PREFACIO2 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 3 1.1 INTRODUCCIÓN. 1.2 GENERALIZACIÓN. 1.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN. 1.4 MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO. 1.5 EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA. 1.6 SISTEMAS EQUIVALENTES. 1.6.1 SISTEMAS INDETERMINADOS Y SOBREDETERMINADOS. 1.7 SISTEMAS HOMOGÉNEOS. 1.8 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON UNA FUNCIÓN OBJETIVO. 1.8.1 LÍNEAS DE INDIFERENCIA. 1.9 EJERCICIOS DE REPASO. 3 7 9 15 19 23 24 30 31 33 38 2 MATRICES. 43 2.1 INTRODUCCIÓN. 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS 2.3 OPERACIONES CON MATRICES. 2.3.1 SUMA Y RESTA DE MATRICES. 2.3.2 MULTIPLICACIÓN. 2.4 OTRO TIPO DE MATRICES. 2.4.1 MATRICES CUADRADAS Y RECTANGULARES. 2.4.2 MATRICES TRIANGULARES. 2.4.3 MATRIZ IDENTIDAD, TRANSPUESTA Y SIMÉTRICA. 2.5 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE. 2.6 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR MEDIO DE DETERMINANTES. 2.7 LA INVERSA DE UNA MATRIZ 2.7.1 CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 2*2. 43 43 45 45 46 49 49 50 50 51 52 55 55 3 INDEPENDENCIA LINEAL. 62 3.1 LA SUMA DE VECTORES. 3.2 DEFINICIÓN DE NORMA DE UN VECTOR. 3.2.1 PRODUCTO POR UN ESCALAR 3.3 COMBINACIONES LINEALES Y DEPENDENCIA LINEAL. 62 64 64 64 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 68 Matemáticas Curso Propedéutico PREFACIO Una de las “técnicas” más eficaces para aprender y entender métodos, conceptos o ideas matemáticas es que se presenten en ricos escenarios y/o situaciones problema. Después de esta experiencia, se requiere que el aprendiz practique o ejercite los conocimientos y métodos, aprendidos en las situaciones previas, en la resolución de problemas en una diversidad de situaciones. El presente material de matemáticas fue elaborado bajo este punto de vista. Febrero 2012. 2 Matemáticas Curso Propedéutico 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. 1.1 Introducción. Los sistemas de ecuaciones lineales, fueron inicialmente los objetos de estudio del álgebra lineal. Estos sistemas o modelos se originan en una gran variedad de situaciones reales o de aplicaciones. A manera de ejemplo, a continuación se presentan los siguientes problemas que dan lugar a la formulación de sistema de ecuaciones. Ejemplo 1. Mezclas.(1) Un químico debe preparar de una solución ácida diluida compuesta por 2 partes de agua y 3 partes de ácido muriático para obtener una solución de 350 ml. Donde la cantidad de agua debe exceder en 2 ml a la del ácido. ¿Cuánto debe utilizar de cada una de las sustancias para la cantidad requerida?. Para clarificar el problema se presenta la siguiente figura. x de agua 350 ml y de acido Figura 1. Solución Sean x= la cantidad de ml de agua. y=la cantidad de ml de ácido. Con base en la figura se ve que la suma de 2 partes (agua) y 3 partes (ácido) deben dar el total de 350 ml. Lo anterior se traduce simbólicamente mediante la siguiente ecuación. Tomando en cuenta las condiciones de las 2 partes (agua) y la de las 3 (ácido) se plantea la ecuación 2? + 3? = 350 Con respecto a la segunda condición de que la cantidad de agua excede en 2ml la cantidad de acido la ecuación es: ? =2+? En resumen. El modelo que representa al problema anterior es: 2? + 3? = 350 ?−? =2 A este sistema se le llama modelo lineal.. Obsérvese que las variables no aparecen elevadas a una potencia mayor que 1. Los lados izquierdos de las ecuaciones son combinaciones lineales de las variables x e y 3 07?1 + 0. Ella debe comprar exactamente 7 kg de fruta y gastar toda la cantidad de $70. .Matemáticas Curso Propedéutico Ejemplo 2. El interés total en el segundo año fue de $2960.50/kg. El segundo año la cantidad invertida a 9% devengó un 10% y las otras permanecieron iguales. Rocío necesita preparar una ensalada de frutas para una fiesta en su escuela.08?2 + 0. que no se reinvirtió. Sistema de ecuaciones: ?1 + ?2 = 7 12?1 + 9. El interés en el primer año fue de $2830.08?2 + 0. ?1 + ?2 + ?3 = 35000 0.09?3 = 2830 0.9%. Sus amigos se cooperaron con $70. ?3 : ???????? ????????? ? ?? 9% Las relaciones entre variables.1?3 = 2960 4 .5?2 = 70 Ejemplo 3.00 Inversión al 7% Inversión al 8% Inversión al 9% ?1 : ???????? ????????? ? ?? 7%. por ello requiere comprar peras y manzanas. 8% . ?2 : ?? ?? ???????. En el mercado local las peras cuestan $12. ¿Cuánto fue la cantidad invertida en cada tasa de interés? . ?2 : ???????? ????????? ? ?? 8%. $35 000.00/kg mientras que las manzanas cuestan $9. ¿Cuánto de cada fruta debe comprar Rocío para la ensalada? Formular el modelo Variables ?1 : ?? ?? ????.07?1 + 0. Un total de $35000 fueron invertidos a tres tasas de interés: 7%.00. Matemáticas Curso Propedéutico Ejemplo 4. Y si z representa el número de máquinas del tipo 3 que trabajan por semana su producción será de 100z camisas. ?2 . 70z playeras y 40z chamarras. Relacionado datos y variables La producción total de gasolina. diesel y aceite lubricante. Camisas Playeras Chamarras Máquina tipo 1 100 70 50 Máquina tipo 2 150 80 60 Máquina tipo 3 100 70 40 Si x representa el numero de máquinas del tipo 1 que trabajas en una semana. 70x playeras y 50x chamarras. Si y denota el numero de máquinas del tipo 2 que trabajan por semana su producción será 150y camisas. 80y playeras y 60y chamarras. diesel y aceite lubricante es la suma de la producción de cada refinería. camisas y chamarras usando 3 tipos diferentes de máquinas de coser. ?3 las cantidades de barriles que debe procesar las tres refinerías respectivamente. es como se indica en la siguiente tabla. Ejemplo 5. ¿Cuántos barriles de petróleo debe procesar cada refinería para satisfacer esta demanda? Denotemos por ?1 . 1000 playeras y 600 chamarras por semana?. Supongamos también que por cada barril de petróleo (aproximadamente 159 galones) la producción en galones. (2) Un taller de costura produce playeras. ¿Cuántas máquinas deben trabajar para coser 1200 camisas. así se tiene: 5 . La producción por semana es como se muestra en la tabla siguiente. Con base a esta información y considerando la demanda el sistema que se obtiene es: 100x+150y+100z=1200 70x+80y+70z=1000 50x+60y+40z=600. Gasolina Diesel Aceite lubricante Refinería 1 20 11 9 Refinería 2 21 12 8 Refinería 3 19 13 8 Supongamos que se desea satisfacer una demanda de 1250 galones de gasolina. 750 de diesel y 520 de aceite lubricante. (3) Supongamos que una empresa administra tres refinerías de petróleo y cada una produce 3 derivados: gasolina. su producción será 100x camisas. el carpintero consume 5 16 el el agricultor carpintero consume consume de la ropa hecha por el sastre y así sucesivamente. mientras así: que de lo que produce el agricultor. El problema consiste en determinar los precios ?1 . Ninguno gana y ninguno pierde. ?? son los precios unitarios respectivos. ?3 de manera que el sistema esté en equilibrio.Matemáticas Curso Propedéutico 20?1 + 21?2 + 19?3 11?1 + 12?2 + 13?3 9?1 + 8?2 + 8?3 Total de gasolina. Por conveniencia. Total de diesel. Los gastos del agricultor son: 7 1 3 ?1 + ?2 + ?3 16 2 16 6 . Las cantidades anteriores deben satisfacer las demandas dadas. esta condición lleva al siguiente sistema: 20?1 + 21?2 + 19?3 = 1250 11?1 + 12?2 + 13?3 = 750 9?1 + 8?2 + 8?3 = 520 Ejemplo 6. Total de Aceite lubricante. Suponga que durante el año la parte de cada bien que es consumida por cada individuo se da en la siguiente tabla: Bienes producidos por Bienes consumidos por Agricultor Carpintero Sastre La 7 16 5 16 Agricultor Carpintero Sastre 7 16 5 16 1 2 1 6 1 3 3 16 5 16 1 2 1 4 información anterior se interpreta de su propia producción. así el agricultor paga el mismo precio por su comida como el sastre y el carpintero aunque él la haya producido. Considere una comunidad muy sencilla que consiste de un agricultor que sólo produce toda la comida. se seleccionara las unidades de manera que cada individuo produzca una unidad de cada bien durante el año. Se asume en esta situación que cada uno paga el mismo precio por un bien. un carpintero que construye todas las casas y un sastre que produce toda la ropa. ?2 . 1. 5 1 5 ?1 + ?2 + ?3 = ?2 16 6 16 1 1 1 ?1 + ?2 + ?3 = ?3 4 3 2 Por lo tanto el sistema es 7 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = ?1 16 2 16 5 1 5 ?1 + ?2 + ?3 = ?2 16 6 16 1 1 1 ?1 + ?2 + ?3 = ?3 4 3 2 Todos los ejemplos anteriores se pueden escribir en la forma matricial Ax=b . es decir. en caso de que exista. ?2 … ?? ) que deben satisfacer simultáneamente dichas ecuaciones.Matemáticas Curso Propedéutico Dado que los gastos deben ser igual a los ingresos del agricultor tenemos que 7 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = ?1 16 2 16 De manera análoga para el carpintero y el sastre se tiene. En forma general los sistemas de ecuaciones tienen la siguiente estructura: ?11 ∗ ?1 + ?12 ∗ ?2 + ⋯ + ?1? ∗ ?? = ?1 ?21 ∗ ?1 + ?22 ∗ ?2 + ⋯ + ?2? ∗ ?? = ?2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ??1 ∗ ?1 + ??2 ∗ ?2 + ⋯ + ??? ∗ ?? = ?? Donde ??? . Encontrar la solución de estos sistemas significa encontrar el vector x que satisface la ecuación matricial. El objetivo es encontrar una solución (si existe) del sistema anterior.2 Generalización. x es un vector cuyas componentes son las incógnitas y b es un vector dado (información). ?? son números reales y las ?? representan las incógnitas o variables de decisión. donde A es la matriz de los coeficientes. encontrar un 7 . Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas (?1 . Figura 2. No obstante. que algunos de los ejemplos anteriores son casos particulares . Validación verificación y Situación problema Abstracción Formulacuón del modelo Conclusión Interpretación Utilizar métodos Solución 8 teorías . en general el proceso que lleva a la formulación de un modelo.Matemáticas Curso Propedéutico conjunto de valores que. Vector de decisión. pasa por las siguientes etapas. satisfagan el lado derecho del sistema. Las cuales se representa en la siguiente figura. El sistema anterior como ya se mencionó se representa mediante la siguiente forma matricial. Restricciones. donde Matriz de coeficientes. Fases para la construcción de modelos. (solución del sistema). sustituidos en las incógnitas. que de acuerdo a los ejemplos anteriores. en el problema 4 de las camisas. Antes de presentar un método general. 1. Se puede tomar como punto de partida suponiendo que las cantidades invertidas son iguales para cada inversión. La solución encontrada se analiza para verificar si tiene sentido de acuerdo al problema. Posteriormente se formula un modelo matemático del problema.09?3 = 2830 NO 2450 2800 + + 1050 = 2830 3 3 2800≠ 2830 9 -30 .09?3 = 2830 0. un resultado negativo no tendría sentido. Prueba 1: Sean ?1 = ?2 = ?3 = ¿Se cumple con la relación? 35000 3 Restricción Diferencia ?1 + ?2 + ?3 = 35000 SI 35000 35000 35000 + + = 35000 3 3 3 0 35000 = 35000 0. en esta exploración se empiezan a identificar las relaciones que existen entre sus distintos elementos.3 Métodos de solución.08?2 + 0.08?2 + 0.07?1 + 0. lleva a un sistema de ecuaciones.Matemáticas Curso Propedéutico En las fases anteriores en general se comienza con el análisis de un problema.07?1 + 0. Como ya se mencionó. se debe tener un método para encontrar una solución de estos sistemas. ?1 + ?2 + ?3 = 35000 0. Una vez establecido el modelo se selecciona un método para resolverlo. a continuación se expone un procedimiento o estrategia llamado de “prueba y error” Retomando el ejemplo 3 ( problema de inversión). Por ejemplo.1?3 = 2960 Solución del modelo por el procedimiento de prueba y error. esta actividad es un proceso de abstracción.07?1 + 0.08?2 + 0. 07?1 + 0.333 Como se puede observar estos puntos no son solución del sistema ya que existe una diferencia.1?3 = 296 NO 2450 2800 3500 + + = 2960 3 3 3 8750 ≠ 2960 3 -43.09?3 = 2830 758.38 + 933.07?1 + 0.34 Pese a que el valor de las diferencias han disminuido es necesario ajustar los valores con objeto de acercarse más a la solución del sistema. ?2 = 11666.Matemáticas Curso Propedéutico 0.08?2 + 0.28 + 1250 = 2960 2941.34 -18.66≠ 2830 0.28 + 1125 = 2830 2816. Como el valor de la diferencia es de 43.1 tiene el mayor peso (coeficiente) se procede a incrementar su valor.08?2 + 0. Como la variable uno tiene el coeficiente mas pequeño se puede disminuir su valor. ?3 = 13000 ¿Se cumple con la relación? Restricción Diferencia SI ?1 + ?2 + ?3 = 35000 10334 + 11666 + 1300 = 35000 35000 = 35000 0 10 . Como la mayor diferencia se encuentra en la ecuación tres y en esta la variable 0. Prueba 3: Sean ?1 = 10334.07?1 + 0. ?2 = 11666. La cantidad que se aumente a la variable tres deberá ser disminuida a la variables restantes para mantener la igualdad de la ecuación 1. ?3 = 12500 ¿Se cumple con la relación? SI NO NO Restricción Diferencia ?1 + ?2 + ?3 = 35000 10834 + 11666 + 12500 = 35000 35000 = 35000 0.333 se decide incrementar el valor de ?3 = 12500 y reducir el valor de la variable 3 a ?1 = 10834 y se ajusta el valor de ?2 = 11666.08?2 + 0.1?3 = 296 758. Se espera que el valor de la diferencia de la segunda ecuación sea eliminada con este movimiento. Prueba 2: Sean ?1 = 10834.66 ≠ 2960 0 -13.38 + 933. 66 ≠ 2960 -3.28 + 1300 = 2960 2956. Ninguna otra combinación de valores satisface al sistema por lo que se dice que esta es una solución única. 1785 litros de diesel y 2100 litros de gasolina. 21 litros de diesel y 10.07?1 + 0. A partir de un barril de petróleo crudo la primera refinería produce 42 litro de aceite de calefacción. ?3 = 13000. 28 y 10 litros de aceite de calefacción. Y la tercera produce a partir de un barril de petróleo 10. Tabasco y Veracruz. diesel y gasolina respectivamente. Cada refinería produce tres derivados de petróleo: Aceite de calefacción. Los datos expresados en el enunciado anterior pueden ser ordenados en la siguiente tabla.28 + 1170 = 2830 2826.09?3 = 2830 700 + 960 + 1170 = 2830 2830 = 2830 0.38 + 933.08?2 + 0.08?2 + 0.07?1 + 0. diesel y gasolina.34 Pese a que el valor de las diferencias han disminuido es necesario ajustar los valores con objeto de acercarse más a la solución del sistema.09?3 = 2830 723. ?3 = 13000 ¿Se cumple con la relación? SI SI SI Restricción Diferencia ?1 + ?2 + ?3 = 35000 10000 + 12000 + 13000 = 35000 35000 = 35000 0. La demanda que debe cubrir la compañía petrolera para el próximo mes serán de 1000 litros de aceite de calefacción.07?1 + 0. Prueba 4: Sean ?1 = 10000. ?2 = 1200. La segunda produce a partir de un barril de petróleo 21. El problema de las refinerías Una compañía petrolera tiene tres refinerías ubicadas en Campeche. 10.08?2 + 0.07?1 + 0.34 NO 0.Matemáticas Curso Propedéutico NO 0.08?2 + 0. ?2 = 1200. 11 .1?3 = 296 723.1?3 = 2960 700 + 960 + 1300 = 2960 2960 = 2960 0 0 0 Con esta última prueba se encuentra el valor de la solución del problema que se alcanza en los puntos ?1 = 10000. diesel y gasolina respectivamente.5 litros de galones de gasolina.38 + 933. 24 litros de aceite de calefacción. Ejemplo 7.66 ≠ 2830 -3. ?3 : ???????? ?? ???????? ?? ????ó??? ?????????? ??? ?? ???????í? ?? ????????.5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 Prueba 1: Sean ?1 = ?2 = ?3 = 10 ¿Se cumple con la relación? NO NO NO Restricción Diferencia 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 420 + 210 + 100 ≠ 1000 730 ≠ 1000.5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 105 + 100 + 240 ≠ 2100 445 ≠ 2100 -270 -1195 -1655 Con un valor de xi= 10 no se cumple ninguna de las restricciones. así que se prueba un nuevo valor. 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 10. debe tomar un valor mayor. Producto Aceite de calefacción Diesel Gasolina Producción por un barril de petróleo crudo Refinería de Refinería de Refinería de Campeche Tabasco Veracruz Demanda mínima esperada 42 21 10 1000 21 10. La combinación de producción de cada una de las refinerías debe ser por lo menos igual a la demanda esperada por la compañía para cada uno de los productos.5 28 10 10 24 1785 2100 Variables. Relaciones entre variables y los datos. Curso Propedéutico Tabla de datos problema de la refinería. Tomando en consideración que la diferencia más grande existe en la restricción 3 se debe asignar un valor mayor a la variable x3 que es la que tiene un peso mayor (parámetro más grande) en esta restricción. 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 210 + 280 + 100 ≠ 1785 590 ≠ 1785. Así como la variable x2 . ?1 : ???????? ?? ???????? ?? ????ó??? ?????????? ??? ?? ???????í? ?? ??????ℎ?. 10. ?2 : ???????? ?? ???????? ?? ????ó??? ?????????? ??? ?? ???????í? ?? ???????.Matemáticas TABLA 1. 12 . 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 210 + 560 + 400 ≠ 1785 1170 ≠ 1785. 10. 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 63 + 840 + 800 ≠ 1785 1703 ≠ 1785. ?2 = 20.5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 31. se incrementa el valor de x3. Prueba 3: Sean ?1 = 3 . Considerando la mayor diferencia. por lo que. 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 0 + 1120 + 700 ≠ 1785 1820 ≠ 1785. .5 ≠ 2100 556 -82 151. ?3 = 40 ¿Se cumple con la relación? NO NO NO Restricción Diferencia 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 420 + 420 + 400 ≠ 1000 1240 ≠ 1000.5 Prueba 4: Sean ?1 = 0 . ?2 = 40.Matemáticas Curso Propedéutico Prueba 2: Sean ?1 = 10. 10.5 + 300 + 1920 ≠ 2100 2251. ?3 = 80 ¿Se cumple con la relación? NO NO NO Restricción Diferencia 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 126 + 630 + 800 ≠ 1000 1556 ≠ 1000. ?3 = 70 ¿Se cumple con la relación? NO NO Restricción Diferencia 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 0 + 840 + 700 ≠ 1000 1540 ≠ 1000. 13 540 35 .5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 105 + 200 + 960 ≠ 2100 1265 ≠ 2100 240 -650 -835 Se intenta un nuevo valor. ?2 = 30. 5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 2655 0+ + 1728 ≠ 2100 7 14751 ≠ 2100 7 ?1 = 0 .2.5 + 720 ≠ 1000 1516.Matemáticas NO Curso Propedéutico 10. SI NO Prueba 6: Sean 525 23.6 + 720 ≠ 1785 1761.5 0 7.5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 0 + 372 + 1728 = 2100 2100 = 2100 ?1 = 0 . ?3 = 1575 22 516. 10. ?2 = 531 14 ¿Se cumple con la relación? NO Diferencia 0 . 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 0 + 1062 + 720 = 1785 1785 = 1785.6 ≠ 1785.1818.2 + 720 ≠ 1000 1525 ≠ 1000.5909 ¿Se cumple con la relación? Restricción Diferencia NO 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 8820 15750 0+ + ≠ 1000 11 22 517. ?3 = 72 Restricción Diferencia 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 0 + 796.5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 0 + 400 + 1680 ≠ 2100 2080 ≠ 2100 -20 Por la naturaleza del problema se infiere que el mínimo valor de barriles de crudo que se puede asignar a una refinería es de 0 por tanto el valor de ?1 ya no puede ser disminuido Prueba 5: Sean ?1 = 0 . ?2 = 420 11 ≈ 38.4 10. ?3 = 72 ¿Se cumple con la relación? NO NO SI Prueba 6: Sean Restricción 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 0 + 781.7268 14 . 