Demostraciones Matematicas

Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios PropuestosFormalizaciń de Demostraciones o Matem´ticas a Academia de Matem´ticas 2012 a V´ ıctor Valdebenito S. Liceo Pablo Neruda, Temuco S´bado 21, Abril de 2012 a V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos ´ Indice 1 Conceptos Fundamentales Axiomas Axiomas Aritm´ticos e Axiomas en los Reales R Axiomas Geom´tricos e Postulados Teoremas V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos ´ Indice 1 Conceptos Fundamentales Axiomas Axiomas Aritm´ticos e Axiomas en los Reales R Axiomas Geom´tricos e 2 Postulados Teoremas Demostraciones de Teoremas Conocidos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos ´ Indice 1 Conceptos Fundamentales Axiomas Axiomas Aritm´ticos e Axiomas en los Reales R Axiomas Geom´tricos e 2 3 Postulados Teoremas Demostraciones de Teoremas Conocidos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones Generales V´ ıctor Valdebenito S. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos ´ Indice 1 Conceptos Fundamentales Axiomas Axiomas Aritm´ticos e Axiomas en los Reales R Axiomas Geom´tricos e 2 3 4 Postulados Teoremas Demostraciones de Teoremas Conocidos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Axioma? e V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Axioma? e Definiciń o Un Axioma es una proposiciń que se considera evidente y se o acepta sin requerir demostraciń previa. o V´ ıctor Valdebenito S. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Axioma? e Definiciń o Un Axioma es una proposiciń que se considera evidente y se o acepta sin requerir demostraciń previa. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . o Ejemplo V´ ıctor Valdebenito S. o Ejemplo Axiomas Aritm´ticos. e V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Axioma? e Definiciń o Un Axioma es una proposiciń que se considera evidente y se o acepta sin requerir demostraciń previa. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . e Axiomas en los Reales R. o Ejemplo Axiomas Aritm´ticos.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Axioma? e Definiciń o Un Axioma es una proposiciń que se considera evidente y se o acepta sin requerir demostraciń previa. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Axiomas en la Geometr´ ıa. V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Axioma? e Definiciń o Un Axioma es una proposiciń que se considera evidente y se o acepta sin requerir demostraciń previa. o Ejemplo Axiomas Aritm´ticos. e Axiomas en los Reales R. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Aritm´ticos e V´ ıctor Valdebenito S. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Aritm´ticos e El 1 existe y es un n´mero natural. 1 est´ en N. el u a conjunto de los n´meros naturales. u V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . u V´ ıctor Valdebenito S. tiene un sucesor n . u Todo n´mero natural n. 1 est´ en N. el u a conjunto de los n´meros naturales. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Aritm´ticos e El 1 existe y es un n´mero natural. tiene un sucesor n . u El 1 no es sucesor de ningń n´mero natural. u Todo n´mero natural n. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . el u a conjunto de los n´meros naturales.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Aritm´ticos e El 1 existe y es un n´mero natural. 1 est´ en N. u u V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . u u Si hay dos n´meros naturales n y m con el mismo u sucesor. 1 est´ en N. el u a conjunto de los n´meros naturales. tiene un sucesor n .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Aritm´ticos e El 1 existe y es un n´mero natural. entonces n y m son el mismo n´mero natural. u V´ ıctor Valdebenito S. u Todo n´mero natural n. u El 1 no es sucesor de ningń n´mero natural. V´ ıctor Valdebenito S. tiene un sucesor n . de “n” n´meros u naturales.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Aritm´ticos e El 1 existe y es un n´mero natural. entonces e todos los n´meros naturales pertenecen tambiń a ese u e conjunto K . u Todo n´mero natural n. 1 est´ en N. el sucesor k tambiń pertenece al conjunto K . y dado un elemento cualquiera k ∈ K . u El 1 no es sucesor de ningń n´mero natural. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . entonces n y m son el mismo n´mero natural. u u Si hay dos n´meros naturales n y m con el mismo u sucesor. u Si el 1 pertenece a un conjunto K . el u a conjunto de los n´meros naturales. o V´ ıctor Valdebenito S. de orden y topol´gico. que satisface los axiomas algebraicos.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Definiciń (Axioma Fundamental) o Existe un conjunto que se denota por R. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Adiciń o V´ ıctor Valdebenito S. existe un unico elemento.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Adiciń o Para todo x. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . y ∈ R . tambiń ´ e en R. denotado por x + y que llamamos la suma de x e y . existe un unico elemento. tambiń ´ e en R. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . y ∈ R .