Curso Breve de Estadistica

CURSO BREVE DE ESTADÍSTICACOLECTIVO DE AUTORES: MSc. Manuel Ernesto Acosta Aguilera Prof. Asistente MSc. Luis Piña León Prof. Auxiliar MSc. Daysi Espallargas Ibarra Prof. Auxiliar [email protected] [email protected] [email protected] DPTO. ESTADÍSTICA - INFORMÁTICA FACULTAD DE ECONOMÍA UNIVERSIDAD DE LA HABANA 2008 ÍNDICE INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA ..................................................................................... 3 OBJETIVOS DEL CURSO ............................................................................................................ 4 TEMA I: MÉTODOS DESCRIPTIVOS......................................................................................... 5 1.1: Definición de población y muestra. Clasificación de las variables. Organización de los datos. Tablas de frecuencias. Gráficos...............................................................................................................5 1.2: Medidas descriptivas o estadígrafos. Estadígrafos de posición más usados: media, mediana y moda. Estadígrafos de dispersión más usados: varianza, desviación típica y coeficiente de variación.....................................................................................................................................................16 TEMA II: PROBABILIDADES. .................................................................................................. 28 2.1: Introducción a los fenómenos y experimentos aleatorios. Espacio muestral y sucesos. Clasificación de sucesos. Definición clásica de Probabilidad. Definición estadística de Probabilidad...............................................................................................................................................28 2.2: Axiomatización de la Probabilidad. Reglas de cálculo de probabilidades. Probabilidad condicional. Independencia de sucesos. ..............................................................................................35 TEMA III: DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE PROBABILIDAD.......................................... 41 3.1: Definición de variable aleatoria. Función de probabilidad univariada: casos discreto y continuo. Función de distribución. Media y varianza de variables aleatorias. ................................41 3.2: Distribución binomial: características y uso. Distribución de Poisson: características y uso. .....................................................................................................................................................................49 3.3: Distribución normal o de Gauss. Distribución chi-cuadrado. Distribución t de Student. Distribución F de Fisher...........................................................................................................................58 TEMA IV: MUESTREO Y ESTIMACIÓN ................................................................................. 74 4.1. Conceptos básicos: Población y Muestra. Muestreos aleatorios: Muestreo Aleatorio Simple. Uso de la tabla de números aleatorios para efectuar un muestreo aleatorio. ................................74 4.2 Estimadores. Propiedades deseables para un buen estimador. Estimación puntual. Distribución muestral. Distribución muestral de la media tanto con varianza (σ2) conocida como desconocida. Distribución muestral de las proporciones y de la varianza. .....................................80 4.3: Error máximo permisible y tamaño de muestra necesario para la estimación de μ y p. Estimación por intervalos de confianza. ...............................................................................................89 TEMA V: PRUEBAS DE HIPÓTESIS ........................................................................................ 98 5.1. Conceptos básicos. Desarrollo general de pruebas de hipótesis. Pruebas para medias en una población............................................................................................................................................98 5.2: Tamaño del error tipo II. Función de potencia. Tamaño de la muestra. ................................112 5.3: Pruebas no paramétricas: Prueba chi-cuadrado de la bondad de ajuste para verificar normalidad. Prueba chi-cuadrado para verificar el supuesto de independencia. Tablas de contingencia. ...........................................................................................................................................119 TEMA VI: ANÁLISIS DE VARIANZA.................................................................................... 129 6.1: Conceptos básicos del análisis de varianza. Modelo de clasificación simple. Supuestos del método. ....................................................................................................................................................129 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:........................................................................................................ 140 1 PRESENTACIÓN A los estudiantes: Este texto ha sido elaborado por un colectivo de profesores de Estadística de la Facultad de Economía de la Universidad de La Habana, para contribuir a un mejor estudio de los temas correspondientes a esta asignatura en las carreras de perfil económico y social, en general, particularmente en la Licenciatura en Economía. El objetivo del estudio de la Estadística en cualquier carrera es dotar al alumno de algunos elementos que le servirán para trabajar con conjuntos de datos, describir situaciones de interés, hacer inferencias sobre la base de observaciones y evaluar hipótesis relacionadas con alguna circunstancia práctica; además, pueden iniciarse en el estudio de los fenómenos y experimentos aleatorios, estableciendo el vínculo entre los conocimientos y habilidades de los contenidos de la Estadística Descriptiva, la Teoría de las Probabilidades y la Estadística Inferencial. Debe señalarse que la Estadística es eminentemente práctica, sin embargo, se necesita del conocimiento de la teoría que la sustenta para la correcta aplicación de las fórmulas de cálculo y los modelos que intentan representar la realidad existente. En el texto se detallan los objetivos generales del curso y la distribución del mismo en los seis temas en que está subdividido. También se incluyen los objetivos específicos de cada una de las unidades didácticas que conforman los distintos temas. Además, se desarrolla sucintamente el contenido de la asignatura, el cual aparece disperso en otros textos que se refieren en la bibliografía básica. Finalmente, se brindan ejemplos demostrativos de todos los aspectos abrdados, y se han añadido ejercicios para que sirvan de autoevaluación. Es aspiración de los autores que estos apuntes para el estudio de Estadística sean de utilidad tanto para sus destinatarios iniciales como para estudiantes de otras carreras y modalidades de estudio. Los Autores. La Habana, 2008 2 utilizando las probabilidades. por ejemplo: natalidad o mortalidad en un país o provincia. La Estadística como ciencia puede definirse como un conjunto de principios y métodos que se han desarrollado para analizar datos numéricos. pasajeros transportados durante un período. se ocupan de la recolección. cifras de producción de una empresa. • Inferencia estadística (Estadística Inferencial) Estudia y concluye sobre un fenómeno basándose en el análisis e investigación de una parte del mismo. por lo que constituye una poderosa herramienta para la investigación científica. enfermos recuperados con ciertos medicamentos Las estadísticas son tan antiguas como las sociedades humanas. pero la Estadística como ciencia (con mayúscula) surge en el siglo XVI paralelo al desarrollo de las probabilidades. organización.INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA El vocablo “estadística” (con minúscula) se utiliza para denominar cualquier colección sistemática de datos. sus métodos se clasifican en: • Métodos descriptivos (Estadística Descriptiva) Describen el comportamiento de los datos estadísticos. tabulación y presentación de la información. resultados periódicos en cierto deporte. 3 . reducción. Identificar y emplear distintas pruebas paramétricas para una población: de media (con varianza conocida y desconocida). la varianza y la proporción en la estimación puntual y por intervalos de los parámetros correspondientes (μ. Verificar el supuesto de normalidad a través de la prueba Jarque-Bera. Poisson. cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. Construir gráficos de barras (histogramas) y polígonos de frecuencias. Clasificar las variables en cualitativas. muestreo. Aplicar las definiciones de probabilidad condicional e independencia. Calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso utilizando la definición clásica y la estadística. Establecer los supuestos del análisis de varianza. σ2 y p). Caracterizar el Muestreo Aleatorio Simple (MAS) y el Muestreo Irrestricto Aleatorio (MIA). Identificar y caracterizar las distribuciones probabilísticas: Binomial. 4 . Aplicar e interpretar los fundamentos de la teoría de probabilidades en la solución de problemas. Diferenciar entre determinismo y aleatoriedad. Aplicar las propiedades o teoremas derivados de la definición axiomática de probabilidad. 5. Aplicar el análisis estadístico para verificar la igualdad de tres o más medias poblacionales a través del análisis de varianza. valor esperado o media teórica. función de distribución o acumulación. los conceptos de función de probabilidad. como para verificar independencia entre variables o criterios de clasificación. 6. Calcular e interpretar los principales estadígrafos o medidas de posición y de dispersión. Identificar los conceptos básicos asociados a las pruebas de hipótesis: hipótesis nula e hipótesis alternativa. parámetro y estimador. y la varianza teórica. 4. muestra. de proporciones. 2. Calcular probabilidades asociadas a las distribuciones anteriores haciendo uso de las tablas correspondientes. y caracterizar estas funciones mediante la esperanza. Chi-Cuadrado. a partir de salidas del programa de cómputo EViews. Normal. y de varianza. tanto para probar normalidad. región crítica o de rechazo y nivel de significación. Asociar a la noción de variable aleatoria (tanto discreta como continua). Identificar y emplear las pruebas no paramétricas chicuadrado. Aplicar la distribución muestral de la media. Diferenciar entre los errores de tipo I y tipo II. Aplicar e interpretar resultados obtenidos mediante algún paquete de cómputo estadístico. Definir el espacio muestral de un experimento o fenómeno aleatorio. t’ Student y F de Fisher. Organizar los datos u observaciones de diferentes variables (discretas y continuas) en tablas de frecuencias. Identificar los conceptos básicos de población. 3.OBJETIVOS DEL CURSO 1. Obtener muestras aleatorias simples mediante la tabla de números aleatorios. así como también a la obtención de una medida probabilística del error y del tamaño de la muestra requerido para la estimación de los mismos. ingresos. Tablas de frecuencias. etc. Generalmente representan valores enteros asociados a observaciones susceptibles de conteo.TEMA I: MÉTODOS DESCRIPTIVOS Con este tema se inicia el estudio de la parte de la estadística que se ocupa de la recolección. toman valores determinados. Muestreo: Procedimiento mediante el cuál se extrae una muestra. o sea. facilita la interpretación de resultados y sirve de base incuestionable para el desarrollo de métodos de inferencia y predicción: La información recogida durante el proceso de observación. A la vez. En casi todos los textos se representa con el símbolo “N”. estado civil. organización. se distinguen dos tipos de datos o variables cuantitativos: • Variables Discretas: Son aquellas que tienen valores prohibidos dentro de su intervalo de definición. etc.1: Definición de población y muestra. Tamaño de muestra: Cantidad de elementos contenidos en la muestra. En casi todos los textos se representa con el símbolo “n”. tabulación y presentación de la información en un estudio o investigación dados. El buen uso de los métodos descriptivos ahorra tiempo y esfuerzo. regular. Durante este proceso siempre se hace referencia de alguna manera a conceptos básicos en el contexto de la Estadística. medición. Censo: Observación y estudio de todos los elementos que componen la población. y no es hasta que la misma se organiza. número de hijos. procesa y presenta adecuadamente que cobra real dimensión la misma y puede considerarse. 