Calculo de coordenadas en una curva circularPara este procedimiento, las coordenadas de los puntos en la curva que se va a estacar deben determinarse primero en algún sistema coordenado de referencia. Usando la distancia a la tangente y el acimut de la tangente posterior, se calculan las proyecciones horizontal y vertical con las ecuaciones (10.1) y (10.2), donde AzVA es el acimut hacia atrás de la línea AV. Entonces las coordenadas de a (el PC) son: XA = XB + T sen Az VA (24.14) YA = YB + T cos Az VA Conociendo las coordenadas del PC, pueden calcularse las coordenadas de los puntos en la curva usando los mismos ángulos de deflexión y Relaciones geométricas para el calculo de las coordenadas de los puntos de una curva. El PC, el PT, el PI, o el punto medio de la curva son puntos que se usan con frecuencia. Loa ángulos de deflexión se suman al acimut de AV para obtener los acimutes de las cuerdas para cada estación, se calculan las proyecciones horizontales y verticales, y se suman a las coordenadas de A (el PC) para obtener las coordenadas de la estación. Conociendo las coordenadas para todos los puntos de la curva, estos pueden estacarse. En este caso se calculan las coordenadas del centro de la curva, y luego las coordenadas de las estaciones que van a marcarse pueden calcularse convenientemente usando líneas a partir de ese punto. El acimut del radio que va de A al centro de la curva es AzAO = AzAV + 90˚ (24.15a) Para una curva que da vuelta a la izquierda, la Usando el acimut apropiado a partir de las ecuaciones y el radio de la curva R, las coordenadas del centro O de la figura 24.9 son XO= XA + R sen Az AO YO= YA + R cos Az AO (24.16) El azimut de la línea del radio desde O a cualquier estación P sobre la curva es Azop= AzOA + dp (24.17) Donde dp se determina en la ecuación (24.11) entonces las coordenadas de p son Xp = Xo + R sen Az OP YP = YO+ R cos Az OP (24.18) TRAZO DE CURVAS CIRCULARES POR COORDENADAS En este procedimiento, se calculan las coordenadas de cada estación de la curva que se va a estacar como se describió en la sección anterior. El instrumento se coloca entonces en el PC, PT, el punto medio de la curva, el punto central de la curva, o cualquier otra estación de control cercana desde donde se pueda visar toda la zona en que se marcara la curva. El instrumento se orienta visando hacia atrás a otra estación de control visible. Entonces cada punto de la curva se estaca trazando la distancia calculada a lo largo de su acimut calculado. Ejemplo : Dos tangentes se intersectan en una estación PI con cadenamiento 4+545.500 cuyas coordenadas son X=5723.183 m y Y=3728.947 m. el ángulo de intersección es 24 32 a la izquierda y el acimut de la tangente hacia atrás es 326 4020. Una curva de radio R de 400 m se usara para unir las tangentes. Calcular los datos necesarios para estacar la curva a incrementos de 20 m por coordenadas usando un instrumento de estación total. Para el estacado, el instrumento se emplazara en la estación B, cuyas coordenadas son X= 5735.270 m y Y= 3750.402 m, y se tomara una visual hacia atrás de la estación A, cuyas coordenadas son X=5641.212 m y Y= 3778.748 m. Solución: Según la ecuación (24.2), L= 400 x 2432(/180)=171.275 m Según la ecuación (24.4), T=400.000 tan (1216)=86.970 m Cadenamiento de la curva PI= 4 + 545.500 -T= 86.970 PC= 4 + 458.530 Las coordenadas del PC se calculan usando las ecuaciones (24.14) como: XPC = 5723.183 + 86.970sen (326 40 20 - 180) = 5770.967m YPC = 3728.947 + 86.970cos(326 40 20 - 180)= 36356.280m Se