Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, lasuma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural. Axioma 1: Para todo n, S(n)≠0. Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m. Axioma 3: n + 0 = n. Axioma 4: n + S(m) = S(n + m). Axioma 5: n.0 = 0. Axioma 6: n.S(m) = n.m + n. Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n), si puede probarse que vale P(0) y también que vale "P(n) ⇒ P(S(n))" entonces P(n) vale para todo n. Teoremas: Estos son algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano. Teorema 1: 0 + n = n. Demostración: Aplicamos el esquema de inducción. Para n = 0 la afirmación vale por el axioma 3. Tenemos que probar que "0 + n = n ⇒ 0 + S(n) = S(n)". Veamos que es así: Si 0 + n = n entonces 0 + S(n) = S(0 + n) = S(n). Teorema 2: n + S(m) = m + S(n). Demostración: Hacemos inducción en m. Para m = 0 la afirmación vale porque: n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = 0 + S(n), esto último por el teorema 1. Veamos que n + S(m) = m + S(n) implica n + S(S(m)) = S(m) + S(n). S(m) + S(n) = = S(m + S(n)) (ax. 4) = S(n + S(m)) (hipótesis) = n + S(S(m)) (ax. 4). Teorema 3: n + m = m + n (Es decir, la suma es conmutativa). Demostración: Fijamos n y hacemos inducción en m. Para m = 0 vale ya que n + 0 = n = 0 + n, por axioma 3 y teorema 1. Tenemos que probar que n + m = m + n implica n + S(m) = S(m) + n, veamos que es así: n + S(m) = = S(n + m) (ax. 4) = S(m + n) (hipótesis) = m + S(n) (ax. 4) = S(m) + n (teo. 2). Teorema 4: (n + m) + k = n + (m + k) (Es decir, la suma es asociativa). Demostración: Fijamos n y m, y hacemos inducción en k. n implica n.Para k = 0 vale ya que: (n + m) + 0 = n + m = n + (m + 0). 4) = n.m = n.m + (n.(m + k) = n. 6) = (n.S(m) = = n.k + n) (ax.S(m) + S(m). y hacemos inducción en k.m + (m + S(m)) (teo.m + n.(m + S(k)) = n. Para m = 0 vale porque: S(n).S(m) + S(m) (ax. Para n = 0 vale por el axioma 5.n (teo. 6) = m.m + n (ax.m + m) + S(n) (hipótesis) = n.n.(m + k) = n. Teorema 8: n. Para m = 0 vale porque n. 6). 6) = (n. 4) = n + (m + S(k)) (ax.m + m Demostración: Fijamos n y hacemos inducción en m. Tenemos que probar que n.n = 0 (Recuérdese que el axioma 5 afirma que n.m + m implica S(n).n = 0 implica 0. Tenemos que probar que 0. 3) = (n.k. Teorema 5: 0. Veámoslo: S(n). 4) .m = m.0 + 0. vale la propiedad distributiva). Veámoslo: n.S(n) = 0.m + n) + S(m) (teo.m + n. (Es decir.n + n (hipótesis) = S(m). Veamos que es así: (n + m) + S(k) = = S((n + m) + k) (ax. Demostración: Fijamos n y m.m = m. Para k = 0 vale por los axiomas 3 y 5.n + 0 = 0 + 0 = 0. Tenemos que probar que (n + m) + k = n + (m + k) implica (n + m) + S(k) = n + (m + S(k)). 2) = n.0 = 0). Tenemos que probar que S(n).S(m) = S(m). 4) = S(n + (m + k)) (hipótesis) = n + S(m + k) (ax.S(n) = 0.m + (n + S(m)) (teo.n. Demostración: Hacemos inducción en n.m + S(n) (por el ax.0 = 0 = 0.m + (S(m) + n) (teo.k implica n.m + n.k) + n (teo.m + n. 6) Teorema 7: n. 4) = n. Veámoslo: 0. Teorema 6: S(n).m + n. 4).S(k).n (el producto es conmutativo).S(m) = = S(n). Demostración: Fijamos n y hacemos inducción en m. Tenemos que probar que n.m = n.S(m) = n.S(k) = = n.0 = 0 = 0 + 0 = n. Veámoslo: n. y supuesto que vale para n entonces es claro que también vale para S(n) .k).S(k)). (Es decir. (Es consecuencia inmediata del axioma 1.S(k)) (ax. entonces (n.S(k) = n.m). Para n = 0 vale por el axioma 5.n + 1 (Ax.) Teorema 11: n + 1 = S(n). Definición: 1 = S(0).6) = n. 3) Teorema 12: 1.