CURSO PROPEDEUTICO “MATEMATICAS ADMINISTRATIVAS”ING. GILDA ELISA TIZNADO PARRA Puerto Peñasco, Sonora. Junio del 2008 ING. GILDA ELISA TIZNADO PARRA Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” TEMARIO: I.Funciones 1.1 Definición de Funciones 1.1.1 Ejercicios 1.2 Dominio y Rango 1.2.1 Ejercicios 1.3 Dominio y Rango restringido 1.3.1 Ejercicios II. Leyes de los signos 2.1 Ejercicios III. Representación gráfica de funciones 1.3 Ejercicios IV. Ecuaciones Lineales y Funciones lineales 4.1 Forma de Pendiente Intersección 4.1.1 Ejercicios 4.2 Ecuaciones Lineales con 2 o más variables 4.2.1 Ejercicios. 4.3 Funciones lineales 4.3.1 Funciones lineales de costo, ingresos y utilidad. 4.3.2 Modelos de punto de equilibrio V. Introducción a álgebra de Matrices 5.1 Finalidad del estudio de las matrices 5.1.1 Operaciones con matrices 5.2 Determinante de una matriz ING. GILDA ELISA TIZNADO PARRA Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” I. FUNCIONES Definición de Funciones "Una función es una ley que relaciona dos magnitudes numéricas (llamadas variables) de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la primera magnitud (llamada variable independiente) le hace corresponder un valor y sólo uno de la segunda magnitud (llamada variable dependiente). Suele decirse que la segunda magnitud es función de la primera." Todos los ejemplos analizados nos permiten ver que a pesar de tratarse de situaciones completamente diferentes todas pueden expresarse simbólicamente de la misma forma: donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Esta manera de representar una función es especialmente interesante cuando la relación f entre la x y la y viene dada por una expresión matemática, pues en ese caso podemos saber con certeza los valores que toma la variable dependiente para cualquier valor que tomemos de la variable independiente. Más aún, si disponemos de una expresión matemática de la función podremos construir con facilidad una tabla de valores de la misma y una gráfica, pues cada pareja de valores (x, y) de la tabla que hagamos representa un punto del plano. Uniendo todos los puntos de la tabla obtendremos la gráfica de la función. La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada UN y SOLO UN valor de salida. Es en esencia, un dispositivo de entrada – salida. Se proporciona una entrada a una regla matemática que la transforma (manipula) en una salida específica. Elementos de una función. Como vimos en el apartado anterior, una función es una manera de relacionar dos magnitudes de forma unívoca. La primera de esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable dependiente. Además, hemos visto que toda función (de una variable) admite una expresión del tipo Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente). Todas las funciones que hemos analizado en los ejemplos son funciones de una variable. Reciben este nombre todas las funciones que sólo tienen una variable independiente. En realidad, el concepto de función es más general. La definición más completa de función habría sido la siguiente: Una función es una ley que relaciona una o más magnitudes (denominadas variables independientes) con otra magnitud (denominada variable ING. GILDA ELISA TIZNADO PARRA es decir. ¿Cómo quedaría expresada la función de su sueldo? ¿Cuánto ganará si vende 120 unidades en esa semana? ¿Y si vendiera 150? 1. más 10 pesos por cada unidad que usted venda. 3.1. El patrón le ha dicho que su sueldo dependerá del número de unidades que venda a la semana. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Una función de varias variables tendría este aspecto: Ejemplo: Y = f(X2 – 2X + 1) Si X = 1 Y = (1)2 – 2(1) + 1 = 0 Si X = -5 Y = (-5)2 – 2(-5) + 1 = 36 Si X = 10 Y = (10)2 – 2(10) + 1 = 81 La ecuación da la regla que permite transformar un valor de x en un en un valor correspondiente de y. 2.1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS Determine: a) f(10) b) f(-2) c) f(3) d) f(a + b) 1. 4. (3X / 2) – 1 4X2 + 6X -7 6X3 + 4X2 -25 3X4 – 5X3 +8X2 – X + 3 ING.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” dependiente) de forma unívoca. Si se establece que: Y = Sueldo semanal en dólares X = Número de unidades vendidas a la semana Si su patrón le dice que le pagará como sueldo fijo 150 pesos a la semana. que a cada conjunto de valores formado por un valor de cada una de las variables independientes le corresponde un valor de la variable dependiente y sólo uno. Ejemplo: Suponga que usted ha aceptado un empleo como vendedor. 0).40 dlls. • Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y se designa por Dom f. b)./hora? 2.3). X3. es de 18000 dólares.1). c. Cual es el costo proyectado si el carro recorre 50 000 millas en su vida útil? c). f(5. Detremine f(1. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro (subcompacto pero de gran potencia). 2. 1. y si recorre 100 000 millas? 1. Y) = X2 – 4XY + 3Y2 determine f(0. Im(f). -1) d) En f(X1. Dom(f).Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Determine: a) en F(X. -5). GILDA ELISA TIZNADO PARRA . • ING. en términos del numero de millas que recorra. 2. f(-1. X2.10). La compañía eléctrica de la localidad se vale del siguiente método para calcular las facturas mensuales de una categoría de clientes.7) e) En f(X1. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f). d). Ejercicio. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f). 1). f(2. A). b.1. b). v) = 2u2 + 5uv – 4v3. f(5.5). 5. Rango(f).-2.2. X4) = 3X1X2 – 5X2X4 – X1X3X4.X3. f(-3. Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Con esta función calcule la cuenta mensual de un cliente que utiliza 725 kilowatts-hora. 2. a). Determine la función que expresa el cargo mensual de un cliente. f(-2.0. para los cuales podemos calcular y = f(x). al conjunto de valores de x para los cuales existe la función. es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. Determínese la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del coche patrulla.60 dólares por kilowatts-hora. b) En g(u. c) Y si utilizó 1200 Kw.2 DOMINIO Y RANGO El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada y el rango es el conjunto correspondiente de valores de la variable dependiente (valores de salida). Han estimado también un costo promedio de 0. 2). 4.X2. es decir. X2. 10). Además la compañía cobra $0. f(-2. Se llama Recorrido. es decir.4). f(0. Por milla. en función de un número de kilowatts-hora. Para cada cliente se determina un cargo mensual de $5 por concepto de servicio. 1. determine f(1.6) c) En f(X1. X3) = (X1 – X2 + 3X3)2. determine f(0. El departamento de policía de una ciudad pequeña.X4) = X1X2 – 2X3X42. estudia la compra de un carro patrulla más.1). f(a.5. 