puede verificar en la tabla las coordenadas del PT de la tabla 24.4 calculándolas en forma independiente usando el acimut y la longitud de la tangente hacia adelante. El acimut hacia adelante se calcula restando el ángulo I del acimut de la tangente hacia atrás. Az= 326 40 20 - 24 32= 302 08 20 Las coordenadas X y Y del PT son entonces: XPT = 5723.183 + 86.970sen (302 08 20) = 5 649.540 m YPT = 3728.947 + 86.970cos (302 08 20) = 3 775.213 m Para orientar el instrumento es necesario calcular el acimut de la linea BA. Segun la ecuacion (11.5), es: Después de visar hacia atrás la estacion A se indica un valor de 286 46 16 en el circulo horizontal de la estacion total. Luego se estaca cada punto de la curva midiendo su distancia radial y cimut tomados de la tabla 24.5. Las líneas radiales se muestran como líneas punteadas. Observe que para estacar la estación 4+540 se mide una distancia de 34.789 m sobre un acimut de 206 45 42, como se muestra en la figura. TRAZO DE CURVAS CIRCULARES POR DISTANCIAS En el caso de curvas de corta extensión y cuando no se dispone de un instrumento de estación total, y para fines de comprobación, para el trazo de curvas circulares se puede utilizar uno de cuatro métodos de distancias a una linea: distancias desde una tangente (DT), distancias desde una cuerda (DC), ordenadas medias (OM) y ordenadas desde la cuerda principal. La distancia desde una cuerda a estaciones completas es Puesto que sen 1° = 0.0175 (aprox.), DC = c (0.0175) G, donde G esta en grados y decimales. La ordenada media m para cualquier subcuerda es R( 1 – cosδ), siendo δ el ángulo de deflexión para esa cuerda. Una ecuación para el trazo o comprobación de curvas en el sitio es: G (grados) = m (pulgadas) para una cuerda de 62 pies (aprox.) (24.20) La figura muestra que es mas conveniente trazar la curva en ambas direcciones desde el PC y el PT hasta un punto común cerca de la mitad de la curva. Este procedimiento evita efectuar mediciones muy largas y proporciona un punto de comprobación donde pueden realizarse ajustes pequeños, si fueran necesarios. Para trazar una curva con este método, se miden distancias tangentes par fijar los puntos temporales A, B, C de la fig. desde esos puntos se hacen mediciones rectos (distancias desde la tangente) para fijar las estacas de la curva. Las distancias o tramos sobre la tangente (TT) y las distancias desde la tangente (DT) se calculan usando cuerdas y ángulos en las siguientes formulas. TD = c cosδ (24.21) TO= c senδ (24.22) Donde los ángulos δ se calculan ya sea la ecuación (24.12a) o la (24.12b), y las cuerdas c se determinan a partir de la ecuación (24.13). EJEMPLO: Calcular y tabular los datos necesarios para estacar por distancias desde tangentes, las medidas estaciones de una curva circular con I= 11 00’, Gc = 5 00’ (def. por cuerda) y PC= 77+ 80.00 SOLUCIÓN: Según la ecuación (24.1), la longitud de la curva L = 100(11/5)= 220 pies. Por tanto, la estación del PT es (77 + 80) + (2 + 20) = 80 + 00. las estaciones intermedias deben estacarse son : 78 + 00,78 + 50,79 + 00 y 79 + 50, como se muestra en la fig. (24.14). Según la ecuación (24.12a), los ángulos desde el PC son 1 = 0.025(20) = 0.50 = 0 30’ 2 = 0.025(70) = 1.75 = 1 45’ 3 = 0.025(120) = 3.00 = 3 00’ donde G/200=0.025 Según la ecuación (24.10), el radio es Según la ecuación (24.13), las cuerdas desde el PC son c1 = 2(1148.26) sen 0 30’ =20.00 pies c2 = 2(1148.26) sen 1 45’ = 70.01 pies c3 = 2(1148.26) sen 3 00’ = 119.98 pies PROBLEMAS ESPECIALES DE CURVAS CIRCULARES Paso de