Definición de trigonometría.docx

1.- CONCEPTOS BASICOS 1.1 DEFINICIÓN DE TRIGONOMETRÍA El primer paso antes de entrar de lleno en el análisis del significado de la palabra trigonometría es proceder al establecimiento de su origen etimológico. En este sentido tenemos que exponer que el citado se encuentra en el griego donde podemos observar cómo está formada aquella por la unión de trigonon que equivale a “triángulo”, metron que puede definirse como “medida” y tria que es sinónimo de “tres”. La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Esta especialidad interviene en diversas áreas de las matemáticas en las que se necesita trabajar con precisión. La trigonometría, de todas formas, cuenta con una amplia variedad de aplicaciones. Permite, por ejemplo, medir las distancias entre dos ubicaciones o cuerpos celestes a partir de técnicas de triangulación. La trigonometría también se aplica en los sistemas de navegación satelital. Existen tres unidades que emplea la trigonometría para la medición de ángulos: el radián (considerada como la unidad natural de los ángulos, establece que una circunferencia completa puede dividirse en 2 pi radianes), el gradián o grado centesimal (que permite dividir la circunferencia en cuatrocientos grados centesimales) y el grado sexagesimal (se usa para dividir la circunferencia en trescientos sesenta grados sexagesimales). Las principales razones trigonométricas son tres: el seno (que consiste en calcular la razón existente entre el cateto opuesto y la hipotenusa), el coseno (otra razón pero, en este caso, entre el cateto adyacente y la hipotenusa) y la tangente (la razón entre ambos catetos: el opuesto sobre el adyacente). Las razones trigonométricas recíprocas, por otra parte, son la cosecante (la razón recíproca del seno), la secante (la razón recíproca del coseno) y la cotangente (la razón recíproca de la tangente). Estas son las distintas clases de razones trigonométricas principales, pero tampoco podemos obviar que también hay otros elementos fundamentales dentro de esta rama de las Matemáticas que ahora nos ocupa. En concreto, nos estamos refiriendo a las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Estas últimas nos llevarían a hablar de lo que se conoce como circunferencia goniométrica que se caracteriza por el hecho de que su radio es la unidad en sí y su centro no es otro que el origen de las coordenadas pertinentes. Todo ello sin olvidar tampoco que en la misma los ejes de las coordenadas lo que hacen es delimitar cuatro cuadrantes que están enumerados en lo que es el sentido contrario al que marcan las agujas de un reloj. Se conoce como identidad trigonométrica a la igualdad que involucra a funciones trigonométricas y que resultan verificables para cualquier valor de las variables (los ángulos sobre los que se aplican las funciones). Además de todo lo expuesto no podemos tampoco pasar por alto la existencia de dos modalidades de trigonometría. Así, en primer lugar, tendríamos la llamada trigonometría esférica que es aquella parte de las Matemáticas que se centra en proceder al estudio de lo que son los triángulos de tipo esférico. En segundo lugar, por su parte, también está la conocida como trigonometría plana. En este caso, como su propio nombre indica, es aquella ciencia que tiene como objeto de análisis y estudio los diversos triángulos planos. 1.2 DEFINICIÓN DE ÁNGULO La noción de ángulo, que procede del vocablo latino angŭlus, hace referencia a una figura de la geometría que se forma a partir de dos rectas que se cortan entre sí en una misma superficie. También puede decirse que un ángulo está formado por dos semirrectas que comparten un mismo vértice. Los ángulos pueden medirse en diferentes unidades: el grado sexagesimal y el radián son las medidas más frecuentes. De acuerdo a esta medición, los ángulos se clasifican de distintas maneras. Si nos situamos en el terreno de los grados sexagesimales, un ángulo recto, por ejemplo, mide 90°. Si el ángulo mide menos de 90° pero más de 0°, se lo califica como agudo. En cambio, si mide más de 90° y menos de 180°, recibe el nombre de ángulo obtuso. La unidad que primero se enseña en la escuela es el grado sexageximal, ya que resulta más fácil de comprender: con ayuda de un instrumento de medición, como ser el transportador, debemos determinar la apertura del ángulo y asignarle el valor correspondiente, de manera similar a lo que hacemos al medir la extensión de un objeto en centímetros. Sin embargo, el radián es mucho más útil y se usa de forma predominante en el ambiente científico. Para llevar a cabo la medición de un ángulo en radianes debemos continuar su arco hasta completar un círculo imaginario, en cuyo centro se ubica el vértice del primero; en otras palabras, podemos pensar en un pastel al que le falta una porción, siendo ésta el ángulo a medir. El valor de 1 radián es el equivalente al arco cuya longitud es, a su vez, igual a la del radio de la circunferencia en cuestión; la mitad de la circunferencia es π (pi) radianes, mientras que 2π radianes es la circunferencia completa. Convertir un valor en grados sexagesimales a radianes consiste en multiplicarlo por pi y dividirlo por 180. El ángulo nulo, el ángulo llano, el ángulo cóncavo y el ángulo completo son algunos de los tipos más comunes. También, tomando otras características, puede hablarse de ángulos adyacentes, ángulos suplementarios, ángulos complementarios, ángulos exteriores, ángulos interiores y ángulos sólidos. En el ámbito del desarrollo de gráficos por ordenador, que abarca diversas formas de entretenimiento modernas como ser el cine y los videojuegos, el concepto de ángulo se encuentra entre los más relevantes, ya que aparece en diversas situaciones: el punto de vista de la cámara, la dirección en la que se traslada un objeto, la rotación de las diferentes partes de un modelo animado, las colisiones entre dos objetos (como ser el suelo y un personaje o dos personajes), y la influencia del viento en el escenario son tan sólo algunos ejemplos. A diferencia de otras operaciones, como la suma y la multiplicación, el cálculo necesario para averiguar el valor de un ángulo es relativamente exigente para un procesador, así como el de la raíz cuadrada, y por eso los programadores deben encontrar métodos “económicos” para evitar la sobrecarga en tiempo de ejecución; una solución muy común consiste en calcular todos los valores necesarios durante la carga del programa, para elaborar una lista que luego pueda ser consultada sin problema. Más allá de los límites de la geometría, suele utilizarse la idea de ángulo para nombrar a una esquina o a un rincón: “Creo que podríamos colocar la biblioteca nueva en aquel ángulo”, “El florero de la abuela se luce en un ángulo del comedor”. Ángulo, por otra parte, es una perspectiva o un punto de vista. Se dice que una persona observa la realidad de acuerdo a una mirada propia y particular, conocida como ángulo: “Desde mi ángulo, la experiencia es lo más importante para realizar con éxito este tipo de tareas” 1.3 UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS Existen principalmente tres unidades de medida de ángulos: El ángulo es la región del plano comprendida entre dos rectas que se unen en un mismo punto llamado origen. Los ángulos se calculan siempre en sentido contrario a las agujas del reloj. Radián El radián es una unidad de medida del Sistema Internacional de Unidades. Es el ángulo de la circunferencia que abarca un arco de longitud igual al radio de la misma. Su símbolo es rad. La magnitud de un radián sería la de la longitud del arco que delimitan las dos rectas de dicho ángulo si estuviésemos en una circunferencia de radio 1. Ángulo en radianes = longitud del arco / radio Una vuelta entera a una circunferencia son 2π radianes. Grado sexagesimal Los grados sexagesimal dividen una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que una vuelta a la misma son 360º. 360º Su símbolo es °. Un ángulo recto son 90º (90 grados sexagesimales). Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos (su símbolo es ‘) y cada minuto sexagesimal se divide en 60 segundos (su símbolo es ”). Por ejemplo, podríamos escribir un ángulo sexagesimal como 87º 31’ 44”. También cabe expresar los grados sexagesimales con notación decimal. El ángulo del ejemplo anterior sería, con notación decimal, 87,5289°. Grado centesimal (o gradián) El tercer sistema de medir los ángulos son los grados centesimales (o los gradianes). Divide una circunferencia en 400 partes iguales. Su símbolo es g. Un ángulo recto mide 100g. Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales. Su símbolo es m. A su vez, cada minuto centesimal se divide en 100 segundos centesimales. (Su símbolo es s). Igualmente, podríamos escribir un ángulo centesimal como 87g 31m 44s. En este caso, su expresión decimal sería directamente 87,3144g. Equivalencia entre radián, grado sexagesimal y grado centesimal Sabiendo que una vuelta a la circunferencia son 360º grados sexagesimales, 400g grados centesimales o 2π radianes, podemos saber la relación entre estas tres unidades: Equivalencias de algunos ángulos notables: Las fórmulas de equivalencia entre ángulos son: 1.4 TRANSFORMACIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA Las dos relaciones siguientes permiten calcular en grados la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes de cualquier ángulo medido en grados: 360 grados = 2 π radianes 180 grados = π radianes Para transformar de grados a radianes se multiplican los grados por π radianes y luego se divide por 180°. Ejemplo: Transformar 45 grados a π radianes. Solución: 45° x π radianes = π radianes 180° 4 Para transformar radianes a grados se multiplican los π radianes por 180° y luego se divide por π radianes. Ejemplo: Transformar 5 π radianes a grados sexagesimales. 3 Solución: 5 π radianes x 180° = 300° 3 π radianes 1.5 PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen . Dos ejes perpendiculares entre sí. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados . Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas. Ver: PSU: Geometría; Pregunta 04_2005 Ejemplo: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y). De modo inverso, este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5). De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. 1.5.1 Definición de abscisa Se conoce como abscisa (vocablo derivado del latín abscissa, “cortada”) a una coordenada de dirección horizontal que aparece en un plano cartesiano rectangular y que se expresa como la distancia que existe entre un punto y el eje vertical. El denominado eje de abscisas representa al eje de coordenadas horizontal. Este término que nos ocupa y otros muchos más, como sería el caso de las ecuaciones o los ejes, son conceptos todos ellos fundamentales y claves en lo que se da en llamar geometría analítica. Esta es un área científica que se encarga de llevar a cabo lo que es el estudio de las diversas figuras geométricas mediante el uso de una serie de técnicas, de álgebra y análisis matemático, en lo que es un sistema de coordenadas. Dicha área hay que subrayar que tiene su origen en la geometría cartesiana, el movimiento que desarrollaría René Descartes en el periodo comprendido entre los siglos XVII y XVIII. No obstante, tampoco podemos pasar por alto que, de un modo u otro, también “bebe de las aguas” de la geometría diferencial, desarrollada por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss, y de la geometría algebraica. Este último autor ha pasado a la historia de las Matemáticas por diversas cuestiones y entre ellas habría que destacar, sin lugar a dudas, por el hecho de que fue el primer científico en llevar a cabo lo que es la prueba del teorema fundamental del álgebra. De la misma manera tampoco hay que pasar por alto la estructura que otorgó a la Teoría de números y el amplio número de publicaciones que realizó entre las que destaca Disquisitiones arithmeticae. En el año 1801 fue cuando se publicó este citado trabajo, que está escrito en latín, donde entra de lleno en lo que es el teorema fundamental del álgebra. El sistema de referencia en relación a un eje (una recta), dos (un plano) o tres ejes (en el espacio) que resultan perpendiculares entre sí y que coinciden en un cierto punto que se identifica con el nombre de origen de coordenadas, se conoce como coordenadas cartesianas. En un plano, la coordenada cartesiana X recibe el nombre de abscisa, mientras que la coordenada cartesiana Y se distingue con la expresión “ordenada”. Cuentan los expertos en la materia que el sistema cartesiano se ha bautizado en honor al filósofo, científico y matemático René Descartes (1596–1650), quien buscó respaldar sus razonamientos filosóficos a partir de un punto de inicio sobre el cual edificar todo el conocimiento. Descartes, como sabrán muchos de ustedes, suele estar considerado como el padre de la geometría analítica. En el marco de un sistema de coordenadas lineal, un punto cualquiera que forme parte de una determinada recta puede vincularse y ser simbolizado por medio de un número real (el cual será positivo si se trata de un punto localizado a la derecha de O o negativo si se encuentra en la porción izquierda). El centro de coordenadas O corresponde al valor 0. Un sistema de coordenadas plano, por su parte, está compuesto por dos líneas perpendiculares que se interceptan en su origen. Cada uno de los puntos del plano puede representarse a través de números. Por último, un sistema de coordenadas espacial nuclea a tres rectas que resultan perpendiculares entre sí (llamadas X, Y y Z), las cuales se encuentran en un punto de origen (0) y cuyos puntos del espacio pueden representarse a través de tres números. Distancia entre dos puntos Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x 2 – x 1 ) . Ejemplo: La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación: (1) Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y emplear el Teorema de Pitágoras . Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos P 1 (7, 5) y P 2 (4, 1) Demostración Sean P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) En la Figura 1 hemos localizado los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) así como también el segmento de recta Figura 1 Al trazar por el punto P 1 una paralela al eje x (abscisas) y por P 2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R , determinado el triángulo rectángulo P 1 RP 2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras : Pero: ; y Luego, 1.5.2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS Demostración de la ecuación de la circunferencia (origen) Ecuación de la circunferencia con centro (0, 0) Para hallar la circunferencia con centro en el origen será necesario conocer el radio de esta o un punto por donde pasa la circunferencia, cuando se conoce el radio será más sencillo puesto que la ecuación tendrá como estructura , luego al hallar el radio únicamente conoceremos la ecuación terminada, cuando conocemos un punto de la circunferencia deberemos usar la ecuación de distancia y hallaremos el radio. Circunferencia con centro en el origen (dado su radio) Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m. Ecuación de circunferencia con C(0,0) y que pasa por P(4, 3) Ejemplo: Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y un punto en (0, 3). En este momento ya se conoce el radio que es igual a 3 ya que la distancia es igual al diámetro (en el caso de este ejercicio). Así que ya se podrá estructurar la ecuación que quedara como: Demostración de la ecuación de la circunferencia (no origen) Obtener la Ecuación de la circunferencia con centro (C) fuera del origen de las coordenadas Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos métodos: Método por desarrollo y método con las fórmulas conocidas. Método por desarrollo Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la circunferencia será donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3) entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como Nota: algunos usan otras letras, como Sigamos. Tenemos nuestra ecuación ordinaria y desarrollamos sus dos binomios: Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general: que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio es 5. Método con las fórmulas conocidas Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas Si Si Si Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b) Entonces, hacemos: F = 4 + 9 ─ 25 = ─12 Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del desarrollo. Ecuación ordinaria de una circunferencia dado su centro y radio Ecuación ordinaria de la circunferencia Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h, k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2, 6) y con radio r = 4. Centro y radio de una circunferencia (no origen) dada su ecuación Ejemplo: Dada la circunferencia de ecuación , hallar el centro y el radio. Ecuación general de la circunferencia dado su centro y radio Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así: Prueba Ejemplo: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2, 6) y radio r = 4. Observaciones: Dada la ecuacion de la circunferencia se cumple que: Ecuación de circunferencia, dado su centro y un punto de ella Ejercicio: Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3). Resolución: Así la ecuación es: Ecuación de circunferencia, dado su centro y una tangente Ejercicio: Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0 Resolución: El radio es la distancia del centro a una recta tangente: La ecuación es:  2.- FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 2.1 DEFINICION DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO CUALQUIERA Son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. Identidades trigonométricas fundamentales. Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).  Función Abreviatura Equivalencias (en radianes) Seno sin (sen) Coseno cos Tangente tan Cotangente ctg Secante sec Cosecante csc (cosec) 2.2 LAS TRES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS COMÚNMENTE USADAS SON:  Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:  Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:  Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es: 2.3 DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:  La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.  El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.  El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar. Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente: 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente: 6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: Animación de la función seno. 0° 30° 45° 60° 90° sen 0 1 cos 1 0 tan 0 1 2.