Das Problem des Unendlichen. Die philosophisch-mathematischen Überlegungen Cantors zum Transfiniten.

Bergische Universität WuppertalFachbereich A: Geistes- und Kulturwissenschaften Fach: Philosophie Magisterarbeit Das Problem des Unendlichen. Die philosophisch-mathematischen Überlegungen Cantors zum Transfiniten. vorgelegt von: Rosa Merino Claros Philosophie, Mathematik und Sprachwissenschaft Matrikelnr.: 238205 1. Gutachter: Prof. Dr. L. Tengelyi 2. Gutachter: Prof. Dr. E. Scholz 23. Mai 2008 Abbildung 0.1: Georg Cantor mit seiner Frau Vally um 1880 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung 2.1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre 2.1.1 Eigentlich-unendlich vs. Uneigentlich-unendlich . . . . . . . . 2.1.2 Transfinites und Absolutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Die Missverständnisse des Aktual-Unendlichen . . . . . . . . . 2.1.4 Beispiele in der Mathematik für das Aktual-Unendliche . . . . 2.1.4.1 Irrationale Zahlen und Fundamentalreihen . . . . . . 2.1.4.2 Limeszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4.3 Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4.4 Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Die verschiedenen Mengendefinitionen . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Das System Dedekinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Die dialektische Begriffserzeugung. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Die Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Die Äquivalenz als Bijektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Die Grundeigenschaften der Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Der Äquivalenz- und Vergleichbarkeitsatz . . . . . . . . . . . . 2.4 Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Abzählbare und Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Die verschiedenen Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ordnungstyp und Wohlordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Die Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Paradoxien der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Wesen und Gegenstand der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 20 23 27 29 30 31 32 34 35 40 43 47 50 54 3 Die 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 59 60 63 69 71 80 83 85 Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition Cantor der Platoniker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zur These „Infinitum actu non datur“ . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Absolute bei Cusanus und Bruno . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie . . . . . . . . . . . Kant, der grösste Gegner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Paradoxien des Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schlussbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Literaturverzeichnis . . . . . . . 87 3 . bedeutete zugleich eine Alternative zur zeitgenössisch dominierenden Behauptung . 5 . 111-112. Februar 1896 zitiert. dass die Untersuchung der trigonometrischen Reihen in den früheren Arbeiten den Übergang zur Ableitung von Punktmengen. Herbert. Hier wird ein Paragraph aus einem Brief an den Pater Thomas Esser vom 1. [.. Hildesheim (1966). Dass diese mathematische Theorie. So bemerkte Cantor in seiner Grundlagen: „Die bisherige Darstellung meiner Untersuchungen in der Mannigfaltigkeitslehre ist an einem Punkt gelangt. den Gegenstand und vor allen Dingen die Methodologie der Mathematik auf genuine Weise neu. Indem Cantor seine Mengenlehre sogar als zur Metaphysik gehörig bezeichnete1 . wo ihre Fortführung von einer Erweiterung des realen ganzen Zahlbegriffs über die bisherigen Grenzen hinaus abhängig wird. was wiederum die Erweiterung der reellen Zahlen über das Unendliche hinaus vorbereitete. S. Cantor. einer philosophischen Grundlage bedurfte.das gründliche Studium der Natur sei die beste Quelle mathematischer Entdeckungen.1 Einleitung Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht darin. dass „die Theorie der trigo1 2 Vgl. Hrsg. hierzu: Meschkowski. dass die Entstehung der Cantorschen Mengenlehre in zwei Punkten ihren wesentlichen Ursprung habe: • Erstens.. Die meisten Forscher stimmen darin überein. Georg Cantor. Irrationalen Zahlen und Fundamentalfolgen ermöglichte.wie sie beispielsweise Fourier vertrat . die Theorie des Transfiniten in der Cantorschen Mengenlehre aus einer philosophischen Perspektive zu betrachten und dabei die von Cantor angegebene philosophische Begründung der transfiniten Zahlen darzustellen und zu analysieren. Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Georg. gehört durchaus zur Metaphysik“. 165. welche Ihnen sowohl in der Schrift Zur Lehre des Transfiniten wie auch in dem ersten Artikel der begonnenen Arbeit Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre in ihren Principien entgegengetritt. Mannheim-Wien-Zürich (1983) S. die Mengenlehre. gestaltete er mit seiner Theorie die traditionellen Überlegungen über das Wesen. Das Zitat besagt: „Die allgemeine Mengenlehre. Dieser Brief ist in der Ausgabe von Cantors Briefen (1991) nur als Faksimile wiedergegeben. Leben. Ab hier wird diese Quelle mit der Sigle GA zitiert. Georg Olms Verlagsbuchhandlung. um die unmittelbarsten Einflüsse und Quellen aufzuzeigen.: Ernst Zermelo.]“ 2 Bemerkenswert ist. Werk und Wirkung. So initiieren die philosophischen Ansprüche in Cantors Werk eine Auseinandersetzung mit der philosophischen Tradition. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag. die wir Von trigonometrischen Reihen zu transfiniten Mengen und Cantors Philosophie des Unendlichen nennen könnten. um den Versuch einer philosophischen Interpretation durchzuführen. 161-190. BSB B. Hans Joachim. Einige Beispiele sind die Biographie von Fraenkel in der GA. Werk und Wirkung. Georg Cantor. Georg Cantor. Leben. 474-483. 35-38 und die Biographie von Meschkowski. Annalen 95 (1925). als das eigentliche Fundament der transfiniten Mengenlehre fungieren. Band 79. die Biographie von Purkert. Physik und Philosophie in Berlin. Teubner Verlagsgesellschaft. Teubner Verlagsgesellschaft. Math. 452-456 und S.de/gdz/ S. Sein Studium der Mathematik. das er mit einer Abschlussprüfung über Spinoza abschloß. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag. um eine kleine Genealogie des Denkens über das Unendliche zu gewinnen.sub. BSB B. In: Biographien hervorragender Naturwissenschaftler. Leipzig (1985). 111-122. Göttinger Digitalisierungszentrum: http://gdz. Im zweiten Teil wird die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition untersucht. Hans Joachim. 4 Die vorliegende Arbeit ist daher in die folgende Struktur untergliedert: Im ersten Teil werden die Grundzüge der Theorie von der transfiniten Mengenlehre behandelt. Über das Unendliche. Schöpfer der Mengenlehre. Georg Cantor. den philosophischen Begriff des Aktual-Unendlichen mathematisch zu formulieren und zugleich die gesamten Grundlagen der Mathematik neu zu denken. das Unendliche hat wie keine andere Idee auf den Verstand so anregend und fruchtbar gewirkt. 26-49 und S. Mannheim-Wien-Zürich (1983) S. Techniker und Mediziner.“ 5 3 4 5 6 Purkert. sind sehr oft in der Literatur zu finden. wie Cantor sie in seinen Mitteilungen und Grundlagen darstellt. 60-77. Im Sinne einer oft zitierten Aussage Hilberts über die Untersuchung der Unendlichkeit kann einleitend gesagt werden: „Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt. Herbert. S. 163 . Walter und Ilgauds. Andor. Georg Cantor. D.G. 21 Diese beiden Gründe für die originelle Schaffung der Mengenlehre. Band 79.uni-goettingen. In: Biographien hervorragender Naturwissenschaftler. 19-51 und S. Leipzig (1985) S. Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina. dass die Begründung des Aktual-Unendlichen und ihre verschiedenen Formen. und seine Vorlesungen in Halle über Philosophie beweisen eindeutig Cantors philosophische Bildung.G. Walter und Ilgauds. Halle-Saale (1983) S. So wird behauptet.1 Einleitung nometrischen Reihen in der historischen Entwicklung mehrfach Ausgangpunkt für die Schaffung tieflegender neuer Begriffe gewesen ist“. Techniker und Mediziner. das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklärung bedürftig. die Biographie von Kertész.3 • Zweitens. dass Cantors persönliche Neigung zur Philosophie ihn dazu führte. Acta Historica Leopoldina. Nummer 15 (1983). Hilbert. S. S. Wissenschaftliche Buchgesellschaft. „In der Tat wird man sagen dürfen. eine Frage zu lösen. also durch die Bijektion. Briefe. S. Eine Einführung in ihre Wechselwirkungen und in die Philosophie der Mathematik. hierzu: Thiel. Philosophie und Mathematik. Georg. da an diesem Tag Cantor einen Brief an seinen Freund Dedekind schrieb. S. anstatt neue. dass die um die letzte Jahrhundertwende durch die mengentheoretischen Antinomien ausgelöste Grundlagenkrise der Analysis zu Beziehung zwischen Philosophie und Mathematik von einer neuen.3 Diese Vereinbarung fungiert als die eigentliche Grundlage der modernen Mathematik.: Herbert Meschowski und Winfried Nilson. Darmstadt (1995).11. Springer Verlag. 2. Zweifellos ist die Tatsache. man könnte sogar denken. Christian.1873 datieren. als für die Mathematik. obwohl viele Mathematiker die philosophischen Ansprüche der Mengenlehre ablehnten. um zu zeigen. hierzu: Cantor. Logik und Philosophie stattfindet. Berlin-Heidelberg (1991). seit der griechischen Antike nicht mehr gekannten Intensität geführt hat. die üblicherweise exakte Lösungen zu Problemen anbietet. dass sie eher für die Philosophie gelte.“ 7 . in dem eine merkwürdige Frage gestellt wurde: Ist es möglich eine eindeutige Zuordnung zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der reellen Zahlen zu stellen?2 Diese Fragestellung öffnet die Möglichkeit verschiedener unendlicher Mengen zu differenzieren. In diesem Kapitel werden die wesentlichen Punkte der Mengenlehre sowohl mathematisch als auch philosophisch behandelt.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Als dritte These seiner Promotionsarbeit De aequationibus secundi gradus indeterminatis (1867) schrieb Cantor: „In re mathematica ars proponendi quaestionem pluris facienda est quam solvendi"1 . Diese Behauptung gilt entsprechend für die Philosophie. und zwar aufgrund einer möglichen Zuordnung.“ Vgl. eine Frage zu stellen. höher zu achten als die. offene Frage zu stellen. wie in der Theorie der transfiniten Zahlen eine fein abgestimmte Vereinbarung von Mathematik. Tatsächlich kann man die Geburtsstunde der Mengenlehre auf den 29. 31: „In der Mathematik ist die Kunst. dass die philosophische Neigung Cantors sehr eng verbunden ist mit der Originalität und Tie1 2 3 GA. Hrsg. 31 Vgl. Die Texte Cantors. durch eine gewisse Statik charakterisiert. Aktual-Unendlich. Menge.h. dass als Einleitung für seine Mitteilungen 6 diese Distinktion gemacht wird. GA. die in diesen Teil benutzt werden. Dieser feste Boden ist nichts anders als die Auffassung des Aktual-Unendlichen in seiner transfiniten Form als etwas „fertiges“ und daher noch zur „Vermehrung fähiges“. Wenn eine unendliche Menge als statisch und nicht als ein dynamischer Prozess betrachtet wird. als in Deo realisiert. auf dem wir uns im Reich des Transfiniten bewegen können.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung fe seiner Fragestellungen. da dieses unbegrifflich und unvermehrbar ist. Mächtigkeit usw. während die zwei letzten (1885 und 1887) doch zur Zeit der verminderten Produktivität4 gehören. zweitens. 4 5 6 8 Nach der Biographie von Fraenkel. dass ein Aktual-Unendliches in der Natur nach der modernen Forschung in der Physik nicht zu finden sei. Dieses wird nach drei Beziehungen unterschieden: Erstens. so können Unterschiede und Vergleiche innerhalb dieser Art von Mengen fallen. 2. und drittens. Die zwei letzten Beziehungen nennt er das Transfinitum und es ist streng vom Absoluten zu unterscheiden. S. was er das Absolutunendliche oder einfach Absolutes nennt. Die Texte bis ins Jahr 1883 entstehen in Cantors Zeit der schöpferischen Leistung. als mathematische Grösse oder in abstracto. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre (1878). während das Transfinitum jedoch „noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verbandtes“ 5 ist. Obwohl Hilbert im Jahre 1925 ausdrücklich sagt. als in der kreatürlichen Welt vertretene oder in concreto. Philosophen und Theologen verteidigt. wie Cantor tatsächlich realisierte. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (1883). deren erste Aufgabe die Erörterung des Aktual-Unendlichen ist. 378-439 . S. 378 oder zweite Teil seiner Gesammelte Abhandlungen zur Lehre von Transfiniten im Jahre 1887 in der Zetischrift für Philosophie und philosophische Kritik erschienen. Wichtig ist hier zu beachten. da Cantor in diesen seine neue Theorie des Transfiniten gegen die Kritik der Mathematiker. 452-484 GA. um Begriffe wie Äquivalenz. zu definieren. Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche (1885) und die Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten (1887). d. obgleich diese zwei Texte sehr wichtig sind. Auf diese Weise bieten sie die gesuchte philosophische Grundlegung der Mengenlehre. wird der vorherige Gedanke Cantors nicht obsolet. in: GA S. um den festen Boden zu zeigen. sind hauptsächlich: Die Korrespondenz mit Dedekind (1873-1877).1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre Als Ausgangspunkt für die Verteidigung seiner Mengenlehre stellt Cantor die Frage nach dem aktuellen Unendlichen. sie nimmt jedes Mal einen neuen gegen Unendlich wachsenden Wert an. Es gehört zu seinem Wesen das Wohlunterschiedensein und bekommt einen bestimmten Platz in der Zahlenreihe. sie bleibt unbestimmt. in der Mathematik auftauchenden Beispiele später in 2. da es noch zu weiterer Vermehrung fähig ist. d. die Veränderlichkeit. Aber nicht alle sind nach Cantor als eigentlich Unendlich zu bejahen. indem es den Begriff der Zahl 7 GA. da wir es hier mit einem potenziell Unendlichen zu tun haben.B. Dieses Merkmal ist durchaus das wichtigste. uneigentlich Unendlichen können auf folgende Weise zusammengefasst werden: lim .4.Statischsein: Nur als ein „fertiges Ding“ kann das Eigentlich-unendliche in seiner transfiniten Form erscheinen. durch folgende Eigenschaften charakterisiert: . bei Grenzprozessen.1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre 2. Reihen.1. Grenzwerten. nähert sich der Wert des Bruches gegen Null.Bestimmtheit: Das Eingentlich-unendliche erhält so viel Bestimmtheit wie eine endliche Zahl.2. Diese Bedeutung einer Form des mathematischen Unendlichen lehnt Cantor als eigentlich ab. . Dagegen ist die Form des Eigentlich-unendlichen. Es ist daher keine Zahl. Dieses ist überall in der Mathematik zu finden.1 Eigentlich-unendlich vs. Zu seinem Wesen gehört die Unbestimmtheit. 166 9 . In folgendem Ausdruck ist die Veränderliche x zu beachten: 1 =0 x→∞ x Wenn x gegen Unendlich läuft.Dynamik: Als unvollendeter Prozess taucht bei dem potenziell bzw.h.Unbestimmtheit: Diese falsche Form des Aktual-Unendlichen entbehrt jeder Vollendung. Veränderlichen usw. Welchen Wert hat dann x? Es ist eine Veränderliche. deren geeignete. bei irrationalen Zahlen.B. uneigentlich Unendlichen die Bedeutung des Werdens bzw. Uneigentlich-unendlich Die erste wichtige Unterscheidung vollzieht sich innerhalb des mathematischen Unendlichen. Punktmengen einer Strecke.1. sie ist vielmehr als ein unvollendeter Prozess zu verstehen. S. wie z. Es kann nicht als ein fertiges statisches Ding wahrgenommen werden. Infinitesimalen in der Differentialrechnung. d.h. . es ist unendlich nur der Möglichkeit nach. usw. der Bewegung auf. Sie stellt sich als ein „veränderliches Endliches“ 7 dar. gezeigt werden. wie z. In diesem Sinne ist es ein α ˇ πιρoν. da es nicht völlig bestimmt ist. Die Merkmale eines potenziell bzw. hinweist.2 Transfinites und Absolutes Die drei möglichen Beziehungen des Aktual-Unendlichen. Vielmehr wird seine wahre Bedeutung im Dunkel bleiben. ein Aktual-Unendliches voraus.bleibt unwichtig. soll es streng mathematisch verwendbar sein. Dieses Verhältnis ist nichts anderes als ein Hinweis. indem es stets auf ein A.8 2. es weist zu diesem hin. Als in Deo realisiert. da das Studium dieses als Aufgabe der spekulativen Theologie versteht. Das Absolute bleibt nicht nur der Mathematik unzugänglich. Das Uneigentlich-unendliche möchte Cantor weder ablehnen noch als falsches Unendliches. [potenziell Unendliche bzw. während doch in Wahrheit das P. Welche Unterschiede und Gemeinsamkeiten können wir feststellen? Zunächst ist die erste fundamentale Distinktion Folgende: Das Transfinitum ist das vermehrbare Aktual-Unendliche. hierzu: GA. während sie sowohl in abstracto wie in concreto. der Menge neu definiert. Transfinitum genannt wird. S. vielmehr bleibt noch das wesentliche Verhältnis beider zu bestimmen. Das Eigentlich-unendliche fungiert in diesem Sinne als die Bedingung der Möglichkeit vom Uneigentlich-unendlichen.9 Als Unvermehrbares und Vollkommenes bleibt das Absolute der Mathematik unzugänglich. um das Uneigentlichunendliche vorzustellen.]. So können wir die Menge der natürlichen Zahlen als etwas statisches und abgeschlossenes betrachten. die als Schachteln vorgestellt werden können. S. sind zugleich die drei möglichen Formen des Eigentlich-unendlichen.h. Transfinitum bedeutet „ jenseits des Endlichen“. solange sein Verhältnis zum Eigentlichunendlichen nicht eindeutig bestimmt wird. eine Voraussetzung: Jedes Uneigentlich-unendliche strebt nach einem Eingentlich-unendlichen.. Der Prozess des Zählens . die durch ihre Statik und Abgeschlossenheit das Enthaltensein in einer Schachtel möglich wird. da es zu wichtigen Schritten in der Mathematik wie z. Aber die Unterscheidung zwischen dem Eigentlich-unendlichen und dem Uneigentlich-unendlichen beruht nicht auf bloßem Gegensatz. wird sie Absolutes genannt.-U. 411) Vgl. S.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung bzw.mit der Dynamik verwandter . Das Absolute und das Transfinite erweisen sich als die eigentlichen Gestalten des Aktual-Unendlichen.B. 404: „[. die Differentialrechnung geführt hat. deswegen könnte dies auch Suprafinitum genannt werden.“ Ferner wird gesagt: „So setzt jedes potenziale Unendliche.1. während das Absolutum das unvermehrbare Aktual-Unendliche ist. durch welche es erst möglich wird. er ist nicht wesentlich für unsere neuen Zahlen. die die vorherigen beschachtelten Zahlen enthalten.“ (GA. d. die Cantors Mitteilungen einleiten. während das Transfinite doch mathematisch formulierbar ist.. man könnte sagen.-U. wird zuerst ein Eigentlich-unendliches vorausgesetzt. 405 10 . Uneigentlichunendliche] nur eine geborgte Realität hat. dass es dem 8 9 GA. S. so Cantor: „Das Absolute kann nur anerkannt. wogegen das Transfinite nicht nur das Gebiet des Möglichen in Gottes Erkenntnis erfüllt. S. S. 10 11 12 13 GA. Solche Vielheiten nenne ich absolut unendliche oder inkonsistente Vielheiten.“ Aber sechzehn Jahre später schreibt er an seinen Freund Dedekind . stets zunehmendes Feld idealer Forschung darbietet [. als „ein fertiges Ding“ aufzufassen. Jeder Versuch das Absolute zu bestimmen. „statisch sein“ des Eigentlich-unendlichen einigermaßen durch die neue Definition von absolut Unendlichen zerstört wird. dass die wichtige Eigenschaft „fertig sein“ bzw.2.. In: Bulletin de la Societé Mathématique de Belgique.nach der Veröffentlichung der Antinomie Burali-Fortis im Jahre 1897 -12 : „Eine Vielheit kann nämlich so beschaffen sein. 205 Ebd. 405 Diese Antinomie wurde auch von Cantor bemerkt und an Hilbert in Briefen mitgeteilt. In der zweiten Fussnote seiner Grundlagen (1883) sagt Cantor: „Die absolute unendliche Zahlenfolge erscheint mir daher im gewissen Sinne als ein geeigenetes Symbol des Absoluten. 313-327 GA. die Vielheit als eine Einheit. Vgl.B. t.XXXVIII (1986). an dessen Grösse keinerlei Hinzufügung oder Abnahme statthaben kann und welches daher quantitativ als absolutes Maximum anzusehen ist.“ 11 Das Problem entsteht mit der Entdeckung „inkonsistenter Vielheiten“.]. auch nicht annähernd erkannt werden. da dieses sich von jeder möglichen Determination sich entzieht. Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre. aber nie erkannt.“ 10 Aber die wichtigste Eigenschaft des Absoluten bleibt noch im Dunkeln.. Walter. jedoch kann es nicht als ein „fertiges Ding“ aufgefasst werden. analog wie das Verhältnis zwischen dem Eigentlich-unendlichen und dem Uneigentlich-unendlichen funktioniert das Verhältnis zwischen Absoluten und Transfiniten: Das Absolute ist die Bedingung der Möglichkeit des Transfiniten und das Studium des letzteren führt notwendig zur Anerkennung des ersten: „Das Transfinite mit seiner Fülle von Gestaltungen und Gestalten weist mit Notwendigkeit auf ein Absolutes hin. Letzteres überschreitet gewissermaßen die menschliche Fassungskraft und entzieht sich namentlich mathematischer Determination. so dass es unmöglich ist. wie z. der Menge aller Mengen oder der Menge Ω aller Ordinalzahlen. die zu Antinomien führen. S. dass die Annahme eines „Zusammenseins“ aller ihrer Elemente auf einen Widerspruch führt. sondern auch ein reiches.. hierzu: Purkert. 443 11 .1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre menschlichen Verstand für immer unzugänglich bleibt.“ 13 Problematisch bleibt hier. auf das „wahrhaft Unendliche“. Ist das Absolute denn als ein Eigentlich-unendliches oder als ein potenzielles Unendliche zu verstehen? Das Absolute ist ein Eigentlich-Unendliches. 3 Die Missverständnisse des Aktual-Unendlichen Warum wurde das Aktual-Unendliche vor Cantor nie richtig aufgefasst und mathematisch formuliert? Diese Frage kann nicht durch die Behauptung eines horror infiniti des menschlichen Verstandes beantwortet werden. 4. beantwortet werden kann.1. ob im Reich des Unendlichen die Zahlen gerade oder ungerade seien. 2. Im seinen Texten sind folgenden Gründe und Antworten zu finden: 1. Das Fehlen der Begriffe von Ordinalität und Kardinalität. Ebd.nicht beachtet. warum in der Vergangenheit sowie in seiner gegenwärtigen Kritik das Aktual-Unendlich missverstanden wird. Daher ist eine übertragbare vollständige Deckung der Eigenschaften des Endlichen im Unendlichen nicht möglich. Auf diese Weise entsteht die Behauptung „infinitum actu non datur“. Ebd. die nur philosophisch gestellt bzw. 372 174 und S. 12 S.14 Dieser Fehler ist innerhalb der Geschichte am häufigsten und beschreibt die Standpunkte. dass die Vorstellung von abgeschlossenen unendlichen Grössen Schwierigkeiten aufgrund der Wahrnehmung bereitet. dass bei jeder Begriffserweiterung manche Besonderheiten aufgegeben werden müssen. was zum Pantheismus führt.. Die Verwechslung des Transfiniten mit dem Absoluten. Wenn man aber die Tatsache bedenkt.. S. 2.15 Hier wird die Statik jedoch berücksichtigt. Es wird dabei das wichtigste Merkmal des Aktual-Unendlichen . Cantor ist sich dessen bewusst. statischSein . 3. Cantor beschäftigte sich sehr lange mit dieser Frage. Ebd. es ist ihm auch bewusst.. der eine mathematisch-exakte Theorie über das Unendliche geschaffen hat. Die Verwechselung des Uneigentlich-unendlichen mit dem Eigentlich-Unendlichen. S.17 Die Einführung 14 15 16 17 Ebd. dann kann der neue Begriff „Transfinite“ einen bestimmten Platz im Geist aufnehmen und die Wahrnehmung dieses modifizieren. Die Zuschreibung von Eigenschaften des Endlichen im Unendlichen.bzw.. dass er der Erste gewesen ist.16 Wenn man die Frage stellt. die das Unendliche nur als ein α ˇ πιρoν wahrnehmen.das fertig. aber doch das Vermehrungsfähig-sein des Transfiniten nicht bemerkt. S. 172 und S. 376 . was nur das Unendliche als potenziell erlaubt.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung wird in Widersprüchen landen. landet man mit Sicherheit in Widersprüchen. 374 375 178 und S. Cantor antwortet. indem das Wesen der Mathematik und die Existenz ihrer Gegenstände auf eine objektivistisch-idealistische Weise aufgefasst werden.22 wie bereits Husserl vertreten hat. von E. Hamburg (1992) S. Hans Joachim. 65 GA. Edmund. wohldefinierten Platz einnimmt. hierzu: Purkert.B. Philosophie der Arithmetik. 79 13 .1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre dieser Begriffe ist wesentlich für die Theorie des Transfiniten. Bd.18 Unendlich sind die Mengen. Der „Skeptizismus“. BSB B. Meiner Verlag. den z. Georg Cantor. um das Unendliche erfassen zu können. S. 1. Ströker. 6. XII. Für Kronecker existieren nur die natürlichen Zahlen. Teubner Verlagsgesellschaft. Diese Behauptung verneint Cantor. Band 79. Das logische Gesetz „der Teil ist kleiner als das Ganze“ wird aufgegeben.19 Die Zahl wird als der Prozess des Zählens definiert. indem er.4 Beispiele in der Mathematik für das Aktual-Unendliche Noch präziser kann unsere Vorstellung vom Transfiniten werden. 379 Ebd. In: Biographien hervorragender Naturwissenschaftler. S.. Walter und Ilgauds. 2. während Cantor die Existenz der so genannten imaginären Zahlen und seiner eigenen idealen Zahlen bejaht. Text nach Husserliana Bd.2. Die Endlichkeit des menschlichen Verstandes beweist die Unmöglichkeit der Unendlichkeit.. So macht es auch Cantor. solange dieser neuer Begriff „das Transfinite“ unseres Denkens modifiziert und in diesem einen bestimmten. Der Begriff der Mächtigkeit ermöglicht es. somit wird das Unendliche nur als etwas potenzielles verstanden. um diesen Zirkelschluss zu vermeiden. S.G. kann die von Cantor angegebenen Auffassung des Eingentlich-unendlichen nachvollzogen werden.1. 5. Leipzig (1985). 18 19 20 21 22 Ebd. 176 Husserl. deren echte Bestandteile gleichmächtig mit dem Ganzen sind. Kronecker repräsentierte. Distinktionen sowie wichtige Eigenschaften innerhalb unendlicher Mengen deutlich zu bestimmen. Techniker und Mediziner. hrsg. Die folgenden Beispiele wurden von ihm selbst angegeben. 382 Vgl. Das Verkennen der Dedekindschen Definition von unendlichen Mengen.21 Wenn wir diese Reihe von Fehlern ablehnen. ohne Fundierung in einer konkreten Anschauung. dem menschlischen Verstand das Prädikat „unendlich“ zuschreibt. S. wenn wir an konkrete Beispiele aus der Mathematik anknüpfen.20 7. in: Gesammelte Schriften. denn es kann kein neuer Begriff gedacht werden. 