CURSO DE CONCRETO ARMADO - JOSÉ MILTON DE ARAÚJO (ENGENHARIA FURG)

CURSO DE CONCRETO ARMADOVolume 2 JOSÉ MILTON DE ARAÚJO Professor Titular – Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia CURSO DE CONCRETO ARMADO Volume 2 Editora DUNAS CURSO DE CONCRETO ARMADO © Copyright Editora DUNAS A663c Araújo. . I. Concreto armado.Rio Grande: Dunas.com. v. Bibliografia 1.012. 105 .2.Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE .1834 ISBN do volume 2: 978-85-86717-10-9 ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6 Editora DUNAS Rua Tiradentes.45 CDD 624.com. 2010.editoradunas. Título CDU 624.br _____________________ 3a edição.br e-mail: contato@editoradunas. Novembro/2010 _____________________ .Brasil www.ed. José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo.RS . 3. No volume 1. incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos edifícios e o dimensionamento dos pilares. foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. em relação à edição anterior. o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios. lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático. Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema. por exemplo. a obra foi dividida em quatro volumes. Diversas inovações sobre o cálculo de lajes maciças. além da inclusão de novos conteúdos e exemplos numéricos. esta edição sofreu uma completa reestruturação. o que seria impraticável em virtude de sua abrangência. Setembro de 2010. Em particular. Além disso.APRESENTAÇÃO Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de projeto estrutural. Para uma melhor apresentação. tanto em termos de conteúdo. fizemos diversas alterações. José Milton . O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados. Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. quanto em termos de procedimentos de projeto. para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite último. No volume 4. No volume 3. foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla. Rio Grande. Enfim. Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado. . Estados limites de utilização. Ações horizontais nas estruturas de contraventamento. Volume 4: Dimensionamento à torção. Projeto em situação de incêndio. Pilares esbeltos. Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Flexo-tração. Fundamentos de segurança.PLANO DA OBRA Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Vigas-parede e consolos. Ancoragem e emendas das armaduras. Fundações. Escadas. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Pilares-parede. Cálculo de vigas. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Volume 2: Cálculo de lajes maciças. Reservatórios. Esforço cortante. .....................SUMÁRIO 1...A teoria das grelhas para lajes sobre apoios rígidos............................Lajes contínuas armadas em uma direção .................. MÉTODOS SIMPLIFICADOS E MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE LAJES ...111 3.............................Solução da equação diferencial da placa .8 ...Aplicações do método dos elementos finitos .....................4 1.............Exemplos de cálculo ...............Tipos usuais de lajes dos edifícios ....4 ..............51 2..6 .....2 ......................Cálculo de lajes armadas em cruz ..............Algumas relações da teoria da elasticidade ...7 – Restrições ao emprego da teoria de placas .........91 3....43 2....Cálculo de marquises e sacadas ..............1 1.....2 ..........Cálculo das lajes armadas em uma direção ..................4 – Procedimento tradicional para cálculo das lajes dos edifícios.........................................................................O método das diferenças finitas .................................5 ..........................6 .............. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ............24 1.....3 .............................................................7 ............5 – A analogia da grelha equivalente ........ TEORIA DE FLEXÃO DE PLACAS..83 3...................31 1................35 2.55 2..........Cargas nas lajes maciças ................................A teoria das grelhas para lajes sobre apoios deformáveis ...................................Tabelas para o cálculo de placas ......21 1.......83 3.........Condições de contorno.Classificação das lajes quanto à armação..........................1 .2 ..117 3.....................8 .......................................39 2...............13 1...7 ..........................5 .......O método dos elementos finitos ..........9 .5 1..................................................................1 ...138 ..............................1 1.....39 2........65 2..................4 – Teoria das linhas de ruptura .............127 3.........Vãos teóricos das lajes .............100 3...........80 3..8 1........66 2.......1 .3 – O método de Marcus ...........................101 3.........6 ...............Equação diferencial da placa ...........3 ............................... ...................Cálculo de flechas em vigas segundo a NBR-6118 .................2 .......240 Deformações das vigas de concreto armado ..........1 ......................................................................... CÁLCULO DE VIGAS ......243 Análise não linear de vigas de concreto armado ...............8 ................................257 Consideração das deformações diferidas do concreto...............................................................................................................159 Cálculo de flechas em lajes ............193 5..................239 Combinações das ações de serviço .................................. DETALHAMENTO DAS LAJES MACIÇAS .......163 Cobrimento da armadura ......3 6...6 4.......2 4......... ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Fissuração....................159 Espessura mínima das lajes maciças ..............................191 5...............................160 Cálculo das armaduras de flexão ................295 6...................................8 .Cargas nas vigas dos edifícios ..................Disposições construtivas da NBR-6118 ....191 5.........Cálculo de flechas em vigas segundo o Eurocode 2 ....303 6........235 6........221 5..287 6.Armadura mínima nos apoios ...........................................291 6.10............................................................1 4.............................271 Exemplo de cálculo de flechas em vigas pelo método bilinear .......................................159 4..........................4..........................Exemplo de cálculo .........Vãos teóricos ...............213 5...Aberturas em vigas ..8 Introdução .....Cálculo das armaduras das vigas .............168 Detalhamento das armaduras de flexão ..............................................6 6.............194 5........9 ..................246 Modelo simplificado para o cálculo de flechas em vigas ..........................1 6...............212 5..9 ............................................179 5...Escalonamento da armadura longitudinal ....................................3 4................... ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Deformações ...................................5 6.............................4 6......4 .......7 ........Cálculo prático de flechas em vigas ..........5 4..........4 4......6 ...........................................167 Outras prescrições da NBR-6118 .....5 ..........2 6............................Cálculo dos esforços ...7 4.201 5.7 - .206 5.........3 .......................170 Considerações adicionais sobre o detalhamento .........299 7...................239 Introdução ....................... ..............337 APÊNDICE 3: TABELAS PARA DETALHAMENTO DAS ARMADURAS ..................4 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....1 7..........Armadura mínima para limitação das fissuras provocadas pela retração .............................................A colaboração do concreto entre fissuras ...314 Verificação da abertura das fissuras através da limitação das tensões na armadura....................................6 .5 ..........................3 7.........322 7...............327 APÊNDICE 1: CARGAS NAS EDIFICAÇÕES ................................................319 7...303 Determinação da abertura das fissuras .....331 APÊNDICE 2: TABELAS PARA O CÁLCULO DE LAJES ...............................................................Abertura das fissuras de acordo com a NBR-6118 ......387 .2 7.....................324 7....310 Verificação do estado limite de abertura das fissuras ... . As lajes também servem para distribuir as ações horizontais entre os elementos estruturais de contraventamento. 1. cuja espessura h é bem inferior às outras duas dimensões ( l x . conforme indicado na fig. As vigas transmitem as cargas aos pilares e. predominantemente. além de funcionarem como mesas de compressão das vigas T.1.1 .Tipos usuais de lajes dos edifícios As lajes são os elementos estruturais que têm a função básica de receber as cargas de utilização das edificações. o carregamento é transferido para as fundações. aplicadas nos pisos.1.1 .Capítulo 1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 1. 