Cuaderno de Prácticas de GeoquímicaCUADERNO DE PRÁCTICAS DE GEOQUÍMICA por J.F. Molina, F. Bea, P. Montero y J.H. Scarrow Universidad de Granada Departamento de Mineralogía y Petrología Cuaderno de Prácticas de Geoquímica ÍNDICE Capítulo 1: Impactos de meteoritos Fundamentos teóricos Problemas Capítulo 2: Isótopos radiogénicos Relaciones fundamentales Ecuaciones de desintegración Cálculo de edades a partir de la ecuación de la isocrona Sistemática de isótopos radiogénicos Sistema Rb-Sr Isocronas Rb-Sr Sistema Sm-Nd Isocronas Sm-Nd Sistema Th-U-Pb Isocronas Th-Pb y U-Pb Diagramas de concordia U-Pb Isocronas Pb-Pb Sistema K-Ar Métodos convencionales 40K-40Ar Isocronas K-Ar Método 40Ar-39Ar Problemas Capítulo 3: Isótopos estables Fundamentos teóricos Introducción Parámetros de fraccionación isotópica Constante de equilibrio Ke Factor de fraccionación ! Parámetro " Dependencia de la temperatura de la fraccionación de isótopos estables Problemas Capítulo 4: Viscosidad de los magmas Fundamentos teóricos Unidades Problemas Capítulo 5: Elementos traza Fundamentos teóricos Diagramas de elementos traza normalizados Diagramas de REE normalizadas a condritos 1 1 1 2 2 2 3 4 4 4 4 5 5 5 6 7 8 9 9 10 11 14 14 14 14 14 15 15 16 17 19 19 20 21 22 22 22 23 I Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Coeficientes de distribución mineral/fundido Elementos químicos compatibles e incompatibles Ecuaciones de cristalización y de fusión Fusión y cristalización sin segregación simultánea (de tipo batch) Fusión Cristalización Fusión y cristalización fraccionada (i.e. con segragación instantánea) Cristalización Fusión Problemas Capítulo 6: Tipología de rocas ígneas Diagramas para la clasificación de rocas ígneas Apéndice: Clasificación de granitos Clasificación S-I-A-M de granitos Parámetros empleados en la clasificación de granitos Problemas Apéndice I: Fundamentos de estadística Apéndice II: Elementos traza en composiciones modelo y ejemplos de rocas Apéndice III: REE en composiciones modelo y ejemplos de rocas Apéndice IV: Análisis de rocas ígneas Apéndice V: Pesos moleculares Bibliografía 23 24 24 25 25 26 27 27 29 29 32 32 38 38 38 38 39 47 48 49 50 51 II Cuaderno de Prácticas de Geoquímica CAPÍTULO 1: IMPACTOS DE METEORITOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS La energía cinética de entrada de un meteorito, Ec, y el diámetro del crater originado, $ , se relacionan por la siguiente expresión empírica: $ = 0.1% 3 E c # donde $ viene expresado en km y Ec en kilontones (kT). 1 kilotón es la energía liberada por la detonación de 1000 # toneladas de TNT, y equivale a 4.184 101 2 J = 4.184 tera julios (TJ). # Teniendo en cuenta que la enrgía cinética viene dada por: Ec = 1 m %v 2 2 es posible determinar la velocidad de entrada del meteorito conocida su masa, o su volumen y densidad. # PROBLEMAS P 1. Sea un meteorito esférico cuyo impacto sobre la superficie de la Tierra originó un crater con un diámetro de 5 km. Calcular su masa y su diámetro para una velocidad de entrada de 30 km/s. Indicar también su energía cinética expresada en ergios. Densidad del meteorito 6 gr/cm3. Solución: diámetro: 72 m; masa: 1.17 Tgr; energía cinética: 5.25 1024 ergios 1 Cuaderno de Prácticas de Geoquímica CAPÍTULO 2: ISÓTOPOS RADIOGÉNICOS RELACIONES FUNDAMENTALES Ecuaciones de desintegración La ley de Radiactividad derivada por Rutherford y Soddy (1902) establece que la velocidad de desintegración de núclidos radiactivos es directamente proporcional al número de átomos radiactivos existentes en un instante t: &dN = 'N dt (1) donde N es el número de átomos parentales existentes en el instante t y ' es la constante de # desintegración, que mide la probabilidad de desintegración radiactiva de un núcleo atómico por unidad de tiempo. Operando en (1) e integrando desde t = 0 hasta t se obtiene: &dN N = 'dt ( ln(N)-ln(Ni) = -'t ( ln( N Ni ) = &' t ( N Ni = e &' t ( N i = N e ' t (2), donde N es el número de átomos parentales que permanecen tras un período de tiempo t y Ni es el número de átomos parentales existentes cuando se inició el proceso de desintegración. # # # # La constante de desintegración ' también se puede expresar en términos del período de semidesintegración (T1/2), que se define como el período de tiempo necesario para que la mitad de un número dado de átomos radiactivos parentales se desintegre. Por lo tanto, aplicando (2) para N = 0.5 Ni, se obtiene: N i = 0.5 N e ' t ( 2 = e ' t ( t = 1 ln(2) ) T1/2 ' (3), que permite calcular el período de semidesintegración de un radionúclido a partir de su constante de desintegración o viceversa. Otro parámetro empleado es la vida media * que se define como 1 . ' # # # En sistemas cerrados, el número de átomos radiogénicos estables presentes en un instante t, D*, es igual al número de átomos radiactivos desintegrados: # D* = Ni-N Sustituyendo (2) en (4) y operando se obtiene: D* = N ( e ' t -1) (5). (4). Si el sistema poseía inicialmente (i.e. para t = 0) cierta cantidad de átomos radiogénicos Di, el # 2 por lo # # que t se puede calcular a partir de (7) conociendo los valores de D A y N A para una sola muestra. En el # # caso de que se verifiquen estas tres condiciones# no # problemas analíticos. Cálculo de edades a partir de la ecuación de la isocrona # # Una vez determinada la pendiente b de una isocrona por los métodos discutidos en el apéndice I. que es la ecuación de una recta en el espacio de coordenadas (D A. denominada ecuación de la isocrona. se necesitan conocer las razones #A y N A en dos o más muestras que: (1) se # # hayan formado simultáneamente.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica número total de átomos radiogénicos D en el instante t viendrá dado por: D = Di + D* ( D = Di + N ( e ' t -1) (6). las razones D A y N A y haya de una serie de muestras deben presentar una relación lineal que puede ser ajustada por la ecuación de la isocrona (7) empleando técnicas de regresión lineal (ver Apéndice I). la edad de las muestras se puede derivar a partir de la expresión: b = ( e ' t -1) ( t = 1 ' ln[b + 1] La edad de las muestras también se pueden obtener a partir del parámetro estimado a. y (3) se hayan comportado como sistemas cerrados para los átomos de D y N desde su formación. # t y (D ) son los dos únicos parámetros desconocidos ya que D y N se pueden determinar A i A A analíticamente y ' es una constante conocida. En algunas ocasiones se puede asumir que Di = 0. En los # D casos en los que Di ! 0. La relación (6) se suele expresar dividida por la abundancia atómica de un isótopo estable A del mismo elemento de D (debido a que la determinación de cantidades relativas por espectrometría de # masas es más precisa): ( D ) = ( D ) i + ( N ) (e ' t -1) A A A (7). En en esta expresión. (2) presenten en el momento de su formación un valor Di similar. Así. N A) con pendiente e ' t -1 e intersección con el eje de ordenadas (D A )i . dado que: # # A b = A N )&0 i (A ( D )&( D ) y que: # se obtiene que: # t = 1 ln A N ) +1 ' (A a = (D A) i (( ) ) D &a # 3 . # # # 87 Rb es la El número de átomos de 86Sr por gramo de muestra se puede calcular de# misma forma. una vez calculados PASr y Ab Sr para la muestra dada. la razón 87Sr/86Sr se obtiene a partir de la siguiente expresión (ver problema 5): # # 87 Rb 86 Sr =[ ppm Rb Sr M ] . dependientes de la cantidad de Rb inicial y del tiempo transcurrido. De esta forma.y un neutrino. N Av donde PARb es el peso atómico del Rb. el número de átomos de 87Rb por M gramo de muestra será: # 87 Rb = 10&6 . Debido a la producción de 87Sr por desintegración de 87Rb. N Av es el número de Avogadro (6. pero hay la # 86 que tener en cuenta que la abundancia relativa de Sr y el peso atómico de Sr dependen de la razón 87 87 Sr/86Sr determinada analíticamente.PA . El Sr presenta cuatro isótopos naturales: 84Sr.11940. 86Sr.02252 1023) y Ab abundancia relativa de 87Rb. mientras que la razón atómica 87Rb/87Sr se calcula a partir de la razón de concentraciones Rb/Sr.46776 uma. Isocronas Rb-Sr La ecuación de la isocrona (7) aplicada al sistema Rb-Sr viene dada por: ( ) = ( ) + ( ) (e 87 86 Sr Sr 87 86 Sr Sr i 87 86 Rb Sr 't -1) La razón atómica 87Sr/86Sr en rocas y minerales se mide directamente por espectrometría de masas.Ab Rb PA ppm 87 Rb . si # [Rb] ppm es la concentración del Rb en ppm (partes por millón). la abundancia relativa de los isótopos de Sr y. ' Rb . Así.42 10-11 años-1.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica SISTEMÁTICA DE ISÓTOPOS RADIOGÉNICOS Sistema Rb-Sr El Rb presenta dos isótopos naturales (abundancia relativa en proporciones atómicas indicada entre paréntesis): 85Rb (0. Ab Ab 87 Rb 86Sr Sr .PA Rb Sistema Sm-Nd # 4 . por lo tanto. su peso atómico son variables. que se desintegra al isótopo estable 87Sr emitiendo una partícula +. 87Sr y 88Sr con las siguientes razones atómicas: # 84 Sr/88Sr = 0.[ Rb] M . El 87Rb es 87 un isótopo radiactivo con una constante de desintegración.00675 y 86Sr/88Sr = 0.721654) y 87Rb (0. de 1.278346) y un peso atómico de 85. 0741).0311). 143Nd. la velocidad de producción de isótopos estables de Pb es igual a la velocidad de desintegración de los isótopos parentales de U y Th. Isocronas Sm-Nd Los isótopos 143Nd y 147Sm se expresan normalizados a la abundancia del isótopo estable 144Nd.113).150).267) y 154 Sm (0. 232Th ( 208Pb. 149Sm (0. 