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Adiciń o Para todo x. y ∈ R. V´ ıctor Valdebenito S. denotado por x + y que llamamos la suma de x e y . x + y = y + x para todo x. z ∈ R . existe un unico elemento. V´ ıctor Valdebenito S. x + y = y + x para todo x. tambiń ´ e en R. denotado por x + y que llamamos la suma de x e y . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . y ∈ R. y . (x + y ) + z = x + (y + z) para todo x. y ∈ R .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Adiciń o Para todo x. y ∈ R. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S. x + y = y + x para todo x. tal que x + 0 = x para todo x ∈ R. y . tambiń ´ e en R. (x + y ) + z = x + (y + z) para todo x. denotado por x + y que llamamos la suma de x e y . existe un unico elemento. y ∈ R . z ∈ R .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Adiciń o Para todo x. Existe un elemento en R denotado por 0. z ∈ R . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . denotado por x + y que llamamos la suma de x e y . (x + y ) + z = x + (y + z) para todo x. y ∈ R. tal que x + 0 = x para todo x ∈ R. Para cada x ∈ R. x + y = y + x para todo x. y . Existe un elemento en R denotado por 0. y ∈ R .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Adiciń o Para todo x. existe un y ∈ R tal que x + y = 0. V´ ıctor Valdebenito S. existe un unico elemento. tambiń ´ e en R. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Multiplicaciń o V´ ıctor Valdebenito S. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Multiplicaciń o Para todo x, y ∈ R , existe un unico elemento, tambiń ´ e en R, denotado por x · y que llamaremos el producto de x e y. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Multiplicaciń o Para todo x, y ∈ R , existe un unico elemento, tambiń ´ e en R, denotado por x · y que llamaremos el producto de x e y. x · y = y · x para todo x, y ∈ R. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Multiplicaciń o Para todo x, y ∈ R , existe un unico elemento, tambiń ´ e en R, denotado por x · y que llamaremos el producto de x e y. x · y = y · x para todo x, y ∈ R. (x · y ) · z = x · (y · z) para todo x, y , z ∈ R . V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a tal que 1 · x = x · 1 = x para todo x ∈ R. y ∈ R.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Multiplicaciń o Para todo x. x · y = y · x para todo x. tambiń ´ e en R. z ∈ R . existe un unico elemento. y . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . denotado por x · y que llamaremos el producto de x e y. y ∈ R . Existe un elemento en R denotado por 1. V´ ıctor Valdebenito S. (x · y ) · z = x · (y · z) para todo x. y ∈ R . y ∈ R. tal que 1 · x = x · 1 = x para todo x ∈ R.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axiomas de Multiplicaciń o Para todo x. denotado por x · y que llamaremos el producto de x e y. z ∈ R . x · y = y · x para todo x. existe un y ∈ R tal que x · y = 1. Existe un elemento en R denotado por 1. Para cada x ∈ R que no sea cero. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . y . tambiń ´ e en R. (x · y ) · z = x · (y · z) para todo x. existe un unico elemento. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axioma de Distribuciń o V´ ıctor Valdebenito S. V´ ıctor Valdebenito S. se cumple que: x · (y + z) = x · y + x · z . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Algebraicos Axioma de Distribuciń o Para todo x. y . z ∈ R . x = y . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: x < y .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas de Orden Axiomas de Orden Si x. V´ ıctor Valdebenito S. x > y . y ∈ R . x > y . y . y ∈ R . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S. Sean x. entonces a x < z. z ∈ R. entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: x < y . x = y .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas de Orden Axiomas de Orden Si x. Si x < y y adem´s y < z. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . ∀ ∈ R. V´ ıctor Valdebenito S. entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: x < y . y ∈ R . Si x < y y adem´s y < z. Si x < y . y . z ∈ R. entonces a x < z. x > y .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas de Orden Axiomas de Orden Si x. x = y . entonces x + z < y + z . Sean x. Si x < y y adem´s y < z. Si x < y y z > 0. x > y . ∀ ∈ R. entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones: x < y . V´ ıctor Valdebenito S. Sean x. z ∈ R. entonces a x < z. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Si x < y . entonces xz < yz.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas de Orden Axiomas de Orden Si x. y ∈ R . entonces x + z < y + z . x = y . y . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axioma Topol´gico o Axioma Topol´gico o Toda sucesiń creciente y acotada superiormente es o convergente V´ ıctor Valdebenito S. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Geom´tricos e Axiomas en Geometr´ ıa Un punto es una ubicaciń en el espacio. que no tiene o dimensiones. o V´ ıctor Valdebenito S. y que posee longitud.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Geom´tricos e Axiomas en Geometr´ ıa Un punto es una ubicaciń en el espacio. Una recta es un conjunto infinito de puntos que siguen una misma direcciń. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . que no tiene o dimensiones. Una recta es un conjunto infinito de puntos que siguen una misma direcciń.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Geom´tricos e Axiomas en Geometr´ ıa Un punto es una ubicaciń en el espacio. y que posee longitud. que conviven en 2 dimensiones. o Un plano es un conjunto infinito de puntos. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . que no tiene o dimensiones. V´ ıctor Valdebenito S. V´ ıctor Valdebenito S. que no tiene o dimensiones. que conviven en 2 dimensiones. o Un plano es un conjunto infinito de puntos. Una recta es un conjunto infinito de puntos que siguen una misma direcciń.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Axiomas Geom´tricos e Axiomas en Geometr´ ıa Un punto es una ubicaciń en el espacio. y que posee longitud. El espacio es un conjunto tridimensional de infinitos puntos. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Postulado? e V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Postulado? e Definiciń o Un Postulado es una proposiciń no evidente por s´ misma ni o ı demostrada. V´ ıctor Valdebenito S. pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Postulado? e Definiciń o Un Postulado es una proposiciń no evidente por s´ misma ni o ı demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida. Ejemplo V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Postulado? e Definiciń o Un Postulado es una proposiciń no evidente por s´ misma ni o ı demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida. Ejemplo Postulados de Euclides. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Postulado? e Definiciń o Un Postulado es una proposiciń no evidente por s´ misma ni o ı demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida. Ejemplo Postulados de Euclides. Postulado de Bertrand. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Postulados Postulados de Euclides Por dos puntos diferentes. s´lo se puede trazar una unica o ´ linea recta. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Postulados Postulados de Euclides Por dos puntos diferentes. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Todo segmento rectil´ ıneo se puede prolongar indefinidamente. s´lo se puede trazar una unica o ´ linea recta. V´ ıctor Valdebenito S. Todo segmento rectil´ ıneo se puede prolongar indefinidamente. Con un centro y un radio dado. s´lo se puede trazar una o unica circunferencia. ´ V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . s´lo se puede trazar una unica o ´ linea recta.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Postulados Postulados de Euclides Por dos puntos diferentes. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Postulados Postulados de Euclides Por dos puntos diferentes. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Todo segmento rectil´ ıneo se puede prolongar indefinidamente. s´lo se puede trazar una o unica circunferencia. Con un centro y un radio dado. a V´ ıctor Valdebenito S. s´lo se puede trazar una unica o ´ linea recta. ´ Todos los ńgulos recto son iguales. V´ ıctor Valdebenito S. existe una unica ´ recta que pasa por P y es paralela a L. ´ Todos los ńgulos recto son iguales. Con un centro y un radio dado. s´lo se puede trazar una o unica circunferencia.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Postulados Postulados de Euclides Por dos puntos diferentes. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . s´lo se puede trazar una unica o ´ linea recta. Todo segmento rectil´ ıneo se puede prolongar indefinidamente. a Por un punto exterior P a una recta L. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales Postulados Postulado de Bertrand Existe por lo menos un n´mero primo p tal que: u n < p < 2n − 2 con n > 3. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Teorema? e V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . a partir de una hip´tesis. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . las que derivan en una conclusiń. o o V´ ıctor Valdebenito S. o Parte de una serie de premisas.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Axiomas Postulados Teoremas Conceptos Fundamentales ¿Qu´ es un Teorema? e Definiciń o Un Teorema es una afirmaciń que necesita ser demostrada. los a a cuales demostraremos para su posterior uso en demostraciones m´s elaboradas. a V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos 1 A continuaciń presentaremos los teoremas m´s o a conocidos en tres ´reas importantes de la matem´tica. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos 1 2 A continuaciń presentaremos los teoremas m´s o a conocidos en tres ´reas importantes de la matem´tica. o que en su defecto. a Un buen matem´tico s´lo usa teoremas que ha a o demostrado. V´ ıctor Valdebenito S. conoce el principio por el que fueron demostrados. los a a cuales demostraremos para su posterior uso en demostraciones m´s elaboradas. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń de teoremas Fundamentales o V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: 1 El ´rea de un trińgulo es la mitad del producto entre su a a base. y la altura asociada a dicha base. La suma de los ńgulos interiores de un trińgulo a a ◦ cualquiera es 180 .