1. dass die transfiniten Zahlen in gewissen Sinne selbst neue Irrationalitäten seien. Georg Cantor.. Acta Historica Leopoldina. Techniker und Mediziner. Halle-Saale (1983). BSB B. 23. S. 35 GA. Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina. Band 79. „die allein hingereicht hätte. So wird eine rationale Zahl b als die endliche Summe der Aggregate (an ) definiert. S. so dass die Zahlen der ersten Gruppe An kleiner 23 24 25 26 Purkert. wie z. „weil vielmehr die Definition der P Summe an erst durch die Gleichsetzung mit der notwendig vorher schon definierten fertigen Zahl b gewonnen wird. 185 14 . 184 Ebd. sein Name bliebe unsterblich. Wir können die drei Definitionformen wie folgt darstellen: Weierstrass: Cantors Lehrer hatte die reellen Zahlen in seinen Vorlesungen als Aggregate eingeführt.4. die die arithmetische Einführung der reellen Zahlen darstellten. Schöpfer der Mengenlehre. während eine irrationale Zahl b0 als die unendliche Summe der Aggregate (an ) definiert wird.B. für die Definitionen seines Lehrers Weierstrass. aus diesen Grunde entschied er sich unter mehreren Arbeiten.1 Irrationale Zahlen und Fundamentalreihen In der Arbeit Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen (1872) führt Cantor seine Theorie der reellen Zahlen ein.“ 26 Dedekind: In der Schrift Stetigkeit und Irrationale Zahlen werden die irrationalen Zahlen als „Schnitte“ eingeführt. 395 Ebd. Das Erzeugungsmoment der unendlichen Menge liegt offenbar in einer Summenbildung: ∞ X an = b 0 n=0 Cantor bemerkt hier einen logischen Fehler. wobei die gesamten rationalen Zahlen in zwei Gruppen eingeteilt werden.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung 2. seines Freundes Dedekind und eine eigene. Walter und Ilgauds. S. Hans Joachim. Es wird ferner behauptet. Andor.G.“ 23 Im §9 seiner Grundlagen werden die irrationalen Zahlen als ein angemessenes Beispiel für eine eigentlich-unendliche Menge aufgefasst. Leipzig (1985) S. dass alle drei die irrationale Zahl als „eine wohldefinierte unendliche Menge erster Mächtigkeit“ 25 definieren. Teubner Verlagsgesellschaft.. auch von Andor Kertész: „Hätte Cantor in seinem Leben nichts anderes geschaffen als seine Theorie der reellen Zahlen. S.“ In: Kertész. Als die grösste Gemeinsamkeit der drei Definitionsformen hielt Cantor fest. Georg Cantor. ihm einen Platz in der Geschichte der Mathematik zu sichern. Nummer 15 (1983). In: Biographien hervorragender Naturwissenschaftler. Diese Meinung ist von mehreren Autoren verteidigt. während der grösste Unterschied im „Erzeugungsmoment der Menge“ liege.24 Die Begründung der Analysis durch die Arithmetik war zu Cantors Zeit eine zentrale Aufgabe. so dass die übrig bleibenden paarweise einen Unterschied haben. welche auch die Forderung lim (aν+µ − aν ) = 0 ν→∞ (bei beliebig gelassenem µ) charakterisiert werden kann.h. 27 28 Ebd. eine irrationale Zahl. 186 Ebd. Cantors Kritik am Dedekindschen Schnitt liegt in der praktischen Anwendung: Solche Schnitte kommen in der Analysis nicht vor.1. in der ν eine endlich wachsende Grösse bedeutet.. d. S. Nehmen wir als Beispiel die Grenze der Zahlen zν = 1 − ν1 . 406 15 . S. die keinen rationalen Grenzwert haben. der eine irrationale Zahl repräsentiert. zweitens. so dass An < Bn .“ 27 Wenn b durch die Fundamentalreihe (aν ) bestimmt wird. Dafür müssen wir erst die Eigenschaften solcher Limeszahlen im Endlichen untersuchen und überprüfen. So kann das Minimum des Transfiniten .1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre als die Zahlen der zweiten Gruppe Bn sind.die kleinste transfinite Zahl ω als Grenze des wachsenden Endlichen 28 angesehen werden. Wir können zwei Merkmale zeigen: Erstens.2. nenne ich Fundamentalreihe und ordne ihr eine durch sie definierende Zahl b zu [.. Diese Teilung der rationalen Mengen ergibt einen „Schnitt“.4. ob alle Eigenschaften bei der Erweiterung ins Unendliche erhalten bleiben. der Grenzwert der beschriebenen Subtraktion wird gleich null. So fordert Cantor. Cantor: Für die Begründung der reellen Zahlen schlägt Cantor seine Fundamentalreihe vor. der seiner absoluten Grösse nach kleiner ist als ε. dass 1 die kleinste von allen Zahlgrössen ist. dann wird b . den logischen Fehler zu vermeiden. greift Cantor auf den Begriff der Limeszahl zurück.aν mit wachsenden ν kleiner als jede denkbare rationale Zahl. „dass nach Annahme einer beliebig kleinen rationalen Zahl ε eine endliche Anzahl von Gliedern der Menge abgeschieden. 2.2 Limeszahl Um das Transfinitum zu verdeutlichen. die Ähnlichkeiten mit der Weierstrass´schen Definition erweist.]. d.. Es wird der Versuch vollzogen. Jede derartige Menge (aν ).h.. welche grösser sind als alle Grössen zν . dass die Differenz 1− ν1 für höhere Zahlen ν ständig kleiner wird.: lim (aν ) = b ν→∞ So repräsentieren die Fundamentalreihen. Das Minimum des Transfiniten ω steht als der Grenzwert für alle wachsenden endlichen Zahlen ν...3 Riemannsche Zahlenkugel Das beste Beispiel für das „Bestimmt-Sein“ eines Aktual-Unendlichen bietet die von Riemann stammende Zahlenkugel der komplexen Ebene. dass die wachsenden endlichen ν ihrer Grenze ω beliebig nahe kommen. 2. da sie doch für alle wachsenden ν stets ω − νν = ω bleibt. Daher nennen wir sie das Minimum des Transfiniten.. können wir folgendes feststellen: Die Differenz wird nicht kleiner.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Wenn wir diese zwei Merkmale eines Grenzprozesses für unsere neue Zahl ω zuschreiben möchten. 3. So liegen ω und die folgenden transfiniten Zahlen gänzlich außerhalb der endlosen Zahlenreihe 1.org Ebd... d. . ω + 2. die grösser als alle endlichen Zahlen ν ist. 0. müssen wir aber die erste Eigenschaft verändern..h. Wenn wir die Differenz ω − νν betrachten.. 407 Abb.. S.wikimedia. deren Projektion nur durch die unendlich entfernten Zahlen erreicht wird.]“ 31 Dieser Punkt entspricht dem Nordpol der Kugel.. . S. Das zweite Merkmal können wir jedoch ins Unendliche übertragen: ω ist die kleinste Zahl. ω + ν... sich in der die komplexe Variable repräsentierenden Ebene einen einzigen im Unendlich liegenden. wobei sie wiederum eine neue endlose transfinite Zahlenreihe ω. bilden. So bezieht sich Cantor auf diese Sphäre30 in folgendem Zitat: „Daneben hat sich aber in der neueren und neuesten Zeit sowohl in der Geometrie wie auch namentlich in der Funktionentheorie eine andere ebenso berechtige Art von Unendlichkeitsbegriffen herausgebildet.. Cantor verweist auf diese symbolische 29 30 31 Ebd. 165 16 . sondern vielmehr sind alle Zahlen ν genauso weit entfernt von ω.1. Man kann also nicht sagen. ν. . was streng von dem Maximum des Endlichen zu unterscheiden ist dieses existiert ja nicht -.. ω + 1. unendlich entfernten aber bestimmten Punkt zu denken [..4.29 2. wonach beispielsweise bei der Untersuchung einer analytischen Funktion einer komplexen veränderlichen Grösse es notwendig und allgemein üblich geworden ist.. .2 : Riemmansche Zahlenkugel aus http://commons. Der Punkt ist eindeutig bestimmt und er ist die einzige Projektion der Zahlen. deren Projektionen alle Punkte der Sphäre decken. sogar wenn n eine transfinite Zahl ist. 407. Dieses Deckungsverhältnis der Punkte aus der Ebene in der Sphäre nennt man Kompaktifizierung der komplexen Ebene. der besagt.32 Die Existenz von unendlich grossen Zahlen impliziert auf keinen Fall die Existenz von unendlich kleinen Zahlen. sondern vielmehr als unmögliche oder in sich widersprechende Gedankendinge bezeichnete. Es handelt sich hier um 32 Vgl. so können andere Axiome und Sätze gelten. dem Punkt ∞ .nötig wird. Der Gedankengang versucht zu zeigen. Aber Zermelos Anmerkung greift auf einen Gedanken von Cantor selbst zurück. die unendlich weit entfernt von allen endlichen Zahlen stehen. wie die Nicht-Existenz der Cantorschen Transfiniten. verändert man das System. Jahrhunderts eine geometrische Veranschaulichung der komplexen Zahlen. die kleiner als jede endliche kleine Zahl ist.d. So stellt beispielsweise Zermelo fest: „Die Nicht-Existenz „aktual-unendlichkleiner Grössen“ lässt sich so wenig beweisen.2. und sie werden mit dem Nordpol . und der Fehlerschluss ist in beiden Fällen ganz der nämliche. So wird ihr n-faches ζ · n nie eine endliche Zahl. dass eine solche unendlich kleine Zahl dem Begriff der linearen Zahlgrösse widerspricht. hierzu: Ebd.1.vervollständigt.h. dass Cantor die unendlich kleinen Grössen oder Infinitesimalen nicht als Eigentlich-Unendlich ansieht.410 17 . dass für eine Begriffserweiterung das Verlassen von Besonderheiten . S. außer dem Nordpol. die ihnen nicht zukommen können. Cantor behauptete sogar die Umkehrung: Mit Hilfe seiner Transfiniten Zahlen kann man das Unendlich-Kleine widerlegen.sogar von Axiomen . Es wird noch mehr gesagt: Ein Satz oder ein Axiom gilt innerhalb eines gegebenen Systems.4. Nehmen wir eine von Null verschiedene Zahlgrösse ζ an. Dies kann nicht in einem archimedischen geordneten Körper stattfinden. indem den neuen Grössen gewisse Eigenschaften der gewöhnlichen „endlichen“ zugeschrieben werden. Jahrhunderts.1 Das Aktual-Unendliche als philosophisches Fundament der Mengenlehre Konstruktion der Mathematik der zweiten Hälfte des 19.4 Infinitesimal Bemerkenswert ist. weil hier ein Aktual-Unendliches auftritt. daher hat sie sich als ein nützliches Mittel ähnlich der Zahlengerade für die Arithmetik erwiesen. So lautet die Riemannsche Zahlenkugel in der formalen Sprache wie folgt: C ∪ {∞} Diese Zahlenkugel bedeutete für die Mathematik des 19.. 2. 180. 172. egal wie gross n wird. in der dem Extensionlitätsprinzip und der Äquivalenzklasse der Vorrang zukommt.B. Mannigfaltigkeit. hierzu: Kainovei. in welchen z. So steht die endgültige Mengendefinition Cantors in seinen Beiträgen (1895) wie folgt: „Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder 33 34 Ebd. die von Frege und Russell angegebene Richtung. S. if |x| < ε for all standard ε > 0.“ 33 Diese Eigentümlichkeit der Mathematik wurde in ihrer späteren Entwicklung als Modelltheorie bekannt. Springer Monographs in Mathematics. wie z. dass sich zwei grosse Richtungen für die Bestimmung dieses Begriffes deutlich von einander unterscheiden: Erstens die von Cantor und Husserl vertretene Meinung. Ob ein Satz ein „Axiom“ ist oder nicht. Heidelberg.. Klasse.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung die sogenannten „nicht-archimedischen“ Zahlsysteme bzw. hängt nicht von seinem Inhalte ab. in D.. Körper.. existiert auch keine „obere Grenze“ γ dieser Grössen nζ. deren Existenz heute als einwandfrei nachgewiesen betrachtet werden kann.2 Der Mengenbegriff Der Begriff „Menge“ scheint selbstverständlich zu sein und genau diese Selbstverständlichkeit verleiht ihm philosophische Relevanz. Es ist wichtig festzuhalten. Philosophen und Mathematiker. Michael.B. Während der Jahrhundertwende gab es viele Logiker.34 2. wurden damals auch häufig gebraucht. Vielheit. Nonstandard Analysis. Reeken. Heute ist die von Cantor stammende Namensgebung „Menge“ die am meisten verbreitete. Vladimir. Gesamtheit. Mit dem „Archimedischen Axiom“ fällt eben gleichzeitig das „Stetigkeitsaxiom“. weitere Termini wie Inbegriff. und zweitens. weil das Intervall (γ − ζ. Hilberts „Grundlagen der Geometrie“ hervorgehoben wird.Berlin (2004). die mit ωζ bezeichnet werden könnte. und die Multiplikation mit weiteren Transfiniten α > ω wird gegenstandlos. dass die Menge durch den Akt der Zusammenfassung von Elementen zu einem Ganzen oder durch den Akt der kollektiven Verbindung entstehe. nζ < 1 ist für jedes endliche ganzzahlige n.] In einem nicht-archimedisch geordneten Körper. Axiomatically. Tatsächlich ist die Einführung von unendlich kleinen Grössen oder Infinitesimalen in der heutigen Nonstandard-Analysis formalisiert. ζ) höchstens eine Grösse nζ enthalten könnte. Anzahl usw. System.439 Vgl. die diesen Begriff zu definieren versuchten. von den das System definierenden Grundeigenschaften oder Axiomen. wobei standardization auf Seite 15 definiert wird. 18 . Auf Seite 55 wird Infinitesimal auf folgende Weise definiert: infinitesimal or infinitely small. sondern vom Aufbau des ganzen Systems. [. In: Erfahrung und Denken. dass die Entstehung des Vielheitsbegriffes durch Reflexion auf die kollektive Verbindung zu erklären sei: „Es ist missverständlich zu sagen. Schriften zur Förderung der Beziehungen zwischen Philosophie und Einzelwissenschaften. Duncker & Humblot. die die Ungereimtheiten der naiven Mengenlehre zu korrigieren versuchte. So entstanden andere Vorstellungen. was den Begriff ausmacht. 18 Vgl. Abraham. in: Gesammelte Schriften. S. oder die Kardinalzahl einer Menge M. da sie nur „philosophisch“ definiert werden können. So ist zum Beispiel die Richtung der Geraden a.“ 36 Diese beide Definitionen für den Begriff „Menge“ scheinen für viele Mathematiker nicht befriedigend zu sein. S. Philipp Reclam jun. hrsg. Umfang völlig bestimmt und daher definiert wird: „Die Anzahl.2 Der Mengenbegriff unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. ist seine Extension und nicht die Intension. die Inbegriffe beständen bloß aus dem Einzelinhalten. Diese Meinung vertrat auch Russell in seiner Typentheorie. in der allgemein ein Begriff durch seine Extension bzw. ist der Umfang des Begriffes gleichzahlig dem Begriffe F “ 38 . der Umfang des Begriffes ähnlich dem Dreieck d . Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. was bemerkt werden kann und was in allen Fällen. Ströker. Stuttgart (2005). Bd. Edmund.37 Aber etwas ähnliches geschieht. notwendig vorhanden ist: die Verbindung der einzelnen Elementen zu dem Ganzen. Band 2. S. die Klasse aller zu M äquivalenten Mengen. Was heisst Zusammenfassung? Und was ist das Ganze? Wie können diese Begriffe mathematisch definiert werden? Von einem pragmatischen Standpunkt aus werden diese Fragen bei Seite gelassen. sie können sogar problematisch werden. wenn man den Begriff der Kardinalität zu definieren versucht. Text nach Husserliana Bd. oder die Gestalt eines beliebigen Dreiecks d. 100 19 . die sich besser der mathematischen Begrifflichkeit anpassten. Philosophie der Arithmetik. Die Grundlagen der Arithmetik. Meiner Verlag. wo wir von einem Inbegriff oder Vielheit sprechen. hierzu: Fraenkel. XII. von E.. 35 36 37 38 GA. so ist doch über die Einzelinhalte hinaus etwas da. Wie leicht man es auch übersieht. der Entstehungsakt oder das Gesetz. 13 Frege. Gottlob. Dasjenige. Frege vertrat eine Richtung des Extensionalitätsprinzips. 282 Husserl.“ 35 Analog vertrat Husserl in einer seiner frühen Schriften. nach welchem die Elemente zum Ganzen zusammengefasst werden. 1. welche dem Begriffe F zukommt. indem man solche Begriffe als unmittelbar klar ansieht. Mengenlehre und Logik. Berlin (1959). Hamburg (1992) S. der Umfang des Begriffes parallel der Geraden a.2. S. die später nicht mehr auftauchen. die Zugehörigkeit zu einer Begriffssphäre oder das Intern-determiniert-Sein. Volume 23. wie auch. sowohl ob irgendein derselben Begriffssphäre angehöriges Objekt zu der gedachten Mannigfaltigkeit als Element gehört oder nicht. Dennoch können wir einige Bestimmungen in dieser Definition finden. Labyrinth of Thought. die zu Widersprüchen führen. die irgendwelcher Begriffssphäre angehören. als ob diese beide Begriffe verschiedene Konnotationen mit sich bringen. S. wie in seinen Beiträgen (1895) festgehalten ist. ob zwei zur Menge gehörige Objekte. Historical Studies. José. warum Cantor keine Mengen von Mengen bildet. Im Intern-determiniert-Sein können wir einen möglichen Vorläufer seiner Theorie der immanenten Realität von mathematischen Objekte finden. das für die Mathematik hilfreich sein sollte. Birkhäuser Verlag. Eberhard Knobloch and Erhard Scholz. Ferreirós. Genau diese Unterschiede möchten wir verdeutlichen. wenn auf Grund ihrer Definition und infolge des logischen Prinzips von ausgeschlossenen Dritten es als intern bestimmt angesehen werden muss. Science Networks. die sich wesentlich von der späteren unterscheidet.8. 263-67 20 .von einem formalistischen Willen bewegt .40 Diese Theorie werden wir im Abschnitt 2. So lautet die erste Mengendefinition (1882): „Eine Mannigfaltigkeit (ein Inbegriff. Diese Aussonderung von Mannigfaltigkeiten nach ihrer Begriffssphäre kann als Grund fungieren. Später wollte Cantor seine Theorie in einem einheitlichen System. 39 40 GA. Edited by Erwin Hiebert. trotz formaler Unterschiede in der Art des Gegebenseins einander gleich sind oder nicht. nenne ich wohldefiniert.2. dass die ersten Schritte der Mengenlehre mithilfe philosophischer Gedankengänge gemacht wurden. Es wird deutlich. Es scheint so. behandeln.“ 39 In dieser frühen Definition erhält der Begriff Mannigfaltigkeit und nicht derjenige der Menge den Vorrang.hatten dieses System zugespitzt. so ist Mannigfaltigkeit ein allgemeinerer Terminus. zusammenbringen. Basel-Boston-Berlin (1999).2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung 2. Mit der Begriffssphäre meint Cantor. dass eine Menge entweder als eine Punktmannigfaltigkeit der Analysis oder der Geometrie betrachtet werden muss.B. um die heutige axiomatische Mengenlehre zu schaffen. wie z. hierzu. Aber die Nachfolger Cantors . während Menge sich speziell auf Punktmannigfaltigkeiten bezieht.1 Die verschiedenen Mengendefinitionen In den achtziger Jahren benutzte Cantor einer Art seine Begriffe zu erläutern. um die im Hintergrund stehende Logik sichtbar werden zu lassen. 150 Vgl. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics. Die verschiedenen Schritte beinhalten verschiedene Herangehensweisen an die mengentheoretischen Begriffe. eine Menge) von Elementen. 16. die Cantor als Einleitung und Erläuterung seiner Mitteilungen (1887) angibt: „Hier findet sich die von mir seit etwa vier Jahren vertretene und in meinen Vorlesungen vielfach ausgebildete Auffassungsweise der ganzen Zahlen und Ordnungstypen als Universalien. die durch eine Eigenschaft bzw. hierzu 2. Das Gesetz. was verwandt ist dem Platonischen ˜ιδoς oder ιδ´α [. 16 21 .2. wenn die Gesetzgebung der Menge mittels eines nicht-prädikativen Begriffs angegeben wird42 . Die intensionale Neigung in Cantors Mengendefinition wird bis 1895 beibehalten. ein Engel... von E. dass sein Mengenbegriff auf philosophischen Quellen basiert. 4. Eine ontologische Zuspitzung findet sich in der Definition.7 „Die Paradoxien der Mengenlehre“ Husserl.h. Gesetzgebung die Menge beschreibt. in: Gesammelte Schriften. Edmund. auch wenn hierfür keine Gesetzgebung zu finden ist. So schreibt man nach dieser Mengenbestimmung für die Menge der quadratischen Zahlen Q := {x ∈ Q|x = n2 }. S. Diese frühe Definition enthält ein Merkmal.2 Der Mengenbegriff Cantor fährt in der ersten Anmerkung seiner Grundlagen (1883) fort: „Unter einer „Mannigfaltigkeit“ oder „Menge“ verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele.h. hrsg. d. die die wohldefinierte Elemente der Menge aufzählt: Q := {1. das nur hier vorkommt. die später den Begriff der Menge von Antinomien schützen wird. während die erste der intensional beschreibenden Mengenbestimmung ausdrückt.}. Ströker. ob ein Element zu der Menge gehört oder nicht. wenn von der Beschaffenheit der Ele41 42 43 GA. Hamburg (1992). 9.. das später aufgegeben wird. 1.]“ 41 Hier zeigt Cantor. gelesen: x ist Element von Q. Dieses ist die Gesetzgebung der Menge. welches sich als Eines denken lässt. Diese Mengenbestimmung. welche durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann. die sich auf Mengen beziehen und aus ihnen sich ergeben. ist zu unterscheiden von der aufzählenden Mengenbestimmung. bleibt überflüssig für die Definition der Menge. zu welchem die Elemente einer Menge zusammengefasst werden. d. die entscheidet. Die Zusammenfassung zu einem Ganzen fungiert als das Moment der Bestimmtheit. S. So sind die Einheit und das Wohlunterschiedensein gemeinsame Merkmale der Cantorschen Menge und der platonischen Ideen. Meiner Verlag. genau dann wenn x das Quadrat einer natürlichen Zahl n ist. Text nach Husserliana Bd. XII. und ich glaube hiermit etwas zu definieren. .. so kann „ein Gefühl. Bd. Philosophie der Arithmetik. Die intensionale Mengenschreibweise kann von dem logischen Standpunkt als problematisch angesehen werden. Diese zweite Schreibeweise entspricht der extensional beschreibenden Mengenbestimmung. jeden Inbegriff bestimmter Elemente. der Mond und Italien“ 43 eine Menge bilden. 204 Vgl. Transfinite Zahl und transzendentaler Schein. In: Festschrift für Manfred Baum. Zahl ist dies aus Einheiten zusammengesetzte Menge. Abstrahiert man nur von der Beschaffenheit 44 45 46 GA. Es gibt einen allgemeinen Begriff „Menge“. Frankfurt am Main (2005). . dessen Merkmale folgende sind: . 141 22 . . So wird unsere Menge aus lauter Einsen bestehen.Sie ist ein einheitliches Ding in unserem Geiste. Duncker & Humboldt. wenn man sowohl von der Beschaffenheit der Elemente wie von der Rangordnung abstrahiert. László. 379 Vgl. d. Kant und Cantor in der Sicht von Marc Richirs Phänomenologie. 458 Euklid. ihr Wesen liegt in einer Kollektion. S. . wie auch von der Ordnung ihres Gegebenseins. hierzu: Tengelyi. Berlin (2004).h. d. sie wird wiederum als eine Einheit gedacht. Oswalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Dies erinnert an den Dedekindschen Systembegriff. S. Band 235. also sie fungiert als der primäre positive Begriff. Verlag Harri Deutsch. genauso wie Euklid die Zahl definiert hat: „Einheit ist das.h. wonach jedes Ding eines genannt wird. in der die ganzen Zahlen und Ordnungstypen als Unterbegriffe des Oberbegriffes „Menge“ dargestellt werden. Diese psychologistische Definition markiert also den Abstand zwischen Realität und Zahl 45 . die das Bestimmen von Kardinal und Ordinal ermöglichen.Eine Menge wird von Elementen konstituiert. Wichtig ist die nächste Behauptung. in welchem jene Dinge Bestandteil oder konstitutive Element sind. von deren Wirklichkeit später die Rede sein wird. der die Materie der Menge ausmacht. einen Allgemeinbegriff. so erhält man die Kardinalzahl oder Mächtigkeit der Menge. dass die Kardinalzahl entsteht.Vom Begriff „Menge“ her werden die Abstraktionsvorgänge stattfinden. S. Die Elemente. als sogenannte Einsen.“ 46 Diese Einsen sind zu einem Organismus vereinigt.Die kollegierten Elemente müssen wohlunterschieden sein.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung mente abstrahiert wird. Jede Menge wohl unterschiedener Dinge kann als ein einheitliches Ding für sich angesehen werden. genau so wie die Menge an sich wohlunterschieden ist. gewissermassen organisch ineinander derartig zu einem einheitlichen Ganzen verwachsen sind.“ 44 (1887) Anknüpfend an den mittelalterlichen Realienstreit bezeichnet Cantor die Zahlen als Universalien. in welchem die Elemente. Abstrahiert man sowohl von der Beschaffenheit der Elemente. dass keine vor den anderen ein bevorzugtes Rangverhältnis hat. Ferner wird gesagt. und Was sind und was sollen die Zahlen? (1887). 380 Ebd. Man kann also von einem Ordnungstyp.1899. 444 23 . in der die Einführung der reellen Zahlen mittels des „Dedekindschen Schnitts“ vollgezogen wird. Zusammenfassung. S.“ 49 2. Zehn Jahre später wird Cantor seine Mengendefinition als eine mathematische Definition angeben. Die zwei grossen Schriften des Braunschweiger Mathematikers über die Grundlagen der Mathematik sind Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872).7. aber auf manche dieser philosophischen Termini hat er dabei nicht verzichtet: „Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. änderte Cantor seine Definition.2. so sind die Einsen auf eine irgend geartete Weise geordnet.. indem sie 47 48 49 GA.2. der sein Interesse an der logischen Begründung der Mathematik geteilt hat. Einige Zeilen später führt er die Kardinalität und Ordinalität mittels eines Abstraktionsvorganges auf. S. die Wohlunterschiedenheit. ihre Kardinalzahl. welcher ihr und nur noch allen ihr äquivalenten Menge zukommt. die Elemente und das Ganze auf. 282 Ebd. behaupten.“ 48 (1895) Der Sinn dieser Definition ähnelt der älteren. so nenne ich den Allgemeinbegriff. S.. welche die Form der Menge ausmacht. es tauchen die Kollektion bzw. da sie viele philosophische bzw.2 Der Mengenbegriff der Elemente.47 Diese Erklärung von „Menge“ hatte die Mathematiker nicht zufrieden gestellt..2 Das System Dedekinds Cantors Zeit der schöpferischen Leistung war unmittelbar begleitet von der Freundschaft und der intensiven Korrespondenz mit Dedekind. dass er ein Kompositum von Materie und Form sei. in der die Begründung der natürlichen Zahlen das Hauptthema ist. der sich auf eine Menge bezieht und nur aus ihr entsteht. In dieser letzten Schrift können wir hauptsächlich fünf wesentliche Beiträge zur Mengenlehre und den Grundlagen der Mathematik finden: 1. Erst vier Jahre später. und zwar entsprechend der modernen Ansprüche der Extensionalität: „Liegt eine Menge M vor. Der Begriff des Systems (oder Menge): Schon im Vorwort wird die Antwort auf die gestellte Frage Was sind und was sollen die Zahlen? angegeben. am 28. psychologische Termini enthielt. ) auf. die Kollektion und eine 50 51 52 Dedekind. V Ebd. Ein solches System S (oder ein Inbegriff. wenn von jedem Ding bestimmt ist. die einer Erklärung bedürfen. Die Kollektion der Elemente und die Einheitlichkeit sind wesentlich in Dedekinds Definition der Menge. dass sie ein System S bilden. Vieweg & Sohn.“ 52 Hier tauchen verschiedene Merkmale des Begriffes System (Menge. man nennt die Dinge a. b. die auch auf der Intensionalität beruht.. im Kontrast mit der Bedingung der Bestimmtheit der Menge. dass sie ein System S bilden. dass verschiedene Dinge a. Was sind und was sollen die Zahlen?. ist die Gesetzgebung der Menge sehr deutlich formuliert: Es ist vollständig bestimmt. eine Mannigfaltigkeit. „Es kommt sehr häufig vor. III Ebd. zweitens werden die Zahlen als „sehr zusammengesetzte Begriffe“ beschrieben. ob es Element von S ist oder nicht. die auch bei Cantor zu finden sind. usw. ob es Element von S ist oder nicht. im Geiste zusammengestellt werden. Richard. umgekehrt besteht S aus diesen Elementen. Bemerkenswert ist. Man bezeichnet diese Dinge durch Zeichen. um bequem über sie sprechen zu können.. b. 1-2 24 . wenn von jedem Ding bestimmt ist. Die freie Begriffsbildung ist in der Mathematik wesentlich und die Beschränkungen müssen begründet werden. Friedr.. die gegen ein Argument Kroneckers spricht. dass die Kollektion mit einer gewissen Reziprozität betrachtet wird: die Menge besteht aus ihren Elementen. sie sind enthalten im S. die Elemente des Systems S. wenn er sagt aus irgendeiner Veranlassung unter einem gemeinsamen Gesichtspunkte aufgefasst.