150Sm (0. En tal caso.84850 10-10 años-1 y '3 = 4.227). Por lo tanto. 145Nd.9475 10-11 años-1.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica El Sm es una tierra rara que presenta 7 isótopos naturales (abundancia relativa indicada entre paréntesis): 144Sm (0. 235U ( 207Pb. a 208Pb. '2 = 9. i. Debido a la producción de 143Nd por desintegración de 147Sm. El Nd presenta 7 isótopos naturales: 142Nd.54 10-12 años-1) y se desintegra a 143Nd.4 uma. Esto hace posible que los sistemas indicados se puedan tratar como cadenas simples en las que los isótopos parentales se desintegrasen directamente a los isótopos estables finales. 5 . 144Nd. respectivamente. 148Sm (0.e: 238U ( 206Pb. se puede alcanzar una situación de equilibrio en la que la velocidad de desintegración de los productos intermedios es la misma que la de los isótopos parentales.138). 147Sm (0. la abundancia relativa de los isótopos de Nd es variable y depende de la cantidad inicial de Sm y de la edad. 235U y 238U se desintegran. # Los isótopos radiactivos 232Th.55125 10-10 años-1. por lo que la ecuación de la isocrona (7) para el sistema Sm-Nd viene dada por: ( Sistema Th-U-Pb 143 144 Nd Nd )=( 143 144 Nd Nd i ) +( 147 144 Sm Nd ) (e 't -1) . El isótopo 147Sm es radiactivo (' = 6. emitiendo una partícula !. Aunque estas secuencias de reacción son muy complejas. 146Nd. Isocronas Th-Pb y U-Pb Las tres cadenas de desintegración de isótopos de Th y U permiten la obtención de tres isocronas simultáneas: ( # # # 206 204 Pb Pb ) = ( ) +( 204 206 Pb Pb i 238 204 U Pb ) (e ) (e ) (e '1 t -1) -1) -1) (8) (9) (10) ( ( 207 204 Pb Pb ) = ( ) +( 204 207 Pb Pb i 235 204 U Pb '2 t 208 204 Pb Pb ) = ( ) +( 204 208 Pb Pb i 232 204 Th Pb '3 t con '1 = 1. 148Nd y 150Nd. 152Sm (0. a través de secuencias de reacciones de desintegración en las que se producen isótopos muy inestables. presenta un peso atómico de 150. 207Pb y 206Pb. Si por el contrario. las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U del sistema se situarán en algún punto a lo largo de la recta indicada (punto Q en la Fig. el sistema pierde solamente una fracción del Pb radiogénico. las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U de una muestra que se haya comportado como un sistema cerrado se proyectaran sobre la curva de concordia. las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U del sistema se desplazarán hacia el origen de coordenadas según la recta que une el origen y el punto de la curva de concordia correspondiente a *’. las relaciones (11a) y (11b) son las ecuaciones paramétricas de la curva de todos los sistemas U-Pb concordantes. indicando la edad de formación de ésta. por lo tanto. por lo que se denomina curva de concordia (Fig. las razones 206Pb*/238U y 207 Pb*/235U se desplazarán hasta el origen de coordenadas y el sistema perderá toda la información correspondiente al período de tiempo anterior a *’. Por lo tanto. De esta forma. Si por el contrario. Estas razones representarían puntos en coordenadas 206Pb/238U # 207 Pb/235U de sistemas U-Pb con edades concordantes. el sistema experimenta una pérdida de Pb (o ganancia de U). en un momento *’. el sistema Th-U-Pb permite el empleo simultáneo de tres geocronómetros. La cantidad de Pb liberado por un mineral depende de su tamaño y de la cantidad de U presente. En caso de que se liberase todo el Pb radiogénico. Por lo tanto. 1). Cuando la muestra analizada se ha comportado como un sistema cerrado para los isótopos de U y todos sus productos de desintegración. las edades obtenidas con las ecuaciones (8) y (9) son concordantes. Todos los puntos sobre esa recta dan edades discordantes y. en una muestra dada es posible separar 6 . de tal forma que las mayores pérdidas de Pb se producirán en minerales con tamaño de grano más pequeño y con mayores concentraciones de U. 1). . la recta se denomina recta de discordia.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Diagramas de concordia U-Pb Como se ha indicado anteriormente. [( ) & ( ) ] 206 204 Pb Pb 206 204 Pb Pb i # ( )= 207 235 Pb U * 204 235 Pb U [( ) & ( ) ] 207 204 Pb Pb 207 204 Pb Pb i Las relaciones (11a) y (11b) permiten el cálculo de las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U para un conjunto de valores arbitrarios de t. A partir de estas ecuaciones se pueden derivar las siguientes relaciones: e'1 t -1= e'2 t -1 = # # donde 206 238 Pb U * (11a) (11b) 207 235 Pb U * ( )= 206 238 Pb U * 204 238 Pb U . 2). Diagrama de concordia U-Pb (tomado de Faure (1977)). respectivamente. Diagrama de concordia U-Pb (tomado de de Faure (1977)). Isocronas Pb-Pb A partir de las relaciones (8) y (9) se puede obtener la ecuación de la isocrona Pb-Pb: 7 . si el proceso fue discontinuo. Las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U de estas fracciones se proyectan sobre una línea de discordia (Fig. Figura 2. que se puede determinada por mínimos cuadrados.g. circones). que representa. 2). Figura 1.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica diversas fracciones de una fase mineral datable por el método U-Pb (e. Esta recta intercepta la curva de concordia en dos puntos *o y * (Fig. que hayan liberado Pb con distinta intensidad. la edad en la que se formó el mineral y la edad de cierre del sistema tras un período de pérdida de Pb (o ganancia de U). 10 &3 . la edad de la serie se # puede determinar a partir de la curva 207Pb*/206Pb*. Pb 1 .206Pb/204Pb. Figura 3.2527 10-3.206 Pb 0 &. Pb 1 i . Esta expresión es la ecuación de una recta que contiene al punto de coordenadas (( ) .t (Fig. Pb 1 . e '2 t -1 = e 1 -1 ' t ( 207 206 Pb Pb* * ) (13).0001167) y 41K (0. por lo que sus razones 207Pb/204Pb y 206Pb/204Pb se deben proyectar definiendo una recta de # pendiente: m = 7. U 238 U 235 e 2 -1 e ' 1 t -1 ' t = . 40K (0. Sistema K-Ar El K presenta tres isótopos naturales (abundancia relativa indicada entre paréntesis): 39K (0. y un peso atómico de 39. ( ) ) . Esta condición se verifica para cualquier serie de rocas y 207 204 Pb Pb i 206 204 Pb Pb i minerales cogenéticos. 8 .t (tomada de Faure (1977)).932581).Cuaderno de Prácticas de Geoquímica ( ).207 Pb 0 . El valor de la pendiente m se puede obtener efectuando el ajuste mínimo cuadrático de la recta definida por los datos 207Pb/204Pb . # donde la razón 235U/238U vale 7. Diagrama 207 Pb* / 206Pb* .2527 . Una vez conocido el valor de m.098304 uma.207 Pb 0 / 204 2 &/ 204 2 . 3). Pb 1 i (12).206 Pb 0 / 204 2 / 204 2 .067302). si 40Ari = 0. Ab K . presentando. 2) 40Ari = 0. la cantidad de 40Ar se pueden medir directamente por espectrometría de masas.g. en tantos por ciento en peso y en ppm. En la expresión (16).543 10-10 años-1. una constante total de desintegración '3 de 5. 3) Se ha efectuado una corrección del Ar atmosférico (ver expresión 6.5 en Faure (1997)). mientras que la de 40K se puede calcular a partir de la cantidad de K de la muestra.g. Métodos convencionales 40K-40Ar La fracción de átomos de 40K que se desintegran a 40Ar viene dada por: 'Ke 40 K 'K (14) Por lo tanto. procedente de 9 . a partir de (15) se obtiene: # 1 . El Ar no radiogénico puede ser de origen magmático (e. metamórfico (e. la cantidad de 40Ar radiogénico producida será: # 40 Ar* = 'Ke 40 K (e 'K t -1) 'K (15).'K 40 Ar* 0 t = ln / . PAAr 40 ppm donde PAAr = 39.581 10-10 años-1. producido por desgasificación de magmas de origen mantélico). Si asumimos una cantidad nula de Ar inicial. según las relaciones (6) y (14). respectivamente.9623 uma. por tanto. si los contenidos en K y en 40Ar* vienen expresados. es decir. Isocronas K-Ar # # En el caso de que la condición (2) no se verifique.962 10-10 y '3e = 0. la razón 40Ar* /40K viene dada por: 40 [ 40 Ar* ] M .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica El 40K se desintegra produciendo los isótopos estables 40Ca y 40Ar con constantes de desintegración '3+ = 4. # La edad obtenida por esta expresión corresponderá a la edad de formación si se verifican las siguientes condiciones: 1) La muestra se ha comportado como un sistema cerrado para los isótopos de Ar y de K. respectivamente. la cantidad de 40Ar inicial y la edad se pueden determinar por el método de la isocrona. 40 + 12 'K . 'Ke K 1 (16). De esta forma. PAK Ar* = % peso 40 K [ K]M 10 4 . por lo que es posible detectar si la muestra analizada experimentó pérdida o ganancia de Ar después de su formación. La ecuación de la isocrona (7) aplicada al sistema K-Ar viene dada por: ( ) =( ) + 36 40 Ar Ar 40 36 Ar Ar i 'Ke 'K 40 36 K Ar (e 'K t -1) (17). podemos derivar la siguiente expresión: ( # 40 39 Ar * Ar )= 'Ke 'K 40 39 K Ar (e 'K t & 1) (18) en la que 39Ar es la cantidad de átomos de 39Ar en la muestra tras la irradiación.40 Ar* 0 ' Ke / 39 2= . donde el término (40Ar*/36Ar)i representa el Ar derivado de las tres fuentes indicadas anteriormente. Por lo tanto. sustituyendo (19) en (18) se obtiene: . A partir de (15). 4T: 39 Ar= 39 K4T 8 5(6 )7 (6 )d6 (19). # Método 40Ar-39Ar El método Ar-Ar se basa en la producción de 39Ar a partir de 39K por irradiación de la muestra con neutrones en un reactor nuclear. La cantidad de 39Ar producido por irradiación es proporcional a la cantidad de 39K de la muestra y al tiempo de exposición. Ar 1 'K 40 K 1 e' t & 1 39 K 49 8 5 (6 )7 (6 )d6 K (20) Si definimos el parámetro J como: # J= y sustituimos en (20). se obtiene: 'K 39K 49 8 5 (6 )7 (6)d6 'Ke 40K # 10 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica minerales de K más antiguos) o atmosférico. Este método permite una extracción incremental del Ar de la muestra por calentamiento. # donde 5(6) es el flujo de neutrones de energía 6 y 7(6) es el área efectiva de interacción del núcleo de 39 K para neutrones de energía 6. 