Matemática BásicaCurso Propedéutico-2013 Tabla de contenido PRESENTACIÓN .............................................................. 1 I UNIDAD “ARITMÉTICA” ............................................... 3 II UNIDAD “ÁLGEBRA” ................................................. 12 III UNIDAD “GEOMETRÍA EUCLIDIANA” .................. 52 IV UNIDAD “FUNCIONES Y GRÁFICAS” .................. 76 V UNIDAD “GEOMETRÍA ANALÍTICA” ..................... 88 Son Autores los Profesores: Rigoberto Morales Videa y Graciela López Moreno A PRESENTACIÓN La educación construye el capital humano para el crecimiento económico y para superar la pobreza de un pueblo. Para reinsertar a nuestra región en una economía mundial, se debe mejorar sustancialmente en la competitividad, dado que éste implica conocimientos tecnológicos, manejo de información y destrezas, elevar la calidad de nuestros sistemas educativos y la preparación de nuestros recursos humanos, se vuelve un requerimiento insustentable. Conocer o saber Matemática, por parte de una persona no puede reducirse a identificar las definiciones y propiedad de los objetos matemáticos. Debe implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático en la resolución de problemas. Por esto se postula la necesidad de establecer puentes entre la Matemática, la realidad natural y social que rodea a los jóvenes. Al organizar este material, nos hemos guiado por el interés de contribuir al mejoramiento de la enseñanza de la Matemática en nuestra región con énfasis en las carreras de ingenierías. Hemos realizado este loable esfuerzo de presentarte, estimado estudiante, este documento de Matemática con el propósito de fortalecer tus conocimientos en esta área y particularmente estés preparado para realizar tu examen de admisión y puedas clasificar en la opción que tu elegiste. El propósito de este dosier es ofrecerte un material pedagógicamente confiable para que se te facilite tu aprendizaje, con precisión matemática y comprensible, con una visión para estudiantes con expectativas de coronar una carrera universitaria. Este material comprende cinco unidades con descripción de conceptos, ejemplos resueltos y ejercicios propuestos: I Unidad: II Unidad: Aritmética. Álgebra. III Unidad: Geometría Euclidiana. IV Unidad: Funciones y Gráficas. V Unidad: Geometría Analítica Plana. 1 La Aritmética nos proporciona el aprendizaje básico que debemos dominar para profundizar en las restantes unidades que vamos a desarrollar. Un buen conocimiento de la aritmética es tan fundamental como saber leer y escribir y no puede reducirse a los algoritmos para realizar las cuatro operaciones fundamentales. Muchos de los fenómenos que nos afectan se han vuelto tan complejos que no podemos percibirlos directamente o tratarlos de manera puramente cualitativa, sino que requieren técnicas cuantitativas de recolección y tratamiento de información. Los contenidos que ofrece el texto sobre álgebra están enriquecidos con ejercicios de aplicación, enfatizado en las operaciones fundamentales que ésta requiere. Ecuaciones aplicadas a problemas cotidianos de la ingeniería y la vida. En la unidad de Geometría Euclidiana te ofrecemos una serie de teoremas y postulados con una secuencia lógica y una serie de gráficos atractivos vinculados a la percepción de figuras planas, asociadas al medio que te rodea. Una de los contenidos más fructíferos y de mayor aplicación en la matemática y en otras ciencias, es la utilización de las Funciones para la interpretación objetiva de los fenómenos físicos y químicos. En esta unidad se presentan diversas gráficas para una mejor comprensión de las diferentes teorías, mostramos también la riqueza de la aplicación a problemas relacionados con la solución de la problemática del medio que nos rodea. Uno de los grandes atractivos de la matemática consiste en la aplicación de la geometría analítica a las diferentes ciencias, ingenierías y ramas de éstas, aportando elementos fundamentales para la modelación de proyectos arquitectónicos - cónicos aplicados en la construcción de obras de ingeniería. Se resaltan algunos teoremas y definiciones para dar énfasis y permitir una localización rápida. Las gráficas a lo largo del material permiten reforzar la comprensión de los conceptos de Matemática que pudiesen resultar complejos, así como aplicaciones de la vida real. El corazón de cualquier material de Matemática son los ejercicios que mantienen vivo el interés, exploración, práctica y comprensión del mismo. Ofrecemos una variedad de ellos con sus respectivas soluciones. 2 hallar el valor de esta última. Esta regla puede ser Directa o Inversa.-. En toda regla de tres hay dos filas de términos o números. /) -Propiedades de los Números Reales (+. Regla de tres Simple En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita. La regla tres puede ser simple y compuesta. La pregunta formada por los términos que contienen a la incógnita el problema va en la parte inferior. Potenciación 4. siendo una desconocida i incógnita. Conjunto de los números reales Operaciones (+. según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales. Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales. Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales. El supuesto formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la parte superior. dados dos o más pares de cantidades proporcionales. Regla de Tres Regla de tres Es una operación que tiene por objeto. 2. *). Descomposición factorial ( MCD y MCM) 3.*. Supuesto y pregunta.I UNIDAD “ARITMÉTICA” Contenidos a desarrollar 1. 3 . Si 5 lapiceros cuestan C$ 20. ¿Cuánto costaran 12 lapiceros? Supuesto: 5 lapiceros Pregunta: 12 lapiceros C$ 20 C$ X De manera formal.Ejemplo. ¿En cuántos días terminaran la misma obra 12 obreros? Supuesto: 8 obreros 15 días Pregunta: 12 obreros X días Formalizado. B es 20. como antes: A es a B como X es a Y lo que se representa como: 4 . la regla de tres simple directa enuncia el problema de la siguiente manera: A es a B como X es a Y lo que suele representarse así: donde A es 5. Si 8 obreros terminan una obra en 15 días. Para resolver todas las reglas de tres simples directas basta con recordar la siguiente fórmula: Regla de tres simple inversa Ejemplo. X es 12 e Y es el término desconocido. llevara signo (+). el valor numérico que es de la misma especie que la incógnita.Siendo la solución formalizada la siguiente Regla de tres compuesta En la regla de tres compuesta intervienen tres o más partes de cantidades proporcionales. aplicamos el método llamado “La Ley de los Signos”. a continuación se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el par que contiene a la incógnita. que no es más que la consecuencia práctica de magnitudes proporcionales y que consiste en lo siguiente: Se colocan los valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo de otro. 5 . siendo una la cantidad desconocida o incógnita. para saber si son directa o inversamente proporcionales con la incógnita y: Si son directamente proporcionales Si son inversamente proporcionales Arriba - Arriba + Abajo + Abajo - El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el producto de todas las cantidades afectadas del signo (+) y cuyo denominador es el producto de las cantidades afectadas del signo (-) en todos los problemas sin excepción. Método Práctico: Para resolver los problemas de Regla de Tres. colocando arriba de la columna de obreros la letra I. ¿Cuántos días se necesitaran para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4 obreros menos? Supuesto: 180 metros 18 obreros 21 días Pregunta: 120 metros 14 obreros X días Comparaciones: Metros con días: Para hacer menos metros de pista tardan menos días. 18 obreros tardan 21 días. colocando arriba de la columna de metros la letra D. Para pavimentar 180 metros de pista. Así: 6 . Obreros con días: Menos obreros tardarán más días. la regla de tres es directa. Donde: Supuesto: D 180 metros I 18 obreros 21 días Pregunta: 120 metros 14 obreros X días Luego pasamos a colocar los signos correspondientes Supuesto: Pregunta: 180 metros + 18 obreros + 21 días 120 metros + 14 obreros - X días La incógnita viene dada por un quebrado cuyo numerador es el producto de todas las cantidades afectadas por el signo (+) y cuyo denominador es el producto de las cantidades afectadas por el signo (-).Ejemplo. la regla de tres es inversa. Ejercicios propuestos 1. Al resolver 5-(7-9)+(3-11) se obtiene: 1. -1 2. -5 3. 5 4. 15 5. NDLA 2. Al operar 5-10(8-6)(2-17)+5 se obtiene: 1. 65 2. 155 3. 310 4. -155 5. NDLA 3. Al resolver (-3)(2)-(-2)(4) se obtiene: 1. 14 2. -16 3. 2 4. -14 5. NDLA 4. Al resolver { 1. 2 2. 14 3. 18 4. 