con base en los datos siguientes: z. m 0 0. a cierta profundidad. donde i(t) es la corriente instantánea. calcule el valor de k.08 0. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de una unidad de área de cierto material por unidad de tiempo.2 8. El valor promedio de esta función se determina i T 0 mediante la siguiente ecuación: 2 t sen dt T cos(2 ) cos 0 0 . m 6 V. Se calcula con la ley de Fourier: J k dT dx Donde J está en unidades de J/m2/s.43.0000 10. Por ejemplo .m).1 45. A pesar del hecho de que el resultado T 0 T total es cero.2 4. donde T es el periodo.8175 5. El área de la superficie horizontal As(m2) de un lago. ºC 20 17 15 Si el flujo en x= 0 es de 60 W/m2. 10 m 3 C.4 5. g/m3 0 4 8 12 16 9. y k es un coeficiente de conductividad térmica que parametriza las propiedades conductoras de calor del material y se expresa en unidades de W/(ºC.5 7. se mide a partir de la superficie en dirección del fondo.16 T. Calcule la raíz media T 0 cuadrática para la corriente según las especificaciones siguientes: . y x=distancia (m) a lo largo de la trayectoria del flujo de calor. se calcula a partir del volumen por medio de diferenciación: As z dV z dz Donde V=volumen (m3) y z=profundidad (m). La concentración promedio de una sustancia que varía con la profundidad c(g/m3) se obtiene por integración: c z A z dz A z dz z c s 0 z 0 s Donde z= profundidad total (m).3927 0.1051 1. En la solución de un problema real. volts 0 18 29 44 49 46 35 26 15 7 Suponga que la corriente a través de una resistencia esta descrita por la función: i t 60 t 60 t sen 2 t . Si la fuerza varia durante el cálculo. La ley de Faraday caracteriza la caída de voltaje a través de un inductor.4 0. y que la resistencia es función de la corriente: R 12i 2i 2/ 3 . use los datos de corriente que siguen para elaborar una gráfica del voltaje versus el tiempo: t.2 0. cuando se analizan los datos .3683 0.i t 5e1. pero emplee la regla de Simpson 1/3 de cinco segmentos.16 0.2 0.7 i 0 0’. H=1V. quizá la fuerza no se exprese de esta manera. t.s/A).2 0. Si F(x) es fácil de integrar. 47. Determine la caída de voltaje como función del tiempo. 50. así: VL L di dt Donde VL =caída de voltaje (V). Use la regla del trapecio y Simpson 1/3 y romberg ( investigar) con s 1% para estimar la integral 46. La formula general es : Trabajo =fuerza x distancia.2282 0.2 0. De hecho. s 0 -3 I.32 0. 0.84 2. Si inicialmente un capacitor no tiene carga.1441 En ingeniería muchos problemas implican el cálculo del trabajo. ms 0 10 20 40 60 80 120 180 280 400 V. Calcule el voltaje promedio desde t=0 hasta 60 con el uso de la regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples.6 0. con los datos siguientes para una inductancia de 4H 48.0486 0.xn: posiciones inicial y final respectivamente.3819 0.5 0. la ecuación anterior se puede calcular analíticamente. y F(x) fuerza que varia con la posición.3 0. L= inductancia (en henrios.0 Con base en la ley de Faraday (véase el problema anterior) use los datos siguientes de voltaje para estimar la inductancia en henrios si se pasa durante 400 milisegundos una corriente de 2 A por el inductor.1 0.ft).25t sen2 t para 0 t T / 2 i t 0 paraT / 2 t T Donde T=1 s.8 1 1. t 0 0. 49. i=corriente (A) y t= tiempo (s).56 0. donde x0. la ecuación para el trabajo se define como: W xn F ( x) dx x0 Donde: W=trabajo (lb.0082 0. Repita el problema anterior. el voltaje a través de él como función del tiempo se calcula por medio de: V t 1 t i t dt C 0 Si C=105 faradios. 10 A 51. 90 8.125x 0.0881 30 5. pero use la ecuación siguiente: f x 1. 53. 52.0000 5 9.48 1.Emplee los valores de de la tabla anterior. De acuerdo a las restricciones experimentales usted cuenta con mediciones discretas a intervalos de x=5 ft (ver tabla anexa). pero utilice integración de Romberg (investigar) con s 0.8087 25 12.0002 x3 Utilice la función f(x) del problema anterior. Use reglas del trapecio con 4. la integración numérica es la única opción viable para la evaluación.8 y 16 segmentos para calcular la integral.0 1.6 x 0. pero emplee la regla de Simpson 1/3. En tal sentido. rad F ( x) cos 0 0.0 0.0 0. pero es mas común que la relación funcional sea complicada. si F(x) y ( x) son funciones sencillas.5% 56.5 1. Efectué el mismo cálculo que en problema 53 pero emplee la ecuación que sigue: x 0. entonces: xn W F ( x) cos[ ( x)] dx x0 De nuevo.7025 20 10. x. la ecuación anterior se podría resolver analíticamente. El trabajo que realiza un objeto es igual a la fuerza por la distancia que se desplaza en la dirección de la fuerza.0 1. ft F(x). La velocidad de un objeto en la dirección de una fuerza está dada por: v 4t v 16 4 t 0t 4 2 4 t 14 .5297 10 13. Repita el problema anterior.50 0. lb .8 0. La ecuación del trabajo llega a dificultarse aun más al tomar en cuenta este efecto. Se obtiene mayor complejidad si el ángulo de entre la fuerza y la dirección del movimiento también varía en función de la posición. En tal situación.75 9.3537 Ejecute el mismo cálculo que en el problema anterior. 55.40 1.0 0.009 x2 0.30 2.045x 2 . la fuerza podría estar disponible solo en forma tabular. los métodos numéricos ofrecen la única alternativa para determinar la integral.50 0. Use versiones de una y múltiples aplicaciones de la regla del trapecio y las reglas de Simpson 1/3 y 3/8 para calcular el trabajo con estos datos. Resuelva el problema 55 .0 1.5120 15 14.obtenidos de las mediciones. 54. la temperatura de la bola cambia así. Tiempo.Donde v=m/s. Use integración numérica para calcular el módulo de rigidez para la curva esfuerzo-tensión que se aprecia en la figura b) . Proporciona una medida de la energía por unidad de volumen que se requiere para hacer que el material se rompa. Grafique dT/dt versus T-T0 y emplee regresión lineal para evaluar k. Si una bola de metal calentada a 80ºC se sumerge en agua que se mantiene a T 0=20ºC constante. min 0 5 10 15 20 25 T. 57. Emplee la aplicación múltiple de la regla de Simpson para determinar el trabajo si se aplica una fuerza constante de 200 N para toda t.7 20.1 21. Por ello. 58. Asi esta ecuación (denominada ley de Newton para el enfriamiento) especifica que la tasa de enfriamiento proporcional a la diferencia de temperaturas del cuerpo y del medio circundante. To=temperatura del medio circundante (ºC) y k=constante de proporcionalidad (por minuto) . Una barra sujeta una carga axial (véase la figura a) se deformará como se ilustra en la curva esfuerzo – tensión que aparece en la figura b) El área bajo la curva desde el esfuerzo cero hasta el punto de ruptura se denomina módulo de rigidez del material. La tasa de enfriamiento de un cuerpo (ver figura inferior) se expresa como: dT k T T0 dt Donde T=temperatura del cuerpo (ºC). ºC 80 44. es representativo de la capacidad del material para superar una carga de impacto.7 Utilice diferenciación numérica para determinar dT/dt en cada valor del tiempo.5 30 24. 25 3.30 0. por medio de diferencia numérica.11 0.35 m.83 x.01 0. Estime a) la velocidad (dx/dt) y b) la aceleración (dv/dt).10 0. q=tasa de consumo de combustible y g=aceleración de la gravedad hacia abajo (se supone constante=9. (Para entender el significado físico de esta relación. F. U=1800m/s.59. s 0 0. Si se conoce la distribución de la velocidad de un fluido a través de un tubo (véase la figura). 103N 0 0. m 153 185 210 249 261 271 273 Donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. m0=160000 kg. Emplee la regla de Simpson de aplicación múltiple para evaluar la distancia vertical que recorre un cohete si su velocidad vertical está dada por: v 11t 2 5t v 1100 5t v 50t 2 t 20 63. m 0 0. utilice la regla del .046 0.25 0.37 3. 0 t 10 10 t 20 2 20 t 30 La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la fórmula que sigue: m0 v u ln gt m0 qt Donde v=velocidad hacia arriba. Si la distribución de la 176 r velocidad está dada por v 2 1 donde r0 es el radio total (en este caso r0 3cm).15 0. la tasa de flujo Q(es decir.05 0. calcule el trabajo realizado con la compresión hasta x=0.20 0.8m/s2). y q=2500 kg/s. Con los datos siguientes. calcule Q con el empleo de la regla del trapecio de aplicación múltiple.063 0. 60. Analice los resultados. Por lo tanto.35 Se midió la posición de un avión de combate durante su aterrizaje en la cubierta de un portaviones: t. u = velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete. m0=masa inicial del cohete en el tiempo t=0.028 0.52 1. Q v 2 r dr donde r es la r 0 distancia radial medida hacia fuera del centro del tubo.04 1. recuerde la estrecha conexión que hay entre la suma y la integración) Para un tubo circular. el volumen de agua que pasa por el tubo por unidad de tiempo) se calcula por medio de Q vdA .75 2. donde v es la velocidad y A es el área de la sección transversal del tubo.13 x. A=πr2 y dA=πrdr.082 0. de un resorte cuya constante es de k=300 N/m: 61. 62. Resuelva el problema con dos enfoques distintos. Estime la entalpia del fluido a 400K y 50 atm (evalué la integral de 0. P V H V T dP 0 T p . R es el radio del tubo.847 0.5 5.0 12. 66. tiene el perfil de velocidades que sigue. R es el radio del tubo. m/s 0.543 0.0 0. con el uso de la relación r2 Q 2 rvdr vc Ac donde r es el eje radial del tubo. r.719 0. 65. pulg Velocidad.914 0.1 atm a 50 atm).795 0.62 4. cm Velocidad. Q.5 10.0 7.v. c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral de ajuste polinomial como el valor más correcto.69 0. El flujo de un fluido de Bingham no corta el fluido central.5 20.00 4. Q. la tasa de flujo volumétrico.01 3. v. r.00 Encuentre la tasa de flujo volumétrico total.427 0. donde r es el eje radial del tubo.42 1. pie/s 0 1 2 3 4 5 6 5.0 2. y v es la velocidad. Los datos se tomaron para un fluido real. Resuelve el problema con dos enfoques diferentes. La entalpía de un gas real es función de la presión como se describe a continuación. v es la r1 velocidad. vc es la velocidad en el núcleo.204 0 Encuentre.0 17. a) Ajuste una curva polinomial a los datos fuera del núcleo e intégrela b) Para la integración emplee la regla de Simpson de aplicaciones múltiples. Un fluido desarrollado por completo de un plástico de Bingham que se mueve por un tubo de 12 pulgadas de diámetro. 