3).1. 10. f(1. f(2. completamente equipado. determine f(-5. Por todas las pólizas mas 1. cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. x -5≥0 Cuando Así pues. En la función y = f(x) =√x-5 x puede ser sustituida por cualquier valor para el cual la expresión bajo el signo de raíz cuadrada sea positiva o cero. cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de un seguro de vida. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . entonces x queda restringida a valores no mayores que 150 000 y el dominio restringido de esta función queda de la siguiente manera: 0 ≤ X ≤ 150 000 (en función de las millas recorridas) El rango restringido de esta función de costo. es la prima anual en dólares y “x” denota el valor nominal de póliza ING.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Ejemplo. una póliza de $20000 dlls. Se cobra un cargo anual de $10 dlls. Si p. Por ejemplo.40x + 18 000 incluye cualquier valor real de x. Si D se define como el dominio de f D = {x I x es real} Ejemplo.2x + 1 x puede ser sustituida por cualquier valor real. no obstante. resultando un valor correspondiente y único de y. Costara $10 por el cargo fijo más $30 dlls. el dominio de la función incluye todos los número reales que sean mayores o iguales a 5.50 dlls. Además. Por cada mil dólares del importe de la póliza. Para determinar estos valores. En la función y = f(x) = x² . el costo C = 0. a la luz de las restricciones de “X” será: $18 000 ≤ C ≤ $78 000 Ejemplo: Una compañía de seguros. . dentro del contexto de la aplicación habría que establecer la restricción de que x no adopte valores negativos (no existen millas negativas recorridas). esto es D = {x I x es real y x ≥ 5} x≥0 1.3 DOMINIO Y RANGO RESTRINGIDO Cuando se ponen restricciones de modo tal que en la función del coche patrulla. si el departamento tiene la política de que ninguna patrulla recorrerá más de 150 000 millas. Además cada unidad producida le cuesta $8. establezca el dominio y rango restringidos de esta función de costo. a). si la capacidad máxima es de 300. Establezca el dominio y rango restringido de dicha función. determine la función que puede emplearse para calcular las primas anuales. Si C es el costo anual total en dólares y si “x” denota el número de unidades producidas durante un año. a). Suponga que la póliza mas pequeña que se da es de 10 000 dlls. 4./hr. Una estación radiofónica local adquirió el derecho exclusivo de promover un concierto en el auditorio cívico de la ciudad. con cupo para 20 000 personas.3. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . 3. Al fabricar un producto. 000 unidades al ano. el método para calcular la factura de los consumidores se aplica a clientes que utilizan entre 200 y 1500 Kw. Determine el dominio y rango restringido de esta función. Sin importar el número de unidades producidas.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” (expresado en miles de dólares). Suponga que en el ejemplo de la compañía de luz. cuales serían las utilidades de la estación radiofónica? ING. b).50 por cada boleto que venda para el concierto. Y la mas grande de $500 000. una empresa incurre en costos de 2 tipos.1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS 1. determine el dominio y rango restringidos de la función encontrada. si se tiene un lleno total. Tiene costos fijos anuales por 200 000 dlls. determine el dominio y rangos restringidos de esta función. b). Más $1. Su comisión es de $5000 dlls. a). 1. 2. Por mes. La función C(x) = 25X + 80000 expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar “x” unidades de un producto. Si el numero máximo de unidades que pueden producirse es igual a 20 000. determine la función C = f(x) que exprese el costo anual. Esto es: Ejemplo: Si tenemos 2 + 2. los dos números son de signo positivo y por lo tanto el resultado será positivo. por lo tanto se restan y el resultado es 3. . por lo tanto se restan y el resultado es 2.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” II. por lo tanto el resultado será negativo. . Se restan los números y se conserva el signo del mayor . Cuando los NUMEROS son de SIGNOS DIFERENTES. LEYES DE LOS SIGNOS La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo. . Se suman los valores y se conserva el signo. Si tenemos -3 . pero como el 9 > 6 y el signo del 9 es negativo. .9. el resultado será negativo. los dos números son negativos. sabemos que el 6 es positivo y el 9 es negativo. ING. entonces se conserva el signo del 4 que es positivo. como 2 < 4.6. 2. Cuando los NUMEROS son DEL MISMO SIGNO. Ejemplos: Si tenemos 6 . GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Si tenemos -2 + 4. sabemos que el 4 es positivo y el 2 negativo. Ley de los signos Multiplicación (+) por (+) da (+) (+) por (-) da (-) (-) por (+) da (-) (-) por (-) da (+) División (+) entre (+) da (+) (+) entre (-) da (-) (-) entre (+) da (-) (-) entre (-) da (+) Las leyes de los signos para la Suma y para la Resta Se aplican los siguientes criterios: 1. 3 .333) .2) (-6) = (-8/-4) = (+1/-3) = (+14) .(-3) = + 9 3 (-3) .( 6) = 3 (-8) · (-3) + (-12) ·(-2) + (-2) = ? ( 24) + ( 24) + ( 2) = 46 ING. (+2) (+18) = (-18) (+2) = (+7) (-12) = (+8. ( 3) + ( 3) + ( 3) .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” 2.5) (-4) = (-5/+2) = (+18/-9) = (-18) + (-22) = (+0. GILDA ELISA TIZNADO PARRA .1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS • Resuelva las siguientes operaciones con signos. 4=+6 4=+1 3 = + 12 12 (+10) + (-4) = + 10 (-3) + (+4) = (+9) .(0.9 = • Ponga usted los signos que faltan en las siguientes operaciones.(-6) = (-25) + (-15) = (-18) .666) = (+4) (-4) = (-8) (-3) = (-10) (-10)= (-4.(-22) = • Escriba el signo que falta en las siguientes operaciones.(+9) = . (-16)·(+3) .900 $4.820 $4.000 mensuales.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” • Resuelva las siguientes operaciones.000 pesos y estima que sus gastos serán de $5. señale si logró ahorrar o le faltó dinero y cuánto. GILDA ELISA TIZNADO PARRA .785 $5.925 ¿Ahorró? Sí No ¿Cuánto? No $ ¿Gastó de más? Sí ¿Cuánto? $ ING.560 $5. por lo que cree que lo que ganó le alcanzará para 6 meses.(-18) . Mes marzo abril mayo junio julio agosto Gastó $4.850 $4. Si sus gastos en 6 meses fueron como se muestran a continuación.(-15) (-2) = Rafael ganó en un trabajo 30. Ejemplo: graficaremos la función y = f(x) = 2x . Todo lo estudiado en esta página nos permite ver que una función puede ser presentada de múltiples maneras. Una expresión matemática del tipo y=f(x). Ejemplos: Y = f(X2 – 2X + 1) Si X = 1 Y = (1)2 – 2(1) + 1 = 0 Si X = -5 Y = (-5)2 – 2(-5) + 1 = 36 Si X = 10 Y = (10)2 – 2(10) + 1 = 81 La forma mas ordenada de generar un par de puntos que satisfagan una función consiste en preparar una tabla con un renglón o columna que contengan ciertos valores de la variable independiente y otro que incluya valores calculados de la variable dependiente. una función puede expresarse mediante: • • • • Una gráfica. pero existen multitud de formas gráficas de representación de una función. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Formas de representar una función. Una tabla de valores. Para trazar la grafica de la función lineal Y = f(x) = 2x – 4 El primer paso consiste en seleccionar de modo arbitrario los valores de “x” y calcular los valores correspondientes de “y”.4 X y -4 -12 -3 -10 -2 -8 -1 -6 0 -4 1 -2 2 0 3 2 4 4 ING. Una frase que exprese la relación entre ambas variables.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” III. En los ejemplos expuestos la gráfica ha sido de tipo lineal. A continuación los valores de “x” y de “y” se consideran coordenadas. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . resulta sospechosamente ser una recta. en este caso. Resumiendo. Una vez graficados los puntos se unen son una curva suave que. 4 Y = f(x) = x³ + 5 Y = f(x) = -x³ Y = f(x) = 3x + 2 ING.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Para trazar la función cuadrática u = f(v) = 10v² + 20v -100 X y -6 140 -5 50 -4 -20 -3 -70 -2 -100 -1 -110 0 -100 1 -70 2 -20 3 50 4 140 Para trazar la función cúbica Y = f(x) = x³ X y 0 0 1 1 2 8 3 27 4 64 -1 -1 -2 -8 -3 -27 -4 -64 3. cuadrática o cúbica. Y = f(x) = x² .1 EJERCIOS COMPLEMENTARIOS Ejercicios. grafique las siguientes funciones y explique si es lineal. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . entonces Juan tiene x + 2 canicas.. • Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. ….. ¿Cuántas tiene cada uno? Si Pedro tiene x canicas. involucrando una o más variables a la primera potencia.1 ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es un planteamiento de igualdad. + a 2n X n = C 2 (b) (2) .. ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES 4. a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + . xn son variables. Por tanto: X +2 (x + 2) = 103 3x + 4 = 103 X = 99/3 = 33 Ejemplo 2 3X1 – 2X2 + 5X3 = 0 -X1 + 3X2 – 4X3 + 5X4 – X5 + 2X6 = -80 5X1 – X2 + 4X3 +X4 – 3X5 + X6 – 3X7 + 10X8 – 12X9 + X10 = 1250 ECUACIONES LINEALES CON 2 O MÁS VARIABLES Ecuación lineal con 2 variables: Una ecuación lineal con 2 variables “x” y “y” tiene la forma ordinaria. En lo sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Ejemplo 1 Juan tiene 2 canicas más que pedro.. a2. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . x2.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” IV. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). se obtienen 103 canicas.. es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.. o mejor dicho. + a nn X n = C n (c) Una ecuación lineal es una ecuación de la forma a1x1 + a2x2 + …+ anxn = b en donde x1.. a1. o sea conjuntos de ecuaciones de la forma: a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +.. Si el doble de las canicas de Juan se junta con las de Pedro. … an son constantes llamadas los coeficientes de las variables y b es una constante llamada el término constante de la ecuación. ax + by = c ING. Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. + a 1n X n = C 1 (a) a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +. que no contiene productos entre las variables. La variable despejada en el paso 1. • Método por sustitución • Método por igualación • Método gráfico RESOLUCIÓN MÉTODO POR SUSTITUCIÓN Este método se resume así: 1. se sustituye en la otra ecuación por su correspondiente expresión. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales: ¿Cómo se resuelve un sistema 2x2 de ecuaciones lineales? Hay diversos métodos de solución de un sistema con dos ecuaciones lineales de dos variables (2x2). y se resuelve la ecuación que resulta. 2. El valor de la variable obtenido en el paso 2.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Donde a. Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son: Hay exactamente una solución. No existe solución. 3. b y c son números reales y “a” y “b” no pueden ser iguales a cero. Un número infinito de soluciones. ING. Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. se sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1. F.F. ING. y sea y la velocidad del río o de la corriente. Sustituyendo a la variable y por 100 – x en la ecuación (**) se tiene: X – (100-x) = 70 2x – 100 = 70 X = 170/2 = 85 3.x 2. y se resuelve la ecuación que resulta. 2. 3. en sus respectivos autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad constante de 60 km/h. y la de la lancha cuando el río está en calma? Sea x la velocidad de la lancha cuando el río está en calma. Ejemplo 2 Juan y Jaime salieron del D. Por lo que: x + y = 100 x – y = 70 Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las mismas dos variables cada una. tales ecuaciones forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales.85 = 15 RESOLUCIÓN MÉTODO POR IGUALACIÓN Este método se resume así: 1. El valor de la variable obtenido en el paso 2. GILDA ELISA TIZNADO PARRA .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Ejemplo 1 Con la corriente a su favor una lancha navega a 100 km/h. Resolviendo el sistema (*) se obtiene: x = 85 km/hr y y = 15 km/hr Resolver por sustitución el sistema: x + y = 100 x – y = 70 1. Entonces t–1 es el tiempo que transcurrió para Jaime hasta alcanzar a Juan. y sea t el tiempo transcurrido para Juan cuando es alcanzado. se sustituye en una de las ecuaciones obtenida en el paso 1. Entonces: X + y es la velocidad de la lancha con la corriente a su favor. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1. Si Jaime salió 1 hora después que Juan conduciendo a 90 km/h. X –y es la velocidad de la lancha con la corriente en contra.F. ¿Cuál es la velocidad de la corriente. De cada ecuación se despeja la misma variable. Sustituyendo a la variable x por 85 en la ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y Y = 100. Despejando a la variable y de la ecuación (*) se tiene: y = 100. y con la corriente en contra navega a 70 km/h. en que Jaime alcanza a Juan. ¿a qué distancia del D. y en cuánto tiempo alcanzó Jaime a Juan? Sea d la distancia del D. es una recta. RESOLUCIÓN MÉTODO GRÁFICO La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales. y) de cada tabla en el plano cartesiano. se trazan las correspondientes rectas para determinar la solución.