Capítulo 1P1.12 En el flujo estacionario (laminar) a baja velocidad a través de un conducto circular, como se muestra en la Figura P1.12, la velocidad u varía con el radio según la expresión: ∑𝑝 2 2 𝑢=𝐵 (𝑟 φ𝑟 ) 𝜇 𝑜 donde μ es la viscosidad del fluido y p es la caída depresión entre la entrada y la salida. ¿Cuáles son las dimensiones de la constante B? Lo que habría que hacer es un analisis dimensional para saber sus dimensiones de la ecuación enunciada {𝑝} 2 {𝑢} = 𝐵 {𝑟 } {𝜇} A cada cantidad física le colocamos su respectiva medida. 𝐿 𝑀 { } = {𝐵} { 𝐿𝑇2 } Simplificando las 𝑇 𝑀 unidades equivalentes 𝐿𝑇 𝐿 𝐿2 Despejando la constante B de { } = {𝐵 }{ } 𝑇 𝑇 la ecuación nos queda: 1 {𝐵 } = { } 𝐿 P1.14 La Figura P1.14 representa el flujo sobre un vertedero. Se sabe que el caudal Q sólo depende de la anchura B del dique, la aceleración de la gravedad g, y la altura H del agua sobre la cresta del vertedero aguas arriba. Se sabe también que Q es proporcional a B. ¿Qué forma tiene la única expresión dimensionalmente homogénea para el caudal? 𝑄= 𝐵 𝑓𝑐𝑛(𝐻, 𝑔) A partir de la siguiente formula comenzaremos a analizar: 𝐿3 {𝑄} = {𝐵} { } = {𝐵}{𝑓(𝐻, 𝑔)}= {L}{𝑓(𝐻, 𝑔)} Se procede a despejar {𝑓(𝐻, 𝑔)} 𝑇 𝐿2 𝐿2 Se sabe que la función 𝑓𝑐𝑛(𝐻, 𝑔) sus dimensiones tienen que ser 𝑇 {𝑓(𝐻, 𝑔)} = {𝑇} por lo tanto se ingresara el valor de 𝑔0.5 Se comienza a analizar dimensionalmente esta ecuación 1 presentada a continuación: 𝑄 = 𝐵𝑔 𝑓𝑐𝑛(𝐻) 2 1 Simplificamos y despejamos {𝑓𝑐𝑛(𝐻)} 𝐿3 𝐿2 { 𝑇 } = {𝐿}{𝑇 } {𝑓𝑐𝑛(𝐻)} Por último la relación homogénea final deseada para el flujo de {𝑓𝑐𝑛(𝐻)} = presas se enuncia a continuación. 3 𝐿2 1 3 𝑄 = 𝐶𝐵𝑔2 𝐻 2 P1.28 El aire húmedo de la atmósfera con un 100 por 100 de humedad relativa contiene vapor de agua saturado y, según la ley de Dalton de las presiones parciales, 𝒑𝒂𝒕𝒎 = 𝒑𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒔𝒆𝒄𝒐 + 𝒑𝒗𝒂𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂 Supongamos que el aire atmosférico se encuentra a 40 °C y 1 atm. Calcule la densidad del aire húmedo con un 100 por 100 de humedad, y compárelo con la densidad del aire seco en las mismas condiciones. Por la ley de Dalton obtenemos lo siguiente: 𝑚𝑎 𝑚𝑤 𝑝𝑡𝑜𝑡 = 1 𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑤 = 𝑅𝑎 𝑇 + 𝑅𝑤 𝑇 𝑣 𝑣 Mediante la ecuación de los gases ideales se obtendrá: 𝑝𝑎 𝑣 𝑚𝑤 𝑣 𝑚𝑡𝑜𝑡 = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑤 = + 𝑅𝑎 𝑇 𝑅𝑤 𝑇 Despejando