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AndrΓ©s Miniguano TrujilloESCUELA POLITECNICA NACIONAL PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 5: Distribuciones Discretas de Probabilidad (Binomial, HipergeomΓ©trica, Poisson, GeomΓ©trica, etc.) 1. Usando tablas calcule: a) 𝑩(πŸ–, πŸπŸ”, 𝟎. πŸ’πŸŽ) 𝐡(8,16,0.40) = 0.8577 b) 𝒃(πŸ–, πŸπŸ”, 𝟎. πŸ’πŸŽ) 𝑏(8,16,0.40) = 𝐡(8,16,0.40) βˆ’ 𝐡(7,16,0.40) = 0.1417 c) 𝑩(πŸ—, 𝟏𝟐, 𝟎. πŸ”πŸŽ) 𝐡(9,12,0.60) = 0.9166 d) 𝒃(πŸ—, 𝟏𝟐, 𝟎. πŸ”πŸŽ) 𝑏(9,12,0.60) = 𝐡(9,12,0.60) βˆ’ 𝐡(8,12,0.60) = 0.1419 e) βˆ‘πŸπŸŽ π’Œ=πŸ” 𝒃(π’Œ, 𝟐𝟎, 𝟎. πŸπŸ“) 20 βˆ‘ 𝑏(π‘˜, 20,0.15) = 𝐡(20,20,0.15) βˆ’ 𝐡(6,20,0.15) + 𝑏(6,20,0.15) = 0.06731 π‘˜=6 f) βˆ‘πŸ—π’Œ=πŸ” 𝒃(π’Œ, πŸ—, 𝟎. πŸ•πŸŽ) 9 βˆ‘ 𝑏(π‘˜, 9,0.70) = 𝐡(9,9,0.70) βˆ’ 𝐡(6,9,0.70) + 𝑏(6,9,0.70) = 0.7230 π‘˜=6 g) βˆ‘πŸπŸŽ π’Œ=πŸ’ 𝒃(π’Œ, 𝟏𝟎, 𝟎. πŸ‘πŸ“) 10 βˆ‘ 𝑏(π‘˜, 10,0.35) = 𝐡(10,10,0.35) βˆ’ 𝐡(4,10,0.35) + 𝑏(4,10,0.35) = 0.4862 π‘˜=4 h) βˆ‘πŸ’π’Œ=𝟐 𝒃(π’Œ, πŸ—, 𝟎. πŸ‘πŸŽ) 4 βˆ‘ 𝑏(π‘˜, 9,0.30) = 𝐡(4,9,0.30) βˆ’ 𝐡(2,9,0.30) + 𝑏(2,9,0.30) = 0.7052 π‘˜=2 2. En cierta ciudad, se da por hecho que los gastos mΓ©dicos son la causa del 75% de todas las quiebras personales. Calcule la probabilidad de que los gastos mΓ©dicos sean la causa para dos de las cuatro prΓ³ximas quiebras personales en la ciudad. Ha habido varias quiebras asΓ­ que el recorrido de la variable 𝑋 va hasta 𝑛 . 4 elementos seleccionados ~ Bernoulli. 4 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑏(2,4,0.75) = ( ) 0.752 (1 βˆ’ 0.75)2 = 0.2109 2 3. SupΓ³ngase que un examen en la administraciΓ³n pΓΊblica estΓ‘ diseΓ±ado en forma tal que el 70% de las personas con un CI de 90 lo aprueben. Encuentre la probabilidad de que entre 15 personas con un CI de 90, que presentan el examen, 𝑋 nΓΊmero de personas con CI de 90 entre los 15 seleccionados que aprueban Γ©xito: aprueba el examen 𝑝 = 0.70 fracaso: no aprueba examen π‘ž = 0.30 a) al menos 12 lo aprueben, 15 βˆ‘ 𝑏(π‘˜, 15,0.70) = 0.2969 π‘˜=12 b) a lo mas 6 lo aprueben, 𝐡(6,15,0.70) = 0.0152 c) 10 aprueben. 𝑏(10,15,0.70) = 0.2061 AndrΓ©s Miniguano Trujillo 4. Si 95% de ciertos neumΓ‘ticos radiales de alto desempeΓ±o duran al menos 50.000 km, determine la media y la desviaciΓ³n estΓ‘ndar de la distribuciΓ³n del nΓΊmero de estos neumΓ‘ticos, entre 20 seleccionados al azar, que duran al menos 50.000 km. Recorrido de la variable 𝑋 va hasta 𝑛. 20 elementos seleccionados ~ Bernoulli. πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 