Curso Matemática Financeira com HP 12C.pdf

Seja Bem Vindo!Curso Matemática Financeira com HP 12C Carga horária: 25hs Dicas importantes • Nunca se esqueça de que o objetivo central é aprender o conteúdo, e não apenas terminar o curso. Qualquer um termina, só os determinados aprendem! • Leia cada trecho do conteúdo com atenção redobrada, não se deixando dominar pela pressa. • Explore profundamente as ilustrações explicativas disponíveis, pois saiba que elas têm uma função bem mais importante que embelezar o texto, são fundamentais para exemplificar e melhorar o entendimento sobre o conteúdo. • Saiba que quanto mais aprofundaste seus conhecimentos mais se diferenciará dos demais alunos dos cursos. Todos têm acesso aos mesmos cursos, mas o aproveitamento que cada aluno faz do seu momento de aprendizagem diferencia os “alunos certificados” dos “alunos capacitados”. • Busque complementar sua formação fora do ambiente virtual onde faz o curso, buscando novas informações e leituras extras, e quando necessário procurando executar atividades práticas que não são possíveis de serem feitas durante o curso. • Entenda que a aprendizagem não se faz apenas no momento em que está realizando o curso, mas sim durante todo o dia-a- dia. Ficar atento às coisas que estão à sua volta permite encontrar elementos para reforçar aquilo que foi aprendido. • Critique o que está aprendendo, verificando sempre a aplicação do conteúdo no dia-a-dia. O aprendizado só tem sentido quando pode efetivamente ser colocado em prática. Conteúdo O Valor do Dinheiro no Tempo Principais Conceitos Fórmulas Básicas Diagrama de Fluxo de Caixa Regra de Sociedade Operações com Mercadorias Regimes de Capitalização Capitalização Simples Taxas Equivalentes Juros Exatos e Juros Comerciais Desconto Simples Capitalização Composta Desconto Composto Taxa de Desconto e Taxa de Juros Equivalência Taxa de Juros e Taxa de Desconto Sistemas de Amortização Bibliografia/Links Recomendados O Valor do Dinheiro no Tempo A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro no tempo. Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"? Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$ 4.000,00 daqui a um ano, por exemplo. A princípio, isso nos parece muito simples, porém, poucas pessoas conseguem explicar porque isso ocorre. É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a um ano porque esse capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render juros que seriam somados aos R$ 4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior que esse capital. Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu aplique esses R$ 4.000,00 hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o valor recebido será de R$ 4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais. Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui a um ano, e não os mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seu valor. Os juros de R$ 400,00 referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa por termos de esperar todo esse tempo para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, seja equivalente a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje e R$ 4.400,00 daqui a um ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00. Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de juros ser considerada igual a 0. A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua vez está ligado à existência da taxa de juros. Principais Conceitos CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP) Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira, referenciado, geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, nos termos comerciais, àquele valor "com desconto" dado como opção às compras a prazo. É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento. Na HP 12C pela tecla PV (Present Value). JUROS (J) Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou por prazos concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga. TAXA DE JUROS (i) Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). Veja: Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de juros nada mais é do que: Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano. A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro). PRAZO ou PERÍODOS (n) As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo. O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Pode ser unitário ou fracionário. Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário se o banco utilizar uma taxa específica para 33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 33 dias foi o período considerado para a taxa de juros como sendo uma unidade de tempo. O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um período de um ano, por exemplo. Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporção de tempo em relação a um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo em vista que a taxa de juros é anual). Daí temos um período fracionário, pois n=33/360. Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos em consideração a taxa de juros, que pode ser definida para qualquer período. No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o “n” expressa o número de pagamentos ou recebimentos efetuados do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já nos deparamos com uma situação como, por exemplo, comprar um televisor em 5 prestações mensais. Essas 5 prestações representam o "n", ou seja, o número de pagamentos que serão efetuados durante toda a operação. Na HP 12C é indicado pela tecla “n”. MONTANTE ou VALOR FUTURO (VF) Na HP12C como “FV” (de “Future Value”). Fórmulas Básicas Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), dos Juros (J) e da Taxa de Juros (i). Com estas três fórmulas é possível resolver diversos problemas que pareciam complicados. EXEMPLO: Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Acompanhe como é realizado o cálculo dos juros e do Montante ao final do primeiro mês. Exemplo: Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Veja como é calculado, no Excel, o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano. Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C. Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la para efetuar esse cálculo. :: > Valor do Capital :: > Usando a tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos 1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para encontrar o Montante Exemplo: Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital? Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa da taxa de juros que renderia os R$ 777,00 de juros para a formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado. Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C. Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de variação percentual. ::> Valor do Capital ::> Depois é inserido o Valor Futuro, acionada a função variação percentual e encontrada a taxa de juros. Diagrama de Fluxo de Caixa Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o de fluxo de caixa. Ele é definido como o conjunto de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) referentes a uma transação financeira de uma empresa, projeto de investimento e etc. Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica desse indispensável instrumento de análise de rentabilidade, custos, viabilidade econômica e financeira de projetos de investimento. O diagrama torna mais fácil a visualização da movimentação monetária, facilitando o processo de análise. O diagrama é universal e feito da seguinte forma: Vale lembrar que: As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e saídas. O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de capital. Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais. Os valores serão colocados no início e final de cada período, dependendo da convenção utilizada, mas nunca durante o período. Exemplo: Para exemplificar o conceito de fluxo de caixa, suponha a seguinte situação: Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o direito de receber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o valor inicial pago (denominado valor nominal ou de face), mais o capital inicial de volta no final do quinto ano. O diagrama ficaria assim: Regra de Sociedade Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por Definiremos o peso de cada participante como o produto: e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes: A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos Exemplo Resolvido: 1) Três pessoas formaram uma sociedade, A entrou com R$ 24.000,00; B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio. 2) Três sócios têm que dividir um lucro de R$60.000,00 sendo que o sócio A investiu R$5.000,00 , o B com R$15.000,00 e C com R$30.000,00. 