2. 2.17436. Soluciones: (a) 0.6.4 2.952 %. 87Sr/86Sr inicial = 0.70. (b) Determinar la edad de una serie de roca ígneas que presentan las siguientes razones isotópicas: 206 Pb/204Pb 207 Pb/204Pb 19. 84Sr = 0. Solución: 88Sr = 70. 0.1 0.705.4742 %.94 0. (b) 2.0 y proyectarlas en un diagrama 207Pb*/206Pb*-t. Calcular la edad de un mineral que presenta las siguientes razones isotópicas: 87Rb/86Sr = 17.19680. P 4.42 10-11 años-1.8 y 3. 0. '(238U) = 1. 87Sr = 20. P 3.42 10-11 años-1. P 2.3810 %. PROBLEMAS P 1.8 16.88 0.81 Calcular la edad de la roca y la razón incial de 87Sr/86Sr.77 109 años.8 Emplear el diagrama obtenido en el apartado (a) del problema.192 %.40 Ar* 0 e ' t &1 / 39 2= . '(87Rb) = 1. 0.0 40.9 18.510.15482. '(235U) = 9.1 14.4. Los minerales de una roca ígnea presentan las siguientes razones isotópicas: Muestra 87 Rb/86Sr 87 Sr/86Sr Biotita Moscovita Microclina 4. 11 .8 109 años.55125 10-10 años-1. Calcular la abundancia isotópica y el peso atómico de Sr en una muestra con 87Sr/86Sr = 2. Ar 1 J K donde la razón 40Ar*/39Ar es la razón 40Ar/39Ar del gas extraído y se mide directamente por espectrometría de masas. Solución: 2.22266. Solución: t = 3.59 y 87Sr/86Sr = 0.5 3.70 109 años.2. Asumir que todo el 87Sr es radiogénico.84850 10-10 años-1. '(87Rb) = 1. 0. que se # obtiene a partir de una curva de calibrado establecida con patrones de edad conocida introducidos en el reactor. Peso atómico: 87. 86Sr = 8. 2.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica .5000 (ver razones de isótopos de Sr en el apartado de sistemática de isótopos radiogénicos).13783. mientras que J es un parámetro instrumental para cada muestra.2 30. (a) Calcular la razón 207Pb*/206Pb* para las siguientes edades (x 109 años): 2. 4125 1.500.6 Ma. Dada una muestra de biotita que contiene 465 ppm de Rb. P 6.7174.8 109 años.704. biotita: 120.703. (b) Efectuar el ajuste mínimo cuadrático de 87Sr/86Sr sobre 87Rb/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica P 5.71. feldespato-K: 690. (b) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0.7 Ma.42 10-11 años-1.42 10-11 años-1. (c) Valor inicial de 87 Sr/86Sr: 0. (b) 2. 30 ppm de Sr y presenta una razón 87Sr/86Sr de 2. Dados los siguientes datos analíticos para tres minerales de una pegmatita. (c) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0. Asumir una correlación perfecta de errores y utilizar los siguientes factores de ponderación: :(87Sr/86Sr ) Moscovita Biotita Feldespato K 5 5 10 :(87Rb/86Sr) 1.4125 y 87Rb/86Sr de 350. (c) 1.5 2 Utilizar como valor inicial de la pendiente el resultado obtenido en (a).8 75.1400 0. 87 86 P 8. Solución: (a) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0. Rb (ppm) Moscovita Biotita Feldespato K 238. 1979): Muestra 147 Sm/144Nd 12 143 Nd/144Nd . edad: 114. (d) Proyectar las razones 87Sr/86Sr y 87Rb/86Sr de las tres muestras dadas y las dos rectas obtenidas.9 Sr (ppm) 1. edad: 129. P 7. edad: 114. '(87Rb) = 1.00.7261.5 ( 87Sr/86Sr) 1. edad: 132. Utilizar los resultados del problema anterior.2 Ma.5 Ma.42 10-11 años-1.7 Ma. y (c) el ajuste por el método de York y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr. c) Calcular la razón 87Sr/86Sr hace 1. .8 Ma. Solución: (a) Moscovita: 121.6 Ma.135.7348 edad: 127. Una muestra de un basalto lunar presenta los siguientes datos isotópicos (Nyquist et al. Utilizando los datos de biotita y feldespato K del ejercicio P6 y de una nueva muestra de moscovita con razones 87Sr/86Sr de 1.5 1.80 12. Solución: (a) 52. (c) Efectuar el ajuste mínimo cuadrático de 87Rb/86Sr sobre 87Sr/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de87Sr/86Sr. efectuar: (a) el ajuste mínimo cuadrático de 87Sr/86Sr sobre 87Rb/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr.4 1080.7502 (a) Calcular las edad para cada uno de estos minerales asumiendo una razón inicial 87Sr/86Sr de 0. (a) Calcular la razón atómica 87Rb/86Sr.8 Ma. (b) el ajuste mínimo cuadrático de 87Rb/86Sr sobre 87Sr/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr . (d) Proyectar las razones Sr/ Sr y 87Rb/86Sr de las tres muestras dadas y las tres rectas obtenidas.9 121. (b) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0. (b) Calcular la edad considerando una razón inicial 87Sr/86Sr de 0. '(87Rb) = 1. '(87Rb) = 1.73744.36 109 años.7378. '3 = 5.68 9. # 13 . '3 = 5. El parámetro J es 1.58 10.513142 0.196608.27 4. 1971). Solución: 48.10 10.512365 0. '(147Sm) = 6.925 10-2.45 % (en peso) de K2O y 6.513861 (a) Calcular la edad de las muestras por el método de mínimos cuadrados.31 (Bryhni et al. Calcular la edad de la muestra.508706.543 10-10 años-1. Solución: 383.2090 0. '3 = 5. 143 P 9.54 10-12 años-1. Una muestra de biotita de una Q-monzonita tiene un 8. '3e = 0. Solución: (a) 3. La razón 40Ar*/39Ar de una fracción de Ar extraída de una muestra de biotita es 12. Solución: 470 106 años.7 106 años.. P 11. Calcular la edad K-Ar de este mineral.543 10-10 años-1. P 10. (b) Calcular la razón Nd/144Nd inicial de la roca.1727 0.79 106 años.90 10-2) y proyectar las edades obtenidas frente al número de 4Q.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Roca total Plagioclasa Piroxeno 0.016 10-10 moles/g de 40Ar radiogénico (Miller y Engels.26 Calcular la edad de cada fracción (J = 2.581 10-10 años-1.97 6.25 10. 1971): 4Q 1 2 3 4 5 10 15 40 Ar*/39Ar 2. Indicar la edad de la biotita que se obtiene a partir del espectro de edades.543 10-10 años-1.20 109 años. 1975).2434 0. PAK2 O = 94. (b) 143Nd/144Nd inicial: 0.. Se han obtenido las siguientes razones 40Ar*/39Ar para una muestra de biotita empleando la técnica de calentamiento incremental (Bryhni et al. Una consecuencia de esta relación es que los enlaces formados por isótopos ligeros son más débiles. Por otra parte. que implican la redistribución de isótopos de un elemento entre diferentes moléculas que lo contienen. cristalización. infiltración de fluidos en una secuencia de rocas metamórficas. continental etc). interacción de rocas ígneas con aguas meteóricas o marinas. evaporación. implicando que las moléculas de una sustancia constituidas por isótopos más ligeros sean más reactivas. difusión). Así. 18O y 16O).. cuarzo y rutilo) en las que O presenta dos isótopos estables O y mO (e. He. la frecuencia de vibración molecular . es posible establecer la siguiente reacción de intercambio isotópico: n 14 . O. Li. La fraccionación de isótopos estables es un proceso fuertemente dependiente de la temperatura.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica CAPÍTULO 3: ISÓTOPOS ESTABLES FUNDAMENTOS TEÓRICOS Introducción Los isótopos estables de elementos químicos ligeros como H. C y S. B pueden experimentar fenómenos de fraccionación (variación de su abundancia relativa) debido a diversos tipos de procesos fisicoquímicos y reacciones químicas entre fases minerales: Reacciones de intercambio isotópico. La causa fundamental de la fraccionación de isótopos estables reside en la energía de enlace molecular. S. es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa de la molécula. O.g. C. fusión. Moléculas de una sustancia con distintos isótopos de un elemento en una posición equivalentes presentarán diferentes estados energéticos. Procesos físicos sensibles a las diferencias de masa (e. debido a diferencias en la componente de la energía vibracional que presenta una dependencia significativa de la masa. N. en la fraccionación de isótopos de H. por lo que se han calibrado una gran cantidad de geotermómetros basados.g. los isótopos estables son de gran utilidad para detectar procesos de mezcla que impliquen fuentes con composiciones isotópicas distintas (e. fundamentalmente. formación de sedimentos con componentes de fuentes distintas: marina.g. Parámetros de fraccionación isotópica Constante de equilibrio Ke Sean dos sustancias AOx y BOy (e. Si estas sustancias están en un estado de equilibrio.g. # Parámetro " En general. # 15 . [B O ] = [A O ]. [B O ] m n n x y y m x x y x y (1). etc) y nO es el isótopo pesado.[ B Oy ] 0 y / B nO 2 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica AnOx + x y BmOy = AmOx + x y BnOy. 34S/32S.[ x]1 Ke = m x .R 0 "A O =1000 . que se define como: !A&B = RA RB (3) donde RA y RB son las razones de dos isótopos de un elemento en las sustancias A y B (e. # Factor de fraccionación ! La fraccionación isotópica entre dos sustancias en equilibrio también se puede expresar por medio del factor de fraccionación !. Operando en (1). 18O/16O). 18O/16O. R Patrón 1 n (4) donde las razones son de isótopo pesado a ligero (i. [ y] 1 (2). la composición isotópica de una muestra dada se expresa mediante un parámetro " que indica la desviación relativa de la razón isotópica medida en la muestra respecto a la de un patrón de referencia (Tabla 1): .g. / A &12 . que presenta una constante de equilibrio Ke: # # Ke [A O ].e. Ke también se puede expresar como: # .[ A m Ox ] 0 / An O 2 . ln(! A& B ) Es interesante observar que 1000 . V-SMOW = Vienna Standard Mean Ocean Water (idéntico al SMOW).D 16 O. Esta dependencia de T permite el empleo de la fraccionación isotópica entre fases minerales con fines geotermométricos.75 10-5 34 S/32S = 449.2 10-6 13 C/12C = 1123. # donde A y B son dos constantes y T es la temperatura en kelvins. 