24 5. NDLA 5. Al resolver 1. 2. 3. 4. 5. [ ( ( ))]} ( ) se obtiene: se obtiene: 17/12 1 ¼ -25/12 NDLA 7 6. 7. Al resultado que se tiene al operar 1. ( )( 2. 3. 4. 5. 6. -2/5 2/5 -20/9 20/9 NDLA Al resolver [ 1. 2. 3. 4. 5. ) ( ] [ ) ] [ ] obtenemos: 3/10 59/30 9/20 20/9 NDLA ) ⁄ 8. Al simplificar ( 1. 25 2. 1/25 3. -5 ( ) 4. 5. NDLA 6. 9. Al efectuar la operación [( ) Se obtiene: 1. 1875 2. 7,5 3. 875 4. 12,5 5. NDLA 10. El resultado de la siguiente operación 1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. NDLA la respuesta es: ] [ ( )] √ √ √ es: 8 Al operar √ 1. 10 2. 11. 3. 4. 5. √ √ se obtiene √ √ NDLA Al resolver la siguiente expresión 12. ( ) 1. 2. 3. 4. 5. √ √ ( ) √ se obtiene. -5 25 22 -2 NDLA 13. Hallar el MCD de 9, 6, 12 1. 3 2. 36 3. 6 4. 12 5. NDLA 14. El MCM de 3,5,10,14,42 es 1. 3 2. 1 3. 210 4. 420 5. NDLA 15. Si 1. 2. 3. 4. 5. y el mcm es 9000, entonces x es igual: 2 3 1 0 NDLA 9 2. tanto % representa 17 de 68? 4% 400% 25% 11. 3. 120 lt 2. 18 14 20 21 NDLA 10 .16. Un individuo va al supermercado y gasta $900. 0. 5. 360 m 5. 2.3 lt 4.56% NDLA $63 $963 $1053 $1530 NDLA Un ganadero tiene 36 ovejas y alimentos para ellas para 28 días. 17. 4. 20. ¿Qué 1.036m 4. 3. sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje la cantidad de día que se podrá alimentarlas es: 1. NDLA 18. 213.36 m 3. 4. Los ¾ de los 4/5 de 200 litros es: 1. 187.6 decímetros convertidos a metros son: 1. 5. Pero si el número de ovejas fuese 56. 2. 310 lt 5. 36 m 2. 4. 3. 0. NDLA 19. A esta cantidad se le debe de agregar el impuesto que corresponde al 7% ¿Cuánto es el valor total a pagar? 1.5 lt 3. 5. 3. NDLA Para cosechar un campo de berenjenas se emplearon 5 obreros durante 8 horas.3 hrs NDLA Juan invierte en un banco una cantidad de $2000 al 6% de interés anual.67 hrs 2. 5. 3. 4. 20 labradores araron un terreno en 10 días trabajando 8 horas diarias (suponga que el rendimiento sea constante). Una cuadrilla de jornaleros han realizado una obra en 10 días trabajando 8 hrs. 22. 3. 2. 2. deposita el 12 de marzo y retira el 10 de junio ¿cuánto es el interés recibido? (1 año= 360 días) 1.30 hrs 5. 2. Para terminar en 4 horas se requerirán de: 1. 4 hrs 3. 3. 23. 24. 4. 20 obreros 40 obreros 10 obreros 15 obreros NDLA 10 hrs 11. 2.1 hrs 12 hrs 13. 5. 1. 30 hrs 4. $300 $40 $120 $30 NDLA 11 .21. 4. el número de horas que se trabajaron por día es: 1. 3. Cuantas horas deberán de trabajar aproximadamente para terminar la obra en 6 días. Si 60 hombres labraron el mismo terreno en 8 días. 5. Operaciones con fracciones algebraicas Radicales Operaciones con radicales Racionalización Ecuaciones lineales en una variable. resta.II UNIDAD “ÁLGEBRA” Contenidos a desarrollar Operaciones con expresiones algebraicas: suma. ligadas por las operaciones fundamentales del algebra: suma. resta. Ecuaciones cuadráticas en una sola variable Desigualdades lineales y cuadráticas en una variable Ecuaciones con valor absoluto Desigualdades con valor absoluto Operaciones con Expresiones algebraicas. 4ax 5bx . x 3 3 4a 8a 2 5b 2 . (3x2-y)(x+y) 12 . multiplicación. división Productos notables y factorización Teorema del binomio. multiplicación. división. potenciación y radicación. ¿Qué es una expresión algebraica? Es toda combinación de símbolos: números y letras. Ejemplo: x 3 27 . z. 13 .81m/s2 y “t” y "s" son variables. Ejemplos: π. Coeficiente: En un término. Una expresión racional es entera si no tiene denominador literal ni exponentes negativos que afecten a las letras. una variable o bien una o varias constantes multiplicadas por potencias de variables. y. 4x 6 8x 3 x 3 16 . 5 5 Valor numérico de una expresión algebraica.Una expresión algebraica es racional cuando no contiene letras bajo el signo radical. Ejemplo: en la fórmula s=1/2gt2. expresión racional fraccionaria. expresión irracional. en caso contrario es fraccionaria. Variable: Un símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto. en caso contrario es irracional. Ejemplos: 7 5 a b d 8 . Ejemplo: x. es el número que resulta al reemplazar cada letra por su valor y efectuar las operaciones indicadas. 5 3b . x. etc. es el coeficiente numérico. 5x2 yz3. expresión entera. es el factor que representa una constante numérica. etc. Ejemplo: en la expresión 7 2 5 7 x y . Valor numérico de una expresión algebraica para un conjunto de valores atribuidos a sus letras. g=9. g es la gravedad y es constante Término: Es una constante. Constante: Un símbolo que representa un elemento determinado de un conjunto. al buscar el mcd se convierte en un monomio. Ejemplo: 3a 2b 3 x 4 y 7 a 2b 3 x 4 3 son semejantes. Ejemplos: 2x 3 5 . 3 a 2b 3c 4 y 5 2 3 a bc 2 14 . Suma algebraica de monomios semejantes: Para sumar varios monomios semejantes se suman algebraicamente sus coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal. su resultado es siempre un monomio.Ejemplos: Determine el valor numérico de la expresión 3a Solución: 35 75 22 55 16 2 2 7a 2b 2 . Ejemplo: Determine la suma de los siguientes monomios 5a 2b 3c . para a=5 y b=2. 3a 3b 2 x 4 y 3a 2b 3 x 4 no son semejantes. x x 2 x 3 5x x veamos otros ejemplos de monomios Observación: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 5a 16 2 15 175 8 15 183 2745 305 9 9 9 Monomios: Un monomio es una expresión algebraica cuyas letras están sometidas únicamente a la operación de multiplicar (pudiendo llevar exponentes). cada término de la expresión encerrada entre signos de agrupación. Ejemplo: Simplificar: 4 x 3 y 6 z 5 3x 4 y 2x 6 y 4 z 3x 4 x 6 y 7 z 1 3x 4 y 6 5z x Observemos que los más internos son los paréntesis por lo tanto son los primeros en eliminar. en este caso lo haremos agrupando. 4x 3x 2x 3x 4x 3x x 3 y 4 y 6 y 6 y 4 y 6z 4z 7 z 5z 5 1 6 12 x 17 y 8z 10 Grado de un monomio: Un monomio tiene dos tipos de grados. 4x 3 y 6 z 5 3x 4 y 2 x 6 y 4z 3x 4 x 6 y 7 z 1 3x 4 y 6 5z x Ahora eliminamos los corchetes. 15 . conservan su signo. cada término de la expresión encerrada entre el signo de agrupación. absoluto y relativo.Solución: 3 5 27 2 3 3 5 20 3 10 2 3 5a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c 5 a 2b 3c a bc a b c 4 2 4 4 4 2 Signos de Agrupación. Se tendrá en cuenta que si un signo de agrupación está precedido del signo (+). 4x 3 y 6z 5 3x 4 y 2x 6 y 4z 3x 4x 6 y 7 z 1 3x 4 y 6 5z x Ahora eliminamos las llaves. Grado relativo: Es el grado respecto a una letra (variable). en cambio sí está precedido del signo menos (-). 4 x 3 y 6 z 5 3x 4 y 2 x 6 y 4 z 3x 4 x 6 y 7 z 1 3x 4 y 6 5 z x Nos queda reducir términos semejantes que bien podemos hacerlo de manera directa o bien agrupando. cambia de signo. 5a3b-2ab2-3/5a4+6b3 es un polinomio. por tanto el término Polinomios: Es una suma algebraica de varios monomios y cada uno de estos constituye un término del polinomio. Ejemplos: 3x4 -2x es un binomio. De manera general a toda expresión algebraica que tiene de dos a más términos se le llama polinomio. si contiene tres términos es un trinomio. 5 3 2 ab c 3 es de sexto grado. Ejemplo: Su grado absoluto es (3+2+1) = 6. se llama binomio.Ejemplo: 5 2 3 abc 2 Es de segundo grado respecto a la variable “a” De tercer grado respecto a la variable “b” De primer grado respecto a la variable “c” Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de su parte literal. en donde observamos que tanto el polinomio propuesto como el obtenido son equivalentes y ya no contiene términos semejantes. Reducción de un polinomio Sea el polinomio 9x3+5-7x-4+3x-6x3 su forma reducida sería 9x3-6x3-7x+3x+5-4 = 3x3-4x+1. Cuando un polinomio contiene sólo dos términos. 5x2+4x-17 es un trinomio. 16 . Grado de un polinomio: Grado relativo: Es el exponente correspondiente únicamente a una letra. 5 Adición y sustracción de polinomios.2x2 + x . Ejemplo: Sea 3x5y4-7x3y2-9xy2 se busca el término de mayor grado absoluto el cual es 3x5y4 por tanto el polinomio es de noveno grado absoluto. Polinomios Ordenados: Los polinomios se ordenan de modo creciente o ascendente y decreciente o descendente. Ejemplos: 1. Restar 5x3-2x2+x-3 De 7x3+5x2+9 17 .Ejemplo: Sea el polinomio 2x-5x4+4x2 es de cuarto grado con respecto a “x” 3x5y4-7x3y2-9xy6 de quinto grado en “x”.4x4 +11x3 -14x2 +19x . Ejemplo: a) Ordenar el decreciente. polinomios 19x-4x4+2x5-5+11x3-14x2 de forma 2x5 . de sexto grado en “y” Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado absoluto. ya sea con respecto a una o más variables. Sumar 5x3-2x2+x-3 y 7x3+5x2+9 Solución: = (5x3 .2x2 + x – 3 + 7x3 + 5x2 + 9 = 12x3+3x2+x+6 2.3) + (7x3 + 5x2 + 9) = 5x3 . (5x3 . El coeficiente es el producto de los coeficientes de cada uno de los factores. 