D. GENERAL

INTRODUCCIÓNFísica, ciencia que se ocupa de los componentes fundamentales del Universo, de las fuerzas que éstos ejercen entre sí y de los efectos de dichas fuerzas. En ocasiones la física moderna incorpora elementos de los tres aspectos mencionados, como ocurre con las leyes de simetría y conservación de la energía, el momento, la carga o la paridad. La física está estrechamente relacionada con las demás ciencias naturales, y en cierto modo las engloba a todas. La química, por ejemplo, se ocupa de la interacción de los átomos para formar moléculas; gran parte de la geología moderna es en esencia un estudio de la física de la Tierra y se conoce como geofísica; la astronomía trata de la física de las estrellas y del espacio exterior. Incluso los sistemas vivos están constituidos por partículas fundamentales que siguen el mismo tipo de leyes que las partículas más sencillas estudiadas tradicionalmente por los físicos. El hincapié que la física moderna hace en la interacción entre partículas (el llamado planteamiento microscópico) necesita muchas veces como complemento un enfoque macroscópico que se ocupe de elementos o sistemas de partículas más extensos. Este planteamiento macroscópico es indispensable en la aplicación de la física a numerosas tecnologías modernas. Por ejemplo, la termodinámica, una rama de la física desarrollada durante el siglo XIX, se ocupa de determinar y cuantificar las propiedades de un sistema en su conjunto, y resulta útil en otros campos de la física; también constituye la base de las ingenierías química y mecánica. Propiedades como la temperatura, la presión o el volumen de un gas carecen de sentido para un átomo o molécula individual: estos conceptos termodinámicos sólo pueden aplicarse directamente a un sistema muy grande de estas partículas. No obstante, hay un nexo entre los enfoques microscópico y macroscópico: otra rama de la física, conocida como mecánica estadística, explica la forma de relacionar desde un punto de vista estadístico la presión y la temperatura con el movimiento de los átomos y las moléculas (véase Estadística). Hasta principios del siglo XIX, era frecuente que los físicos fueran al mismo tiempo matemáticos, filósofos, químicos, biólogos o ingenieros. En la actualidad el ámbito de la física ha crecido tanto que, con muy pocas excepciones, los físicos modernos tienen que limitar su atención a una o dos ramas de su ciencia. Una vez que se descubren y comprenden los aspectos fundamentales de un nuevo campo, éste pasa a ser de interés para los ingenieros y otros científicos. Por ejemplo, los descubrimientos del siglo XIX en electricidad y magnetismo forman hoy parte del terreno de los ingenieros electrónicos y de comunicaciones; las propiedades de la materia descubiertas a comienzos del siglo XX han encontrado aplicación en la electrónica; los descubrimientos de la física nuclear, muchos de ellos posteriores a 1950, son la base de los trabajos de los ingenieros nucleares. COMIENZOS DE LA FÍSICA Principales campos de la Física La física cubre una amplia gama de campos. Esta tabla proporciona una breve descripción de los temas tratados en los diferentes ámbitos.© Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Ampliar Aunque las ideas sobre el mundo físico se remontan a la antigüedad, la física no surgió como un campo de estudio bien definido hasta principios del siglo XIX. Antigüedad Arquímedes Al matemático e inventor griego Arquímedes se le atribuyen importantes contribuciones a la física. Se le conoce por aplicar la ciencia a la vida diaria y desarrollar inventos prácticos de múltiples usos, como la palanca o el tornillo. Según una leyenda muy conocida, Arquímedes descubrió una importante aplicación del empuje del agua mientras tomaba un baño, y gritó "¡Eureka!" ("lo encontré") al darse cuenta de que podía emplearlo para medir la densidad de un objeto de forma irregular.Culver Pictures Los chinos, los babilonios, los egipcios y los mayas observaron los movimientos de los planetas y lograron predecir los eclipses, pero no consiguieron encontrar un sistema subyacente que explicara el movimiento planetario. Las especulaciones de los filósofos griegos introdujeron dos ideas fundamentales sobre los componentes del Universo, opuestas entre sí: el atomismo, propuesto por Leucipo en el siglo IV a.C., y la teoría de los elementos, formulada en el siglo anterior. Véase Filosofía occidental. En Alejandría, el centro científico de la civilización occidental durante el periodo helenístico, hubo notables avances. Allí, el matemático e inventor griego Arquímedes diseñó con palancas y tornillos varios aparatos mecánicos prácticos y midió la densidad de objetos sólidos sumergiéndolos en un líquido. Otros científicos griegos importantes de aquella época fueron el astrónomo Aristarco de Samos, que halló la relación entre las distancias de la Tierra al Sol y de la Tierra a la Luna, el matemático, astrónomo y geógrafo Eratóstenes, que midió la circunferencia de la Tierra y elaboró un catálogo de estrellas, y el astrónomo Hiparco de Nicea, que descubrió la precesión de los equinoccios (véase Eclíptica). En el siglo II d.C. el astrónomo, matemático y geógrafo Tolomeo propuso el sistema que lleva su nombre para explicar el movimiento planetario. En el sistema de Tolomeo, la Tierra está en el centro y el Sol, la Luna y las estrellas giran en torno a ella en órbitas circulares Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. y se considerará a V = Vo – gt y-y0 = ½(v + v0)t y-y0 = v0t —½gt2 v2 =vo2 — 2g(y-yo ) (para a Constante a = -g) y positiva la que va dirigida hacia arriba. Se tomará la dirección vertical como el eje y. donde la resistencia del aire se desprecia. no necesariamente se refiere a un objeto que se dejó caer desde el reposo. . Una vez que se encuentran en caída libre. la resistencia del aire no se puede despreciar.CUERPOS EN CAÍDA LIBRE Se sabe bien que todos los objetos. caen hacia la Tierra con una aceración casi constante. los experimentarán el mismo movimiento y chocarán contra el piso al mismo tiempo. la magnitud de g es aproximadamente de 9. Existe una leyenda acerca de que Galileo Galilei descubrió por primera vez este hecho al observar que dos pesos diferentes. Un Objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueve libremente bajo la influencia de la gravedad. Además es importante reconocer que cualquier objeto en caída libre experimento una aceleración dirigida hacia abajo. todos los objetos tendrán una aceleración hacia abajo igual a la aceleración debida a la gravedad Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que la aceleración gravitacional no varía con la altitud. 