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 0 + 1041.5 ≠ 1000. ?2 = 37.2857 ≈ 71. 4 Método de solución gráfico. cuando va a favor de la corriente el rema a una velocidad de 11km/h y cuando va en contra de la corriente. comenzaremos con un ejemplo sencillo en dos variables. .7272 ≠ 1000. Claudia y Toño reman en un río. 10. Por ello a continuación se presenta el método gráfico. ?1 + ?2 = 11 ?1 − ?2 = 3 15 .5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 4200 37800 0+ + = 2100 11 22 2100 = 2100 0 0 Como puede observarse no existe una combinación de barriles de petróleo asignados que cumplan simultáneamente con el sistema. La estrategia anterior es un método heurístico para encontrar una solución y permite entender el comportamiento del sistema. 1. Sin embargo.Matemáticas Curso Propedéutico 1517. Toño insiste en remar todo el camino. SI SI 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 11760 15750 0+ + = 1785 11 22 1785 = 1785. ¿Cuál es la velocidad con que rema Toño?. el método no es muy eficiente. Ejemplo 8. Si Toño rema a favor de la corriente su velocidad es de 11km/h Si Toño rema en contra de la corriente su velocidad es de 3km/h Variables ?1 : ????????? ? ?? ??? ???? ??ñ? ?2 : ????????? ?? ?? ????????? ??? ???. Sistema de ecuaciones. va a una velocidad de 3km/h. 16 . Desde el punto de vista gráfico la solución del sistema es el punto de intersección de las dos rectas. este sistema tiene tres variables y tres ecuaciones. Ejemplo 9. los tres planos deben ser concurrentes en un sólo punto.Matemáticas Curso Propedéutico Solución gráfica. Esta solución es única. Desde el punto de vista geométrico para que exista una solución única. Dicho punto tiene como coordenadas ?1 = 7 ? ?2 = 4. Sistema A diferencia del ejemplo anterior. Las ecuaciones del lado izquierdo representan las ecuaciones planos (3). Introduciendo una variante al problema de la refinería ahora se aborda con el método gráfico. o no tiene solución? Las preguntas anteriores se responden geométricamente a partir de los siguientes ejemplos: 17 . Hasta ahora los sistemas anteriores tienen una solución única.Matemáticas Curso Propedéutico Solución gráfica Punto de concurrencia de los 3 planos. ¿Qué pasa desde el punto de vista geométrico cuando el sistema tiene múltiples soluciones. Es decir hay más incógnitas que ecuaciones. Figura 3.Matemáticas Curso Propedéutico Nótese que en el primer sistema hay tres incógnitas.5?1 + 10?2 + 24?3 = 2100 42?1 + 21?2 + 10?3 = 1000 21?1 + 28?2 + 10?3 = 1785 ¿Qué observa? 18 . Representación gráfica del inciso b) 10. Representación gráfica del inciso a) ¿Qué observa? Figura 4. pero hay dos ecuaciones. hay tres incógnitas y tres ecuaciones ¿Significa qué hay una solución única?. ¿Qué significa esto gráficamente?. En cambio en el segundo. Representación gráfica del c) ¿Qué observa? El procedimiento de “prueba y error” ayuda a entender como se comporta el sistema. También el método grafico tiene sus limitaciones en el sentido de cuando se tiene un sistema de mas de 3 variables ya no es posible visualizar gráficamente la solución. Los cuales son sillas sillones y mecedoras.5 El método de eliminación Gaussiana. sin embargo no es eficiente y cuando se abordan sistemas de ecuaciones lineales más complicados ya no es manejable. Ejemplo 10. Madera (unidades) 1 2 3 Plástico (unidades) 1 2 2 19 Aluminio (unidades) 2 3 5 . Datos del problema de producción. Cada uno requiere de madera.Matemáticas Curso Propedéutico Figura 5. Esta se ilustra mediante el siguiente ejemplo. Un método más poderoso para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la denominada eliminación Gaussiana. Una compañía produce tres tipos de muebles para hogar. TABLA 2. Sillas Sillones Mecedoras. 1. plástico y aluminio como lo indica la tabla siguiente. ?3 : ???????? ?? ?????????. ?1 + 2?2 + 3?3 = 400 ( ??????). ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. ?2 : ???????? ?? ????????. Sumar o sustraer a una ecuación otra ecuación que resulta de aplicar la operación 1. 20 . y 700 unidades de aluminio. ?1 : ???????? ?? ??????. Intercambiar las ecuaciones. 3. ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. La solución por eliminación involucra dos etapas. Multiplicación de las ecuaciones por una constante distinta de cero. Sistema de ecuaciones. La primera es transformar el sistema dado en un sistema triangular superior tal como el siguiente.Matemáticas Curso Propedéutico La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera. Si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante esto no afecta la solución de la ecuación. ?1 + 2?2 + 2?3 = 300 ( ??á?????). Para lograr esto ¿ Cuántas sillas. La eliminación Gaussiana utiliza las operaciones algebraicas elementales con objeto de transformar el sistema original en un sistema equivalente. Las operaciones elementales son: 1. 300 unidades de plástico. sillones y mecedoras debe fabricar?. Variables. ?2 + ?3 = 100 ?3 = 100 Estas dos etapas se basan en las siguientes dos propiedades: 1. 2. −?2 − ?3 = −100 −?3 = −100 La segunda etapa es usar la sustitución regresiva para obtener los valores de las incógnitas. 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 (?? ????????). Para la producción de fin de temporada la compañía desea utilizar todas sus existencias. Resolución del sistema. ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. Operación Nuevo sistema. ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 0?1 − ?2 − ?3 = −100 Nuevo sistema.Matemáticas Curso Propedéutico 2. Operación Nuevo sistema. Si sumamos dos ecuaciones (sumar los lados izquierdos y sumar los lados derechos). −?3 = −100 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 Se suma a la segunda ecuación el producto de multiplicar la primera ecuación por -2 Operación −2?1 − 4?2 − 6?3 = −800. Se suma a la segunda ecuación el resultado de multiplicar la primera ecuación por -1. −?3 = −100 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 Se intercambia la ecuación 2 por la ecuación 3. ?2 + ?3 = 100 ?3 = 100 (−1) ∗ −?3 = −100) → +?3 = 100 De a cuerdo con la ecuación tres del sistema equivalente ?3 = 100 . ?2 + ?3 = 100 ?2 + 100 = 100 ?2 = 0 Ambos valores son sustituidos en la ecuación uno. (−1) ∗ −?2 − ?3 = −100) → ?2 + ?3 = 100 ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. cualquier solución de ambas ecuaciones es también una solución de la ecuación combinada A continuación se resuelve el ejemplo anterior utilizando las propiedades anteriores. ?1 + 2?2 + 3?3 = 400 ?1 + 2(0) + 3(100) = 400 ?1 + 100 = 400 ?1 = 100 21 . −?2 − ?3 = −100 −?3 = −100 Se multiplican las ecuaciones 2 y 3 por -1. 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 −?3 = −100 ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. Operación −?1 − 2?2 − 3?3 = −400 ?1 + 2?2 + 2?3 = 300 0?1 + 0?2 − ?3 = −100 Nuevo sistema. Ahora se emplea el método de sustitución regresiva para encontrar los valores de ?1 ? ?2 sustituyendo a ?3 en la segunda ecuación. 0 sillones y 300 mecedoras para ocupar todos su inventario. 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 2 3 ?1 400 2 2) (?2 ) = (300) 3 5 ?3 700 Las operaciones elementales realizadas anteriormente sobre el sistema ahora se hacen sobre los renglones de la matriz y el vector columna de lado derecho. Hay que subrayar el hecho de que la solución a un sistema de ecuaciones lineales depende de los coeficientes asociados a cada una de las variables. Todo el proceso realizado anteriormente. para encontrar la solución del sistema se puede traducir de forma matricial. ?2 + ?3 = 100 ?3 = 100 22 . 1 (1 2 ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. ?2 = 0 y ?3 = 100 ?1 + 2?2 + 3?3 = 400 → 100 + 0 + 300 = 400 ?1 + 2?2 + 2?3 = 300 → 100 + 0 + 200 = 300 2?1 + 3?2 + 5?3 = 700 → 200 + 0 + 500 = 700 Por lo tanto la compañía debe fabricar 100 sillas. ?1 + 2?2 + 2?3 = 300. 1 (1 2 2 3 400 1 2 2|300) ~ (0 3 5 700 2 2 0 3 3 400 1 −1|300) ~ (0 5 700 0 2 0 −1 3 400 1 −1|−100) ~ (0 −1 −100 0 2 −1 0 3 400 1 −1|−100) ~ (0 −1 −100 0 2 −1 0 3 400 −1|−100) 1 100 −1 −2 ?12 ∗ ?13 ∗ ?23 ∗ ?2−1 Reescribiendo la última matriz equivalente a términos de un sistema de ecuaciones se obtiene lo siguiente. ?1 400 1 2 3 ? (0 −1 −1) ( 2 ) = (−100) ?3 100 0 0 1 ?1 + 2?2 + 3?3 = 400. Sean ?1 = 100. Y que la clave de la eliminación Gaussiana es que las operaciones empleadas lleven siempre a un sistema de ecuaciones equivalente al anterior.Matemáticas Curso Propedéutico Para comprobar que los valores encontrados satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones del sistema se sustituyen dichos valores de las incógnitas en el sistema de ecuaciones. un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a cualquier sistema transformado por las operaciones elementales antes señaladas. En resumen. ceros en la b) El paso anterior produce una submatriz. repitiendo el paso anterior es decir. La cual tiene la siguiente forma. Como ya se observó por medio de las operaciones elementales el sistema fue transformado a uno de forma escalonada. el cual es equivalente al original. Y La solución obtenida es ?1 = 100. como pivote y usarla para generar primera columna. ?2 = 0 y ?3 = 100. El método anterior de manera resumida consistió en los pasos siguientes: a) Seleccionar la primera ecuación. 