4: NBS: National Bureau of Standards. 2. ( R A &1 ) < 1000. 34S y 36S 14 N y 15N 12 32 Patrones V-SMOW1 V-SMOW1 PDB2 PDB2 CDT3 NBS-144 R Patrón D/H = 155. n n (6) # ! * &B = 1000 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica "BO n Dadas dos sustancias en equilibrio isotópico. de tal forma que el factor de fraccionación !M-N entre dos fases se puede expresar de la siguiente forma: B T2 4 M& N < 1000 . Patrones de isótopos estables Elemento Hidrógeno Oxígeno Carbono Azufre Nitrógeno Isótopos H. 33S. # ! A &B Por otra parte.94 10-4 15 N/14N = 367.76 10-6 18 O/16O = 2005. ln(! A& B ) es aproximadamente igual al parámetro !A-B expresado como una diferencia relativa normalizada a 1000. el factor de fraccionación !A-B y los valores "AO y (en ‰) están relacionados por la siguiente expresión: 1000 + " AO = n 1000 + " BO n n # (5). ln(! M&N ) = A + (8). NBS-14: Valores del aire atmosférico. 17O y 18O C y 13C S.6 10-5 1. también se define el parámetro 4A-B como: # 4 A& B = "AO & " BO que está relacionado con !A-B por la siguiente expresión: # 4 A& B < 1000 .2 10-6 18 O/16O = 2067. 3: CDT = Canon Diablo Troilite (SFe). 16 . PDB = Peede Belemnite. ln(!A &B ) A RB # Dependencia de la temperatura de la fraccionación de isótopos estables La fraccionación# isótopos estables entre minerales presenta una fuerte dependencia de la de temperatura. ! * &B : A # (7). Tabla 1. Solución: -41. Se ha observado que el material carbonático de la concha de bivalvos que crecen en equilibrio 18 con el agua marina con los siguientes valores de " O (referidos al V-SMOW): +25 ‰ a 25 ºC. Calcular el factor de fraccionación ! de un par pirita-calcopirita con valores 4py-cp de 1. P 4. +29 ‰ a 15 ºC y +35 ‰ a 0 ºC.60 ‰.18.5 ºC.5 para el terrestre: (a) derivar la ecuación de mezcla que exprese el porcentaje de N marino en .19 el ‰. N N de 6.5 17 . # Calcular el valor de " O de la concha que creció a una (c) 18 temperatura de 35 ºC. (a) Proyectar los datos y derivar una ecuación que relacione la temperatura y la composición isotópica de la concha. Dados los siguientes valores " F ase Cuarzo Granate Magnetita Moscovita Biotita 18 O (Garlik y Epstein. Si asumimos un valor " función del valor de " 15 15 N de +10 ‰ para el N de origen marino y de 15 +2.5 ". "Sed .1 106 T &2 + 0. (b) calcular el porcentaje de N marino en un sedimento con un " 15 N # Marino ‰. (b) 32.8 +9.96 (donde T es la temperatura en K). (b) 53.96 y rutilo y agua: # 1000 . derivar la ecuación del geotermómetro curzo-rutilo y calcular el valor 4Q-Ru a 700 ºC.4 +8.3 %.3. calcular# parámetro " S .0 +11.002055. (d) Calcular la razón 18O/16O de una concha con un " O de +25 ‰.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica PROBLEMAS P 1. Se ha observado que el nitrógeno de sedimentos marinos puede derivar tanto de materia orgánica marina como terrestre.5-2. Solución: 1. 1967): " # # 18 O (‰) +14.8 +5. P 3. ln(! Q& A ) = 2. (c) +21 ‰. Dadas las siguientes relaciones para la fraccionación de isótopos de oxígeno entre cuarzo y # # agua: # # 1000 . ln(! Ru&A ) = 4. Solución. (b) Calcular la temperatura durante el crecimiento 18 18 de una concha con un " O de +22 ‰.1 # ‰.00110. Sea un sulfuro con una razón 32S/34S de 23.51 106 T &2 &1.3. Solución: (a) X Sed .33. # P 6. # # 34 P 2. (%) = 13. Solución: 4Q-Ru = -4. (d) 0. (a) T (ºC) = 87.5 P 5. 20 10 6 T &2 & 0.720 & 1. TQ-Bio = 458 ºC. TGra-Ms= 552 ºC. TMt-Ms= 489 ºC. TBio-Ms= 444 ºC.60 Solución: TQ-Mt = 481 ºC. magnetita-moscovita.23 &1.04 X An ) 106 T &2 & 0.57 10 6 T &2 4 Q& Ms = 2.60 4 P lg&Bio = (2.60 # # # # # 4 P lg&Gra = (1. 1975) (T en K): 4 Q& Mt = 5.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Calcular la temperatura para los siguientes pares minerales: cuarzo-magnetita. Utilizar las siguientes ecuaciones termométricas (Bottinga y Javoy.910 &1.04 X An ) 106 T &2 4 P lg&Ms = (1. TQ-Ms= 469 ºC. granate-moscovita.04X An ) 10 6 T &2 & 0. 18 . biotita-moscovita y curzo-biotita. cuarzo-moscovita. (a) pantellerita. Un indicador empírico muy útil del grado de polimerización de un fundido viene dado por la razón R definida como el número total de átomos de oxígeno dividido por la suma de los átomos formadores de red: R= O Si + Al + P (1) El valor de R es próximo a 2 en fundidos graníticos y a 3 en fundidos de composición ultrabásica. Energía de activación del flujo viscoso de fundidos de rocas a temperatura líquidus (ca. se hace más dificil el desplazamiento de los átomos en la estructura resultante y. 1982) 19 . (d) basalto olivínico. Se ha observado una relación cuadrática entre la composición (i. de los magmas naturales presenta una variación con la temperatura de tipo Arrhenius: = = Ae E RgT donde A es una constante y E es la energía de activación del flujo viscoso. tiene un valor R de 2. (c) toleita de islas oceánicas. (b).e. Figura 1. que presenta un grado muy alto de polimerización. por lo tanto aumenta la viscosidad. 2). R) y la energía de activación del flujo viscosos a la # temperatura líquidus (Fig.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica CAPÍTULO 4: VISCOSIDAD DE LOS MAGMAS FUNDAMENTOS TEÓRICOS Silicio. La viscosidad. andesita basáltica. (Tomado de Henderson. mientras que # un fundido de composición forsterítica está totalmente depolimerizado y R vale 4. 1). (e) melanefelinita olivínica. de tal forma que es posible predecir la viscosidad de un magma a partir de su composición y la temperatura (Fig. aluminio y fósforo se comportan como elementos formadores de red en fundidos y tienden por tanto a aumentar el grado de polimerización de éstos. 1200ºC) y 1 atmósfera representada frente al índice R. El grado de polimerización de un fundido y su viscosidad están directamente relacionadas ya que a medida que aumenta la red de tetraedros se va haciendo más compleja. =. La sílice fundida. = cm % s 1000 m s m% s # 20 . Tipos composicionales como en Fig. 1982) Unidades En flulidos con comportamiento viscoso.0 (Tomado de Henderson. 1250. C. Notar que: # # *= 1poise = g kg 100 1 0. 3): >z Fx >v == A >z Por lo tanto. y presenta por lo tanto unidades de kg m-1 s-1 en el SI y g cm-1 s-1 (= 1 poise) en el cgs.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Figura 2. es proporcional al gradiente del campo de deformación de cizalla resultante. el esfuerzo de cizalla aplicado. 1300. F. *. 1. Temperaturas (ºC): A. temperatura y composición de fundidos 1 atamósfera. Relacíón entre viscocidad. 140.1% kg = . >v (Fig. D. 1150. la viscosidad se puede definir como la razón entre el esfuerzo de cizalla y el gradiente del campo de velocidades de deformación de cizalla. E. B 1200. . 1350. 2241 2.19 0.10*10-7.24 0. Determinar previamente la relación E-R por mínimos cuadrados a partir de los siguientes datos de R y de energías de activación.63 poises E (kJ/mol) 350.31441.96 310.5244 2.6383 2. Sea la composición de un fundido (% en peso).16 4.29 234. determinar su viscosidad (en poises) para una temperatura de 1350 ºC. Deformación de cizalla en un fluido contenido entre dos láminas de superficie plana producida por el desplazamiento horizontal de la lámina superior de superficie A.6 23.87 0. PROBLEMAS P 1.52 11.7823 Composición del fundido (% peso) SiO2 TiO2 Al2 O3 FeO MgO MnO CaO Na2 O K2 O P 2 O5 Total 46. Factor pre-exponencial (kg m-1 s-1): 5.46 9.92 219. Proyectar gráficamente la parábola de ajuste.68 0.69 256.08 97.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica A F Fx d1 t1 Fz t0 d2 d3 d4 z Figura 3.74 21 .94 0. Solución: 55.32 R 2. Rgp (J K-1 mol-1): 8.3316 2. i. Las composiciones modelo más utilizadas son: Tierra silicatada: Composición de la Tierra tras la formación del núcleo. Los aspectos a considerar en los diagramas normalizados son: Pendiente general de los espectros. los elementos traza se suelen proyectar en orden creciente de compatibilidad en relación al manto (ver definiciones en la próxima sección). en diagramas normalizados a condritos y a la tierra silicatada. Aunque no hay un acuerdo generalizado. ya que permiten observar las relaciones de un gran número de elementos traza simultáneamente.e composición del manto + la corteza. Valores absolutos de los contenidos normalizados.. Condritos: Composición de los meteoritos de composición condrítica. MORB (Mid Ocean Ridge Basalt): Composición de los basaltos de dorsales oceánicas.