1. por cargas perpendiculares ao seu plano médio. a partir destes. e transmiti-las às vigas.Carregamento das lajes ly .1. Apesar de haver outras possibilidades de concepção. e que são solicitadas. As lajes são elementos bidimensionais planos. l y ). P q h lx Fig. este é o modelo estrutural básico das edificações. consegue-se uma redução do peso próprio da laje. como as lajes maciças. o espaço entre as nervuras pode ser preenchido com algum material inerte de baixo peso específico. geralmente superiores a 8 m. Nota-se que o termo "laje" é empregado para designar as "placas" de concreto armado. caso fosse adotada a solução em laje maciça. sendo uma função do projeto arquitetônico em análise. sendo este o tipo de laje predominante nos edifícios residenciais onde os vãos são relativamente pequenos.2 . para tornar plana a superfície inferior da laje. sendo constituídas por nervuras. A definição do tipo de laje a ser utilizado depende de considerações econômicas e de segurança. Dessa maneira. além de diversos tipos de lajes pré-moldadas.2.1. . Na fig. as lajes nervuradas. Os apoios podem ser constituídos por vigas ou por alvenarias. apoiadas ao longo do seu contorno. As duas soluções são representadas na fig. já que se elimina uma parte do concreto que ficaria na zona tracionada. Esses dois termos são utilizados indistintamente ao longo deste livro. Alternativamente. representa-se um corte em um piso de concreto armado constituído por laje maciça apoiada em vigas. 1.3. 1.1. onde são colocadas as armaduras longitudinais de tração.1. a menos que a face inferior da laje seja revestida com um forro. 1. Laje h Vigas Fig. Neste caso. as lajes cogumelo. As lajes maciças são placas de espessura uniforme.2 Curso de Concreto Armado Os pisos das edificações podem ser executados com diferentes tipos de lajes.Laje maciça As lajes nervuradas são empregadas para vencer grandes vãos. as nervuras ficam aparentes. a laje é denominada de laje lisa. Essas duas situações são indicadas na fig.1.Introdução ao cálculo das lajes maciças de concreto armado 3 h nervuras aparentes material inerte Fig. Quando o capitel não está presente. . Laje Laje cogumelo Laje lisa capitel pilar Com capitel Sem capitel Fig. para aumentar a resistência à punção da laje. resultando um piso sem vigas. Os procedimentos de cálculo das lajes nervuradas. o topo do pilar possui um aumento de seção.3 . denominado capitel. 1.4 . 1. das lajes cogumelo e das lajes lisas são abordados no Volume 4.1.Laje cogumelo e laje lisa Neste volume são consideradas apenas as lajes maciças dos edifícios. Nessas lajes.Lajes nervuradas Lajes cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares.1. 1.4. introduzindo as seguintes considerações: a) Bordos internos: quando há continuidade com lajes vizinhas.10 Curso de Concreto Armado Assim. conforme está indicado no corte A-A. Algumas das condições de contorno admitidas são indicadas para as lajes L8 e L9. b) Bordos externos: nos bordos externos. representa-se um piso com 9 painéis de lajes. isto corresponde a desconsiderar a capacidade de engastamento das vigas de borda. 1. 1. o que é razoável em vista da baixa rigidez à torção dessas vigas.Piso com laje rebaixada . Fig.4. admite-se um engastamento perfeito. A laje L4 é rebaixada. o que só acontece em casos particulares. observa-se que isto só será verdadeiro se as rotações θ x e θ y sobre as linhas de apoio forem nulas. onde as linhas separando os painéis correspondem aos eixos das vigas de apoio. quando as lajes estão apoiadas sobre paredes ou vigas rígidas.1.4. ou mesmo nos bordos internos quando se tratar de lajes rebaixadas. admite-se a condição de apoio simples. é usual que se faça um cálculo separado de cada laje. Na fig.1 . sem .tot (1. onde se admite que a laje esteja apoiada em 4 vigas de borda.5.tot . Se essas vigas são simplesmente apoiadas nos pilares. 1. vigas V3 e V4. é igual a pl x . as quais se apoiam nos 4 pilares de canto. a soma 2 dos momentos máximos nas duas vigas é pl x l y 8 . podem-se obter os momentos totais solicitantes M x . Para mostrar isto. Como apenas a laje está carregada com a carga uniforme p . Fig. respectivamente. M y . observa-se que a carga total que foi transferida para as duas vigas da direção y.7) Analisando a fig. ou seja. 1.5. garante-se o equilíbrio dos momentos fletores no pavimento como um todo.tot = pl x 8 8 M x.5.3. segundo as direções x e y. segundo as duas direções.5.tot e M y .Introdução ao cálculo das lajes maciças de concreto armado 17 Observa-se que.tot . 1. obtém-se 2 2 ly lx = pl y .2.3 – Cálculo dos momentos totais solicitantes Cortando o pavimento através das seções I-I e II-II passando pelo centro da laje. considera-se a fig. com esse cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio. as vigas V3 e V4 são capazes de equilibrar o momento total M y . A laje é associada a uma grelha equivalente. motivos pelos quais ele tem sido abandonado. admite-se um comportamento elástico linear do material da laje. A solução do problema é obtida resolvendo-se uma equação diferencial de quarta ordem. Da teoria das grelhas.36 Curso de Concreto Armado Diversos métodos de cálculo são disponíveis na bibliografia. O equilíbrio é garantido pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais.Teoria de flexão de placas Esta é a teoria "exata" dentro dos princípios da teoria da elasticidade. admite-se que o material é elástico linear. estando implementado em diversos softwares comerciais. C .Método das diferenças finitas É um método numérico que foi bastante empregado no passado. O método pode ser utilizado para a análise de lajes poligonais de formas diversas. O grande inconveniente do método está na dificuldade de generalização das condições de contorno e de carregamento. E . incluindo também as vigas de apoio. podendo-se citar os seguintes: A – Teoria das Grelhas É um método simplificado bastante útil para o projeto das lajes de concreto armado. desprezando-se totalmente a contribuição das deformações elásticas. mas é possível incluir a não linearidade física sem maiores dificuldades.Teoria das linhas de ruptura Nessa teoria. a qual é analisada com um programa baseado no método da rigidez. Geralmente. D – Analogia da grelha equivalente É um dos métodos numéricos mais utilizados para análise de lajes de concreto armado. admite-se que o material apresenta um comportamento rígido-plástico. . Nesse método. Admite-se que o material apresenta um comportamento elástico linear. juntamente com as condições de contorno. deriva o conhecido Método de Marcus. B . apresenta-se a teoria de flexão de placas finas. a formulação não é tão simples e o trabalho computacional pode se tornar exaustivo.Método dos elementos finitos É um método numérico muito empregado atualmente. formas diversificadas. podem-se considerar as não linearidades física e geométrica. Os métodos aproximados e os métodos numéricos são abordados no capítulo 3. as diferentes condições de contorno e de carregamento. etc. Entretanto. Nesse método. . No próximo capítulo.Introdução ao cálculo das lajes maciças de concreto armado 37 F . considera-se o elemento infinitesimal em forma de um paralelepípedo ( dx dy dz ). como representado na fig.1 .1. Posteriormente. cujas faces são paralelas aos planos de coordenadas. Para descrever o estado tridimensional de tensões em um corpo.1. 2.1 . z σz dy τzy τyz τyx y σy τxy dx τzx τxz σx x dz Fig.Capítulo 2 TEORIA DE FLEXÃO DE PLACAS 2. elas são particularizadas para as placas finas. são indicadas as componentes das tensões nas três faces visíveis do elemento. é conveniente apresentar algumas importantes relações da teoria da elasticidade(6).1. Essas relações são apresentadas para um corpo tridimensional. 2. submetido às ações externas. Nessa figura. Apenas o caso de deformações infinitesimais é considerado.Tensões em um elemento tridimensional .Algumas relações da teoria da elasticidade Antes de demonstrar a equação de equilíbrio das placas. 3 .2.w dx pdxdy x y dy superfície média σx τxz τxy h/2 h/2 dz z τyx σy τyz Fig.2. .7) τ xy = − Ez ∂ 2 w (1 + ν ) ∂ x∂ y (2. de forma análoga ao que ocorre na teoria de vigas. representa-se um elemento da placa e as componentes das tensões na fibra situada a uma distância z do plano médio. z. Na fig.Tensões em uma fibra genérica As tensões σ x e σ y produzem momentos fletores na placa.2.3.46 Curso de Concreto Armado 2 2 ⎞ Ez ⎛ ⎜ ∂ w +ν ∂ w ⎟ 2 1 −ν 2 ⎜ ∂ x2 ⎟ ⎝∂ y ⎠ σy =− (2. sendo nulas no plano médio.8) Observa-se que essas três componentes das tensões variam linearmente ao longo da espessura da placa.2. 2. As tensões τ xy e τ yx produzem momentos torçores na placa. 2. 4.4.y) V3 b V4 V2 a x Fig. como indicado na fig.1.56 A) Solução de Navier Curso de Concreto Armado Considere-se a laje retangular simplesmente apoiada em quatro vigas indeformáveis.1) satisfaz todas as condições de contorno do problema: w = 0 . M x = 0 (x=0 e x=a) e M y = 0 ( y=0 e y=b).4.2) onde os coeficientes Pmn são obtidos resolvendo-se a integral . y ) = m =1 n =1 ∑∑Wmn sen ∞ ∞ mπ x nπ y sen a b (2. A expressão (2. y V1 Vigas rígidas: w=0 no contorno p(x.1) onde Wmn são coeficientes incógnitos. y ) é expandida na forma da série dupla w( x. 2. 