5 . las variables pueden clasificarse en: Cualitativas: También llamadas atributos. Organización de los datos. resumen y presentación de la información. etc. Muestra: Cualquier subconjunto de la población tomado para su estudio. nivel escolaridad.. Ya se ha dicho que los métodos descriptivos se ocupan de la recolección. Variable o característica: Es el signo o detalle que interesa caracterizar en la población. Tamaño de la población: Cantidad de elementos que abarca la población. Clasificación de las variables. cuestión esencial para cualquier investigación. y se refieren a cualidades tales como: calidad (bueno. color del pelo o de los ojos. Gráficos. malo). Con este fin. sexo. 1. verdadera información. Cuantitativas: Se refieren a cantidades tales como costos. predefinido. pesos. reducción. estaturas. como son: Población: Colección de individuos o elementos que representan el objeto de interés (seres vivos o inanimados). organización. entrevista. Para organizar los datos muchas veces es útil conocer qué tipo de variables éstos miden. suele ser dispersa. más allá de un conjunto de datos. pero no agrupados.Li L0 . es decir. todos y cada uno de los valores que toma la variable. pues esto es algo que depende de las unidades de medida utilizadas. de manera que se leen directamente los valores observados. Se dice que los datos están organizados. Generalmente representan observaciones susceptibles de medición. esto es. El promedio de los dos límites.L1 L1 . es usual utilizar clases del mismo ancho siempre que es posible. cuando en las tablas de frecuencias se ponen. organizados. • Recolección organizada o tabulación (datos organizados): Es el ordenamiento de la información en tablas. de la precisión deseada o de costumbres al expresar una magnitud. no es la altura de las barras o rectángulos la que debe ser proporcional a las frecuencias representadas.Lk Xk ↑ sólo si hay clases (datos agrupados) … fi f1 f2 … ni n1 n2 … Xi X1 X2 … Li-1 .• Variables Continuas: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor dentro de su intervalo de definición. Cuando los datos se tabulan. denominadas tablas de frecuencias o distribuciones de frecuencias. a partir de los datos primarios. Una clase se caracteriza por un valor que es su límite inferior y otro que es su límite superior. denominadas “clases” o “intervalos de clases”. TABULACIÓN DE DATOS (TABLAS DE FRECUENCIAS): Según la forma en que se presenta la información. es llamado marca de clase. pueden estar no agrupados. es decir. se colocan los datos en columnas que recogen los distintos valores de la variable y las frecuencias (las veces) con que han aparecido tales valores. o agrupados.) Ni N1 N2 Fi F1 F2 … Lk-1 . (Si las clases no tienen el mismo ancho.L2 … La forma general de una tabla de frecuencias es la siguiente: nk fk Nk Fk ↑ ↑ ↑ frecuencias complementarias 6 . o se organizan en las tablas de frecuencias. sino en agrupaciones parciales del recorrido de la variable. Por su parte. que muchas veces se toma como el valor representativo de la clase. se habla de: • Recolección simple o no organizada (datos no organizados): Es el listado de los datos presentados en su forma primaria. no porque ésta se exprese con valores decimales o no. Y a la diferencia o distancia entre los límites de la clase se le llama ancho de clase: aunque no es obligatorio. se construyen intervalos para resumir la información observada. sino su área. se dice que los datos están organizados y agrupados cuando en la tabla se presentan éstos no con sus valores individuales. esto es. Es importante tener en cuenta que la continuidad está dada por la propia naturaleza de variable. tal como fueron obtenidos durante el proceso observación o medición en la muestra o población. el inferior (Li-1) y el superior (Li) ni ( frecuencia absoluta ): número de veces que se repite el i-ésimo valor de la variable. N3 = n1 + n2 + n3. esto es ante todo con fines metodológicos. siendo F1 = f1. Así. donde N1 = n1. F2 = f1 + f2. Fi ( frecuencia relativa acumulada ): es la proporción (o porciento) de observaciones menores o iguales al i-ésimo valor de la variable. 7 . y prácticamente es imposible considerar todos y cada uno de los valores que toma la variable. como sí ocurre con las variables discretas. y así sucesivamente hasta Nk = n. Por todo ello.Li : representan las clases (si los datos se agruparon).Los símbolos y definiciones correspondientes son: Xi : representa los valores individuales de la variable (en datos no agrupados) o las marcas de clase (en datos agrupados en clases) Li-1 . y así sucesivamente hasta Fk = 1. porque esto depende de la cantidad de datos que se tiene y del tipo de análisis que se va a hacer. se cumple que: fi = ni/n y donde ∑ fi = 1 Ni ( frecuencia absoluta acumulada ): Es el número de observaciones menores o iguales al iésimo valor de la variable. como: fi ( frecuencia relativa ): proporción de veces que se repite el i-ésimo valor de la variable (si se multiplica por cien constituye un porciento). se interpreta como el número de observaciones menores o iguales al i-ésimo valor de la variable. Así. donde ∑ ni = n n ( tamaño de la muestra ): cantidad de observaciones efectuadas. número de elementos contenidos en la muestra k: representa el número de valores diferentes observados (datos no agrupados) o la cantidad de clases creadas (datos agrupados) También pueden incorporarse a la tabla otras frecuencias. delimitadas por los límites de clase. N2 = n1 + n2. se podría presentar la situación de que se tiene una variable discreta que toma tantos valores diferentes que es necesario agruparla. y las variables continuas en tablas de frecuencias agrupadas. No obstante no se puede decir rotundamente que no se agrupan en clases las variables discretas y sí las continuas. es decir. Generalmente se agrupan las observaciones correspondientes a variables continuas. o el caso de que se tiene una variable continua para la cual todas las observaciones constituyen valores enteros y se pueden recoger entonces en una tabla de frecuencia con datos no agrupados. ya que estas son las que pueden tomar cualquier valor en un intervalo. F3 = f1 + f2 + f3. cuando se insiste en que las variables discretas se presentan en tablas de frecuencia sin agrupar. 0 ≤ fi ≤ 1 / 9. Se debe considerar también que la agrupación de datos siempre conlleva un grado de pérdida de información.1 15 20 25 Caso C 10 15 20 15 20 25 Las variantes A y B se utilizan con el objetivo de que no se repita el mismo valor de un límite de clase. Nk = n AGRUPACIÓN DE LOS DATOS EN CLASES: La agrupación de datos en clases incluye muchas cuestiones subjetivas.1 20.. ni ≥ 0 / Ni ≥ 0 6.9 y 15 (caso A) y lo mismo entre 15 y 15. como facilidad o conveniencias de agrupación. esta pérdida de información en general no es significativa para el análisis global. Algunas de las formas en que se presentan los intervalos de clases son: Caso A 10 15 20 14.9 19.PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS: De la definición de las distintas frecuencias se deduce que éstas son siempre números no negativos.1 (caso B). ≤ Fk 5.. así: ( Li-1 . pero en cualquiera de los dos casos hay infinitos valores posibles entre el cierre de una clase y el inicio de la otra. no obstante.9 Caso B 10 15.. de manera que para una observación dada sea inequívoca (única) la pertenencia a una clase. donde el valor que cierra una clase es el mismo que abre la siguiente. Fk = 1 2. y pueden considerarse como propiedades de las mismas las siguientes: 1. e incluso puede depender de la propia naturaleza de los datos. f1 = F1 ≤ F2 ≤ F3 ≤ . diversidad de criterios o necesidades de la investigación.. es decir. N1 = n1 3. y se suele recurrir al siguiente convenio: cuando una observación coincide con un límite de clase se incluye en la clase donde dicho límite es el límite superior. se consideran los intervalos de clase como abiertos al inicio y cerrados al final. Por ello muchos autores e investigadores prefieren la variante C. ≤ Nk 0 ≤ Fi ≤ 1 10. es decir. pues ya no se cuenta con todos y cada uno de los valores de la variable sino con los intervalos creados.9 24. ∑ni = n 7. F1 = f1 4. Li ] También existen los intervalos abiertos atendiendo al tipo de información que se puede presentar: 8 . n1 = N1 ≤ N2 ≤ N3 ≤ . ∑ fi = 1 8. entre 14. a partir del uso que se hará de la información. Los pasos que se deben dar para agrupar los valores observados según el segundo método pueden resumirse como sigue: 1. el ancho de clases que se empleará. es decir. ni tan pocos. ni tantos que parezca que no se han agrupados los datos ( 4 ≤ k ≤ 20 ) 3. representaciones y cálculos. a partir de la cantidad de datos disponibles. definido como la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de la variable: R = Xmax . Crear las clases. Entre los métodos seguidos para crear las clases. 6. que se pierda demasiada información. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS: Otra manera de presentar los datos de manera de que brinden información a primera vista es una representación gráfica de los mismos. y con esto ver cuántas clases surgen.Abierto en la primera clase Abierto en la última clase menos de 10 10 20 20 30 30 40 40 50 0 10 10 20 20 30 30 40 más de 50 Abierto en la primera y en la última clase menos de 10 10 20 20 30 30 40 más de 50 Es útil tener en cuenta además que no siempre los intervalos podrán ser de igual amplitud. Determinar las marcas de clases (Xi). Determinar la amplitud o ancho de estos intervalos (c). Definir. 2. para lo cual se puede hacer un tarjado. aproximado convenientemente y siempre por exceso: c ≈ R/k 4. Definir. y sumando sucesivamente el ancho de clases (c) determinado. 7. sin embargo es recomendable que estos tengan el mismo ancho si es posible ello. Determinar el recorrido de la variable (R). Clasificar la variable en las distintas clases. como el cociente del recorrido de los datos entre la cantidad de clases que se decidió usar. y a partir de ahí calcular el ancho que deberán tener las mismas. 5. obteniendo las frecuencias absolutas correspondiente (ni). un eje horizontal. y un eje vertical 9 . para lograr mayor facilidad en las interpretaciones.Xmin 2. absolutas acumuladas (Ni) y relativas acumuladas (Fi). partiendo del valor mínimo observado (xmin) o un valor inferior. la cantidad de clases que se crearán. dos son los más utilizados: 1. Calcular las restantes frecuencias deseadas: relativas (fi). donde se distribuyen los valores observados de la variable (datos no agrupados) o sus límites de clases (datos agrupados). y entre los gráficos más usados se encuentran: • Gráficos de barras o histogramas Constan de dos ejes. valores que representarán a sus respectivas clases. Definir el número de intervalos o clases (k): La práctica indica que menos de 4 ó 5 clases suele ser muy poco y que en general más de 20 clases puede ser excesivo. 