3.x + 12 Multiplicación de Expresiones Algebraicas.2x2 + x .5x3 + 2x2 .3) = (7x3 + 5x2 + 9) + (-5x3+2x2-x+3) = 7x3 + 5x2 + 9 .2x2 + x . El producto de dos monomios es un monomio en el que se verifica: 1.x +3 = 2x3 + 7x2 . El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores. Ejemplo: Obtenga el producto de: x 3 5x 2 10 x 6 x 3 y 5x 3 y 5x 2 10 x 6 5x 3 y 5x 6 y 25x 5 y 50 x 4 y 30 x 3 y 18 . las cuales mencionamos a continuación. Ejemplo: Obtenga el producto de los monomios: 3 2 2 ax y 7 y 4a 5 x 4 12 6 6 2 3 2 2 5 4 a x y ax y 4a x 7 7 Producto de un Polinomio por un Monomio. cada una de ellas con un exponente que sea la suma de sus exponentes en cada uno de los factores. La parte literal está formada por la letra contenida en los dos monomios. La multiplicación de expresiones algebraicas implica el uso de la propiedad distributiva y las propiedades de los exponentes.3) = (7x3 + 5x2 + 9) + (-1) (5x3 . = (7x3 + 5x2 + 9) . 2. Producto de dos Monomios.Solución: Colocamos el minuendo al inicio que va acompañado de la palabra “De” y luego el sustraendo que va acompañado de la palabra “restar”. Ejemplo: 1) 4 2 5 a x y 12 2 2 53 6 0 2 6 2 5 a x y a x y x y 2 2 3 10 5 5 a x 3 El resultado es un monomio. 2) 3a 4 x 3 3a 42 x 31 3a 2 x 2 5a 2 xy 2 5y2 5y2 19 . el coeficiente es un monomio cuyo coeficiente es igual al cociente de los coeficientes del dividendo y del divisor. Ejemplo: Obtenga el producto de: 4x 2 3x 2 y 2 x y y Tenemos varios caminos para resolver esta situación Forma Horizontal.Producto de dos Polinomios. Si un monomio dividendo es divisible por un monomio divisor. a) División de un monomio por otro monomio. En la división también aplicamos las leyes de los exponentes. 4x 2 3x 2 y 2 x y Distribuir cada término del binomio por el polinomio 2 x 4 x 2 3x 2 y y 4 x 2 3x 2 y Efectuar la multiplicación 8x 3 6 x 2 4 xy 4 x 2 y 3xy 2 y 2 Reducir términos semejantes 8x 3 6 x 2 4 x 2 y 2 y 2 7 xy División de Expresiones Algebraicas. Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio y se suman los cocientes parciales. 2 a 3 x 2 2 a 3 2 x 2 3 2 a 7 7x 7a 2 x 3 3) El resultado no es un monomio. b) División de un Polinomio por un Monomio.El resultado no es un monomio. no cumple con la definición. Ejemplo: Efectué: 1) (8a 5b 5a 4b 2 14a 3b 5 ) 4a 3b Solución: 2) c) 8a 5b 5a 3b 2 14a 3b5 4a 3b 4a 3b 4a 3b 5 7 4 5b 1 2a 2 b b 2a 2 3 b4 4 2 4 2 16a 3bc 2 8a 2 c 3 4ac 2 Solución: 4a 2 b 2ac División de dos Polinomios. Ejemplo: 1) Dividir 3a 3 10a 2 5a 12 a 4 3a 3 10a 2 5a 12 3a 2 12a 2 a4 3a 2 2a 3 2a 2 5a 2a 2 8a 3a 12 3a 12 0 20 . División Sintética Regla de Ruffini Demostraremos el procedimiento de manera ilustrada. Ejemplo: 1) Dividir ( x 4 2 x 3 5x 2 2 x 1) ( x 1) Pasos que no debemos olvidar: a) b) c) Revisar que el dividendo esté completo y ordenado. Bajar el primer coeficiente 1 1 -2 -5 2 +1 -1 -6 -4 -1 -6 -4 -3 +1 1 x–1=0 x=1 El cociente es x 3 x 2 6 x 4 con resto -3. Extraer los coeficientes del dividendo y despejar el divisor. Productos Notables y Factorización. Ejemplo: Calcular 4 x 5 1) 2 4 x 52 4x2 24x5 52 16 x 2 40 x 25 Producto de la suma por la diferencia Ejemplo: 2q 2 3 p 2 3 p 2 2q 2 En este caso ordenamos la suma para que nos quede en el mismo orden 21 . Binomio al cuadrado. que la diferencia. 3 p 2 2q 2 3 p 2 2q 2 3 p 2 2q 2q 2 3 p 2 3 p 2 2q 2 2 2 2 9 p 4 4q 4 3p2 2q 2 3 p 2 2q 2 3 p 2 2q 2 Cubo de un binomio (Suma) Ejemplo: 4x 2 7 xy 3 4 x 2 3 4 x 2 7 xy 3 4 x 2 7 xy 7 xy 3 2 2 3 64 x 6 336 x5 y 588x 4 y 2 343x3 y 3 7 xy 4x 2 7 xy 3 4x 2 2 3 4 x 2 7 xy 4 x 2 7 xy 2 3 De igual manera se hace con la diferencia al cubo. Cubo de un binomio (diferencia) Ejemplo: x 2y 3 x 3x 2 y 3x 2 y 2 y 3 2 2 3 x 3 6 x 2 y 12 xy 2 8 y 3 22 . 4 x x 2 y 23 . Para facilitar la aplicación de la regla. lo haremos a través de un esquemas Ejemplo: 5x 2 2 x2 4 5x 2 2 x 2 4 Factor común de un monomio: ax ay ax y Ejemplo: 1) 4 x 2 8xy Los coeficientes numéricos tienen como MCD a 4. Ejemplo 2: x 3 2 x 2 y 3xy 2 4 y 3 2 2 x y 3xy 4 y 2x 2 x y 2x 3xy 2x 4 y 2 2 x y 3xy 2 2 x y 4 y 23xy 4 y x3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3 x 6 4 x 4 y 2 9 x 2 y 4 16 y 6 4 x 5 y 6 x 4 y 2 8x 3 y 3 12 x 3 y 3 16 x 2 y 4 24 xy 5 x 6 10 x 4 y 2 25x 2 y 4 20 x 3 y 3 4 x 5 y 24 xy 5 16 y 6 Producto de binomios con términos en común.Cuadrado de un Polinomio. En los siguientes ejercicios encierre la respuesta correcta justificando el resultado. se obtiene: a) -6 b) -6 c) -6 d) -15 e) Ninguna de las anteriores 3) operar -4y+6-(3 ) obtiene: a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores 24 . hasta llegar a factorización total. Ejercicios propuestos. 8 y x 2 5z 75z 7 Extraemos factor común.Factor común por agrupación de términos: Ejemplo: 1) 8x 2 y 40 yz 35z 7 x 2 8x 2 y 40 yz 35z 7 x 2 Agrupamos. 1) Al operar (3a-2)-( ) se obtiene: a) -3 b) c) -2 d) -2 +6a+3 e) Ninguna de las anteriores 2) Al operar 2(a-3 )+3(5a-3). x la 2 5z 8 y 7 Extraemos factor común por segunda vez. Ninguna de las anteriores se obtiene 6) Al operar 2x(x-3 ) ( ) se obtiene a. -9 +7 -6x+1 e. Ninguna de las anteriores 7) Al operar (a-3)(a+2). 9 -7 +6x-1 d. -3 -3 +4x+3 c.+5x+10 b) .4) Al operar ( ) ( a) . -6 +17 -9x b. -6 -17 +9x d. se obtiene: a) -6 b) +5a-6 c) -5a+6 d) -5a-6 e) Ninguna de las anteriores 9) Al operar (y-5)(3a+2). -6 -13 +9x e. 9 +7 -6x+1 b.+5x d) .-5x e) Ninguna de las anteriores ) 5) Al restar 3 a. -6 +13 -9x c.+5x-10 c) . se obtiene: a) +5a-6 b) -a-6 c) -6a+5 d) +a-6 e) Ninguna de las anteriores 8) Al operar (2a-3)(3a+2). se obtiene: a) -6 b) +5a-6 c) +3a-2 25 . d. e. se obtiene: a) -6 b) +5a-6 c) +3a-2 d) -5a-6 e) Ninguna de las anteriores 11) Al multiplicar ( )( a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores ) se obtiene 12) Al operar ( ) se obtiene: a. Ninguna de las anteriores 13) Al operar ( ) se obtiene a. b. b. c.d) -5a-6 e) Ninguna de las anteriores 10) Al operar (3a-1)(3a+2). c. e. 26 . d. d. Ninguna de las anteriores Al operar ( 14) ) se obtiene a. Ninguna de las anteriores Al multiplicar ( 15) ) es a. b. e. c. d. Ninguna de las anteriores 19) a. b. b. c. c. e. La factorización de 4 ( ) (2x+9y)(2x+y) (2x-9y)(2x-y) ( ) Ninguna de las anteriores es: 27 . d. e. Ninguna de las anteriores 16) Al dividir entre a+1. d. d. c. e. se obtiene el cociente y el residuo respectivamente son: a. b. b.b. c. e. Ninguna de las anteriores 17) Al dividir como residuo a. Ninguna de las anteriores 18) Al dividir x+2 por 2+3 entre x+1. e. c. se obtiene a. d. lo podemos obtener multiplicando a b por si mismo 4 4 a b5 se procederá del mismo modo y así n sucesivamente. Dado un número natural n y un número k n ( k 0 ó k natural) definimos el “número combinatorio n. k” como: n n n! C k k k!n k ! Ejemplo: 20 20 20! 20.Binomio de Newton. Es obvio 100 el tedio que sería calcular a b .15! 5 5!20 5! Este número es llamado número combinatorio. Comúnmente sabemos cómo desarrollar los binomios 3x y y 5m 3n 2 3 ya que tenemos a mano una regla precisa.19.17. Volviendo al tema del Binomio de Newton. Número Combinatorio. por lo tanto se hace veces y si tuviésemos necesario una fórmula que definimos a continuación: a b n n a k b n k k n k 0 28 .16.18. por ejemplo. Pero ¿Qué sucede cuando se nos presenta la situación 3x y o bien 5m 3n ? En este caso tenemos 4 5 que acudir al desarrollo de potencias de binomios de la forma x y n conocido como binomio de Newton en honor a Sir Isaac Newton (16421727) por haber establecido su generalización. decíamos que al pretender desarrollar a b .a b n veces... hasta tener a b = a ba b.15! C5 15504 5!. 2! T5 1516 x 6 y 8 T5 240 x 6 y 8 Operaciones con Fracciones Algebraicas. Ejemplos: Simplificar 15a 2 3. 5 .b k 1 6 Por ejemplo. 2 y 2 2 4 6 T5 x 6 .a 5a 29 . Simplificación.¿Cómo encontrar un término cualquiera del desarrollo a b ? n Usamos la ecuación Tk n C k 1 a n k 1 . Es el proceso de reducir a su forma mínima una fracción algebraica. determinar el quinto término del desarrollo x 3 2y 2 . de lo que obtenemos: T5 6 C 4 x 3 . Tenemos que n = 6 por el exponente del binomio y k = 5 porque es el término que nos piden encontrar. 16 y 8 4 T5 6! x 6 . Para simplificar una fracción descomponemos en sus factores tanto el numerador como el denominador y luego cancelamos los factores que sean iguales y que estén simultáneamente en ambos. 16 y 8 4!6 4! T5 6! 16 x 6 y 8 4!. a 2 . a 2 3 3 25a 5. 5 . Decimos que una fracción está en su forma mínima cuando el numerador y el denominador no tienen factor común diferente de 1 . 