(m. Para k = 0 vale por el axioma 5. 6) = n. Veamos ahora un nuevo teorema: Teorema 13: Si n≠0 entonces existe m tal que S(m) = n.n = n.(m.m (ax.m).k) + n. Demostración: n+1= = n + S(0) (definición) = S(n + 0) (Ax. Demostración: Fijamos n y m.k = n. Tenemos que probar que si (n.= n. 6) = n + 1 (por hipótesis) = S(n) (Teo.(m. 4) = S(n) (Ax. y este último enunciado se prueba fácilmente por inducción. 8) = n. Definiciones: 2 = S(1) 3 = S(2) 4 = S(3) 5 = S(4) etc.m (hipótesis) = n. Teorema 10: 1≠0. En efecto.S(n) = = 1.k).m).(m. 6).S(m + k) (ax.k + m) (teo.k = n.(m + S(k)) (ax.(m.k + n. el producto es asociativo).n = n implica 1. 11).S(k) = = (n. Demostración: El enunciado que queremos demostrar equivale a ∀n(n=0∨∃m(S(m)=n)). Demostración: Por inducción. y hacemos inducción en k.S(n) = S(n).m).(m + k) + n (hipótesis) = n.m). Veámoslo: (n. 1. Veamos que 1. para n = 0 vale. 4) Teorema 9: (n.(m. S(0). es decir. por hipótesis. Demostración: Si m≠0 entonces. sino la lógica de segundo orden. mientras que los otros dos no las respetan (se enmarcan en la lógica de segundo orden). m = Sk para algún k. ¿Cree usted que las tres versiones del teorema 13 son válidos? Sucede que el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones que impone la lógica de primer orden. La "verdadera lógica". la afirmación vale para n.. ¿Es importante esta distinción? En parte sí. Para n = 0 vale (el antecedente de la implicación es falso).... De hecho. es falso si se acepta en la matemática ese tipo de razonamiento). Teorema 13 bis: Si n≠0 entonces n se obtiene aplicando al 0 la función S sucesivamente una cantidad finita de veces. SS(0).. si se quiere.S(0) (una S más). por el teorema 13. por lo que esta situación me convence (al menos a mí) de que la lógica que usan naturalmente los matemáticos no es (a diferencia de los que los lógicos suelen sostener) la lógica de primer orden. Teorema 13 ter: Si una afirmación vale para 0.. entonces la afirmación vale para todo n. Vuelvo a preguntar: ¿cree usted que los tres teoremas son válidos? Una primera conclusión es (o debería ser) que el teorema de Gödel involucra ciertas sutilezas que impiden que sea discutido a la ligera. Supuesto que vale para n es inmediato que vale para S(n) ya que si n = SS. en cualquiera de los dos casos. según yo lo veo. Por otra pare. yo sí creo que los tres teoremas son válidos. SSSS(0). Demostración: Sea n cualquiera. digo yo. Deducimos así.. que S(n + k) = 0. o bien n = 0. luego n + Sk = 0. o bien n = SS.ya que si n = S(m) entonces S(n) = SS(m). porque el teorema de Gödel sólo vale en teorías basadas en la lógica de primer orden.. no alcanza a toda la matemática en su conjunto. ¿Es falso entonces el teorema de Gödel? No. el teorema de Gódel sigue siendo válido en la teorías basadas en la lógica de primer orden. Por así decirlo. S(0). la otra es una lógica muy apta para ser estudiada. por el axioma 4. la validez del teorema de Gödel termina en la delgada línea que separa el teorema 13 del teorema 13 bis. Demostración: Por