• • • • •Página principal Acerca de Diseño Geométrico de Vías Topografía Doble Vía · Ingeniería Civil Apuntes de Topografía y Diseño de Vías Feeds: Entradas Comentarios Curvas Circulares Simples Marzo 19, 2007 por doblevia Las curvas circulares simples se definen como arcos de circunferencia de un solo radio que son utilizados para unir dos alineamientos rectos de una vía. Una curva circular simple (CCS) está compuesta de los siguientes elementos: • • Ángulo de deflexión [Δ]: El que se forma con la prolongación de uno de los alineamientos rectos y el siguiente. Puede ser a la izquierda o a la derecha según si está medido en sentido anti-horario o a favor de las manecillas del reloj, respectivamente. Es igual al ángulo central subtendido por el arco (Δ). Tangente [T]: Distancia desde el punto de intersección de las tangentes (PI) -los alineamientos rectos también se conocen con el nombre de tangentes, si se trata del tramo recto que queda entre dos curvas se le llama entretangencia- hasta cualquiera de los puntos de tangencia de la curva (PC o PT). • Radio [R]: El de la circunferencia que describe el arco de la curva. • Cuerda larga [CL]: Línea recta que une al punto de tangencia donde comienza la curva (PC) y al punto de tangencia donde termina (PT). con un arco unidad (s). pues se asume que la curva es una sucesión de tramos rectos de corta longitud (también predeterminada antes de empezar el diseño).• Externa [E]: Distancia desde el PI al punto medio de la curva sobre el arco. Este sistema es mucho más usado porque es más fácil medir en el terreno distancias rectas que distancias curvas (pregunta: ¿Se pueden . • Grado de curvatura [G]: Corresponde al ángulo central subtendido por un arco o una cuerda unidad de determinada longitud. llamados cuerda unidad (c). Comparando el arco de una circunferencia completa (2πR). Ahora vamos a detenernos en dos aspectos con un poco más de detalle: Grado de curvatura Usando arcos unidad: En este caso la curva se asimila como una sucesión de arcos pequeños (de longitud predeterminada). Ver más adelante para mayor información. Ver más adelante para mayor información. • Longitud de la curva [L]: Distancia desde el PC hasta el PT recorriendo el arco de la curva. que subtiende un ángulo de 360º. llamados arcos unidad (s). • Ordenada Media [M] (o flecha [F]): Distancia desde el punto medio de la curva hasta el punto medio de la cuerda larga. establecida como cuerda unidad (c) o arco unidad (s). que subtiende un ángulo Gs (Grado de curvatura) se tiene: Usando cuerdas unidad: Este caso es el más común para calcular y materializar (plasmar en el terreno) una curva circular. La continuidad de esos tramos rectos se asemeja a la forma del arco de la curva (sin producir un error considerable). o bien. una poligonal abierta formada por una sucesión de cuerdas rectas de una longitud relativamente corta. ó 20 m . o de un arco unidad. dada por: Es decir. inscrita dentro del arco de la curva se forman dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura. por lo que resulta más sencillo calcular . se toma comúnmente como 5 m . de manera que se tiene: Usando arcos unidad: Usando cuerdas unidad: La longitud de una cuerda unidad. Localización de una curva circular Para calcular y localizar (materializar) una curva circular a menudo se utilizan ángulos de deflexión. Tomando una cuerda unidad (c). se puede construir una curva con deflexiones sucesivas desde el PC. Un ángulo de deflexión (δ) es el que se forma entre cualquier línea tangente a la curva y la cuerda que va desde el punto de tangencia y cualquier otro punto sobre la curva. Sin embargo. midiendo cuerdas unidad desde allí. de donde: Longitud de la curva A partir de la información anterior podemos relacionar longitudes con ángulos centrales.medir distancias curvas en el terreno utilizando técnicas de topografía?¿cómo?). 