20(0.95) = 19 πœŽπ‘‹2 = π‘›π‘π‘ž = 20(0.95)(0.05) = 0.95 5. Determine la media y la desviaciΓ³n estΓ‘ndar de la distribuciΓ³n de cada una de las siguientes variables aleatorias: a) El nΓΊmero de caras obtenidas en 676 lanzamientos de una moneda balanceada Es un caso de distribuciΓ³n binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 676, 𝑝 = 0.5 y es estable ~ Bernoulli. πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 676(0.5) = 338 2 πœŽπ‘‹ = π‘›π‘π‘ž = 676(0.5)(0.5) = 169 b) El nΓΊmero de cuatros (4) obtenidos en 720 lanzamientos de un dado 1 Es un caso de distribuciΓ³n binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 720, 𝑝 = 6 y es estable ~ Bernoulli. 1 πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 720 ( ) = 120 6 2 1 5 πœŽπ‘‹ = π‘›π‘π‘ž = 720 ( ) ( ) = 100 6 6 c) El nΓΊmero de unidades defectuosas en una muestra de 600 partes fabricadas por una mΓ‘quina, cuando la probabilidad de que cualquiera de ellas sea defectuosa es de 0.04 Es un caso de distribuciΓ³n binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 600, 𝑝 = 0.04 y es estable ~ Bernoulli. πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 600(0.04) = 24 πœŽπ‘‹2 = π‘›π‘π‘ž = 600(0.04)(0.96) = 22.1184 d) El nΓΊmero de estudiantes entre 800 entrevistados que no gustan de los alimentos que sirven en el bar, cuando la probabilidad de que cualquiera de ellos no guste de los alimentos es de 0.65 Es un caso de distribuciΓ³n binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 800, 𝑝 = 0.65 y es estable ~ Bernoulli. πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 800(0.65) = 520 2 πœŽπ‘‹ = π‘›π‘π‘ž = 800(0.65)(0.35) = 182 6. Un estudio revela que una empresa de computaciΓ³n contestΓ³ 70% de todas las consultas dentro del tΓ©rmino de 6 dΓ­as. Calcule las probabilidades de que la empresa responda 0,1,2,... o 10 de 10 consultas en el tΓ©rmino de 6 dΓ­as, dibuje un histograma de esta distribuciΓ³n de probabilidad. Es un caso de distribuciΓ³n binomial donde 𝑛 toma cualquier valor, aquΓ­ 𝑛 = 10, 𝑝 = 0.70. 𝑏(0,10,0.70) = 0.0000059049 DistribuciΓ³n de Probabilidad 𝑏(1,10,0.70) = 0.0001378 1.0000 𝑏(2,10,0.70) = 0.001447 Probabilidad Acumulada 0.8000 𝑏(3,10,0.70) = 0.0090017 𝑏(4,10,0.70) = 0.03676 0.6000 𝑏(5,10,0.70) = 0.10292 0.4000 𝑏(6,10,0.70) = 0.200121 0.2000 𝑏(7,10,0.70) = 0.2668 𝑏(8,10,0.70) = 0.23347 0.0000 𝑏(9,10,0.70) = 0.1211 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valores de X 𝑏(10,10,0.70) = 0.02825 AndrΓ©s Miniguano Trujillo 7. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que estΓ‘n listos para ser embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequeΓ±os defectos, ΒΏcuΓ‘les son las probabilidades de que la muestra del inspector contenga: Es un caso de distribuciΓ³n hipergeomΓ©trica donde 𝑁 = 24, aquΓ­ π‘Ÿ = 6, 𝑛 = 3. Γ‰xito: baterΓ­as con defectos a) ninguna de las baterΓ­as con defectos; 6 24 βˆ’ 6 ( )( ) β„Ž(0,3,6,24) = 0 3 βˆ’ 0 = 0.40316 24 ( ) 3 b) solamente una de las baterΓ­as defectuosas; 6 24 βˆ’ 6 ( )( ) β„Ž(1,3,6,24) = 1 3 βˆ’ 1 = 0.4536 24 ( ) 3 c) al menos dos de las baterΓ­as con defectos? 3 βˆ‘ β„Ž(π‘˜, 3,6,24) = β„Ž(2,3,6,24) + β„Ž(3,3,6,24) = 0.1433 π‘˜=2 8. Entre los 300 empleados de una compaΓ±Γ­a, 240 estΓ‘n sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen ocho por sorteo para integrar un comitΓ© que administre el fondo de pensiones, calcule la probabilidad de que cinco estΓ©n sindicalizados mientras que los otros no, usando: a) la distribuciΓ³n hipergeomΓ©trica, 240 300 βˆ’ 240 ( )( ) β„Ž(5,8,240,300) = 5 8βˆ’5 = 0.14702 300 ( ) 8 b) la distribuciΓ³n binomial como una aproximaciΓ³n. 240 𝑏 (5,8, ) = 0.1468 300 9. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contiene 5 defectuosas. Si tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, usando: a) la distribuciΓ³n hipergeomΓ©trica, 5 120 βˆ’ 5 ( )( ) β„Ž(1,3,5,120) = 1 3 βˆ’ 1 = 0.000172 120 ( ) 3 b) la distribuciΓ³n binomial como una aproximaciΓ³n. 5 𝑏 (1,3, ) = 0.1148 120 10. El 95% de ciertas llantas radiales dura al menos 30.000 millas, calcule la media y la desviaciΓ³n estΓ‘ndar de la distribuciΓ³n del nΓΊmero de las llantas, entre 20 seleccionadas al azar, que durarΓ‘n al menos 30.000 millas. Es un caso de distribuciΓ³n binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 20, 𝑝 = 0.95 y es estable ~ Bernoulli. 𝑋 son las llantas que duran al menos 30.000 millas. πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 20(0.95) = 19 2 πœŽπ‘‹ = π‘›π‘π‘ž = 20(0.95)(0.05) = 0.95 AndrΓ©s Miniguano Trujillo 11. Si un estudiante contesta 144 preguntas de un examen de verdadero o falso lanzando una moneda, ΒΏquΓ© afirma el teorema de Chebyshev con k=4 acerca del nΓΊmero de respuestas correctas que lograrΓ‘ el estudiante? 