2. y ) = m =1 n =1 ∑∑ Pmn sen ∞ ∞ mπ x nπ y sen a b (2.1 .4. A flecha w(x. A carga p( x.Laje retangular apoiada nos quatro bordos A solução pelo método de Navier é obtida de acordo com a seguinte sequência(7): 1. 2. y ) é expandida em série dupla de Fourier na forma p ( x.4. O erro será ainda maior se essas reações forem distribuídas uniformemente sobre as vigas. Essas vigas são consideradas simplesmente apoiadas nos pilares situados nos cantos da laje. Pode-se comprovar que dada em (2.4.3 do capítulo 1). Com a distribuição do carregamento indicado na fig. considera-se uma laje retangular com vãos a = 8 m e b = 4 m. Substituindo x = a 2 na expressão do momento fletor M x . obtém-se o momento total na laje M lx . ou seja. se forem consideradas R x = V y e R y = V x como cargas nas vigas.4. obtém-se a função M x ( y ) . Integrando M x ( y ) de 0 a b . também.5).60 Curso de Concreto Armado As expressões das reações de apoio R x e R y . podem ser facilmente obtidas empregando-se a solução de Navier. que fornece a variação do momento fletor M x ao longo do vão b . haverá um subdimensionamento do pavimento formado pela laje e pelas vigas de apoio. respectivamente. M ly + 2 M vy = pa = pb 8 8 (2. 1. Neste caso.4.4. De forma análoga. no centro da laje. Se as forças suplementares de Kirchhoff não forem consideradas.5.11) não se verificam. Para mostrar numericamente esse problema. submetida a uma carga .11) Essas equações mostram que o momento total devido à carga é distribuído entre a laje e as vigas de cada direção (ver. bem como das forças Ro concentradas nos cantos. segundo a direção x. pode-se obter o momento total na laje M ly . as equações (2. M lx + 2 M vx a2 b2 . podem-se determinar os momentos fletores máximos M vx e M vy nas vigas das direções x e y. 2. mesmo calculando os momentos fletores nas vigas com uma distribuição variável das reações. segundo a direção y. fig.3. 7 – Momentos fletores em kNm/m y 2.14 5.40 3. Fig.8.6.40 3.24 5.14 x 6.14 Fig. Os momentos fletores e as reações de apoio são indicados nas figuras 2. 2.40 6.14 6.8 – Reações de apoio em kN/m . 2. respectivamente.14 6.24 5.4 para o cálculo das lajes.24 2.40 3.6.24 3.6.7 e 2.14 5.14 2.14 2.74 Curso de Concreto Armado Considerando os bordos comuns engastados. pode-se empregar a tabela A2.6. 82 Curso de Concreto Armado Alternativamente, pode-se considerar um carregamento parcialmente distribuído sobre as vigas de apoio. No caso de um pavimento composto por várias lajes contínuas, é possível garantir o equilíbrio mesmo com a consideração de reações uniformes nas vigas, como foi mostrado. Entretanto, essa distribuição de reações não deve ser empregada, quando as lajes forem calculadas sem levar em conta a continuidade nos bordos comuns, especialmente em lajes retangulares alongadas, onde o erro é maior. Capítulo 3 MÉTODOS SIMPLIFICADOS E MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE LAJES 3.1 – A teoria das grelhas para lajes sobre apoios rígidos O cálculo das lajes armadas em cruz que não possuam rigidez à torção, ou que não são suficientemente ancoradas nos cantos para evitar o seu levantamento, pode ser feito de maneira simplificada por meio da denominada “Teoria das Grelhas”. Esse método também pode ser empregado paras as lajes usuais, concretadas monoliticamente com as vigas, quando não são usadas armaduras de canto na face superior da laje. Esses casos são ilustrados na fig. 3.1.1. Fig. 3.1.1 – Situações onde se aplica a teoria das grelhas Nas lajes concretadas monoliticamente com as vigas, deve-se verificar se a ocorrência de eventuais fissuras nos cantos simplesmente apoiados, como consequência da ausência das armaduras de canto na face superior da laje, pode comprometer a durabilidade da estrutura. Isto é particularmente importante quando a laje está ao ar livre, sujeita à ação da chuva. Para as lajes situadas no interior dos edifícios residenciais e de escritório, essas fissuras, quando existem, ficam protegidas pelo piso. Nesses casos, podem-se omitir as armaduras de canto, para 84 Curso de Concreto Armado simplificar a execução. De todo modo, em lajes com grandes vãos, é recomendável empregar uma armadura mínima nos cantos simplesmente apoiados para controle da fissuração. Considere-se, para exemplificar, a laje simplesmente apoiada nos quatro lados, indicada na fig. 3.1.2. A laje é submetida a uma carga p , uniformemente distribuída por unidade de área. Os vãos são l x e l y e os apoios são considerados indeformáveis. y Faixa y 1 Faixa x px wx Ry 1 Faixa x lx Faixa y py wy Rx Ry ly lx x ly Rx Fig. 3.1.2 - Laje simplesmente apoiada nos quatro lados Inicialmente, consideram-se duas faixas de largura unitária, uma em cada direção, as quais se cruzam no centro da laje. A carga total p é dividida nos quinhões de carga p x e p y , correspondentes às direções x e y , respectivamente. Os quinhões de carga devem obedecer à relação p = px + p y (3.1.1) A flecha no centro da faixa da direção x , sob a ação da carga p x , é dada por 3 e equação (1. nos lados l x e respectivamente. o momento total resistente será igual ao momento total solicitante. . são dados por M vx R l2 = x x 8 . R y = ry pl x onde rx = k y λ 2 e ry = k x 2 .16) Considerando as duas vigas de cada direção. 1.17) onde M x e M y são os momentos positivos no centro da laje.tot = 2 M vy + l x M y (3. Os momentos fletores máximos M vx e M vy nas vigas das direções x e y.1.7) do capítulo 1). se as vigas forem dimensionadas para as cargas uniformes R x e R y . e incluindo a colaboração da laje.3. Fazendo as substituições necessárias. são dadas por ly . Os casos possíveis são indicados na fig. 3. comprova-se que os resultados são os mesmos da equação (1. e se as armaduras da laje forem distribuídas uniformemente ao longo dos vãos l x e l y . R x = rx pl x .5. Isto é demonstrado como a seguir. apresentada no capítulo 1.1.5. A formulação demonstrada para a laje simplesmente apoiada nos quatro lados pode ser facilmente estendida para outros casos de condições de contorno. M vy = 2 Ryl y 8 (3. onde se admite que as vigas de borda sejam simplesmente apoiadas em quatro pilares situados nos cantos da laje.1.1. garante-se o equilíbrio do momento total nas duas direções (ver fig. Logo. (3.7). obtêm-se os momentos totais resistentes M x .tot = 2 M vx + l y M x . Com essa distribuição uniforme das reações.Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 87 As reações de apoio R x e R y . M y .5.15) Essas reações são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de apoio da laje. Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 91 Por outro lado.1 .1. Fig. ocorre uma redução dos momentos negativos.2. Desse modo. considera-se um engaste perfeito e empregam-se as tabelas A2. 3. momentos fletores e reações de apoio. como é ilustrado na fig.6. O momento negativo em um bordo comum é igual à média dos valores obtidos para as duas lajes vizinhas. Quando se tratar de lajes contínuas. adota-se o procedimento indicado na seção 1. 2. 3. Por outro lado.22 a A2. é fácil verificar que os momentos totais são equilibrados nas duas direções.2 – A teoria das grelhas para lajes sobre apoios deformáveis Normalmente.4. as reações de apoio podem ser consideradas uniformemente distribuídas para o cálculo das vigas. Onde há continuidade entre duas lajes. Pode-se demonstrar facilmente que as soluções da teoria das grelhas garantem o equilíbrio dos momentos totais nas duas direções. o que não ocorre com a distribuição de esforços da fig. ocorre um aumento dos momentos fletores positivos e das flechas das lajes.2. ou 80% do maior deles em valor absoluto (ver equação (1. Devido às deformações das vigas de apoio. para todos os seis casos analisados. as vigas dos edifícios são flexíveis e sofrem deformações suficientes para alterar os esforços e as flechas das lajes do pavimento. 3.Redistribuição dos momentos fletores nas lajes devido às deformações das vigas de apoio .4 do capítulo 1.1)).27 para o cálculo da flecha.2. 5) p y = k y p .3.2.2 – Aplicação da teoria das grelhas para apoios flexíveis A flecha no centro da faixa da direção y é 4 5 p yl y Wy = 384 D ly px py 1 My + (3.6) .2.3. é dada por 4 3 pxl x Wx = 384 D (3.3) 1 lx Mex pxlx2/8 + Mx Fig.Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 93 A flecha no centro da faixa da direção x. sendo k y = 1 − k x (3. obtêm-se os quinhões de carga p x = k x p . com essa distribuição de momentos.3. onde k x = 5λ4 3 + 5λ4 (3.4) e lembrando que Impondo a condição Wx = W y p = p x + p y . 3. Fig.4 – Momentos fletores característicos nas lajes . 3.3 – Vãos de cálculo das lajes do pavimento Os momentos fletores de serviço são indicados na fig.96 Curso de Concreto Armado Fig. 3.2. 3.2.4.2. 9) y α l1 II α H 1 θ4 1 ly>lx I l2 l I 1 l1 α II lx α H x θ3 θ1 1 θ2 θ 1+θ 2 Fig.4.4.linha l 2 ( α = 90 o ): (3.4. l2 = l y − l x 2 (3. verifica-se que os momentos atuantes nas linhas de ruptura têm as seguintes expressões: .4.6).4.laje simplesmente apoiada Considerando a equação (3.Configuração de ruptura .106 Curso de Concreto Armado θ1 = θ 2 = θ 3 = θ 4 = 2 l x l1 = 2 l x .11) .8) (3.10) M2 = Mx (3. 