Deméneghi. Temas Especiales de Geotecnia. Vol 1. 150701

TEMAS ESPECIALES DE GEOTECNIAUna selección de artículos Volumen 1 Agustín Deméneghi Colina Profesor del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México Mayo de 2014 ÍNDICE Tema Página ECUACIONES CONSTITUTIVAS Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Curvas de consolidación en arcillas sensitivas Deformations assesment in expansive clays Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo 4 9 16 26 34 38 INTERACIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA Interacción estática suelo-estructura 47 CIMENTACIONES PROFUNDAS Análisis y diseño geotécnico de pilas y pilotes 104 DISEÑO GEOTÉCNICO Y ESTRUCTURAL DE CIMENTACIONES Ejemplo de diseño de una zapata aislada Ejemplo de diseño de una zapata corrida Análisis y diseño de una cimentación compensada Ejemplo de análisis y diseño de un pilote de concreto reforzado 139 163 191 226 TEMAS ESPECIALES DE GEOTECNIA CIMENTACIONES  301  XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS, 2008   Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena Settlement assessment of a foundation in sand Agustín Deméneghi Colina, Facultad de Ingeniería, UNAM, Cd. Universitaria. RESUMEN: Se presenta un procedimiento para el cálculo del asentamiento de un cimiento apoyado en un depósito de arena. Se utiliza una ecuación constitutiva no lineal que toma en cuenta el efecto de la presión de confinamiento en la magnitud de la rigidez del terreno. La ventaja de esta técnica es que, al considerar la no linealidad del suelo, se hace uso de muy pocas propiedades mecánicas, que además no cambian con la presión de confinamiento. El procedimiento se aplica al cómputo del asentamiento de un cimiento que puede estar apoyado sobre varios estratos de arena. Se incluye un ejemplo ilustrativo de este cálculo. ABSTRACT: A procedure for the calculation of the settlement of a foundation in sand is presented. Confinement pressure on soil and a non linear stress-strain relationship are deemed. With this technique we use only a few mechanical properties. We can take into account several strata of soil. An illustrative example is included for the calculation of the settlement of a foundation in sand. 1 INTRODUCCIÓN pvo pho Cada disciplina de la ingeniería civil tiene que desarrollar técnicas apropiadas a su propia especificidad. Tal es el caso de la mecánica de suelos, en la que se tienen que encontrar las leyes que rigen el comportamiento de los medios granulares. Un medio granular tiene la característica de que su rigidez (como medio) aumenta con la presión de confinamiento; además, en estos materiales la relación esfuerzo-deformación unitaria es en general no lineal. Por lo tanto, debemos buscar procedimientos que tomen en cuenta estas características específicas de un medio granular. En este artículo se presenta un procedimiento que trata de contemplar los factores citados en el párrafo anterior, para el cálculo del asentamiento de un cimiento apoyado sobre un suelo friccionante. La ventaja de esta técnica es que permite computar dichas deformaciones con un número muy reducido de propiedades mecánicas. 2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA pho pho pvo Figura 1. Estado de esfuerzos por peso propio. Por otra parte, si el suelo tiene una cierta cohesión o cementación, podemos considerar que ésta se debe a una presión de confinamiento interno intrínseca, la cual denominaremos pcie. La presión de confinamiento inicial pbeo será entonces la suma de la presión de confinamiento intrínseca, pcie, más la presión externa por peso propio, pco, es decir pbeo = pcie + pco 2.1 Confinamiento inicial Consideremos un elemento de suelo sometido al estado de esfuerzo por peso propio mostrado en la figura 1. La presión de confinamiento promedio inicial, por peso propio del terreno, vale pco = (pvo + pho + pho) / 3 Si pho = Ko pvo, donde Ko es el coeficiente de presión en reposo del suelo, entonces pco = (1/3)(1 + 2Ko) pvo pho (1) (2) 2.2 Ecuación constitutiva para la estimación de la deformación de un elemento de suelo, ocasionada por incrementos externos de esfuerzo Juárez Badillo (1965) utiliza la siguiente expresión para el cálculo de la deformación volumétrica de los materiales dV/V = - γ (dσ/σ) donde V = volumen de un elemento de suelo σ = esfuerzo isotrópico sobre el elemento de suelo Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. C.  (3)   . Suponiendo que el espesor ∆zo del elemento es suficientemente pequeño para que la relación entre el incremento de esfuerzo horizontal y el incremento de esfuerzo vertical sea constante. en la que la deformación unitaria sea directamente proporcional a la variante de la ley de Hooke dada por la ecuación 4. la deformación es función inversa del esfuerzo de confinamiento. tenemos que a1 = σx / σz a2 = σy / σz (5) σx = a1 σz σy = a2 σz (6) Sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la ecuación 4 r ε ≅ (1/A) {σz [1 . σx y σy son los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por la presencia de la obra de ingeniería. es decir (Deméneghi.302  AGUSTÍN DEMÉNEGHI COLINA  XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS.ν (a1 + a2)] } (7) ε ≅ (1/A) (f σz )r (8) siendo Δpbe = b1 σz + b2 (σx + σy) (11) donde. tal como se ilustra en la figura 2. 2008  γ = parámetro que mide la compresibilidad volumétrica del material f = 1 .ν (σx + σy)]r (4) donde (1/A) es el coeficiente de proporcionalidad entre el esfuerzo desviador y la deformación unitaria. Supongamos por un momento que el confinamiento inicial pbeo (ecuación 2) se mantiene constante. A continuación. dada la experiencia actual b1 = 1/3 y b2 = 1/3 .ν (a1 + a2) Vemos que en la expresión anterior. Por otra parte. o sea. e inversamente proporcional a la presión de confinamiento dada por la ecuación 14 (figura 3). podemos plantear una ecuación constitutiva general. extenderemos el concepto de normalización para aplicarlo al cálculo de la deformación de un suelo friccionante. pa = presión Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. Consideremos un elemento de suelo sometido a una presión de confinamiento inicial pbeo. σx y σy (figura 2). 1984) d(∆z) 1 (f σz/pa)r d(f σz/pa) ⎯⎯⎯ = − ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∆z A [ (pbeo + c σz) / pa ] s (15) donde A es el módulo de rigidez del suelo. Incrementos de esfuerzos por una obra de ingeniería. donde σz. Con los resultados anteriores. demos incrementos de esfuerzo σz. Estos incrementos de esfuerzo ocasionan que la presión de confinamiento pbeo aumente en una cantidad Δpbe. C. tanto la deformación como el esfuerzo se “normalizan”. Por otra parte. dando lugar a un nuevo valor de pbe. podemos usar entonces una variante de la ley de Hooke para el cálculo de la deformación unitaria ε ≅ (1/A) [σz . como mencionamos antes. al construir una obra de ingeniería se incrementan los esfuerzos sobre un elemento de suelo (figura 2). es decir σz Figura 2. ν es la relación de Poisson y r un exponente que depende de la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria del suelo. que vale σz pbe = pbeo + Δpbe σy σx (9) (10) En términos generales. y r y s son exponentes que dependen del tipo de suelo. Reemplazando las ecuaciones 6 en la ecuación 11 Δpbe = c σz (12) donde c = b1 + b2 (a1 + a2) (13) Sustituyendo en la ecuación 10 pbe = pbeo + c σz (14) Demos ahora incrementos diferenciales de esfuerzo al elemento. que es igual al promedio de los incrementos de esfuerzo σx Δpbe = (1/3) (σz + σx + σy) σy Para fines prácticos podemos sustituir la cantidad de (1/3) por coeficientes. σx y σy sobre el cuerpo. en mecánica de suelos se acepta que Δpbe es igual al incremento de esfuerzo normal en el plano octaédrico. Veamos a continuación cómo tomar en cuenta este efecto. Demos incrementos de esfuerzo σz. para el cómputo de la deformación de un suelo friccionante conviene entonces emplear la ecuación 22 con s = 0. ELEMENTO DE SUELO GRANULAR Para el cálculo de la deformación vertical de un elemento de suelo de espesor Δzo (figura 3) podemos usar la ecuación 15. que corresponde a una ecuación constitutiva diferencial en un medio granular.∫o ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A [(pbeo + c σz) / pa] s Δzf f [(pbeo + cσz)1-s – (pbeo)1-s] ⎯ = exp{. debemos integrar la ecuación 16 de Δzo a Δzf el primer miembro y de 0 a σz el segundo miembro 1 d(f σz/pa) = . cuyos valores en función de α se muestran en la tabla 1. para diferentes condiciones de carga.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} }Δzo (1-s) c A pa1-s 3 CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN DE UN d(Δz) ∫Δzo ⎯⎯ Δz 303  XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS. Finalmente.125 Pero (figura 3) (22) (25) El módulo desfavorable se calcula en función del nivel de confianza α con A = Am C donde (26) C = exp[-0. Δw/Δzo = Δzf/Δzo – 1 (20) Δw f [(pbeo + cσz)1-s – (pbeo)1-s] ⎯⎯ = exp{.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} Δzo (1-s) c A pa1-s El desplazamiento Δw se mide hacia arriba. Cabe aclarar que en suelos friccionantes el exponente s es del orden de 0.CIMENTACIONES    atmosférica = 101.3 kPa. Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el módulo A del suelo sea menor que el valor dado por la ecuación 26.  . Por lo tanto.2.5.00758 + 0. la deformación δz de un estrato de suelo friccionante de espesor Δzo se obtiene usando la ecuación 22. con el procedimiento que se indica a continuación.976)2] (27) tα es una variable t de Student.Δw. La ecuación 15 es una ecuación constitutiva diferencial general que podemos usar para calcular la deformación de un suelo. Para fines prácticos podemos tomar r = 0. hagamos δz = . Para fines prácticos. la altura del elemento cambia de la altura inicial Δzo a la altura final Δzf (figura 3).784 tα √ 1. Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. 1963). la ecuación 15 queda d(∆z) 1 d(f σz/pa) ⎯⎯⎯ = − ⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∆z A [ (pbeo + c σz) / pa ] s (16) Integremos la ecuación 16. 1982) Ko = (1 – sen φ)(OCR)sen φ Δzf = Δzo + Δw (19) Δzf/Δzo = 1 + Δw/Δzo ∆W= ∆Z ∆Zf ∆Zo Figura 3.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} – 1 Δzo (1-s) c A pa1-s (21) (23) donde φ es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo. El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy. que se introduce con el fin de que el módulo A sea adimensional (véase Janbu. La ecuación 21 queda f [(pbeo + cσz)1-s – (pbeo)1-s] δz ={1-exp{. Al aumentar el esfuerzo normal vertical de 0 a σz.25 N1. σx y σy.5. 2008 (17) (18) La ecuación 22 permite calcular la deformación vertical de un elemento de suelo friccionante de espesor Δzo. sujeto a incrementos de esfuerzo σz. En suelos friccionantes. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo. el exponente r varía entre 0 y 0. C. Para que el desplazamiento hacia abajo sea positivo (como es usual en mecánica de suelos).0152(ln N – 2. La relación de Poisson ν se obtiene ν = Ko / (1 + Ko) (24) El módulo de rigidez promedio Am del suelo se determina a partir del número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT). con la siguiente expresión aproximada Am = 26. 05+119.  .304  AGUSTÍN DEMÉNEGHI COLINA  XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS.32 Para α = 20%.125 = 981.254 50 0 30 x 630 kN Distancias en centímetros Croquis sin escala 30 4 EJEMPLO 30 Calcular el asentamiento de la zapata rectangular de concreto reforzado de la figura E-1.734 Am = 26.32) = 504.734)(504. se encuentra un asentamiento total de δzT = 4.102 cm Para obtener la deformación de los estratos 2 y 3 se procede en forma similar.5 1.398) = 0.185)1-0.5)(0.844) √ 1.25 N1.5 δz = 0. De acuerdo con la tabla E-1.515 A = C Am = 0.25(25)1. Solución: La determinación de los incrementos de esfuerzo se lleva a cabo usando la presión de contacto entre suelo y cimiento.285 pco = [(1+2(0. Es interesante comparar estos asentamientos con el obtenido con las fórmulas de Steinbrenner (Terzaghi.657 c = b1 + b2 (a1 + a2) = b1 + b2 [(σx + σy)/σz] c = 1/3 + (1/3)[(117.71)]1-0.40)/196. 2008  y 170 Tabla 1.3)1-0.398))/3](12) = 7.92 Sustituyendo valores en la ecuación 22: 0.844 25 0.041 20 0.734(196.05 kPa σy = 119. sumando las deformaciones de los tres estratos con α = 20%.18 mm con α = 20%.657 10 1.001017 m = 0.71] = 0.0152(ln 25 – 2.05+119.40 kPa f = 1 . el cual resulta 4.526 40 0.92)(101.00758 + 0.844 (tabla 1) Reemplazando en la ecuación 27: C = exp[(-0. Se usaron las ecuaciones 22 a 27. Las presiones por peso propio y los incrementos de esfuerzo se obtienen a la mitad de cada estrato.75(16) = 12 kPa Ko = 1 – sen 37° = 0.18 mm.288 15 1. Para α = 50% (hundimiento promedio) se usa un procedimiento análogo y se halla δzT = 2.398 La relación de Poisson es ν = Ko/(1+Ko) = 0.40)/196.398/(1+0.784)(0.185 kPa Los incrementos de esfuerzo normal a la mitad del estrato valen σz = 196. Ilustremos la aplicación del método no lineal con el cómputo de la deformación del estrato 1: La presión vertical inicial a la mitad del estrato 1 es pvo = 0.4 mm. tα = 0.185+0.15 mm. muy similar a δzT = 4. En la tabla E-1 se exhibe el cómputo de las deformaciones de los tres estratos de suelo.5 – (7.285 [(117. Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A.125 (ecuación 25) Arena limpia N = 25 golpes γ = 16 kN/m3 Φ = 37° 30 Arena limosa N = 32 golpes γ = 18 kN/m3 Φ = 39° 40 Limo arenoso N = 28 golpes γ = 17 kN/m3 Φ = 38° 50 Roca EJEMPLO FIGURA E-1 Am = 26.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯}}(0.676 30 0. Variable aleatoria t de Student Nivel de tα Confianza α 25 % 200 2.71 kPa σx = 117. 1943) y Denver (1985).ν [(σx + σy)/σz] f = 1 – 0.657{[(7.ν (a1 + a2) = 1 . C.71] = 0.976)2] C = 0.978 5 1.35 kPa.5} δz ={1-exp{.515(981.3) (1-0. que en este caso vale q = 197. “Soil compressibility as determined by oedometer and triaxial tests”. European Conf Soil Mech Found Eng. C.81 11. Deméneghi.944 1.400 0. San Francisco Janbu. Ejemplo α = 20% Estrato A pvo Ko ν kPa pbeo σz σx σy kPa kPa kPa kPa c f δz mm 1’ 504.39 25. lo que permite encontrar una expresión para el cómputo de la deformación de un estrato de arena (ecuación 22). Vol LIV. vol IV: 21832190. Germany.384 0. “Compressibility of soils”. A (1984). 5th Symp Civil Hydr Eng. XI Int Conf Soil Mech Found Eng.11 53.371 0.84 15. Rev Ingeniería.848 1.40 0. Theoretical Soil Mechanics. Wiley Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos A. K (1943). GT8.71 117. Ko-OCR relationships in soil. E (1965). c) Se presentó un ejemplo para el cálculo del asentamiento de una zapata aislada. Bangalore Mayne.02 1.82 0. Facultad de Ingeniería.240 134.95 18 0. P W y Kulhawy.09 47.92 12 0.278 15.85 0. N (1963).  . “Análisis de deformaciones en suelos granulares”.05 119.270 10. Dep Indian Inst Science. H (1985).398 0. en la cual la deformación unitaria es inversamente proporcional a la presión de confinamiento (ecuación 15).33 0. UNAM.448 180. F H (1982). junio Terzaghi. Wiesbaden. ASCE.285 7.18 5 CONCLUSIONES REFERENCIAS a) Debido a que en un elemento de suelo la presión de confinamiento varía durante la construcción de una obra de ingeniería. apoyada sobre tres estratos de suelo arenoso.734 0. se plantea una ecuación diferencial constitutiva para el cálculo de la compresión del elemento. Jour Geot Eng Div.185 196. 2008   Tabla E-1.CIMENTACIONES  305  XXIV REUNIÓN NACIONAL DE MECÁNICA DE SUELOS. Vol 1: 19-25 Juárez Badillo. b) La ecuación diferencial constitutiva se integra para el intervalo de variación de los incrementos de esfuerzo ocasionados por la obra de ingeniería.520 0.80 Suma 4. N° 3: 34-38 Denver.36 3 573. “Settlement calculation for footings on sand”.658 2 665. se libera parte de esta energía de deformación. una arcilla preconsolidada ha almacenado energía de deformación por la mayor carga que tuvo durante su historia geológica. ABSTRACT: A non linear procedure for the calculation of long term deformations in fully saturated. Universidad Nacional Autónoma de México. En su forma original. Las razones expuestas en los párrafos anteriores explican el porqué la deformación in situ es menor que la deformación en el laboratorio. Por otra parte. 2012 – Cancún. En ocasiones la estimación de la compresión se acerca en forma más o menos satisfactoria a la compresión que sufre el estrato en el campo. sometida a una prueba de consolidación unidimensional. las cuales se pueden programar en una calculadora con relativa facilidad.1 Ecuación constitutiva Consideremos un elemento de arcilla preconsolidada totalmente saturada.XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica. Se utilizan los conceptos anteriores para el cálculo de asentamientos de estructuras apoyadas sobre arcillas preconsolidadas. Sin embargo. Skempton y Bjerrum (1957) analizaron este fenómeno y concluyeron que esta diferencia se debe a que el incremento de esfuerzo desviador in situ no necesariamente es similar al incremento de esfuerzo desviador en el laboratorio. A. México Facultad de Ingeniería. siendo esta diferencia mayor en arcillas preconsolidadas. cuando ocurre en este suelo un incremento de esfuerzo desviador.C. Noviembre 14 a 16. totalmente saturada. El confinamiento inicial vertical pveo está dado por pveo  pcie  pvo ' (1) donde pcie es la presión de confinamiento equivalente a la cementación del suelo (en caso SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. 2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS 2. el trabajo de Skempton y Bjerrum fue presentado de manera gráfica. Se incluye un ejemplo de aplicación. como se muestra en la figura 1. Universidad Nacional Autónoma de México. tratamos un método no lineal para el cálculo de las deformaciones en arcillas preconsolidadas. Previamente a la presentación de estos conceptos. lo que a su vez da lugar a que la compresión in situ sea menor que la compresión en el laboratorio.C. practicadas sobre muestras inalteradas extraídas del estrato de suelo. is presented. Se considera además la influencia del incremento de esfuerzo desviador en la magnitud de la compresión de un elemento de suelo. These concepts are used to calculate the settlements of structures resting over these soils. An example of settlement prediction is included. y lo que nosotros exponemos en este artículo son expresiones analíticas derivadas del procedimiento de estos autores. . Denominemos con pveo al confinamiento inicial vertical y a σz el incremento de esfuerzo normal vertical sobre el elemento. el incremento de presión de poro en el campo resulta menor que el incremento de presión de poro en el odómetro. México RESUMEN: Se presenta un procedimiento no lineal para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas preconsolidadas totalmente saturadas. Quintana Roo Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas Prediction of deformations in overconsolidated clays Agustín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA2 1 2 Facultad de Ingeniería. 1 INTRODUCCIÓN Para el cálculo de la deformación a largo plazo de un estrato de arcilla preconsolidada. Esta discrepancia hace que el incremento de presión de poro en el campo sea menor que el incremento de presión de poro en el consolidómetro. En consecuencia. overconsolidated clays. It also takes into account the influence of deviator stress increment in the amount of deformation in these soils. otras veces ocurre que la deformación de la arcilla en el campo es menor que la deformación estimada con los resultados del ensaye de consolidación unidimensional. es usual utilizar los resultados de pruebas de consolidación unidimensional. σz. reemplazando este valor en la ecuación 4 Z. W d(σz) σz ΔW d(ΔW) ΔWf Z. u 1 d z A pveo   z Figura 1. Debido al incremento de esfuerzo vertical σz sobre el espécimen de suelo. de acuerdo con la figura 2 Demos ahora un incremento de esfuerzo diferencial dσz como se indica en la figura 2.3 kPa. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo x. y pvo’ es la presión normal vertical efectiva inicial sobre el elemento. y s es un z f  zo  w f z f zo 1 w f zo   z w f   f  1zo   zo (7) Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación 7   p z w f   veo  pveo      1 A SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. Proponemos la siguiente ecuación constitutiva para el cálculo de la deformación unitaria en compresión no confinada d z  zo d z  1  z d z   z A 0 pveo   z z f d z   d zo   d w  d w d z pa z f Es decir z  zo  w d z  d z   z  (5) (4) donde pa = presión atmosférica = 101. u Figura 2. sobre un elemento de suelo de espesor inicial Δzo d z  Definamos la diferencial de deformación unitaria vertical dεz de la siguiente forma Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 5.   1 zo   (8) . exponente que depende del tipo de suelo. éste sufre una deformación vertical Δwf como se indica en la figura 1. En arcillas totalmente saturadas s ≈ 1. W ΔW < 0 pvo' ΔWf ΔZ ΔW < 0 ΔZf ΔZo ΔZo ΔZf x. Incremento de esfuerzo normal.C. A es un coeficiente que mide la rigidez del material. e integrando d z   d w z (2) De acuerdo con la figura 2  p z     veo zo  pveo  Reemplazando en la ecuación 2 1 A  p  z  veo p a  (3)    s  1 A (6) Por otra parte.2 Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas que la hubiera). El módulo A se puede obtener en función de dicha relación de vacíos. es decir uWcpo  x  y 2   y     ASke   z  x 2   SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. Veamos a continuación la forma de estimar esta diferencia. ΔuWcon = σz. A. 3 CRITERIO DE SKEMPTON Y BJERRUM PARA EL CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS Como señalamos antes. dependiendo esta diferencia de la relación entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro. sean P1(pv1’.C. Skempton y Bjerrum (1957) señalan que las magnitudes de las deformaciones obtenidas a partir de resultados de una prueba de consolidación unidimensional pueden ser diferentes a los valores de las deformaciones sufridas por una obra en el sitio. de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo. en arcillas preconsolidadas la presión equivalente debida a la cementación entre partículas es cercana a cero: pcie ≈ 0.Δwf. la presión pveo ≈ pvo’. por lo que  Pcon  mv zo uWcon  (14) Por otra parte. Tomando en cuenta además la ecuación 11 en la ecuación 10. el valor de Δwf dado por la ecuación 8 da siempre negativo. En efecto. La expresión 8 queda  p ' log vf   pvo '  A 1 ef   log  1  eo    p z  P  1   veo   pveo  La expresión 12 se puede utilizar para determinar el módulo de rigidez en la rama de recompresión. entonces 1    A  zo    (9) La ecuación 9 permite calcular la deformación ΔδP. el incremento de presión de poro en el campo es función del incremento de esfuerzo desviador. en compresión confinada. 3 De acuerdo con la convención de signos de la figura 2. donde ΔδP es la deformación al término de la consolidación primaria del elemento de suelo. La deformación en consolidación unidimensional vale  Pcon  mv zo  z (11) Si.DEMÉNEGHI. et al. 2. e2) dos puntos en dicha rama (pv2’ > pv1’). Para tener una magnitud positiva de la deformación del elemento. (15) . hagamos ΔδP = . En el consolidómetro el incremento de presión de poro. As’. el módulo A queda siendo mv el coeficiente de compresibilidad volumétrica del suelo. e1) y P2(pv2’.2 Determinación del módulo de rigidez A El módulo de rigidez A lo obtenemos despejándolo de la ecuación 9  p  z   log veo p veo  A    P   log1   z o   (10) donde log x = log10 x Por otra parte. sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz. como es común. de la siguiente forma  P  1 e  ef e zo  o zo 1  eo 1  eo  P 1  e f  zo 1  eo  p ' log v 2   pv1 '  As '    1  e2   log  1  e1  (12) (13) Un procedimiento similar se usa para obtener el módulo de rigidez en la rama virgen. es usual calcular la relación de vacíos en una prueba de consolidación. A’. en el momento de aplicar la carga. Hicimos una comparación de los asentamientos de estructuras. para condiciones de trabajo. al término de la consolidación primaria.C. t. vemos que los valores de coeficiente μ son prácticamente los mismos. es decir  Pcpo  mv zo uWcpo   Pcpo  Pcon   uWcpo uWcon ASke z  d) Se calcula la deformación del estrato para compresión unidimensional. sustituyendo el incremento de presión de poro en el sitio. procedimientos usuales de la geotecnia). se determina  Pcpo. que es función del factor tiempo T T cv t ze 2 (21) Las magnitudes de U se muestran en la tabla 2. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. se exhiben en la tabla 1. cuyos valores. se puede llevar a cabo con los siguientes pasos a) Se extrae una muestra inalterada del suelo. Valores del coeficiente ASke en condiciones de trabajo (Skempton y Bjerrum. tomados de Skempton y Bjerrum (1957).4 Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas donde ASke es el coeficiente de presión de poro de Skempton (1953). Los resultados se exhiben en la tabla 3. de acuerdo con la expresión 17 O sea  Pcon   p z  1   veo   pveo  e) Se obtiene la deformación del estrato en campo. el cómputo de la deformación a largo plazo en un estrato de arcilla preconsolidada. al término de la consolidación primaria. usando la ecuación 13 Tabla 1. 1957)  p ' log v 2   pv1 '  As '    1  e2   log  1  e1  Tipo de arcilla Arcilla blanda muy sensitiva Arcilla normalmente consolidada Arcilla preconsolidada Arcilla arenosa fuertemente preconsolidada Aske >1 ½a1 ¼a½ 0a¼ Skempton y Bjerrum consideran que el asentamiento en el campo se puede calcular con la ecuación 14. de preferencia a la mitad del estrato b) Se realiza una prueba de consolidación unidimensional en una probeta labrada de la muestra inalterada c) Con los resultados de la prueba de consolidación. se obtienen el coeficiente de consolidación cv del suelo (empleando los (18) 1  ASke  x   y  z 2 1 (17) La deformación del estrato para un tiempo. empleando el método de estos autores y el procedimiento que planteamos en este artículo. totalmente saturada. y el módulo de rigidez As’ en el tramo de recompresión.t   PcpoU (19) (19) donde. . utilizando la ecuación 19 (16) Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 14 y 16  Pcon 2     1 As '   z  o   Pcpo    Pcon    1 (17)   Pcpo    Pcon  (18) donde 1    As '     p  veo z   z  1     pveo   o   f) ASke z  4 PREDICCIÓN DE DEFORMACIONES A LARGO PLAZO EN ARCILLAS PRECONSOLIDADAS De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores. con la ecuación 18 1  ASke  x   y  z (13) (20) donde U es el grado de consolidación primaria. 5 DEMÉNEGHI.0 (Tomada de Juárez Badillo y Rico.031 25 0.90 0.565 85 0.008 15 0.096 40 0. Incremento de esfuerzo radial horizontal (Yoder.071 35 0. Magnitudes del coeficiente μ Obra q 21   z z3  1  2  2 1/ 2 2  a  z2 a2  z2 z  2 3/ 2    σz σy σx Figura 3.159 50 0. con carga repartida q aplicada sobre la superficie de un medio seminfinito (Deméneghi y Puebla.405 75 0. 1976) r  0. et al.049 30 0.55 Círculo cargado y    q  xyz zB  2  tan 1  2 xy 2  2 x  z B   y yB    1  2  tan 1  tan 1  x xz   Incremento de esfuerzo normal vertical a z3 2 q y x z Los incrementos de esfuerzo bajo el centro de un círculo cargado están dados por    1 1  xyz xy    2  tan 1   2 2 2  y z  B zB   x  z Los incrementos de esfuerzo normal ocasionados por un cimiento cargado se pueden valuar con las siguientes expresiones.342 70 0. Incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. .684 90 0.50 0.80 Tanque de almacenamiento Arcilla de Chicago Arcilla de Londres Arcilla de Oxford  3/ 2 Rectángulo cargado Tabla 3.80 0.49 0.477 80 0.90 0.127 100 ≈ 2.287 65 0.197 55 0. 2012)   Incremento de esfuerzo normal vertical (Damy.55 z  q 2 Incrementos de esfuerzo normal horizontal (Dashkó y Kagán. 1980) q  xyz zB  2  tan 1  2 2  2 y z B xy  x xB    1  2  tan 1  tan 1 y yz   x  0. Relación teórica U-T U(%) T 0 0 10 0.238 60 0. 1985) 5 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZO  z  q 1      Los incrementos de esfuerzo bajo la esquina de un rectángulo cargado están dados por (figura 3) Valores del coeficiente μ Skempton y Este artículo Bjerrum 0.126 45 0.848 95 1.018 20 0. isótropo y linealmente elástico (con una relación de Poisson ν). 1959) Tabla 2. válidas para un medio homogéneo.C. A. cv = 0.552.217  log  0.9  1  1.01574m Solución El módulo As’ lo obtenemos con la ecuación 13 (Arcilla preconsolidada. 771  79 . Considerar en la arcilla ’ = 29°.024).000  0.6   0.61 kPa σx = 64.6 m Gamma = 16 kN/m3 Roca T 0.8465 79.8840.6 m Arcilla preconsolidada.81)(0.0186  0.81)(0.061).788.771    Usando la ecuación 17 79.87  57.01574  0. los incrementos de esfuerzo valen σz = 79. La losa tiene 8 por 16 m en planta.C.217 kg/cm . En esta arcilla el fenómeno de consolidación secundaria es pequeño y se puede despreciar para fines prácticos.61 1  1 / 364. pcie = 0.00004615.000 s 0. Se practicó además una prueba de consolidación sobre una muestra inalterada extraída del estrato de arcilla preconsolidada.6 Predicción de deformaciones en arcillas preconsolidadas 6 EJEMPLO Calcular el asentamiento bajo el centro de la losa de cimentación de la estructura de la figura 4.281 kg/cm2.68 kPa Utilizamos la ecuación 19  Pcon 1    80.6)+(16-9. y transmite al terreno un incremento de presión media de 80 kPa.000046157.771 kPa SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.000 s T 0. una relación de preconsolidación OCR = 2 y un coeficiente de Skempton Aske = 1/3 A la mitad del estrato.25)(86400) = 157.01574m a) Tiempo = 6 meses t = 6(30)(86400) = 15.4% NAF  P 6 meses  0. Las coordenadas de dos puntos de la curva de compresibilidad en la rama de recompresión son: P1 (0. Ejemplo  P 5años  10.06  2 302 U = 100% Figura 4.61 La deformación en campo.788.87 kPa σy = 57.3)= 6.01574   0.68  2  3  0.000  8.281   As '    80. al término de la consolidación primaria vale (ecuación 18)  Pcpo  0.9 6 . pcie = 0 0. 1. 61    0. 2 P2 (1.552.795 302 U = 88. 1. para tiempos de 6 meses y 5 años después de terminada la construcción. Ejemplo 5 años)  1. OCR = 2.061  pveo = pvo’ =(18-9.0186m  1       6.000046 cm2/s.0139m Arena compacta b) Tiempo = 5 años Gamma = 18 kN/m3 t = 5(365.84650.024  log   1  1. . 040 0. siguiendo los conceptos presentados por Skempton y Bjerrum. resulta en el campo menor o igual que la deformación calculada a partir de resultados de pruebas de consolidación unidimensional c) La diferencia entre el incremento de esfuerzo desviador en el campo y el (Arcillas preconsolidadas.676 0. MPC) SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.526 0. UNAM.00637  7 incremento de esfuerzo desviador en el consolidómetro da lugar a que el aumento de presión de poro in situ sea menor que el aumento de presión de poro en el laboratorio. Géotechnique. México. Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería.659 1. sobre superficies poligonales de cualquier forma. A (1976). 168-178 Yoder. Mecánica de Suelos.982 1.DEMÉNEGHI.975 1. La solución que exponemos se puede programar en una computadora con relativa facilidad IP  35. MIR. Magnitudes de la variable aleatoria tα Nivel de confianza α % 2. Géotechnique.654 1. 7 VALORES ESTADÍSTICOS Para fines preliminares de análisis se pueden usar las siguientes magnitudes obtenidas a partir de datos estadísticos 2491.12  25. Apuntes de Comportamiento de Suelos. L (1957). M (2012). Moscú Deméneghi. Wiley 8 CONCLUSIONES De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores. considerando que la compresibilidad del suelo disminuye con el esfuerzo normal vertical efectivo sobre el suelo b) La deformación de un estrato de arcilla preconsolidada.5 5 10 15 20 25 30 40 50 Módulo As’ Módulo A’ Variable aleatoria tα 1.43t 1. E y Rico. lo que conduce a que la deformación unitaria de un estrato en campo sea menor a la deformación unitaria de una probeta en el odómetro d) En este artículo se presentó un procedimiento analítico para tomar en cuenta el efecto del esfuerzo desviador in situ. en porciento. N° 1: 82-86 Dashkó.C. A y Puebla. Westergaard y Fröhlich. . D F Juárez Badillo. se concluye lo siguiente: a) La compresión de un elemento de arcilla preconsolidada se puede predecir usando un método no lineal de deformación. A. D F Skempton. Principles of Pavement Design. cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”.5 As '  IP  12. 7(4). et al. Tabla 4. cuyos valores en función del nivel de confianza α aparecen en la tabla 4. “Integración de las ecuaciones de Boussinesq. México. A W y Bjerrum. Vol LV.844 0.287 1. A A (1980).677 0.845 0. R E y Kagán.0992 54414 REFERENCIAS donde IP es el índice plástico. J (1985).526 0.254 0 0 Damy.79  23. Rev Ingeniería. A W (1954).289 1. Cap 2.254 0. Limusa.16t 2  IP  34.00885  31027 757. Para fines preliminares se puede usar 15% ≤ α ≤ 30%. E J (1959). Facultad de Ingeniería.3 A'  IP  28. y tα es una variable t de Student. ADC. 4: 143-147 Skempton.469  1. “A contribution to the settlement analysis of foundations in clay”.041 1. “Incrementos de esfuerzo en la masa de suelo”. totalmente saturada. “The pore pressure coefficients A and B”. 2 CARACTERÍSTICAS DE LAS ARCILLAS SENSITIVAS Las arcillas que se forman por sedimentación en cuerpos de agua se pueden dividir en dos grupos: (a) aquellas que se depositan en agua salada. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. y (c) suelos con cavidades (Zeevaert. lo que ocasiona que su comportamiento sea muy diferente a las arcillas que se producen en cuerpos de agua dulce. A estos sedimentos los denominamos “arcillas sensitivas”. Curva de compresibilidad. es decir. Arcilla sensitiva Por el contrario. las arcillas sensitivas exhiben diversas clases de curvas de consolidación. su rigidez debida al pegamento y los fenómenos de compresión por consolidación primaria y consolidación secundaria. y (b) aquellas que se sedimentan en agua dulce.. We consider three types of consolidation curves (type I. tipo II y suelos con cavidades) y se proponen métodos de cálculo de deformaciones para cada una de ellas. en estos suelos se manifieste en forma notable el fenómeno de deformación por consolidación secundaria. Gro. and methods for the calculation of deformations in each of them. este fenómeno da lugar a una estructura “floculenta” (o estructura en “castillo de naipes”) del suelo. que toma en cuenta su estructura floculenta. su rigidez no dependa de manera significativa de la presión vertical efectiva en el campo. 1986). siendo tres de ellas típicas: (a) curvas tipo I. We include practical examples at the end of this paper. La estructura floculenta da lugar a que en una arcilla sensitiva sus partículas queden unidas entre sí. el cual queda formado por “cadenas”. cuyos eslabones son los propios granos del mismo. la adhesión entre los granos es relativamente débil. por lo tanto. A estos suelos los llamamos “arcillas no sensitivas”. además de la deformación por consolidación primaria. su rigidez (o deformabilidad) está supeditada más al pegamento entre partículas que a la presión vertical efectiva. Se consideran tres clases de curvas de consolidación (tipo I. por esta razón. poseen una estructura floculenta. 