la variable densidad y reemplazando los valores correspondientes, Donde la presión del aire es: 𝑝𝑎= 1 𝑎𝑡𝑚 − 𝑝𝑤=101350−7375=93975[𝑃𝑎] 𝑚𝑎 +𝑚𝑤 𝑝 𝑚 93975 7375 𝑘𝑔 𝜌= = 𝑅 𝑎𝑇 + 𝑅 𝑤𝑇 = 287∗313 + 461∗313 = 1.046 + 0.051 ≈ 1.10[𝑚3 ] 𝑣 𝑎 𝑤 Se calcula la densidad del aire seco para poder comprar con resultado anterior, 𝜌 101350 𝑘𝑔 𝜌𝑑𝑟𝑦 𝑎𝑖𝑟 = = = 1.13[ 3 ] 𝑅𝑇 287 ∗ 313 𝑚 Entonces basándonos en estos resultados se asevera que el aire es más liviano que el aire seco. P1.45 Un bloque cuyo peso es W se desliza sobre un plano inclinado lubricado por una película de aceite, como se indica en la Figura P1.45. La superficie de contacto del bloque es A y el espesor de la película de aceite h. Suponiendo una distribución lineal de velocidad en el aceite, halle una expresión para la velocidad «límite» V del bloque. elaborando un diagrama de cuerpo libre sobre la superficie a estudiar, N Fv Wx Wy aplicando la segunda ley de newton se tendrá, → ∑ 𝑓𝑥 = 𝑚𝑎 + 𝑣 𝑤𝑠𝑖𝑛∅ − 𝜏𝐴 = 𝑤𝑠𝑖𝑛∅ − (𝜇 ) 𝐴 = 𝑚𝑎𝑥 = 0 ℎ Despejando V terminal, 𝑣𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙=ℎ𝑊𝑠𝑖𝑛∅ 𝜇𝐴 P1.53 Un cono sólido de ángulo 2θ, radio de la base r0 y densidad ρc está girando con una velocidad angular ω0 en su asiento cónico, como se muestra en la Figura P1.53. La holgura h está llena de aceite con viscosidad μ. Despreciando la resistencia del aire, obtenga una expresión para la velocidad angular del cono ω(t) si no se aplica ningún par motor. En cualquier posición radial r <ro en la superficie del cono y la velocidad instantánea ω, 𝑟𝑤 𝑑𝑟 𝑑 (𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒) = 𝑟𝜏𝑑𝐴𝑤 = 𝑟(𝜇 )(2𝜋𝑟 ) ℎ 𝑠𝑖𝑛𝜃 Aplicando a ambos lado de la igualdad integral definida 0<r<r0 𝑤 𝜋𝜇𝑤𝑟0 4 𝑀 = ∫0 0 𝜇 𝑟 ℎ 𝑠𝑖𝑛𝜃 2𝜋𝑟3 𝑑𝑟 = 2ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 Podemos calcular la desaceleración del cono a partir de la relación de momento angular: 𝑀 = −𝐼0𝑑𝑤 𝑑𝑡 Donde la inenercia del cono es: 3 𝐼0 = 10 𝑚𝑟02 Resolviendo esta ecuación diferencial, obtendremos: 𝑤 𝑑𝑤 𝜋𝜇𝑟04 𝑡0 ∫ =− ∫ 𝑑𝑡 𝑤0 𝑤 2ℎ𝐼0 𝑠𝑖𝑛𝜃 0 Despejando w 5𝜋𝑟0 2 𝑡 𝑤= 𝑤0 𝑒 3𝑚ℎ𝑠𝑖𝑛𝜃 *P1.54 Un disco de radio R gira con velocidad angular Ω dentro de un contenedor discoidal lleno de aceite con viscosidad μ, como se muestra en la Figura P1.54. Suponiendo un perfil de velocidad lineal y despreciando los esfuerzos cortantes en el borde exterior del disco, obtenga una expresión para el par de resistencia viscoso que actúa sobre el disco.