2 x3 x 3 2 x = = 2 x 3x 3 x 2x 3 5x 3x 3 x2 5 = x 3x 3 x 3 x 32 x 3 6x 9 x 2 x 6 5 x 2 9 x 3 x 3 2 x 2 6 x 9 x 2 x 6 5 x 2 45 x 32 x 3 = x 2 = 6 x 9 x 2 x 6 5 x 2 45 x 3 x 3 2 5 x 2 7 x 30 x 32 x 3 30 . La adición y sustracción de fracciones algebraicas siguen las reglas de la adición y sustracción de fracciones con números reales.1) x 3 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1x 1 x2 1 x 1 2) Adición y Sustracción. x3 x2 5 2 x 6x 9 x 9 3 x 2 Solución: x3 x2 5 x3 x2 5 = 2 x 2 6x 9 x 2 9 3 x x 3 x 3x 3 x 3 = x3 x 3 2 x2 5 x 3x 3 x 3 El mínimo común denominador es MCD = x 3 x 3 . Ejemplo: Efectuar la siguiente sustracción de fracciones algebraicas y reducir la respuesta a su mínima expresión. Entonces. Multiplicación y División. a) Desarrolle. Se deduce la multiplicación y la división de fracciones algebraicas a partir de las reglas de multiplicación y división de números reales. Ejemplo: 3 2 2 2 2 x 1 1) x 2 x 3x x x 1 x 1 x x 2 x 3 x x 1 3 3 2 2 2 2 x 1 x x 6 x x x 2 x 1 x x 1 x x x 6 x 2x 1 xx 3x 1 x 2 x 1 x 2x 1 1 x 1 x 2 x 1 xx 3x 2 x 1 Ejercicios Propuestos. 2x 3 y 2 7 b) a m b n 5 En las potencias indicadas obtenga el término que se les pide. a) El quinto término de m 2 27 7 b) Los dos términos centrales de x 3 2y c) El término central de c 2 ab 5 10 31 . I. 2 2 3x 3 y 3x a. y 2 x 1 1 x x 1 b. 1 1 x x x 1 x 2 xy y 2 x2 y 2 y x 1 x2 1 x 3 8 8 2 1 2y 2 y 3 y 3 y 9 32 . c. x x 1 x 1 x x 1 x 1 d.1 d) El término que contiene a x de x 2 x 5 4 Efectué las operaciones indicadas. 1 1 1 1 1 e) x x x 1 1 f) g. b) Raíz de un Cociente: la raíz m-sima de un cociente es igual al cociente a ma de las raíces m-simas de sus términos. se escribe b en lugar de 2 b.h. Notación: Raíz n-ésima de b n b b El símbolo 1 n se llama radical. Ejemplo si n = 2. a) Raíz de un Producto: La raíz m-sima de un producto de las raíces msima de los factores m abc m a x m bx m c Ejemplo: 3 27 x 6 x 3 y 3 3 27 3 x 6 3 x 3 y 3 3x 2 3 x 3 y 3 Igual podemos simplificar de manera directa. “n” es el índice y b el radicando. a n m n am 33 . m b mb Ejemplo: 16a 2 b 4 a b2 42 a 2b 4 a b2 4ab 2 ab c) Potencia de una Raíz: para elevar una raíz a una potencia se eleva la cantidad subradical a dicha potencia. Radicales Raíz n-ésima de un número: se llama raíz n-ésima de un número a otro número que elevado a la potencia n-ésima reproduce el primero. Propiedades básicas de los radicales. Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical. m a mp a p Siendo p : mp m Ejemplo: 1) 4 212 2 12 4 23 e) Raíz de una raíz: Para extraer la raíz de una raíz se extrae la raíz que indica el producto de los índices. Ejemplo: 1) 3 x .Ejemplo: 1) 7 xy 3 4 7 xy 3 4 7 x 4 y 12 7 x 4 y 7 y 5 y 7 x 4 y 5 d) Raíz de una Potencia: para extraer una raíz de una potencia cuyo exponente es múltiplo del índice de la raíz. es decir los factores bajo el radical tiene exponentes menor que el índice del radical. Ejemplo: Simplificar 34 . no hay fracciones bajo el radical y el índice del radical es el menor posible. m n a m n a Radicales semejantes.8 x Simplificar un radical es transformarlo en otros equivalentes de expresión más sencilla. se divide dicho exponente por el índice de la raíz. Para dividir radicales del mismo índice se dividen las cantidades subradicales. Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican las cantidades subradicales.2a 3 b 2 c 30a 3 b 2 c División de radicales. agrupar y reducir términos semejantes 4 b 3 2 Multiplicación de radicales. teniendo cuidado de reducir los radicales semejantes. 35 . Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al mismo índice.4a 3 b 2 8a 2 b 2 4a 2 b 2 a 2 2 2 a 2 b 2 a 2 2ab a 2 a) Operaciones con radicales. Ejemplo: Multiplicar: a) 33 2ab 4 c 53 4a 4 b 2 a c 3 4 2 153 8a 9 b 6 c 3 153 2 3 a 9 b 6 c 3 15. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al mismo índice. Adición y Sustracción de radicales. eliminamos los paréntesis. 5 b b 5 2 8 2 . Al sumar o restar radicales lo hacemos del mismo modo que lo hicimos con polinomio. Ejemplo: Sumar 5 b 8 2 5 2 b 5 b 8 2 5 2 b . se multiplican numeradores y denominadores por el binomio conjugado del denominador.Ejemplos: 1) xyz 3 3 x y z 3 xyz 2 2 2 3 xyz 3 xyz 3 x2 y2 z2 3 1 xyz xyz Racionalización del denominador. Ejemplo: Racionalice el denominador de las siguientes expresiones. 36 . Se llaman expresiones conjugadas dos expresiones que están formadas una por la suma y otra por la diferencia de iguales términos. 5 5 2 5 52 2 5 5 El denominador es un binomio irracional: Para racionalizar. a) 2 5 2 5 . Ejemplo: La conjugada de a b es a b La conjugada de 2 3 es 2 3 Ejemplo: Racionalice el denominador de las siguientes expresiones. a) 2 42 2 2 2 2 2 2 22 2 Ejercicios propuestos I) Efectué las siguientes operaciones indicadas.2 8 2 8 2 2 4 2 2 2 8 16 4 2 2 2 2 2 2 2 4 . a) 54 3 250 3 128 3 b) 3b 2 a 3 c 2 ac a 5c 3 c 4 c b2 c) 3 5 1 28 2 7 1 45 4 3 d) 2 8 3 5 e) II) a) b) c) 3 4 72 5 20 26 27 4 9 Racionalice el denominador de: x2 3 2x 5 3 2 2 3 5 33 2 4 12 23 3 37 . las cuales contienen números y variables. a 0 . 2 x 1 x 2 Solución o Raíces de la ecuación.d) x yy x x y Ecuaciones Lineales en una variable. Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos expresiones. Igualdad: Expresiones que igualados cantidades con el mismo valor: a b c Ejemplo: 2 4 10 3 3 Ecuación: Es una afirmación de que dos expresiones son iguales. es una ecuación con una incógnita con solución única. donde a y b Ecuaciones Equivalentes: Definición: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. son números reales. Ejemplo: 1) 5x 2 17 . 1 Ejemplo: 2 x 1 0 . se llama Ecuación Lineal. x = 3 Ecuaciones Lineales: Definición 1: Una ecuación de la forma ax b 0 . Ejercicio: 38 . en la que hay una o más incógnitas y que solo se verifica para determinados valores. b . a 0 recibe el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita. 3x 6 0 3x 6 6 0 6 3x 0 6 3x 6 x2 1 3x 1 6 3 3 La única solución de la ecuación original es 2. Una ecuación de la forma ax b 0 .Resuelva. Ejemplo: Resuelva: 2 x 7 5x 6 Solución: 2 x 7 7 5x 6 7 2 x 0 5x 13 2 x 5x 5x 13 5x 3x 13 0 1 3x 13 1 3 3 x 13 3 Ejemplo: Resuelva 1 1 2 2 x x4 x 4x 39 . Ecuaciones Lineales con una variable real. donde a. Solución: Para eliminar los denominadores, multiplicamos a ambos miembros por el m.c.m de los denominadores de las fracciones en la ecuación. x 4 , x 2 4x x, m.c.m x 4 , x x 4 x, x x 4 1 2 1 xx 4 x x 4 x x 4 x x 4 1 1 xx 4 xx 4 2 x x 4 x4 x 2 2x 2 4 2x 6 x 6 2 x3 Ejercicios Propuestos. I. Encuentre la solución de la ecuación dada. a) x 4 x 5x 1 x b) xx 36 3x 2 x 6 2 x 2 1 c) 3 x 7 1 8 d) 8 1 3 3 u 1 u u u 3 2 2 3 4 40 e) 3.5x 0.5x 0.23 x f) 2x 1 2 8x g) x 23 x 2 x 6 2x h) 3 5 3 2 2 x 1 4 x 2 8x 8x 2 i) j) 6 x x 1 3 x 3 x 9 x 2 x 5 x 1 k) 8 x 7 4 x 1 3x 8 2x 4 Resuelve los siguientes problemas 1. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174. 2. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número. 3. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544. 41 4. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95. 5. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco córdobas y otras de un córdoba. ¿Puedo tener en total 78 córdobas? Ecuaciones Cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación del tipo ax 2 bx c 0 con a 0 y a, b, c . Método de Factorización. Anteriormente estudiamos los diferentes casos de Factorización pues aquí es donde aplicamos el caso que contiene un trinomio de la forma ax 2 bx c . Ejemplo: Resuelva 2 x 2 5x 3 0 Solución: Aplicamos el método de factorización para obtener una ecuación equivalente: 2(2 x 2 ) 5 x 2(3) 0 2 2 2 x 2 5x 6 0 2 2 x 62 x 1 0 2 2x 32 x 1 0 2 x 32 x 1 0 Si aplicamos la multiplicación por cero: 42 tenemos: x 2 22 23 x 2 4 48 6 x 2 52 6 x 2 2 13 6 x 2(1 13 ) 2(3) 43 4 43 . al cual se le llama discriminante. Por medio de la Fórmula General. b 2 . entonces las raíces de ax bx c 0 están dadas por x 2a 2 La naturaleza de las raíces está determinada por el radicando b 2 4ac . b b 2 4ac Si a 0 . Fórmula cuadrática. Ejemplo: Resuelva 3x 2 2 x 4 0 Solución: De la fórmula cuadrática con a 3 . c 4 .x3 0 ó 2x 1 0 Las soluciones de las ecuaciones lineales son: x 3 y x 1 2 Estas son las raíces de la ecuación cuadrática y se puede verificar sustituyendo en la ecuación original. Ecuaciones que implican exponentes radicales irracionales. Ecuaciones que implican exponentes racionales. o ecuaciones Ecuaciones que implican radicales. 