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES En la actualidad para obtener el valor de una razón trigonométrica a partir de un ángulo dado, simplemente se utiliza una calculadora en la cual se introduce el valor del ángulo dado y se evalúa en la relación trigonométrica requerida. Los valores de estas razones también se pueden obtener utilizando triángulos rectángulos, cuyos ángulos serán a los que se les quiere encontrar sus razones trigonométricas. En ocasiones este método es muy engorroso, ya que para crear los triángulos se deben realizar bastantes operaciones. Sin embargo, existen ángulos en los que es muy fácil; a estos ángulos se les conoce como ángulos notables. En las matemáticas y específicamente en la trigonometría, la palabra “notable” se utiliza para referirnos a procesos o valores que están bien definidos o muy comunes, y por ende, se reconocen y memorizan fácilmente. En este sentido, los ángulos notables son aquellos que tienen valores que aparecen muy seguido en la vida cotidiana. Estos ángulos son los de 30°, 45° y 60° y, en segundo lugar, los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. Estos últimos, aunque no están definidos como 'notables', también son muy comunes. Para los 3 ángulos notables podemos encontrar las razones trigonométricas —seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante— sin conocer las medidas exactas de los triángulos que los contienen, pues estos ángulos están contenidos en dos triángulos muy especiales e importantes en geometría, a saber: los triángulos isósceles rectángulos y los triángulos equiláteros. Razones trigonométricas de ángulos notables 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º sen 0 12 2–√2 3–√2 1 0 −1 cos 1 3–√2 2–√2 12 0 −1 0 tg 0 3–√3 1 3–√ ∞ 0 −∞ cosec ∞ 2 22–√ 23–√ 1 ∞ −1 sec 1 23–√ 22–√ 2 ∞ −1 ∞ cotg ∞ 33–√ 1 13–√ 0 ∞ 0 2.5 MANEJO DE LAS TABLAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS NATURALES Como no faltaba el que se olvidaba de su calculadora, el profe optó por darnos esta tabla, así podíamos recurrir a ella sin complicarnos mucho. Ahora te la damos a tí por la utilidad que tiene. Ángulo seno coseno tangente Ángulo seno coseno tangente 0º 0,000 1,000 0,000 46º 0,719 0,695 1,036 1º 0,018 1,000 0,018 47º 0,731 0,682 1,072 2º 0,035 0,999 0,035 48º 0,743 0,669 1,111 3º 0,052 0,999 0,052 49º 0,755 0,656 1,150 4º 0,070 0,998 0,070 50º 0,766 0,643 1,192 5º 0,087 0,996 0,088 51º 0,777 0,629 1,235 6º 0,105 0,995 0,105 52º 0,788 0,616 1,280 7º 0,122 0,993 0,123 53º 0,799 0,602 1,327 8º 0,139 0,990 0,141 54º 0,809 0,588 1,376 9º 0,156 0,988 0,158 55º 0,819 0,574 1,428 10º 0,174 0,985 0,176 56º 0,829 0,559 1,483 11º 0,191 0,982 0,194 57º 0,839 0,545 1,540 12º 0,208 0,978 0,213 58º 0,848 0,530 1,600 13º 0,225 0,974 0,231 59º 0,857 0,515 1,664 14º 0,242 0,970 0,249 60º 0,866 0,500 1,732 15º 0,259 0,966 0,268 61º 0,875 0,485 1,804 16º 0,276 0,961 0,287 62º 0,883 0,470 1,881 17º 0,292 0,956 0,306 63º 0,891 0,454 1,963 18º 0,309 0,951 0,325 64º 0,899 0,438 2,050 19º 0,326 0,946 0,344 65º 0,906 0,423 2,145 20º 0,342 0,940 0,364 66º 0,914 0,407 2,246 21º 0,358 0,934 0,384 67º 0,921 0,391 2,356 22º 0,375 0,927 0,404 68º 0,927 0,375 2,475 23º 0,391 0,921 0,425 69º 0,934 0,358 2,605 24º 0,407 0,914 0,445 70º 0,940 0,342 2,747 25º 0,423 0,906 0,466 71º 0,946 0,326 2,904 26º 0,438 0,899 0,488 72º 0,951 0,309 3,078 27º 0,454 0,891 0,510 73º 0,956 0,292 3,271 28º 0,470 0,883 0,532 74º 0,961 0,276 3,487 29º 0,485 0,875 0,554 75º 0,966 0,259 3,732 30º 0,500 0,866 0,577 76º 0,970 0,242 4,011 31º 0,515 0,857 0,601 77º 0,974 0,225 4,331 32º 0,530 0,848 0,625 78º 0,978 0,208 4,705 33º 0,545 0,839 0,649 79º 0,982 0,191 5,145 34º 0,559 0,829 0,675 80º 0,985 0,174 5,671 35º 0,574 0,819 0,700 81º 0,988 0,156 6,314 36º 0,588 0,809 0,727 82º 0,990 0,139 7,115 37º 0,602 0,799 0,754 83º 0,993 0,122 8,144 38º 0,616 0,788 0,781 84º 0,995 0,105 9,514 39º 0,629 0,777 0,810 85º 0,996 0,087 11,430 40º 0,643 0,766 0,839 86º 0,998 0,070 14,300 41º 0,656 0,755 0,869 87º 0,999 0,052 19,081 42º 0,669 0,743 0,900 88º 0,999 0,035 28,640 43º 0,682 0,731 0,933 89º 1,000 0,018 57,289  44º 0,695 0,719 0,966 90º 1,000 0,000 Inf. 45º 0,707 0,707 1,000 2.6 PROBLEMAS DE APLICACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Las funciones trigonométricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en esos ejemplos se llama movimiento armónico. Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio. Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno. Para ayudar a la descripción del movimiento armónico, imagínese un punto P que se mueve a velocidad constante en la circunferencia de radio a (con el sentido invariable)  1. ¿Cuál es la altura de la torre? A) 84..3m B) 324.69m C) 23.31m D) 22.51m  2. ¿Cuál es la distancia del barco a la base del faro? A) 12.12m B) 14m C) 8.08m D) 6.06m   3. Determina la altura de la casa, si se sabe que el ángulo de elevación mide 42° y la distancia horizontal a la base de la casa es de 5m. A) 3.71m B) 5.55m C) 3.34m D) 4.5m  4. Suponiendo que el árbol de la figura mide 10m, y que el hombre está a una distancia de 4m del árbol, encuentra el ángulo de elevación que se forma. A) 68° B) 43° C) 21° D) 60°  5. ¿Cuál es la altura del árbol? A) 10.47m B) 13.28m C) 13.4m D) 21.76m  6. Un observador tiene un nivel visual de 1.70 m de altura, y se encuentra a 30 m de una antena (distancia horizontal). Al ver la punta de la antena, su vista forma un ángulo de elevación de 33° ¿Cuál es la altura de la antena? A) 26.9m B) 21.18m C) 19.48m D) 18m 3.- REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 3.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 3.2 Fórmulas De Reducción Fórmulas utilizadas en Trigonometría para reducir los valores de los ángulos que intervienen en la solución de ecuaciones, o de diferentes cálculos en un Triángulo y que sean mayores de 900, a ángulos x (00 < x < 900), pues sus razones trigonométricas coinciden exactamente con la de éstos, y que son conocidas de antemano. Los ángulos entre 00 y 900 son los ángulos del llamado del ICuadrante. Sus razones trigonométricas son conocidas, y cualquier otro ángulo mayor que estos, puede reducirse a uno de ellos mediante las fórmulas de reducción, y sus razones trigonométricas coinciden con las de éste, por lo que en la práctica se utilizan mucho estas fórmulas con este fin. Signos de las razones Teniendo en cuenta el análisis de los signos de las razones trigonométricas del Triángulo rectángulo que forma el vector que conforma el ángulo con los ejes de simetría, se infiere de una manera elemental el signo de las diferentes razones trigonométricas (Sen x, Cos x, Tan x, Cot x) en cada uno de los cuadrantes. Los signos son los siguientes:  I Cuadrante: Todas son positivas.  II Cuadrante: Sólo es positivo en Sen x. Los demás son negativos.  III Cuadrante: Son positivos la Tan x y Cot x. Los demás son negativos.  IV Cuadrante: Solo es positivo en Cos x. Los demás son negativos. En la escuela cubana, y de manera que los alumnos puedan memorizar estos signos, se menciona mucho una máxima del pueblo de Cuba: Todos Somos Trabajadores Cubanos Comunistas. Vemos en la frase que las iniciales en negrita, se refieren a las iniciales de las razones trigonométricas que son positivas en cada uno de los cuadrantes, es decir: la T, se refiere al I Cuadrante (positivos todos), la S al II (Solo es positivo el Sen x), la T, y la primera C, al III Cuadrante (Son positivas la Tan x y la Cot x) , y la última C al IV (Solo es positivo el Cos x). Ángulos notables Existen unos ángulos especiales por la frecuencia con que se trabaja con ellos. Aparecen en la solución de la mayoría de los ejercicios que se proponen a todos los niveles. Ellos son 00, 300, 450, 600, 900, 1800, 2700, y 3600. Estos ángulos se llaman ángulos notables, y sus razones trigonométricas son bien conocidas por todos. La siguiente tabla resume las razones trigonométricas de estos ángulos: Razones trigonométricas de ángulos notables 3.3 Funciones De 90° Tabla trigonométrica Sabemos que en este primer cuadrante las razones Sen x, Cos x, Tan x, y Cot x, que son las más usadas en la escuela cubana, tienen valores positivos. Se llama ángulo del I cuadrante a los ángulos que están entre 00 y 900 . Para ver sus razones trigonométricas, los matemáticos han proporcionado una tabla que recoge estos datos, y la búsqueda de estos es muy sencilla. Estas tablas las podemos encontrar en los libros de texto de Matemática de la escuela cubana del décimo grado en adelante. Se procede buscando el valor del ángulo en la primera columna, y en la primera fila buscamos el número que corresponde a los decimales. El número que ocupa la intercepción de esta fila y columna, constituyen los lugares decimales del resultado, que siempre empieza por 0,....... Ejemplo: Buscar el Sen 50,30 Siguiendo el procedimiento indicado podemos fácilmente comprobar que el número que encontramos en la intecepción es: 7694. Entonces podemos concluir que el Sen 50,30 = 0,7694 FUNCIONES DE 90-A E TÉRMINOS DE A En el II cuadrante el Sen x es el único positivo, las demás razones trigonométricas tienen valores negativos. Los ángulos que pertenecen a este cuadrante son mayores que 900 y menores que 1800, por lo que siempre lo podemos expresar como la diferencia entre 1800 y un ángulo agudo, o como la suma entre 900 y un ángulo agudo. Fórmulas de Reducción del II Cuadrante Razón 1800 - x 900 + x Sen x Sen (1800 - x) = Sen x Sen (900 + x) = - Cos x Cos x Cos (1800 - x) = - Cos x Cos (900 + x) = Sen x  Tan x Tan (1800 - x) = - Tan x Tan (900 + x) = - Cot x Cot x Cot (1800 - x) = - Cot x Cot (900 + x) = - Tan x Ejemplo: Calcule las razones trigonométricas de 1500 Solución: Podemos escribirlo como (1800 - 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). Las razones trigonométricas de 1500 coinciden con las de 300 que ya conocemos. En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 1500 podemos calcularlas de la siguiente manera: Sen (1800 - 300) = Sen 300 Cos (1800 - 300) = - Cos 300 Tan (1800 - 300) = - Tan 300 Cot (1800 - 300) = - Cot 300 Nota: Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 3.4 FORMULAS DE REDUCCIÓN PARA FUNCIONES DE 180-A En este cuadrante son positivos la Tan x y la Cot x. El Sen x y el Cos x son negativos. Un ángulo de este cuadrante es mayor que 1800 y menor que 2700, por lo que siempre se puede expresar como la suma de 180 0más un ángulo agudo (x), o como la diferencia entre 2700 y un ángulo agudo (x), por los que sus fórmulas de reducción son: Fórmulas de Reducción del III Cuadrante Razón 1800 + x 2700 - x Sen x Sen (1800 + x) = - Sen x Sen (2700 - x) = - Cos x Cos x Cos (1800 + x) = - Cos x Cos (2700 - x) = - Sen x Tan x Tan (1800 + x) = Tan x Tan (2700 - x) = Cot x Cot x Cot (1800 + x) = Cot x Cot (2700 - x) = Tan x Ejemplo: Calcule las razones trigonométricas de 2100. Solución:Podemos escribirlo como (1800 + 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 2100 podemos calcularlas