inducción. pero no es la que usamos realmente para razonar. Teorema 14: Si n + m = 0 entonces n = 0 y m = 0.S(0) entonces S(n) = SSS. SSS(0). tiene una aplicación específica que. y que refutan cualquier análisis que no tome en cuenta adecuadamente sus complejidades técnicas. si se acepta la validez del teorema "13 ter" entonces el teorema de Gödel pasa a ser directamente falso (o. pero esto es un absurdo . entonces. por el teorema anterior. es la de segundo orden.. S(r) n. Comentario: ¿No podríamos haber dicho que n.k y n≠0 entonce k = 0. las demostraciones que faltan se dejan como ejercicio para los lectores: Teorema 16: Si n.. Supuesto que vale para m vamos a probarlo para S(m).r (Teo.S(k) = n.m = 0 y m≠0 entonces n = 0. Teorema 15: Si n + m = n + k entonces m = k.k y n≠0 entonces m = k. hay que probar que si n.S(m) = n. Demostración: La afirmación es equivalente a: Si n.k + n = 0 y. por el teorema 14.S(m) = n.k n. Si m≠0 entonces.0 = n.S(m) = 0.S(m) = n. por el teorema 13. fácilmente. Comencemos observando que k≠0.m = n. + n (m veces) para luego aplicar directamente el teorema 14? Una vez más. se sigue que n = 0. en el contexto de la lógica de primer orden (que es la que presupone el teorema de Gödel). Para m = 0.k + n (por axioma 6). por el axioma 3 y el teorema 3. perfectamente aceptable en la "matemática de todos los días".m + n = n. entonces.m = n + n + n + . del axioma 3. Luego. Luego. existe r tal que S(r) = k. deducimos que n = 0. . 15) m = r (Hipótesis inductiva) S(m) = S(r) S(m) = k.k y n≠0 entonces m = k. Otros teoremas que pueden probarse.m = 0 entonces n = 0 o m = 0. si n. que es lo que queríamos probar. este razonamiento. por axioma 2. Teorema 17: Si n. de donde se deduce que n = 0 o S(m) = 0. como queríamos probar. Luego: 0 = n.r + n n. no lo es. Demostración: Lo hacemos por inducción en n. Por lo tanto. y por hipótesis inductiva m = k. Probémosla por inducción en m. Probémoslo. Para n = 0 es fácil ver que vale (por el axioma 3).. Teorema 18: Si n + m = 1 y n≠0 entonces m = 0. tenemos que S(n +m) = S(n + k). esto se deduce del teorema anterior. en efecto. y entonces: n. en cambio. lo cual es absurdo. Paso inductivo: Supongamos que Sn + m = Sn + k.m = n. Entonces n. existe k tal que S(k) = m. debe ser m = 0.k.m = n.porque contradice el axioma 1. n + m = n + k. si k = 0 entonces n. Tenemos entonces que n. Demostración: La afirmación a demostrar es: Para todo m vale: Para todo n y k. si intentan demostrarlo. Teorema 25: 4≠2. (*) Teorema 26: n = SS. si n. entonces existe k tal que S(k) = m. S(0) = 0. Teorema 24: 2 es primo.. donde la S se repite n veces. lo que contradice el axioma 1. no sólo en n en tanto "número natural". Demostración: Si 2 = 1 entonces S(S(0)) = S(0). Teorema 23: Si n + m = 2 y n≠0 y m≠0 entonces n = m = 1. ¿Pero acaso no son la misma cosa? ¿Los números naturales no son cantidades? En el contexto de los axiomas de Peano la respuesta es no. por lo que "escapa" a los métodos de demostración que supone el teorema de Gödel. Si n = 0.) Demostración: Supongamos.n = 1 (1 + 1). Demostración: 1 + 1 = 1 + S(0) = S(1 + 0) = S(1) = 2.n = 1 (teo. lo que contradice el teorema 10.S(0). lo que contradice el teorema 21. por el teorema 14.. Teorema 22: No existe n tal que 2. llegamos a que 0 = 1. Teorema 19: Si n. Demostración: Supongamos que sí. "número" no es "cantidad".n = 1. Si n = 1.m = 2 y m≠1 entonces m = 2. es decir. por el absurdo. bordeamos aquí las ideas del teorema de Gödel. sino que . verán que se debe hacer inducción. Luego: 2. Como en el caso del teorema 13. 