2. Para facilitar el conteo de las observaciones se suele hacer algún tipo de marcas. y por tanto su área. Si los datos están agrupados en clases las barras conforman rectángulos contiguos. En este caso k = 5 (son cinco los valores distintos de X: 0. a lo cual se le llama tarjado. EJEMPLO 1 (Datos no agrupados): Se tiene los datos recopilados acerca de la variable X: número de ausencias a clase que tienen los estudiantes de un grupo. 1. sobre el punto correspondiente a cada observación o marca de clase se hace una marca a la altura de la frecuencia observada. y tienen la misma función. y el gráfico suele ser denominado histograma. formando una línea poligonal. es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente (y consecuentemente también a la relativa). número de ausencias Xi 0 1 2 3 4 tarjado //// /// /////// //// // cantidad de estudiantes ni 4 3 7 4 2 n = 20 proporción de estudiantes fi 0.10 Ni 4 7 14 18 20 Fi 0. • Gráficos circulares o de pastel Parten de subdividir un círculo en tantos sectores como valores distintos (datos no agrupados) o clases (datos agrupados en clases) se tiene.35 0. y posteriormente estas marcas se unen con trazos rectos. no parece necesario crear clases para agrupar los datos. 0 3 4 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 4 0 0 1 2 0 3 Datos en su forma primaria (sin organizar) ¿Qué tipo de variable es esta?: Variable cuantitativa discreta. Construcción de la tabla o distribución de frecuencias: Al tratarse de una variable discreta (un conteo siempre tomará valores enteros) y con pocos valores diferentes. En cualquier caso.20 0.15 0.donde se representan las frecuencias absolutas (ni) o relativas (fi) correspondientes. En el punto correspondiente a cada observación o clase se levanta una barra cuya altura indica el valor de la frecuencia observada. 3 y 4). con la diferencia de que en el eje horizontal. si los datos están agrupados en clases se distribuyen no sus límites de clase sino sus marcas de clase. aunque actualmente se utilizan menos que aquellos. de manera que la amplitud angular del sector. Constan de también de dos ejes.20 0.00 10 .90 1.20 0. • Polígonos de frecuencias Son similares a los gráficos de barras.70 0.35 0. 20 indica que el 20% de los estudiantes tienen 3 ausencias f5= 0. F3 = 0. • fi indica el porciento de veces que se repite el valor de la variable.70 indica que el 70% de los estudiantes tienen hasta 2 ausencias. así: F2 = 0. Representación gráfica: A partir de la tabla de frecuencias se puede construir cualquiera de los gráficos siguientes: gráfico de barras ni polígono de frecuencias ni 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 0 4 xi 1 2 3 4 xi diagrama circular 4 10% 0 20% 3 20% 2 35% 1 15% 11 . así: f4 = 0.Interpretación de las distintas frecuencias: • ni indica las veces que se repite el valor de la variable.35 indica que el 35% de los estudiantes tienen hasta 1 ausencia.10 indica que el 10% de los estudiantes tienen 4 ausencias • Ni indica el número de observaciones menores o iguales al valor de la variable. n3 = 7 indica que hay 7 estudiantes del grupo que tienen 2 ausencias. así: n1 = 4 indica que hay 4 alumnos del grupo que no tienen ausencias. así: N2 = 7 indica que hay 7 estudiantes que tienen hasta (o como máximo) 1 ausencia N3 = 18 indica que hay 18 estudiantes que tienen hasta 3 ausencias • Fi indica el porciento de observaciones menores o iguales al valor de la variable. la segunda de 25 a 30.Xmin = 48 . así. por su propia naturaleza (de hecho. de manera que la primera clase sea desde 20 a 20 + c (ya se tiene c = 5). • Determinación del recorrido: R = Xmax . la interpretación y el trabajo con la información. en vez de facilitar. nótese que esta aproximación fue a un valor superior al verdadero cociente. 6. y así sucesivamente hasta la sexta clase (k = 6). 7 u 8 clases. o sea. se incluye en la clase donde dicho límite está como límite superior. • Determinación de las marcas de clases (Xi): Siendo el promedio de los límites de clase se tiene que: Xi = (Li – Li-1)/2 Así: X1 = (20 + 25)/2 = 45/2 = 22. un taxi podría haber consumido 24. por exceso. además. sin incluir el 25 (límite inferior y extremo abierto) e incluyendo el 30 (límite superior y extremo cerrado).75 litros de gasolina).5 ≈ 5 c=5 (El valor R/k = 4.5 se redondea a 5 porque no tendría sentido en este caso hacer los intervalos de amplitud decimal.EJEMPLO 2 (Datos agrupados): Los siguientes valores corresponden al registro del consumo de gasolina de una flota de 50 taxis. 12 . es decir. según decisión de quien va a organizar los datos.5 X2 = (25 + 30)/2 = 55/2 = 25. • Se tiene n = 50 taxis (tamaño de la muestra).21 = 27 • Definición del número de clases a usar: Para 50 observaciones podrían usarse 5. pero resulta más cómodo comenzar ligeramente por debajo de él.) • Creación de las clases: Se podría partir del valor Xmin = 21. un día dado: 46 43 28 26 29 39 28 30 23 30 34 30 26 30 48 33 27 21 43 47 32 32 37 40 23 36 42 39 36 31 41 30 25 21 24 26 31 33 38 38 32 34 47 31 35 36 41 28 38 36 ¿Qué tipo de variable es ésta? Aunque los datos observados son todos enteros la variable es continua. ya que complicaría. de 20 a 25. Sea en este caso k = 6.5 ó X2 = X1 + c Y así sucesivamente… • Clasificación de la variable y cálculo de las distintas frecuencias: Para ello se puede hacer previamente un tarjado… Se debe tener en cuenta. en litros. el convenio de que si una observación coincide con un límite de clase. que sería desde 45 (extremo abierto) a 50 (extremo cerrado). en 20. • Determinación del ancho de clases: c ≈ R/k R/k = 27/6 = 4. 5 42.08 1. no en la que va de 30 a 35.5 27.5 i X EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1.92 1.5 32.5 37.60 0. Representación gráfica: histograma ni ni polígono de frecuencias 14 12 10 8 6 4 2 0 14 12 10 8 6 4 2 0 20 25 30 35 40 45 50 X (clases) 22.5 litros (utilizando la marca de clases) • f3 = 0.45 45 .10 0. o un máximo de 45 litros..todos los taxis que consumieron 30 litros de gasolina se incluyen en la clase de 25 a 30.¿Qué quiere decir organizar los datos? 3. Li] 20 .5 ni ///// / 6 ///// ///// /// 13 ///// ///// / 11 ///// ///// / 11 ///// 5 //// 4 n = 50 fi 0.12 0..38 0.5 37. o que consumieron 32..82 0.5 42. o un máximo de 40 litros.35 35 .50 tarjado Xi 22. • N4 = 41: indica que 41 taxis consumieron HASTA 40 litros de gasolina. clases (Li-1.5 litros como promedio.92: indica que el 92% de los taxis consumió HASTA 45 litros de gasolina.30 30 .26 0.5 27.) • F5 = 0.5 47.Ponga 3 ejemplos de variables discretas y 3 de variables continuas 2. (Las frecuencias acumuladas se interpretan utilizando el límite superior del intervalo.25 25 .22: indica que el 22% de los taxis consumieron entre 30 y 35 litros de gasolina.22 0. o que consumieron como promedio 27. nunca con la marca de clases.12 0.00 Interpretación de las distintas frecuencias: • n2 = 13: indica que hay 13 taxis que consumieron entre 25 y 30 litros de gasolina.00 Ni 6 19 30 41 46 50 Fi 0.5 47.5 32.22 0.¿Cómo se forma una tabla de frecuencias? 13 .40 40 . .5 4 7 5 4 7 5 10 10 7 7. 3 4 2 3 4 2 3 3 2 4 3 2 2 2 3 4 1 1 3 3 3 1 2 4 2 5 2 2 1 2 2 5 2 1 2 1 2 3 5 1 3 3 3 2 1 2 1 4 3 2 5..5 5 7 7 8 12 7 10 12 5 8 5 7.¿En que casos utilizaría intervalos de amplitud diferentes? 12. que representan el número de habitaciones de 50 viviendas del municipio Plaza. obteniéndose la siguiente distribución: cuartos 0 100 100 200 200 300 300 400 # de hoteles 25 37 12 22 14 ...¿Cómo determinaría el número de intervalos o clases a considerar en una tabla de frecuencias? 11..5 7.Realizada una encuesta en una región del país.5 8 a) Diga qué tipo de variable es. se han agrupados los establecimientos hoteleros por el número de cuartos. 6.4.Investigados los precios por habitación de 50 hoteles del país se ha obtenido los siguientes resultados (en cientos de pesos): 7 5 4 3 7 3 7. 14...¿Es absolutamente privativo de las variables discretas la organización de los datos directamente a partir de los valores observados.¿Cómo se determina el recorrido de la variable? 9. ¿dónde la pondría y por qué? 13..A partir de los siguientes datos. que se están visitando para estudiar el grado de hacinamiento.Si una observación le coincide con un límite de clases.. 8.¿Qué pasos se deben dar para conformar una tabla de frecuencia? 7. construya una distribución de frecuencias e interprete 3 frecuencias absolutas y relativas simples y 3 frecuencias absolutas y relativas acumuladas..¿En casos de datos agrupados se cumple que: ∑ni = n y ∑fi = 1? Fundamente su respuesta.. o considera que una variable continua también podría organizarse de esta forma? Explique.5 7 15 3 5 8 4 5 4 4 7 7. b) Construya la distribución de frecuencias para esta variable.¿Se agrupan en intervalos de clase sólo las variables continuas? 10.5 5 4 8 5 3 3 7 7. ..¿Que tipo de variable es ésta? e...400 500 600 700 500 600 700 800 21 13 5 3 a. siendo ese el tipo de variable.Determine el número de establecimientos hoteleros con más de 300 cuartos.Determine el porcentaje de establecimientos que tienen más de 100 cuartos y hasta 400. la tabla de frecuencia es de esta forma? 15 . d.Represente gráficamente la distribución.¿Por qué. b. c.. mediana y moda. como puede ser la tendencia central. por μ (la letra griega miu) • en definiciones y demostraciones. diez y cien partes iguales. aunque menos usadas. Con frecuencia se utilizan. es decir. Un estadígrafo o estadístico es una medida descriptiva que resume alguna de las principales características de un conjunto de datos. por x • en la población. desviación típica y coeficiente de variación. más frecuentemente denominada sólo media. la moda y la media geométrica. es lo que comúnmente se conoce como promedio. Cuando un estadígrafo es calculado a partir de todos los datos poblacionales. se dice que es un parámetro poblacional. No obstante. la mediana. Estadígrafos de dispersión más usados: varianza. dicho en otras palabras. es posible la obtención de ciertas cantidades numéricas. Precisamente atendiendo al tipo de resumen que brindan los estadígrafos. entre las que se encuentran las cuartilas. aportan una información inicial sobre la población en estudio.ESTADÍGRAFOS O MEDIDAS DE POSICIÓN O TENDENCIA Los llamados estadígrafos de posición son medidas que informan sobre el centro de la distribución (tendencia central) o sobre valores significativos de ésta. Sin embargo. por M(x) A partir de la propia definición se deduce que la media en una muestra puede calcularse como: 16 . como las cuantilas. que son aquellos valores que dividen el conjunto de datos en cuatro. es el promedio o medida de tendencia central que se utiliza con mayor frecuencia.1. Se define como la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número de elementos.1. también se recurre en muchos casos a otras estadígrafos de posición que no son medidas de tendencia central. pero no suelen ser suficiente para describir a la misma. La organización de los datos y el análisis del comportamiento de los mismos mediante tablas o gráficos. MEDIA ARITMÉTICA (O MEDIA) La media aritmética. como las más importantes medidas de tendencia central. respectivamente.2: Medidas descriptivas o estadígrafos. La media se representa: • en la muestra. Estadígrafos de posición más usados: media. las decilas y los percentiles. la media aritmética. 1. es una medida de tendencia central. La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto central y por lo general es posible encontrar algún tipo de valor promedio que describa todo el conjunto. no en una muestra sino en toda la población. la dispersión o la forma. Un valor típico descriptivo como ese. denominadas estadígrafos o estadísticos. que caracterizan mejor el conjunto de datos.2. éstos suelen clasificarse. 