1 INTRODUCCIÓN Las arcillas sensitivas se forman en cuerpos de agua salada. (b) curvas tipo II. Universidad Nacional Autónoma de México RESUMEN: Se presenta un procedimiento para la predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas. y. type II and soils with cavities). . formando una estructura “dispersa”. y. Se incluyen al final del artículo ejemplos de aplicación. Facultad de Ingeniería.C. ABSTRACT: A procedure for the prediction of long term deformations in sensitive clays is presented. Relación de vacíos Rama cementada Rama virgen pvb' = presión crítica A' pvo' = presión debida a peso propio del suelo pvb' > pvo' pvo' pvb' Presión vertical efectiva pv'. En las primeras los cationes del agua reducen la carga eléctrica negativa de la superficie de las partículas del suelo. Así. En este trabajo se presenta un procedimiento para la predicción de las deformaciones a largo plazo de las arcillas sensitivas. las partículas que se depositan en agua dulce no se unen entre sí. Se incluyen al final del artículo dos ejemplos de aplicación. lo que ocasiona que. Por otra parte.XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Acapulco. del 11 al 13 de noviembre de 2010 Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Prediction of long term deformations in sensitive clays A Deméneghi. y favorecen la unión de dichas partículas. log Figura 1. la arcilla sensitiva de Drammen ha ganado rigidez durante 3000 años que ha soportado la presión vertical efectiva que tiene actualmente. lo que ocasiona un aumento de la rigidez de la masa de suelo. tomando datos de la arcilla de la ciudad de México. ciertas arcillas marinas del sureste de Canadá y de los países escandinavos. intercambio catiónico y formación o adición de agentes dispersantes. Por lo comentado en los párrafos anteriores. formando lagunas de costa. dando lugar al fenómeno de consolidación secundaria. las arcillas muestran una preconsolidación aparente por el efecto de la edad (Tavenas y Leroueil. el suelo se considera como muy sensitivo (Mitchell. Estos suelos consisten en estratos horizontales de limo y arcilla que frecuentemente tienen una estructura sumamente floculada.Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Las partículas de las arcillas sensitivas quedan unidas por un “pegamento” (pegamento que por cierto es de baja magnitud).6 (Bjerrum. Mitchell (1993) distingue seis diferentes fenómenos que puede dar lugar a un suelo sensitivo: fábrica (o estructura) metaestable del suelo (por floculación de la arcilla. En algunos casos las lagunas son lagos permanentes cuyas aguas suben y bajan con las mareas. y debido a la naturaleza viscosa del agua que rodea a dichas partículas.C. 1973). se pueden formar arcillas sensitivas por otras causas. Una vez que se forma un estrato de arcilla sensitiva. o si presenta un alto contenido de materia orgánica. Si el incremento de carga sobre este suelo es pequeño y no rompe la liga entre partículas. intemperismo. Al intervalo de presión efectiva comprendido entre la presión inicial pvo’ y la presión crítica pvb’ le llamamos rigidez por fuerzas electromagnéticas. 1975). Cuando la sensitividad St es mayor que 4. Este incremento del pegamento depende de la edad del depósito y de la magnitud de la carga aplicada (Bjerrum. a la diferencia (pvb’ – pvo’) se le denomina rigidez de liga entre partículas (bond strength. éstas “resbalan” unas sobre otras.6. en estos sedimentos. las partículas del suelo se acomodan entre ellas. con el tiempo se van sedimentando sobre él otros suelos. son del tipo sensitivo. Es interesante notar que. el cual en general es de pequeña magnitud. pero en otros casos pueden ser marismas. El grado de floculación puede ser considerablemente grande. Sin embargo. es probable que se comporte como arcilla sensitiva (a estos materiales estos autores los denominan arcillas extrasensitivas). endurecimiento por tixotropía. la deformación del suelo es muy grande. Adicionalmente. 1987). 1973). o simplemente rigidez electromagnética pvb’: pvb’ = pvb’ – pvo’ (1) En zonas alejadas de la costa la sedimentación de las partículas de arcilla se producen en aguas relativamente tranquilas. es decir σz ≤ (pvb’ – pvo’) = 1. descrita en los párrafos anteriores). Con el incremento de carga. La reducción de la relación de vacíos de la arcilla hace que se acreciente la conexión entre las partículas.5 m de profundidad. En muchas líneas de costa los bancos o barras forman barreras que llegan a separar la playa del mar. Consideremos la curva de compresibilidad de una arcilla sensitiva mostrada en la figura 1. Sea pvb’ la presión vertical efectiva para la cual se rompe el enlace entre partículas. y pvb’ la presión para la cual se rompe la unión entre partículas. cuando ha terminado la consolidación primaria). Los depósitos de arcilla pueden ser potentes y tener una estructura floculada muy desarrollada (Sowers y Sowers.5 pvo’ SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. podemos adoptar para fines prácticos pvb’/pvo’ = 1. las partículas sufren un asentamiento por consolidación primaria. Terzaghi y Peck (1967) comentan que si una arcilla tiene un límite líquido mayor que 100% y si su contenido natural de agua a una profundidad mayor que 6 ó 9 m bajo la superficie es mayor que el límite líquido. las arcillas de origen marino son del tipo sensitivo. y pvo’ la presión vertical efectiva inicial debida a peso propio del suelo a la profundidad z. Terzaghi y Peck. 1993). lapso en que ha ganado rigidez por carga vertical efectiva. (2) . y verificar que el incremento de esfuerzo normal vertical no sobrepase la cantidad (pvb’ – pvo’). Esta presión crítica pvb’ define. 1967). Sea pvo’ la presión vertical efectiva inicial. La arcilla de la ciudad de México. debajo de la zona de acción de las olas. y con el tiempo. 1970). el cual se manifiesta de manera explícita cuando ya se ha disipado el incremento de presión de poro por la aplicación de la carga (es decir. mientras que si el incremento es de magnitud tal que destruye dicha liga. cementación. en arcillas sensitivas siempre se cumple que (pvb’ – pvo’) > 0. la deformación del mismo suele ser pequeña. tiene una edad de 33500 años (Reséndiz y coautores. Por lo tanto. porque los granos están unidos entre sí. Como dijimos antes. a la cual denominamos presión crítica. Por ejemplo. Señalan que la arcilla de la ciudad de México. Aun sometida a esfuerzos cortantes de magnitud significativa. una perturbación del esqueleto estructural que cambia considerablemente las propiedades de compresibilidad del material (Zeevaert. a 3. Como hemos comentado. Cabe señalar que en las arcillas marinas de Noruega se ha encontrado que el cociente pvb’/pvo’  1. para que los asentamientos no sean excesivos.5. resulta también que el cociente pvb’/pvo’  1.5pvo’ – pvo’ = 0. lo que conduce a fuertes asentamientos de las obras construidas sobre él. y varios suelos finos con alto contenido de sustancia orgánica. debido al agua salada y al carbonato de calcio en forma de conchas o partículas microscópicas que puede acumularse. 1967). Así 1 d z d z   z A pa (4)  z f z o siendo pveo = pcie + pvo’ pcie = presión de confinamiento interno equivalente pvo’ = presión vertical efectiva sobre el elemento Pero (5) 1 d z   z Apa  z ln f  zo  z 0 d z      z Apa  z f     exp  z  zo  Apa  SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. la cual es del mismo orden de magnitud que la primaria. en caso de que la arcilla exhiba un grado adicional de rigidez. lo que conduce a que. de la magnitud de la presión vertical efectiva. en vista de que el pegamento entre partículas es débil. el incremento neto de presión no debe exceder (pvb’ – pvo’). Podemos usar entonces s = 0 en la ecuación 5.Deméneghi. a la profundidad de desplante del cajón z σz INP = PUM – pvo ≤ (pvb’ – pvo’) PUM – pvo ≤ 0. o de ensayes de campo de cono eléctrico (Santoyo y coautores. Incremento de esfuerzo vertical por una obra de ingeniería Como mencionamos antes. kPa INP = incremento neto de presión. Si aplicamos un incremento diferencial de esfuerzo dσz. para una cimentación parcialmente compensada. si PUM = peso unitario medio de la estructura.5pvo’ (3) La desigualdad 3 nos permite calcular la profundidad de desplante de un cajón estanco. A En el caso de una cimentación parcialmente compensada. lo que hace que su rigidez se mantenga aproximadamente constante. la deformación unitaria vale d z  d z pa 1 A  p   s z  veo  p a   d z   d z  z y σz x Figura 2. de manera significativa. se pueden emplear resultados de pruebas de consolidación. ocurra una compresión adicional por consolidación secundaria en esta clase de suelos. en la arcilla de la ciudad de México. Por otra parte.C. y no dependa. como señalamos antes. Se pueden usar valores mayores de pvb’ (ecuación 1). 3 ECUACIONES CONSTITUTIVAS Consideremos un elemento de suelo sometido a carga vertical (figura 2). kPa pvo = presión total previamente existente a la profundidad de desplante del cajón. Para esto. Así. . las arcillas sensitivas tienen una estructura floculenta. éstas “resbalan” entre sí. 1989). además de la compresión por consolidación primaria. kPa Es decir d z pa d z  1  z A  p   s z  veo  p a   Entonces. Δw Deformación al término de la consolidación primaria  z   z  1  f  zo   zo       P  1  exp       z  1  exp  z  zo   Apa   (6) Por otra parte. (14) . Por otra parte.Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Pero (figura 3) z  Δzf = Δzo + Δw zo z E (8) Si hacemos s = 0 en la ecuación 4 y la comparamos con la ecuación 7 ΔW E ≈ A pa ΔZo La deformación vertical δz de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo. la ley de Hooke establece que O bien P   z   zo  AP pa  zo z EP EP = AP pa d z  z  1 d z E 1 z E (7) w 1  z zo E (12) (13) Deformación para un tiempo t (Juárez Badillo y Rico. 1976)  Pt  U P U = grado o porcentaje de consolidación primaria  (11) U = F (T) SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. se debe a la suma de las deformaciones por consolidación primaria y por consolidación secundaria δt = δPt + δSt z f w z  o zo zo zo (10) δPt = deformación por consolidación primaria δSt = deformación por consolidación secundaria  z  w   f  1 zo   zo  4.2 Consolidación primaria La compresión por consolidación primaria se obtiene con las siguientes expresiones Hagamos δz = . la relación entre los módulos A y E viene dada por la ecuación 9.1 Nota preliminar Figura 3. ΔZf (9) 4 EVOLUCIÓN DE LAS DEFORMACIONES 4.C. en la rama “cementada” de la curva de compresibilidad (figura 1). la podemos calcular usando la ecuación 6 ó la ecuación 8. sometido a un incremento de esfuerzo vertical σz. Deformación de un elemento de suelo de espesor inicial Δzo La compresión a largo plazo de una arcilla sensitiva. integramos la ecuación 19  St  a z ln b  t  1  St  z a N bt N Reemplazando en la ecuación 20   St  z    a    N  St  a N  Para t = 0 → N = z.C. N 2 En el amortiguador N   N   N N (16) En el amortiguador 2  2  a 2 bt σz Figura 4. 1986). de acuerdo con las ecuaciones 16 y 19 t a N    0   St  2.Deméneghi. Zeevaert. A T Cvt ze 2 (15) T = factor tiempo Cv = coeficiente de consolidación Δze = espesor efectivo del estrato que se está consolidando a  bt  N  St  a z ln a   b  N        (20) σz 4. 1986) Por equilibrio z = N + 2 (17) Como los amortiguadores están en paralelo   N    St   N   2 (18) Sustituyendo en la ecuación 17 z   a  t  N  St  a z ln  a   N  bt a z a bt N (19)         (21) Por otra parte ln x = 2. (22) . Modelo de viscosidad intergranular.31a z log1   N  t a  Pero  St   St zo SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.3 Consolidación secundaria Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 4 (unidad Z. que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez ΦN y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo. de donde b = 0 bt  1  N 2 N a  1 En el modelo de Newton. Unidad Z (Zeevaert.31 log x Tomando en cuenta un gran número de modelos Z en serie Considerando z = constante.31 log10 x = 2. C. la deformación de un elemento de suelo. En la recta de consolidación secundaria Definimos Acs de la siguiente forma  1  T2    1  T 1    t 2   t1  Ct log SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. En esta clase de curvas el módulo ξ = 5 (Zeevaert.31 ā (Δzo) z  (25) N a (26) E cs  Ct   z z o  (32) Ct  z zo  (33) Ecs La ecuación 23 la podemos poner de la siguiente forma   St  Ct log1    N Cv ze  a ze 2 Cv 2 Ecs = Acs pa  t   (34) 5 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS SENSITIVAS Pero (ecuación 14) 5.Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Acs   Por lo tanto z  C  pa ln1  t   zo  (30) O bien   St  2.2 Determinación de propiedades Desde el punto de vista práctico. Por razones de espacio. La deformación por consolidación secundaria la obtenemos utilizando las ecuaciones 27 y 31. en el tramo “cementado” de la curva de compresibilidad (figura 1). de la ecuación 6 despejamos A A  t   Pt   St z (29)    pa ln1  z   zo  5. las cuales se exhiben en las figuras 5. tipo II y suelos con cavidades. 2 (28) Por otra parte. distinguimos tres formas de curvas de consolidación: tipo I. veremos como ilustración únicamente la determinación de propiedades para curvas tipo I (figura 5). respectivamente. 6 y 7. está dada por la ecuación 10   St  Ct log1   2  N ze   T  a Cv   St  Ct log1  T  (27) donde   N ze  a Cv (35)  t   PU  Ct log1  T  (36) La compresión por consolidación primaria la calculamos usando las ecuaciones 11 ó 12 y la ecuación 14. 1986). . En la curva de consolidación se toman dos puntos para tiempos grandes.1 Nota preliminar T Cvt ze 2 Como señalamos antes.31a z zo log1   N  t a  (23) δSt = Ct log [1 + λ t] (24)    z   zo  Ct  1  exp  A p cs a     (31) También siendo Ct = 2. C.197 δ50 = δP/2 + Ct log [1 + 5(0.298 Ct (41) Haciendo U = 50% en la ecuación 15. Curva de consolidación tipo II Ct  z  t 2   t1 (38) t  log 2   t1  0. T ≈ 2 Sea δB = deformación correspondiente al 100% de consolidación primaria.197)] δ50 = δP/2 + 0. para U = 100%.04 Ct (39) Ap se obtiene de la ecuación 11 tB t (log) 10 1 100 1000 10000 100000 t (s) 80 100 B 120 140 desplazamiento B Deformación 160 Figura 5. Por otra parte.3 Ejemplos Ejemplo 1 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. Curva de consolidación tipo I Figura 7. T = 0. Reemplazando en la ecuación 36 (42) 5.197ze  t50 2 Cv  t50 lo medimos directamente en la curva de consolidación con δ50.Deméneghi. .197 Figura 6. T = 0. A δB = δP + Ct log [1 + 5(2)]  T2  t    Ct log 2   T1   t1   t 2   t1  Ct log (37) δP = δB – 1. Curva de consolidación. Suelo con cavidades CURVA TIPO II tB t (log) AP   B B    pa ln1  P   zo  (40) desplazamiento Para U = 50%. debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.675    z z o 0.025  0.1  0.3  35.00446 100 Limo arenoso Gamma sat = 19 kN/m3 1m 0.Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas Sea la curva de consolidación de la figura E-1 (Zeevaert.001063cm 2 / s 130 2 Cv  Ejemplo 2 Para el cajón de cimentación mostrado en la figura E-2.31.00446) = 0.2  0.298(0.00446) = 0.3 Acs    109. Curva de consolidación.7327 1502 U = 86.3 Acs = 110.8 kg/cm2.5% Sustituimos en la ecuación 14 Pt = 6 meses = 1.04(0.607 kPa 100000 t (s) Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Cálculo del asentamiento total por consolidación primaria. 1973).00106 cm2/s Ap = 57.0010615552000  0. .00446  1.03 ln1   1. Estratigrafía y propiedades.00826 cm En la curva de consolidación medimos: t50 = 130 s O bien.675 cm.26kg / cm 2 0.028  0.0158m 5805 P = 1. después de construido el inmueble.36 cm Consolidación secundaria Usamos la ecuación 31 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. Solución En la curva de la figura E-1 medimos δB = 0.03 ln1   1.6 ξ=5 10 m PLANTA DEL EDIFICIO Figura E-2. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.58 cm Utilizamos la ecuación 15 T 0.01386 cm Ep  Arcilla sensitiva Gamma sat = 14 kN/m3 Arena compacta 100 AP   20 m q = 70 kPa 0. Determinar las propiedades Ap.67kg / cm 2 0. 0.01386  1.1970. z = 0.0185 – 1.00446cm  80000  log   17000  NAF 2m  z z o Ct 10 1  1000 3m 10000 Cv = 0.3101. calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año.58(86. Usamos la ecuación 11 200  30. para la cual: pvo’ = 0.C.0185 cm tB = 750 s δt1 = 0.025 cm.5/100) = 1. Ejemplo 1 Reemplazamos en las ecuaciones 39 y 40 δP = 0. con Ep = 5805 kPa p   z z o Ep  30.01386 p Sustituyendo en las ecuaciones 41 y 42 δ50 = 0. t1 = 17 000 s δt2 = 0.3 kg/cm2.675   Ecs  1m Excavación 0. zo = 1.8375  0. t2 = 80 000 s Reemplazando en las ecuaciones 38 y 30 Ct  0.675  112. Ejemplo 2 Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa.607   3  0.675   36.31.028 cm.3    P  1  exp  300  Figura E-1.6073  0.00693 + 0. Acs y Cv.0158m  57. 00106315557600 T  1.00818m 11204 Tabla 1. zα = variable aleatoria con distribución normal.907 cm Tiempo igual a un año: t = 365. Módulos de deformación desfavorables Ct = 0. 3     O bien. se presentan a continuación valores estadísticos de los módulos de deformación de la arcilla de la ciudad de México. Se encontraron las siguientes magnitudes: a) Valores medios: Ep = 8702 kPa Ecs = 18767 kPa Cv = 0. 607 C t  1  exp     3   0 .34 cm 2.818 log1  50. en función del nivel de confianza α.00389 50 8702 18767 0. dependa más del pegamento entre las partículas que de la presión vertical efectiva en el lugar. se debe tanto al fenómeno de consolidación primaria como al fenómeno de consolidación secundaria.00506 25 6369 11752 0.Deméneghi.00199 cm2/s En la tabla 1 se exhiben los valores desfavorables de las propiedades de deformación a largo plazo de la arcilla de la ciudad de México.00729 confianza α t = 1.487)) = 0. pues el número de datos con que se contó fue reducido.00545 20 5791 10014 0. 30. en la rama “cementada”.5 1924 -- 5 3013 1660 0.58(1) = 1. en el tramo “cementado”.7327   0. Las siguientes propiedades se deben usar con cautela.758 cm t = 1.00594 15 5118 7988 0. . A    30 .36 + 0.00473 30 6888 13313 0.547cm Ep Ecs Cv kPa kPa cm2/s 0. y para la arcilla de la ciudad de México se obtienen los siguientes valores de σ σP = 3458 kPa 7 CONCLUSIONES La estructura floculenta de las arcillas sensitivas da lugar a que su rigidez.487 1502 U = 100% (tabla 1) Sustituimos en la ecuación 14 Pt = 1 año = 1.547 = 1.00338 Los módulos adimensionales AP y Acs se obtienen Ap  EP pa (44) Acs  Ecs pa (45) 6 CORRELACIONES ESTADÍSTICAS Para fines preliminares de análisis.C. μ se toma igual al valor medio de la muestra. 00818 m  110 .00443 40 7826 16132 0. con Ecs = 11204 kPa Ct   z zo Ecs  σcs = 10400 kPa σcv = 0.58 cm St = 0.758 = 2.00666 10 4270 5438 0.818 cm Reemplazamos en la ecuación 27 Nivel de  St  0. en la rama “cementada” de la curva de compresibilidad (figura 1).58 + 0.818 log (1 + 5(1.zασ (43) donde μ = media de la población.00338 cm2/s Un valor desfavorable está dado por Valor desfavorable = μ .25(86400) = 31 557 600 s 0. que toma en cuenta la estructura floculenta del SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. b) La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva. c) En este trabajo se presentó un procedimiento para la predicción de las deformaciones a largo plazo de las arcillas sensitivas (como la arcilla de la ciudad de México). 6 101 . La magnitud de esta última es del mismo orden que la magnitud de la consolidación primaria. y σ = desviación estándar de la población.6073  0. D F Mitchell. El Cono en la Exploración Geotécnica. tomo 1. Springall. . Introducción a la Mecánica de Suelos y Cimentaciones. D. 2nd ed.C. A (1976). L (1986). Fundamentals of Soil Behavior. L X y Ovando. Limusa Tavenas. los fenómenos de consolidación primaria y secundaria. “Laboratory and in-situ stress-strain-time behavior of soft clays: a state-of-theart”. Soc Mex Mec Suelos. México. D F Terzaghi. REFERENCIAS Bjerrum. “Información reciente sobre las características del subsuelo y la práctica de la ingeniería de cimentaciones en la ciudad de México”. “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”. Wiley Zeevaert. E (1989). Riqing. Soc Mex Mec Suelos. vol 2: 3-48. Proc VIII Int Conf Soil Mech Found Eng: 111-159. K y Peck. G F (1975). R (1970). Filadelfia (XXV RNMSIG Artículo ADC 08210) SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. G. F y Leroueil. Soil Mechanics in Engineering Practice. STP 892: 257-281. V Reunión Nacional Mec Suelos: IV-1 a IV-59. E y Rico. 2nd ed. TGC Geotecnia Sowers. Géotechnique. México. S (1987). así como las diferentes curvas de consolidación de la arcilla (tipo I. Moscú Juárez Badillo. J K (1993). “Engineering geology of norwegian normallly-consolidated marine clays as related to settlements of buildings”. L (1973). E. L (1973). D F Santoyo. J M y Esquivel. tipo II y suelos con cavidades). Limusa. Van Nostrand Reinhold Zeevaert. ASTM. Rodríguez. Consolidation of Soils: Testing and Evaluation. G B y Sowers. R B (1967). R N Yong y F C Townsend eds. 17: 81-118 Bjerrum. L (1967). “Problems of soil mechanics and construction on soft clays”. Mecánica de Suelos. Wiley Reséndiz. Proc Int Symp Geot Eng on Soft Soils. Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions. México.Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas suelo. México Facultad de Ingeniería. ocurre una compresión significativa por consolidación secundaria. Noviembre 14 a 16.C. En un artículo anterior (Deméneghi.C. curvas tipo II y suelos con cavidades. En arcillas sensitivas las curvas de consolidación presentan diferentes formas. presentamos primero expresiones derivadas de la teoría de la consolidación para la predicción de las compresiones por consolidaciones primaria y secundaria. en arcillas sensitivas. Se toma en cuenta en este artículo que.XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica. la deformación unitaria de estas arcillas es relativamente pequeña. para luego ver la manera de determinar las propiedades mecánicas del suelo en el laboratorio. Como es usual. 1986) 2 CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN ARCILLAS SENSITIVAS La deformación a largo plazo de un estrato de arcilla sensitiva se obtiene con la siguiente expresión  t   Pt   St SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. in order to compute deformations in these soils. are presented. la cual debe considerarse para el cálculo de la deformación del suelo. ABSTRACT: Procedures for the determination of mechanical properties in two consolidation curves of sensitive clays (type II and soils with cavities). y. estos materiales exhiben una compresión significativa por consolidación secundaria. Quintana Roo Curvas de consolidación en arcillas sensitivas Consolidation curves in sensitive clays Agustín DEMÉNEGHI1 y Margarita PUEBLA2 1 2 Facultad de Ingeniería. Examples of settlement estimation are included. incluimos ejemplos de aplicación para el cálculo de la deformación de un estrato de arcilla sensitiva en el campo. 1986) distingue tres de ellas: curvas tipo I. 2012 – Cancún. además de la consolidación primaria. además del fenómeno de consolidación primaria. finalmente. Universidad Nacional Autónoma de México. A. México RESUMEN: Se presentan procedimientos para la determinación de propiedades mecánicas de deformación para dos formas de curvas de consolidación en arcillas sensitivas (tipo II y suelos con cavidades). Universidad Nacional Autónoma de México. La salinidad del agua da lugar a la formación de estructuras floculentas. Se incluyen ejemplos de aplicación de cómputo de asentamientos de estructuras apoyadas en arcillas sensitivas. We consider the effect of primary and secondary consolidation in the compression of sensitive clays. Curva de consolidación tipo II (Zeevaert. que le confieren a estos suelos un comportamiento peculiar: mientras no se destruya la unión entre partículas. 1 INTRODUCCIÓN Tiempo. s 10 10² 10³ 10 4 10 5 0 Deformación ( m) Las arcillas sensitivas son el resultado de la sedimentación de partículas finas en el fondo de lagos de agua salada o en el fondo marino. 2010) tratamos las curvas tipo I. y en este artículo estudiaremos el comportamiento de las curvas tipo II (figura 1) y de los suelos finos con cavidades (figura 2). (1) . Zeevaert (1973. 50 100 tB=500sec =98 B 150 200 Figura 1. por otra parte. Curva de consolidación. Δze = espesor efectivo de drenaje del estrato y t = tiempo después de aplicada la carga al estrato Consideremos el modelo de viscosidad intergranular de la figura 3 (unidad Z. Ct se puede obtener también como la pendiente del tramo recto. si (t1.2 Curvas de consolidación en arcillas sensitivas donde ΔδPt = deformación por consolidación primaria y ΔδSt = deformación por consolidación secundaria. en todo el elemento   N   N N En el amortiguador 2  2  a 2 bt Ct es la deformación entre dos ciclos consecutivos del tiempo. entonces. Deméneghi. que consiste en un amortiguador N con coeficiente de fluidez ΦN y otro amortiguador 2 cuya fluidez disminuye con el tiempo. en el tramo recto de la consolidación secundaria.C. de acuerdo con la ecuación 5  St 2   St1  Ct log 1 t2 1 t1 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. Δδt2) son dos puntos en dicho tramo. 1 10 100 Tiempo. dibujada ésta en escala semilogarítmica (logaritmo en base 10). En el amortiguador N Figura 3. 1986) Estableciendo el equilibro de fuerzas y de compatibilidad de deformaciones verticales en el modelo de la figura 3 (Zeevaert. Suelos con cavidades (Zeevaert. Zeevaert. en todo el elemento a   a = fluidez del agua de los microporos. 1986). así. arribamos a la siguiente expresión para el cálculo de la compresión por consolidación secundaria    St  Ct log 1  _N  a  t  (4) t   St  Ct 1     (5) donde  a  N (6)  N   N = fluidez del agua de los macroporos. 1973) La deformación por consolidación primaria se calcula  P t   PU (2) siendo ΔδP la deformación al término de la consolidación primaria y U el grado de consolidación. que vale T cv t ze 2 (3) cv = coeficiente de consolidación. Δδt1) y (t2. Unidad Z (Zeevaert.   C log t2 t  t1 . 1986. 2010). Modelo de consolidación secundaria. U a su vez es función del factor tiempo T. s 1000 10000 σz 100000 N 2 Deformación. m 60 80 100 120 140 160 180 200 σz Figura 2. ξ. la deformación del estrato de suelo en el campo se calcula usando la ecuación 1. Entonces 1 (13)  F   B  Ct log En función del tipo de curva. tF  II tB  II . λ. En los siguientes incisos veremos la forma de determinar las propiedades de deformación para curvas tipo II y para suelos con cavidades. 3 CURVA DE CONSOLIDACIÓN TIPO II Tomando en cuenta la ecuación 3  3 (12) 2  ze   II  Sea el punto (tB. y (tF. las propiedades de deformación cv. F) el punto correspondiente al máximo tiempo medido. Ya con estas propiedades.1 Determinación de las propiedades de deformación Primeramente hallamos la deformación Ct con la expresión 7 _   2  N z e    St  Ct log 1  _ T   c v a   Ct   St  Ct log1  T  (8)  N ze  a Cv 2 (9) Definimos además los módulos de deformación  z zo  1  mv  P (10) mv = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación primaria Ecs   z zo  Ct 1  mt (11) (7) t  log 2   t1  De las expresiones anteriores despejamos ΔδP y Ct  P   z zo  EP  z zo  Ecs   cv   t  t   PU  Ct log 1   2     ze        t    t   PU  Ct log 1    z 2   e      cv    t   t   PU  Ct log 1     II  (14) siendo mt = coeficiente de compresibilidad volumétrica en consolidación secundaria Ct   t 2   t1 La ecuación 1 se puede poner donde EP  los resultados de pruebas de consolidación unidimensional practicadas en muestras inalteradas obtenidas del estrato de arcilla sensitiva. EP y Ecs se obtienen a partir de (15) cv 1 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. et al. A. la ecuación 4 la podemos poner de la siguiente forma _  2  cv ze    N   St  Ct log 1  _ t 2   c   z  v e a   3. Ct   t 2   t1 (7) t  log 2   t1  Por otra parte. B) el punto donde termina la consolidación primaria (U =1).DEMÉNEGHI. usando las coordenadas del punto B  t   B   P  Ct log 1  B    II   t   P   B  Ct log 1  B    II  0.004603cm  50  3.0028  1 Calculamos ΔδP con la ecuación 19 Como una primera aproximación.0153  0. en la figura 1 medimos: t50 = 38 s.2 Ejemplo Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva tipo II de la figura 1 (Zeevaert.009056  0. t1 = 15 100 s Volvemos a la curva de consolidación y medimos t50 = 40 s cm 2 0.1970.0028 log1  0. .086 cm.086 kg  372. calculando cv y ξ hasta que la magnitud de 50 no cambie entre dos iteraciones sucesivas. 2  1.043  0.0028cm  100000  log   15100  Ct   500   P  0. Solución En la curva de la figura E-6 medimos δB = 98 μm = 0.0130 cm.009056 cm EP  Como una primera aproximación.086  115. σz = 0.043   0.0098 10 0. Reemplazando en las expresiones 20 y 21 cm 2 0.17 2 0.197ze  T ze   t50 t50 2  (19) 2 (20) ze 2 Ahora  50  (21) cv P 2 Ecs  0. calculamos cv despejándolo de la ecuación 3 y ξ despejándolo de la ecuación 15 cv  0.3242 5920.0153 cm.C. t2 = tF = 100 000 s Sustituimos en las ecuaciones 7.004528 cm.0098  0.5 2 0. con ΔδP/2 = 0. (U = 50%). medimos t50 en la curva de consolidación.52.197  (22) La ecuación 22 se aplica repetidamente para medir t50 en la curva de consolidación.3242  2  0.5 kg/cm2.0028 cm  0.52. 1986).00564 38 s 2  Ct log1  0.0028     592 s  II  0. con ΔδP/2.0028 log 1   592   0.1971.009056cm y EP con la igualdad 10 kg 0.0098 cm tB = 500 s δt1 = 0.0098  100000  50010 0.005358 s 40 2 cv  SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.1971.0130  0. 11 y 18  t  F   B  Ct log II F  II  t B Despejamos τII   FC  B t F  t B 10 t    II   F   B Ct 10     (18) 1 Calculamos ΔδP con la ecuación 14.00564 Ahora (ecuación 22) 0. pvo’ = 0.098 mm = 0. zo = 2.5 kg/cm2.043 cv   0.4 Curvas de consolidación en arcillas sensitivas δt2 = δF =0.0153  0.0153 0. en el consolidómetro t   t   P  Ct log1     Ct  siguientes   lab Ct se obtiene en forma similar al inciso anterior.3  av Sustituyendo en la ecuación 22 0. 5 ecpo zelab 2 lab (25) Sea  cs '   lab zelab 2 (26) Entonces  cpo   cs ' ze cpo 2 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. τ. por lo que la ecuación 1 queda (23) considerando  50 = 0.005358  a mt 2.004603 cm Por lo tanto. (27) .6mv cv 4.68x10-3 cm2/kg. las propiedades de deformación son: Ep = 115. ξ = 0.6 Ecs cv  cpo zecpo 2   lab zelab 2 En la ecuación 23 despejamos τ  2 Observamos que.1970.5 kg/cm2. 1973)  N  2mv 2 Es decir t 10 EP zecpo   4.343. mt = 1/Ecs = 2. Ecs = 372. Ecs y cv.343 2  0. con la ecuación 13 las N En suelos con cavidades.6 Ecs cv 2 EP zecon   4. A.004608 cm ≈ 0.1 Determinación de las propiedades de deformación Arribamos a la siguiente expresión mt ze  EP ze    4.6 Ecs cv 2 y en el campo  t 2   t1 (13) t  log 2   t1   t   P Ct   cpo Dividiendo miembro a miembro (24) cv ze 2 z    2  cpo 1 En este tipo de depósitos requerimos relacionar el tiempo de consolidación en el laboratorio τlab con el tiempo de consolidación en el campo τcpo. depende del espesor de la muestra en el laboratorio o del espesor del estrato en el sitio.0028 log1  0.0432  0.C. entonces el tiempo. O bien: mv = 1/EP = 8.009056  0.343  5920. parte. cv = 0. Por otra relaciones 1. la consolidación primaria ocurre rápidamente.68x10-3 cm2/kg.004608cm  50  4 CURVA DE CONSOLIDACIÓN EN SUELOS CON CAVIDADES 4. es decir.17 kg/cm2. et al. para lo cual procedemos de la siguiente forma: En la teoría  demuestra que la fluidez del de la consolidación se agua libre del suelo  N vale (Zeevaert.DEMÉNEGHI. considerando en un suelo constantes las propiedades EP.005358 cm2/2. pvo’ = 0.01408m  1.C. Usamos la ecuación 11  P   z zo  EP  30.0140 Ct   0.00316cm  30000  log   7000  0.088 mm = 0. Solución En la curva de la figura 2 medimos δP = 88 μm = 0.0140  0.40. Curva tipo II Para el cajón de cimentación mostrado en la figura 4. t2 = 30000 s Usamos las ecuaciones 10.35 1 Promediamos los dos valores anteriores Arcilla sensitiva Gamma sat = 14 kN/m3 Arena compacta ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES τlab = 160.0 cm. después de construido el inmueble. σz = 0. la deformación del estrato de suelo in situ la obtenemos  t  St  C t log1    cpo      (28) 4. Suelo con cavidades Obtener las propiedades de deformación de la arcilla sensitiva con cavidades de la figura 2 (Zeevaert.0088 cm δt1 = 0.4 2 2 1 cm q = 70 kPa 20 m 10 m PLANTA DEL EDIFICIO Figura 4.00106 cm2/s Ep = 5730 kPa Ecs = 11060 kPa ξ = 0. .869  1. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.0088 0.00316 NAF 2m  162. debidos a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.9%  Pt   PU  1.382 kg Ecs   240.0160  0. zo = 2. Curva de consolidación tipo II SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.36 2 0.22cm (ecuación 2) Para t1 = 7000 s (ecuación 24) 7000  lab  10 0. 7 y 11 0. 1973). Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa.607 kPa Tiempo igual a 6 meses t = 6 meses = 6(30)(86400) = 15 552 000 s Cálculo del asentamiento total por consolidación primaria.00316 Limo arenoso Gamma sat = 19 kN/m3 1m Para t2 = 30000 s  lab  1m Excavación  158.2 Ejemplo.51 2 0.4 s  160.6073  0.746 2 1502 ze  U = 86. calcular los asentamientos diferidos a 6 meses y a un año. t1 = 7000 s δt2 = 0.07 s 1 30000 10 0.0010815552000    0.00316 cm 5 CÁLCULO DE ASENTAMIENTOS 5.73s 3m cv = 0.4 s Reemplazando en la ecuación 26  cs '  160. Ejemplo.1 Ejemplo.38 kg/cm2.0160 cm.382 kg EP   86. Cálculo de asentamiento.0140 cm.0088 cm 0.0160  0.6 Curvas de consolidación en arcillas sensitivas Así.4cm 6520 Con la igualdad 3 T cv t 0.0088 0.42 kg/cm2. 52  1.074cm Solución El incremento neto de carga vale: qn = 70 – 19(2) = 32 kPa.746   0. et al.25)(86400) = 157788000 s  P  1.314cm 7 ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES q = 70 kPa 0.4  0. Cálculo de asentamiento.92cm 5.22  0.6073  0.06cm 8630 SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. .00379m  0.379 log1      3330000   cpo    1.57  Usamos las igualdades 27 y 28  0.25)(86400) = 1 577 880 000 s  St  Ct log1   T   0.00108157788000  cv t   7.6073  0.DEMÉNEGHI.094  1.014cm  50 años  1. Ejemplo.0106m  1.933 log1  0. El incremento de esfuerzo normal vertical a la mitad del estrato es z = 30.933cm 9840  St  Ct log1   T   0.4cm T 1m Excavación 1m  6 meses  1.350. A.014  2. Suelo con cavidades Ct  0.57  2 2 1502 ze  20 m 10 m PLANTA DEL EDIFICIO U = 100%  Pt  1.933 log1  0.094cm NAF 2m 3m Limo arenoso Gamma sat = 19 kN/m3 Ep = 8630 kPa Ecs = 24210 kPa τcs' = 148 s/cm2 Tiempo igual a cinco años: Arcilla sensitiva Gamma sat = 14 kN/m3 Arena compacta t =5(365.6073  0.  cpo   cs ' ze cpo 2  148150 2  3330000s  t   1577880000   St  Ct log1   0.C.933cm Tiempo t = 50(365.4cm Figura 5. Suelo con cavidades Para el cajón de cimentación mostrado en la figura 5.00933m  0.607 kPa De acuerdo con la expresiones 11 y 12  P   z zo  EP  30.357.06  1. Ct   z zo  Usamos las ecuaciones 7 y 8 Ct   z zo  Ecs  Ecs  30. debido a la consolidación del estrato de arcilla sensitiva.524cm  5 años  1.2 Ejemplo.379cm 24210 30. calcular el asentamiento 50 años después de construido el inmueble. L (1973). .C. Publicación SMMS. R N Yong y F C Townsend eds. A (2010). Van Nostrand Reinhold. Acapulco. Filadelfia SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A. Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions. STP 892: 257-281. Consolidation of Soils: Testing and Evaluation. Gro: 353-361 Zeevaert. “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”. se concluye lo siguiente: a) En arcillas sensitivas se pueden predecir las deformaciones por consolidación primaria y por consolidación secundaria b) Las propiedades de deformación del suelo se pueden determinar en el laboratorio mediante pruebas de consolidación unidimensional. ASTM. En este artículo se expone el procedimiento para obtener estas propiedades en curvas de consolidación de forma tipo II y en suelos finos con cavidades c) Se incluyen ejemplos de aplicación para la estimación de la compresión a largo plazo de un estrato formado por arcilla sensitiva REFERENCIAS Deméneghi.8 Curvas de consolidación en arcillas sensitivas 6 CONCLUSIONES De acuerdo con lo tratado en los incisos anteriores. practicadas en muestras inalteradas extraídas de un estrato de arcilla sensitiva. L (1986). Memorias XXV Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica. “Predicción de deformaciones a largo plazo en arcillas sensitivas”. New York Zeevaert. 