20) n + n = 1 (teo.(De este teorema se deduce inmediatamente que si la suma de dos números naturales es 1 entonces uno de de ellos es 0 y el otro es 1.m = 1 entonces n = m = 1. De hecho. Teorema 20: 1 + 1 = 2. sino también en n en tanto "cantidad de veces que aparece la letra S". n = 0.. se sigue que n = 0 o n = 1. 8 y 12) Por el teorema 18. En consecuencia: n+m=1 n + S(k) = 1 S(n + k) = 1 S(n + k) = S(0) n+k=0 Entonces. luego (por el axioma 2). Deducimos así que n no existe. lo que contradice la hipótesis. que m≠0. El teorema 26 ni siquiera puede enunciarse en la lógica de primer orden de los axiomas de Peano. Teorema 21: 1≠2. llegamos a que 2 = 1. Es decir.2 = 4 (luego.2 = 2."número" es "símbolo que cumple los axiomas". Teorema 34: Para todo n. Teorema 31: Si n≤m y m≤n entonces n = m.S(1) = 2.14 . nk≤mk. como dije más arriba. la lógica de primer orden (tan defendida por los lógicos matemáticos) es insuficiente para abarcar la riqueza del razonamiento matemático. no existe k tal que n < k < Sn. Teorema 29: Si n≠m entonces existe k tal que n + k = m o m + k = n.10. pero no el teorema en toda su generalidad. n+k≤m+k. Teorema 37: Si n≤m entonces para todo k. Publicadas por Gustavo Piñeiro No hay comentarios. a mi modesto entender.: Etiquetas: Axiomas de Peano 16. Demostración: 2. n < m si y sólo si n≤m y n≠m. Teorema 30: Para todo n y m vale que n≤m o m≤n. Definición: n≤m si y sólo si existe k tal que n + k = m. Teorema 38: Si n≤m entonces para todo k. Teorema 28: 2. puede probarse cada instancia del teorema 26. Teorema 36: Si n < m entonces Sn≤m. Es también interesante notar que en la lógica de primer orden sí puede demostrarse que 1 = S(0) 2 = SS(0) 3 = SSS(0) etc. Es por eso que.1 + 2 = 2 + 2. 4 no es primo). Teorema 32: Si n≤m entonces Sn≤Sm. Teorema 33: Si n≤m y m≤k entonces n≤k. Teorema 35: Para todo n. Teorema 27: 3 es primo. Fin (por ahora). 2 + 2 = 2 + S(1) = S(2 + 1) = S(S(2)) = S(3) = 4. 0≤n. o bien n = 0. Desde hace algún tiempo venimos mostrando algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano. Teorema 13 bis: Si n≠0 entonces n se obtiene aplicando al 0 la función S sucesivamente una cantidad finita de veces. recordemos dos de los axiomas de Peano: Axioma 1: Para todo n. Teorema 13 ter: Si una afirmación vale para 0. Para n = 0 vale (el antecedente de la implicación es falso).) A la parte 4 .. Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m. en cualquiera de los dos casos. De hecho. por hipótesis.S(0). además. porque el teorema de Gödel sólo vale en teorías basadas en la lógica de primer orden. y que el 1 (definido como S(0)) es su neutro. entonces. Para comenzar. En efecto. Veremos ahora algunos teoremas más. También probamos que el producto es asociativo y conmutativo.A la parte 6 Nota: desde que publiqué por primera este entrada he ido modificando ligeramente su contenido buscando que converja a lo que quiero expresar.. o bien n = SS.. que la suma de