980 cm/s2 Cuando se emplea la expresión objeto en caída libre. Un objeto lanzado hacia arriba o hacia abajo experimentara la misma aceleración que uno liberado desde el reposo. el movimiento de este tipo se conoce como caída libre. La aceleración debida a la gravedad se denotará por medio del símbolo g. En la superficie de la Tierra.80 m/s2. chocaba otra el piso casi al mismo tiempo. Todos aquellos objetos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo y los que se dejan caer a partir del reposo. sin importar su movimiento inicial. al dejar-caer simultáneamente desde lo alto de la Torre inclinada de Pisa. (En un experimento real.) En el caso ideal. Si los efectos de rozamiento del aire son despreciables. se pueden aplicar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante. Por lo tanto. El vector g está dirigido hacia abajo. caen libremente una vez que se dejan en libertad. entonces el movimiento de un cuerpo en caída libre es equivalente al movimiento unidimensional bajo una aceleración constante. hacia el centro de la Tierra. al soltarse. Deje caer simultáneamente desde la misma altura una moneda y un trozo de papel hecho una bola pequeña. Esto es cierto sin importar el movimiento inicial del objeto. 8m/s2)9. Determinar a) b) c) DATOS: Vo = 0 ∆ r = 500m Cuánto tardará en recorrer los 100m finales.1s = -98.1 s. Con qué velocidad Comenzó estos 100m Con qué velocidad salió de estos 100m 0m 100m Vo = 0 b) 0 υ 1 = υ o + gt1 a) 200 υ υ 1= 1 (-9. 8 m s υ 1 = υ o + gt2 1 2 2= 2 υ υ (-9.03s ∆ t = 1.98m/s t2=10.07s El creador de la dinámica: construyó el primer termómetro: inventó un telescopio y lo usó para la observación astronómica por primera vez en el .8m / s 2 t2 = ∆ t = t2 .49m/s 0 ∆r2 = υot + 1 gt 2 2 2 t 22 = 2 2∆r 2 g 300m 400m υ = (-88.8m/s2)10.EJERCICIO 1.98j)m/s → ∆ r =υ 1 = + ½ gt2 2∆r = g − 800 m ⇒ t1 = 9.t1 ∆ t = 10.9.03s = -88.03 s − 9.49j)m/s 1 → c) υ υ 0 − 1000m t2 = 2 − 9. Desde una altura de 500m se deja caer libremente un cuerpo.1s 2 υ = (-98. 4) m/s υ 2= (+9.7j) m/s+ gt1 υ 1 (5.5 s t2 = 3 s υ 2 = υ o + g12 υ 2 = (20j) m/s (1. según la cual la Tierra no es el centro del Universo. c) υ 2= υ o 2 + 2g ∆ tmax . La altura que tendrá en los tiempos anteriores La máxima altura alcanzada El tiempo del vuelo La velocidad con que regresa al suelo. a) υ o + gu υ 1 = (20j) m/s2 (1. Determinar. fue sometido a proceso por la inquisición y tuvo que abjurar en sus opiniones. dio las bases del método científico Por defender la teoría de Copérnico.5 s y 3s.5 s) + ½ (9.mundo: descubrió los satélites de Júpiter y las manchas del Sol. d) e) f) g) h) DATOS: υ o la velocidad que lleva a los 1.3j) m/s El signo positivo indica que el cuerpo está subiendo = (20j) m/s υ = 1.5) s υ 1 = (20j) m/s + (14.4j) m/s El signo negativo indica que el cuerpo está bajando. 2.(29.8j) m/s2 (3s2) υ 2 = (20j) m/s .Un cuerpo es lanzado con una velocidad de (20j) m/s. 5 s) + ½ (-9.5 s) + ½ (-9.(44.9 j) m PROBLEMAS (Tómese para g el valor 9.− υo − 400m 2 / s 2 ∆t max = = = 20.4j)m ∆ n = υ o t1 + ½ gn2 ∆ n = (20j= m/s (1.8j) m/s (9s2) ∆n = (60j) m .5 segundos ? 3.(11. tarda 10 segundos en dar en el banco.02 j)m ∆ n = (18. ¿A que altura volaba el avión R490 m 2.8 nt/si) 1.4m/s 4. ¿Cuántos segundos después de iniciada su caída la velocidad de un cuerpo es de 100km/h? . Desde lo alto de una. Una bomba lanzada desde un aviar.4m 2g − 19 − 6m / s 2 2 ∆ tmax = (20. ¿Qué velocidad alcanza un cuerpo a cabo de 3 segundos de calda en el vacío? R 25. torre de 150 metros de altura se deja caer una piedra de 10 20 qg qg → → . ¿Cuanto tardará en llegar al suelo? ¿Cuánto tardaría si pasará R: 5.1 j)m ∆ n = (15.98 j) m ∆ n = υ ot2 + ½ gu2 ∆ n = (20j= m/s (1.8j) m/s (9s2) ∆n = (30j) m . Misma vertical y separados por una distancia de 100 m son arrojados uno contra el otro con velocidades .-8m/s 9.01 s n 7. ¿Con qué velocidad inicial se debe lanzar uhacia arriba una piedra.3 segundos más tarde se deja caer otra desde B. ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo. Un observador situado a 40m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba y 5 segundos después lo ve pasar hacia abajo. Dos cuerpos A y B. ¿Con qué velocidad llega al suelo un cuerpo arrojado desde una altura de 5m? ¿cuánto tarda en caer? R: 9. y hasta qué altura llegó? R: 490 m 14.9m? R: 9. Desde A se deja caer un bola y 4.3m/s 6. para que alcance una altura de 4. situados sobre una.4m del origen de B 12.85s 5. Los puntos A y B están sobre la misma vertical.R: 2. ¿Qué altura y qué velocidad alcanza al cabo de 9 segundos? R: 485m 9. pero A 512 m más arriba. ¿A qué altura está B y cuánto duró la caída de A? R: 2 segundos: a 20.9 m 1. ¿Con qué velocidad inicial deberá usted lanzar una moneda para que roce el techo de su habitación? 8. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 98m/s. y ambas llegan al suelo simultáneamente. ¿Qué altura máxima alcanza el cuerpo del problema anterior? R: 490m 10.3 segundos 11. respectivamente. El de arriba se deja caer en el mismo instante en que el de abajo es lanzado hacia arriba con una velocidad de 80 m/s.4m del origen de B 13. Se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 200 m/s. b) La velocidad de la piedra al momento de tocar el agua. en l B 79 m/s. Desde un puente que cruza un río. Calcular a) La velocidad que tendrá luego de 20 y 40 segundos de haber sido lanzado . Calcular: a) La altura del puente. Dos cuerpos están situados en una misma vertical. ¿Desde qué altura deberá dejarse caer el de arriba para que ambos se encuentren justamente dónde el de abajo alcanza su altura máxima? R: 653m 15. ¿Cuánto y dónde se chocan? R: 2 segundos a: 20. Demra 4 segundos en llegar al río. e) La velocidad y posición de la piedra luego de 2 segundos de haber sido lanzada 16.5 m 14. se lana verticalmente una piedra con un avelocidad de 15 m/s. Calcular a) La altura máxima a la que puede llegar el proyectil.su trayectoria tiene una velocidad de 30 m/s. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad de 150 m/s.de 30 y 20 m/s. Un cuerpo cae libremente desde cierta altura Es: el punto A de. y cuál es ésta? R: 5 segundos 272. b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. 17. ¿Cuánto tardó en recorrer la distancia AB. Un helicóptero está ascendiendo verticalmente con una velocidad uniforme de 10 m/s. c) El tiempo que tardará en llegar al suelo desde que fue abandonado en el aire. Qué distancia recorre un cuerpo que cae libremente durante el duodécimo después de empezar a caer? ¿Cuál es su velocidad media durante ese intervalo? . regresa al lugar de lanzamiento. Calcular: a) La altura ala que se encuentra el globo al momento de caer el cuerpo. Cuando se encuentra a una altura de 12m se deja caer un objeto. Calcular la cantidad con la que se lanzó la bala y la altura máxima que alcanzaó. se deja caer un cuerpo que tarda 25 segundos al llegar a la tierra. Calcular. Luego de 8 segundos de haber sido lanzada verticalmente hacia una bala. si la velocidad con la que fue lanzado es de 225 m de altura 18. a) La altura máxima que alcanzará el objeto b) La posición y velocidad del objeto luego de 6 segundos de haberse dejado caer.b) La posición del proyectil en esos instantes de tiempo 17. b) 20. En qué instantes pasará un proyectil por un punto situado a metros de altura. 