2. a procedure for the prediction of soil movements due to both phenomena is presented. it suffers a compression. Examples for assessment of soil properties and deformations in expansive clays are presented RÉSUMÉ Ce travail propose une méthode de calcul de déformations en argiles gonflées. Initial confined pressure is p + pho + pho pco = vo 3 pvo = vertical normal stress pho = Ko pvo. Constitutive equations for compression due to external loads and for deformations due to changes in suction values are developed. Therefore. suction. Moreover. Hamza et al. Une loi de comportement a eté développé pour prendre en compte les charges et les variations de succion lesquelles provoque la déformation du sol. b5 ≈ 1. in some cases. and (2) suction variations in subsoil.) © 2009 IOS Press. doi:10. In this paper. deformation of swelling clay is the algebraic sum of compression due to external load increments plus deformations caused by soil suction variations. National University of Mexico ABSTRACT A procedure for deformations assessment of expansive clays is presented.3 kPa A civil engineering structure causes over a soil element the load increments σz.1 Constitutive equations Deformations of unsaturated clay are due to: (1) stress increments caused by the load of a structure. But 2 DEFORMATIONS ASSESSMENT 2. The movements of a foundation in expansive clay are the algebraic sum of the compression produced by external loads and the deformation produced by suction changes.Deformations assessment in expansive clays An approche au calcul de déformations en argiles gonflées A. Let pbeo be constant for a while. it swells or it shrinks.2 Deformation due to external load increments Consider a soil element subjected to load due to weight of soil. Decrease of suction magnitude causes an increment in the double layer of the particles of soil and. soil properties 1 INTRODUCTION pho = horizontal normal stress When expansive clay is overloaded by the construction of a civil engineering structure. water molecules move into clay particles. (Eds. deformations assessment. Keywords : expansive clay. when this clay undergoes a change in soil suction magnitude. Examples of soil properties and deformation assessments are included.ν (σx + σy)]r (2) A = rigidity modulus of soil ν = Poisson modulus Consider a small thickness element Δzo. Il faut noter que les déformations d’une fondation sur argiles gonflées sont la somme algébrique de deux termes: les déformations provoquées pour les charges extérieures et pour les changes de succion.3233/978-1-60750-031-5-719 719 . pa = atmospheric pressure = 101. σx and σy shown in figure 1b. L’application de la méthode proposée se fait au moyen d’un problème pratique. Strains due to loads of a structure are calculated with the tools of soil mechanics. constitutive equations. Therefore. soil deformation is the algebraic sum of deformation due to external load increments plus deformation due to changes in soil suction. Strain of soil element is εz ≅ (1/A) [σz . ps = soil suction magnitude. Deméneghi Faculty of Engineering. the initial confinement pressure pbeo is (figure 1a) pbeo = pcie + pco + b5 pa (ps/pa)n (1) pcie = internal pressure due to cementation. then pco = (1/3)(1 + 2Ko) pvo If soil is cemented and is subjected to soil suction ps. Then a1 = σx / σz a2 = σy / σz (3) σx = a1 σz σy = a2 σz (4) Substitute equations 4 in equation 2 εz ≅ (1/A) {σz [1 .ν (a1 + a2)] }r (5) Let f = 1 .ν (a1 + a2) (6) εz ≅ (1/A) (f σz )r (7) Proceedings of the 17th International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering M. when suction decreases the double layer of the particles . Deformation of a soil element Consider now the action of confining stress. element thickness changes from Δzo a Δzf.Δw σz σx σy ΔW y σy ΔZf ΔZo σx σz x (b) Stress increments due to presence of an engineering structure Figure 1. its electric charges are pulled apart. Integrate equation 12: for σz varying from 0 to σz. Then For recompression line Substitute equations 4 in equation 8 Δpbe = c σz (16) (12) A. Then ⎡ ⎛ p +cσ ⎞− f / cAs⎤ ⎥ (Δzo ) δz = ⎢1−⎜⎜ beo z ⎟⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ pbeo ⎠ (17) For normally consolidation line ⎡ ⎛ p +cσ ⎞− f / cAvr⎤ z ⎟⎟ ⎥ (Δzo ) δz = ⎢1−⎜⎜ beo p ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ beo ⎠ 2.3 (18) Strain due to adsorption of water molecules in soil particles In clayey soils water molecules are introduced into the solid grains. confining pressure is ⎡ ⎛ p +cσ ⎞− f / cA⎤ δz = ⎢1−⎜⎜ beo z ⎟⎟ ⎥ (Δzo ) ⎢⎣ ⎝ pbeo ⎠ ⎥⎦ pbe = pbeo + Δpbe Δpbe = (1/3) (σz + σx + σy) Δpbe = b1 σz + b2 (σx + σy) (8) where b1 = 1/3 and b2 = 1/3 .A. the electric charges on the surface of the platelets also concentrate. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays 720 z ∫ pbeo Δz f Δz o pbeo pbeo σz 1 d (Δz ) d ( fσ z ) = −∫ 0 A Δz pbeo + cσ z Δz f ⎛ p + cσ z = ⎜⎜ beo Δz o ⎝ pbeo y pbeo ⎞ ⎟⎟ ⎠ − f / cA (13) But (figure 2) x pbeo pbeo Δzf = Δzo + Δw . (a) Initial confinement pressure Δzf/Δzo = 1 + Δw/Δzo (14) Δw/Δzo = Δzf/Δzo – 1 z (15) Let δz = . For the stress state shown in figure 1. For practical purposes we can take in cohesive soils r = 0 and s = 1. resulting in the increase of the volume of the particles (Alonso et al. Moreover. 2008). r and s are soil properties. becoming more dipolar and attracting other water molecules. when a molecule of water introduces into two platelets of a soil particle. pushing away other platelets and increasing the number of molecules between them. Loads over a soil element Figure 2. (9) c = b1 + b2 (a1 + a2) (10) pbe = pbeo + c σz (11) We propose the following constitutive equation for the calculation of strain in the soil element of figure 1b (Deméneghi 2003) r ⎛ f σ z ⎞ ⎛ fσ z ⎞ ⎜ ⎟ d⎜ ⎟ d (Δz ) 1 ⎜⎝ p a ⎟⎠ ⎜⎝ p a ⎟⎠ =− Δz A ⎛ p + cσ ⎞ s z ⎜⎜ beo ⎟⎟ pa ⎝ ⎠ In expansive clays the state stress is at the recompression line or at the normally consolidation line. additionally. 42. Solution pco = (1+2Ko) pvo / 3 = (1+2(0. b4 = b5 = 1.91 kPa ⎛ ⎞ 9.112 .75. pa = 101.808 = 139.26)/3 = 9. 1. Oedometer test ⎛p ⎞ ln⎜⎜ c 2 ⎟⎟ 3(1 − K o ) ⎝ pc1 ⎠ As = − 1 + Ko ⎛ 1 + e2 ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ ⎝ 1 + e1 ⎠ (26) Avr is obtained in a similar way. This value is obtained with the following procedure εva ≅ εxa + εya + εza If there are no cracks in the subsoil: εxa ≅ εya ≅ 0 and εza ≅ εva If there is a crack pattern in one direction: εya ≅ 0.002).7))(12. eA = 1.91 ⎟⎠ ⎝ = 27. εxa ≅ εza y εza ≅ εva/2 If there are two crack patterns: εxa ≅ εya ≅ εza y εza ≅ εva/3 Magnitudes of suction are measured using field or laboratory essays.7.808 ⎟ ln⎜⎜ 9. e2) be two points in the swelling line (pc2 > pc1).3))1/0. Then ∫ Vf Vo p sf 1 dV =∫ − p so V Ba d (b4 ps ) pc + b4 ps ⎛ p +b p ⎞ = ⎜⎜ c 4 sf ⎟⎟ Vo ⎝ pc + b4 pso ⎠ Vf (22) Let εva be the volumetric strain εva = ΔV/Vo = (Vo – Vf)/Vo = 1 – Vf/Vo (23) In engineering practice we need compute vertical strain εza.304/(1)(101.A. Calculate initial suction magnitude and properties Ba. As and Avr. eB = 1. For computation of this strain we propose the following constitutive equation dV 1 =− V Ba d (b4 ps ) pc + b4 ps 721 e eA A Recompression Suction = 0 (Sr = 100%) Water content increase (19) eo O B Normal consolidation line (Avr) V = soil element volume. 1.2. soil suffers volumetric changes from suction variations. pvB = 186. e)}: 1 (58. the element swells.449 ⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ 1 + 1.pco = 149. 2 (578.17. The essay consists to add water into soil specimen and then apply loads when the soil is fully saturated (figure 3).304 kPa Substitute in equations 24 and 25 pso = 101.59.1 Soil properties assessment In an oedometer test the following results were obtained: pvo = 12.75 = 154.9)/3 = 149. 1.39 kPa.208 ⎠ In the swelling line (equation 26) . b4 ≈ 1.112 kPa Δpcs = pcB . Consider Ko = 0. In the normal consolidation line: 1 (272. Ba = soil property Swelling line (As) pc = pco + σc (20) σc = (1/3) (σz + σx + σy) (21) Δpcs pcp = preconsolidation isotropic pressure pco When suction changes from pso to psf (pso < psf). n = 0.9.26 kPa.808 + (1)154.041). Therefore. but if εva is negative.39. In the swelling line {Point (pv [kPa]. 2 (119.29 kPa. deformation of expansive clay is the algebraic sum of settlement due to external load increments plus deformation due to absorption of water molecules in the soil particles. we can assess the value of suction in the field with an oedometer test. For practical purposes b4 ≅ 1. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays increases.7))(1. soil element thickness diminishes from Vo to Vf. Then so pso = pa (Δpcs/b5pa)1/n (24) and ⎛ ⎞ pco ⎟ ln⎜⎜ pco + b4 pso ⎟⎠ ⎝ Ba = − ⎛ 1 + eA ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ ⎝ 1 + eo ⎠ Figure 3. Then −1 / Ba ⎛ p +b p ⎞ ε va = 1 − ⎜⎜ c 4 sf ⎟⎟ ⎝ pc + b4 pso ⎠ pcp pcB (25) As we have commented. pvp = 88. ln pc Modulus As is obtained in the swelling branch. the element contracts.808 kPa pcB = (1+2Ko) pvB / 3 = (1+2(0.23 Ba = − ⎛ 1 + 1. 1.3 kPa. Δpcs = b5 pa (pso/pa)n. eo = 1.449. In approximate way.146). Let (pc1.3 (139. If εva is positive. considering as is usual in expansive clays that pcie = 0. e1) and (pc2. 3 EXAMPLES 3.208. −1 / Ba Equation 23 gives volumetric strain of soil element.023). Compute the movements of foundation slab from dry to rainy season.42 ⎠ = 5.54 = 100.59 ⎞ ln⎜ ⎟ 3(1 − 0.88) ⎞−0. when soil suction is 60 kPa. Mexican Society of Soil Mechanics. Deméneghi / Deformations Assessment in Expansive Clays 722 ⎛ 119. A 2003.42 cm 80. Revista de la Sociedad Mexicana de Mecánica de Suelos.50 kPa σy = 16.0728(60) = -4.97 As = − 1 + 0.88 pco = 1 + 2(0. Using equations 21.041 ⎠ In normal consolidation line ⎛ 578. At the end of the rainy season suction decreases to 60 kPa. XXIV National Soil Mechanics Conference. ν = 0.43+0. México.77 = 0.4 17. n = 0.6 m Rock Figure E-1. pcie = 0.75 = 80. i e: δz = 1.756 kPa ⎛ 31.6)+15(0. When suction decreases from 820 to 60 kPa.449 24. Construction of structure is in dry season.036 + (1)(101.792 3 3 24.3)0.39 ⎞ ln⎜ ⎟ 3(1 − 0.72 = 31.88+17.88 f = 1 − 0 .72 kPa pc = 12. OCR = 8. Special Volume.7 ⎛ 1 + 1.792 (24.792(5.50+16.002 ⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ 1 + 1.77 kPa Substitute in equations 10 and 6 c= 1 1 17. b4 = b5 = 1. Ko = 0.77 + = 0.6 m Clay γ = 15 kN/m3 0. 20 and 23: σc = 19. Deformation of an expansive clay 3.3) (60/101. when suction in clay has a magnitude (ua – uw) = ps = 820 kPa. Subsoil stratigraphy is shown in figure E-1.37 = -2.2) ⎤ ⎟ ⎥ =1. REFERENCES Alonso.A. Aguascalientes.3) = 12. Cálculo de asentamientos en arenas. Solution Initial vertical soil pressure.68) (15.40.7) ⎝ 58.449 /0.95 cm 4 CONCLUSIONS Taking into account that deformations of expansive clay are the algebraic sum of the compression due to external load increments (caused by the construction of a civil engineering structure) plus deformations produced by suctions changes in the soil. pvp = 90 kPa.43 + 31.8.7) ⎝ 272. while deformations produced by soil suction variations are predicted utilizing equation 23. with a uniform load transfer to subsoil of 25 kPa.2 Deformation predictions A structure rests on a foundation slab of 8 per 16 m in plan.17 ⎠ = 42.37 cm At the end of the rainy season. pp 117-206.036 kPa 3 pcp = 1 + 2(0. D F .756 + (1)60 ⎞ ε va = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 31.023 ⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ 1 + 1. Examples for soil properties assessment and calculus of movements of a slab foundation in expansive clay are included.15 kPa In view that pbeo + σc > pcp.036 + 19. Unsaturated soil mechanics.42 – 4. a procedure was presented for the calculation of both movements. settlement caused by external load increments occurs in the normal consolidation line.43 kPa σc = (24. at the middle of clay stratum is pvo = 18(0.3 kPa Normal stress increments.0728 If there are no cracks in the subsoil: εza ≅ εva = -0.7 ⎛ 1 + 1.75.88 kPa σx = 17. Ba = 31.756 + (1)820 ⎠ −1 / 31.3 kPa.3) = 15. E E.7.43 ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ δz = ⎢1−⎜ Deformation due to absorption of water in soil. Compression caused by external load increments is computed using equation 17 or equation 18.50 + 16. Using equation 18 ⎡ ⎛80. the movement of foundation slab is the algebraic sum of settlement caused by external load plus deformation originated by absorption of water. Rojas. at the middle of clay stratum are σz = 24. N M 2008.72 kPa pbeo + σc = 80.7 = −0. Mexico Deméneghi.146 ⎠ Dense sand γ = 18 kN/m3 0.50 + 16.68) (90) = 70.68.8 kPa 3 Maximum compression occurs at the end of rainy season.0728 Expansion due to absorption of water molecules is δza = -0. Soil properties are: As = 39. it follows an expansion of clay.2. pa = 101. Avr = 5. E and Pinyol.74 Avr = − 1 + 0. Ags.77)/3 = 19. Using equations 1 and 21 pbeo = 0 + 12. INCREMENTOS DE ESFUERZO EN LA MASA DE SUELO Agustín Deméneghi Colina* SOLUCIÓN DE BOUSSINESQ En 1885 Boussinesq obtuvo la distribución de esfuerzos ocasionada por una carga concentrada P aplicada en la superficie de un medio seminfinito. Los esfuerzos normales y cortante a la profundidad z están dados por 3P cos5  3 P z3 z =   =   2  R5 2 z2 (1) P cos2  5 2 r =  [3 cos  sen  . División de Ingenierías Civil y Geomática. homogéneo. isótropo y linealmente elástico (figura 1). Facultad de Ingeniería. UNAM . ] 2z2 1 + cos  (3) 3P rz =  cos4  sen3  2  z2 (4)  = relación de Poisson del medio x P y Psi R Sigmar Sigmaz Sigmatheta z INCREMENTOS DE ESFUERZO POR CARGA VERTICAL CONCENTRADA FIGURA 1 * Profesor del Departamento de Geotecnia.(1 – 2)  ] 1 + cos  2z2 (2) P cos2  3  = .(1 – 2)  [ cos  . para el esfuerzo normal vertical bajo el centro del círculo (figuras 2 y 3) 3 z3 (q  d d) 3dP z3 dz =   =  2  (2 + z2)5/2 2  (2 + z2)5/2 z = oa o2  d d z3 q   2  (2 + z2)5/2 z3 z = q [ 1 . +  ] 2 (a2 + z2)1/2 (a2 + z2)3/2 (6) .2 CÍRCULO CARGADO Los esfuerzos producidos por un círculo sometido a una carga uniforme q a una profundidad z los obtenemos integrando la solución de Boussinesq para carga concentrada (figura 2). ] (a2 + z2)3/2 (5) Procediendo en forma análoga (Yoder. Así. 1959) obtenemos el esfuerzo normal radial (horizontal) bajo el centro del círculo (figura 3) q 2 (1 + ) z z3 r =  [ 1 + 2 . 69 kPa (Cscircargado) Carta de Newmark De la ecuación 5 despejamos el cociente (a/z): a  = z  1  . digamos z = 4 cm. desplantado en la superficie del terreno.60 kPa.1 en la ecuación 7: obtenemos a/z = 0.1(20) = 2 kPa.z/q)2/3 (7) Hagamos z/q = 0.3. con q = 90 kPa. Considere en el terreno de cimentación una relación de Poisson  = 0.  = 0. a una profundidad de 5 m. a la profundidad z = 4 cm. r = 16. bajo el centro de un tanque circular de radio igual a 8 m.08 cm (figura 4). si q = 20 kPa.3 Ejemplo Determinar los esfuerzos normales vertical z y horizontal (radial) r.27. Por ejemplo. que transmite a éste una presión media de 90 kPa. Demos un valor fijo a z.3. obtenemos z = 76.27(4) = 1. Bajo el centro de este círculo. el esfuerzo a z = 4 cm es z = 0. z = 5 m. el esfuerzo normal vertical z = 0. Solución Empleando las ecuaciones 5 y 6.1 (1 .27z = 0. y tracemos un círculo de radio a = 0.1 q. a = 8 m. . . se cuenta el número N de segmentos que cubre el área en cuestión. Sea z = 4 cm. a la profundidad z = 4 cm. En la figura 4 vemos que cada faja o corona ocasiona un esfuerzo z/q = 0. el esfuerzo z = 0.4 Hagamos z/q = 0.005) (8) . Bajo el centro de este círculo.3. Si dividimos cada corona como es usual en 20 segmentos. . este dibujo se coloca sobre la carta haciendo coincidir el centro de ésta con el punto donde se desea conocer el esfuerzo z.2 en la ecuación 7: obtenemos a/z = 0. como se indica en la figura 5 (la relación a/z   para z/q  1).6 cm (figura 4).4(4) = 1. y se usa para calcular el esfuerzo z a la profundidad z ocasionado por un área cargada de cualquier forma.2q. y tracemos un círculo de radio a = 0..005 de la presión q aplicada en la superficie. El esfuerzo z vale z = N I q donde q = presión vertical aplicada en el área en cuestión I = valor de influencia de cada segmento de la carta (usualmente I = 0. 0.1 bajo el centro del círculo. A este gráfico se conoce como carta de Newmark. Trazamos a continuación las circunferencias correspondientes a magnitudes del cociente z/q de 0.4z = 0. .1/20 = 0. apreciamos que cada segmento produce un incremento de esfuerzo igual a 0.40.9. 0. utilizando el siguiente procedimiento: el área se dibuja a la misma escala de la carta de Newmark.4. 5 . El rectángulo tiene un ancho de 10 m y una longitud de 20 m. bajo el centro de un rectángulo sometido a una carga uniforme de 50 kPa en su superficie.33 cm Dibujamos un rectángulo con B = 6. La correspondencia de la carta al prototipo la hacemos de la siguiente forma z prototipo 6m B prototipo 10 m z prototipo 6m L prototipo 20 m z carta 4 cm B carta x x = 4(10)/6 = 6.67 cm z carta 4 cm L carta x x = 4(20)/6 = 13.33 cm y lo colocamos sobre la carta de Newmark. Contamos el número de segmentos: N = 144. Solución Usamos la carta de Newmark de la figura 5. haciendo coincidir los centros del rectángulo y de la carta (figura E-1).67 cm y L = 13. Usando la ecuación 8 z = N I q = (144)(0.005)(50) = 36 kPa ---------- .6 Ejemplo Hallar el esfuerzo normal vertical z a la profundidad de 6 m. 7 . 1985) q 1 1 xyz xy z =  [ (  +  )  + tan-1  ] B zB 2 x2+z2 y2+z2 (9) q x y z Sigmaz Sigmax Sigmay (Csincresff) INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA ESQUINA DE UN RECTÁNGULO CARGADO FIGURA 6 Esfuerzos normales horizontales x y y. . .tan-1  ) ] x xz (11) . figura 6 (Damy.8 RECTÁNGULO CARGADO Los esfuerzos normales bajo la esquina de un rectángulo cargado valen: Esfuerzo normal vertical z. 1980) q  xyz zB x =  [  .tan-1  xy 2 2 (y2+z2) B x xB + (1-2) (tan-1  .tan-1  ) ] y yz (10) q  xyz zB y =  [  . figura 6 (Dashkó y Kagán.tan-1  xy 2 2 (x2+z2) B y yB + (1-2) (tan-1  . quedando x = 10/2 = 5 m. 1885 Damy. N° 1: 82-86. Moscú. transmite una presión media al terreno de 50 kPa. de dimensiones 10 por 20 m en planta. J.  = 0.9 B = (x2 + y2 + z2)1/2 (12) Ejemplo Un edificio con losa de cimentación desplantada superficialmente.3. Vol LV. obtenemos los esfuerzos bajo la esquina de la cuarta parte del área z’ = 9. sobre superficies poligonales de cualquier forma. con estas cantidades y q = 50 kPa. Rev Ingeniería. E J. J. Wiley. Application des potenciels á l’etude de l’equilibre et du mouvement des solides élastiques.20 kPa (Csesfmasuelo) ---------- REFERENCIAS Boussinesq.09 kPa x’ = 2. Solución Las ecuaciones 9 a 11 proporcionan esfuerzos bajo la esquina de un rectángulo. utilizamos las ecuaciones 9 a 11. a la profundidad de 6 m. R E y Kagán.36 kPa x = 8. Considerar en el terreno de cimentación  = 0. Mecánica de Suelos en la Práctica de la Geología Aplicada a la Ingeniería. Hallar los esfuerzos normales z. x y y. cargadas con fuerzas verticales uniformemente repartidas”. Cap 2.52 kPa y = 3. dividimos el área del rectángulo en cuatro. Para hallar los esfuerzos bajo el centro. z = 6 m. 1959 (Cs incrementos de esfuerzo 1111) . A A. MIR.80 kPa Los esfuerzos bajo el centro los determinamos multiplicando por cuatro estos valores z = 36.13 kPa y’ = 0. “Integración de las ecuaciones de Boussinesq. París.3. 1980 Yoder. Westergaard y Fröhlich. y = 20/2 = 10 m. Principles of Pavement Design. 1985 Dashkó. (b) se calculan los desplazamientos del terreno de cimentación. existe compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo. y (c) se establece la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo. Facultad de Ingeniería. influencia sobre los desplazamientos de los apoyos vecinos (este fenómeno se presenta usualmente en zapatas aisladas). es decir. lo cual cae en el campo de la interacción dinámica suelo-estructura. el cual se presenta en los siguientes párrafos. o puede ser en condiciones dinámicas. Interacción suelo-zapatas aisladas Definición de módulo de reacción INTERACCIÓN ESTÁTICA SUELOESTRUCTURA Se conocen como métodos de interacción estática suelo-estructura aquellos procedimientos que para el cálculo de las deformaciones del terreno de cimentación toman en cuenta la rigidez de la estructura. En términos generales. Definamos el módulo de reacción o rigidez lineal vertical de un cimiento de la siguiente forma Kv = Qv/v (1) donde Qv es la fuerza vertical aplicada al cimiento y v es el asentamiento vertical ocasionado por Qv. de tal forma que la carga sobre un apoyo no ejerce * Para llevar a cabo la interacción suelo-zapatas aisladas. se hace uso del concepto de módulo de reacción o módulo de rigidez del terreno de cimentación. UNAM . Todos estos métodos están basados en el principio de que en el contacto cimiento-terreno los desplazamientos tanto de la subestructura como los del terreno son iguales. Se define la rigidez lineal horizontal de un cimiento Kh = Qh/h (2) donde Qh es la fuerza horizontal aplicada al cimiento y h es el desplazamiento horizontal producido por Qh. División de Ingenierías Civil y Geomática. lo cual es tratado por la interacción estática suelo-estructura. Se define la rigidez a la rotación de un cimiento Profesores del Departamento de Geotecnia. Podemos distinguir dos clases de situaciones en relación con la interacción: (i) cuando los cimientos están suficientemente separados. y (ii) cuando se trata de un cimiento continuo donde el desplazamiento de un punto de dicho cimiento está afectado por la carga repartida en toda la subestructura (es el caso de zapatas corridas o losas de cimentación). La influencia de la estructura puede ser en condiciones estáticas.1 APUNTES DE CIMENTACIONES INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena* Héctor Sanginés García* NOTA PRELIMINAR La interacción suelo-estructura es aquella parte de la ingeniería que estudia las deformaciones del terreno de cimentación cuando éstas se ven afectadas por la presencia y rigidez de la propia estructura. el procedimiento de cálculo para la interacción suelo-estructura consiste en tres pasos: (a) se calculan los desplazamientos de la subestructura. 7 = 0.0054707 Los elementos mecánicos en las barras de la estructura se calculan siguiendo el procedimiento indicado en el anexo 1.81 t. 12 = -11. Qh4 = 1901. En la fig 5 y en la tabla 4 se exhiben la .010291 m. el de la fig 4 (ejemplo 2).38 t/m y la rigidez a la rotación Kr = 1102. en el que se debe cumplir K  + Pe + Pc = 0 (4) donde K = matriz de rigidez de la estructura Qv1 = 2231.m M6 = 1102. Pe y Pc. y en las tablas 1. 5. M5 y M6: Análisis de la interacción suelo-zapatas aisladas Ilustremos la solución de la interacción suelozapatas aisladas con el marco de la fig 1 (ejemplo 1).96 2 1901.0055104 m 5 = 0. Qv2 = 2231.38 4 1102.0055104) = -10.) Las fuerzas en los apoyos se determinan con las ecs 5 a 7 Qv1 = Qv2 = 2331.000078886 m.38 3 1901. (En la tabla 1 sólo incluimos los renglones de 1. M6 = 1102. En la fig 3 se muestran las reacciones del terreno en función de las rigideces del mismo y de los desplazamientos. Qh3.38(-0. en la fig 2 se exhiben los grados de libertad de la estructura. la rigidez horizontal Kh = 1901.81(0. Qh y M se pueden obtener con las ecs 1 a 3 Qv = Kv v (5) Qh = Kh h (6) Reemplazando en la ec 4 los valores de K (tabla 1).) La rigidez del terreno de cimentación se puede incluir en el vector de cargas concentradas Pc.2 M = Kr  Kr = M/ (7) (3) donde M es el momento aplicado al cimiento y  el ángulo –en radianes.m Resolvamos otro ejemplo.96 1 2231.81(-0. (Lo dejamos como ejercicio al lector. 6 = -5.81 6 0 0 0 0 0 0 (8)  = vector de desplazamientos Pe = vector de cargas de empotramiento Pc = vector de cargas concentradas La formación de la matriz K y de los vectores . 3 = 0. porque. obtenemos 1 = 0.998 t Qh3 = 1901. Pe (tabla 2) y Pc (ec 8).477 t M5 = 1102. Qh4. de la siguiente forma: las fuerzas Qv.00049148.010291) = 23.013289 m 9 = -0. 11 = -0.477 t Qh4 = 1901.96 2 Qh3 = 1901.00049148) = 0.542 t.96 1. como resultado de esto.38(0.m/rad.81 6 El vector de cargas concentradas queda Pc = 2231. 3. 9 y 11. para el marco de la fig 1. 8 = 7.542 t. Utilizaremos el método de rigideces para el análisis de la estructura (véase el anexo 1). respectivamente. Usando las ecs 5 a 7 calculamos las fuerzas Qv1.38 4 M5 = 1102. despreciando los efectos de acortamiento de barras. y resolviendo el sistema de ecuaciones. 4 = -3. 2 y 3 la matriz de rigidez K.00049148) = -0.81 5.81 5 1102. 7.96 t/m. el vector de cargas de empotramiento Pe y el vector de cargas concentradas Pc de toda la estructura. La rigidez vertical del terreno de cimentación vale Kv = 2331.38 3.0055104) = 10. Qv2. viene descrito en el anexo 1.96(0. por simetría 2 = 1.producido por dicho momento. 10 = -9. 76 3 423.52 423. 5 y 7. 6 = -5.) El vector  es Qv1-1.62 -4. M6 = 1102. Las matrices de rigidez y los vectores de cargas de empotramiento se hallan con los valores del anexo 2 (marcos planos con barras ortogonales.38 3 1901.6 -664.96 1 .76 184.2 -wL/2 -wL/2 wL2/12 -wL2/12 = 2 1992.6 = El vector de cargas concentradas vale (fig 4) Pc = 1 -1992.2 2331.96 2 .76 649.1.52 649.3 numeración de barras y grados de libertad.38 3.6 -1992.2 -664.96 2 Qh3 = 1901. 3.38 4 M5 = 1102.96 1.2 1901. 4 = -3.81 5 1102.6 1992.52 649.2 Qh3 Qh4 M5 M6 0 0 La rigidez del terreno de cimentación la incluimos con las ecs 5 a 7 (obtenidas de las ecs 1 a 3) 6 8 4 6 8 4 0 0 0 Pe2 = 5 7 3 5 7 3 0 0 0 Pe1 = Pe3  = 1 2 3 4 5 6 7 8 Qv = Kv v (9) Qh = Kh h (10) M = Kr  (11) En la fig 6 se indican las reacciones del suelo en función de las rigideces y los desplazamientos.76 423.76 649.1.76 1299.81 5.2 7970.52 423. 8 = -7.2 3985.2 7 8 1 2 -4.76 423.81 6 El vector de cargas concentradas queda Pc = 2331.2 Qv2-1. porque.62 4.6 -1992. Qh4 = 1901.4 -1992.24 Barra 3 Matriz de rigidez 8 7 7970.4 3985.62 La matriz de rigidez y el vector de cargas de empotramiento de toda la estructura se exhiben en las tablas 5 y 6.6 664.2 664.38 4 1102. Sustituyendo valores Qv1 = 2331. sin considerar el acortamiento de barras). Qv2 = 2331.76 184.76 4 423.81 6 0 0 . (En la tabla 5 sólo incluimos los renglones de 1. Barra 1 Matriz de rigidez 5 7 1299.24 Barra 2 Matriz de rigidez 6 8 1299.76 1299.6 1992.76 423. por simetría 2 = 1.62 -4.76 423.6 1992. en metros Sustituyendo valores qn = 26/1.17/N1. es necesario que tanto la carga sobre el cimiento. Kh y Kr se lleva a cabo usando su definición dada por las ecs 1 a 3.870 mm = 0.m M6 = 1102.82 t Qh3 = 1901.00014033) = -0. mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular.52 5 + 649. Determinación de los módulos de reacción del suelo La determinación de las rigideces Kv.245 t.00287 = 9059.0024958 m.7(2) = 7.38 3 = 0 423.76 5 + 5284. 1985):  = qn B0. Sea kv el módulo de rigidez unitario.81 5 = 0 426.245 t. con R obtenida de la ec 16.5B.m B = ancho de la cimentación.00014033 m 5 = 0. Otra forma aproximada de obtener los módulos de reacción es mediante la realización de pruebas de placa (Zeevaert.72 7 + 4.00022213.00014033) = 0.00022213) = 0. se utiliza el procedimiento indicado en el anexo 1.4 qn = incremento neto de presión.76 7 + 1102.4 Reemplazando en la ec 4 -4. 3 = 0.24 3 + 423.76 3 + 649.76 7 + 1901. Solución El asentamiento en milímetros de la zapata está dado por (Burland y Burbridge.7 m  = 2. los cálculos de los módulos de reacción con las ecs 12 a 14 son sólo aproximados.96 1 = 0 184. N = 15 golpes. 1973). (Lo dejamos como ejercicio al lector).7 Ic Ic = 1.647 t/m2 = 74. (17) . 7 = -0. como sus dimensiones.2 + 2331.267 t M5 = 1102. Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular Kr R= Dado el carácter no lineal de los suelos. utilizando para ello la fórmula de Burland y Burbridge.0264 B = 1.62 = 0 (1) (3) (5) (7) Resolviendo el sistema de ecuaciones 1 = 0. pues el comportamiento real de los suelos es no lineal. Las fuerzas en los apoyos se determinan con las ecs 5 a 7 Qv1 = Qv2 = 2331. en kPa (15) 4  4I/ (16) Kr se computa con la ec 14.00287 m El módulo Kv vale (ec 1) Kv = 26/0.38(0.96(0.995 kPa Ic = 0.76 3 + 1299. Por ejemplo. Ejemplo Determinar la rigidez lineal vertical Kv de la zapata de la fig E-1.00022213) = -0. Por lo ya señalado antes.81(-0.2 t/m La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción. pues de otro modo la determinación de las rigideces será sólo aproximada. El subsuelo está formado por una arena normalmente cargada.76 5 + 423. para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1-2) (12) Kh = 32(1-)GR/(7-8) (13) Kr = 8GR3/3(1-) (14) Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.0024958) = 5. el módulo Kv se obtiene aplicando a la zapata una carga vertical Qv y calculando el asentamiento que produce dicha carga.38(-0.81(0.62 – 1. definido como kv = Qv/vA Siendo A = área del cimiento.00091278 Para hallar los elementos mecánicos.267 t Qh4 = 1901. R =  A/ Para calcular Kv y Kh usamos las ecs 12 y 13 con R obtenida de la ec 15. sean lo más cercano posible a sus magnitudes definitivas en la estructura. 1973). el análisis estructural lo llevamos a cabo utilizando el método de rigideces. se puede emplear la siguiente fórmula (Terzaghi. Un cimiento real puede quedar entre los dos casos extremos señalados. el diagrama de reacción toma la forma de la fig 8b (Sowers.(11/192) L rr . Sustituyamos la curva de reacción del terreno por una serie de reacciones uniformes r1. es decir. 1962). Cabe destacar que las ecs 18 y 19 se deben usar con precaución. la reacción es uniforme. Si dicho cimiento se apoya sobre un suelo friccionante.3)/2B]2 Interacción suelo-zapata corrida (18) donde B es el ancho de la zapata en metros.(5/192) L rs 2 2 2 -wL /12 + (5/192) L rr + (11/192) L rs -wL/2 + (13/32) L rr + (3/32) L rs -wL/2 + (3/32) L rr + (13/32) L rs 0 0 0 0 p’ q’ r’ s’ u’ v’ a’ b’ En el sistema global. rn (fig 10a). por ser el cimiento totalmente flexible. El asentamiento a largo plazo toma la forma indicada en la fig 7a (Sowers. Comencemos con el diagrama de reacciones. La tabla 7 contiene valores propuestos por Terzaghi (1955) para ks1. El problema de la interacción se resuelve estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo. si el suelo está en contacto con la estructura de cimentación. Por lo mismo. En el caso de arcillas kv = ks1 [(n+0. empleando el método de Chamecki (1956). En el caso general. siendo L la longitud del cimiento. Si la placa se apoya sobre un suelo friccionante. la reacción del suelo es también uniforme.. La matriz de rigidez.5n)] (19) Consideremos un marco estructural con una cimentación a base de una zapata corrida (fig 9a). es decir. 1962). En una barra de cimentación (fig 11). pues sólo son aproximadamente válidas cuando el suelo es isotrópico hasta una profundidad bajo el desplante del cimiento igual al ancho del mismo (Zeevaert. pues su rigidez no necesariamente es nula o infinita. b y c). el vector de cargas de empotramiento y el vector de cargas concentradas se obtienen como se indica en el anexo 1. . el vector de cargas de empotramiento queda (anexo 1) . aplicando la tercera ley de Newton. . dado que  =  = 0. A continuación. kv = ks1 [(B+0. en el cual se trata de obtener los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno de cimentación (fig 9. la forma del diagrama es diferente de una reacción uniforme (fig 9b). aplicamos las cargas ri sobre el terreno (fig 10b). 1962). el asentamiento se distribuye como se indica en la fig 7b (Sowers. el vector de cargas de empotramiento para el sistema local vale 2 e (Pm )’ = 2 2 wL /12 . dichas ecuaciones no son aplicables a suelos estratificados. 1962). pero el diagrama de reacción a largo plazo toma la forma indicada en la fig 8a (Sowers.5 Si ks1 es el módulo de rigidez vertical determinado con una prueba de placa de un pie de lado. Vemos entonces que los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno dependen de la clase de suelo y de la rigidez de la estructura. Interacción suelo-cimiento continuo Sea un cimiento totalmente flexible con carga uniforme apoyado en un suelo cohesivo totalmente saturado. donde n = L/B. 1955) En los siguientes incisos veremos cómo se realiza la interacción suelo-estructura para estructuras de cimentación de rigidez finita. a) Análisis estructural El análisis estructural lo realizamos empleando el método de rigideces. y obtenemos los hundimientos de éste en función de las ri.. considerando las reacciones ri como incógnitas. las deformaciones de ambos medios deben ser iguales. El hundimiento es uniforme. el diagrama de reacción del terreno en este caso es igual al de la carga. Sea ahora una placa de una rigidez infinita apoyada en una arcilla totalmente saturada (fig 8a).5)/1. r2. ne nr i = oi +  (1/Ezij) Hj  Izijk rkdk/ak j=1 k=1 (22) donde ne = número total de estratos. k=1 donde nr = número total de cargas rk.6 Si consideramos además una deformación previa oi. Sustituyendo ijk = (1/Ezij) Hj Izijk rkdk/ak. debida a la carga rk vale ijk = (1/Ezij) Hj zijk pero zijk = Izijk rkdk/ak (21) donde Izijk es el valor de influencia vertical. Cabe aclarar que. 1973). en la estimación de Ezij tanto los incrementos de esfuerzo horizontal como el efecto de la presión de confinamiento en la rigidez del suelo. En efecto. en la práctica se pueden tomar en cuenta. los hundimientos del terreno quedan en función de las cargas rk. la presión vertical vale rkdk/ak. La deformación del estrato de espesor Hj. respectivamente. lo que equivale a considerar que tanto los desplazamientos de la estructura como los del terreno son iguales. Ezij está dado por (23) Ezij = zij/zij Siendo zij el esfuerzo normal vertical en el punto ij (a la mitad del estrato j). 1996). el cual es igual al esfuerzo normal vertical en el punto ij. Ezij es el módulo lineal de deformación. que el suelo no se despega de la estructura (Deméneghi. así como el hecho de que la curva esfuerzo-deformación unitaria es no lineal. zij se puede calcular usando una teoría no lineal o una teoría lineal. La deformación del estrato j. por la tercera ley de Newton (Deméneghi. 1996). En la ec 22. es decir. en el punto ij. debida a todas las cargas vale nr ijk = (1/Ezij) Hj  Izijk rkdk/ak. donde dk y ak son la longitud y el área en las que actúa la carga. el cual se define como el cociente del esfuerzo normal vertical entre la deformación unitaria vertical que se presenta. . Calculemos los asentamientos del terreno en función de estas cargas: consideremos una reacción rk actuando en la superficie (fig 12). es decir nr zij =  Izijk rkdk/ak k=1 (24) nr xij =  Ixijk rkdk/ak k=1 (25) nr yij =  Iyijk rkdk/ak k=1 (26) c) Compatibilidad de deformaciones En esta etapa se establece la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo de cimentación.(5/192) L rs 2 2 2 -wL /12 + (5/192) L rr + (11/192) L rs -wL/2 + (13/32) L rr + (3/32) L rs -wL/2 + (3/32) L rr + (13/32) L rs 0 0 0 0 p q r s u (20) v a b b) Cálculo de deformaciones del suelo Las cargas que transmite la estructura al terreno de cimentación son iguales en magnitud y de sentido contrario a las reacciones del suelo sobre la estructura.