números naturales es asociativa y conmutativa. por ejemplo. SS(0).. entonces la afirmación vale para todo n. ¿Cree usted que los tres teoremas son válidos? Sucede que el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones que impone la lógica de primer orden.Axiomas de Peano y consecuencias (5) con algunos comentarios sobre el teorema de Gödel (Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí. Veamos ahora un nuevo teorema: Teorema 13: Si n≠0 entonces existe m tal que S(m) = n. para n = 0 vale. cierta relación con el teorema de Gödel.S(0) (una Smás)... SSSS(0). y que el 0 es su neutro. y este último enunciado se prueba fácilmente por inducción. Demostración: Por inducción.. por el teorema anterior. ¿Es importante esta distinción? En parte sí. mientras que los otros dos no las respetan (se enmarcan en la lógica de segundo orden). si se acepta la validez del teorema "13 ter" entonces el teorema de Gödel pasa a ser directamente falso . S(n)≠0. Supuesto que vale para n es inmediato que vale para S(n) ya que si n = SS. la afirmación vale para n. SSS(0). Demostración: Sea n cualquiera. S(0). Demostración: El enunciado que queremos demostrar equivale a ∀n(n=0∨∃m(S(m)=n)). que tendrán esta vez.. En las entradas previas hemos demostrado.S(0) entonces S(n) = SSS.. y supuesto que vale para n entonces es claro que también vale para S(n) ya que si n = S(m) entonces S(n) = SS(m). el teorema de Gódel sigue siendo válido en la teorías basadas en la lógica de primer orden. 3) Teorema 12: 1.: Etiquetas: Axiomas de Peano 28. tiene una aplicación específica que. la validez del teorema de Gödel termina en la delgada línea que separa el teorema 13 del teorema 13 bis. no alcanza a toda la matemática en su conjunto. es falso si se acepta en la matemática ese tipo de razonamiento). Publicadas por Gustavo Piñeiro No hay comentarios.n = n implica 1.n = n. es la de segundo orden.S(n) = S(n). y que refutan cualquier análisis que no tome en cuenta adecuadamente sus complejidades técnicas. La "verdadera lógica". ¿Es falso entonces el teorema de Gödel? No. Vuelvo a preguntar: ¿cree usted que los tres teoremas son válidos? Una primera conclusión es (o debería ser) que el teorema de Gödel involucra ciertas sutilezas que impiden que sea discutido a la ligera.(o. pero no es la que usamos realmente para razonar. Teorema 10: 1≠0. si se quiere.14 Axiomas de Peano y consecuencias (4) (Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí. Veamos que 1. según yo lo veo. por lo que esta situación me convence (al menos a mí) de que la lógica que usan naturalmente los matemáticos no es (a diferencia de los que los lógicos suelen sostener) la lógica de primer orden.A la parte 5 Definición: 1 = S(0).) Teorema 11: n + 1 = S(n).7. 4) = S(n) (Ax. (Es consecuencia inmediata del axioma 1. la otra es una lógica muy apta para ser estudiada. Para n = 0 vale por el axioma 5. Demostración: Por inducción. sino la lógica de segundo orden. digo yo.) A la parte 3 . Por así decirlo. Por otra pare. yo sí creo que los tres teoremas son válidos. es decir. Demostración: n+1= = n + S(0) (definición) = S(n + 0) (Ax. . S(n) = = 1. . 11). Definiciones: 2 = S(1) 3 = S(2) 4 = S(3) 5 = S(4) etc.1. 6) = n + 1 (por hipótesis) = S(n) (Teo.n + 1 (Ax.