19. El tiempo que tarda el cuerpo en volver a pasar por el lugar desde el que se dejó caer. Desde un globo que está ascendiendo verticalmente a una velocidad de 8 m/s. ¿Qué velocidad tendrá el cuerpo y qué distancia habrá caído al cabo de 10 s? Calcular estas mismas cantidades: a) si el globo sube a razón de 12 m/s. 5-11.38 Una partícula A cae libremente desde una altura de 19. A qué altura del suelo impactará la bala en la bomba. Un segundo más tarde se lanza verticalmente hacia abajo otra partícula B desde 39 Se deja caer una bomba desde un helicóptero suspendido en el aire a una altura de 200 metros. 40 Desde el cráter de un volcán se deja caer una piedra. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s.6 metros. Determinar el tiempo de calda y la altura del punto de partida. Cuál será la altura del volcán.4 m/s. calcular la velocidad con que llega al suelo y la altura del punto de partida. ¿En qué instante será su velocidad 6 m/s y a qué altura se encontrará? 514. b) si deseiende con la misma velocidad. Un cuerpo dejado caer libremente llega al suelo con una velocidad de 29. la misma altura y ambas partículas tocan el suelo en el mismo instante. Diez segundos más tarde se oye el impacto de la piedra.¿Qué velocidad inicial debe dársele a un cuerpo para que caiga 980 m en 10 s? ¿Cuál será su velocidad al cabo de 10 s? . En el mismo instante se dispara una bala desde tierra con una velocidad de 100 m/s. 5-10 Desde un globo se deja caer un cuerpo. 5-13. Calcular la velocidad con la que fue lanzada la partícula B. 5-12 Si un cuerpo cae en 4 s partiendo del reposo. 4 mis. 5-20.chocar con el agua 3. se lanza hacia abajo otro .2 s después. ¿Cuáles fueron la velocidad inicial y la máxima altura alcanzada? 5-18. Hallar la altura de donde cayó y el tiempo que duró la calda. un hombre tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 49 m/s. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba regresa al cabo de 8 s. Un cuerpo que cae recorre en el último segundo 68. Se deja caer un cuerpo y. Desde lo alto de un edificio. hallar la altura del edificio y la velocidad de la pelota al llegar al suelo. A qué altura llegará y cuánto tardará en volver al suelo? 5-17. 5-2 1. simultáneamente.5 m/s. Una piedra se deja caer en un pozo’ y se oye el ruido producido al .5-15. ¿Qué altura alcanzará? 4s más tarde se deja caer otra piedra. 5-16. Probar que la primera piedra alcanzará a la segunda cuando hayan transcurrido otros 4 s.3 m.25 s después. (Velocidad del sonido: 340 m/s. Desde la azotea de un edificio se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad de 29. Una piedra es lanzada en un pozo con una velocidad inicial de 32 m/s y llega al fondo en 3 s. 5-23. Averiguar la profundidad del pozo. ¿Qué diferencia hay entre la altura que alcanzó la pelota y la del edificio? ¿Cual es la velocidad de la pelota cuando llega al suelo? 5-19 Si la pelota del problema anterior es lanzada hacia abajo. Hallar la profundidad del pozo y la velocidad de la piedra al llegar al fondo.) 5-22. La pelota llega a la tierra 4. 53 Se lanza una piedra hacia arriba desde el borde de un acantilado de 18 m de altura. se suelta un paquete desde el globo.Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso con una rapidez inicial de 15m/s a) Cuánto tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es su altura máxima? e) Determine la velocidad y aceleración de la pelota en t = 2 s. ¿En qué momento golpea el suelo la pelota? 47 Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacía arriba a su compañera que se encuentra en una ventana 4 m arriba.5 s más tarde por la mano extendida de la compañera.8 m/s. a) ¿A qué velocidad fueron lanzadas las llaves? b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas? 48 Un globo de aire caliente viaja verticalmente hacia arriba a una rapidez constante de 5. Cuando está a 21. 49. a) ¿Cuánto tiempo está el paquete en el aire. ¿En qué instante es la distancia entre ellos de 18 m? Con intervalo de 4 s se lanzan verticalmente hacia arriba dos cuerpos con la misma velocidad inicial 100m/s. En su camino hacia abajo libra justo el acantilado y golpea el piso con una rapidez de 18.0 m/s. Las llaves son atrapadas 1. a) ¿A qué velocidad fue lanzada la piedra? ¿Cuál es su distancia máxima desde el piso durante su vuelo? .cuerpo con una velocidad inicial de 1 m/s.0 m/s. ¿Cuándo se encontrarán a la misma altura? ¿Qué velocidad inicial de 8 m/s desde una altura de 30 m.0 m sobre el suelo. después de que se ha soltado? b) ¿Cuál es la velocidad del paquete justo antes de su impacto con el suelo? c) Repita los incisos a y b para el caso en que el globo desciende a 5. 8 i + j) m/s2. 27. Se lanza un cuerpo con una velocidad de (-4j )m/s. ¿cual es la distancia entre A y B? 28.55 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 10 m/s. d) El desplazamiento realizado cuando lleva una velocidad de (-5j)m/s.2 m/s2. Desde un mismo punto parten simultáneamente dos móviles por una carretera recta. e) Qué velocidad lleva cuando se ha desplazado (-35j)m. . b) la velocidad de la pelota y la de la piedra cuando se encuentran a la misma altura y e) el tiempo total que cada una está en movimiento antes de regresar a la altura original. Dos puntos A y B están en una carretera recta y en la misma horizontal. El móvil A parte del reposo con una aceleración de módulo 2. parte hacia A otro móvil con una rapidez de 5 m/s y una aceleración de módulo 1.5 m/s2 y el móvil B palle con una rapidez constante de 15 m/s. Dos segundos después y desde el mismo punto se lanza otro cuerpo con una velocidad de ( -25j)m/s. 20. y desde B. Un segundo más tarde se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez lnicial de 25 m/s. Determinar qué distancia los separa a los 4 s. Desde A parte del reposo hacia B un móvil con una aceleración de (—0. Si se cruzan a los 10 s. Determine: a) el tiempo que tarda la piedra en alcanzar la misma altura que la pelota. b) Cuánto tarda en llegar al suelo. a) Cuando tienen la misma dirección. Determinar: a) La altura alcanzada. con una velocidad de (20j)m/s. Simultáneamente. u) Con qué velocidad llega al suelo. 8m/s2 durante 10 s y finalmente frena bruscamente a razón de (2. A parte del reposo con una aceleración de (-1. ve pasar un cuerpo hacia arriba y 6 s después lo ve pasar hacia abajo. b) El desplazamiento total realizado e) El tiempo total empleado 23.16 1’ + 2. Un móvil que a los dos segundos va con una velocidad de (50j)m/s.082 j) m/s2 hasta que se detiene. 24. Determinar: a) El espacio total recorrido.3 j) m/s 2 y B con una rapidez constante de 25 m/s.4 i . Desde un mismo punto parten dos móviles en la misma dirección y sentido. Desde un mismo punto se dejan caer libremente dos cuerpos con un intervalo de 3 s. ¿dónde y cuándo se encuentran? 25.388j)m/s2 que mantiene durante 5 s.44i – 1. A continuación desacelera a razón de 0. Calcular dónde y cuándo se encuentran. 22. El punto A esta 140 m sobre el punto B. 21. Simultáneamente y desde B se lanza otro móvil con una velocidad de (40 j) mis.b) Cuando tienen la misma dirección. Si el móvil B sale 7 s antes que el móvil A. .Un móvil parte del reposo en tina carretera recta con una aceleración de (l. Un observador situado a 36 m de altura respecto del piso. pero sentido contrario.2. 