(11/192) L rr . Los esfuerzos normales vertical y horizontales se obtienen aplicando la ec 21 para todas las cargas rk. producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert. y zij la deformación lineal unitaria vertical del estrato j. el asentamiento bajo el punto i vale 2 e Pm = 2 2 wL /12 . aunque aparentemente el procedimiento es unidimensional. Barra 1 4 72927.442 -21365.707 34184.375 36463.26667r2 -3.92+0.707 34184.6 r1 + 2.7071 +34184.58667r2-0.707 21365.58667r3 -5.7074 (27) +1.8841+42730. El vector de cargas de empotramiento de toda la estructura es la suma de los vectores de carga de empotramiento de cada una de las barras.442 21365.707 34184.15733-0.442 Vector de cargas de empotramiento.707 6 36463.7 Comportamiento no lineal e P = -5.6 r2 –11.3r3 -5.4144 + 0.707 21365.3r2+1.15733+0.3r2 4 5 1 2 Vector de cargas de empotramiento.92 – 35 = 0 Matriz de rigidez.58667r1-0.3r3 5 6 2 3 La matriz de rigidez de toda la estructura (tabla 9) es la suma de las matrices de rigidez de cada una de las barras.3r2 -5.92+0.8842+68369.26667 r2 + 3.6 r2 3.84 – 50 = 0 (28) (4): -34184.3 r1 + 0. con las siguientes expresiones: .375 -34184.3r2+0.442 5 6 2 3 Sustituyendo valores (1): 21365.26667r3 -3. dado que se trata de barras horizontales.84 + 0.442 Pc = -35 -50 -35 0 0 1 2 3 4 6 La condición de equilibrio de cargas en los nudos de la estructura conduce a la siguiente expresión (anexo 1) K  + Pe + Pc = 0 2 34184.375 36463.3 r2 -11.707 34184. En la fig 14 se muestran los grados de libertad y en la fig 15 el sistema de cargas sobre la estructura.15733-0.707 34184.92+1. a) Análisis estructural El vector de cargas concentradas vale El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces.6 r1 + 2.92 + 1. Los vectores de cargas de empotramiento se calculan con la ec 20.688 -34184.26667r1+0.707 1 -34184.707 -21365.26667r2 1 2 4 Ilustraremos la forma de realizar el análisis de interacción no lineal suelo-zapata corrida con el cimiento de la fig 13 (ejemplo 3). Para el cálculo de las deformaciones del suelo usar el método no lineal del anexo 1 del capítulo 2.707 2 -34184. Matriz de rigidez.442 21365. con las propiedades indicadas en la tabla 8.442 4 5 1 2 3 34184.3 r2 – 5.4421–21365.707 -34184.15733-0. Barra 1 e P1 = 3.92+1. (Sólo se muestran los renglones correspondientes a 1. 2 y 4 porque.707 -34184.58667r2 -5.375 -34184.3r1+0.7072+72927. el cual vale (2): -42730.707 -21365.3 r1 + 0.3754 (29) –0.4422–34184.707 34184.15733 = 0 b) Cálculo de asentamientos Hallemos el asentamiento bajo el punto 1 (fig 16a).15733+0.688 -34184. descrito en el anexo 1.707 5 36463.58667r1-0. por simetría 3 = 1.688 72927.26667r2+0. Haciendo i = 1 en la ec 21 1=(1/Ez11)H1(Iz111r1d1/a1+Iz112r2d2/a2+Iz113 r3d3/a3) +(1/Ez12)H2(Iz121r1d1/a1+Iz122r2d2/a2+Iz123 r3d3/a3) (30) Los módulos de deformación Ez11 y Ez12 están dados por (ec 23) Ez11 = z11/z11 (31) Ez12 = z12/z12 (32) Las deformaciones unitarias z11 y z12 las obtendremos usando el procedimiento no lineal expuesto en el anexo 1 del cap 2.58667 r1 – 0.442 -21365.688 72927. Barra 2 e P2 = 3.3r1+1. 6 = -4 y 5 = 0). Barra 2 5 72927. Las matrices de rigidez se obtienen con los valores del anexo 2. 0044939 m. y considerando que por simetría r1 = r3 (43) (46) c) Compatibilidad de deformaciones La compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo equivale a resolver el sistema formado por las ecuaciones 27. Los esfuerzos z11.000009432435r3 (42) En forma análoga se obtienen x11 y y11 x11=0.0000099976 r2 (45) 2 = 0.9914 t/m2  = 0.00178703 = 3069. [(x + y)/z] c = b1 + b2 [(x + y)/z] b1 = b2 = 1/3 Para el inicio de los cálculos consideramos una reacción uniforme r1 = r2 = r3 = [35(2)+50]/6.45 t/m Reemplazando en las ecs 42 a 44 z11 = 5.00178703 Deformación por cambio de volumen Ilustremos la aplicación del procedimiento calculando el módulo Ez11.00075907 Cambio de volumen (ecs 37 y 38) pve = 1.00013151 r1 + 0.1139345r1+0.001028 z11 = cf + cv = 0. x y y debidos a esta carga.4849 t/m2 x11 = 2.62 t/m2 cv = 0.exp { .017307215r2+0.002810045r3 (44) Deformación por cambio de forma s-2 pa f 2 1 cf = 1 . c = 0.00027335 r2 Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. a la mitad del estrato 1.2(2) +0.2098534 t/m2 De manera similar obtenemos 1 = 0.24343555r1+0.4 + 3.6703 cf = 0.8072 t/m2 (34) (35) (36) A continuación calculamos las deformaciones por cambio de forma y por cambio de volumen. () [.001743138r2(3.334 t/m2 En forma similar se obtiene Obtengamos como ejemplo los valores de influencia Iz111. } Acv pa1-s (1-s) (37) pve = b3pt + pvo’ (38) Cambio de forma (ecs 33 a 36) pce = 0. En la tabla 10 se presentan sus magnitudes.6(2)+0. f [(pve+z)1-s – pve1-s] cv = 1 . 29. 45 y 46.exp { .289 t/m. 2 = 0. Ix111 e Iy111. 28.6)/1.00055543 r1 = 33.7 = 22.000021166 r1 + 0. x11 y y11 se obtienen con las ecs 24 a 26. Se coloca una presión unitaria q = 1 t/m2 en el área a1 (fig 16) y se computan los esfuerzos normales z.8 y11=0.00001886487r3(1.1049267r1+0.7367 t/m2 y11 = 2.611 t/m .6(2) z11=0.0038785 m 4 = 0.00131314r3 Reemplazando en la ec 30.227869 t/m2 y = Iy111 = 0. Sustituyendo en la ec 39 z11=0.4868711 t/m2 x = Ix111 = 0.5 (se considera que la deformación por cambio de forma ocurre a volumen constante) f = 0.6)/1. Obtenemos 1 = 0.4868711r1(1. (s-2) (pce + c z)s-2 Acf c 1 pce +  +  ] } (33) (s-2)(s-1) pces-2 (s-1) ((pce + c z)s-1 pce = b3pt + pco’ f = 1 .4946. z11 = Iz111 r1d1/a1 + Iz112 r2d2/a2 + Iz113 r3d3/a3 x11 = Ix111 r1d1/a1 + Ix112 r2d2/a2 + Ix113 r3d3/a3 y11 = Iy111 r1d1/a1 + Iy112 r2d2/a2 + Iy113 r3d3/a3 (39) (40) (41) Sustituyendo valores en la ec 31 Ez11 = 5.4849/0. Obtenemos Ez12 = 3293.00665339r2+0.2)/3.065 t/m2 z = Iz111 = 0.000871569r2+0. r2 = 11. 413 t/m [Nota: Es importante que los módulos de deformación Eij se determinen considerando el efecto de la presión de confinamiento en el terreno.625r1 + 0.22+43756. 50 y 51: 1 = 0. consideremos el cimiento de la fig 18 (ejemplo 5). así como la posible variación con el tiempo de las propiedades mecánicas. que sufren fuertes cambios volumétricos al variar su humedad natural. r2 = 14. la deformación del punto i es ne nr j=1 k=1 i = oi +  (Hj/Eij)  Iijk rkdk/ak (49) Ilustremos el desarrollo del procedimiento lineal con la zapata de la fig 17 (ejemplo 4).013224 m 4 = 0. 28. el hecho de que la curva esfuerzodeformación unitaria de los suelos es no lineal.000031436 r1 + 0.12–21878.00481864/2)r3] (47) donde Eij es el módulo de deformación del suelo y  su relación de Poisson.4 – 35 = 0 (52) (2): -21878.11–10939.00098398 r2 Comportamiento lineal En forma aproximada. Esto se logra en la iteración 6. En el suelo.8 – 50 = 0 (53) . La aplicación de la ec 4 K  + Pe + Pc = 0 conduce al siguiente sistema de ecuaciones (1): 10939. desarrollamos la ec 49 para i = 1: 1 = (H1/E11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + I113r3d3/a3) + (H12/E12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + I123r3d3/a3) En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este problema.02614844/2)r2 -(0.0046612 m.25r2 –14. en la que se obtiene 1 = 0. se presentan deformaciones debidas a cambios de humedad en el suelo.9 Con los nuevos valores de r1 = r3 (por simetría) y r2 se repite el proceso hasta que éstos ya no cambien en dos iteraciones sucesivas. Para ilustrar el fenómeno anterior.] Sea Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk) (48) nr ij = (Hj/Eij)  Iijk rkdk/ak k=1 Tomando en cuenta todos los estratos de subsuelo. y una posible deformación previa oi.487 t/m. además de los asentamientos producidos por las cargas de una estructura.014285 m.000483712 r1 – 0.0037665 m 4 = 0. 2 = 0. Sustituyendo valores Interacción estructura-suelo plástico parcialmente saturado En un suelo plástico parcialmente saturado.00003206525 r2 (50) En forma análoga se obtiene 2 = -0.366 t/m Tomando en cuenta que r1 = r3 1 = 0.00780255/2)r2-(0. Sustituyendo las ecs 24 a 26 en la ec 47 nr ij = (Hj/Eij)  [ Izijk-(Ixijk+Iyijk) ] rkdk/ak k=1 (51) Resolviendo el sistema de ecuaciones 27.23528931/2)r1 -(0. r2 = 13. El análisis estructural es similar al del ejemplo 3 del método no lineal.6)/(560)[(0. se puede resolver la interacción considerando que la deformación bajo el punto i de un estrato de suelo de espesor Hj está dada por ij = (Hj/Eij) [zij .(xij +yij)] 1 = (0. 29. 2 = 0.44 + 0.21+21878.75r1 + 3.194828/2)r1-(0.00075212 r1 = 30.534 t/m.124 + 1. Un ejemplo de esta clase de fenómeno lo constituyen las arcillas expansivas.375r2 – 7.8/500)[(0.00067864 r1 = 31.00174077/2)r3] + (1. en campo libre la arcilla sufre una expansión de 3 cm en los puntos 1 y 3.4422-34184.020075 m 4 = 0.7072+72927. a) En el terreno se entra con las cargas ri y se determinan las deformaciones i con la matriz de flexibilidades del suelo (se puede iniciar con la reacción uniforme).41667r2 + 4.03+0.7074 – 5.3754 + 3. 2 = -0.000817668 r1 + 0.92 – 35 = 0 (61) (2): -42730.00163405r2 (58) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52. r2 = 18. obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones (1): (21365.565 t/m Nótese el cambio notable en las reacciones del suelo por las expansiones de la arcilla.91667r1 – 0. Aplicando la ec 49 en las ecs 55 y 56 obtenemos 1=-0. que representan el módulo de reacción de dicho terreno. los módulos de reacción (o “constantes de los resortes”) se obtienen Kvi = ri di / i (59) b) En la estructura se entra con las Kvi y se calculan las deformaciones .271 t/m Supongamos que por un aumento de humedad en el suelo. el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y terreno.835 t/m. se hallan las siguientes deformaciones del suelo en función de las cargas (matriz de flexibilidades del suelo) computar por una parte las deformaciones de la estructura. y con ellas Las reacciones del terreno se pueden incorporar en el vector de cargas concentradas Pc (fig 19b). pues depende del diagrama de reacción del suelo.94 –0. y de 5 cm en el punto 2 (fig 16).0000349723r2 (57) 2 =-0. que consiste en suponer valores iniciales de las “constantes de los resortes”.021759 m.442+Kv1)1–21365. Dado que no se conoce a priori la “constante del resorte”.21+21878. 1956). El método se usa de la siguiente forma: 1 = 0.0000634471r1+0.8841+(42730. 53.7071 +34184.0020384 r1 = 18.15733 = 0 (63) .013950 m. 57 y 58 1 = -0.884+Kv2)2+68369. De esta forma.4144 –11.129 t/m.9333 = 0 (54) Supongamos que con las consideraciones hechas en los incisos anteriores. la diferencia entre deformaciones de estructura y suelo permite ajustar la “constante del resorte”.000817668r1+0.10 (4): -21878. Esto tiene aplicación en la práctica cuando se dispone de un paquete o un programa de computadora que sustituye al terreno de cimentación por “resortes”. y el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y suelo. se tiene que recurrir a un procedimiento iterativo (Chamecki. Ilustremos el proceso anterior con la zapata de la fig 19 (ejemplo 6). r2 = 11. las reacciones ri por unidad de longitud (en t/m) se obtienen ri = Kvi i / di (60) donde di es la longitud en que actúa ri. Con estos valores de ri se entra nuevamente al suelo (inciso a).05+0.22+58341.0010381 r1 = 26.0000349723 r2 2 = 0.018469 m 4 = 0.84 – 50 = 0 (62) (4): -34184. Los datos de estructura y suelo son los mismos del ejemplo 3 (fig 13). y por otra las deformaciones del suelo. De acuerdo con la ec 4 K  + Pe + Pc = 0 Método iterativo La interacción suelo-estructura se puede resolver mediante un método iterativo.0000634471 r1 + 0. 54. 2 = 0. que es lo que justamente se está buscando.00163405 r2 (55) (56) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52 a 56 obtenemos 1 = 0. 65 y 59 Kv1 2 1 m m t/m 0.699 y aplicando r2 t/m 15.014783 28. Con los Kvi anteriores. Método aproximado para tomar en cuenta la rigidez angular de las columnas que llegan a la estructura de cimentación Los procedimientos de interacción vistos en los incisos anteriores permiten tomar en cuenta todos los pisos de la estructura. las columnas transmiten las cargas a la cimentación. y aplicando r1 t/m 28. El vector Pc es . Aplicando las ecs 64.013493 0. 63 y 60 r1 r2 2 1 m m t/m t/m 0. sin el auxilio de la computadora. considerando que las columnas tienen una rigidez angular Ke = 6215.952 r2 t/m 15.402 anteriores. y aplicando las ecs 61.013495 0.000483712 r1 – 0.014729 29. Kv2 t/m 3452.014782 las ecs 64. Con los ri aplicando las ecs 64.912 anteriores y Kv2 t/m 3462. 62. 62.425 Estructura.506 Estructura.463 2da iteración Terreno de cimentación.089 Estructura.010139 0.013493 0. 62. 62. Aplicando las ecs 64. La presencia de una columna provoca que en el nudo se presente un momento flexionante que vale Ke.013295 0. Supongamos que se desea hacer el análisis preliminar de una subestructura.021385 3542. hemos presentado ejemplos muy sencillos.45 t/m Terreno de cimentación.m/rad. en los cuales.014775 28.014823 3433. 63 y 60 r1 2 1 m m t/m 0. Con los Kvi anteriores. 65 y 59 Kv2 Kv1 2 1 m m t/m t/m 0.013743 0.014779 3433. donde Ke es la rigidez a la rotación de la columna (rigidez angular) y  es el ángulo que gira el nudo en cuestión. Aplicando 65 y 59 Kv1 1 2 m m t/m 0.00098398 r2 Las iteraciones se realizan de la siguiente forma 1ra iteración Iniciamos el proceso considerando una reacción uniforme r1 = r2 = r3 = 22. 63 y 60 r1 r2 2 1 m m t/m t/m 0. Con los Kvi las ecs 61.000031436 r1 + 0.619 3451. sin tomar en cuenta los niveles superiores.00003206525 r2 (64) (65) 2 = -0.956 15. 63 y 60 2 1 m m 0.013498 0. se considera únicamente la estructura de cimentación.013473 0. Este momento flexionante se agrega en el vector de cargas concentradas Pc de la ec 4 K  + Pe + Pc = 0 (ec 4) Ilustremos el procedimiento con el ejemplo 4. Con el propósito de presentar ejemplos que se puedan resolver “a mano”.222 t. las ecs 61.014290 3427. y sólo para fines didácticos.948 Apreciamos que en la 4ta iteración las deformaciones de suelo y estructura prácticamente coinciden. también imponen una condición de continuidad estructural en los nudos correspondientes.11 En el terreno de cimentación habíamos obtenido la siguiente matriz de flexibilidades (ecs 50 y 51) 1 = 0.437 15.944 4ta iteración Terreno de cimentación.069 Estructura. En este caso.988 3ra iteración Terreno de cimentación. pero como están unidas a la infraestructura.592 3359. y aplicando las ecs 61. Con los Kvi anteriores. 65 y 59 Kv1 Kv2 1 2 m m t/m t/m 0. 597 t/m Determinación de elementos mecánicos Los elementos mecánicos se obtienen como se indica en el anexo 1.7071+34184. mientras que el momento es positivo si produce compresión en las fibras superiores de la barra. con Ke = 6215.7074 +1.000031436 r1 + 0. Para una barra horizontal de cimentación.(GIt/L) p + (GIt/L) q (81) Mq = (GIt/L) p . fig 17.000483712 r1 – 0. el sistema de ecuaciones 27 a 29 queda modificado de la siguiente forma Ma = -wL2/12+(11/192)L2rr+(5/192)L2rs-(4EI/L)a -(2EI/L)b-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (77) (1): 21365.3 r1 + 0.50 .2224 =0 (68) Vs = -wL/2+(3/32)Lrr+(13/32)Lrs-(6EI/L2)a (80) -(6EI/L2)b-(12EI/L3)r+(12EI/L3)s En el terreno habíamos obtenido (ecs 50 y 51) Mp = .014190 m.m/rad en las columnas).6 r1 + 2.2226 Grado de libertad 1 2 3 4 5 6 Vs = -wL/2+(3/32)Lrr+(13/32)Lrs+(6EI/L2)p +(6EI/L2)q-(12EI/L3)r+(12EI/L3)s (74) Ma = (GIt/L) a .014190 m. fig 20) Dirección x (sistema global) Mp = wL2/12-(11/192)L2rr–(5/192)L2rs+(4EI/L)p (71) +(2EI/L)q-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s Mq=-wL2/12+(5/192)L2rr+(11/192)L2rs+(2EI/L)p +(4EI/L)q-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (72) Vr = -wL/2+(13/32)Lrr+(3/32)Lrs-(6EI/L2)p -(6EI/L2)q+(12EI/L3)r-(12EI/L3)s (73) Los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante en una barra de la cimentación (fig 20) se obtienen con las siguientes expresiones (dirección x) x  L/2: V = -Vr + (rr – w) x M = -Mp – Vrx + (rr – w) x2/2 Mmax para x = Vr/(rr-w) (83) (84) (85) x  L/2: V = -Vr – w x + rrL/2 + rs (x – L/2) (86) M = .3 r2 – 5.00057055 r1 = 30.4144 + 0.3754 –0.(GIt/L) a + (GIt/L) b (76) Dirección y (sistema global) Aplicando la ec 4. r2 = 14. 2 = 0. despreciando el acortamiento de la misma.15733+6215.12 Pc = . el cortante es positivo si va hacia arriba a la izquierda de la barra.597 t/m Aplicando las ecs 71 a 74 .92 – 35 = 0 (66) Mb =wL2/12-(5/192)L2rr-(11/192)L2rs-(2EI/L)a (78) -(4EI/L)b-(6EI/L2)r+(6EI/L2)s (2): -42730.Mp -Vrx – w x2/2 + (rrL/2) (x – L/4) + (rs/2) (x – L/2)2 (87) Mmax para x = [Vr+(rs-rr)L/2]/(rs-w) (88) En las ecs 83 a 88.4421–21365.35 .(GIt/L) b (75) Mb = .6 r2 –11.8842+68369.2225 6215.2224 6215.303 t/m.00003206525 r2 (69) (70) 2 = -0.303 t/m. son las siguientes (sistema global.58667r1–0.00057055 r1 = 30.013411 m 4 = 0.7072+72927.00098398 r2 Resolviendo el sistema de ecuaciones 66 a 70 1 = 0.4422–34184. Habíamos obtenido 1 = 0.84 – 50 = 0 (67) Vr = -wL/2+(13/32)Lrr+(3/32)Lrs+(6EI/L2)a +(6EI/L2)b+(12EI/L3)r-(12EI/L3)s (79) (4): -34184.35 6215. 2 = 0. r2 = 14.013411 m 4 = 0.26667r2+3. Calculemos los elementos mecánicos en los nudos de la estructura del inciso anterior (ejemplo 4.222 t.8841+42730.(GIt/L) q (82) 1 = 0. 05163)/(3. Como ejemplo presentamos a continuación el vector de cargas de empotramiento de la estructura. para obtener mayor precisión.7(3. La numeración de barras y de grados de libertad se exhiben en la fig 23.72+1.4031r1+1.0593r1-0.05163)/(3.76+0. se puede despreciar el acortamiento de barras.88+0.m Vr = 35 t Vs = 25 t Determinemos a continuación los vectores de empotramiento de las barras 1 y 7.597) +[(4)(1130000)(0.m Mq = 7. En el siguiente capítulo se presenta un ejemplo de análisis y diseño de una zapata corrida empleando ocho barras en la estructura de cimentación.2)2/12-(11/192)(3. . Sin embargo. 1996).6 0 0 . en ese ejemplo se expone la forma de obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. La matriz de rigidez de toda la estructura es la suma de las matrices de rigidez de todas y cada una de las barras de la estructura (el rango de cada matriz se toma de 27 por 27).0593r2 -1.2)2](0.534 t. Se desprecian los efectos de acortamiento de barras.241r4+0. Para una retícula de barras horizontales.747r1+0.4815r4 -1.4031r1+1. A manera de ejemplo.0593r4 GL 10 16 1 4 11 17 Interacción suelo-losa de cimentación P7e = Una losa de cimentación se puede modelar como una retícula de barras ortogonales entre sí. .4031r2+3.4031r2+0.4031r6 e P = -6.4031r6 +0.05163)/(3.241r2+0. Utilizando los valores del anexo 4 se obtienen las matrices K1 y K7.4031r4 -6. El vector de cargas concentradas. en la práctica conviene modelar la estructura de cimentación con cuatro o más barras.2)](0.6 0 -9.233+0.4815r2 -1. para el sistema global: Barra 1 7 p 10 10 q 12 16 r 1 1 s 2 4 a 11 11 b 13 17 A continuación hallaremos las matrices de rigidez y los vectores de empotramiento de las barras 1 y 7. P1e = 1.88+0. para los primeros 5 grados de libertad vale Pc = -9. además  = 0.72+0.2)2(14.4031r5 -3. en la tabla 14 se presenta la matriz de rigidez de la estructura para los primeros 5 grados de libertad.05163)/(3.233+0.303) -(5/192)(3.4031r8 . que se -3. .4815r1+1.4031r2 -1.4031r7 -13.233-1.747r4 1. Como ilustración presentamos los de las barras 1 y 7. Mp = 3.4031r1+5.4031r2+0.4815r1+1.4031r4 -1. Aplicando la ec 20 Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante se hallan con las ecs 83 a 88. .988r5+0.4031r1+5.2)2(30.747r2 0 0 GL 10 12 1 2 11 13 GL = grado de libertad 0 0 -1.4031r4+6.494r3+0.44+3.662 t.72+0.2)2](0.013411) Mp = -3.494r1+0. para los primeros 5 grados de libertad Ilustraremos el análisis de una losa con la retícula de la fig 21 (Deméneghi. La matriz de rigidez y el vector de cargas de empotramiento de una barra quedan como se muestra en el anexo 2 (para su obtención se tomaron las fórmulas del anexo 1).00057055) +[(2)(1130000)(0.13 muestran en las tablas 12 y 13. La solución es más precisa a medida que se incrementa el número de éstas.747r1+0. respectivamente.233-1.44+0.4031r3+0. La estratigrafía y propiedades se muestran en la fig 22.0593r1-0.2)](0) -(6)(1130000)(0.4031r5+0.72+1.01419)+ -(6)(1130000)(0. 1 2 3 4 5 . 0.310. V4 = 1. Jour Soil Mech Found Div.010629r2 + 0.6225] +0. Vol 1: 303-310.00063012r5 (f) 2 = 0.404 t.003760. Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions. Soc Mex Mec Suelos.0222(2.0007646 1 = 0.3r1)/4.0028714r1 + 0.4815r5 + 2.24r2+0.9.404 t.2410 -186. 1962 Terzaghi.3r1)/4.0033854r2 + 0. L. “Evaluation of coefficients of subgrade reaction”.482 + 346.0001625(6.235 t/m.6225 +0.03638 m. cap 6 de Foundation Engineering. M12 = -1. c.403 t.2410 + 3. 5 = 0. K. g y h en las ecs a.m V1 = 4.0001528(4.0593r1 .49 +0.86.45r4)/9.245+0.042 t M10 = 1.04953 m Como ilustración.3r7)/4. V.9213 +1.3r3)/4. part I: 1325-1381.m. XVIII Reunión Nal Mec Suelos.7610 . V2 = 1.404 t.8 t.025023r5 (Acise3.Isezc24.002988(8.45r2)/9.235 .0593r2 .404 t.002638(6.6225 +0. 2 = 0.6225] La compatibilidad de deformaciones entre la estructura y el terreno de cimentación se logra reemplazando las ecs f. hallaremos los elementos mecánicos en las barras 1 y 7 (sistema local).6 = 0 (a) Grado de libertad 2 -773.245+0.m.6r5)/18.m.0005157(4.245+0.009375(6. Géotechnique. b. Van Nostrand Reinhold.8 t.465 = 0 (e) Las deformaciones del terreno de cimentación se determinan con el procedimiento indicado en el inciso de análisis lineal. M16 = -1.45r6)/9. Proc ASCE.002284(4. M17 = -1.012733r1 + 0.8062r2 .6225 +0.14 Sustituyendo valores en la ec 4 y tomando en cuenta que por simetría 1 = 3 = 7 = 9 2 = 4 = 6 = 8 r2 = r4 = r6 = r8 r1 = r3 = r7 = r9 10 = 11 = -14 = 15 = 22 = -23 = -26 = -27 13 = 16 = -20 = -25 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones (que representa el equilibrio de cortantes o de momentos en el grado de libertad correspondiente): Grado de libertad 1 773. Presentamos a continuación como ejemplo la obtención de 1 1=0. d y e. “Settlement of foundations on sand and gravel”.88 = 0 (b) Grado de libertad 5 -346.245+0. S.403 t. 1985 Chamecki.04407(6.4610 + 1154.45r6)/9.Iske85.45r8)/9. r2 = 1. “Structural rigidity in calculating settlements”.2271(4.Iske86.49 +0.245+0.00002824(4.625 +1662.0021424r5 (g) (h) 5 = 0. 13 = -0.002638(6.494r1 + 0.Acisef3.6r5)/18.Iske84.0022836(4.m.2313+0. M13 = 1. G F. N° SM1.Maribo8. M C.6225 +0.1662.245+0.245+0.082 t/m.620.988r5 –13.0001528(4.232 + 186.Isezc3.Isezc31.697 t.3r9)/4.6225 +0. “Shallow foundations”. Iske7.2313 (d) -1. para lo que se aplican las ecs 71 a 82 Barra 1 (dirección x) M10 = -1. A. ed por G A Leonards.149 t/m 10 = 0.m REFERENCIAS Burland. J B y Burbidge.0036877r1 + 0.141 .0001625(6.403r5-6. 1973 1 = 0.773.4815r2 +1. Proc Inst Civil Eng.122 + 2692.009375(6.45r8)/9. Vol 88.485 + 744.3.6124r2 +6. 1996) Zeevaert.3213 -1.8062r1+5.4)[0.m V1 = 4.3r9)/4.Isezc3. o resolviendo el sistema de ecuaciones de la a a la h: r1 = 3.697 t.04407(6.44 .45r4)/9.3r7)/4. McGraw-Hill.0)[0.042 t M11 = -1.45r2)/9.1139(4.3r3)/4.141 + 859.121 + 831.142 .m Barra 7 (dirección y) M11 = -1.6225 +0.020326r2 + 0.028026(8. 1955 Aprovechando la simetría de la estructura obtenemos (Deméneghi.245+0.0. Morelia. “Interacción estática sueloestructura.76 = 0 (c) Grado de libertad 10 -831.233 = 0 Grado de libertad 13 -186.7672 .0154(2. considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”.Islcbl) . r5 = 1. 1956 Deméneghi. 1996 Sowers.04558 m. 77 1992.833 ---287.58 -66420 71622.5 ---114.2 --- 1 2 3 4 5 6 7 8 .58 --5202.6 --- 3 0 --184.76 --- 4 0 --0 --0 --0 --- 5 0 --423.6 --- 2 -664.2 9080.76 --- 6 0 --0 --0 --0 --- 7 -1992.832 ---31913.082 --- Delta 4 0 --0 --0 --0 --0 --0 --- Theta 5 -114.66 ---287.5 ---5202.08 0 Delta 10 0 --0 --0 --0 -12719.6 1877.77 -1992.833 --32578.08 Theta 11 -114.082 --1110.82 ---12719.15 TABLA 1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 1) Delta 1 31913.2 Theta 12 0 --0 --0 ---1992.665 --287.24 --423.02 -664.6 Delta 8 0 --0 --0 ---664.832 --287.6 --0 --0 --3985.58 0 -1877.6 -287.5 ---5202.08 3985.2 --0 --0 --1992.58 0 71622.76 --1299.76 --649.82 --12719.832 --- Delta 2 0 --0 --0 --0 --0 --0 --- Delta 3 12719.5 --114.66 0 -287.082 --12719.2 12719.77 0 -287.6 1877.76 --423.082 --555.77 Delta 9 -12719.2 32578.66 -66420 -287.2 --0 --0 ---1992.45 Delta 1 Delta 2 Delta 3 Delta 4 Theta 5 Theta 6 Delta 7 Delta 8 Delta 9 Delta 10 Theta 11 Theta 12 TABLA 3 VECTOR DE CARGAS CONCENTRADAS (EJEMPLO 1) Qv1 Delta 1 Qv2 Delta 2 Qh3 Delta 3 Qh4 Delta 4 M5 Theta 5 M6 Theta 6 0 Delta 7 0 Delta 8 0 Delta 9 0 Delta 10 0 Theta 11 0 Theta 12 TABLA 4 NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD (EJEMPLO 2) Barra p q r s u 1 2 3 5 6 7 7 8 8 1 2 1 1 2 2 3 4 -  Grados 90 90 0 TABLA 5 MATRIZ DE RIGIDEZ DE TODA LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 2) 1 664.025 ---1877.832 --287.025 --- Theta 6 0 --0 --0 --0 --0 --0 --- TABLA 2 VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO (EJEMPLO 1) 0 Delta 1 0 Delta 2 0 Delta 3 0 Delta 4 0 Theta 5 0 Theta 6 -24 Delta 7 -24 Delta 8 0 Delta 9 0 Delta 10 24 Theta 11 -24 Theta 12 Delta 7 -31913.52 --649.58 1992.665 --287.6 --423.02 0 -12719.58 ---114.049 --114.081 --555.082 ---12719.76 --9269.92 --- 8 -1992.8 ---12719.45 3985.08 0 9080. 418 0.62 -4.62 TABLA 8 PROPIEDADES DE DEFORMACIÓN.8 1.295 Ko 0.62 0 0 0 0 4.8 . t/m3 1.705 0.715  0.295 0.418 .67 Acv 733 879 scv 0.69 1.62 -4. EJEMPLO 3 Estrato 1 2 Acf 360 480 scf 1.16 TABLA 6 VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO DE TODA LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 -4. 2791369 0.1 3.0133068 0.0123936 0.2.0000189 0.0067291 0.0009920 0.1.0355775 0.375 Theta 6 0 Delta 1 -34184.0242973 0.2 2.2680562 .0031684 0.2 1.0682320 0.1.442 -21365.0152252 0.1 3.442 42730.0242973 0.0173797 0.3577430 -0.0031684 0.0016360 0.2791369 Ixijk 0.2.0091878 0.0355775 0.2 2.2 3.707 Delta 2 -21365.3577430 -0.1.707 -21365.0499689 0.5582739 0.707 0 72927.4197068 0.0016360 0.0152252 0.707 Delta 2 0 Theta 4 TABLA 10 VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 3) RELACIÓN DE POISSON = 0.0123936 -0.442 -34184.0049217 0.0069843 Iijk 0.2098534 0.0026263 0.2.2.0019278 0.0024262 0.0305775 0.0000189 0.0499689 0.9737421 0.0100231 0.0024262 -0.2.7154859 -0.0193848 -0.17 TABLA 9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (EJEMPLO 3) Delta 1 21365.2278690 0.0139686 0.3 Izijk 0.0611550 0.295 Punto 1.0682320 0.2098534 0.2.0133068 0.0049217 0.0193848 0.0402185 0.0305775 Iyijk 0.0346144 0.884 34184.2 3.4868711 0.3 3.0091879 0.0017431 0.2.2.4868711 0.1 2.1.1.1 1.4557380 0.0173796 -0.0017431 0.707 Delta 3 Theta 4 0 -34184.2 1.5361125 0.1 1.3 1.0009920 0.2278690 0.0019278 -0.0056620 0.0346144 0.0056620 0.0026263 0.0069843 0.1 2.1.1.0100231 0.0067291 0.3 3.1.3 2.3 2.2.1.0402185 0.442 34184.2680562 0. 115 1191.0000189 0.4868711 0.1 2.0297519 0.0595037 0.265 2382.5 0.2.3 2.2 2.0009920 0.5 0.1 3.115 386.0261484 0.2.2.0009717 0.5 0.530 1191.0649898 0.08 13 0 0 0 0 -310.0017431 0.2 3.0031307 0.115 2382.530 1191.0001265 0.4868711 0.565 831.5 0.0048027 0.0078026 0.0431202 0.0078026 -0.115 -831.5318640 0.565 0 0 11 0 0 0 0 310.0048186 -0.5 0.5 0. K7 10 310.2.0579433 0.0048186 -0.08 10 12 1 2 11 13 4 0 0 -386.2.0649898 0.0114948 0.0213830 0.5 0.0000384 0.0579433 Iyijk 0.2 1.3181542 0.1.1 1.115 -831.3 3.5 0.0031307 0.0001265 0.530 10 16 1 4 11 17 TABLA 13 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 7.0034808 0.1 1.115 831.5 0.2659320 0.2791369 0.0402185 0.0017408 0.115 -386.0297519 nu 0.08 0 0 0 0 1 0 0 386.08 310.6363085 0.0402185 0.9737421 0.1.0526524 0.0016360 0.0017431 0.265 17 0 0 831.2352893 TABLA 12 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA 1.115 831.2791369 Ixijk 0.1.3 2.565 -386. K1 10 2382.0355775 0.5 0.5 0.1 2.2 2.115 -831.5 0.0016360 0.0000189 0.115 831.0029179 0.265 2382.0431202 0.2 3.1 3.0114948 0.5 Iijk 0.3181542 0.08 -310.3896559 -0.1.1.1.1.3 Izijk 0.0526524 0.565 -831.2.1948280 -0.565 0 0 2 831.5 0.3 1.2.115 11 0 0 831.0042220 0.115 831.0213830 0.2.08 310.1158866 0.1.08 -310.0912394 0.565 -386.2659320 0.115 0 0 12 1191.265 -831.5 0.2352893 -0.0017408 -0.5 0.5 0.115 0 0 1 -831.5 Punto 1.0029179 0.115 .5 0.0000384 0.0009717 -0.0261484 -0.2 1.4705787 0.5582739 0.0042220 0.08 0 0 0 0 16 -310.115 -831.2.565 386.3 3.0912394 0.0048027 0.0355775 0.0009920 0.0034808 0.1.1948280 -0.565 386.18 TABLA 11 VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 4) RELACIÓN DE POISSON = 0.530 -831. 565 0 -86.565 0 3 0 -386.(12EI/L3) s Vs = -wL/2 + (6EI/L2) p + (6EI/L2) q .(12EI/L3) v Vv = -wL/2 .Isezc31.Iske7. NI EFECTOS DE TORSIÓN Barras horizontales p 4EI/L 2EI/L -6EI/L2 6EI/L2 q 2EI/L 4EI/L -6EI/L2 6EI/L2 r -6EI/L2 -6EI/L2 12EI/L3 -12EI/L3 s 6EI/L2 6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 p q r s Elementos mecánicos (barra sobre nudo) Mp = wL2 + (4EI/L) p + (2EI/L) q .130 0 0 4 -386.565 859.(12EI/L3) u + (12EI/L3) v 1 2 3 4 5 .Isezc24.Acisef3.(6EI/L2) q + (12EI/L3) r .565 0 -386.619 1 773.(6EI/L2) p .750 -386.(6EI/L2) p . SISTEMA GLOBAL MARCO CON BARRAS ORTOGONALES SIN CONSIDERAR ACORTAMIENTO DE BARRAS.(6EI/L2) r + (6EI/L2) s Vr = -wL/2 .565 773.619 5 0 -86.750 -86.619 0 -86.477 (Acise3.19 TABLA 14 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA K.(6EI/L2) r + (6EI/L2) s Mq = -wL2 + (2EI/L) p + (4EI/L) q .Iske8) ANEXO 2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA. PARA LOS PRIMEROS CINCO GRADOS DE LIBERTAD.565 0 0 859.Isezc32.(12EI/L3) r + (12EI/L3) s Barras verticales p 4EI/L 2EI/L 6EI/L2 -6EI/L2 q 2EI/L 4EI/L 6EI/L2 -6EI/L2 u 6EI/L2 6EI/L2 12EI/L3 -12EI/L3 v -6EI/L2 -6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 p q u v Elementos mecánicos (barra sobre nudo) Mp = wL2 + (4EI/L) p + (2EI/L) q + (6EI/L2) u .Isezc3.(6EI/L2) q . SISTEMA GLOBAL 2 -3866.619 346.130 -386.(6EI/L2) v Mq = -wL2 + (2EI/L) p + (4EI/L) q + (6EI/L2) u + (6EI/L2) v Vu = -wL/2 + (6EI/L2) p + (6EI/L2) q + (12EI/L3) u . (11/192) L2 rr .(5/192) L2 rr .  = 0 SISTEMA GLOBAL SIN CONSIDERAR ACORTAMIENTO DE BARRAS DIRECCIÓN x.(5/192) L2 rs ] cos  [ -wL2/12 + (5/192) L2 rr + (11/192) L2 rs ] cos  [ -wL/2 + (13/32) L rr + (3/32) L rs ] cos  [ -wL/2 + (3/32) L rr + (13/32) L rs ] cos  [ -wL2/12 + (11/192) L2 rr + (5/192) L2 rs ] sen  [ wL2/12 .  = 90° q r p GIt/L -GIt/L 0 -GIt/L GIt/L 0 0 0 12EI/L3 0 0 -12EI/L3 0 0 6EI/L2 0 0 6EI/L2 s 6EI/L2 6EI/L2 -12EI/L3 12EI/L3 0 0 s 0 0 -12EI/L3 12EI/L3 -6EI/L2 -6EI/L2 a 0 0 0 0 GIt/L -GIt/L a 0 0 6EI/L2 -6EI/L2 4EI/L 2EI/L b 0 0 0 0 -GIt/L GIt/L p q r s a b b 0 0 6EI/L2 -6EI/L2 2EI/L 4EI/L p q r s a b VECTOR DE CARGAS DE EMPOTRAMIENTO.  = 0 p q 4EI/L 2EI/L 2EI/L 4EI/L -6EI/L2 -6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 0 0 0 0 r -6EI/L2 -6EI/L2 12EI/L3 -12EI/L3 0 0 DIRECCIÓN y.20 ANEXO 3 MATRIZ DE RIGIDEZ.(11/192) L2 rs ] sen  p q r s a b . BARRA DE CIMENTACIÓN. BARRA DE UNA RETÍCULA DE CIMENTACIÓN. SISTEMA GLOBAL Pme = [ wL2/12 . 21 . 18 m2 5m I = 0.0054 m4 A = 0.18 m2 5m I = 0.000675 m4 A = 0.000675 m4 A = 0.09 m2 I = 0.000675 m4 A = 0.09 m2 E = 2214000 t/m2 Kh Kr Kh Kr Kv Kv REACCIONES DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 3 .22 2m 6m 2m 8 t/m I = 0.09 m2 I = 0.09 m2 E = 2214000 t/m2 Qh3 Qh4 M5 M6 Qv1 Qv2 (Acisef) GEOMETRÍA Y CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA BARRAS INCLINADAS FIGURA 1 8 t/m I = 0.000675 m4 A = 0.0054 m4 A = 0. 000675 m4 E = 2214000 t/m2 Kh Kr Kh Kr Kv Kv REACCIONES DEL TERRENO FGURA 6 .2 t I = 0.000675 m4 1.2 t I = 0.2 t I = 0.0054 m4 4.000675 m4 E = 2214000 t/m2 Qh3 Qh4 M5 M6 Qv1 Qv2 GEOMETRÍA Y CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA FIGURA 4 3 1 2 NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD FIGURA 5 1.54 t/m I = 0.6 m 1.6 m 1.000675 m4 1.0054 m4 4.54 t/m I = 0.23 6m 1.2 t I = 0. 24 . 25 Zapata corrida MARCO ESTRUCTURAL (a) DIAGRAMA DE ASENTAMIENTOS (b) DIAGRAMA DE REACCIONES (c) (Acisef3) MARCO ESTRUCTURAL CON CIMENTACIÓN A BASE DE ZAPATA CORRIDA FIGURA 9 . 26 Zapata corrida r4 r3 r5 r2 r6 r1 r7 (a) REACCIONES DEL TERRENO r1 r7 r2 r6 r3 r5 r4 r7 (b) CARGAS SOBRE EL TERRENO CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA Y EL SUELO FIGURA 10 . 27 . 8 m Estrato 2 1.130.05163 m4 35 t 3.5 m Estrato 1 0.2 m 3.000 t/m2 I = 0.28 3.2 m 2m PLANTA 35 t 50 t En la estructura: E = 1.7 t/m r2 r1 r3 SISTEMA DE CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA FIGURA 15 (EJEMPLO 3) .6 m Roca ELEVACIÓN CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 13 O4 (EJEMPLO 3) O5 Barra 1 O6 Barra 2 S1 S2 NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD FIGURA 14 35 t S3 (EJEMPLO 3) 50 t 35 t 3.7 t/m 0. 29 3.1) 0.6 m Roca ELEVACIÓN CÁLCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA FIGURA 16 3.8 m Estrato 2 (1.2 m Área 1 Área 2 1 Área 3 2 1.2 m (EJEMPLO 3) 3.2 m 2m (a) 35 t PLANTA 50 t 35 t 3.1) (2.2 m 3.5 m Estrato 1 (1.2) (2.2) (3.6 m 3 3.2) 1.5 m NAF Estrato 1 Eu = 500 t/m2 Arcilla totalmente saturado 0.6 m PLANTA 0.8 m Estrato 2 Eu = 560 t/m2 Arcilla totalmente saturado 1.05163 m4 0.000 t/m2 I = 0.6 m (b) ELEVACIÓN Roca CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 17 (EJEMPLO 4) .7 t/m En la estructura: E = 1.1) (3.2 m 2m 1.130. 7 t/m 0.130.000 t/m2 I = 0.7 t/m Kv1 Kv2 (a) 35 t Kv3 MÓDULOS DE REACCIÓN 50 t 35 t 3.7 t/m R1 = Kv1 R2 = Kv2 (b) (Acisef3) R3 = Kv3 REACCIONES DEL TERRENO MÉTODO ITERATIVO FIGURA 19 (EJEMPLO 6) .6 m (b) ELEVACIÓN Roca Ecv = módulo de deformación por cambio de volumen CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA Y TERRENO DE CIMENTACIÓN FIGURA 18 3.30 4m 4m 2m (a) PLANTA 35 t 50 t En la estructura: E = 1.05163 m4 35 t 3.000 t/m2 I = 0.5 m Estrato 1 Ecv = 500 t/m2 Arcilla parcialmente saturada 0.130.2 m 50 t En la estructura: E = 1.05163 m4 35 t 3.2 m 35 t (EJEMPLO 5) 3.8 m Estrato 2 Ecv = 556 t/m2 Arcilla parcialmente saturada 1. 31 L/2 L/2 w x rs rr a) Cargas sobre la barra Theta p Theta q Theta a Theta b x Delta r Delta s b) Grados de libertad Ma Mq x Mb Vr Mp Vs c) Elementos mecánicos (Barra sobre nudo) (Acisef3) ELEMENTOS MECÁNICOS SOBRE UNA BARRA DE CIMENTACIÓN SISTEMA GLOBAL FIGURA 20 . 32 . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A esta clase de fundación se le denomina cimentación a base de pilotes de punta. Los pilotes se apoyan en el estrato resistente. En consecuencia. En este caso se puede presentar fricción negativa en el sedimento blando. UNAM . decimos que utilizamos una cimentación profunda. pudiendo quedar sobre su superficie o penetrar una cierta distancia D dentro de él (fig 1). En estas condiciones. * b) Cuando el estrato resistente se halla a una profundidad muy grande. en los siguientes incisos mencionaremos el término pilotes para la revisión de la seguridad del suelo. Los pilotes trabajan fundamentalmente por fricción lateral. Una cimentación a base de pilotes puede trabajar básicamente de dos formas: a) Cuando se encuentra un estrato resistente a una cierta profundidad H (fig 1). aun cuando existe cierto fenómeno de escala. Cabe aclarar que en las cimentaciones profundas es también muy importante el procedimiento constructivo. Por lo tanto. una cimentación profunda es aquella que transmite las cargas de la estructura a depósitos muy hondos. en cuyo caso los pilotes quedan “embebidos” en el sedimento blando (fig 3).ANÁLISIS Y DISEÑO GEOTÉCNICO DE PILAS Y PILOTES Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena* NOTA PRELIMINAR Cuando las condiciones del subsuelo son tales que una cimentación somera no cumple con los requisitos de seguridad. su forma de trabajo es similar. con las adecuaciones necesarias en su caso por efectos de escala. y el pilote trabaja por punta y fricción en el estrato de apoyo (fig 2). A esta clase de fundación se le denomina cimentación a base de pilotes de fricción. etcétera. pero se puede emplear también para los demás elementos similares. de moderada altura. Cabe aclarar que dado que la subestructura queda totalmente apoyada en el depósito de suelo blando. pilas. aun cuando también poseen cierta capacidad de carga por punta. Facultad de Ingeniería. 