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Andrés Miniguano TrujilloESCUELA POLITECNICA NACIONAL PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 5: Distribuciones Discretas de Probabilidad (Binomial, Hipergeométrica, Poisson, Geométrica, etc.) 1. Usando tablas calcule: a) 𝑩(𝟖, 𝟏𝟔, 𝟎. 𝟒𝟎) 𝐵(8,16,0.40) = 0.8577 b) 𝒃(𝟖, 𝟏𝟔, 𝟎. 𝟒𝟎) 𝑏(8,16,0.40) = 𝐵(8,16,0.40) − 𝐵(7,16,0.40) = 0.1417 c) 𝑩(𝟗, 𝟏𝟐, 𝟎. 𝟔𝟎) 𝐵(9,12,0.60) = 0.9166 d) 𝒃(𝟗, 𝟏𝟐, 𝟎. 𝟔𝟎) 𝑏(9,12,0.60) = 𝐵(9,12,0.60) − 𝐵(8,12,0.60) = 0.1419 e) ∑𝟐𝟎 𝒌=𝟔 𝒃(𝒌, 𝟐𝟎, 𝟎. 𝟏𝟓) 20 ∑ 𝑏(𝑘, 20,0.15) = 𝐵(20,20,0.15) − 𝐵(6,20,0.15) + 𝑏(6,20,0.15) = 0.06731 𝑘=6 f) ∑𝟗𝒌=𝟔 𝒃(𝒌, 𝟗, 𝟎. 𝟕𝟎) 9 ∑ 𝑏(𝑘, 9,0.70) = 𝐵(9,9,0.70) − 𝐵(6,9,0.70) + 𝑏(6,9,0.70) = 0.7230 𝑘=6 g) ∑𝟏𝟎 𝒌=𝟒 𝒃(𝒌, 𝟏𝟎, 𝟎. 𝟑𝟓) 10 ∑ 𝑏(𝑘, 10,0.35) = 𝐵(10,10,0.35) − 𝐵(4,10,0.35) + 𝑏(4,10,0.35) = 0.4862 𝑘=4 h) ∑𝟒𝒌=𝟐 𝒃(𝒌, 𝟗, 𝟎. 𝟑𝟎) 4 ∑ 𝑏(𝑘, 9,0.30) = 𝐵(4,9,0.30) − 𝐵(2,9,0.30) + 𝑏(2,9,0.30) = 0.7052 𝑘=2 2. En cierta ciudad, se da por hecho que los gastos médicos son la causa del 75% de todas las quiebras personales. Calcule la probabilidad de que los gastos médicos sean la causa para dos de las cuatro próximas quiebras personales en la ciudad. Ha habido varias quiebras así que el recorrido de la variable 𝑋 va hasta 𝑛 . 4 elementos seleccionados ~ Bernoulli. 4 𝑃(𝑋 = 2) = 𝑏(2,4,0.75) = ( ) 0.752 (1 − 0.75)2 = 0.2109 2 3. Supóngase que un examen en la administración pública está diseñado en forma tal que el 70% de las personas con un CI de 90 lo aprueben. Encuentre la probabilidad de que entre 15 personas con un CI de 90, que presentan el examen, 𝑋 número de personas con CI de 90 entre los 15 seleccionados que aprueban éxito: aprueba el examen 𝑝 = 0.70 fracaso: no aprueba examen 𝑞 = 0.30 a) al menos 12 lo aprueben, 15 ∑ 𝑏(𝑘, 15,0.70) = 0.2969 𝑘=12 b) a lo mas 6 lo aprueben, 𝐵(6,15,0.70) = 0.0152 c) 10 aprueben. 𝑏(10,15,0.70) = 0.2061 Andrés Miniguano Trujillo 4. Si 95% de ciertos neumáticos radiales de alto desempeño duran al menos 50.000 km, determine la media y la desviación estándar de la distribución del número de estos neumáticos, entre 20 seleccionados al azar, que duran al menos 50.000 km. Recorrido de la variable 𝑋 va hasta 𝑛. 20 elementos seleccionados ~ Bernoulli. 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 20(0.95) = 19 𝜎𝑋2 = 𝑛𝑝𝑞 = 20(0.95)(0.05) = 0.95 5. Determine la media y la desviación estándar de la distribución de cada una de las siguientes variables aleatorias: a) El número de caras obtenidas en 676 lanzamientos de una moneda balanceada Es un caso de distribución binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 676, 𝑝 = 0.5 y es estable ~ Bernoulli. 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 676(0.5) = 338 2 𝜎𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 676(0.5)(0.5) = 169 b) El número de cuatros (4) obtenidos en 720 lanzamientos de un dado 1 Es un caso de distribución binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 720, 𝑝 = 6 y es estable ~ Bernoulli. 