13 3 Ejercicios propuestos.x 1 13 3 Las soluciones son: 1 3 13 1 . Ejemplo: Resolver una ecuación que implica un radical como x x2 44 . I) a) b) c) d) e) Resuelva x 2 16 0 4u 2 8u 2d 2 15d 8 11v 2v 2 12 3 A 2 12 A f) y 42 y 0 g) x 4 18x 2 32 0 2 h) 4 g 25g 0 i) x 3 81x 0 5 3 Ecuaciones Reducibles a la Forma Cuadrática Consideramos ahora dos tipos de ecuaciones que se pueden resolver reduciendo o transformándolas a la forma cuadrática. así: x2 x2 2 x2 x 2 Con lo que obtenemos una ecuación cuadrática y la reescribimos.Se puede eliminar el radical. Ejemplo: Resolver la ecuación: x 2 3 x 1 3 6 0 Solución: Reescribimos la ecuación de la forma: 2 x 13 x 13 6 0 . x2 x 2 0 Es entonces que procedemos a resolver por factorización o fórmula general. de esta forma obtenemos una ecuación cuadrática.2 Ecuaciones que implican exponentes racionales. elevando ambos miembros al cuadrado. x2 x 2 0 x 2x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 x 1 Solución: 1. a) solución directa 2 x 13 x 13 6 0 x 13 3 x 13 2 0 45 . Desigualdades Lineales. Ejemplo: Resuelva 8x 4 16 5x Solución: 8x 4 4 16 5x 4 . 1) 3 x5 3 2) 3x 4 2 x 3) 8 x5 3x 7 3x 7 x5 4) 27 x 3 21x 8 0 5) x 4 2 x 3 x 380 6) x 34 3x 32 4 7) 1 2x 1 2 x2 x 4 a2 a a3 8) 2a 1 Desigualdades o Inecuaciones Lineales y Cuadrática. 46 .1 x 3 3 ó x 3 1 x 13 33 ó 3 2 . 8x 5x 12 5x 5x . 3 x 13 23 x 8 Conjunto solución 8. elevando al cubo ambos lados. restando 5x a ambos lados.27 x 27 ó Ejercicios Propuestos. restando 4 a ambos lados. Ejemplo: Resuelva x 10 3x 2 Solución: Escribimos todos los términos distintos de cero al mismo lado. 3x 2 x 0 0 47 . multiplicando por 1 a ambos lados 3 3 3 x4 En el ejemplo anterior. 2 3 0 Desigualdades Cuadráticas. x 4 .4 4 0 Ejemplo: Resuelve 1 3 x 5 2 2 Solución: 1 1 5 1 3x 2 2 2 2 3x 4 2 3x 2 1 1 3x 2 3 3 x 2 3 2 3 Solución: . la solución escrita en forma de intervalo y gráfica seria respectivamente.3x 12 1 1 3x 12 . Q( x) considerando las raíces del denominador no forman parte del conjunto solución. entonces procedemos a elaborar la tabla de los signos.2 0.Factorizando 3x 63x 5 0 3 x 23x 5 0 Los números críticos son: x20 x 2 3x 5 0 x 5 3 5 x 2. Ejemplo: 2) x 1 x 0 x2 Solución: Como todos los términos diferentes de cero están a un lado de la desigualdad. Son proposiciones que representan el coeficiente de dos polígonos P( x) .1 48 . Puntos críticos: De aquí obtenemos que la solución está dada por . . 3 Solución: -2 5 3 Desigualdades Radicales y no Racionales. pues en el mundo real pocas cosas son exactas. -4 5 2 2 49 . Ejemplos: Resuelva: 3 1 2 x x4 3 1 0 2 x x4 3x 4 12 x 0 2 x x 4 3x 12 2 x 0 2 x x 4 4 x 10 0 2 x x 4 Puntos críticos: x 5 .5 2.2.-2 0 1 Desigualdades Polinómicas de grado “n” Se puede usar los métodos desarrollados para las desigualdades cuadráticas y racionales. x 2. La mayoría de las aplicaciones importantes de la matemática implican más el uso de desigualdades que de igualdades. x 4 2 Solución: 4. para resolver desigualdades polinómicas de “n” grados y racionales de naturaleza más general. exprese las soluciones en notación de intervalo y trace la gráfica. 50 . una herramienta importante cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades que implican valor absoluto.Ejercicios Propuestos. Resuelva las siguientes desigualdades. La relación entre el Álgebra y la Geometría. Recuerde que anteriormente definimos que x representa la distancia a lo largo de la recta numérica desde x hasta el origen. 1) 2 3x 0 2) 2x 3 3x 1 3) 6 3x 2 4) 0 7 3x 2 5) x 1 x 1 5 2 2 6) x 3x 2 x 3x 2 7) 12 3 2 x 24 4 8) 15 7 2 x 21 5 9) x 2 2 x 15 0 10) 3x 2 0 x3 Valor Absoluto en Ecuaciones Lineales y Desigualdades. x 1 2 Ejemplos: Resuelva y escriba la solución en notación de desigualdad y de intervalo donde corresponda.Por ejemplo el enunciado algebraico. x 1 5 2 x b. x 4 2x 6 d. 1) 2 x 8 10 2 x 8 10 ó 2 x 8 10 2 x 10 8 2 x 10 8 2 x 18 2 x 2 x 18 2 x x9 2 2 x 1 Solución: 1.9 Ejercicios propuestos. 6 2 x 1 0 c. Resuelve las siguientes ecuaciones y desigualdades con valor absoluto a. 5 x 4 9 51 . e. espacio) Ángulos Paralelismo Relaciones y Proporciones Perpendicularidad Clasificación de los triángulos Recta y puntos notables Razones Proporciones Congruencia de triángulos. Cuadriláteros. De la figura deducimos que los ángulos indicados forman un par lineal.40 º x = (140) 2/5 52 . Ejemplos: 1) En la figura a partir de la información dada. Polígonos regulares. Cuerpos sólidos. luego: 5/2 xº + 40 º = 180 5/2 xº = 180 . Circunferencia y círculo. recta. plano. y por tanto son suplementarios. determine el valor x: 40 5/2 xº Solución. x 2 3x x 2 2 0 III UNIDAD “GEOMETRÍA EUCLIDIANA” Contenidos a desarrollar Conceptos Básicos (Punto. 2x 3 2x x x4 f. A partir de la información dada determine el valor de x. Solución m3 2x m1 Con la información dada los ángulos 2x y 3x – 40 son alternos internos por lo que son congruentes. dada la información en la figura.40) (-1) x = 40 3) En la figura m 1 || m 2. Determine los valores de X e Y.x = . x + 60° = 110° x =.40 (. de donde tenemos: 2x = 3x – 40 3x .40 Y + 18 m2 2x – 3x = . luego se tiene: xº m2.50° x = 110° 60° 53 . se forman ángulos alternos – internos entre paralelas con los ángulos que miden 60° y x°.x = 56º 2) Sean m 1 || m 2 y m 3 es una secantes a m 1 y m 2. 60º xº 60º m1 Si trazamos una línea auxiliar paralela a las rectas dadas que pase por el vértice del ángulo que mide 110°. Solución 60º m1 110º xº m2. En cada uno determine el valor del ángulo indicado. segmentos y rectas paralelas se representan colocándoles puntas de flecha en el mismo sentido . 3). B y C son colineales. Hallar el valor de x.En las figuras. BD AC . 2) Si A. 1) A partir de la información dada en la figura encuentre el valor de X. a) b) c) d) e) f) 54 .Ejercicios sobre Ángulos. los rayos. Triángulos Ejemplos 1-Encuentre la media proporcional entre 9 y 16 Solución: De acuerdo a la definición. Solución: 55 . tal que 9 x . encuentre las longitudes de dichos lados. luego x 16 X 2 9 16 X 2 144 X 144 X 12 2. tal que 4 6 6 x 4 x 6 6 36 4 x9 x 3.Encuentre la tercera proporcional entre 4 y 6 Solución: De acuerdo a la definición. se pide el valor de X.Si un triángulo tiene un perímetro de 84cm y sus lados son proporcionales a los números 5.7 y 9. se pide el valor de X. luego c Por las propiedades de las proporciones se tiene a b c a b c 5 7 9 579 Pero el perímetro es P= a + b + c = 84. luego a b c 84 4 5 7 9 21 Por tanto a = (5) (4) = 20cm b = (7) (4) = 28cm c = (9) (4) = 36cm Teorema sobre proporcionalidad y semejanza de triángulo.Sea a. determine las longitudes de sus lados si: a) p = 75 y sus lados proporcionales a 3.Si P representa el perímetro de un triángulo. 5 y 7 56 . Las longitudes de los lados del triángulo. Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo. entonces los otros lados quedan divididos en segmentos proporcionales. b y c. Teorema. A X D U E ‘’ V Y ‘’ B ‘’ ‘’ ‘’ ‘’ ‘’ C ____ ‘’ ____ DE BC x u y v ‘’ Ejercicios: 1. y tiene al frente dos postes ED y BC perpendiculares al plano. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros. ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED? a) 1 m b) 9 m c) 6 m d) 3 m e) 30 m 2. a) x = 9 b) a = 5. A partir de la información dada determine el valor de x a) 50º b) 60º c) 110º d) 55º e) 70º m 57 . calcule los elementos restantes. 3 y 4 2. c = 8 d) b = 4.c = 12 A c B b h D a x y C Ejercicios sobre semejanzas 1. En la figura m 1 || m 2.b) p = 90 y sus lados proporcionales a 2. como se muestra en la figura.c = 3 e) a = 32. b = 3 c) a = 10.Teniendo como referencia la rotulación en el triángulo dado y la información que se brinda a continuación. Una persona está situada en el punto A. CD=12 y AB=22.S :AC=BD=13. m Clasificación de los Cuadriláteros .La figura representa un trapecio isósceles ___ __ con AB II CD . determine su área. Ejemplos 1. luego AE=FB= AB EF 22 12 5 2 2 Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos 132 52 169 25 144 12 h= Por tanto el área buscada es 22 12 2 x12 204U 2 A= 58 . Solución: Por ser un trapecio isósceles EF=CD=12. restamos el área de todo el cuadrado menos el área no sombreada. así que A 0. EL hexágono está circunscrito a la circunferencia El octágono está inscrito en la circunferencia 59 .La estrella de la figura se forma uniendo vértices de los cuadrados con los puntos medios de los lados opuestos ¿Cuál es el área de la estrella? Solución: Toda la figura es un cuadrado. por lo que encontramos su área.Ans = 4 u 2 2u 2 2u 2 Polígonos Regulares Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden inscribirse y circunscribirse en una circunferencia.3. 2 A .5 rectángulos. en total son 8.25 2u Luego para obtener el área de la estrella.El lado de cada cuadro mide 1.h 10.25u 2 Área no 2 2 sombreada=8 A 80. A 2 22 4u 2 Observemos que las partes no sombreadas son triángulos b. 72 2. Si n es el número de lados.472 a p 3.8 47 2 2 60 .8 ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunstancia? Determine el área de la región poligonal correspondiente (Redondee su respuesta) Solución Datos P = 24.a Área: A = 1 n.a p 2 2 Ejemplo (1) El perímetro de un decágono regular es 24. a p 3.a. En general.72 y su apotema 3. se Perímetro: p = n.8 n = 10 a p 24. tiene: a la longitud de cada lado y a p la apotema. la apotema y la longitud de los lados.472 n 2 Se tiene R = A 10 2 1 2.723.72.8 2 4 2 2 2 1 1 Pap 24.a p 1 p. si R es el radio de un polígono regular.La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita en el polígono. R 2 ap 2 2 4 ap 1 4R 2 2 2 2 a p r 4 2 2 Áreas y perímetros de polígonos regulares. 