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung erstens „für gänzlich unabhängig von den Vorstellungen oder Anschauungen des Raumes und der Zeit“ und sogar als „freie Schöpfungen des menschlichen Geistes“ 50 aufgefasst werden. c. Mannigfaltigkeit. Braunschweig (1969) S. Für diese Behauptung schreibt Dedekind eine Anmerkung. Zuerst wird das Ding als jeder mögliche Gegenstand unseres Denkens betrachtet. aus irgendeiner Veranlassung unter einem gemeinsamen Gesichtspunkte aufgefasst. c. genau dann wenn die Elemente die Menge ausmachen. Gesamtheit.definiert.. und man sagt dann. es ist vollständig bestimmt.. und sowohl die Menge wie jedes Element sind ein einheitliches Ding an sich. S. und man sagt dann.heute sagen wir Menge . Zusammenfassend können wir als konstituierende Eigenschaften des Systemsbegriffes die Einheitlichkeit.. um auf diese Weise „die Wissenschaft der Zahlen auf einheitliche Grundlage zu errichten. eine Gesamtheit) ist als Gegenstand unseres Denkens ebenfalls ein Ding. im Geiste zusammengestellt werden. S.“ 51 So wird im §1 der Begriff des Systems . In einer sehr abstrakten Weise wird zuerst die Gesetzgebung oder die intensionale Mengenbeschreibung ausgesprochen. sie soll die identische Abbildung des Systems heissen. nach welchem zu jedem bestimmten Element s von S ein bestimmtes Ding gehört. deren Elemente im wesentlichen durch die Reihenfolgebeziehung bestimmt sind. das System der natürlichen Zahlen durch eine injektive Abbildung ϕ geordnet wird. Dinge auf Dinge zu beziehen und damit diejenige Fähigkeit des Geistes zu üben. dass dieser Name dem Teile K des Systems S nicht etwa an sich zukommt. 2. 55-56 25 . wenn K 0 ⊂ K ist. S. Die einfachste Abbildung eines Systems ist diejenige. Heike. 9 Vgl. das er für die konkrete Vorstellung einer Abbildung angibt: „Als Beispiel einer Abbildung eines Systems ist schon die Belegung seiner Elemente mit bestimmten Zeichen oder Namen anzusehen. die richtige Definition des konfliktiven Begriffes Funktion formuliert zu haben. sondern nur in Beziehung auf die bestimmte Abbildung ϕ erteilt wird. und als eine einfache unendliche Sequenz gedacht wird.2 Der Mengenbegriff Gesetzgebung zuschreiben. S. Die Ketten als Hilfsmittel zur Definition der Zahlen: Im §4 „Abbildung eines Systems in sich selbst“ wird der Begriff der Kette eingeführt. [wobei K 0 = ϕ(K) ist] Wir bemerken ausdrücklich.. Zahl und Numerale: Eine Untersuchung zur Korrelation konzeptueller und sprachlicher Strukturen.“ 53 Dieses Beispiel hat nicht nur eine didaktische Absicht. Inaugural Dissertation. so könnten wir sagen. es sollte auch verdeutlichen. 5 Ebd. welches das Bild von s heisst und mit ϕ(s) bezeichnet wird.“ 55 Hierbei wird eine relationale Auffassung der Zahlen erstellt...“ 54 3. wenn ϕ(S) Teil von S ist. hierzu: Wiese. Ferner wird die Kette so definiert: „K heisst eine Kette. wie die Abbildung in der Konstitution des Zahlbegriffes integriert ist: „So sind wir auch schon von unserer Geburt an beständig und in immer steigenden Maße veranlasst. V Ebd. durch welche jedes seiner Elemente in sich selbst übergeht. indem die Menge bzw. S.“ Diese Definition der Abbildung finden wir in der heutigen Definition der Funktion.56 Der Begriff der Kette wird vor allem bei Zermelo in seinem zweiten Beweis der 53 54 55 56 Ebd. in der sie zueinander stehen. Der Begriff der Abbildung: In §2 können wir die Erklärung dieses Begriffes finden. Interessant ist das Beispiel. dass es ein Verdienst Dedekind war. Die Kette ist demnach eine zusammenhängende Sequenz: ϕ(K) = K 0 und K 0 ⊂ K. Humboldt Universität Berlin (1997). Dedekind nennt eine Abbildung ϕ eines Systems S in sich selbst. auf welche auch die Schöpfung der Zahlen beruht.2. Akademie Verlag (1997) S. Hier wird die Abbildung oder Zuordnung auf folgende Weise definiert: „Unter einer Abbildung ϕ eines Sytems S wird ein Gesetz verstanden. S. wenn es einem echten Teile seiner selbst ähnlich ist. gewiß auch für dessen Bild n gelten muss.h. 1878). Braunschweig (1969) S. dass alle Elemente der Kette A0 eine gewisse Eigenschaft = besitzen (oder dass ein Satz =.)“ 57 5. da für alle n ∈ N einem n2 zugeordnet wird. Q = Menge der quadratischen Zahlen möglich ist.“ „Ähnlich“ bei Dedekind und „gleichmächtig“ bei Cantor haben dieselbe Bedeutung und Funktion. dann ist N unendlich. Wenn wir die Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 betrachten. wirklich für alle Elemente n der Kette A0 gilt). S heissen ähnlich. Cantor (Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. im entgegengesetzten Falle heisst S endlich.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Wohlordnung ausgeführt.die vollständigen Induktion . ist eine solche Abbildung n −→ n2 ab n ≥ 11 nicht mehr möglich. dass alle Elemente a des Systems A die Eigenschaft = besitzen (oder dass = für alle a gilt). Die induktive Definition der natürlichen Zahlen: Schon vor Peano hatte Dedekind das stärkeste Beweismittel der Mathematik . Also ist N unendlich. So ist diese Definition von unendlich wie im folgenden Beispiel zu verstehen: Sei die Menge der natürlichen Zahlen N. in welchem von einem unbestimmten Dinge n die Rede ist. ist schon vor dem Erscheinen meiner Schrift von G.84.bewiesen und als logische Grundlage der Zahlen betrachtet. Vieweg & Sohn. Wenn eine Abbildung zwischen N und einem seiner echten Teile wie z. Friedr. dass dem Bilde n0 jedes solchen Elementes n von A0 . Was sind und was sollen die Zahlen?.B. sobald er für ein Element n von A0 gilt. mit n −→ n2 . 12 Ebd. dass er sie zuerst in einer seiner Schriften verwendet hatte. deswegen scheint Dedekind im Vorwort zur zweiten Auflage (1893) Folgendes festzuhalten: „Die Eigenschaft. welche ich als Definition des unendlichen Systems benutzt habe. 4. ja sogar von Bolzano 57 58 Dedekind. Die Definition von unendlichen Mengen: „Ein System S heisst unendlich. die Menge N ist ähnlich oder gleichmächtig mit ihrer Teilmenge Q. Die Abbildung N −→ Q ist bijektiv. wenn es eine derartige ähnliche Abbildung ϕ gibt. Der Schluss von n auf n+1 wird mittels des Kettenbegriffes erläutert: „Um zu beweisen.. genügt es zu zeigen: %. und σ. d. Cantor teilte Dedekind in einem Brief mit. 13 26 . Crelle´s Journal. Richard. dieselbe Eigenschaft = zukommt (oder dass der Satz =. dass ϕ(S) = R wird.“ 58 Wobei der Begriff „ähnlich“ auf Seite 8 folgendermaßen definiert wird: „Die Systeme R. welches die Eigenschaft = besitzt. Bd. . . 167 Ebd. 3ω + 2. . . ω + 2. II.. 3ω + 1. . 1851) hervorgehoben. Auf diese Weise hat Dedekind nicht nur die Definition des Unendlichen neu formuliert. 2ω + ν. .3 Die dialektische Begriffserzeugung. . ω +1. 59 60 61 Ebd. . ω + 3. Mit diesem Erzeugungsprinzip erhalten wir keine grösste Zahl oder Maximum innerhalb einer Zahlenklasse. ω +2. Aber keiner der genannten Schriftsteller hat den Versuch gemacht. X GA. ω + 1. die „natürliche Abschnitte in der absolut unendlichen Folge der realen ganzen Zahlen“ 60 erzeugen. . was Cantor die verschiedenen Zahlenklassen nennt. S. . Erzeugungsprinzip: Es handelt sich hierbei um nichts anderes als die Nachfolgeroperation. diese Eigenschaft zur Definition des Unendlichen zu erheben und auf diese Grundlage die Wissenschaft von Zahlen streng logisch aufzubauen. 3ω. und gerade hierin besteht der Inhalt meiner mühsamen Arbeit“. . .2. . dafür benötigen wir das nächste Prinzip. Die folgenden drei Prinzipien sind in ihrer Zusammenwirkung als das Grundgesetz der transfiniten Zahlen zu verstehen. . . .2 Der Mengenbegriff (Paradoxien des Unendlichen. Auf diese Weise können wir Zahlen nach der ersten transfiniten Zahl ω definieren: ω. das die Sukzessivität. Um die Bildung von transfiniten Zahlen zu beschreiben. von dem das Endliche als spezieller Fall hergeleitet werden kann.59 Die Dedekindsche Definition des Unendlichen betrachtet dieses als primären positiven Begriff.2. .h. ω +3. ω + ν. die „Hinzufügung einer Einheit zu einer vorhandenen schon gebildeten Zahl“ 61 . 2ω + 1. 2. 2ω + 2. Erzeugungsprinzip: Mit diesem Prinzip legen wir die Limeszahl einer Zahlenreihe oder das Minimum der nächsthöhere Reihe fest. 3ω + ν. d. 3ω + 3. wie bei der endlichen ganzen Zahlenreihe die neue Limeszahl ω ist. 2ω. . sondern auch die des Endlichen. Diese besteht aus drei Prinzipien. S. . . 195 27 . S. .. . Generativität und Iterativität in diesen ungeheuren Mengen sehr deutlich zeigt: I. . greift Cantor auf eine dialektische Begriffserzeugung zurück. So wird in Kombination beider Prinzipien die Reihe der transfiniten Zahlen auf folgende Weise gebildet: ω. . 2ω + 3.. . . §20. h. von dieser Sukzession erhalten wir durch das zweite Erzeugungsprinzip eine neue Limeszahl ω ω . . In: Festschrift für Manfred Baum. während die zweite Zahlenklasse die nächsthöhere Mächtigkeit ℵ1 hat. weil durch das zweite Erzeugungsprinzip „jede Schranke in der Begriffsbildung der realen ganzen Zahlen“ 62 durchbrochen wird. Hemmungs. S. Zahlenklassen geteilt wird. S. S.oder Beschränkungsprinzip: Dieses Prinzip stellt sich den beiden Erzeugungsprinzipien entgegen. dass die zweite Zahlenklasse der nächst grösseren Mächtigkeit zukommt als die erste Zahlenklasse. . Wiederum in Kombination beider Prinzipien können wir noch eine bestimmte Sukzession in der Form λω 2 + µω + ν beobachten. . Duncker & Humboldt. László. „wodurch dem durchaus endlosen Bildungsprozess sukzessive gewisse Schranken auferlegt werden.“ 64 Dieses Prinzip ist nicht nur zuständig dafür. Transfinite Zahl und transzendentaler Schein. Das zweite Erzeugungsprinzip ermöglicht die Bildung der ersten Zahlen jeder Zahlenreihe wie ω. dass die Sukzession dieser Abschnitte bzw.. Ferner können wir mittels des zweiten Erzeugungsprinzips eine neue grössere Limeszahl bilden. . . ω + 2. 62 63 64 Ebd. Uneigentlich-Unendlich. ω + 3. . sondern vielmehr. Zahlenklassen zugleich eine Sukzession von Mächtigkeiten ist. Berlin (2004). . so dass wir natürliche Abschnitte in der absolut unendlichen Folge der realen ganzen Zahlen erhalten. fungieren.. 3ω. und die wir ω 2 nennen können. die grösser als alle µω + ν ist. der aber eine bestimmte wohldefinierte Sukzession ergibt. Grenzlos ist dieser Prozess. 2ω. 167 28 . I. erstens. greift Cantor auf das dritte Moment oder Hemmungsprinzip zurück. .bzw. die Mächtigkeit der R nach der Kontinuumshypothese. d. . .h. die Mächtigkeit der N. zweitens. Es ist offenbar. welche Abschnitte ich Zahlenklassen nenne. dass diese beiden Erzeugungsmomente Teile eines grenzlosen Prozesses sind. im Sinne des Potenziell. µω + 3. die als Limeszahlen der durch das erste Erzeugungsprinzip gebildeten Zahlen ω + 1. d. µω + ν. oder µω. . hierzu: Tengelyi. dass die absolute Zahlenreihe in Abschnitte bzw. weil durch das erste Erzeugungsprinzip keine allergrösste Zahl möglich wird. .h. 197 Vgl. µω + 1. Diese Grenzlosigkeit der Bildung durch die beiden Erzeugungsprinzipien könnte den transfiniten Zahlen eine gewisse Potenzialität zuschreiben. So bekommt die erste Zahlenklasse die Mächtigkeit ℵ0 .63 Um diese Wirkung zu verhindern. 463 GA. d. Kant und Cantor in der Sicht von Marc Richirs Phänomenologie.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung µω. µω + 2. dass für die Bildung der ωten Klassen die drei Cantorschen Prinzipien nicht ausreichen würden. So können wir eine eindeutige Zuordnung (bzw. deren einfachsten Beispiel die Namengebung ist. sollen nur verständlich machen.2.“ 65 Zermelo merkt hier an. diese Bijektion liefert uns die Gleichmächtigkeit zwischen beiden Mengen. Wichtig ist bei dieser dialektischen Begriffserzeugung ihr philosophisch-logischer Gehalt. etc.3 Die Äquivalenz Diese drei Prinzipien sind als logische Momente in der Schöpfung von neuen Zahlen zu verstehen. Diese Bemerkungen. 2. um eine Äquivalenzrelati65 66 67 Ebd.“ Dedekind. eindeutige Paarenbildung im Sinne Hausdorffs. Dinge auf Dinge zu beziehen und damit diejenige Fähigkeit des Geistes zu üben..h. die nach Cantor „mit der grössten Sicherheit und Evidenz zu immer neuen Zahlenklassen und mit ihnen zu allen in der körperlichen und geistigen Natur vorkommenden. und äquivalente Mengen erhalten nun eine gemeinsame Eigenschaft. aber die genetische Analyse der Äquivalenz bleibt erhalten: „Wenn man eine Menge von Äpfeln mit einer Menge von Birnen in bezug auf die Anzahl der Gegenstände vergleichen will.66 der Begriff der Äquivalenz ist. dass man einen Apfel mit einer zweiten Birne zusammenlegt. verschiedenen. bis eine von beiden Menge erschöpft ist. die weder nach psychologischen noch nach kulturgeschichtlicher Seite hin irgendwelchen Anspruch erheben wollen. Was sind und was sollen die Zahlen. [. Friedr.) zwischen der Menge der natürlich Zahlen N und der Menge der quadratischen Zahlen Q machen. S. Dieses Beispiel zeigt uns. dass die Äquivalenz die natürliche Grundlage der Vergleichung von Mengen ist und dass mit ihrer Hilfe sogar der an- 29 . Hausdorff spitzt diesen Gedanken zu und greift die Paarbildung an.67 Die verschiedenen Mengen werden verglichen.] Das Vergleichen wird damit zum Zählen. 199 Fraenkel. Abraham. S.. sukzessive aufsteigenden Mächtigkeiten gelangen.h. dass das Vergleichen zwischen unendlichen Mengen auf der Basis der Äquivalenz als Bijektion beruht. S. d. Bijektion in der modernen Sprache bzw. Berlin (1928). Es war schon davon die Rede. Richard. Einleitung in die Mengenlehre. die Gleichheit ihrer Kardinalzahlen. auf dem sich die Einführung unendlicher Zahlen und das Rechnen mit ihnen in erster Linie aufbaut“. Dedekind und Hausdorff sehen diesen Begriff als die wesentlichste Grundlage der Entstehung der Zahl an. warum „derjenige Begriff. d. und dieses Verfahren bis zu seinem Ende fortsetzt. und die hierbei erhaltenen neuen Zahlen sind dann immer durchaus von derselben konkreten Bestimmtheit und gegenständlichen Realität wie die früheren. V. so geschieht dies auf dem primitiven Standpunkt in der Weise. 15 Dedekind behauptete: „So sind wir auch schon von unserer Geburt an beständig und in immer steigende Masse veranlasst.3 Die Äquivalenz Der Äquivalenzbegriff fungiert als eine der wichtigsten Grundlagen des Gebäudes der Mengenlehre. die Anzahl ihrer Elemente. Verlag von Julius Springer. auf welche auch die Schöpfung der Zahlen beruht. „Dinge auf Dinge zu beziehen“ ist nichts anderes als eine Abbildung. Braunschweig (1969). dann einen zweiten Apfel mit einer zweiten Birne. auf den wir im zweiten Teil dieser Arbeit näher eingehen werden.. Vieweg & Sohn. Abbildung im Sinne Dedekinds bzw. 2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung on zu stellen. Die Äquivalenzrelationen liefern die verschiedenen Äquivalenzklassen. Unser Beispiel der Abbildung der natürlichen Zahlen in dem der quadratischen Zahlen N −→ Q ist injektiv. S. Affinitäten. einer Zuordnung . 45-46 GA. dieselben gesetzmässig in eine derartige Beziehung zueinander zu setzen. 283 30 .“ Hausdorff. Modulklassen bzw. a2 . Grundzüge der Mengenlehre. Wenn wir aber anstatt der Menge der natürlichen Zahlen N die Menge der ganzen Zahlen Z betrachten.im Sinne einer Abbildung bzw. da zwei verschiedene natürliche Zahlen n1 . Chelsea Publishing Company.3. liegt in ihrem logischen Hintergrund begründet. Eine Funktion . ist unsere Abbildung nicht mehr injektiv. Ähnliche Figuren in der Geometrie. Felix.B. b gilt: f (a1 ) = b und f (a2 ) = b folgt a1 = a2 D. da für alle ganze Zahlen zn Folgendes gilt: f (zn ) = f (−zn ) wobei zn 6= (−zn ) Z.1 Die Äquivalenz als Bijektion Cantor führt den Begriff der Äquivalenz auf folgende Weise in seinen Beiträgen (1895) ein: „Zwei Mengen M und N nennen wir „äquivalent“ und bezeichnen dies mit M ∼N oder N ∼ M. 68 scheinend paradoxe Versuch unternommen werden konnte. Restklassen in der Arithmetik. n2 zwei verschiedenen zugeordneten quadratischen Zahlen q1 . Surjektivität oder Bijektivität untersucht werden.kann nach Injektivität.h. wenn es möglich ist. auch unendliche Mengen zu zählen. dass jedem Element der einen von ihnen ein und nur ein Element der andern entspricht. 2. New York (1962). S. Die Funktion f : A −→ B nennen wir: Injektiv: falls für alle a1 .“ 68 Hier wird die Äquivalenzrelation als eine Funktion definiert. haben die Werte 2 und -2 dasselbe Bild 4. und zwar als eine bijektive. q2 zukommen. kein Wert wird in B mehrfach angenommen. Diese sind überall in der Mathematik zu finden: Zahlenklassen. usw. Warum der Begriff der Äquivalenz eine wesentliche Rolle in der Mengenlehre spielt. Man könnte sagen. Nehmen wir je einen Apfel aus dem ersten Haufen und ordnen wir ihn einer Birne aus dem zweiten Haufen zu. und stellte sie als das einfachste Beispiel einer Abbildung dar. dass zwei Mengen äquivalent sind. es gibt eine vollständige umkehrbare Paarbildung von A nach B. daher bezeichnen wir die Äquivalenz als eine zweistellige Relation. wenn sie äquivalent sind.h. der erste mit Äpfeln. S. Einführung in die Mengenlehre. aus M ∼ N folgt N ∼ M . Aufgrund dieser Eigenschaft sagen wir. 2. Wir können diese Paarbildung solange wiederholen.. ohne dabei beide Mengen aufzählen zu müssen und dann zu vergleichen. Bijektiv: falls f injektiv und surjektiv ist. Berlin-Heidelberg (2002). eindeutige vollständige Paarbildung stützt. jeder Wert in B (Wertebereich) angenommen wird.. Symmetrie: Die Beziehung der Äquivalenz zwischen zwei Mengen ist eine gegenseitige oder symmetrische. dass beide dieselbe Kardinalzahl haben: „Von fundamentaler Bedeutung ist es. 283 Deiser. Wenn wir sagen. Analog wie Hausdorff. die Cantor in der Äquivalenzdefinition meinte. 69 70 Ebd. d. Auf diese Weise haben wir die Anzahl von Äpfeln und Birnen verglichen. dass das Vergleichen mittels der Paarbildung ein simultanes Aufzählen beider Mengen schafft. Oliver. dass eine Bijektion umkehrbar ist. 46 31 .3 Die Äquivalenz Surjektiv: falls für alle b ∈ B ein a ∈ A existiert mit f (a) = b. Friedr. Hierin besteht die Relevanz der formalen Einführung der Äquivalenz in der Mengenlehre.wie wir gerade gesehen haben . dass zwei Mengen M und N dann und nur dann dieselbe Kardinalzahl haben. stellen wir uns zwei Haufen vor. die wir auch eindeutige vollständige umkehrbare Paarbildung nennen können.auf eine Bijektion bzw.h. S. da sie sich . dass eine Bijektion zwischen beiden möglich ist.2 Die Grundeigenschaften der Äquivalenz Die Äquivalenz ist eine zweistellige Relation. D. Dedekind nannte diese Beziehung die identische Abbildung. das Vergleichen von Mengen und die Bestimmung der Kardinalität möglich.h. Diese Relation besitzt folgende Eigenschaften: Reflexivität: Jede Menge ist sich selbst äquivalent.“ 69 So wird aufgrund einer Bijektion. Dieser Vergleich von Mengen mittels einer Paarbildung können wir auch den Algorithmus des Abtragens 70 nennen. meinen wir zugleich.2. D. Die Beziehung. können wir daher als eine Bijektion begreifen. Daraus können wir auch schliessen. der zweite mit Birnen. Springer Verlag.3. bis einer der Haufen erschöpft ist. Dieses Trio taucht sehr oft in der Mathematik auf. symmetrische und transitive Relation definiert.3 Der Äquivalenz. dennoch nicht bewiesen.“ 71 Heute schreibt man diesen Satz so: „Seien M. Die Äquivalenz ist also eine fortwirkende Beziehung. dass je zwei Mengen. da die Äquivalenzrelation sich als ein sehr nützliches Mittel bewiesen hat. es scheint aber mir höchst bemerkenswert und hebe ich es daher ausdrücklich hervor. Das folgende Zitat stammt aus Cantors Grundlagen. „Hat man irgendeine wohldefinierte Menge M von der zweiten Mächtigkeit. Aus A ∼ B und B ∼ C folgt A ∼ C. dass M die Mächtigkeit von (II) hat.und Vergleichbarkeitsatz Der Äquivalenzsatz wurde von Cantor im Jahre 1883 ausgesprochen.3. Dieser Satz besagt.“ Der Beweis erfolgt auf folgende Weise: „Seien f : M −→ Q injektiv und g : Q −→ M injektiv. dass dieser Satz allgemeine Gültigkeit hat. S. N 0 = rng(g). deren jede einer Teilmenge der anderen äquivalent ist. Ich spreche diesen letzten Satz hier wegen des Zusammenhanges mit den vorangehenden unter der Voraussetzung aus. B. Diese Funktion beschreibt folgende Abbildung: (M −→ Q) −→ M 71 GA. In den Beiträgen ist weder dieser Satz noch sein Beweis zu finden. 201 32 . Q Mengen mit |M | ≤ |Q| und |Q| ≤ |M |. so ist immer auch die zweite M’ gegenseitig eindeutig abbildbar auf die erste und daher auch auf die dritte. da die Injektivität die vollständige Belegung vom Bildbereich nicht fest macht] Sei N = rng(g ◦ f ). dass die letztere M” eindeutig abbildbar ist auf die erste M. Die Äquivalenz wird als eine reflexive. [Also ist N der Bildbereich der verketteten Funktion (g ◦ f ). [Das ist gleichbedeutend mit M ist Teilmenge von Q und Q ist Teilmenge von M. gleichviel welche Mächtigkeit der Menge M zukommen mag. Der Beweis wurde erst im Jahre 1896 von Schröder und 1897 von seinem Schüler Felix Bernstein bewiesen und ist seitdem zu einem der wichtigsten Sätze der Mengenlehre geworden. Dann gilt |M | = |Q|. 2. selbst einander äquivalent sein müssen. wenn M die Mächtigkeit von (I) hat. C. offenbar ist er auch dann richtig.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Transitivität: Betrachten wir drei Mengen A. eine Teilmenge M’ von M und eine Teilmenge M” von M’ und weiss man. „Sind a und b zwei beliebige Kardinalzahlen. dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. S.“ 73 Diese Trichotomie wurde erst von Zermelo im Jahr 1904/08 bewiesen. b<a jede einzelne die beiden anderen ausschliesst. dass N = M . dass beide Bildbereiche gleich M sind]. Springer Verlag. Erst später. denn (g ◦ f ) : M −→ N ist bijektiv. Dieser Beweis in der heutigen Form ist lang und kompliziert. Dagegen versteht es sich keineswegs von selbst und dürfte an dieser Stelle unseres Gedankenganges kaum zu beweisen sein. [Dies ist offensichtlich. Man bildet Paare mit den Elementen aus den zu vergleichenden Mengen.3 Die Äquivalenz Und N 0 ist der Bildbereich der Funktion g : Q −→ M . Oliver. untersucht der Vegleichbarkeitssatz das „grösser“ und das „kleiner“ bei Mächtigkeiten. Dann gilt N ⊆ N 0 ⊆ M und |M | = |Q|. wenn wir doch bemerken. Nach n-vielen Schritten ist eine der Mengen erschöpft oder beide gleichzeitig. 52 GA. Die Beweisidee beruht auf dem Algorithmus des Abtragens und auf dem Dedekindschen Kettenbegriff. wenn wir einen Überblick über die aufsteigende Folge der transfiniten Zahlen gewonnen haben werden. dennoch ist er weder trivial noch leicht zu beweisen: „Wir haben gesehen. Man bemerkt. Friedr. so ist entweder a=b oder a<b oder a>b. als ein Korollar seines Wohlordnungssatzes in seiner Schrift Beweis. Während der Äquivalenzsatz eine interne Beziehung zwischen Bijektion und Äquivalenz feststellt. Darin sind die drei angegebenen Möglichkeiten enthalten. Was passiert. a < b. dass von den drei Beziehungen a = b. 285 33 . wenn wir den Versuch vollziehen. S. Einführung in die Mengenlehre.2. Zermelo bemerkt als Schluss seiner Schrift Folgendes: 72 73 Deiser. zwei Mächtigkeiten zu vergleichen? Dieser Satz spricht eine intuitive Wahrheit aus. “ 72 Auf analoge Weise kann man den Vergleichbarkeitssatz charakterisieren. wird sich die Wahrheit des Satzes ergeben: A. Berlin-Heidelberg (2002). also ist M −→ M aufgrund der Reflexivität offensichtlich äquivalent und daher bijektiv] Nach dem Satz oben existiert also h : M −→ N 0 bijektiv. dass bei irgend zwei Kardinalzahlen a und b eine von jenen drei Beziehungen notwendig realisiert sein müsse. oder formal ausgedrückt. welche die erfolgreichen Ergebnisse bei der Untersuchung ermöglicht. 2. wenn die Existenz einer Funktion f bejaht wird.] So kann z. die analog vorstellbar ist mit dem „Grösser“ oder dem „Kleiner“ der Elemente. 189-191 34 . hierzu: Zellini. kleiner oder gleich ist der Anzahl aller ihrer Elemente. Eine solche Definition ist ebenso problematisch wie der Mengenbegriff. welches grösser und welches kleiner ist. 516 Vgl.4 Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten Der Begriff der Kardinalität bzw. Die Kardinalität einer beliebigen Zahl ist mit der Intuition einfach vorzustellen: Die Zahl 3 kann nach ihrer Kardinalität . Biblioteca de ensayo 35. in die eine Menge zerfällt. Paolo.uni-goettingen. 514-516. S. was Zermelo bewiesen hatte. die jeder Teilmenge M 0 von M ein konkretes Element m0 aus M 0 zuordnet. eine Ordnungsbeziehung. Mathematische Annalen. Es ist nicht gleichbedeutend zu sagen drei oder drittes. deren jede mindestens ein Element enthält. In der Tat..sub...gefragt werden.oder nach der Wievielte?-Frage .h. dass es auch für eine unendliche Gesamtheit von Mengen immer Zuordnungen gibt.de/gdz/. die Allgemeingültigkeit des Satzes.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung „Der vorliegende Beweis beruht auf der Voraussetzung. Mächtigkeit wurde merhfach in der vorliegenden Arbeit gebraucht. dass für jede Menge M (insbesondere für jede unendliche Menge M) eine Wohlordnung definiert werden kann.75 Wie bereits am Anfang dieser Arbeit gesehen. mit folgender Eigenschaft charakterisiert: jede nicht leere Teilmenge von M hat ein kleinstes Element. nicht anders bewiesen werden. ist es die statische Wirklichkeit des Aktual-Unendlichen. Breve historia del infinito. als die Tatsache. dass das Produkt einer unendlichen Gesamtheit von Mengen.B.oder nach der Wieviel? -Frage . Diese Auswahlfunktion oder γ-Belegung verwandelte die unerschöpfliche Potenzialität der Ordnungsoperation in eine statische Wirklichkeit. Beweis. dass eine Menge wohlgeordnet werden kann. dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. dass Belegungen γ überhaupt existieren.