3.4.4 .linha l1 ( α = 45o ): 1 l ⎛1 + k ⎞ M1 = ⎜ ⎟M x ⎝ 2 ⎠ . A rigidez à flexão das barras da grelha é dada por K= Ecs bh 3 12 1 − ν 2 ( ) (3.2) . A rigidez à torção das barras da grelha equivalente é K t = β (1 − ν )K onde β ≤ 1 é um coeficiente de redução da rigidez à torção.1) onde E cs é o módulo secante e ν = 0.5.5. dispostas segundo a direção x. possuem seção retangular com largura b = Δy e altura h .1 – Discretização da laje poligonal As barras da grelha. (3. 3.5. As barras dispostas segundo a direção y possuem largura b = Δx e altura h . onde Δy é o espaçamento entre as barras e h é a espessura da laje.2 é o coeficiente de Poisson do concreto.112 Curso de Concreto Armado y Δy/2 Δy Δy Δy Δy Δy Δy/2 Δx/2 Δx Δx Δx Nó Barra da grelha Contorno da laje Δx Δx Δx/2 x Fig. 5.27 -0.Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 117 Na tabela 3. indicam-se as cargas reais transferidas para as vigas da direção x.50 β = 0.38 2. triangular ou de outra forma.21 1.01 -0.43 0. tomadas em alguns pontos previamente selecionados.96 3.00 β = 0.01 -0.84 4.2. Quanto mais refinada for a malha.O método das diferenças finitas O método das diferenças finitas é um método numérico que leva a uma solução aproximada da equação diferencial da placa(7. Antes de apresentar as equações de diferenças finitas para a placa.00 -0. Tabela 3. menor será o erro obtido.31 2.02 0.56 3.00 2.75 3.29 0.14 3.00 -0.01 0. representa-se uma função f ( x ) cujos valores são conhecidos em um conjunto de pontos discretos. y ) . Nessa figura.30 0.8).6. que representa a superfície deformada da placa.75 1.75 1. as derivadas que aparecem na equação diferencial são substituídas por aproximações em diferenças. 3. .02 V (kN) T (kNm) V (kN) T (kNm) V (kN) T (kNm) 1.85 -1.54 0.5.30 2.56 3.1.30 Analisando-se as vigas com as cargas indicadas na tabela 3.85 0.54 -0.43 2.84 2.30 2.01 0. Neste método.2. denominada malha de diferenças finitas.2.78 3. ou seja.38 3.86 1. 3. denominados pontos nodais. quanto maior o número de pontos nodais. é conveniente analisar o caso unidimensional indicado na fig.00 -0. Alguns tipos de malhas de diferenças finitas são representados na fig.6 .75 0.57 3.12 3.43 -0.83 3.27 0.56 2. obtidas com a analogia da grelha equivalente.21 0.31 1. Esses pontos são localizados nos nós de uma malha retangular. 3.5.96 1. é descrita por valores aproximados da deflexão nos diversos pontos nodais.01 0.6.71 β = 1. pode-se calcular o momento total resistente do pavimento e comprovar o equilíbrio. A função w( x.2 – Ações da grelha sobre as vigas da direção x x (m) 0.83 1. 6.Tipos de malhas de diferenças finitas f(x) fm+1 fm fm-1 Δx xm-1 xm Δx xm+1 x φ(x) Fig.2 .1 .Aproximação de função . 3. 3.6.118 Curso de Concreto Armado y Nós Δy Δx x Fig. Assim. utilizados na análise de estruturas reticuladas. denominados elementos finitos. a malha terá que ser mais refinada. 3. têm-se os elementos triangulares de três e de seis nós.Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 127 3.O método dos elementos finitos O método dos elementos finitos(14) é um método numérico que também pode ser empregado para a análise de placas. como análise estrutural. um aumento progressivo do número de nós melhora as características de precisão do elemento.7. apresentado a seguir para o caso bidimensional. quando for utilizado um elemento com poucos nós. a formulação em deslocamentos do método dos elementos finitos. podem ser empregados os elementos indicados na fig.2. quanto na formulação em forças. O domínio discretizado forma uma malha de elementos finitos. A formulação em deslocamentos tem sido preferida em virtude da facilidade de implementação computacional. os elementos retangulares de quatro e de oito nós e os elementos isoparamétricos.7 . o que permite que um conjunto de rotinas de cálculo possa ser utilizado para resolver problemas diferentes. Cada elemento é definido por sua geometria e pelo número de nós. 3. Atualmente. O corpo é . que permitem uma boa modelagem de domínios irregulares.1. Essa formulação é baseada no princípio dos trabalhos virtuais. O grande atrativo do método é a generalidade da formulação.7. em análise estrutural utiliza-se. representa-se um corpo bidimensional discretizado em elementos triangulares de três nós. O primeiro passo do método dos elementos finitos consiste na subdivisão do domínio do problema em um conjunto de pequenos elementos. condução de calor. dispersão de poluentes. Assim. Em geral. o método pode ser empregado tanto na formulação em deslocamentos. Na fig. Consequentemente. quase que exclusivamente. etc. Esses últimos são elementos distorcidos. No caso da análise estrutural. esse método é bastante utilizado para resolver diversos problemas de interesse da Engenharia. No caso bidimensional (placas e chapas). fluxo de fluidos. Essas duas formulações são análogas aos bem conhecidos método da rigidez e método das forças. y S3 S2 S1 ΔMy b-b a-a Momento fletor My Fig.Concentração de momentos na região da abertura Observa-se que na região da abertura ocorre uma concentração de esforços. . Esse fator pode ser definido como a relação entre o máximo esforço na quina da abertura e o máximo esforço obtido para a laje sem abertura. Afastando-se da região da abertura. Na seção S1 o efeito da abertura já é desprezível. Isto significa que. os esforços vão se normalizando. onde o momento é acrescido de ΔM y .20 . da forma e do tamanho da mesma. paralelamente aos bordos da abertura. que teoricamente cairiam na abertura. Essa concentração é máxima nas quinas. Considerando a laje quadrada do exemplo. a armadura deve sofrer um acréscimo de 40% em relação à armadura calculada para a laje sem abertura.40. como armadura adicional nos lados da abertura. 3. O detalhamento dessa armadura é apresentado no capítulo seguinte. As linhas pontilhadas representam os momentos na laje sem abertura. chega-se a um fator de concentração de momentos da ordem de 1. O fator de concentração de esforços na região da abertura depende da posição.8. esse acréscimo é conseguido dispondo-se as barras da armadura resistente.Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 157 cheias correspondem à laje com abertura. Na maioria dos casos. o dimensionamento é feito conforme indicado no Volume 1. Por último. o detalhamento das armaduras torna-se uma etapa de fundamental importância no projeto estrutural. apesar de este assunto ser tratado em detalhes no capítulo 6. dependerá o sucesso ou o fracasso do projeto. Assim.Capítulo 4 DETALHAMENTO DAS LAJES MACIÇAS 4.Espessura mínima das lajes maciças As lajes devem ser projetadas com uma espessura mínima suficiente para limitar suas deformações.Introdução Nos capítulos anteriores foram apresentadas as considerações relativas ao cálculo das cargas e dos esforços solicitantes nas lajes maciças dos edifícios. Após o cálculo dos esforços. Além disso. é conveniente que as lajes sejam projetadas com armadura simples. do ponto de vista construtivo. são apresentadas as considerações relativas ao detalhamento das lajes maciças de concreto armado. para evitar o uso de armadura superior ao longo dos vãos.2 . Além disso. conforme os critérios indicados no Volume 1. De um modo geral. possibilitando uma maior uniformidade na concretagem da estrutura e uma adequada proteção das armaduras contra a corrosão. Neste capítulo. a espessura adotada deve ser tal que o dimensionamento recaia no caso de armadura simples.1 . De um correto detalhamento. 4. O cálculo de flechas também é apresentado. O detalhamento é feito atendendo as disposições construtivas da NBR-6118. Assim. o projeto não pode se limitar a um cálculo preciso das solicitações e das dimensões dos elementos estruturais. deve-se fazer o detalhamento das armaduras. devem ser tomadas algumas medidas que facilitem a execução. . além de evitar vibrações que causem desconforto aos usuários da edificação. Por último.5 Para garantir o cobrimento previsto no projeto. Tabela 4.0 2. deve ter seção transversal de área igual . as aberturas das fissuras devem ser limitadas a valores compatíveis com a agressividade do meio. denominados espaçadores de forma. Os cobrimentos nominais exigidos pela NBR-6118 são dados em função da classe de agressividade ambiental (ver capítulo 1. No caso das lajes. A não observância do cobrimento mínimo pode comprometer a durabilidade da estrutura.1.5.5 IV 4.5. os cobrimentos nominais exigidos são indicados na tabela 4. dentre as várias opções disponíveis no mercado. Volume 1).Outras prescrições da NBR-6118 Segundo a NBR-6118. a armadura de distribuição por metro de largura da laje.168 Curso de Concreto Armado permeabilidade.1 – Espaçadores de formas 4. ou outros materiais.5 3. Nas lajes armadas numa só direção.6 .5. o diâmetro das barras da armadura não deve ultrapassar 1/8 da espessura da laje. Na fig. as armaduras devem estar protegidas por uma camada de cobrimento de concreto com uma espessura adequada. sendo este um dos grandes problemas verificados nas estruturas de concreto aparente situadas próximas à orla marítima.1 . Fig. 4. devem ser usados dispositivos especiais.1. os quais podem ser de plástico. apresentam-se dois tipos de espaçadores de formas.5. de argamassa. 