2 En la figura. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. ¿Cuál es el área de la región sombreada? Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura. 3 A B C Si BC = 2 AB. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva? 61 . los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es: 4.Ejercicios. 586.2m2 y su perímetro es 365m. entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11m. ¿Cuánto mide su sombra? (18m) 9.8m.5m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120m del edificio y la persona está a 6m del espejo? (30m) 10. entonces si el árbol mide 36m.6m 62 .60m de lado se desea construir un estanque circular 15 veces menor que el jardín ¿Qué ha de ser su diámetro? 11. una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.60m y la altura total 3m. un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿Qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a 1. 7.22). El ancho es de 1. calcular los lados de un rectángulo. sabiendo que si se agregan 3 m a su base y se quita otro tanto a la altura. 6.5m. el área aumente 16 m2. una puerta está formada de una parte rectangular y un semicírculo. en un jardín de forma cuadrada de 48. pero si se agrega 5 m a su base y se quita 3m a su altura.5. el área no se altera. un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado mide 1. ¿Cuál es el área de la superficie? 3m 1. el área de un rectángulo es 5. 8. Calcular sus dimensiones. (12. hallar la altura del árbol. Circunferencias y polígonos Ejemplos 1. determine los valores de . En la figura O representa el centro de la circunferencia si m < A0C=20º. peroM BC 60º 30º 2 2 2. Solución: X C B A o a) x m AC M AOC 120º b) 180º ADC 180º 120º 60º 1 1 c) m BC . determine valor de si m AB 30 ym CD 90 Solución: C A 90º 30º Por ser un ángulo interno tenemos D B 90º 30º 60º 2 63 . yX .En la figura de la izquierda. Hallar PD. PB = 4. PD = 4. C e) PD = 12. d) BD = 15. Hallar AC. b) AP = 3. c) PD = 7. A P B Área de un círculo. PA = 4. d) PA = 8. PC = 10. 64 . FD 0 4. c) PC = 2PA. m A 50 y m B 70 se trazan tangentes a la circunferencia por A. encuentre el valor indicado A B P D C a) AC = 16. B y C de forman que forman el triángulo circunscrito a A' B' C'. Hallar PB. BC = 7. PD = 8. PB = 6 y PB = 3PA. 3) a) PA = AD. y BD = 12. D b) PD = 6. Hallar PB. Hallar PC. Hallar PC. S T K N Q M R 2) A partir de la figura y la información dada. PB = 6. AD = 4 y BC = 5. Hallar AP y PC. PA = 2 y PC = 5.Ejercicios Propuestos 1) Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia. Hallar PB. PC = 5. AD =12 y BC = 10. Hallar PB. Tenemos h r y y r cos 2 x 2rsen 2 1 1 x cot 4r 2 x 2 2 2 2 2 y tan 2 Si se mide en radianes. es el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia correspondiente. 90º o múltiplos de ellos. El área de un segmento Circular puede calcularse mediante la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el triángulo formado por lados radios y la cuerda que une los extremos del arco. el área del segmento circular esta dada por A 1 2 1 r sen rs xy 2 2 Corona Circular: es la sección de un plano limitado por dos circunferencias concéntricas. 45º. Para calcular el área del triángulo generalmente hay que hacer uso de la trigonometría. salvo los casos de triángulos con ángulos de 30º.El área de un círculo. El área puede obtenerse como la diferencia entre las áreas del círculo exterior y el círculo interior o sea que A R2 r 2 65 . 60º. Puede probarse que el área de u circulo de radio r o diámetro d está dada por: Regiones Circulares Sector Circular: es la sección de un círculo limitada por dos radios y el arco correspondiente A r 2 1 rs 360º 2 A 1 r ( en radianes) 2 1) Segmento Circular: es la sección del círculo limitada por una curda y el arco correspondiente. 2) Trapecio Circular: es la sección de una corona circular. A R 2 r 2 o A 12 R 2 r 2 . en radianes. limitada por dos radios. El área es la diferencia entre las áreas de los sectores circulares que los determinan. Si hacemos h R r y si s1 y s 2 son las longitudes de los arcos exterior e interior respectivamente se tiene 1 1 A h R r hs1 s 2 2 2 Ejemplo: 1) ¿Cuál es el radio de la circunferencia cuya longitud es ? Solución: Como C 2r C 2r 2r 1 r 1 2 2) la longitud de la circunferencia correspondiente a un círculo y el perímetro de un cuadrado son 20cm cada uno ¿Cuál tendrá mayor área? Solución: Tenemos C 2r 20 r 20 10 2 2 10 100 100 AO r 2 31. 66 .83cm 2 2 P 4l 4l 20 l 20 l 5 4 A l 2 A 5 2 A 25cm 2 El círculo tiene mayor área. A O B 67 . O 3. c) OB = 6 y OA = 2 B A C Si es un diámetro de la circunferencia y su longitud es .3) si O es el centro de la circunferencia de la figura. encuentre el área del ABC. Encuentre el área de la corona circular si B A a) OA = 6 y AB = 2 O b) OB = 6 y AB = 2 2. 1. Si el área del sector circular OAB mide 31.5 cm2 y la longitud del arco AB es 3 cm. encuentre el radio del círculo. s 660º 2 360º 180º Ejercicios Propuestos. Solución: Tenemos que para un sector circular A s r r 2 360º 1 rs y 2 180º 6 2 60º A 6 . r 6 y m AOB 60º determine el área de la región sombreada y la longitud del área AB. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. Si el radio de la circunferencia es 1’’. En la figura. sin embargo no hay que olvidar que las bases son regiones poligonales y las caras laterales son regiones paralelográmicas.a = P. Para un Prisma Recto. 5. Las áreas laterales y totales dependen del tipo de prisma. 2 1 2 1 1 2 1 1 Determine el área cubierta por las tres letras de la figura 2 6. Volúmenes y áreas de prismas V = Ab∙h donde Ab es En general el volumen de un prisma está dado por el área de la base y h es la altura del prisma.h. En la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada? Cuerpos Sólidos. los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. encuentre el área de los seis pétalos.a + 2Ab 68 .4. AT = P. AL = P. No hay una fórmula general. cada pétalo es formado al trazar arcos cuyo centro está en la circunferencia y que pasan por el centro de la misma. 536u 2 Pirámides. P: Perímetro de la base.Donde AL: Área lateral. a = h: Longitud de la arista lateral o altura. Para un paralelepípedo regular.ab bc ac b d La diagonal está dada por: d a b c 2 2 c 2 En particular para el cubo de lado a. 16 3 .096u 3 AT 6a 2 AT 6162 1. 69 . determine su volumen y su Solución: Tenemos que para un cubo d 3a Entonces la longitud del lado es a Su volumen está dado por V a 3 Su área total está dada por b 16 3 3 16 3 V 16 3 4. Una pirámide es un sólido que se caracteriza por tener una base poligonal y sus caras son regiones triangulares que tiene un vértice en común V. ancho y alto tenemos: Volumen: V abc Área Total: AT 2. b y c representa el largo. AT: Área total. se tiene: a Volumen: V a 3 Área Total: AT 6a 2 La diagonal está dada por: d 3a Ejemplos: 1) Dado un cubo cuya diagonal mide área total. si a. A las alturas de dicho triangulo se le llama apotema de la pirámide Sección transversal. entonces: A' k A h 2 70 . También se clasifican en regulares y no regulares. si su base es un cuadrado.La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice V al plano de la base. Es una pirámide cuya base es un polígono regular u el pie de la perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es el centro de la base. si su base es un triángulo. Así tenemos pirámides triangulares. pirámides cuadradas. una sección transversal de una pirámide es la intersección no vacía con un plano paralelo al plano que contiene a la base. Las pirámides se clasifican de acuerdo al tipo de base. Similar en los prismas. Toda sección transversal de una pirámide es semejante a la base. y si A es el área de la base y A’ el área de la sección transversal. Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. Pirámide Regular. k h Si h es la altura de la pirámide y k es la distancia del vértice a la sección transversa. etc. esferas. etc. si la base de la pirámide es un polígono regular y l y l’ son las longitudes de los lados de la base y la sección transversal respectivamente. entonces los cuerpos tienen el mismo volumen.Además. Basados en este principio se obtienen las fórmulas para el volumen de diversos cuerpos sólidos: Pirámides.a 2 1 AT Pa AP 2 donde : AL p perímetro de la base a apotema de las caras laterales Pirámide Truncada o Tronco de Pirámide. Es el sólido que resulta cuando una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Si AB es el área de la base de la pirámide original.h 3 Ab area de la base h altura Áreas: únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares: 1 P. conos. Volumen de una Pirámide: V 1 Ab . entonces l ' k l h Principio de Cavalier. interseca también al otro y las secciones transversales tienen igual área. Ab el 71 . supongamos que todo plano paralelo al plano dado que interseca a cada uno de los dos cuerpos. Dados dos cuerpos sólidos y un plano. h Por ser la base un triángulo equilátero se tiene. se tiene. se obtiene la siguiente relación. Si H es la altura de la pirámide original k es la distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de pirámide.área de la sección transversal que forma la otra base. Ab 3 2 3 152 97. h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales.4320 649. entonces si V es el volumen de la pirámide original y V’ el 3 V k volumen de la pirámide que se quita V' H El volumen de la pirámide truncada es la diferencia V-V’ Ejemplos: 1) Determine el volumen de una pirámide de base triangular regular si su altura es 20cm y la arista de la base mide 15cm.52cm 3 3 72 . Solución: 1 3 Tenemos que V Ab .43cm 2 l 4 4 Luego V 1 97. 1 Volumen : V h AB Ab AB Ab 3 1 Area Lateral : AL P P'a 2 Area Total : AT 1 P P'a AB Ab 2 donde P y P' son los perímetros de las bases Si consideramos la pirámide “original” y la pirámide que “quitamos” para formar un tronco de pirámide. cuyo radio es la generatriz del cono y la longitud del área corresponde a la circunferencia de su base. En ambos casos se tiene: Área Lateral Área Total AL 2rh AT AL 2 Ab 2rh 2r 2 Volumen y Área del Cono *Para los conos en general su volumen está dado por: V 1 1 Ab * h r 2 h 3 3 *Para un cono circular recto. su área lateral está formada por un sector circular. donde.Cilindros y Conos Circulares Volumen y Área de un Cilindro *Para un Cilindro Circular de radio r y altura h tenemos: Volumen V Ab * h r 2 h Su área lateral es un rectángulo en el caso del cilindro circular recto o bien un paralelogramo en el caso de un cilindro circular oblicuo. de base la longitud de la circunferencia y altura h. AT AL AB Cono Truncado 1 V hR 2 r 2 Rr 3 AL g R r AT AL R 2 r 2 g h 2 R r 2 73 . Luego: AL rg. g h 2 r 2 . Zona de segmentos de dos bases S 2Rh 1 V h 3a 2 3b 2 h 2 6 74 . Si consideramos la superficie esférica en lugar del sólido. cada parte recibe el nombre de casquete esférico o zona de una base. Zona y segmento de una base S 2Rh p 2 1 V h 2 3 h 3 1 V h 3a 2 h 2 6 *Si la esfera es cortada por dos planos secantes paralelos. su volumen V y el área de la superficie esférica está dado por: 4 V R 3 3 y S 4R 2 Regiones Esféricas *Cuando un plano secante corta a una esfera. se forman dos sólidos llamados segmentos esféricos de dos bases.Área y Volumen de una Esfera Se puede probar a partir del principio de Cavalier. la parte de la esfera limitada por dichos planos recibe el nombre de segmentos esféricos de dos bases. De manera similar se considera si consideramos la superficie limitada por los planos recibe el nombre de zona de dos bases. que para una esfera de radio R. 32 dm2) 2) Dado un cubo cuya diagonal mide su área total. Determine la arista de la base y el área lateral. la altura del prisma es 12 y las no paralelas 5 y 6. si las aristas paralelas de las bases miden 4 y 9 y las no paralelas 5 y 6. la altura del prisma es 12.148cm2) 4) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 10cm. Calcular la superficie total. Si la longitud de una arista de la base es 6 y la altura del prisma es 10. Un plano paralelo a la base lo interseca a 2cm de la misma formando un cono pequeño en la parte 75 . su longitud es de 30cm. (V=155. AL 180cm ) 3 2 5) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 4cm. determinar su volumen y 3) Calcular el volumen. si sus bases son hexágonos regulares y el área lateral es 144cm2. Si sus bases son triángulos equiláteros con área 9 3cm 2 .12cm3) 6) Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son regiones trapezoides. (374. (22. calcule el volumen del prisma y la superficie total. AT=211. por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 9cm de la base (2210. (V=4096. ( V 90 3cm .4u3) 7) Las bases del prisma de la figura son triángulos equiláteros y sus caras son regiones rectangulares. (374.48 dm3. AT=1536) 16 3 . 1) El volumen de una caja es 6.66cm2.88.18) 8) La altura de un cono es de 5cm. l 6cm.7 cm3. 609.Ejercicios Propuestos. el área lateral y el área total de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 12cm de radio y 16cm de altura. 1. su altura es igual a los 2/3 de su anchura. dominio y rango.superior. Funciones logarítmicas. Definición.11cm3) UNIDAD IV “FUNCIONES Y GRÁFICAS” Contenidos a desarrollar Función. Si el volumen del cono pequeño es 24cm3. Funciones exponenciales. halle el volumen del cono original. Graficas de funciones algebraicas. (V=111. Funciones trigonométricas Funciones trigonométrica en un triángulo rectángulo Resolución de triángulos oblicuángulos Ecuaciones trigonométricas Evaluación de funciones Ejemplo: Dadas las siguientes funciones: f x 15 x3 g x 16 3x x 2 hx 25 x 2 Encuentre: a) b) c) d) e) f) f 6 g 7 h10 f 0 g 4 h 3 f a 1 f a 1 f a a 76 . Función compuesta Un símbolo de función especial se usa frecuentemente para representar a la función compuesta de dos funciones. Solución: Despejamos x en función de y. y 3x 1 y 1 3x x y 1 3 77 . asumiendo que f x es biyectiva. luego intercambiar las variables. Ejemplo: 1) Encuentre fog x y gof x y su dominio para f x x10 y g x 3x 4 1 Solución: fog x f g x f 3x 4 1 3x 4 110 gof x g f x gx10 3x10 4 1 3x 40 1 Función inversa: Ejemplo: Determine la función inversa de f x 3x 1 . las cuales en términos generales de la siguientes manera. verifique. Definición: Dadas dos funciones f y g entonces fog se llama compuesta y se define por la ecuación: fog x f g x El conjunto de fog es el conjunto de todos los números reales x en el dominio de g donde g(x) está en el dominio de f. determine su dominio y bosqueje su gráfica. F 3 8. x f y y 1 . 1) f x 3x 8 . f 2 G1 Dadas las siguientes funciones. G2 g 3 9. intercambiamos variables 1 3 I.g 2 F 3 6. F 1 f 3 4. f 1 x x 1 3 Dadas las siguientes funciones f x 3x 5 F m 3m 2 2m 4 g t 4 t Gu u u 2 Evalúe como se le indica: 1. G 2 3. f 1 2. 2F 2 G 1 5. g 4. g 6 7. 3G 2 2F 1 10. II. f 0. dom 78 . f x 3x 2. f x 4 x 3 3. x 2x 8 2. f x 1 x 3 10 5 2 4. 2 x 2 6) g x 2 x 11. Para las funciones indicadas f y g encuentre las funciones fog y gof y su dominio.2) hx x 2 . f x x 1 5. x 2 3) sx 2 3x . f x x x2 IV. 1) f x x 3 g x x 2 x 1 2) f x x 2 g x x 3 2 x 4 3) f x x 1 3 g x 2 x 3 4 79 .4 5) F x 4 x 2 . x 4 III. Las siguientes funciones son uno a uno halle f —1 1. 7) k x 4 x . 4 4x x 2 2x 9 4) nx 2 . 3 4 1 81 80 .Funciones Exponenciales y Logarítmicas Al operar con funciones exponenciales son válidas las leyes algebraicas relacionadas con exponentes.2.a y a x y b) ab X aXbX aX a x y c) Y a d) a x y a xy x ax a e) x b b f) a x 1 ax Ejercicios Propuestos a) Sobre funciones logarítmicas: 1.1- 105 100.000 1. Cambie a la forma logarítmica 1. a) a x . log 2 x 2 3.2- log 3 x 2 5 2.5 log 25 x 1 2 4.1.log 2 m 3x 4 3.2 log 4 16 y 3.2- logb uvw 25 4. Encontrar x.3- 2.1.4 log 49 y 3. usando las propiedades de los logaritmos.log 2 32 5 2.log b w 81 .3. 4. o b según corresponda: 3.3 log b 16 2 1 7 3.1.1. y.log a u vw 4. e7 p Cambie a la forma exponencial 2.Escriba en términos de formas logarítmicas más simples.3. 5 4. veamos ln 3x ln 21 82 . log 5 . aplicamos la propiedad 3x 2 log a x P P log a x . iniciamos a despejar x log 2 log 5 2 log 2 x 3 x = 1.7712 log 3 Si aplicamos ln.4.log b 4 x2 y3 z Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas: ¿Cómo resolver una ecuación exponencial? Ejemplos: Resolver a) 23 x 2 5 log 23 x 2 log 5 . aplicamos logaritmos a ambos lados (3x+2)log2 = log5.log b M 5.5.4406 b) 3x 21 log 3x log 21 x log 3 log 21 x log 21 2. ¿El resultado es el mismo?. 6989 0.x ln 3 ln 21 x ln 21 ln 3 x 2.8782 log 4 2 log 5 0.6020 1.6989 0.3978 Ecuaciones Logarítmicas Ejemplos: a) Resolver la ecuación log x 1 logx 3 Solución log( x 3) log x 1 logx 3x 1 101 x 3x x 2 3x 10 0 83 .6020 20.7712 Analicemos un caso en que hay variables a ambos miembros 4 x 52 x 1 log 4x log 52 x 1 x log 4 2 x 1log 5 x log 4 2 x log 5 log 5 x log 4 2 x log 5 log 5 xlog 4 2 log 5 log 5 x log 5 0.6989 0. log( 2 3) log 2 1 log 5 log 2 1 log 5 * 2 1 log10 1 1=1 Ejercicios Propuestos Resuelva las siguientes ecuaciones a) 5 265 25 0 x 2 x b) 7 2 x 1 343 c) 2 x 8 2 x 3 d) 1 1 2 x 9 3 e) log5x 1 logx 3 2 f) log x2 x 44 2 g) log 2 x 4 x 1 0 2 x 3 84 . de hecho no la satisface ya que el dominio de la función logarítmica es 0.x 5x 2 0 x5 0 y x 5 x2 0 x2 verificar si satisfacen la ecuación log( x 3) log x 1 log( 5 3) log( 5) 1 log( 3) log( 5) 1 . 