3) Três sócios têm que dividir um lucro de R$90.000,00 sendo que o sócio A investiu R$15.000,00 durante 2 anos, B durante 4 anos aplicou R$5.000,00 e C investiu R$30.000,00 durante 1 ano e 3 meses. Operações com Mercadorias Vamos estudar os tipos de problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de LUCRO ou PREJUÍZO sobre os preços de CUSTO e de VENDA de mercadorias. VENDAS COM LUCRO A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda. VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Fórmulas para calcular essa operação: L = PV – PC L = i x PC PV = (1 + i).PC Onde: PV: Preço de venda; PC: Preço de compra; L: Lucro; i: taxa unitária do lucro Legenda: o “x” simboliza a operação de multiplicação VENDAS COM LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA L = PV – PC L = i x PV PV = PC / (1 – i) Onde: PV: Preço de venda; PC: Preço de compra; L: Lucro; i: taxa unitária do lucro Analogicamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo (preço de compra) ou sobre o preço de venda. VENDAS COM PREJUÍZO Basta Lembrar que Prejuízo é um Lucro Negativo! Isto É Trocar na Fórmula P = - L Regimes de Capitalização Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado" (acrescido dos juros). Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicação pode "crescer" de duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalização composta. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o capital inicial durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessa forma de capitalização, geralmente os juros são pagos no final da operação. Exemplo: Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil calcular o montante. Veja: CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidem sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o montante, ao final da data 1(n = 1), por exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) e sobre ele incidirão juros novamente. O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, crescimento exponencial. Exemplo: Representando essa aplicação no diagrama de fluxo de caixa, podemos ver mais facilmente. Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: Capitalização Simples Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização simples, no qual o crescimento do capital se dá linearmente (por isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculo linear). Trata-se de juros simples toda transação em que os juros incidem sempre sobre o capital inicial e são, então, iguais em todos os períodos. A fórmula dos juros simples é, intuitivamente: Como já sabemos que: Exemplo: Veja como é fácil realizar operações de cálculos com juros simples. Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano? Para resolver, basta aplicar a fórmula apresentada acima. Veja: Daí: Ou então use a fórmula direta: Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma: ::> Valor presente ::> Juros para 1 trimestre ::> Juros para 4 trimestres (1 ano) ::> Montante final (C + 4J) Taxas Equivalentes Normalmente temos que transformar a taxa de juros de um período para outro período, esse cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são denominadas taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre um mesmo capital em um mesmo intervalo de tempo. No caso dos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado pelo caráter linear desse tipo de capitalização. Pode sempre ser feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três simples, por exemplo). Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa mensal de 2,5 % a.m., teremos: Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que isso é exatamente o que fizemos no exemplo dado para transformar a taxa mensal de juros do cartão de crédito, de 10 % a.m., em uma taxa diária de juros de 0,33 % a.d. (10/30). Juros Exatos e Juros Comerciais O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia, como visto anteriormente. Porém, o cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa conta, por sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a operação. Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e meses com números variáveis de dias, os juros calculados são os juros exatos. Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos são os juros comerciais. Desconto Simples Conceito A didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o inverso dos juros. Isso porque, se os juros incidem sobre o Valor Presente de um capital, o desconto incide sobre o Valor Nominal desse capital. Enquanto os juros somam ao Valor Presente um valor porcentual (denominado taxa de juros) transformando-o em um Valor Nominal (futuro) no final da operação, o desconto faz o caminho inverso. Ele incide sobre o Valor Nominal, decrescendo deste um valor porcentual (denominado taxa de desconto), transformando-o em um Valor Presente na data da operação. Na prática, o desconto pode ser usado para o cálculo do Valor "Descontado" (e daí o nome) de um título que precisa ser resgatado antes do vencimento. O desconto, nesse caso, seria simplesmente a diferença entre o Valor Nominal que seria resgatado no vencimento e o Valor Presente conseguido pelo título liquidado antecipadamente. Se quisermos calcular o Valor de Venda de um título hoje (isto é, seu Valor Presente), devemos subtrair do Valor de resgate desse título (que é seu Valor Nominal) o valor referente ao desconto. Existem duas metodologias para o cálculo dos descontos: o Desconto Racional Simples ou "Por Dentro" e o Desconto Comercial Simples ou "Por Fora". Desconto racional ou por dentro O desconto racional pode ser entendido como a diferença entre o Valor Nominal (N) de um título ou transação e o seu Valor Presente, atual ou inicial. A taxa utilizada não é uma taxa de desconto e sim a própria taxa de juros. Esse tipo de desconto raramente tem sido utilizado pelo mercado brasileiro. Entretanto, ele consiste numa importante fonte de comparação com o Desconto Comercial. Dito isso, temos o desconto racional como: Desconto comercial ou por fora Desconto Comercial ou por Fora é a modalidade de desconto freqüentemente usada no mercado. No Desconto Comercial há uma taxa antecipada, denominada taxa de desconto, que incide sobre o Valor Nominal de um título ou transação trazendo-o ao Valor Presente na data antecipada. Esse método difere-se do Desconto Racional pois, nesse último, utilizávamos a própria taxa de juros para calcular o Valor Presente. Nesse caso, o Valor Presente é o "montante" procurado, pela incidência de uma taxa de desconto, por tantos períodos quanto forem especificados, sobre um Valor Base, nesse caso, o Valor Nominal. Trata-se, literalmente, da operação inversa à da capitalização do Capital Inicial. Essa é uma operação de descapitalização. Veja, analogicamente, a fórmula do desconto comercial: Da fórmula anterior, tem-se que o Valor Atual Comercial é: Para entendermos melhor o cálculo do Desconto Comercial, vamos fazer o mesmo exercício do exemplo anterior. Dessa vez, porém, a taxa de desconto é que será igual a 7% a.m. Substituindo nas fórmulas, temos que: A diferença dos dois métodos é clara agora. No primeiro exemplo, o que incidiu sobre o Valor Nominal foi a taxa de juros. Já no segundo caso, foi a taxa de desconto. Note que essas taxas incidem de maneiras diferentes. Por isso que a taxa de juros e a taxa de desconto, apesar de iguais em valor no exemplo acima, não são equivalentes. Isso também acontece em virtude da diferença de base de incidência de cada uma das taxas. Os cálculos de Descontos Comerciais também podem ser realizados na HP 12C. Veja como fazê-los: Neste exemplo testamos a equivalência das duas taxas utilizadas em cada um dos métodos. Se, por exemplo, pegássemos o Valor Recebido pela antecipação do exercício anterior. Será que, se reinvestíssemos esse dinheiro a uma taxa de juros de 7 % a.m., conseguiríamos de novo os R$ 7.000,00 que iríamos receber? Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. E como faríamos se quiséssemos reaplicar o dinheiro recebido na antecipação e resgatar R$ 7.000,00 daqui a três meses? Esse procedimento, de achar taxas equivalentes, pode ser feito de 2 formas:  A primeira delas é pela aplicação das fórmulas de equivalência entre a taxa de juros e a taxa de desconto. Calculando manualmente, ou inserindo as fórmulas no EXCEL, você acha taxas equivalentes. As fórmulas são as seguintes: Desta forma, sabendo que foi usada uma taxa de desconto de 7 % para o desconto do título, e que o Valor recebido pela liquidação foi de R$ 5.530,00, podemos facilmente agora achar a taxa correspondente e verificar a eficácia do método. Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. Desta forma, qualquer que fosse o método utilizado para o cálculo da taxa de juros simples da operação, sua visualização seria a seguinte: Capitalização Composta Conceito Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, vista no primeiro módulo, no qual o crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, o cálculo dos juros compostos também é chamado de cálculo exponencial). Trata-se de juros compostos toda transação na qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial e os juros acumulados até a referida data são, então, diferentes em todos os períodos. Lembre-se do diagrama para o regime de juros compostos: A FÓRMULA DO MONTANTE Como já foi dito, os juros compostos incidem sobre o capital de maneira exponencial. Demonstrando, simplificadamente, o caminho para a fórmula do montante, esse fato fica evidente. Partindo do que já sabemos a respeito de capitalização composta, temos: ...e assim sucessivamente. Essa fórmula, que só é válida para operações com taxas de juros constantes durante todo o período de aplicação e pagamento único, é a mais importante fórmula para a matemática financeira, já que é dela que se derivam as fórmulas de Valor Presente, Valor Futuro, Taxa de Juros e Prazo, que serão todas vistas adiante. A seguir, veremos, em um exemplo, como fazemos o cálculo do montante. Por motivo de comparação, pegaremos o primeiro exemplo do módulo de juros simples. Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros compostos, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano? As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C, fazem os cálculos de qualquer uma das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não termos falado sobre as outras fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro variáveis dessa fórmula. Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas calculadoras financeiras, onde o VP e VF devem ser inseridos com sinais opostos, indicando as saídas e entradas de caixa. Lembre-se disso sempre! Assim, o cálculo do valor futuro, ou montante, dessa operação é feito da seguinte forma: ::> PV – do inglês "Present Value" ou Valor Presente (Capital Inicial) ::> FV – do inglês "Future Value" ou Valor Futuro ( Montante Final) FÓRMULA DO VALOR PRESENTE (CAPITAL) A fórmula de valor presente é deduzida, como dito, da fórmula do montante. Facilmente, podemos ver que: Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje? Na HP 12C, o cálculo é feito assim: ::> FV - do inglês "Future Value" ou Valor Futuro ( Montante Final) ::> PV - do inglês "Present Value" ou Valor Presente (Capital Inicial) TAXA DE JUROS COMPOSTOS A fórmula da taxa de juros de uma operação financeira também é deduzida da fórmula do montante. Isolando o "i" da fórmula inicial, temos o seguinte: Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista de R$ 1.500,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00? Na HP 12C, o cálculo é feito assim: PRAZO A fórmula do prazo, também proveniente da fórmula do montante, nos permite calcular o prazo de aplicação entre dois valores para determinada taxa. Isolando-se o "n", teremos: o isolamento do "n", como é fator de radiciação, traz a necessidade de uso de logaritmo neperiano, porém, como os cálculos são feitos todos ou no EXCEL ou nas calculadoras financeiras, não nos traz problema algum. Você nem precisa se preocupar com a resolução de logaritmos, caso você não se lembre. Veja o que você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à taxa de juros compostos de 12% a.m. Na HP 12C, o cálculo é feito assim: ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 12% a.m. ::> Taxa Equivalente diária em (i) ::> Valor Futuro (FV) ::> Inverte o sinal e colocar em Valor Presente (PV) ::> Prazo da aplicação em dias O conceito de taxas equivalentes a juros compostos é igual ao módulo de juros simples: duas taxas são consideradas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por um período equivalente de tempo, para produzirem o mesmo montante. Como os montantes são iguais, podemos simplesmente igualar as fórmulas de cálculo do montante. Visualmente, temos que: Qual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação que remunera o capital à taxa de 42 % a.a.? Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma: ::> Prazo dado ::> Prazo requerido ::> Armazenado na memória zero ::> Para transformar em número índice ::> Adiciona-se a taxa do período ::> Tira a raiz 12 ::> Finaliza o cálculo da Taxa Equivalente Mensal TAXAS NOMINAL E EFETIVA As taxas nominais são as taxas aparentes de juros em uma transação, e a taxa efetiva é a taxa que realmente onera o tomador e remunera o aplicador. Existe diferença entre essas duas taxas sempre que houver na transação alguma condição de cobrança ou despesas que modificam a taxa que realmente incide na operação. É o caso, por exemplo, das taxas de IOF e taxas de administração cobradas nas operações de desconto, como visto no módulo de desconto simples. Lembre-se que, naqueles casos, as taxas cobradas reduziam o valor a ser resgatado, aumentando a taxa de desconto efetiva, enquanto a taxa de desconto nominal permanecia inalterada. TAXA NOMINAL E EFETIVA QUANDO O PERÍODO DA TAXA NÃO COINCIDE COM O PERÍODO DA CAPITALIZAÇÃO Já vimos no primeiro módulo deste curso que "capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um montante "capitalizado". Entretanto, o que ocorre quando possuímos, por exemplo, uma taxa de juros ao ano capitalizada semestralmente? O primeiro passo é transformar essa taxa ao ano, em uma taxa semestral, pelo regime de juros simples.Esse valor encontrado representa a taxa efetiva da operação e a primeiro taxa, dada ao ano, representa a taxa nominal da operação. A taxa efetiva é a que realmente incide sobre o capital aplicado e não a taxa nominal. O que acabamos de fazer foi calcular a taxa efetiva por proporção à taxa comum, prática muito comum no mercado. Veja um exemplo disso: considere uma taxa de 24 % a.a., capitalizada mensalmente. A taxa de 24 % é considerada a taxa nominal. Para calcularmos a taxa efetiva (que deve ser mensal, uma vez que os juros serão capitalizados mensalmente) devemos efetuar os seguintes cálculos: Como conseqüência do que foi apresentado acima, a taxa que realmente incide sobre o capital geralmente é maiordo que a taxa nominal dada, porque a capitalização, à taxa proporcional, é exponencial. Exemplo disso pode ser visto na caderneta de poupança. Embora seja dito que o rendimento anual é de, digamos, 19 % a.a, sabemos que com a capitalização mensal ela rende 20,74 % a.a. Neste caso a primeira taxa é a nominal e a segunda é a efetiva. O cálculo dessa taxa efetiva pode ser feito achando-se a taxa proporcional à nominal no período de capitalização. Os caminhos são os seguintes: Taxa Efetiva para Taxa Nominal (com taxa nominal anual e capitalizações mensais) Taxa Nominal para Taxa Efetiva VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL Os conceitos de valor atual ou presente e valor nominal, futuro ou final são os mesmos que os vistos em juros simples, só que o cálculo é diferenciado, pelo regime de capitalização composta. Nesse caso, o diagrama seria: neste caso, temos: O cálculo para esse tipo de problema pode ser encontrado de diversas maneiras. Nesse momento, no entanto, nos interessa saber somente alguns. Vejamos um exemplo: Um título tem valor nominal de R$ 3.000,00. Sabe-se que a taxa de juros ao mês é de 5%. Qual seria o valor atual se fosse liquidado dois meses antes do vencimento? Pela fórmula Na HP 12C veja como seria o cálculo: Desconto Composto O Desconto Composto pode ser entendido da mesma forma que o Desconto Simples. Entretanto, a taxa de desconto é composta, e o processo é o inverso da capitalização com taxa de juros compostos. Aqui também a taxa incide sobre o Valor Nominal, do qual é retirada a parcela correspondente à taxa de desconto, resultando no Valor Atual, Presente ou Capital, dependendo de cada caso. Esse tipo de desconto também é muito utilizado no mercado, principalmente nas áreas comercial e de análise de investimentos, onde os fluxos são descontados e trazidos ao seu Valor Presente para ver quanto de caixa esse fluxo futuro "vale" hoje. A visualização é a mesma de Descontos Compostos: Analogamente ao Desconto Simples, existem o Desconto Racional (Por Dentro) e Comercial (Por Fora) Compostos. DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) E DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) A principal diferença entre os dois métodos de desconto acima citados está na metodologia de cálculo. No cálculo por dentro, adotado no desconto racional, não se trabalha com a taxa de desconto, e sim com a taxa de juros objetivada na operação do desconto. Desta maneira, o desconto pode ser calculado descontando-se o valor final pela taxa de juros, da maneira convencional. Veja fórmula abaixo: Essa é a maneira mais convencional de desconto utilizada para análise de investimentos e fluxos de caixa futuros, pois se trata exatamente da fórmula do Valor Presente e Valor Futuro. No cálculo por fora, utiliza-se a taxa de desconto para o cálculo do desconto comercial. Nessa metodologia a taxa de desconto incide sobre o valor final. Veja a diferença na metodologia: Em uma linguagem comercial, diríamos