4.Cobrimentos nominais para lajes Classe de agressividade I II III Cobrimento nominal (cm) 2. Além disso. os valores recomendados neste livro são os indicados na fig. Entretanto. 4.9 cm2.Espaçamentos máximos das armaduras principais A princípio.2 deve ser obedecido para as armaduras positivas no meio do vão e para as armaduras negativas nos lados engastados. o espaçamento máximo indicado na fig.1. na região dos maiores momentos fletores das lajes.min d) 3 barras por metro Fig. para . com um mínimo de 0. Esses limites são indicados na fig. Asy ly Asx lx>2ly Asx mínimo: a) Asy/5 b) 0. [19]. 4.6.Detalhamento das lajes maciças 169 ou superior a 1/5 da área da armadura principal.2 .6. Além disso. 4.6. o espaçamento das barras da armadura principal não deve ser maior que 20 cm nem maior que 2h. 4. a NBR-6118 permite que se adote apenas a metade da armadura mínima para as armaduras de distribuição.9 cm2/m c) As. Esse procedimento não é o mais indicado. 4. De acordo com a NBR-6118.1 . Assim.Armadura de distribuição laje armada em cruz laje armada em uma direção sx sy sx < smax sy < smax s s < smax smax= menor valor entre 20cm e 2h Fig.2. fig.6. O espaçamento máximo dessas barras é de 33 cm. como se comprova no estudo apresentado na ref.6. o momento negativo da laje.5 – Ancoragem da armadura positiva nos apoios internos Se as vigas V1 e V2 não forem rígidas o bastante. . 4. consideram-se os comprimentos de ancoragem em apoios de extremidade. sobre a viga V4. as armaduras positivas das duas lajes devem ser ancoradas além do eixo da viga V4. Dependendo das dimensões das lajes.174 Curso de Concreto Armado inferior nos cantos simplesmente apoiados.7. pode ser conveniente passar a maior armadura corrida. Essa situação é indicada na fig.5. vigas V3 e V5. para garantir uma emenda por traspasse das barras.5. podem surgir momentos positivos nos apoios internos das lajes. Nos apoios de extremidade. Dependendo da rigidez das vigas e de suas condições de apoio. Deve-se ter um cuidado especial com as ancoragens das armaduras positivas das lajes contínuas apoiadas em vigas flexíveis. 4. Fig.7. como está indicado na fig. da viga V3 até a viga V5. pois ela deve ter seção pelo menos igual à da maior armadura no centro da laje. Neste caso. sofrerá uma grande redução em valor absoluto. 4. podendo até ficar positivo.7. 8. pode-se considerar o fator de redução α 2 = 0. Havendo barras transversais soldadas dentro do trecho da ancoragem. Fig.188 Curso de Concreto Armado a armadura longitudinal possui diâmetro φl = 5 mm e espaçamento S l = 10 cm. como indicado na tabela 7. 4. sendo φt = 5 mm e espaçamento S t = 30 cm. é necessário realizar alguns cortes no último fio da tela.6. como indicado na fig. Para fazer a ancoragem nas vigas de borda. Os comprimentos de ancoragem das telas soldadas são calculados conforme o capítulo 7 do Volume 1.8.1. 4.65cm2/m. .8.12. 4.11.11 – Ancoragem das telas nas vigas de apoio As emendas por traspasse das telas soldadas podem ser feitas por sobreposição.7 . como é ilustrado na fig. considerando ancoragem reta. A área da armadura transversal dessa tela é de 65 mm2/m=0. Desenho de armação de lajes com telas soldadas .13 . 4. 0 6. 4.8. o tipo. Um desenho típico é mostrado na fig.0 x 5 2.13.8.8. As diagonais servem para identificar o painel.4 961 L N1 30 emenda N1 Fig. os painéis de telas soldadas são representados como retângulos ou quadrados. 4. a largura e o comprimento da tela.Detalhamento das lajes maciças 189 Fig.12 – Emendas das telas soldadas Nos desenhos de armação das lajes. onde duas telas iguais são emendadas. em virtude das diversas incertezas relativas ao carregamento. Essas considerações são apresentadas na seção 5. portanto. Além disso.Cargas nas vigas dos edifícios A estrutura usual dos edifícios é constituída por um pórtico espacial ligado às lajes dos pisos. o cálculo dos pórticos planos pode ser substituído pelo cálculo das vigas e dos pilares. no projeto estrutural são introduzidas algumas simplificações que permitem reduzir o trabalho de cálculo. de uma estrutura tridimensional formada por elementos lineares (barras) e por elementos bidimensionais planos (lajes). Trata-se. O cálculo dos pórticos planos fornece os esforços solicitantes nas barras verticais (pilares) e nas barras horizontais (vigas). . Uma dessas simplificações consiste em calcular os esforços nas lajes separadamente do restante da estrutura. etc. Esse último nível de simplificação constitui o procedimento tradicional de projeto das estruturas de concreto armado dos edifícios. Como uma simplificação adicional. além de levar a uma solução a favor da segurança. devem ser feitas algumas considerações que garantam uma solução favorável à segurança.3. para as vigas e para os pilares da estrutura. isoladamente. o pórtico espacial pode ser desmembrado em vários pórticos planos de múltiplos andares. Dessa forma. comportamento dos nós.Capítulo 5 CÁLCULO DE VIGAS 5. dispostas ao longo dos diversos andares. além de extremamente trabalhoso. rigidez dos elementos componentes.1 . geralmente é desnecessário. os esforços solicitantes são calculados separadamente para as lajes. condições de apoio. O cálculo dos esforços considerando o conjunto da estrutura tridimensional. como foi feito nos capítulos anteriores. Evidentemente. Por isso. 3 . desconsiderando-se os itens anteriores.Modelo para o cálculo do momento fletor rsup=6Isup/lsup rinf=6Iinf/linf >= a 0.15l+h lb+h h lb=comprimento de ancoragem Fig.min Armadura construtiva As.25As. 5. a NBR-6118 permite arredondar o diagrama de momentos fletores sobre os apoios .5linf Iinf lvig Fig.cal l Pilar a>= 0.cal 0.Cálculo de vigas 197 rvig=4Ivig/lvig 0.5lsup Isup Ivig 0.67As.4 – Armadura negativa nos apoios de extremidade – alternativa de projeto As exigências anteriores decorrem do cálculo simplificado como viga contínua. 5.3. Se o cálculo for feito como pórtico. os esforços finais para dimensionamento são obtidos diretamente da resolução do pórtico.3. Para levar em conta a largura dos apoios. para concretos com f ck ≤ 35 MPa. para o momento reduzido β X .200 Curso de Concreto Armado p l X pl /8 2 l (1-β)X Fig. onde o coeficiente de redistribuição β depende da O momento na seção do apoio interno pode ser reduzido de β ≥ 0. onde x representa a profundidade da linha neutra. deve-se considerar β ≥ 0. com o consequente aumento dos momentos positivos nos vãos. Os valores de β são dados por X para β X . Em qualquer caso. 5. resultam os valores de ξ lim vistos no capítulo 3 do Volume 1. Fazendo β = 1 nas expressões anteriores (análise linear sem redistribuição de esforços). porém suas alterações . e d é a altura útil da seção transversal.75 .25 x d . Essa redução dos momentos negativos levará a uma plastificação das seções sobre os apoios. Para as estruturas consideradas de nós móveis (ver Volume 3).Redução do momento sobre o apoio profundidade da linha neutra nessa seção. deve-se obedecer ao limite β ≥ 0.56 + 1.90 .44 + 1. para concretos com f ck > 35 MPa.25 x d . β ≥ 0.3.8 . As reações de apoio e os esforços cortantes também serão afetados pela redistribuição dos momentos. a barra que tem sua ancoragem iniciada no ponto a’. neste exemplo. Por exemplo.208 Curso de Concreto Armado dimensionamento para o momento negativo X d sobre o apoio resultou em três barras. a cada uma correspondendo uma fração do momento. A ordenada correspondente ao momento negativo também é dividida em três partes iguais. pode-se iniciar a ancoragem de uma barra. ficam determinados os pontos (a.5. a b c a b Xd/3 c c' b' a' a' b' c' Md/3 Fig. obrigatoriamente. são . até encontrar o diagrama de momentos fletores deslocado. a ordenada correspondente ao momento máximo no vão é dividida em três partes iguais (admitindo-se a existência de três barras de mesmo diâmetro). 5.5. deve ultrapassar o ponto b’.2 – Fracionamento do diagrama de momentos fletores Traçando linhas horizontais. b’. c) e (a’. deve-se garantir que a barra ultrapasse a seção correspondente ao ponto seguinte. 5. 5. o que exige a presença de três barras. paralelas ao eixo da viga. pois a barra só é totalmente desnecessária após essa seção. A partir de cada um desses pontos. b. Conforme está indicado na fig. A cada fração dos momentos indicada na figura. Entretanto. pois entre essas duas seções transversais o momento fletor é maior que 2 M d 3 . corresponde uma barra da armadura. c’) indicados na fig.5.2.2. A partir do ponto b’. 7.4 . 5. bsi φ eh φt c bw=bsi+2(c+φt) Fig.7. pode-se determinar o número máximo de barras que podem ser dispostas em uma mesma camada na seção da viga.5d max ⎩ (5. 