Definición de un Vector en R2, R3 (interpretación geométrica) y su Generalización en RnMaterial de apoyo UNIDAD I NOMBRE TEMAS Vectores 1.1 Definición de un Vector en R2, R3 (interpretación geométrica) y su Generalización en Rn Representación de las operaciones en R2 y R3. Dirección de los vectores 1.- La dirección de un vector es el ángulo medido en radianes que forma el vector con el eje positivo de las El ángulo se puede medir haciendo pero es importante localizar el vector puesto que da valores entre mientras que el ángulo buscado estará entre y y Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector ; sin embargo el vector está en el segundo cuadrante; por lo tanto el ángulo será de REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO POR ESCALAR. La multiplicación de un vector por un escalar Ver la animación. Ver la animación. Ver la animación. Si el vector conserva su dirección; si el vector obtenido tiene la dirección contraria. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES. Para vectores posición la suma es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores y . La resta o es el vector representado por la otra diagonal ( al hacer el punto final del vector es y el inicial , por eso la flecha, si fuera el punto final sería el de y el vector tendría la dirección opuesta ) Ver la animación. Ver la animación. 2.- Sean positivos vector Como los ángulos que forma el vector con los ejes respectivamente. Estos son los ángulos directores del ; directores. son los cosenos Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 3 cuyos ángulos directores son con lo que el vector es un vector unitario con la dirección descrita. Como se quiere que el vector tenga magnitud el vector será Ejemplo 3: Encontrar el vector cuyos ángulos directores sean Como cos no existe ningún vector que tenga esa dirección. Respecto a la suma y resta de vectores en los vectores resultantes son igual que para la diagonal. Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. . Clasificación Podemos encontrar una serie de diferentes tipos de vectores. Vectores Libres Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, que son sus proyecciones sobre los tres ejes de coordenadas de un sistema ortogonal que se eligió como referencia. Este tipo de vectores tiene la propiedad de que se puede trasladar su origen a cualquier punto del espacio, manteniendo su módulo y su sentido constantes, y su dirección paralela. Vectores Deslizantes Estos vectores pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Vectores Fijos Para determinarlos, es preciso conocer sus cuatro elementos característicos mencionados antes: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Vectores Equipolentes Son vectores libres que tienen igual módulo, misma dirección y sentido. Sus rectas soportes son paralelas o coincidentes. Por lo tanto, estos vectores tendrán las mismas componentes cartesianas. Vectores Opuestos Son aquellos vectores que tienen la misma dirección y módulo, pero sentidos opuestos. Dos vectores A y B son opuestos si tienen igual tamaño, igual dirección pero sentido contrario. Es decir A B ( A = -B ) Magnitudes Vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: • • • • Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. • Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. Vectores iguales: Dos vectores A y B son iguales si tienen igual tamaño, dirección sentido. Es decir: y A (A = B ) B Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Representación gráfica de un vector. Un vector se representa por una línea orientada, la cual indica la dirección, y por una flecha, la cual indica su sentido. La longitud de la línea es proporcional a la magnitud del vector. Si deseamos representar un vector A de magnitud 4 [km] Norte 30° Este: N 30° 1 [km] A E ESCALA: O S Tamaño, norma, módulo o magnitud de un vector: Si A representa un vector, su tamaño, norma, módulo o magnitud se designa como: | A | = A. DESCOMPOSICIÓN EN UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i +(ay +by)j+(az+bz) k Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. r = rx + ry + rz Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad. De ese modo, Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por: Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j y k. También puede representarse de la siguiente forma: Módulo de un Vector Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por: Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional. Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que: y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es: Aplicación: coordenadas intrínsecas y cosenos directores |a| = modulo del vector ua = vector unitario de a Las proyecciones de a sobre los ejes x, y, z, respectivamente, equivalen a: Si aplicamos la formula (Basada en el teorema de Pitágoras): Entonces: de donde se deduce que: Se debe hacer notar que la proyección de a en una dirección cualquiera (por ejemplo: ax) es un escalar, mientras que su componente en la misma dirección (por ejemplo: ax · i ) es un vector . Para un vector genérico a, los cosenos de los ángulos , y , que forma con los semiejes x, y, z, respectivamente, se denominan cosenos directores de a. Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano
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