26. Determinar: a) Qué distancia los separa a los 8 s de salir el primero. Desde A se lanza un móvil con una velocidad de (-10 j) m/s. b) Qué velocidad lleva cada uno en ese instante. Si la aceleración de cada móvil es constante. a la ida y a la vuelta. b) Hallar a qué altura llegó respecto del piso.Determinar: a) Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo desde el piso. Simultáneamente y desde B parte también del reposo otro móvil que tarda 8 s en llegar al punto A. e) d) El tiempo de vuelo. MOVIMIENTOS EN UN PLANO . Dos puntos A y B están separados 120 m en línea recta. 29. Desde A parte del reposo un móvil que tarda en llegar al punto B 10 s. Determinar: a) La altura máxima que alcanza después del tercer rebote. Cada vez que choca contra el suelo pierde 1/3 de su velocidad. Qué velocidad llevaba el cuerpo cuando pasó frente al observador. ¿dónde y cuando se encuentran? 30. ti) Qué velocidad lleva a los 4 s. Desde 15 m de altura se deja caer libremente una pelota. MOVIMIENTOS PARABÓLICO. el de los satélites. a y uo = velocidad inicial uo a x En el movimiento parabólico la velocidad inicial no puede ser nula y su dirección debe ser diferente a la de la aceleración: vo = 0 y uvo = ua las ecuaciones que permiten el estudio parabólico son las que se describieron anteriormente para el caso en que la aceleración es constante..t El análisis del movimiento de un proyectil se realiza en función del vector velocidad inicial: r a = ángulo de lanzamiento = g = (-9. el de los proyectiles en la superficie terrestre. como ejemplo de estos movimientos podemos citar el de los planetas en su traslación alrededor del Sol. De estos movimientos coplanares. estudiaremos el parabólico y el circular.Este curvilíneo plano. con trayectoria parabólica y aceleración total constante. r = ro + vot + ½ at2 v = vo + a. los contenidos en un plano son de interés para la humanidad. por sus aplicaciones y para la comprensión del Universo.t Y para el caso en que a = g r = ro + vot + 1/2gt2 v = vo + g. El movimiento parabólico más importante lo constituye el lanzamiento de proyectiles en el que la aceleración total es la aceleración de la gravedad.8j)ms2 . etc.Entre los diversos movimientos que existen en la naturaleza. y v vo g a 0 La velocidad inicial en función de sus componentes es: vo = vox i + voy j Y su dirección: a = tag-1 voy vox La velocidad en cualquier punto de la trayectoria es: V = Vxi + Vyj Reemplazando V = V0 + g.sen x y = Voyt – 1/2gt2 Vox = Vx V X (MRU) .t En el eje y ay = -g Vy = Voy – gt donde Voy = Vo. tenemos: Vxi + Vyj = Voxi + Voyj + gtj Igualando las componentes en x e y Vx = Vox Vy = Voy – gt (MRU) (MRUV) g v v g x De estos resultados se concluye que el movimiento parabólico es compuesto: resulta de la suma simultánea de un MRU en el eje horizontal x y un MRUV en el eje y: x y 0 En el eje x ax = 0 Vox = Vo cos a= cte x = Vx.t. generalmente un ángulo agudo. pero podría tener un valor de a = 90º a a = 0º Cuando a = 90º se tiene un lanzamiento vertical hacia arriba.t t = x Vx = x Vo co y = Vy. es un lanzamiento horizontal. sería: en el eje x un MRU (Vx = cte) y en el eje y una caída libre (Voy = 0) y Vo = Vx g En el eje x: ax = 0 Vo = Vox = Vox = cte X = Vo. obtenemos la ecuación cartesiana x = Vx. analizando ya como un MRUV Si a = 0º. Si en (2.1/2gt2 y = -1/2gt2 (2.10) (2.1/2gt2 = a x .t .3.3.3. son: el valor velocidad inicial Vo = Voxi + Voy j (rapidez de lanzamiento Vo) y el ángulo que èsta hace con el eje x (ángulo de lanzamiento a).3.7).1/2g x .Los parámetros más importantes del movimiento parabólico.t y En el eje y ay = -g 0 Vy = Voy -gt Vy = -gt 0 y = Voyt .9) x (MRU) Las ecuaciones se denominan paramétricas de la trayectoria. a más de conocer el valor de la aceleración. El valor de a puede ser cualquiera. donde Vo = Vx y Voy = 0. Este caso aplicado al movimiento de un proyectil y analizado como la suma de dos movimientos.6) despejamos t y remplazamos en (2. Vo cos a y = (tag a) x g 2Vo2cos2a Vo cos a Esta ecuación es de forma: y = ax . cuya representación gráfica corresponde a una parábola. Por ello. La aceleración total es: a = ar + ac . C. el movimiento es retardado la aceleración total es: a = ar + ac b) En el punto B la partícula alcanza la máxima altura y la velocidad es horizontal y perpendicular a la aceleración total. se generan aceleraciones tangencial y centrípeta (normal) respectivamente. Del análisis de las componentes de la aceleración a en los puntos A. El movimiento parabólico la velocidad varía simultáneamente en módulo y dirección. L aceleración tangencial es nula porque es la proyección de la aceleración total en la dirección del vector velocidad. por consiguiente. el movimiento es acelerado. una ecuación de segundo grado. La aceleración total es: a = ar + ac a = ac c) En el punto C la partícula esta descendiendo y la aceleración tangencial tiene la misma dirección y sentido que la velocidad. pero en cada instante su suma (aceleración total) es constante. Entonces. Estas aceleraciones son variables.bx2. pero sentido contrario. B. se concluir que: a) En el punto A la partícula está subiendo y la aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad. uv). en donde AT = (a. uv). para y = 0: esto nos da: 0 = .aT . uv Y la aceleración será AC = A . V V Las preguntas que pueden surgir son: a) ¿Cuál es la trayectoria del proyectil? De las ecuaciones paramétricas x.sen 00 x cos 00 tenemos una ecuación de la forma y = ax2 + bx . que llamamos ahora el alcance de x Av = (A. la magnitud es v = forma con la horizontal es tan 0 = Uv Ux c) ¿Cuál es su máxima altura? Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula Uv = 0 –gt . aplicando (1. que es la ecuación de una v2 + v2y y el ángulo que X = 00 cos 00 200sen00 y como sabemos que . es decir. que llamamos ahora la altura máxima Y.En cualquier posición la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la dirección de la velocidad.9) tendremos: Av = cos 0 uv Av = A .Uv sen 00 De aquí se despeja el tiempo t = U0 sen 00 y los llevamos a la ecuación que nos da la ordenada y. y. Por esta razón.5. Y = V20sen200 2g d) ¿Cuál es el alcance? Es el valor de x cuando el proyectil ha llegado al suelo. y eliminemos el tiempo: t = x V0 cos 00 y = -1 g x V0 cos 00 parábola b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en un momento dado? Por el teorema de Pitágoras. si se conocen los vectores velocidad y aceleración. Uv.1 gt2 + v0 sen 00 = (-1 gt + v0 sen 00 ) t t = 200 sen00 g y lo llevamos a la ecuación de x. /seg. R. dirigida hacia abajo formando un ángulo de a = 30º con la horizontal. de altura con una velocidad de 180 Km.200 m. Una piedra es lanzada desde lo alto de un alcantarillado con una velocidad inicla de 20 m. • qué inclinación deberá dársela a un cañón que lanza una bala con una velocidad inicial de 400 m.. 520 m. R (a) 31. R. De distancia? ¿Cuál es su máximo alcance? • R 14. • Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 