de la siguiente manera: Sen (1800 + 300) = - Sen 300 Cos (1800 + 300) = - Cos 300 Tan (1800 + 300) = Tan 300 Cot (1800 - 300) = Cot 300 Nota: Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. IV CUADRANTE En este cuadrante es positivo son el Cos x. Los demás son negativos. Un ángulo de este cuadrante es mayor que 2700 y menor que 3600, por lo que siempre se puede expresar como la suma de 2700 más un ángulo agudo (x), o como la diferencia entre 3600 y un ángulo agudo (x), por los que sus fórmulas de reducción son: Fórmulas de Reducción del IV Cuadrante Razón 3600 - x 2700 + x Sen x Sen (3600 - x) = - Sen x Sen (2700 + x) = Cos x Cos x Cos (3600 - x) = Cos x Cos (2700 + x) = - Sen x Tan x Tan (3600 - x) = - Tan x Tan (2700 + x) = - Cot x Cot x Cot (3600 - x) = - Cot x Cot (2700 + x) = -Tan x Ejemplo: Calcule las razones trigonométricas de 3300. Solución:Podemos escribirlo como (3600 - 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 3300 podemos calcularlas de la siguiente manera: Sen (3600 - 300) = - Sen 300 Cos (3600 - 300) = Cos 300 Tan (3600 - 300) = - Tan 300 Cot (3600 - 300) = - Cot 300 Nota: Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. Ángulos coterminales Sabemos calcular las razones trigonométricas de ángulos entre 00 y 3600. Los que están entre 00 y 900(I Cuadrante), tienen sus razones en una tabla trigonométricas y los que están entre 900 y 3600 (del II a IV Cuadrante), se pueden reducir a un ángulo del I Cuadrante a través de las fórmulas de reducción. El cuál posee las mismas razones trigonométricas que él, y que sabemos calcular. ¿Pero qué pasaría si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayor a 3600?. Sencillo, estos ángulos se obtienen al dar vueltas completas a la circunferencia trigonométrica, más un ángulo entre 00 y 3600 grados. Este ángulo entre 00 y 3600 tiene las mismas razones trigonométricas que él, y que ya sabemos calcular. En la práctica se divide el ángulo entre 3600, y el resto de esa división es el ángulo entre 00 y 3600 grados que tiene sus mismas razones trigonométricas. A estos ángulos se les llama ángulos coterminales. Ejemplo 1: Calcule las razones trigonométricas de 7200. Solución: 7200 = 2 .3600 + 00, así que 7200 y 00 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos. Ejemplo 2: Calcule las razones trigonométricas de 7500. Solución: 7500 = 2 . 3600 + 300, así que 7500 y 300 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos por ser un ángulo notable. Ejemplo 3: Calcule las razones trigonométricas de 12300. Solución: 12300 = 3 . 3600 + 1500, así que 12300 y 1500 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos por poder calcularlas con las fórmulas de reducción del II Cuadrante 4.- GRAFICACION DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS 4.1 DEFINICIÓN DE AMPLITUD Y PERIODO. En electrónica al momento de analizar una onda se debe tener en cuenta 3 factores los cuales son Frecuencia, período y amplitud, estos son elementales cuando se evalúa una señal. La frecuencia es una magnitud la cual contabiliza las repeticiones por unidad de tiempo de cualquier suceso periódico, para calcular esta magnitud se toman en cuenta un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. La frecuencia se mide en hercios (Hz), esto en honor a Heinrich Rudolf Hertz. Un hercio es la representación de un suceso repetido una vez por segundo, esto se puede ver en la siguiente formula. La frecuencia puede dividirse en alta frecuencia y baja frecuencia, entre menos sucesos sucedan en un periodo, la frecuencia será más baja, por el contrario si existen más sucesos en el mismo periodo la frecuencia será alta, un ejemplo de esto se ve en las siguientes gráficas. Frecuencia alta y frecuencia baja Período El periodo de una onda comúnmente es representado por la letra “T” y no es otra cosa más que el tiempo transcurrido entre 2 puntos equivalentes de la onda. Anuncio Amplitud En física la amplitud (del latín amplitūdo) de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o señal electromagnética es una medida de la variación máxima del desplazamiento u otra magnitud física que varía periódica o cuasi periódicamente en el tiempo. Es la distancia entre el punto más alejado de una onda y el punto de equilibrio o medio. 1 = Amplitud, 2 = Amplitud de pico a pico, 3 = Media cuadrática, 4 = Periodo. 4.2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS Las funciones trigonométricas son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).  FUNCIONES TRIGOMOMETRICAS DIRECTAS Seno La función seno es la f (x) = sen x asociación entre un ángulo dado x y el valor de su seno Coseno La función coseno es f(x) = cos x la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su coseno. Tangente La función tangente f(x) = tg x es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su tangente. Cotangente La función f(x) = cotg x cotangente es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su cotangente. Secante La función secante f(x) = sec x es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su secante. Cosecante La función cosecante f(x) = cosec x es la asociación entre un ángulo dado x y el valor de su cosecante. 4.3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son invectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Conviene recordar que: a). Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente). b.) Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función 5.- IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.1 DEFINICIÓN DE IDENTIDAD Y ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas. Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo: Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo. Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas: A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: Se llama ecuación a toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas y que solo se verifica, generalmente, para determinados valores de la incógnita. Generalmente, las incógnitas se representan mediante las últimas letras del abecedario: x, y, z. Así, por ejemplo 4x + 3 = 2x + 7 es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x , está igualdad tan sólo se verifica para el valor x=2. En efecto, si sustituimos la x por 2, tendremos: 4(2) + 3 = 2(2) + 7. Es decir 8 + 3 = 4 + 7. O sea, 11 = 11, tal como queríamos comprobar De acuerdo al teorema de pitágoras : Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad: Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas: Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad: Su solución : Otra de las identidades trigonométricas sería la de división: Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos: Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos: Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos: Identidades trigonométricas de ángulo doble: Identidades trigonométricas de mitad de ángulo: Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas : ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Se llama ecuación a toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que reciben el nombre de incógnitas y que solo se verifica, generalmente, para determinados valores de la incógnita. Generalmente, las incógnitas se representan mediante las últimas letras del abecedario: x, y, z. Así, por ejemplo 4x + 3 = 2x + 7 es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x , está igualdad tan sólo se verifica para el valor x=2. En efecto, si sustituimos la x por 2, tendremos: 4(2) + 3 = 2(2) + 7. Es decir 8 + 3 = 4 + 7. O sea, 11 = 11, tal como queríamos comprobar 5.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: DEMOSTRACIONES Contenido de esta página:  Definiciones de las funciones trigonométricas: coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente.  Tabla de valores del seno, coseno y tangente de los ángulos usados más frecuentemente.  Demostraciones de las identidades trigonométricas más importantes: identidad fundamental, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, seno, coseno y tangente de la suma de ángulos, del ángulo doble, del ángulo mitad, etc Definiciones de las Funciones Trigonométricas sin(α),cos(α) tg(α),cosec(α) sec(α),cotg(α) Consideremos la circunferencia de radio h de la siguiente imagen:  Definimos el coseno del ángulo α como: cos(α)=ah Es decir, el coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo α del triángulo y la hipotenusa h. Definimos el seno del ángulo α como:  sin(α)=bh Es decir, el seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo α del triángulo y la hipotenusa h. También podemos escribirlo como sin (α). Definimos la tangente del ángulo α como: tg(α)=sin(α)cos(α) Es decir, la tangente es el cociente del seno y del coseno. También podemos escribirla como tan (α). Definimos la cosecante del ángulo α como: cosec(α)=1sin(α) Es decir, la cosecante es el inverso multiplicativo del seno (no es lo mismo que la inversa del seno, que es arcsen). También podemos escribirla como csc (α). Definimos la secante del ángulo α como: sec(α)=1cos(α) Es decir, la secante es el inverso multiplicativo del coseno (no es lo mismo que la inversa del coseno, que es arcos). Definimos la cotangente del ángulo α como:  cotg(α)=1tg(α) Es decir, la cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente (no es lo mismo que la inversa de la tangente, que es arctan). También podemos escribirla como cotan (α) y cot (α). 5.3 RESOLUCION DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene una o varias funciones trigonométricas de la variable trigonométrica del arco x. Despejar “x” significa encontrar los valores de los arcos trigonométricos, cuyas funciones trigonométricas hacen que la ecuación trigonométrica sea correcta.  