“ 74 In dieser Schrift konnte Zermelo beweisen. als indem man sich jedem der betrachteten Teile eines seiner Elemente zugeordnet denkt. ist nichts anderes. Wie können diese Unterschiede mathematisch formuliert werden? Cantors Definition der Kardinalzahl lautet in seinen Beiträgen: 74 75 Zermelo. bei denen jeder Menge eines ihrer Elemente entspricht. S. und konkreter für jedes Paar von Elementen a und b können wir feststellen. d. Ernst. Madrid (2004).und nach ihrer Ordinalität . [. Göttinger Digitalisierungszentrum: http://gdz. selbst von Null verschieden ist. Ediciones Siruela. also auf dem Prinzip. dass die Anzahl der Teile. ohne eine endgültige Definition davon angegeben zu haben. Abraham. M ist endlich.4 Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten „Jeder Menge M kommt eine bestimmte „Mächtigkeit“ zu. Heute werden sie auf folgender Weise eingeführt: „Eine Menge M heisst abzählbar. dass diese Art von Definitionen selten in der Mathematik zu finden ist. ihnen dieselbe Kardinalzahl zukommt. So können wir die Menge der natürlichen Zahlen als unsere erste unendliche Menge auffassen aufgrund ihrer Ursprünglichkeit. dass von der Beschaffenheit ihrer verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins abstrahiert wird. So können wir unendliche Mengen nach ihrer Kardinalität untersuchen. S.77 Ferner haben Russell und Frege die Kardinalität als Klasse definiert. Carnap als eine Gebrauchsdefinition.4. Kardinalzahl abbildet.2. 72 35 . 2. wenn wir eine Funktion konstruieren. deren ausgezeichnetstes Ergebnis die Kontinuumshypothese ist. also nach dem Extensionalitätsprinzip (die Kardinahlzahl einer Menge sei die Klasse aller zu ihr äquivalenten Mengen). ist wesentlich für die Theorie der transfiniten Kardinalzahlen. Eine solche Begriffsbildung durch Abstraktion geht schon auf Leibniz zurück. dass zwei äquivalente Mengen dieselbe Kardinalzahl haben. 58 Deiser. Verlag von Julius Springer. welche wir auch ihre „Kardinalzahl“ nennen. S. Berlin (1928). der auch umgekehrt gilt: Zwei Mengen.“ 78 76 77 78 GA. Oliver. S. Einleitung in die Mengenlehre. falls gilt: 1. wenn eine eindeutige umkehrbare Abbildung zwischen beiden möglich ist. die dieselbe Kardinalzahl haben. Einführung in die Mengenlehre. da zwei Mengen äquivalent sind bzw. Berlin-Heidelberg (2002). Wie sind diese drei Momente verbunden? Kardinalität und Äquivalenz stützen sich auf die Bijektion. oder 2. die sie mit einer Menge schon bekannter Mächtigkeit bzw. sind äquivalent. es existiert ein f : N −→ M bijektiv. Mächtigkeit oder Kardinalzahl von M nennen wir den Allgemeinbegriff. Springer Verlag. Weyl bezeichnete sie als eine aufbauende Definition. Dieser letzte Satz.1 Abzählbare und Überabzählbare Mengen Die erste Unterscheidung zwischen unendlichen Mengen erfolgt mit den Begriffspaar Abzählbar und Überabzählbar. 282 Vgl. Friedr. um von nun an alle andere unendlichen Mengen zu untersuchen. welcher mit Hilfe unseres aktiven Denkvermögens dadurch aus der Menge M hervorgeht. hierzu: Fraenkel. wie schon gezeigt wurde. Diese Definition beruht auf dem Satz. der die Äquivalenz und die Kardinalität vereinigt.“ 76 Es war schon davon die Rede. d. von M auf N-vielen Plätzen unterbringen können. die schon in früheren Arbeiten wie Ein Beitrag zu Mannigfaltigkeitslehre (1878) zu finden sind: Die Menge der ganzen Zahlen Z: Wir betrachten zunächst diese Menge in ihrer aufzählenden Schreibweise: Z = {. (Die Menge Z der ganzen Zahlen kann als die Vereinigung 36 . z. Die Indexierung mit den natürlichen Zahlen irgendeiner Menge ermöglicht eine Aufzählung solch einer Menge. Damit ist die umkehrbare Eindeutigkeit der Bijektion versichert. werden alle ungerade Zahlen y ∈ N zugeordnet. . deswegen sagen wir. . f alls x ≥ 0 −2x − 1. −1. .2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Der Begriff „unendlich abzählbar“ kann auch als Einbettbarkeit in die natürlichen Zahlen begriffen werden. müssen wir folgende Bijektion definieren f : Z −→ N durch ( f (x) = 2x. . . die negativ sind (also x < 0). y −→ 2. x1 . . . . . Überabzählbarkeit von bestimmten Mengen gehören zu den originellsten Werken des Hallenser Mathematiker. . die Cantorschen Beweise für die Abzählbarkeit bzw. y2 . f alls x < 0 Für alle x ∈ Z. z −→ 3. dass die Vereinigung von zwei abzählbaren Mengen wieder eine abzählbare Menge ist. Zunächst können wir uns fragen. 1. . also welche Mengen haben die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen N? Anschließend werden wir eine Reihe von Mengen nach Abzählbarkeit untersuchen. wenn wir alle ihre Elemente x. die positiv sind (also x ≥ 0). welche Mengen sind abzählbar und welche überabzählbar ? Oder anders formuliert: Mit welchen Mengen können wir eine Bijektion mit den natürlichen Zahlen N bilden. dagegen ist eine Menge „überabzählbar“. . y. dass sie abzählbar sei. alle gerade Zahlen y ∈ N zugeordnet werden. z3 . } Um ihre Abzählbarkeit festzustellen. . . falls sie nicht in die natürlichen Zahlen eingebettet werden kann. . Die Konstruktion einer Bijektion mit den natürlichen Zahlen oder die sogennante Einbettbarkeit entspricht folgender Anschauung: Eine Menge M ist abzählbar.h. wenn sie in die natürlichen Zahlen eingebettet werden kann. 0. wenn wir sie mit der Folge der natürlichen Zahlen indexieren können: x −→ 1. Im Bezug auf diesen Beweis können wir den Satz einführen. während für alle x ∈ Z. 74-75 37 . dass alle ausgedehnten n-Dimensionalen Punktmannigfaltigkeiten dieselbe Mächtigkeit bekommen. ist die Menge Q der rationalen Zahlen auch abzählbar. α2 . . S. π(0. . . daher können wir die Abzählbarkeit von N × N feststellen. einer Strecke enthaltenen irrationalen Punktmengen. und die mittels einer spiralförmigen Bewegung durch das Git79 80 Anmerkung von Zermelo in GA.2. ) zu einer dritten (α1 . bedient sich Cantor hier eines etwas umständlichen Systems von Hilfssätzen.“ 79 Einer dieser Hilfssätze stellt die sogenannte Paarungsfunktion dar: π : N × N −→ N bijektiv durch π(a. Friedr. ) und (β1 . b) = 1/2(a + b)(a + b + 1) + a z.4 Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten (A ∪ B) von der Menge N = A und der Menge B = −(A) betrachtet werden. π(0. Springer Verlag. hierzu: Deiser. Um dies zu beweisen. β2 . . 1) = 1. BerlinHeidelberg (2002). π(0.) Das cartesiche Produkt N × N: In Ein Beitrag zu Mannigfaltigkeitslehre (1878) beweist Cantor. Oliver. Die Menge der rationalen Zahlen Q: Obgleich zwischen zwei benachbarten Punkten unserer ursprünglichen Menge N immer unendlich viele rationale Punkte liegen (wie z. 2) = 3. π(1. also von derselben Mächtigkeit wie N. 1) = 4.B. S. π(1. β1 . . β3 . . Einführung in die Mengenlehre.B. α3 . . β2 . in dem ∈ Q die Koordinaten m. Man kann einen Z2 -Gitter konstruieren. welche alle die Abzählbarkeit der in einer Strecke enthaltenen rationalen Punkte benutzen. ) Hieraus ergibt sich aber zunächst nur die Äquivalenz der in einem Quadrat bzw. Um das Ergebnis nun auch auf die (abgeschlossenen) Punktmengen (einschliesslich der rationalen Punkte) auszudehnen. So können wir die Punkte eines Quadrats mit den Punkten einer Strecke eindeutig zuordnen. und zwar die zweite. . β3 . . α3 . . 0) = 0. zwischen 0 und 1 unendlich viele Punkte in der Form 1/n liegen). 80 Diese Funktion stellt alle natürlichen Zahlen und jede nur einmal. . 133 Vgl. 0) = 2. greift Cantor auf „Kettenbruchentwicklungen der reellen irrationalen Zahlen und die mechanischen Zusammensetzung zweier solcher Entwicklungen (α1 . α2 . . n den Nenner und Zähler der rationalen Zahlen m n entsprechen. 1 1 2 2 1 1 2 3 3 3 Eine umkehrbare eindeutige Zuordnung zwischen den natürlichen Zahlen und sämtlichen rationalen Zahlen ist damit hergestellt. . . . Aber erst 1891 lieferte 81 82 Vg. So können wir eine Funktion ϕ bilden.− . . Oliver.wie bereits erwähnt .2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung ter erreicht werden.. Wir nennen die Summe ihrer absoluten Beträge plus die Zahl n − 1. Friedr. S. falls x Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. die nicht der Grösse nach angeordnet ist.. . S. Eine reelle Zahl x ∈ R heisst algebraisch. Einleitung in die Mengenlehre. . Verlag von Julius Springer. Einführung in die Mengenlehre. d. Hier erfolgt dieser durch Intervallschachtellung. hierzu: Fraenkel. Damit ist die Abzählbarkeit bewiesen.81 Die Menge der algebraischen Zahlen A: In der Schrift Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (1874) beweist Cantor die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen und zugleich die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen durch Intervallschachtellung.der erste Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen.− 1 1         1 2 1 1 2 3 3 2 1 1 . dass „man den Inbegriff (ω) [hier bezeichnet das kleine Omega eine reelle algebraische Zahl und nicht die erste transfinite Ordinalzahl] dem Inbegriffe aller ganzen positiven Zahlen ν..− .− .] eindeutig zuordnen kann. wobei n den Grad von P (x) angibt. Wie erfolgt der Cantorschen Beweis dieses Satzes? Betrachten wir zunächst die Gleichung P (x). 30-35 und Deiser. dass jedes Polynom vom Grad n bekanntlich höchstens n reellen Nullstellen besitzt.. 115 38 . S. 77-78 GA. es existieren ein n ∈ N und ai ∈ Z mit: P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x1 + a0 = 0 Cantor behauptet am Anfang dieser Schrift. [.. Abraham. Die Menge der reellen Zahlen R: In derselben Schrift (1874) befindet sich . .“ 82 Also hier wird die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen ausgesprochen.h. die jede Höhe N einer algebraischen Zahl zuordnet. ihrer Höhe N : N = n − 1 + |a0 | + |a1 | + · · · + |an | Jede algebraische Zahl x hat eine bestimmte positive ganzzahlige Höhe N und umgekehrt hat jede Höhe N eine endliche Anzahl von algebraischen Zahlen aufgrund des Satzes. Springer Verlag. Berlin-Heidelberg (2002). Die Abzählung durch das Gitter ermittelt eine Folge von rationalen Zahlen. Sie beginnt mit 1 0 . Berlin (1928). . . . E III = (m. . xν . ν. m. x2 . . . ).“ Zum Beweise sei: E1 = (a1.1 . . . E2 = (a2. Zu den Elementen von M gehören beispielsweise die folgenden drei: E I = (m. Spalten einer Tabelle die ganzen positiven Zahlen repräsentieren. .. aµ.. . .4 Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten Cantor sein berühmtes Diagonalverfahren in der Schrift Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. . ). . a2. ). . . . . . ). . da die Zeilen bzw. m. 2. . . . a1. . x2 . w. . Eν . E II = (w. . Dieses geht aus folgendem Satze hervor: „Ist E1 . w. eine ein-eindeutige Zuordnung zwischen dem reellen Intervall 0 < x ≤ 1 und den natürlichen Zahlen zu stellen. a1. aµ. dass eine solche Mannigfaltigkeit M nicht die Mächtigkeit der Reihe 1. . Eµ = (aµ. E2 . . ). w.2 . . . . so betrachten wir einen Inbegriff M von Elementen: E = (x1 . . . w. . . . wo jede dieser Koordinaten entweder m oder w ist. hat. . . . .ν . . .2. w. welches mit keinem Eν übereinstimmt.ν .2 . Hier wird der Versuch vollzogen. mit x ∈ R und die natürliche Indexierung der Dezimalzahlen des Intervalls wird durch eine tabellarische Erstellung ermittelt.2 . . .ν . . . m. . . . . so gibt es stets ein Element E0 von M . . Dieser Intervall hat dieselbe Mächtigkeit wie die gesamten reellen Zahlen aufgrund dieser Bijektion: x −→ x1 . . M sei die Gesamtheit aller Elemente E. Ich behaupte nun. . ) welche von unendlich vielen Koordinaten x1 . . .1 . .1 . Der Satz und der Beweis erfolgen wie folgt: „Sind nämlich m und w irgend zwei ausschliessende Charaktere. . . . abhängen. m. xν . irgendeine einfach unendliche Reihe von Elementen der Mannigfaltigkeit M . . 39 . . . . ). a2. Einleitung in die Mengenlehre. dass die reellen Zahlen R nicht dieselbe Mächtigkeit wie N besitzen. so ist bν = w.ν . . bringen lässt. 2. wäre. da sonst für das betreffende µ und für alle ganzzahligen Werte von ν bν = aµ. . S. so definiert. ist dieser ausgezeichnete Schritt in der Mathematik die Einführung von sämtlichen Begriffen wie Äquivalenz als Bijektion und Abzählbarkeit zu verdanken.2 Die verschiedenen Mächtigkeiten Der grosse wissenschaftliche Schritt der Mengenlehre besteht darin.“ 83 Mit diesem Gegenbeispiel zeigte Cantor. . Betrachten wir alsdann das Element E0 = (b1 .µ in bestimmter Weise m oder w. dass die Gleichung E0 = Eµ für keinen positiven ganzzahligen Wert von µ erfüllt sein kann. Abraham.84 Wie bereits gezeigt. . da wir sonst vor dem Widerspruch stehen würden.ν verschieden sei. . . Berlin (1928). dass ein Ding E0 sowohl Element von M . Die Frage ist nun. d. b3 . Daher können wir behaupten. .4. verschiedene Mächtigkeiten innerhalb unendlicher Mengen zu erkennen. wie auch nicht Element von M wäre. .h. S. bν . Auf diese Weise wird die naive Vorstellung eines ganz unbestimmten „Unendlich“ unterlaufen. Ist also aν. . . Eν . ) von M . E2 . dass die Gesamtheit aller Elemente von M sich nicht in die Reihenform: E1 . b2 .2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Hier sind aν. . dass eine natürliche Indexierung der reellen Zahlen nicht möglich ist. und ist aν. . . was durch die Definition von bν ausgeschlossen ist. Es werde nun eine Reihe b1 . ℵ1 und ℵ2 präsentieren: 83 84 GA. b2 .ν = w. dass bν auch nur gleich m oder w und von aν. .µ . ob die Mächtigkeit von R die nächstgrössere ist. . also auch in besondern bµ = aµ. . . Aus diesem Satze folgt unmittelbar. 278-279 Vgl. Verlag von Julius Springer. Zunächst werden wir die drei von Cantor angegebenen Mächtigkeiten ℵ0 . hierzu: Fraenkel.ν = m. die reellen Zahlen R sind überabzählbar. so sieht man ohne weiteres. so ist bν = m. . 56-57 40 . also als die zweifelsfreie Grundlage für seine Theorie der verschiedenen Mächtigkeiten. ausgeführten Beweise der Abzählbarkeit solcher Mengen stellten Bijektionen zwischen diesen Mengen und der der natürlichen Zahlen dar. für die Grundlagen der Mathematik gewesen.B. Sie ist gleich der Summe: N + 0 + (−(N)). Die Mächtigkeit ℵ0 ist die kleinste transfinite Kardinalzahl und kommt allen abzählbaren Mengen zu.4 Kardinalzahlen oder Mächtigkeiten Die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen ℵ0 : Es war schon davon die Rede. können wir mit diesem Satz beweisen. warum alle diese Mengen die Mächtigkeit ℵ0 haben. wie bereits bewiesen worden ist. Man kann aber auf andere Weise begründen. der Menge Q der rationalen Zahlen und der Menge A der algebraischen Zahlen. schreiben wir die Mächtigkeit ℵ0 der Menge N der natürlichen Zahlen. der Menge Z der ganzen Zahlen. einer Ebene. oder dem reellen Intervall (0. die als Folge mit natürlichen Indexierung darstellbar sind. so dass die Kontinuumshypothese dabei nicht vermutet wird. dass die Summe. 292-296 41 . und zwar mittels der Arithmetik der Kardinalzahlen. dass die Menge Z der ganzen Zahlen dieselbe Kardinalzahl wie die Menge N der natürlichen Zahlen besitzt. dass Cantor die Menge N der natürlichen Zahlen als das ursprünglich Gegebene ansieht. der Mengen aller geometrischen Punkte einer Strecke. Diese Kardinalzahl kommt der Menge R der reellen Zahlen bzw.4.h. die einbettbar in die natürlichen Zahlen sind bzw. also ℵ0 + 1 + ℵ0 = ℵ0 . S. Betrachten wir die Menge Z.2. Aufgrund der Abzählbarkeit. eines Körpers. die Mächtigkeit der Mengen. Die im Abschnitt 2. GA.1. in der folgende Sätze gelten: oder ℵ0 + ν = ℵ0 85 ℵ0 + 1 = ℵ0 ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 oder ℵ0 · 2 = ℵ0 ℵ0 · ν = ν · ℵ 0 = ℵ0 ℵ0 · ℵ 0 = ℵ0 oder ℵ20 = ℵ30 = ℵν0 86 Zusammenfassend kann gesagt werden. Alle diese Mengen sind aufgrund des Diagonalverfahren-Beweis überabzählbar und äquivalent. d. Das Verhältnis mir der ersten Kardinalzahl ℵ0 85 86 z. Die Mächtigkeit des Kontinuums ℵ1 : Hausdorff nennt diese Mächtigkeit auch einfach ℵ. 1). daher ist die theoretische Kombination von Cantor und Dedekind so fruchtbar für die Mengenlehre bzw. das Produkt oder die Potenzierung von abzählbaren Mengen wieder eine abzählbare Menge ergibt. also aller abzählbaren Mengen zu. der Menge N × N. Dedekind im Gegensatz versucht das System N der natürlichen Zahlen zu begründen. . Hausdorff gibt einen hochinteressanten alternativen Beweis für die Abzählbarkeit des Kontinuums an. .. und die unend- . . eine Folge wachsender natürlicher Zahlen bedeutet. . . Mit dieser Verabredung liefert jetzt jede dyadische Bruchdarstellung eine reelle Zahl x zwischen 0 und 1 und umgekehrt jede solche Zahl x einen dyadischen Bruch. vereinbaren wir. x= 2 2 2 wobei p1 < p2 < p3 < .. die unendlich viele Einsen enthalten. Somit ist die Eindeutigkeit festgestellt: x= X dn n wobei dn = 1 2n So erhalten wir  p1  p2  p3 1 1 1 + + + . Jetzt entspricht also jeder reellen Zahl x zwischen 0 und 1 umkehrbar eindeutig eine Folge natürlichen Zahlen p1 < p2 < p3 < ..2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung ist im folgenden Satz definiert: ℵ1 = 2ℵ0 = 3ℵ0 = · · · = (n + 1)ℵ0 Dieser bemerkenswerte Zusammenhang der ersten Mächtigkeit und der des Kontinuums ist in der Mengenlehre fundamental. der sich auf die Arithmetik der Kardinalzahlen stützt: Betrachten wir zunächst die Darstellung der reellen Zahlen durch dyadische Brüche . 2 4 8 di = 0 oder 1 So wird eine reelle Zahl x (0 ≤ x ≤ 1) dargestellt und umgekehrt gehört zu jeder solchen Zahl x eine dyadische Bruchdarstellung oder zwei: 1 0 0 0 0 1 1 1 1 = + + + + ··· = + + + + .die der Formel ℵ1 = 2ℵ0 entspricht -. und aufgrund der bekannten Mächtigkeiten dieser Folgen erhalten wir die Gleichung ℵ1 = ℵℵ0 0 wobei die unendliche Summe von 42 P1 2 die Mächtigkeit ℵ0 hat.. nur solche dyadische Bruchdarstellungen zuzulassen. . auf folgende Weise: x= d1 d2 d3 + + + ... 2 2 4 8 16 2 4 8 16 Um diese Zweideutigkeit zu beseitigen. als sie das Bild der Mathematik tiefgreifend veränderten. . Als wir den Mengenbegriff zu definieren versuchten. New York (1962). daher ℵℵ0 0 . Zunächst können wir aber mit der Bestimmung der drei ersten Mächtigkeiten von unendlichen Mengen insofern verbleiben. auch diese Mächtigkeit hat. kam die Definition Cantors mittels Abstraktionsvorgängen zur Sprache. Die Mächtigkeit der Menge aller reellen Funktionen ℵ2 : Diese Mächtigkeit ist grösser als ℵ1 . Felix. Mit der Potenzmengenbildung ℵn+1 = 2ℵn erreichen wir unendliche transfinite Mächtigkeiten. Der arithmetische Beweis stützt sich auf die Potenzgesetze des fundamentalen Satzes der Mengenlehre: ℵ21 = ℵ1 · ℵ1 = 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 = 2ℵ0 = ℵ1 Daher haben die Ebene und die Strecke bzw. 2. 63-64 43 .5 Ordnungstyp und Wohlordnung Aus didaktischen Erwägungen werden in der Mengenlehre die Kardinalzahlen vor den Ordinalzahlen eingeführt. es existiert eine unendliche Folge von Alephs. hierzu: Hausdorff. Sie wird analog wie ℵ1 gebildet ℵ2 = 2ℵ1 = ℵℵ1 1 und für sie gelten selbstverständlich dieselben arithmetischen Gesetze der Kardinalzahlen. Cantor veröffentlichte den Beweis zum ersten Mal 1878 in der Schrift Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre.87 Es bleibt noch mittels der Arithmetik der Kardinalzahlen den Beweis der Gleichmächtigkeit verschiedendimensionaler Kontinua endlicher oder abzählbar unendlicher Dimension zu zeigen. Sie ist auch die Mächtigkeit des Systems aller Teilmengen einer Menge der Mächtigkeit ℵ1 . d. S. Chelsea Publishing Company. als eine der wichtigsten Antinomie besprochen und analysiert wird. sie ist sogar die nächst grössere (nach der Kontinuumshypothese).7.2.5 Ordnungstyp und Wohlordnung liche Folge der wachsenden natürlichen Zahlen p1 < p2 < p3 < . Damit ist die Überabzählbarkeit des Kontinuums bewiesen. .h. Die Frage nach der Gesamtheit der ℵν bleibt einigermassen offen. die im Kapitel 2. die eindimensionale und die zweidimensionale Kontinua dieselbe Mächtigkeit ℵ1 . Grundzüge der Mengenlehre. Wenn wir sowohl von der Beschaffenheit der Elemente einer Menge wie von ihrer Rangordnung 87 Vgl. Allerdings ist es aus mathematischen Gesichtspunkten einfacher die Ordinalität zu definieren als die Kardinalität. 88 89 90 Vgl. alsdann auch immer m1 niedrigeren Rang hat als m3 . Berlin (1928). Verlag von Julius Springer.die letzte nur mittels philosophischer Termini formulierbar ist. 4. Oxford-London-New York-Paris (1961). Einleitung in die Mengenlehre. allgemeineres und weniger zusammengesetztes als die Ordinalität aufgefasst werden kann. die von Cantor mit M bezeichnet wurde.wie bereits gesehen . die mit M bezeichnet wird. so sehen wir ein rohes Kompositum aus Materie ohne Form. Collected Works. dass wenn von drei Elementen m1 . dass die Kardinalität als etwas einfacheres. John von. Wohlordnungssatz. S. Ordnung und Wohlordnung.“ 90 So Cantor in seinen Beiträgen (1895). Hier wird eine Herleitung der Mengenlehre mit der folgenden Reihenfolge eingeführt: 1. ≺) definiert ist. m2 und m3 etwa m1 dem Range nach niedriger ist als m2 . hierzu: Fraenkel. 3. Volume I: Logic. erhalten wir die Ordinalzahl der Menge M. So können wir schon spüren. in welche von je zwei beliebigen Elementen m1 und m2 das eine den niedrigen. Vgl. Unendlichkeit. obwohl manche Mathematiker wie Von Neumann der Meinung waren. Theory of Sets and Quantum Mechanics.) heisst geordnet. wie Cantor behauptete. hierzu: Neumann. 6. 296 44 . die die üblichen geometrischen Eigenschaften nicht mehr benötigt. Mächtigkeiten. 122 GA. dieses niedriger als m3 . Allgemeine Mengenlehre. Die Ordnung gilt als die Form der Menge. erhalten wir ihre Kardinalzahl. das andere den höheren Rang einnimmt. S. wie ist dann diese einfache allgemeine Ordnung charakterisiert? „Eine Menge M nennen wir einfach geordnet. die folgenden drei Bedingungen genügt: 1. und zwar so. 2.89 Von grosser Bedeutung für die Mathematik ist die ordnungstheoretische Charakterisierung der reellen Zahlen. da . die Ordinalzahlen sollten vor den Kardinalzahlen eingeführt werden88 . Körper. wenn in M eine Ordnungsrelation (M. Diese Definition kann noch in einer formaleren Weise dargestellt werden: Eine Menge M (Gruppe. für je zwei verschiedene Elemente m1 und m2 von M gilt eine der Beziehungen m1 ≺ m2 und m2 ≺ m3 . Pergamon Press. S. Nach dem Abstraktionsvorgang von der Natur der Elemente einer Menge haben wir eine geordnete Menge vor Augen. Ordnungszahlen. aber nicht von ihrer Rangordnung. da nur ein Abstraktionsvorgang vollzogen wird. Abraham. usw. eben aufgrund des doppelten Abstraktionsvorganges. 5. wenn unter ihren Elementen m eine bestimmte Rangordnung herrscht. Wenn wir aber nur von der Beschaffenheit der Elemente abstrahieren. Wenn wir eine Menge in ihre Kardinalität betrachten. 44.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung abstrahieren. Diese beiden Bedingungen des Ordnungstyps der natürlichen Zahlen werden in der Menge der rationalen Zahlen nicht erfüllt. . ω ist der Ordnungstyp der Menge der natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge. . Jeder geordneten Menge kommt ein bestimmter Ordnungstyp zu. . 1. . . d. Betrachten wir zunächst die Menge der rationalen Zahlen und die der natürlichen Zahlen. jedoch noch nicht definiert. gelten m1 ≺ m2 und m2 ≺ m3 so auch m1 ≺ m3 .) und Transitivität (aus 3.. M ist der Ordnungstyp der Menge M.5 Ordnungstyp und Wohlordnung 2. 6.h. Mit diesen drei Bedingungen können wir von der Ordnungsrelation feststellen. dass wenn m1 und m2 zwei Elemente von M. 2.) charakterisiert ist. Bemerkenswert ist. . n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N sind. Assymetrie (aus 1. 297 45 . 4. dass sie durch Irreflexivität (dies folgt aus 2. die sie bei den Mengen der Äquivalenzbegriff schlechthin hat. S. Wichtig für die Theorie der Ordnung ist der Begriff der Ähnlichkeit. alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe ist wie die von n1 zu n2 innerhalb von N . Der Ordnungstyp endlicher Mengen fällt offensichtlich mit ihrer Kardinalzahl zusammen. . } oder nach gerade/ungerade N = {2. 5. gilt m1 ≺ m2 so ist m1 6= m2 . Beide Ordnungstypen haben die Mächtigkeit ℵ0 . dieser ist durch den ersten Abstraktionsvorgang definiert.B die natürlichen Zahlen nach ihrer Grösse N = {1. Vorgänger bestimmt. 1}. hier der Ähnlichkeitsbegriff grundlegend für den Ordnungstyp ist. . 4. 3. „Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir ähnlich. 3. . 3. den jeweils alle ähnlichen Mengen gemeinsam haben. Eine Menge kann nach verschiedenen Gesetzen einfach geordnet werden. 91 Ebd. obgleich nicht alle äquivalenten Mengen zugleich ähnlich sein müssen. }. obwohl sie dieselbe Kardinalzahl besitzen. Zunächst möchten wir die wichtigsten Ordnungstypen präsentieren: Der Ordnungstyp ω: Wir haben schon ω als die kleinste transfinite Ordnungszahl kennengelernt.“ 91 Dieser Begriff hat hier die entsprechende Bedeutung. Was können wir aber von ihren Ordnungstypen sagen? Sind sie auch ähnlich? Die Antwort auf diese Frage ist negativ. Es ist also der Ordnungstyp. . 2. Zu jedem Element n ∈ N ist sein Nachfolger bzw. daher ist er nicht von besonderen Interesse für die Mengenlehre.). 3. Sie sind beide abzählbar und daher ist ihre Kardinalzahl ℵ0 . die als ähnliche Abbildung verstanden werden kann. . dass analog wie bei der Einführung der Kardinalzahl man sich auf die Äquivalenz stützte. wenn sie sich gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen. von demselben Ordnungstyp. .2. Der inverse oder umgekehrte Ordnungstyp ω∗ wäre also die Menge {. Also sind sie nicht ähnlich bzw. Die Menge N hat ein kleinstes Element 0. . wie z. . wohlgeordnet werden?“ Cantor bezeichnete die Wohlordnung als ein merkwürdiges Denkgesetz 93 . Der Ordnungstyp θ des Linearkontinuums: Betrachten wir zunächst die Menge eines reellen Intervall C.h. S. Mit dieser groben Charakterisierung der Ordnung bzw. sie haben dem Rang nach kein höchstes und kein niedrigstes Element. Unter einer wohlgeordneten Menge M verstehen wir eine einfach geordnete Menge. daher haben wir schon ω als die kleinste transfinite Ordnungszahl bezeichnet. Daher bildet eine wohlgeordnete Menge eine Sukzession in der Form 0 00 000 e ≺ e ≺ e ≺ · · · ≺ eν ≺ eν+1 .“ 92 Die Mengen dieses Ordnungstyps haben drei wesentliche Merkmale: Sie haben die Mächtigkeit ℵ0 . Jede nichtleere Teilmenge M 0 von M hat ein kleinstes Element. indem wir auf den Mengenbegriff zurückgegriffen haben. Wir haben bereits die Folge der transfiniten Ordnungszahlen in Abschnitt 2. 303-307 GA. 2. die grösser als 0 und kleiner als 1 sind. Die Ordnungstypen solcher wohlgeordneten Mengen heissen auch Ordnungszahlen. da er eine wesentliche Rolle in der Theorie der transfiniten Zahlen spielt. Die Folge der natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge wäre demnach eine wohlgeordnete Menge. S. erst Zermelo konnte eine Antwort auf diese Frage mittels seines 92 93 Ebd. und sie sind überalldicht. die unsere Eigenschaften der Bestimmtheit. zwischen je zwei ihrer Elemente liegen andere. in ihrer natürlichen Rangordnung.3 in ihrer dialektischen Begriffserzeugung untersucht. demnach ist C auch dicht.2. Aus dieser Konstellation stellt sich die Frage: „Kann jede Menge geordnet bzw.