76 Km. de B. ¿Cuál será su longitud? R/ 23. y divisan un bote que se está hundiendo situado en el punto C. ¿A qué distancia está el bote de cada salvavidas? ¿A qué distancia está el bote de la costa? R/ 1.6º.81 pies. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se encuentran a un ángulo de 35º10` y tienen longitudes de 3 y 8 pies. de A 1. 2.23 Km. en los puntos A y B. 1. encuentre la distancia a lo largo del río entre A y B R/ 98. Ecuaciones Trigonométricas 85 . ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo (con tres dígitos significativos)? R/ 5.04m 3. Si el ángulo ABC es de 110º y el ángulo ACB es de 18º.h) log x logx 3 1 i) logx 9 log 100 x 3 Funciones Trigonométricas Ejercicios Propuestos Aplicaciones de las leyes de los senos y cosenos Resuelva aplicando las leyes de los senos y cosenos. Por una carretera recta transita un vehículo rumbo norte a 80 Km/h.9 Km 4. Dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. Una hora más tarde estas luces se encuentran a S 59º W desde el vehículo.5 Km. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una distancia uno del otro de 1. En cierto momento desde el vehículo se observan las luces de un pueblo situado a N 20º W. Si el salvavidas en A mide un ángulo CBA igual a 43. Otro punto C se localiza en el mismo lado que B a una distancia de 250 m de B. Si se construye la carretera de menor longitud desde el pueblo a la carretera por la que transita el vehículo. 5 3 de manera general x= 2k 3 2k 2 3 2k 2 5 2k 3 donde k es cualquier constante 86 . cos . de la ecuación trigonométrica y a continuación se determinan los valores de x o que satisfagan la ecuación. Las soluciones de ecuaciones trigonométricas se encuentran mediante técnicas semejantes a las que se usan en álgebra despejando a senx. cos x 0 y cos x 1 2 Busquemos cuales son los valores de las variables: cos x 0 y cos x 1 2 x 2 . etc.3 2 y x 3 . Ejemplo Encuentre las soluciones exactas de: 1) 2 cos 2 x cos x 0 exprese x en términos de π cos x2 cos x 1 0 factorizar cosx = 0 y 2cosx-1 = 0 igualar cada factor a cero. pudiendo expresarlos como números reales o como ángulos.Son aquellas que contienen expresiones trigonométricas. 90º k) cos x senx 1 0.360º 1 2 cos x 1 2 tan x 3 0 0.2 0.2 87 .2 c) cot 2 x 3 0 0.Ejercicios Propuestos Resuelva con exactitud para la variable indicada en el intervalo que se especifica.360º j) tan x 2senx 0. 0.2 h) 6sen 2 x 5senx 6 i) cos 2 cos 0 0º .2 d) tan 2 xsenx senx e) tan 1 0 f) g) 0.2 a) 2sen 2 x 3senx 1 0.2 b) 4 cos 2 x 3 0 0.2 l) 2 cos 2 3sen 0 0.2 0. -2). 3. -1) son colineales. -1). es decir. a) A (1. (0. 4). -4). Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0. 0). y (4. C(2. 2). -1) R: P = 20. F(0. es isósceles. B(3. equilátero. 2 3) 88 . R: 5 U 2 4. 0). 2). y (2. 3). y (3. Determine si el triángulo dado por las coordenadas de sus vértices. 0). que están sobre una misma línea recta. 4). 7) b) D(-2. (3. Hallar el perímetro y el área del cuadrilátero cuyos vértices son:-3. (-3. Demostrar que los tres puntos (12.UNIDAD V “GEOMETRÍA ANALÍTICA” Contenidos a desarrollar Distancia entre dos puntos Punto medio Ángulo entre dos rectas Paralelismo Perpendicularidad Ecuaciones de la recta Distancia de un punto a una recta Distancia entre rectas paralelas Intersección entre rectas Ejercicios 1. A = 22 U 2 2. 1). o escaleno. (1. E(2. 2) y (-4. Halle la distancia desde el punto medio del segmento que une A (-2. 5). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x +y -8 = 0 y 3x -2y +9 = 0. R: 1 10. Hallar su ordenada. Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. 0). 10) y B (4. R: 5 7. R: 4x -5y -13 =0 8. (8. 56 19’ 11. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . 6) hasta el punto medio del segmento que une C (3. 3). 7) y D (8. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x. 7) y la recta final pasa por los puntos (3. y) que pertenezca a la recta que pasa por los puntos (2. 3) hasta la recta 3x-4y+0 = 0. B (2. Encuentre la distancia desde el punto (2. 2). 9) y A cuya abscisa es -2. R: 2x –y = 0. R: -8 9. C (6. 5). Hallar la abscisa del punto A. Los vértices de un triángulo son los puntos (2. 0). -1) y (-2. -5) 5. 7x +2y – 56. -2). Q(6. 1) y el punto A cuya ordenada es -6. -1) y (7. Los vértices de un cuadrilátero son A (0. 1). Una recta l1 pasa por los puntos (3. 3x -4y +10 = 0. R: 3341 ’. 1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos. 1/5. 4) y (4. R: 6 12. R(2. Verificar que los tres puntos (2.c) P(-1. sabiendo que l1 es perpendicular a l 2 . 4). 7/2 6. 3). Hallar la ordenada de A. 5) y D (-1. R: 4/5 13. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3. -3). -6) y otra recta l 2 pasa por el punto (-7. (-1. R: -2. y = 0 14. La recta inicial pasa por los puntos (-2. Hallar las ecuaciones de sus lados. R: 4x + y -10 = 0 89 . 1) y (9. 6). R: 5x – y – 11 = 0. 4). hallar: a) Ecuación de la recta que pasa por A paralela a BC . r = 2 2 b) C (-4. -1). Una recta pasa por el punto A (7. r = 12 2. 5). Encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones. 7) y c(6. R: (8/3. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3x – 4y + 8 = 0 6x – 8y + 9 = 0. x + 5y + 3 = 0 19. R: x + y – 3 = 0 16. -2) y es tangente al eje x 90 . R: 5x + y + 9 = 0 b) Ecuaciones de las medianas y su punto de intersección. Determine el centro y el radio de las siguientes circunferencias a) x 52 y 62 8 c) x 32 y 82 81 b) d) x 42 y 52 225 x 32 y 52 144 R/ a) C (-5. r = 15 c) C (-3. r = 6 b) C (-6. -8). 5).15. pasa por (4. -3). Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2. 5/3) 18. 5). 2) y D (3. Sea el triángulo de vértices A(-2. 1). 0) d) C (3. R: 7 y SECCIONES CÓNICAS Ejercicios 1. 6). 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (-2. 2) y B (1. -4). a) C (3. -1) y que forman cada una un ángulo de 45 con la recta 2x – 3y + 7 = 0. r = 9 d) C (3. r = 3 c) C (2. Hallar su ecuación. R: 6x + 5y -82 = 0 17. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A (-3. B(4. 0). La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0. 6. Para la parábola cuya ecuación se da. Hallar la ecuación de la parábola. LR = 12 R/ a) F (0. Trazar su gráfica. 0) y (-3. a) Foco (0. 1). 0) y (4. 0) y la longitud de sus lados rectos es 9. 0) y cuyos focos son los puntos (3. Encontrar la ecuación de la parábola que cumpla con las condiciones dadas: Trazar su gráfica. y = -3. R/ y2 . Hallar la ecuación de la elipse cuyo vértice son los puntos (4. Los focos de una elipse son (3. 0). se abre hacia la izquierda y longitud del lado recto 6.0).20x – 6y + 9 = 0 8. x2 y2 1 R/ 16 7 9. y su vértice es el punto (0. R/ (7. 3). a) x2 = 4y b) x2 -12y = 0 3). -2) y directriz y – 2 = 0 R/ x2 = -8y b) Vértice (0. 0) y (-3. Hallar su ecuación y trazar su gráfica. R/ x 62 y 32 25 5. y = -1. Determine los puntos donde la circunferencia con ecuación x2 + y2 – 6x – 7 = 0 corta al eje x. x2 y2 1 R/ 36 27 91 . Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y -24 = 0. 2x + 7y + 9 = 0.R/ a) x2 + y2 – 6x +10y – 2 = 0 b) x2 + y2 +12x -8y + 43 = 0 d) x 3 y 2 4 2 c) x2 + y2 – 4x + 2y = 0 2 3. 0) 4. LR = 4 b) F (0. encontrar su foco. (-1. ecuación de la directriz y longitud del lado recto. Trazar su gráfica.R/ y2 = -6x 7. El punto medio de una cuerda de la elipse x2 + 4y2 – 6x – 8y – 3 = 0 es el punto (5. R/ x 42 y 42 12 16 1. Hallar la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (2. R/ x + 2y – 9 = 0 13. F (0. R/ x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 14. su centro está en el origen. Dada la elipse 4x2 + 9y2 – 32x + 54y + 109 = 0. -2) y (-4. 2). 3) y (0. Hallar la ecuación de la cuerda. 3) y (5. encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el mismo que la elipse y como radio la mitad de la longitud del eje menor. 6) R/ 16 20 16. 1) R/ 4x2 + 9y2 – 16x – 18y – 11 = 0 12. y2 x2 1 . Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0. La ecuación de una familia de elipses es 4x2 + 9y2 + ax + by – 11 = 0. Graficarla R/ 2x2 – 9y2 = 9 92 . Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3.10. -1). e = R/ 9 9 2 15. Los vértices de una hipérbola son (0. Los focos de una elipse son los puntos (-4. Trazar su gráfica. -4) y su excentricidad es 3/2. -6) y la longitud de cada lado recto es 6. x2 y2 1 . Hallar su ecuación y la excentricidad. Hallar su ecuación y excentricidad. e = ½ 11. su eje transverso sobre el eje x. 4) y (0. y una de sus asíntotas es la recta 2 x 3 2 y 0 . Trazar su gráfica. -3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar su ecuación y los focos.