1 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 720 ( ) = 120 6 2 1 5 𝜎𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 720 ( ) ( ) = 100 6 6 c) El número de unidades defectuosas en una muestra de 600 partes fabricadas por una máquina, cuando la probabilidad de que cualquiera de ellas sea defectuosa es de 0.04 Es un caso de distribución binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 600, 𝑝 = 0.04 y es estable ~ Bernoulli. 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 600(0.04) = 24 𝜎𝑋2 = 𝑛𝑝𝑞 = 600(0.04)(0.96) = 22.1184 d) El número de estudiantes entre 800 entrevistados que no gustan de los alimentos que sirven en el bar, cuando la probabilidad de que cualquiera de ellos no guste de los alimentos es de 0.65 Es un caso de distribución binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 800, 𝑝 = 0.65 y es estable ~ Bernoulli. 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 800(0.65) = 520 2 𝜎𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 800(0.65)(0.35) = 182 6. Un estudio revela que una empresa de computación contestó 70% de todas las consultas dentro del término de 6 días. Calcule las probabilidades de que la empresa responda 0,1,2,... o 10 de 10 consultas en el término de 6 días, dibuje un histograma de esta distribución de probabilidad. Es un caso de distribución binomial donde 𝑛 toma cualquier valor, aquí 𝑛 = 10, 𝑝 = 0.70. 𝑏(0,10,0.70) = 0.0000059049 Distribución de Probabilidad 𝑏(1,10,0.70) = 0.0001378 1.0000 𝑏(2,10,0.70) = 0.001447 Probabilidad Acumulada 0.8000 𝑏(3,10,0.70) = 0.0090017 𝑏(4,10,0.70) = 0.03676 0.6000 𝑏(5,10,0.70) = 0.10292 0.4000 𝑏(6,10,0.70) = 0.200121 0.2000 𝑏(7,10,0.70) = 0.2668 𝑏(8,10,0.70) = 0.23347 0.0000 𝑏(9,10,0.70) = 0.1211 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valores de X 𝑏(10,10,0.70) = 0.02825 Andrés Miniguano Trujillo 7. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 acumuladores de cada lote de 24 que están listos para ser embarcados. Si un lote contiene seis acumuladores con pequeños defectos, ¿cuáles son las probabilidades de que la muestra del inspector contenga: Es un caso de distribución hipergeométrica donde 𝑁 = 24, aquí 𝑟 = 6, 𝑛 = 3. Éxito: baterías con defectos a) ninguna de las baterías con defectos; 6 24 − 6 ( )( ) ℎ(0,3,6,24) = 0 3 − 0 = 0.40316 24 ( ) 3 b) solamente una de las baterías defectuosas; 6 24 − 6 ( )( ) ℎ(1,3,6,24) = 1 3 − 1 = 0.4536 24 ( ) 3 c) al menos dos de las baterías con defectos? 3 ∑ ℎ(𝑘, 3,6,24) = ℎ(2,3,6,24) + ℎ(3,3,6,24) = 0.1433 𝑘=2 8. Entre los 300 empleados de una compañía, 240 están sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen ocho por sorteo para integrar un comité que administre el fondo de pensiones, calcule la probabilidad de que cinco estén sindicalizados mientras que los otros no, usando: a) la distribución hipergeométrica, 240 300 − 240 ( )( ) ℎ(5,8,240,300) = 5 8−5 = 0.14702 300 ( ) 8 b) la distribución binomial como una aproximación. 