una curva circulas a través de un punto Intersección de una curva circular y una línea recta Intersección de dos curvas ESPIRALES Relaciones geométricas en espirales La espiral de entrada a la izquierda comienza en la tangente posterior en la TE (tangente a espiral) y termina en la EC (espiral a curva). La curva circular va de la EC al comienzo de la espiral de salida en la CE (curva a espiral) y la espiral de salida termina en la tangente anterior en la ET (espiral a tangente). la espiral de entrada y salida son geométricamente idénticas. Su longitud LE , es la distancia medida sobre el arco entre la TE y la EC o entre la CE y la ET. Si una tangente a la espiral de entrada en la EC se prolonga hasta la tangente posterior, se identificara el punto de De la propiedad básica de una espiral , es decir, su radio cambia uniformemente desde infinito en la TE hasta el radio de la curva circular en la EC. Como el cambio es uniforme , la curvatura promedio en la longitud de la espiral es G/2. Así, por la definicion de grado de curvatura o grado de la curva, el ángulo E. de la espiral es E = LE (G/2) (24.25) Donde LE esta en estaciones y E y G están en grados. Supóngase que en esta figura M es el punto medio de la espiral, por lo que su distancia desde la TE es LE /2. continuando con este razonamiento, el grado de curvatura promedio de la TE a M es (G/2)/2= G/4, y el ángulo de la espiral M es Despejando G en la ecuación (24.25) y sustituyendo este valor en la ecuación (a) se obtiene De acuerdo con la ecuación (b), en LE /2 el ángulo de la espiral es E /4. Esto ejemplifica otra propiedad básica de una espiral: los angulas de la espiral en cualquier punto son proporcionales al cuadrado de la distancia desde la TE al punto, o sea Donde P es el ángulo de la espiral en cualquier punto p cuya distancia desde la TE es LP . CALCULO Y TRAZO DE UNA ESPIRAL Para calcular el Angulo de deflexión se usa la siguiente fórmula: la posición de la EC esta dadas por las coordenadas X y Y. en este sistema coordenado, el origen esta en la TE y el eje X coincide con la tangente posterior. Las formulas aproximadas para calcular X y Y son: Las siguientes son formulas mas exactas para calcular las coordenadas X y Y de cualquier estación P, que se encuentre a una distancia LP a lo largo de la espiral. La distancia perpendicular del PC a la tangente posterior es el desplazamiento, de acuerdo a la fig. (24.17) es O = Y –R (1- cos s) para calcular la distancia h de la fig.(24.17) desde el pi a la te, sale la siguiente formula por medio de las relaciones geométricas, la distancia de H. H = X-R sen s + (R + o ) tan 1/2 EJEMPLO: una espiral de 300 pies de longitud se usa como transición a una curva circular de 3 00’ . El ángulo I en la estación PI con cadenamiento de 20 + 00 es de 60˚ 00’. Calcular y tabular los ángulos de deflexión y cuerdas necesarios para estacar la espiral a medias estaciones. SOLUCION: ecuac. (24.3), R = 5729.58/ 3.00 = 1909.86 pies Ecuac.(24.25), E = 3(3.00)/2= 4.5˚ = 4˚ 30’ Ecuación (24.28) y (24.29) X = 3[ 100- 0.0030462(4.5)2] = 299.81 pies Y= 3[ 0.58178 (4.5) -- 0.000012659(4.5)3]= 7.86 pies Por la ecuación (24.31), O = 7.86 – 1909.86 (1-COS 4˚ 30’ = 1.97 pies Por la ecuación (24.32), H = 299.81 – 1909.86 sen 4˚ 30’ + (1909.86 + 1.97) tan 30˚= 1253.75 pies Calculo del cadenamiento Estación PI= 20 + 00.00 -H= -12 + 53.75 Estación TE= 7 + 46.25 +Ls= 3 + 00.00 Estación EC= 10 + 46.25 REFERENCIAS BILIIOGRAFICAS Topografía 11ª edición, paúl R . Wolf- charles D. Ghilani, editorial, alfaomega