Las respuestas, o valores de los arcos de solución, se expresan en grados o radianes. Ejemplos: x = Pi/3; x = 5Pi/6; x = 3Pi/2; x = 45⁰; x = 37,12⁰; x = 178,37⁰  Nota: en la circunferencia trigonométrica o circunferencia unitaria, las funciones trigonométricas de cualquier arco son las mismas funciones trigonométricas del ángulo correspondiente. La circunferencia unitaria define todas las funciones trigonométricas del arco variable x. También, se usa como demostración en la resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas.  Ejemplos de ecuaciones trigonométricas: o sen x + sen 2x = 1/2; tg x + cotg x = 1,732; o cos 3x + sen 2x = cos x; 2sen 2x + cos x = 1 . 1. La circunferencia unitaria. o Es una circunferencia con radio = 1 unidad y O como origen. La circunferencia unitaria define 4 funciones trigonométricas principales del arco variable x que rota en sentido antihorario en él. o Cuando el arco con valor x varía en la circunferencia unitaria: o El eje horizontal OAx define la función trigonométrica f(x) = cos x. o El eje vertical OBy define la función trigonométrica f(x) = sen x. o El eje vertical AT define la función trigonométrica f(x) = tg x. o El eje horizontal BU define la función trigonométrica f(x) = cotg x.  La circunferencia unitaria también se usa para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas básicas teniendo en cuenta las distintas posiciones del arco x en esta circunferencia. Pasos Conoce el concepto de resolución. o Para resolver una ecuación trigonométrica, transfórmala en una o en varias ecuaciones trigonométricas básicas. Finalmente, la resolución de ecuaciones trigonométricas da como resultado la resolución de 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas. Conoce cómo resolver ecuaciones trigonométricas básicas. o Existen 4 tipos de ecuaciones trigonométricas básicas: o sen x = a ; cos x = a o tg x = a ; cotg x = a o Resolución de los procedimientos de las ecuaciones trigonométricas básicas mediante el estudio de distintas posiciones del arco x en la circunferencia unitaria y mediante el uso de la tabla de conversión trigonométrica o calculadora. Para saber completamente cómo resolver estas ecuaciones trigonométricas básicas y similares, lee el libro titulado: "Trigonometry: Solving trig equations and inequalities" ("Trigonometría: Resolución de ecuaciones y desigualdades trigonométricas") (Amazon E-book 2010). o Ejemplo 1: resuelve sen x = 0,866. La tabla de conversión o calculadora te da x = Pi/3 como respuesta. La circunferencia unitaria da otro arco (2Pi/3) que tiene el mismo valor del seno (0,866). Además, la circunferencia unitaria da una infinidad de respuestas que se denominan soluciones extendidas. o x1 = Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi)) o x1 = Pi/3 + 2k Pi, y x2 = 2Pi/3 + 2k Pi (soluciones extendidas) o Ejemplo 2: resuelve: cos x = -1/2. La calculadora da x = 2 Pi/3 como resultado. La circunferencia unitaria da otro resultado x = -2Pi/3. o x1 = 2Pi/3 + 2k.Pi, y x2 = - 2Pi/3 (soluciones en el intervalo (0, 2Pi)) o x1 = 2Pi/3 + 2k Pi, y x2 = -2Pi/3 + 2k.Pi (soluciones extendidas) o Ejemplo 3: resuelve: tg (x - Pi/4) = 0. o x = Pi/4; (solución) o x = Pi/4 + k Pi; (soluciones extendidas) o Ejemplo 4: resuelve cotg 2x = 1,732. La calculadora y la circunferencia unitaria dará como resultado cotg 2x = 1,732. o x = Pi/12; (solución) o x = Pi/12 + k Pi; (soluciones extendidas) Aprende las transformaciones que se usan para resolver ecuaciones trigonométricas. o Para transformar una ecuación trigonométrica dada en una trigonométrica básica, usa transformaciones algebraicas comunes (factorización, factor común, identidades polinómicas...), definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. Existen aproximadamente 31, de las cuales las últimas 14 identidades trigonométricas, de la 19 a la 31, se denominan identidades de transformación, ya que se usan en la transformación de ecuaciones trigonométricas. Lee el libro mencionado anteriormente. o Ejemplo 5: la ecuación trigonométrica: sen x + sen 2x + sen 3x = 0 se puede transformar en un producto de ecuaciones trigonométricas básicas con el uso de identidades trigonométricas: 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. Las ecuaciones trigonométricas básicas que hay resolver son: cos x = 0 ; sen (3x/2) = 0 ; y cos (x/2) = 0. Halla los arcos cuyas funciones trigonométricas se conocen.  o Antes de aprender a resolver ecuaciones trigonométricas, debes saber cómo hallar rápidamente los arcos cuyas funciones trigonométricas se conocen. Las tablas trigonométricas y las calculadoras dan los valores de conversión de los arcos, o ángulos. o Ejemplo: después de resolver, tendrás cos x = 0,732. Las calculadoras dan el arco de solución x = 42,95⁰. La circunferencia unitaria dará otros arcos de solución con el mismo valor del coseno. Grafica los arcos de solución en la circunferencia unitaria. o Puedes graficar o ilustrar los arcos de solución en la circunferencia unitaria. Los puntos extremos de estos arcos de solución constituyen polígonos regulares en la circunferencia unitaria. Ejemplos: o Los puntos extremos de los arcos de solución x = Pi/3 + k.Pi/2 constituyen un cuadrado en la circunferencia unitaria. o Los arcos de solución x = Pi/4 + k.Pi/3 se representan mediante los vértices de un hexágono regular en la circunferencia unitaria. Aprende los métodos para resolver ecuaciones trigonométricas. o Si la ecuación trigonométrica dada contiene una sola función trigonométrica, resuélvela como una ecuación trigonométrica básica. Si la ecuación trigonométrica dada contiene dos o más funciones trigonométricas, existen 2 métodos para la resolución, según la posibilidad de transformación.  A. Método 1 o Transforma la ecuación trigonométrica dada en un producto en la forma: f(x).g(x) = 0 o f(x).g(x).h(x) = 0, en la cual f(x), g(x) y h(x) son ecuaciones trigonométricas básicas. o Ejemplo 6: resuelve: 2cos x + sen 2x = 0. (0 < x < 2Pi). o Solución: en la ecuación, reemplaza sen 2x por el uso de la identidad: sen 2x = 2*sen x*cos x. o cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*( sen x + 1) = 0. Luego, resuelve las 2 funciones trigonométricas básicas: cos x = 0, y (sen x + 1) = 0. o Ejemplo 7: resuelve: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2Pi). o Solución: transfórmalo en un producto con el uso de identidades trigonométricas: cos 2x(2cos x + 1 ) = 0. Después, resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2cos x + 1) = 0. o Ejemplo 8: resuelve: sen x - sen 3x = cos 2x. (0 < x < 2Pi). o Solución: transfórmalo en un producto mediante el uso de identidades trigonométricas: - cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Luego, resuelve las 2 ecuaciones trigonométricas básicas: cos 2x = 0, y (2sen x + 1) = 0.  B. Método 2 o Transforma la ecuación trigonométrica dada en una ecuación trigonométrica con una sola función trigonométrica como variable. Existen unos cuantos consejos sobre cómo seleccionar la variable adecuada. Las variables comunes a seleccionar son: sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t y tg (x/2) = t. o Ejemplo 9: resuelve: 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0 < x < 2Pi). o Solución: en la ecuación, reemplaza (cos^2 x) por (1 - sen^2 x), luego simplifica la ecuación: o sen^2 x - 2 - 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Calcula sen x = t. La ecuación se convierte en: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta es una ecuación trigonométrica con 2 raíces reales: t1 = -1 y t2 = 9/5. Se rechaza el segundo t2 ya que es > 1. Después, resuelve: t = sen = -1 --> x = 3Pi/2.  o Ejemplo 10: resuelve: tg x + 2 tg^2 x = cotg x + 2. o Solución: calcula tg x = t. Transforma la ecuación dada en una ecuación con t como variable: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Despeja t de este producto, luego resuelve la ecuación trigonométrica básica tg x = t for x. Resuelve tipos especiales de ecuaciones trigonométricas. o Existen unos cuantos tipos especiales de ecuaciones trigonométricas que requieren algunas transformaciones específicas. Ejemplos: o a*sen x+ b*cos x = c ; a(sen x + cos x) + b*cos x*sen x = c ; o a*sen^2 x + b*sen x*cos x + c*cos^2 x = 0. Aprende la propiedad periódica de las funciones trigonométricas. o Todas las funciones trigonométricas son periódicas, lo que significa que regresan al mismo valor después de una rotación por un periodo. Ejemplos:  La función f(x) = sen x tiene 2Pi como periodo.  La función f(x) = tg x tiene Pi como periodo.  La función f(x) = sen 2x tiene Pi como periodo.  La función f(x) = cos (x/2) tiene 4Pi como periodo. 6.- RESOLUCION DE TRIANGULOS 6.1 PROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIANGULOS Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:  Por sus lados Por sus ángulos Clasificación de triángulos según sus lados Triángulo equilátero Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden grados). Triángulo isósceles Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida. Clasificación de triángulos según sus ángulos Triángulo Rectángulo Si tiene un ángulo interior recto . A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo obtusángulo Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de ); los otros dos son agudos (menor de ). Triángulo acutángulo Cuando sus tres ángulos son menores a ; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo. Triángulo equiángulo Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente. Podemos ver en el esquema anterior que las clasificaciones comentadas en el apartado anterior se pueden combinar de dos a dos (una de cada apartado). Así, tenemos las siguientes características: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría. Los triángulos rectángulos pueden ser: Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes. Los triángulos obtusángulos son: Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. 