64.890 0. c) Encuentre el error porcentual con el uso de la integral del ajuste polinomial como el valor más correcto.5 15.trapecio de seis segmentos y de Simpson 1/3 y los métodos de Romberg o(h8) (investigue) para determinar que altura alcanzara el cohete en un vuelo de 30 s.00 5. a) Ajuste una curva polinomial a los datos de velocidad e intégrela en forma analítica b) Para la integración utilice una aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3. y Ac es el área de la sección transversal del tapón. Radio. Un flujo desarrollado por completo que pasa a través de un tubo de 40 cm de diámetro tiene el perfil de velocidad siguiente: Radio. con la relación Q k 0 2 rvdr . lo que produce un flujo tapón alrededor de la línea central. 90 0.V.2 v2 v1 Pdv ). 68.54 0. La ecuación de Rosin – Rammler – Bennet (RRB) se emplea para describir la distribución de los tamaños de polvo fino. .62 Dados los datos siguientes. c) Encuentre el área superficial por masa de polvo Sm (cm2/g). de polvo incluido en la distribución.5 2.55 25 1. atm 3 8 13 18 23 12.78 45 0.8 1.49 1.35 1. a) Encuentre en forma numérica el trabajo realizado sobre el gas.cm3 y un diámetro mínimo dmin.5 3. se encuentra con la derivada de la distribución acumulada. Suponga una densidad 1g. L P.5 5 4. el tamaño en que la derivada de f(x) es igual a cero.68 0. F x 1 e x / x´ n´ dF x dx f x a) Calcule en forma numérica la distribución de la densidad de masa f(x) y grafique tanto f(x) como la distribución acumulada F(x).99 1. calcule la moda del tamaño de la distribución de la densidad de masa – es decir.6 0.675 0. b) Con sus resultados del inciso a).61 0.7 20 1.2 y 4 segmentos.24 30 0. b) Calcule las razones de los errores en estas estimaciones y relaciónelas con el análisis del error de la regla del trapecio. La distribución de la densidad de masa f(x) o masa de las partículas de polvo de un diámetro x.2 1.7 5. F(x) representa la masa acumulada de las partículas de polvo de diámetro x y más pequeñas x´ y n´ son constantes iguales a 30um y 1.1 1.7 50 0.03 40 0.2 2. T=350K T=400K T=450K 0.5 1. de 1 m . atm 67.4 1.23 10 2.1 220 250 282. por medio de: Sm 6 f x d min x dx La ecuación es válida solo para partículas esféricas.1 4. encuentre el trabajo isotérmico realizado sobre el gas cuando se comprime de 23 L a 3 L (recuerde que W V.75 0. L P. con la regla del trapecio de 1.44 respectivamente. 005 N.87 7.s/m2).30 8. Se hicieron las mediciones siguientes para el flujo de aire sobre una placa plana que mide 200 cm de largo y 50 cm de ancho. T=temperatura (K) y y=distancia normal a la superficie (m).77 7.K). Observe que 1J=1W. cm 0 2 4 5 6 7 r. a) Determine la caída de presión para un tubo de 10 cm de longitud para un líquido viscoso (u=0. rDonde =densidad (=1. . dp 8uQ 4 dx r está dado por: Donde = presión (N/m2). u=viscosidad dinámica (N.s 70. pero la tapa tiene una inclinación de 45 grados respecto al eje.K. a) determine el flujo a la superficie. y las variaciones del radio con la longitud que siguen. y r=radio (m).95 6. k 0 1 3 5 900 480 270 200 Si k= 0.57 4. K=conductividad térmica (W/m. 72. y.m. que se calcula como: R 0 v 2 r d. El gradiente de presión para un flujo laminar a través de un tubo de radio constante.028 J/s.8 6. cm 0 1.6 3. x.4 7.47 7. s/m2.69.34 1.89 0 Utilice integración numérica para determinar la tasa de flujo de masa.69 9.35 1. y b) la transferencia de calor en watts. como se muestra en la figura obtenga el volumen mediante la regla trapezoidal con 20 intervalos. Se recabaron datos de la velocidad del aire en radios diferentes desde la línea central de un tubo circular de 16cm de diámetro. cm T. x =distancia a lo largo de la línea central del tubo (m) . 71. Q=flujo (m3/s). Para el flujo de un fluido sobre una superficie.2 4. m/s 10 9. el flujo de calor hacia la superficie se calcula con: J k dT dy Donde J=flujo de calor (W/m2).58 2 b) Compare su resultado con la caída de presión que tendría que ocurrir si el tubo tuviera un radio constante igual al radio promedio.79 5. donde v =velocidad). densidad = =1x103kg/m3) con un flujo de 10x10-6m3/s. como se muestra a continuación: r. c) Determine el número de Reynolds promedio para el tubo a fin de comprobar que el flujo es de verdad laminar (Re= vD / u 2100.95 8 v.2kg/m3).5 m y es perpendicular al eje.6 1. El fondo de un cilindro circular tiene un radio de 0. mm 2 1. Exprese sus resultados en kg/s. Ajuste el conjunto de datos por la fórmula de interpolación de Lagrange.5596 5 1. f1).5140 0.2 del problema anterior estime una integral más exacta.8 0 f x dx Por la regla trapezoidal extendida con h=0. x f(x) 0.2.2 3. Considere tres puntos de datos.1399 0.1 2.75 0.4 3.9162 2 0.1639 0.73.4. h=0.8358 Aplicando la integral de Romberg (investigar) a los resultados de la regla trapezoidal con h=0.5 1 0 b) mediante la integración de Romberg (investigar) de los resultados de la pregunta (a).4055 a) Calcule I f x dx . 76. Con la tabla de función que se da más abajo.1220 0.5 2.0244 0. La regla 1/3 de Simpson es exacta si se integra un polinomio de orden 3 o menor. A continuación se da una tabla de función: i xi f(xi) 1 0 0. Sugerencia: Transforme las funciones de forma en series de potencias con polyfit.0 0 0.8579 0. integre el polinomio con poly_itg. Una vez que obtenga los coeficientes de la potencias. estime un valor más exacto de I. evalué: 0. Integrando la fórmula de interpolación de Lagrange.1 y h=0. demuestre que se obtiene la regla 1/3 de Simpson. por la regla trapezoidal extendida con h=0.3 3.8109 3 0. Verifique esto integrando: 3 J x3dx 0 .1 74.5 0. (1.f3). (-1.7 2.2568 0. 75.25 y h= 0. y h=0. f2). (0. 77.25 0.6931 4 0.0 0.8 1.6 2. Por la regla 1/3 de Simpson y analíticamente. Repita utilizando la regla 3/8 de Simpson. 78. Evalué las siguientes integrales con la regla 1/3 de Simpson extendida empleando n=2, 4, 8, 16 y 32. a) d) 79. 1 0 0 dx 2 cos x b) x exp 2 x dx e) 2 1 1 0 log 1 x dx x c) x x dx f) 2 0 2 0 dx 1 sen 2 x exp 2 x sin 2 x dx Suponga que es un arquitecto y piensa utilizar un arco grande cuya forma parabólica esta dado por: y 0.1x 30 x metros , donde “y” es la altura sobre el suelo y “x” está en metros. Calcule la longitud total del arco por la regla de Simpson extendida. (Divida el dominio desde x = 0 hasta x=30 m en 10 intervalos igualmente espaciados.) L 30 0 80. 2 dy 1 dx dx Un automóvil de masa M=5400 kg viaja a una velocidad de 30m/s. La transmisión se pone en neutral repentinamente en t=o s. Suponga que la ecuación de desaceleración después de t=0 está dada por. 5400 dv 8.276v 2 2000 dx Donde v=v(t) es la velocidad (m/s) del automóvil en t. El miembro izquierdo representa Mv(dv/dx). El primer término del miembro derecho es el arrastre aerodinámico y el segundo término es la resistencia al rodamiento de los neumáticos. Calcule la distancia que recorre el automóvil hasta que la velocidad se reduce a 15 m/s. Sugerencia. La ecuación del movimiento se puede integrar como 30 15 x 5400 vdv dx´ x 2 0 8.276v 2000 Evalué la ecuación anterior utilizando la regla de 1/3 de Simpson 81. (a) si f(x) es un polinomio de orden n o menor, la formula cerrada de Newton – Cotes de orden n (empleando n+1 puntos) se hace exacta. Explique la razón. b) La fórmula cerrada de Newton – Cotes de orden par “n” se hace exacta si f es de orden n+1. Explique por qué. 82. La longitud de una curva definida por x t , y t , a t b , esta dada por: s b a ´ t ´ t dt 2 2 Investigar en que consiste el método de la cuadratura de Gauss y aplicarla con n=2,4 y 6 para encontrar la longitud del cicloide definido por. x 3 t sen t , y 2 2cos t , 0 t 2 83. Evalue la siguiente integral impropia con exactitud de seis posiciones decimales mediante la regla del trapezoidal extendida (investigar): 84. Calcule I sen x y dydx 2 1 0 0 exp x 2 1 x2 dx por la regla trapezoidal extendida por cada eje: (utilice solo dos intervalos para cada eje; la función seno está en radianes) 85. Evalue la siguiente integral por la regla de Simpson: I 1 x 0 0 86. x ydydx El área de un círculo unitario es . La exactitud de un método numérico para la doble integración puede probarse con el problema: I dydx D Donde D significa que la integración se extiende sobre el interior de: x2 y 2 2 x Que es un círculo unitario. Realice la evaluación numérica de la doble integral anterior por la regla de Simpson extendida en ambas direcciones con 2x2, 4x4, 8x8, 16x16, 32x32 y 64x64 intervalos. 87. Por la regla de Simpson 1/3 con 10 intervalos en cada dirección, evalué la integral doble a) I 88. sen x 0 0 exp x 2 y 2 dydx b) I 2 1 20.5 x 0 x ydxdy La distribución de la velocidad de un fluido cerca de una superficie plana es: i yi, mm ui ,mm 0 0 0.0000 1 2 9.8853 2 4 15.4917 3 6 18.2075 4 8 19.0210 Evalué todas las derivadas de u(y) que pueda en y=0 89. Evalué la primera derivada de y(x) =sen(x) para x=1 utilizando los tres métodos distintos: a) y´1 y 1 h y 1 / h b) y´1 y 1 y 1 h / h c) y´1 y 1 h y 1 h / h Evalue lo errores con h=0.1, 0.05, 0.01, 0.005, y 0.001 comparando con los valores exactos. 90. Calcule df(x)/dx, donde f(x)= x , para x=1, utilizando las aproximaciones de diferencia hacia adelante, hacia atrás y central con h=0.1, 0.05, y o.o25. Evalué el error de cada resultado (i) por comparación con el valor exacto y (ii) utilizando el termino de error es decir, 1/ 2 hf ´´, 1/ 2 hf ´´, y 1/ 6 h2 f ´´´ , respectivamente. 91. Puede derivarse una fórmula de aproximación de diferencia diferenciando una fórmula de interpolación de Lagrange. Suponga que tenemos f 2 , f 1, f 0 con un intervalo equiespaciado “h”. Elabore un guion en Matlab que encuentre los coeficientes en la aproximación de diferencia. Suponga que el tamaño de intervalo entre dos puntos consecutivos es igual a h. (cada término de la interpolación de Lagrange puede transformarse en una forma de potencias con el comando polyfit. Después, encuentre los coeficientes de la derivada del polinomio.) 