1980) τa = ca + σn tan φa (1) Pero (fig 4) σn = Ks pv (2) τa = ca + pv Ks tan φa (3) Por lo tanto Csu = ∫o ω (ca + pv Ks tan φa) dz (4) ω = perímetro del pilote Csu = ∫o ω ca dz + ∫o ω Ks tan φa pv dz Profesores del Departamento de Geotecnia. esta cimentación se debe emplear en estructuras de tamaño mediano. con el propósito de que se cumplan los requisitos de seguridad del terreno de sustentación. CAPACIDAD DE CARGA POR RESISTENCIA AL CORTE Capacidad de carga lateral La resistencia al corte a lo largo del fuste de un pilote está dada por (Poulos y Davis. División de Ingenierías Civil y Geomática. se hace necesario transmitir las cargas de la estructura a estratos muy hondos. Una cimentación profunda puede consistir de pilotes. En este caso. donde la relación altura/ancho no sea muy grande. Dado que estos elementos tienen una geometría análoga. cilindros. la losa de apoyo transmite cierta carga en su contacto con el terreno. si el pilote se apoya sobre la superficie del estrato resistente.1 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 cos2 (π/4 + φ/2) tan φ (11) (13) (16) En el caso general. Si la profundidad de empotramiento es mayor que ymax. en la práctica las magnitudes de FRsi varían entre 0. En general. En síntesis. que dependen de la incertidumbre que se tiene respecto a la resistencia del suelo.8.φ/2 + β CsR = ω ca L FRs1 + ω Ks tan φa FRs2 ∫o pv dz El significado de los ángulos θ y β se indica en la fig 6. que dependen de la clase de suelo c = cohesión del suelo pvb = presión vertical al nivel de desplante del pilote. 1973) Nc = tan (π/4 + φ/2) e2θ tan φ . φ y β en radianes) Csu = ω L ca + ω Ks tan φa (A1 + A2) En las ecuaciones 11 y 12 Csu = ω ca L + ω Ks tan φa ∫o pv dz (5) (6) (12) Otra forma de proceder es definiendo la capacidad de carga resistente por fricción lateral de un pilote de la siguiente forma θ = 3π/4 . a un costado del mismo Ab = área de la base del pilote La ec 8 queda Cpu = Ab (fc c Nc + fq pvb Nq) (10) Nc y Nq son factores de capacidad de carga que valen (fig 6. [Cabe destacar que Vesic (1967) señala que los valores de Nq que exhiben un mejor acercamiento a resultados de pruebas de campo son los dados por Berezantzev et al (1961). Las magnitudes de Nq dadas por la ec 12 (Zeevaert. φ = ángulo de fricción interna del suelo Las distancias x y y están dadas por x = ρ cos β (14) y = ρ sen β (15) Capacidad de punta donde La capacidad de carga última por punta está dada por B ρ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ e(3π/4-φ/2+β) tan φ 2 cos (π/4 + φ/2) Cpu = qd Ab (8) qd = fc c Nc + fq pvb Nq (9) donde fc y fq son factores de forma del cimiento.2 Sea (e2θ tan φ) cos2 β Nq = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 cos2 (π/4 + φ/2) ∫o pv dz = A = A1 + A2 = área bajo el diagrama pv-profundidad (fig 5) (θ. con la magnitud de β se utilizan las ecuaciones 11 y 12 para obtener Nc y Nq. se usan las ecuaciones 11 y 12 con β = φ. Zeevaert.5 y 0. Si el pilote penetra una distancia y < ymax. los factores de capacidad de carga Nc y Nq se hallan haciendo β = 0 en las ecuaciones 11 y 12. 1973) son similares a las de . Zeevaert (1973) hace la hipótesis de que el máximo desarrollo de la superficie de falla se alcanza para β = φ (fig 6). Las distancias xmax y ymax se obtienen usando las ecuaciones 14 y 15. mediante ensaye y error con las ecuaciones 15 y 16 se determina el ángulo β que forma el radio vector con la horizontal. (7) donde FRs1 y FRs2 son factores de resistencia. haciendo β = φ en la ec 16. los pilotes pueden penetrar dentro del estrato resistente. 3 Berezantzev et al. Para D/B ≥ 2 se usa Nc = 7. para D/B < 2 se emplea la ec 22. Para pilotes colados en el lugar se puede emplear la fig 9 (O’Neill. 2001) o la tabla 1 (Tomlinson. es decir Qu = Csu + Cpu .35 y 0. Cpu = (fc cu Nc + pvb) Ab CpR = (fc cu Nc FRp + pvb) Ab La capacidad última en la cabeza del pilote. la capacidad resistente por punta se define En general 0. Para pilotes hincados a golpes se pueden usar la fig 7 (McClelland.Wpil Por otra parte.] Otra forma de proceder es definiendo la capacidad de carga resistente por punta de un pilote de la siguiente forma CpR = Ab (fc c Nc FRp1 + fq pvb Nq FRp2) (17) donde FRp1 y FRp2 son factores de resistencia.7 Pero (20) (23) Por otra parte. El factor Nc no se puede obtener con la ec 11. Si se trabaja con la capacidad resistente por adherencia.7.5. En estas figuras α = ca/cu. Cabe señalar que en la práctica se recomienda la ejecución de pruebas de carga de pilotes en campo. menos el peso del pilote. En general. ésta se define como CsR = ω ca L FRs (19) Nc = 5. o de la tabla 1. a corto plazo. 1974). Así. de la ec 12. la fig 8 (O’Neill. por lo que Condiciones a corto plazo qd = fc cu Nc + pvb Las arcillas saturadas.5 ≤ FRs ≤ 0. Nc se calcula . En teoría de la plasticidad se demuestra que Nc = 2 + π Skempton encontró que la capacidad resistente en un material cohesivo aumenta con la profundidad de empotramiento en el estrato de apoyo (fig 10). con la ventaja de que se toma en cuenta además la profundidad de empotramiento del pilote en el estrato de apoyo.8 Cpu = qd Ab (22) Qu ≅ ω ca L + fc Ab cu Nc (25) Las magnitudes de ca se pueden tomar de las figuras 7 u 8.23 D/B) Por lo anterior. hasta un máximo. con β = φ = 0: Nq = 1.5. que dependen de la incertidumbre que se tiene respecto a la resistencia del suelo.Wpil Qu = ω ca L + Ab (fc cu Nc + pvb) . se comportan como materiales puramente cohesivos. después de la cual se mantiene constante. Para φa = φu = 0. 1957). en la práctica las magnitudes de FRpi varían entre 0. para D/B = 2 el factor Nc = 7. por equilibrio de fuerzas vertical es la suma de Csu y Cpu. Reemplazando en la ec 5 Sustituyendo en la ec 20 Csu = ω ca L (18) Los valores de ca dependen del procedimiento constructivo. en cuyo caso φa = φu = 0 (Poulos y Davis. Podemos establecer que Materiales cohesivos En materiales cohesivos fq = 1.35 ≤ FRp ≤ 0. la capacidad última por punta vale (ecuaciones 8 y 9) Ab pvb ≅ Wpil qd = fc cu Nc + fq pvb Nq (21) (24) En general 0.14 (1+ 0. para verificar los valores de la capacidad lateral y de la capacidad por punta. 1980). 2001). 9425(26.14 (1+ 0.09 = 464. Solución Adherencia lateral Interpolando valores en la tabla 1: ca = 26.25 kPa P = π d = π(0. profundidad NAF = 3 m.070686 m2 D/B = 18/0.070686)(30)(7.2. así (27) Reemplazando la ec 27 en la ec 26 y despejando ph Cpu = Ab ff (c Nc + pvb Nq) (35) Si además c = 0 Cpu = Ab ff pvb Nq (36) .2(0. fc = 1.3)2/4 = 0.9425 m Capacidad por punta Ab = πd2/4 = π(0.2. cu = 30 kPa. que tiene las siguientes características.4 con la ec 22. fc ≅ fq = ff ≅ 1. La ley de resistencia al corte del suelo es (fig 12) s = c + ph tan φ La capacidad lateral vale (ec 5) Si ca = 0 (26) Csu = ω Ks tan φa ∫o pv dz (34) La capacidad por punta es (ec 10) Además Cpu = Ab (fc c Nc + fq pvb Nq) (pv – ph)/2 sen φ = ⎯⎯⎯⎯⎯ a a = (pv – ph)/2 sen φ Suelos friccionantes Csu = ω ca L + ω Ks tan φa ∫o pv dz De acuerdo con la fig 12 a sen φ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ c cot φ + (ph + pv)/2 (33) En suelos friccionantes.3 = 60 > 2 De la ec 20 Nc = 5.2. φ = 30 cm. L = 18 m.23 (2)) = 7. hincado a golpes en una arcilla totalmente saturada.42 kN ------ 1 – sen2φ sen φ cos φ ph = ⎯⎯⎯⎯⎯ + 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + sen2φ 1 + sen2φ (28) A lo largo del fuste del pilote la resistencia al corte vale (fig 11) sa = ca + ph tan φa (29) Sustituyendo la ec 28 en la ec 29 sen φ cos φ sa = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ 1 – sen2φ + pv ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ (30) Sean sen φ cos φ c* = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ (31) 1 – sen2φ Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ (32) Reemplazando en la ec 30 Condiciones a largo plazo sa = c* + Kφ pv Consideremos el estado de esfuerzo en un elemento cercano al fuste del pilote (fig 11).33 + 19.5) Qu = 445.25)(18)+1. Para fines prácticos se puede tomar.3) = 0. para un pilote de sección circular o cuadrada. fc ≅ 1. Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de un pilote de concreto reforzado de sección circular.5 Sustituyendo en la ec 25 Qu = 0. para un pilote de sección circular o cuadrada. 5 Para pilotes hincados se debe emplear Si la punta del pilote se encuentra bajo el nivel de agua freática (NAF). L = 15 m. sino que se mantiene constante a partir de una profundidad crítica zc. Ejemplo Determinar la capacidad de carga última de un pilote de concreto reforzado de sección circular.6. Por otra parte.3° Así El factor de capacidad de carga Nq se obtiene con la ec 12 (Zeevaert.Wpil (41) En caso de que la arena se encuentre bajo el nivel de agua freática (NAF). y usar φa’ en lugar de φa en la ec 41. φ = (φ1’ + 40°)/2 (43) (44) mientras que para pilotes colados in situ se utiliza φ = φ1’ . en un suelo puramente friccionante que tiene las siguientes características φ1’ = 36°. En arenas calcáreas con ángulos de fricción mayores que 35° se tiene que reducir la capacidad de carga dada por las expresiones anteriores.3° (45) Si se usa inyección de agua la capacidad de carga lateral se reduce en un 50%.25 m. se debe trabajar con el diagrama de presión efectiva en lugar del diagrama de presión total. tanto para pilotes hincados (driven piles) como para pilotes colados en el lugar (bored piles). pilotes colados en el lugar dan una mejor solución al problema que los pilotes hincados a golpes. profundidad NAF = 4 m Considerar las siguientes opciones a) Pilote colado en el lugar b) Pilote hincado a golpes Solución a) Pilote colado en el lugar Fricción lateral Csu = ∫o P pv’ Ks tan φa’ dz . Para pilotes hincados se debe emplear Cpu = Ab (ff pvb’ Nq + pvb – pvb’) Cpu = Ab [ff pvb’ (Nq – 1) + pvb] Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] (37) La capacidad de carga resistente se define CpR ≅ Ab [ff pvb’ Nq FRp + pvb] (38) Por otra parte. McClelland (1974) sugiere que la resistencia de fricción se limite a 19 kPa y la resistencia de punta a 4800 kPa. diámetro d = 0. La capacidad última queda Qu = ω Kstan φa (A1+A2) + Ab ff pvbNq . Los valores del cociente zc/d y de Ks tan φa’ se presentan en la fig 13 (Poulos y Davis.Wpil (39) Reemplazando las ecuaciones 34 y 35 en la ec 39 Qu = ∫o ω pv Kstan φa dz + Ab ff pvb Nq . En estas circunstancias. se ha observado experimentalmente que en suelos friccionantes pv no aumenta indefinidamente con la profundidad. por equilibrio de fuerzas verticales Qu = Csu + Cpu . γ = 18 kN/m3. Dr = 0. 1973).Wpil (40) Qu = ω Kstan φa ∫o pv dz + Abff pvb Nq) . la capacidad última vale φ = (3/4) φ1’ + 10° (42) Cpu = Ab ff pvb’ Nq + Ab ub φ1’ = ángulo de fricción interna del suelo previo a la instalación del pilote siendo ub la presión hidráulica en la punta del pilote. 1980). ff = 1.Wpil Observamos que ∫o pv dz = A = A1 + A2 = área bajo el diagrama pv-profundidad (fig 5). Pero Mientras que para pilotes colados in situ se utiliza pvb = pvb’ + ub φ = φ1’ .2. 43 m < 15 m Por lo tanto.8) = 207. respectivamente Penetración estándar Qu = 400 N Ab + 2 Nm As 2 Nm ≤ 100 kPa (47) . con β = φ = 33º: Nq = 47. β = 38.25)2/4][(1. Ks tan φa’ = 0. ymax = 1. Cono holandés Qu = qc Ab + 2 fcm As (46) donde qc = resistencia en la punta del cono fcm = fricción lateral promedio en la funda del cono Ab y As son las áreas en la base y lateral del pilote. por ensaye y error hallamos que con β = 38.6 Csu = π(0. ymax = 2.73)+36 = 230.1 (fig 13b) Csu = π(0.φ/2 + β = 2.75)(0.6808) tan 0.5) = 384.8 m > 2. con β = φ = 38º: Nq = 107.25) = 2 m ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z (fig E2) ∫o pv’ dz = (1/2)(2)(36)+36(15-2) = 504 kN/m (fig 13b) Ks tan φa’ = 1. con β = φ = 40º: xmax = 3.4) /4][(1.6º = 0.2)(36)(107.8 m Así. aplicamos la ec 12.94 m > 2.1 kN -------Pruebas de campo La capacidad de carga última de un pilote se puede obtener mediante la ejecución de las siguientes pruebas de campo.4) = 5.83 m.6981 rad θ = 3π/4 .7 = 845.5)(27)+27(15-1.4 m. ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z = 62.73 Cpu = [π(0.8)+(1/2)(85.586)(153. con β = φ = 38º: xmax = 1.75)+85.586-62.9)+27] = 77.3 kN Capacidad por punta (ec 37) Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] (ec 44) φ = (φ1’ + 40°)/2 = 38° Utilizando las ecuaciones 14 y 15.6808 (ec 13) Usando la ec 12 (e2(2. φ = 0. usamos la ec 37 Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] φ = (φ1’ + 40°)/2 = 40° (ec 44) Utilizando las ecuaciones 14 y 15.7 = 135. Por lo tanto.2)(85.22 m.51 m.3 + 230.8 m (fig E-3a).2)(27)(47.79 m < 15 m Aplicando la ec 12.6º.5 (fig 13a) zc = 14. Ks tan φa’ = 2.54 kN/m Con φ = 40º. Solución Fricción lateral Csu = ∫o ω pv’ Ks tan φa’ dz φ1’ = 40º φ = 3 φ1’/4 + 10° = 3(40)/4+10 = 40º (ec 42) zc/d = 14. y = 2.75 kN/m Csu = π(0.6981/2) 2 Cpu = [π(0. d = 0.2 kN Capacidad de carga última del pilote Qu = Csu + Cpu – Wpil = 633.17.8 kN.5 m ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z (fig E1) ∫o pv’ dz = (1/2)(1.6 φ = φ1’ – 3° = 36 – 3 = 33° (ec 43) zc/d = 6 (fig 13a) φ = φ1’ = 36°.90 Cpu = [π(0.25) = 1. con β = φ = 33º: xmax = 1.25) = 75.654(2. Se trata de un pilote hincado a golpes. ymax = 0.2 .7 kN Capacidad por punta Como se trata de un suelo totalmente saturado.5 kN Capacidad por punta (ec 37) Cpu ≅ Ab [ff pvb’ Nq + pvb] Con φ = φ1’ – 3° = 36 – 3 = 33° (ec 43) Utilizando las ecuaciones 14 y 15.5 + 77.25)2/4][(1.6737 rad.8 m (fig E-3a) El diagrama pv’-z se muestra en la fig E-3b.25)(384.586] = 1995.54)(2. usando las ecuaciones 15 y 16.4)(207.654)(2.75 2 cos2 (π/4 + 0.5 kN Capacidad de carga última del pilote Qu = Csu + Cpu – Wpil = 75.6737 Nq = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 153.5(0.1) = 547.6) = 633.6981) cos2 0.5 .17.25)(504)(1. -----Ejemplo Calcular la capacidad de carga admisible por fricción y por punta del pilote de sección circular de la fig E-3a.3 kN b) Pilote hincado a golpes Fricción lateral (ec 42) φ = (3/4)φ1’ + 10° = 37° zc/d = 8 (fig 13a) zc = 8(0.25 (fig 13c) zc = 6(0. considerando a dicho grupo como una gran “zapata”. obtenidas con las ecuaciones 53 y 57.7 N = número de golpes bajo la punta del pilote Nm = número de golpes promedio a lo largo del pilote Qu en kN. donde parte del peso del edificio lo toma la losa en el contacto con el suelo. la llevamos a cabo usando las dimensiones reducidas B’ y L’. podemos considerar que al nivel de desplante de la losa obran una fuerza vertical última Pu y dos momentos últimos Mxu y Myu alrededor de los ejes x y y. Si además el inmueble transmite una fuerza vertical y dos momentos de volteo al terreno (fig 14). Denominemos pvo al esfuerzo vertical inicial (antes de la colocación del pilote) y pvf al esfuerzo vertical que ya toma en cuenta la disminución de esfuerzo por la fricción negativa. trabajando a la falla. de dimensiones iguales a la envolvente del grupo. En el contacto losa-terreno se debe tomar MRy’ = Myu – MRy La excentricidad de la reacción del suelo. en el contacto losa-terreno. por lo que se puede despreciar su contribución para el momento resistente). se debe verificar la capacidad de carga del grupo de pilotes. respectivamente (fig 14). FRICCIÓN NEGATIVA Decremento esfuerzo en el suelo por fricción negativa La fricción negativa produce una disminución de los esfuerzos normales verticales en el suelo aledaño al fuste del pilote. en dirección x es ex = MRy’ / Pu (53) En forma análoga obtenemos Además de revisar la capacidad de carga individual de cada pilote. y los que más contribuyen a tomar el momento MRx = Σ CRi xi (54) MRx’ = Mxu – MRx (55) ey = MRx’ / Pu (56) L’ = L – 2ey (57) La revisión de la seguridad del suelo. Ab y As en m2 Correlaciones El ángulo φ1’ se puede obtener con la fórmula de Meyerhof (1956) φ1’ = 28º + 15 Dr (48) Dr = compacidad relativa O bien. pues los pilotes trabajan a la falla en condiciones normales. y la otra parte la toman los pilotes. La presión última sobre el terreno en el contacto con la losa debe ser menor que la capacidad de carga resistente del suelo qR a ese nivel. El error que se comete al considerar que el eje neutro pasa por el centro del cimiento es mínimo. pues los pilotes ubicados cerca de la parte central tienen un brazo de palanca muy pequeño. se puede emplear la expresión de Kishida (1967) φ1’ = √ 20 N + 15º (49) de volteo son los ubicados cerca de la periferia de la losa de cimentación. Podemos hacer la hipótesis de que el momento que toman los pilotes alrededor del eje y es (fig 15) MRy = Σ CRi xi (52) El ancho reducido para fines de revisión de la capacidad de carga en el contacto losa-suelo vale B’ = B – 2ex Grupo de pilotes (51) (50) (Esta hipótesis es razonable. La fricción negativa al nivel i vale (fig 16) . considerando a la losa como una zapata de gran tamaño. Un caso especial es el de una cimentación a base de pilotes de fricción. (FN)i-1 .ω sa Δzi (58) donde ω = perímetro del pilote Considerando un área efectiva ai-1 alrededor del pilote.sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] } donde zt = z / √ 2 (67) (68) . el decremento de esfuerzo normal vertical promedio en dicha área efectiva. en el nivel (i-1) es (σzo)m = αzo σza αzo = (σzo)m / σza (pvoi-1 – pvfi-1) = (FN)i-1 / ai-1 (62) O bien es decir (FN)i-1 = (pvoi-1 – pvfi-1) ai-1 pilotes. donde λ y β miden el espaciamiento entre pilotes. El decremento de esfuerzo en el fuste del pilote es una función de la influencia de cada pilote en el campo sobre otros (66) Vemos que si se puede estimar el valor de αzo = (σzo)m / σza (ec 62). y despejando pvfi pvoi ai .(c* + Kφ pvfi-1/2) ω Δzi pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ai + P Kφ Δzi / 2 αzo = ao / a (65) O bien a = ao / αzo (61) La determinación del diagrama de presión vertical final pvfi se lleva a cabo de la siguiente forma: en cabeza del pilote pvf = pvo y (FN) = 0. y debe ser considerado en los cálculos (Zeevaert. obtenido como σza = (FN)/ao. incluyendo el pilote O. se obtiene un decremento de esfuerzo normal vertical σza = pvo . y obtiene los valores del decremento de esfuerzo vertical σzr a una distancia r del centro del pilote (fig 17). Podemos escribir (59) Considerando un área efectiva ai alrededor del pilote.pvf. con estos valores se emplea la ec 61 y se obtiene pvfi. 1973) a Σ1n [σzo] = (σza) ao (64) Reemplazando la ec 63 en la ec 64 (pvoi – pvfi) = (FN)i / ai (FN)i = (pvoi – pvfi) ai a αzo = ao (60) Sustituyendo la ec 60 en la ec 58. en el nivel i es Σon [σzo] = αzo σza (63) Sea a el área tributaria efectiva. El mismo Zeevaert resuelve los tres siguientes casos CASO I sa = kz La magnitud de σzr está dada por σzr = rok { (zt/r) (1 . 1973). El proceso se repite hasta llegar a la punta del pilote. debido al efecto de todos los pilotes en el grupo.8 (FN)i = (FN)i-1 . Zeevaert (1973) considera un pilote sometido a fricción negativa. la disminución de esfuerzo normal vertical promedio en dicha área efectiva. (FN)i se calcula con la ec 60.es necesario conocer el área tributaria efectiva ai. Para un área tributaria constante ao = λ β. se puede establecer la siguiente condición (Zeevaert. Para lograr lo anterior. Sea Σon [σzo] = (σzo)m el cambio total en esfuerzo vertical en el fuste del pilote O. un valor aproximado del área tributaria efectiva a se puede obtener con la ec 66. se requiere calcular la magnitud de σzo en el fuste de un pilote aislado. Área tributaria efectiva Para determinar la presión vertical efectiva final pvfi con la ec 61 –debida al efecto de la fricción negativa. la disminución de esfuerzo en el fuste del pilote O vale Σ1n σzo = (ro sa / zt) Σon Izc (74) sa = c* + Kφ pv sa = c* + Kφ (pv/z) z Pero sa = c* + k z Por lo tanto Por otra parte σza ao = ∫o 2πro sa dz = 2πro sa z Sustituyendo en la ec 64 a Σ1n [σzo] = 2πro sa z a = 2πro sa z / Σ1n σzo k = Kφ (pv/z) (77) Para el caso II: c* = k he. es decir a = πro kz2 / Σ1n σzo 2 a = 2π z2 / √ 2 Σon Izc 2 =πz / Σon Izr (71) Por lo tanto El radio del área tributaria efectiva vale R=√a/π 2πro [ k he z + k z2 / 2 ] = [ ro k Σon Izr + ro k (he/z) Σon Izc ] a (72) CASO II sa = c* = constante σzc = ro sa Izc / z (2he + z) πz2 a = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ z Σon Izr + he Σon Izc (76) Para fines prácticos. considerando sa = kz: σzo = ro k Σon Izr Para el caso II. considerando sa = c* = k he = constante con la profundidad: σzo = ro k (he/z) Σon Izc La suma de las dos expresiones anteriores debe ser igual a la fricción total en el fuste del pilote. 1973). los valores de he y k a emplearse en la ec 76 se obtienen de la forma siguiente: de acuerdo con la ec 33 donde Izc = (zt/r) (1 – sen ψ) (73) Si tomamos en cuenta la influencia de todos los pilotes.9 Tomando en cuenta le ec 74 Sea Izr = (zt/r)(1 . la disminución de esfuerzo en el fuste del pilote O vale Σ1n σzo = ro k Σon Izr (70) Por otra parte σza ao = ∫o 2πro sa dz = ∫o 2πro kz dz = πro kz2 Sustituyendo en la ec 64 a Σ1n [σzo] = πro kz2 Tomando en cuenta la ec 70 a = πro kz / ro k Σon Izr (75) CASO III sa = c* + kz Este problema se resuelve sumando los casos I y II anteriores (Zeevaert. con variación lineal con la profundidad.sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] (69) Si tomamos en cuenta la influencia de todos los pilotes. Para el caso I:. por lo tanto he = c* / k (78) . 7897 ae1 = π(1. apéndice E).258 m2 Por lo tanto. φ = φa = 26º. se determinó la fricción negativa sobre unos pilotes reportados por Endo et al (1969) y se comparó con la fricción negativa medida en el campo.7897)]/2+2(2)/4-0.sen ψ) + [cos ψ + ln (tan ψ/2)] Haremos el cálculo para z = 2. que vale Rei = √ ai / π (85) donde ai es el área tributaria.(c* + Kφ pvfi-1/2) ω Δzi pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ai + ω Kφ Δzi / 2 En la cabeza del pilote pvf = pvo = 0 y (FN) = 0 A la profundidad de 2.Ab (82) En las ecuaciones anteriores FA = A Re2 / β + (cos A)/2 FB = B Re3 / λ + (cos B)/2 (83) (84) Los ángulos A y B (fig 18) deben estar en radianes.7897 FB = 0. [El profesor Zeevaert ha calculado con buen éxito la fricción negativa.527°/2)] = 0. Además.459)/2 = 0.Ab (81) Pilote interior ae4 = βλ .006 m Re2 = Re3 = Re1 = 1.455°) + [cos 6.08437 = 6.5 m: pvoi = 14(2.963 Calculemos Izr para el pilote vecino (r = 2 m): ψ = tan-1 (r/zt) = tan-1 (2/1. Solución Haremos los cálculos para el estrato 1 Obtención del área tributaria efectiva Usamos la ec 71 a = πro kz2 / ro k Σon Izr = π z2 / Σon Izr De la ec 69 Izr = (zt/r) (1 .006)2/4+1.10 Área del campo de pilotes El área tributaria obtenida con las ecuaciones 71.7678/2) (1 .455° Izr = (1.006)/2 + (cos 1.sen 6.527° + ln (tan 48.7678 m (ec 68) r = ro = 0.(FN)i-1 .181 m2 < ae1 = 3.2) (1 .7678/0.sen 48.08704(2)+0. Rei es el radio de influencia del área tributaria.5)2 / 6.527° Izr = (1.7678) = 48.172 Usando la ec 31: c* = 0 Empleando la ec 32 1 – sen2φ 1 – sen2 26° Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan 26° 1 + sen2 26° 1 + sen2φ Kφ = 0. con el criterio aquí expuesto.455° + ln (tan 6.2566 m .181 m2 Obtengamos el área de influencia: (ec 85) Re1 = √ ai / π Rei = √ 3.181 m2 Para obtener el decremento de esfuerzo por fricción negativa usamos la ec 61 pvoi ai .1257 = 3.527°) + [cos 48.Ab Pilote de borde en dirección λ ae3 = FBλRe3 + βλ/2 .459)(1. 75 ó 76 no puede ser mayor que el área limitada por el campo de pilotes. Las áreas limitada por el campo de pilotes valen (Zeevaert. 84 y 79 FA = (1.08437 Así. Considerar en la arcilla: c = ca = 0.5) = 35 kPa ω = 1.258 m2 a1 = 3. véase Zeevaert (1973. fig E-4) zt = z / √ 2 = 2.006 m Sustituyendo valores en las ecuaciones 83.963+0. con muy buenos resultados.2 m ψ = tan-1 (r/zt) = 6.172 = 3. en los cálculos debemos usar un área tributaria a1 = 3.006[2(0. la cual depende de la posición de cada pilote (fig 18). Σon Izr = 5. obtenida con las ecuaciones 71. γsat = 14 kN/m3.181 / π = 1.Ab (79) Pilote de borde en dirección β (80) ae2 = FAβRe2 + βλ/2 .5/√ 2 = 1.7897) +2(0. 1973) Pilote de esquina ae1 = π Re12/4 + Re1(βFa + λFB)/2 + βλ/4 . En las expresiones anteriores. 75 ó 76.5 m (profundidad de contacto entre los estratos 1 y 2. para pilotes en la arcilla de la ciudad de México.08704 Para el pilote de la esquina obtenemos: Izr = 0.455°/2)] = 5.] Ejemplo Calcular la fricción negativa sobre cada pilote de la fig E-4.3305 Sustituyendo valores en la ec 71 a = π z2 / Σon Izr = π(2. 089)(3.622 kN La determinación de la fricción negativa en los estratos 2 y 3 se lleva a cabo en forma similar. Los esfuerzos normales a una profundidad z.2566(0.5)/2 (87) pvf = 30. En la tabla E-1 se presentan los cálculos correspondientes.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R25 R15 30zL(z+L)3 .⎯ .0 . bajo el centro de dicho círculo.⎯⎯ ] 3 3 B (z+L) . integrando la solución de Mindlin (1936).3305)(2.⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R13 R23 4(1-ν)(1-2ν) 3r2(z-L) + ⎯⎯⎯⎯⎯ .181 + 1.181) = 15.⎯⎯ ] 3 3 A (z-L) 1 1 2 + [(3-4ν)z(z+L) – L(z+L) (5z-L) ] [ ⎯ . con carga uniforme q aplicada a una profundidad L de un medio semiinfinito (fig 20). isótropo y linealmente elástico.5 m la hallamos usando la ec 60 (FN)i = (pvoi – pvfi) ai = (35 – 30.⎯⎯⎯⎯⎯ ] 4(1-ν) A B (z-L)(z+L) 1 1 3 + (z-L) [ ⎯ .(1-2ν)6L + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R23 4(1-ν)(1-2ν) (1-2ν)6L(z+L)2-6L2(z+L) .⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ R25 R1 = [r2 + (z-L)2]1/2 (89) R2 = [r2 + (z+L)2]1/2 (90) Pilotes de punta En general es necesario calcular el asentamiento bajo la punta del pilote.⎯⎯⎯⎯ R1 5 R2(R2+z+L) 6L(1-2ν)(z+L)2 – 6L2(z+L)-3(3-4ν)r2(z-L) .0 pvfi = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.11 30Lr2z(z+L) . homogéneo. producidos por una fuerza concentrada P.089 kPa La fricción negativa a la profundidad de 2. aplicada a una profundidad z (fig 19). Obtendremos a continuación los esfuerzos bajo el centro del pilote. --------- CÁLCULO DE DEFORMACIONES (1-2ν)(3-4ν)(z+L) . producidos por un círculo de radio a.⎯⎯⎯⎯⎯ ] R27 35(3.181) . el cual se debe a los esfuerzos ocasionados por la presión en el contacto suelo-pilote y por la fricción a lo largo de la superficie lateral del pilote. Dichos esfuerzos valen P (1-2ν)(z-L) (1-2ν)(z-L) σz = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ R23 R15 8π(1-ν) R13 3(z-L)3 3(3-4ν)z(z+L)2 – 3L(z+L)(5z-L) . están dados por q 1 1 2L σz = ⎯⎯⎯ {(1-2ν)(z-L) [ ⎯ .⎯⎯⎯ .⎯⎯⎯⎯⎯ ] R27 P (1-2ν)(z-L) σθ = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) R13 (86) P (1-2ν)(z-L) (1-2ν)(z+7L) σr = ⎯⎯⎯ [ ⎯⎯⎯⎯⎯ .⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] R25 (88) R2(R2+z+L) Siendo Solución de Mindlin Mindlin (1936) obtuvo los esfuerzos dentro de un medio semiinfinito. ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) m (m-1) (m+1) 2 4m(2-ν) 4m + ⎯⎯⎯⎯ .⎯⎯⎯ ] 4(1-ν) A z-L (98) 2 1 2+2ν(1-2ν) (1-2ν) 6-(1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ [ .2(1-2ν)(1-ν) 4π(1-ν) m-1 m+1 2 + (1-2ν) ln ⎯⎯ + (1-2ν) ln ⎯⎯ m m m+1 m m 2 .6 ln ⎯⎯ + (1-2ν) ⎯⎯ + [(1-2ν) – 18] ⎯⎯ m m-1 m+1 Los esfuerzos bajo el eje del pilote (fig 21) producidos por la fricción lateral valen (Geddes. Además.⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] } 3 5 3 3B 5B 15(z+L) (99) 2 3 (101) Dado que el desplazamiento necesario para desarrollar la máxima fricción lateral es en general menor que el necesario para desarrollar la capacidad por punta. y con este resultado calcular la carga en la punta.⎯⎯⎯ .12 1 1 3 + 6zL(z+L) [ ⎯ . podemos hacer la hipótesis de que el pilote trabaja a la falla por fricción lateral.⎯⎯ ] B5 (z+L) 5 (91) 1 4(1-ν) 2(2-ν) 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ [ .⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 8π(1-ν) m (m-1) (m+1) 1 1 + (1-2ν)(z+7L) ( ⎯ .⎯⎯ ] 3 3 B (z+L) 3 2 1 (z+L) -3(3-4ν)(z-L) [.⎯⎯⎯⎯ 2 4π(1-ν) (m-1) (m+1) (m+1) 1 1 2 -2L[(1-2ν)(z+L) – L(z+L) ] [ ⎯ .⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ] 3 A 3A 3(z-L) 1 2(2-ν)m 6(2-ν)m 2(7-2ν)m Kz = ⎯⎯⎯ [ 2 .⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] 3 B 3B 3(z+L) 2 (92) donde A = [a2 + (z-L) 2]1/2 (93) B = [a2 + (z+L) 2]1/2 (94) (100) 1 Kr = ⎯⎯⎯ { 11 .⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ .⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ] 2 3 (m+1) (m+1) (z+L) +B -4(1-ν)(1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯ ] 2(z+L) Para carga lateral aumentando linealmente con la profundidad 2 2 1 (z-L) -3(z-L) [. para que se satisfaga la condición de frontera de que la presión de contacto pilote-suelo es igual a la carga en la punta entre el área de .2(2-ν) ln ⎯⎯⎯ ] 3 2 m (m+1) 2 2 1 (z+L) -30Dz(z+L) [ .⎯⎯⎯ ] 2 3 (m+1) (m+1) q 1 1 σr = ⎯⎯ {-(1-2ν)(z-L) [ ⎯ .⎯⎯) B z+L 2 6m 2m . 1966) 9m 2m + ⎯⎯⎯ .⎯⎯⎯ } 2 3 (m+1) (m+1) P σz = .Kr ⎯ L2 (96) Sea m = z/L (97) Para carga lateral uniforme 2 2 m -1 4m + ⎯⎯⎯ .Kz ⎯ L2 (95) Procedimiento de cálculo P σr = . 1 (fig 13b) ω = π(0. Se usó a = 0.1)(175. Af = 4034.4 m bajo el desplante del pilote (profundidad total 14. 83.95+84. Poulos y Davis.00068 m y un asentamiento por cambio de forma de 0.8 kN El incremento de esfuerzo en la punta del pilote es q = 438. 81. A2 = 32.12566 = 3492 kPa La arena bajo la punta del pilote la dividimos en “subestratos” de 10 cm de espesor. 85 y 86.5 kN Por equilibrio de fuerzas verticales: 869.81) = 62.3 cm. La primera actúa como carga distribuida en forma uniforme. De este diagrama A1 = 175.1)(32.5+117-547. los valores dados por la ec 91 se deben multiplicar por 2. N = 50 golpes.586 kPa En la fig E-6 se muestran las magnitudes de la presión efectiva a 9.654+(11. aplicando las ecuaciones 76. ν = 0.105) = 84.4) = 6 m > 2.5.431) = 462.Kr ⎯ L2 (103) P σθ = .4) = 1. 84. se obtiene un asentamiento por cambio de volumen de 0. 77. la fuerza que obra en la punta del pilote Cp = 438.9 m de profundidad vale 62. Ejemplo Para la zapata apoyada sobre pilotes de punta de la fig E-4.9 m En la tabla E-3 se exhiben los valores calculados de la deformación por cambio de volumen y por cambio de forma de la arena. sv = 0.04314 m = 4.8/0. Solución Fricción lateral (ec 34) Csu = ω Ks tan φa ∫o pv dz Csu = ω Ks tan φa A1 + ω Ks tan φa A2 ∫o pv’ dz = área bajo el diagrama pv’-z (fig E5) = A1 + A2 Csu = P1 + P2 Donde P1 = ω Ks tan φa A1 P2 = ω Ks tan φa A2 (ec 42) φ = (3/4) φ1’ + 10° zc/d = 15 (fig 13a) zc = 15(0. Av = 1333.04246 m.1 m de profundidad (fig E-5) vale 14(2. calcular el asentamiento de cada pilote. c = 0. sf = 1.2566(2. La fricción positiva última vale 462.8 m La presión efectiva a 9.2566 m P1 = 1.1)(18-9. para los primeros 4 “subestratos”.2 m. 1974) P σz = . Sobre cada pilote actúa una fricción negativa de 117 kN.81) = 85.00068+0.7 kN La carga sobre cada pilote es 3478/4 = 869. L = 11.95 kN P2 = 1.1-2.3 m).1 y 11.7-Cp = 0 Por lo tanto. 1966.654 kPa La presión efectiva a 11.263. Ks tan φa’ = 2.9 m de profundidad.105 kN/m.5.Kθ ⎯ L2 (104) Sean m = z/L (105) n = r/L (106) A = [n2 + (m-1)2]1/2 (107) B = [n2 + (m+1)2]1/2 (108) F = (n2 + m2)1/2 (109) Entonces: . En la arcilla γsat = 14 kN/m3 En la arena γsat = 18 kN/m3. 80. En la tabla E-2 se muestran los incrementos de esfuerzo vertical y horizontal. y la segunda como carga que aumenta linealmente con la profundidad.5)(14-9.2566(2. Pilotes hincados a golpes.04246 = 0.Kz ⎯ L2 (102) P σr = . Calculando las deformaciones hasta una profundidad de 2. ---------- Pilotes de fricción Los esfuerzos normales ocasionados por la fricción lateral sobre el pilote (fig 22) valen (Geddes.5)+(9.5.72 kN P1 y P2 son las fuerzas que actúan sobre el área lateral del pilote.72 = 547.13 la base del pilote.9-9.0. φ1’ = 40°. El asentamiento total resulta de 0.431 kN/m. ⎯ 3 F A 2 2 1 1 .⎯⎯⎯⎯ ] } F+m B+m+1 3 3 2(7-2ν)mn -6m +2(5+2ν)(m/n) m + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 F 2 3n -2m +2(1+2ν)(m/n)(m+1) (m/n+1/n) .2(2-ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ] } 2 (F+m) 1 (1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A (113) .⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 F (A+m-1)(B+m+1) .6 + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F 5 2 2 2 12(m/n) m +6mn (n -m ) .⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A 1 (1-2ν) Kr = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A 2 2(2-ν)(4m+1)-2(1-2ν)(m/n) (m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B (7-2ν)-12(1-ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 3 2 2 3 4 2 2 6[n m -m (m/n) ] 6[(m/n)(m+1) (m/n+1/n)-m n + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 5 B F 1 (1-2ν) Kθ = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A 6-(1-2ν)(3-4ν)+6(1-2ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B 2 3 2 (111) 2 2 5 6mn (n -m )+12(m/n) (m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 B 2 1 1 + 4(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯ .⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ .6(1-2ν)(m/n) .4(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯ .⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 B 2 2 4νn m+4m -15n m-2(5+2ν)(m/n) (m+1) +(m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 B 2 4n -2m +2(1+2ν)(m/n) m + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 F 2 2 mn + (m-1) 2(1-2ν)(m /n )-8(2-ν)m + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 F A 4(2-ν) –12(1-ν)(m/n) n .(1/n )(m+1) ] + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ } 5 5 B (110) F Carga lateral aumentando linealmente con la profundidad 1 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ [.14 2 Carga lateral uniforme 1 2(2-ν) Kz = ⎯⎯⎯ { .⎯⎯⎯ 8π(1-ν) A 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 5 6m [(m -n )/n ] 6m[mn .⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 3 F F A 2 2 2m -4νn +2(1+2ν)(m/n)(m+1) (m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 B 2(2-ν)+2(1-2ν)(m/n)(m/n+1/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B 2 2 2(1-2ν) .⎯⎯⎯⎯ ] } (97)112) F+m B+m+1 4m(1+ν)(m+1)(m/n+1/n) –(4m +n ) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 B 2 2 4νn -2m -2(1+2ν)m (m/n) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F3 (1-2ν) 2(m/n) n 4m -4(1+ν)(m/n) m . consiste en el empleo de la siguiente fórmula (Meyerhof.5.⎯⎯⎯⎯⎯ 3 F A 3 3 2 2 3 3(m+1) -2m +(21-4ν)mn +2(5+2ν)(m/n) (m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B3 5 2 2 2(5+2ν)(m /n )+ 4(5-ν)(mn ) .5 m de profundidad.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 F 2 2 2 2 2 2 7 2 (A+m-1) B+m+1 2 + (1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯⎯ ] + [(1-2ν) -6] ln [ ⎯⎯⎯ ] (F+m) F+m m-1 m + 2(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯⎯ . Procedimiento de cálculo 1 (1-2ν) Kθ = ⎯⎯⎯ { ⎯⎯⎯ 4π(1-ν) A 3 (116) 5 6mn (m -n )-12(m /n ) . En el siguiente ejemplo se ilustra este procedimiento de cómputo. Ks = 0.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B 2 6(1-2ν)(m /n )+12m + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ F 2 2 3 2(m+1) +4mn -2(m/n) (m+1) .⎯⎯ ] } B+m+1 F+m (114) 2 (1-2ν)(3-4ν)+ 6(1-2ν)(m/n) (m+1)+6(2m-1) . en pies (0.3 m). 