240 𝑏 (5,8, ) = 0.1468 300 9. Un cargamento de 120 alarmas contra robo contiene 5 defectuosas. Si tres de ellas son seleccionadas aleatoriamente y embarcadas para un cliente, encuentre la probabilidad de que al cliente le toque una defectuosa, usando: a) la distribución hipergeométrica, 5 120 − 5 ( )( ) ℎ(1,3,5,120) = 1 3 − 1 = 0.000172 120 ( ) 3 b) la distribución binomial como una aproximación. 5 𝑏 (1,3, ) = 0.1148 120 10. El 95% de ciertas llantas radiales dura al menos 30.000 millas, calcule la media y la desviación estándar de la distribución del número de las llantas, entre 20 seleccionadas al azar, que durarán al menos 30.000 millas. Es un caso de distribución binomial: 𝑛 toma cualquier calor, en este caso 20, 𝑝 = 0.95 y es estable ~ Bernoulli. 𝑋 son las llantas que duran al menos 30.000 millas. 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 20(0.95) = 19 2 𝜎𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 20(0.95)(0.05) = 0.95 Andrés Miniguano Trujillo 11. Si un estudiante contesta 144 preguntas de un examen de verdadero o falso lanzando una moneda, ¿qué afirma el teorema de Chebyshev con k=4 acerca del número de respuestas correctas que logrará el estudiante? 1 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 144 ( ) = 72 2 2 1 1 𝜎𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 144 ( ) ( ) = 36 2 2 |𝑋 − 𝜇| ≤ 𝑘𝜎 |𝑋 − 72| ≤ 4 ∗ 6 ⇒ |𝑋 − 72| ≤ 24 ⇒ 48 ≤ 𝑋 ≤ 96 1 ⇒ 𝑃(|𝑋 − 72| ≤ 24) ≥ 1 − 16 Se afirma que la probabilidad de que el estudiante logre acertar entre 48 y 96 preguntas es mayor o 15 igual que 16. 12. ¿Qué dice el Teorema de Chebyshev sobre la probabilidad de obtener a lo sumo 30 o al menos 105 números 6 si un dado se arroja 405 veces? 1 𝜇𝑋 = 𝑛𝑝 = 405 ( ) = 67.5 6 2 1 5 𝜎𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 405 ( ) ( ) = 56.25 ⇒ 𝜎 = 7.5 6 6 𝑘𝜎 = 37.5 ⇒ 𝑘 = 5 1 𝑃(|𝑋 − 67.5| ≥ 37.5) ≤ 25 13. ¿Cuántas veces se tiene que lanzar una moneda para poder asegurar con una probabilidad cuando mucho de 0.01 que la diferencia entre la proporción de las caras y 0.50 sea al menos 0.04? Por Chebyshev: 1 𝑝(|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑘𝜎) ≤ 2 ⇒ 𝑘 = 10, 𝜇 = 0.50, 𝜎 = 0.004, 𝑋 ≥ 0.54 𝑘 de 𝜇, 𝑛 = 1 𝒇(𝒌+𝟏,𝝀) 𝝀 14. Pruebe que para la distribución de Poisson, se tiene: 𝒇(𝒌,𝝀) = 𝒌+𝟏 , 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝑓(𝑘 + 1, 𝜆) 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘+1 𝑘! 𝜆 𝑘+1 𝜆 = −𝜆 𝑘 = 𝑘 = 𝑓(𝑘, 𝜆) 𝑘 + 1! 𝑒 𝜆 (𝑘 + 1)𝜆 𝑘+1 15. Use la distribución de Poisson para aproximar la probabilidad binomial 𝒃(𝟑, 𝟏𝟎𝟎, 𝟎. 