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo y la distancia así v = d/t se tiene que: 60 = d/t o sea 60t – d = 0 90 = d/t-1 90t – d = 90 Resolviendo por igualación el sistema anterior se tiene: 90t – 90 = 60t 30t = 90 t = 90/30 = 3 Sustituyendo el valor t = 3 en la ecuación se obtiene que d = 180. Observe: Y=X+1 X Y 0 1 -1 0 Y = 2X -1 X Y 0 -1 2 3 Representando gráficamente las parejas ordenadas (x. Ejemplo 3 Resolver gráficamente el sistema X – Y = -1 2X – Y = 1 Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada una de ellas. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . 3) x ING. Por lo que el método gráfico: Consiste en representar gráficamente las ecuaciones del sistema para determinar (si la hay) la intersección de las rectas que las representan. Observe: y 3 1 0 –1 2 (2. 1) 1 0 1 X – 3Y = 1 2 4 x Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un número infinito de soluciones se llama sistema indeterminado o dependiente. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . El sistema X – 3Y = 1 X – 4Y = 8 X – 4Y = 8 tiene solución única. se intersecan exactamente en un punto cuyas coordenadas corresponden a la solución del sistema. consistente o independiente y se caracteriza en que las rectas que son gráficas de las ecuaciones que lo forman. Observe: y 2 (4. compatible. 3) es la intersección de las rectas que son gráficas de las ecuaciones del sistema.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” El punto de coordenadas (2. El sistema X – Y/2 = 1 tiene infinidad de soluciones. entonces la solución es: X=2 Y=3 Un sistema que tiene solución única. se llama sistema determinado. Observe: 2X – Y = 2 y 0 1 X – Y/2 = 1 x 2X – Y = 2 - 2 ING. y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son la misma recta. 4Y – 11X = 0 b).1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. El sistema X – Y/2 =1 2X – Y = 3 no tiene solución.2. Además como los dos tipos de producción aportan buenas ganancias. a). Observe: y X – Y/2 =1 0 1 x -2 2X – Y = 3 -3 4. 4a – 5b = -10 ING. Si la gerencia decide producir solo un artículo. Cada unidad del producto “A” requiere 3 horas de trabajo para su elaboración y cada unidad del producto “B” requiere 2. Mezcla de productos. Defínase la ecuación que establezca que las horas totales de trabajo dedicadas a la producción de “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B son 120. X + Y – 4 = 2X + 6Y + 6 d). 3Y = 4X2 – X/2 e). GILDA ELISA TIZNADO PARRA . y se caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones que lo forman son rectas paralelas y distintas entre sí. ¿Cuántas unidades del producto A pueden fabricarse si se elaboran 30 unidades del producto B? c). Una compañía fabrica dos tipo de productos diferentes. Puede asignar horas de trabajo a la fabricación de ambos productos.5 horas. 2X1 + 3X2 + X3 = 15 f). 3Y2 = X + 10 c). Para la semana entrante se disponen de 120 horas de trabajo destinadas a la elaboración de ambos productos. a). b). a la dirección le interesa utilizar las 120 horas de trabajo durante la semana. ¿cuál será la cantidad máxima que puede fabricarse del producto A? ¿ Y cuál será la cantidad máxima del producto B? 2. Determine cual de estas son ecuaciones lineales.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Un sistema que no tiene solución alguna se llama sistema inconsistente o incompatible. 100. La ración diaria mínima de la vitamina es de 96 miligramos. Contratación de Personal.-1. determine la ecuación apropiada que garantice que la comida cumple exactamente con la ración diaria mínima. respectivamente. ¿Cuánto tendrá que servirse (en cada uno de los 3 casos posibles) a fin de satisfacer la ración diaria mínima? 9. Una onza del alimento 1 rinde 8 miligramos de la vitamina.-2. a). Una caja de un artículo pesa 150. Si se decide usar este avión para transportar un artículo solamente. Qué valores satisfacen la ecuación cuándo X1 = 5 y X3 = 4? 5. Si xj.2. y una onza del alimento 3 rinde 16 miligramos.3. Grafique la ecuación y = 3x + 6 cuando los valores de x son de -3. beneficios y prestaciones. El avión que se usará tiene una capacidad de peso de 60 000 libras y Xj. Un dietista está estudiando la conveniencia de servir tres tipos de alimentos en una comida. X3 = 4 y X4 = -2? 6.1. para los cuatro artículos. Determine la ecuación adecuada que asegure que el avión esté cargado a toda su capacidad. una onza del alimento 2 suministra 6 miligramos. 8. Transporte aéreo de emergencia.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” 3. Y cada ING. Considere la ecuación 15X = 75 como una ecuación de dos variables. a). b). x3 = 4 y x4 = -2? 7. b). hay que contratar a nuevos analistas programadores. Cada puesto de programador analista de alto nivel costará $45 000 dlls. 80 y 200 libras. A fin de cumplir con él. Planeación nutricional. cada uno de los cuales se enviará en contenedores o cajas. ¿Qué valores satisfacen la ecuación cuándo X1 = 10. x2 = 2. Es el número de onzas del tipo de alimento j servido en la comida. analistas programadores de alto nivel e ingenieros de software. En la ecuación 4X1 = -2X2 + 6X3 = 0 a). Se estudia la posibilidad de enviar 4 tipos de suministros. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Si se tiene la ecuación 2x1 – 2x2 + 6x3 – 4x4 = 32 ¿Qué valores satisfacen la ecuación cuando x1 = 10. Cada puesto de analista programador costará 30 000 dólares por concepto de sueldo. Le interesa sobre todo la cantidad de vitamina contenida en la comida. es el número de contenedores enviados del artículo “j”. Una empresa consultora de programas de computadora (software) ha recibido un gran contrato para desarrollar un nuevo sistema de reservación de una importante aerolínea. a) ¿Qué par de valores satisfacen la ecuación cuando Y = 10? b) ¿Qué par de valores satisface la ecuación cuando X = 20? 4. La cruz roja quiere enviar por avión alimentos y medicamentos a un país de América del Sur que ha sufrido un temblor. 0. ¿Cuántas cajas podrían embarcarse de cada suministro? 10. Si solo uno de los 3 tipos de alimentos debe de incluirse en la comida. Si se tiene la ecuación 2X1 – 2X2 + 6X3 – 4X4 = 32 a). y "x" es la cantidad de teléfonos vendidos.8 millones de dólares anuales para las nuevas contrataciones. Si para el contrato se necesitasen exactamente 20 analistas programadores. b). Ejemplo: Analicemos la relación funcional que existe entre la venta domiciliaria de teléfonos celulares. a). pero desempeñan un importante papel en la formulación de los problemas económicos. y el sueldo del vendedor: (funcion ingreso) donde "y" es el sueldo del vendedor. a la cual le asignamos valores para obtener y. provoca un cambio proporcional en la variable dependiente (y). cuya representación gráfica es: ING. Si se desea gastar todo el presupuesto en un tipo de puesto. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . el término independiente b es la ordenada al origen. que gráficamente representa la intersección de la recta con el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas (0.3 FUNCIONES LINEALES La función lineal es la más simple dentro de las formas que puede adoptar una relación entre variables económicas. ¿Cuál es el número máximo de analistas programadores que podrían ser contratados? ¿Y el número máximo de Ingenieros de Software? 4. el coeficiente a es la pendiente de la recta que representa a la función y siempre es distinta de cero. La aerolínea cuenta con un presupuesto de $1. Una función lineal tiene la forma general Donde a y b son números reales. Estas funciones se caracterizan porque un cambio unitario en la variable independiente (x). Estamos frente a una función lineal. Determine la ecuación que asegura que el total de las nuevas contrataciones absorberá exactamente el presupuesto.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” puesto de Ingeniero de Software costará $60 000 dlls. La tasa de cambio está representada por la constante a. La variable independiente es x. ¿A cuántas personas de cada tipo contrataría? c).b). 3. Esos flujos de dinero suelen destinarse al pago de sueldo. Es decir. 3. 2. Es función creciente Al aumentar el número de teléfonos vendidos. 000 Utilidad Mensual= $3. 750 000 .00. 000 Utilidad Mensual = $2.00(x) + $1 000.000 artículos) . en caso contrario la utilidad sería negativa y recibe el nombre de pérdida o déficit. si el ingreso total fuera la función I(x) y el costo total C(x). alquiler. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . calefacción. Solución: El ingreso estaría definido por: Ingreso total = $100 (x) El costo total sería: Costo total = $25.000 artículos determina la utilidad mensual de la empresa. D (f) = R0+ I (f) = 4.1 FUNCIONES LINEALES DE COSTO.$ 1000.$ 1000. si su producción mensual es de 50. 000) Agrupando tenemos: Utilidad = $75. es decir. aumenta el sueldo del vendedor. Matemáticamente pudiera expresarse como: Utilidad = Ingreso Total – Costo total Cuando el ingreso total es mayor que el costo total la utilidad es positiva se conoce como ganancia. la función utilidad sería: Utilidad o pérdida = I(x) + C(x) Ejemplo: Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00(x) – 1 000. 000 La utilidad es: Utilidad = 100(x) – ($25. 000 Utilidad Mensual = $ 75. suministros. si sus gastos por mano de obra son de $10. de la cantidad de artículos producidos o servicios brindados la función de la utilidad también será una función lineal de la misma variable. materia prima.00 mensuales. 000. 750 000 FUNCIONES LINEALES DE COSTO: A las empresas les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan.00 (50. ING. INGRESOSY UTILIDAD La utilidad de una organización es la diferencia existente entre el ingreso total y el costo total.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Podemos observar: 1.00 por producto teniendo costos fijos de $1‘000.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 (x) + $1 000. Cuando tanto la función de ingreso como la de costo son funciones lineales de una misma variable. Los costos totales variables constan de 2 componentes: los costos de materias primas y los de mano de obra.) Al simplificarse quedaría: Y = 5. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de 50 000 dólares. La dirección se da cuenta de que a los clientes actuales no les interesan muchas cosas como el tipo de cristales. De embarque. Y = costo total de materias primas + costo de mano de obra + Costo Fijo (Depto de montaje. R = f(d) = 9. También simplificó la estructura de la tarifa de alquiler. Los segundos se calculan al sumar los respectivos costos de mano de obra de los 3 departamentos. El dinero que entra a una organización por la venta de sus productos o por las prestaciones de sus servicios suele recibir el nombre de ingreso.50x + 0. esto es.25 en el departamento de empaque y embarque. sistemas de calefacción u otros aditamentos. depto.95 netos diarios por el uso del automóvil. tienen que pagarse constantemente una cantidad fija. La manera más básica de calcular el ingreso total por la venta de un servicio es: Ingreso total = (Precio)(Cantidad Vendida) Ejemplo: Una agencia de alquiler de automóviles está tratando de competir con algunas de las firmas más grandes del país. La función de costo total tendrá la forma: Y = C(x) = Costo total variable + Costo total fijo.50 y que los costos por mano de obra son de $1.50x + (1. Los costos fijos son aquellos que aunque no se produzca nada o se realice trabajo. Los costos variables cambian con el nivel de producción y se calculan como el producto del costo variable por unidad y nivel de producción.95d ING.25x) + 50 000 Y = 9x + 50 000 El 9 representa el costo variable combinado por unidad producida de $9. El costo total se define por medio de la función: Y = costo total de materias primas + costo total de mano de obra + costo total fijo. pues cobra $9. radios.75 en el cuarto de acabado y $1.50 en el departamento de montaje. Ejemplo: Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que exprese el costo total anual “y” en función de la cantidad de unidades producidas “x”.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” servicios públicos y otros gastos.00 FUNCIONES LINEALES DE INGRESO. $0. El dueño y presidente de la agencia ha estado reciclando automóviles usados para integrarlos a la flotilla. Depto de acabado. El ingreso total por año es una función lineal del número de días-automóvil rentado por la agencia. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . si R = ingreso anual y d = número de días-automóvil rentado durante el año. Los costos se dividen en dos componentes: Costos fijos y Costos variables. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a $5.75x + 1. En tales casos a la utilidad puede llamársele ganancia o utilidad neta. Si el costo total es mayor que el ingreso total.50x – 100 000 Obsérvese que P(x) es una función lineal. Formule la función de utilidad expresada en términos de x. Utilidad = Ingreso total – Costo Total Cuando el ingreso total es mayor que el costo total. si Ingreso Total = R(x) Costo Total = C(x) La utilidad se define como: P(x) = R(x) – C(x) Ejemplo: Una empresa vende un solo producto a 65 dlls. la utilidad será positiva. la función de utilidad se obtiene así: P(x) = R(x) – C(x) P(x) = 65x – (47. Los costos fijos anuales ascienden a $100 000. ¿Qué utilidad se gana si las ventas anuales son de 20 000 unidades? Solución: Si el producto se vende a $65 por unidad. la utilidad es negativa y puede dársele el nombre de pérdida o déficit.