1976) 2q √B I δ = ⎯⎯⎯⎯ N 6mn (m -n )-12(m/n) (m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 B 2 (115) 2 5 2 6mn -6m /n (2m +4mn -2m /n )(1-2ν) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ . dado por D’ I = 1 . Lo que no toman los pilotes lo tiene que recibir la losa de cimentación.3 m). en toneladas por pie cuadrado (100 kPa).2(1-ν)(1-2ν) [ ⎯⎯⎯ . N = número de golpes de la prueba de penetración estándar.⎯⎯ ≥ 0. q = incremento neto de presión. El nivel de agua freática (NAF) se encuentra a 2. cu = 14 kPa. con ca’ = c’ = 0.⎯⎯ ] } B+m+1 F+m 2 12m-12(1-ν)(m /n ) (m-1) +mn + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ .15 2 (7-2ν)-12m+12(1-ν)(m/n) (m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ B 3 2 3 m-1 m . A’ = 35.⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 5 F 3 Otro criterio para estimar el asentamiento de una cimentación a base de pilotes apoyados en un suelo friccionante que se extiende a gran profundidad.⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 3 F F A+m-1 B+m+1 + (1-2ν) ln [ ⎯⎯⎯ ] + [(1-2ν)2-6] ln [ ⎯⎯⎯ ] F+m F+m Dado que en general la rigidez de los pilotes de fricción es muy grande comparada con la rigidez del suelo. lo que ocasiona que los pilotes trabajen a su capacidad de carga última. la carga sobre la cimentación la toman inicialmente los pilotes. e I es un factor de influencia del empotramiento de los pilotes en el estrato de apoyo. bajo el centro de la zapata (punto A) de la fig E-6.(1-2ν) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 B 3 2 3 2 3 2(m+1) +6mn -2m -6(m/n) (m+1) + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3 B 3 2 5 2 donde B = ancho del grupo de pilotes. γsat = 14 kN/m3. El subsuelo está formado por una arcilla de consistencia blanda. en su contacto con el terreno.5 8B (117) con D’ = empotramiento de los pilotes en el estrato de apoyo.3 m. . en pies (0. Ejemplo Calcular el asentamiento a largo plazo. φ’ = φa’ = 26º. El diámetro de cada pilote es d = 0. tanto por fricción lateral como por punta. pt = 0. b3 = 1. Sustituyendo en la ec a Cs = 0.33(0.9+95.070686) = 8. 110 y 113.717)+4(200.2 kN/m.68 kN En la tabla E-4 se muestran los esfuerzos ocasionados por los pilotes. A2 = 153.( ⎯⎯⎯⎯ ) –1/A’ pbe pbe = b3 pt + pzo’ La magnitud de la deformación de cada estrato se indica en la tabla E-5.717 m2 La carga unitaria en el contacto zapataterreno es q(8. por ensayo y error se tendría que determinar el nuevo valor de la presión q).1 cm.94248 m El área de cada pilote es: Ab = 0.5 kPa ≅ 20 kPa (En este caso particular.9425) = 47. Nq = 17.3 kN La presión en el contacto losa-terreno la determinamos con el equilibrio de fuerzas verticales 980 = q(8.91 kN Cu = Cs + Cp ≅ 122.33(q + pvo’) La capacidad de carga lateral del pilote es Cs = ∫o ω (0.22 + 47.5 ≅ 20 kN/m2 = 20 kPa Fricción lateral El esfuerzo cortante a lo largo del pilote es (ec 33) sa = c* + Kφ pv donde sen φ cos φ (ec 31) c* = ca – 2 c ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ 1 – sen2φ Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan φa 1 + sen2φ (ec 32) Sustituyendo valores c* = 0 1 – sen2 26º Kφ = ⎯⎯⎯⎯⎯ tan 26º = 0.9425) = 72. En la fig E-7 se muestra el diagrama de presión vertical efectiva en el suelo. febrero de 2006 .33q) dz + ∫o ω (0.6)(0.33ω A1 + 0.2(0. D F.312(0. ---------Ciudad Universitaria.6 kN Cada pilote toma Cu = 119.654)(17.070686(1.2)(62.68 = 119.33(0.33)(0. En la ec 102.87) = 95 kN El peso del pilote es Wp = 0.33 pv sa’ = 0.3) q = 20.6)(24) = 14. Obtenemos A1 = 232. Cálculo de los esfuerzos verticales a la mitad de cada estrato.33ω q L + 0. El asentamiento a largo plazo de cada estrato se calcula con la siguiente expresión δ = εvzho donde pbe + σz εvz = 1 .070686 m2 La carga última aproximada que toma cada pilote es Cs ≅ 14(8.38 kN El área neta de contacto es A = 9 – 4(0. A2 = ∫o pvo’ dz Observamos que A1 y A2 son las áreas bajo el diagrama de presión efectiva del suelo. para carga uniforme P = 232. bajo el centro de la zapata (punto A) Usamos las ecuaciones 102.33)(0.2) + 0. así como la suma de los esfuerzos por los pilotes y por la losa.33ω ∫o pvo’ dz Cs = 0.070686) = 8.47 kN Cp ≅ 14(9)(0.070686(8.6 = 200.0-14.9425)(232.90 kN La capacidad de carga por punta la estimamos con la siguiente expresión Cpu = Ab (fc c Nc + fq pvb Nq) (ec 10) Como la base del pilote se encuentra bajo el NAF Cpu = Ab (fc c’ Nc + fq pvb’ Nq) donde c’ = 0.4) = 800 kN q = 19.312) Cs = 72. En la tabla E-5 se exhiben los esfuerzos producidos por la presión en el contacto losaterreno. la capacidad de carga última del pilote para condiciones a largo plazo es muy similar a la capacidad de carga para condiciones a corto plazo.94248) = 113.16 Solución El perímetro de cada pilote es: ω = 0.33ω A2 (a) donde A1 = qL. para φ’ = 26º Cpu = 0.33ω A1 + 0. Si este no fuera el caso en otro problema.312 kN/m.33ω A2 Cs = 0. Se obtiene un asentamiento total a largo plazo de 7.9425)(153.22 kN Para carga aumentando linealmente P = 153.33 1 + sen2 26º sa = 0.87.33pvo’) dz Cs = 0.717) + 4(157. 1974 Meyerhof. “Bearing capacity and settlement of pile foundations”. vol 82. School of Civil Eng. vol 2: 93-98.17 REFERENCIAS Berezantzev. Jour Geot Eng Div. IV Int Conf Soil Mech Found Eng. K y Shibata. vol 100. Soils and Foundations. vol 7. 1967 Zeevaert.Mindlin111. “Load bearing capacity and deformation of piled foundations”. 1967 McClelland. 231-255. 1969 Geddes.Pilotes12. M. JSMFD. Jour Geot Eng Div.Cimprofesf. “The adhesion of piles driven in clay soil”. “Design of deep penetration piles for ocean structures”. 1961 Endo. Wiley. Proc 7th Int Conf Soil Mech Found Eng. “Stresses in foundation soils due to vertical subsurface loading”. Van Nostrand Reinhold.Pilfric. 1974 Poulos. SM1: 1-19.Zeevcapca4) TABLA 1 MAGNITUDES DE LA ADHERENCIA EN PILOTES (Tomlinson. V. Proj B-189. enero 2001 Poulos. Nº GT7: 705-747. Atlanta. “Ultimate bearing capacity of piles driven into loose sand”. T. Kawasaki. H. 1980 Tomlinson. E H. vol 16. H G y Davis. ASCE. M J. ASCE. Nº GT3: 197-228. Physics. vol 102. 1973 (Acimprof21. Pilpunta1. 1976 Mindlin. 7: 195-202. A. “Side resistance in piles and drilled shafts”. ASCE. Pile Foundations Analysis and Design. J D. 1956 Meyerhof. G G. Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions. Minou. R D. L. Londres. Khristoforov. Proc 5th Int Conf Soil Mech Found Eng. B. vol 2: 11-15. Final Rep. Wiley. G G. “Negative skin friction acting on steel pipe piles in clay". E H. 1957) Material del pilote Consistencia de la Cohesión cu Adherencia ca arcilla kPa kPa Concreto y madera Blanda 0-40 0-35 Firme 40-80 35-45 Dura 80-150 45-70 Acero Blanda 0-40 0-30 Firme 40-80 30-40 Dura 80-150 -- . Penetration tests and bearing capacity of cohesionless soils. cap 2. V G. 3-16. Georgia Inst Tech. H G y Davis. M W. Jour Geot Geoenv Eng. A. Nº 3. may 1936 O’Neill. V y Golubkov. “A study of bearing capacity of deep foundations”. “Force at a point in the interior of a semi-infinite solid”. 1957 Vesic. Nº 3: 20-29. 1966 Kishida. Géotechnique. Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. 7707 0.00721 4 0.355 TABLA E-2 INCREMENTOS DE ESFUERZO BAJO LA PUNTA DEL PILOTE Punta del pilote Carga lateral P1 Carga lateral P2 Subz σz σr σz σr σz σr estrato m kPa kPa kPa KPa kPa kPa 1 11.95 3187 1100 21 -3 7 -1 2 12.2490 0.62 2 4.1 -0.5677 -0.68 kN.4673 1.1786 -0. BAJO EL CENTRO DE LA ZAPATA Carga uniforme Carga aumenta Suma 4 lineal Un pilote pilotes Estrato z Kz Kz σz σz σz σz m kPa kPa kPa kPa 1 1 -0.6 m.2707 0.0860 4.2644 -0.5892 -0.01483 0.00008 0.OCASIONADOS POR LOS PILOTES.00018 0.18 TABLA E-1 CÁLCULO DE LA FRICCIÓN NEGATIVA Fricción negativa Estrato Área tributaria pvoi m2 kPa kN 0 0 1 3.3440 5 13.428 43. P1 = 72.976 62.2182 0.9960 2 3.01375 0.570 56.3384 0.1432 4 10 -0.3148 0.01388 3 0. ν’ = 0 (Pilfric) .8 -0.25 967 -15 3 0 1 0 Sumas σz σr kPa 3215 2316 1493 971 kPa 1096 267 34 -15 TABLA E-3 MAGNITUDES DE LA DEFORMACIÓN BAJO LA PUNTA DEL PILOTE Subestrato Deformación por Deformación por Suma cambio de volumen cambio de forma 1 0.01501 2 0.090 35.00713 0.7858 3.00328 0.22 kN.2718 0.0992 3 6.2748 1.6034 0.654 115.15 1488 35 4 -1 1 0 4 12.2654 0.5813 0.3993 0.2030 0.05 2307 268 7 -1 2 0 3 12.00334 TABLA E-4 INCREMENTOS DE ESFUERZO. P2 = 47.0255 -0.181 35 15.3899 0.00012 0.648 47.5 -0.0164 0.1151 0.4968 1.00006 0.33 Los valores indicados corresponden a la base de cada estrato pvfi kPa 0 30.44 3 5.8692 L = 8. 0709 .0717 Suma m 0.6 m (Pilfric) (Acimprof21.0662 5 0. L = 8.2386 5.2462 -1.9368 4 0.4901 1.3440 7.0023 0.1157 2 5.Acimproff) Suma esfuerzos Asentamiento kPa 18.0064 0.0122 -0.1433 -5. B = L = 3 m En la punta del pilote P = 95 kN.7123 En la losa q = 20 kPa.8693 2.2535 0.Pilotes12.0745 12.3629 1.0402 0.2159 3 1.8283 4.7190 3.0992 -1.1336 5.0145 0.19 TABLA E-5 ASENTAMIENTO BAJO EL CENTRO DE LA ZAPATA Estrato Esfuerzo losa Esfuerzo Esfuerzo pilotes pilotes punta fricción lateral kPa kPa kPa 1 17.9959 -0. 20 Sedimento blando Estrato resistente CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE PUNTA FIGURA 1 Q Sedimento blando FN Estrato resistente FP Qp > FP Qp FUERZAS QUE ACTÚAN EN UN PILOTE DE PUNTA FIGURA 2 . 21 q FP Qp FP > Qp CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE FRICCIÓN FIGURA 3 (Acimproff) Q Csu Qpu FRICCIÓN LATERAL ÚLTIMA SOBRE EL PILOTE FIGURA 4 . 22 pva za A1 A2 zb pvb PRESIÓN VERTICAL A UN COSTADO DEL PILOTE FIGURA 5 Terreno suelto Cimiento Df D B Terreno de apoyo PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO "D" EN EL ESTRATO DE APOYO FIGURA 10 . 23 . 24 . 25 pv s Pilote sa s ph ph ph s s pv ESTADO DE ESFUERZO EN LA CERCANÍA DEL PILOTE FIGURA 11 Esfuerzo cortante 0 c 0 ph pv DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN HORIZONTAL ph FIGURA 12 Esfuerzo normal . 26 . 27 y Pu x Mxu Myu Losa CIMIENTO SOMETIDO A CARGA VERTICAL Y DOS MOMENTOS FIGURA 14 B/2 B/2 ex B'/2 B'/2 Pu Myu Losa x qR ClR Pilotes Pilotes CRi xi CONTRIBUCIÓN DE PILOTES Y LOSA DE CIMENTACIÓN AL MOMENTO RESISTENTE FIGURA 15 . DEBIDO AL ESFUERZO CORTANTE A LO LARGO DEL FUSTE DEL PILOTE FIGURA 17 .28 pvf pvo Pilote Nivel (i-1) sa sa zi Nivel i FRICCIÓN NEGATIVA FIGURA 16 zt sa sa r Pilote ro ro INCREMENTO DE ESFUERZO VERTICAL. 29 L P z r σz σr σθ ESFUERZOS OCASIONADOS POR UNA FUERZA CONCENTRADA P EN EL INTERIOR DEL MEDIO FIGURA 19 L q z a a Círculo cargado σz σr ESFUERZOS BAJO EL CENTRO DE UN CÍRCULO CARGADO FIGURA 20 . 30 P L z σz σr ESFUERZOS BAJO EL EJE DEL PILOTE. OCASIONADOS POR FRICCIÓN LATERAL FIGURA 21 P L z r σz σr σθ ESFUERZOS OCASIONADOS POR FRICCIÓN LATERAL FIGURA 22 . 5 27 kPa 2 15 36 kPa 15 PILOTE COLADO EN EL LUGAR EJEMPLO FIGURA E-1 PILOTE HINCADO A GOLPES EJEMPLO FIGURA E-2 pv' kPa 250 NAF 250 35 Arcilla blanda gamma = 14 kN/m3 660 910 Arena de grano medio N= 50 golpes phi1' = 40ª gamma = 18 kN/m3 Csu 280 62.586 Cpu a) Geometría del pilote CAPACIDAD DE CARGA DE UN PILOTE FIGURA E-3 b) Variación de la presión vertical efectiva con la profundidad .31 pv' kPa Profundidad metros pv' kPa Profundidad metros 1.654 A1 A2 1190 85. 32 300 50 50 40 Croquis sin escala Distancias en centímetros 300 3478 kN 50 250 NAF Arcilla blanda 250 300 FN 550 Gamma = 14 kN/m3 360 910 Cs Arena compacta N = 50 golpes 280 1190 Cp Gamma = 18 kN/m3 CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE PUNTA FIGURA E-4 . 654 kPa 9.654)(2.431 kN/m A1 A2 = (85.654(2.9 m 85.33 62.105 kN/m A2 11.8)/2 = 32.586-62.586 kPa PRESIÓN VERTICAL EFECTIVA A UN COSTADO DEL PILOTE FIGURA E-5 .1 m A1 = 62.8) = 175. 34 300 50 50 30 Croquis sin escala Distancias en centímetros A 300 980 kN 50 250 q NAF 250 300 550 360 910 280 1190 340 1530 Roca CIMENTACIÓN A BASE DE PILOTES DE FRICCIÓN FIGURA E-6 . 654 A1 = 232.56 62.6 1 60.2 kN/m A2 = 153.35 sz kPa pv kPa 20 sz + pv' kPa 7 0.5 27 Gamma = 14 kN/m3 35 2.5 NAF 3 + = A1 A2 3.312 kN/m PRESIÓN VERTICAL EFECTIVA EN EL TERRENO FIGURA E-7 . [ Una forma alterna de obtener  consiste en usar las siguientes expresiones  = 0. UNAM Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata aislada de concreto reforzado de la figura A.EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA ZAPATA AISLADA DE CONCRETO REFORZADO. 2004).0.67+Dr–0.67 para Dr  Dri  Dr  Dri  0.7  = 1.0 para Dr  0.67  0. de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF-2004.5% Suponer L = 1. En la estructura: Concreto: fc’ = 25 MPa Acero: fy = 420 MPa Zona I del RCDF-2004 Asentamiento permisible = 5 cm Giro permisible = 0.75Dr².7 (A) .1) + (1/2)  B N f  FR + pv (28) Nq = e tan  tan2 (45 + /2) (2) N = 2 (Nq +1) tan  (3) fq = 1 + (B/L) tan  (8) f = 1 .33    para Dri < Dr < 0.4 (B/L) (9)  = ang tan ( tan *) (22) Para suelos arenosos con compacidad relativa Dr menor que 67 por ciento. APOYADA SOBRE SUELOS FRICCIONANTES Agustín Deméneghi Colina Margarita Puebla Cadena Profesores del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería. α será igual a 1 (Normas de Cimentaciones. Para suelos con compacidad Dr mayor que el límite indicado.7  Dri   0.4 B SOLUCIÓN Estados límite de falla Se debe verificar qult  qR qR = pv’ (Nq fq . el coeficiente α será igual a 0. 2 Siendo Dri la compacidad relativa inferior que se establezca. ] y B 25 30 kN.m 200 kN Distancias en centímetros Croquis sin escala 70 Arena limpia N = 25 golpes Dr = 65% γ = 16 kN/m3 30 Arena limosa N = 32 golpes Dr = 68% γ = 18 kN/m3 40 Limo arenoso N = 28 golpes Dr = 58% γ = 17 kN/m3 50 Roca (Cc zapata aislada 0310) ZAPATA AISLADA FIGURA A . En el anexo 1 se presenta el cálculo de qR usando este criterio.m L 30 x 15 kN. 37+12.1(1.81+12.25)(24) +[1.45 ≤ FR ≤ 0.25(0.3 El factor de reducción de resistencia FR varía 0.132(1.4(1.1(1.1(1.1) = 1.1) = 309. L = 1.502/1.54 m.502 kN q = Q/A = 223.25)(24) +0.70 Para condiciones normales se recomienda 0. usamos L = 1.132 =223.25)(16) =200+10.4)+12.1 m.55 En la zona I el RCDF-2004 establece un FR = 0.35 qult =  Q Fc / A Suponemos un ancho de la zapata B = 1.6)0.99 kPa QFc = 211.6) = 126.3)](0.7-0.3)(0.6 Tomamos un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm Q=200+1.132=211.25(0.26 kN Utilizando la figura 37 Estrato N 1 2 3 25 32 28 φ* grados 34 34 33 .7-0.35 ≤ FR ≤ 0.56+0.6)(0.37(1. 4 Obtenemos promedios ponderados de φ*.08 kN/m3 .5 En forma similar Dr = 63.6308. Dr y γ *  0.08% = 0.3(34)  (0.3  0.5(33)  33.4  0.4)(34)  0.58 0. γ = 17. 3315 m Los cálculos se llevan a cabo con las dimensiones reducidas B’ y L’.58° = 38.5  = 0.9658 m L’ = 1.482)-1) +(1/2)(17.4 (0.66 kPa Por lo tanto: Cumple (Cc zapata aislada 0310. Cap carga) .474)(0.502 ey  30  0.0671) = 0.1-2(0.976 N = 2(27.58° tan2 (45+33.9658)(38.58° = 1.0671m 223.710)(0.58° B’ = B – 2ex L’ = L – 2ey ex  My ey  Mx Q ex  15  0.26/(0.67+0.9658/1.3315) = 0.9658)(1.0.08)(0.6308)2 = 1 Reemplazando en la ecuación 22:  = * = 33.6308-0.66 kPa Observamos que qult = 240. 8. 9 y 28 Nq = e tan 33. qult = QFc/A = 309.9658/1.482 f = 1 .502 Q B’ = 1.49 kPa < qR = 248.1342) = 1.7) = 11.2 kPa qR = 11.75(0.3.58°/2) = 27.35) +11.6-2(0.2 qR = 248.3315) qult = 240.3315) tan 33.976(1.976+1) tan 33.474 fq = 1 + (0.2(27.1342m 223.710 pv’ = pv = 16(0.49 kPa Para el cómputo de qR reemplazamos en las ecuaciones 2.xls. 041 0.288 1.6 Estados límite de servicio a) Método no lineal (Deméneghi. x y y.254 0 (62) . cuyos valores se exhiben en la tabla 1. El coeficiente Ko se calcula con la siguiente expresión (Mayne y Kulhawy.676 0. con la siguiente expresión aproximada Am = 26.00758 + 0.5.5. En suelos friccionantes el exponente s es del orden de 0. s ≈ 0. TABLA 1 VARIABLE ALEATORIA t DE STUDENT Nivel de Confianza  % 2. y a la mitad de cada estrato.5 5 10 15 20 25 30 40 50 t 1.657 1.976) ] tα es una variable aleatoria t de Student. 2008) Trabajamos bajo el centro de la zapata.25 N1.} }zo (1-s) c A pa1-s (57) La ecuación 57 permite calcular la deformación vertical de un elemento de suelo friccionante de espesor zo.0152(ln N – 2. sujeto a incrementos de esfuerzo z.526 0.125 (60) El módulo desfavorable se calcula en función del nivel de confianza α con A = Am C (61) donde 2 C = exp[ -0.784 tα √ 1.844 0. 1982) Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ* (58) donde φ* es el ángulo de fricción interna y OCR es la relación de preconsolidación del suelo en el campo.978 1. La relación de Poisson  se obtiene  = Ko / (1 + Ko) (59) El módulo de rigidez promedio Am del suelo se determina a partir del número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT). f [(pbeo + cz)1-s – (pbeo)1-s] δz ={1-exp{. tα = 0.54 = 0.844 (tabla 1) C=exp[-0.5145) = 504.78 kPa x = 69.78  Reemplazando en la ecuación 57 (33) .32(0.3/2)(16) = 13.125 = 981.54      0.14  68. z = 0.00758+0.976)2] (62) C = 0.6982 3 3  125.4408 pco = [(1 + 2(0.4408))/3](13.3059 Am = 26.6652 125.6 kPa Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ* (58) Ko = (1 – sen 34°)(1)sen 34° = 0.0152(ln25-2.6) = 8.92 pbeo = 8.15 m z = 125.5145 A = 981.14  68.784(0.14 kPa y = 68.844)√ 1.3059 69.53 kPa q = 126.4408) = 0.4408/(1+0.78 c = b1 + b2 (a1 + a2)  x  y   c  b1  b2   z  c 1 1  69.3/2 = 0.99 kPa.7(16)+(0.25(25)1.7 Estrato 1 pbeo = pcie + pco (94) pco = [(1 + 2Ko)/3] pvo pvo = 0.32 A = Am C (61) Usamos α = 20%.54 kPa f=1- x y z f = 1 – 0.530 kPa  = 0. 9234 665.0007171 m En la tabla B se muestran los resultados de las deformaciones de los demás estratos.6153 63.6982 0.4500 pbeo kPa 8. (Cc zapata aislada 0310.} }(0.5364 16.53+0.8 δz={1 0.000774 0.14  68.7762 102.0286 1.92)(101.3059(69. Cumple (Cc zapata aislada 0310.1353 24.8789 0.2589 f 0.5827 5.000955 0.3059 0. Por lo tanto.6000 27. Asentamientos) δz m 0.4653 0.9683 c 0. menor que el hundimiento permisible de 5 cm.9531 573.1578 σy kPa 68.002735 .3) (1-0.78))1-0.5–(8.3671 Suma b) Ley de Hooke: z   z   ( x   y ) Es (zo ) Para encontrar Es empleamos la fórmula de Denver Es  C N C = 7 MPa N = número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT) Estrato 1 Es  7 25  35MPa  35000kPa z  125.5 δz = 0.665[(8. Se encuentra un asentamiento total de 0.xls.3418 σx kPa 69.3129 σz kPa 125.5] -exp{.3874 pvo kPa 13.78  0. MÉTODO NO LINEAL Estrato A 1 2 3 504.5300 12.246 cm.2932 17. Asentamientos) TABLA A CÁLCULO DEL ASENTAMIENTO.4831 ν 0.6000 19.001005 0.698(504.54) (0.6651 0.xls.5)(0.3)1-0.274 cm. Se halla un asentamiento total de 0.3059 0.0007746 m En la tabla A se exhibe el cálculo de las deformaciones de los demás estratos.698(125.53)1-0.3) 35000 δz = 0. 074) . determinadas con la fórmula de Denver (1985) Es  35000(0.000828 0.3)  39598(0.8(0.000717 0.4)  37040(0.8+ 0.55 m.22)1/2 = 2.002456 (Cc zapata aislada tablas.8(0.8 ln [  ] (37383) 0.00 39597.62 + 1.4  0. ) z =  { y ln [  ] y (x+A) Es 2 2 2 2 (y+ x +y )  x +h + x ln [  ] } x (y+A) q yx +  (1--22) h tan-1 (  ) hA 2Es 2 2 2 1/2 A = (x + y + h ) (66) (67) Obtenemos un promedio ponderado de E = Es.8+2.52 Suma δz m 0.98 37040.3088 x = 1.552+0.xls) c) Fórmula de Steinbrenner Para un medio elástico de espesor h.22 + 0.552+1.309) 2) 1.8 m h = 1. el asentamiento bajo la esquina de un rectángulo sometido a carga uniforme q. En la tabla B se presentan las magnitudes de Es.552 + 1.55(0.82)  0.9 TABLA B CÁLCULO DEL ASENTAMIENTO.074) (0.2(2.22 z =  {0. LEY DE HOOKE Estrato N 1 2 3 25 32 28 Es kPa 35000.309-2(0.55+2.5) 0.07425 m 126.1/2 = 0.99 0.55) +  (1-0.99(1–0.2 tan-1 (  ) 2(37383) 1.000911 0. 1943) 2 2 2 2 2 (x+ x +y )  y +h q (1 .5 Es = 37383 kPa Procediendo en forma análoga: ν = 0.55 ln [  ] } 0. está dado por la fórmula de Steinbrenner (Terzaghi.2 m Reemplazando en las ecuaciones 67 y 66 A = (0.3092) (0.55+ 0.552+0.82+1. y = 1.6/2 = 0.074) 126.82)  0.3  0. 944) = 3.7 Ic z = hundimiento. en milímetros Ic = 1.00235 m = 2.4 = 0.010706 z = 126.7 N-1. el asentamiento está dado por z = q B0.17/N1. en milímetros q = presión de contacto.xls.35 mm (Cc zapata aislada 0310.37 = 1.4  0. Asentamientos) d) Fórmula Burland y Burbidge (1985) Para una arena normalmente cargada.4 q = presión de contacto.7(28.58-2.841(1.0152(ln N .00758+0. Para  = 20%.976)2] C’ = 1.34(126.784(0.976)2] (76) z = hundimiento.581.5)  28.34 q B0.881x10 m -4 δz = (5.784t 1.17/28. 75 y 74 C’=exp[0.00758+0.579 mm (Cc zapata aislada 0310.1)0. 2003) z = D C’ (74) D = 1.0152(ln28. tα = 0.58 0.841 mm z = 1.99(1.58)-1. cuyos valores se muestran en la tabla 1.5 Sustituyendo em las ecuaciones 73 y 72 Ic = 1.010706) = 1.944 D = 1. en kPa B = ancho del cimiento.7(0. en función del nivel de confianza  Cabe aclarar que existe una probabilidad α de que el asentamiento del cimiento sea mayor que el valor dado por la ecuación 74.1)0.2.37 (75) C’=exp[0.4)  28(0.881x10 )(4) = 0. en kPa B = ancho de la cimentación.844 (tabla 1) Reemplazando en las ecuaciones 76. en metros N = número de golpes de la prueba de penetración estándar (SPT) t = variable aleatoria con distribución t de Student.844)1.453 mm e) Fórmula estadística (Deméneghi. en metros N (72) (73) 25(0.99)(1.3  0.10 -4 δz’ = 5.3)  32(0. Asentamientos) .xls. 502 92045 d) Fórmula de Burland y Burbidge 0.358 0.184 223.141 223. se puede usar el siguiente artificio para el cálculo del giro de un rectángulo: se obtiene el momento de inercia I del rectángulo en el sentido que se está analizando.246 223.502 81722 158850 b) Ley de Hooke 0. Calcularemos el giro alrededor del eje y (49d) .273 0.502 223. y se determina el radio equivalente de un círculo que posea el mismo momento de inercia I:  4I  R    1/ 4 Con el radio equivalente R se emplea la ecuación para encontrar el giro del rectángulo.11 En la tabla C se exhibe un análisis comparativo de los resultados hallados con los diferentes procedimientos.502 91001 c) Fórmula de Steinbrenner 0.502 153784 e) Fórmula estadística α = 20% α = 50% 0. TABLA C ASENTAMIENTO DE LA ZAPATA ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS δz cm Qz kN Kz kN/m 0.502 62451 121425 a) No lineal α = 20% α = 50% Giro de la zapata El giro elástico de un círculo de radio R sometido a un momento M está dado por (Richart et al.145 223.243 223.502 223. 1970)  31   M 8GR 3 (49b) donde G E 21    (49c) En forma aproximada. 1  0.308815  0.6895 θ = 0.0008305 3 8142810. siendo d el peralte efectivo de la losa (figura 8).17747m 4 12 3 I  40.12 1. la sección crítica forma una figura semejante a la definida por la periferia del área cargada.17747   R     1/ 4  0.00083 < θpermisible = 0.6895m G 37383  14281kPa 21  0. Asentamientos) Diseño estructural Losa de la zapata a) Penetración De acuerdo con las Normas de Concreto.61.5% = 0.3088  31  0.005 Por lo tanto Cumple (Cc zapata aislada 0310. a una distancia de ésta igual a d/2.xls. .  1 + 0. con respecto al centroide de la sección crítica definida antes. El esfuerzo cortante máximo de diseño vu se obtendrá tomando .13 Cuando haya transferencia de momento se supondrá que una fracción de momento dada por 1  = 1 .67  (c1 + d)/(c2 + d) (17) se transmite por excentricidad de la fuerza cortante total. 214)(0.464(0. V es la fuerza cortante que actúa en toda el área de la sección crítica. = 0.257 m V = [1.514)2/2 = 0.47 kPa γ = 1. El esfuerzo cortante de diseño vABu (esfuerzo cortante último) obtenido con los criterios anteriores no debe exceder ninguno de los dos siguientes valores vcR1 = FR (0.464 vAB= 173. la cual la obtenemos a partir de la reacción neta qv.4136 1 + 0. es decir vAB = V/Ac +McAB/Jc (18) Ac = 2d(c1+c2+2d) (19) Jc = d(c1+d)3/6 + (c1+d)d3/6 + d(c2+d)(c1+d)2/2 (20) En columnas rectangulares c1 es la dimensión paralela al momento transmitido y c2 es la dimensión perpendicular a c1.25+0.25+2(0.464 m cAB = 0.45(16) = 113.514) /6 + (0.257)/0.19(1.4186 +0. En las expresiones anteriores.514 m c2+d = 0.4) = 816.214(0.67  0.514/0. d = 25 – 3 – 0.01880 = 583.214 = 0. suponiendo que los esfuerzos cortantes varían linealmente (figura 8).4 cm qneta = 126.79 kPa c1+d = 0.464)(0.514/2 = 0.1(1.99–0.214) /6 +0.6)-0.14 en cuenta el efecto de la carga axial y del momento.5+)  fc* (21) vcR2 = FR  fc* (22) fc* = 0.6875 fc* = 0.m Proponemos un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm.3+0. c2 = 25 cm M = My = 30 kN.4186 m2 3 3 Jc = 0.79) = 173.8 fc’ (23) a menos que se suministre refuerzo.214(0.25(24)–0.13 kN Ac = 2(0.01880 m4 1  = 1 .  es la relación del lado corto al lado largo del área donde actúa la carga o reacción.6 = 0.514)](113.8(250) = 200 kg/cm2 .13/0. restando a la reacción del terreno las presiones debidas a peso propio de zapata y relleno.1/1.6 = 21.3+0.514)(0.19 kPa vABu = vAB Fc = 583.4136(30)(0.214 = 0.214)) = 0. Haremos la revisión en la dirección del eje y c1 = 30 cm. 15 2 vcR1 = 0.8 (0.5+0.6875)  200 = 13.435 kg/cm vcR2 = 0.8  200 = 11.314 kg/cm2 2 2 vABu= 816.47 kPa ≈ 8.16 kg/cm < vcR2= 11.314 kg/cm Por lo tanto Cumple (Cc zapata aislada 0310.xls; Cap carga) b) Tensión diagonal La sección crítica por tensión diagonal se presenta a una distancia d del paño de la columna (figura B; figura 5). Como trabajamos por metro de ancho de zapata b = 1 m = 100 cm. Dado que se cuela una plantilla de concreto pobre sobre el terreno, el recubrimiento del acero puede ser de 3 cm, y puesto que el diámetro de la varilla del Nº es de 1.27 cm, el peralte efectivo del acero de la zapata es d = 25 – 3 – 0.6 = 21.4 cm. Tensión diagonal Flexión qn = 160.60 kPa 0.80 m 0.65 m 0.436 m SECCIONES CRÍTICAS POR TENSIÓN DIAGONAL Y POR FLEXIÓN FIGURA B 16 La reacción del terreno, tomando en cuenta el efecto de los momentos Mx y My, vale q'  Q B' L' q'  223.502  173.80kPa 0.9658 (1.3315) 17 La reacción neta es qn = 173.80-0.25(24)–0.45(16) = 160.60 kPa Hallemos el cortante y el momento en la sección crítica por tensión diagonal (en un ancho unitario de zapata, b = 1 m; figura B) V = 160.60(0.436) = 70.02 kN M = 160.60(0.436)2/2 = 15.26 kN.m Vu = 1.4(70.02) = 98.03 kN ≈ 9803 kg En elementos anchos, como son las zapatas, en los que el ancho B no sea menor que cuatro veces el peralte efectivo d (B  4d), con espesor hasta de 60 cm y donde la relación M/Vd no exceda de 2.0, la fuerza resistente VcR puede tomarse igual a 0.5FRbdfc*, independientemente de la cuantía de refuerzo (Normas de Concreto, 2004). En este caso se cumple que el ancho es mayor que cuatro veces el peralte efectivo B > 4d, B = 160 cm > 4d = 85.6 cm M/Vd = 1.02 < 2  cumple como elemento ancho VcR = 0.5FRbd fc* =0.5(0.8)(100)(21.4)200 VcR = 12106 kg > Vu = 9803 kg  Cumple c) Flexión El momento flexionante en la sección crítica vale (figura B; figura 6) M = 160.60(0.65)2/2 = 33.93 kN.m Mu = 1.4(33.93) = 47.50 kN.m ≈ 475000 kN.m 18 El acero mínimo por flexión es pmin = 0.7fc’/fy pmin = 0.7250/4200 = 0.00264 pmax = 0.75 pb pb = (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] β1 = 0.85 si fc* ≤ 280 kg/cm2 fc* = 0.8(250) = 200 kg/cm2 fc” = 0.85(200) = 170 kg/cm2 pmax = 0.0152 (ec 10) (11) 712 cm2).9(100)(21. usaremos varillas del Nº 3 a cada 27 cm.xls. En la figura C se muestra un croquis con las características estructurales de la zapata.086 = 20.07026 p = q fc”/fy p = 0.  0. por temperatura. y el del lecho superior se proporciona por temperatura. para el espesor x x = espesor de la losa que se refuerza por temperatura = 25/2 = 12. varillas N° 4 @ 20 cm d) Temperatura El acero en dirección longitudinal de la zapata. para lo que se emplea la siguiente expresión (Normas de Concreto.002844(100)(21.5 cm Sustituyendo valores.002844 As = pbd As = 0. con x = 12.87 cm (ec 14) (ec 15) (ec 16) Por lo tanto.4)2(170) q=1- (ec 13) = 0.19 La fracción de acero necesario para soportar un momento Mu está dada por la siguiente expresión q=1 2 Mu 1 .2 cm. con varillas del Nº 3 (as = 0. en cm2/m.BAS) Columna N° 3 @ 27 cm r = 3 cm 80 25 N° 3 @ 27 cm r = 3 cm r = 3 cm N° 4 @ 20 cm 2 N° 8 y 1 N° 6 4 30 r = 3 cm N° 4 @ 20 cm Plantilla de concreto pobre 160 Distancias en centímetros Croquis sin escala (Cc zapata aislada 0310) ARMADO DE ZAPATA AISLADA FIGURA C . (ec 25) Por lo tanto.5) x As =  fy (x + 100) en que As = área de acero necesaria por temperatura. FRbd2fc” 2(475000) 1 .619 cm2/m Aplicando la ec 16.4) = 6. CCZAISL9.27(100)/6. s = 27. Cap carga.086 cm2 La separación de varillas es s = asb/As = 1.5 cm y fy = 4200 kg/cm2: As = 2. 2004) 66000(1. (Cc zapata aislada 0310. Éstos se pueden encontrar de la siguiente forma: por definición Kz  Qz Kx  Qx Kr  M z x  Módulo de reacción vertical Qz = Q = 223. apoyado en un medio semiinfinito (figura D). sometido a un esfuerzo cortante q en su superficie.33a) x   x 1  qy  1    ln E  x2  y2 x y  ln y y x2  y2   x  (49a) y q y x δx x z FIGURA D .20 (En el anexo 2 se presentan los resultados de un programa de computadora para el diseño estructural de la losa de la zapata. citado por Poulos y Davis.BAS) Módulos de reacción Para el análisis y diseño de la superestructura se requieren los módulos de reacción. 1974. ecuación 3. está dado por la fórmula de Giroud (1969. Módulo de reacción horizontal El desplazamiento lateral de la esquina de un rectángulo de ancho x y longitud y. En función del factor de seguridad que elija el diseñador.502 kN Las magnitudes de Kz se exhiben en la tabla C. CCZAISL9. se podrá usar el Kz correspondiente. o “constantes del resorte” del terreno de cimentación. 1  0 .8 m.1/2 = 0. Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular Kr R4 4I  (16) Kr se computa con la ec 14.21 Suponemos una carga lateral Qx = 100 kN. Sustituyendo valores.3088 56 .55 2  0.3088.8  0. con x = 1.55   δx = 4(0. Desplazamiento lateral) Módulos de reacción para un círculo cargado La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción.xls.5B.8 0.82 kPa.3088 ln  ln   0.8 0.55 2  0.8 2   1  0.82 0 . A R  (15) Para calcular Kv y Kh usamos las ecuaciones 12 y 13 con R obtenida de la ec 15.8 2 0. E = Es = 37383 kPa. ν = 0. con R obtenida de la ec 16. Sustituyendo valores G E 21    (49c) .6) = 56. y = 1. mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular. q = 126.99 kPa.6/2 = 0. 0025285 (Cc zapata aislada 0310.8    (37383 )  x'  0.00063212m 0.55 m.55  0.0025285 m Kx  100  39550 kN / m 0 .55 0.00063212) = 0. para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1-2) (12) Kh = 32(1-)GR/(7-8) (13) Kr = 8GR3/3(1-) (14) Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.1)(1. qx = 100/(1. 3088) = 18060 kN. San Francisco. “Cálculo del asentamiento de un cimiento en arena”. Revista de la Soc Mex Mec Suelos. Ags.7485)/(1-0. "Settlement of foundations on sand and gravel".17747m 4 12 3 Iy   40. Soc Mex Mec Suelos.17747   Ry       1/ 4  0.6895)3/3(1-0. A. XI Int Conf Soil Mech Found Eng.xls. Vol 2: 301-305.3088 R =  1. D F. “Cálculo de asentamientos en arenas”. C R Acad Sc. vol 4: 2183-2190. 1985 Deméneghi.m/rad (Cc zapata aislada 0310. 1985 Giroud.6895m Kry = 8(14281)(0. H. “Déplacement horizontal de la surface d’un massif élastique semi-infini supportant une chargé tangentielle linéairement répartie sur une air rectangulaire”.3088)) = 52197 kN/m Módulo Kr Calcularemos el módulo Kr alrededor del eje y 1.7485 m Módulos Kv y Kh Kv = Kz =2(37383)(0.3088)(14281)(0.7485)/(7-8(0. J P. XXIV Reunión Nal Mec Suelos. J B y Burbidge.1(1. 1969 . t 268 : 191-193. Asentamientos) Ciudad Universitaria. part I: 1325-1381. A. Aguascalientes.61.1  0.30882) = 61860kN/m Kh = Kx =32(1-0. “Settlement calculation for footings on sand”. septiembre de 2012 Referencias Burland. Série A. Proc Inst Civ Engrs. 2008 Denver. M C. 2003 Deméneghi.22 G 37383  14281kPa 21  0.6)/ = 0. 45) +11.35    0. Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. P W y Kulhawy.710 pv’ = pv = 16(0. Vol 108.693 N = 2(22.9658/1.403)(0. K.3. Wiley. ASCE.9658/1. F E. N° GT6: 851-872. New York.693 +1) tan 31. junio 1982 Poulos. H G y Davis. 1970 Terzaghi.33 Reemplazando en la ecuación 22  = ang tan (0.403 fq = 1 + (0.93475  0.7  Dri   0.7  0.67  0.35  Dr  Dri  0.93475 tan 33. New Jersey.45 qR = 11.67  0. R D.45)-1) +(1/2)(17. 8. 1974 Richart.2 kPa Usamos un FR = 0.3315) = 0.4 (0. Hall.450 f = 1 .6308  0.82° = 1.710)(0. 1943 (Cc ejemplo zapata aislada 120901) ANEXO 1 DETERMINACIÓN DE LA CAPACIDAD DE CARGA USANDO LA ECUACIÓN “A” Tomemos Dri = 35% = 0.33    Sustituyendo valores  0. Wiley.9658)(29. E H. Prentice-Hall.58°) = 31.0.08)(0. F H.3315) tan 31.82°/2) = 22.82° = 29.7) = 11. 9 y 28 Nq = e tan 31. Theoretical Soil Mechanics.2 qR = 249. J R y Woods. Ko-OCR relationships in soil.35    0.82° tan2 (45+31.48 kPa .23 Mayne. Vibration of Soils and Foundations.693(1.82° Para el cómputo de qR reemplazamos en las ecuaciones 2. Jour Geot Eng Div.2(22. 639395 VCR= 6907.27 4200 B= R= 3.10909 NOTA: FALTA LA REVISION POR PENETRACION PERALTE ZAPATA = 25 cm ARMADO: VARILLAS N° 4 A CADA 20.4 FRM= .749 VCRPMIN= 6756.8 4 AREA VARILLA = RESULTADOS D= 21.67 CUANDO CUMPLE COMO ELEMENTO ANCHO.5= 12105.86935 SEPARACION PARA PORCENTAJE MINIMO DE ACERO = 22.843683E-03 AS= 6.085481 ASMIN= 5.5 SI P >= 0.619048 cm2 / m.428572E-02 P= 2.86935 cm ARCHIVO: CCZAISL9 .4 MU= 474974.6 .24 ANEXO 2 ZAPATA AISLADA DISEÑO ESTRUCTURAL DATOS F'C= 250 FY= 100 H= 25 QE= 16. COC DEBER SER MENOR O IGUAL QUE 2 PMIN= 2.342 VCR.06 LE= 1. VCR = VCR.52015 TEMPERATURA: VARILLA NUMERO 3 SEPARACION POR TEMPERATURA = 27.4 VU= 9803. PARA UN ESPESOR H/2 VARILLA NUMERO 4 SEPARACION = 20.01 ENTONCES VCR = VCR.65 FC= FRV= .635231E-03 PMAX= 1.018692 PARA QUE SEA ELEMENTO ANCHO.5 ASTEMP = 2.9 VARILLA NUMERO 1.024 COC= 1. UNAM Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata corrida de concreto reforzado de la figura A.3 cv = 0. Aske = 0. Φ' = 30°. As' = 86. FR ≤ 0. TOTALMENTE SATURADAS Agustín Deméneghi Colina Profesor del Departamento de Geotecnia Facultad de Ingeniería. Φ' = 28°. As' = 78. OCR = 2 γsat = 16 kN/m3 Estrato 1 Arcilla preconsolidada cu = 64 kPa Eu = 3724 kPa.4 m Roca ELEVACIÓN ZAPATA CORRIDA FIGURA A SOLUCIÓN Estados límite de falla Se debe verificar qult  qR qR = 5.00076 cm2/s.00082 cm2/s.14 cu fc FR + pv (33) . Terreno de cimentación: zona II.EJEMPLO DE DISEÑO DE UNA ZAPATA CORRIDA DE CONCRETO REFORZADO.3 m B PLANTA 320 kN 640 kN 320 kN 10 kN/m NAF Arcilla preconsolidada cu = 52 kPa Eu = 2316 kPa.6 m 1.7 En la estructura: Concreto: fc’ = 25 MPa Acero: fy = 420 MPa Considerar una vida útil de 50 años Asentamiento permisible = 10 cm 4m 4m 0.3 cv = 0. OCR = 2 γsat = 18 kN/m3 Estrato 2 0. APOYADA SOBRE ARCILLAS PRECONSOLIDADAS. Aske = 0.8 m 0. de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF-2004. 88+77.88(1.98 m cum  0.25 B/L + 0.4 m.14 (54. dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1.8/1.08 kPa  Cumple (Cc zapcorr 31.35 ≤ FR ≤ 0.62 kN qult = QFc / A = 2127.xls) Estados límite de servicio Asentamiento inmediato Trabajamos bajo el centro de la zapata.4) = 1.70 Para condiciones normales se recomienda 0.25 D/B (34) para D/B < 2 y B/L < 1 .4/8) + 0. En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores.25(1.55(0.25 (0.3 m z = 133.55 qR = 5. y a la mitad de cada estrato. z = 0.04)(1.5.4(8) = 137.62/(1.08 kPa qult = 189.45 ≤ FR ≤ 0.4-0.68+77.1) = 2127.4)(8) = 189. y un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm Q=320(2)+640+10(8)+0.4) = 0.04kPa 0.7(1.19 kPa .4)(8)(24)+0.44 Q=1458.17 kPa QFc = 1458. Usando la ley de Hooke: u   z   ( x   y ) Eu (zo ) Estrato 1  = 0.98  0.55)(8)(16) Q=640+640+80+67.55 qult =  Q Fc / A Suponemos ancho de la zapata B = 1.4)+77.2+31.98 Reemplazando en las ecuaciones 34 y 33 fc = 1 + 0.43 kPa x = 100.32/1.25 (1.32 kN q = Q/A = 1536.6)(62)  54. respectivamente.17 kPa.8(16) = 194.189 Usaremos FR = 0.97 kPa Consideramos que el área de influencia de la zapata es de 0.13 kPa y = 70.44=1536.2 fc = 1 + 0.3)(8)(24)+(1.3)(0.189)(0.44(1.7B = 0.97 kPa < qR = 194. q = 137. 0.55) + 0.6(49)  (0. 81)(0.xls) Asentamiento a largo plazo  Pcon 1    As '    p   veo z   z  1     pveo   o   pveo = pcie + pvo’ pvo’ = 0.0217 m δuT = 0.6  0.0217 = 0.0125 + 0.13  70. con Eu = 3724 kPa.8(16)+(16-9.0131m  0.01753m   14.0342 m (Cc zapcorr 31.657 kPa pveo = pvo’ = 14.3 Eu = 2316 kPa u  133.19) (0. en condiciones de trabajo (tabla 3) Δuunidimensional = σz Reemplazando en la ecuación 17  0.19 2 133. 