23 . Se puede asignar cualquier valor a las variables ??+1 hasta ?? . se usa la sustitución regresiva. A estos sistemas se les llama sobredeterminados .Matemáticas Curso Propedéutico Para obtener los restantes valores se emplea una sustitución regresiva en las ecuaciones anteriores. Este tipo de sistemas tienen una familia de soluciones con n-r grados de libertad (número de variables a las que se puede asignar cualquier valor). evidentemente indica que el sistema no tiene solución.(5) Pero si existe el caso donde ?? = ? y ?? = ? . 1. Para obtener los valores de las restantes variables. se escoge la ultima ecuación en la cual se ve de manera directa la solución de ?? . es decir.(4) El sistema equivalente escalonado de m ecuaciones lineales con n incógnitas tendrá solución única si ? = ? lo que implica que ? − ? = 0. ?11 ∗ ?1 + ?12 ∗ ?2 + ⋯ + ?1? ∗ ?? = ?′1 0 ∗ ?1 + ?22 ∗ ?2 + ⋯ + ?2? ∗ ?? = ?′2 0 ∗ ?1 + 0 ∗ ?2 + ⋯ + ?2? ∗ ?? = ?′3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ∗ ?1 + 0 ∗ ?2 + ⋯ + ??? ∗ ?? = ?′? ?11 [ ⋮ 0 ⋯ ?1? ?1 ?′1 ⋱ ⋮ ]( ⋮ ) = ( ⋮ ) ⋯ ??? ?? ?′? Reescribiendo lo anterior como un sistema de ecuaciones. Si es ? < ? el sistema tendrá soluciones infinitas (sistema indeterminado) lo que implica que ? − ? ≠ 0 . a dicho valor de estas variables corresponderán valores únicos de las variables ?1 hasta ?? . donde ? ≠ ? esta soluciones contradictorias para una misma incógnita. seleccionar la primera ecuación de la submatriz y utilizarla para generar ceros debajo de la primera columna de la submatriz.6 Sistemas equivalentes. y así sucesivamente hasta obtener una matriz triangular superior. debajo de la entrada ?11 . sustituyendo. 5?3 = −6 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = 5 2 2 1.5 7.5?2 − 4.5?2 + 7. Vitamina A D E Marca de píldoras Requerimiento vitamínico. y la marca Z tiene 3 de A. 2?1 + ?2 + 3?3 = 10 3?1 + 3?2 + 0?3 = 9 5?1 + 2.5?3 = 25 Sumar a la ecuación 2 el resultado de multiplicar la primera ecuación por -3 Operación Nuevo sistema. ¿Qué combinación de píldoras debe tomar la persona para satisfacer la prescripción médica? Datos del problema. Ejemplo 11. 0 de D y 7.1 Sistemas indeterminados y sobredeterminados.Matemáticas Curso Propedéutico 1.5 unidades respectivamente. 3 9 −3?1 − ?2 − ?3 = −15 2 2 3?1 + 3?2 + 0?3 = 9 1.6.5?2 + 7. 9 unidades de vitamina D y 25 unidades de vitamina E. 5?3 = 25 Multiplicar la ecuación 1 por (1/2) Operación Nuevo sistema.5 de E.(1) (Sistema indeterminado). Vitaminas. 3 unidades de vitamina D y 5 unidades de vitamina E.5 25 Variables.5?2 − 4. A continuación se presentan ejemplos de este tipo de sistemas. 5?3 = 25 24 . 3 y 2. X Y Z 2 1 3 10 3 3 0 9 5 2. Para satisfacer estos requerimientos puede elegir entre 3 marcas de píldoras vitamínicas.5?3 = −6 5?1 + 2. la marca Y tiene 1 . A una persona se le prescribió tomar 10 unidades de vitamina A. 1 ( ) ∗ (2?1 + ?2 + 3?3 = 10) 2 1 3 → ?1 + ?2 + ?3 = 5 2 2 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = 5 2 2 3?1 + 3?2 + 0?3 = 9 5?1 + 2.5?2 + 7. ?1 : ???????? ?????????? ?? ?? ????? ? ?2 : ???????? ?????????? ?? ?? ????? ? ?3 : ???????? ?????????? ?? ?? ????? ? El sistema. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A. 5?2 − 4. utilizando el procedimiento de sustitución regresiva se encuentra la solución al sistema.5? = −6 1. Dada la condición del problema los valores que se asignan a dicha variable ?3 no deben producir valores negativos en las variables. si se examina con mayor detalle. el sistema se reduce a 2 ecuaciones: 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = 5 2 2 1. si despejamos ?2 de la segunda ecuación y así ?3 queda como una variable independiente a la cual se le puede asignar cualquier valor. Es decir.5?2 = −6 + 4. 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = 5 2 2 1.5?2 − 4. Por ello. Obteniéndose múltiples soluciones. Estas se obtienen. Asignando el valor ?3 = ? .5?2 − 4. el sistema tiene una ecuación redundante.5?3 = −6 1.5?2 − 4.Dicho de otro modo. la tercera ecuación se obtiene de la primera multiplicándola por 2. se observa que la tercera ecuación es un múltiplo de la primera.5?3 = 25 0?1 + 0?2 + 0?3 = 0 ¿Cuál es la explicación de que la última ecuación de la tabla anterior se reduzca a 0=0? Nótese que en le sistema original.Matemáticas Curso Propedéutico Sumar a la ecuación 3 el resultado de multiplicar la primera ecuación por -5.5?2 + 7.5?3 = −6 2?1 + ?2 + 3?3 = 10 3?1 + 3?2 + 0?3 = 9 Este es un sistema indeterminado ya que tiene múltiples soluciones. 1. Se sustituyen en la ecuación 1 1 3 ?1 + ?2 + ?3 = 5 2 2 1 3 ?1 + (−4 + 3?) + ? = 5 2 2 3 3 ?1 − 2 + ? + ? = 5 2 2 ?1 + 3? = 7 ?1 = 7 − 3? 25 el .5 .5? ?2 = −4 + 3? 4 Dado que ?2 ≥ 0 entonces (-4+3r) ≥ 0 lo que implica que r ≥ 3.5?3 = −6 0?1 + 0?2 + 0?3 = 0 5 15 −5?1 − ?2 − ?3 = −25 2 2 5?1 + 2. Operación Nuevo sistema. Tomando en cuenta valor asignado a ?3 y el de ?2 . y existe una cláusula que establece que deben emplearse el doble de trabajadores para producción que para mantenimiento. que la persona consuma -1 pastillas vitamínicas. la cuál es una solución del sistema. los valores de x1=1. Ejemplo 12. por tanto. Sean r=2 que es un valor dentro del intervalo. ¿Cuántos trabajadores se deben contratar en cada uno de los departamentos? Variables. 7/3)Para aclarar más este punto. Figura 6. las dos condicione anteriores de r definen su rango de valores comprendidos en el intervalo (4/3. a los del área de mantenimiento $175/al día y al personal del departamento de transporte $145/día.Matemáticas Curso Propedéutico Dado que x1<0 entonces (7-3r)>0 lo que implica que r<7/3 Resumiendo. y un cuarto de los de mantenimiento para transporte.00 / día. Ya que no tiene sentido. se obtienen los siguientes valores de las variables: x1=-1. el departamento de producción y el de transporte. Considerando que la compañía tiene un contrato con el sindicato. 26 . x3=1. no es una solución para el problema real. x3=4. que esta solución satisface al sistema formalmente. Pero cuando ? = 1 que es un valor fuera del rango. x2=4. Solución gráfica. No obstante. A causa de un incremento en le número de pedidos la compañía se ve obligada a contratar un total de 70 nuevos empleados para el área de mantenimiento. La empresa debe pagar $11 200 por concepto de salarios por lo nuevos empleados. Contratación de trabajadores. x2=2. observe lo que pasa cuando el valor de r se encuentra dentro y fuera de este intervalo. (Sistemas sobre-determinados) Una compañía paga a los trabajadores del departamento de producción $150. ?1 + ?2 + ?3 = 70 150?1 + 175?2 + 145?3 = 11200 ?1 = 2?2 ?2 = 4?3 Reescribiendo las dos últimas ecuaciones. Sumar a la segunda ecuación el resultado de la primera por -150 Operación Nuevo sistema.Matemáticas Curso Propedéutico ?1 : ?ú???? ?? ????????? ??? á??? ?? ????????ó?. 1 −?2 + ?3 = −28 5 ?2 − 4?3 =0 19 0 ?2 − ?3 = −28 5 ?1 Multiplicar la ecuación cuatro por -5/19 27 + ?2 + ?3 = 70 25?2 − 5?3 = 700 −3 ?2 − ?3 = −70 19 − 5 ?3 = −28 . ?3 : ?ú???? ?? ????????? ??? á??? ?? ??????????. −?1 − ?2 − ?3 ?1 − 2?2 0?1 − 3 ?2 − ?3 = −70 =0 = −70 ?1 + ?2 + ?3 = 70 25?2 − 5?3 = 700 −3 ?2 − ?3 = −70 ?2 − 4?3 =0 Sumar a la cuarta ecuación el resultado de la segunda por -1 /25 Operación Nuevo sistema. −150?1 − 150?2 − 150?3 = −10500 150?1 + 175?2 + 145?3 = 11200 0?1 + 25?2 − 5?3 = 700 ?1 + ?2 + ?3 25?2 − 5?3 ?1 − 2?2 ?2 − 4?3 = 70 = 700 =0 =0 Sumar a la tercera ecuación el resultado de la primera por -1 Operación Nuevo sistema. El sistema. ?2 : ?ú???? ?? ????????? ??? á??? ?? ????????????. el sistema queda: ?1 + ?2 + ?3 150?1 + 175?2 + 145?3 ?1 − 2?2 ?2 − 4?3 = 70 = 11200 =0 =0 Resolución el sistema. Matemáticas Curso Propedéutico Operación Nuevo sistema. Graficamente significa que los cuatro planos no son concurrentes en un punto en el espacio. 3 3?2 + ?3 = 84 5 −3?2 − ?3 = −70 2 0 ?2 − ?3 = 14 5 ?1 + ?2 + ?3 = 70 25?2 − 5?3 = 700 2 − 5 ?3 = 14 ?3 = 140 19 Multiplicar la tercera ecuación por -5/2 Operación 5 2 − ∗ (− ?3 = 14) 2 5 ?3 = −35 Nuevo sistema. Esto se ilustra en la siguiente gráfica. 5 19 − (− ?3 19 5 ?3 ?1 + ?2 + ?3 = 70 25?2 − 5?3 = 700 −3 ?2 − ?3 = −70 140 ?3 = 19 = −28) → 140 = 19 Sumar a la tercera ecuación el resultado de la segunda por 3/25 Operación Nuevo sistema. 28 . ?1 → + ?2 + ?3 = 70 25?2 − 5?3 = 700 ?3 = −35 ?3 = 140 19 Lo que indica una inconsistencia en el sistema. ?3 = −35 no se puede considerar. Este problema no se aborda en estas notas. dado que no es posible contratar -35 empleados. 29 . Grafica del sistema. podríamos suponer que ?3 = 0 y con este valor se obtienen los siguientes resultados. ?2 = 28 ? ?1 = 42 . la cual tampoco es una solución del sistema. Por otro lado . Ya que no satisface la ecuación cuatro.Matemáticas Curso Propedéutico Figura 7. Un problema que podría plantearse en esta situación. Tratando de dar un sentido. si es posible encontrar una solución “aproximada” al sistema. debido a que no tiene un sentido en el problema real. Ejemplo 13. Sistema homogéneo.7 Curso Propedéutico Sistemas Homogéneos. dependiendo si todos los términos del lado derecho son o no iguales a cero. el sistema tiene un número infinito de soluciones. ?1 + 10?2 − 9?3 = 0 −58?2 + 49.5?3 = 0 101 ? =0 116 3 Por sustitución regresiva se obtiene que ?3 = 0. el sistema se llama homogéneo. en caso de que exista algún valor ?? ≠ 0. Un problema es determinar si existen soluciones distintas a la trivial. ?1 + 10?2 − 9?3 = 0 5?1 − 8?2 + 4.Matemáticas 1. ?11 ∗ ?1 + ?12 ∗ ?2 + ⋯ + ?1? ∗ ?? = ?1 ?21 ∗ ?1 + ?22 ∗ ?2 + ⋯ + ?2? ∗ ?? = ?2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ??1 ∗ ?1 + ??2 ∗ ?2 + ⋯ + ??? ∗ ?? = ?? Es decir. si todos los valores ?? = 0 .5?3 = 0 3?1 + 7?2 − 6. a) Sea el siguiente sistema de ecuaciones. Lo que corresponde a la solución trivial. A esta se le denomina solución trivial. Sí un sistema tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas. el sistema es heterogéneo. Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en homogéneos y heterogéneos. Todo sistema homogéneo tiene solución cuando ?? = 0 ya que esta satisface a todas las ecuaciones del sistema. b) Sea el siguiente sistema de ecuaciones. La teoría asegura que cuando en un sistema homogéneo se tiene menos ecuaciones que incógnitas. A continuación se presentan dos ejemplos que ilustran cuando existe solamente la solución trivial y cuando existe un número infinito.5?3 = 0 Determinar si el sistema tiene solución única o un número infinito de soluciones. ?1 + 2?2 + ?3 = 0 2?1 − ?2 + 5?3 = 0 2?1 + 4?2 + 2?3 = 0 30 . entonces una solución es la trivial. ?2 = 0 ? ?1 = 0. Las restricciones del problema. El maíz requiere de 4 días de mano de obra y $ 200 de capital por cada hectárea sembrada. Ejemplo 14. Esto lo explicaremos con el siguiente ejemplo. Variables. ?1 + 2?2 + ?3 = 0 −5?2 + 3?3 = 0 0=0 Si ?3 = ? (donde r es un parámetro) entonces los valores de ?2 = conjunto de soluciones del sistema para cualquier valor real de r. El frijol requiere 5 días de cultivo y $350 de capital. Si el agricultor dispone de $25000 de capital y de 320 días de mano de obra ¿Cuál es la estrategia de siembra que proporciona la mayor cantidad de ganancia?.8 3? 5 ? ?1 = 11? 5 representan el Sistema de ecuaciones lineales con una función objetivo. se puede encontrar la máxima ganancia y no emplear por ejemplo. es decir. Suponga también que el maíz genera una ganancia de $60. En muchas situaciones o problemas.Matemáticas Curso Propedéutico Determine si el sistema tiene solución única o un número infinito de soluciones. ?2 ≥ 0 ? ?1 ≥ 0 Obtener la máxima ganancia no implica agotar todos los recursos. se obtienen lo siguiente. Utilizando la eliminación Gaussiana. 31 . frijol y calabaza. Y la calabaza requiere 2 días de mano de obra y $250 de capital. Cultivos. todo el capital o la tierra.00 /ha. 1. debido a la naturaleza de problema los valores de las variables de decisión deben satisfacer lo siguiente ?3 ≥ 0. un sistema de ecuaciones suele tener asociado una función objetivo. mientras que el frijol y la calabaza proporcionan una ganancia de $ 45 y $78 respectivamente por cada hectárea. ?1 : ?ú???? ?? ℎ???á???? ?? ??í?. ?2 : ?ú???? ?? ℎ???á???? ?? ??????. ?3 : ?ù???? ?? ℎ???á???? ?? ????????. Suponga que un agricultor tiene 200 hectáreas de tierra en el cual puede sembrar cualquier combinación de tres cultivos maíz. ?1 + ?2 + ?3 ≤ 200 (??????) 4?1 + 5?2 + 2?3 ≤ 320 (???? ?? ????) 200?1 + 350?2 + 250?3 ≤ 25000 (???????) Por supuesto. Mediante una representación geométrica la solución se indica con un circulo. Resolviendo el sistema usando la eliminación Gaussiana se obtiene la siguiente solución n ?3 = 100. . determinada por las restricciones de desigualdad. Representación grafica de la solución. ??? (?): 60?1 + 45?2 + 78?3 Para resolver este tipo de problema se utilizan a las herramientas de la Investigación de Operaciones. 32 . ?2 = 0 ? ?1 = 0 con una ganancia de $7800. Figura 8.Matemáticas Curso Propedéutico El objetivo del agricultor es maximizar la siguiente función sujeta a las restricciones anteriores. En la gráfica se puede observar que el conjunto de puntos solución del sistema se encuentran en la parte positivo y acotada por los planos de restricción. Un paso inicial en este método es transformar las restricciones de desigualdad que aparecen en el sistema en restricciones de igualdad. y así poder utilizar la eliminación Gaussiana. el cual se interseca la función objetivo con la región factible. en particular el método simplex. en la siguente gráfica. determinan un valor Pi. el valor óptimo siempre se alcanza en uno de los puntos vértices que forman la región factible.8. en los puntos vértices. Esto lo ilustraremos con el siguiente ejemplo. que cualquier punto que se tome de esta región satisface simultáneamente las restricciones del sistema.Matemáticas Curso Propedéutico Verificando que la solución satisface las restricciones. es decir. el problema de la búsqueda del óptimo se reduce a la investigación de los puntos frontera de dicha región. Este concepto será de utilidad para la resolución de los problemas. es decir. que se representa a continuación 33 . El siguiente ejemplo ilustra el concepto de región factible. Región factible La región sombreada es un conjunto de puntos ?? que define una región factible.1 Líneas de indiferencia. De hecho.. 1. La función objetivo cambia de valor de acuerdo con el valor que se le asigne a las variables de decisión ?1 ? ?2 . Región factible del sistema. No obstante que existe un número infinito de soluciones en la región factible. Con base en el ejemplo previo se observa que la función objetivo siempre alcanza su valor máximo o mínimo en la frontera de la región factible. Figura 9. Matemáticas Curso Propedéutico ?? = ??1 + ??2 Todos los puntos que satisfacen esta ecuación se le proporcionan el mismo grado de satisfacción. llama curva de isoutilidad Las líneas de isoutilidad se desplazan paralelamente al asignar valores diferentes función objetivo. y a la Figura 10. Desplazamiento que optimiza. 120 isoutilidad 1 100 80 isoutilidad 2 60 isoutilidad 3 40 20 Cresimiento del valor de la función objetivo 0 0 50 100 150 Nótese que el valor de la función objetivo del tipo de maximización se mejora a medida que las líneas de isoutilidad se mueven hacia arriba y hacia la derecha.. observe las siguientes gráficas. Desplazamiento optimiza . Figura 11. Para ilustrar este desplazamiento. 120 100 isoutilidad 1 80 isoutilidad 2 60 isoutildad 3 40 Mejora del valor de la funcion objetovo 20 0 0 50 100 150 34 . Punto óptimo. El movimiento de las líneas de isoutididad está restringido a la región factible. Como se observa en la siguiente figura. 9 8 7 6 5 región factible 4 isoutilidad 1 3 isoutilidad 2 punto máximo 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 Optimizar una función objetivo significa buscar un punto que maximice o minimice el valor de dicha función satisfaciendo las restricciones del modelo. Figura 12. el valor de una función objetivo disminuye a medida que se desplaza hacia la izquierda y hacia abajo. Esquemáticamente el procedimiento se ilustra en el siguiente diagrama 35 .Matemáticas Curso Propedéutico En problemas de minimización. Una compañía produce dos tipos de artículos manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación tres máquinas A. Como lo muestra la tabla siguiente. 36 . Procedimiento de solución de problemas de PL con el método gráfico. Ejemplo 15. B. Para aclarar todos los conceptos anteriores considere el siguiente ejemplo. Producción. C.Matemáticas Curso Propedéutico Figura 13. A 2 1 180 B 1 2 160 C 1 1 100 37 Utilidad/Unidad 4 6 . Manual Eléctrico Horas disponibles por máquina. Curso Propedéutico Tabla de datos del problema de producción.Matemáticas TABLA 3. a) Escriba un sistema de ecuaciones cuya solución podría determinar los niveles de producción que pudieran satisfacer dicho sistema. 350 diesel y 350 gasolina.2y3 . Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3 6 3 2 4 3 6 2 3 6 Aceite de calefacción Diesel Gasolina Suponga que se tienen las siguientes demandas 280 galones de aceite de calefacción. las diferentes refinerías producen las siguientes cantidades (medidas en galones) de aceite de calefacción. Determinación de variables x1 = x2 = x3 = Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la Refinería 1 Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la Refinería 2 Cantidad de barriles de petróleo crudo que entran a la Refinería 3 Sistema de ecuaciones: 6 x1 3x2 2 x3 280 4 x1 6 x2 3x3 350 3x1 2 x2 6 x3 350 b) Encuentre una solución aproximada para este sistema de ecuaciones cuya producción no sea mayor que 30 galones de su demanda Nuevo sistema 280 6 x1 3x2 2 x3 310 350 4 x1 6 x2 3 x3 380 350 3x1 2 x2 6 x3 380 38 .Por cada barril de crudo de petróleo. diesel y gasolina. Ejemplo 16. Considere que existe una compañía petrolera que cuenta con 3 refinerías 1. Refinerías.9 Curso Propedéutico Ejercicios de repaso.Matemáticas 1. como x3 es la que tiene mas peso. 39 .Matemáticas Curso Propedéutico Para solucionar el sistema usamos el método de prueba y error por lo tanto asignamos en un inicio valores arbitrarios a las “xi” y observamos como se comporta el sistema. Por lo tanto la aumentamos y esperamos que con esta acción queden subsanadas las otras dos ecuaciones. Intento 2 Valores x1 20 x2 20 x3 20 Sustitución 6(20) 3(20) 2(20) 220 esta fuera del rango factible dif 60 4(20) 6(20) 3(20) 260 esta fuera del rango factible dif 90 3(20) 2(20) 6(20) 220 esta fuera del rango factible dif 130 Como podemos observar debemos aumentar xi Intento 3 Valores x1 25 x2 25 x3 25 Sustitución 6(25) 3(25) 2(25) 275 esta fuera del rango factible dif 5 4(25) 6(25) 3(25) 325 esta fuera del rango factible dif 25 3(25) 2(25) 6(25) 275 esta fuera del rango factible dif 75 Obsérvese que la diferencia entre la demanda y el resultado de la ecuación 3 es la mas grande. Intento 1 Valores x1 10 x2 10 x3 10 Sustitución 6(10) 3(10) 2(10) 110 esta fuera del rango factible 4(10) 6(10) 3(10) 130 esta fuera del rango factible 3(10) 2(10) 6(10) 110 esta fuera del rango factible De lo anterior se ve que se deben incrementar los valores de las “x1”. Producción. Intento 5 Valores x1 25 x2 25 x3 39 Sustitución 6(25) 3(25) 2(39) 301 esta dentro del rango factible 4(25) 6(25) 3(39) 367 esta dentrodel rango factible 3(25) 2(25) 6(39) 359 esta dentro del rango factible Una solución del sistema es Valores x1 25 x2 25 x3 39 Con una tolerancia de +30 galones en la demanda de los productos. Considere el siguiente sistema de ecuaciones el cual representa ecuaciones de oferta – demanda para sillas. Sillas Mesas Fábrica 1 10x1 7x1 Fábrica 2 6x2 7x2 40 Demanda 200 150 . mesas.Matemáticas Curso Propedéutico Intento 4 Valores x1 25 x2 25 x3 35 Sustitución 6(25) 3(25) 2(35) 295 esta dentro del rango factible 4(25) 6(25) 3(35) 355 esta dentrodel rango factible 3(25) 2(25) 6(35) 335 esta fuera del rango factible dif 15 Tendremos que aumentar el valor de x3 para lograr que la ecuación tres su resultado este dentro del rango factible. Sustitución Ejemplo 17. y sofás de dos fabricas. Almacén 1 Almacén 2 Centro 1 40 60 41 Centro 2 50 40 . 