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica CAPÍTULO 5: ELEMENTOS TRAZA FUNDAMENTOS TEÓRICOS Diagramas de elementos traza normalizados Una forma de presentar los contenidos en elementos traza de una roca o serie de rocas es mediante diagramas multielementales normalizados a una composición modelo de referencia. plagiogranitos. granitos S. etc. granitoides: e. Tanto la pendiente general de los espectros como la presencia de anomalías depende del orden en el que se proyecten los elementos traza. Se emplea para estudiar rocas básicas e intermedias evolucionadas. se puede obtener la siguiente información: Caracterización del litotipo: basaltos: e.g. 22 . OIB. (equivalente a la composición global de la Tierra).g. Corteza continental: Composición media de la corteza continental. Estos diagramas constituyen un método muy eficiente para la caracterización de rocas ígneas. Presencia de anomalías (positivas o negativas). MORB. Modelos petrogenéticos: fuente y mecanismos de diferenciación de secuencias de rocas ígneas. Se emplea en granitoides. granitos alcalinos etc. Se emplea en rocas máficas poco evolucionadas. A partir del análisis de diagramas de elementos traza normalizados. Se emplea en rocas máficas poco evolucionadas. se pude definir el coeficiente de distribución global de un elemento traza j entre la porción sólida S de un sistema constituido por M1. que pueden presentarse en el Eu y el Ce. Esto equivale a una ordenación por grado creciente de compatibilidad para fundidos generados en el manto.. Los valores normalizados se ordenan por orden creciente de número atómico. Como en los diagramas descritos anteriormente. K jL .. que se miden empleando la razón Eu/Eu*. En procesos magmáticos. los aspectos que hay que tener en cuenta son: la pendiente general de los espectros. dado que el resto de la tierras raras son trivalentes. el coeficiente de partición K jL para una fase dada no es constante y puede variar con M # la temperatura. el Eu puede ser bivalente o trivalente. los valores absolutos de los contenidos normalizados y la presencia de anomalías. GdN Eu / Eu * = Coeficientes de distribución mineral/fundido # El coeficiente de distribución en equilibrio de un elemento traza j entre una fase mineral M y un fundido silicatado L. # En general. como: # S # 23 . K jL . # A partir de (1). la presión y la composición del fundido.. respectivamente.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Diagramas de REE normalizadas a condritos Las tierras raras se presentan en diagramas multielementales normalizados a condritos. definida como: Eu N SmN . el Eu bivalente presenta un comportamiento diferencial. j mM (2). viene dado por la siguiente expresión: M L M Kj = # CM j CL j (1) donde C jM es la concentración del elemento traza j en la fase M y se define como: # C jM = m jM # siendo mM y mM .. la masa de la fase M y del componente j en M. Por lo tanto. pudiendo desarrollar anomalías . M2. MN fases minerales y un fundido L. 01 + 0.05 + 0. (en caso de que X M i sea igual a la abundancia relativa de Mi en el protolito ( fusión modal). S # # Ecuaciones de cristalización y de fusión La fraccionación de elementos traza durante procesos de fusión y de cristalización se puede expresar mediante ecuaciones que dependen de los coeficientes de distribución previamente descritos y del grado de fusión parcial F.). 0. y clinopiroxeno (Cpx) = 20 %. En caso contrario. T etc.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Kj = ? X .01.05.9.5 . 0. Ol Opx Cpx # K Eu = 0.2 . K Eu = 0. 0.2 Elementos químicos compatibles e incompatibles # Roca L # S # # Se dice que un elemento químico j es compatible si K jL >1. L L L ortopiroxeno (Opx) = 30 %. Dado que K jL depende de la asociación mineral en equilibrio con el fundido y de la composición de éste. X M i se define como: Cristalización: X M i = abundancia relativa en peso con la que precipita Mi.3 . que se define como la abundancia relativa en peso de fundido de un sistema: mL F= L m + mS (4) # 24 . y K Eu = 0. será incompatible. K Eu = 0. # Ejemplo: Calcular el coeficiente de distribución global de Eu para una roca que ha cristalizado a partir # # de un fundido con la siguiente abundancia (en peso) de fases minerales: olivino (Ol) = 50 %. # Fusión parcial: X M i = abundancia relativa en peso con la que funde Mi. Kj Mi S L N i=1 ( Mi L ) (3) donde X M i es la abundancia relativa en peso de la fase mineral M i : # # X = Mi # mM N r =1 i ? mM r Dependiendo del tipo de proceso que esté experimentando el sistema. la compatibilidad de un elemento es una propiedad relativa que varía en función del sistema y las condiciones ambientales (P.9 = 0. m R j j j Dividiendo por mP en (7) y aplicando la condición de cierre (6). m L + CR . Fusión Para deducir las ecuaciones de fraccionación de elementos traza. la fracciones líquida y sólida del sistema. respectivamente. vamos a considerar un sistema constituido por el líquido y el residuo remanente tras un grado de fusión F. m P = CL .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica donde los superíndices L y S son. se debe verificar para cada componente j la siguiente relación: mP = m L + mjR j j donde los superíndices P y R indican el protolito y el residuo. es decir. Si las fracciones líquida y sólida permanecen en contacto (i. obtenemos: # # 25 (5) (6) (7). también se debe verificar la siguiente relación entre las masas totales: mP = m L + m R A partir de (2) y (5) se obtiene: # CP . . sin segregación) hasta cierto grado de fusión o cristalización. en cuyo caso no aplican los coeficientes de distribución ni las ecuaciones que describiremos a continuación. si el sistema es cerrado. Por el contrario. es decir. respectivamente. En los procesos en equilibrio se pueden diferenciar dos situaciones que dependen de la velocidad con la que la fase o fases generadas se segregen. el proceso se denomina cristalización o fusión fraccionada. Los procesos de cristalización y de fusión pueden ser tanto en equilibrio como en desequilibrio. el proceso se denomina fusión o cristalización en equilibrio (en inglés: batch melting o batch crystallization). Fusión y cristalización sin segregación simultánea (de tipo batch) # A continuación se derivan las ecuaciones que controlan la distribución de elementos traza en procesos de cristalización y de fusión sin segregación simultánea.e. si para cada incremento infinitesimal dF el líquido o fases cristalizadas dejan el sistema. Si asumimos que la masa de cada uno de los componentes del sistema permanece constante. # Debido a la condición de cierre. si la segregación del material generado es instantánea. se obtiene: R R CR j CP j Kj = # F . dado que: # la expresión (10) se transforma en: CP j CL j CR j CL j = Kj . que expresa la razón de la concentración del elemento traza j en el líquido L en relación al protolito P # en función de la tasa de fusión parcial F y el coeficiente global de distribución K jL . Si se multiplica (12) por K jL . Si aplicamos la definición de F en (8) se deduce: C P = C jL . F + C jR . (1& K j ) + K j R L R L (12). R L que proporciona la razón de concentraciones del elemento j en el residuo y en el protolito en función R de F y K j L . (1& F) j (9). (1& F) R L # (11). (1& F) j CR (10). L + Cj . R L = F + K j . se obtiene: # CL j CP j = 1 F . (1& K j ) + K j R L R L # (13). # # Cristalización Las ecuaciones para la cristalización sin segregación se derivan de la misma forma.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica mL mR R C =C . si sustituimos C por la concentración de j en el líquido inicial Lo. C jLo . L m + mR m +mR P j L j (8). y C jR por la concentración de j en la porción L j 26 # # # . Operando en (11). obtenemos: CP j CL j = F + CjL . # Por otra parte. # # Dividiendo por C jL en (9). una cámara magmática junto con secuencia de capas constituidas por los minerales precipitados).e. Consideremos un líquido inicial Lo de composición C jLo . Fusión y cristalización fraccionada (i. (1& K j )+ K j C L C L (14) y entre el precipitado C y el líquido inicial: # CC j C Lo j Kj = F . Cristalización En este caso..g. Debido a la condición de cierre del sistema. se pueden obtener las siguientes ecuaciones que relacionan la razón de concentraciones del elemento j entre el líquido L remanente tras un grado de cristalización 1-F y el líquido inicial Lo: CL j C Lo j = 1 F . y definimos F como la fracción relativa en peso de fundido existente tras cierto grado j de cristalización @ (i.e. Para ello. se van a establecer balances de masas basados en condiciones de cierre para la masa de todos los componentes químicos del sistema.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica cristalizada C C .. verificándose: @ = 1F). CkLo . @ es la fracción relativa en peso de fase sólida generada. definiremos un sistema constituido por el fundido y todos los minerales de él segregados (e. dm C . que cristaliza de tal forma que cada incremento de precipitado mineral. con segragación instantánea) # A continuación se derivan las ecuaciones que controlan la distribución de elementos traza en procesos de fusión y de cristalización fraccionada. se segrega de forma instantánea. (1& K j )+ K j C L C L C L (15).. la cantidad de sólido generado debe ser igual a la # # # disminución de líquido: # dm C = &dm L (16). Para cualquier componente j que cumpla la condición de cierre también se verificará una relación # similar a (16): 27 .. # De esta forma. CrLo . CL j j C L K j . # dC jL dm L = K j &1 . dC jL + C jL . se obtiene: # C jL ln( L ) = K j &1 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica dm j = &dm L j A partir de (16) y (17). L C L# m j ( C L ) (20) Integrando (20) desde el inicio del proceso de cristalización @ = 0 hasta @ = @ (considerando # # K j constante durante todo el proceso). dm L # Dividiendo por mL en (19) y operando se deriva la siguiente expresión: C L (19). dm L = d(C L . [ln(m L )& ln(m L )] @ o ) -mL 0 C jL ln( L ) = K j &1 . ln/ L 2 Cj . se obtiene: ln(C jL )& ln(CjL ) = @ o C L (K # C L j &1 .C jL . Tomando exponenciales en (21) se concluye: # 28 . ln( F ) Cj @ o ( C L ) (21).m 1 @ o ( C L ) @ o y por la condición de cierre (16). se deduce la siguiente relación: # C C . mL ) j j Operando en el miembro de la derecha de (18) y teniendo en cuenta que: # se obtiene: C (17). CC = K j . (18). dm L = m L . Comentar los espectros. referida a la de el fundido inicial LA . (1& F) K P = Cj K para la razón de concentraciones de j en el fundido generado tras un grado de fusión F y en el protolito P. # (25). proyectando los valores calculados de forma decreciente. F (K &1) C Lo j (23). # PROBLEMAS P. # Si se multiplica (22) por K jL . de la corteza continental.