43    1     0.43  1  0.7470.43  Pcpo  0.43  0.6) 2316 δu = 0.5(100. 657 133 .01753   0.0125 m Procediendo en forma análoga para el estrato 2.3133.657      Pcpo    Pcon    ucampo uuni dim ensional ASke z  (18) 1 1  ASke  x   y  z 2 1 (17) Aske = coeficiente de presión de poro de Skempton.747 .657 kPa  Pcon 1    78  14 . obtenemos δu = 0.3) = 14.13  70.3100. 51 cm (Zapata corrida con Skempton.00082(1577880000) T = ─────────────── = 359 > 2 (60)2 Por lo tanto.31 + 1. se determina  Pcpo .25)(86400) = 1577880000 s 0. ya se completó la consolidación primaria.43 + 2.t   PcpoU (20) donde U es el grado de consolidación primaria. y  Pcpo .51 = 5. que es función del factor tiempo T T cv t ze 2 (21) Considerando una vida útil t = 50 años = 50 (365.747 pveo = pcie + pvo’ pveo = pvo’ = 14. t.657 kPa (A) .20 = 2. es decir δT = 3.xls) Asentamiento total El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido.01311  0.94 cm < 10 cm  Cumple [ Usando ley de Hooke  1   z zo  Pcon   E '  s     Es '  As '  pvo ' z  2    ucampo uuni dim ensional 1 Estrato 1   0.4 La deformación del estrato para un tiempo.50 años  0.0131m Procediendo en forma similar para el estrato 2: 50 años = 0.0120 m δ50 años = 1. 7470.96 = 5. y  Pcpo .0094 m Procediendo en forma similar para el estrato 2: Δ50 años = 0. El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula ne nr j=1 k=1 i = oi +  (Δzj/Esij)  Iijk rkdk/ak (49) donde Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk) (48) Izijk es el valor de influencia vertical.0126   0.657   2   Es’ = 6347.0094 1  0.0126m  6347. usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal.94 + 1.00082(1577880000) T = ─────────────── = 359 > 2 (60)2 Por lo tanto.5 133.43   E s '  7814.02 kPa 1    Pcon   133. es decir δT = 3.0102 m δ50 años = 0. ya se completó la consolidación primaria.96 cm Asentamiento total El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido.02 = 1. Las demás cantidades Ixijk e Iyijk se obtienen en forma similar.38 cm < 10 cm  Cumple ] (Zapata corrida con Skempton. 1973). 1996) El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces.25)(86400) = 1577880000 s 0. producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert.42 + 1.50 años  0.6   0.430. . el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij.xls) Diseño estructural Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi.02   Pcpo    Pcon   0.0094 m Considerando una vida útil t = 50 años = 50 (365. 2) ELEVACIÓN DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES FIGURA B Corto plazo Usamos ν = 0.2) (2.5 m Estrato 1 (1.4)r2 -(0.181067 kPa y = Iy111 = 0.2) (9.5 5 3 2.5 4 2 1.135764/1.0.0848677/1.0000839631r1 + 0.5 8 6 5.5 Obtengamos como ejemplo los valores de influencia Iz111. Isebldatx02) se exhiben las magnitudes de algunos valores de influencia.000106797/1. a la mitad del estrato 1.1) (2.225715 kPa I111 = 0.4)r1+(0. x y y debidos a esta carga. Con estas cantidades se obtienen los elementos mecánicos en la subestructura.000410067/1. Se coloca una presión unitaria q = 1 kPa en el área a1 (figura B) y se computan los esfuerzos normales z.1) (9.4)/(3724)[(0.5 8m 7.6/2316)[(0. 1996).2) (5.0000108769r2 + … – 0.4)r9] 1 = 0.4)r9] +(1. Ix111 e Iy111. 8m 1 2 3 4 5 7 7 8 9 1.5 9 7 6.5 6 4 3.for. lo que permite determinar los diagramas de reacciones y de asentamientos del terreno (Deméneghi.256726/1.6 El procedimiento consiste en establecer la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación.4)r1 -(0.5 7 5 4.1) (5. Dividamos la planta de la cimentación en 8 porciones. Sustituimos valores en la ecuación 49 1 = (Δz1/Es11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + … + I119r9d9/a9) + (Δz2/Es12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + … + I129r9d9/a9) 1 = (0. Obtenemos z = Iz111 = 0.4)r2 + … .4 m PLANTA 1 2 Distancias 0 3 1 0 0. En el anexo 1 (Cciseblx0210.1) Estrato 2 (1.000000129877r9 .256726 kPa Los demás valores de influencia se determinan en forma similar. como se indica en la figura B.460117 kPa x = Ix111 = 0.0643750/1. usando el programa de computadora Cciseblx0210.Vr + (rr – w) x (C) 2 M = . En el anexo 1 se muestra la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (Cciseblx0210. En el anexo 1 se exhiben los resultados de la interacción suelo-estructura. Los resultados salen en el archivo RESULISEBL. Los datos se proporcionan en el archivo Isebldatx02.7 Los demás asentamientos se obtienen en forma similar. el análisis de interacción se lleva a cabo estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación.for. Para encontrar estas cantidades a lo largo de una barra usamos las siguientes expresiones (figura C) Tramo I Tramo II L/2 L/2 w Mp Mq x Vr Vs rs rr CARGAS SOBRE LA BARRA (NUDO SOBRE BARRA) FIGURA C (Cc ejemplo zapata corrida figuras) Tramo I (0 < x < L/2) V = . El programa arroja los elementos mecánicos en los nudos de las barras. Isebldatx02) Como señalamos antes.Mp – Vr x + (rr – w) x / 2 xM max  Vr rr  w (D) (E) Tramo II (L/2 < x < L) V  Vr  rr  w L L   rs  w x   2 2  (F) L L M   M p  Vr x  rr  w  x   2 4  rs  w  L x  2  2 xM max L   2 2 (G) Vr  rr  w rs  w L 2 (H) .for. en las ecuaciones C a H. los valores de Vr y de Mp son los obtenidos con el análisis estructural (anexo1. elementos mecánicos de barra sobre nudo). para el análisis a corto plazo (magnitudes tomadas del anexo 1). . son los elementos mecánicos a lo largo de la barra. V M M (+) (+) (+) (+) V CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FINES DE DISEÑO ESTRUCTURAL FIGURA D La figura E exhibe los diagramas de asentamientos. a lo largo de la zapata corrida. de reacciones. Los valores V y M.xls). para los que rige la convención de signos del diseño estructural. la cual se muestra en la figura D. de momento flexionante y de fuerza cortante.8 Usando las ecuaciones C a H se obtienen los elementos mecánicos a lo largo de las barras 1 a 4 (Cc zapata corrida E M 0210. Al aplicar las ecuaciones C a H. 5 (-) -200.06 3.1 369.01 3.8 369.02 3.8 170.06 3.91 (+) (-) -177. cm 159 168.9 159 170.01 3. kN DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS.9 400 cm 400 cm 3.13 a) Asentamientos. kN.5 -200.m 320 320 181.6 -207. DE REACCIONES Y DE ELEMENTOS MECÁNICOS CORTO PLAZO FIGURA E .6 c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE.8 b) Reacciones.5 (+) (+) 87.1 170.1 -181.02 3. kN/m 162.7 44.5 -177.8 168.13 3.1 (-) -87.5 -207.7 (-) -44.5 -320 -320 d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE.01 3. for.25+1. E’ = 0. .6)/0. Cc zapata corrida E M 0210.10 Largo plazo Los módulos de deformación a largo plazo del suelo Es se obtienen de la siguiente forma: Estrato 1. Para el cálculo de esfuerzos y deformaciones se toma una relación de Poisson ν = 0. considerando sólo deformación vertical: Es = σz/εz = σz(Δzo)/δz = 133.31 = 2. Para tomar en cuenta el efecto del tiempo. Iseblxdat021.0256 = 3127 kPa.56 cm. Para el estrato 2 se procede en forma similar y se encuentra Es = 3290 kPa (Zapata corrida con Skempton.xls).5(22135944) = 11067972 kPa Utilizando un procedimiento análogo al de la condición a corto plazo. reacciones y de elementos mecánicos se exhiben en la figura F (Cciseblx0210. Los diagramas de asentamientos.5 E. en la estructura se emplea un módulo de elasticidad del concreto E’ = 0. La suma de las deformaciones a corto y largo plazo es: 1.xls).43(0. para el largo plazo se determinan las cantidades señaladas en el anexo 1. 97 4. kN.98 5 4.m 320 320 187.4 b) Reacciones.4 -179. kN/m 207.1 146.02 5.9 422.98 5.5 (+) (+) 67. kN DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS.11 400 cm 400 cm 4. cm 146.3 164.8 (-) -55.9 165.8 -159.1 163.4 422.3 163.43 (-) -67.4 -167.43 -187.97 5.8 55.02 4.4 (+) (-) (-) -167.5 -320 -320 d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE.1 164.4 -179.8 -159.12 a) Asentamientos.4 c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE.13 5. DE REACCIONES Y DE ELEMENTOS MECÁNICOS LARGO PLAZO FIGURA F . Flexión: 2 MR = FR b d fc” q (1-0.85 fc* La cuantía de acero necesario para resistir un momento último Mu se obtiene haciendo Mu = MR en la ec 9.7  fc’ / fy (10) pmax = 0. lo que equivale a considerar los valores más desfavorables de ellos. kN CORTO PLAZO 207. como ejemplo.61 Con las magnitudes más desfavorables de esta tabla se hace el diseño estructural de la contratrabe de la zapata corrida.85 (11) si fc* ≤ 280 kg/cm2 donde fc” = 0. Se obtuvieron los siguientes valores máximos: Momento negativo.91 209.0152 . Presentamos.00264 (10) pmax = 0.m Cortante centro. kN Cortante extremos. el diseño de la contratrabe para el máximo momento positivo: Mpos = 207.90 kN.40 207. kN.12 Diseño estructural El diseño estructural se lleva a cabo tomando las envolventes de los elementos mecánicos de los análisis a corto y largo plazos.04 LARGO PLAZO 179.75 pb pb = (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] β1 = 0.59 162.13 113.7  250 / 4200 = 0.5q) (9) q = p f y / fc” fc* = 0. En el anexo 2 se exhiben los resultados de este diseño. 1 – 2 Mu / FR b d2 fc” (13) Pero p = q f c” / fy (14) As = p b d (15) Tomemos fc’ = 250 kg/cm2 Sustituyendo pmin = 0.75 (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] = 0.90 90.m. y despejando q q = 1 . kN.36 213.m Momento positivo. V = 213.36 kN.75 pb pmax = 0.8 fc’ pmin = 0. 85 cm2 Varillas N° 8: as = 5.5FRbd  fc* (2.m = 290.cm fc* = 0.81)(1000) kg = 30525.304(1/9.90) = 299. En la figura G se muestra un croquis con el armado de la contratrabe de la zapata.304 kN.015 VcR = 0.71) = 1.12207 p = 0.cm = 295.2+20p)  fc* Si p  0.8 Si p < 0.8(1.12207(170)/4200 = 0.9(30)(75)2(170) = 0.015 VcR = FRbd(0. As = 12.927x104 kg.0049408 2 As = 0.117 cm Varillas N° 6: as = 2.59cm 22947 (ec 2.19) (2.46 kN = (1/9.99 cm Refuerzo transversal s FR Av f y d ( sen  cos ) (2.VcR θ = 90° FR = 0.36) = 290.23) VsR VsR = Vu .2+20(0. .0049408(30)(75) = 11. estribos N° 3 @ 15 cm El cómputo del acero negativo se lleva a cabo en forma similar.8(30)(75)(0.71 cm2 Av = 2(0.85(200) = 170 kg/cm2 q = 1- 1–2(295.cm = 2959266 kg.42 cm s 2 0.07 cm2 2 2 N° 8 y 1 N° 6.93x104)/ 0.81)(1000)(100) kg.4(207.42)(4200)(75)(1)  15.99 kg VsR = 36596.4(213.0048866)  200 = 7579 kg Vu = 1.94 – 7579 = 22947 kg Varillas N° 3: as = 0.20) VcR = 0.13 Mu = 1.23) Por lo tanto.8(250) = 200 kg/cm2 fc” = 0. para fines de diseño de la losa de la zapata. y puesto que el diámetro de la varilla del Nº 3 es de 0. B = 320 cm > 4d = 120 cm M/Vd = 0.7 kg  Cumple 80 .26(0. en los que el ancho B no sea menor que cuatro veces el peralte efectivo d (B  4d).4 kg > Vu = 5878. Hallemos el cortante y el momento en la sección crítica por tensión diagonal (en un ancho unitario de zapata.19 kN M = 107.384) = 41.712 cm.4 cm = 16.4(41.5(1.06 kPa La reacción neta es qn = 122.19) = 57.0.336)2/2 = 7.6)200 VcR = 9390.06 – 0. La sección crítica por tensión diagonal se presenta a una distancia d del paño de la columna (figura H). por lo que no conviene tomar.3.4) = 122.8)(100)(16. en forma conservadora.26 kPa a) Tensión diagonal Haciendo la revisión de la losa se encuentra que con un peralte de 20 cm se cumple con la seguridad estructural.5FRbdfc*.55(16) = 107. figura H) V = 107. las reacciones en los extremos.6 cm.7 kg En elementos anchos.5)/0. independientemente de la cuantía de refuerzo (Normas de Concreto).26(0. Cabe destacar que las reacciones tienden a aumentar bajo las columnas de la estructura. Usaremos.5(0.25(24) – 0.669 < 2  cumple como elemento ancho VcR = 0. para las condiciones a corto y largo plazo. Dado que se cuela una plantilla de concreto pobre sobre el terreno.91 kN.89(0. Como trabajamos por metro de ancho de zapata b = 1 m = 100 cm. A continuación presentamos la revisión para este peralte. b = 1 m.89 kN/m (excluyendo las reacciones de los extremos de la zapata). el recubrimiento del acero puede ser de 3 cm.14 Distancias en centímetros Croquis sin escala 1 N° 6 1 N° 6 2 N° 8 2 N° 8 r = 3 cm 2 N° 8 80 E N° 3 @ 15 r = 3 cm E N° 3 @ 20 400 1 N° 6 120 E N° 3 @ 15 1 N° 6 2 N° 8 120 r = 3 cm E N° 3 @ 15 E N° 3 @ 20 80 E N° 3 @ 15 400 r = recubrimiento libre (Cc zapacorr 31) ARMADO DE LA CONTRATRABE DE LA ZAPATA CORRIDA FIGURA G Losa de la zapata En las figuras E y F (obtenidas del anexo 1) se muestran los diagramas de reacción del terreno. como son las zapatas. con espesor hasta de 60 cm y donde la relación M/Vd no exceda de 2. la fuerza resistente VcR puede tomarse igual a 0. sobre todo en los extremos de la zapata.5FRbd fc* =0.67 kN = 5878. el peralte efectivo del acero de la zapata es d = 20 . la máxima reacción de 170. La presión vertical vale 170.m Vu = 1. En este caso se cumple que el ancho es mayor que cuatro veces el peralte efectivo B > 4d. 55 m 0.382 cm2 La separación de varillas es s = asb/As = 0.00264(100)(16.m = 231531 kN.85 si fc* ≤ 280 kg/cm2 fc* = 0.6) = 4. 2 FRbd fc” 2(231531) 1 .05651 p = q fc”/fy (ec 14) p = 0.4(16. 2  0.85(200) = 170 kg/cm2 pmax = 0.7250/4200 = 0.26(0.55)2/2 = 16. varillas N° 3 @ 16 cm (ec 16) .384 m SECCIONES CRÍTICAS POR TENSIÓN DIAGONAL Y POR FLEXIÓN FIGURA H b) Flexión El momento flexionante en la sección crítica vale (figura H) M = 107.712(100)/4.7fc’/fy pmin = 0.9(100)(16.382 = 16.00264 pmax = 0.75 pb pb = (fc”/fy) [6000β1/(fy + 6000)] (11) β1 = 0.m Mu = 1.71 kN.25 cm Por lo tanto.0152 La fracción de acero necesario para soportar un momento Mu está dada por la siguiente expresión q=1 q=1- 2 Mu 1 .26 kPa 0.22) = 22.8(250) = 200 kg/cm2 fc” = 0.00264 Por lo tanto rige pmin (ec 15) As = pbd As = 0.m El acero mínimo por flexión es (ec 10) pmin = 0.15 Tensión diagonal Flexión qn = 107.22 kN.70 m 0.002287 < pmin = 0.6) (170) (ec 13) = 0. SAP 2000) (Matriz de flexibilidades 1009) (Zapata corrida. con x = 10 cm y fy = 4200 kg/cm2: As = 2.143 cm2/m Aplicando la ec 16. con varillas del Nº 3 (as = 0.32/8 = 192.Cczapcdatos) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.04 kN/m . En la figura I se muestra un croquis con las características estructurales de la zapata. en cm /m. la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata r = 1536.5) x As =  (ec 25) fy (x + 100) en que 2 As = área de acero necesaria por temperatura.for. usaremos varillas del Nº 3 a cada 30 cm. (En el anexo 2 se presentan los resultados de un programa de computadora para el diseño estructural de la contratrabe y de la losa de la zapata). Por lo tanto. Mafdatx0210). para iniciar los cálculos.BAS) (MFLEX07. Aplicamos la ecuación 49.712 cm2).xls) (CCMF092. considerando. y el del lecho superior se proporciona por temperatura. 2 N° 8 y 1 N° 6 E N°3 @ 15 cm Contratrabe N° 3 @ 30 cm 2 N° 4 r = 3 cm 80 20 N° 3 @ 30 cm r = 3 cm r = 3 cm N° 3 @ 30 cm 2 N° 8 y 1 N° 6 4 30 r = 3 cm Plantilla de concreto pobre N° 3 @ 16 cm 140 Distancias en centímetros Croquis sin escala (Cc zapcorr 31) ARMADO DE ZAPATA CORRIDA (REACCIÓN DE 170. por temperatura.FOR.16 d) Temperatura El acero en dirección longitudinal de la zapata. Diseño estructural) Método iterativo El análisis de interacción se puede llevar a cabo en forma iterativa (Ccmaflx02. s = 33 cm.SDB. una reacción uniforme. para lo que se emplea la siguiente expresión (Normas de Concreto) 66000(1. para el espesor x x = espesor de la losa que se refuerza por temperatura = 20/2 = 10 cm Sustituyendo valores.89 kN/m) FIGURA I (Cc ejemplo zapata corrida 0110) (Cc zapcorr 31. Se encuentran los siguientes valores máximos Momento negativo. kN Cortante extremos. Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas rEi sobre el terreno rEi  K vi Ei di (J) A continuación se hace ri = rEi. Análisis aproximado de interacción En ocasiones se requiere. pues dependen de la compatibilidad de desplazamientos entre la estructura y el terreno. Con frecuencia la estructura de cimentación tiene una rigidez muy grande comparada con la rigidez del terreno de cimentación.m Cortante centro. En el anexo 3 se exhiben los resultados de este primer cálculo del análisis a corto plazo (primera iteración). kN.m Momento positivo.17 Usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49). Krg. Para valuar esta relación. se emplea el coeficiente de rigidez relativa estructura-suelo.91 Estas magnitudes son similares a las halladas con el método directo. estimar los módulos de reacción del terreno de cimentación. kN CORTO PLAZO 179. para fines preliminares de análisis de una estructura de cimentación. la forma de establecer esta compatibilidad consiste en calcular las deformaciones de la estructura y las del terreno. Una forma aproximada de encontrar los módulos de reacción consiste en hacer uso de la matriz de flexibilidades del suelo. y hacer iteraciones variando los módulos de reacción. Estos módulos de reacción no se conocen “a priori”. SAP 2000).23 265. lo que equivale a suponer que la estructura de cimentación es infinitamente rígida. En el anexo 3 se presentan los resultados de la última iteración. kN.72 168.SDB. definido como . El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura.SDB.04 181. Con los valores de Kv de esta última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre la zapata corrida (Ejemplo A E zapata corrida 0210. Las diferencias se deben básicamente a que en el procedimiento directo se aplican reacciones repartidas sobre la estructura. y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. la cual se exhibe en el anexo 1. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (I) Sustituyendo valores se obtienen los valores de Kv mostrados en el anexo 3. y suponer que las deformaciones del mismo son iguales en todos los puntos. SAP 2000). Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Ejemplo A E zapata corrida 0210. hasta que las deformaciones de estructura y suelo coincidan. se calculan las deformaciones del suelo. mientras que con el método iterativo las reacciones sobre la estructuras son cargas puntuales (a través de los resortes). Consideremos el ejemplo de la figura A.0091429 (1  0.5)221360000.2)(3301.18 K rg  (1   s ) Est I st (1   st ) Es L3 (K) Cuando Krg es mayor que 0. Los asentamientos del terreno están dados por la siguiente expresión ne nr j=1 k=1 i = oi +  (Δzj/Esij)  Iijk rkdk/ak (49) El propósito es lograr que las deformaciones δi sean iguales. considerando. Para obtener la matriz de flexibilidades del suelo. en comparación con el terreno de cimentación. Aplicamos la ecuación 49. Iniciamos los cálculos con la reacción uniforme. que vale r = ΣQ/longitud de la zapata . y con estas ri se vuelven a computar las deformaciones del suelo con la ecuación 49.04 se puede considerar que los hundimientos de la cimentación son similares entre sí. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (L) Suponemos que la deformación de la estructura δE es igual al promedio ponderado de las deformaciones del suelo δi.8)3  0.0091429m 4 / m 12(1. usamos la retícula de la figura B. una reacción uniforme.3(0. El proceso se repite hasta que ya no cambian las magnitudes de Kvi de la ecuación L. es decir E   i d i di (M) Con δE calculamos los nuevos valores de las reacciones rEi rEi  K vi E di (N) Hacemos ri = rEi. I st  0. con B = 1. Analizamos la condición a corto plazo.4) Reemplazando en la ecuación K K rg  (1  0.4 m.004 Por lo tanto.6)(8)3 = 0.075 > 0. para iniciar los cálculos. podemos considerar la estructura de cimentación como rígida. El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa. 19 r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m En el anexo 4 (Cciszcaprox 02.doc) se exhiben los valores de las deformaciones del suelo y de las “constantes del resorte” para la primera iteración, usando las ecuaciones 49 y L (Ccmafxap.for; Mafxapdat). El asentamiento promedio δE se encuentra con la ecuación M. Aplicando la ecuación N se hallan las reacciones rEi para la primera iteración. A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que no cambian las magnitudes de Kvi (Ccmafxap.for). En el anexo 4 se muestran los resultados de la última iteración. El análisis estructural aproximado se puede hacer tomando los valores de Kvi de la última iteración del anexo 4. Observamos que las “constantes del resorte” con este método aproximado son muy similares a las obtenidas con el procedimiento directo. Esto se debe a que la zapata corrida (con su contratrabe) es rígida en comparación con el terreno de cimentación. Magnitudes aproximadas del módulo de reacción Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical Kv  Qv kv  K v Qv q   v a a v  v v Corto plazo Bajo el centro de la zapata corrida k vc  qv v  137.17  4010.82kN / m 3 0.0342 K vc  k vc a  4010.82(1)(1.4)  5615.1kN / m En las orillas de la zapata se puede usar k vo  2.1k vc k vo  2.1(4010.82)  8422.7 kN / m 3 K vo  k vo a  8422 .7(0.5)(1.4)  5895 .9kN / m Largo plazo Se toma el asentamiento total de la zapata δ = δu + δ’ = 3.43 + 2.37 = 5.80 cm 20 k vc  qv v  137.17  2365kN / m 3 0.0580 K vc  k vc a  2365(1)(1.4)  3311kN / m kvo  2.1(2365)  4966.5kN / m 3 K vo  k vo a  4966.5(0.5)(1.4)  3476.55kN / m Referencias Deméneghi, A, “Interacción estática suelo-estructura, considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”, XVIII Reunión Nal Mec Suelos, Vol 1: 303-310, Morelia, Soc Mex Mec Suelos, 1996 Ciudad Universitaria, D F, abril de 2014 (Cc ejemplo zapata corrida 0312) (Cc zapcorr 31.xls) (CCMF092.BAS) (MFLEX07.FOR,Cczapcdatos) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.SDB; SAP 2000) (Matriz de flexibilidades 1009) (Zapata corrida. Diseño estructural) (Cc ejemplo zapata corrida 140401) 21 ANEXO 1 MÉTODO DIRECTO CORTO PLAZO VALORES DE INFLUENCIA I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 K IIJK 1 0.2567258 2 -6.4374991E-02 3 -1.1851594E-02 4 -3.6387295E-03 5 -1.5502423E-03 6 -7.9695880E-04 7 -4.6211481E-04 8 -2.9142201E-04 9 -1.0676682E-04 1 0.1357638 2 8.4867723E-02 3 -1.9010911E-03 4 -6.3766120E-03 5 -4.1630799E-03 6 -2.5608931E-03 7 -1.6312022E-03 8 -1.0871524E-03 9 -4.1008741E-04 1 -4.6013139E-02 2 0.5134517 3 -6.4374991E-02 4 -1.1851594E-02 5 -3.6387295E-03 6 -1.5502423E-03 7 -7.9695880E-04 8 -4.6211481E-04 9 -1.6115606E-04 1 6.6578142E-02 2 0.2715276 3 8.4867723E-02 4 -1.9010911E-03 5 -6.3766120E-03 6 -4.1630799E-03 7 -2.5608931E-03 8 -1.6312022E-03 9 -5.9548020E-04 1 -7.8833699E-03 2 -6.4374991E-02 3 0.5134517 4 -6.4374991E-02 5 -1.1851594E-02 6 -3.6387295E-03 7 -1.5502423E-03 8 -7.9695880E-04 9 -2.5954843E-04 1 1.1479063E-03 2 8.4867723E-02 3 0.2715276 4 8.4867723E-02 5 -1.9010911E-03 6 -6.3766120E-03 7 -4.1630799E-03 8 -2.5608931E-03 9 -9.0234820E-04 MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I J FLE (I,J) 1 1 1 1 1 1 1 8.3963081E-05 2 1.0876928E-05 3 -2.7036124E-06 4 -2.3856419E-06 5 -1.4047749E-06 6 -8.3514840E-07 22 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 -5.2353766E-07 8 -3.4585847E-07 9 -1.2987714E-07 1 9.3634817E-06 2 1.6792616E-04 3 1.0876928E-05 4 -2.7036124E-06 5 -2.3856419E-06 6 -1.4047749E-06 7 -8.3514840E-07 8 -5.2353766E-07 9 -1.8972501E-07 1 -1.1505573E-06 2 1.0876928E-05 3 1.6792616E-04 4 1.0876928E-05 5 -2.7036124E-06 6 -2.3856419E-06 7 -1.4047749E-06 8 -8.3514840E-07 9 -2.9033512E-07 1 -1.3399995E-06 2 -2.7036124E-06 3 1.0876928E-05 4 1.6792616E-04 5 1.0876928E-05 6 -2.7036124E-06 7 -2.3856419E-06 8 -1.4047749E-06 9 -4.6879202E-07 1 -7.9678608E-07 2 -2.3856419E-06 3 -2.7036124E-06 4 1.0876928E-05 5 1.6792616E-04 6 1.0876928E-05 7 -2.7036124E-06 8 -2.3856419E-06 9 -7.9678608E-07 1 -4.6879202E-07 2 -1.4047749E-06 3 -2.3856419E-06 4 -2.7036124E-06 5 1.0876928E-05 6 1.6792616E-04 7 1.0876928E-05 8 -2.7036124E-06 9 -1.3399995E-06 1 -2.9033512E-07 2 -8.3514840E-07 3 -1.4047749E-06 4 -2.3856419E-06 5 -2.7036124E-06 6 1.0876928E-05 7 1.6792616E-04 8 1.0876928E-05 9 -1.1505573E-06 1 -1.8972501E-07 2 -5.2353766E-07 3 -8.3514840E-07 4 -1.4047749E-06 5 -2.3856419E-06 6 -2.7036124E-06 7 1.0876928E-05 8 1.6792616E-04 9 9.3634817E-06 1 -1.2987714E-07 2 -3.4585847E-07 3 -5.2353766E-07 4 -8.3514840E-07 5 -1.4047749E-06 6 -2.3856419E-06 7 -2.7036124E-06 8 1.0876928E-05 9 8.3963081E-05 5769 22 0.0000000E+00 14 162.9483 9 369.0000000E+00 13 -87.0152615E-02 3.8073 2 158.9782 23 0.0000000E+00 3 12 200.173 5597.0000000E+00 .23 GRADO DE LIBERTAD.0000000E+00 4 13 87.4384779E-02 8 26 0.200 5899.4423562E-04 17 -6.9593 3 168.69897 9 320.0000000E+00 2 11 177.7970 4 170.337 8 BARRA.487 5655.9092 4 22 0.2676351E-04 11 6.0073794E-02 3.4632 6 24 0.0000000E+00 8 17 177.9568829E-05 16 -2.0000000E+00 17 -177. KV(I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NBC = 5899.4574 -44.0073011E-02 3.0000000E+00 16 -200.17601 8 87.323 5196.15522 25 0.0947 5 170.71329 3 44. HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.0195 27 0.74567 3 21 0.7728 10 8.5660 24 0.7761911E-03 320.65258 26 0.805 5655. REACCION HASTA N = 9.77090 181.0154150E-02 3. MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 10 -2.5238 5 319. GIROS LOS SIGUIENTES 1 369.819 5196.912 5670.4540 87.0000000E+00 18 1.0000000E+00 15 -87.0182 6 -181.12489 21 0.1340200E-02 I.4760 1 19 0.0589338E-02 3.8940 6 170.1343196E-02 3.0137442E-02 3.9106268E-07 15 4.0061 2 -87.7889 8 158.0000000E+00 5 14 -162.919 5597.4919 7 25 0.8799062E-05 14 3.2604040E-04 NUDO.0000000E+00 12 -200.66279 20 0.4922 -87.2260818E-04 12 2.0905 7 168.74194 -181.0000000E+00 11 -177.2188436E-04 18 -8.4497701E-04 13 -4.4605 44.4781 2 20 0.9228 320.5549 7 -44.17102 4 181.0591615E-02 3. GRADO DE LIBERTAD.0000000E+00 7 16 200.76894 5 23 0.0000000E+00 6 15 87. 8015 2 20 0.9693398E-02 5. REACCION HASTA N = 9.9832142E-07 15 2.831 2910.0206777E-02 4.27312 5 23 0.6275381E-04 14 -1.8168 11 -159.3976507E-04 12 1.25414 -187.5249 5 319.320 REACCION TOTAL = 1536.1361 3 164.9981888E-02 4.0000000E+00 4 13 46.825 2910.46063 4 187.9070 7 164.872 3293.1310316E-02 319.9796 23 0.3470 319.6231387E-04 16 -1. MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 10 1.2201262E-03 11 8.25730 3 21 0.9692508E-02 4.0000000E+00 16 -167.0000000E+00 7 16 167.3244 4 163.8078 -55.3759 10 1.2206432E-03 NUDO. HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.223 3302.1286101E-02 I. GRADO DE LIBERTAD.0208185E-02 5.0000000E+00 17 -159.0000000E+00 12 -167.3623 7 .5396 24 0.9771011E-02 4.3522 1 19 0.0838 6 163.75906 3 55.363 LARGO PLAZO GRADO DE LIBERTAD.839 8 BARRA.0000000E+00 13 -46.681 4117.43594 25 0.222 3306.5131 7 -55.28447 187.825 3293.8116 6 24 0.0000000E+00 14 207.76466 20 0.9057 5 165.9722 2 -67.24 EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 1536. KV(I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 NBC = 4117. GIROS LOS SIGUIENTES 1 422.8310320E-04 13 -2.43122 21 0.1284160E-02 5.9949 6 -187.686 3306.4029103E-04 18 -1.3639 67.0000000E+00 5 14 -207.3590 2 146.3509 4 22 0.1400 9 422.0000000E+00 15 -46.5357 22 0.8360223E-04 17 -8.3274 8 146.0000000E+00 6 15 46.9770597E-02 4.0000000E+00 3 12 167.0000000E+00 2 11 159. 58 VCR.544339 SB= 12.779 VCRPMIN= 7103.66562 S. FECHA: 16/08/01.5= 115. F'C= 250 FY= 4200 B= 30 H= 80 R= 5 M= 2073600 V= 21390 FYE= 4200 FC= 1.597442 No 6 = 3. SI VU > VCR1.28381 No 4 = 8.9 FRV= .20954 ESTRIBOS No 3.63 SA= 16.635231E-03 PMAX= 1.5= 38183.846287E-03 AS= 10.77 VCR2= 50911. SA= 4.92927 P1= 4.41589 8 67.5= 38183.428572E-02 P= 4.5 ENTONCES SMAX = 0.0000000E+00 8 17 159.5 ENTONCES SMAX =0.87694 SB= 45. N° VARILLAS = 15.3670 -67.821488 No 8 = 2.9 FRV= .92 VCR1.63 SA= 50.6 PMIN= 2.91257 SB= 45.92927 P1= 4.444445E-04 VCR= 8792.69 SI VCR < VU < VCR1. SA= 16.158 VCRPMIN= 7103. D= 75 MU= 2903040 VU= 29946 PMIN= 2.5= 20.6064 TRABE DE 30 DE ANCHO POR 80 DE PERALTE ARCHIVO 'CCT' (535) CONTRATRABE ACERO NEGATIVO ESTRIBOS EN LOS EXTREMOS DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA CORRIDA.5D .0000000E+00 EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 1536. VARILLA No 3. PROGRAMA `DVCR8' DATOS.428572E-02 P= 4.9744294E-03 8 26 0.0000000E+00 25 0.5D .97451 SB= 45.4 FRM= .5= 12727.78281 VCR1= 5430.192 ANEXO 2 ZAPATA CORRIDA DISEÑO ESTRUCTURAL CONTRATRABE ACERO POSITIVO ESTRIBOS AL CENTRO DE LA ZAPATA DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA CORRIDA.58 VCR.5188 VCR1= 5430.59653 SPMIN= 15.5 ENTONCES SMAX = 0.25 55.4 FRM= .5= 12727.149403 ESTRIBOS No 2.635231E-03 PMAX= 1.489796E-02 cm2 / cm.5 ENTONCES SMAX =0. PROGRAMA `DVCR8' DATOS.02743 S.42418 SPMIN= 41.77 VCR2= 50911.840552E-03 AS= 10.44 S1= 34.25D .44 S1= 14.0151 27 0.69 SI VCR < VU < VCR1. F'C= 250 FY= 4200 B= 30 H= 80 R= 5 M= 2075900 V= 11304 FYE= 4200 FC= 1. SI VU > VCR1.77781 26 0.25D .92 VCR1.79720 9 320.444445E-04 VCR= 8787. PARA UN ESPESOR H/2 TRABE DE 30 POR 80 cm ACERO LONGITUDINAL.8 AS1= 1 RESULTADOS.90414 ASMIN= 5.320 REACCION TOTAL = 1536.89124 ASMIN= 5. EN NINGUN CASO VU > VCR2 ASTEMP = 4. D= 75 MU= 2906260 VU= 15825.8 AS1= 1 RESULTADOS. FECHA: 16/08/01.0000000E+00 18 9. kN/m 192.5= 9390.BAS. EN NINGUN CASO VU > VCR2 ASTEMP = 4.1 VU= 5766.6613683E-02 3.0400 192.4165435E-02 3. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.901 VCR. PARA UN ESPESOR H/2 VARILLA NUMERO 3 SEPARACION = 19.607629 No 6 = 3. Diseño estructural) (CCMF092.8 VARILLA NUMERO 3 AREA VARILLA = .886 kPa PROGRAMA `ZAPATA8' DISEÑO ESTRUCTURAL DE UNA ZAPATA OBRA: .71 RESULTADOS D= 16. VARILLA No 3. largo plazo) (Ejemplo A E zapata corrida 09209.428572E-02 P= 2. PARA UN ESPESOR H/2 TRABE DE 30 POR 80 cm ACERO LONGITUDINAL.67042 SB= 12.01 ENTONCES VCR = VCR. SA= 51.55 FC= 1.07199 SEPARACION PARA PORCENTAJE MINIMO DE ACERO = 16.5 SI P >= 0. SAP 2000) ANEXO 3 MÉTODO ITERATIVO PRIMERA ITERACIÓN I DELTA.30191 No 4 = 8.374484 VCR= 5019.489796E-02 cm2 / cm.8936 kN/m (Anexo 1) q = 170.26 . matriz de flexibilidades) (CCMFL92A. FECHA: .726 LE= . COC DEBER SER MENOR O IGUAL QUE 2 PMIN= 2.635231E-03 PMAX= 1. matriz de flexibilidades.23049 TEMPERATURA: VARILLA NUMERO 3 SEPARACION POR TEMPERATURA = 33.4 QE= 10.4741942E-02 3.4741942E-02 3.06 kPa qn = 122.5 ASTEMP = 2.06325 SB= 45.55(16) = 286.378 CUANDO CUMPLE COMO ELEMENTO ANCHO.0400 . SA= 13.0400 192.4312472E-02 3.0400 192.BAS.06 – 0.0400 192.242613E-03 AS= 3.0400 192.0400 192.20954 ESTRIBOS No 3. VCR = VCR.89(1)/(1)(1. N° VARILLAS = 15.13334 NOTA: FALTA LA REVISION POR PENETRACION PERALTE ZAPATA = 20 cm ARMADO: VARILLAS N° 3 A CADA 19.826016 No 8 = 2.4) = 122.691 VCRPMIN= 5240.142857 cm2 / m.6 MU= 227123.6064 TRABE DE 30 DE ANCHO POR 80 DE PERALTE ARCHIVO 'CCT10' (535) LOSA DE LA ZAPATA R = 170.4591038E-02 1.0400 192.9 FRV= .0400 192.07199 cm ARCHIVO 'CCZCL' (505) (Cc zapata corrida.156627 PARA QUE SEA ELEMENTO ANCHO. ARCHIVO `' DATOS F'C= 250 FY= 4200 B= 100 H= 20 R= 3.298 COC= 1.4591034E-02 3.6613679E-02 R.4 FRM= .25(24) – 0.15195 ESTRIBOS No 2.4312475E-02 3.722738 ASMIN= 4. 575 R.4312472E-02 3.7580019E-02 R.0400 192.573 5551.0954 151.573 5551.27 I KV. APROXIMADO PRIMERA ITERACION I DELTA.207 5590.1975 142.6613679E-02 KV.1976 KV.0400 192.2715 151.885 5596.6492080E-02 2.2394 152.4591034E-02 3.0954 142.0400 192.0400 192.6492080E-02 2.7275966E-02 2.6729839E-02 2.2393 148.176 5210.612 5596. kN/m 5895.575 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA.7580010E-02 2. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 2.798 5527.0400 192. kN/m 5779. kN/m 192.612 5551.070 5590.0400 192.6863335E-02 2.070 5668.529 ANEXO 4 INTERACIÓN SUELO-ESTRUCTURA.728 5527.727 5779.176 5658. kN/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5779.798 5527.7275965E-02 2.798 5620.0400 192.6729854E-02 2.4165435E-02 3.728 5527.206 5895.529 5210.798 5620.1134 148.4591038E-02 1.1134 325.6613683E-02 3.0400 .885 5596.612 5551.376 5658.4741942E-02 3. kN/m 325.727 5779.4741942E-02 3.4312475E-02 3.0400 192. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 1.612 5596. 8836 179.3603 383.8837 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA.6075 383. kN/m 383.6133 183.3139 180. kN/m 372.8106 183.28 LT= 8 m DELTAE = 3.5457 178.0918 178.8106 169. m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 3.6335 183.2490447E-02 m REACCIONES DE LA ESTRUCTURA 'RE'.2258749E-02 m REACCIONES DE LA ESTRUCTURA 'RE'.2490533E-02 3.3227 180.6138 183.3802 .3603 181.6133 181.2458805E-02 3.302 5595.0945 KV.3802 169.9529 183.2537878E-02 3.6074 181.2490533E-02 3. kN/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5899.816 5212.2466237E-02 R.2458805E-02 3.617 5595.0918 372.302 5663.3139 179.891 LT= 8 m DELTAE = 3.2537859E-02 3.9954 183.061 5651.5457 181.617 5899.0945 169.891 5212.6138 181.2466237E-02 3. kN/m 383.2482944E-02 3.6335 169.816 5651. Facultad de Ingeniería. debida a la excavación. La estratigrafía del subsuelo se indica en la figura A. Calcular los siguientes movimientos: (a) La expansión inmediata del fondo del corte.5[17(2) + (Df – 2)(17-9.2x10-3 5 3300 Arcilla limosa sensitiva Gamma = 12 kN/m3 5m 5005 Lentes permeables 3890 7200 12805 1x10-3 5 3200 Arena muy compacta (Cc cimentación compensada ejemplo 130901) ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES FIGURA A SOLUCIÓN Determinación de la profundidad de desplante A la profundidad de desplante del cajón se debe cumplir Incremento neto de presión=PUM–pvod ≤ pvb’-pvo’ (A) donde PUM = peso unitario medio = 70 kPa pvod = presión total previamente existente en el suelo. a la profundidad de desplante Si utilizamos la igualdad en la expresión 1.ANÁLISIS Y DISEÑO DE UNA CIMENTACIÓN COMPENSADA Agustín Deméneghi Colina* Realizar el diseño geotécnico del cajón de cimentación de un edificio de dimensiones 20 por 30. Considerar que la presión crítica pvb' = 1. División de Ingenierías Civil y Geomática. (c) El asentamiento por compresión (debido al incremento neto de carga por el peso máximo del edificio).92 m Usaremos Df = 3 m * Profesor del Departamento de Geotecnia. UNAM .5 pvo'. y (d) El asentamiento diferido por compresión (debido al incremento neto de carga por el peso medio del inmueble). (b) El asentamiento inmediato por recompresión (recuperación de la expansión por excavación). No existen construcciones colindantes. Vida útil del inmueble = 50 años Zona II del Distrito Federal. El inmueble (de seis pisos) tiene un peso unitario máximo de 83 kPa y un peso unitario medio de 70 kPa (ya considerando el peso del cajón de cimentación). y dado que pvb’ = 1.6 m en planta. suponiendo que Df > 2 m.5 pvo’ 70–17Df = 0.81)] Df = 2. NAF Ee kPa Eu kPa Ep kPa Ecs kPa cv cm2/s ξ Gdin kPa 2 m Limo arcilloso sensitivo Gamma = 17 kN/m3 4m 4955 3980 6200 11295 2x10-3 5 3400 Arcilla limosa sensitiva Gamma = 14 kN/m3 4m 4905 4000 6795 12400 1.5pvo’ = 0. 02782 0.01308 0.707 kPa Reemplazando en la ecuación B e  1 50.483 kPa y = 47.997 kPa x = 48.00059 0. z = 1/2 = 0.04149 Es decir. z = 1/2 = 0.0005858 m Procediendo en forma análoga con los demás estratos. ocurre una expansión inmediata del fondo del corte de 4.48 47.5.5 m El incremento neto de presión vale INP = 83 – 51 = 32 kPa . debido a la excavación.548.2 Estados límite de servicio Expansión inmediata La descarga por excavación es qexc = 17(3) = 51 kPa Las deformaciones inmediatas se calculan usando la ley de Hooke z    z  z    x   y  Es (B) Estrato 1 Ee = 4955 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1  = 0.5.997 0.5 m z = 50.71 4955 δe = 0.15 cm Asentamiento inmediato Estrato 1 Eu = 3980 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1  = 0. arribamos a los siguientes resultados Estrato 1 2 3 Suma Deltae m 0. 