10(10)+ 6(10)=160 <200 Dif: 40 7(10)+7(10) =140 < 150 Dif: 10 5(10)+4(10)=90< 100 Dif:10 Por lo tanto hay que aumentar los valores a X1 =11 y a x2 =11. Por lo tanto debemos modificar los valores de X1 =11 y a x2 =12. Sustituimos los valores en el sistema y vemos el comportamiento del mismo 10(11)+ 6(11)=176 <200 Dif: 24 se redujo 7(11)+7(11) =154>150 Dif: -4 se redujo 5(11)+4(11)=99 < 100 Dif:1 se redujo Vemos que con estos valores satisfacen adecuadamente las ecuaciones 2 y tres en un intervalo del 10% de tolerancia del sistema sin embargo la ecuación 1 queda insatisfecha por arriba de un 10% de variación. con una precisión del 10% Ejemplo 18. Primero formulamos el sistema de ecuaciones 10x1+ 6x2 =200 7x1+7x2 =150 5x1+4x2=100 Y damos valores arbitrarios a X1 =10 y a x2 =10. Hay dos almacenes para camiones y dos lugares para venderlos la siguiente tabla proporcionan los costos por transportar un camión de los almacenes a cada uno de los centros de venta. Sustituimos los valores en el sistema y vemos el comportamiento del mismo 10(11)+ 6(12)=182 <200 Dif: 18 Esta dentro de un intervalo del 10% 7(11)+7(12) =161>150 Dif: -11 Esta dentro de un intervalo del 10% 5(11)+4(12)=103> 100 Dif:-3 Esta dentro de un intervalo del 10% Consideraríamos que la solución al sistema sea X1 =11 y a x2 =12. Sustituimos los valores en el sistema y vemos el comportamiento del mismo. Programación lineal. Formule el siguiente problema como un problema de programación lineal pero no lo resuelva.Matemáticas Curso Propedéutico Sofás 5x1 4x2 100 Encuentre una solución aproximada por el método de prueba y error. Realizamos un diagrama explicativo Determinación de variables x11 x12 x21 x22 Número de camiones que van del almacén 1 al centro 1 Número de camiones que van del almacén 1 al centro 2 Número de camiones que van del almacén 2 al centro 1 Número de camiones que van del almacén 2 al centro 2 Sabemos que el problema se basa en reducir costos y con las variables podemos escribirla en términos de las variables determinadas. Min w: 40x11+50x12+40x21+60x22 Sujeta a: x11+ x12 100 x21+ x22 80 x11+ x21 50 x12+ x22 100 x110 x120 x210 x220 42 . El centro1 necesita al menos 50 camiones y el almacén 2 necesita al menos 100. Encuentre la manera económica de satisfacer estos requerimientos.Matemáticas Curso Propedéutico El almacén 1 tiene 100 camiones y el almacén 2 tiene 80. Cuya estructura general es la siguiente. Se dice que la matriz es de orden “m*n” es decir el número de hileras por el número de columnas. El término matriz fue introducido en la literatura matemática por Josseph Sylvester (1950) para referirse a una entidad u objeto matemático. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada. En una semana de producción se utilizan estos recursos como lo muestra la tabla siguiente. ?11 ?=( ⋮ ??1 ⋯ ⋱ ⋯ ?1? ⋮ ) ??? Donde el elemento ??? indica que se encuentra en la hilera “m” y en la columna “m”. B y C ocupa unidades de malo de obra y material en su producción. la cual puede representarse por un arreglo rectangular de datos o entradas. Recursos Mano de obra Material A 10 5 Producto B 12 9 C 16 7 Disponibilidad del recurso 250 200 Si el fabricante puede vender todo lo que produce ¿Cuántas unidades de cada producto debe producir para ocupar la mayor cantidad de los recursos disponibles?. 2. Datos del problema de producción.Matemáticas Curso Propedéutico 2 MATRICES. TABLA 4. A continuación se proporcionan los siguientes ejemplos. Producción. Por ejemplo.1 Introducción. Las matrices son de utilidad para la formulación y resolución de problemas. 2.2 Conceptos básicos Como ya se mencionó una matriz es un arreglo rectangular de datos en hileras y columnas. 10 5 ( 12 9 16 7 ? ( ? ? ? ) ? ) ? . 43 . Un fabricante de los productos A. pero si ? ≠ ? se dice que la matriz es rectangular. Ejemplo 19. Y para el vector columna b. Para la matriz A considere solo los coeficientes asociados a cada una de las variables. El sistema anterior se puede representar en forma matricial ordenando los datos en un arreglo rectangular. 44 .. 10 12 ( 5 9 ?1 16 250 ) ∗ (?2 ) ≤ ( ) 7 200 ? 3 Como puede notarse la matriz A es una representación que organiza de manera compacta la información dada del problema. Y como se observo al principio una matriz puede de verse como una tabla de doble entrada donde las columnas representan una característica del problema y las hileras otra. 10?1 + 12?2 + 16?3 ≤ 250 5?1 + 9?2 + 7?3 ≤ 200 Forma matricial. ?= ??????? 1 10 ( 5 ??????? 2 ??????? 3 12 16 ?????? 1 ) 9 7 ?????? 2 A es una matriz de orden 2*3.Matemáticas Curso Propedéutico Variables. Para el vector columna x considere las variables que desea calcular. ?1 : ???????? ??? ???????? ? ?2 : ???????? ??? ???????? ? ?3 : ???????? ??? ???????? ? Restricciones. ??????? 1 ?1 ?=( ) ?????? 1 ?2 ?????? 2 ?3 ?????? 3 ??????? 1 ?=( ) ?????? 1 250 200 ?????? 2 Observe que con estos arreglos el sistema puede representarse de la siguiente forma. considere solo el valor de los recursos disponibles. 45 . 3 2 8 9 ?=[ ] →Ventas del mes de febrero.1 Suma y resta de matrices. Se generan las matrices A y B que sistematicen los datos del sistema. 0 15 Las ventas totales son el resultado de sumar las ventas de enero y febrero. Modelo Deluxe Súper Tabla de ventas. Deluxe y Súper. Los datos de ambos vehículos de los meses de enero y febrero del presente año se encuentran representados en la tabla siguiente. 2. [ 1 4 8 9 9 13 ]+[ ]=[ ]=? 3 2 0 15 3 17 9 13 ?=[ ] 3 17 Observe que los elementos de la matriz C{??? } representan la suma de las ventas. Las operaciones con las matrices las ilustraremos mediante los siguientes ejemplos. 1 4 ?=[ ] →Ventas del mes de enero. Cada uno de ellos se encuentra disponible es dos colores rojo y negro. El vendedor desea conocer el numero total de unidades vendías en dicho periodo.3. Mientras que las columnas proporcionan el número de vehículos vendidos por cada uno de los colores.3 Curso Propedéutico Operaciones con matrices. TABLA 5. Ejemplo 20. Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos. Enero Rojo 1 3 Febrero Negro 4 2 Rojo 8 0 Negro 9 15 Los renglones de la matriz proporcionan el número de vehículos vendidos de cada uno de los modelos. Venta de vehículos.Matemáticas 2. Suponga que alguien desea comprar 5 melones.10. 3 naranjas y 2 piñas.15. 46 . Matriz vector.3.Matemáticas Curso Propedéutico 2. Comparando precios en dos mercados se encuentra que los precios de esos dos productos son A=[ 30. 4 manzanas. Compras en el mercado.8 y 80] respectivamente. ya que el número de hileras del vector es diferente al número de columnas de la matriz.m) es 1 u. a) Exprese el problema de calcular costos de este conjunto de frutas en cada mercado como un producto de una matriz y un vector Definición del vector de frutas deseadas.10 y 75] y en el mercado B =[ 25. 5 4 v 3 2 La matriz de costos de las fritas en los mercados es: 30 10 10 75 Mercado A C Mercado B 25 15 8 80 El costo de las frutas para cada uno de los mercados queda definida con el siguiente producto 5 30 10 10 75 4 370 Cv C * v * 25 15 8 80 3 369 2 Por lo anterior sabemos que el costo por comprar las frutas en el mercado A (370 u. ¿Es posible realizar la multiplicación si se cambia el orden? Supongamos que tratamos de hacer dicho producto 5 4 30 10 10 ? ∗ ? = ( )( 3 25 15 8 2 75 ) 80 Obsérvese que no es posible. Ejemplo 21.2 Multiplicación.m más que comprarla en el mercado B (369 u.m). 25 5 1. La siguiente tabla muestra los costos de estas provisiones en tres diferentes abastecimientos.50 1 7 Abastecimiento B Matriz cos tos C 4 0.7 1 1 8 7 10 a) Exprese el problema para determinar los costos de las provisiones para la reunión por cada abastecimiento como una matriz – vector y determine los costos por establecimiento 10 6 Vector necesidades v 3 2 1 0. 3 cuartos de ensalada de papa. y 2 platillos de bocadillos.75 1 10 Abastecimiento C Pr oducto 1 0.75 8 10 5 74.75 8 Abastecimiento A 5 5 1. 47 .5 respectivamente. sándwich fruta ensalada de papa bocadillos Abastecimiento A 5 1 Abastecimiento B 5 1. 