22 0. y salvo eso. como se ve.45 45 .20 0. la expresión matemática empleada no se diferencia del caso en que los 17 . clases Xi ni fi Xini 20 .50 22.25 x = ∑ x i = (5 + 4 + 3 + 4 + 5 + 3 + 5 + 5 ) = 8 8 n Al trabajar con datos tabulados debe tenerse en cuenta que cada valor de la variable (Xi) se repite una determinada cantidad de veces (ni). EJEMPLO 2 (caso de datos agrupados.25 25 .5 190.20 0. y por tanto.5 42. creando columnas auxiliares.) Nota: Para los cálculos de la media en datos agrupados en clases se utilizan las marcas de clase.0 x= 1 1665 = 33.90 1.5 6 13 11 11 5 4 0.3 litros por auto.x= ∑ xi n ó x= 1 ∑ xi n (definición) EJEMPLO: Sea X las calificaciones de un estudiante: X: 5 4 3 4 5 3 5 5 Su promedio es.5 47.35 0.08 135.35 0.30 30 . la expresión matemática derivada de la definición de la media debe modificarse.22 0.70 0.10 0. el consumo promedio en el día fue de 33.5 357.5 212. por tanto: 34 1 1 = 4. como se muestra.10 Ni 4 7 14 18 20 Fi 0.26 0.12 0. continuación): Calcular el promedio de inasistencias para los 20 estudiantes del grupo analizado: Xi 0 1 2 3 4 ni 4 3 7 4 2 fi 0.35 35 . continuación): Calcular el consumo promedio diario de gasolina de los 50 taxis de la flota.00 Xini 0 3 14 12 8 37 x= 1 37 = 1.85 ∑ x in i = n 20 Nota: Es usual. multiplicando cada valor por su respectiva frecuencia.5 37.0 357.15 0.5 32. para facilitar los mismos.20 0.3 ∑ x in i = 50 n (O sea. x= 1 ∑ x in i x = ∑ x in i ó x = ∑ x i f i ó n n (en datos tabulados) EJEMPLO 1 (caso de datos no agrupados.5 412. cuando se efectúan cálculos utilizar la propia tabla de frecuencia.40 40 .0 1665.5 27. La moda cobra especial importancia en datos de tipo cualitativo. MODA La moda se define como el valor mas frecuente en un conjunto de datos.x ) = 0 (La media de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero. que se utiliza en ocasiones como medida de tendencia central. valores atípicos muy grandes conducirán a una media mayor que la real del conjunto. M(kx) = k M(x) (La media de una constante por una variable es igual a la constante por la media de la variable. se le llama desviaciones con respecto a la media.) 2. así.datos no están agrupados. como la media. Algo a tener en cuenta en este sentido es que si existen intervalos abiertos. M(x . o sea. Se denota por Mo(x) y puede no existir en una distribución (distribución amodal).) 5. De la quinta propiedad citada se deduce que la media es el centro de gravedad o el punto de equilibrio de la distribución. esto quiere decir que si hay algunos valores atípicos en el conjunto. el valor modal es el de mayor frecuencia. Una característica notable en la media es que ésta se ve afectada por la ocurrencia de valores extremos.) Cabe especificar que se le llama desviaciones a la diferencia entre los valores de una variable y un valor fijo. cuando este valor fijo es la propia media de la variable. el valor que correspondería a una distribución equitativa para todas las observaciones. PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIA: Algunas propiedades importantes y con utilidad práctica de la media son: 1.) 4.x )2 = mínimo. pues en ellos es imposible calcular otros estadígrafos de posición.) 6. M(k + x) = k + M(x) (La media de una constante más una variable es igual a la constante más la media de la variable. estos arrastran consigo el valor de la media. es decir. o existir más de una (distribución multimodal). M(x1 + x2) = M(x1) + M(x2) (La media de la suma de dos variables es igual a la suma de las medias de ambas variables. (La media del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media al cuadrado es un mínimo. M(k) = k (La media de una constante es igual a la propia constante. como a veces se presenta la primera o la última clase. la media no se puede calcular a menos que se modifiquen los mismos.) 3. mientras que valores muy pequeños provocarán que la media sea menor que la real. 18 . Esto no quita que también para datos cuantitativos suele ser de interés conocer el valor modal. M(x . 70 0. Pero si se quiere indicar un valor modal dentro de la clase modal. 5 } (conjunto bimodal) Mo(C) = Ø (conjunto amodal) Nota: Para el estudiante C ninguna nota es más frecuente que las demás.20 0. que son dos. y para muchos fines esto es suficiente. EJEMPLO 1 (caso de datos no agrupados. atendiendo a cuestiones geométricas. En datos tabulados es muy sencillo encontrar el valor o valores modales. porque la cantidad de inasistencias que más ocurre.35 0.15 0. EJEMPLO: Sean las calificaciones de tres estudiantes: A: 3 4 3 4 5 4 5 4 4 B: 3 4 5 4 5 4 5 5 4 C: 3 4 3 4 5 4 5 5 3 Organizando primeramente los datos se tiene: A: 3 3 4 4 4 4 4 5 5 B: 3 4 4 4 4 5 5 5 5 C: 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Mo(A) = 4 (conjunto unimodal) Mo(B) = { 4 . pues son aquellos que presentan la máxima frecuencia absoluta.20 0.35 0.90 1.Para determinar la moda a partir de datos primarios suele ser conveniente organizar primero estos. continuación): Determinar la moda de inasistencias para los 20 estudiantes del grupo analizado: Xi 0 1 2 3 4 ni 4 3 7 4 2 fi 0. es sencillo determinar la clase o clases modales existentes.20 0.00 nmod = 7 (frecuencia modal) Mo(X) = 2 Nota: La frecuencia modal es 7. se repite 7 veces en la muestra (o un 35% de las veces). Cuando se trabaja con datos agrupados en clases. que el mismo puede obtenerse a partir de la expresión: Mo ( x ) = L mod −1 + c ⋅ Siendo: Lmod-1: c: nmod: nmod-1: (n mod n mod − n mod −1 − n mod −1 ) + (n mod − n mod +1 ) el límite inferior de la clase modal el ancho de la clase modal (que en general es el de todas las clases) la frecuencia absoluta de la clase modal la frecuencia absoluta de la clase anterior a la modal 19 . por eso no tiene valor modal.10 Ni 4 7 14 18 20 Fi 0. se ha determinado. conformando lo que se llama un arreglo ordenado. o sea.5 ni 6 13 11 11 5 4 fi 0.10 0. Para calcular la mediana a partir de un conjunto de datos en su forma primaria.5 32. no tiene necesariamente que existir.22 0.nmod+1: la frecuencia absoluta de la clase siguiente a la EJEMPLO 2 (caso de datos agrupados. atendiendo al número de observaciones. según las dos siguientes reglas: Regla 1: Si el tamaño de la muestra es un número impar.40 40 . ni tiene que ser única.89 9 CARACTERÍSTICAS DE LA MODA: A diferencia de la media. Se denota por Me(x). como se ha visto.5 37.35 35 .25 25 .12 0. aunque es menos frecuente este uso.26 0. continuación): Calcular el valor modal para el consumo diario de gasolina de los 50 taxis de la flota. Además. la moda no se afecta ante la presencia de valores extremos.5 47. La moda.89 = 28. después. como aquel valor que supera hasta un 50% de las observaciones y a la vez es superado por hasta un 50 % de las observaciones.5 42.50 Xi 22.30 Para determinar un valor modal puntual se parte de la clase modal: Mo ( x ) = L mod −1 + c ⋅ Mo ( x ) = 25 + 5 ⋅ (n mod n mod − n mod −1 13 − 6 = 25 + 5 ⋅ (13 − 6 ) + (13 − 11) − n mod −1 ) + (n mod − n mod +1 ) 7 = 25 + 3. llamando valor modal a aquel donde exista un máximo relativo en la distribución de frecuencias.45 45 .30 30 . 20 . clases 20 . esto es. se puede buscar la posición del valor mediano en el arreglo ordenado.22 0.5 27.08 nmod = 13 clase modal: 25 . donde: ni – 1 < ni >ni + 1 MEDIANA La mediana se define como el valor central de un grupo de datos ordenados. es necesario antes ordenarlos. la moda puede ser definida en forma relativa. la mediana está representada por el valor numérico correspondiente a la posición del centro de las observaciones ordenadas. 21 .90 1. continuación): Determinar la mediana para las inasistencias de los 20 estudiantes del grupo analizado: Xi 0 1 2 3 4 ni 4 3 7 4 2 fi 0. que es la primera frecuencia absoluta acumulada que iguala o supera a n/2 (representada por Nmed). 2. Encontrar la denominada frecuencia mediana. (Esto. si la frecuencia mediana encontrada supera a n/2.5 Para determinar la mediana en datos tabulados pero sin agrupar en clases se puede proceder de la siguiente manera: 1. Determinar la fracción n/2. porque es la primera frecuencia absoluta acumulada que sobrepasa a n/2 = 10. Me(x) = Xmed (Es decir.20 0.20 0. la mediana es el promedio del valor de X al que le corresponde dicha frecuencia en la tabla con el valor de X siguiente) EJEMPLO 1 (caso de datos no agrupados.Regla 2: Si el tamaño de la muestra es un número par. si la frecuencia mediana encontrada coincide con n/2.10 Ni 4 7 14 18 20 Fi 0. y entonces: • Si Nmed > n/2. estrictamente hablando. la mediana es el valor de X al que le corresponde dicha frecuencia en la tabla) • Si Nmed = n/2. será la semisuma o promedio de los dos valores centrales de las observaciones ordenadas. se tiene: SI: 3 4 4 5 5 5 5 Me(x) = 5 SII: 3 4 4 4 5 5 5 5 Me(x) = (4 + 5)/2 = 4.70 0.15 0.20 0. es un convenio adoptado.35 0. entonces el valor mediano. Me(x) = (Xmed + Xmed+1)/2 (Es decir. que ubica el centro de la distribución. pues cualquier valor entre los dos valores centrales podría ser considerado como un valor mediano) EJEMPLO: Sean las calificaciones de un estudiante en dos semestres: SI: 5 3 5 4 4 5 5 SII: 5 3 5 4 4 5 5 4 Ordenando los datos.35 0.00 n/2 = 10 Nmed = 14 ( >10 ) Me(X) = 2 Nota: La frecuencia mediana es 14. En el caso de datos agrupados en clases. de esta manera.25 25 .50 22. a pesar de que han coincidido en el valor de la recaudación media mensual: la primera de ellas es mucho más estable en su comportamiento que la segunda… Esto sería útil conocerlo a través de alguna medida resumen.35 n − Nmed−1 25 − 19 6 Me( x ) = Lmed−1 + c ⋅ 2 = 30 + 5 ⋅ = 30 + 5 ⋅ = 30 + 2.5 42. es por ello que cuando éstos existen ella es más representativa que la media como medida de tendencia central.ESTADÍGRAFOS O MEDIDAS DE DISPERSIÓN A pesar de toda la información que brindan los estadígrafos de posición. 22 . mientras que la otra ha oscilado bastante en sus recaudaciones alrededor de ese valor medio.5 32.5 6 13 11 11 5 4 6 19 30 41 46 50 Nmed = 30 clase mediana: 30 . pero otros.2.45 45 . junto con el valor de la media.5 37. continuación): Calcular el valor mediano para el consumo diario de gasolina de los 50 taxis de la flota.73 nmed 11 11 CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA: La mediana no se ve afectada por datos extremos.35 35 . sobre esa clase se aplica la siguiente expresión: n −N med−1 Me( x ) = L med−1 + c ⋅ 2 nmed Siendo: Lmed-1: c: Nmed-1: nmed: el límite inferior de la clase mediana el ancho de la clase modal (que en general es el de todas las clases) la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase anterior a la mediana la frecuencia absoluta de la clase mediana EJEMPLO 2 (caso de datos agrupados. se determina ante todo una clase mediana.2. no basta con ellos para caracterizar un conjunto de datos: Téngase por caso dos empresas que reportan el mismo promedio de recaudaciones mensuales. habiendo recaudado unos meses mucho más que dicho valor.73 = 32.40 40 .30 30 . mucho menos.5 27. no puede decirse que ambas empresas tiene el mismo comportamiento. como aquella cuya frecuencia absoluta acumulada sobrepasa a n/2. siendo que una de ellas esto se debe a que todos los meses ha recaudado esa misma cantidad. y si quiere un valor mediano. 