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Der Ordnungstyp η: Damit bezeichnet Cantor „den Ordnungstyp der Menge aller rationalen Zahlen. sie enthält sowohl ein erstes wie ein letztes Element. Die drei charakteristischen Eigenschaften seiner Rangordnung sind auch drei: Die geordnete Menge C ist stetig. sie enthält eine dichtgelegen abzählbare Teilmenge (von rationalen Zahlen). d. Die Menge M hat ein kleinstes Element. 169 46 . Sukzessivität und Iterativität für ein Eigentlich-Unendliches erfüllen. Nun möchten wir den Begriff der Wohlordnung charakterisieren. die folgende zwei Eigenschaften erfüllt: 1. Ordnungstypen können wir den Begriff der Wohlordnung einführen. dass das Linearkontinuum die Mächtigkeit 2ℵ0 oder ℵ1 besitzt. Schliesslich können wir noch bemerken. obwohl sie . Beweis. Ob dieser Satz das Kontinuumsproblem lösen kann oder nicht. so wird das andere beweisbar. 95 47 . Diese drei äquivalenten Formulierungen besagen mit verschiedenen mengentheoretischen Werkzeugen.6 Die Kontinuumshypothese Beweis 1904 und 1908 liefern. indem er das Auswahlprinzip als zentrales Werkzeug benutzte. können wir in dreierlei Weise formulieren: 1. Diese tiefe Vermutung Cantors. das Hilbert als erstes Problem seiner Liste 1900 beim Internationalen Mathematikkongress in Paris präsentierte. 2ℵ1 = ℵ2 und allgemein 2ℵn−1 = ℵn . Band 2. Wir müssen aber die Tatsache vorausschicken. 514-516. legen wir eines von ihnen zugrunde. In: Erfahrung und Denken. Mit dieser Aussage erhalten wir nicht nur eine scharfe Bestimmung von stetigen linearen Punktmengen. so dass der Fundamentalsatz der Mengenlehre „Die Kontinuumshypothese ist weder beweisbar 94 95 Zermelo.94 Nach diesem Satz kann daher die Menge des Linearkontinuums auch wohlgeordnet werden. die in der Tat das Aktual-Unendlich einer völlig bestimmten mathematischen Form ermittelt. Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist abzählbar oder gleichmächtig zu den reellen Zahlen. dass der Wohlordnungssatz und das Auswahlprinzip „logisch gleichwertige Prinzipien [sind]. und allgemein.sub.überabzählbar und von Ordnungstyp θ ist. S.“ 95 2. Abraham. dass die verschiedenen Mächtigkeiten ℵn eine der Grösse nach geordnete bestimmte Folge bilden in der rekursiven Darstellung 2ℵn−1 = ℵn . Mengenlehre und Logik.h. Ernst. dass die Kluft zwischen N und R minimal ist. Sei M eine Menge und es gelte |N| ≤ |M | ≤ |R|.2. Es gibt keine Menge mit |N| < |M | < |R|. also 2ℵ0 = ℵ1 . Göttinger Digitalisierungszentrum: http://gdz. Dann gilt |N| = |M | oder |M | = |R|. Duncker & Humblot.wie bereits gesehen . Berlin (1959). sondern vielmehr können wir eine fundamentale Entdeckung innerhalb der Theorie der transfiniten Kardinalzahlen feststellen. 3. Schriften zur Förderung der Beziehungen zwischen Philosophie und Einzelwissenschaften.uni-goettingen. ist unlösbar geblieben. Also ist M von der Mächtigkeit ℵ0 oder ℵ1 .de/gdz/ Fraenkel. Mathematische Annalen. d. und zwar.6 Die Kontinuumshypothese Dieses unentscheidbare Problem. 2. ist eine der fundamentalen Fragen der Mengenlehre gewesen. dass die Potenzmenge einer Mächtigkeit die nächstgrössere Mächtigkeit ist. die Mächtigkeit ℵ1 der reellen Zahlen ist die nächst grössere nach ℵ0 . dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. So Cantor: „Entkleiden wir dieses Problem seines geometrischen Gewandes [das gemeinte Problem ist die Zuordnung zwischen den Punkten einer Ebene mit den Punkten einer Strecke] und verstehen. 132 48 .]. S. so fragt es sich. Durch ein Induktionsverfahren. Ferner wird der Satz ausgesprochen. wie dies bereits in §3 auseinandergesetzt ist.2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung noch widerlegbar“ 96 lautet. dass alle stetigen ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten. voneinander verschiedener reeller Zahlen. dass alle Punktmannigfaltigkeiten. sich ein Quadrat in der Ebene auf eine Strecke abbilden lässt. auf dessen Darstellung wir hier nicht näher eingehen. Berlin-Heidelberg (2002). [. unter einer linearen Mannigfaltigkeit reeller Zahlen jeden denkbaren Inbegriff unendlich vieler. in wie viel und in welche Klassen die linearen Mannigfaltigkeiten zerfallen. wie z.. Springer Verlag. die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen haben.“ Cantors Kontinuumsbestimmung in der Grundlagen (1883): In §10 gibt Cantor eine begriffliche Bestimmung des Kontinuums. dass die Anzahl der untersuchten Mächtigkeiten gleich zwei ist. Der lange Weg von der ersten Erwähnung der Kontinuumshypothese bis zum Unabhängigkeitsbeweis von Gödel und Cohen möchten wir in die folgenden kurzen Geschichte der Kontinuumshypothese skizzieren: Cantors erste Erwähnung (1878): In der Schrift Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre spitzt Cantor den Mächtigkeitsbegriff zu. dass die Anzahl der nach diesem Einteilungsprinzip sich ergebenden Klassen linearer Mannigfaltigkeiten eine endliche und zwar. diejenige der positiven ganzen Zahlen und diejenige der reellen Zahlen zwischen 0 und 1. dass sie gleich Zwei ist. Oliver. war die Mengenlehre geboren. die sich als Folge mit ganzzahliger Indexierung darstellen lassen. „Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist abzählbar oder gleichmächtig zu den reellen Zahlen. 107 GA.B.als die Gleichmächtigkeit der verschiedendimensionalen Kontinua bewiesen worden war . da aus dieser Fragestellung und ihrer Beantwortung die wesentlichste Cantorsche Vermutung über das Aktual-Unendlich entstanden ist: Die Kontinuumshypothese.“ 97 Diese erste Erwägung der Kontinuumshypothese ähnelt unserer dritten Formulierung. Als Cantor diese Frage an Dedekind stellte. Friedr. dieselbe Mächtigkeit besitzen. wird der Satz nahe gebracht.behauptete Cantor. wie es vor ihm kein anderer 96 97 Deiser. Dabei wird festgestellt.. unabhängig von ihrer Dimension. S. Einführung in die Mengenlehre. Am Ende dieser Arbeit . h. Dieser besagt. . d. so dass diese Disziplin als die ursprünglichste Grundlage der Mathematik fungiert.der Punktmannigfaltigkeitslehre finden wir den Begriff der Punktableitung. dass überalldichte Mengen nach n-vielen Ableitungen doch leer sein können. Gödels Beweis der nicht-Widerlegbarkeit (1938): Der Logiker Kurt Gödel bewies seinen Unvollständigkeitssatz im Jahre 1930. als analytisch-funktionaler Begriff oder als geometrisches Gebilde. t2 t3 . ohne die Art von Unendlichkeit zu spezifizieren. wie eine Art Metamathematik. dann heisst diese Menge perfekt: P γ ≡ P s . so dass die Entfernungen tt1 . Im entgegengesetzten Fall. wenn also für eine Menge P gleich wie gross γ wird. tν t0 sämtlich kleiner sind als ε. Es ist offensichtlich. . wenn für je zwei Punkte t und t0 derselben bei vorgegebener beliebig kleiner Zahl ε immer eine endliche Anzahl von Punkten t1 . er befreit es von allen Hilfs.bzw. dessen Grundannahmen Axiome genannt werden. Als zweite Eigenschaft des Kontinuums steht die zusammenhängende Punktmenge. dass einer Punktmenge der Mächtigkeits des Kontinuums die Eigenschaft perfekt zukommt. dass jedes ausreichend komplexe widerspruchsfreie Aussagensystem. In dieser ursprünglichen grundlegenden Disziplin der Mathematik . Die Eigenschaft Überalldichtsein besagt nur. betrachtet Cantor das Kontinuum in seiner abstraktesten Form. in einem solchen System gibt es Aussagen. dass es sich um eine Menge der zweiten Mächtigkeit handelt. Dagegen haben wir bei perfekten Mengen schon unterschieden. . deren wichtigsten Merkmale das Perfektsein und das Zusammenhängendsein sind. 194 49 . So protestiert Cantor gegen alle alten Überzeugungen über das Kontinuum. die nach der γ-te Punktableitung leer ist. tν von T auf mehrfache Art vorhanden sind.2.“ 98 So charakterisiert Cantor das Kontinuum als einen nüchtern logisch-mathematischen Begriff einer Punktmenge. deren Definition an die Weierstrass´sche Stetigkeit erinnert: „Wir nennen T eine zusammenhängende Punktmenge. . unvollständig ist. die sich mit den Mitteln des Systems weder beweisen 98 Ebd. die diesen Begriff eher als „ein religiöses Dogma“ behandeln. Cantor greift auf seine Mannigfaltigkeitslehre . . Beziehungsbegriffen wie das Kontinuum in der Zeit. wie die rationalen Zahlen. . S. dass zwischen zwei Punkten einer solchen Menge unendlich viele Punkte liegen. heisst reduktibel : P γ ≡ 0. . t1 t2 . anstatt es nüchtern logisch-mathematisch zu untersuchen. die die Menge der Häufungspunkte einer Menge bezeichnet. ihre γ-te Ableitung gleich die Menge P ist. im Raum..6 Die Kontinuumshypothese Autor getan hatte. Eine Menge P .zurück.oder Mengenlehre . Dieses Merkmal unterscheidet sich vom Überalldichtsein darin. Das heißt. t2 . Um diese Analyse zu vollziehen. . 2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung noch widerlegen lassen, wie z.B. in der Euklidischen Geometrie das ParallelPostulat mittels der Axiome nicht beweisbar ist. Dies ist analog zu dem unter Wahrheit angeführten Beweis, dass es keine universelle Wahrheitsmaschine geben kann. Der Unvollständigkeitssatz gilt insbesondere für die Mathematik und daher auch für das System der mathematischen Grundlagen, die Mengenlehre. Gödel bewies diesen Satz auf abstrakte Weise, also ohne ein konkretes Beispiel für eine solche prinzipiell unbeweisbare Aussage zu kennen. Es lag nun nahe, sich der ungelösten Probleme der Mathematik anzunehmen und zu untersuchen, ob vielleicht eines dieser Probleme eine solche Aussage enthält, wie z.B. die Kontinuumshypothese. Im Jahre 1938 gelang es ihm zu beweisen, dass sich die Kontinuumshypothese im Rahmen der Mengenlehre, also innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Axiome nicht widerlegen lässt. Sie ist also mit allen Sätzen und Axiomen der Mengenlehre vereinbar. Das heißt noch nicht, dass sie bewiesen ist. Dazu müsste man zusätzlich nachweisen, dass ihr Gegenteil mit den Sätzen der Mengenlehre nicht vereinbar sei. Cohens Nachweis, dass die Kontinuumshypothese nicht beweisbar ist (1963): Cohen hingegen zeigte, dass die Negation der Kontinuumshypothese doch mit der axiomatischen Mengenlehre vereinbar ist; dies ist eine Tatsache, die eindeutig bewies, dass die Kontinuumshypothese mit den Zermelo-Fränkel-Axiomen der Mengenlehre unentscheidbar ist, also unabhängig. Cohen entwickelte dafür seine „Forcing- Methode“. 2.7 Paradoxien der Mengenlehre Die Veröffentlichung von sämtlichen Paradoxien innerhalb der Systeme der Grundlagen der Mathematik an der Jahrhundertwende führten zu von verschiedenen mathematischen Wellen, wie der Intuitionismus von Brouwer oder der Logizismus von Russell, die zum Wesen und dem Gegenstand der Mathematik Stellung bezogen. Cantor nahm an dieser Debatte nicht teil, anscheinend weil er vom Auftreten von Antinomien weder überrascht noch beunruhigt war.99 Außerdem war sein System mit dem Erscheinen seiner Beiträge (1895-97) schon abgeschlossen und seine Stellungnahme zu solchen Fragen war schon längst in seinen Schriften festgehalten. Die 99 Es gibt viele Forscher, die dieser Meinung sind. Vgl. hierzu: Fraenkel, Abraham. Einleitung in die Mengenlehre. Verlag von Julius Springer, Berlin (1928); Mengenlehre und Logik. In: Erfahrung und Denken. Schriften zur Förderung der Beziehungen zwischen Philosophie und Einzelwissenschaften, Band 2. Duncker & Humblot, Berlin (1959) und besonders: Purkert, Walter. Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre. In: Bulletin de la Societé Mathématique de Belgique, t.XXXVIII (1986). 50 2.7 Paradoxien der Mengenlehre wichtigsten Antinomien, die veröffentlicht wurden, kannte Cantor bereits, wie aus seinen Briefwechseln mit Hilbert zu sehen ist.100 Die erste Antinomie wurde am 28. März 1897 von C. Burali-Forti bei den Rendicoti del Circolo Matematico di Palermo unter dem Titel Una questione sui numeri transfiniti eingereicht. Hier wird eine Antinomie in der Menge Ω aller Ordinalzahlen gezeigt, indem der Menge Ω auch eine Ordinalzahl α zukommt, diese aber zugleich grösser als sie selber ist: α < α, was offensichtlich ein Widerspruch ist aufgrund der Irreflexivität der Ordnungsrelation. Dies beruht auf dem Satz, dass jeder wohlgeordneten Menge eine Ordinalzahl zukommt, die stets grösser als jedes Element der wohlgeordneten Menge ist, wie z.B. die erste transfinite Ordnungszahl ω grösser als jede endliche Zahl ν aus N ist. Wenn aber die Menge Ω alle Ordinalzahlen enthält, entsteht der Widerspruch: Ω + 1 > Ω, und zugleich Ω + 1 ≤ Ω. Analog ist das berühmte Russellsche Paradoxon, im Jahre 1903 erschienen, zu verstehen, das „die Menge aller Mengen, die sich nicht als Element enthalten“ darstellte. Sei eine solche Menge M in seiner intensionalen Schreibweise wie folgt ausgedrückt: M := {X ∈ M |X 6∈ X}. Gelesen, die Menge X gehört zu M , genau dann wenn die Menge X sich selber nicht enthält. Die Annahme einer solchen Menge führt zu dem Widerspruch, dass die Menge M gleichzeitig sich selbst enthält und sich nicht enthält, da wenn es angenommen wird, dass M sich selber nicht enthält, d.h. nicht als Element in der Menge vorkommt, dann ist sie eine Menge die sich selber nicht enthält, also muss als Element in der Menge M vorkommen und umgekehrt: M 6∈ M ⇐⇒ M ∈ M Widerspruch! Diese Art von Paradoxien nennt Fraenkel die logischen Antinomien, während eine andere Art von Antinomien - die epistemologischen -, wie z.B. die von Richard der Darstellbarkeit der Zahlen durch Buchstaben101 oder die Antinomie des Begriffes 100 101 Vgl. hierzu: Cantor, Georg. Briefe. Hrsg.: Herbert Meschowski und Winfried Nilson. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg (1991), S. 388 ff. Der erste Brief an Hilbert ist am 26.9.1897 datiert, also doch nach der Veröffentlichung Burali-Fortis. Viele Autoren wie Fraenkel oder Bernstein datieren diesen Brief auf das Jahr 1896, da Cantor in einem Brief an Jourdain die Zeitangabe für seinen Brief an Hilbert als „... vor etwa 7 Jahren... “ angegeben hatte, und dies wurde in der Forschungsliteratur zu genau genommen. Purkert macht glaubhaft, dass dieser Brief an Hilbert vom 26.9.1897 der allererste ist, in dem über inkonsistente Mengen die Rede ist. Trotzdem kann man aus den veröffentlichen Schriften Cantors seine Einstellung zu diesen Paradoxien leicht herleiten, und das ist, was Purkert in seinen ausgezeichneten Artikel Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre sehr deutlich beweist. Vgl. hierzu: Spektrum der Wissenschaft. Spezial 2/05, Unendlich (plus 1), Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH, Stuttgart (2008) 51 2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung „prädikabel“ von Russell. Welchen parodoxen Charakter des Mengenbegriffs, besonders des Aktual- Unendlichen, enthüllen diese Antinomien? Oder sind sie nur scheinbar paradox? Auf diese Frage können wir dreierlei Antworten geben: Nach Cantor liegt der Widerspruch im Versuch eine absolute oder inkonsistente Menge zu untersuchen, was für die menschliche Fassungskraft unmöglich wird; nach Russell liegt der Widerspruch in der Bildung von nicht-prädikativen Begriffen oder verkehrten Satzfunktionen; nach den Intuitionisten liegt der Widerspruch in dem Unendlichkeitsbazillus, der die Quelle aller Gefährdungen in der Mathematik sei. Die Antwort der Intuinisten: Das Auslösen von Antinomien wird nach den Intuitionisten von der Berührung mit dem Unendlichen verursacht. So wurde bereits in der Antike argumentiert. Innerhalb der Mengenlehre - wie bereits gesehen - ist die Menge der natürlichen Zahlen der Ausgangspunkt aller Untersuchungen, Konstruktionen und Ergebnissen; diese ist aber selber unendlich, daher liegt dies schon ganz am Anfang eines Abgrundes. Für die Intuitionisten, deren Hauptthese „mathematische Existenz = Konstruierbarkeit“ lautet, ist diese Gesamtheit der natürlichen Zahlen - diesen Abgrundes - nicht als ein „fertiges Ding“ in seiner Abgeschlossenheit, Bestimmtheit und Statisch-sein aufzufassen, sondern vielmehr in seinem Werden. Der Intuitionismus bedeutete eine philosophische Revision der Mathematik, die sehr innovative, originelle und vor allem radikale Einstellungen zum Wesen und Gegenstand der Mathematik mit sich brachte. Der Logizismus von Russell: Russel erschafft seine Typentheorie, um der Mathematik eine feste logische Grundlage zu geben, die sie vor allen Antinomien schützen sollte. Erst wurde von Poincaré, danach von Russell übernommen, die nicht-prädikative Begriffsbildung anknüpfend an die Antinomien definiert: „Jedes Verfahren, welches ein einer gewissen Gesamtheit M als Glied angehöriges Individuum m in der Weise kennzeichnet, dass in der Definition eben jene Gesamtheit eingeht“, d.h. „keine Gesamtheit kann Glieder enthalten, die nur mittels jener Gesamtheit definierbar sind.“ 102 Exakt dies geschieht bei der Bildungen von solchen Mengen wie „der Menge aller Ordinalzahlen“ oder „der Menge aller Mengen, die sich nicht enthalten“, daher ihr paradoxer Charakter. Das Problem liegt darin, dass solche nicht-prädikative Begriffsbildungen häufig in der Mathematik zu finden sind, sie ist sogar in Cantors Diagonalverfahren 102 Fraenkel, Abraham. Einleitung in die Mengenlehre. Verlag von Julius Springer, Berlin (1928), S. 248 52 XXXVIII (1986). der zur Aufklärung von Antinomien dienen soll. f (f ) ist nicht erlaubt. 322 53 . Springer Verlag. BerlinHeidelberg (1991).“ 103 d. Auf diese Weise bleibt das AktualUnendliche in seiner transfiniten Form von den Antinomien unberührt.die absolut unendliche Folge aller Ordinalzahlen ein geeignetes Symbol für das Absolute. dass Cantor eine deutliche Trennung zwischen Tranfiniten und Absoluten macht.B. In: Bulletin de la Societé Mathématique de Belgique. Georg Cantor und die Antinomien der Mengenlehre. S. So bleiben die konsistenten . als ein „fertiges Ding“ aufzufassen.“ 104 So ist . wie oben bewiesen wurde) habe ich schon vor vielen Jahren „absolut unendliche“ Totalitäten genannt und sie von den transfiniten Mengen scharf unterschieden.transfiniten Mengen in der Definition „ jedes Viele. t. so dass es unmöglich ist. dass jede Untersuchung innerhalb des Aktual-Unendlichen in seiner absoluten Form (wie z. 257 Cantor. ist der der Satzfunktion: „Die logischen Antinomien werden nun einfach beseitigt durch die Bemerkung. Georg. Ein anderer interessanter Begriff. Diese Aussage bedeutet zugleich. während die inkonsistenten Vielheiten oder Totalitäten die Einheitsbedingung nicht erfüllen: „Eine Vielheit kann nämlich so beschaffen sein. welches sich als Eines denken lässt“. da das Absolute nie erkannt werden kann. Purkert behauptet sogar: „Für Cantor wäre es im Gegenteil beunruhigend gewesen.h. Hrsg.) revidiert. logischen Determination entzieht: „Totalitäten die nicht als „Mengen“ von uns gefasst werden können (wovon ein Beispiel die Totalität aller Alefs ist. Walter. Briefe. 389 Purkert. die Menge Ω aller Ordinalzahlen) in Widersprüchen bzw. dass eine Satzfunktion nicht sich selbst als Argument annehmen kann. Das Tranfinite kann mathematisch formuliert und untersucht werden. dem Baustein seiner Mengenlehre? Dieser Begriff wird in sämtlichen Briefen (an Dedekind.2. Was passiert aber mit dem Cantorschen Mengenbegriff. während sich das Absolute doch jeder mathematischen bzw. S. an Hilbert..“ 105 . die Vielheit als eine Einheit. S. Die Unterscheidung Cantors innerhalb des Aktual-Unendlichen: Am Anfang der vorliegenden Arbeit war schon davon die Rede. indem eine Unterscheidung zwischen konsistenten und inkonsistenten Mengen gemacht wird.7 Paradoxien der Mengenlehre für den Beweis der Nicht-Abzählbarkeit der reellen Zahlen enthalten. wenn sich das System aller Ordinalzahlen als konsistent herausgestellt hätte. Solche Vielheiten nenne ich absolut unendlich oder inkonsistente 103 104 105 Ebd. Antinomien enden soll. usw. dass die Annahme eines „Zusammenseins“ aller ihrer Elemente auf einen Widerspruch führt.nach Cantor .: Herbert Meschowski und Winfried Nilson. 2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung Vielheiten.“ 106 Ferner: „Das System Ω aller Zahlen ist eine inkonsistente, eine absolut unendliche Vielheit.“ 107 Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Entdeckung der Antinomien zur Jahrhundertwende keinen negativen oder destruktiven Charakter gegenüber der Mengenlehre besaß, sondern vielmehr eine sehr interessante Debatte eröffnete, die vor allem eine philosophische Rechtfertigung der Mathematik auslöste. Diese philosophische Auffassung der Mathematik hatte Cantor schon in seinen Grundlagen (1883) formuliert, mit einer beeindrückenden Erörterung des Wesen und Gegenstands der Mathematik. 2.8 Wesen und Gegenstand der Mathematik „Ohne ein Quentchen Metaphysik lässt sich, meiner Überzeugung nach, keine exakte Wissenschaft begründen“.108 Diese Worte Cantors stammen aus einem Manuskript datiert im Jahr 1913 und sind charakteristisch für Cantors philosophische Neigung. Die Frage nach der Existenz von mathematischen Gegenständen - besonders von transfiniten Zahlen - und nach dem Wesen der Mathematik wird im §8 seiner Grundlagen durchgeführt. Aber zunächst möchten wir allgemein die eigenständige verschiedenen Linien in der Wissenschaft darstellen, die diese Frage behandelt haben, um Cantors Konzeption hervorzuheben. Es gibt drei Hauptrichtungen in der mathematischen Ontologie: 1. Die materialistische Linie, die die mathematischen Objekte und Relationen als Widerspiegelungen der objektiven Realität ansieht; so werden die mathematischen Gegenstände durch Abstraktionen von Konkreta aus der Außenwelt gewonnen; und umgekehrt offenbaren die mathematischen Wahrheiten die verborgenen Gesetze der Realität. 2. Die Linie des subjektiven Idealismus, die von den Intuitionisten verteidigt wird. Hier sind die mathematischen Objekte als eine rein menschliche Schöpfung zu verstehen, deren Wirklichkeit nur im Geiste realisiert werden kann. 3. Die Linie des objektiven Idealismus, in dem die mathematischen Objekte weder in der Außenwelt noch im Geiste ihre Existenz haben. Sie sind unabhängig von 106 107 108 GA, S. 443 Ebd., S. 445 Zitiert in: Meschkowski, Herbert. Georg Cantor. Leben, Werk und Wirkung. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich (1983), S. 114; und in Purkert, Walter und Ilgauds, Hans Joachim. Georg Cantor. In: Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner, Band 79. BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig (1985), S. 65 54 2.8 Wesen und Gegenstand der Mathematik der physischen und von der ideellen Sphäre, da sie ein eigenes Reich besitzen. Dieser Ansatz wurde vor allem von Frege verfolgt. Cantor gehört zu keiner dieser Linien, da er eine sehr eigene Konzeption der Existenz von mathematischen Objekten verteidigt, die vor allem in dem knappen §8 seiner Grundlagen zu finden ist. Zuerst unterscheidet er in dieser Schrift zwischen zwei Beziehungen, in denen die Existenz von den mathematischen Objekten bzw. von allgemeinen Begriffen gezogen werden kann. Die erste Beziehung nennt er die intrasubjektive oder immanente Realität, die „aufgrund von Definitionen in unserem Verstande einen ganz bestimmten Platz einnehmen, von allen übrigen Bestandteilen unseres Denkens aufs Beste unterschieden werden, zu ihnen in bestimmten Beziehung stehen und somit die Substanz unseres Geistes in bestimmter Weise modifiziert.“ 109 Es ist bemerkenswert, dass diese Definition der immanenten Realität der mathematischen Objekte an die Mengendefinition einiger Aspekte erinnert; z.B. das Moment der Bestimmtheit finden wir drei mal innerhalb dieser Definition: Einen bestimmten Platz im Verstand, eine bestimmte Beziehung zu anderen Begriffen und eine bestimmte Modifikation unserer Substanz wird stattfinden; aber das Moment des Wohlunterschiedensein bzw. der Wohlindividuation tritt auch hier auf. Die Bestimmtheit verleiht der Objekten Existenz, damit drückt Cantor einen starken Begriffsrealismus aus. Was Cantor hier wahrscheinlich meint, ist, dass genau so wie die mathematischen Objekte in ihrem ideellen System zu finden sind, d.h. aufgrund von Definitionen, Beziehungen und Axiomen, sind sie im mathematischen System wohlunterschieden und auf einen bestimmten Platz erörtert, genauso sind sie im menschlichen Geist zu finden, ohne dabei eine Identifikation zwischen der mathematischen ideellen Welt und dem Verstand zu vollziehen. Die Prozesse innerhalb der Mathematik, wie die Modifikation eines begrifflichen Systems durch die Einführung eines neuen Begriffes, geschehen auf analoge Weise im menschlichen Geist. Der Grund dafür liegt in der Bestimmung der zweiten Bedeutung der mathematischen Realität, die transsubjektive oder transiente Realität genannt wird: „Dann kann aber auch den Zahlen insofern Wirklichkeit zugeschrieben werden, als sie für einen Ausdruck oder ein Abbild von Vorgängen und Beziehungen in der dem Intellekt gegenüberstehenden Außenwelt gehalten werden müssen, als ferner die verschiedenen Zahlenklassen (I), (II), (III) usw. Repräsentanten von Mächtigkeiten sind, die in der körperlichen und geistigen Natur tatsächlich vorkommen.