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica C jL@ (K &1) Lo = F Cj donde K = K jL C (22). Normalizar a la tierra silicatada los contenidos en elementos traza de la composición media de los basaltos N-MORB. P. obteniéndose: C jLF 1 (( 1 )&1) .1. Utilizar el orden de elementos establecido en el ejercicio P. # Fusión Las ecuaciones para la fusión fraccionada se pueden derivar de un modo similar.1. # Normalizar a la tierra silicatada los contenidos en elementos traza de la composición media R (24). Utilizar una escala logarítmica en el eje de ordenadas.2. Datos en Apéndice II. 29 . # Esta relación expresa la razón del elemento traza j en el líquido remanente tras un grado de cristalización 1-F. C # que proporciona la razón de concentraciones del elemento j en el precipitado y en el líquido inicial. y: C jRF 1 (( K )&1) P = (1& F) Cj para el residuo ( K = K jL ). L@ . se obtiene: C C@ j = K . Datos en Apéndice II. 0069 0.62 0.5 0 # # P 6. 0.031 0.05 0. 15 y 10 %. Una serie de basaltos se ha generado por cristalización de olivino. 0.5 y 0. Nd.9.51 0. Gd.01 0.02 0. Proyectar los resultados en un diagrama semilogarítmico.83 Nd 0. Proyectar los resultados en un diagrama semilogarítmico.03 0. Normalizar a la tierra silicatada los contenidos en elementos traza de las siguientes muestras: a) MO23. P 5. Ce.067 Ni 5. Gd.9 5 1. respectivamente.0077 0. 15 y 10 %. Utilizar el orden de elementos establecido en el ejercicio P.0066 0. considerando modelos de cristalización fraccionada y de tipo batch. Asumiendo que el material fuente estaba constituido por olivino. para un grado de cristalización de 0. Datos en Apéndice III. calcular las razones C LF j CP j y C RF j CP j de Rb. Yb y Ni. d) VI135 e) VLC9 Proyectar los resultados obtenidos ordenados según el número atómico.34 Gd 0. Comentar los espectros.1.15 0. Nd.12 Sr 0. Una secuencia de basaltos se ha generado por fusión parcial del manto.081 Sm 0.5 0. clinopiroxeno. respectivamente.03 Yb 0.1. Utilizar el orden # 30 # .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica P. Sm. Normalizar a condritos los contenidos REE de las siguientes muestras: a) Corteza continental b) basalto N-MORB c) MO23.0066 0. para un grado de fusión de 0. Sr.18 0. clinopiroxeno. ortopiroxeno y plagioclasa con una proporción en peso de. Datos en Apéndice II.067 Eu 0.05 0.3.61 0. 55.4. 20.01. Y. b) VI135 c) VLC9 Utilizar el orden de elementos establecido en el ejercicio P. Considerar modelos fraccionales y de tipo batch.014 0. Sm.09 0.1. Y. Coeficientes de partición mineral/fundido: Fase Ol Opx Cpx Plg Rb 0.06 1. Eu.9 0.022 0. P.014 0.34 0. Utilizar una escala logarítmica en ordenadas.1 y 0.31 0. 55. Calcular las razones C LF j C Lo j y C CF j C Lo j de Rb.04 0.071 Ce 0. Sr.3.0098 0.0068 0. Ce. ortopiroxeno y plagioclasa con una proporción en peso de.063 Y 0. Yb y Ni. 20. Eu. 7.01 Nd 0 0. Utilizar los coeficientes de partición del problema P. P 9.4926.1 # Y 0 0. para un grado de fusión parcial de 0. Utilizar los siguientes coeficientes de partición: F ase Q Kf Bio Rb 0 2. Solución: 31 .1. las fases minerales que lo componen funden con la siguiente proporción: 0.(c) 0. Ce.2 de Bio. respectivamente.6 0. Debido a un proceso anatéctico.01 gr de clinopiroxeno.99. Un magma máfico intruye en un nivel somero de la corteza desarrollándose un chilled margin que presenta 500 ppm de Ni y 150 ppm de Sc.02 gr de olivino y 0.1.22.25 9. Considerar un coeficiente de distribución global para Ni y Sc de 1. (b) 2.5 0.75 y (c) 2. Nd. Calcular la razón 0.77 0.1 y los coeficientes de partición del ejercicio P. Se han fundido 100 mgr de un vidrio basáltico que contiene 300 ppm de Ni en un horno eléctrico a 1500 ºC. Yb y Ni. Eu. 40 % de cuarzo y 30 % de feldespato K (datos en peso). # C LF j CL o j del Ni.64 0. Posteriormente.5. Sm.05 Gd 0 0.12 Ni 0 0.98 Ce 0 0.7 y 0.51 0.3.86 0.32 0.85 6. 0.3. Asumiendo que el chilled margin representa el fundido inicial y que los gabros representa composiciones de líquidos fraccionados.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica de elementos establecido en el ejercicio P.5 de Q y 0.06 Eu 0 2.05 Sr 0 0. 0. P 7. Gd. Por un proceso de cristalización de tipo batch se generan tres niveles de gabros con razones Ni/Sc de (a) 3.42 0.11. calcular el grado de cristalización para cada uno de ellos.08 Sm 0 0.5. Solución: (a) 0. 0. (b) 0.66 P 8. Calcular las razones C LF j CP j de Rb. generándose 0. Sr.1 Yb 0 0. se descendió la temperatura hasta 1000 ºC. Sea un gneis constituido por 30 % de biotita. considerando un modelo de fusión de tipo batch. Y.01.3 de FK. cuando se utilicen estos diagramas para rocas plutónicas habrá que prestar especial atención a que estas no representen cumulados. Además. 4. 32 . presenta la subdivisión de traquibasaltos y traquiandesitas en función de los contenidos en Na2O y K2O. Tabla 1 Subdivisión de traquibasaltos-traquiandesitas Na2O .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica CAPÍTULO 6: TIPOLOGÍA DE ROCAS ÍGNEAS DIAGRAMAS PARA LA CLASIFICACIÓN DE ROCAS ÍGNEAS En este capítulo se presentan los diagramas de elementos mayores más utilizados para la clasificación de rocas ígneas y la determinación de la serie a la que pertenecen. 5) permite establecer el grado de alcalinidad empleando un índice de calco-alcalinidad (el logaritmo de la razón CaO/(K2O+Na2O)) y el contenido en sílice. Las series calco-alcalina y toleítica se pueden discriminar empleando el diagrama AFM (Fig. Los diagramas TAS (contenido total en álcalis (K2O+Na2O) frente a sílice) (Figs. 1 y 2) permiten una clasificación de las rocas ígneas volcánicas. latitas y shoshonitas se pueden producir por diferenciación de basaltos alcalinos ricos en K. Por lo tanto. mugearitas y benmoreitas se producen por la diferenciación de basaltos alcalinos.2 " K2 O traquibasalto traquiandesita basáltica traquiandesita hawaiita mugearita benmoreita traquibasalto potásico shoshonita latita Las rocas ígneas de arcos de islas se pueden clasificar en función de los contenidos en K2O y sílice empleando el diagrama de la Fig. en el caso de composiciones con contenidos bajos o moderados en MgO (MgO < 8 % en peso).2 ! K2 O Na2O . mientras que traquibasaltos potásicos. La Tabla 1. Hawaiitas. En general. también permite diferenciar entre las series alcalinas y subalcalinas. los diagramas que se discuten se utilizan para rocas volcánicas y rocas plutónicas que representen composiciones de fundidos. El diagrama de Peacock (Fig. 3). Diagrama TAS: Rocas magnesianas 3 Na2 O + K2O 2 MgO > 18% picrita 1 MgO > 18% TiO2 > 1% meimechita MgO > 18% TiO2 < 1% komatita MgO > 8% TiO2 < 0. serie toleítica. 6) permite discriminar las rocas volcánicas calcoalcalinas de márgenes convergentes de las de ambientes anorogénicos con afinidades toleíticas o alcalinas. Th+Ca.5% boninita 0 38 SiO 2 53 58 63 43 48 Figura 2. serie alcalina. Diagrama TAS (contenido total en álcalis frente a sílice) para la clasificación de rocas volcánicas pobres en MgO. Datos en peso (%). Diagrama TAS 16 Na 2O + K 2O 14 12 10 8 6 4 2 0 35 picrobasalto andesita basáltica basalto fonolita traquita (Q<20%) tefrifonolita fonotefrita tefrita (Ol<10%) basanita (Ol>10%) traquibasalto traquiandesita basáltica A traquiandesita traquidacita (Q>20%) riolita dacita andesita Th + Ca SiO 2 60 65 70 ACIDA 40 ULTRABASICA 45 50 BASICA 55 75 INTERMEDIA Figura 1. se presenta una serie de diagramas establecidos para la clasificación de granitoides basados en estas técnicas. Ca. serie calco-alcalina). 33 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica El diagrama de Rittmann y Gottini (Fig. Diagrama TAS (contenido total en álcalis frente sílice) para la clasificación de rocas volcánicas magnesianas. Símbolos: A. A partir de métodos estadísticos multidimensionales aplicados sobre grandes bases de datos composicionales de rocas ígneas es posible determinar funciones de parámetros composicionales que permiten clasificarlas por afinidades composicionales o genéticas. En las Figs. 8 a 10. Datos en peso (%). los litotipos ricos en Na derivan de rocas anorogénicos y los ricos en K de rocas de arco y de colisión). serie subalcalina (Th. El campo de “derivados leucocráticos” corresponden a rocas alcalinas derivadas de los grupos discriminados (en general. M. series toleítica + alcalina. 34 . Na2 O+K2 O. sílice) para la clasificación de rocas ígneas de arcos de islas. serie calco-alcalina. Símbolos: Th+A. Diagrama AFM para la discriminación entre series calco-alcalinas y toleíticas + alcalinas. K2 O (contenido total en álcalis vs. Fe2 O3 + FeO + MnO.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica F Th + A Ca A M Figura 3. Datos en peso . Ca. Rocas ígneas de arcos de islas 6 K2 O 5 aquí no discrimina shoshoníticas 4 3 alto-K 2 medio-K 1 bajo-K 0 43 48 53 58 63 68 SiO2 73 Figura 4. A. MgO. Datos en peso (%). Diagrama SiO2 vs. F. 00 1. series toleítica + alcalina.80 1. Diagrama de Rittmann y Gottini para la discriminación de series de rocas ígneas.20 0. Diagrama de Peacock para la determinación del grado de alcalinidad en función del contenido en sílice. serie calco-alcalina. Símbolos: CA.00 0.60 1.00 0.50 -2. 