1.5 47. clases Xi ni Ni 20 . es la medida de dispersión más usada. al igual que en los cálculos de la media. Por sus propiedades. los estadígrafos de dispersión son medidas que describen cómo se distribuyen los datos alrededor de alguno de sus valores representativos. VARIANZA La varianza de un conjunto de datos se define como la media o promedio del cuadrado de las desviaciones de la variable respecto a su media. la desviación típica y el coeficiente de variación. Por tanto. por V(x) De la definición de la varianza se desprende que ésta. por S2 • en la población. las medidas de posición no dicen mucho si no están acompañadas de medidas de dispersión o variabilidad. al cuadrado) • en definiciones y demostraciones. puede calcularse como: ∑ (x i − x ) n 2 S2 = ó S2 = 1 2 ∑ (x i − x ) n (definición) EJEMPLO: Sea X las calificaciones de un estudiante: X: 5 4 3 4 5 3 El promedio es: x = 4 Por tanto. en una muestra. La varianza se representa: • en la muestra.67 6 6 S2 = [ ] ] Al trabajar con datos tabulados debe tenerse en cuenta. principalmente alrededor de su media. Entre las medidas de dispersión más empleadas destacan la varianza.Precisamente. y por tanto. la expresión matemática derivada de la definición debe modificarse. y base para el cálculo de otras. porque a través de estas últimas es que se puede determinar si la medida de posición es significativa o representativa de la distribución. por σ2 (la letra griega sigma. la varianza es: [ 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ∑ (x i − x ) = (5 − 4 ) + (4 − 4 ) + (3 − 4 ) + (4 − 4 ) + (5 − 4 ) + (3 − 4 ) n 6 1 4 2 2 S 2 = 12 + 0 2 + (− 1) + 0 2 + 12 + (− 1) = = 0. como se muestra: 23 . que cada valor de la variable (Xi) se repite una determinada cantidad de veces (ni). 45 45 .1675 0.35 0.) 2.40 40 . y esto hace que no se le pueda dar una interpretación realista a dicho estadígrafo. V(kx) = k2 V(x) (La varianza del producto de los valores de una variable por una constante es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.55 2 2 5.∑ (x i − x ) n i S = n 2 2 ó S2 = 1 2 2 ∑ (x i − x ) n i ó S 2 = ∑ (x i − x ) fi n (en datos tabulados) EJEMPLO 1 (caso de datos no agrupados. se expresa en unidades cuadráticas respecto a la variable de la que procede.5500 Nota: Algunos cálculos se han organizado utilizando la propia tabla de frecuencias. EJEMPLO 2 (caso de datos agrupados.4 ∑ (x i − x ) n i = n 50 PROPIEDADES Y CARACTERÍSTICAS DE LA VARIANZA: Algunas propiedades importantes y con utilidad práctica de la varianza son: 1.5 47.20 0.85 Por tanto: 13.0450 Se tiene que: x = 33.00 (x i − x )2 ni Se tiene que: x = 1.5779 191.25 25 .70 0.) 3.) 4.30 30 . 24 .50 22.3 Por tanto: S2 = 1 2568 .) La varianza.10 Ni 4 7 14 18 20 Fi 0.2779 420.5 6 13 11 11 5 4 n=50 703.15 0. V(x ± k) = V(x) (La varianza de la suma de los valores de una variable más una constante es igual a la varianza de la variable.35 0.5 32. dada la manera en que se define y calcula.20 0. continuación): Calcularla varianza para el consumo diario de gasolina de los 50 taxis de la flota.6900 2.5 42.1556 2568.7334 441.4445 803.8557 7.5 27.1575 1 30.045 2 = 128 . continuación): Calcular la varianza en las inasistencias para los 20 estudiantes del grupo analizado: Xi 0 1 2 3 4 ni 4 3 7 4 2 fi 0.90 1. clases Xi ni (x i − x )2 ni 20 .5 37.2450 30. V(k) = 0 (La varianza de un grupo de datos constante es igual a cero.20 0.53 9.35 35 .2900 S = n ∑ (x i − x ) n i = 20 = 1. V(x) ≥ 0 (La varianza es un número no negativo. se dice que es una medida de dispersión absoluta: mientras mayor es la varianza en un conjunto de observaciones. El coeficiente de variación se define como el cociente de la desviación típica entre la media. Se denota por CV(x). resulta conveniente contar con otro estadístico que basado en el valor de la varianza sirva para dar una medida de la dispersión en las mismas unidades o dimensiones en que están expresados los datos y este estadístico es la desviación típica. indica el grado de dispersión de los datos. Este estadístico es el denominado coeficiente de variación.1¢ La desviación típica es una magnitud no negativa. mayor es su dispersión. si una varianza nula indica que todas las observaciones coinciden en un mismo valor. COEFICIENTE DE VARIACIÓN En ocasiones resulta necesario contar con un estadígrafo que refleje la dispersión sin depender de la magnitud de las observaciones. y con el misma interpretación que la varianza en cuanto a medida de dispersión absoluta. Se denota por S en la muestra y por σ en la población: S = S2 EJEMPLO: Sea X el precio de venta. DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR Puesto que la varianza pierde interpretación por estar su resultado en unidades cuadráticas. esto es que sea un valor relativo. por el contrario.No obstante. pues la extracción de la raíz no lo permite. en centavos. la desviación estándar es: S = S 2 = 26 = 5. pero no cumple las restantes propiedades matemáticas de aquella. La desviación típica o desviación estándar se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. los distintos jabones de una marca dada: X: 40 35 45 50 40 El precio promedio para la marca es: x = La varianza es: S 2 = 1 40 + 35 + 45 + 50 + 40 = 42 ¢ ∑ xi = n 5 1 130 2 = 26 ¢ 2 ∑ (x i − x ) = n 5 Por tanto. y en forma matemática puede expresarse: 25 . la varianza. o incluso entre variables expresadas en las mismas unidades pero con diferencias significativas en sus valores medios. Esta necesidad surge generalmente cuando se comparan las dispersiones entre varios conjuntos expresados en unidades diferentes. por la misma forma en que se define y calcula. por carecer de unidades. Aquí cobran especial importancia los coeficientes de variación.5 = 0...7%) que en la estatura de los niños (6.107 = 10. por el hecho de que la desviación estándar para dicha variable es 10. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1..¿Qué desventajas se le pudiera atribuir a la media? 4. y se desea saber cuál de las dos variables tiene mayor variabilidad.CV( x ) = Sx x Del coeficiente de variación se dice que es una medida de dispersión relativa..5 kg = 110 cm S X = 10.¿Qué indican las medidas de tendencia central? 2.8% 155 CV( Y ) = 4. pues las unidades en que están expresadas ambas no son comparables.¿Cuál de los dos estadísticos. que quedan: CV( X) = 10..¿Cómo se define la moda? 7.8%).5 mientras que para el peso es 4.¿En que casos considera útil utilizar la moda? 26 . 6. o una medida de la variabilidad de los datos.5 = 0. EJEMPLO: Sea cuenta con datos del peso y la estatura de un grupo de 20 niños entre 8 y 10 años.¿Cómo se define la mediana? 5. Muchas veces su valor se multiplica por 100.¿Cómo se define la media aritmética? ¿Cuáles son sus propiedades? 3..5. X: estatura (cm) Y: peso (kg) X = 155 cm S 2X Y = 42 kg 2 S 2Y = 20 kg2 S Y = 4. considera que es mejor para representar el promedio? Explique su respuesta.5 cm En este caso no tiene sentido decir que hay mayor dispersión en términos absolutos en la estatura. para expresar el resultado en porciento.7% 42 De ello resulta que hay mayor variabilidad en el peso (10. media y mediana.068 = 6.. Calcule la media.. 264. El resultado en horas de funcionamiento fue: 342..Examinando los registros de cuentas mensuales de una empresa que vende libros por correo. 562. 545. la desviación típica y el coeficiente de variación.Un fabricante de pilas para linternas tomó una muestra de 13 piezas de la producción de un día y las utilizó de forma continua hasta que comenzaron a fallar. c. 512..¿Cómo se define el coeficiente de variación? ¿Cómo se interpreta este coeficiente? 14.¿Cuándo y porqué utilizaría la desviación típica en vez de la varianza? 13. 298 a.... 631.Utilizando la información anterior ¿qué se aconsejaría al fabricante si él deseara anunciar que sus baterías duran 400 horas? 16.¿Qué indican las medidas de dispersión? 9. el auditor toma una muestra de 20 de esas cuentas no pagadas (dadas en cientos de pesos)... 1049. 266. Li-1 10 15 20 25 30 Li 15 20 25 30 35 ni 4 6 7 2 1 27 . ¿Qué medidas descriptivas parecen ser las mejores y cuales las peores? ¿Por que? b.¿Cómo se define la desviación típica? ¿Cómo la interpretaría en general? 12. la mediana y la moda. 317..8.¿Cuáles son las ventajas del coeficiente de variación sobre la desviación típica? 15. 492. 10. c.. la mediana y la moda. 451.Calcule la media. 426. Los adeudos de la empresa eran: a. b...¿Cómo se define la varianza? Mencione algunas de sus propiedades..Calcule la varianza y el coeficiente de variación e interprete los resultados..A que conclusión llegaría acerca de la empresa conociendo que tiene 370 facturas pendientes de pago.Calcule la varianza..¿Cómo interpretaría el resultado de la varianza? 11. TEMA II: PROBABILIDADES. 2.1: Introducción a los fenómenos y experimentos aleatorios. Espacio muestral y sucesos. Clasificación de sucesos. Definición clásica de Probabilidad. Definición estadística de Probabilidad. La Teoría de las Probabilidades surge en el siglo XVII, relacionada con problemas de los juegos de azar, y entre sus principales precursores estuvo el matemático Pascal, junto con Fermat, Huygens y Bernoulli; algo después se sumó la importante contribución de De Moivre, Gauss, Laplace y Poisson. Esta teoría se encarga del estudio de las leyes que rigen el comportamiento de los fenómenos aleatorios, y es la base de la inferencia estadística, de ahí la necesidad de su estudio si se quiere pasar de la mera descripción al trazado de predicciones. Para desarrollar la teoría de las probabilidades es preciso establecer la barrera entre el determinismo y la necesario aleatoriedad o azar: Un fenómeno o experimento es determinista cuando se puede predecir con total exactitud el resultado del mismo a partir del conocimiento de las condiciones iniciales; así, los fenómenos y experimentos de que se ocupan ciencias exactas como la física y la química son deterministas. Un fenómeno o experimento es, por el contrario, aleatorio cuando no se puede predecir con exactitud el resultado del mismo aunque se conozcan las condiciones iniciales; esto es lo que por lo general ocurre en el campo de las ciencias económicas y sociales. Según lo dicho, si se va a dejar caer un dado desde una altura determinada, el hecho de que se conozca cuál es la altura permitiría determinar antes y con exactitud, sobre la base de leyes físicas, con qué velocidad llegará el dado al suelo, lo que hace de ésta una observación determinista; sin embargo, no sería posible predecir con total certeza qué cara del dado quedará hacia arriba, siendo esta otra una observación aleatoria. Se plantea que la estadística es la tecnología del método científico que proporciona instrumentos para la toma de decisiones, cuando estas se adoptan en ambiente de incertidumbre y siempre que pueda ser medida en términos de probabilidad. Luego es una ciencia que estudia los fenómenos aleatorios. La probabilidad, en una aproximación intuitiva, puede definirse como una medida cuantitativa de que las posibilidades pueden llegar a ser realidades. TERMINOLOGÍA ASOCIADA A LOS EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Para llegar a una definición más rigurosa de lo que lo que es probabilidad resulta útil dominar algunos conceptos vinculados justamente con lo no medible con exactitud, con lo aleatorio: Espacio muestral: Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Se suele representar con “S”, mayúscula, y utilizando la notación de la Teoría de Conjuntos. La cantidad de elementos (puntos muestrales) que conforman el especio muestral es denominada “tamaño del espacio muestral”, y se representa como N(S). Ej. 1: Lanzamiento de una moneda... S: { C ; E } donde C: Cara E: Escudo 28 N(S) = 2 S: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } N(S) = 6 Ej. 2: Lanzamiento de un dado... Cuando el experimento consta de observaciones sucesivas (a esto se le denomina experimento de muestreo), el espacio muestral es la combinación de los posibles resultados en cada una de las observaciones, y para determinar el mismo se pueden utilizar los llamados diagramas de árbol. En un diagrama de árbol se ordenan las diferentes observaciones y se establecen los posibles resultados para cada observación atendiendo a las observaciones anteriores. Ej. 3: Lanzamiento de dos monedas S: { CC ; CE ; EC ; CC } N(S) = 4 El espacio muestral puede ser finito o infinito según el conjunto tenga un número finito o infinito de elementos (puntos