“ 110 Die letzte Behauptung, das Transfinite sei in der Natur zu finden, ist nach der modernen Forschung nicht mehr haltbar, aufgrund der Elementarteilchen von Atomen, die endlich sind. Die erste Bedeutung 109 110 GA, S.181 Ebd., S. 181 55 2 Grundzüge der Theorie der transfiniten Zahlen und ihre philosophische Begründung der mathematischen Realität erinnert an die Position des subjektiven Idealismus, die zweite an die materialistische, daher sagt Cantor, seine Konzeption sei zugleich realistisch und idealistisch. Die wichtige Frage ist hier: Wie sind diese zwei Bedeutungen zu vereinbaren? Wie können sie auf so unterschiedlicher Weise eine einzige Realität bestimmen? Die Antwort wird von Cantor in folgenden drei Punkten erörtert: - Der Zusammenhang beider Realitäten liegt in der Einheit des Alls, sie sind die zwei Seiten einer einzigen Münze. Hier artikuliert Cantor ganz deutlich seinen überzeugten Platonismus. Das Problem liegt darin, dass er diese Argumentation nicht weiter führt, da sie ein Problem der Metaphysik und nicht der Mathematik diskutiere. Die Bestimmung der transienten Realität der mathematischen Objekte wird somit auch als Aufgabe der Metaphysik aufgefasst. - Das Verhältnis zwischen beiden Realitäten kann so begriffen werden: Die immanente Realität hat den Vorrang vor der transienten, insofern sie die erste und ursprünglichste ist; d.h. die mathematischen Objekte bekommen erst einen bestimmten Platz im menschlichen Geist aufgrund eines Schöpfungsaktes und modifizieren diesen; danach erhalten sie eine Platz im mathematischen Gebäude, falls sie sich als fruchtbar und widerspruchslos erwiesen haben. Der Zusammenhang beider Realitäten liegt in einem historischen Prozess, der erst durch den Vorrang der immanenten Realität, dann durch die spätere Entwicklung bestimmt wird. - Daher liegt das Wesen der Mathematik in ihrer Freiheit: Erstens, weil die vorrängige Realität sich auf die schöpferische Fähigkeit des Menschen stützt; zweitens, weil die transiente - sekundäre - Realität von dem historischen Prozess abhängt, daher ist sie in dieser Hinsicht kontingent111 ; und drittens, weil eine Abgrenzung der Mathematik sich doch als unfruchtbar erweisen sollte, weil das Verbieten in der Mathematik nur für die Widerspruchlosigkeit dienen sollte, aber solange diese logische Bedingung nicht verletzt wird, kann die Mathematik so viele neue Wege zulassen, wie die schöpferische Tätigkeit des Geistes öffnet. Mit der Bestimmung dieser zweier Realiäten, der immanenten und der transienten, bejahte Cantor die Existenz von allen mathematischen Objekten, die als 111 Die Determination für die Zulassung eines neuen mathematischen Begriffes beruht auf zwei Bedingungen: Der Widerspruchlosigkeit und der Fruchtbarkeit. Dies ist ein historischer und daher ein kontigenter Prozess. So können wir uns fragen, warum die mesopotamische Mathematik das sexagesimale System eingeführt hat; sie hätte genauso ein Zahlsystem mit der Basis fünf (wegen den fünf Finger des Handes), mit der Basis zwölf, mit der Basis zwanzig oder irgendein anderes schöpfen können. Hier zeigt sich, wie frei die Entwicklung der Mathematik tatsächlich ist. 56 dass seine113 Theorie . da sich jene als das fundamentale Werkzeug der Mathematik erwiesen hat. indem sie die Mathematik in die Wissenschaft des Unendlichen verwandelt hat.2. alles andere ist Menschenwerk“. Der dritte Schritt. und auf diese Weise verwandelt sie sich in eine transsubjektive Realität. Für Cantor erhalten die mathematischen Objekte zuerst ihren Ursprung in der Realität des menschlichen Geistes.die kleinen Kinder lernen in der Schule die Abstraktion der Zahlen mittels des Mengenbegriffs -. 57 .so eine grosse und grundlegende Bedeutung in der modernen Mathematik erhalten hat. Die erste Realität verbreitet sich danach als gültige Theorie im mathematischwissenschaftlichen Kreis.die Mengenlehre . d. Diese Analyse des Wesens und des Gegenstands der Mathematik zeigt. aber zugleich eröffnet sie den Zugang zu dem fernen Abgrund des menschlichen Intellekts. das aber zugleich mit der Einführung eines neuen Begriffs modifiziert werden kann. als eine Art von Gedankenspiel. 112 113 Hier protestiert er offensichtlich gegen Kroneckers Behauptung. daher sieht Cantor die mathematische Physik oder die Mechanik als metaphysische Disziplinen an. den irrationalen.112 und zugleich distanziert er sich von den drei Linien innerhalb der mathematischen Ontologie. .8 Wesen und Gegenstand der Mathematik gültig im mathematischen Gebäude stehen. den rationalen. das sich auf die vorhandenen Regeln stützt. der die Existenz des neuen mathematischen Begriffs in der dem Intellekt gegenüberstehenden Wirklichkeit überprüft. „die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Jede mathematische Disziplin kann mengentheoretisch formuliert werden. die wir dargestellt haben. sondern der Metaphysik.h. wie tiefgreifend Cantor die philosophischen Grundlagen der Mathematik reflektiert hatte. Sie dient als Fundament und Grundlage. ist keine Frage der Mathematik. Es wundert nicht. den komplexen und den transfiniten Zahlen wird so viel Wirklichkeit wie den natürlichen zugeschrieben. Damit soll indes der geleistete Beitrag zur Mengenlehre von anderen ausgezeichneten Mathematikern wie Dedekind nicht unterschätzt werden. . in diesem Werk wird der Versuch vollzogen. Als negativ werden die Ansätze der aristotelischscholastischen Tradition angesehen. Diese Reihe von philosophischen Unendlichkeitsinterpretationen bildet eine wichtige Grundlage für die Cantorsche transfinite Theorie. die Antinomien des Aktual-Unendlichen aufzulösen. da bei ihnen die Mathematik eine wichtige Rolle in den göttlichen Relationen spielt. schliesslich bezeichnet Cantor seine eigene Theorie als die Weiterführung der Philosophien des Leibniz und von Spinoza.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition In diesem Teil der vorliegenden Arbeit werden die philosophiegeschichtlichen Anhaltspunkte Cantors analysiert. Diese Annäherung soll dazu dienen. wie das Aktual-Unendliche in seiner philosophischen Auffassung als das eigentliche Fundament der Mengenlehre fungiert. da Cantors Mengenbegriff und dessen Abstraktionsvorgang. die positiven und die negativen Einflüsse in Cantors Meditationen über das Unendliche zu erkennen. aber Kant wird auch als der grösster Gegner Cantors bejaht. da dieser das Aktual-Unendliche als eine Antinomie der reinen Vernunft betrachtet. um eine Annäherung an seine Philosophie des Unendlichen zu versuchen. denn es wurde schon im ersten Teil gezeigt. 59 . Als der unmittelbare Vorläufer Cantors steht Bernard Bolzano mit seinen Paradoxien des Unendlichen (1851). da ihre Ansätze einen Anfang der Auffassung eines in zwei zerspaltenen Aktual-Unendlichen bereiten. Als positiv werden die Ansätze der platonisch-pythagorerischen Tradition bejaht. da diese die These „Infinitum actu non datur“ verteidigt. ferner werden die Überlegungen um das Absolute des Cusanus und Bruno als eine Inspirationsquelle für Cantor gedeutet. aber auch die dialektische Begriffserzeugung gewisse Parallelismen mit dem platonisch-pythagoreischen µικτ o´ν aufweisen. So ist die philosophische Auffassung des Aktual-Unendlichen Cantors unmittelbar mit der philosophischen Tradition verknüpft. S. S. In Philebos entwickelt Platon seine spätere Prinzipienlehre. berührten seine Forschungen doch Kategorien wie die des Unendlichen und des Kontinuums.. die sich wesentlich von der früheren Ideenlehre unterscheidet. [.2 Wir möchten die zweite Perspektive übernehmen und Cantors Platonismus einer ausführlichen Analyse unterwerfen. die seit der Antike Gegenstand des philosophischen Denkens gewesen sind. welches ich Uneigentlich-Unendliches nenne. Dass diese Begriffe Pythagoreischen Ursprungs sind.. 116: „Auch die moderne Mathematik hat allen Grund. Georg Cantor. BSB B. Herbert.]. jeden Inbegriff bestimmter Elemente.]“ Vgl. Viele Forscher betonen Cantors Platonismus. 204 60 . bleibt unbestritten. Diese Bestrebungen hatten durchaus ihre Berechtigung. Cantors philosophische Grundposition war der Platonismus. Georg Cantor. Techniker und Mediziner. die bereits in dieser Arbeit zitiert wurde..1 Cantor der Platoniker Die Behauptung.. um einen seiner Anhaltspunkte der Philosophiegeschichte darzulegen. In diesem Text wird das höchste Gut des menschlichen Leben untersucht und die Hauptfrage lautet: Ist das höchste Gut die Lust oder die Einsicht? Um diese 1 2 3 Vgl. der Grenze entgegen und erklärt es als ein geordnetes „Gemisch“ der beiden letzteren. sowie dem π´ρας d. hierzu: Purkert.h. und zwar in Bezug auf den Mengenbegriff.] Die 1899 erschienenen Grundlagen der Geometrie von Hilbert sind ein Markstein in dieser Entwicklung zu einem mathematischen Formalismus. Für die am Denken Platons orientierten Mathematiker waren ja die Sätze der Geometrie Aussagen über die Welt der Ideen. dem Unbegrenzten. entweder um eine Kritik daran zu üben1 .h.“ GA. Leipzig (1985). hierzu: Meschkowski. wie auch mit dem. Unbestimmten. deutet Platon selbst an.. welche durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann. der auf ontologischen Aussagen verzichtet [. 63: „Cantor hat wie kaum ein anderer Mathematiker seine Wissenschaft auch philosophisch einzubetten und zu begründen gesucht. Hans Joachim.]. [. [. die philosophische Neigung in Cantors Mengenlehre sei mit dem Platonismus verwandt. Leben. Eine der früheren Mengendefinitionen. was verwandt ist dem Platonischen ˜ιδoς oder ιδ´α. welches sich als Eines denken lässt. Er setzt dieses dem α ˇ πιρoν. Band 79. lautet: „Unter einer „Mannigfaltigkeit“ oder „Menge“ verstehe ich nämlich allgemein jedes Viele. skeptisch gegenüber ontologischen Aussagen über die Grundbegriffe zu sein. Werk und Wirkung.. Walter und Ilgauds.G. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag.h.. Mannheim-Wien-Zürich (1983).. Teubner Verlagsgesellschaft.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition 3. d. und ich glaube hiermit etwas zu definieren. oder um Cantors Einsicht der Mathematik zu verdeutlichen. was Platon in seinem Dialoge „Philebos oder das höchste Gut“ µικτ o´ν nennt. da Cantor selbst in einer Anmerkung seiner Grundlagen sie ausspricht. In: Biographien hervorragender Naturwissenschaftler. d. Zu diesem Zweck betrieb er umfangreiche philosophische und philosophiehistorische Studien.“ 3 Hier greift Cantor auf einen späteren platonischen Dialog zurück. S. wird eine erkenntnistheoretische Methodologie herangezogen. was nur immer als seiend bezeichnet würde. Sämtliche Dialoge. so will es mir wenigstens scheinen. das Chaotische oder α ˇ πιρoν. etwa ein „und so weiter bis Unendlich“.. von edlerer Art als wir und näher den Göttern wohnend.1 Cantor der Platoniker ethische Frage zu beantworten. das Unbestimmte. Philebos. die verschiedene Realisierungen (Allophone) erlauben. das Unbegrenzte. 3 und am Ende gibt es drei Fortsetzungspunkte (. im Sinne der grammatischen Regel. die Grenze oder π´ρας. so können verschiedene Menschen denselben Laut anders aussprechen bzw. die auf einer auf dem Gegensatz π´ρας-ˇ απιρoν aufruhenden Ontologie basiert: „Eine Gabe der Götter an die Menschen. das Begrenzende. Dieses Moment der Menge enthält das erste Prinzip. . So sind zum Beispiel in den sprachlichen Lauten bzw. umstrahlt von hellsten Feuerglanz. und viertens. das Unbestimmte. . zweitens. . drittens. ward von irgendeinen Prometheus herabgebracht. das ihrer Natur nach von keiner Bestimmtheit bzw. das Gemischte beider Prinzipien oder µικτ o´ν. das Bestimmende. das Unbegrenzte. Hrsg. Dieses Moment der Menge beschreibt auf diesem Grund ein Potenziell-Unendliches. Band IV: Theätet. . 3.“ 4 Diese Ontologie unterscheidet vier Prinzipien in Seienden: Erstens. es existiert auch der Fall von Phonemen. da die Fortsetzungspunkte ein Werden deuten. Statischheit verfügt. die Ursache der Mischung. die Grenzenlosigkeit oder α ˇ πιρoν. S. Otto. die die Norm ausmachen. haben als Kunde dies überliefert. Apelt. 2. Meiner Verlag (1988). 2. Wie können wir diese Prinzipien auf die Cantorsche Menge übertragen? Betrachten wir zunächst die Menge der natürlichen Zahlen mengentheoretisch ausgedrückt: N = {1. 44 61 . und unsere Altvorderen. ). Parmenides. dass alles. dass jedes PotenzielleUnendliche zu einem Aktual-Unendlichen hinweist. das Begrenzende dagegen schliesst die Unbestimmtheit der verschiedenen Realisierungen eines Phonems innerhalb von Grenzen.3. Wo ist dann das zweite Prinzip 4 Platon. Philebos. Diese drei Punkte bedeuten nichts anderes als eine Fortsetzung von ganzen positiven Zahlen bis Unendlich. in der Grammatik die erste zwei Prinzipien auf folgende Weise enthalten: Das Unbegrenzte eines Lautes besteht in den vielen Möglichkeiten seines Vollzugs. Wir wissen schon. . } In ihrer aufzählenden Schreibweise zeigt dieser Ausdruck eine Folge von ganzen positiven Zahlen 1. aus Einem und Vielem bestehe und Grenze und Grenzenlosigkeit ineinander verwachsen in sich trage. d. die das Moment der Unbestimmtheit bzw. nicht bloß.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition der Bestimmtheit zu suchen? Es war bereits davon die Rede.so erhalten wir ihre Kardinalzahl -. Aber. die das µικτ o´ν im Seienden ausmachen.so erhalten wir ihre Ordinalzahl -. wie Cantor sehr wohl bemerkt. Weisheit und Wissenschaft.verstärken. wenn wir von der Rangordnung ihrer Elemente abstrahieren . hierzu: Burkert. Genau diese Veranschaulichung können wir jetzt heranziehen. Studien zu Pythagoras. S. dass. Hierin bestehen die deutlichsten Analogien zwischen der Cantorschen begrifflichen Herangehensweise und der Platonischen. in einem Schachtel oder in einem Haufen sehr hilfreich sein kann. Es sind zwei Prinzipien. um die Menge in ihrer Abgeschlossenheit bzw. d. was das Wesen der Menge ausmacht. dass die Ontologie des „Philebos“ an Pythagoreer anknüpft. die Metapher des Enthaltens in einem Sack. sondern auch wie viel es ist. das α ˇ πιρoν enthalten.die Theorie der immanenten und die transienten Wirklichkeit . Dieser doppelte Abstraktionsvorgang weist auch eine gewisse Ähnlichkeit mit der platonischen Methodologie der Prinzipienlehre auf.“ 62 . Statischheit vorstellen zu können. Philolaos und Platon.h.die Stufenbildung einer neuen Klassen höherer Mächtigkeit . Nürnberg (1962). bis man deutlich erkennt. Band X. Die Zahlangabe bei den seienden Dinge bedeutet eine Vermittlung zwischen dem Einem und dem Unendlichen. und zweitens.. Walter. erstens wenn wir von der Beschaffenheit der Elemente abstrahieren . 77: „Allein aus Platons Hinweisen ergibt sich. ist das Zusammenwirken beider Prinzipien. Mit 5 Vgl. Ferner existiert ein Parallelismus zwischen der dialektischen Begriffserzeugung der transfiniten Ordinalzahlen ω und den platonischen Prinzipien. Andererseits wird der Cantorsche Mengenbegriff aufgrund eines doppelten Abstraktionsvorgangs gewonnen. Diese Begriffe sind aber Pythagoreischen Ursprungs5 . da sie Cantors Einstellung zur Realität der mathematischen Objekte . dass das anfängliche Eine Eines und Vieles und Unendliches ist. und bei diesen weiteren Einheiten müssten wir es wieder ebenso machen.und Kunstwissenschaft. Interessant ist hier die Einführung der Zahl in der entwickelten Methode der platonischen Prinzipienlehre.verleiht. ein höheres und genaueres Wissen: „[. da bei Cantor die zwei ersten Erzeugungsprinzipien (der der Hinzufügung einer Einheit und der der Bildung einer Limeszahl) eine grenzenlose Folge von transfiniten Zahlen darbieten. Erlanger Beiträge zur Sprach. Auf dieses zweite Prinzip legt Cantor Nachdruck. um die verbreitete Meinung des Unendlichen nur im potenziellen Sinne zu verwerfen. die Menge ist an sich ein µικτ o´ν. wenn wir die Klammer des obigen Ausdrucks { } als das Begrenzende in der Menge charakterisieren. andererseits wirkt das Hemmungsprinzip in der transfiniten Zahlenreihe bei Cantor wie der π´ρας im Seienden bei Platon.h.. Verlag Hans Carl.]. da das Hemmungsprinzip das Moment der Bestimmtheit . genauso wie zwei Abstraktionsvorgänge den Mengenbegriff liefern. die in Aristoteles’ Metaphysik zu finden ist: „Dass aber nicht in Wirklichkeit das Unendliche sein kann. Philebos. Leipzig (1991)..2 Zur These „Infinitum actu non datur“ der Form des Unendlichen aber dürfte man nicht eher an das Viele herantreten. Metaphysik.der Mengenbegriff . S. sondern Bestimmungen innerhalb der unendlichen Folge. Meiner Verlag (1988).bzw.einen deutlichen Parallelismus mit ihren Begriffen aufweist. 44 Aristoteles.h. deutlich bestimmen. die zwischen dem Unendlichen und dem Einen liegt. Parmenides. Daher befassen wir uns mit dem Buch III (Γ) aus der Physik. Zweiter Halbband Bücher VII-XIV. Vermutlich stammt dieses Buch nicht selbst von Aristoteles.3. Philebos. die transfiniten Ordinalzahlen. Band IV: Theätet. So können wir behaupten. das als ein Exkurs der aristotelischen Physik betrachtet werden kann. als bis man die genaue Zahl dieser Vielheit. und zwar aufgrund der Auffassung der Zahlen als µικτ o´ν. Diese Bestimmungen sind einerseits die Alephs. Otto. dass der grösste Einfluss auf Cantors Mengenlehre von der platonisch-pythagoreischen Tradition ausgeht.h. Sämtliche Dialoge.. d. als Eigentlich-Unendliches in der Cantorschen Terminologie verwirft. in dem eine ausführliche Analyse des Unendlichen dargelegt wird. die zwischen dem Einen und dem Absolutunendlichen liegen. in denen die Mächtigkeit und die Ordnungszahl zerspaltet sind. 3. Die Zahl schafft daher die Mischung zwischen Einem und Unendlichen. Die Cantorschen Mengen sind in ihrer endlichen Form nichts anderes als Zahlen und in ihrer unendlichen Form transfinite Zahlen. sondern von einem seiner Studenten. 219. Diese Stelle findet sich in dem Buch XI (K) der Metaphysik. 6 7 Platon. d. die Mächtichkeit der verschiedenen transfiniten Zahlenklassen. da der Baustein seiner Theorie .“ 6 Platon wendet sich einige Zeilen später an die pythagoreische Harmonielehre. [. sicher erkannt hat. so erhalten wir nicht ein bloßes unbestimmtes Unendliche..]“ 7 . S. Aus dieser Tradition stammt die Behauptung „Infinitum actu non datur “. da diese das Unendliche nur in potenziellem Sinne zulässt. Hrsg. sie fungiert als das µικτ o´ν. So können wir das obigen Zitat in der Cantorschen Terminologie auf folgende Weise interpretieren: Man muss die Zahlen. Felix Meiner Verlag. sind die aristotelisch-scholastischen Ansätze zu bekämpfen. die Zahlen. Proportionsverhältnisse den Tonintervallen eines Monochord zuordnen. zwischen Grenzenlosigkeit und Grenzen. Apelt. andererseits. leuchtet ein. (1066 b 11) 63 .2 Zur These „Infinitum actu non datur“ Genauso wie die platonisch-pythagoreische Tradition einen positiven Anhaltspunkt für Cantors philosophische Meditationen darstellt. wo etwas durchzugehen versucht wird.oder Beziehungsbegriff für die Zeit. Cantor lehnt diese Methode ab. Leipzig (1987). dass die Untersuchung des Unendlichen Schwierigkeiten mit sich bringt. Ferner behauptet Aristoteles. 2. In der Naturwissenschaft bzw. was es denn ist. greift Aristoteles auf die verschiedenen Bedeutungen zurück. aufgrund der Tatsache. Daher kommt ein Durchgang nicht in Frage. zweitens.das α ˇ πιρoν . da diese unendlich ist. und wenn es das gibt. 115 (202b 35) 64 . der sich um den Naturbegriff bemüht.oder Raumanalyse als völlig falsch ansieht. sogar ein Seinsgrund. Veränderung und Zeit untersucht. Der Durchgang kann entweder durch unbegrenzte Hinzufügung oder unbegrenzte Teilung erfolgen. Physik.. das Unendliche ergibt sich aus der Zeit. Um diese Aporie zu lösen. ob das Unendliche in der Natur tatsächlich existiert: „wenn jemand. in denen das Unendliche ausgesagt werden kann: 1. in dem er die Untersuchung des Kontinuums als Hilfs. ob sie begrenzt oder unbegrenzt seien. aber unmöglich seiner Natur nach wird. Erster Halbband Bücher I-IV. Grundstoff. 8 9 GA. da genau so wie die Annahme seiner wirklichen Existenz die Annahme seiner nicht-Existenz Unmöglichkeiten und Widersprüche bereitet. aus der unendlichen Teilung einer endlichen Grösse ergibt sich sowohl eine wirkliche Unendlichkeit.“ 9 So fängt Aristoteles mit seiner Untersuchung mit einer Rekapitulation der Theorien über das Unendliche seiner Vorläufer an. S. Die alten Naturphilosophen setzen dieses als Anfangsgrund auf ihrer Suche nach dem ersten Prinzip bzw. dass Werden und Vergehen nie aufhören. auch die Bestimmung „unbegrenzt“ ins Auge fasst. d. Grössen. und viertens.ein für sich existierendes Ding. drittens. aus der Überlegung. (mit der Fragestellung) ob es so etwas gibt oder nicht. 191 Aristoteles. Nach Aristoteles ist aber wichtiger. wo die wichtige Frage notwendig auftaucht. Das Unendliche kann als ein für sich existierendes Ding betrachtet werden. oder ein Durchgang führt einfach zu keinem Ende. 3. Veränderung und Zeit untersucht. S. Felix Meiner Verlag.h. Die Analyse des Unendlichen wird in ihrem Ausgangspunkt nur in Beziehung auf Raum. den Unendlichkeitsbegriff haben die Mathematiker nötig.8 Für Aristoteles ist die leitende Frage daher.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition Zuerst wird die Begründung der Untersuchung des Unendlichen erklärt. Grössen. Physik (ϕ´ υ σως `πιστ η´µη) werden Ort (Raum). Für Platon und die Pythagoreer ist das Unendliche . dass im Denken die Zahlenreihe als Unendlich erscheint. genauso wie die Stimme unsichtbar ist. nicht als ontologisches Prinzip wie bei Platon. Es taucht immer dort auf. dass das Unendliche in folgenden Fällen betrachtet werden kann: Erstens. das in einem endlichen Ding eine unendliche Teilung zulässt.mit der Grenzwertrechnung für die Aporien des Achilleus und der Schildkröte oder mittels einer Bijektion für die Aporie des Stadions . als aus immer teilbaren Teilen bestehendes. angesehen wird. die unteilbar sind. Welche Substanz kann als Träger dieser Unendlichkeit fungieren? Wir suchen ein Potenziell-Unendliches. die das Unendliche nur als etwas Potenzielles zulässt: Es gibt nichts in der Natur.aufgefasst wird.h. daher wird sie abgelehnt (2). die potenziell ins Unendliche geteilt werden kann. Nicht nur der potenzielle Charakter wird dem Unendlichen zugeschrieben. Aristoteles dagegen setzt das Potenziell-Unendliche als das einzig Wahre. dass ein Kontinuum aus unteilbaren Punkten bestehe. ein Akzidenz. Was Aristoteles tatsächlich bejaht. Daher liegt der Fehler des Zenon für Aristoteles in der illegitimen Voraussetzung. indem das Kontinuum der Zeit. als potenziell-unendlich der Teilung nach und zweitens.wie Platon und die Pythagoreer -. Schliesslich kann das Unendliche nach seiner Potenzialität oder nach seiner Aktualität untersucht werden. Grösse. sondern auch der akzidentelle. antwortet Aristoteles.aufgelöst. d. des Ortes und der Bewegung . da eine endliche Grösse. als Grösse und nicht als Substanz ansieht (3). Bemerkenswert ist die auffällige Asymmetrie zwischen Cantors Gedanken und denen des Aristoteles. das Kontinuum. der keine Grenzen findet. Dann wird das Unendliche . Auf die Frage. diese werden von uns in der aktiven Teilung als Grenzen eingeführt. möglich nur der Teilung nach und potenziell. angesehen (1).3. Dies ist nichts anderes als das Zusammenhängende. Heute werden die Zenonschen Paradoxien mit den Mitteln der modernen Analysis . So ist das Unendliche für Aristoteles ein unbegrenzter Durchgang. die Teilung sei die einzige Möglichkeit. als Akzidenz bzw. d.erstens. 4. wobei das Kontinuum doch als aus unteilbaren Bestandteilen bestehend . ist die Existenz des Unendlichen nur der Möglichkeit nach und nicht der Wirklichkeit nach (4). Die Unendliche Hinzufügung setzt dagegen die Erfindung von immer wieder neuen Zahlen voraus.im quantitativen Sinne und als Akzidenz . so spricht Aristoteles gegen Platon und die Pythagoreer an. ob das Unendliche durch Hinzufügung oder Teilung möglich ist. eine völlige Aktualität besitzt. was der Wirklichkeit nach Unendlich ist. oder als eine zusätzliche Bestimmung einer Substanz.Punkte eines Punktkontinuums nach Cantor . Dann bejaht Cantor die Existenz von 65 .als ein Durchgang. Die aristotelische Kontinuumsanalyse dient zur Widerlegung der Zenonschen Paradoxien. Ein Zusammenhängendes enthält keine Punkte. wenn er das Unendliche nur als Akzidenz bzw. daher die berühmte Behauptung „Infinitum actu non datur“.2 Zur These „Infinitum actu non datur“ also als Substanz .h. Der erste behauptet die Richtigkeit des Aktual-Unendlichen und verwirft das Potenziell-Unendliche als eigentlich. Wenn man aber die Gründe betrachtet. welche Aristoteles gegen die reale Existenz des Unendlichen vorführt [. Schliesslich behauptet Aristoteles. ist unendlich“. Erster Halbband Bücher I-IV.. da 10 11 12 13 14 GA. dass das Endliche von Unendlichen..aufgefasst werden. während die unendlich grossen Zahlen als Unmöglichkeiten angesehen werden. das Kontinuum enthalte keine Punkte (unteilbare Bestandteile). so lassen sie sich der Hauptsache nach auf eine Voraussetzung zurückführen. das ihm nur Zählungen an endlichen Mengen bekannt waren. während die unendlich kleinen abgelehnt werden. die Zeit und die Veränderung sind nach Aristoteles wirklich unbegrenzt. nicht aber die Unmöglichkeit des Aktual-Unendlichen an sich bewiesen. S. GA. Felix Meiner Verlag. weil die endliche Zahl durch eine unendliche Zahl angeblich vernichtet wird. Leipzig (1987). von Aristoteles hergenommener Satz vertreten. während Cantor das Kontinuum ursprünglich als ein arithmetisches Punktkontinuum betrachtet. die durch unendliche Teilung erschöpft werden.. Gegen die These der Unmöglichkeit des Aktual-Unendlichen bemerkt Cantor zur aristotelisch-scholastischen Tradition Folgendes: „Bekanntlich findet sich im Mittelalter durchgehends bei allen Scholastikern das „infinitum actu non datur“ als unumstößlicher. 396 Aristoteles.10 Cantor bezieht sich11 auf die aristotelische Unterscheidung zwischen dem α ˇ πιρoν δυν α ´ µι und dem α ˇ πιρoν α ` ϕωρισµ´νoν. welche Gegenstand meines Denkens sein können. [.. dass es nur endliche Zahlen gebe. da sie nur im potenziellen Sinne unbegrenzt sein können..] Ein anderes von Aristoteles gegen die Wirklichkeit des Unendlichen gebrauchtes Argument besteht in der Behauptung. Physik. S. 145-146 (208a 5-23) Dies erinnert an die Dedekindsche Behauptung.]. S.also als ein α ` ϕωρισµ´νoν .[. auf die Voraussetzung nämlich. So kritisiert Cantor.. wenn dieses existierte aufgehoben und zerstört werden würde. 396 Ebd. 174 66 .]“ 14 Diese beiden Argumente werden durch Cantors Wohlordnungstheorie widerlegt. da das Fertigsein dieser Zahlen als das wichtigste Merkmal fungiert. „Meine Gedankenwelt. So greift Cantor auf diese Unterscheidung zurück..3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition unendlich grossen Zahlen. um seine transfiniten Zahlen als α ˇ πιρoν α ` ϕωρισµ´νoν zu definieren. Nur das Denken13 . was er daraus schloß. Aristoteles hätte in seiner Physik nur die Ungereimtheiten der Vorsokratiker über das Unendliche gezeigt. die eine petitio principii involviert. Der Raum und die Grösse können nicht als ein festes umrissenes Ding . S. die Aristoteles am Ende seiner Analyse 12 entgegenstellt . Aristoteles lässt nur die Grössen zu. das heißt die Gesamtheit aller Dinge. 3) gesehen. und zwar einen qualitativen. die einen neuen Sinn für den Begriff der Unendlichkeit bereitet.3. Diese merkwürdigen Eigentümlichkeit wurde bereits in der dialektischen Begriffserzeugung von der Folge von transfiniten Zahlen (2. In dem Sinne muss man ihn auch als unendlich auffassen: nicht weil seine Größe oder Anzahl nach nicht bis zum Ende durchlaufen werden kann. ein Gesetz durch welchen die Menge .