35 .00 0.80 0.00 1.50 Log10(CaO/(Na2 O+Ka2O) ) 1.50 Log10 (SIGMA) 0.50 2.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Diagrama de Peacock 2.40 Log10 (TAU) CA derivados leucocráticos TH+ AL 0.00 1.60 0.00 40 45 50 55 60 65 70 SiO2 75 80 Figura 5.20 1.40 1.00 -0.50 0. Th+AL.00 alcalinas cálcicas -1. Diagrama de Rittmann-Gottini 2.00 SIGMA=(K2 O+Na2O)2 /(SiO 2 -43) TAU=(Al2 O3 -Na2 O)/TiO2 Figura 6.50 -1. Datos en peso (%).50 1. Datos en peso.00 -0. 40 1. serie alcalina. Datos en moles.0906 FeMgI} Figura 8. Diagrama de Borodin para la discriminación de series de rocas ígneas. ExtAlc.50 0.085CAI+0.5Na+9.00 tipo.0892 KNaI+0. SubAlc. Diagrama de Bea et al.S (cordierita) FD1 -0.50 1.50 1.0127 FeMgI} FD2=10*{-0.80 1.25 tipo-A2 tipo-A1 0.50 0.0091 KNaI+0.0533CAI+0.0591 ASI-0.00 Log 10[(Na+K)/Ca] molar SubAlc 1.50 FD1=10*{0.5T i+3Al+2Fe3++5(Fe2++Mn)+5. Datos en moles.00 2. Acmolar -0. Ca.S (granate) tipo-M -0.25 tipo-I tipo. 36 . serie calco-alcalina.00 Ac = 4Si/{1.5(Mg+Ca)+8.50 2.40 0. serie toleítica. Alc.80 2.00 1.00 Th .5K} molar Figura 7. FD1-FD2 para granitoides con SiO2: 64-70 % 0.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Diagrama de Borodin 2.00 Alc ExtrAlc Ca 0. (2000) para la clasificación de granitoides con contenidos en SiO2 comprendidos entre 64 y 70% en peso. serie subalcalina.50 FD2 0.1099ASI-0. Símbolos: Th.60 0.20 1.50 0.60 1.00 1. series extremadamente alcalinas. Nota: para datos en peso normalizados a 100.75 tipo. Datos en moles. (2000) para la clasificación de granitoides con contenidos en SiO2 > 70% en peso. Datos en moles. multiplicar por 1000 el contenido molar obtenido.048*KNaI-0.50 1.50 FD2 1.026*FeMgI) FD2=10*(0.0061*ASI-0. Diagrama tipológico para granitoides de Batchelor & Bowden (1985) 2000 R2 1500 Pre-colisión Levantamiento post-colisión 1000 Tardi-orogénicos 500 Sin-colisión Post-orogénicos 0 0 500 1000 1500 2000 2500 R1 3000 R1 molar =4*Si-11*(Na+K)-2*(Fe3++Fe2++Ti) R2molar=6*Ca+2*Mg+Al Figura 10.1601*ASI-0.00 1.S (cordierita) FD1 0.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica FD1-FD2 para granitoides con SiO2 > 70% 1. Diagrama de Bea et al.1236*FeMgI) Figura 9.50 2.M tipo-I tipo.00 0.0354*CAI+0. 37 .50 3.00 FD1=10*(0.00 2.25 tipo. Diagrama de Batchelor y Bowden (1985) para la clasificación de granitoides.0145*KNaI+0.S (granate) 1.A indefinido tipo.0434*CAI+0. 25. 941. 4110 y 4111 Utilizar el sistema de clasificación TAS y los diagramas de Rittmann-Gottini y Borodin. 416. F = 10 %. (2002) y de Batchelor y Bowden (1995). P. 38 . M = 20 %. CAI = CaO/(CaO + Na2O + K2O) (en moles). Datos composicionales en Apéndice IV. Pesos moleculares en Apéndice V. Proyectar en el diagrama AFM las siguientes composiciones: S1: A = 50 %. Granitos M: generados por diferenciación de fundidos mantélicos. 417. ASI = Al2O3/(CaO+Na2O+K2O) (en moles). 417.2. 4111. 414. S2: A/M = 0. 419. Clasificar y determinar la serie a la que pertenecen las siguientes muestras: 411. P. 413. FeMgI = (FeO+Fe2O3)/ (FeO+Fe2O3 + MgO) (en moles) PROBLEMAS P.. 414. Índice Calco-Alcalino. Datos composicionales en Apéndice IV. Parámetros empleados en la clasificación de granitos Índice de Saturación en Alúmina. Utilizar los diagramas de clasificación de Bea et al.4. S3: A/M = 0.3. F = 30 %. Pesos moleculares en Apéndice V.25. P. Granitos I: generados por fusión parcial de rocas ígneas máficas. 415. Granitos A: granitos anorogénicos. F/M = 0. 413. 4110. 418.50. Índice Sódico-Potásico. Proyectar las muestras 911. 416. 418. KNaI = K2O/(Na2O + K2O) (en moles). Clasificar las siguientes muestras de composición granítica: 419.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica APÉNDICE: CLASIFICACIÓN DE GRANITOS Clasificación S-I-A-M de granitos Granitos S: generados por fusión parcial de sedimentos peraluminosos. 419 en el diagrama AFM. 415.1. Índice Hierro-Magnesio. 411. Datos composicionales en Apéndice IV. respectivamente.... x2. i=1 Media aritmética ponderada # A veces se asocian con los números x1...... dependientes de la relevancia asignada a cada número (e... f2. xN. xN como: # x = i=1 ? [xi ] N N # Si los números x1..g. s 2 ..fK veces.. :2. de un conjunto de N elementos x1.. xK aparecen f1.. x2... (o sea con frecuencias f1.. En tal caso... f2. :K. o simplemente media. :2.. :K como: K x= Varianza # ? [B i x i ] i=1 K K ? [B i i=1 ] Se define la varianza.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica APÉNDICE I: FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA Media aritmética Se define la media aritmética.fK) la media aritmética es: x = i=1 ? [fi xi ] N K # donde N = ? [fi ] es la frecuencia total..... x .x) 2 # s x = i=1 N &1 N [ 2 ] 39 # .. x2. x2... :i puede ser el inverso del error asociado a xi ). de un conjunto de N elementos x1. xK ciertos factores peso (o pesos) :1. como: x ? ( x i . se define la media aritmética ponderada con pesos :1. . x2. la varianza puede expresarse como: ? fi (xi . yN. xK aparecen con frecuencias f1. como la raíz cuadrada de la varianza. y1. entre dos conjuntos de variables x e y con N elementos cada uno x1. Una medida de estas variaciones vine dada por la dispersión relativa DR. y2.. # Covarianza Se define la covarianza.y ) ] i=1 N &1 Coeficientes de correlación: coeficiente de correlación linea # 40 ... se expresa como porcentaje.. Dispersión relativa: coeficiente de variación # Cuando se comparan variaciones absolutas muy distintas de una propiedad es conveniente conocer la variación relativa.. s x .. en general. f2... Si la dispersión absoluta es la desviación típica s x y el promedio es la media x ... i=1 K Desviación típica o estándar # Se define la desviación típica de una variable x.. covxy.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Si los números x1. CVx: # CVX = sx x # que.. como: N cov xy = ? [ ( x i .x) i=1 K s = 2 x [ 2 ] N &1 # donde N = ? [fi ] es la frecuencia total. ( yi . entonces la dispersión relativa se denomina coeficiente de variación..fK.. x2. xN.x ) . que se define como: DR = Dispersión absoluta/Promedio. x 2 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica Los coeficientes de correlación son una medida del grado de interconexión entre variables.x p ) ...x 2 .. rxy < 0: correlación negativa (y tiende a disminuir cuando x crece). que se ajuste al conjunto de datos. se define el coeficiente de correlación lineal.. sea i i i i i i mínima. (y N ...e.x 2 .x . asociados a cada (x1 .. Ajuste lineal A continuación se describe el método de mínimos cuadrados para el ajuste de funciones lineales 41 .. es decir minimizar la expresión: 2 i N ? [y i=1 & f (x ..x )] 1 i 2 i p i # = ?e 2 i N i=1 # # donde ei son los residuales de yi.... i i i # Uno de los procedimientos de ajuste de curvas más empleado es el denominado método de # # # mínimos cuadrados.e..x 2 . s y Dependiendo del valor de rxy se tiene: # rxy > 0: correlación positiva (y tiende a aumentar cuando x crece).. entre dos conjuntos de variables x e y como: rxy = cov xy sx .x 2 ...x 2 .... rxy. rxy = 0: no hay correlación lineal entre las variables (i. Para el caso de relaciones lineales. (y 2 ... pretende 1 2 2 2 N N N encontrar una función y = f (x1... intentan determinar con qué precisión describe o explica la relación entre variables una ecuación lineal o de cualquier otro tipo.x p ) .. ausencia de correlación o correlación no lineal)..x1 ... que consiste en imponer que la suma de los cuadrados de las diferencias entre # los valores empíricos yi y los valores teóricos f (x1.x1 .x p (p > 1) a partir de un 2 p conjunto de datos (y1 .x1 .x p ) ... i. es decir.. Métodos de regresión Las técnicas de regresión tienen como objetivo encontrar la dependencia funcional entre una variable dependiente y y un conjunto de variables independientes x1 . ..x1 ) .x1..x p )...x p ) .. # 42 . Según el método de los mínimos cuadrados. e igualando a cero obtenemos: ( >F ) b = 0 >a N # &2 ?[y i & a & b x1 ] = 0 i i=1 N N i 1 i # N 1 i N ? [y ] & aN & b?[ x ] = 0 i=1 i=1 aN + b? [x ] = ?[ y i ] i=1 i=1 # y # (2a). se trata de ajustar una función del tipo: y = f(x1 ) = a + b x1 (1a) a un conjunto de datos dados.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica con p = 1. a? [ x1 ] + b? x1 = ?[ y i x1 ] i i i i=1 i=1 # i=1 [ ] 2 N Las relaciones (2a) y (2b) constituyen un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.b) = ?[ y i & a & b x i=1 ] donde las incógnitas son a y b. el problema consiste en minimizar la función: 2 1 i N F(a. # Derivando parcialmente F con respecto a a y b. ( >F ) a = 0 >b N &2 y & a & b x 1 ) x1 = 0 i i # ?( i i=1 [ ] # N N ? [y x ] & a?[ x ] & b? [ x i 1 i 1 i i=1 i=1 i=1 N N N 12 i ]=0 (2b). es decir. x 1 . ? y i x 1 & ? [ y i ] .x1 i ( )] ? i =1 N [( y i .b x1 donde b se calcula a partir de (4a). ? x 1 i i i =1 i=1 i =1 N C 2F . i=1 i 1 i =1 N [ ] 2 (3a) # b= N.y) .N 02 N. ? E x 1 H &/ ? x 1 2 D i G .