muestrales). Punto muestral: Es cada uno de los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Suceso o evento: Cualquier característica observada como resultado de un experimento o fenómeno, y es aleatorio si tiene tanto posibilidad de ocurrir o como de no ocurrir; o sea, es una colección cualquiera de puntos muestrales. Se utilizan letras mayúsculas para representarlos, exceptuando la S. Para establecer relaciones de sucesos con el espacio muestral o entre ellos mismos se utilizan los diagramas de Venn. En un diagrama de Venn se suele representar el espacio muestral como un rectángulo, y dentro de este, con círculos u otras formas geométricas los diferentes sucesos de interés, así: S A Ejemplos de sucesos, en el experimento del lanzamiento de un dado son: A: Que salga el 6. B: Que salga un número > 3 C: Que salga un número ≤ 2 D: Que salga un número par E: Que salga un número impar F: Que salga un número primo G: Que salga un número < 10 H: Que salga un número > 6 A={6} B = { 4; 5; 6 } C = { 1; 2 } D = { 2; 4; 6 } E = { 1; 3; 5 } F = { 1; 2; 3; 5 } G = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } (= S ) H = ø (conjunto vacío) 29 Los sucesos pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios; así, en dependencia de la cantidad de puntos muestrales que lo constituyen se habla de sucesos simples y compuestos: Suceso simple: Es aquel que consta de un solo punto muestral. (En el ejemplo anterior, el suceso A.) Suceso compuesto: Es aquel que tiene dos o más puntos muestrales. (En el ejemplo anterior, los sucesos del B al G.) Atendiendo a su ocurrencia, se puede hablar de sucesos seguros o ciertos y de sucesos imposibles o nulos: Suceso seguro o cierto: Es aquel cuya ocurrencia es inevitable, que siempre va a ocurrir. (En el ejemplo anterior, el suceso G: al lanzar un dado siempre saldrá un número del 1 al 6.) Los sucesos seguros coinciden con el espacio muestral. Suceso imposible o nulo. Es aquel que nunca ocurrirá. (En el ejemplo anterior, el suceso H.) Los sucesos imposibles constituyen conjuntos vacíos. Además, en función del vínculo de un suceso o evento con otros existen las siguientes denominaciones: Subevento: A es un subevento o subsuceso de B si todos los puntos muestrales de A están incluidos en B, o sea, A ⊂ B. (En el ejemplo anterior: A ⊂ B, A ⊂ D, C ⊂ F, E ⊂ F.) A⊂B Sucesos complementarios: Un suceso es complementario de otro suceso A, si está formado por todos los puntos del espacio muestral que no están incluidos en A; se dice entonces que ese suceso es el complemento de A, y se denota por A' o Ac. (En el ejemplo anterior se tiene para A = { 6 } que el complemento es A’ = { 1; 2; 3; 4; 5}.) Sucesos excluyentes: Dos sucesos se dice que son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro, por lo tanto dichos sucesos no tienen puntos en común. (En el ejemplo anterior son excluyentes A y C, B y C, D y E.) 30 las más usadas son: • Intersección o producto: La intersección de los sucesos A y B da como resultado un suceso que consiste en la ocurrencia simultánea de ambos. entre ellas.) Nota: Un caso particular de sucesos exhaustivos son los complementarios. 6 } B ∩ D ≡ BD 31 . lo contrario no necesariamente ocurre. 5. Sucesos no excluyentes: Dos sucesos son no excluyentes si pueden ocurrir simultáneamente. Todos los sucesos complementarios son excluyentes. (En el ejemplo anterior son no excluyentes A y B. C y D. (En el ejemplo anterior son no exhaustivos: D y E. es decir. D y F. Se denota por A ∩ B ó AB.) Sucesos exhaustivos: Se dice que dos sucesos son colectivamente exhaustivos cuando la ocurrencia de ambos abarca el espacio muestral. C y E. 6 } (que salga un número mayor que 3) y D = { 2. 6 } (que salga un número par). es decir: B ∩ D ≡ BD = { 4. lo contrario no necesariamente ocurre. etc. siendo B = { 4. es decir. Todos los sucesos complementarios son exhaustivos.Nota: Un caso particular de sucesos excluyentes son los complementarios. 4.: En el lanzamiento del dado. la intersección es el suceso dado por que salga un número par y mayor que tres. B y D. OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Para establecer la relación entre diferentes sucesos se recurre a las operaciones definidas por el álgebra booleana en la propia Teoría de Conjuntos. que contiene los puntos muestrales contenidos a la vez en A y en B. si tienen puntos en común. Ej. 4. que no ocurra A. 6 } C’ ≡ Cc DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD: En el siglo XIX. 2 } (que salga un número menor o igual que 2). la unión es el suceso dado por que salga un número par o mayor que tres. Ej. es decir. 4. Se denota como A’ ó Ac. que establece que: Si S es un espacio muestral finito y todos los puntos muestrales son equivalentes o igualmente representativos.: En el lanzamiento del dado. es decir que contiene todos los puntos muestrales contenidos en A o en B (o en ambos). N(A) = 1 P(A) = 1/6 = 0. Ej.• Unión o suma: La unión de dos sucesos A y B da como resultado un suceso que consiste en la ocurrencia de al menos uno de los dos sucesos. entonces la probabilidad de ocurrencia de cualquier suceso A definido en S puede calcularse como el cociente del número de resultados favorables al suceso A (tamaño del suceso) entre el número de resultados posibles (tamaño del espacio muestral). 6 } (que salga un número par). Laplace formula la que es conocida como definición clásica de probabilidad.167 La probabilidad de obtener un número par será: D: Que salga un número par N(D) = 3 P(D) = 3/6 = 0. concretamente en el año 1812. siendo B = { 4. 5.5 32 . 6 } B∪D • Complemento o negación: El complemento de un suceso A da como resultado su suceso complementario. el complemento unión es el suceso dado por que salga un número mayor que 2.: En el lanzamiento del dado. 5. 4. siendo C = { 1. es decir: B ∪ D = { 2. 6 } (que salga un número mayor que 3) y D = { 2. así: P( A ) = N( A ) N(S) Ejemplos: La probabilidad de obtener el número 6 al lanzar un dado será: A: Que salga el 6. Se denota por A ∪ B ó A + B. es decir: C’ = { 3. 5. Esta definición también tiene limitaciones. se espera que el arquero haga blanco un 70% de las veces que tire. por ejemplo. como medida de la posibilidad de ocurrencia de un suceso. se comenzaron a realizar experimentos con los juegos de azar. 1000 veces). porque si no se realiza el experimento no se puede calcular la misma. cumple las siguientes propiedades: • • P(A) ≥ 0 P(S) = 1 33 . Entonces: P(A) = 70/100 = 0.La definición clásica también se conoce como definición a “priori” de probabilidad. DEFINICIÓN ESTADÍSTICA DE PROBABILIDAD: Debido a las limitaciones que confronta la definición clásica de probabilidad. porque no es necesario realizar el experimento para calcular la probabilidad de ocurrencia. dadas por lo siguiente: ¾ No siempre es posible repetir un experimento un mismo número de veces bajo las mismas condiciones. y se quiere conocer la probabilidad de que haga blanco en un nuevo tiro. surgiendo el concepto de regularidad estadística. surge la definición estadística de probabilidad que plantea: Si el número de observaciones (n) tiende a infinito. La definición estadística o frecuencial además se conoce como definición “a posteriori” de probabilidad. alcanza un cierto valor límite o ideal. igualmente probables. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: La probabilidad. No puede ser aplicada cuando los puntos muestrales no son equiprobables. si una moneda se lanza un gran número de veces (500. o lo que es lo mismo. A partir de la regularidad estadística. la frecuencia relativa asociada a un suceso A (fA). Sea A: acertar en el blanco Se tiene que n = 100 y nA = 70. Se le llama regularidad estadística a la estabilidad que presentan las frecuencias relativas asociadas a un suceso al considerar un gran número de veces un experimento bajo las mismas condiciones. y mientras más lanzamientos se haga más tenderá este valor al 50%. así: P( A ) = lim n→ ∞ nA = lim f A n n→ ∞ Ejemplo: Un arquero ha acertado 70 veces en un blanco de un total de 100 intentos. No puede ser aplicada a espacios muestrales infinitos. 2. se observará que aproximadamente el 50% de estas veces sale cara.70 O sea. y entonces puede asociarse a un número P(A) equivalente a la probabilidad de ocurrencia de A. Esta definición tiene las siguientes limitaciones: 1. ¿Cuáles son los sucesos mutuamente excluyentes? 4.¿Cual es la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria . c. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1.¿Puede calcularse probabilidad a partir de un experimento determinista?. resultará un número (un valor porcentual) entre 0 y 100. 3.¿Qué es un experimento aleatorio? 2. b.. lógicamente..Explique la diferencia entre unión e intersección y proporcione un ejemplo de cada uno.4 no disfrute ir de compras? c..¿Cómo se define la probabilidad clásicamente? ¿Bajo que condiciones puede aplicarse? 7.6 sea hombre y no disfrute ir de compras? c. De 240 hombres 136 contestaron que sí.¿Cuáles son los sucesos complementarios? 5.¿Cómo se define la probabilidad estadística o frecuencialmente? 8. 6.5 sea mujer y disfrute ir de compras? c....2 disfrute ir de compras? c.9 sea hombre o no disfrute ir de compras? 34 .8 sea mujer o disfrute ir de compras? c. Entre las preguntas hechas se encontraba: “¿disfruta ir de compras?”... de 260 mujeres 224 contestaron que sí.. y de esta forma.Lo anterior implica que: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Nota: Es común multiplicar las probabilidades por 100 para expresarlas porcentualmente...De un ejemplo de un evento simple.3 sea mujer? c. Explique.7 sea hombre y disfrute ir de compras? c..¿Cuál es el complemento de disfrutar ir de compras? c. a..¿Cuáles son las limitaciones de ambas definiciones? 9..En una amplia red metropolitana se seleccionó una muestra de 500 entrevistados para determinar diversas informaciones relacionadas con el comportamiento del consumidor.1 sea hombre? c. y donde la aplicación directa de alguna de las definiciones de este concepto parece prácticamente imposible. P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . la regla de la unión referida a tres sucesos queda: 35 . Existen múltiples situaciones complejas en las que es necesario o deseable conocer la probabilidad de ocurrencia de un determinado suceso. P(S) = 1 3.. Entonces..P(AB) Este teorema es conocido como “regla de la unión”. P(A') = 1 . TEOREMAS ASOCIADOS AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES: De los axiomas establecidos para la probabilidad se derivan algunos teoremas que encuentran aplicación directa en el cálculo de probabilidades. A y B.. se dirá. llamado probabilidad de A. El mismo puede generalizarse para más de dos sucesos. será: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) . Independencia de sucesos..P(AB) Teorema 5: La probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos. ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + . en 1933 se axiomatiza la probabilidad a partir de la formulación de tres axiomas básicos. si S es un espacio muestral y A un suceso definido en S. de ahí que la teoría en torno a las probabilidades continuase desarrollándose para encontrar solución a estos casos. dando lugar a numerosos teoremas y reglas. menos la probabilidad de A. Reglas de cálculo de probabilidades.2. P(A) ≥ 0 2.P (A) Teorema 4: La probabilidad de que ocurra A y no ocurra B será: P(AB') = P(A) . que es igual a 1 ( P(S) = 1 ). el cual cumplirá con los siguientes axiomas: 1. Probabilidad condicional.2: Axiomatización de la Probabilidad. + P(Ak) si los k sucesos son excluyentes o lo que es lo mismo si para cada par Ai y Aj se tiene que AiAj = ø siendo i ≠ j. entre los más usados están: Teorema 1: La probabilidad de un suceso imposible o nulo es cero: P(∅) = 0 Teorema 2: Si A es un subconjunto de B entonces P(A) ≤ P(B) Teorema 3: La probabilidad del suceso complementario al suceso A es igual a la probabilidad del espacio muestral. por ejemplo. Dadas las limitaciones que presentan las dos definiciones previas. que todo suceso A definido en S está asociado a un numero real P(A). por tanto: N(GJ) = 45..P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) .P(GJ) = 0. sino sólo aquella parte o subconjunto de aquel que coincide con la realización del suceso condicionante.. La probabilidad así calculada se le llama probabilidad condicional.48 b. por tanto: N(J) = 105..P(AC) . A y B.42 .045 a. a. será: P(A’B’) = 1 .42 P(J) = 0. por tanto: P(G) = 0.045 = 0.0.105 P(GJ) = 0. 