“ 15 Diese Unterscheidung wird auch von Thomas von Aquin in Summa Theologica gemacht.also der Grösse nach . daher ist die Unendlichkeit der durch den Stoff nicht eingeschränkten Form. Stuttgart (2001). also ω + a > ω. das Absolute.h. Das Unendliche der Kraft nach kann nicht nach seiner Grösse gefragt werden. indem das Unendliche dem Wesen nach und das Unendliche der Grösse nach immer besonders deutlich getrennt werden. diejenige die Gottes Vollkommenheit charakterisiert. nicht die Masse. Zum Beispiel sei a endlich und ω unendlich. Ist Gott unendlich? Der Grösse nach ist Gott nicht unendlich. ob die Stimme sichtbar sei. der zwischen dem Unendlichen eines unbegrenzten Durchgangs (unendlich der Grösse nach) und dem eines unmöglichen Durchgangs aufgrund seines Wesen differenziert hat. Zur unendlichen Kraft des Einen behauptet Plotin: „Schließlich ist ja sogar bei denen. 70 67 . also das Unendliche dem Wesen nach und nicht der Grösse nach.2 Zur These „Infinitum actu non datur“ zum ersten Einwand. Herausgegeben. da diese Frage genauso sinnlos ist wie die Frage. der Gedanke einer Wohlordnung.aber auch von Plotin . Philipp Reclam Ausgabe. Gott ist als Kraftfülle und reines Sein dem Wesen 15 Plotin. während das dynamische Unendliche als Attribut Gottes mit völliger Aktualität gedacht wird. Ausgewählte Schriften.i. zum zweiten Einwand.2. d. Diese Unterscheidung geht auf Aristoteles zurück. das keine Teilung und keine Determination zulässt. S. So ist das dynamische Unendliche.also als unendliche Kraftfülle -.eine Rangordnung erhält. die nach ihm kommen. da diese Unendlichkeit nur dem Stoffe zugeschrieben werden kann. übersetzt und kommentiert von Christian Tornau. So werden die vier Leitfragen in der siebten Frage Die Unendlichkeit Gottes auf folgende Weise beantwortet: 1. und zwar nach den Regeln der transfiniten Arithmetik. Ein wesenhafter Punkt der aristotelisch-scholastischen Tradition . dass keine Zählungen im Unendlichen möglich sind. sondern wegen seiner unfassbaren Kraft. da a + ω = ω während ω + a = ω + a. Das quantitative Unendliche wird nur als potenzielle Teilung zugelassen. hier stimmt Cantor völlig zu. in dem eine endliche Zahl durch eine unendliche vernichtet wird. die Kraft unteilbar und ohne Teile.besteht in der Unterscheidung zwischen dem quantitativen Unendlichen . dann gilt das Kommutativgesetz für die Summe nicht.und dem dynamischen Unendlichen . d. entgegengesetzt werden kann.gleich ob endlich oder unendlich . d. die das Aktual-Unendliche in quantitativen Sinne verneinen. Man muss deutlich unterscheiden zwischen unendlich dem Wesen nach und unendlich der Grösse nach. dass er nicht tatsächlich unendlich sein kann. genauso wie die Unendlichkeit eines natürlichen Körpers und der eines mathematischen unterschieden werden muss: „von mathematischen Körper.B. es gibt keine aktual-unendliche Menge. wobei diese dem Stoff Grenzen verleiht. dass eine Grenze desselben existiert. d. Salzburg (1933) 68 . Hier ist offensichtlich. diese Ansätze zu widerlegen. 4. Es ist ohne weiteres klar. 2. Bezüglich der Mathematik wird die Unendlichkeit sowohl verneint. der Wirklichkeit nach existiert nichts. 3. dagegen der Grösse nach nicht. Die Theorie 16 Thomas von Aquin. bei dem die reine Ausdehnung betrachtet wird. Pustet. eine unendliche Gerade in der Geometrie. Thomas von Aquin nimmt als Ausgangspunkt das Unendliche der Mathematik. dagegen hat der Wirklichkeit nach immer der Stoff eine Form. Beim naturwirklichen Körper zunächst ist es ohne weiteres klar. Herausgegeben vom Katholischen Akademikerverband. wie z. der aus Materie und Form zusammengesetzt ist. Übersetzt von Dominikanern und Benediktinern. aber nur im Sinne der Unendlichkeit des Stoffes.“ 16 Dies übernimmt er von Aristoteles. und Gestalt eines mathematischen Körpers bedeutet zugleich. warum Cantor sich so viele Mühe gibt. das Unendliche. und von naturwirklichen Körper. Gibt es ein Unendliches der Grösse nach? Diese Frage ist für unsere Untersuchung die allerwichtigste. wobei die Mathematik immer zur Bestimmungen seiner Gegenstände in der Lage ist. das Unendlich dem Wesen nach ist. Summa Theologica 1. da alle mathematischen Körper Gestalt besitzen. ungekürzte deutsch-lateinische Ausgabe der Summa Theologica. Es existiert nur der Möglichkeit nach ein Stoff ohne Form und aus dieser Hinsicht ist der noch nicht geformte Stoff unendlich. das unendlich ist. Also nein. Gibt es außer Gott etwas dem Wesen nach unendlich? Es kann außer Gott ein Ding geben. das sich aller Determination und Bestimmung entzieht. wie Aristoteles es macht.h. dass Thomas von Aquin das Unendliche dem Wesen nach nur als Absolutes auffasst. Vollständige. Ein Unendliches der Zahl nach existiert nur im potenziellen Sinne. Gibt es in den Dingen ein Unendliches der Zahl nach (eine unendliche Menge)? Diese Behauptung wird auf dieselbe Weise verneint.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition nach unendlich. Band. Die deutsche Thomas-Ausgabe.h. S.3 Das Absolute bei Cusanus und Bruno Cantor formuliert in der zweiten Anmerkung seiner Grundlagen den Einfluß.3 Das Absolute bei Cusanus und Bruno der transfiniten Zahlen bejaht die Existenz von einer unendlichen Stufenleiter unendlicher Größen. Brunnhofer. Trotzdem möchten wir eine Interpretation18 der Ähnlichkeiten versuchen. De docta Ignorantia. Zimmermann. Widersprüchen im Absoluten. werden nicht ausdrücklich von ihm angegeben. Der Cardinal Cusanus von Cusa als Vorgänger Leibnizens [. die mathematisch bestimmbar sind. „Die Leistung der Mathematik beim Erfassen der innergöttlichen Relationen“ 19 : Genauso wie in der platonisch-pythagoreischen Tradition oder auch bei Boethius wird die Mathematik als ein geeignetes Symbol der göttlichen Relationen in der Welt aufgefasst: „Da uns zu den göttlichen Dingen nur der Zugang durch Symbole offensteht. den Nachfolger des Cusaners. Man vgl. R. 405 69 . Buch I. Hier werden die wesentlichen Berührungspunkte zwischen Cantor und dem Cusanus dreierlei dargestellt: Die Mathematik als geeignetes Symbol des Göttlichen. Dasselbe bemerke ich in Beziehung auf Giordano Bruno. S... Man vgl. die Unendlichkeit Gottes als einziges positives Attribut der negativen Theologie und die Aufhebung von Entgegensetzung bzw. Lateinisch-Deutsch. Giordano Brunos Weltanschauung und Verhängnis. Hamburg (1970). 41-45 Ebd. wenn wir uns wegen ihrer unverrückbaren Sicherheit mathematischer Symbole bedienen. S. wie auch das Studium des Transfiniten uns notwendig der Absolutunendlichkeit Gottes annähert. 45 Vgl. S. Ein positiver Anhaltspunkt für Cantors Philosophie bereitet die neuen Ansätze der negativen Theologie. stets zunehmendes Feld idealer Forschung darbietet [. die Literatur Hinweise Cantors bezüglich dieser beiden Philosophen beschränken sich auf Sekundärliteratur und nicht auf die Werke selbst. Nicolai de Cusa. Die Berührungspunkte mit der Cantorschen Unendlichkeitsauffassung können in drei Punkten zusammengefasst werden: 1. Verlag von Felix Meiner. Leipzig 188217 “ Welche Berührungspunkte Cantor hier meint.]..“ 20 Dies erinnert an die Cantorsche Behauptung. die uns als gewiss erscheint.“ in GA.3. sondern auch ein reiches. 3. so ist es recht passend. hierzu: GA. On absolute Infinity in Cantor. den diese beiden Denker auf seine Philosophie des Unendlichen ausüben: „Ebenso finde ich für meine Auffassungen Berührungspunkte in der Philosophie des Nicolaus Cusanus. S. die absolut unendliche Zahlenfolge sei ein geeignetes Symbol des Absoluten21 . 205 Die gemeinte Interpretation bezieht sich auf den unveröffentlichten Vortrag Tengelyis.].22 Cusanus versteht die mathematischen Symbole in ihrer unendlichen Form als Bezeichnungen Got17 18 19 20 21 22 GA.. 205 „wogegen das Transfinite nicht nur das Gebiet des Möglichen in Gottes Erkenntnis erfüllt.. De docta Ignorantia. Breve historia del infinito. so wird Gott nicht nur in einem dynamischen Sinne als unendlich erfasst . Wenn wir diese Vergrösserung des Radius ins Unendliche übertragen. S. 109-114 Abb. Biblioteca de ensayo 35. „Die negative Theologie“ 24 : Aus diesem Gesichtspunkt wird die Unendlichkeit Gottes diesem als das einzig positive Attribut zugeschrieben. sondern vielmehr bejaht und als das ausgezeichnetste Attribut Gottes betrachtet. 0. Buch I. Es ist offensichtlich. d. Dies erinnert wiederum an Cantor und seine Unterscheidung zwischen Transfiniten und Absoluten. Madrid (2004). erhalten wir Kreise. Bei Bruno spielt die Mathematik ebenfalls eine wichtige Rolle. Hamburg (1970). daher wird in der belehrten Unwissenheit bewiesen.h. das Grösser und das Kleiner decken sich.3 : Unendlicher Kreis. In: Nicolai de Cusa.25 23 24 25 Vgl. 48-49 70 . Diese paradoxe Behauptung stützt sich unter anderen auf folgendes Gedankenexperiment: Sei ein Kreis K mit Durchmesser d und Umfang U . Verlag von Felix Meiner. Lateinisch-Deutsch.h. S. Das Zusammenfallen von Gegensätzen: Für Nicolai de Cusa fallen in der Unendlichkeit die Gegensätze zusammen. dass der Durchmesser d kleiner als der Umfang U ist. Ediciones Siruela. Paolo. 93 Nicolai de Cusa. dass die unendliche Linie gleichzeitig Gerade. das unendliche Dreieck als Symbol der heiligen Dreifaltigkeit übertragen oder der unendliche Kreis als Symbol der unendlichen Einheit Gottes. sondern auch als quantitatives Unendliches angesehen. so wird z.23 2.B. und so fallen Durchmesser d und Umfang U zusammen. Kreis und Kugel ist. sogar als maximum absolutum. hierzu: Zellini. Das quantitative Unendliche wird nicht wie bei Aristoteles oder Thomas von Aquin als unmöglich verworfen. wie in der Abbildung die Kurve CD weniger gekrümmt als die Kurve GH zu sehen ist. deren Umfang gerade ist (AB). LateinischDeutsch. Buch I.d. deren Umfänge weniger gekrümmt erscheinen. Dreieck. das keine Hinzufügung zulässt. erhalten wir einen Kreis. Wenn man aber den Radius des Kreises stets vergrössert. das sich jeder Determination entzieht. Hamburg (1970). deren erste fundamentale Unterschied so formuliert werden kann: Das Transfinite ist das noch zu Vermehrung fähige Aktual-Unendliche. das Absolute das nicht vermehrbare Unendliche. indem sie als Berührungspunkt zwischen der sinnlichen und der intelligiblen Welt steht. aber auch als die Wissenschaft zwischen der Physik und der Metaphysik erörtert werden könnte. Verlag von Felix Meiner. als unendliche Kraft -. De docta Ignorantia.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition tes. S. 3. S. Buch III. darum bemüht sich der Gedankenentwurf des ersten Buches.3. da Cusanus’ Bestimmung des Absolutunedlichen als der Ort. S. warum die menschliche Fassungskraft .. Vor allem ist der positive Einfluss des Cusanus insofern wichtig.auf die dichotomische Logik fundiert . dass die Beschreibung des Absolutunendlichen bei Cantor möglicherweise von der Philosophie des Cusanus beeinflusst war. Verlag von Felix Meiner. da das Auftauchen der Antinomien in der Mengenlehre Cantor nicht erschütterte.4 Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie In §5 seiner Grundlagen schildert Cantor auf explizite Weise seine Auseinandersetzung mit der philosophischen Tradition bezüglich der Frage nach dem AktualUnendlichen. den paradoxen Charakter von solchen ungeheuren Mengen. 100 71 . da es den Ort repräsentiert. Intelligiblen dienen. 3. in der die Gegensätze zusammenfallen. De docta Ignorantia. besonders mit den „Begründern der neueren Philosophie und Naturwis26 27 „In diesen tiefen Geheimnissen muss aber alles Bemühen unseres menschlichen Geistes verweilen. damit er sich zu jener Einfachheit erhebt. da aus manchen Behauptungen Cantors. Hamburg (1977). wo die Gegensätze zusammenfallen. Auf jeden Fall steht Cantor in dieser Tradition. in der die mathematischen Gegenstände der Annäherung zum Göttlichen bzw.“ Nicolai de Cusa. und diese Bestimmung des Absolutunendlichen kann als Grund fungieren. wie die Menge aller Mengen.keine Determination erreicht.B. 101 Ebd. die absolut unendliche Zahlenfolge als geeignetes Symbol Gottes bzw. wie z.4 Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie Daher können wir das Absolutunendlich als eine Quelle von Widersprüchen auffassen. auf diese Weise schon aussprach. die Unmöglichkeit der Bestimmung des Absolutunendlichen aufgrund seines widerspruchsvollen Charakters. ihre unmittelbare Verwandtschaft mit der belehrten Unwissenheit folgt. Lateinisch-Deutsch.26 Wichtig bei diesen Analogien ist zu bemerken. in dem die Gegensätze zusammenfallen („ubi contradictoria coincidunt“ 27 ). Treatise on the principles of human knowledge. Hong Kong (1975). Bemerkenswert scheint die Verknüpfung von Philosophie und Naturwissenschaften hier. Desacartes. S. ferner Principia I. und zwar auf dem der Metaphysik.31 Ferner wird die Behauptung ausgesprochen. die Einführung von neuen Zahlen.. cap. Damit scheint als notwendig die Namengebung für z. daher fungieren sie als klare und distinkte Dinge.B. Leibniz. Brief XXIX. die wohlunterschieden von anderen Zahlen aufgrund einer Namensgebung sind. besonders auf die Kapitel On Number und On Infinity.]“ 29 Zunächst möchten wir diese von Cantor angegebenen Textstellen kurz skizzieren. um schliesslich seine Interpretation besser nachvollziehen zu können.30 Die Zahlen sind als Summe von Einheiten zu betrachten.. Berkeley. 205: „every Thought of our Minds bring this Idea [the Unity] along with it. 138. 128-131. Locke: Cantor bezieht sich auf das Werk An Essay concerning human understanding von John Locke. 11. Universellste und Einfachste unter allen anderen Ideen benannt. die verschiedenen Wissenschaften ruhen auf einem einheitlichen erkenntnistheoretischen Grund. indem beide auf einem gemeinsamen Ursprung zurückgeführt werden.“ Die Übereinstimmung mit Cantor in diesem Punkt ist offensichtlich. da jeder mögliche Gedanke an sich die Idee der Einheit mitbringt. In diesen Textstellen werden die Begriffe „Zahl“ und „Unendlich“ nach ihrem erkenntnistheoretischen Gehalt untersucht. Briefe und Erläuterungen zu seinen Meditationen. 72 . John. Oxford University Press. II. die 28 29 30 31 GA.h.h. pars I und II. 175 Ebd. seine neue Zahlen klar und deutlich zu benennen. um schliesslich eine Auslegung der Stellen verschiedener philosophischer Werke mitzuteilen. XVI und XVII. zurückgeführt auf die frühe neuzeitliche Philosophie. der sich immer bemüht hat. Die wichtigsten Quellen für die Frage nach dem Aktual-Unendlichen in der neuzeitlichen Philosophie sind danach: „Locke. 744 [. 436. pag. Erdmansche Ausg. An essay concerning human understanding. Somit formuliert Cantor hier seine rationalistische Einsicht.. was für Vorstellungen haben wir von ihnen? Am Anfang wird die Idee der Einheit als die Allgemeinste. Essay o. S. lib. 175 Locke. d. De corpore Cap. Spinoza. klar und distinkt im Geiste erfasst werden können. u. VII. 244. S. 26. Hobbes. so dass sie als wohlunterschieden.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition senschaften“ 28 . cogitata metaph. geleitet von der Frage: Wie denken wir die Zahlen und die Unendlichkeit bzw. . so apparent to the Mind.. 32 33 34 Ebd. Diese Unterscheidung weist eine gewisse Analogie mit der Cantorschen Opposition Absolutes und Transfinites auf.. um das Wort „unendlich“ nur für Gott aufzubewahren. somit werden andere Arten von Unbegrenztheit wie z.. die Beschreibung des Endlosen als indefinitum in Bezug auf Mengen wird von Cantor bestritten. bei anderen Dingen aber nicht so positiv ihre Grenzenlosigkeit erkennen. wird hierbei eingeführt. Hamburg (1965) S. dass wir hier etwa vorhandene Grenzen nicht finden können. Nur von Gott kann das Attribut „unendlich“ ausgesagt werden. Felix Meiner Verlag. etwas darüber zu bestimmen [.das Absolute . Zuerst ist das Unendliche im Sinne des Absoluten unmöglich zu bestimmen. S. Descartes: Am Ende des ersten Teil des Werkes Die Prinzipien der Philosophie führt Decartes seine Auffassung der Unendlichkeit aus. und eine andere Art von Unendlichkeit .“ 33 Trotzdem unterscheidet Descartes zwischen „unendlich“ und „endlos“. zweitens. S.]. so vertritt Locke.4 Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie Unendlichkeit der Zahlen sei die klarste unter allen Uneendlichkeitsvorstellungen: „And this endles addition or addibility [. 9 Ebd.. 10 73 . da so eine grosse Zahl keine Hinzufügung mehr erlaube.das Endlose .B. wenn wir versuchten. I think. aufgrund unserer Endlichkeit: „Wir werden deshalb uns nicht mit Streitigkeiten über das Unendliche ermüden.wird aufgehoben. Descartes begründet diese Unterscheidung auf eine ganz andere Weise als Cantor: „Wir nennen diese Dinge endlos anstatt unendlich. weil wir in ihm allein in jeder Hinsicht nicht bloß keine Grenzen finden. dass trotzdem die Idee der Unendlichkeit einer Zahl die klarste und distinkste ist.3. 209 Descartes. Die Prinzipien der Philosophie.] of Numbers. erstens. die wir von der Unendlichkeit fähig sind.“ 32 Das Unendliche kann dem Raum (als unbegrenzte Raum). Unfassbar. denn bei unserer eigenen Endlichkeit wäre es verkehrt.nicht bestimmbar ist. und drittens. Was der Idee einer unendlichen Zahl angeht. die Unendlichkeit sei das einzige positive Attribut Gottes. dass eine aktual-unendliche Zahl absurd sei. was jenseits von unserer positiven Idee der Unendlichkeit liege. which give us the clearest and most distinct Idea of Infinity..“ 34 Die Annahme der negativen Theologie. da die Unendlichkeit Gottes . im Dunkeln bleibe. sondern nur zugestehen. der Zeit (als die Ewigkeit) oder der Zahlen (als aktual-unendliche Zahl) zugeschrieben werden und auf eine unfassbare Weise auch Gott. da die Unendlichkeit Gottes außerhalb unserer Fassungskraft liegt. die Anzahl der Sterne als „endlos“ bezeichnet. is that. sondern auch positiv erkennen. dass er keine hat. so dass sie die Unbestimmtheit einer negativen Idee besitzt. . Elemente der Philosophie I. Vom Körper. Die Zahl versteht Hobbes als Einheiten.“ 35 Hobbes steht demnach in der aristotelischen Tradition. Anknüpfend an Aristoteles bejaht Hobbes die Möglichkeit des Unendlichkleinen und verwirft die des Unendlichgrossen.. „wenn von keiner bestimmten Zahl gesprochen wird. Felix Meiner Verlag.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition da seine neue tranfinite Zahlen genauso viel Bestimmtheit wie die endlichen bekommen. S. die Paradoxien des Zenon bezüglich des 35 36 Hobbes. Anders verhält es sich mit dem Kontinuum und mit der „unendliche Teilung“.] Die Zahl ist unendlich. da die Dinge in der Welt nichts anderes als die Betrachtung unserer eigenen Phantasmen seien. Berkeley: Die von Cantor angegebene Textstelle Berkeleys in A Treatise concerning Human Understanding übt eine Kritik an der Newtonschen bzw. Hobbes stimmt mit Aristoteles überein. [. wie z. 79-80 Ebd. So hält Hobbes die üblichen Definitionen von Raum und Zeit für falsch. dass noch eine kleinere möglich wäre.h.. mit der Vorstellung einer allgemeinen Weltvernichtung. Leibnizschen Infinitesimalrechnung. So wird eine Zahl unendlich heissen.. und anknüpfend an Descartes beschreibt er die unendliche Mengen als unbestimmte. indefinite Dinge.B.. indem er diese Begriffe aus der Physik auf folgende Weise neu definiert: „Raum ist das Phantasma eines existierenden Dinges außer uns. wie aus seiner Terminologieverwendung leicht zu sehen ist. S. Hamburg (1962). [. Zeit ist ein Phantasma gezählter Bewegung. als: dieser Name „Zahl“ ist ein indefiniter Name. indem keine Quantität so klein sein kann. wobei jede Zahl durch die in ihr enthaltenen Einheiten begrenzt ist. d. obwohl dieser Gedanke viele Widersprüchen mit sich gebracht hat.]. was Descartes als „endlos“ (indefinitum) bezeichnete. dass diese Art von Unendlichkeit als Quantum die einzig mögliche ist. sofern es schlechthin existiert. dass damit nur so viel gemeint ist. Die unendliche Teilung eines endlichen Grossen hat sich als nötig in der Geometrie bewiesen. wobei wir kein anderes Akzidenz betrachten. Hobbes: Im Werk Vom Körper (Elemente der Philosophie I) von Thomas Hobbes wird im zweiten Teil Erste Philosophie eine Erörterung des Ortes und der Zeit angegeben.“ 36 Hier meint Hobbes. 83 74 . muss man verstehen. Seine eigentümliche Methode beginnt mit der Analyse der Philosophie der Natur mit der Privation. deshalb wird seine Auffassung der Zahl und der Unendlichkeit nicht so viele Analogien mit der Cantorschen aufweisen. sondern vielmehr im Gegensatz dazu stehen. somit wird die Bestimmtheit der Cantorschen transfiniten Zahlen verneint. wie man es gemeinhin sagt. A treatise concerning the principles of human knowledge. sondern: aktual geteilt wäre. andererseits spricht Leibniz in einem Brief an Foucher für das EigentlichUnendliche. und wobei jede Monade als ein Universum betrachtet werden kann: „Jenes In-Verknüpfung-stehen nun. F.. mais actuellement divisée. bzw.4 Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie Kontinuum und der Bewegung. George. die jedoch nur die Perspektiven eines einzigen Universums 37 38 39 Berkeley. ist. Indianapolis (1957). Hildesheim (1960). je ne dis pas divisible. 416: „Ich bin so sehr für das Aktual-Unendliche. das in der Natur in Form von Monaden tatsächlich existiert: „Je suis tellement pour l’infini actuel. um die Vollkommenheit ihres Urhebers deutlich hervortreten zu lassen. Die philosophischen Schriften. and that there is in effect no such things as parts infinitely small. das nicht. la moindre particelle doit estre considerée comme un monde plein d’une infinité de creatures differentes. dass jener über das Eigentlich-Unendliche im Widerspruch mit sich selbst stehe. dass die Natur. Erster Band.“ (Übersetzung von Herrn Prof. S. was in der wissenschaftlichen Praxis fruchtbar wird.“ 37 Leibniz: Cantor bezeichnet sich selbst als der Fortführer der Philosophie des Leibniz. und das. dass es gleichsam ebenso viele Universa gibt. die alle anderen zum Ausdruck bringen. und dass sie folglich auf unaufhörlicher lebendiger Spiegel des Universums ist. qu’au lieu d’admettre que la nature l’abhorre.“ 39 Ein ähnlicher Ansatz ist in der „Monadologie“ zu finden. 179 Leibniz. jene Abgestimmtheit aller erschaffenen Dinge auf jedes einzelne und jedes einzelnen auf alle anderen hat zur Folge. S. folglich muss das geringste Stückchen [von ihr] wie eine Welt voll von einer Unendlichkeit verschiedener Geschöpfe angesehen werden. Herausgegeben von C. ich sage nicht: teilbar. et par consequent. wo die Anzahl der Monaden als unendlich bezeichnet wird. dass es kein Teilchen der Materie gibt. comme l’on dit vuelgairement. also das Eigentlich-Unendliche nur als Absolutes existiert.) 75 . so kommt es entsprechend durch die unendliche Menge der einfachen Substanzen. Deswegen behauptet Berkeley im Bezug auf Leibniz und Newton: „they are both in the wrong. [. Gerhardt. Auf diese Weise glaube ich. dass ich. je tiens qu’elle l’affecte partout. L. Bobbs-Merrill Educational Publishing. In: The Library of Liberal Arts. vor ihm zurückstreckt. Dr.3. Gottfried Wilhelm. Ainsi je crois qu’il n’y a aucune partie de la materie qui ne soit. dass ein Eigentlich-Unendliches keine Modifikation erlaubt. Tengelyi.38 da einerseits von Leibniz behauptet wird. vielmehr behaupte. zuzugeben. Georg Olms Verlagsbuchhandlung. S. Was von den angegebenen Textstellen Leibniz’ bemerkt wird.. pour mieux marquer les perfections de son auteur.]. was wirklich wahr ist. 90 GA. dass es ihr überall zukommt. dass jede einfache Substanz Beziehungen enthält. weit entfernt. Man muss unterscheiden zwischen dem. die unendlich kleine Grössen als Fiktionen des Geistes. wenn er in einem Brief an Bosses die unendlich große bzw.1884 schrieb Cantor: „Ich glaube mit den Punctatomisten.das Absolute . Die Hauptwerke.. die andere Art will ich Aetheratome nennen. S.und Makrokosmos der Monaden spricht: „[. Zusammengefasst und übertragen von Gerhard Krüger. und sie stehen in einer Hierarchie je nach Komplexität ihrer Natur.42 Im Widerspruch mit sich selbst steht Leibniz ganz eindeutig. (1967) „Monadologie“. Georg. da sie keine physikalischen einfachen Substanzen sind. d. [. Warum dieser Ansatz Leibniz’ so wichtig für Cantor erscheint. Alfred Kröner Verlag. die die zweite Mächtigkeit ℵ1 erhält. daher kann man behaupten.h. dass Leibniz auch für aktual unendliche Mengen im Sinne des Mikro. die ich auch Atome nennen will. Gottfried Wilhelm. indem er seine Kontinuumshypothese auf die Menge der Körperatome überträgt. und die Menge der Ätheratome. Hrsg. sondern geistiger Natur.“ In: Cantor.: Herbert Meschowski und Winfried Nilson. sondern auch in Monaden zu finden. ein Aktual-Unendliches ist nicht nur in Gott.“ 40 Genauso wie die Elemente bzw..3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition unter den verschiedenen Gesichtspunkten jeder Monade sind.hinweist. da es keine zwei identischen Monaden im Universum gibt. und einmal die Aktual-Unendlichkeit der Monadenwelt. und das ist der erste Punct. Außerdem verfolgt Cantor die metaphysische Vision Leibniz des Universums. S. d. Bemerkenswert ist.. in welchem ich mich über die Punctatomistik hinaus erhebe. Briefe. Diese aktual-unendliche Monadenwelt kann nicht quantitativ begriffen werden. 144 In einem Brief an Mittag-Leffler des 16. dass eine unendliche Menge von Monaden tatsächlich existiert. Mengen bei Cantor sind die Monaden bei Leibniz wohlunterschiedene Dinge. aber doch nicht begründbar ist. die nur als Hilfsbegriffe für 40 41 42 Leibniz. So stehen die mit Bewusstsein ausgestatteten Monaden höher in der Entwicklung als die mit nur Perceptio ausgestatteten. die erste Art will ich Körperatome. Springer Verlag. die Gesamtheit der Aetheratome von der zweiten Mächtigkeit ist und hierin besteht meine erste Hypothese. kraftbegabten Elementen.] demnach jede erschaffene Monade das ganze Universum repräsentiert. Die Monaden bilden einen Versuch die Individualität aufzufassen. ausdehnungslosen.h. Die Monaden sind geistiger Natur. um seine Vollkommenheit zu beweisen.. dass für die Erklärung der anorganischen und bis zu einer gewissen Grenze auch der organischen Naturerscheinungen zweierlei Arten von einfachen.. dass die Gesamtheit der Körperatome von der ersten Mächtigkeit. Stuttgart. die durch phantasievolle Ideen ausgelegt wird. Ich glaube aber auch ferner.11. liegt in der Spaltung des Aktual-Unendlichen in zwei verschiedene Aspekte. deren Unendlichkeit nach Gott . Berlin-Heidelberg (1991). 