100 m/s. se tiene X = V20 sen 200 g e) ¿Para qué el ángulo inicial 00 el alcance es máximo? El alcance es máximo cuando sen 200 es máximo es decir.8 Km./seg. ¿Qué tiempo tardará en caer y a qué distancia horizontal d. cuando sen 200 = 1 Por lo tanto el ángulo 200 es igual a 90º y 00 = 45º • un avión vuela a 1. ¿Cuál será la inclinación si el blanco esta a 20 Km...70 seg. 7. (b) 27.. Calcular (a) su alcance. y a una inclinación de 30º con respecto al horizonte. para que de en un blanco situado a una distancia de 10 Km. (b) su máxima altura./seg.8.: 130m • Calcular a velocidad del proyectil a los 5 segundos del disparo. ¿Cuánto tiempo antes de estar sobre el blanco deberá arrojar la bomba? ¿A que distancia antes de estar sobre el blanco deberá arrojar la bomba? ¿Con qué velocidad llegará la bomba al suelo? ¿Cuál será su velocidad cuando lleve 10 segs. (d) su velocidad total y el tiempo que lleva en el aire cuando su altura es de 10 km. 15. cayendo? ¿Cuál será su velocidad cuando se encuentra a 200 m. Calcular a que distancia llega. 503 m. .. 80º 44’ • un proyectil es lanzado con una velocidad de 600 m./seg. caerá? • Resolver el problema anterior suponiendo que la piedra es lanzada hacia arriba con la misma velocidad inicial y el mismo ángulo./seg. del suelo? ¿Qué ángulo debe formar la mira con la vertical? m. / h.35 Km.../seg y un ángulo de tiro de 60º. 524 R 18º 52’.6 Km.: unos 883 m • Calcular la velocidad máxima alcanzada por el proyectil anterior. Si la altura del alcantarillado es h = 130 m. (c) su velocidad total y su altura al cabo de 30 segs.2 cos 00 sen 00 = sen 200 . 5 m/s • Un proyectil V-2.: 86. si se lo dispara formando un ángulo de 45º con la horizontal R. R. Calcular su velocidad inicial suponiendo que después de la partida no se ejerciera ninguna fuerza sobre él.5 m/s y la vertical es 10 m/s. la altura alcanzada por la bola es.:200 km • Se lanza una bola con una velocidad cuya componente horizontal es 1. con movimiento uniforme se desplaza en la dirección del balón y lo coge.: 1400 m/s • Calcular el alcance del V-2 anterior. a) 3 m b) 5 m c) 10 m d) 15 m e) 20 m • El alcance de la bola es: a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 5 m e) 10 m • Un jugador de baloncesto lanza el balón con una velocidad de 10 m/s que forma un ángulo de 37º con la horizontal.2 s . alcanza una altura aproximada de 100 Km. disparado verticalmente.R. El jugador. La velocidad del jugador es: a) 2 m/s b) 6 m/s c) 8 m/s d) 10 m/s e) 14 m/s • El tiempo de vuelo del balón es: a) 1 s b) 1. respecto a una persona situada sobre la Tierra? a) 2 m/s b) 6 m/s c) 8 m/s d) 10 m/s e) 14 m/s Resp. 3.b.c) 1.8 m. La moneda golpea el suelo al 0. 1. a. b. 2. b. 240 m . 5. del pie de la mesa. 9. c. 8.6 s d) 2 s e) 4 s • La distancia que recorre el jugador es: a) 5 m b) 9. ¿Cuál es la velocidad de la bola.8 m e) 20 m • La altura máxima que alcanza el balón es: a) 1.6 m c) 10 m d) 12.d • Un jugador de naipe lanza una moneda que se desliza sobre una mesa de altura 0.. 6. c.8 m. 4. c. 7. 10.6 m d) 4 m e) 7. ¿Qué velocidad salió disparada la moneda de la mesa? Resp. b. c. 2 m/s • Se lanza un objeto con velocidad vertical de 40 m/s y horizontal de 30 m/s a) Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto b) Cual es el alcance del objeto Resp. una bola con velocidad de 6 m/s.2 m • Dentro de un tren que viaja con velocidad de 8 m/s un niño se lanza perpendicularmente a la dirección del tren . 80 m.8 m b) 2 m c) 3. existe la relación tan 0 = 4y/x Resp. 500 m/s • Un cañón dispara proyectiles siempre con la misma rapidez inicial. La canasta está situada a 6 m. situado a 200 m. Resp. un buen tirador. tan 0 = 4 • Se lanza un proyectil con una velocidad inicial que forma un ángulo 0 con la velocidad horizontal. de radio 0. Si • En un concurso de tiro. del jugador y tiene una altura de 3 m.1 Movimiento Circular Uniforme: Se define como aquel en el cual la trayectoria es una circunferencia. Calcular la altura máxima.8 m. apunta horizontalmente al centro del blanco y nota que la bala toca el borde inferior del mismo Qué velocidad tenían las balas. Si además el móvil recorre espacios o arcos iguales en tiempos iguales . Mostrar que el alcance del proyectil para dos ángulos complementarios iniciales (por ejemplo 30 y 60º) será siempre el mismo • Mostrar que entre la altura máxima Y y el alcance X de un proyectil. lanzado con el ángulo inicial 0. Si se une el punto de partida con el de la altura máxima por medio de una recta que hace el ángulo a con la horizontal. Podrá encestar. e distancia del blanco circular. Resp.• Se lanza una pelota de baloncesto con una velocidad inicial de 25 m/s que hace un ángulo de 53º con la horizontal. Mostrar que tan 0 tan a MOVIMIENTO CIRCULAR 5. c. tendremos que como en toda circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos iguales el radio OA describirá ángulos iguales en tiempos iguales. propiedad que puede servirnos también para definir el m.1-5) De modo que la frecuencia es el inverso del período y recíprocamente Si e es la longitud del arco AB descrito por el móvil en el tiempo t tendremos.. descrito por el radio es y suele llamarse ángulo de fase. Seg. 5. Designándola por n tendremos que si en el tiempo t el móvil da n vueltas la frecuencia de su movimiento es: N= n T (5. Designándola por la letra W tendremos pues: = rad.1-1) W La unidad de velocidad angular es pues el radián por segundo y es la velocidad angular de un móvil que con movimiento circular uniforme describe un ángulo de un radián en un segundo.c.u.1-4) Si multiplicamos las ecuaciones (5-1-3) y (5-1-4) resulta después de simplificar: NT = I ó N = I T (5.. e=R e =R t t Dividiendo por t esta ecuación. tendremos que como en una vuelta o circunferencia hay 2 radianes puede escribirse haciendo en   rads.cualesquiera se tendrá un movimiento circular uniforme.u.1) unido al centro O de la circunferencia que describe mediante el radio OA=R de esta. Llamaremos velocidad angular al ángulo descrito por el radio en la unidad de tiempo. ó grados t seg. El ángulo. si el ángulo se mide en radianes. Designándolo por T. Supongamos que en el tiempo t el móvil se ha desplazado desde A hasta B. usualmente medido en radianes. que   relación de gran utilidad entre la velocidad angular y el período de revolución basta dividir el tiempo t que ha estado girando el cuerpo entre el número n de vueltas que ha dado = 2   W        Se llama frecuencia al número de revoluciones efectuadas por el móvil en la unida de tiempo. (5. . Si imaginamos el móvil A (Fig. Llamaremos período al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta o revolución completa con m. tsegs. la velocidad angular es una magnitud de referencia. Igual la velocidad lineal. v=RW (5.En el número 3.4 Todo ángulo medido en grados se puede convertir en grados multiplicando el número de grados por   180 Todo ángulo medido en radianes se puede convertir en grados multiplicando el número de radianes por 180/ .Pero e / t es la velocidad v del móvil que aquí llamaremos velocidad