5. Havendo barras de diâmetros diferentes. deve-se respeitar o espaçamento mínimo ⎧ 2 cm ⎪ ev ≥ ⎨ φ ⎪0. Isto é feito com o auxílio da fig. Uma vez conhecidos o diâmetro e o espaçamento horizontal entre as barras. Assim.2) Quando as barras estiverem dispostas em várias camadas. φ representa o diâmetro equivalente.216 Curso de Concreto Armado onde φ é o diâmetro das barras e d max é o diâmetro máximo do agregado.4.7. deve-se deixar o espaço livre eo para a passagem da agulha do vibrador.Determinação do número máximo de barras na mesma camada . o diâmetro a ser considerado é φ = φ o n . No caso de feixes. adota-se o maior diâmetro. No plano vertical. se o feixe é formado por n barras de diâmetro φ o . Neste exemplo. no início dos cálculos.8. para vigas nessas condições. essa verificação só é necessária quando resultar uma disposição de barras em mais de uma camada.5 − 2 2 = 40.8.concreto: f ck = 30 MPa.armadura longitudinal: aço CA-50. verifica-se se a altura útil estimada é compatível com a disposição adotada. o cobrimento nominal das armaduras é c = 3. Após o dimensionamento e a escolha da disposição das barras. obtidos do cálculo convencional como viga contínua. Na fig.0 − 0. . 5. respectivamente. Admitindo que os estribos e as barras longitudinais tenham diâmetros φ t = 5 mm e φ = 20 mm.5 cm. podese estimar a altura útil como d = h − c − φt − φ 2 = 45 − 3.Geometria e carregamento da viga Para efeito de cálculo. 5. . pode-se adotar. Assim. . a relação d = h − 4.1 . Em geral.20x45 480 cm pk=20 kN/m 20 P2 380 cm P3 20 5m 4m Fig. utilizam-se os seguintes materiais: . será considerada a classe II de agressividade ambiental. encontram-se representados os diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes característicos na viga.estribos: aço CA-60.2. Logo.0 cm.222 Curso de Concreto Armado P1 20 Viga .5 cm. 5-224 (2a camada) P1 15 30 5 c. 5. destinadas.8 .Aberturas em vigas As aberturas transversais nas almas das vigas. esse reforço pode ser dispensado. a uma distância .L=116cm 20 14 Fig.8.422 410 15 15 comprimentos em cm 39 54 5 . por exemplo. Segundo a NBR-6118. por ser pequeno o efeito da abertura na capacidade resistente da viga.5 .20x45 2 6. devem ser reforçadas com o emprego de estribos verticais e barras longitudinais.16cm P3 2 12.5 .384 372 2 12. à passagem de canalizações.Detalhamento da viga 5.522 510 7 7 45 P2 24 5 c.9 . pode-se dispensar o uso de reforço desde que a abertura esteja situada na zona de tração.16cm 1 12.5-341 158 183 106 118 2 6.3-220 10 2 8-145 2 12.3-110 2 8-130 10 2 12.5 .Cálculo de vigas 235 Viga V201 . Dependendo do tamanho e da posição das aberturas. 9. O cálculo do reforço é feito em correspondência com a fig. as aberturas não devem interceptar as barras da armadura.9.9. deve-se prever reforço em torno da abertura para assegurar a capacidade resistente. 5.5h s Vd1 Rc Z Vd2 s' a/2 Rc Fig.2) . 5.236 Curso de Concreto Armado mínima de 2h da face do apoio. valem Rc = Md Z (5. num mesmo tramo.1 . acima e abaixo da abertura.1. e possua dimensão não superior a 12 cm nem a h 3 . deve ser de no mínimo 2h . As forças normais nos banzos.Abertura na alma das vigas O momento fletor de cálculo na seção SS' é M d e o esforço cortante é igual a Vd .1) onde a distância Z entre os centros dos banzos é dada por ⎛h +h ⎞ Z = h−⎜ 1 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ (5. s h1 h h2 >h s' a<1. A distância entre faces de aberturas.9. respeitando-se os cobrimentos nominais Se essas condições não forem atendidas. sendo h a altura da viga. Além disso. Cada intervalo entre os furos deve conter pelo menos um estribo. No caso de peças submetidas à torção.9.Abertura vertical em vigas No caso de ser necessário um conjunto de furos. 5. eles devem ser alinhados e a distância entre suas faces deve ser de no mínimo 5cm ou o diâmetro do furo. descontada a área ocupada pelo furo. 5. além de permitir uma boa concretagem.9. esses limites devem ser ajustados de forma a permitir um funcionamento adequado. como indicado na fig. A seção remanescente nessa região. .3. deve ser capaz de resistir aos esforços de cálculo. b furo menor que b/3 0000000000 0000000000 0000000000 maior que 5cm e duas vezes o cobrimento Fig.238 Curso de Concreto Armado da viga deve ser pelo menos igual a 5 cm e duas vezes o cobrimento previsto nessa face.3 . sob a ação das cargas de serviço. a estrutura deve ser suficientemente rígida para que suas deformações. quanto maior for o diâmetro das barras da armadura. Assim. a segunda etapa do projeto consiste na comprovação da não ocorrência dos estados limites de utilização: estado de deformações excessivas e estado de fissuração inaceitável. foram introduzidos coeficientes parciais de segurança para majorar as cargas e minorar as resistências dos materiais. Além disso.1 .Introdução Nos capítulos anteriores.Capítulo 6 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Deformações 6. não deve afetar a durabilidade da estrutura. Desse modo. foram discutidos os procedimentos adotados para o dimensionamento das estruturas de concreto armado. não provoquem danos inaceitáveis em elementos não estruturais. tendo como objetivo principal a obtenção de um adequado nível de segurança. antes da ruína. pois as barras utilizadas possuem diâmetros . esses dois estados limites são verificados separadamente. o que se procura é a limitação das deformações da estrutura e das aberturas das fissuras na superfície da peça. Pode-se adiantar que a abertura das fissuras será tanto maior. apesar de haver uma relação íntima entre eles. Assim. em geral inevitável nas peças fletidas de concreto armado. ou seja. deve-se analisar o comportamento da estrutura sob as condições normais de utilização. Do ponto de vista prático. não afetem o seu uso ou a sua aparência. Em resumo. através da consideração de um critério de ruptura das seções da peça. As equações de equilíbrio foram obtidas no estado limite último. o grau de fissuração. os procedimentos apresentados até aqui constituem a primeira fase do projeto. que é a comprovação da segurança em relação aos estados limites últimos. Em uma segunda etapa do projeto. Desse modo. Portanto. geralmente não é necessário verificar o estado de fissuração das lajes maciças dos edifícios. nem causem desconforto aos usuários. indica-se o diagrama sugerido pelo CEB(12. A inclusão da fluência e da retração é feita posteriormente.4 . pode-se adotar qualquer um dos diagramas tensão-deformação apresentados no Volume 1.4.246 Curso de Concreto Armado a) colaboração do concreto entre fissuras. b) não linearidade física em compressão. c) efeitos da fluência e da retração do concreto.1) . apresenta-se o procedimento rigoroso para o cálculo de flechas em vigas de concreto armado. é necessário adotar diagramas tensão-deformação compatíveis com os resultados obtidos experimentalmente. 6.Diagrama tensão-deformação do concreto comprimido A relação tensão-deformação para o concreto comprimido é dada por ⎛ kη − η 2 ⎞ ⎟ σ c = fc ⎜ ⎜ 1 + (k − 2)η ⎟ ⎝ ⎠ (6. Para o concreto em compressão. σc fc tg-1Ec εo εu εc Fig. deve-se levar em conta a não linearidade física decorrente do comportamento mecânico dos materiais.23). Para isto.1.4.4.Análise não linear de vigas de concreto armado Nesta seção. Para se efetuar um cálculo rigoroso das deformações em vigas de concreto armado. 6.1 . Na fig. 6. submetidas a cargas de curta duração. Geometria e carregamento das vigas No total. 75 P 150 W l=300cm P 75 As b=15 P ρ=As/bd 11 d=21. Com esse programa.4. O modelo descrito foi implementado em um programa de elementos finitos para análise não linear de pórticos planos de concreto armado(25). as incógnitas são o esforço normal e o momento fletor associados ao estado de deformações da iteração corrente.254 Curso de Concreto Armado Empregando-se o método dos elementos finitos. foram ensaiadas nove vigas.4. Neste caso.5 2. as equações (6.4.9 . 6.16) e (6.4. 6.1. Então. divididas em três séries de três vigas.9. foram analisadas as vigas indicadas na fig. encontram-se as propriedades médias e as áreas de aço de cada série.9.4.9. . 6.4. cujas dimensões médias da seção estão indicadas na fig. Em cada iteração.5 1 6 10 elementos de 15cm Fig.17) são resolvidas sem iterações. Na tabela 6. 6. cujos resultados experimentais são fornecidos na referência [22]. como é mostrado na fig. Na análise numérica. são conhecidas a curvatura e a posição da linha neutra nas seções transversais da viga. as iterações são feitas para garantir o equilíbrio da estrutura como um todo(25).4. apenas meio vão da viga foi discretizado em 10 elementos finitos (aproveitando a simetria). 6.3.35) são as curvaturas correspondentes aos estádios I e II puro. além de uma relação hiperbólica após a fissuração.3 . Nessa figura.Estados limites de utilização . 6. indicam-se as relações momento-curvatura no estádio I e no estádio II puro. O modelo hiperbólico é empregado para levar em conta a colaboração do concreto tracionado entre fissuras.Relações momento-curvatura simplificadas Empregando-se o modelo da fig. a curvatura média é obtida através de uma interpolação entre os valores extremos. a curvatura média χ . calculados no estádio I e no estádio II puro. 6. Segundo o CEB(27).5. M estádio I KI 1 Mr 1 KII estádio II puro χ χr Fig.5. Assim. é dada por χ = (1 − ηc )χ1 + ηc χ 2 onde (6.5.Deformações 267 Método bilinear para o cálculo de flechas em vigas Os resultados obtidos anteriormente podem ser resumidos através das relações momento-curvatura indicadas na fig. e ηc é um coeficiente que varia entre 0 e 1.3.5. o coeficiente de interpolação é dado por χ1 = M K I e χ 2 = M K II . respectivamente. associada ao momento fletor solicitante M . 