6 cuartos de fruta.5 2 El costo por comprar en los centros de abastecimiento A. 76 y 67.75 1 10 3 67.50 1 7 6 Cv * 76 4 0. Fiesta. Suponga que alguien necesita aprovisionarse para una fiesta y necesita 10 sándwiches. Siendo el lugar más costoso para comprar en el mercado B y el más económico para comprar en el centro C.25.B y C es 74.Matemáticas Curso Propedéutico Ejemplo 22.5 Abastecimiento C 4 075 0. Matriz A Producto A B C Material M MO A 5 20 10 4 25 8 10 10 5 M=Madera. 50. Madera 2 3 Mano de Obra 6 6 Acero 3 4 Matriz C “Productos necesarios para hacer las casas” A B C Casa I 4 8 3 Casa II 5 5 2 Matriz D ”Demanda para las casas” Casa I Casa II D. la matriz C expresa cuantos de estos productos son necesarios para construir dos diferentes tipos de casas y la matriz D proporciona la demanda para las casa de dos estados de la República. Méx.F. A=Acero Matriz B “Costos por ciudad” DF Edo. 80. la matriz B proporciona los costos de estos materiales en diferentes lugares.000 Edo.000 500.Matemáticas Curso Propedéutico Ejemplo 23.000 200. MO= Mano de obra. Méx. Expresar en notación matricial las siguientes operaciones en estos arreglos de datos: la matriz A proporciona la cantidad de material requerido para construir productos diferentes.00 A) Calcule el primer renglón del producto AB A* B 5 20 10 2 3 160 175 4 25 8 * 6 6 * * 10 10 5 3 4 * * B) ¿Cuál producto matricial expresa cuánto de los diferentes productos son necesarios para satisfacer la demanda para los dos tipos de casa en los diferentes Estados? 48 . A este tipo de matrices se les llama matrices especiales. D. DF Estado.4 Otro tipo de matrices. México Casa I 2381 2582 Casa II 1900 2065 2. 2. c necesarios para satisfacer las demandas en el DF y Estado de México. En estas circunstancias se pueden presentar dos casos que m=n o m≠n . por ejemplo.4.1 Matrices cuadradas y rectangulares. Como se mencionó. Algunas matrices presentan características particulares tanto en la naturaleza de los elementos que las conformas así como en su disposición.F Edo. b. una matriz se compone de m filas y de n columnas. Méx A 1200000 2820000 B 1400000 3140000 C 550000 1240000 C) ¿Cuál producto matricial expresa el costo por construir cada tipo de casa en cada Estado? C *( A * B) 5 20 10 2 3 4 8 3 5 5 2 * 4 25 8 * 6 6 10 10 5 3 4 175 160 2582 4 8 3 2381 194 5 5 2 * 182 2065 95 1900 110 Las entradas de la matriz resultante indican el costo por producir cada tipo de casa en cada Estado. 49 .En el primer caso se dice que es una matriz cuadrada.Matemáticas Curso Propedéutico D *C 50000 200000 4 8 3 1200000 1400000 550000 80000 500000 * 5 5 2 2820000 3140000 1240000 La matriz resultante indica la cantidad de productos a. ??∗? ?11 = ([ ⋮ 0 ⋯ ?1? ⋱ ⋮ ]) ⋯ ??? Una matriz triangular inferior es donde los elementos que están arriba de la diagonal superior son todos cero. 50 . ??∗? ?11 = ([ ⋮ ??1 ⋯ ⋱ ⋯ ?1? ⋮ ]) ??? Una matriz triangular superior es donde los elementos que aparecen debajo de la diagonal son todos cero. esta no cambia.3 Matriz identidad. En dicha matriz A=[??? ] se determina a la diagonal principal como un subconjunto de elementos ??? donde i=j. ??∗? ?11 = ([ ⋮ ??1 ⋯ ⋱ ⋯ ?1? ⋮ ]) ??? 2. transpuesta y simétrica. ??∗? ?11 = ([ ⋮ ?1? ⋯ 0 ⋱ ⋮ ]) ⋯ ??? 2. La matriz identidad es donde los elementos de la diagonal principal son todos 1’s y los elementos fuera de la diagonal son cero.Matemáticas Curso Propedéutico ??∗? ?11 = ([ ⋮ ??1 ⋯ ⋱ ⋯ ?1? ⋮ ]) ??? En el caso de que m≠n se trata de una de una matriz rectangular que tiene la siguiente estructura particular. Antes de definir a las matrices triangulares introduciremos el concepto de diagonal principal.4.4. La propiedad que tiene es que cuando se multiplica por cualquiera otra matriz Q.2 Matrices triangulares. Para ello considere una matriz cuadrada A de orden n*n. 4 7 8 ? = (4 9 2) 6 5 1 A partir de esta matriz formemos una nueva matriz.Matemáticas Curso Propedéutico 1 0 0 ? = (0 1 0 ) 0 0 1 Ejemplo. Ejemplos. 51 . Cuya notación es la siguiente. La matriz es necesariamente cuadrada. intercambiando las hileras por las columnas. El determinante es una función que asigna un número real a una matriz cuadrada. Sin embargo. Una matriz simétrica es una matriz que es igual a su propia transpuesta: ?′ = ?. Considerando esta importancia. 1 2 ?=( ) 2 8 2.5 1 0 ?=( ) 0 4 Definición de determinante. aún es un concepto importante que aparece el la resolución de problemas en el álgebra lineal. 1 ?? = (0 0 0 0 ? 1 0) (? 0 1 ? ? ? ℎ ) = (? ? ? ? ℎ) ? Matriz transpuesta Sea el siguiente ejemplo. Simétrica. a continuación se introduce dicho concepto. 4 4 6 ?′ = (7 9 5) 8 2 1 A esta matriz se le llama la transpuesta de A. Strang (2007) comenta que los determinantes han dejado de ser el centro del álgebra lineal de lo que estaban hace 100 años. 20?1 + 16?2 = 720 15?1 + 7?2 = 440 Para abordar el problema anterior lo plantearemos de manera general. ? ? ). ? ? Sea A=( 2. La segunda produce cantidades diferentes de estos productos como se describen en la siguiente tabla. y que la demanda para la gasolina es 440. Ejemplo 24. ¿Cuáles son los valores ?1 . ?2 necesarias para satisfacer esta demanda? Variables. y observaremos que en la solución esta involucrada la definición de determinante. el det [?] = ? ∗ ? − ? ∗ ? . Diesel Gasolina Refinería I 20 15 Refinería II 16 7 Suponga que la demanda es que la demanda para el diesel es 720 galones. La regla para asociar a la matriz A un número real es la siguiente. Cada refinería produce dos productos derivados del petróleo: gasolina y diesel. Una compañía tiene dos refinerías. Suponga que a partir de un barril de petróleo la primera refinería produce 20 galones de diesel y 15 galones de gasolina.6 Resolución de un sistema de ecuaciones por medio de determinantes.Matemáticas Curso Propedéutico ?(?) → ℛ Donde A es una matriz. la diferencia de estos productos puede ? ? ? ? representarse mediante el siguiente arreglo |?| = | |. 52 . ?1 : ?? ?ú???? ?? ???????? ?????? ??? ?? ????????? 1 ?2 : ?? ?ú???? ?? ???????? ?????? ??? ?? ????????? 2 Requerimos que las variables anteriores satisfagan el siguiente Sistema. Sea el sistema: ?? + ?? = ? ?? + ?? = ? Solución. el concepto de determinante es importante debido a sus implicaciones teóricas para la resolución de problemas. b=16. estas expresiones se hacen inmanejables.2 (20 ∗ 7) − (15 ∗ 16) ?? − ?? Estas fórmulas se pueden extender para solucionar sistemas ecuaciones de 3 incógnitas y tres ecuaciones. por ello es más adecuado utilizar la eliminación Gaussiana que se introdujo en secciones anteriores. ?? − ?? ?=( ) ?? − ?? Las fórmulas anteriores proporcionan una solución inmediata al problema de la refinería. d=7. ??? + ??? = ?? −(??? + ??? = ??) (?? − ??)? = ?? − ?? Resolviendo para x se tiene: ?= ?? − ?? ?? − ?? La cual se sustituye en la primera ecuación y simplificando obtenemos. Es decir. es fijarse en los denominadores y los numeradores de las formulas anteriores. Aquí se pueden presentar los siguientes casos: 1. Sustituyendo los valores numéricos del problema ( a=20. No obstante. La parte critica para determinar sí un sistema de ecuaciones tiene solución. Sin embargo.e=720 y f=440) en las fórmulas anteriores : ?= ?=( ?? − ?? (7 ∗ 720) − (16 ∗ 440) = = 20 (20 ∗ 7) − (15 ∗ 16) ?? − ?? (20 ∗ 440) − (16 ∗ 720) ?? − ?? )= = 27. ?? − ?? a este denominador se le llama el determinante de sistema. ?? − ?? ≠ 0 y ?? − ?? ≠ 0 Implica que el sistema tiene solución única. 53 . y de manera más general de n ecuaciones con n incógnitas. c=16.Matemáticas Curso Propedéutico Multiplicamos la primera ecuación por d y la segunda por b y luego sustraemos. Matemáticas Curso Propedéutico 2. ?? − ?? = 0 y ?? − ?? = 0 Implica que el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones, es decir, que cualquier pareja de números reales satisface el sistema. 3. ?? − ?? = 0 y ?? − ?? ≠ 0 Implica que el sistema no tiene solución. Rescribiendo el sistema anterior en forma matricial. ?? = ? ?1 20 16 720 Donde A es la matriz de los coeficientes ? = ( ), ?=( ) y ? = (? ) De forma más 15 7 440 2 general el sistema se reescribe usando subíndices. ?11 ?1 ?21 ?1 + ?12 ?2 = ?1 + ?22 ?2 = ?2 Donde ?11 ? = (? 21 ?12 ?22 ) ? ? = ( 1) ?2 ?1 ? = (? ) 2 Con esta nueva notación las fórmulas anteriores quedan expresadas de la siguiente manera: ?1 = ?11 ∗ ?2 − ?21 ∗ ?1 ?11 ∗ ?22 − ?21 ∗ ?12 ? ?1 | 11 | ?21 ?2 = ? 11 ?12 |? | 21 ?22 ? ?12 | 1 | ?12 ∗ ?2 − ?22 ∗ ?1 ?2 ?22 ?2 = = ?11 ∗ ?22 − ?21 ∗ ?12 |?11 ?12 | ?21 ?22 Las fórmulas anteriores se les conoce como las reglas de Cramer. Ejemplo: 2?1 ?1 − + 3?2 = 4 2?2 = 9 Se obtiene 54 Matemáticas Curso Propedéutico 4 −3 | | 2 ∗ 4 − (−3) ∗ 9 35 ?1 = 9 2 = = =5 2 −3 7 | | 2 ∗ 2 − (−3) ∗ 1 1 2 1 | ?2 = 2 2 | 1 2.7 4 | 9 = 2 ∗ 4 − 1 ∗ 9 = 14 = 2 −3 7 | 2 ∗ 2 − (−3) ∗ 1 2 La inversa de una matriz En esta sección se explica un método para resolver sistema de ecuaciones expresadas en la forma general Ax=b , para cualquier b utilizando el concepto de inversa de una matriz. Cualquier matriz A tiene una inversa aditiva denotada por –A la cual satisface la siguiente propiedad. ? + (−?) = ? Una matriz A tiene también una inversa multiplicativa, denotada por A-1 que cumple con la propiedad. ??−1 = ? ?−1 ? = ? ? Donde I es la matriz idéntica. Las inversas nos permiten “resolver” un sistema de ecuaciones de manera análoga a cuando se resuelve una ecuación escalar ax=b se divide ambos lados por a, y se obtiene x=a-1b, de manera equivalente si la matriz A tiene una inversa, entonces el sistema de ecuaciones Ax=b tiene como solución x=A-1b. 2.7.1 Cálculo de la inversa de una matriz 2*2. Considere la matriz A y denotemos su inversa (lo desconocido) por X 3 4 A=( ?11 1 ) , ? = (? 