1 πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 144 ( ) = 72 2 2 1 1 πœŽπ‘‹ = π‘›π‘π‘ž = 144 ( ) ( ) = 36 2 2 |𝑋 βˆ’ πœ‡| ≀ π‘˜πœŽ |𝑋 βˆ’ 72| ≀ 4 βˆ— 6 β‡’ |𝑋 βˆ’ 72| ≀ 24 β‡’ 48 ≀ 𝑋 ≀ 96 1 β‡’ 𝑃(|𝑋 βˆ’ 72| ≀ 24) β‰₯ 1 βˆ’ 16 Se afirma que la probabilidad de que el estudiante logre acertar entre 48 y 96 preguntas es mayor o 15 igual que 16. 12. ΒΏQuΓ© dice el Teorema de Chebyshev sobre la probabilidad de obtener a lo sumo 30 o al menos 105 nΓΊmeros 6 si un dado se arroja 405 veces? 1 πœ‡π‘‹ = 𝑛𝑝 = 405 ( ) = 67.5 6 2 1 5 πœŽπ‘‹ = π‘›π‘π‘ž = 405 ( ) ( ) = 56.25 β‡’ 𝜎 = 7.5 6 6 π‘˜πœŽ = 37.5 β‡’ π‘˜ = 5 1 𝑃(|𝑋 βˆ’ 67.5| β‰₯ 37.5) ≀ 25 13. ΒΏCuΓ‘ntas veces se tiene que lanzar una moneda para poder asegurar con una probabilidad cuando mucho de 0.01 que la diferencia entre la proporciΓ³n de las caras y 0.50 sea al menos 0.04? Por Chebyshev: 1 𝑝(|𝑋 βˆ’ πœ‡| β‰₯ π‘˜πœŽ) ≀ 2 β‡’ π‘˜ = 10, πœ‡ = 0.50, 𝜎 = 0.004, 𝑋 β‰₯ 0.54 π‘˜ de πœ‡, 𝑛 = 1 𝒇(π’Œ+𝟏,𝝀) 𝝀 14. Pruebe que para la distribuciΓ³n de Poisson, se tiene: 𝒇(π’Œ,𝝀) = π’Œ+𝟏 , π’Œ = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝑓(π‘˜ + 1, πœ†) 𝑒 βˆ’πœ† πœ†π‘˜+1 π‘˜! πœ† π‘˜+1 πœ† = βˆ’πœ† π‘˜ = π‘˜ = 𝑓(π‘˜, πœ†) π‘˜ + 1! 𝑒 πœ† (π‘˜ + 1)πœ† π‘˜+1 15. Use la distribuciΓ³n de Poisson para aproximar la probabilidad binomial 𝒃(πŸ‘, 𝟏𝟎𝟎, 𝟎. πŸŽπŸ‘) 𝑏(3,100,0.03) = 0.2275 𝑏(3,100,0.03) β‰ˆ 𝑓(3,100 βˆ— 0.03) = 0.22404 16. En una ciudad, el 6% de todos los conductores obtiene al menos una boleta de mal estacionamiento por aΓ±o. Usando la aproximaciΓ³n de Poisson a la distribuciΓ³n binomial, determine la probabilidad de que entre 80 conductores: a) cuatro obtengan al menos una boleta de mal estacionamiento, 𝑏(4,80,0.06) β‰ˆ 𝑓(4,4.8) = 0.1820 b) 3,4,5 o 6 de ellos obtengan al menos una boleta de mal estacionamiento en un aΓ±o cualquiera. 6 6 βˆ‘ 𝑏(π‘˜, 80,0.06) β‰ˆ βˆ‘ 𝑓(π‘˜, 4.8) = 0.6482 π‘˜=3 π‘˜=3 AndrΓ©s Miniguano Trujillo 17. Ciertos registros muestran que la probabilidad de que uno de los neumΓ‘ticos de un auto se revienten en cierto tΓΊnel es de 0.00004. Use la distribuciΓ³n de Poisson para aproximar la probabilidad de que al menos uno de los neumΓ‘ticos de 1 de 10.000 autos que pasen por ese tΓΊnel se revienten. 1 βˆ’ 𝑏(0,10000,0.00004) β‰ˆ 1 βˆ’ 𝑓(0,0.4) = 0.3297 18. Suponiendo que el conmutador de un edificio recibe un promedio de 0.6 llamadas por minuto, calcule las probabilidades de que: a) en un minuto cualquiera haya al menos una llamada, 𝑓(1,0.60) = 0.3293 b) en un intervalo de cuatro minutos haya al menos tres llamadas. 