92. Deduzca una aproximación de diferencia y el término de error para f i en términos de (i) fi 1 y fi 2, ii fi 1 , fi y fi 2 y iii fi 2 y fi 2 . Suponga que los puntos de retícula están equiespaciados. 93. Deduzca una aproximación de diferencia y el termino de error para fi ´´ en términos de fi , fi 1 y fi 2 (aproximación de diferencia hacia atrás de tres puntos para f i ´´ ). 94. Repita el problema 98) con las aproximaciones de diferencia hacia adelante y hacia atrás con exactitud de segundo orden: a) f ´1 f 1 2h 4 f 1 h 3 f 1 / 2h b) f ´1 3 f 1 4 f 1 h f 1 2h / 2h y evalué los errores mediante una comparación con el valor exacto de f ´1 95. Calcule la primera derivada f ´1 para f x sen x utilizando las aproximaciones de diferencia hacia adelante y hacia atrás con exactitud de segundo orden utilizadas en el problema anterior para h=0.1, 0.05, 0.025, y 0.001. Después, evalúe el error de cada aproximación numérica comparándola con el valor exacto. Grafique el resultado. Si observa un incremento del error al reducirse, h, explique la razón. 96. Se quiere deducir una aproximación de diferencia para f 2 , f 1 , f0 , f1 , f1 y f 2 f ´´´ en términos de diferenciando la fórmula de interpolación de Lagrange. Escriba un guion en Matlab que realice esta tarea. (Cada término de la interpolación de Lagrange puede transformarse a una forma de potencias con polyfit. Después, encuentre los coeficientes de la derivada del polinomio). 97. Evalué la segunda derivada de tan x en x 1 con la fórmula de diferencia central empleando h=0.1, 0.05, y 0.02. Evalué el error mediante comparación con el valor exacto y demuestre que el error es proporcional a h 2 Determine el valor óptimo de para la siguiente ecuación: fi ´ fi 1 2 fi Fi 1 / h2 1 fi 2 fi 2 / 2h Sugerencia: Elimine el error inicial tanto de : Como de 100. Una tabla de función está dada por x f -0. fi 1 . Evalúe el error de truncado de la siguiente formula de diferencia: f ´ x fi 3 9 fi 1 8 fi / 6h 104. fi 1 . deduzca las aproximaciones de diferencia para f i ´ y f i ´´ en términos de fi . 101. fi ´ fi fi 1 / h 1 fi fi 2 / 2h 99.2 4. fi2 2 fi fi 2 / 2h 2 fi1 2 fi fi1 / h2 2 Deduzca las aproximaciones de diferencia más exactas para fi ´ y fi ´´ en términos de fi 2 .1 4. fi 1 .157 0 4. y fi 2 . Suponga que los puntos de datos están equiespaciados.020 0.98.441 a) Deduzca la mejor aproximación de diferencia para calcular f 0 con los datos dados aquí b) Cual es el termino de error para la aproximación de diferencia? c) Calcule f ´ 0 por la fórmula que dedujo 103. Aplicando la expansión de Taylor. y fi 3 con la mayor exactitud posible cada una. fi 2 . Dos aproximaciones de diferencia para la cuarta derivada están dados por fi ´´´ fi 4 4 fi 3 6 fi 1 fi 0 h h4 fi ´´´´ fi 2 4 fi 1 6 fi 4 fi 1 fi 2 0 h2 4 h Utilice la expansión de Taylor para encontrar los términos de error 105. La distribución de velocidades de un fluido cerca de una superficie plana está dada por: . Determine la siguiente aproximación tal que se optimice la exactitud. Suponga que el espaciado de la retícula es constante 102. fi . a) Conociendo el término de error de: fi ´ fi fi 1 / h Estime el termino de error para : fi ´ fi fi 2 / 2h b) La exactitud de una aproximación de diferencia puede mejorarse con una combinación lineal de dos aproximaciones de diferencia con objeto de eliminar el error de truncado de orden más bajo de cada aproximación. 9040 1.5 1.7002 0.5 ii) Evalué 2 f / x 2 en x=1.5 2.9653 1.0 0.0 1.4274 0.3309 0. 1 y 2 106.4767 0.i yi (m) ui (m/s) 0 0.001 Ns/m2.2525 1.6552 0.5 0.0 0.001 0.5 .1573 0.0 1 0.6348 i) Evalué f / y en x=1.4547 0. calcule el esfuerzo de corte en y=0 utilizando datos en los siguientes puntos: i i 0 y 1 ii i 0.4171 2 0. A continuación se da tabla de función de f(x.y): y/x 0.2235 0.5846 0.003 0.1528 0.8478 1.0 0.2866 0.6180 Donde y es la distancia desde la superficie y u es la velocidad.0 0.5 iii) Evalué 2 f / xy en x=0 y y=0 empleando la aproximación de diferencia hacia adelante con un error de orden h2 donde h=0.3104 0.5 0.0 0.0 empleando la aproximación de diferencia central con un error de orden h2 donde h=0.0 y y=0 empleando la aproximación de diferencia hacia adelante con un error de orden h2 donde h=0. Suponiendo que el flujo es laminar y que u =0.006 1.2533 1.2412 0.9080 3 0.0 y y=1.0775 0. con un tamaño de paso de 0. Grafique los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de paso.1. con y(0) = 2.5t y 0 dt 2 .5 para resolver el problema 1.2.5 10. Solucione numéricamente el problema de t = 0 a 3. Pruébelo para el problema 8 . Emplee el método de Heun con h=0.5.12. y 0 1 dt dy y t2 dt y 0 1 Utilice el método RK de cuarto orden. 7. para resolver el problema anterior. Repita los problemas 1 .5 y 0. Resuelva el problema siguiente con el método de RK de cuarto orden: d2 y dy 0. pero para el problema de valores iniciales siguiente.3. donde y(0)=1. Investigue sobre el enfoque de RK – Fehlberg para llevar a cabo el mismo cálculo del ejemplo 25. 4. Haga un programa amistoso para el usuario para el método de Heun con corrector iterativo.1. Use el método de RK clásico de cuarto orden con h=0. dy ysen3 t . con los métodos de a) Heun (sin corrector). dy 1 2 x y dx . de t = 0 a 3.Donde y(0) = 4 y y´(0) = 0. Resuelva la ecuación que se presenta a continuación. Use los métodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver: dy 2 y 4e x dx dz yz 2 dx 3 En el rango de x= 0 a 1. dx 2. con h = 0. 12. en el intervalo de x=0 a 1. con h= 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0. 8. Itere el corrector hasta que s 1% 4.donde y(0)=2 y ’ (0)=0 Resuelva de x= 0 a 4. y 0 1 6.2. 3. Grafique la solución. Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de x= 0 a 2: dy yx 2 1. Utilice el método de Euler con h=0.6 8 y 0 . b) RK de cuarto orden: 9. 2 dx dx Grafique sus resultados.25. de x= 0 a 1. b) Heun (sin iteración) para resolver: d2 y 0.1y . con un tamaño de paso de 0.ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1. Compare los métodos por medio de graficar las soluciones.5 para resolver el problema 1 5. y z(0) = 4 11. con h= 1. Utilice los métodos de a) Euler. con el empleo del método RK de cuarto orden. donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero drenaje. Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones. Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base. y 200 (sobreamortiguado). y c = coeficiente de amortiguación (N. la tasa a la que el nivel del agua disminuye es: dy k y dt . Resuelva con la aplicación de la ecuación de Euler y escriba un programa de computadora en Excel.06. m = 20 kg masa. Grafique el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva. Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el método clásico de RK de cuarto orden.s/m). Use este programa en el problema 10. 16. t = tiempo (s).5 minutos. Como se ve. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo en minutos. 15. 14. Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0< t < 15 . El siguiente es una ecuación diferencial de segundo orden con valor inicial: d 2x dx 5 x x 7 sen t 0 dt 2 dt . 17.13. determine cuanto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m. La constante del resorte es k = 20 N/m. El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores. Si k = 0. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura) esta descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue: d 2x dx m 2 c kx 0 dt dt Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m) . 40 (amortiguamiento critico). 5 (subamortiguado). La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Utilice un paso de 0. el líquido fluirá rápido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. Pruebe el problema 9. A = área del orificio (m2). y x 0 6 Descomponga la ecuación en dos ecuaciones diferenciales de primer orden. 20. Obtenga la solución con a) el método de Euler. Para simular una población se utiliza el modelo logístico: dp k gm 1 p / pmax p dt .55. Observe que el orificio tiene un diámetro de 3 cm y C= 0. 19. se puede modelar la velocidad de un objeto que cae.81m/s2).75 m. Un tanque esférico tiene un orificio circular en el fondo a través del cual fluye líquido (véase la figura ). y m= masa (kg). y grafique sus resultados. y b) el método de RK de cuarto orden. por medio de la ecuación diferencial siguiente: c dv g d v2 dt m Donde v es la velocidad (m/s). g es la aceleración de la gravedad (9. La tasa de flujo a través del agujero se calcula como: Qsal CA 2 gH Donde Qsal = flujo de salida (m3/s). Resuelva el sistema de t = 0 a 15.5 dt Observe que 1. Emplee alguno métodos numéricos a fin de determinar cuánto tiempo tomaría que el agua fluyera por completo de un tanque de 3m de diámetro con altura inicial de 2. cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m). Si la altura inicial es de 1 km. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0. 18.Donde: dx 0 1. C = coeficiente obtenido en forma empírica. t = tiempo (s). g = constante gravitacional (=9.225 kg/m. como un paracaidista. Después de la descomposición.81 m/s2) y H = profundidad del líquido dentro del tanque. determine en que momento choca con el suelo. La ecuación diferencial que sigue se utilia para analizar la vibración de un amortiguador de un auto: 1.04 y1 y2 0. así: 1x107 T 273 1x107 Tb 273 4 x107 Tb 273 T Tb 4 4 3 Donde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el término. (*) Obtenga una solución para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.01 25.5 x109 x 0 2 dt dt . ejercicio 24). Emplee Tb 150 y x 0. Use el enfoque de diferencias finitas con x 1para resolver el problema 21 23. kgm = tasa máxima de crecimiento en condiciones ilimitadas..2 x106 d 2x dx 1x107 1. Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan simplificar si se linealizan los términos no lineales.05 en t= 0. Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO.6 y1 y2 dt dy2 0. Por ejemplo. 21. para linealizar el término a la cuarta potencia de la ecuación (* . El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como: d 2T 0. x 2 24. 