10 m . rara vez las abscisas del PC o del PT son cerradas (múltiplos exactos de la cuerda unidad). Entonces se tiene una deflexión para cada cuerda unidad. Como se observa en la figura. el ángulo de deflexión (δ) es igual a la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda en cuestión (Φ). el PT y el centro de la curva.19º40′ = 56º40′ Izquierda (A la izquierda porque el rumbo de la tangente de salida es menor que el de la de entrada) . debe ser igual al la mitad del ángulo de deflexión de la curva: δPT = Δ/2 Lo cual sirve para comprobar la precisión en los cálculos o de la localización en el terreno. PI: k2+226 Coordenadas del PI: 800 N .una subcuerda desde el PC hasta la siguiente abscisa cerrada y. de igual manera. desde la última abscisa cerrada antes del PT hasta él. Ejemplo Para una curva circular simple se tienen los siguientes elementos: • • • • • • Rumbo de la tangente de entrada: N 76º20′ E Rumbo de la tangente de salida: N 19º40′ E Abscisa del punto de intersección de las tangentes. y las deflexiones de la curva. 700 E Cuerda unidad: 20 m Radio de curvatura: 150 m Calcular los elementos geométricos de la curva. las abscisas del PC y el PT. en este caso sí porque los dos están en el mismo cuadrante NE): Δ = 76º20′ . según lo anotado. las coordenadas del PC. Para tales subcuerdas se puede calcular una deflexión conociendo primero la deflexión correspondiente a una cuerda de un metro (1 m ) de longitud δm: Entonces la deflexión de las subcuerdas se calcula como: δsc = δm · Longitud de la subcuerda La deflexión para el PT. Solución Elementos geométricos de la curva El ángulo de deflexión de la curva está dado por la diferencia de los rumbos de los alineamientos (no siempre es así. desde el PC. Cos(Δ/2)] Deflexión por cuerda: Deflexión por metro: Abscisas del PC y el PT Conociendo la abscisa del PI y las longitudes.Conociendo el radio y el ángulo de deflexión se pueden calcular los demás elementos geométricos: Tangente: T = R · Tan (Δ/2) Grado de curvatura: Gc = 2 · Sen-1[ c / (2R) ] Longitud de la curva: Lc = c·Δ/Gc Cuerda Larga: CL = 2·RSen(Δ/2) Externa: E = R(1/Cos(Δ/2) .T Abscisa del PC = k2 + 226 . tanto de la tangente (T) como de la curva (Lc): Abscisa del PC = Abscisa del PI .121 + 148.879 m = k2 + 145.364 .80.1) Ordenada Media (Flecha): M = R[1 .121 Abscisa del PT = Abscisa del PC + Lc Abscisa del PT = k2 + 145.243 m = k2 + 293. 890 + R·Cos(346º20′) = 780.890 E = 700 + T·Sen(256º 20′) = 700 + 80. Coordenadas de los puntos PC. que sea claro y más o menos a escala.411 + 150 Sen(346º20′) . pues las condiciones particulares de cada curva pueden hacer que cambie la manera de calcularlos.890 + 150 Cos(346º20′) N = 926. Recordemos que.879 Sen(256º 20′) E = 621. y luego hacer un dibujo representativo para ubicarse. las coordenadas de un punto B (NB y EB) se calculan a partir de la distancia y el azimut de la linea que une los dos puntos (AB) así: NB = NA + DistanciaAB · Cos(AzimutAB) EB = EA + DistanciaAB · Sen(AzimutAB) Coordenadas del PI: 800N 700E Coordenadas del PC: N = 800 + T·Cos(256º 20′) = 800 + 80. Especialmente el hecho de si el ángulo de deflexión es a la izquierda o a la derecha.643 E = 621.Se debe tener en cuenta que la abscisa del PT se calcula a partir de la del PC y NO del PI. pues la curva acorta distancia respecto a los alineamientos rectos.879 Cos(256º 20′) N = 780. primero que todo. Lo que yo recomiendo para no cometer errores es. tener bien claro el concepto de azimut.411 + R·Sen(346º20′) = 621.411 Coordenadas del centro de la curva (O): N = 780. PT y O Conociendo los rumbos de las tangentes de entrada y salida se pueden calcular sus azimutes: Azimut del PC al PI = 76º 20′ Azimut del PI al PC = Contra azimut de PC-PI = 76º 20′ + 180º = 256º 20′ Azimut del PC a O = 256º 20′ + 90º = 346º 20′ (porque el radio es perpendicular a la tangente de entrada en el PC) Azimut del PI al PT = 19º 40′ Nota: Debe tenerse mucho cuidado con el cálculo de estos azimuts. conociendo las coordenadas de un punto A (NA y EA). 