Escuela Politécnica NacionalCarrera: Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones Materia: Software de Simulación Fecha: 20-06-2017 Tema: Poner la teoría (también algo de historia) e implementar en Matlab las siguientes gráficas (capítulo 2 del siguiente enlace) http://simetria.dim.uchile.cl/matematico/contenidos.html HISTORIA Arquímedes (h. 287 a.C., 212 a.C.) Arquímedes, pintado por Ribera en 1630 (1) (Museo del Prado) El momento y el lugar donde un científico encuentra la solución a un problema puede ser el lugar más insospechado, e incluso, para algunos el más inapropiado. Este el caso de Arquímedes, sin duda uno de los científicos más sobresalientes de la Historia, cuyos descubrimientos han sido trascendentales para el desarrollo de la Ciencia. Su aportación más conocida es el denominado Principio de Arquímedes, que consiguió resolver mientras tomaba un baño, y que se puede considerar el inicio del desarrollo de la hidrostática. Sin embargo, la figura de Arquímedes va más allá del campo de la hidrostática, pues a él se deben importantes principios matemáticos, como los primeros pasos en el desarrollo del cálculo diferencial e integral, y la resolución de principios de la geometría que permitieron desarrollar numerosos inventos y aparatos de ingeniería. Espirales de Arquímedes En un escrito titulado Sobre las espirales Arquímedes escribió: “Si una línea recta que permanece fija en un extremo, se le hace girar en el plano con velocidad constante, hasta hacerla volver de nuevo a la posición de la que ha partido, y junto con la recta que gira, se mueve un punto sobre la recta, también a velocidad constante iniciando su movimiento desde el extremo fijo, el punto describe en el plano una espiral”. Este efecto se puede observar en la figura adjunta. Y también: “El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve” Esta espiral es la que se conoce como Espiral de Arquímedes. la ecuación es: r = a ⋅θ En esta expresión r es la distancia al origen. Teoría: Espiral de Arquímedes Tres vueltas completas de una espiral de Arquímedes. a una constante y θ el ángulo girado. . Este descubrimiento algunos autores se lo atribuyen también a su amigo y maestro Conón de Samos. es decir. de la que pudo establecer que el radio vector de una espiral es proporcional a su ángulo. mientras que b controla la distancia en giros sucesivos.θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente: r=a+bθ R ¡ RR siendo a y b números reales. clear all %La espiral de Arquimedes theta=linspace(0.r). La espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemático griego Arquímedes. . MATLAB: clc. Cuando el parámetro a cambia. Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.100).C. clear. quien vivió en el siglo III A.Espiral de Arquímedes representada en una gráfica polar. r=4*theta. Equivalentemente. en coordenadas polares (r. la espiral gira.8*pi. polar(theta. siguiendo la curva. y se enrolla cada vez más rápidamente mientras se aproxima al polo central. La espiral hiperbólica tiene la siguiente ecuación polar: Comienza en una distancia infinita del polo central (para θ comenzando desde cero. Se define por la ecuación polar rθ = a. es infinito.Espiral Hiperbólica Una espiral hiperbólica es una Curva Plana trascendental. la distancia de cualquier punto al polo. r = a/θ comienza desde el infinito). Johann Bernoulli y Roger Cotes también trabajaron en la curva. Aplicando la transformación desde el sistema de coordenadas polares: .1 Más tarde. Pierre Varignon estudió por vez primera la curva en 1704. y es la inversa de la espiral de Arquímedes. también conocida como espiral recíproca. clear. clear all %Espiral hiperbólica theta=linspace(pi/2. polar(theta.100).conduce a la siguiente representación paramétrica en coordenadas cartesianas: donde el Parámetro t es un equivalente de θ en las coordenadas polares. Espiral de Fermat La espiral de Fermat./theta. MATLAB: . r=5. es una curva que responde a la siguiente ecuación: Es un caso particular de la espiral de Arquímedes. denominada así en honor de Pierre de Fermat y también conocida como espiral parabólica. MATLAB: clc.r).8*pi. r.^(1/2). seis años después de su muerte.100). polar(theta.'g'). debida a la similitud con el lituus romano. polar(theta. por el matemático inglés Roger Cotes en una serie de artículos titulados Harmonia Mensurarum y fue publicada en 1722.r.