1 βˆ’ 𝑓(2,2.4) βˆ’ 𝑓(1,2.4) βˆ’ 𝑓(0,2.4) = 0.43029 19. Una compaΓ±Γ­a alquila tiempo en una computadora por perΓ­odos de t horas por lo cual recibe S/.6000 por hora. El nΓΊmero de veces que la computadora falla durante t horas es una variable aleatoria que tiene distribuciΓ³n de Poisson con 𝝀 = (𝟎. πŸ–)𝒕, y si la computadora falla π’Œ veces durante 𝒕 horas la reparaciΓ³n tiene un costo de S/. 500k 2 . ΒΏCΓ³mo deberΓ­a la compaΓ±Γ­a elegir 𝒕 en forma tal que maximice la utilidad esperada? π‘ˆ = 𝐼 βˆ’ 𝐢 = 6000𝑑 βˆ’ 500π‘˜ 2 𝐸[π‘ˆ] = 𝐸[6000𝑑 βˆ’ 500π‘˜ = 6000𝑑 βˆ’ 500𝐸[π‘˜ 2 ] = 6000𝑑 βˆ’ 500(𝑉[π‘˜] + (𝐸[π‘˜])2 ) 2] = 5600𝑑 βˆ’ 320𝑑 2 𝑑𝐸[π‘ˆ] = 5600 βˆ’ 640𝑑 = 0 β‡’ 𝑑 = 8.75[β„Ž] 𝑑𝑑 𝑑2 𝐸[π‘ˆ] = βˆ’640 < 0 β‡’ π‘šΓ‘π‘₯π‘–π‘šπ‘œ 𝑑𝑑 2 En 𝑑 = 8.75[β„Ž] se tiene que la utilidad es mΓ‘xima. 20. La determinaciΓ³n de probabilidades con la distribuciΓ³n geomΓ©trica se simplifica utilizando 𝟏 la identidad: π’ˆ(π’Œ, 𝒑) = 𝒃(𝟏, π’Œ, 𝒑) y buscando 𝒃(𝟏, π’Œ, 𝒑) en una tabla de probabilidades de π’Œ la distribuciΓ³n binomial. i. Verifique la identidad citada 1 1 π‘˜ π‘˜ 𝑏(1, π‘˜, 𝑝) = ( ) π‘π‘ž π‘˜βˆ’1 = 𝑝(1 βˆ’ 𝑝)π‘˜βˆ’1 = 𝑔(π‘˜, 𝑝) π‘˜ π‘˜ 1 π‘˜ ii. Calcule: a) π’ˆ(𝟏𝟐, 𝟎. 𝟏𝟎) 1 𝑔(12,0.10) = 𝑏(1,12,0.10) = 0.0314 12 b) π’ˆ(𝟏𝟎, 𝟎. πŸ‘πŸŽ) 1 𝑔(12,0.10) = 𝑏(1,10,0.30) = 0.0121 10 21. Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces. ΒΏCuΓ‘l es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo? Ley GeomΓ©trica: 𝑔(15,0.95) = 5.7983 10βˆ’19 22. En una caja bancaria llegan clientes a una tasa promedio de 1.5 por minuto. Determine las probabilidades de que: a) Cuando mΓ‘s cuatro clientes lleguen en un minuto dado 4 βˆ‘ 𝑓(π‘˜, 1.5) = 0.9814 π‘˜=0 AndrΓ©s Miniguano Trujillo b) Al menos tres clientes lleguen durante un intervalo de 2 minutos 1 βˆ’ 𝐹(2,3) = 0.5768 c) Cuando mΓ‘s 15 clientes lleguen durante un intervalo de 6 minutos 𝐹(15,9) = 0.97796 23. El arribo de clientes a una cafeterΓ­a tiene una tasa promedio de 0.3 clientes por minuto. Si se les atiende a una tasa promedio de 0.5 por minuto, encuentre: 𝛼 = 0.3 𝛽 = 0.5 𝑋 ≔ #𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘šπ‘Ž a) el nΓΊmero promedio de clientes atendidos o esperando ser atendidos en cualquier momento determinado 𝛼 𝐸[𝑋] = = 1.5[𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠] π›½βˆ’π›Ό b) el nΓΊmero promedio de clientes a la espera de ser atendidos en un momento dado 𝛼2 π‘Ÿ= = 0.9[𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠] 𝛽(𝛽 βˆ’ 𝛼) c) el tiempo promedio que un cliente pasa formado en la cola. 