27. Sustituya esta relación en la ecuación (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuación lineal resultante con el enfoque de diferencias finitas. Emplee el método de diferencias finitas para resolver: 7 d2y dy 2 yx0 dx 2 dx Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8.Donde p= población. Simule la población mundial entre 1950 y 2000.15 y2 dt Donde y1 = 1 y y2 = 0. de t= 0 a 100 dy1 0. con el empleo de algún método numérico. Desarrolle una gráfica de espacio estacionario (y1 versus y2) de sus resultados. y pmax es la capacidad de carga. Utilice el método de diferencias finitas para solucionar d 2T 4 1x107 T 273 4 150 T 0 2 dx …….15T 0 dx 2 Investigue una solución analítica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150 22.5)= 100 x 0. 26.01 para obtener su solución. se puede usar una expansión en series de Taylor de primer orden.35 y1 1. b = 2. Grafique los resultados u versus x.666667 y r = 28. 28. b) Emplee Matlab para determinar los valores y vectores propios para el sistema.1 30. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación diferencial ordinaria con valores en la frontera : d 2u du 6 u 2 2 dx dx Con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. b = 0. 29. Resuelva para los valores propios y frecuencias naturales para los valores siguientes de masa y constantes de los resortes: k1 = k4 = 15N/m. vector de aceleración matriz k / mvector de desplazamiento 0 Observe que cada ecuación ha sido dividida entre la masa.5.4. y m1 = m2 = m3 = 1. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y = 1 e integre de t = 0 a 30 dx x y dt dy b) rx y xz dt dz bz xy dt Donde 10 . que describa la distribución de la temperatura en una barra circular con fuente interna de calor S. de t=0 a 0.5. a) use Matlab para resolver las ecuaciones. Escriba las tres ecuaciones diferenciales en forma matricial. por medio del método de diferencias finitas.En el rango 0< r < 1.7. Utilice x 0. para el caso en que x=0. k2 = k3 = 35 N/m.5 kg . 10 y 20 k/m2. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un sistema de cuatro resortes y tres masas (figura inferior) que describa su movimiento en el tiempo. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e integre de t = 0 a 20.4. Use algún código de Matlab para integrar: dx ax bxy dt a) dy cy dxy dt Donde a = 1. con las condiciones de frontera T r 1 1 dT dr r 0 0 Para S = 1. Grafique la temperatura versus el radio 32. Resuelva para la EDO no dimensionada. d 2T 1 dT S 0 dr 2 r dr 31 . c = 0.Transforme esta ecuación en un par EDO.9 y d = 0. y dx/dt = 0 en t = 0. Emplee valores de cb 40 mg / m3 .33. Q = tasa de flujo (1 m3/min).5) y grafique sus resultados. F = tasa de alimentación (175 g/min).12t . Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentración alcance un nivel estable. c = concentración (g/m3).15 m3/g/min). Considere el sistema masa – resorte que se ilustra en la figura P27. encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Haga el . Use el método de Euler (h = 0. V = 100 m3. Use el método de Heun (sin iteración) para efectuar el cálculo. y c0 = 20 mg/m3. Pregunta adicional: Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben ser positivas. y k = tasa de reacción de segundo orden (0. como función del tiempo. que da como resultado: m1 0 0 m 2 0 0 0 x1 2k 0 x2 k m3 x3 k k 2k k k x1 0 k x2 0 2k x3 0 Al elegir x x0em como solución se obtiene la matriz siguiente: 2k m1 2 k k k 2k m2 2 k x01 k 0 m k x02 e 0 2 0 2k m3 x03 34. Q = 6 m3/min. Sí cen cb 1 e0. calcule la concentración en el flujo de salida de una sustancia conservativa (no reactiva) para un reactor único mezclado completamente. Un balance de masa para un producto químico completamente mezclado en un reactor se escribe así V dc F Qc kVc 2 dt Donde V = volumen (12m3). 35.26. Relacione sus resultados con las soluciones de estado estable. Las frecuencias para las vibraciones de la masa se determinan con la solución para los valores propios y con la aplicación de Mx kx 0 . El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto tranquilo es alrededor de 3 W/(m2. encuentre las concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s.917 kg/m3. ¿cuánto tiempo después de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque? b) Use métodos numéricos para determinar la concentración de sal en el tanque como función del tiempo. Las ecuaciones siguientes definen la concentración de tres reactivos: dca 10ca cc cb dt dcb 10ca cc cb dt dcc 10ca cc cb 2cc dt Si las condiciones iniciales son de ca = 50. y la densidad del hielo es aproximadamente de 0.1 M. cb = 0 y cc = 40. Se bombea agua de mar con una concentración de 8000 g/m3 hacia un tanque bien mezclado. El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme se difunde.5x10-6 cm2/s y k=5x10-6s-1.cálculo de t = 0 a 100 min con h = 2. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y hace que la concentración sea 0 M. Debido al diseño defectuoso. a) Si originalmente el tanque contiene 1 m3 de la solución que entra.6 m3/h. a una tasa de 0. La ecuación que gobierna la difusión con la reacción es: D d2A kA 0 dx 2 En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentración de 0. Grafique sus resultados junto con la concentración del flujo de entrada versus tiempo 36. 39. Si D = 1. Un cubo de hielo esférico (una “esfera de hielo”) que mide 6 cm de diámetro es retirada de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To = 20oC. ¿Cuál será el diámetro del cubo de hielo como función del tiempo fuera del congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a través de la pantalla)?. ¿Cuál es la concentración de A como función de distancia en el tubo? . El flujo calorífico de la esfera de hielo al aire está dado por: Flujo q h To T A Donde q = calor y A = área superficial de la esfera.6 m3/h. La solución salina abandona el tanque a una tasa de 0. el agua se evapora del tanque a una tasa de 0. Observe que el calor latente de la fusión es de 333 kJ/kg. 38.K). Use un método numérico para hacer el cálculo. 37.025 m3/h. 12 /min y = 5 min. y suponga que las condiciones iniciales de todas las variables dependientes son cero. CA1 = concentración de A a la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo). CB2 = concentración de B en el segundo reactor. En la investigación de un homicidio o de una muerte accidental. Suponga que la temperatura del cuerpo al ser descubierto era de 29. Si CAo = 20.5 oC. y T a es la temperatura ambiente constante: dT k T Ta dt Donde k>0 es una constante de proporcionalidad. era el valor normal de 37oC. 42. Un reactor de procesamiento por lotes no isotérmico esta descrito por las ecuaciones siguientes: . CA2 = concentración de A en la salida del segundo reactor.40. si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t. De observaciones experimentales. o temperatura ambiente. = tiempo de residencia de cada reactor.5oC. y que dos horas después era de 23. encuentre las concentraciones de A y B en ambos reactores durante sus primeros 10 minutos de operación. Así. a) determine k y el tiempo de la muerte b) Resuelva la EDO en forma numérica y grafique los resultados. La temperatura ambiente es de 20oC. con frecuencia es importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. To se supone que en el momento de la muerte. y k = tasa constante para la reacción de A para producir B. Suponga que en el momento t = 0 se descubre un cuerpo y se mide su temperatura. CB1 = concentración de B en la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo). Esto se conoce como ley de Newton del enfriamiento. dCA1 1 CA0 CA1 kCA1 dt dCB1 1 CB1 kCA1 dt dCA2 1 CA1 CA2 kCA2 dt dCB2 1 CB1 CB2 kCA2 dt Donde CAo = concentración de A en la entrada del primer reactor. El balance de masa de estado no estable para cada tanque de agitado de los reactores es el siguiente. se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente circundante. la temperatura del cuerpo Ta. La reacción A B tiene lugar en dos reactores en serie. Utilice k = 0. Los reactores están bien mezclados pero no en estado estable. 41. con condiciones iniciales c1(0) = c2(0) = 1. el reactor se encuentra a 15oC y tiene una concentración de reactante C de 1.05. ode 23s) para obtener sus soluciones. El sistema siguiente es un ejemplo clásico de EDO rígidas que ocurre en la solución de una reacción química cinética: dc1 0. INVESTIGUE sobre el uso tanto la función estándar (por ejemplo. e I = 0. Para su cálculo utilice valores de parámetro de f = 60. Un trazador conservativo se mezcla instantáneamente con el agua de la bahía y después se monitorea la concentración del trazador durante el periodo que se muestra a continuación en los tres segmentos. Si usted tiene acceso al software de MATLAB. e I = momento de inercia.013c1 1000c1c3 dt dc2 2500c2 c3 dt dc3 0.013c1 1000c1c3 2500c2 c3 dt Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50. Efectúe el mismo calculo que en el problema 52. L = 30. y c3(0) = 0. pero en vez de usar una fuerza del viento constante.25 x 108. 44. 43. Calcule la deflexión si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Encuentre la concentración y temperatura del reactor como función del tiempo. L = longitud del mástil. 43. E = 1. La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión de mástil de un bote sujeto a la fuerza del viento : d2y f 2 L z 2 dz 2 EI Donde f = fuerza del viento.0 g. Un ingeniero ambiental está interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago estratificado y una bahía adyacente (véase la figura inferior). Inicialmente.mol/L.dC 10 / T 273 e C dt dT 10 / T 273 1000e C 10 T 20 dt Donde C es la concentración del reactante y T es la temperatura del reactor. E = módulo de elasticidad. emplee una fuerza que varié con la altura de acuerdo con la ecuación f z 200 z 2 z / 30 e 5 z 45. Los valores son: t 0 2 4 6 8 12 16 20 c1 0 15 11 7 6 3 2 1 c2 0 3 5 7 7 6 4 2 c3 100 48 26 16 10 4 3 2 . ode 45) como la rígida (por ejemplo. Grafique p versus t. Desde finales de la década de 1950. los lobos cruzaron un puente de hielo desde Ontario. una isla tiene una población de 6000 personas.075 por año. Las dinámicas del crecimiento de la población son importantes en varios estudios de planeación tales como el transporte y la ingeniería de los recursos hidráulicos. dp Gp dt Donde G = tasa de crecimiento (anual). Para su análisis. Si G = 0. como se muestra a continuación. emplee el método de Euler con tamaño de paso de 0. el sistema puede modelarse con las EDO simultáneas siguientes: dc1 Qc1 E12 c2 c1 Ei 3 c3 c1 dt dc V2 2 Ei 2 c1 c2 dt dc V3 3 Ei 3 c1 c3 dt V1 Donde V1 = volumen del segmento i.1. Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre mayor sea la población más grande será el número de padres potenciales. V2 = 8 x 106. Alrededor de 1900 llegaron alces y hacia 1930. en el lago Superior.Con el empleo de balances de masa. El parque nacional Isla Royal es un archipiélago de 210 millas cuadradas compuesto de una sola isla grande y muchas pequeñas. Q = flujo y Eij = la tasa de mezcla difusiva entre los segmentos i y j. 47. emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años. con el uso de un tamaño de paso de 0. se registran los números de alces y lobos. . 46. Uno de los modelos más simples de dicho crecimiento incorpora la suposición de que la tasa de cambio de la población p es proporcional a la que existe en cualquier momento r. Analice sus resultados. por lo que devastaban la vegetación. su población se acercaba a 3000. V3 = 5 x 106 y Q = 4 x 106. en papel estándar y semilogarítmico.5 años. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1 = 1 x 107. Al tiempo t = 0. Determine la pendiente de la línea sobre la gráfica semilogarítmica. (Un guion indica que no hay datos). En 1949. El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación. Para este caso. La ecuación diferencial que gobierna el cable es: x d 2 y wo 1 sen 2 dx To 2l A Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico y grafique la forma del cable (y versus x).0002632. Presente sus resultados tanto como una serie de tiempo como una gráfica de estado-espacio. d = 0. para converger en un valor correcto de hA para distintos valores de To .01111.Año Alces Lobos Año Alces Lobos 1960 700 22 1972 836 23 1961 - 22 1973 802 24 1962 - 23 1974 815 30 1963 - 20 1975 778 41 1964 - 25 1976 641 43 1965 - 28 1977 507 33 1966 881 24 1978 543 40 1967 - 22 1979 675 42 1968 1000 22 1980 577 50 1969 1150 17 1981 570 30 1970 966 18 1982 590 13 1971 674 20 1983 811 23 a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020. b = 0. Compare su simulación con los datos que usan un enfoque de series de tiempo y comente los resultados. También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de To. b) Grafique la simulación de a) pero emplee un enfoque de estado-espacio. Un cable cuelga de dos apoyos en A y B (véase la figura inferior). determine los valores de los coeficientes que arrojan un ajuste óptimo. Para la solución numérica se desconoce el valor de T o. Pronostique cómo evolucionaría tanto la población de lobos como de alces hacia el año 2020. así como para el inciso d) use los coeficientes que siguen: a = 0. similar al método del disparo. c) Después de 1993. por lo que la solución debe utilizar una técnica iterativa. suponga que los administradores de la vida silvestre atrapan un lobo por año y lo llevan fuera de la isla.3. que es el punto más bajo del cable. La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0.2106. 48. x w wo 1 sen 2l A Donde wo = 1000 lbs/ft. c = 0. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica. I = 800 in4. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga volada (véase la figura en la parte inferior) está dada por: El d2y P L x dx 2 Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. L = 10ft. w = 1 kip/in. y b) Investigue en qué consiste el método del disparo y aplíquelo en este caso. y PLx 2 Px3 2 EI 6 EI 50.49. P = 1 kip. L = 10 in. Aplique los siguientes valores de parámetros: E = 30000 ksi. Resuelva para la deflexión de la viga con el empleo de un método numérico. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica. I = 800 in4. Se aplican los valores siguientes de parámetro: E = 30000 ksi. Resuelva para la deflexión de la viga con los métodos de a) diferencias finitas ( x 2 ft ). wLx3 wx 4 wL3 x y 12 EI 24 EI 24 EI . La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (véase la figura en parte inferior) está dada por: EI d 2 y wLx wx 2 dx 2 2 2 Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. En este caso. m A(h).18 0 Los ingenieros y científicos utilizan modelos masa-resorte para entender la dinámica de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios. 2 6 5 4 3 2 1 0 1. Los balances de fuerza que se desarrollan para este sistema son los siguientes. En la figura de la parte inferior se ilustra una representación como estas para un edificio de tres plantas. 10 m 52. tales como terremotos. la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo: dh d2 2g h e dt 4 Ah Donde h = profundidad (m). d = 0.67 0. e = 1 m. Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura inferior. A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2).25 m.97 0.17 0.81 m/s2) y e = profundidad de la salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m). el análisis se limita al movimiento horizontal de la estructura.45 0. g = constante gravitacional (= 9.51. d = diámetro del tubo (m).32 0. . Con base en la tabla siguiente de área-profundidad. Con suposiciones simplificadoras. h. resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vaciara dado que h(0) = 6 m. t = tiempo (s). Resuelva este problema en forma analítica y con algún método numérico. L = inductancia y R = resistencia. En contraste con el problema anterior. Resuelva para i como función del tiempo en las mismas condiciones que se especifican para el problema anterior 55.5. las resistencias reales no siempre siguen la ley de ohm. si L = 1. k1 k2 k w2 X 1 2 X2 0 m1 m1 k k k k 2 X 1 2 3 w2 X 2 3 X 3 0 m2 m2 m2 k k 3 X 2 3 w2 X 3 0 m3 m3 Determine los valores y vectores propios y represente en forma gráfica los modos de vibración de la estructura por medio de dibujar las amplitudes versus la altura para cada uno de los vectores propios. 54. Presente sus resultados en forma gráfica.5 e i(0) = 0. la caída del voltaje quizá sea no lineal y la dinámica del circuito quede descrita por una relación como la siguiente. Para abordar tales problemas se requiere conocer la posición y velocidad de un cuerpo en función del tiempo. 53.. Los ingenieros mecánicos a menudo presentan problemas relacionados con el movimiento periódico de los cuerpos libres. i i 3 di L R 0 dt I I Donde todos los demás parámetros se definen como el problema anterior (64) e I es una corriente conocida de referencia e igual a 1. R = 1. Tales funciones . Normalice las amplitudes de modo que el desplazamiento del tercer piso sea igual a uno. Por ejemplo. Para un circuito sencillo RL. L di Ri 0 dt Donde i = corriente. Resuelva para i. la ley de Kirchoff del voltaje requiere que (si se cumple la ley de ohm). Las únicas fuerzas que actúan sobre esta partícula son su peso y la tensión “R” en el cable. es difícil o imposible resolverla analíticamente. El diagrama del cuerpo libre muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula y la aceleración. l En coordenadas polares: d 2 / dt 2 : Wsen W l W l d 2 d 2 g ó sen 0 g g dt 2 l dt 2 Esta ecuación es no lineal de segundo orden. tangente a la trayectoria de la partícula: F Wsen W a g donde: g= constante gravitacional (32.son invariablemente la solución de EDOs y se basan en el movimiento de Newton. Para desplazamientos angulares pequeños sen cuando se expresa en radianes . Se tienen dos opciones para resolverla: reducirla a una forma donde sea posible resolverla analíticamente o aplicar una técnica de aproximación numérica para resolverla directamente. nos llevan a concluir que no es una solución exacta. Es conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton en la dirección “x”. La posición de la partícula en cualquier instante está completamente especificada en términos del ángulo y “ l ” .2 ft/s2) y a=aceleración en la dirección “x” . y se supone la velocidad ( v d ) es cero dt en t=0.. por tanto. Al tiempo requerido por el péndulo para un ciclo completo de oscilación se le llama “periodo” y esta dado por: T 2 l g Solución numérica: Las suposiciones hechas en la solución analítica de la EDO. Considere el péndulo simple cuyo peso W está suspendido de un cable sin peso de longitud “ l ”. Esta aproximación es muy importante pues es fácil de resolver analíticamente. La solución analítica tiene la forma: (t ) 0 cos g t l donde 0 es el desplazamiento en t=0.. En general. se tiene: sen 3 3! 5 5! 7 7! . Solución analítica: Usando expansión en serie de potencias para sen . para alcanzar la exactitud debemos . para desplazamientos pequeños la ecuación se convierte en: d 2 g 0 l dt 2 que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. La aceleración angular de la particula ( ) es: a . 5 s 57. En la sección 8. La tasa de flujo calorífico (conducción) entre dos puntos de un cilindro calentado por un extremo está dada por: dQ dT A dt dx Donde = una constante.0.4 y dx (0)/dt = 0.4 se presenta una ecuación diferencial de segundo orden que se utiliza para analizar las oscilaciones no forzadas de un amortiguador de auto. Así.2 56. esta ecuación especifica que la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del ambiente circundante. use algún método numérico para resolver cual es el caso en que x(0) = 0. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como : dT k T Ta dt Donde T = temperatura del cuerpo (oC). c = 1 x 10 7 g/s. 58. y x = distancia a partir del extremo calentado. la ecuación se simplificara haciendo que dT 100 L x 20 t dx 100 xt Donde L es la longitud de la barra. Para resolverla se puede usar el método de Euler o RK-4 previamente convirtiendo la ecuación en un sistema EDO: d v dt dv g sen dt l Resuelva el sistema EDO con 0 4 l 2 ft para un péndulo de 1 m de longitud y luego compare con la solucion numérica del problema lineal con las mismas condiciones iniciales usando el método RK-4 y Euler. L = 20 cm. Resuelva para ambos desplazamientos y la velocidad de t = 0 a 0.2 x 106 g. A = 12 cm2. La ecuación diferencial ordinaria siguiente describe el movimiento de un sistema amortiguado resorte – masa (véase la figura en la parte inferior): . y x = 2.usar un método numérico. La condición inicial es Q(0) = 0 y los parámetros son 0. y k = 1. 59. Q = flujo calorífico. Grafique sus resultados.cm/s. Si una bola de metal se calienta a 90 oC y se sumerge en agua que se mantiene a un valor constante de Ta = 20oC. Dado que m = 1.25 x 109 g/s2.5 cm. Debido a que la ecuación involucra dos derivadas.25 min-1. utilice un método numérico para calcular el tiempo que toma que la bola se enfrié a 40 oC. Ta = temperatura del medio circundante (oC) y k = constante de proporcionalidad (min-1). A = área de la sección transversal del cilindro. si k = 0. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de calor de t = 0 a 25 s. T = temperatura. t = tiempo.5 cal. t 0. El resorte es un resorte cubico y también es no lineal con b = 5 N/m3. Las condiciones iniciales son: dx 0. m = 1 kg masa. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo.5 m/s dt Velocidad inicial x 1 m Desplazamiento inicial Resuelva esta ecuación con algún método para el periodo de tiempo o < t < 8 s. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire. a) Ecuación lineal similar m d 2x dx 2 5x 0 2 dt dt b) La ecuación no lineal con solo un término de resorte no lineal d 2x dx 2 bx3 0 2 dt dt c) La ecuación no lineal con solo un término de amortiguamiento no lineal m d 2x dx dx a 5x 0 2 dt dt dt d) La ecuación por completo no lineal en la que tanto el término de amortiguamiento como el de resorte son no lineales. y a = 5N/(m/s)2. d 2x dx dx a bx3 0 2 dt dt dt Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa (véase la figura en la parte inferior) tiene la ecuación diferencial ordinaria siguiente para su movimiento: m d 2x dx dx a kx Fo sen t 2 dt dt dt . y grafique el retrato fase – plano (velocidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes. t = tiempo.m d 2x dx dx a bx3 0 2 dt dt dt Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio. m 60. d 2u 2 du pu 0 2 dx x dx Donde u = temperatura (0 < u < 1).5 rad/s. m = 2 kg masa. L = longitud o altura de cono. k = conductividad térmica. y m = pendiente de la pared del cono. 20. que a sido no dimensionada. u x 0 0 u x 1 1 Resuelva esta ecuación para la distribución de temperatura con el empleo de métodos de diferencias finitas. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire.Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio.5 N y w = 0. La distribución de temperatura en una aleta de enfriamiento cónica y ahusada (véase la figura en la parte inferior) esta descrita por la ecuación diferencial siguiente. La ecuación tiene las condiciones de frontera siguientes. 50 y 100. escriba un programa de computadora para obtener la solución y grafique la temperatura versus la distancia axial para distintos valores de p = 10. a = 5 N/(m/s)2 y k = 6 N/m. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo. desarrolle una gráfica separada de la velocidad versus el desplazamiento. t = tiempo. Las condiciones iniciales son Velocidad inicial dx 0 m/s dt Desplazamiento inicial x 1m Resuelva esta ecuación con el empleo de algún método numérico durante el periodo de tiempo 0 < t < 15 s. 61. p hL 4 1 k 2m 2 Donde h = coeficiente de transferencia de calor. y p es un parámetro no dimensional que describe la transferencia de calor y la geometría. Para las derivadas utilice diferencias finitas exactas de segundo orden análogas. y grafique la función de fuerza sobre la misma curva. x = distancia axial (0 < x < 1). La función de la fuerza Fosen(wt) tiene valores de Fo = 2. Asimismo. . = coeficiente de amortiguamiento de la cuerda (N. Utilice un método numérico para resolver cual es el desplazamiento (x) y la velocidad (v = dx/dt) como función del tiempo del tiempo con condiciones iniciales x = v = 0.5/s. 63. signo (x) = función que devuelve -1. el saltador solo está sujeto a las fuerzas gravitacionales y de arrastre. Exprese sus resultados en forma gráfica como graficas de series de tiempo (x y v versus t) y grafica de planofase (v versus x). Las dinámicas de un sistema forzado resorte – masa – amortiguador se representa con la EDO de segundo orden siguiente: m d 2x dx c k1 x k3 x3 P cos wt 2 dt dt Donde m = 1 kg. Determine la posición y velocidad del saltador dadas por los parámetros siguientes: L = 30 m. La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto de Bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está extendida por completo y comienza a encogerse. t = tiempo (s).4 N. si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda.62. k3 = 0) y b) no lineal (k1 = 1. c = 0. para x negativa. Estas dos condiciones se expresan con las ecuaciones siguientes: c dv g sign v d v 2 dt m c dv k g sign v d v 2 x L v dt m m m xL xL Donde v = velocidad (m/s). g = constante gravitacional (= 9.5 N. cd =coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m). s/m. cero y positiva. m = . y w = 0. cero y positiva. y L = longitud de la cuerda (m).5). k3 = 0. 0 y 1. m = masa (kg). respectivamente. también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda. k = constante de resorte de la cuerda (N/m). Una vez que la cuerda comience a encogerse.s/m). Haga simulaciones para un resorte a) lineal (k1 = 1.81 m/s 2). P = 0. Así. 68.1 y que R 0. 2 Consideremos un proyectil que dispara hacia arriba y luego cae siguiendo una trayectoria rectilínea.1 0 . Dibuje su solución y la solución exacta v t 140e (Observe que la velocidad límite es -100 m/s) 66. Si llamamos valor umbral al mínimo nivel de estímulo So que es posible detectar. y´ ty con y 0 1. 1. la ley de estímulo-respuesta de Wever-Fechner establece que la tasa de variación dR/dE de la reacción R ante un estímulo E es inversamente proporcional al estímulo. En los problemas 1 – 5. c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado (a). y´ t 2 y con y 0 1. Supongamos que vo = 40 m/s y K/M = 0.5 para resolver el problema de valor inicial v´ 10 0.2 b) Compare la solución exacta y(2) con las dos aproximaciones obtenidas en el apartado (a). a) Tome h = 0.1.1 kg.1v en 0. y t 3.1 y de 20 pasos con el programa 9. entonces el problema de valor inicial que modela esta situación es: R´ k S con R So 0 Supongamos que So 0. y´ 3 y 3t con y 0 1. Luego tome h = 0. y = 8 kg/s.25 kg/m. En psicología. M la masa y K el coeficiente de resistencia del aire. y´ e2t 2 y con y 0 /2 1 1 . y´ 2ty 2 con y 0 1. y t et 4. cd = 0. entonces el problema de valor inicial para la velocidad v(t) es: v´ 10 K v M con v 0 v0 Siendo vo la velocidad inicial. resuelva la ecuación diferencial usando el método de Heun. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad.05 y de 40 pasos con el programa 9.1 para resolver . 4 con v 0 40 t /10 100 en una misma gráfica. haga el cálculo de t = 0 a 50 s y suponga que las condiciones iniciales son x(0) = v(0) = 0 64. y t et t 2 2t 2 4 3t 1 e t 3 3 2. como se espera cuando h se divide entre dos? d) Dibuje las aproximaciones y la solución exacta en una misma gráfica. y t e 2t te 2t 10 10 y t 1/ 1 t 2 5. 65. Use el método de Heun con h 0. Use el método de Heun con h = 0.2. k = N/m. y´ 3 y 3t con y 0 1.1 con 67. Justifique su respuesta. y t et t 2 2t 2 4 3t 1 e t 3 3 2.4) con las dos aproximaciones calculadas en el apartado (a). b) Compare la solución exacta y(0. y 0 1. Investigue sobre el método de Taylor para EDOs y pruebe que el método de Taylor falla cuando queremos aproximar la solución y t t 3/ 2 del problema de valor inicial y´ f t . 5.R´ 1 en 0. y 0 1 en el intervalo 0. b) Evalué las derivadas en t 0 y úselas para calcular los cinco primeros términos del desarrollo de Maclaurin de tan t . y t 3.1 es y t 1/ 1 t . Luego.96981) 69.1 S R 0. / 4 es y t tan t / 4 c) Use los resultados de los apartados problema de valor inicial (a) y (b) para deducir que la solución del y´ t 2 y 2 . Pruebe que cuando se usa el método de Runge .Kutta de orden N = 4 para resolver el problema de valor inicial y´ f t en a.5 y1/ 3 con y 0 0 . y 0 1 en el intervalo 0. y 1. En los ejercicios 1 a 5 resuelva la ecuación diferencial usando el método de Runge – Kutta de orden N=4.1 y dé cuatro pasos calculando los valores a mano. y´ ty con y 0 1. y t e y t . 2 3 4 a) determine las expresiones de y t . y´ e2t 2 y con y 0 5. b) Verifique la solución del problema de valor inicial y´ 1 y 2 . a) Verifique que la solución del problema de valor inicial y´ y 2 .1. Consideremos el problema de valor inicial y´ 1 y 2 . y t et 4. b con y a 0 el resultado es: . 2 /2 1 1 . 70. y´ t y con y 0 1. a) Tome h = 2 y dé dos pasos calculando los valores a mano. y 0 1 tiene una asíntota vertical entre / 4 y 1 (localizada cerca de t 0. y´ 2ty 2 con y 0 1. c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado a) como se espera cuando h se divide entre dos? 2 1. ¿Cuál es el problema? 68. y t e 2t te 2t 10 10 y t 1/ 1 t 2 71.1 0. tome h = 0. 2 e y 0 0.5 en el intervalo 0 t 2 .7 e y 0 2. La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura inferior y puede compararse con la solución exacta 1 1 x t et tet 5 10 75. y t e y´ 4 x y 69 t 1 4t e e 25 25 con la condición inicial x 0 0. La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura compararse con la solución exacta. Resuelva el e sistema 1 1 y t et tet 2 5 x´ x 4 y. y´ 2 x y con la condición inicial x 0 2. y puede .05 y use: a) El método de Euler para calcular a mano x1 . con la condición inicial x 0 2 e y 0 3 en el intervalo o t 2 .8 en el intervalo 0 t 1.0 . y1 y x2 .y b h M 1 f tk 4 f tk 1/ 2 f tk 1 . En los ejercicios 1 a 4 (problema anterior 1-4) tome h = 0. y1 73. 