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: 1 2 El ´rea de un trińgulo es la mitad del producto entre su a a base. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . y la altura asociada a dicha base. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: 1 2 3 El ´rea de un trińgulo es la mitad del producto entre su a a base. La suma de los ńgulos interiores de un trińgulo a a ◦ cualquiera es 180 . La suma de los ńgulos exteriores de un trińgulo a a ◦ cualquiera es 360 . y la altura asociada a dicha base. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . La suma de los ńgulos exteriores de un trińgulo a a ◦ cualquiera es 360 . La suma de los ńgulos interiores de un trińgulo a a ◦ cualquiera es 180 . es la suma de los 2 ńgulos interiores a a no adyacentes a ´l.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: 1 2 3 4 El ´rea de un trińgulo es la mitad del producto entre su a a base. y la altura asociada a dicha base. Un ńgulo exterior. e V´ ıctor Valdebenito S. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: Teorema de Thales. a V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Teorema de Pit´goras. m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: Teorema de Thales.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. a Teorema de Euclides.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: Teorema de Thales. V´ ıctor Valdebenito S. Teorema de Pit´goras. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . a Euclides. Herń.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: Teorema Teorema Teorema Teorema de de de de Thales. o V´ ıctor Valdebenito S. Pit´goras. Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Pit´goras. o Apolonio. V´ ıctor Valdebenito S. a Euclides. Herń. m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: Teorema Teorema Teorema Teorema Teorema de de de de de Thales. a Teorema de Euclides.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Aqu´ tenemos una lista con los 5 teoremas b´sicos de la ı a geometr´ Euclideana. Primer teorema de Ptolomeo. Teorema de Herń. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S. Teorema de Pit´goras. o Teorema de Apolonio. m´s un teorema cl´sico imposible de ıa a a dejar fuera: Teorema de Thales. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . entonces se cumple que: AB AC = BD CE V´ ıctor Valdebenito S. se cumple que BC DE .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń del Teorema de Thales o Enunciado del teorema de Thales Si en la figura. a a se cumple que: a2 + b 2 = c 2 V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń del Teorema de Pit´goras o a Enunciado del teorema de Pit´goras a En un trińgulo rectńgulo. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . a a se cumple que: a2 + b 2 = c 2 V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń Geom´trica del Teorema de Pit´goras o e a Enunciado del teorema de Pit´goras a En un trińgulo rectńgulo. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń del Teorema de Euclides o Enunciado del teorema de Euclides El teorema de Euclides se resume en tres conclusiones: 2 1 CD = p · q 2 a2 = c · p 3 b2 = c · q Donde CD ⊥ AB y ABC es recto en C . V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń del Teorema de Herń o o Enunciado del teorema de Herń o El ´rea de un trińgulo cualquiera a a conocidos sus lados es: A = S(S − a)(S − b)(S − c) a+b+c 2 donde S = V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń del Teorema de Apolonio o Enunciado del teorema de Apolonio Si en la figura. AD es bisectriz del BAC . entonces se cumple que: a c = b d V´ ıctor Valdebenito S. V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en Geometr´ ıa Demostraciń del Primer Teorema de Ptolomeo o Primer teorema de Ptolomeo En un cuadril´tero c´ a ıclico. el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de lados opuestos. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en la Aritm´tica e Demostraciń de teoremas Fundamentales o Comencemos por demostrar los siguientes hechos: V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . entonces: MCM(a. b) · mcd(a. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . b) = a · b V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en la Aritm´tica e Demostraciń de teoremas Fundamentales o Comencemos por demostrar los siguientes hechos: 1 Si a. b ∈ N. u V´ ıctor Valdebenito S. entonces: MCM(a. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . si sus cifras suman un u m´ltiplo de 3. b) · mcd(a.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en la Aritm´tica e Demostraciń de teoremas Fundamentales o Comencemos por demostrar los siguientes hechos: 1 Si a. b) = a · b 2 Un n´mero es divisible por 3. b ∈ N. b) = a · b 2 3 Un n´mero es divisible por 3. entonces: MCM(a. si sus cifras suman un u m´ltiplo de 3. u El producto de 4 n´meros naturales. V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos Demostraciones en la Aritm´tica e Demostraciń de teoremas Fundamentales o Comencemos por demostrar los siguientes hechos: 1 Si a. b ∈ N. nunca es un u cuadrado perfecto. b) · mcd(a. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos ´ Demostraciones en el Algebra Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: V´ ıctor Valdebenito S. c ∈ R. la soluciń de la ecuaciń de segundo o o grado ax 2 + bx + c = 0 . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . b. est´ dada por: a √ −b ± b 2 − 4ac x= 2a V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos ´ Demostraciones en el Algebra Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: 1 Si a. est´ dada por: e o a Sn = V´ ıctor Valdebenito S. de razń r . est´ dada por: a √ −b ± b 2 − 4ac x= 2a La suma de los primeros n t´rminos de una progresiń e o geom´trica. b. 2 a1 (1 − r n ) 1−r Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . la soluciń de la ecuaciń de segundo o o grado ax 2 + bx + c = 0 . c ∈ R.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Teoremas en Geometr´ ıa Teoremas en la Aritm´tica e Teoremas Algebraicos ´ Demostraciones en el Algebra Demostraciń de teoremas Fundamentales o Demostremos que: 1 Si a. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a A continuaciń: o 1 Intentaremos dar demostraciń a distintos problemas o propuestos en diferentes competencias y niveles. 2 Luego.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a A continuaciń: o 1 Intentaremos dar demostraciń a distintos problemas o propuestos en diferentes competencias y niveles. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S. resolveremos ejercicios propuestos sobre demostraciones de todo tipo. e V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Problema 1 Demostrar que el ´rea de un trińgulo es el semi-producto a a entre su per´ ımetro y el radio de la circunferencia inscrita en ´l. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Problema 2 Demostrar que el n´mero: u 254 + 1 5 es entero y no primo. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Problema 3 Si a. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . demuestre que se cumple: a+b b+c a+c + + ≥6 c a b V´ ıctor Valdebenito S. b y c son tres reales positivos cualesquiera. r n´meros enteros. Demuestre que p = q. q. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Problema 4 Sean p. donde r no es un cuadrado u perfecto. Suponga que: x= 3 p+ √ r+ 3 q− √ r es un n´mero racional. u V´ ıctor Valdebenito S. Demuestre que no importa a donde este p sobre BC . Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . dos perpendiculares. Se elige un punto p sobre o la base del trińgulo y se trazan desde p.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Problema 5 Sea el ABC is´sceles. de base BC . la suma de dichas perpendiculares es constante e igual a la medida de la perpendicular trazada desde el v´rtice B hacia el lado AC . e V´ ıctor Valdebenito S. a una hacia cada lado del trińgulo. Demuestre e que es imposible encontrar una posiciń ideal para ambos o puntos. dando lugar a 9 regiones. se eligen dos puntos al azar. Luego cada uno de ellos se une mediante segmentos. en la que las 9 regiones tengan la misma ´rea.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Problema 6 Dentro de un cuadrado. con los 4 v´rtices del cuadrado. a V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Desde all´ se trazan tres perpendiculares.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Ejercicios Propuestos En un trińgulo equil´tero. una hacia ı cada lado del trińgulo. se elige un punto interior al a a azar. a V´ ıctor Valdebenito S. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . Demuestre que la suma de dichas a perpendiculares es constante y equivale a la altura de dicho trińgulo. se obtiene un n´mero que termina con u 40 ceros. Demuestre que la suma de dichas a perpendiculares es constante y equivale a la altura de dicho trińgulo.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Demostraciones Formales a Problemas Matem´ticos a Ejercicios Propuestos En un trińgulo equil´tero. Desde all´ se trazan tres perpendiculares. se elige un punto interior al a a azar. a Demuestre que al multiplicar todos los m´ltiplos de 6 u menores que 1000. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . V´ ıctor Valdebenito S. una hacia ı cada lado del trińgulo. con R > r . o Calcule dicha ´rea. de radios R y e r .Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos Considere dos circunferencias concńtricas. Demuestre que: a 1 2 El ´rea entre ambas circunferencias no depende de sus a radios. sino s´lo del valor de AB. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . a V´ ıctor Valdebenito S. para AB = 4. Se traza una recta tangente a la circunferencia m´s pequeã. que corta en los puntos A y a n B a la circunferencia m´s grande. que corta en los puntos A y a n B a la circunferencia m´s grande. Formalizaciń de Demostraciones Matem´ticas o a . a Demuestre que 3. de radios R y e r . para AB = 4. o Calcule dicha ´rea. sino s´lo del valor de AB. V´ ıctor Valdebenito S. 5 y 7 es el unico tr´ de n´meros ´ ıo u impares primos consecutivos que existe. con R > r . Demuestre que: a 1 2 El ´rea entre ambas circunferencias no depende de sus a radios.Conceptos Fundamentales Demostraciones de Teoremas Conocidos Demostraciones Generales Ejercicios Propuestos Ejercicios Propuestos Considere dos circunferencias concńtricas. Se traza una recta tangente a la circunferencia m´s pequeã.

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