𝟎𝟑) 𝑏(3,100,0.03) = 0.2275 𝑏(3,100,0.03) ≈ 𝑓(3,100 ∗ 0.03) = 0.22404 16. En una ciudad, el 6% de todos los conductores obtiene al menos una boleta de mal estacionamiento por año. Usando la aproximación de Poisson a la distribución binomial, determine la probabilidad de que entre 80 conductores: a) cuatro obtengan al menos una boleta de mal estacionamiento, 𝑏(4,80,0.06) ≈ 𝑓(4,4.8) = 0.1820 b) 3,4,5 o 6 de ellos obtengan al menos una boleta de mal estacionamiento en un año cualquiera. 6 6 ∑ 𝑏(𝑘, 80,0.06) ≈ ∑ 𝑓(𝑘, 4.8) = 0.6482 𝑘=3 𝑘=3 Andrés Miniguano Trujillo 17. Ciertos registros muestran que la probabilidad de que uno de los neumáticos de un auto se revienten en cierto túnel es de 0.00004. Use la distribución de Poisson para aproximar la probabilidad de que al menos uno de los neumáticos de 1 de 10.000 autos que pasen por ese túnel se revienten. 1 − 𝑏(0,10000,0.00004) ≈ 1 − 𝑓(0,0.4) = 0.3297 18. Suponiendo que el conmutador de un edificio recibe un promedio de 0.6 llamadas por minuto, calcule las probabilidades de que: a) en un minuto cualquiera haya al menos una llamada, 𝑓(1,0.60) = 0.3293 b) en un intervalo de cuatro minutos haya al menos tres llamadas. 1 − 𝑓(2,2.4) − 𝑓(1,2.4) − 𝑓(0,2.4) = 0.43029 19. Una compañía alquila tiempo en una computadora por períodos de t horas por lo cual recibe S/.6000 por hora. El número de veces que la computadora falla durante t horas es una variable aleatoria que tiene distribución de Poisson con 𝝀 = (𝟎. 𝟖)𝒕, y si la computadora falla 𝒌 veces durante 𝒕 horas la reparación tiene un costo de S/. 500k 2 . ¿Cómo debería la compañía elegir 𝒕 en forma tal que maximice la utilidad esperada? 𝑈 = 𝐼 − 𝐶 = 6000𝑡 − 500𝑘 2 𝐸[𝑈] = 𝐸[6000𝑡 − 500𝑘 = 6000𝑡 − 500𝐸[𝑘 2 ] = 6000𝑡 − 500(𝑉[𝑘] + (𝐸[𝑘])2 ) 2] = 5600𝑡 − 320𝑡 2 𝑑𝐸[𝑈] = 5600 − 640𝑡 = 0 ⇒ 𝑡 = 8.75[ℎ] 𝑑𝑡 𝑑2 𝐸[𝑈] = −640 < 0 ⇒ 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑡 2 En 𝑡 = 8.75[ℎ] se tiene que la utilidad es máxima. 20. La determinación de probabilidades con la distribución geométrica se simplifica utilizando 𝟏 la identidad: 𝒈(𝒌, 𝒑) = 𝒃(𝟏, 𝒌, 𝒑) y buscando 𝒃(𝟏, 𝒌, 𝒑) en una tabla de probabilidades de 𝒌 la distribución binomial. i. Verifique la identidad citada 1 1 𝑘 𝑘 𝑏(1, 𝑘, 𝑝) = ( ) 𝑝𝑞 𝑘−1 = 𝑝(1 − 𝑝)𝑘−1 = 𝑔(𝑘, 𝑝) 𝑘 𝑘 1 𝑘 ii. Calcule: a) 𝒈(𝟏𝟐, 𝟎. 𝟏𝟎) 1 𝑔(12,0.10) = 𝑏(1,12,0.10) = 0.0314 12 b) 𝒈(𝟏𝟎, 𝟎. 𝟑𝟎) 1 𝑔(12,0.10) = 𝑏(1,10,0.30) = 0.0121 10 21. Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo? Ley Geométrica: 𝑔(15,0.95) = 5.7983 10−19 22. En una caja bancaria llegan clientes a una tasa promedio de 1.5 por minuto. Determine las probabilidades de que: a) Cuando más cuatro clientes lleguen en un minuto dado 4 ∑ 𝑓(𝑘, 1.5) = 0.9814 𝑘=0 Andrés Miniguano Trujillo b) Al menos tres clientes lleguen durante un intervalo de 2 minutos 1 − 𝐹(2,3) = 0.5768 c) Cuando más 15 clientes lleguen durante un intervalo de 6 minutos 𝐹(15,9) = 0.97796 23. El arribo de clientes a una cafetería