530. la cimentación sufre un asentamiento inmediato de 3.03297 Es decir. para condiciones a largo plazo es INP = 70 – 51 = 19 kPa Estrato 1 Ep = 6200 kPa Ecs = 11295 kPa Trabajamos a la mitad de lo que resta del estrato 1  = 0.998 0.00046 0. z = 1/2 = 0.xls) Estrato 1 2 3 Suma Deltau m 0.30 cm.01006 0.934 kPa Reemplazando en la ecuación B u  1 31.0004574 m Procediendo en forma análoga con los demás estratos. Asentamiento diferido Empleamos la siguiente expresión t = P U + Ct log (1 + ξ T) (149) Pt = P U (149a) St = Ct log (1 + ξ T) (149b) t = Pt + Pt (149c) donde P = (zo/Ep) z (C) Ct = (zo/Ecs) z (D) El incremento neto de presión. arribamos a los siguientes resultados (Cc cimentación compensada tablas.420 kPa y = 29.5 m z = 18.42 29.999 kPa .3 z = 31. debido a un incremento neto de presión de 32 kPa.93 3980 δu = 0.998 kPa x = 30.02246 0. 001682 log (1+5(315.30 + 5.58  2 1002 Por lo tanto.999) = 0.24 cm Para fines de diseño de accesos y de instalaciones al edificio.01439 0.01104 0.005380 m t = 0.01168 log(1+ξT) 3.37600 2.003064 m St = 0.94 = 9. ya se completó la consolidación primaria y U = 100% = 1 Sustituimos en las ecuaciones 149a.00606 0.005380 = 0.00306 0.85042 δPt m 0. el asentamiento diferido de la cimentación en este período resulta de 5.39 cm .99893 18.01384 Suma Ct m 0.999) = 0.00658 δt m 0.02552 0.79065 16.003064(1) = 0.58)) = 0.002 1. El asentamiento total es  = u + t = 3.57788 x109  315. es decir  = 4.19835 2.94 cm. se debe tomar en cuenta además el asentamiento por recompresión.10459 δSt m 0.30 + 5.003064 + 0.00538 0. para una vida útil de 50 años.003064 m Ct = (1/11295)(18.00306 0.94 = 13.00844 0.05939 Es decir. 149b y 149c Pt = 0.15 + 3.01104 0.25)(86400) = 1.57788x109 s T   0.008444 m Procediendo en forma similar para los demás estratos Estrato 1 2 3 Estrato 1 2 3 σz kPa 18.02543 0.00168 0.01168 δP m 0.4 Reemplazando en las ecuaciones C y D P = (1/6200)(18.001682 m Calculamos el asentamiento para t = 50 años: T Cv t ze 2 t = 50(365. 5 Giro permanente de un cimiento El giro permanente de un cimiento está dado por (Zeevaert. obteniendo las deformaciones elásticas y plásticas producidas por ciclos de esfuerzos sobre probetas de suelo (Zeevaert. 1973)  d   ep   e El giro elastoplástico de un cimiento de planta circular es 31   M 8Gep R 3  ep  y el giro elástico e  31   M 8Ge R 3 Es decir 31   M 8Ge R 3 d    Ge   1  G   ep Sea  ep  Ge Gep Por lo tanto  d   e  ep  1 O bien 31   M  ep  1 8Ge R 3 d  (E) Como G E 21    entonces  ep  Ee Eep El valor de κep se puede obtener mediante pruebas dinámicas de compresión.22 . los módulos dinámicos valen Ge ≈ 3300 kPa y Gep ≈ 2700 kPa y κep ≈ 1. Por ejemplo. en la arcilla de la ciudad de México. 1973). 14 cu fc FR + pv (33) fc = 1 + 0.7 kN Consideremos que la altura del centro de gravedad del inmueble es hCG = 7(3)/2 = 10.70 Para condiciones normales se recomienda 0.35 ≤ FR ≤ 0. dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1.5 m El momento sísmico es M = 16254.m Sustituyendo en la ecuación E d  31  0.6 kN.613% Cumple (Memoria de cálculo 121001. respectivamente.55 En la zona II del Distrito Federal FR = 0.22  1  0.6 El peso total del edificio es ΣQ = 83(20)(30.7 .5170674.7(10.45 ≤ FR ≤ 0. Deformaciones) Estados límite de falla Se debe verificar qult  qR qR = 5.104%   permisible  0.00104  0.613% 100  321  d  0.104% 83300 12.6) = 50796 kN La fuerza sísmica vale S = (0.25 B/L + 0.32)(50796) = 16254.5) = 170674.6 1.7 3 El giro permisible es  permisible %   100 100  3hc hc = altura de la construcción = 21 m  permisible  100  0. 0.25 D/B (34) para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores. 14(21.6 – 2(0.18 kN.47 kPa qult = 116.28 kN.25 (20/30.68 m 50796 M x 33465.504) = 29.2 kPa < qR = 143.5 m El momento sísmico es My = 8127.28) = 25601.28  1.36 kN Consideremos que la altura del centro de gravedad del inmueble es hCG = 7(3)/2 = 10.m Mx = 0.36(10.5) = 85337.7 (Cc cimentación compensada ejemplo.68) = 16.4 10 kPa Reemplazando en las ecuaciones 34 y 33 fc = 1 + 0.201 Usaremos FR = 0.32/2)(50796) = 8127.592 m Reemplazamos en las ecuaciones 34 y 33 .7 Primera combinación de acciones (carga permanente más carga accidental) qult =  Q Fc / A = ( Q / A) Fc qult = 83(1.3(85337.4)(1.7)+3(17) = 143.6   0.2 kPa Encontramos un promedio ponderado de la cohesión cum  1(22)  (4)(23)  520  21.6) + 0.47 kPa  Cumple Segunda combinación de acciones (carga permanente más carga variable más carga accidental) El peso total del edificio es ΣQ = 83(20)(30.xls) qR = 5.6) = 50796 kN La fuerza sísmica vale S = (0.504 m Q 66400 B’ = B -2ex = 20 – 2(1.201)(0.4) = 116.64 m L’ = L – 2ey = 30.m ex  ey  My Q  85337.25 (3/20) = 1. 7)+3(17) = 142. Dividamos la planta de la cimentación en los nudos indicados en la figura B.8 fc = 1 + 0.7 qR = 5.1857 Usaremos FR = 0.1857)(0.64) = 1.25(16. . Las demás cantidades Ixijk e Iyijk se obtienen en forma similar.64)(29. 1996) El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces.592) + 0.47 kPa < qR = 142. el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij. lo que permite determinar los diagramas de reacciones y de asentamientos del terreno. 1996). El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula ne nr j=1 k=1 i = oi +  (Δzj/Esij)  Iijk rkdk/ak (49) donde Iijk = Izijk-(Ixijk+Iyijk) (48) Izijk es el valor de influencia vertical.30 kPa  Cumple Diseño estructural Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi. Con estas cantidades se obtienen los elementos mecánicos en la subestructura.64/29.592))](1.25(3/16. usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal. El procedimiento consiste en establecer la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación.4)(1.1) = 113.14(21. producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert.30 kPa qult = [50796/((16. 1973). (Deméneghi. Ix111 e Iy111.9 30.5 Obtengamos como ejemplo los valores de influencia Iz111.111306 kPa .129680 kPa I111 = 0.128409 kPa y = Iy111 = 0.240351 kPa x = Ix111 = 0. Obtenemos z = Iz111 = 0.6 m 109 110 111 112 113 114 115 116 117 100 101 102 103 104 105 106 107 108 91 92 93 94 95 96 97 98 99 82 83 84 85 86 87 88 89 90 73 74 75 76 77 78 79 80 81 64 65 66 67 68 69 70 71 72 55 56 57 58 59 60 61 62 63 46 47 48 49 50 51 52 53 54 37 38 39 40 41 42 43 44 45 28 29 30 31 32 33 34 35 36 19 20 21 22 23 24 25 26 27 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 m NUMERACIÓN DE NUDOS DE LA CIMENTACIÓN FIGURA B (Cc cimentación compensada ejemplo 0210) Corto plazo Usamos ν = 0. x y y debidos a esta carga. Se coloca una presión unitaria q = 1 kPa en el área a1 (figura B) y se computan los esfuerzos normales z. a la mitad del estrato 1. 7 kPa Procediendo en forma similar hallamos para los estratos 2 y 3 Es2 = 4517.for.55/2) ] r1 +[0.5+2.5+2. En el anexo 1 se exhiben algunos resultados de la interacción sueloestructura.7) {[0.0127971(2.995 kPa x = 78. con ν = 0.5)(2. Los resultados salen en el archivo RESULISEBL.55/2)]r2 + … } Los demás asentamientos se obtienen en forma similar.641 kPa Reemplazamos valores en la ecuación E.0004573 = 0.for.0330184(2.5/2)(2.55/2)/ (2.5/2)(2. En el anexo 1 se muestra algunas cantidades de la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (Ccisebl02210. el análisis de interacción se lleva a cabo estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y terreno de cimentación.5/2+2.55/2)]r2 + … } +(5)/(4517.55/2)/(2.0251006(2. respectivamente.5)(2.5/2+2.0189969(2.5 Es1 = 4528.111306 (2.55/2)/(2.10 Los demás valores de influencia se determinan en forma similar.903 kPa y = 77.6){[0. .55/2)/(2.9 kPa Sustituimos valores en la ecuación 49 1 = (Δz1/Es11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + … ) + (Δz2/Es12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + … ) + (Δz3/Es13) (I131r1d1/a1 + I132r2d2/a2 + … ) 1 = (1)/4528. usando el programa de computadora Ccisebl02210.5/2)(2. Los módulos de deformación del suelo Es se encuentran de la siguiente forma: De acuerdo con la ley de Hooke (ecuación B) Es  z z  z    x   y  (E) Estrato 1 El asentamiento inmediato debido a la recuperación de la expansión más el hundimiento debido al incremento neto de carga vale δz = 0.55/2) / (2.5)(2.5+2. En las figuras B y C se exhiben la numeración de nudos de la cimentación y la numeración de las barras.0010429 m Los incrementos de esfuerzo ocasionados por el peso unitario máximo de 83 kPa son z = 82.55/2)] r1 -[0.55/2)/(2.5/2+2.55/2)]r2 + … } +(4)/(4517.0005856 + 0. Isebldat02210) Como señalamos antes.55/2) ] r1 +[0.6 kPa Es3 = 4517.for.9){[0. Los datos se proporcionan en el archivo Isebldat02210.0617235(2. En el anexo 1 (Ccisebl02210. Isebldat02210) se exhi-ben las magnitudes de algunos valores de influencia. 6 m 206 196 186 99 113 8 .11 97 204 98 205 89 195 90 81 187 177 57 159 58 150 50 151 41 141 33 152 34 25 123 114 115 9 105 36 116 20 117 11 107 2 118 119 109 4 5 121 15 112 7 En la estructura de cimentación se consideraron las siguientes propiedades: fc’ = 250 kg/cm2 Ec = 221359.44 kg/cm2 = 22135944 kPa Gc  Ec 21   Gc  22135944  9223310kPa 2(1  0.2) Momento de inercia centroidal alrededor del eje x Ix  bh 3 12 122 16 NUMERACIÓN DE BARRAS FIGURA C Ec  14000 250 131 24 20 m Ec  14000 f c ' 140 32 23 111 6 40 130 120 110 149 139 31 14 158 48 148 129 22 13 157 39 30 167 56 47 138 128 21 12 108 3 29 64 55 38 176 166 147 137 127 175 156 146 185 72 63 46 37 28 126 19 155 136 184 165 54 194 80 71 62 45 145 135 27 10 106 1 144 125 18 154 193 174 164 53 44 35 26 124 17 153 134 61 203 88 79 183 173 96 87 70 212 202 192 182 163 52 43 143 133 60 95 78 69 172 162 51 42 142 132 59 191 104 211 201 86 77 181 171 94 85 68 103 210 200 190 180 161 93 76 67 170 160 49 189 102 209 199 84 75 179 169 92 83 66 101 208 198 188 178 168 91 74 65 100 207 197 82 73 30. El programa arroja los elementos mecánicos en los nudos de las barras.2 por 3 m. Para encontrar estas cantidades a lo largo de una barra usamos las siguientes expresiones (figura D) Tramo I Tramo II L/2 L/2 w Mp Mq x Vr Vs rs rr (Cc ejemplo zapata corrida figuras) CARGAS SOBRE LA BARRA (NUDO SOBRE BARRA) FIGURA D Tramo I (0 < x < L/2) V = .25 m de peralte.xls) Se consideraron contratrabes de 0.12 Momento polar de inercia centroidal Jc   bh 2 b  h2 12  Para el cálculo del momento polar de inercia se supuso una dimensión longitudinal máxima de 5 veces la dimensión transversal (Momentos de inercia.4 m de ancho por 1 m de peralte. En el anexo 1 se muestran los resultados del análisis a corto plazo. muros perimetrales de 0.Mp – Vr x + (rr – w) x2 / 2 (D) xM max  Vr rr  w (E) Tramo II (L/2 < x < L) V  Vr  rr  w L L   rs  w x   2 2  L L M   M p  Vr x  rr  w  x   2 4 r w L  s x   2  2 2 (G) (F) .Vr + (rr – w) x (C) M = . y losa de cimentación de 0. 5(22135944) = 11067972 kPa En el anexo 1 (Ccisebl0310. la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata . El diseño estructural se lleva a cabo tomando las envolventes de los elementos mecánicos de los análisis a corto y largo plazos. Al aplicar las ecuaciones C a H.00949 = 8748. considerando sólo deformación vertical: Es = σz/εz = σz(Δzo)/δz = 82.949 cm. 83 kPa).7 kPa Es3 = 4817. Para los estratos 2 y 3 se procede en forma similar y se encuentran Es2 = 6760.844 = 0. Los valores V y M. para iniciar los cálculos. una reacción uniforme. en la estructura se emplea un módulo de elasticidad del concreto E’ = 0.046+0.xls). Mafledat02). elementos mecánicos de barra sobre nudo). Aplicamos la ecuación 49. la cual se muestra en la figura E.for. Para el cálculo de esfuerzos y deformaciones se toma una relación de Poisson ν = 0. para los que rige la convención de signos del diseño estructural. Método iterativo El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa (Ccmafl01. considerando.995(1)/0.for. son los elementos mecánicos a lo largo de la barra.059+0.5 E. Isebldat0310) se exhiben los resultados del análisis a largo plazo.2 kPa Para tomar en cuenta el efecto del tiempo. los valores de Vr y de Mp son los obtenidos con el análisis estructural (anexo1. en las ecuaciones C a H. E’ = 0. V M M (+) (+) (+) (+) V MOMENTO FLEXIONANTE FUERZA CORTANTE CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FINES DE DISEÑO ESTRUCTURAL FIGURA E (Cc ejemplo zapata corrida figuras) Largo plazo Los módulos de deformación a largo plazo del suelo Es se obtienen de la siguiente forma: Estrato 1. lo que equivale a considerar los valores más desfavorables de ellos.13 xM max L   2 Vr  rr  w rs  w L 2 (H) Usando las ecuaciones C a H se obtienen los elementos mecánicos a lo largo de las barras de la estructura de cimentación (Cc cimentación compensada E M. La suma de las deformaciones a corto y largo plazo es: 0.5 kPa (en forma conservadora tomamos el peso unitario máximo del inmueble. Krg. los muros perimetrales y la losa de cimentación (Losa cimentación 02110. Una forma aproximada de encontrar los módulos de reacción consiste en hacer uso de la matriz de flexibilidades del suelo. SAP 2000). para fines preliminares de análisis de una estructura de cimentación. definido como K rg  (1   s ) Est I st (1   st ) Es L3 (K) . se emplea el coeficiente de rigidez relativa estructura-suelo.6) = 50796 kN ΣL = 20(13)+30. y usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49). la forma de establecer esta compatibilidad consiste en calcular las deformaciones de la estructura y las del terreno. pues dependen de la compatibilidad de desplazamientos entre la estructura y el terreno. lo que equivale a suponer que la estructura de cimentación es infinitamente rígida. En el anexo 2 se presentan los resultados de la última iteración. por lo que podemos concluir que usando cualquiera de estos procedimientos se llega a resultados que similares entre sí.SDB. se calculan las deformaciones del suelo.14 ΣQ = 83(20)(30. En el anexo 2 se exhiben los resultados de este análisis a corto plazo (primera iteración). Análisis aproximado de interacción En ocasiones se requiere. estimar los módulos de reacción del terreno de cimentación. hasta que las deformaciones de estructura y suelo coincidan.6(9) = 535. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (I) Sustituyendo valores se obtienen los valores de Kv mostrados en el anexo 2. y suponer que las deformaciones del mismo son iguales en todos los puntos. y hacer iteraciones variando los módulos de reacción. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura. Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Losa cimentación 02110. Estos módulos de reacción no se conocen “a priori”. Con frecuencia la estructura de cimentación tiene una rigidez muy grande comparada con la rigidez del terreno de cimentación. Para valuar esta relación. SAP 2000).SDB. [Comparando las magnitudes de Kv encontradas con los dos métodos (directo e iterativo) de los anexos 1 y 2.875 kN/m Con esta magnitud de r.4 = 94.4 m r = 50796/535.] Con los valores de Kv de la última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre las contratrabes. y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas rEi sobre el terreno rEi  K vi Ei di (J) A continuación se hace ri = rEi. apreciamos que dichas cantidades son parecidas. la cual se exhibe en el anexo 2. 6)3 Krg = 0.056667 m4/m Reemplazando en la ecuación K K rg  (1  0. por unidad de ancho de la misma L = longitud de la estructura Cuando Krg es mayor que 0. El proceso se repite hasta que ya no cambian las magnitudes de Kvi de la ecuación L.006055 > 0.005 se puede considerar que los hundimientos de la cimentación son similares entre sí. 3  0. en comparación con el terreno de cimentación. es decir E   i d i d i (M) Con δE calculamos los nuevos valores de las reacciones rEi rEi  K vi E di (N) Con estas cargas ri se vuelven a computar las deformaciones del suelo con la ecuación 49. Iniciamos los cálculos con la reacción uniforme. Consideremos el ejemplo de la figura A. una reacción uniforme.41 7  1  I st   12  12  20  Ist = 0. Los asentamientos del terreno están dados por la siguiente expresión ne nr j=1 k=1 i = oi +  (Δzj/Esij)  Iijk rkdk/ak (49) El propósito es lograr que las deformaciones δi sean iguales.2)(4518. usamos la retícula de la figura B. considerando. Aplicamos la ecuación 49. para iniciar los cálculos.056667 (1  0.15 Est = módulo de elasticidad de la estructura Ist = momento de inercia de la estructura.233  2  0.9)(30. Analizamos la condición a corto plazo.005 Por lo tanto. El análisis de interacción se lleva a cabo en forma iterativa.5)221359440. Para obtener la matriz de flexibilidades del suelo. podemos considerar la estructura de cimentación como rígida. El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / i (L) Suponemos que la deformación de la estructura δE es igual al promedio ponderado de las deformaciones del suelo δi. que vale . 16 r = ΣQ/longitud de la zapata r = 50796/535.4 = 94.875 kN/m En el anexo 3 (Iseaprox0110.for; Mafledat013, RESMAFLAPR) se exhiben los valores de las deformaciones del suelo y de las “constantes del resorte” para la primera iteración, usando las ecuaciones 49 y L. El asentamiento promedio δE se encuentra con la ecuación M. Aplicando la ecuación N se hallan las reacciones rEi para la primera iteración. A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que no cambian las magnitudes de Kvi. En el anexo 3 se muestran los resultados de la última iteración. El análisis estructural aproximado se puede hacer tomando los valores de Kvi de la última iteración del anexo 3. Observamos que las “constantes del resorte” con este método aproximado son similares a las obtenidas con el procedimiento directo. Esto se debe a que el cajón de compensación es rígido en comparación con el terreno de cimentación. Magnitudes aproximadas de los módulos de reacción Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical Kv  Qv kv  Kv Q q  v  v a a v  v v Corto plazo Bajo el centro de la losa de cimentación kvc  q 83   1114kN / m3  e   u 0.0415  0.0330 K vc  kvc a  1114( 2.5)( 2.55)  7102 kN / m En las orillas de la losa se puede usar k vo  2.3  2.8k vc k vo  2.8(1114)  3119.2kN / m 3 K vo  k vo a  3119 .2(1.25)(2.55)  9942 .4kN / m En las esquinas k ve  6  7 k vc 17 k ve  7(1114)  7798kN / m 3 K ve  k ve a  7798(1.25)(1.275)  12428 .1kN / m Largo plazo Se toma el asentamiento total de la zapata  = 0.0415 + 0.0330 + 0.0594 = 0.1339 m kvc  q   70  522.8kN / m3 0.1339 K vc  kvc a  522.8( 2.5)(2.55)  3332.8kN / m k vo  2.3  2.8k vc k vo  2.8(522.8)  1463.8kN / m 3 K vo  k vo a  1463.8(1.25)( 2.55)  4666 kN / m k ve  6  7 k vc k ve  7(522.8)  3659.6kN / m 3 K ve  k ve a  3659 .6(1.25)(1.275)  5832 .5kN / m Interacción dinámica suelo-estructura Período de vibración del suelo (Período de vibración del suelo 130901.xls) Se emplean las fórmulas (Normas de Sismo, 2004) 18 En la siguiente tabla se muestra el cálculo del período Ts del suelo (Período vibración del suelo 130901.xls) Estrato d m G kPa γ kN/m3 g m/s2 1 2 3 4 4 5 3400 3300 3200 17 14 12 9.81 9.81 9.81 Sumas 13 d/G Σ(d/G) x (en la base) 1 0.0011765 0.003951 0.7022 0.0012121 0.002775 0.3955 0.0015625 0.001563 0 Σ (d/G) = 0.0039511 (…) γd (…) 2.1954 0.9272 0.1564 149.2862 51.9255 9.3833 Σ γd (…) = 210.595 Ts s 1.1650 Determinación del período y del amortiguamiento efectivos considerando interacción dinámica suelo-estructura (Período de vibración del suelo 130901.xls) Vibración horizontal Te = 0.6 s Como una aproximación inicial la frecuencia se calcula  2 Te ω = 10.47 rad/s A = BL = 20(30.6) = 612 m2 Rx = 13.957 m Hs = 13 m Ts = 1.165 s Vs = 44.635 m/s x  R x vs  x  3.275 19 s  Rx 2H s  s  1.686  xs  x s  xs  1.942 cx = 0.576 K xo  538137kN / m kx = 1 K x  K xo k x  2 x cx  Cx  K xo  x cx  2k x   ζ = 0.05 K x  436669kN / m C x  102072kN / m.s 620   102072kN / m.585 p cr = 0.20 Cabeceo bh3 30.088  rp  r  0.695 m r  Rr vs  r  2.978  p  5.s 12 12 3 I Rr = 12.m / rad kr = 0.404 K r  K ro kr  2 r cr  .0212 K ro  65238182kN . 05 K r  25965577 kN .688s .2 kN He = 16.s Período acoplado Wo = 20(30.6)(83) = 50796 kN We = 0.8 m Tx = 0.470 s Te = 0.m / rad .21 Cr  K ro  r cr  2kr   ζ = 0.6 s T~e  1.m / rad Cr  644580kN .7Wo = 35557.572 s Tr = 1. 688s y ~  0.0735 e Se repite el procedimiento con Te  2 2  ~ T Te ω = 3.164 Etcétera Iterando con diferentes valores del período y del amortiguamiento.22 ζx = 0.05 ~e  0.0577 Espectro de diseño .0735 ~  1.72 rad/s Vibración horizontal x  R x vs  x  1.4351 ζr = 0.343s y  e  0. se obtiene finalmente el ~ ~ siguiente resultado Te  1.0462 ζe = 0. a’ p = 1.1998 c = 0.23 Ts = 1.835 Coeficiente sísmico.165 s ao = 0.632 s Tb = 1.014 Se toma inicialmente β = 1 .8918 Ta = 0.398 s k = 0. 24 a = 0. p = 1.039 R = 2.931 Coeficiente sísmico.856 Q=2 Q’ =2.209 Factor de reducción por amortiguamiento suplementario β β = 0.01 a ' a Q' R a' = 0.014 a~ ' . 25 a = 0.3432 Q’ =1.21 Reducción por sobrerresistencia R=2 a~ '  0.343 .62  1  1.830 Q=2 Q  2  1 0.2 1. 20950796  0.209  0.34335557.4kN V~o  0.25 Vo Por lo tanto. usamos V~o  1.03kN V~o  1.20950796  10616.7Wo = 35557.2 kN Vo  a 'Wo Vo  0.2  15381.25 Vo .45  1.26 Fuerza cortante basal Wo = 20(30.6)(83) = 50796 kN We = 0. septiembre de 2013 Referencias Deméneghi. 1973 (Cc cimentación compensada ejemplo 130902) . XVIII Reunión Nal Mec Suelos. Gobierno del Distrito Federal. Morelia.25a '  1. Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions. Soc Mex Mec Suelos.27 El coeficiente sísmico queda a"  1. “Interacción estática suelo-estructura.250. considerando efectos de torsión y acortamiento de barras”. 1996 Normas de Sismo: Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo.261 Ciudad Universitaria. octubre de 2004 Zeevaert. D F. A. L. Vol 1: 303-310. Van Nostrand Reinhold.209   0. ESTRATO.2403507 SUMX = 0.2526497E-06 8 -9.3488439E-05 12 7.1987097E-02SUMY = 6.1113062 0.6934695E-04SUMY = 4.9689812E-07 5 -1. Isebldat02210) CORTO PLAZO VALORES DE INFLUENCIA PUNTO. GIROS LOS SIGUIENTES .2958825E-05 3 8.8481504E-04 2.8835068E-05 1 5 -3.3064356E-06 1 6 -1.9552465E-06 16 -1.6645098E-06 GRADO DE LIBERTAD.3258181E-06 6 -1.K1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.9485 167.1749328E-03SUMX = 5.70658 26.1330843E-04 2.4645726E-06 4 3. FLE(I.8303 137.0196643E-06 13 -1.2856 26. CARGA.1921688E-05 11 3.5639019E-03 1 3 -3.1633452E-03 7.1257353E-05 MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I.8269 157.23334 55.8379688E-03SUMY = 1. VALOR DE INFLUENCIA 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 SUMZ = 1 1 1 0.9468 156.4768517E-06 7 -1.8929365E-07 9 -5.70596 38.4074993E-07SUMX = 3.4606716E-07 10 5.3423 167.28 ANEXO 1 RESULTADOS DEL ANÁLISIS DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA (Programa: Ccisebl02210.1847 137.1284095 SUMY = 0.2890 117.3225776E-03SUMY = 1.8626445E-06 15 -1.9239228E-04SUMY = 1. REACCION HASTA N = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 388.3858080E-06 1 7 -1.23341 160.2991742E-06 18 -8.86737 39.63935 38.1953576E-04 8.for.86758 55.5261089E-07 14 -1.6822090E-07SUMX = 2.5100566E-02 4.1964 160.2643 157. K1.3457 388.0790244E-07 19 7.9450028E-06 20 6.4796254E-04 2 5.8661909E-06SUMX = 1.9624829E-04 6.0116568E-06SUMX = 7.5936317E-05SUMX = 6.6624413E-07 1 8 -7.1296796 1 2 -2.2658706E-04SUMY = 5.5598536E-04 1 4 -9.6447227E-06 17 -1. 61 8185.999 4261.3342035E-02 9 6.9566732E-02 I.62 11032.0204614E-02 18 6.92228 239 -15.373 212 BARRA.9459 238 15.92228 5 122 5035.29 19 201. KV(I) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 NBC = 14095. GRADO DE LIBERTAD.9345675E-02 19 6.8175 20 57.0592 239 -15.9744 8 176.274 2 176.43 4903.191 4 -723.517 5253.83720 NUDO.91748 240 15.39585 .1695 236 37.167 7 168.4956 241 -37.968 2200.39841 3 120 1749.8025632E-02 8 6.396 125 -1582.452 4261.39841 237 -37.8024418E-02 4 5.242 4569.26555 119 -1490.498 121 -4015.3808039E-02 15 4.7823 2 -329.99 11032.8735 235 88.507 11046.430 10918.87207 2 119 1582.3340262E-02 3 5.87207 236 -88.850 6 -723.03898 241 89.4044981E-02 5 5.3543959E-02 17 6.743 3 1095.9536857E-02 2 6.9539070E-02 10 6.267 124 -1749.91748 6 123 4015.9425762E-02 20 5.6396 7 1094.64 8185. HUNDIMIENTO DEL NUDO 1 6.4045647E-02 7 5.222 5253. MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 118 85.543 120 -1615.62 8783.04285 238 -89.0203280E-02 12 5.128 1 950.6061747E-02 14 4.9736 237 89.038 123 -4164.9343887E-02 11 6.640 4 526.2921 3 169.04285 4 121 4165.6062205E-02 16 5.46 11228.3543046E-02 13 4.545 2200.660 5 -170.03898 7 124 1615.474 8783.131 122 -5034.863 240 -89.404 14095.7097 5 -169.2533466E-02 6 5.2932 6 527.45 10918. 5677 6 454.1505 126 -16.31990 241 57.87193 8 128 -40.75086 129 52.82738 2 119 882.2460 7 367.8718 239 -5.14927 246 18.6525 125 -882.0334 235 17.3307 11 14.98716 244 -45.14927 .8992 2 -106.20630 242 -13.16625 246 -105.89585 245 105.50805 12 58.78 REACCION TOTAL = 50550.55317 245 45.55317 10 128 14.61680 10 129 57.534251 10 165.29221 244 91.4318 238 5.20636 237 13.74213 12 79.7369 5 -112.0322 9 839.344 3 983.61680 10 128 33.754329 5 122 3271. Isebldat0310) BARRA.31897 238 -57.82738 236 -17.1579 120 -420. MOMENTO O CORTANTE EN EL NUDO 1 118 16.1701 7 983.2131 237 57.901 5 -112.39585 8 125 1489.81796 245 -91.37035 182.20636 3 120 469.96416 -12.451 123 -2564.8171 240 -57.19 LARGO PLAZO (Ccisebl0310.755700 240 5.754329 239 -5.288 4 454.8631 4 -618.43262 11 -20.86701 3 367.28478 8 -106.5818 121 -2460.59775 128 -2. GRADO DE LIBERTAD.31990 7 124 420.28023 119 -931.0596 236 -13.00620 245 -18.30 242 37.59921 242 -88.4095 11 25.4886 243 88.5609 9 950.89581 241 13.for.1581 1 839.6953 11 EQUILIBRIO DE FUERZAS VERTICALES PESO TOTAL = 50549.6953 126 -85.6313 2 -21.299 124 -469.0842 8 -21.82650 243 17.755700 6 123 2460.698 -329.31897 4 121 2565.077 122 -3271.8875 242 -17.82650 9 127 -44.6479 6 -618.87193 9 127 -64.20630 8 125 931. 4645726E-06 1 4 3.5830663E-02 R.87500 94.5100566E-02 1 1 3 -3.4196722E-02 1 1 11 -1.8929365E-07 1 9 -5.4666901E-03 1 1 13 -1.87500 94.1633452E-03 1 1 4 -9.5612562E-02 13 6.9689812E-07 1 5 -1.0091716E-02 6 4.87500 94.87500 94.9992244E-04 1 1 15 -3.0790244E-07 1 19 7.1712482E-04 1 1 17 -1.9450019E-06 1 20 6.2526497E-06 1 8 -9.2981077E-02 12 6.5261089E-07 1 14 -1.1330843E-04 1 1 8 -7.3811886E-04 1 1 18 -5.for.87500 . m 1 2.8144249E-02 3 4.87500 94.87500 94.2991742E-06 1 18 -8.1921685E-05 1 11 3.87500 94.31 ANEXO 2 MÉTODO ITERATIVO (Programa: Ccmafl01.1953576E-04 1 1 5 -3. ESTRATO.9552465E-06 1 16 -1.6447227E-06 1 17 -1.9949620E-03 1 1 20 -4.0932026E-02 2 3. Mafledat02) CORTO PLAZO CALCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA PUNTO.8626445E-06 1 15 -1.87500 94.2958825E-05 1 3 8.0174492E-02 5 4.0820410E-05 1 1 19 -2.6084483E-05 1 1 10 -2.8481504E-04 1 1 6 -1.5591681E-03 1 1 14 -6.87500 94.1257353E-05 1 1 9 -2.4768517E-06 1 7 -1.87500 94. VALOR DE INFLUENCIA 1 1 1 0.0196643E-06 1 13 -1.9624829E-04 1 1 7 -1.0057551E-02 8 3.87500 94.87500 94. CARGA. kN/m 94.0932022E-02 10 3.0174495E-02 7 4.4796254E-04 1 2 5.87500 94.4606716E-07 1 10 5.0057547E-02 4 4.3488439E-05 1 12 7.8386558E-02 1 1 12 -4.6913902E-04 1 1 16 -2.8144249E-02 9 2.6645098E-06 PRIMERA ITERACIÓN I DELTA.5896742E-02 14 6.3184385E-03 MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL SUELO I K1 FLE 1 1 1.3258181E-06 1 6 -1.8042549E-02 11 6.1113062 1 1 2 -2. 5612555E-02 6.4863265E-02 20 5.0327435E-02 7 5.53 8092.1834 143.63 9389.3226 185.5896749E-02 6.8954 356.313 5228.87500 94. kN/m 11444.04 11104.87500 94.439 11444.938 8940.92780 69.965 8914.3892093E-02 14 4.750 7278.0674 56.3283088E-02 Kv.5215543E-02 11 6.04702 148.502 3346.791 5228.345 7302.0755695E-02 17 6.5252 148.9660114E-02 3 5.87500 94.049 7270.964 9389.889 7607.9660129E-02 9 6.5253 127.7165090E-02 21 4.1506547E-02 15 4.7457149E-02 23 3.345 8914.53 8642.0427275E-02 12 5.8800 146.4502135E-02 10 6.687 4702.0327435E-02 5 4.994 R.593 13956.8775654E-02 6 5.2981069E-02 3.3870857E-02 4 5.6330620E-02 22 3.4773 146.3225 40.07 10965.242 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA.87500 94.8799 127.8042545E-02 3.45 10965.3892086E-02 16 5.26594 . kN/m 356.992 4702.32 15 16 17 18 19 20 6.241 7270.313 4869.938 8933.87017 40.87500 Kv.5215543E-02 19 6.595 10713.1834 152.04 10713.62939 48.87016 52.02453 40.4502150E-02 2 5.439 8940.06 8092.64 9476. kN/m 13956.55468 40.9442636E-02 6.3870834E-02 8 5.750 7302.0427304E-02 18 6.8954 152.55469 40.0755698E-02 13 4.04702 52.87500 94.22344 55. m 1 6.5027244E-02 94. 5896749E-02 16 6.87500 94.9869 820.9866 2711.8179265E-02 R.87500 .87500 94.for.87500 94.8144249E-02 9 2. Mafledat013.87500 94.0057551E-02 8 3.87500 94.2981069E-02 18 3.8042549E-02 11 6.012 3360.757 ANEXO 3 MÉTODO APROXIMADO (Programa: Iseaprox0110.0174495E-02 7 4.373 524.87500 94. kN/m 94.453 788.9442636E-02 20 6.299 7499.040 2711.5027244E-02 21 6.8144249E-02 3 4.8724 737.2341 737.470 1148.5896742E-02 14 6.87500 94.375 3401.87500 94.576 1176.87500 94.5612562E-02 13 6.0932026E-02 2 3.33 3346.6177 820.0932022E-02 10 3. m 1 2.8251289E-02 23 6.7921430E-02 22 6.040 2538.995 7323.0174492E-02 5 4. RESMAFLAPR) PRIMERA ITERACIÓN I DELTA.87500 94.87500 94.6178 763.509 10842.87500 94.87500 94.8686 1183.012 3483.13 5029.5830663E-02 15 6.87500 94.8042545E-02 19 3.962 3440.87500 94. kN/m3 8757.854 3360.87500 94.789 8642.87500 94.853 8757.961 2538.0091716E-02 6 4.87500 94.038 7545.2344 524.0057547E-02 4 4.5612555E-02 17 6.87500 94.329 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 kv.87500 94.87500 94.749 3440.2981077E-02 12 6.87500 94. 78369 83.86780 83.4282142E-02 12 6.750 7278.2071104E-02 19 6.2434021E-02 17 6.2033 174.66240 84.6465 177.2842853E-02 14 6.345 7302.1085 350.34 Kv.78659 66.1950084E-02 6 6.01763 90.2012635E-02 7 6.2771484E-02 15 6. m 1 6.938 8940.8285 144.64 9476.1891306E-02 23 6.63 9389.1289 139.76829 66.14658 87. kN/m 350.60823 66.2485550E-02 21 6.7110 137.7620 145.56116 90.7419 263.964 9389.1829828E-02 R.439 8940.345 8914.1998703E-02 10 6.4282142E-02 18 6.2114637E-02 9 6.4273 137.2012658E-02 5 6.6651 175.889 7607.48302 66.90398 ÚLTIMA ITERACIÓN I DELTA. kN/m 11444.1085 175.1816312E-02 8 6.7419 137.60825 66.8193121E-02 RE.1491836E-02 22 6.78368 84.750 DELTAE = 5.9773 84.66241 145.241 7270.2434003E-02 13 6.1289 87.6652 175.2071085E-02 11 6.94156 . kN/m 263.1998695E-02 2 6.3361 140.439 11444.7620 144.8804 67.63956 90.8285 137.76830 47.2114622E-02 3 6.6465 47.4273 137.049 7270.938 8933.965 8914.6182 174.2842861E-02 16 6.1816320E-02 4 6.6182 139.14658 83.48304 140.3360 139.1828639E-02 20 6. 264 8610.02 8454.03229 66.583 5373.01849 141.66 10632.1639 179.66 8454.4730 176.397 3730.283 10724.1914 175.5224 352.4730 176.0355 141.62440 66.35 Kv.75056 .69 10676.01847 66.262 5400.28436 66.22 10632.281 14268.2349 66.1640 46. kN/m 14268.584 5400.9908 175.0355 139. kN/m 352.62439 46.581 5352.018 5352.2299453E-02 m RE.02 8610.56 5416.03227 66.395 10932.9908 139.5224 176.68 10724.277 7437.310 DELTAE = 6.81804 91.580 3730. 5/2 = 0.76 kN Cpu = fc Ab cu Nc * Profesor del Departamento de Geotecnia. sometido a un esfuerzo cortante q en su superficie. FSp = 2. Capacidad de carga Usamos la siguiente expresión Qu   Σ ca Δz + fc Ab cu Nc (25) Nc = 5.5.002275 + 0.50)(2)+(26.5 Cpa = Cpu/FSp = 67. El hundimiento total del pilote es la suma de los hundimiento a corto y largo plazo: δx = 0.51 kN Ca = 303.2(0.5(9) = 61.33a) x  x2  y 2 x y  x2  y 2  1   x  qy1  ln  ln  E  y y x  Sustituyendo valores con q = 61.25 m. E = Eum = 13167 kPa.5 kN Cu = Csu + Cpu = 414. 1974.76 + 67.12)(2)+(21.26 kN Csa = Csu/FSs = 414.25)(2)] = 414. UNAM El desplazamiento lateral de la esquina de un rectángulo de ancho x y longitud y.5. encontramos δx* = 0. ν = 0.51/0.51 kN Usar FSs = 1.005674 m.5) = 2 m Ab = 0.002275 m.51 + 27 = 303. El asentamiento a largo plazo se obtiene usando E’m = 0. .5 fc = 1.88)(3)+(24. Facultad de Ingeniería.5 m.25 Csu =  Σ ca Δz =2[(20.25 m2 Las magnitudes de la adherencia entre suelo y pilote las encontramos a partir de la tabla 1 Estrato A B C D cu kPa 23 25 28 30 ca kPa 20.5. está dado por (Poulos y Davis. Para D/B ≥ 2 se empleará Nc = 7.5) = 67.001418(4) = 0.5 = 18 >> 2 Nc = 7. D/B = 9/0.88 24.EJEMPLO DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE UN PILOTE DE CONCRETO REFORZADO Agustín Deméneghi Colina* Realizar el diseño geotécnico y el diseño estructural del pilote de sección cuadrada de concreto reforzado de la figura A. ecuación 3.  = 4(0.2 Cpu = 1. x = 0.3Eum = 3950 kPa.45 kPa. y = 9/2 = 4. Multiplicamos por 4 para hallar el desplazamiento del centro: δux = 0.45 kPa.23 D/B) (22) para D/B < 2.51 kN > Q = 300 kN Por lo tanto Cumple SOLUCIÓN Asentamientos Diseño geotécnico Debido a la carga vertical de 300 kN el pilote sufre un asentamiento inmediato ocasionado por los esfuerzos cortantes verticales τ = Csa/As = 276.50 26.0005687(4) = 0. División de Ingenierías Civil y Geomática. Procediendo en forma análoga obtenemos δx’ = 0.3 Eu fc' = 25 MPa fy = 420 MPa Ca = Csa + Cpa = 276.52 = 0. ν = 0.76/1.0005687 m.5/2.5 = 27 kN Eu = 500 cu E’ = 0.14 (1+ 0.5 = 482.12 21.25)(30)(7.5 = 276.007949 m.005674 = 0. apoyado en un medio semiinfinito. El análisis para la carga horizontal de 100 kN lo llevamos a cabo considerando al pilote como una viga apoyada sobre los “estratos verticales” de 0. marzo de 2010 Referencia Poulos. Los cálculos se inician con la reacción uniforme sobre el terreno: r = 100/9 = 11. diseñamos el pilote como una columna corta sometida a una fuerza axial de 300 kN. El diseño estructural del pilote se presenta en Ejemplo de Diseño Estructural de un Pilote de Concreto Reforzado (archivo: Pilote diseño estructural.2 Diseño estructural Interacción suelo-estructura Dividimos el pilote en seis tramos. E H.86) = 22. Wiley. El diseño estructural se efectúa con los elementos mecánicos obtenidos en la última iteración. respectivamente.m. D F.16 kN.m y 22.xls).3(73.doc) se exhiben los resultados de la última iteración.for. Consideremos que obra sobre el pilote otra fuerza lateral de 30 kN en la dirección perpendicular a la fuerza lateral del 100 kN.91 kN. H G y Davis.m y V = 49. indicados en la figura C. en la cual los desplazamientos del suelo prácticamente coinciden con los desplazamientos del pilote.86 kN. y fueron Grado de libertad 1 2 3 4 5 6 7 se Eu kPa 11500 12000 12500 13250 14000 14500 15000 La interacción suelo-estructura se realiza por iteraciones. Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. y dos momentos: 73. Las propiedades de deformación hallaron con Eu = 500 cu.16 kN. como se muestra en la figura B. Los valores máximos del momento flexionante y de la fuerza cortante son M = 73. el momento flexionante en estas condiciones es del orden de 0.3 m de espesor. Se empleó un módulo de elasticidad del concreto reforzado Ec = 10000 √ fc’ = 10000 √ 250 = 158 114 kg/cm2 ≈ 15 811 400 kPa. 1974 (Diseño pilote) .86 kN. en el anexo 1 (Pilote. Ciudad Universitaria. usando la matriz de flexibilidades del terreno (Ccmaflx. SAP). Por lo tanto. Mafdatx01) y el análisis estructural del pilote como viga (Pilote01.m (DisEstPilote.111 kN/m.doc). 5 m ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES DEL SUBSUELO FIGURA A (Interacción suelo-pilote) .3 300 kN 100 kN cu = 23 kPa Estrato A 2m cu = 25 kPa Estrato B cu = 28 kPa Estrato C 3m 2m 2m cu = 30 kPa Estrato D 0. 4 δ1 1.50 m 6 Estrato D δ7 0.5 m NUMERACIÓN DE BARRAS Y GRADOS DE LIBERTAD FIGURA B .75 m 2 δ3 1.75 m 1 Estrato A δ2 1.50 m 5 δ6 1.25 m Estrato B 3 δ4 1.25 m 4 Estrato C δ5 1. 3 0.5 m "ESTRATOS" DEL SUBSUELO FIGURA C .3 0.5 "Estrato 3" "Estrato 1" "Estrato 2" 100 kN 1 Estrato A 2 Estrato B 3 4 Estrato C 5 Estrato D 6 0.3 0. 23 31227.958261 5. kN/m 69.3201581E-04 1.doc.0147872E-04 KV. Ccmaflx.27 25557. m 1 2 3 4 5 6 7 I 2.58694 13.5675568E-04 1.4899402E-03 7. kN/m 1 2 3 4 5 6 7 28623.for.88 29917.30 33874.67349 7.6 ANEXO 1 INTERACCIÓN SUELO-PILOTE ÚLTIMA ITERACIÓN (Archivos: Pilote.583399 .58 R.1914587E-04 3.1099681E-03 1.53 28520.34 33501.048215 3.02183 26.501012 4. Mafdatx01) SEIS BARRAS I DELTA.8922729E-04 2.