lineal para distinguirla de la velocidad angular W además / t = W. De la expresión anterior concluimos que: . tan pequeño como podamos observarlo.5 definimos la aceleración como el cambio experimentado por la magnitud de la velocidad en la unidad de tiempo.5.3-1) O sea bien entendido que t es pequeñísimo. Entonces definiremos la aceleración vectorial del móvil como el cambio que experimenta el vector velocidad en la unidad tiempo a = V-Vo t (5. que supondremos que es un intervalo de tiempo muy pequeño.3 Aceleración Centrípeta en el Movimiento Circular. y sea V su velocidad al cabo del tiempo t.. que generalmente es en x El ángulo . Figura 4. comúnmente se expresa en radianes recordando que: 180° =  rad. Sin embargo pudiera ocurrir que además de variar la magnitud variará también la dirección o fuera este elemento el único que variara. Para tener en cuenta este factor adicional es necesario ampliar un poco la definición de aceleración dada anteriormente. substituyendo en (5-1-6) y (5-1-2) se obtiene para la velocidad lineal v = 2R T (5.1-7) Esta expresión pudo haberse obtenido directamente pues 2 R es el espacio recorrido al dar una vuelta y T es el tiempo empleando en darla. Sea Vo la velocidad del móvil en un momento dado. considerada vectorialmente.1-6) Luego importante resultado que nos indica que la velocidad lineal es proporcional al radio y a la velocidad angular. Su cociente debe ser pues la velocidad lineal del móvil. Ac = 4 R  2 T .3-3) R y W = V/R.3-1) será igual a at o sea at = BD = V-Vo Como se observará este vector está dirigido hacia el centro del círculo en la dirección del radio BO. AB = R .3-3) resultará: Ac = W2 R Ac = .V2 R (5.3-5) La aceleración dada por estas fórmulas recibe el nombre de aceleración centrípeta ya que como indicamos anteriormente está dirigida hacia el centro.3-2) Consideremos por ejemplo un móvil animado de movimiento circular uniforme (Fig. el ángulo descrito en ese tiempo es también pequeño de modo que el arco AB puede suponerse aproximadamente que es igual a su cuerda. ac t = V R R Luego de donde ac = V t Si recordamos que / t = W.4. que por (5.5)..3-4) (5. Como los triángulos OAB y BCD son semejantes (tienen sus lados perpendiculares) podemos pues escribir: BD = BC AB BO Pero BD = ac t.1-6) tenemos que V = W = WV (5. de modo que según distribuyamos una u otra de estas relaciones en (5.Pero por (5. El ángulo entre ambos vectores es igual al ángulo entre los radio OA y OB ya que sabemos por geometría que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio. BO = R donde V y ac son las magnitudes de la velocidad y la aceleración respectivamente. BC = V. Si el vector V le restamos el vector Vo obtendremos el vector BD. 5. Por otra parte dada la pequeñez de t.at = V-Vo (5. Sea Vo su velocidad (vectorial) cuando se encuentra en la posición A y sea V su velocidad cuando ocupa la posición muy próxima B a la que llega después de un intervalo muy pequeño de tiempo t. Las magnitudes de ambos vectores serán iguales porque el movimiento es uniforme pero diferirán en dirección ya que el vector velocidad es tangente al a la trayectoria según señalamos en el número 4. 20 rad = II rad 7 seg seg (b) V = R W = 40 cm. Seg. t = 1 min.56 rad T 7 seg. seg.c.5 m (a) T = 1 = 60 seg. 5. (c) Su velocidad angular.2 Movimiento Circular Uniformemente Variado: Si el radio OA (Fig. (d) V = R W = 12. Calcular: (a) Su velocidad angular (b) Su velocidad lineal (c) Su periodo (d) Su frecuencia = 2. T 0. seg.28 rad = 12. = 60 seg.56 rad. (d) La velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 m n = 120 vueltas. seg. R = 3 / 2 = 1. Seg. Si el radio de la circunferencia descrita es de 40 cm. (c) W = 2  = 6. 5. x 1. = 18. x II rad = 440 cm.57 seg.1) no describe ángulos iguales en tiempos iguales se dice _ entonces que el movimiento circular es variado. en 7 seg.5 m. = 2. (a) W = t R = 40 cm.2-1) de donde: _ = W t .p. = 0. t = 7 seg.25 Rad. En este caso llamaremos velocidad angular media W al cociente que resulta de dividir el ángulo total descrito por el radio ( ) entre el tiempo empleado en describirlo (t) o sea: _ W = / t (5. = 0. Seg..Ejemplo 1: Un automóvil animado de m. (c) W = 2 T I T = 2 = 6.28 rad.25 rad.m) Calcular: (a) Su periodo.u describe un ángulo de 2.5 seg..84 m. W II rad/seg I rev Revoluciones por minuto (r.5 seg. (b) Su frecuencia. n 120 vueltas (b) N = 1 = 1 = 2 rev. La variación de velocidad angular ha sido la W .Wo rad t seg2 (5.c. estudiando en 3. /seg. (Compárese con las definiciones análogas expuestas en el N° (3-5).v. y el denominador en segundos.u.u.3-4) Como el numerador de la expresión anterior viene dado en rad. Por tanto a = Ra (5. La variación que experimenta la velocidad angular en la unida de tiempo. la velocidad angular media puede también expresarse por: . cuya velocidad angular aumenta un radián por segundo en cada segundo. en el m.c. teniendo en cuenta (5.RWo = V – Vo t t Donde V es la velocidad final y Vo la inicial del móvil.u.Wo de modo que la aceleración angular será: a = W .u y en el mismo tiempo el ángulo que ha descrito con movimiento variado.2-5) Resultando que nos indica que la aceleración lineal es proporcional al radio y a la aceleración angular. medido a partir del instante dado. Si la velocidad angular aumenta el movimiento es acelerado. Matemáticamente lo que se hace es medir la relación entre el ángulo infinitesimal descrito (d ) y el tiempo infinitesimal transcurrido (dt) de modo que la velocidad angular instantánea es: W =d t dt (5.c. Pero (V – Vo)/ t es la aceleración a del móvil [fórmula (3. Despejando W en (5.v) que es aquel en el cual la velocidad angular (instantánea) experimenta variaciones iguales en tiempos iguales cualesquiera.v. la aceleración angular se representará en (rad. Sea Wo la velocidad angular del móvil en el momento que la observamos por primera vez (velocidad angular inicial) y sea a la velocidad angular que tiene al cabo del tiempo t (velocidad angular final).2-6) Igual que en el m.1-6)./seg.2-3) Entre todos los movimientos circulares variados es de particular interés el movimiento circula uniformemente variado (m.v.)/ seg.5-1)] y que llamaremos aceleración lineal. Ra = RW .u.c./seg2 La unidad de aceleración angular es la aceleración angular de un móvil con m.2-4) se obtiene: W = Wo + at (5. y dividirlo entre dicho intervalo.La velocidad angular media representa por tanto la velocidad angular con la que debería girar el radio para describir con m. Si quisiéramos la velocidad angular instantánea sería necesario medir el ángulo descrito por el móvil durante un intervalo pequeñísimo. O sea en rad. Si diminuye es retardo.5. Multiplicando por R la ecuación anterior obtenemos. 