^(1/2).clc. hold on r=-5*theta. MATLAB: . Lituus (matemáticas) Rama para r positivo En matemáticas. clear all %Espiral de fermat theta=linspace(0.'b').8*pi. que tiene dos ramas. Esta espiral. r=5*theta. clear. dependiendo del signo de . un lituus o espiral de litius es una espiral de Arquímedes en donde el ángulo es inversamente proporcional al cuadrado del radio(expresado en coordenadas polares). es asintótica al eje Sus puntos de inflexión se encuentran en La espiral fue denominada así. que la llamó Spira mirabilis «la espiral maravillosa».'g'). Su nombre proviene de la expresión de una de sus ecuaciones: Espiral logarítmica (grado 5º) Historia Tumba de Bernoulli en Basilea. . espiral equiangular o espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza. clear. polar(theta.r).100)./sqrt(theta). polar(theta. D'Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (1917)./sqrt(theta). Espiral logarítmica Una espiral logarítmica. hold on r=-4.clc. pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli.8*pi. El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon.r. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli. r=4. clear all %La espiral Lituus theta=linspace(0. después de todos los cambios y mutaciones. Ecuaciones MATLAB: clc.2*pi. clear all %Espiral logaritmica theta=linspace(-pi/2. La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica. .1 Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo.100). Eadem mutata resurgo y la espiral logarítmica es también el emblema del Colegio de Patafísica.Bernoulli escogió la figura de la espiral logarítmica como emblema y el epitafio en latín Eadem mutata resurgo("Mutante y permanente. mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes. vuelvo a resurgir siendo el mismo") para su tumba. bien de fortaleza y constancia en la adversidad. la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes (constante en la diferencia de los radios). o bien como símbolo del cuerpo humano. clear. el cual. contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en el crecimiento de su radio). será restaurado a su Ser perfecto y exacto. incluso después de la muerte. ESPIRAL DE FIBONACCI Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta En matemática. polar(theta.r=50*exp(theta).r). la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales: . y=(2*n-3*p)*sin(t)+4*p-2*n. y=p*(sin(t)+1). phi = (1+sqrt(5))/2.2) t=(0:0. 8. 21 y 34. plot(y.2) t=(pi/2:0.'m'. plot(y. plot(y. 1.1 adosando sucesivamente cuadrados de lado 0. plot(y. y=(n-p)*(sin(t)+1). 5.'linewidth'.2) t=(3*pi/2:0.'m'.01:2*pi).-x.'linewidth'. 2. en conexión con la prosodia sánscrita.'m'. teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes. %lado menor del rectangulo %Graficamos la curva t=(pi:0.01:3*pi/2). clear all.-x. 13.'linewidth'.'m'.-x. 3.5 Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.'linewidth'. x=(n-p)*cos(t)+p. x=(2*p-n)*cos(t)+2*n-2*p. hold on axis equal p = n/phi. y=(2*p-n)*sin(t)+n-p. la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la matemática en la India. La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión.-x. 1. posteriormente asociado con Virahanka (hacia el año 700). x=(2*n-3*p)*cos(t)+2*n-2*p. y que a partir del segundo se empiezan a reproducir MATLAB: clc. 6 La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial. x=p*(cos(t)+1).34 Susantha Goonatilake hace notar que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte a Pingala (año 200). Gopāla (hacia 1135).01:pi). close all %ESPIRAL DE FIBONACCI n=input('Ingrese altura: ').2) . y Hemachandra (hacia 1150)». Historia Mucho antes de ser conocida en occidente.01:pi/2). x=(5*n-8*p)*cos(t)+6*p-3*n. plot(y.)..618..... plot(y. y=(5*n-8*p)*sin(t)+6*n-9*p. la espiral deseada. se parece mucho a la espiral logarítmica. Este parecido ha hecho que muchos científicos hayan identificado a la espiral de Durero. y así obtenemos uniendo dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados con un arco de circunferencia.01:2*pi).'linewidth'. Su construcción se realiza partiendo de un rectángulo cuyos lados guarden una proporción igual al número de oro (1.2) t=(3*pi/2:0...'linewidth'... el lado mayor del rectángulo. con el crecimiento continuo en la Naturaleza.2) ESPIRAL DE DURERO La espiral basada en la sección áurea descubierta por Durero. t=(pi:0.. y=(5*p-3*n)*sin(t)+4*p-2*n. a su lado construimos un cuadrado de lado. . y vuelve a salir un rectángulo áureo..-x.'m'.'m'.. esto lo podemos observar por ejemplo con el Nautilus.-x.. en el cual volvemos a pegar un cuadrado.01:3*pi/2).. el proceso es reiterativo. x=(5*p-3*n)*cos(t)+6*p-3*n. ylabel('y').y.-50. grid on. b=0. axis([-50. x=a*exp(b*t). .close all t=[0:pi/180:8*pi]. e=2.*sin(t). %% Espiral de durero a=1. figure plot(x.MATLAB: clc. y=a*exp(b*t).'-b').50]).306349.50. title('Espiral de Durero').71828182.clear all. xlabel('x').3584.*cos(t).