6 k 0 72. y´ x y . La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica cuya grafica se ve en la parte inferior puede compararse con la solución exacta. x t 74. Resuelva el sistema x´ 2 x 3 y. Resuelva el 69 t 3 4t e e 25 50 sistema x´ 3x y. y2 b) El método de Runge – Kutta para calcular a mano x1 . x t 2et 4et cos 2 t 12et cos t sen t y t 3et 6et cos 2 t 2et cos t sen t y´ x y con la condición inicial x 0 1 e y 0 1 76.1 para calcular a mano x1 y x2 d) Use el método de Runge – Kutta con tamaño de paso h = 0. La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura y puede compararse con la solución exacta x t 3e 29 t / 2 3e 29 t / 2 e 2 29 e3t / 2 29 t / 2 y t 7e 7e 29 t / 2 e 2 29 e3t / 2 29 t / 2 29 t / 2 e 2e3t / 2 29 t / 2 e 2e3t / 2 29 t / 2 77.2 usando como tamaño de paso h 0.05 para calcular a mano x1 1) 2 x´´ t 5x´ t 3x t 45e 2t con x 0 2 y x´0 1 x t 4et / 2 7e3t 9e2t 2) x´´ t 6 x´ t 9 x t 0 con x 0 4 y x´ 0 4 x t 4e3t 8te3t . en el intervalo 0 t 1. Resuelva el sistema x´ y 4 x. En los ejercicios siguientes: a) Compruebe que la función x(t) es la solución b) Reformule la ecuación diferencial de segundo orden como un sistema de dos ecuaciones de primer orden c) Use el método de Euler con tamaño de paso h = 0.05 . Resuelva x´ x xy.05.5 tomando h = 0.0. para este sistema. para este sistema. Las trayectorias de este sistema son curvas cerradas y la trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura 79. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura . y´ 2 x y 2 y3 con x 0 0. el origen se clasifica.6 en 0.0 e y 0 0.1. como un foco asintóticamente estable. De acuerdo con la teoría cualitativa. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura .1 en 0.1.8 e y 0 0. y´ 2 xy con x 0 2. Resuelva x´ 3x 2 y 2 xy 2 . Resuelva x´ y 2 x 2 .8 tomando h = 0.1 . De acuerdo con la teoría cualitativa.3) x´´ t x t 6cos t con x 0 2 e x´ 0 3 x t 2cos t 3sen t 3tsen t 78. y´ y xy con x 0 4 e y 0 1 en 0. como un punto de silla inestable. 80. 4 tomando h 0. el origen se clasifica. 0 e y 0 0.6 en 0. y´ x 2 y 2 con x 0 1.6 tomando h = 0.2 e y 0 0. Este sistema tiene un punto crítico inestable en el origen. como un foco asintóticamente estable. Resuelva x´ 1 y. para este sistema.81. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura.1) se clasifica. Resuelva x´ x 2 y 2 . La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura .1.02.025. 82. .2 en 0. el punto (1.0.1. Resuelva x´ x3 2 xy 2 . y´ 2 xy con x 0 2. 83.0 en 0. Este sistema tiene un punto crítico inestable en el origen. De acuerdo con la teoría cualitativa.0 e y 0 0.5 tomando h = 0. 2 tomando h = 0. y´ 2 x 2 y y 3 con x 0 1. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura . y 0 0. y 0 1 c) y´ r 2 y .7753 0. y 0 1.2088 0.0 0.4955E-2 4.3313 0.6147 2 0.0000 0.05 y´ t o. Solución exacta: Caso (a) (b) (c) (d) t y y Y y 0 1.0000 1 1.7969 0.4993 4 0.01 y´ 2 y sen t . y´ 0 0 c) y´´2ty´ty 0. y´ 0 1 y 0 1.1666 -2.5.01 en MATLAB.4482 0.0000 1. calculando manualmente. b) y´3 y e1 . y´ 0 0 d) et y y´´ t .2714 5 0. y 0 1 Y encuentre los valores de (1) y (2) utilizando el método de Euler hacia adelante con h=0. pero se recomienda a los estudiantes intentarlo de todos modos 85.2500 0.15 y t 0.980 0.3333 0.0000 1.5 86. y´ 0 0.5000 1.7458 3 0.2707 9.01 (escriba su propio programa en Matlab).4043 2.0000 . Resuelva: y´´ t 0.5000 0. Repita con h = 0.5.0000 1.9725 0.2092 3. y 0 0.9253 0.1 y h=0. y 0 1 Solución exacta: Caso (a) (b) (c) (d) (e) t y y y y Y 0 1. Resuelva los siguientes problemas en 0 < t < 5 utilizando el método de Euler hacia adelante con h=0.5 d) y´ y y 0.1610E-3 9. 2 y 0 1.0000 1. y 0 1 e) y´ y 1/ 2 sen t .06890 1. Evalúe los errores con las soluciones exactas que se muestran más adelante.2495 Sugerencia: La solución de b) puede oscilar con h=0.3692E-3 16. b) y´´0. Resuelva los siguientes problemas en 0< t< 5 utilizando el método de Euler hacia adelante con h = 0.2000 -0. y´ 0 0 a) y´´8 y 0. Evalué los errores comparando con las soluciones exactas que se muestran más adelante y 0 1 a) y´ry 1.84. yA.5902 0.05 m de radio está lleno inicialmente con agua.8926 4 0.1412 0. El tanque tiene un agujero de 0.9135 0. Utilice el método de Euler hacia adelante (con h = 0.0629 2 0.8 m/s2.I (0) 0 dt a) Determine la corriente I en t = 1. 4 y 5 ms por el método de Euler hacia adelante con h = 0.01 como h = 0. donde r es el radio y y es la altura medida desde el fondo. En t = 0 la partición se retira repentinamente.8773 1.3128 -0. z(0)=0 Utilice tanto h= 0. La velocidad del agua que sale por el agujero está dada por v2 2gy .001s) para averiguar cuantos minutos tardara el tanque en vaciarse.8102 0. b) Evalúe el error comparando la solución numérica con la solución analítica dada por I t E / R 1 exp Rt / L .9514 0.87.5589 5 -0. c) Investigue el efecto de h repitiendo los cálculos anteriores con h = 0. 3.2978 Resuelva las siguientes ecuaciones para o < t < 5 utilizando el método de Euler modificado: 4 y´ 3 y 7 z 2t .8450 0. y 0 1 7z´=-2y+8z.2 m más alto que el nivel de agua en la rama vertical derecha. Un circuito que se muestra en la figura inferior.1 ms 90.1035 3.7540 0.02 m de radio en el fondo. Un tanque cónico contiene agua hasta una altura de 0. satisface . El radio del tanque en y está dado por r = 0. 89.3653 3 -0.3042 1.01 ms. El nivel de agua en la rama vertical izquierda. tiene una autoinductancia de L = 100 mH.5372 1. donde g = 9. 2. 1 -0. Un tubo en U de 0. Si el interruptor se cierra en t = 0.1763 2.5 m desde el fondo.25y. una resistencia R = 20 k y una fuente de voltaje de DC de 10 V.9589 0. pero separado con una partición de modo que el nivel del agua en la rama vertical izquierda esta 0.0050 -0.001 88. medido desde el plano medio entre dos superficies. la corriente I(t) cambia según: L dI t I t R E. Investigue el método de Runge Kutta de 2° orden Encuentre el valor de y(1) resolviendo: 106.1 s.Kutta de segundo orden con h = 1: y´´ +0. de modo que la ecuación del movimiento está dada por. La densidad numérica del xenón satisface: dN x t x N x t i Ni t dt Donde Nx es la densidad numérica del xenón y Ni es la densidad numérica del yodo definida en el problema anterior. El producto de la desintegración del yodo-135 (considerado en el problema anterior) es xenón-135. Utilice h = 0.5: y´=104. encuentre y(1) para la siguiente ecuación empleando el método de Runge – Kutta de segundo orden con h = 0. Suponiendo que Nx(0)=0. Repita el problema anterior suponiendo que hay fricción en el tubo. Utilice h = 0. La densidad numérica (número de átomos por cm3) del radioisótopo yodo – 135 satisface dNi t i Ni t dt Donde N(t) es la densidad numérica del yodo – 135 y i es su constante de desintegración. Utilice h = 0.LyA ´´ 2 gy A Donde L es la longitud total de agua en el tubo (se supone que es 1 m) y g = 9. Si Ni(0) = 105 átomos /cm3 en t = 0. 100. Encuentre la solución para 0 < t < 50 h y grafique.8 m/s2. (Puesto que las ecuaciones diferenciales son lineales. considere h = 0. 2 y 0 0. y´ 0 1 105. escriba un programa para calcular Ni y Nx con base en el método de Euler modificado (Heun).8m/s . Ly´´A 2 gyA y´A Donde = 0.05 h. Ignore la fricción en el tubo y calcule el nivel del agua por el método de Euler hacia adelante para 0 < t < 10 s y encuentre en que momentos yA alcanza mínimos y máximos. calcule Ni (t) en t = 1 h por el método de Euler modificado (Heun).1 h 103. y 0 0.0. y´ 0 0 .1044 h-1 .05y´+0. Utilice h = 0. y´ 0 1 .2y´+0.5 Resuelva la siguiente ecuación diferencial 2y´´ + y´ y 0. t+y 2 y 0 1 Investigue el método de Runge Kutta de 2° orden Calcule y(2) para la siguiente ecuación utilizando el método de Runge . igual a 0.003ysen t 0. 102. utilice soluciones de forma cerrada para cada incremento de tiempo).001 s 101.15y = 0. Investigue el método de Runge Kutta de 2° orden. y´´ . v . que también es radiactivo. La constante de desintegración del Xenon135 es x 0.0753h1 . x´ u y y´ v . se agrega agua dulce a razón de 2 gal/min.8 m/s2 (aceleración debida a la gravedad) Las ecuaciones del movimiento pueden resolverse por uno de los métodos de Runge – Kutta. Un problema de valor inicial de una ecuación diferencial ordinaria está dado por: y´´´= . g = 9. 109.Por el método de Runge – Kutta de segundo orden con h = 0. Encuentre la solución de : y 0 1 y´ t 1/ 1 y 2 . b) El agua que sale del tanque ingresa en otro con capacidad de 20 gal.y. respectivamente. y´= . y V2 = u2 + v2 . u 0 150m / s v´ g cVv. donde u y v son las velocidades horizontal y vertical.y / t+y2 .4). Se dispara una bala al aire con un ángulo de 45 grados respecto del suelo a u v 150 m / s . Si el tanque se mezcla bien y el agua sale del tanque con la misma velocidad de flujo. La concentración de sal en este tanque satisface: y´2 t 5 / 20 y2 t 2 / 20 y1 0 0 Donde y1(t) es la concentración de sal en el tanque de 50 gal del inciso anterior. Suponga que el agua del segundo tanque es dulce en t = 0 110. Aplique el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h=1 min para averiguar cuánto tardara la concentración de sal en llegar a 1/10 de su valor inicial. Calcule y(1) resolviendo la siguiente ecuación por el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h = 1. el contenido de sal satisface: y´1 t 2 / 50 y1 Donde y1 t es la concentración de sal en onz/gal y t es el tiempo en minutos. 