que o cálculo por fora é semelhante ao cálculo da margem bruta por meio da relação lucro bruto e preço de custo, enquanto que o cálculo por dentro é semelhante ao cálculo da margem bruta pela relação de lucro bruto e preço de venda. Para exemplificar ainda melhor essa diferença, veja os exemplos a seguir. Exemplo: Um título tem Valor Nominal de R$ 5.000,00 e será resgatado com três meses de antecedência. Calcule o seu Valor Atual ou Presente, pelo método de Desconto Racional (i = 2,5 % a.m.) e pelo método do Desconto Comercial (d = 2,44 %). Verifique também a taxa de juros do processo do desconto comercial e comparando com a taxa do Desconto Racional (inclusive os resultados obtidos). Na HP 12C, o cálculo é feito assim: ::> Valor Atual pelo Desconto Racional ::> Valor Atual pelo Desconto Comercial ::> Taxa de Juros do Período Equivalente ::> Taxa de Juros Equivalente Comercial Repare que os dois métodos, cada um com a sua metodologia de cálculo, obtêm os mesmos resultados no Valor Presente. Isso pode ser evidenciado pela igualdade entre a taxa de juros usada no Desconto Racional e a taxa de juros equivalente encontrada no Desconto Comercial. É importante notar que as taxas utilizadas são diferentes, e equivalentes. As duas metodologias dariam resultados diferentes se a mesma taxa fosse usada para ambas. Por isso convém saber bem qual a metodologia utilizada antes de fazer o cálculo. Taxa de Desconto e Taxa de Juros Equivalência As taxas de Juros cobradas pelos bancos são calculadas com base em uma taxa de juros efetiva objetivada. Sabendo disso e como visto no exercício anterior, as taxas de desconto são equivalentes à determinada taxa de juros quando o "Valor Descontado" obtido com o desconto for reaplicado a uma taxa de juros que recupere o valor original ou Nominal da operação. Desta forma, como incidem sobre bases diferentes, essas taxas nunca serão iguais (em termos absolutos). Isso é, você nunca irá reaver um Valor Nominal reaplicando o Valor Descontado a uma taxa de juros igual à taxa de desconto. Assim: As fórmulas para a conversão das taxas equivalentes podem ser vistas abaixo: Exemplo: Compra a vista e Compra a prazo Passando na rua, você vê uma faixa na frente de uma loja que diz: Você então entra na loja querendo comprar um computador. O preço na etiqueta é de R$ 1.500,00. No momento, porém, você só tem R$ 1.300,00. Conversando com o vendedor, você descobre que os juros cobrados no crediário são de 7,3% a.m. Aplicando os conceitos da Matemática Financeira, qual o desconto que você pode pedir ao vendedor para pagar a vista? Taxa de Desconto Equivalente (2 meses) Valor Líquido Descontado Valor do Desconto Como a loja coloca juros implícitos no prazo concedido para o cliente pagar (lembre-se, em todo adiamento de pagamentos, juros são cobrados sobre capital) esses juros podem ser retirados se o cliente pagar a vista. Por esse motivo, o desconto a ser pedido ao vendedor é de 13,14%, para que você consiga comprar o computador com R$ 1.302,84. Taxa de Juros e Taxa de Desconto Nesse tipo de problema, quando a opção a ser escolhida envolve séries de pagamentos em prazos concedidos, o cálculo da equivalência das taxas não poderá ser feito da maneira usual. Neste caso, como ainda não vimos séries uniformes, o cálculo deve ser feito para que tenhamos um parâmetro a julgar. Veja o exemplo : Na HP 12C, o cálculo é feito assim: ::>Taxa de Desconto Equivalente (3 meses) Exemplo: Do ponto de vista do comprador, o que é mais vantajoso: um desconto de 12% ou um prazo de 30, 60 e 90 dias no pagamento de um produto, se os juros embutidos na operação do crédito ao cliente são de 4,5% a.m.? À primeira vista parece mais um caso no qual se pode, facilmente, achar a taxa equivalente de desconto da taxa dada de juros, ou a taxa equivalente de juros da taxa dada de desconto e comparar. Porém, como os prazos concedidos incluem os pagamentos parciais de 1/3 do valor total em 30, 60 e 90 dias, ao invés de um só pagamento em 90 dias, há uma diferença fundamental na incidência dos juros e no cálculo do desconto equivalente. Na HP 12C, o cálculo é feito desta forma: ::> 1º Pagto. Descontado ::> 2º Pagto. Descontado ::> 3º Pagto. Descontado ::> Valor Presente da Série ::> Taxa de Desconto Equivalente Sistemas de Amortização EMPRÉSTIMOS: Em termos financeiros, a dívida surge quando uma certa importância é emprestada por um certo prazo de tempo. Quem assume a dívida obriga-se a pagá-la da seguinte forma: o valor tomado emprestado mais os juros devidos, no prazo estipulado no acordo inicial. Os empréstimos classificam-se em: Curto e médio prazos: caracterizam-se por serem saldados até 3 anos. Longo prazo: sofrem um tratamento especial por existir várias modalidades de restituição do principal e dos juros. Tais empréstimos têm suas condições previamente estipuladas por contrato entre as partes, ou seja, entre o credor e o devedor. AMORTIZAÇÃO Conceito: Ato de pagar as prestações que foram geradas mediante tomada de empréstimo. Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações sucessivas. Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações. Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital emprestado. Nos sistemas de amortização os juros serão sempre cobrados sobre o saldo devedor, considerando a taxa de juros compostos, sendo que, se não houver pagamento de uma parcela, levará a um saldo devedor maior, calculando juro sobre juro. Saldo Devedor é o estado da dívida, ou seja, o débito, em um determinado instante de tempo. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Definição: meios pelos quais vai se pagando uma dívida contraída, de forma que seja escolhida pelo devedor a maneira mais conveniente para ele. Qualquer um dos sistemas de amortização pode ter, ou não, prazo de carência. Prazo de carência: período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante esse prazo o devedor só paga os juros. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente no período anterior. Por este sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor. Amortizações mensais : 5 O principal foi emprestado no início do 1º ano e as prestações e os juros serão pagos no fim de cada ano, ou seja, sempre sobre o saldo devedor do período anterior. A amortização é anual, a prestação é obtida somando-se, ao final de cada período, a amortização com os juros. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS - PRICE Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si. A dívida fica completamente saldada na última prestação. Precisamos calcular a prestação e separar a amortização dos juros. C: 50.000 i: 1,5% a.m. Amortizações mensais : 5 Calcular a prestação: Teremos então 5 prestações iguais de R$ 10.455,48. Os juros serão aplicados sobre o saldo devedor do período anterior, como no sistema de amortização constante. A amortização será calculada pela diferença entre a prestação e o juro, e o saldo devedor será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização do período: SISTEMA AMERICANO Após um certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado, ou pode querer pagá-lo durante a carência. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. O devedor pode querer aplicar recursos disponíveis e gerar um fundo que iguale o desembolso a ser efetuado para amortizar o principal. Tal fundo é conhecido por “sinking fund” na literatura americana e, na brasileira, por “fundo de amortização”. C: 50.000 i: 1,5% a.m. Amortização no 5º mês Os juros são calculados sobre o saldo devedor, pagos no final. Há capitalização dos juros durante a carência: SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS As parcelas de amortização são contratadas pelas partes e os juros são calculados sobre o saldo devedor. Neste caso, a devolução do principal (amortizações) é feita em parcelas desiguais. Isto pode ocorrer na prática quando as partes fixam, antecipadamente, as parcelas de amortizações (sem nenhum critério particular) e a taxa de juros cobrada. Nestas condições a taxa de juros também será sobre o saldo devedor. O empréstimo é amortizado mensalmente conforme abaixo:. 1º mês – 10.000 2º mês – 15.000 3º mês – 10.000 4º mês – 15.000 C: 50.000 i: 1,5% a.m. Amortização: 4 meses Coloca-se inicialmente as amortizações, a seguir são calculados os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada a prestação: Bibliografia/Links Recomendados HP 12C Online: http://fazaconta.com/calculadora-hp- 12c-online.htm Manual oficial da HP: http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5239.pdf Emulador Online da HP 12C: http://www.baixaki.com.br/download/web-hp-12c- emulator.htm http://h10025.www1.hp.com/ewfrf/wc/documentSubCate gory?tmp_rule=50245&tmp_task=useCategory&cc=br&dlc=pt &lc=pt&product=81575 http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=hp%2012c& source=web&cd=26&ved=0CHQQFjAFOBQ&url=http%3A%2 F%2Fwww.ec