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica denominado ecuaciones normales del ajuste lineal. x1 . la intersección y la pendiente de la recta de regresión de y sobre x1 .y) 2 ] (4b) # Los valorles (a. # Introduciendo los valores medios de x1 e y . la intersección con # el eje de ordenadas a también se pude obtener de la siguiente forma: a = y . respectivamente. # # Análogamente se puede derivar la recta de regresión de x1 sobre y: x1 = f(y) = a’ + b’ obteniéndose: (1b). Pero según (4a) y (4b): 43 . bI = ? i=1 N [(y i . dado quela recta de mejor ajuste debe contener al punto ( x1 .x1 i ( )F H G 2 Por otra parte. ? E x 1 H & ? x 1 . x1 e y en la expresión (3b) y operando se obtiene: N b= ? i =1 [( y i . respectivamente. Resolviendo. b) y (a’.x 1 i ( )] # # (4a) i=1 D N C ? E x1 . b’) definirán la misma recta si b x b’= 1. y ).y ). # # (5). i =1 i 1 i =1 N [ ] N N [ ] [ ] (3b) que son. obtenemos: a= N N C N 2F N ? [ y i ] . ? E x 1 H&/ ? x1 2 D i G . ? y i x1 i G i i i =1 i=1 D i =1 i =1 [ ] N [ ] 0 C 2F N. Por lo tanto para el ajuste de isocronas.(x 1i . ? E x 1 . y en el caso particular del ajuste de isocronas. donde: # 44 . los errores asociados a estas variables no son independientes. La ecuación de York para la pendiente de la isocrona vine dada por: 2 xy N N # [ ( y i . pueden presentar cierta correlación. se pueden obtener resultados diferentes en función de la razón isotópica considerada como variable dependiente. se deben utilizar técnicas de mínimos cuadrados que minimicen la incertidumbre asociada a las variables x e y y que tengan en cuenta la posible correlación de errores. ? x 1 xy i i =1 N N s = 2 b s xy C ? E x1 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica 2 b .x 1 i i =1D ( F H G donde s2 es el cuadrado del error medio y se calcula a partir de: xy # s # Método de York Como se ha indicado# anteriormente. los ajustes mínimo cuadráticos de y sobre x1 y de x1 sobre y definirán una misma recta si la correlación entre variables es perfecta. Parámetros de dispersión del ajuste mínimo cuadrático La varianza de la pendiente b y de la intersección a vienen dadas por: s2 . 1969) que resuelve este problema y es de uso generalizado en geocronología.x 1 ) ] ? i =1 i=1 = N& 2 b= C FN N J L L bV ? K Z 2 Vi .x1 i i =1 D N 2 ( )H G 2F ys = 2 a [ ] ) 2 C N.y ) . es decir.E B i + B i & !i i HO i yi 1 i L x i =1 M E HL D GP i (6).E BUi + B i & ri!Vi H O i yi 1 i L L i=1 M E xi H D GP C U FN N J L bV br V L ? KZ 2 U i . bI = rxy # Por lo tanto las dos rectas serán iguales si el coeficiente de correlación lineal entre las variables es 1 ó -1. debido a que las variables empeadas en la ecuación de la isocrona son razones isotópicas con un denominador común.y ) 2 ] &b ? [ ( y i . Por otra parte. si existe una correlación perfecta. A continuación se presenta una ecuación derivada por York (1967. Pero en general esto no es así. es decir. i y Zi viene dado por: # Z i = b 2B y i # B +B xi x1 i .. la estimación de la pendiente requiere un cálculo iterativo en el que es necesario introducir un valor inicial de b. Por lo tanto.. Se calcula un nuevo valor b1 a partir de bo .B yi La mejor estimación del parámetro a.x1 i # i Vi = y i .. Se repiten los cálculos de b introduciendo los sucesivos valores b1 . se puede obtener a partir de (5). # # U = x1 . # Es importante observar que b aparece en el miembro de la derecha de (6). b3 . i.B yi 1 xi 1 &2 b r i B .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica B y i y B x 1 : factores de ponderación de las variables yi y x1 .e. # # x = 1 ? Zi x 1 i i =1 N N # [ ] i =1 ? [ Zi ] # y = 1 ? [ Zi y i ] i =1 N N i =1 ? [ Zi ] .. br hasta que el resultado de b no cambie dentro de un nivel de precisión determinado. Parámetros de dispersión del ajuste de York Una buena aproximación de la varianza de la pendiente b y de la intersección a vienen dadas por: 45 . que puede ser estimado gráficamente o por el método de mínimos cuadrados discutido anteriormente. Así el modo general de operar es: Se asigna un valor inicial a b (bo ).y . By i . b2 . !i = B x1 .. la intersección con ordenadas. i i ri: coeficiente de correlación de los errores de yi y x1 (vale 1 si los errores presentan una i correlación perfecta y 0 si son independientes). U 2 i N [ ] y s2 = a sb i =1 2 ? [ Zi ] N # # 46 .Cuaderno de Prácticas de Geoquímica s2 = b 1 i =1 ? Z i . 11 7.6 0.69 1.8 3.32 49.6 NMORB MO23 VI135 VLC9 9 1.3 0.9 27.5 0.37 * 149 * 35.0041 113 13.42 5.51 104 0.61 9.2 28.24 26.6 16.21 1.8 260 102 15.187 4.079 Corteza continental 11 58 2.7 47.4 276 39.02 0.8 5.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica APÉNDICE II: ELEMENTOS TRAZA EN COMPOSICIONES MODELO Y EJEMPLOS DE ROCAS (datos en ppm) Tierra silicatada Li Rb Cs Sr Ba Sc V Ni Ga Y Nb Zr Pb U Th 1.62 151 491 5.03 * 6.7 1.95 54.85 0.6 0.29 * 283 20.8 47 .22 108 3.87 40.071 0.9 0.7 28.9 24.07 0.4 130 362 4.31 0.6 325 390 22 128 51 16 20 12 123 14.15 43 4.91 0.021 19.15 0.191 869 282 22.2 82 1960 4 4.489 0.8 1.9 6.658 10.6 0.1 21.26 0. 566 0.361 2.227 0.397 VI135 34.896 0.641 4.643 0.169 2.106 2.148 0.295 0.9 1.828 0.064 0.621 3.3 2 0.183 1.237 0.304 1.48 1.001 2.074 11.165 3.845 45.457 0.438 0.161 0.441 0.648 1.57 0.33 Tierra silicatada 0.804 1.675 0.752 1.325 VLC9 85.2 3.335 5.093 0.387 2.725 0.96 4.673 9.5 0.346 13.234 0.2 0.56 3.885 6.357 74.638 1.183 10.13 84.25 0.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica APÉNDICE III: REE EN COMPOSICIONES MODELO Y EJEMPLOS DE ROCAS (datos en ppm) Condrito La Ce Pr Nd Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu 0.025 NMORB 3.757 1.45 20.895 12.077 0.126 0.095 0.9 0.16 0.064 MO23 1.6 0.143 0.76 2.613 0.455 3.056 0.647 0.79 2.131 0.39 0.383 6.486 174.33 7.025 0.098 2.179 3.589 Corteza continental 18 42 5 20 3.199 0.036 0.916 10.254 1.432 2.51 5.125 6.246 0.296 48 .342 4.883 2.055 0.513 0. 06 9.37 4.4 4111 76.01 99.01 6.16 0.25 2.32 0.4 4111 76.34 0.11 10.17 8.5 417 54.23 12.89 6.13 1.17 5.08 1.04 0. 1982) 411 SiO2 TiO2 Al2O3 Fe2O3 FeO MgO MnO CaO Na2O K2O P2O5 Total 46.17 11.02 100 413 43.13 12.41 16.5 419 65 0.93 1.4 3.8 0.84 34.19 4.67 0.16 0.91 0.86 2.35 3.15 2.25 2.68 0.58 0.3 416 54.1 4110 71.02 6.44 3.85 18.86 1.82 1.88 0.88 0.7 0.27 4.2 10.52 0.98 4.6 0.07 2.33 1.19 98.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica APÉNDICE IV: ANÁLISIS DE ROCAS ÍGNEAS (Tomado de Hughes.98 0.37 4.33 1.14 1.17 98.56 0.01 6.36 2.65 0.48 100 414 45.95 14.1 9.36 0.06 6.4 3 14.3 415 46.46 2.17 0.15 7.49 4.17 11.88 0 98.09 0.45 12.19 98.2 11.25 0.32 0.93 1.78 7.28 0.28 0.1 911 49.34 1.53 2.23 0.14 1.7 4.47 8.65 0.68 4.18 100.69 1.1 911 49.66 2.37 13.13 1.28 100 49 .32 0.98 0.51 17.18 0.17 3.28 100 4110 71.86 1.93 0.98 4.9 0.03 0.16 8.64 0.56 0.64 0.61 0.9 3.9 7.01 6.15 1.03 0.86 2.36 2.24 14.37 3.25 0.75 3.47 8.37 13.01 99.5 5.23 0.29 0.9 7.41 11.52 0.95 0.1 98 418 62.51 17.4 2.76 0.14 1.49 2.07 3.76 0.68 4.15 2.78 0.53 2.2 11.48 12.73 1.61 0.4 2.03 0.24 14.76 0.16 100 941 48.18 0.76 0.15 7.16 100 941 48.2 11.5 3 1 0.34 0.4 99.11 10.2 7.42 0.42 0.22 97.56 0.93 0.74 15.26 6.49 4. Cuaderno de Prácticas de Geoquímica APÉNDICE V: PESOS MOLECULARES SiO2 TiO2 Al2 O3 Fe2 O3 FeO MgO MnO CaO Na2 O K2 O P2 O5 60.94 56.96 159.90 101.30 70.08 61.98 94.20 141.69 70.08 79.94 50 .94 40. F. Madrid. Rollinson.. John Wiley & Sons. Estadística. Principles of isotope geology. Using geochemical data: evaluation. et al.W. Geochemistry. Prentice-Hall. Chem. Keller. Faure. 121-133. Métodos matemáticos aplicados a las ciencias experimentales. rocks and inorganic materials. A simple tool for geologists. Hughes. C. 2002.H. Isotopes in the Earth Science. Brownlow. 1982. México. D. Madrid.C. David. Mathematics. Bea. 1995. New York. A classification of igneous rocks and glossary of terms. 48. Statistics and data analysis in geology.. M. Amsterdam. 589 pp. Igneous petrology.. Pergamon Press. UNESCO. Blackwell. Elsevier Applied Science.. A. R. Peña.Cuaderno de Prácticas de Geoquímica BIBLIOGRAFÍA Albarède. Inorganic geochemistry. Mienral..W. P. Piramide. 447 pp. Interantional Student Edition. 1986. Stable mineral assemblages of igneous rocks. Blackwell Science.. Springer-Verlag.. Traducido por Hernandez Heredero. Elsevier. New York Bea. P. Le Maitre.. G. D. Oxford. 43-55. Krauskopt. y Fershtater. A systematic typology of granitoid rocks from major element composition I: the upper silica range.R. Development in Petrology... R y Abellanas Rapun L. New York. Longman Scientific and Technical. Berlin.G. Boletín de la Sociedad Española de Mineralogía. Geology. K. J. 2000. 2000. Berlin. A. G. Ciencias Sociales Alianza Editorial. Corretgé. 556 pp. 1993. Oxford. 1986. 551. 543 pp. Le Maitre.J. 262 pp. McGraw-Hill.B. 1991. Regresión y diseño de experimentos.. 7.. 1989. Dudek. J. Introduction to geochemistry.. L. 496 pp. 23. interpretation. 646 pp. 51 . 352 pp. A... R. Waltham. 617 pp. Henderson.. Batchelor. presentation. Essex. 647 pp. Bowen. Springer. The isotopic evidence. Petrogenetic interpretation of granitoid rock series using multicationic parameters. Spiegel. y Bowden. M. H. F (en prensa).. 1982. 7. Monograph series of theoretical and experimental studies. Elsevier Scientific Publishing Company. Introduction to geochemical Modeling. Cambrige.. 744 pp. G. 2001.A. Bateman. R. R. 580 pp. 1985. 1973. Ciencia y Técninca. Wiley. Singapore.. Valderrama Bonnet. London. F. Amsterdam. 201 pp. 1973. Oxford.. Cambrige Universtiy Press. Faure.. 1988. 353 pp. Behavior of Trace Elements in Magma Genesis and Evolution Encyclopedia of Life and Supporting Systems. Origin of the igneous rocks. McGraw-Hill.. 1996. London. Rittmann. 1982..J. Numerical petrology: Statistical interpretation of geochemical data.