tiene una tasa promedio de 0.3 clientes por minuto. Si se les atiende a una tasa promedio de 0.5 por minuto, encuentre: 𝛼 = 0.3 𝛽 = 0.5 𝑋 ≔ #𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 a) el número promedio de clientes atendidos o esperando ser atendidos en cualquier momento determinado 𝛼 𝐸[𝑋] = = 1.5[𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠] 𝛽−𝛼 b) el número promedio de clientes a la espera de ser atendidos en un momento dado 𝛼2 𝑟= = 0.9[𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠] 𝛽(𝛽 − 𝛼) c) el tiempo promedio que un cliente pasa formado en la cola. 𝛼 𝑠= = 3[𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠] 𝛽(𝛽 − 𝛼) 24. Con referencia al ejemplo anterior, suponga que el costo de mantener a un camión en el sistema es de 15 dólares la hora. Si fuera posible incrementar la tasa media de descarga a 3.5 camiones por hora a un costo de 100 dólares al día, ¿valdría la pena hacerlo? 40 𝐶𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 15 ∗ = $10 60 𝛼 8 𝛽 = 3.5 ⇒ 𝑠𝛽 = = 𝛽(𝛽 − 𝛼) 21 8 𝐶𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 100 ∗ = $1.59 21 ∗ 24 Sí valdría la pena ya que la ganancia sería mayor pues 𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠, al ser menores los costos y los ingresos estables, la ganancia sube. 25. El arribo de camiones de carga a un muelle es un proceso de Poisson, con una tasa promedio de llegadas de dos por hora. Los camiones se descargan con una tasa promedios de tres por hora y el servicio de descarga continúa ininterrumpidamente hasta que todos los camiones han sido descargados. 𝛼=2 𝛽=3 𝑋 ≔ #𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 a) ¿Cuál es el número promedio de camiones que están siendo descargados o que esperan ser descargados? 𝛼 𝐸[𝑋] = = 2[𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠] 𝛽−𝛼 b) ¿Cuál es el número promedio de camiones en la cola? 𝛼2 4 𝑟= = = 1.25[𝑐𝑎𝑚𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠] 𝛽(𝛽 − 𝛼) 3 c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un camión debe esperar en la cola? 𝛼 2 𝑠= = = 0.6667[ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠] ≈ 40[𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠] 𝛽(𝛽 − 𝛼) 3 d) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en espera de ser descargados? 𝛼 𝛼 0 2 1 𝜋(0) = (1 − ) ( ) = (1 − ) = 𝛽 𝛽 3 3 Andrés Miniguano Trujillo e) Si el costo de mantener un camión en el sistema es de S/.15.000 por hora. Si fuera posible incrementar la tasa promedio de descarga a 3.5 camiones por hora con un costo de S/.100.000 por día, ¿sería esto rentable? 40 𝐶𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 15000 ∗ = $10000 60 𝛼 8 𝛽 = 3.5 ⇒ 𝑠𝛽 = = 𝛽(𝛽 − 𝛼) 21 8 𝐶𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 100000 ∗ = $1587.30 21 ∗ 24 La ganancia sería mayor, por lo que sería rentable.