13 W = (1 − η )W1 + ηW2 ⇒ W = 1. η = 1 − β1 β 2 Mr .19 ⇒ η = 0.5 x Flecha final: 16.85 53.Deformações 291 Momento solicitante: M = Momento de fissuração: pk l 2 17 x52 = ⇒ M = 53.19 kNm ⎝ ⎠ Como M > M r .Cálculo prático de flechas em vigas Empregando o método bilinear e desconsiderando os efeitos da retração. a flecha W na seção de referência pode ser escrita na forma .087 ⎛ k1 ⎞ 2 Mr = ⎜ ⎜1+ δ − ξ ⎟ ⎟bd f ct ⇒ M r = 16.78 cm Flecha admissível: Wadm = 500 l = ⇒ Wadm = 2 cm 250 250 Como W < Wadm . 6.Estados limites de utilização . significa que são atendidas as exigências quanto ao estado limite de deformações excessivas.8 . M η = 1 − 1x0.13 kNm 8 8 δ = d ′ d = 4 46 = 0. 2 para seções T ou duplo T. M r = momento de fissuração.9. .Cálculo de flechas em vigas segundo a NBR-6118 A NBR-6118 adota o processo simplificado para o cálculo de flechas de vigas apresentado pelo ACI(29).1) onde I c = momento de inércia da seção de concreto simples. De acordo com a NBR-6118.7 para os vãos extremos das vigas contínuas.9. M = momento fletor solicitante na seção crítica.5 para os vãos intermediários das vigas contínuas.Deformações 295 O coeficiente α é igual a 8. 6.Estados limites de utilização . f r = 0. I 2 = momento de inércia da seção de concreto armado no estádio II puro.5 para seções retangulares. f r = 0.0 para as vigas biapoiadas e para os balanços. α = 1. A flecha inicial é obtida considerando-se um momento de inércia equivalente I eq . exceto para os balanços onde ele vale 2. dado por 3 ⎡ ⎛ M ⎞3 ⎤ ⎛M ⎞ I eq = ⎜ r ⎟ I c + ⎢1 − ⎜ r ⎟ ⎥ I 2 ≤ I c ⎝ M ⎠ ⎢ ⎣ ⎝ M ⎠ ⎥ ⎦ (6. O coeficiente α tem os seguintes valores: α = 1. o momento de fissuração é dado por Mr = αI c f ct yt (6.2) onde yt é a distância do centroide da seção à fibra mais tracionada.9 . O coeficiente f r tem os seguintes valores: f r = 1. 1) onde χ1 e χ 2 são as curvaturas totais no estádio I e no estádio II. O módulo efetivo é dado por Ece = E cs 1+ϕ (6. . O coeficiente de interpolação η c é dado por η c = 0 .3) onde β 2 = 1 para cargas de curta duração e β 2 = 0.5.10. para levar em conta a fluência do concreto. Entretanto.Cálculo de flechas em vigas segundo o Eurocode 2 O método adotado no Eurocode 2 [20] é muito semelhante ao método bilinear do CEB.10 .10.37).5. o momento de fissuração para seções retangulares é dado por M r = bh 2 f ct 6 . deve-se trabalhar sempre com o módulo efetivo E ce no lugar do módulo secante Ecs . Observa-se que essas são as mesmas expressões do método bilinear.Deformações 299 6.4) onde ϕ é o coeficiente de fluência do concreto. Como uma simplificação. se M ≥ M r ⎝ M ⎠ 2 (6.Estados limites de utilização .5 para cargas de longa duração.2) (6.35) a (6. se M < M r ⎛M ⎞ η c = 1 − β 2 ⎜ r ⎟ . Neste caso. O momento de fissuração M r é calculado com a equação (6.10. respectivamente.5.10. podem-se desprezar as armaduras no cálculo do momento de fissuração. Nesse método. dadas nas equações (6. a curvatura total χ em cada seção transversal da viga é dada por χ = (1 − η c )χ1 + η c χ 2 (6.18). da fluência e da retração do concreto.Estados limites de utilização . Essas equações são repetidas abaixo. W2 = W p 2 + Wcs 2 . 6.10.10.5. já incluindo os efeitos da fissuração.11) η = 0 .38) a (6.12) (6.13) O método do Eurocode 2 e o método bilinear do CEB fornecem resultados muito próximos para as flechas das vigas sob a ação de um carregamento constante. se M ≥ M r M (6. Fig.10.Deformações 301 um carregamento fictício dado pelos momentos M cs1 e M cs 2 .5. como no método bilinear. 6. se M < M r η = 1− β2 Mr .10. podem-se empregar as equações (6. Finalmente. o uso do módulo efetivo é perfeitamente justificável. onde se observa que o expoente do termo M r M é unitário. considerando rigidez KI .1.40) para obter a flecha W . é obtida A flecha no estádio II. Neste caso. W = (1 − η )W1 + ηW2 (6. como foi salientado na seção 6.10. . é obtida com a rigidez K II .6.1 – Carregamento real e carregamento fictício equivalente à retração A flecha a no estádio I. como é mostrado na fig. W1 = W p1 + Wcs1 . Entretanto. independem dos valores de ϕ e de ε cs . 4) O ideal é sempre calcular a flecha com um modelo não linear. o método adotado na NBR-6118 não é recomendado. basta fazer ε cs = 0 . os acréscimos de flecha. Portanto. . Entretanto. basta considerar ϕ = 0 e ε cs = 0 .9.3) indica que a relação ΔW W (t o ) é uma constante. a equação (6. independente do grau de fissuração da peça. esse método nunca fornecerá a flecha inicial. o melhor é empregar o método bilinear do CEB ou o método do Eurocode 2. decorrentes da fluência e da retração. Para desconsiderar a retração. considerase que a fluência e a retração tenham a mesma importância no estádio I e no estádio II. 2) O efeito da fluência é sempre considerado na fórmula prática do CEB/90. o que é uma grande incoerência da formulação. devido às inconsistências no cálculo dos acréscimos de flechas decorrentes da fluência e da retração do concreto. 3) O método da NBR-6118 fornece a flecha inicial e a flecha total. Desse modo. Portanto. Os resultados obtidos para a flecha inicial são coerentes com os resultados obtidos com o método do Eurocode 2 e com o método bilinear do CEB. incluindo a fluência e a retração. A fórmula prática do CEB/90 também fornece bons resultados e pode ser usada em projeto.302 Observações finais: Curso de Concreto Armado 1) O método do Eurocode 2 e o método bilinear do CEB consideram os efeitos da fluência e da retração do concreto conforme os valores de ϕ e de ε cs . Dentre os métodos simplificados de projeto. Além disso. para obter o valor da flecha inicial. Essas seções estão no estádio II e toda a força de tração é absorvida pela armadura.1. 7. estando as fissuras espaçadas de uma distância igual a 2a .1. 7. O elemento encontrase fissurado. Entretanto. ocorre uma transferência de parte .1 .1 . a tensão na barra de aço atinge o valor máximo σ so e a tensão no concreto é nula.Capítulo 7 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Fissuração 7. 2a P x σs(x) σso tensão no aço P σc(x) tensão no concreto Fig.A colaboração do concreto entre fissuras Para mostrar a influência do concreto tracionado entre fissuras. submetido a uma força de tração P constante. considere-se o elemento de concreto armado indicado na fig.Elemento fissurado sob tração simples Nas seções fissuradas.1. por causa da aderência. 2.4) que fornece o deslocamento do concreto em uma posição genérica.2.2. chega-se à expressão da deformação no concreto εc = μτ bm Ec Ac x (7. Considerando a equação (7.1). 7. em uma posição genérica tomada ao longo do elemento.8). é dada por σc = Rc μτ bm = x Ac Ac (7.2.1.3) onde D1 é a constante de integração.2) onde Ec é o módulo de deformação longitudinal do concreto. Analogamente. Uma vez que a deformação ε c é obtida por diferenciação do deslocamento u c do concreto. o deslocamento deve ser nulo por uma condição de simetria (ver a fig. entre duas fissuras.1. No centro.3) e fazendo u c = 0 em x = a . tem-se uc = ε c dx + D1 ∫ (7. tem-se que a tensão de tração no concreto.310 Curso de Concreto Armado 7. Para isto.1) Admitindo-se um comportamento elástico linear.2. chega-se a uc = μτ bm 2 Ec Ac (x 2 − a2 ) (7. Integrando (7. é necessário determinar o escorregamento da barra de aço em relação ao concreto. o deslocamento u s da barra de aço é dado por .2 .Determinação da abertura das fissuras A formulação anterior permite avaliar a abertura das fissuras do elemento de concreto armado. Em situações específicas.314 Curso de Concreto Armado O CEB/90 adota a expressão (7.3 mm para as classes de agressividade ambiental II e III. a fissuração pode ser inevitável por causa da baixa resistência à tração do concreto.2 mm. considerando pequenas alterações no valor do coeficiente β que levam em conta a duração e a repetição do carregamento. devem ser impostos limites para a abertura das fissuras. Em marquises.Verificação do estado limite de abertura das fissuras Em estruturas de concreto armado. Entretanto. Essa área é definida na seção seguinte. é necessário definir uma área de concreto efetiva. b) 0. pode ser necessário reduzir esses limites para a abertura das fissuras. podem-se adotar os seguintes limites para a abertura das fissuras: a) 0. ou mesmo de 0.1 mm. 7.4 mm para a classe de agressividade ambiental I.2. As expressões para o cálculo da abertura w k das fissuras foram deduzidas na seção 7. para o cálculo da taxa de armadura ρ se = As Ace . devido ao maior risco de deterioração das armaduras que se verifica nessas estruturas. c) 0. Ace .1) . os quais dependem da agressividade do meio e do grau de proteção da estrutura. Para isto. Segundo a NBR-6118. a abertura das fissuras não deve comprometer a durabilidade nem a aparência da estrutura.2. Essas expressões são adotadas pelo CEB/90. deve-se calcular a tensão limite na armadura σ so = ⎜ ⎜ ⎛ 1 + nρ se ⎞ ⎟ ⎟ f ct ρ se ⎠ ⎝ (7.19). como é apresentado no Volume 4 para os reservatórios.2 mm para a classe de agressividade ambiental IV. Inicialmente. é conveniente considerar o limite de 0.3 . Para finalizar. A diferença entre a área efetiva e a área real da seção do elemento estrutural decorre da distribuição não uniforme das tensões normais.3. 