2-6).to (2._ W = W + Wo 2 De donde (5.2-7) obtendremos: a = W .v no es periódico.2-9) y si no hay velocidad angular inicial desaparecerán los términos en Wo Obsérvese que el m.2-8) y (5.18) Cuando la velocidad angular varía uniformemente. = - o (2.Wo2 t 2 2 De donde : W 2 = Wo2 + 2a (5.u.2-6) = Wo t + ½ at2 (5. (5.2-8) Expresión que nos permite calcular el ángulo girado en función de tiempo.2-9) Si es el movimiento es retardado se cambiará el signo mas por menos en (5.3. * Desplazamiento angular: Es la variación neta de la posición angular de una partícula respecto de un sistema de referencia.2-4) y (5. Si multiplicamos ordenadamente (5.17) El desplazamiento angular Se expresa en radianes.2-2) se transforma en: = W + Wo t 2 (5.3. W + Wo t = W2 . la Wm es igual a semisuma de las velocidades angulares inicial y final: Wm = Wo +W . VELOCIDAD ANGULAR MEDIA: Es la razón entre el desplazamiento angular efectuado por la partícula y el tiempo invertido en dicho desplazamiento: Wm = = t - o t .c.Wo t .2-7) Y si tenemos en cuenta (5. 2-4)] t 20 seg.M = rev/min.Wo)/2 = Wot + 1/2 at2 Ejemplo 1 En 20 segundos la velocidad angular de un disco a aumentado de 30 rad/seg a 90 rad/seg. = 3 rad. (d) la aceleración y la velocidad lineales de un punto de la periferia si el radio del disco es de 25 cm. Esta analogía se ha recopilado en el siguiente cuadro las fórmulas correspondientes más importantes de ambos movimientos: TRASLACIÓN ROTACIÓN MOVIMIENTO UNIFORME e=vt W= /t MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO a = (v .P. 90 rad/seg. (c) el número de revoluciones efectuadas. ACELERACIÓN ANGULAR: Es la razón entre la variación angular que experimenta una partícula y el intervalo de tiempo que se produjo: a= t W = W .Wo = (90 – 30) rad/seg.Wo)/t Wm = (W .3.2-8)] (c) Como en una revolución gira 2 = 6. teniendo en cuenta que: 1rev = 2 rad. la velocidad lineal (v) por la angular (W ).19) La velocidad angular W se expresa en rad/s pero en algunos casos es más cómodo utilizar el R. E=R v = RW a = Ra [Formula (5.3. [Formula (5.to (2. (b) el ángulo girado. Wo = 30 rad/seg.Wo t .28 rad el número total de revoluciones habrá sido 1920 .vo)/t vm = (v + vo)/2 e = vot + 1/2 at2 a= (W . t = 20 seg.20) La aceleración angular a se expresa en: rad/s = rad s s2 El lector habrá podido apreciar que existe una gran analogía entre los conceptos y las fórmulas del movimiento de traslación estudiado anteriormente y el de rotación que acabamos de estudiar ya que se pasa de un caso al otro con sustituir el espacio recorrido (e) por el ángulo girado ( ). Calcular: (a) su aceleración angular.2 (2. W = v2 = vo2 + 2ae W2 = Wo2 + 2a FÓRMULAS DE RELACIÓN (a) a = W . seg2 (b) = Wo t + ½ at2 = 30rad/seg x 20seg + ½ x 3rad/seg2 x (20 seg)2 = 1200 rad. R = 25 cm. c.0087 rad/min. 0.c. W t = 5 seg. 6.Si la velocidad angular de un cuerpo se duplica Qué le ocurre a la aceleración centrípeta de cada una de las partículas? 12.272 seg. PREGUNTAS 1.¿En una hélice de un avión que partículas tienen mayor velocidad angular: las que están próximas al extremo o las que están próximas al eje? 4.(d) a = R a = 25 cm.1-6)] Ejemplo 2 La aceleración angular de un cuerpo animado de m.)2 = 175 rad.u.856 seg.c. 0. 34..28 rad/min.2-6)] = Wo t – ½ at2 = 40 rad/seg (5 seg.585 x 106 rad/seg.¿En qué se diferencia la velocidad lineal de la velocidad angular? 3. 2.v? 8.u.u? ¿Por qué sabemos que hay esa aceleración? 9.2 radianes en 6 seg? ¿Cuál es su período? ¿Cuál es su frecuencia? R. 47 m/seg.En la pregunta anterior ¿qué partículas tienen mayor velocidad lineal? 5.¿Qué aceleraciones hay en el m.. la motora o la movida? ¿Cuál si se quiere disminuir? 13..2-5)] [Formula (5.Si la frecuencia de un m. R.. 2. 2. 3.. = 2250 cm/seg.c.¿Qué aceleración hay en el m. a = 2 rad/seg2. 4. (5..¿Qué es el m. 6.) – ½ x 2 rad/seg2 (5seg.¿Qué es el m. .u aumenta ¿qué le ocurre al período y a la velocidad angular? 6.... 2..¿Cuál es la velocidad angular de un disco que gira 13.35 rev/seg. = 30 rad/seg.Calcular la velocidad angular de cada una de las tres agujas del reloj. Wo = 40 rad/seg. R...Si en una transmisión se quiere aumentar la velocidad angular ¿Qué rueda debe ser mayor.¿Qué es aceleración angular? 7.En la pregunta 3 ¿Qué puntos tienen mayor aceleración centrípeta? 11.Calcular las velocidades angular y lineal de la Luna sabiendo que da una vuelta completa alrededor de la tierra en 28 días aproximadamente y que la distancia media entre estos dos planetas es 38. yel movimiento es retardado. 0.¿Qué tiempo necesitará el disco anterior (a) para girar un ángulo de 780° (b) para dar 12 revoluciones? R.22 x 106 Km.188 seg..u? 2.1047 rad/min. .v es 2 rad/seg2.. x 3 rad/seg2 = 75 cm/seg2 v = R W = 25 cm. x 90rad/seg. Calcular su velocidad angular y el ángulo girado al cabo de 5 segundos si su velocidad angular inicial es de 40 rad/seg.2 rad/seg.¿Existe algún movimiento en el cual la magnitud de la velocidad es constante y además se tiene una aceleración constante? PROBLEMAS 1. [Formula (5.c. 987.c.u. [Formula = Wo – at = 40 rad/seg – 2 rad/seg2 x 5 seg.v? ¿Qué representa cada aceleración? 10.... 017 rad/día.8 rad.630 rev/seg.75 seg. 2. Calcular (a) la velocidad lineal en los puntos del borde (b) la velocidad angular del disco (c) su periodo.¿Qué velocidad angular tendrá una rueda cuando haya descrito un ángulo de 90 rad. 418.3 rev/seg.2 seg expresado en radianes y en grados (b) el tiempo necesario para girar 120°. -1.49 rev. 26  rad.Hallar la velocidad angular de las ruedas de una locomotora que va a 90 Km/h si tienen un diámetro de 1.. De radio da 400 revoluciones en 5 minutos. 2.? R: 57.26 seg.75 rad.La voladora de una máquina de vapor tiene un diámetro de 4 m. 16. Su velocidad angular disminuye de 140 revoluciones por minuto a 120 r. 18. 0.Si el radio de la rueda del problema anterior es 40 cm.40 m R: 35.¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas de un automóvil que va 72 Km/h si tienen un diámetro de 70 cm. 2..14 rad/seg 8. R: 0. R: -10 rad/seg2. ¿Cuál es la aceleración angular de las mismas? R: 3. Calcular la aceleración lineal de los puntos del borde. R.314 rad/seg.7 cm/seg 12.Bajo la acción del viento una puerta gira un ángulo de 90° en 5 seg.37 rad/seg..91 seg. Calcular (a) el ángulo girado en 0..En 5 seg la velocidad angular de una rueda ha aumentado de 20 rad/seg a 30 rad/seg Calcular la aceleración angular y el ángulo girado R: 2rad/seg2.. (d) su frecuencia R: 0.La velocidad angular de un cuerpo que gira es 4 rad/seg. 17..Calcular las velocidades angular y lineal de la tierra sabiendo que da una vuelta completa alrededor del sol en 365 días y que su distancia media al Sol es 148 x 106.968 rad/seg2 .65 vueltas. 25..8 rad/seg2 para adquirir una velocidad angular de 16 rad/seg? R: 160 rad. 15. 8.Un disco de 50 cm.625 rad.2 rad/seg2 ¿Qué tiempo necesitará para adquirir una velocidad angular de 150 revoluciones por minuto? ¿Qué ángulo habrá girado a ese tiempo? ¿Cuántas revoluciones habrá dado? R: 12.¿Qué ángulo deberá girar una rueda que parte del reposo con una aceleración angular de 0.. 18. Al cortarse el vapor se observa que en 6 seg. (d) el número de vueltas que dio R: 83...5.71 rad/seg 9. Si el diámetro de sus ruedas es 70 cm. R.5 seg. Calcular (a) su frecuencia (b) su periodo (c) su velocidad angular y (d) la velocidad lineal de los puntos de su periferia. Determinar su aceleración angular y el ángulo girado. 1. 