6.1.1 LEY DE SENOS La ley de los senos se usa para encontrar los ángulos de un triángulo en general. Se se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos dos, se puede usar junto con la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado y los otros dos ángulos. Si se especifican dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, entonces se puede calcular el ángulo opuesto al otro. El tercer ángulo se determina por el hecho de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo debe ser igual a 180 grados 6.1.2 LEY DE COSENOS La ley de los cosenos para el cálculo de uno de los lados de un triángulo cuando se conocen el ángulo opuesto y los otros dos lados. Puede ser utilizado en conjunción con la ley de los senos para encontrar todos los lados y ángulos. Entrar datos para los lados a y b y uno de lado c, o ángulo C. Luego haga clic en el texto activo de la cantidad desconocida que desea calcular. El cálculo del lado c es directo, pero el cálculo de los lados a o b es más complicado, puesto que cambiando cualquiera de c o ángulo C, fuerza el cambio en ambos lados a y b. Para calcular a o b, primero use la ley de los senos para encontrar el ángulo opuesto al lado que desee calcular. A continuación, utilice la ley de los cosenos para encontrar la longitud del lado desconocido. 6.1.3 LEY DE TANGENTES Fig. 1 - Un triángulo. En trigonometría, el teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. En la Figura 1, a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β, y γ son los ángulos opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tangente establece que: Aunque el teorema de la tangente no es tan conocido como el teorema del seno o el teorema del coseno, es exactamente igual de útil, y se puede utilizar en cualquiera de los casos donde se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado. 6.2 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULARES Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos. Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos sea un lado. Si el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado. Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo cualquiera.Las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo de la siguiente forma: Los lados de un triángulo rectángulo verifican el teorema de Pitágoras : Para hallar los ángulos se utilizan las inversas de seno, coseno y tangente de la siguiente forma: 6.3 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos. Como ves en la figura anterior, los dos triángulos son oblicuángulos, no tienen ningún ángulo interior de 90º. Lógicamente, si sus ángulos son diferentes también lo serán sus lados, pero la suma de los grados de sus ángulos siempre ha de ser de 180º. Cómo calcular los distintos valores de un triángulo oblicuángulo: Tienes que estudiar dos sencillos teoremas para resolver los problemas referidos a estos triángulos. Teorema del seno: El siguiente triángulo es oblicuángulo: Trazamos la altura desde C hasta c: Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir: y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen B Tomamos ahora el ángulo A: y haciendo operaciones tendremos: h = b x sen A Observamos: h = a x sen B h = b x sen A podemos decir que : a x sen B = b x sen A Esta última igualdad podemos escribirla: Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos: El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b (90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El triángulo en azul claro BDC es rectángulo en D. El sen C será igual al cateto opuesto (h) partido por la hipotenusa (a). y haciendo operaciones tendremos: h = a x sen C Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos: ( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego haciendo operaciones: h = c x sen A. Luego, a x sen C y c x sen A son iguales. a x sen C =c x sen A Esta última igualdad podemos escribirla: El recuadro último representa el teorema del seno. Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante. 6.4 CUÁL ES EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO En un artículo anterior ya aprendimos a hallar el perímetro de un triángulo. Hoy vamos a aprender a hallar cuál es el área de un triángulo. La manera más simple que hay para hallar el área de un triángulo es multiplicando la base por la altura y dividiéndolo entre 2, pero como además de esta fórmula existen algunas otras, vamos a explicarlas a continuación con varios ejemplos prácticos y con un vídeo que podrás ver al final del artículo si te es más sencillo. Cuál es el área del triángulo Halla la base y la altura del triángulo. La base del triángulo es su parte inferior y la altura es la distancia que hay desde la parte superior o esquina, hasta la parte inferior o base. Una vez tenemos esos datos podemos utilizar la fórmula que hemos descrito más arriba y que te ponemos a continuación. A= 1/2 (b·h) Calcular el área de un triángulo con la fórmula de Herón Para calcular el área del triángulo con esta fórmula hay que utilizar la longitud de cada uno de sus lados. Ésta se utiliza si, por cualquier motivo, no tenemos la altura del triángulo. Primeramente hay que hallar el semiperímetro del triángulo sumando el valor de cada lado y diviendo el resultado por 2. La fórmula para hallar el semiperímetro es la siguiente: S= (a + b + c)/2 O lo que es lo mismo: semiperímetro = (lado a + lado b + lado c)/2 Una vez tenemos hallado el semiperímetro tenemos que hacer esta fórmula para sacar el área: A= √s (s-a) (s-b) (s-c) En esta fórmula la “s” es el semiperímetro y a, b y c son los 3 lados del triángulo. 6.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN Recordad que para hallar los elementos desconocidos de un triángulo podemos utilizar:  El Teorema de Pitágoras  La suma de los ángulos de un tríángulo es 180º  Las razones trigonométricas y sus inversas  Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:  Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa,bajo un ángulo de 60º, cómo una embarcación realiza las tareas de pesca. ¿A quédistancia de la costa se encuentra aproximadamente la embarcación?   Calcula el ángulo de tiro del futbolista.  El ángulo de elevación de una cometasujeta con una cuerda de longitud L1 = 80 m es a = 30º. El viento tensa la cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo de elevación es B=60º. ¿Cuál es la altura de las cometas en ese instante? ¿Y la longitud L2de la cuerda que sujeta la segunda cometa?  Desde el lugar donde me encuentro lavisual de una torre forma un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la torre?  Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área? 7.- INTRODUCCION A LA GEOMETRIA ANALITICA 7.1 CONCEPTOS GENERALES 7.1.1 PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA ANALITICA 1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos o lugar geométrico (una línea o una figura geométrica) en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos puntos. 2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresión algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de los puntos que cumplen dicha expresión. “En otras palabras: se trata de encontrar la ecuación matemática para las figuras geométricas o conociendo la ecuación saber a qué figura corresponde” 7.1.2 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Dos líneas rectas perpendiculares entre sí, que se cortan, constituyen un sistema de ejes coordenados rectangulares. La recta horizontal de la figura 4.1 se llama eje x o eje de las abscisas, la recta vertical se llama eje y o eje de las ordenadas. El punto donde se cruzan los ejes se llama origen de coordenadas. El sistema de coordenadas rectangulares también es llamado sistema de coordenadas cartesianas en honor al célebre matemático francés Rene Descartes, fundador de la geometría analítica. Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, los números romanos de la figura anterior indican cuales son el primero (I), segundo (II), tercero (III) y cuarto cuadrante (IV). Cada punto del plano está determinado por un par de números llamados coordenadas del punto en cuestión. Ejemplo: La figura 4.2a muestra cuatro puntos (en los diferentes cuadrantes) denotados con P1, P2 , P3 y P4 . En la figura 4.2b observarás que cada uno de los puntos anteriores se “conecta” a los ejes mediante líneas punteadas perpendiculares a los mismos, esas líneas nos llevan hasta la abscisa (o coordenada x) y la ordenada (o coordenada y) de cada punto. Así, el punto P1 tiene por coordenadas al par ordenado (1,2), el punto P2 tiene por coordenadas al par ordenado (-3,1), las coordenadas de P3 son (-2,-2) y las coordenadas de P4 son (3,-1). En general, todo punto del plano tendrá coordenadas (x,y) y los signos de x y y dependerán del cuadrante en que se encuentre el pun to. A la pareja de números (x,y) se le llama par ordenado ya que x y yno pueden intercambiar posiciones (siguen un orden), porque si así lo hicieran representarían dos puntos diferentes. Ejemplo: El punto (1,2) no es el mismo que el punto (2,1) como se muestra en la figura 4.3, de la misma manera el punto (-2,-1) no es el mismo que el punto (-1,-2). También los signos de las coordenadas son importantes, (2,1≠) (-2,-1). Distancia entre dos puntos Ela siguiente figura. Se quiere calcular la distancia entre los puntos P1 y P2 . Como podrás ver, los puntos P1 , P2 y P forman un triángulo rectángulo cuyos lados son: La línea continua entre P1 y P2 , la línea a trazos entre P1 y P , y la línea a trazos entre P y P2. La distancia entre los puntos P1 y P2 es la longitud de la hipotenusa del triángulo P1 P2 P. La longitud de la línea a trazos entre P1 y P se calcula tomando la diferencia de las ordenadas de los puntos P1 y P, mientras que la longitud de la línea a trazos entre P y P2 se calcula tomando la diferencia de las abscisas de los puntos P y P2. Esto es, distancia P1 P = 3 –1 =2 , distancia P P2 = -1 – (-3) =2 Por lo tanto, aplicando el teorema de Pitágoras, la distancia P1 P2 está dada por: En general, la distancia “ d ” entre dos puntos del plano P( x2 , y2 ) y P1( x1 , y1 ) está dada por 7.1.3 SEGMENTO RECTILINEO DIRIGIDO Segmento rectilineo dirigido. La porcion de una linea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilineo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Asi, en la figura 1, para la recta 1, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa por AB. Fig. I A B ------------->---------- El lector ya está familiarizado con el concepto geométrico de segmento rectilíneo. Para los fines de la Geometría analítica diremos, a1 concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A hacia B. Decimos entonces que el segmento AB está dirigido de A a B, e indicamos esto por medio de una flecha como en la figura 1.En este campo el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final. Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A; entonces B es el origen y A el extremo, y el segmento se designa por BA. El sentido de un segmento dirigido se indica siempre escribiendo primero el origen o punto inicial. Desde el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de 10s segmentos dirigidos, AB y BA, son las mismas. En Geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre 10s signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, sería considerado como un segmento de longitud negativo. De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos. AB = - BA Demostraremos enseguida que todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental: AB+BC=AC 7.1.4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Distancia entre dos puntos.Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Geometría analítica, rama de la Geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante Expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del Plano se puede localizar con respecto a un par de ejes Perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. Uno los filósofos más notables que contribuyó al desarrollo de las Matemáticas fue [René Descartes]] pues realizó la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen y contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones. Nacido el 31 de marzo de 1596 en La Haye, hoy Descartes, era hijo de un miembro de la baja nobleza y perte- necía a una familia que había dado algu-nos hombres doctos. En 1649 fue invitado a acudir a Estocolmo para impartir clases de filosofía a la reina Cristina de Suecia. Falleció, en la capital sueca, el 11 de febrero de 1650. Distancia entre dos puntos El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1). Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2) 7.1.5 DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r: Ejemplo: ¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales? Obtener la razón de un punto que divide a un segmento Vamos a dividir un segmento AB (en color naranja) en razón un tercio, esto no quiere decir que lo dividamos en tres partes y tomemos una parte de él, lo que realmente quiere decir que si tomamos el número del numerador (una unidad) cabe tres veces en el denominador, de esta manera hemos dividido AB en cuatro partes y tomado una. Si por ejemplo queremos dividir un segmento en 2/3, no cogemos dos partes de tres, sino que lo que hacemos es dividirlo en cinco partes (la suma del numerador más el denominador), dos partes corresponden al número del numerador y tres partes al número del denominador. Es un segmento dirigido, esto quiere decir que la división a un tercio en el dibujo la vamos a hacer en el sentido AB, de esta manera la unidad AE que se puede repetir sobre el fragmento de tres unidades EB es distinta si la división la hacemos en razón tres a uno (en este caso AE contaría con tres unidades mientras que EB contaría con una unidad). Este último caso sería lo mismo si tomamos la división de BA a un tercio. En conclusión, la división a un tercio de AB es lo mismo que la división a tres partido uno de BA. En el caso del dibujo la dimensión AE cabe tres veces en la dimensión EB, (decimos que AB está dividido en una razón de un tercio), es equivalente a dividir ese segmento en razón tres partido uno de BA, en este último caso BE es tres veces EA, al igual que en el caso anterior. En el dibujo podemos ver que el segmento rojo AB con su división a un tercio por E se proyecta sobre el eje x, según el teorema de Tales tenemos que AE/EB= A’E’/E’B’. Tenemos también que la razón AE/EB es igual a un tercio, pero A’E’=x-x1 y E’B’=x2-x, conforme vemos que el dibujo. Podemos hacer la misma relación sobre el eje y. AE/EB = A’E’/E’B’= R, por tanto A’E’/E’B’= R, sustituyendo A’E’=x-x1 y E’B’=x2-x tenemos x-x1= (x2-x)R, despejando la x tenemos que x =(R.x2+x1)/(1+R) y haciendo lo mismo con el otro eje tenemos y =(R.y2+y1)/(1+R), de esta manera podemos calcular las coordenadas del punto E, elemento que divide el segmento bajo una razón dada. Punto medio de un segmento de recta Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos. Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB. 7.1.6 AREA DE POLIGONOS En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El polígono es el caso bidimensional del politopo. La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’,123 aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados. La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan sólo las líneas poligonales cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados sólo se intersecan en los vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un único lado; sin embargo, esos vértices podrían permitirse algunas veces por cuestiones prácticas. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes. Definición La definición del polígono depende del uso que se le quiera dar, así por ejemplo para hacer referencia a una región del plano se tiene:  Llamaremos polígono a la porción del plano delimitada y encerrada por una línea poligonal.4 Para hacer referencia al estudio euclidiano de las longitudes de los lados de un polígono, se tiene:  Llamaremos polígono a una figura geométrica plana definida por una línea poligonal de la cual sus dos extremos coinciden. Para desarrollar un concepto didáctico del polígono, se tiene:  Llamaremos polígono al conjunto de puntos y segmentos que unen sucesivamente dichos puntos. En esta última definición se suele evitar los puntos consecutivos alineados. Línea poligonal Ejemplo de una línea poligonal de seis segmentos: La definición y su aplicación del concepto de Grafo de la teoría de grafos. La definición de símplex usada en topología algebraica. Propiedades  Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono.  Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la línea poligonal (frontera) ni en el interior.5 Elementos de un polígono En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos:  Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono.  Vértices de un polígono: son los puntos de intersección o puntos de unión entre lados consecutivos.  Diagonales del polígono: son segmentos que une dos vértices, no consecutivos, del polígono.  Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.  Ángulo exterior del polígono: es el ángulo formado, externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.  Ángulo entrantes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden más de 180º.6  Ángulo salientes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden menos de 180º.7 Hexágono regular. En un polígono regular se puede distinguir, además:   Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.  Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.  Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado. 7.2 LA LINEA RECTA 7.2.1 DEFINICION DE RECTA, PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACION RECTA: En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección por tanto tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición solo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Un ejemplo de las dificultades de la definición de la recta a partir de puntos es la llamada paradoja de Zenón de la dicotomía que ilustraba la desaparición de la recta al dividirla en puntos porque luego no había un concepto para ensamblar dicha recta a partir de puntos ya que la unión de dos puntos es un punto. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano Pendiente de una carretera. En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento lineal, natural o constructivo respecto de la horizontal. En geometría analítica, puede referirse a la pendiente de la ecuación de una recta (o coeficiente angular)1 como caso particular de la tangente a una curva, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante, por ejemplo, en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas o canales. Ángulo de inclinación, El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x. La medida del ángulo se toma en sentido contrario a las agujas del reloj. La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa: La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo: m = tan h, o lo que es lo mismo 1/tan (o tangente elevado a -1) de la pendiente es igual al ángulo h. arco tan (de la pendiente)=ángulo Por ejemplo, el arco cuya tangente (segmento verde) es 0,75 es de 36,87º. El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente, esto quiere decir que si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta vale una unidad, el arco cuya tangente vale la unidad es de 45°. Si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta es -1, esto quiere decir que la recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que forma con el eje x 135°.Como la tangente en este caso es negativa, y tiene por valor -1, el ángulo de la misma va a ser -45. Si tomo 180° y le resto 45°, obtengo el ángulo real que forma esta línea con el eje x, que es 135°. 