𝛼 𝑠= = 3[π‘šπ‘–π‘›π‘’π‘‘π‘œπ‘ ] 𝛽(𝛽 βˆ’ 𝛼) 24. Con referencia al ejemplo anterior, suponga que el costo de mantener a un camiΓ³n en el sistema es de 15 dΓ³lares la hora. Si fuera posible incrementar la tasa media de descarga a 3.5 camiones por hora a un costo de 100 dΓ³lares al dΓ­a, ΒΏvaldrΓ­a la pena hacerlo? 40 πΆπ‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘œ π‘Žπ‘π‘‘π‘’π‘Žπ‘™ = 15 βˆ— = $10 60 𝛼 8 𝛽 = 3.5 β‡’ 𝑠𝛽 = = 𝛽(𝛽 βˆ’ 𝛼) 21 8 πΆπ‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘œ π‘›π‘’π‘’π‘£π‘œ = 100 βˆ— = $1.59 21 βˆ— 24 SΓ­ valdrΓ­a la pena ya que la ganancia serΓ­a mayor pues πΊπ‘Žπ‘›π‘Žπ‘›π‘π‘–π‘Ž = πΌπ‘›π‘”π‘Ÿπ‘’π‘ π‘œπ‘  βˆ’ πΆπ‘œπ‘ π‘‘π‘œπ‘ , al ser menores los costos y los ingresos estables, la ganancia sube. 25. El arribo de camiones de carga a un muelle es un proceso de Poisson, con una tasa promedio de llegadas de dos por hora. Los camiones se descargan con una tasa promedios de tres por hora y el servicio de descarga continΓΊa ininterrumpidamente hasta que todos los camiones han sido descargados. 𝛼=2 𝛽=3 𝑋 ≔ #𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘šπ‘Ž a) ΒΏCuΓ‘l es el nΓΊmero promedio de camiones que estΓ‘n siendo descargados o que esperan ser descargados? 𝛼 𝐸[𝑋] = = 2[π‘π‘Žπ‘šπ‘–π‘œπ‘›π‘’π‘ ] π›½βˆ’π›Ό b) ΒΏCuΓ‘l es el nΓΊmero promedio de camiones en la cola? 𝛼2 4 π‘Ÿ= = = 1.25[π‘π‘Žπ‘šπ‘–π‘œπ‘›π‘’π‘ ] 𝛽(𝛽 βˆ’ 𝛼) 3 c) ΒΏCuΓ‘l es el tiempo promedio que un camiΓ³n debe esperar en la cola? 𝛼 2 𝑠= = = 0.6667[β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘Žπ‘ ] β‰ˆ 40[π‘šπ‘–π‘›π‘’π‘‘π‘œπ‘ ] 𝛽(𝛽 βˆ’ 𝛼) 3 d) ΒΏCuΓ‘l es la probabilidad de que no haya camiones en espera de ser descargados? 𝛼 𝛼 0 2 1 πœ‹(0) = (1 βˆ’ ) ( ) = (1 βˆ’ ) = 𝛽 𝛽 3 3 AndrΓ©s Miniguano Trujillo e) Si el costo de mantener un camiΓ³n en el sistema es de S/.15.000 por hora. Si fuera posible incrementar la tasa promedio de descarga a 3.5 camiones por hora con un costo de S/.100.000 por dΓ­a, ΒΏserΓ­a esto rentable? 40 πΆπ‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘œ π‘Žπ‘π‘‘π‘’π‘Žπ‘™ = 15000 βˆ— = $10000 60 𝛼 8 𝛽 = 3.5 β‡’ 𝑠𝛽 = = 𝛽(𝛽 βˆ’ 𝛼) 21 8 πΆπ‘π‘Ÿπ‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘–π‘œ π‘›π‘’π‘’π‘£π‘œ = 100000 βˆ— = $1587.30 21 βˆ— 24 La ganancia serΓ­a mayor, por lo que serΓ­a rentable.
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