38 . considerando os seguintes dados: .deformação de retração: ε cs = 50 x10 −5 .4.320 Curso de Concreto Armado ρ se = 5 As . na flexão simples bh (7.5 4.coeficiente β = 0.5 1.3 mm.5 3.0 3.5) onde As é a área da armadura tracionada.max .5 161 163 222 294 372 435 435 435 435 435 16 143 126 165 218 277 339 403 435 435 435 20 129 99 124 164 210 258 308 359 411 435 25 118 77 92 121 156 193 233 273 314 355 5 291 423 435 435 435 435 435 435 435 435 .3.lim = 0.4.1 – Tensão máxima na armadura para f ck = 20 MPa Valores de σ s .3 8 10 246 210 183 333 261 207 435 367 286 435 435 380 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 435 em MPa ρ se % 0. apresentam-se os valores máximos permitidos da tensão σ s . Nas demais regiões não é necessário verificar a abertura das fissuras.3 mm As regiões sombreadas nas tabelas mostram as únicas combinações de φ e ρ se onde há risco de ser ultrapassada a abertura limite wk .4. Tabela 7.0 1.4.5 2.max Diâmetro 6.0 φ (mm) 12.1 a 7.lim = 0.0 4.4) ρ se = As .5 5. Na tabelas 7.abertura limite das fissuras: wk . b e h representam as dimensões da seção retangular e Ac é a área da seção de concreto. na tração simples Ac (7.0 2.4. 5. 7.5.max . A tensão de serviço na armadura é estimada como σs = f yd 1. Logo. obtém-se a tensão máxima σ s .Armadura mínima para limitação das fissuras provocadas pela retração Em alguns casos. 7.4.max = 299 MPa.02 = = 2. ele pode apresentar uma fissuração excessiva.68% .3.1 – Fissuras em paredes de concreto armado devidas à retração e/ou às variações de temperatura . Fig. porém a diferença será insignificante. como pode ser visto no exemplo da seção 7.1 com φ = 16 mm e ρ se = 2. Um exemplo dessa natureza é apresentado na fig. o elemento estrutural pode estar livre de cargas externas importantes e. pode-se considerar que a fissuração não será nociva.68% bh 15 x50 Entrando na tabela 7.lim = 0.3 mm será ultrapassada.322 Curso de Concreto Armado ρ se = 5 As 5 x 4. 7.4 = 310 MPa Observa-se que resultou σ s praticamente igual a σ s .5 . mesmo assim. e interpolando. A abertura limite wk .1. Essas fissuras surgem como consequência do impedimento das deformações de retração ou da dilatação térmica do elemento. Tabela 7. apresentam-se os valores de ρ se em função da abertura limite das fissuras wk . a abertura w das fissuras é dada pelo menor dos valores .16 0. Nesses casos.324 Curso de Concreto Armado A expressão (7.28 8 0.87 25 A tabela 7.5.74 0.56 0.20 5 0.44 0.29 0. exclusivamente.Abertura das fissuras de acordo com a NBR-6118 De acordo com a NBR-6118.22 6.5. basta substituir ε cs por αΔT .37 0.46 0. por esforços de coação.69 20 1.56 16 1.35 0.5.3 0. devendo-se calcular as aberturas das fissuras. Havendo cargas externas atuando sobre o elemento.1 fornece as taxas mínimas de armadura para controle da fissuração produzida. A área mínima de aço requerida é As .43 12. Se o objetivo for controlar a fissuração produzida por uma variação de temperatura ΔT oC .min = ρ se Ac .23 0.39 0.3 mm 0.4 mm 0. onde α = 10 −5 oC-1 é o coeficiente de dilatação térmica do concreto. Na tabela 7.lim φ (mm) 0.35 10 0.87 0.lim .2) permite determinar a taxa mínima de armadura efetiva para controle das fissuras produzidas exclusivamente pela retração.11 0.74 1.1. 7.6 .58 0.2 mm 0. é necessário respeitar as armaduras mínimas exigidas no estado limite último.3.5 1. a tabela não se aplica.69 0.93 0.1 – Taxa mínima de armadura efetiva ρ se % para controle das fissuras de retração (considerando ε cs = 50 x10 −5 ) Abertura limite das fissuras wk . como apresentado anteriormente na seção 7.5. 31 mm. b = 15 cm. As = 4.68% . empregando a formulação da NBR-6118.5η1 E s ⎝ ρse ⎠ φ Logo.25 (barras nervuradas) Ace 240 φ σ s 3σ s 12. segundo o critério da NBR-6118.38 mm w2 = ⎞ σs ⎛ 4 + 45⎟ = 0.3 foi obtido wk = 0.326 Exemplo: Curso de Concreto Armado Calcular a abertura das fissuras da viga indicada na fig.02 cm2.5x1.6) = 240 cm2 ρse = w1 = As 4. f ct = 0. d ′ = 4 cm.22 kN/cm2. . de acordo com a formulação do CEB. Cálculos adicionais: Ace = b( d ′ + 7. como ocorre com a formulação do CEB. Os seguintes valores já foram dados ou calculados anteriormente: φ = 16 mm.02 = = 1. A formulação da NBR-6118 fornece uma menor abertura das fissuras porque os efeitos da retração do concreto não são considerados.5η1 E s f ct = 0.22 kN/cm2.3.25 mm. No exemplo da seção 7. 7. wk = 0. η1 = 2.5φ ) = 15( 4 + 7.2.25 mm ⎜ 12. σ s = 31. E s = 20000 kN/cm2. 13. McGraw-Hill. Manual Para Calculo de Placas.1. Vigas Contínuas. 1977. F. GOODIER. SOUZA. 9. CEB-FIP Model Code 1990. S. T. 1993.1. v. 1970. Rio de Janeiro: Ed. Rio de Janeiro: Interciência. M. R. 2. 10. S. LEONHARDT. HAHN. v. TIMOSHENKO. 3.2. 12. Curso Prático de Concreto Armado. 1961.. TIMOSHENKO. 1982. 1978. S. Montevideo: Editora Inter Ciencia. BARÉS. P. Construções de Concreto. Placas y Vigas Flotantes sobre Terreno Elástico.. Published by Thomas Telford. 11. 6. 1974. KALMANOK. ROCHA. A. 8. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Niterói: EDUFF. P. A. Teoria Elementar das Charneiras Plásticas. ed... VAN LANGENDONCK. J. Rio de Janeiro: Ed. CUNHA.3. 1975. Rio de Janeiro. Científica. 1970. C. London. 2003... 1970. NBR6118: Projeto de Estruturas de Concreto. 12.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. MÖNNIG. SZILARD. A. E. Barcelona: Gustavo Gili. Barcelona: Gustavo Gili. V. . ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. São Paulo: Associação Brasileira de Cimento Portland. P. J. v. N. 5. 4. 1994. Rio de Janeiro. Guanabara Dois. Teoria da Elasticidade. M. New Jersey: Prentice-Hall Inc. v.1. ed. S. J. R. WOINOWSKY-KRIEGER. Theory and Analysis of Plates: classical and numerical methods. Theory of Plates and Shells.. 1980. v. NBR6120: Cargas Para o Cálculo de Estruturas de Edificações. 1971. Pórticos. 1980. 3. Tablas Para el Cálculo de Placas y Vigas Pared. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 7. Lajes em Concreto Armado e Protendido. Civil. B. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas. Modelo para análise de vigas de concreto armado. Bulletin d’Information 124/125. ed. Civil. BIGNON. C. ARAÚJO. 1990. n. out. p. G. Dunas. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic. Anais. V.31-38. v. Dissertação de Mestrado. Porto Alegre. p.12. p. Sobre las deformaciones en elementos de hormigon armado. Técnica de Armar as Estruturas de Concreto. ZIENKIEWICZ. 2008. A. 16. DECANINI. P.32. Dec. 1971. São Paulo: PINI. 1977.2.editoradunas.com. M. 18. elastic plates. p. M. Rio Grande: Ed. 17. 1995. EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. 3.1070-1120. Disponível em: <www. n. .. 19. M. ARAÚJO. Curso de Pós-Graduação em Eng. Eurocode 2: Design of Concrete Structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings. R. Jornadas Sulamericanas de Engenharia Estrutural. Curso de Pós-Graduação em Eng. J.. 1978. Porto Alegre.9-14. 15. Análise estática de lajes de concreto armado incluindo não-linearidade física e geométrica. M. Lisboa.1-11. 23.br/revistatpec>. McGraw-Hill.18.1. Paris. Avaliação dos métodos simplificados para cálculo de lajes maciças apoiadas em vigas flexíveis. UFRGS. 1991. SCHEGG.. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. 20. 1993. MINDLIN. The Finite Element Method. 1951. L. 2003. Code-modèle CEB/FIP pour les Structures en Béton. Métodos de minimização para análise não-linear de estruturas. 21. UFRGS. REAL. D. Revista Teoria e Prática na Engenharia Civil. Porto Alegre.. J. Final draft.328 Curso de Concreto Armado 14. Relatório de Pesquisa RP110/93. FUSCO. J. ARAÚJO. P. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. n. 22. O. v. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-95) and Commentary (ACI 318R-95).. 28. n. Pilares Esbeltos de Concreto Armado: Algoritmos para análise e dimensionamento. CEB Design Manual on Cracking and Deformations. London: Chapman and Hall. Agosto. M. 1993. M. 1992.1-10.editoradunas. p. Lisboa. Revista Teoria e Prática na Engenharia Civil. . 26. FAVRE. Detroit.9-12. A. 2004.42. A. M. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas. Lausanne. Revista Portuguesa de Engenharia de Estruturas. 29. CAMPOS FILHO. ARAÚJO. Dunas. 27. ARAÚJO. COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON.19-24. J. 1986..34. p. Rio Grande: Editora da FURG. J. p. Processos simplificados para cálculo de flechas de vigas de concreto armado. n. Modelo bidimensional para análise de vigas de concreto armado. 1985. 30. ARAÚJO. J. n. 25. Parte 1: Avaliação das deformações. Rio Grande: Ed. M. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE.5. ARAÚJO.com. Lisboa. Análise probabilística de vigas de concreto armado.Referências bibliográficas 329 24. Concrete Structures: Stresses and Deformations. 1995. Disponível em: <www.br/revistatpec>. GHALI. R. J. 1997. APÊNDICE 1 CARGAS NAS EDIFICAÇÕES Segundo a NBR-6120 . APÊNDICE 2 TABELAS PARA O CÁLCULO DE LAJES . APÊNDICE 3 TABELAS PARA DETALHAMENTO DAS ARMADURAS .