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” FUNCIONES LINEALES DE UTILIDAD. Por unidad. el ingreso total se calcula mediante la función. entonces: P(20 000) = 17. la función de utilidad es también una función lineal de la (s) misma (s) variable (s). Si la firma vende 20 000 unidades durante el año. número de unidades producidas y vendidas. La Utilidad de Una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. R(x) = 65x El costo total anual está constituido por los costos de materiales.50x + 100 000 Que se reduce a: C(x) = 47. Cuando tanto el ingreso total como el costo total son funciones lineales de la (s) misma (s) variable (s). Los costos variables por unidad son de $20 por concepto de materiales y de $27.50x + 100 000) P(x) = 17.50(20000) – 100 000 = 350 000 – 100 000 = $250 000 ING.50 por concepto de mano de obra. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . los costos de mano de obra y los costos fijos: C(x) = 20x + 27.50x + 100 000 Así pues. Esto es. o sea: R(x1. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Cada una está dotada de características especiales que la hacen adecuada solo para un tipo de cultivo. en las 3 granjas. Determine la función de utilidad para la operación de las tres granjas. Nota: La junta directiva votó por el siguiente programa de cultivos para el año próximo: 1000 acres se plantarán en la granja 1.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” 4. x2. 30 y 10%.1. ¿Cuál es la utilidad esperada del programa de plantación antes mencionado? ING. la corporación en conjunto tiene costos fijos anuales de $75 000. Si Xj = número de acres plantadas en la granja j.000 = 900x1 + 150 000 +1100x2 + 175 000 + 750x3 + 125 000 + 75000 = 900x1 + 1100x2 + 750x3 + 525 000 La utilidad total es una función lineal que se calcula como: P(x1. cj = costo por acre en la granja j y Fj = costo fijo de la granja j. en la granja 3. x2. x3) = R(x1. x3) = 1300x1 + 1650x2 + 1200x3 – (900x1 + 1100x2 + 750x3 + 525 000) = 400x1 + 550x2 + 450x3 – 525 000. Una empresa agrícola tiene 3 granjas que se utilizarán en el año entrante.3. 1600 acres en la granja 2 y 1550 acres. C(x1. x3) – C(x1. el costo anual de plantar 1 acre. rj = ingreso por acre en la planta j. Además de esos costos fijos. La siguiente tabla contiene el cultivo seleccionado para cada granja. x2. x2. x2. x3) = r1x1 + r2x2 + r3x3 = 1300x1 + 1650x2 + 1200x3 Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos de la empresa. x3) = c1x1 + F1 + c2x2 + F2 + c3x3 + F3 + 75. Granja 1 2 3 Cultivo Soya Maíz Papas Costo/acre (Cj) $900 $1100 $750 Ingreso/acre (rj) $1300 $1650 $1200 Costo Fijo (Fj) $150 000 $175 000 $125 000 Solución: El ingreso total proviene de la venta de los cultivos plantados en las 3 granjas. respectivamente. es decir. el ingreso que se espera obtener por acre y los costos fijos de la administración de las granjas. a) ¿Cuáles son las utilidades esperadas del programa? b).1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS Ejercicio 1 Planeación Agrícola. Una sequía ha hecho que los rendimientos por acre se reduzcan en 20. 25 dlls. determine el dominio y rangos restringidos de esta función. Los automóviles se alquilan en $0. cuales serían las utilidades de la estación radiofónica? DETERMINE CUAL DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES SON LINEALES. c). Determine la función de utilidad para las ventas de los 3 modelos. a).40 netos por milla (sin incluir gasolina) a). d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000. La tabla adjunta sintetiza los precios al mayoreo. si se tiene un lleno total. b). 4X2 + 5Y –3Z3 –4XY + 6XZ = 48 ING. El dueño de la agencia estima que los costos variables de operación de los automóviles. b). respectivamente. 2X1 + 3X2 + X3 = 15 d). sin contar gasolina. Determine la función de costo total anual de la fabricación de los 3 modelos. de Costo y de utilidad. son $0.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Ejercicio 2: Un fabricante de microcomputadoras produce tres modelos diferentes. Modelo 1 Precio al mayoreo / unidad Costo de materiales/ unidad Costo de mano de obra / unidad $600 $200 $100 Modelo 2 $1200 $450 $150 Modelo 3 $1950 $795 $225 a). ¿Cuántas millas se requieren a fin de obtener una utilidad cero durante 3 años? Ejercicio 4 Una estación radiofónica local adquirió el derecho exclusivo de promover un concierto en el auditorio cívico de la ciudad. Cuál será la utilidad si el automóvil se renta por 60 000 millas durante un periodo de 3 años? c). 40 000 y 10 000 unidades. Los automóviles nuevos cuestan $12 000 dólares. 3Y = X3 + 10 c). con cupo para 20 000 personas. b). Una agencia de alquiler de automóviles compra nuevas unidades cada año para rentarlas. a). GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Los costos fijos anuales son de $ 25 000 000. Se emplean 3 años y luego se venden en $2500 dlls. Formule las funciones de Ingreso. Su comisión es de $5000 dlls. 4Y2 – 11X = 0 b). Por milla.50 por cada boleto que venda para el concierto. Más $1. los tres modelos? Ejercicio 3 Arrendamiento de automóviles. el costo de los materiales por unidad y el costo de mano de obra por unidad. determine el conjunto de la función de ingreso total para la venta de los tres modelos de microcomputadoras. c). si al auditorio le caben 30000 personas y las ventas fueron de 25000 boletos. cada cinto B en $ 100 y cada cinto C en $ 85. en costos variables. el tipo A. fabrica 3 tipos de cintos. determine la utilidad total. Y $40 dlls. y el de cada unidad del producto B. determine la función que exprese la comisión de la Cruz roja en este evento. la comisión que tendrá la cruz roja por este evento será de $20000. Formule las ecuaciones de ingreso. El precio de cada unidad del producto A es de $ 100. Ejercicio 6 En un concierto a beneficio de la Cruz roja. a). GILDA ELISA TIZNADO PARRA . b). Determine el dominio y rangos restringidos de la función. La del producto B. a). cuesta $60 dlls. defina la ecuación de costo que exprese el costo total de fabricar “x” unidades del producto A y “y” unidades del producto B es de $30000. Si el costo por hora en las máquinas es de $10. si se fabrican 2000 unidades del producto A y 3000 unidades del producto B. Ejercicio 7 Una compañía fabrica 2 productos diferentes. cuántas unidades del producto B deberán fabricarse si los costos fijos son mantenidos en 30000? c). La elaboración de cada unidad del producto A. de costo y de utilidad. Si la empresa decidiera solo fabricar un solo tipo de cinto. ¿Cuántos boletos (como mínimo) se deberían vender a fin de lograr la utilidad de $1 000 000 d).00 y se tienen costos fijos de $25000. de fabricar los 2 productos sea de $30000. cada boleto de entrada se vende en $50. 