105 leen Juventud Rebelde y 45 leen ambos periódicos.¿Qué probabilidad hay de que lea sólo Granma? Sean los sucesos: G: leer Granma J: leer Juventud Rebelde.P(G ∪ J)' = 1 .P(GJ') = P(G) .¿Qué probabilidad hay de que el habanero seleccionado no lea ninguno de los periódicos? c..105 .. b.0.¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un habanero del grupo y lea Granma o Juventud Rebelde.P(AB) . o “probabilidad de A si ocurre B”.48 = 0.52 c. que se lee “probabilidad de A dado B”.P(BC) + P(ABC) Teorema 6: La probabilidad de que no ocurra ninguno de dos sucesos.42 + 0. esto quiere decir que ya no interesa la totalidad del espacio muestral.P(G ∪ J) = 1 . Matemáticamente se puede calcular la probabilidad condicional como el cociente de la probabilidad de intersección de los dos sucesos entre la probabilidad del suceso condicionante: 36 .. Para representar la probabilidad condicional de un suceso A respecto a otro B (condicionante o condición) se utiliza la el símbolo P(A/B).045 = 0.P(A ∪ B) Ejemplo: De un grupo de 1000 habaneros: 420 leen Granma.385 PROBABILIDAD CONDICIONAL: Muchas veces surge la necesidad de calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso asumiendo la ocurrencia de otro. que puede ser llamado condicionante.P(G ∪ J) = P(G) + P(J) + P(GJ) = 0.0. Se tiene: N(S) = 1000 N(G) = 420. Que las dos piedras sean esmeraldas c.Solo una sea esmeralda. entonces se tienen que expresar las dos combinaciones posibles que hay: P(AB) = P(A1 B2 ) + P(B1 A2 ) Ejemplo.20 b. se puede expresar como: P(AB) = P(A) P(B/A) P(AB) = P(B) P(A/B) De la misma forma: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB) Luego la regla del producto expresa la probabilidad de que ocurran A y B en un orden determinado: P(AB)=P(A)P(B/A) que primero salga A y en segundo lugar salga B ó P(AB)=P(B)P(A/B) que primero salga B y en segundo lugar A Si no interesa el orden. Sean los sucesos: A: terminar bien el 1er año de Inglés B: terminar bien el 2do año de Inglés Entonces: P(B / A ) = Se sabe que: P(A)=0. sino que salga una vez A y una vez B. a.. además que piden orden.. de acuerdo a la definición de probabilidad condicional. b.5% termina bien los dos años de estudio.595 = = 0.85 P( A ) 0.70 REGLA DEL PRODUCTO: Si A y B son sucesos definidos en S. 3/4 = 16/20 = 6/10 = 0. Calcule la siguiente probabilidad.Que la 1ra piedra sea esmeralda y la 2da brillante.. a.. Solución: como es sin reposición las extracciones. 1/4 = 4/20 = 1/5 = 0. la probabilidad de AB.. Se quiere determinar la probabilidad de que un estudiante termine bien el segundo año.P(E1 B2 )= P(E)P(B/E) = 4/5 . entonces los sucesos son dependientes.P( A / B) = P( AB) P(B) También se puede calcular la probabilidad condicional directamente a partir del tamaño de los sucesos: N( AB) P( A / B) = N(B) Ejemplo: En una escuela de idiomas se ha visto que el 70% de los estudiantes termina bien el primer año de Inglés. De una urna que contiene 4 esmeraldas y 1 brillante.. y que un 59. sin reposición.70 P(AB)=0. una a una.P(E1 B2 ∪ B1 E2) = P(E)P(B/E) + P(B)P(E/B) 37 .P(E1 E2)= 4/5 . se extraen 2 piedras.6 c.595 P( AB) 0. 40 P(B)=0.20 ¿Y cuál será la probabilidad.= 4/5 . no depende de que salga cara o no en el segundo lanzamiento. Si de la caja de 100 piezas en la primera extracción sale una pieza defectuosa. la probabilidad de que salga cara en el primer lanzamiento. es decir.42 P(C)=0. pues lo que ocurre en la segunda extracción es independiente de lo que ocurre en la primera (y así con las sucesivas.4 INDEPENDENCIA DE SUCESOS: Dos sucesos A y B se llaman independientes. en la segunda extracción. no depende de la ocurrencia o no del otro. 1/4 + 1/5 . es fácil decidir si dos sucesos son independientes o no. sin reponer la primera pieza tomada. Por tanto. 4/4 = 4/20 + 4/20 = 8/20 = 4/10 = 0. Dos sucesos son independientes si se cumple alguna de las siguientes igualdades: 1. será 19/99. de obtener también una pieza defectuosa? P=20/100=0. Para otros experimentos aleatorios. Pero si no se repone. Generalmente para los juegos de azar. esto es debido a que se repuso la primera pieza. pero si lo que sale en la primera extracción es una pieza en buen estado. se hacen las observaciones “sin reposición” la probabilidad de cada observación depende de las anteriores. cuando la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos. P(AB) = P(A) P(B) Se debe aclarar que sólo se puede comprobar independencia a través de esta última fórmula si se tienen las 3 probabilidades y comprobar si la intersección es igual al producto de la probabilidad de ambos sucesos. si hay más). Un ejemplo de independencia es el siguiente: Si se lanza una moneda dos veces.15 P(A/B)=0 P(A/C)=0 P(C/B)=0 38 . Ejemplo. entonces la probabilidad de pieza defectuosa en la segunda extracción será 20/99. P(B/A) = P(B) 3. es decir exactamente igual. se debe tener más cuidado. Ejemplo: Si una caja contiene 100 piezas de las cuáles 20 son defectuosas y se extraen aleatoriamente 2 piezas una a una (con reposición). ¿Cuál será la probabilidad de obtener una pieza defectuosa en la primera extracción?: P=20/100=0. cuando las observaciones son con reposición se puede considerar que son independientes.20. P(A/B) = P(A) 2. Si se tienen 3 sucesos definidos en un espacio muestral S y se conoce que: P(A)=0. la probabilidad de pieza defectuosa en la segunda extracción. 15 Por tanto. por tanto no son equiprobables..Diga si: a..1..P(B/C) = P(B) ó cualquiera de las dos.¿Sea mujer o disfrute ir de compras? 39 . d.Supóngase que el entrevistado seleccionado sea mujer.A y B son independiente b.¿Son estadísticamente independiente disfrutar ir de compras y el sexo de la persona? Fundamente su respuesta.sean dos muñecas? a2...40 ≠ P(B) = 0..Para que sean equiprobables se debe cumplir que P(A) = P(B).Con referencia al ejercicio 9 de la autoevaluación de la semana anterior. ya que al no tener elementos comunes(AC).2 y a....A y B son equiprobables a. ¿Cuál es entonces la probabilidad de que no disfrute ir de compras? b...Un embarque de 10 muñecos contiene 3 muñecos y 7 muñecas...¿Cuándo dos sucesos son independientes? 4. P(C/B) = P(C) ya que para que sean independientes se debe cumplir P(C/B) = P(C) 0 ≠ 0.haya una muñeca y un muñeco? a3.. a..Para que sean mutuamente excluyentes se debe cumplir que P(AC)=0. no son independientes. a..¿Cuáles son los axiomas sobre los que descansa la teoría axiomática de la probabilidad? 2.. seleccionado en forma aleatoria. b.. Como P(A/C)=0 eso implica que P(AC)=0 ya que P(A/C)=P(AC)/P(C) por lo tanto los sucesos A y C son mutuamente excluyentes. d. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1.40 luego son diferentes por tanto no son independiente. ¿cuál es la probabilidad de que: a1. 6.... b.¿Cuál es la probabilidad de que un entrevistado.B y C son independientes d. pero: P(A) = 0. 3.A y C son mutuamente excluyentes c.el primer muñeco seleccionado sea una muñeca y el segundo un muñeco?.Diga al menos 3 propiedades de la definición axiomática de probabilidad.compare la respuesta a.42.3 y explique porque son diferentes. sin reposición. Pero P(A/B) = 0 y P(A) = 0.¿Cuándo dos sucesos son mutuamente excluyentes? 5..Supóngase que el entrevistado seleccionado disfruta ir de compras.P(A/B) = P(A) ya que para que A y B sean independientes se debe cumplir esta relación... ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? c... la intersección es igual al conjunto vacío. c.Si se seleccionan dos muñecos. d. Probabilidad de que sea fumador y padezca de afección pulmonar..¿Sea hombre o mujer? Utilice para el inciso “d” las propiedades de la definición axiomática de probabilidad. c. b.A partir de una investigación realizada. 40 ..Probabilidad de que no padezca de afecciones pulmonares dado que fuma e..Probabilidad de que fume dado que padece de los pulmones.d.. diga: a. dado que padecen de afecciones existen un 40%.. Además se conoció que no siendo fumadores.Probabilidad de que padezca de afección respiratoria. se supo que el 70% de los hombres son fumadores.. 7.¿Sea hombre o no disfrute ir de compras? d..2.3. Si se realiza el experimento de seleccionar un individuo del grupo al azar. y que padecen afecciones respiratorias dado que son fumadores un 50%.Probabilidad de que no sea fumador. d.. el cual tendrá además implícito un grupo de condiciones que debe cumplir la variable.. o sea es la transformación del espacio muestral en un conjunto numérico. Función de distribución. y por tanto son clasificables igualmente en discretas y continuas: son discretas las que toman un conjunto finito -o infinito.de valores. Se denota por f(x). son continuas las que pueden tomar cualquier valor real de un intervalo.. 2 } Como para una variable aleatoria es imposible saber con exactitud qué valor tomará en un momento dado. El espacio muestral es: S = { CC EE CE EC } Si lo que interesa es conocer la cantidad de caras que pueden aparecer. Cuando se conocen características o se efectúan estudios sobre el comportamiento de una variable. pero numerable. de una variable aleatoria y la probabilidad de ocurrencia de éstos. mediante X. Todo modelo así desarrollado se basa en lo siguiente: 9 Una función de probabilidad: f(x) 9 Una función de distribución: F(x) 9 Parámetros (medidas numéricas descriptivas) FUNCIÓN DE PROBABILIDAD: Una función de probabilidad es la correspondencia que se establece entre los valores. 1. se define entonces la variable aleatoria X: número de caras que aparecen. Función de probabilidad univariada: casos discreto y continuo.1: Definición de variable aleatoria. y que se utilizan atendiendo a las características de la situación existente.TEMA III: DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE PROBABILIDAD 3. Una manera más matemática de expresarlo es la siguiente: una variable aleatoria "X" es una aplicación definida en un espacio muestral S. 41 . que toma valores reales. Ejemplo: Experimento: lanzamiento de una moneda dos veces. Se dice que una variable es aleatoria si sobre cuyos valores influye de alguna manera la aleatoriedad o azar. Media y varianza de variables aleatorias. En este tema que se estudiarán las distribuciones teóricas de probabilidad. se puede desarrollar algún modelo que brinde una descripción probabilística de la misma. o intervalos de valores. La mayor parte de las variables aleatorias se pueden expresar numéricamente. para describir el comportamiento de las mismas se recurre al uso de las probabilidades. que son modelos teóricos basados en las probabilidades. siendo su espacio muestral o dominio de definición: X = { 0. establecidos para describir el comportamiento de variables en cuyos valores hay incidencias aleatorias. La función de distribución recoge la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales al valor dado.F(x1) Para las funciones de distribución correspondientes a variables discretas.P (X = Xk) = 0 a Esta última propiedad nos indica que para variables continuas la probabilidad de tomar un valor puntual es nula.. si la función de probabilidad [f(x)] es continua se le denomina función de densidad. 