2 21 ?12 ?22 ) La ecuación matricial a resolver es ?? = ? , es decir, 1 ?11 )( 2 ?21 3 4 ?? = ( ?12 1 0 ?22 ) = (0 1) Para determinar x (=A-1) , encontraremos las entradas de una columna cada vez. 3 4 ( 1 1 ?11 ) (? ) = ( ) 0 2 21 55 Matemáticas Curso Propedéutico Lo que equivale a resolver el siguiente sistema. 3?11 + ?21 = 1 4?11 + 2?21 = 0 Para la segunda columna se tiene 3 4 ( 1 ?12 0 ) (? ) = ( ) 2 22 1 Lo que equivale a resolver el siguiente sistema. 3?12 + ?22 = 0 4?12 + 2?22 = 1 Lo anterior implica resolver dos sistemas de ecuaciones. Usaremos la regla de Cramer para resolver dichos sistemas. ?11 1 ?12 | | ?22 0 ?22 = = det(?) det(?) ?11 1 | ?21 ?21 0 = =− det(?) det(?) | , ?21 De la misma manera las soluciones para las otras incógnitas son: ?21 = − ?12 det(?) , ?22 = ?11 det(?) Estos resultados nos conducen a establecer la siguiente fórmula general para calcular la inversa de una matriz 2*2. ?11 ?? ? = (? 21 ?12 ?22 ) ?22 1 ???????? ?−1 = det(?) (−? 21 −?12 ?11 ) La fórmula anterior podemos expresarla así: dividir todas las entradas de A por el determinante, luego intercambiar los elementos de la diagonal y cambiar el signo de las dos entradas que están fuera de esta diagonal. El procedimiento anterior es útil para cuando se tiene una matriz de 2*2 sin embargo, cuando se tiene una matriz de orden mayor, el cálculo se vuelve complicado. Por ello es conveniente desarrollar un método más general y eficiente para calcular la inversa. Este se basa en la eliminación Gaussiana. Lo ilustraremos con el siguiente ejemplo. 56 1 0 (?|?) = (2 4 1 2 1 0 ~ 0 1 (0 0 2 1 1 1 −2 − | 2 5 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 0 1 1 1 1 0) ~ (0 4 −2|−2 1 0) ~ 0 1 − |− 2 4 0 2 1 1 0 1 0 2 4 −1 0 1 0 1 2 − 2 0 2) ( 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1− 0 ~ − 4 10 4 0 ~ 0 1 − | 2 0 1 0| 2 5 2 1 1 1 1 1 0 0 1 0 − 1 − 4 2) (0 0 1 0 − 10 10 5 ) 5) ( 21 2|0 60 1 ~ 0 0 ( 1 5 1 5 1 − 10 1 0 0| 1 1 0− | 2 0 1 0 1 ?−1 = − 1 2 ( 0 2 5 1 = (?|?−1 ) 10 1 5 ) − 1 5 1 5 1 − 10 2 5 1 10 1 5 ) − El proceso anterior se resume de la siguiente manera. 1 ? = (2 1 0 2 4 2) 2 6 A esta matriz le agregamos la idéntica. (?|?) → (?|?−1 ) Comprobando la inversa.Matemáticas Curso Propedéutico Ejemplo 25. ? ∗ ?−? = ? ? ? (? ? ? ? ? ? ? ?) − ? ? ( ? ? ? ? ? ? − ?? 57 ? ? ? ? = (? ?? ? ? ? ) − ? ? ? ? ?) ? . (?|?) = (8 1 11 1 11 1 0 | ) ~ (1 8 |8 −1. Un fabricante produce dos productos A y B. 8?1 + 11?2 = 42000 ?1 − 1.25 0 1 1 −1. Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42 000.25 0 58 1 0) ~ ( 1 0 11 1 8 | 8 0) 21 1 − 8 −8 1 .Matemáticas Curso Propedéutico ?−? ∗ ? = ? ? ? − ? ( ? ? ? ? ? ? − ?? ? ? ? ? (? ?? ? ? ? ) − ? ? ? ? ? ) = (? ? ? ? ? ? ? ? ?) ? Ejemplo 26.25 0 2 ( Calculando la inversa de A. Por experiencia se ha encontrado que puede ser vendido 25% más de A que de B.25?2 = 0 Forma matricial. Por cada unidad que vende de A la ganancia es de 8 unidades monetarias. por cada unidad que vende de B la ganancia es de 11 unidades monetarias.25?2 Reescribiendo el sistema. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender? Sistema 8?1 + 11?2 = 42000 ?1 = 1. ?? = ? ?1 8 11 42000 ) (? ) = ( ) 1 −1. Sistema ? ?? + ?? + ??? = ??? ??? + ??? + ??? = ??? ??? + ??? + ??? = ??? Representación matricial. ? (? ? ? ? ? ? ?? ??? ?) (?? ) = (???) ? ?? ??? 59 . La compañía desea programar la producción para el mes entrante en la cual se usen todos esto recursos. Una compañía de muebles produce mesas sillas y sofás en un mes la compañía tiene disponible 300 unidades de madera. Ejemplo 27.Matemáticas Curso Propedéutico ~ (1 0 1 11 8 8|1 1 21 5 0 1 0 84 )~( | 8 0 1 1 − 21 21 ?−1 5 = (84 1 21 11 21 ) 8 − 21 11 21 ) 8 − 21 ? = ?−1 ? 5 11 42000 2500 ? = ?−1 ∗ ? = (84 21 ) ( )=( ) 1 8 0 2000 − 21 21 ?1 2500 ? = (? ) = ( ) 2 2000 Debe vender 2500 unidades de A y 200 unidades de B. Los diferentes productos requieren las siguientes cantidades de materia prima. 350 unidades mano de obra 250 unidades de tapicería. Madera Mano de obra Tapicería Mesas 4 3 2 Sillas 1 2 0 Sofá 3 5 4 Encuentre la inversa de esta matriz de datos y úsela para determinar cuanto de cada producto debe ser producido. Dicha información se proporciona en la siguiente tabla. ? (? ? ? ? ? ? ? ?) − ? ? ? − ( ? ? ? ? ? ? ? − ? ?? ? ?? = (? − ?? ? ? ?? ) − ? = ?−1 ? 60 ? ? ? ? ?) ? ? ? ? ??) ? − ?? ?? − ?? ? ?? ) .Matemáticas Curso Propedéutico Calculando la inversa de A ? (?|?)) = (? ? ? ? ? ?? ?|? ?? ? ? ? ? ? ?) ~ ? ( ? ~ ? (? ? ? ? ? ? ? ??| ? ? ? −? −? ? −? ? ? ~ ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?| ? ?| − ? ? −? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ~ ? ? ? ? ?) ? ?? − ?? ~ ? ?? ) ? ? ? ( ?−1 ? ? ? ? ? ? ? |? ? ? ? ? ? ? ? | ? ? ~ ? ? ? ? ? ? ? ? ??| ? ?? ? −? ??| ? ? ? ? = − ? ? − ( ? ? ? − ? ?? ? ?? − ? ?? ? ? ? ?? ) − ??−? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? −? ? −? ? ? ? ?? ? ? ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | ? ? ??| ? ? ?? − ? ? − ? ~ ? ? ?| ? ? ? ? ?| ? ? ?? ? ? (? ? ? − ? ? ?) (? ? ? − ? ? ? ? ? ? ? − − − ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? |− | − ?? ~ ? ? ?|− ? ? ? ?| ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? −? −? ? ? ? ?? ) ( Comprobación. 66 unidades mesa. ???? ? ?? ??/? ( ) = ≈ ( ??? ?. ???? ) − ?? ??? ??? ??.66 sofás. 125 25 125 4( ) + ( ) + 3( ) = 300 3 3 3 300 = 300 125 25 125 3( ) + 2( ) + 5( ) = 350 3 3 3 350 = 350 125 25 125 2( ) + 0( ) + 4( ) = 250 3 3 3 250 = 250 61 . 8. ??? ? ( ? ) ?? ) − El fabricante debe producir 41. Comprobación.Matemáticas Curso Propedéutico ? ? ? ? = ?−? ∗ ? = − ? ? (− ? ? ? ? ? ? ? − ? ??? ?? ??? ??.333 sillas y 41. Matemáticas 3 Curso Propedéutico INDEPENDENCIA LINEAL. Ver figura a continuación.1). la componente 1 en la dirección del eje x y la componente 2 en la dirección del eje y. La representación algebraica es cuando se asocia a cada punto P del sistema coordenado el vector que tiene a P como extremo. El concepto de vector es una noción que aparece involucrado en problemas de áreas como la física.3) 62 . 3. ingeniería. La representación gráfica de la suma de vectores se obtiene trasladando a uno de ellos al extremo del otro formando un paralelogramo en donde una de las diagonales representa el resultado de dicha suma. Q(1. economía y por supuesto en las matemáticas. el plano cartesiano se define como el conjunto de vectores en R2. Desde el punto de vista gráfico un vector puede verse como un segmento dirigido cuyo origen coincide con un sistema coordenado.1 La suma de vectores.representados por una flecha o por parejas ordenadas de números reales. P(3. en las direcciones de los ejes coordenados. Por ejemplo El vector anterior se puede ver en términos de componentes. Bajo este concepto el plano se puede pensar como un conjunto de vectores que “llenan el plano”. por ejemplo. Así. ?) 2 1 0 0 1 2 3 63 4 5 6 .Matemáticas Curso Propedéutico 6 ?? = (??. ??) 5 4 3 ? = (?. y.z Є R3) Para definir la suma y producto por escalar en ℛ 3 se procede de la misma forma que para ℛ 2 se extiende el concepto de forma natural agregando un tercera coordenada. Lo anterior puede representarse gráficamente 64 .Matemáticas Curso Propedéutico Los conceptos anteriores pueden extenderse al espacio R3 El espacio R3 es el la triada de números reales.=(x.y. Más precisamente R3.z: x.2 Combinaciones lineales y dependencia lineal. 3. Matemáticas Curso Propedéutico 65 . que el vector (2. se dice que son linealmente independientes. es decir (2.4) se puede expresar como un múltiplo del vector (1.4)=k(1. En caso contrario.2) no es posible expresar uno en términos del otro.1) y (1. por ejemplo. los vectores (2.2).Matemáticas Curso Propedéutico Adviértase con base a en la figura anterior. Donde k=2.2). 66 . Cuando esto sucede se dice que los vectores son linealmente dependientes. ?2 ) y (?1 . Las ideas anteriores las formulamos en las siguientes dos definiciones. ?2 . Los vectores ?1 . ?2 ) son linealmente dependientes. implica que todos los escalares ?1 . ⋯ ?? son linealmente independientes si la única solución de la ecuación es ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? = ? .Matemáticas Curso Propedéutico sistema siempre tiene solución (solución trivial) y cuando tiene más de una diremos que los vectores (?1 . Definición 1. ?2 . ⋯ ?? deben ser igual a cero. En caso contrario diremos que son linealmente independientes. ?2 . ⋯ ?? no todos cero tal que ?1 ?1 + ?2 ?2 + ⋯ + ?? ?? = ?. 67 . ?2 . Los vectores ?1 . Definición 2. ⋯ ?? se dice qué son linealmente dependientes si existen escalares de ?1 . 1. Paul S. 1990. : Prentice Hall & A Simon & Schuster company. A. L. A Unified Introduction to Liner Algebra: Models. Steven. Perry. 1998. R. Algebra Lineal con aplicaciones. M. F.] Pérez A. Linear Algebra with applications. Kolman. 941. s. 68 . Barrera Mora. Linera Algebra with applications. 6. 1997. 1997. Matemáticas para administración. México : Grupo Patria Editorial. Economía. 2.. Haeussler E. William L. 4. 5. [ed. pág. 2007.l. s. 3. Mexico : McGraw-Hill. H.] De la Cera J. Álgebra Lineal. Tucker. Ciencias Sociales y de la Vida. USA : Prentice-Hall. Fernando. Methods and Theory. & Ibarra M. : Macmillan Publishing.Matemáticas Curso Propedéutico REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. [trad. USA : Prentice Hall. 1988. Introductory. J. V. B.l.