10000 del tipo B y 11000 del tipo C. cuál sería la función de costo total que determine el costo de producir los 3 cintos? Si cada cinto del tipo A se vende en $ 75. tipo B y tipo C. A y B. ING. es de $ 120. Determine la utilidad del evento.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Ejercicio 5 Una empresa dedicada a la elaboración de cintos de piel. Suponiendo que la compañía aceptó surtir un pedido de 140 unidades del producto A. b). La compañía insiste en que el costo fijo. Determine el dominio y rango restringido de esta ecuación.5 horas en las máquinas. cuantos de cada tipo podría fabricar? Si la empresa solo pudiese vender 13000 cintos del tipo A. el cinto tipo A requiere 3 horas de fabricación en la máquinas. Cual sería la función de ingreso y de utilidad que determine la utilidad total? Si se vendieran 10000 cintos del tipo 1. 8500 del tipo 2 y 9000 del tipo 3. el tipo B requiere 5 horas de fabricación en las máquinas y el tipo C requiere 4. en cuanto a costo se refiere. Los costos fijos relacionados con la formación. mano de obra y costos de mercadotecnia son de $22. En todos los casos el análisis permite efectuar una proyección de la rentabilidad.33 detectores de humo. Determine las utilidades esperadas en este nivel de producción. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . El análisis del punto de equilibrio se centra en la rentabilidad de una empresa.50 – 250 000 Suponiendo que la función de utilidad “p” es igual a 0. 000 X = 33. el monto de la utilidad ganada.50x – 250. incluyendo material.33 ING.50 dólares.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” 4.50x = 250. Ejemplo: 1.000) = 7. El análisis de equilibrio es útil sobre todo como un instrumento de planeación cuando las firmas estudian futuras expansiones. La función de Ingreso Total se representa por medio de la ecuación: R(x) = 30x La función de costo total se representa con la ecuación: C(x) = 22. Solución: a). Cualquier cambio en este nivel producirá una utilidad o una pérdida. Estiman que el precio de venta será de $30. Determine el número de detectores de humo que han de venderse para que la empresa alcance el equilibrio en el negocio. operación y dirección de la compañía y la compra de equipo y maquinaria dan en total $250000. se tiene: 7.3.000 = 0 7. es decir.000 X = 33. Uno de sus puntos principales consiste en encontrar el nivel de operación o de producción que de cómo resultado una utilidad cero (punto de equilibrio). De manera semejante ayuda a evaluar el pro y el contra de emprender un nuevo negocio. por ejemplo. ofrecer nuevos productos y servicios. Han ideado un diseño y estiman que los costos variables por unidad. si les pone un precio de $30 cada uno. Los datos preliminares de mercadotecnia indican que la empresa venderá aproximadamente 40000 detectores de humo a lo largo de la vida del proyecto.50x + 250 000 7. Otro método consiste en escribir primero la función de utilidad y hacerla igual a cero como sigue: P(x) = R(x) – C(x) = 30x – (22.333.5x = 250.50x + 250000 La condición de equilibrio se presenta cuando el ingreso total es igual al costo total o cuando: R(x) = C(x) En este problema el punto de equilibrio se calcula así: 30x = 22. Un grupo de Ingenieros quiere formar una compañía para producir detectores de humo.50x + 250. por detector.333. Este representa el nivel de operación en que los ingresos totales son iguales a los costos totales.2 MODELOS DE PUNTO DE EQUILIBRIO Una importante indicación del desempeño de una compañía se refleja en el último renglón del estado de ingresos y gastos. De la cuota de $250 como cuotas anuales que depositará en la tesorería de la oficina central. 4.5(40. A cada huésped por concepto de estancia.000) – 250. que si se cumplen las estimaciones (de precio. ING. Una organización profesional está planeando su convención anual que se celebrará en san Francisco. comidas y propinas. a un costo de $15000 por año.000 dlls.000-250. con los parámetros (valores) supuestos de costo y precio.65 por factura los costos variables de realizar la facturación de este modo.000 = 50. el gerente administrativo estimó que el grupo puede rentar un pequeño de sistema de cómputo para negocios. Por el uso de las instalaciones como salas de reunión.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Este es el mismo resultado que el anterior y la conclusión es que. la empresa esperará ganar $50. la estancia. Determine el número de participantes que se necesitan para que la organización cubra el costo fijo de $20. Se estiman en $0. Cuando se proyecta una venta de 40 000 detectores de humo. Los participantes en ese evento de 3 días de duración pagarán $250 dólares por persona.000.333. El hotel cobra a la organización $20.000 = 300. las comidas y las propinas. La organización profesional se reserva $25 dlls.3. Están estudiándose dos opciones: (1) El grupo médico puede alquilar la computadora y los programas y hacer ellos mismo la facturación (la opción de hacer). costo y demanda).95 por factura procesada. Además el hotel cobra $145 dlls.000 en el negocio. junto con los programas necesarios. Los costos de una y otra alternativa dependen de la cantidad de facturas. La oferta más baja presentada por una empresa de servicios computacionales originará una cuota de 3000 dólares anuales más $0. cantidad en que se incluyen la cuota de inscripción. el gerente administrativo piensa que ha llegado el momento de hacer la transición de la facturación manual a la computarizada. Si el número de facturas rebasa las 40000. (2) Puede contratar a una empresa de servicios computacionales que se encargue de efectuar la facturación (la opción de comprar). Con ayuda de un experto en computación. Debido al enorme volumen de facturas.1 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS Ejercicio 1: Un numeroso grupo médico se compone de 30 médicos de tiempo completo.000 Esta ecuación sugiere. la empresa necesita vender 33. que opción resulta más barata? Ejercicio 2: Planeación de convenciones. GILDA ELISA TIZNADO PARRA .33 unidades a fin de alcanzar el equilibrio. Están haciéndose arreglos con un gran hotel donde se llevará a cabo la convención.2. pista de baile. P (40 000) = 7. y servicios recreativos. En el momento actual. los empleados preparan manualmente las facturas de los pacientes. b). Los costos variables por unidad son de $13 y los costos fijos ascienden a $150.50 la unidad. Un universitario con mucha iniciativa ha decidido comprar un negocio de lavado de automóviles.50 y se espera que el costo variable por automóvil (jabón. Decisión de fabricar o comprar. ¿Cuántas unidades hay que vender a fin de alcanzar el equilibrio? Ejercicio 4. La unidad.000. El precio de lavado será de $3. ¿Cuántos automóviles deben lavarse para recuperar los 30. Determine el número de boletos que deben venderse cada noche a fin de alcanzar el equilibrio. Un estadio cívico está negociando un contrato con una compañía ambulante de patinaje sobre hielo. Una empresa vende un producto a $25 dlls. b). a). Esta compañía cobra $60. Cuál será la utilidad por noche si la asistencia promedio es de 7500 personas? Ejercicio 6. ¿Cuál es la alternativa de costo mínimo si se requieren 15000 unidades? ¿Cuál es el costo mínimo? ING.000.000 por noche. El costo de compra es de $30.00.50 por boleto para cualquier asiento. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . mano de obra y otros) sea de $1. agua. Si el estadio cívico tiene la meta de recaudar $15000 cada noche. 000 del precio de compra? Ejercicio 5. ¿Cuántos boletos necesita vender? c).Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Ejercicio 3. más el 40% de la recaudación de taquilla. El estadio cívico planea cobrar $12. b).000 en equipo y producir ese componente con un costo de $5. Determine la cantidad en que los costos totales son iguales a las alternativas de fabricar y comprar. a). Suponga que un fabricante puede comprar un componente a un proveedor a un precio de $8 por unidad o bien puede invertir $40. pero no siempre.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” V. Matriz: Es un arreglo rectangular de elementos. Las tablas de Impuestos sobre la renta constituyen un ejemplo de esta clase de organización. Tabla ordenada de nº reales en m filas y n columnas. INTRODUCCIÓN DE ALGEBRA DE MATRICES 5. Las calificaciones podrían mostrarse en la siguiente matriz. Considérese las puntuaciones de pruebas obtenidas por 5 estudiantes en los exámenes. siendo m = 3 y n = 4 A= ( 3 -1 0 4 0 6 2 -7 1 5 7 -9 ) Los elementos de una matriz suelen ser números reales. La matriz es un medio común para resumir y presentar números. Prueba 1 2 1 2 3 4 5 75 91 65 59 75 82 95 70 80 76 3 86 100 68 99 74 ING. Y esta función la cumple la condensación de datos en forma tabular. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . La matriz A tiene dimensión 3x4. debe sentirse la necesidad de organizarlos de modo que sean significativos y puedan identificarse sin dificultad.1 FINALIDAD DEL ESTUDIO DE MATRICES ¿Qué es una matriz? Siempre que se utilizan datos. 7 .3 .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” 5. GILDA ELISA TIZNADO PARRA .0 7 (-2) 7 .A = ( 7 . 7 k=7 A= ( 0 1 -2 6 -4 3 ) k. (-4) .1 OPERACIONES CON MATRICES Suma . -6 -4 -2 -1 A= ( ) 5 9 -7 9 - B ( ) R= ( 5-(-6) (-7)-(-2) (9)-(-4) 9-(-1) ) ( = 11 13 -5 10 ) Número real por una matriz k.1.1 7 6 7 . A Multiplicamos el número real k por cada uno de los elementos de A.Resta de matrices S=A+B Sumamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B -2 1 A= ( ) 3 -1 1 6 7 5 + B ( ) 2 -3 -5 3 S= ( 3+(-2) 1+2 7+(-5) (-1)+1 6+(-3) 5+3 ) ( ) = 10 33 28 S=A-B Restamos cada elemento de A con el que ocupa la misma posición en B. ) ( = 0 -14 42 -28 21 ) ING. (-7) F2A . 6 + 4 . C2B ) F1A .3+4. C2B 1.B Hacemos el producto escalar de cada fila de A por cada columna de B. C1B 6 .0+2.B = ( 1. C3B P = A. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . C2B 9 . C1B 1 . 4 + (-6) . -3) 9 . ( y1 y2 ) = x1 . C2B 6 .9 ) ( = 19 -8 18 47 2 36 ) A= ( 6 -4 9 -6 ) B= F1A . y1 + x2 .0+4. A= ( 0 -28 36 4 36 20 ) Producto de matrices Producto escalar de dos vectores : ( x1 . 4 + -4 . 6 0 A= ( 1 2 5 4 ) B= F1A . (2) ) = ( -36 16 -54 24 ) ING. -3 F2A . 6 + 2 .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” k=4 A= ( 0 9 9 -7 1 5 ) k.3+2. (-7) 5.8 F2A . -8 + -4 .(-8) + (-6 .B = ( F1A . x2 ) . (2) F2A . C1B ( -8 4 -3 2 ) P = A. y2 P = A .9 F2A . C1B ( 3 8 -7 9 F1A .8 5 . C3B 5. resulta una matriz de un sistema equivalente si: a) Se intercambian dos renglones. A= ( 3 1 5 -2 3 ) ( -9 20 A . Símbolo: Ri Rj. A = A2 = ( = -9 20 -8 -1 ) -6 -8 -1 A A=A = 2. b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Potencias de matrices An siendo n natural Multiplicamos n veces A por sí misma. ) . ING. Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales. A = A2 = ( ( 12 2 4 9 ) 44 -1 4 9 A A=A = 2. c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi Ri. Símbolo: kRi + Rj Rj. ( 2 2 4 -1 ) = 32 22 ) Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. ( 1 5 -2 3 ) ( -49 15 -43 ) Ejemplo 2 A= ( 2 2 4 -1 ) ( 12 2 A . 3 ) . GILDA ELISA TIZNADO PARRA . Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y .2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . es decir. Ejemplo.Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales. (-4)R1 + R2 R2 (-3)R1 + R3 R3 (-(1÷ 3))R2 R2 (-1)R3 R3 (-5)R2 + R3 R3 Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones: ING. la matriz aumentada: Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. S = a-b A= ( ) 3 1 4 2 k=3 B= 1 6 2 -4 3. P = A .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” Que equivale al sistema original. S = a+b A= ( ) 4 3 1 5 B= ( ( 2 4 5 2 ) ) 2. La solución x = 4.2 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS Resuelve las siguientes operaciones 1. y = -2. 5. 2X1 + 4X2 = -16 X1 . B A= ( ) 3 -2 ( 1 1 3 2 ) 5. X1 + X2 +X3 = 6 2X1 – X2 + 3X3 = 4 4X1 + 5X2 – 10X3 = 13 ING. z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución. k * a A= ( 2 5 2 4 -5 3 ) B= 4.2X2 = 16 6.1. GILDA ELISA TIZNADO PARRA . F1 + F2 ---> F2 | 1 2 5 8 | = -2 Pero si se hubiese hecho ING. Si a una fila se le suma una combinación lineal de otras filas el determinante no varía: | 1 2 3 4 | = -2 2 . 4 .producto de elementos de diagonal secundaria: A = ( 1 2 3 4 ) det(A) = | 1 2 3 4 | = 1. Si intercambiamos dos filas el determinante cambia de signo: B = | 2 7 8 3 | = -50 F1 <---> F2 | 8 3 2 7 | = 50 2. 1 7. ( -2 ) = -14 3.2. GILDA ELISA TIZNADO PARRA .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” 5.3 = -2 Algunas propiedades de los determinantes: columnas) (Válidas tanto para filas como para 1.2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Determinantes A toda matriz cuadrada le podemos asignar un número real que denominaremos determinante. Si multiplicamos una fila por un número el determinante queda multiplicado por dicho número: | 7 . . 2 3 4 | = 7. | 1 2 3 4 | = 7 . Determinantes de orden 2 Se calcula haciendo el producto elementos de diagonal ppal. Luego para que conserve su valor lo multiplicamos por 1/7. F2 que es la fila que estamos sustituyendo y según vimos en la propiedad 2 estamos multiplicando el determinante por 7. 7 F2 ---> F2 .Curso Propedeutico “Matemáticas Administrativas” | = 3 4 | 1 2 -2 2 F1 + . 1/7 . GILDA ELISA TIZNADO PARRA . (-14) = -2 y ello porque estamos haciendo 7 . EJERCICIOS Calcule la determinante y resuelva la matriz 7X1 – 3X2 + 8X3 = -49 X1 – 2X2 – 5X3 = 5 4X1 – 6X2 + 10X3 = -84 ING. | 1 2 23 32 |= 1/7 .