7.2.2 ECUACION DE LA RECTA PUNTO-PENDIENTE Las ecuaciones lineales pueden tomar varias formas, como la fórmula punto-pendiente, la fórmula pendiente-intersección, y la forma estándar de una ecuación lineal. Éstas formas permiten a los matemáticos describir la misma recta de distintas maneras.. Esto puede ser confuso, pero en realidad es bastante útil. Considera de cuántas maneras diferentes es posible escribir un pedido de leche en una lista de compras. Puedes pedir leche blanca, leche de vaca, un cuarto de leche, leche descremada, y cada una de éstas frases describiría exactamente el mismo producto. La descripción que uses dependerá de las características que más te importan. Las ecuaciones que describen rectas pueden ser escogidas de la misma manera — pueden ser escritas y manipuladas con base en las características de la recta que son de interés. Incluso, si una característica es más importante, las ecuaciones lineales pueden convertirse de una forma a otra. Forma Punto-Pendiente Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como. En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto. Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella.  La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente. Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por . Que se simplifica a .  es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula punto- pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo cuando necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente. Hagamos otro ejemplo. Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de . Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos . Que es la ecuación de la recta. 7.2.3. ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación. Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también pertenciente a la recta. Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea  y Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es: que también se puede expresar como Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,2) y Q(3,4) y-2=x-1 x-y+1=0 7.2.4 ECUACION DE LA RECTA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN Ecuación de la línea recta con pendiente y ordenada en el origen. Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura: Aplicamos la fórmula de la pendiente: Despejando y tendremos la ecuación de la recta de pendiente-ordenada en el origen (intersección). y = mx + b Ejemplo: Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es m=2 y corta al eje de las ordenadas en el punto (0,3), en este ejemplo debemos de considerar a b=3 aplicando la formula vista anteriormente tenemos: y = mx + b y con ello tenemos el resultado de: y = 2x + 3 7.2.5 ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas. a es la abscisa en el origen de la recta. b es la ordenada en el origen de la recta. Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b. Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: 1.-Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n 2.-Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k 3.-Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx. 7.2.6 ECUACION GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales. La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y): By = -Ax-C -> -> la pendiente es: m = -A/B 7.2.7 ECUACION NORMAL DE LA RECTA Los puntos A y X de la recta r determinan el vector: = (x − a1, y − a2) El vector es un vector unitario y perpendicular a r. Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B). Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular serán Como y son perpendiculares, su producto escalar es cero: Si en la ecuación general sustituimos las coordenadas del punto A, obtenemos: 7.2.8. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENTICULARES Cuando graficas dos o más ecuaciones lineales en el plano de coordenadas, generalmente se cruzan en algún punto. Sin embargo, cuando dos rectas en un plano coordenado nunca se cruzan, se llaman rectas paralelas. También veremos el caso cuando dos rectas en el plano de coordenadas se cruzan en un ángulo recto. Estas se llaman rectas perpendiculares. Las pendientes de las gráficas en cada uno de los casos tienen una relación especial entre ellas. Explorando Rectas Paralelas y Perpendiculares Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas como los lados opuestos del marco rectangular de una pintura y los estantes de un librero. Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman ángulos rectos. Las rectas perpendiculares también están en todos lados, no sólo en una gráfica en papel sino en el mundo real, desde el patrón de cruce en las calles a la intersección de las líneas coloreadas de una camisa a cuadros. Explora las rectas en el diagrama interactivo siguiente. o Haz clic y arrastra el punto en el deslizante “Ecuación” para elegir uno de 5 ejemplos de ecuaciones. La ecuación se grafica en azul. o Luego, haz clic y arrastra el punto en la recta roja para hacerla paralela o perpendicular a la recta azul. (Asegúrate de mover lentamente el cursor.) ¡Cuando las rectas son paralelas o perpendiculares, aparecerá un texto para avisarte que ya le atinaste! o Observa las pendientes de las dos rectas paralelas. ¿Qué es lo que notas? Observa las pendientes de las rectas perpendiculares. ¿Qué es lo que notas? o Escoge otra ecuación e inténtalo de nuevo. o Conforme intentas con otras ecuaciones, observa la relación entre las pendientes de rectas paralelas, y las pendientes de rectas perpendiculares. Al intentar con la última ecuación, ¿puedes predecir cuáles serán las pendientes de las rectas paralelas y perpendiculares? Ejemplo Problema Encontrar la pendiente de una recta que es paralela a la recta y = −3x + 4. La recta dada se escribe como y = mx + b, Identifica la pendiente de con m = −3 y b = 4. La pendiente es −3. la recta dada. Respuesta La pendiente de la recta paralela es −3. Una recta paralela a la recta dada tiene la misma pendiente. Rectas Perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será porque las rectas son perpendiculares. También puedes probar las pendientes para ver si las rectas son perpendiculares multiplicando las dos pendientes. Si son perpendiculares, el producto de las pendientes será −1. Por ejemplo, .  Ejemplo Problema Encontrar la pendiente de la recta perpendicular a la recta y = 2x – 6. La recta dada se escribe como y = mx + b, Identifica la pendiente de con m = 2 y b = -6. La pendiente es 2. la recta dada. Para encontrar la pendiente de la recta Respuesta La pendiente de la recta perpendicular es perpendicular, encuentra . el recíproco, , y luego encuentra el opuesto del recíproco . Observa que el producto , lo que significa que las pendientes son perpendiculares. En el caso donde una de las rectas es vertical, la pendiente de esa recta no está definida y no es posible calcular el producto de un número indefinido. Cuando una recta es vertical, la recta perpendicular a ella será horizontal, teniendo una pendiente de cero (m = 0). 7.2.9 ANGULO ENTRE DOS RECTAS En el espacio, dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o bien cruzarse. Los ángulos que determinan se definen de manera distinta en cada caso. Así:  Si dos rectas son coincidentes o paralelas forman un ángulo de .  Si dos rectas son secantes, determinan cuatro ángulos iguales dos a dos. El menor de dichos ángulos se define como el ángulo entre las rectas.  Si dos rectas se cruzan, el ángulo entre ellas es el más pequeño de los ángulos que forma la paralela a una de las rectas que corta a la otra. Por tanto, al igual que sucedía en el plano, el coseno del ángulo coincidirá (excepto el signo) con el ángulo formado por los vectores directores de la recta. Por tanto, 7.2.10 DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PUNTO En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta. Sean A un punto y D una recta. Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D. Para una recta D definida por su ecuación reducida y siendo A un punto de la forma La distancia mínima se ubica en la [[proyección ortogonal]del punto M sobre D, es decir el punto M' de la recta D tal que (MM') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de D, entonces en el triángulo rectángulo MM'B, la hipotenusa MB es más larga que el cateto MM'. Geométricamente, se construye el punto proyectado M' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto M; luego se mide la longitud MM'. El punto M se proyecta como M' sobre la recta D. Para calcular esta distancia, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortogonales - en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas respectivamente: ;y Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma , que puede simplificarse a Busquemos un vector normal a (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir que el producto escalar , y resulta ser (de ahí el interés de la ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado que define una medida algebraica sobre la recta (M'M): La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica: Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica así: En conclusión: La distancia entre M y (D) es: Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.  En el caso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y su ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica: D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0, luego, sabiendo que el vector es unitario:  Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo y b = 0. Como , se obtiene:  En el caso de una recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la ecuación cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es: Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior. Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el espacio tridimensional: Si la ecuación del plano es ; y el punto es , entonces: Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia entre un punto y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo cuantas variables hagan falta. 7.2.11 EJERCICIOS