224 76 . die die erste Mächtigkeit ℵ0 bekommt. einmal die Aktual-Unendlichkeit Gottes.]“ 41 So vertritt Leibniz eine metaphysische Vision. daher ist ihre Aktual-Unendlichkeit als eine Metaphysische zu verstehen. gebraucht werden und ausreichend sind. keine physikalischen Atome. 143 Ebd. S. die sich jeder Determination entzieht. muss Spinoza vier fundamentale Begriffe erklären: die Substanz.“ (Übersetzung von Herrn Prof.4 Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie die Infinitesimalrechnung fungieren. wie etwa die imaginären Wurzeln in der Algebra. damit der Fehler kleiner ist als ein Gegebener. welche großen Nutzen diese Ausdrücke zum Denken und zur Entdeckung haben. der nur die Unendlichkeit (obwohl im potenziellen Sinne) nur in der unendlichen Teilung zulässt. Mittlerweile habe ich schon bewiesen.“ 43 Die Auffassung Leibniz’ des Unendlich-Kleinen wird auch von Cantor vertreten.3. Hildesheim (1960). Tengelyi. Beide betrachte ich. da es genügt. ut error sit minor dato. dass es keinen Fehler geben kann. dass sie zu keinem Irrtum führen. In: Sämtliche Werke in sieben Bänden. Es wird sogar behauptet. was seiner Natur zufolge unendlich ist. Briefwechsel.welches Unendliche teilbar und welches nicht teilbar ist . 48 77 . L. Spinoza: In einem Brief an L.aufgelöst hätte. bezeichnet: „Ego philosophice loquendo non magis statuo magnitudines infinite parvas quam infinite magnas. cum pro infinite parvo substituere sufficiat tam parvum quam quis volet. et in errorem ducere non posse. Felix Meiner Verlag. F. wenn man die Schwierigkeiten des Unendlichen . aufgrund des positiven Einflusses Leibniz’. quales etiam sunt radices aimaginariae in Algebra. und zweitens. Utrasque enim per modum loquendi compendiosum pro mentis fictionibus habeo. die Infinitesimalen seien Fiktionen. den Modus. dass. 305: „Philosophisch gesprochen nehme ich unendlich kleine Größen um nichts mehr an als unendlich große. seu non magis infinitesimas quam infinituplas. S. magnum has expresiones usum habere ad compendium cogitandi adeoque ad compendium cogitandi adeoque ad inventionem. was keine Grenze hat. Herausgegeben von C. Vielleicht verwirft Cantor die Wirklichkeit des Unendlich-Kleinen aus zwei Gründen: Erstens.“ 44 Um diese Schwierigkeiten aufzulösen. die Ewigkeit und die 43 44 Leibniz. ad calculum aptis.) Spinoza. aufgrund des negativen Einflusses des Aristoteles. dass keine Unterschiede zwischen dem. und dem. Gottfried Wilhelm. Die philosophischen Schriften. Gerhardt. „dann hätte man ferner eingesehen welches Unendliche ohne Widerspruch größer als ein anderes gedacht werden kann und welches nicht. Interim demonstravi. der Fehler liege darin. Georg Olms Verlagsbuchhandlung. Dr. S. Zweiter Band. da „an die Stelle des UnendlichKleinen ein beliebig Kleines treten zu lassen. unde consequitur errorem dari non posse. sowie auch. warum in der Auffassung des Unendlichen Irrtümer gemacht werden. Meyer erklärt Spinoza. damit der Fehler kleiner ist als ein Gegebener“. Hamburg (1977). um es bündig auszudrücken. aber nicht seinem Wesen nach sondern seiner Ursache nach unendlich ist. als Fiktionen des Geistes. und zwar mit derselben Argumentation. gemacht werde. die zum Zwecke der Rechnung geeignet sind. an die Stelle des Unendlich-Kleinen ein beliebig Kleines treten zu lassen. woraus folgt. Die geometrischen Begriffe beziehen sich auf ideale Entitäten. warum die Substanz unteilbar sei. Man kann die Quantität abstrakt oder oberflächlich im Vorstellungsvermögen mit Hilfe der Sinne denken. da die Anzahl der möglichen Klassen mit keiner bestimmten Zahl verglichen werden kann. Um diese Entgegensetzung zu verdeutlichen. greift Spinoza auf eine Unterscheidung des Denkens zu. In Spinozas metaphysischem System bestehen solche Beziehungen zwischen der absolut unendlichen Substanz (Gott) und dem endlichen Seienden. können nicht unendlich sein. die Zeit als das der Dauer. Die Substanz wird dadurch definiert. genauso wie in der Geometrie die Sätze aus den Axiomen hergelei- 78 . auf die zweite Weise erscheint sie dagegen als unendlich. sondern nur „unbestimmte“. die ausgedehnte Substanz als teilbar zu denken. d. sogar als Hilfsmittel bezeichnet. was unendlich seiner Ursache nach ist. Wichtig ist zu unterscheiden zwischen dem. Auf die erste Weise erscheint sie als teilbar und begrenzt. oder man kann die Quantität als Substanz denken.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition Dauer. Maß und Zeit als Modi des Denkens. Dass es keine unendlichen Zahlen geben kann. insofern sie durch den Verstand gefasst wird.als getrennt denken. was unendlich seinem Wesen nach ist. einheitliches und unendliches Ding sei. so entstehen Klassen zur Erleichterung der Vorstellung. Aber Zahl. da sie keine Substanzen sind. Dieses Werk Spinozas erweist einen geometrischen Geist. damit wird die geometrische Form aus Definitionen. Zunächst begründet Spinoza. und dem. Die Mathematik fungiert als Muster einer Wissenschaft. genauso wie die logischen Beziehungen jener geometrischen Sätze idealen Zusammenhängen entsprechen. Diese Klassen sind nichts anderes als Zahlen. Das Maß wird daher als der aufgehobene Modus der Quantität begriffen. Aber wichtiger als die geometrische Form der Ethica ist ihr geometrische Geist. Die Anzahl der möglichen Kreisen in dem Raum zwischen beiden Kreisen ist unendlich. Sätzen und Beweisen zusammengesetzt als die richtigere für die Darstellung metaphysischer Ansätze. Der eine enthält den anderen.die Modi . einziges bzw. obwohl wir geneigt sind. die aus reiner Vernunft fundiert ist. So werden die Ewigkeit als die Existenz der Substanz und die Dauer als die Existenz des Modus aufgefasst. wird mittels eines Beispiels beleuchtet: Betrachten wir zunächst zwei Kreise. Wenn wir aber die Affektionen der Substanz . oder besser gesagt unbestimmt. aus der Bestimmungen der Substanz werden die Wesenheiten des endlichen Seienden hergeleitet.h. Axiomen. unteilbar und einzig. dass sie ein existierendes. Um diese Tatsache zu erklären. muss man auf die Unterscheidung zwischen den unendlichen und den endlichen Modi aus der Ethica Spinozas zurückgreifen. während der Modus als Affektion der Subtanz bezeichnet wird. diese Substanz bezeichnet die Absolutunendlichkeit Gottes (oder der Natur). hierzu: Spinoza. Herausgegeben von Konrad Blumenstock. S. nicht anderes ist. ewig und einheitlich gehalten. zwischen den endlichen Modi und der absolut unendlichen Substanz stehen die so genannten unendlichen Modi. Tractatus de intellectus emendiatione. die mittelbaren aus einem modifizierten Attribut. dass die Annahme von überendlichen Zahlen manche Schwierigkeiten im System Spinozas auflösen könnte48 . Ethica. aber auch die Zusammenhänge zwischen den endlichen und den unendlichen Modi bereiten Schwierigkeiten. LateinischDeutsch. So werden in Prop. da hier die Unterscheidung endlich-unendlich nicht dichotomisch behandelt wird. 24-25 Vgl. S. sondern trichotomisch aufgrund der zwei verschiedenen unendlichen Modi. sondern vermittelt durch die unendlichen Modi. genauso wie bei Cantor. da. sie fungiert als die absolute Ursache. S. andererseits im Bereich der Ausdehnung die Bewegung und die Ruhe. 177 79 .B. Benedictus de Spinoza.. 45 46 47 48 Vgl. genauso wie die Theoreme der Geometrie von ihren Axiomen. die Idee Gottes.47 Als Beispiele stehen für die unmittelbaren Modi einerseits im Bereich des Denkens der absolute Intellekt bzw. Philipp Reclam jun.46 Die Substanz und ihre Attribute werden für unendlich. Stuttgart (2002). Diese konkreten Modi können als physische oder psychische Seiende begriffen werden. je nach dem welches Wesen das Denken (cogitatio) und die Ausdehnung (extensio) ausmacht. 23 der Ethica die unmittelbaren unendlichen Modi von den mittelbaren aufgehoben: Die unmittelbaren unendlichen Modi folgen aus der absoluten Natur eines göttlichen Attributs. aus der Alles in der Welt folgt. 130-139 Vgl. Cantor behauptet. d. wie z. hierzu: Ebd. Dagegen sind die konkreten Modi der Substanz endlich und der Zeit unterworfen. zweiter Band. was im Spinozas System fehlt. Daher ist die Geometrie das Vorbild der Metaphysik Spinozas.4 Das Unendliche in der neuzeitlichen Philosophie tet werden. Eine Einführung. In: Opera. die Frage nach der Vielheit der endlichen Intellekte gegenüber dem einheitlichen absoluten Intellekt. S. Wolfgang. Die Zusammenhänge zwischen den mittelbaren und den unmittelbaren unendlichen Modi werden nicht aufgeklärt.3. Die endlichen Modi hängen von der unendlichen Substanz ab. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt (1967). aber diese endlichen Modi hängen nicht unmittelbar von der Substanz ab. 125 GA. für die mittelbaren unendliche Modi steht als Beispiel die Form der gesamten Natur. Die Bestimmung des Aktual-Unendlichen durch die Zerspaltung in Absolutes und Transfinites dient zur Auflösung der Schwierigkeiten zwischen den endlichen und den unendlichen Modi Spinozas. hierzu: Röd.45 Interessant ist die Unterscheidung zwischen den endlichen und den unendlichen Modi bei Spinoza.h. dass zum Begriff der Zahl die Endlichkeit notwendigerweise gehört. da er hier eine petitio principii . Zu 2.als Vorläufer der Cantorschen Unendlichkeitsinterpretation steht. es entzieht sich jeder Determination. als die Unendlichkeit Gottes.5 Kant. Es dürfte kaum jemals. die besagt. in dem Kapitel über die „Antinomien der reinen Vernunft“ an vier Fragen behandelt. Was Cantor als Gemeinsamkeit jener Reflexionen über das Unendliche aus der Frühen Neuzeit bemerkt.ansieht. liegt hauptsächlich in der Unendlichkeitsanalyse des Kapitel „die Antinomien der reinen Vernunft“ Kant begründet. da dieser Ansatz . wie Cantor selbst ausgeführt hat: „Ohne ernste kritische Vorerörterung wird der Unendlichkeitsbegriff von Kant in dessen „Kritik der reinen Vernunft“. die Cantor mit seinen transfiniten Zahlen schafft. Aus diesem Grund behauptet Cantor. als mit diesem Abschnitt der „kritischen Transzendentalphilosophie“. Leibniz und Spinoza vollziehen. mit welcher Kant so viele Berührungspunkte hat. selbst bei Mitberücksichtigung der Pyrrhonischen und Akademischen Skepsis. daher wird Cantor oft als Antikantianer bezeichnet. mehr zur Diskreditierung der menschlichen Vernunft und ihre Fähigkeiten geschehen sein. 2.wie beim aristotelischen Satz infinitum actu non datur .. um den Nachweis zu liefern. stimmt Cantor überein. Noch wichtiger erscheint die Zerspaltung des Aktual-Unendlichen in zwei. da wir schon das Absolutunendliche mit zwei Merkmalen gekennzeichnet haben. die solche Denker wie Descartes. Cantor verwirft die Annahme 1.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition als die mathematische Determination der unendlichen Modi. dass er die Philosphie des Spinoza weiterführe. keine Determination gestattet. dass das Absolutunendliche. zweitens. kann in zweierlei zusammengefasst werden: 1. das Absolute sei das unvermehrbare Unendliche.das Aktual-Unendliche spaltet sich in Absolutes und etwas anderes ab . dass sie mit gleicher Strenge bejaht und verneint werden können. zum Wesen der Zahl gehöre die Endlichkeit. der grösste Gegner An keinem anderen Philosophen übt Cantor so eine strenge und harte Kritik wie an Kant. dass es diesem Autor nur durch einen vagen. Ich werde gelegentlich zeigen. 3. Warum der transzendentale Idealismus Kants für Cantor eine „Diskreditierung der menschlichen Vernunft“ bedeutet. distinktionslosen Gebrauch 80 . erstens. dadurch. aufgrund der Tatsache. 500-01 81 . Immanuel. andererseits die Atomistik bzw. dass man die 49 50 51 GA. Antithesis: Kein zusammengesetztes Ding in der Welt besteht aus einfachen Teilen.“ 49 Die vier behandelten Fragen dieses Kapitels werden in die mathematischen und die dynamischen Antinomien eingeteilt. S.“ 51 Sowohl die Thesen wie die Antithesen können bewiesen werden. „Thesis: Die Welt hat einen Anfang in der Zeit. sowohl in Ansehung der Zeit.3. S. und ist dem Raum nach auch im Grenzen eingeschlossen. dass das Unbedingte. In: Theoretische Philosophie. Dies ist aber nach der kritischen Haltung Kants ein Fehlschluss. Diese Antinomien bestehen aber nur solange. und keine Grenzen im Raume. Suhrkamp Taschenbuch Wissenschaft. unendlich.h. S. der daher entspringt. Kritik der reinen Vernunft. Antithesis: Die Welt hat keinen Anfang. Widersprüche. als ein Ding an sich betrachtet wird. was aus diesem zusammengesetzt ist. seinen Antinomien Geltung zu verschaffen. dass gezeigt wird. das Kontinuum: 1. und es existiert überall nichts Einfaches in derselben. 375 Kant. des Erfahrbaren . oder das. Texte und Kommentar.“ 50 2. als des Raums. Band 1. Diese kritische Haltung Kants wird von Cantor als Skeptizismus bezeichnet.nicht vollkommen gegeben und nicht erreichbar ist: „So wird demnach die Antinomie der reinen Vernunft bei ihren kosmologischen Ideen gehoben. Tübingen (2004). Herausgegeben von Georg Mohr. wenn man die Welt als ein Ganzes. 492-93 Ebd. Die zwei ersten und mathematischen Antinomien behandeln einerseits die Unendlichkeit der Welt. da die empirische Wirklichkeit weder endlich noch unendlich ist. Mit Antinomien meint Kant einen Widerstreit von Gegensätzen. Absolute. d. als man dogmatisch spekuliert. die gleich ihn einer gründlichen mathematischen Behandlung solcher Fragen gern ausweichen. der grösste Gegner des Unendlichkeitsbegriffs (wenn unter solchen Verhältnissen überhaupt noch von Begriffen die Rede sein kann) gelungen ist. „Thesis: Eine jede zusammengesetzte Substanz in der Welt besteht aus einfachen Teilen.d. und es existiert überalle nichts als das Einfache. und dies auch nur bei denen. Unendliche innerhalb der Erscheinungswelt . in die sich die Vernunft selbst verwickelt.h. sie sei bloß dialektisch und ein Widerstreit eines Scheins.5 Kant.. der als richtig beweisbar erscheint. sondern ist. dagegen kann die Kritik die Antinomien aufheben. während das Transfinite als vermehrbares Unendliches mathematisch widerspruchsfrei determiniert werden kann. als endlich wie als unendlich anzunehmen . daher wird das Zwischenreich des Transfiniten nicht erkannt. dass die dialektische Begriffserzeugung Cantors für die Stufenbildung von transfiniten Zahlen einen dialektischen Grundsatz in einem doktrinalen verwandelt hat. Der Hauptunterschied zwischen Cantor und Kant liegt darin.“ Ebd. Dass Cantor der Kantischen Lehre der Antinomien nicht gerecht wird. Also sehen beide Denker den Ort des Fehlschlusses in der menschlichen Fassungskraft.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition Idee der absoluten Totalität. S. auf Erscheinungen angewandt hat.. die nur in der Vorstellung sind.. László. die weder durch mathematische Theorien wie die Cantorsche Mengenlehre noch durch seine wohl nicht sehr tiefgreifende Polemik aus der Welt geschafft werden kann. wird von Zermelo in einer Anmerkung ausgesprochen. um den Ursprung des Widerspruchs zu erklären.. arithme52 53 54 55 Ebd. wenn man den Begriff eines unbedingten Ganzen auf eine in sich unvollständige Reihe von Bedingungen . dass der Widerspruch erst entsteht. 192 82 .. Marc. sonst aber gar nicht existieren. das Kontinuum sei ein nüchtern. Une antinomie quasi-kantienne dans la fondation cantorienne de la théorie des ensembles. Duncker & Humboldt. GA. um die Tatsache. In: Études phénoménologiques 3 (1986)“ und „Tengelyi. sondern um seine Anwendung auf das Weltganze. Wie bereits gesehen. 559 Eine interessante Untersuchung der Berührungspunkte und Verhältnisse zwischen Kant und Cantor bilden die Aufsätze „Richir. wenn sie eine Reihe ausmachen.angewendet wird53 . Also ist es auch falsch.] Wenn die Welt ein an sich existierendes Ganzes ist: so ist sie entweder endlich.Regressus .“ 52 Bemerkenswert ist die Analogie zwischen den Antinomien der inkonsistenten Vielheiten bei Cantor und dem transzendentalen Schein Kants. dass die Welt (der Inbegriff aller Erscheinungen) ein an sich existierendes Ganzes sei. Hier wird behauptet. S. Kant und Cantor in der Sicht von Marc Richirs Phänomenologie. S. der aus der Idee einer absoluten Totalität entsteht. dass Cantor das Aktual-Unendliche ins Transfinite und Absolute zerspaltet. wenn er seine Analyse des Kontinuums vollzieht. dass die menschliche Vernunft sich durch ihre Natur ebenso gedrängt findet. [. Nun ist das erstere sowohl das zweite falsch [. Berlin (2004)“. Transfinite Zahl und transzendentaler Schein. 377: „Der Kantischen Lehre von den „Antinomien der reinen Vernunft“ scheint hier Cantor nicht gerecht zu werden. und. Nicht um eine Widerlegung oder Ablehnung des Unendlichkeitsbegriffes handelte es sich hier bei Kant. Cantor greift auf die Absolutunendlichkeit Gottes und deren Indetermination zurück. welcher nur als eine Bedingung der Dinge an sich selbst gilt.54 Auf einen anderen Berührungspunkt beider Denken weist Cantor in seinen Grundlagen §1055 hin.eine Tatsache. In: Festschrift für Manfred Baum. Kant dagegen stellt heraus.. im sukzessiven Regressus. wobei das Absolute als inkonsistente Vielheit zu Widersprüchen führt. vertritt Cantor die Auffassung. die Welt als begrenzt wie als unbegrenzt. oder unendlich.].. dagegen macht Kant diese Unterscheidung innerhalb des Aktual-Unendlichen nicht. erst mit Hilfe des Punktkontinuums könnten Raum und Zeit richtig beschrieben werden. Paradoxien des Unendlichen. die die Endlichkeit der Zahlenreihe zu beweisen versuchen. Felix Meiner Verlag.“ 57 Schon vor Cantor und vor Dedekind hatte Bolzano diese Eigentümlichkeit des Unendlichen hervorgehoben. 28 Zur Kommentar Dedekinds über Bolzano siehe Seiten 26-27 der vorliegenden Arbeit. um das Kontinuum zu beschreiben. Philosoph. bei einer unendlichen Menge könne eine Bijektion mit einer seiner echten Teilmengen gebildet werden: „Ich behaupte nämlich: zwei Mengen. Leipzig (1955). Bernard. 3. dass es einerseits möglich ist. gebe.h. dass kein einziges Ding in beiden Mengen ohne Verbindung zu einem Paare bleibt. So beweist er z. S. 21 Ebd.. die grösser als andere unendliche Mengen seien. Bolzano versucht die Ungereimtheiten.„wertvollen“ Buch Paradoxien des Unendlichen (1851) werden bereits die wichtigsten Themen der Mengenlehre auf eine nicht-systematische Weise behandelt. so dass die Vielheiten..3. und ein solches Maximum existiere ja nicht. wenn das Unendliche nicht als das „Nicht-mehr-Vermehrbare“ begriffen wird.6 Die Paradoxien des Bolzano Der Mathematiker. Leider ist es Bolzano nicht 56 57 58 Bolzano. [. ein Maximum der Zahlenreihe voraussetzen. In seinem .58 Ferner wird von Bolzano behauptet.. und dabei ist es doch andererseits möglich. dass die Menge der (natürlichen) Zahlen unendlich sei. aufgrund von mathematischen und logischen Überlegungen. zu beseitigen. können in einem solchen Verhältnis zueinander stehen. die beide unendlich sind. da alle Behauptungen. dass es unendliche Mengen. d.56 Dann wird der berühmte Satz ausgesprochen.]. jedes der einen Menge gehörige Ding mit einem der anderen zu einem Paare zu verbinden mit dem Erfolge. der als viel ursprünglicher als die Zeit und der Raum angesehen werden muss.. die sich aus den Gedanken über das Unendliche ergeben.6 Die Paradoxien des Bolzano tisch und exakter Begriff eines Punktkontinuums. Cantor behauptet sogar das Gegenteil.B. 83 .von Cantor selbst bezeichneten .. S. welche sie vorstellen. Daher könne man mit den Kantischen reinen Anschauungsformen der Zeit und des Raums nichts anfangen. Theologe und Logiker Bernard Bolzano wird als der unmittelbarste Vorgänger in der Auffassung des Eigentlich-Unendlichen von Cantor und Dedekind angesehen. dass die eine dieser Mengen die andere als einen bloßen Teil in sich fasst. wenn wir die Dinge derselben alle als gleich. als Einheiten betrachten. d. die isolierten Kontinuis bilden. wo keiner von diesen zu einem anderen isoliert . obwohl er auch eine Kritik an gewissen Bolzanoschen Schwierigkeiten geübt hat. 194: „Die Bolzanosche Definition des Kontinuums (Paradoxien §38) ist gewiß nicht richtig..also vom benachbarten Punkt entfernt .]. So reicht für Cantor die Eigenschaft der Lückenlosigkeit für das Kontinuum nicht aus. auf eine rein mathematische Weise .“ 84 . 73 GA. da ohne die Begriffe Mächtigkeit und Ordnungszahl eine solche Bestimmung unmöglich werde. desgleichen ist sie erfüllt bei Mengen..analysiert werden muss. Cantor kennzeichnet diese Rechnungen von Bolzano als irrig. Ohne diese Begriffe zu definieren. einen gereimten Beweis dieses Satzes zu liefern. welche aus mehreren getrennten Kontinuis bestehen. 179 Bolzano. Paradoxien des Unendlichen. S.62 59 60 61 62 GA. sie drückt einseitig bloß eine Eigenschaft des Kontinuums aus. wenn der Wirklichkeit nach beide Reihen gleichmächtig sind. dass zwei verschiedene unendliche Reihen von natürlichen Zahlen „höhere Ordnungen“ verschiedene unendliche Werte erhalten. die aber auch erfüllt ist bei Mengen. dass die Definition des Kontinuums notwendigerweise den Begriff der Punktableitung enthalten muss. Leipzig (1955).. Cantor bezeichnete Bolzano daher als den entschiedensten Verteidiger des Eigentlich-Unendlichen 59 .h. So behauptet Bolzano. Der andere Kommentar Cantors über Bolzano bezieht sich auf das Kontinuum. S. die eine grösser als die andere. was uns berechtigen könnte. Die erste Kritik besteht in dem Mangel bei Bolzano hinsichtlich der Begriffen von Kardinalität und Ordinalität bei unendlichen Mengen.steht. Bernard. auch als stetige Punktkontinua bejaht werden. Was Bolzano sehr gut bemerkt. welche aus Gn dadurch hervorgehen.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition gelungen. dass jedes Kontinuum zuletzt doch aus nichts anderem als aus Punkten und wieder nur Punkten hervorgehen könne.. Felix Meiner Verlag. hat also jeder derselben für jede auch noch so kleine Entfernung wenigstens einen Nachbar: so erübrigt nichts mehr. S. dass man sich von Gn irgendeine „isolierte“ Punktmenge [. diesem Inbegriffe die Benennung eines Kontinuums abzusprechen. ist. dass das Kontinuum nicht im Raum oder in der Zeit gesucht werden muss. S. „Gibt es dagegen nicht einen einzigen in diesem Sinne isoliert stehenden Punkt in einem vorliegenden Inbegriff von Punkten.60 So definiert Bolzano das Kontinuum als eine Menge von angehäuften Punkten.“ 61 Die Cantorsche Kritik besteht darin.] entfernt denkt. kann man nicht die wesentlichen Determinationen des Unendlichen bestimmt werden.. da bei Bolzano auch Punktmengen. 75:„ [.“ Ebd. wie Cantor es tatsächlich schaffte. sondern als Punktmannigfaltigkeit . an deren sowohl mathematisch wie philosophischen Charakter nicht gezweifelt werden kann. Was unterscheidet dann Cantor von den anderen Mathematikern. Die rationalistische Tradition der Neuzeit sucht einen metaphysischen Boden für das Gebäude ihrer Wissenschaften. die tatsächlich mit unendlichen Mengen arbeiteten. Die Mengenlehre stützt sich auf die Bestimmung des Aktual-Unendlichen in der Unterscheidung von „Absolutem und Transfinitem“. die Cantor der Mathematik und der Wissenschaft zuschrieb. Jahrhunderts wie Gauss verworfen. Ihm blieb noch diese philosophischen Ansätze in das System der Mathematik einzuführen. da . es wurde sogar von solchen ausgezeichneten Mathematikern des 19. Schon viele Vorläufer Cantors hatten mit dem Aktual-Unendlichen in der Analysis gearbeitet. Die Unfassbarkeit des Absoluten ist Cantor aus der Tradition bereits bekannt. aber die Unendlichkeit an sich nicht bestimmen konnten? Der Unterschied liegt in den metaphysischen Ansprüchen.B. Die platonisch-pythagoreeische Tradition verbindet die Zahlen mit den ontologischen Prinzipien. deshalb bezeichnen wir Cantor als Anhänger der platonisch-pythagoreeischen Tradition. andererseits des Kritizismus Kants. Die Unterscheidung innerhalb des Aktual-Unendlichen zwischen Absolutem und nicht-absoluten Unendlichem erbt Cantor von der Philosophiegeschichte. In seiner Mengenlehre sind überall diese positiven und negativen Einflüsse zu finden. das aber mit mathematischen Werkzeugen determiniert werden kann. bei der Grenzwertrechnung die Aktual-Unendlichkeit der natürlichen Zahlen vorausgesetzt wurde.3. und als Gegner einerseits der aristotelischscholastischen These „infinitum actu non datur“. sind seine philosophische Reflexionen der Grund für diese Behauptung. er versuchte sogar mittels seiner philosophischen Einstellung die Mengenlehre vor Kritik zu verteidigen. Diese Theorie versucht das Problem des Unendlichen aus einer philosophiegeschichtlichen Perspektive eine mathematische Determination zu verleihen und dies mit einem wesentlichen Erfolg. Das Problem des Unendlichen ist in erster Linie ein metaphysischen Problem. dass ohne ein Quentchen Metaphysik keine reine Wissenschaft begründet werden kann. Das ist. wie z. für die Fundierung ihrer Erkenntnistheorie.7 Schlussbemerkung 3.wie bereits gesehen . aber das Problem des Unendlichen an sich blieb bis Cantor offen. als Fortsetzer von Leibniz und Spinoza.diese Unterscheidung als Fundament der Mengenlehre fungiert. was Cantor tatsächlich in seiner Theorie des Transfiniten bejaht. Aus dieser Konstellation entsteht die Cantorsche Theorie der transfiniten Zahlen. Die Paradoxie des Zenon Achilleus und die Schildkröte könnte mit diesem Mittel der Analysis aufgelöst werden.7 Schlussbemerkung Wenn Cantor behauptete. Seine philosophische Bildung mündete in die Aneignung von Ansätzen gewisser Traditionen. indem das nicht-absolute Un- 85 . als gemeinsamen Bereich der Mathematik und der Metaphysik angesehen hat. löste er zugleich die alten Paradoxien auf.3 Die Auseinandersetzung Cantors mit der philosophischen Tradition endliche als mathematischer Gegenstand untersucht wurde: das Transfinite. da er das Problem des Unendlichen . daher sind seine philosophischen Anhaltspunkte von wesentlicher Relevanz. Indem Cantor die Grenzen der möglichen Determination des Unendlichen durch die Einführung des Transfiniten setzte. die Mengenlehre. die mit dem Unendlichen verbunden waren. 86 . Diese Auflösung brachte der Mathematik eine neue und einheitliche Grundlage. Man wird dieser Theorie nicht gerecht. wenn man Cantors philosophische Neigung ignoriert. wenn man die Entstehung der Mengenlehre verstehen möchte.als zentrales Thema der Mengenlehre . Stanford University. 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