111. v 0 150m / s (A) Donde u y v son funciones del tiempo.5 yh=1 112. a) Un tanque de 50 gal lleno de agua contiene sal a una concentración de 10 oz/gal.005 m-1 (coeficiente de arrastre) .2 para calcular y(0. Con objeto de reducir el contenido de sal. en el cual también se vierte agua dulce con una velocidad de 3 gal/min.5 y evalué y(1) y y´(1) 107. Las ecuaciones del movimiento están dadas por: u´ cVu. La trayectoria de la bala puede calcularse integrando. y 0 1 Para t = 1 y t = 2 empleando el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h = 0. Utilice el método de Runge – Kutta de cuarto orden para averiguar en qué momento la concentración de sal en el tanque de 20 gal llega a su máximo. u = u (t) y v = v (t). c = 0. y 0 y´´ 0 0 Utilice el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h = 0. Mezclándose bien. t_rec(1)=t. c=0. n=n+1. v=vb+11. v=150. l1=h*(-9. clg u=150. end plot(x_rec.005.1 h=0. b) Estime el valor más exacto de y (0. t=t+1.9487188 0. ub=u.8946720 a) Estime el error local de y(0. y_rec(n)=y. la distancia horizontal que alcanza la bala. v_rec(n)=v. n=1. while y>=0 vel1=sqrt(ub*ub+vb*vb). x=x+h*(ub+u)/2.0000000 1. y_rec(1)=y.1 0. k1=h*(-c*vel1*ub).0 1. y_rec) xlabel(´x´).2 0. t_rec(n)=t. y=0. v_rec(1)=v. vb=v.0000000 0. h=1. b) Reescriba el guion utilizando el método de Runge – Kutta de cuarto orden en una forma vectorial. con un error de menos del 0.8947514 . Encuentre. x=0. ylabel(´y´) a) Ejecute el guion y grafique la trayectoria de la bala. x_rec(n)=x.2 t Y y 0.O bien: x u t´ dt´ t 0 (B) y v t´ dt´ t 0 A continuación listamos un guion basado en el método de Euler hacia adelante que resuelve la ecuación (A) y evalúa la ecuación (B) clear. y=y+h*(vb+v)/2. 113.2) 0. u_rec(n)=u. Se muestra la solución de y´= 1 1 y 2 por el método de Runge – Kutta de segundo orden para dos valores de h distintos: h=0. t=0. ub=u.2) con h = 0.1%.1. u=ub+k1. u_rec(1)=u. vb=v. x_rec(1)=x.8-c*vel1*vb). suponiendo que y´1 y 1 y y las condiciones frontera cambian a y´10 0 Deduzca ecuaciones de diferencia para: p x ' x ' q x x S x .2 x . con las condiciones de frontera: y(0) 0. (Ejecute el método de Runge – Kutta de cuarto orden para un intervalo con un valor de h y vuelva a ejecutarlo para dos intervalos con h/2) 115. y(x) es el desplazamiento del cable medido desde el nivel de los extremos está dada por: w x 20 1 exp x / 25 kg / m Determine la forma del cable. La temperatura inicial de una pieza de metal es de 25oC. estime h. Deduzca ecuaciones de diferencia para el siguiente problema de valor en la frontera: 2 y ''( x) y( x) e 0. Considere una aleta de enfriamiento con área de sección transversal variable y perímetro variable. Deduzca ecuaciones de diferencia para i = 1 e i = 10 en el problema anterior.67x10-8 W/m2K4 (Constante de Stefan-Boltzmann) A = 0.0001 . y 0 1 Encuentre un incremento de tiempo óptimo para el método de Runge – Kutta de cuarto orden que satisfaga Eh 0.1 .00001 . la temperatura en la dirección axial es la solución de la ecuación kA x T ' x ' P x hcT x P x hcT .c) Si el error local debe satisfacer Eh 0. suponga que la retícula tiene espacio unitario. La pieza se calienta internamente mediante una corriente eléctrica a razón de Q = 3000 W. y 0 y 50 0 Donde x esta em metros. fijo en los dos extremos. (Utilice 10 intervalos de retícula) 120. Suponiendo que la temperatura a través de cualquier sección transversal perpendicular al eje es uniforme. 119.25 m2 (área superficial) 116. está dada por y´´ x w x / T . Para la ecuación dada por: y´ 3 y exp 1 t . 114. dt V c T 0 298K Donde T esta en kelvin y k=60 W/mk (conductividad eléctrica) σ = 5. 118. 117. La ecuación para la temperatura es: dT 1 Q A T 4 2984 hc A T 298 . de 0 xH La ecuación diferencial para un cable flexible de 50 m de longitud. y '(10) y(10) . A(x) es el área de sección transversal y T es la temperatura del entorno.005 0. a Es la sección transversal de absorción y S es la fuente de neutrones. Resuelve el problema anterior suponiendo las siguientes constantes: hc 30 w / m2 K H 0. Considere una celda unitaria cilíndrica en un reactor nuclear de agua ligera que consiste en una varilla de combustible y moderador. La ecuación de temperatura está dada por T ´´ x q x / k. T 20o C A x ( 0. El lado izquierdo está perfectamente aislado. La plancha tiene una fuente de calor distribuida. Suponiendo que la conductividad térmica es k=30 W/m2K. como se muestra en la figura . Las condiciones de frontera están dadas por : T(0)=100oC kT´ H hc T H T Donde H es la longitud de la aleta y hc es el coeficiente de transferencia de calor por convección.1m. pero la temperatura de la superficie derecha esta fija en 0 oC. P(x) es el perímetro. Las condiciones de frontera son: ´ 0 ´1 0 a) Utilice cinco puntos de retícula para todo el dominio con un intervalo constante de 0. Elabore un programa para calcular la distribución de temperatura empleando 10 intervalos de retícula. Las constantes para el UO2 y el H2O se muestran en la figura. 122.01m 121. k 100 w / mK .2 cm.05 0. ejecute el programa para las dos siguientes distribuciones de la fuente de calor: .Donde k es la conductividad térmica. b) Resuelva las ecuaciones de diferencia deducidas en (a) por la solución tridiagonal.25 cm y deduzca ecuaciones de diferencia por cada punto de retícula.005 0. Se tiene un material en plancha con espesor de 0.25x ) m2 Px A x / 0. El flujo térmico de neutrones en la celda satisface la ecuación de difusión de neutrones dada por 1 d d Dr r a r S r r dr dr Donde D es el coeficiente de difusión. 2) = y(0.10. 124. podemos deducir ecuaciones de diferencia integrando la ecuación desde el punto medio entre i – 1 e i hasta el punto medio entre i e i+1. y el espaciado de la retícula no es uniforme. La ecuación de difusión para una geometría cilíndrica está dada por 1 p r r´ r ´q r r S r r Considerando los tres puntos de retícula que se muestran en la figura 11.5) = 0.2m r 0. Suponiendo que los coeficientes son constantes. Determine el desplazamiento de la membrana.a) q x 200kW / m3 b) q x 100exp 10 x kW / m3 Compare los resultados con las siguientes soluciones analíticas: a) T x 10 / 3 0. como se ilustra en la figura.5m Donde r es la coordenada radial. y (r). r 0.033 e2 2 10 x e10 x 123.04 x 2 b) T x 0. y´´ r 1 y´ r P / T . y es el desplazamiento de la membrana (positivo hacia abajo). 125. deduzca las ecuaciones de diferencia integrando el volumen entre a y b.05 m se calienta con una fuente de calor distribuida por . La ecuación para el desplazamiento de una membrana circular sometida a una presión constante P (véase la figura) está dada por. Las condiciones de frontera son y(0. T es la tensión (400kg/m) y la presión se da como P=800kg/m2. El cuerpo esférico de un material de radio 0. c) Repita (b) utilizando la iteración de Newton. La aleta transfiere calor tanto por radiación como por convección al entorno que está a 20 oC.5x10-4 m2 (área de sección transversal de la aleta) P=0.67x10-8 W/m2K4 (constante de Stefan-Boltzmann) T =293 K (temperatura del entorno) Las condiciones de frontera están dadas por T 0 500 273K T ´ H 0 Si se supone que el extremo derecho de la aleta está perfectamente aislado. Un extremo de una aleta de enfriamiento rectangular de longitud H=0. 1 d 2 d r k T r s r r 2 dr dr Las condiciones de frontera son: T ´ 0 0 k´ hc T T R . la distribución de la temperatura es la solucion de la ecuación.106 m (perímetro de la aleta) hc=100W/m2K (coeficiente de transferencia de calor por convección) =5. a) Deduzca una ecuación de diferencia para la ecuación diferencial anterior empleando 10 intervalos de retícula igualmente espaciados b) Resuelva la ecuación de diferencia mediante sustituciones sucesivas. .S r 300exp 20 r 0.05 Donde r es el radio en metros y las unidades de S son W/m3. El calor escapa al aire circundante por convección con el coeficiente de transferencia de calor hc 20W / m2 K . Suponiendo que tanto la aleta como el entorno son cuerpos negros. La superficie de la esfera está expuesta al aire.1 m está conectada a una fuente de calor a 200 oC. 126. la temperatura de la aleta satisface la ecuación de difusión no lineal. T 20o C a) Escriba las ecuaciones de diferencia para la temperatura utilizando cuatro intervalos de retícula equiespaciados. b) Resuelva las ecuaciones de diferencia por la solución tridiagonal. AkT ´´ x Phc T x T Po T 4 x T4 0 Donde k=120W/mK (conductividad térmica) A=1. En el estado estacionario. 55) .97) 31) . PATRICIA PILAR Ejercicios asignados de derivadas e integrales Ecuaciones diferenciales 1) .51) 14) . 69) .6) . 13) . FATIMA AMPARO 15 JORGE YAURI.60) 23) . 49) .88) 4).95) 29) . LINDA JHEY 28 REYES CHAVEZ.94) . 102) 18) . 45) . ROSARIO PILAR 24 QUISPERINA COLQUI.43) 5) . KRISTELL FIORELA 11 CRUZ ESPINOZA.19) .29) 21) . 67) . 68) .93) 27) .42) 4) . NATALY YULEISI 25 RAMOS ALVAREZ.89) . LINDA FLOR 16 LUCERO RUIZ.10) .9) .95) . ANGIE TATYANA 14 HILARIO ZAVALA.58) 41) . 65) . 57) 33) . CHRISTIAN MOISES 29 ROMERO USHUÑAHUA. 58).40) 2) . TEOBALDO 13 FERNANDEZ ESCOBAR.64) 27) . RANDY ORHIEL 26 RAMOS LEON.123) .93) . 47) .54) 17) .37) 126) . ERICK DAVIS 22 POQUIOMA CABALLERO.8) .13) . EVELYN MILAGROS 3 BARRUETA PAUCAR. 60) . 48) .APELLIDOS Y NOMBRES 1 ALVAREZ AROSTEGUI.92) . ROMARIO BELTRAN 12 DE LA CRUZ LOC. ABDIEL JESUS 18 MORAN PISCO. JULIO CESAR 19 NIEVE CONTRERAS.41) 3) . KALEP 27 RENGIFO GERONIMO. 63) . 46) . YASMIN MAYORI 4 BAUTISTA ROJAS. 31) . MARIA ESTHER 8 CASTRO DAVILA. 62) .33) 10) .7) . OSCAR EDUARDO 21 OSORIO PEDRAZA.103) .91) .63) 26) .104) 20) .52) 15) .66) 30) .16) . 56) . 66) . MARIBEL 23 PUCHOC HUAMAN.50) 13) . ANNGHY MARITZA 2 ANGULO AVALOS. . JASMIN NANCY 5 BAYLON SANTAMARIA. 72) .91) 25) . 51) .14) . 71) .53) 16) .105) 21) . EDWIN NESTOR 9 CHOCCE OSCCO. 52) .56) 19) .50) 12) . YON 6 CALLUPE VARGAS. JHON WILLIAMS 17 MARTIN CALIXTO. 57) .92) 26) .62) 25) . 59) . GIORDY ALEX 20 ORTEGA CUTIPA. 61) .90) . 51).101) .61) 24) . 59) 22) . EDISON 10 CRISTANCHO ARIZA.106) 22).46) 8) . 70) .100) .99) .98) .45) 7) .47) 14) .49) 11) .15). 50) . NATALIE JUANA 7 CASO LAURENTE.97) .90) 24).124 .96) 30) .35) .17) . 54) .11) .65) 20) .5) .24) 6) .94) 26) .55) 18) . 99) 33) .73) 31) . 39) .102) 36) . . JAMES JONATAN 29) 20) . 40) . GABY SAIDT 33 VELA SANDOVAL. 42). MAYLI ANDREA 34 ZEVALLOS RONCAL.95) 3 RIVERA VEGA. 41) .40) FECHA DE PRESENTACION: 02 DE DICIEMBRE 43) .106) 5) .101) 35) .76) 33) . 75) 32) . 37) .103) 37) .102) .105) 3).104) 38) . . ANNIE STEPHANIE 32 VASQUEZ GONZALES. 38) .100) 34).80) 35). DANIEL ANGEL 35 ZUÑIGA TOLENTINO. JHORQUEENS YOHAN Apellidos y nombres 30) . JULIO BRYAN 31 VASQUEZ GARCIA.30 VARGAS ARATA. ISAIAS 37). 43) . LUIS GUSTAVO 36). 41) .90) 2 RIVERA VEGA.78) 34) .81) Ejercicios derivadas e integrales Ejercicios de ecuaciones diferenciales 1 RIOS IBAÑEZ.