161 E = 700 + T·Sen(19º40′) = 700 + 80. hasta llegar al PC. es decir.2” = 18º08′02.121 .64” + 3º49′21.24” + 3º49′21. por lo tanto se genera otra subcuerda.44” + 3º49′21.364 m .2” = 25º46′44.24” Deflexión para la k2+240 = 14º18′41. la de salida.06” = 2º50′37.E = 585.879 Cos(19º40′) N = 876.2” = 10º29′20.121 m = 14. Esto genera una subcuerda.2 145.84” Pero ahí hay que parar porque la abscisa del PT es la k2 + 293.44” Deflexión para la k2+260 = 18º08′02. la siguiente abscisa cerrada corresponde a la k2 + 160 (no la k2 + 150 porque no es múltiplo de 20.04” Deflexión para la k2+220 = 10º29′20. si empezamos desde la k0 + 000 sumando de 20 en 20 no llegamos a la k2 + 150 sino a la k2 + 160).64” A partir de la abscisa k2 + 160 siguen abscisas cerradas cada 20 m (de acuerdo a la longitud de la cuerda unidad).970 Coordenadas del PT N = 800 + T·Cos(19º40′) = 800 + 80. para la primera subcuerda tenemos una deflexión (correspondiente a la abscisa k2 + 160) de: • Deflexión para la abscisa k2 + 160 = 14.2” = 6º39′58.364 .879 Sen(19º40′) E = 727. cuya longitud se calcula como la diferencia entre las dos abscisas: • Subcuerda de entrada: 2 160 m . y la deflexión para cada una de las abscisas siguientes corresponde a la suma de la anterior con la deflexión por cuerda: • • • • • • Deflexión para la k2+180 = 2º50′37.2” = 14º18′41.2” = 21º57′23.04” + 3º49′21. por lo tanto si la abscisa del PC es la k2 + 145.879 m * 0º11′28.64” Deflexión para la k2+280 = 21º57′23.84” Deflexión para la k2+200 = 6º39′58.220 Deflexiones de la curva Para calcular las deflexiones de la curva partimos de las abscisas calculadas para el PC y el PT y dos ángulos que ya están definidos: la deflexión por cuerda y la deflexión por metro.2 280 m = 13. la deflexión para la subcuerda es de: .364 Y de la misma manera.06”.84” + 3º49′21.879 m Ahora.64” + 3º49′21. que se calcula de manera similar a la de entrada: • Subcuerda de salida: 2 293. Como la cuerda unidad es de 20 m quiere decir que las abscisas de la poligonal se vienen marcando a esa distancia. si ya se había calculado que por cada metro de curva existe una deflexión δm=0º11′28. A continuación se muestran las tres primeras que debe contener dicha cartera. debe corresponder con la mitad del ángulo de deflexión de la curva: Con esta información se construye la cartera de deflexiones. según lo visto en el artículo.23” Así que al final. la deflexión para el PT es: • Deflexión para la k2+293.84” 21º57′23. que es el sentido en el que aumenta la deflexión).07” 25º46′44. hacen referencia a los elementos que ya se calcularon a lo largo de este artículo (es necesario reescribirlos dentro de la cartera). que va a ser la que permita materializar la curva en el terreno.23” = 28º20′00. James. para facilitar el trabajo de los topógrafos. diseño de vias.06” = 2º33′15. Nótese que la cartera está escrita de abajo hacia arriba.364 m * 0º11′28. Ecoe ediciones.44” 14º18′41.364 K2+280 K2+260 K2+240 K2+220 K2+200 K2+180 K2+160 k2+145.• Deflexión para la subcuerda de salida = 13. y el sentido en el que se deflectará la curva (en este ejemplo desde el PC hasta el PT.7 C266 di Las ecuaciones mostradas en este artículos están hechas usando en el Interactive Latex Equation Editor de Sitmo. disponible en http://www.121 DEFLEXIÓN 28º20′00.64” 0º00′00” PC // // // // // // // // // // // // // // // // Bibliografía Cárdenas Grisales. Código topográfico de la Biblioteca de la Universidad: 625. ingenieria | 54 comentarios .84” + 2º33′15.84” 2º50′37.04” 6º39′58.364 = 25º46′44.24” 10º29′20. el azimut de los alineamientos rectos (de entrada y salida).sitmo. 2002. pues es la que recibe el topógrafo para hacer su trabajo. Bogotá. Diseño Geométrico de Carreteras.64” 18º08′02.07” La cual. Las otras tres.com/latex Escrito en asignaturas. ESTACIÓN PT ABSCISA k2+293. com/2007/07/25/direccion-de-una-linea-rumbo-yazimut/ .wordpress.http://doblevia.