15. Recorre rodando una distancia de 5 m en 6 seg.... 15.Un disco cuyo radio es de 30 cm.m ¿Cuál ha sido su aceleración angular? ¿Cuál es el ángulo girado? ¿Cuál la aceleración lineal de los puntos del borde? R: 0.Una rueda comienza a girar con una aceleración angular de 0. 13.396 rad/seg2 19. 0.16 Km/día 6. Calcular su velocidad angular y la velocidad lineal de los puntos del borde si el ancho de la puerta es de 50 cm.77 rad/seg.. 10.p. 125 rad. 11. 0.La velocidad de un automóvil aumenta en 10 seg.La velocidad angular de una rueda pasa de 40 rad/seg a 35 rad/seg en 0. (c) su período de rotación.7 cm/seg 7. 2. R: 80 cm/seg2 14. si gira con una aceleración angular de 0.5 seg.5 rad/seg 2 y su velocidad angular inicial es de 10 rad/seg? R: 14 rad/seg. 45°51’.349 rad/seg2. De 5 Km/h a 55 Km/h. 13.3 cm/seg.. 7) cm. 0. En sentido antihorario por una trayectoria circular y gira un ángulo de 800° en 7 segundos.37 x 109 cm.5) cm. El ángulo girado en un minuto.20. R: 0.7 rad/s durante 4 minutos. m.. b) Cuantas vueltas ha dado. determinar: . La posición angular inicial. alcanzando una velocidad angular de 25 rad/s. La posición final.. 0. 3503. Determinar: a) La velocidad angular media. 25.Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6 s.Calcular la aceleración centrípeta de los puntos del borde de la rueda del problema 6 y del disco del problema 7. Determinar: a) El ángulo descrito en grados.592 cm/seg2 21. La velocidad angular media. Determinar: a) La aceleración angular.. 72 cm/seg2 22. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de los puntos del ecuador? R: 3 x 10-8 rad/seg. Y gira antihorariamente con centro en el origen 1000° en 12 s.Una partícula animada de movimiento circular del punto (3. b) La velocidad angular media. b) El ángulo girado en 3 s.. 27.. R: 236. 26.La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en 5 s.Un cuerpo parte del punto (4.El radio de una rueda de bicicleta gira con una velocidad angular de 0.152 cm/seg2. Y gira a razón de 200 r. c) El desplazamiento angular. Determinar: a) b) c) d) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1000°.En la figura 5. Si el radio de la tierra es 6.6 el radio de A es 30 cm. 24. Determinar: a) b) c) d) El desplazamiento angular. c) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1600° 29...Calcular la velocidad angular de cada una de las manecillas del reloj.Calcular la aceleración centrípeta de la Luna y de la Tierra empleando los datos de los problemas 4 y5..Calcular la velocidad angular de rotación de la Tierra sabiendo que da una vuelta en 24 horas.56 cm.64 m/seg2. ¿Qué radio debe tener B para girar a razón de50 rad/seg? R: 12.. El tiempo necesario para dar una revolución. 28.. p. 0057 cm/seg2 23. 30..Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular de 8 rad/s. El número de revoluciones que da que da por minuto. Si el centro de la trayectoria es el origen. .. 39. halle: (a) La rapidez de la partícula (b) Su aceleración.El joven David quien derribó a Goliat experimento con su honda antes de embestir al gigante.Un neumático que tiene 0.Halle la aceleración de una partícula que se mueve con una rapidez constante de 8 m/s en una circunferencia de 2 m de radio. el tubo de radio 0.-6) cm. .. calcule: (a) La aceleración centrípeta (b) La rapidez de la partícula (c) Su aceleración tangencial.Da la información que se encuentra en la cubierta delantera de este libro. 33. 31.5 m de radio gira con una rapidez constante de 200 revoluciones por minuto.3 días para completar una revolución alrededor de la Tierra. el podría hacerla girar a la razón de 8 rev/s.30 m desarrolla una rapidez de 630 rpm.. La posición final. y en un instante dado.4 m de radio con rapidez constante.. Determinar: a) b) c) d) La velocidad angular final. con un radio promedio de 3. Determine la rapidez y la aceleración de una pequeña piedra incrustada en el dibujo de la llanta (en su corte exterior).Un cuerpo parte del punto (3. La velocidad angular inicial.. Encuentre: (a) La rapidez orbital media de la Luna (b) Su aceleración centrípeta..6 m de diámetro y con una rapidez de 3 revoluciones por segundo ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra? 35. ¿Cuál es la rapidez lineal máxima con la cual el agua sale de la máquina? 38. 36.24 se representa la aceleración total de una partícula que se mueve en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj en una circunferencia de radio 2. La velocidad angular media.a) b) c) d) La velocidad angular media.En la figura 4.En el ciclo de secado de una lavadora. A la Luna le toma 27. Se hace girar la piedra por arriba de su cabeza en una circunferencia horizontal de 1. En sentido antihorario por una pista circular con centro en el origen. La aceleración angular.84 x 108 m.9 m. 32.6 m de longitud. Descubrió que con una honda de 0. 40. En ese instante. (a) ¿Qué razón de rotación da una rapidez más grande? (b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 8 rev/s? (c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 6 rev/s? 34. Si el aumenta la longitud a 0. calcule la aceleración radial de un punto del Ecuador sobre la superficie de la Tierra.5 m.Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 0. La posición angular final.. El desplazamiento angular. Si la partícula hace 5 revoluciones en cada segundo de su movimiento..Un cazador utiliza una pequeña piedra sujeta al extremo de una cuerda como honda primitiva. 37. entonces la podría hacer girar únicamente a 6 veces por segundo. con una velocidad angular de 6 rad/s y se mueve durante 10 s con una aceleración angular de 2 rad/s2..La órbita de la Luna respecto a la Tierra es aproximadamente circular. T W T = 2 rad. (c) Calcule la magnitud y dirección de la aceleración total..La rapidez de una partícula que se mueve en una circunferencia de 2 m de radio aumenta a razón constante de 3 m/s2.. 42. retrasándose desde 90 km/h hasta 50 km/h durante los 15 s que le toma recorrer la curva. En cierto instante. V=WR d= R . calcule: (a) La aceleración centrípeta de la partícula y (b) Su rapidez.Un tren se va más despacio cuando pasa por una curva cerrada horizontal..41. (b) Trace los diagramas vectoriales para determinar la dirección de la aceleración total en estas dos posiciones. (a) Calcule la magnitud de la aceleración centrípeta y de la tangencial en estas posiciones.Un péndulo de 1 m de longitud oscila en un plano vertical. El radio de la curva es de 150 m. su rapidez es de 5 m/s. 43. Calcule la aceleración en el momento en que la rapidez del tren llega a 50 km/h. = 0 Aceleración angular constante e igual a cero Ecuaciones =Wt = W yt t o = W = 2 rad. COMENTARIO Debería constar en el texto todas las ecuaciones y leyes que se van a utilizar en el desarrollo de los problemas par atenerlos siempre a la mano como: Movimiento Circular Uniforme: Leyes a t desplazamiento angular directamente proporcional al tiempo W = 0 Velocidad angular constante y diferente de cero a const. Cuando el péndulo esta en las dos posiciones horizontales ( = 90° y = 270°). ac = W v = W2 R = v2 R a=aR .