0 ≤ F(x) ≤ 1 X→ ∞ 4. la función de cuantía. x1 ≤ x2 ⇒ F(x1) ≤ F(x2) (Es decir. Para que sea una función de probabilidad. la función de densidad. debe cumplir las siguientes propiedades: 1.Si la función de probabilidad [f(x)] es discreta también se le denomina función de cuantía. Esto. lim F( x ) = 1 3. es una función no decreciente. y muchos autores la representan entonces como p(x).f (x) ≥ 0 2.. no aporta probabilidad.- ∫ f ( x)dx = 1 b ∫ 3.) 5. Para que sea una función de probabilidad. que: 42 . y esto conlleva que para las variables continuas se cumpla lo siguiente: b ∫ f ( x )dx = P(a ≤ x ≤ b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ x < b) = P(a < x < b) a (Por tanto. se cumple que: F( x k ) = Xk ∑ f(x ) i Xmin Y de la quinta propiedad general citada se deriva. pues da igual: un punto por sí mismo no influye.f (x) ≥ 0 2. lim F( x ) = 0 X→ − ∞ 2. la cual se denomina función de distribución o función de acumulación probabilística.) FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: Existe otra función que está íntimamente relacionada con las funciones de probabilidad...P(a < x ≤ b) = f ( x )dx Xmin 4. deben cumplirse las siguientes propiedades: Xmax 1..∑ f (x) = 1 Ahora bien. matemáticamente. en el caso continuo no importa si las desigualdades son estrictas o no. es decir. y se denota por F(x). x1 < x2 ⇒ P(x1 < x ≤ x2) = F(x2) . acumula las probabilidades hasta un valor dado (xk). quiere decir que: F(xk) = P(X ≤ Xk) Toda función de distribución cumple las siguientes propiedades: 1. en el caso discreto. pues para estas últimas resulta más cómodo trabajar directamente con la función de cuantía.F(x1) Ejemplos: 1..Probabilidad de que x tome por lo menos valor 1 e.F(1) d.Un determinado experimento aleatorio tiene como función de probabilidad la relación: x +1 f(x) = para x = { 0.Verificar las propiedades de f(x) b.f (x2) Debe mencionarse que la función de distribución es más usada en el caso de variables continuas que en el de las discretas.P(x >1) c. f (x1)= 2/10.. 43 . por tanto f (x) > 0 Propiedad que la suma de f (x) desde 0 a 3 = 1 f (x)= 1/10[(1+0)+(1+1)+(1+2)+(1+3)] = 10/10 = 1 b.F(xk) P(x1 ≤ x ≤ x2) = P(x1 < x < x2) = P(x1 < x ≤ x2) = P(x1 ≤ x < x2) = F(x2) . Para funciones de distribución correspondientes a variables aleatorias continuas se cumple que: Xk ∫ F( x k ) = f ( x) dx y Xmin ∂ F( x ) = f(x) ∂x Además.x f (x) 0 1/10 1 2/10 F(x) 1/10 3/10 F(1) = 3/10 = 0.7 x=2 c.Probabilidad de que x tome a lo sumo valor 2 Solución: a.P(x > 1) = 3 ∑ f (x ) = (1+2)/10 + (1+3)/10 = 3/10 + 4/10 = 7/10=0.Propiedad f (x) ≥ 0 f (x0)= 1/10..F(x1) + f (x1) ... lo siguiente: P(x ≤ xk) = P(x < xk) = F(xk) P(x ≥ xk) = P(x > xk) = 1 .. de la quinta propiedad general citada se deriva para este caso. con fines prácticos. 3 } 10 Se pide: a.3 esto nos indica que x es menor ó igual a 1. f (x3)= 4/10.F(x1) + f (x1) P(x1 < x < x2) = F(x2) . teniendo en cuenta que la probabilidad puntual en variables continuas es nula. f (x2)= 3/10.F(x1) P(x1 ≤ x ≤ x2) = F(x2) .f (x2) P(x1 ≤ x < x2) = F(x2) . 2..F(x1) .P(x1 < x ≤ x2) = F(x2) .. 1.. 4/10 = 6/10 = 0..10) f.Calcule P(2 < x ≤ 3) haciendo uso de la F(x) Solución: 4 a.10) por tanto F(x) será: F(x) = 1/18 (x2 + 3x ..(6+4)] 2 2 = 1/18 (28 . es decir las frecuencias relativas acumuladas. 3 d.10) = 8/18 = 4/9 = 0.2 3/10 6/10 3 4/10 10/10 Nota: Como se ve.9 2 e.(6 + 4)] 2 = 1/18(3xk + x2k .(6 + 4)] 2 = 1/18 (18 .P(x < 3)= 1/18 ∫ (3 + 2 x)dx = 1 / 18(3x + 2x 2 / 2] = 1 / 18[(9 + 9) .P(x=3) = 0 xk e.55 d..f (x) = 1/18 ∫ (3 + 2x)dx = 1/18[ 3x + 2x /2 ]= 1/18[(12+16) .44 4 c.6 2.P(x ≥ 3) d.F(x) = 1/18 ∫ (3 + 2 x)dx = 1 / 18(3x + 2x 2 / 2] = [(3xk + x 2 k ) . sumando.f (x = 0) = 1 .1/10 = 9/10 = 0..-Sea f (x) = 1/18(3 + 2x) una función de densidad para 2 < x < 4 a.Calcule P(x < 3) c.Halle F(x) f..P(2 < x ≤ 3) = F(3) .P(x ≤ 2) = ∑ f (x) = 1 . se determina de la mismo que Fi..(9 + 9)] 3 =1/18(28 -18) = 10/18 = 5/9 = 0.P(x ≥ 3)=1/18 ∫ (3 + 2 x)dx = 1 / 18(3x + 2x 2 / 2] = 1 / 18[(12 + 16) .10) = 18/18 = 1 3 b.6 x=0 También se podría hacer sumando en vez de por el complemento: = 1/10[(1+0) + (1+1) + (1+2)] = = 1/10 (1 + 2 + 3) = 6/10 = 0.Verifique si se cumplen las propiedades de f (x) b...F(2) = [1/18(9+9-10) ] ....[1/18(4+6-10) ] 44 .. si la variable es discreta F(x).f (x = 3) = 1 .9 x=1 También se podría hacer.P(x ≥ 1) = ∑ f (x) = 1 ... en vez de por el complemento: = 1/10[(1+1) + (1+2) + (1+3) ] = = 1/10 (2 + 3 + 4) = 9/10 = 0.P(x = 3) e. así: μ = E (x) = ∑ x f(x) En el caso de las variables aleatorias continuas. valor esperado o esperanza matemática. esta medida de resumen se obtiene integrando el producto de la variable x por su función de probabilidad.. y en este caso se conocen como parámetros de las variables. desde el valor mínimo de la variable. Tienen su equivalente en los estadígrafos que se utilizan para caracterizar conjuntos de observaciones o muestras. por su probabilidad correspondiente.44 MEDIDAS NUMÉRICAS DE RESUMEN ASOCIADAS A VARIABLES ALEATORIAS: Las medidas numéricas de resumen asociadas a variables aleatorias permiten sintetizar la información de forma tal que ofrecen las características generales del fenómeno en estudio.La esperanza de una constante es igual a la propia constante: E (k) = k 2.. esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada posible de la variable. El cálculo del valor esperado está en dependencia si se está trabajando con variables aleatorias discretas o continuas. se denomina media teórica. sus rasgos principales. es decir. Entre los parámetros más usados están la media..= 1/18(8 .Si x1. .La esperanza de la suma (o resta) de una constante y una variable es igual a la constante más la suma (o resta) de la esperanza de x: 45 .. y la varianza como medida de dispersión. y después sumando los productos resultantes...La esperanza del producto de una constante por una variable es igual a la constante por la esperanza de la variable: E (kx) = k E (x) 3.0) = 8/18 = 4/9 = 0. P(xi) o f(xi). MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA El valor medio de una variable aleatoria. La media o valor esperado de una variable aleatoria se puede considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las "ponderaciones" la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados. xn son variables aleatorias entonces: E ( ∑ xi ) = ∑ E (x) 4. En el caso de las variables aleatorias discretas. . de la siguiente forma: Xmax μ = E( x ) = ∫ x f ( x) dx Xmin Propiedades de la media o valor esperado: 1. xmin. xi. y se denota por E(x) ó μ. x2 . como medida de posición. hasta su valor máximo. xmax. μ)= 0 6. + CnE (xn) VARIANZA La varianza es igual a la esperanza de las desviaciones con respecto a la media. ya que como se dijo anteriormente en el cálculo de la esperanza. V(x) = E (x2) .. la esperanza del producto de "x" e "y" es igual al producto de la esperanza de "x" y de la esperanza de "y": E (xy) = E (x) E (y) 7.La esperanza del producto de la suma de n. al cuadrado: V(x) = E (x . variables y constantes es igual a la suma del producto de las "n" constantes por las esperanza de las variables...La varianza de una variable es igual o mayor que cero: 2..μ)2 f(x) Y en el caso de variables aleatorias continuas sería: x max V( x ) = ∫ ( x − μ) 2 f ( x )dx x min Haciendo transformaciones matemáticas se puede llegar a obtener una fórmula de cálculo para la varianza que es mucho más cómoda..La varianza de una constante es igual a cero: V(x) ≥ 0 V(k) = 0 46 . y en este caso lo que está dentro del paréntesis.Si la media poblacional es igual a la esperanza de x.μ)2. + Cnxn ) = C1E (x1) + C2E (x2) + .. es (x . la variable.[E (x)]2 en el caso de la variable discreta la: xn 2 2 2 E(x ) = ∑ x f (x) y en el caso de variables continua E(x )= ∫x 2 f ( x )dx x1 Propiedades de la varianza: 1.Si x e y son variables aleatorias independientes entonces... Por lo tanto para el cálculo de la varianza para una variable aleatoria discreta sería: V(x) = ∑(x . entonces la esperanza de las desviaciones con respecto a la media es igual a cero: E (x .μ)2 También se simboliza por σ2 (sigma al cuadrado.E (k ± x) = k ± E (x) 5. letra griega). E (C1x1 + C2x2 + . Esta definición hace un tanto difícil el cálculo de la varianza.. es lo que está dentro del paréntesis. esta dado por: x: 1 2 3 4 f(x): 1/6 1/3 1/6 1/3 Calcular el valor esperado de x y su varianza.Si f (x) = x/2 para 0 < x < 2 a..33 .33 V(x)= E(x2) .662 = 8.. En este caso es discreta.. se sabe.La varianza del producto de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable: V(kx) = k2 V(x) 4.La función de una variable aleatoria x.26 Ejemplo 2. + Cn xn) = C 21 V(x1) + C22 V(x2) + .2.La varianza de la suma del producto de "n" variables por "n" constantes es igual a la suma del producto de las "n" constantes al cuadrado por las varianzas de las variables: V(C1 x1 + C2 x2 + . Para los cálculos se necesitarán los productos x f (x) y x2 f (x). Solución: Primeramente se debe definir si es una variable aleatoria discreta o continua..[E(x)]2 = 8.66 V(x)= E(x2) . y 4. ya que en dependencia del tipo de variable así será su cálculo....07 = 1. + C2n V(xn) Ejemplo 1...¿Cuál es el valor de la desviación típica de x? 47 . x2 .Si x1 ..Hallar E(x+3) c.xn son variables aleatorias independientes. . entonces la varianza de la suma de "n" variables es igual a la suma de las varianza de las variables: V(∑ xi) = ∑ V(xi) 6. que se pueden tabular: x: f(x): x f(x) x2 f(x) 1 1/6 1/6 1/6 2 1/3 2/3 4/3 3 1/6 3/6 9/6 4 1/3 4/3 16/3 Entonces: E (x)= μ = ∑ x f (x) = 1/6 + 2/3 + 3/6 + 4/6 = (1+4+3+8)/6 = 16/6 = 2...[E(x)]2 E(x2) = ∑x2 f (x) = 1/6 + 4/3 + 9/6 + 16/3 = (1+ 8 + 9 + 32)/6 = 50/6 = 8.¿Cuál será el valor de la varianza de x? b..Hallar E(2x2) d...¿Cuál será el valor de V(2x)? e..La varianza de la suma de una constante más una variable es igual a la varianza de la variable: V(k+x) = V(x) 5. 2..33 . 3. porque la variable toma valores definidos: 1.3.7. .E( x ) = x f ( x )dx = 20 2⎝ 3 ⎠ 2⎝3 ⎠ 6 3 0 ∫ ∫ 0 2 2 1 3 1 ⎛ x4 E( x ) = x f ( x )dx = x dx = ⎜⎜ 20 2⎝ 4 0 2 ∫ 2 ∫ 2 ⎞ 1 16 ⎞ 16 ⎟ = ⎛⎜ − 0⎟ = =2 ⎟ ⎠ 8 ⎠0 2⎝ 4 V(x) = E (x2) .P(x ≤ xk) b.Solución: ¿Qué tipo de variable es esta? La forma de presentar el recorrido de la variable x.P(x1 ≤ x ≤ x2) 48 .33 + 3 = 4..77 = 0...V(2x) = 22 V(x) = 4 (0.33 a...33 c. indica que es una variable continua.P(x1< x ≤ x2) e..92 e..23) = 0..1.P(x1 ≤ x < x2) d..[E (x)]2 = 2 .1.σ = σ 2 = 0..P(x1 < x < x2) f.A partir de la definición de función de distribución como determinaría las siguientes probabilidades para una variable aleatoria discreta y para una variable aleatoria continua: a.¿Qué entiende por variable aleatoria? ¿A qué se denomina función de probabilidad? ¿Cómo se denomina a la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y cómo a la de una variable continua? ¿Cómo se define la función de distribución? 2..48 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1..P(x > xk) c.E(x+3) = E (x) + 3 = 1.E(2x2) = 2 E(x2) = 2 ⋅ 2 = 4 d.23 b.332 = 2 .23 = 0. 2 2 2 1 2 1 ⎛ x3 ⎞ 1⎛8 ⎞ 8 4 x dx = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ − 0 ⎟ = = = 1. siendo q= 1 ..2: Distribución binomial: características y uso. 1.Función de Probabilidad: f ( x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x qn− x ⎝x⎠ ó f ( x) = n! p x qn − x x! (n − x )! 49 . hipergeométrica y Poisson DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución Binomial es una de las distribuciones discretas más utilizadas. . denominadas éxito (ocurrencia del suceso de interés) y fracaso (no ocurrencia del suceso). siendo: ⎝x⎠ ⎛n⎞ n! C nx ≡ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ x ⎠ x! (n − x )! La distribución binomial está relacionada con la distribución de Bernoulli.Definición de la variable: X: cantidad de éxitos (veces que ocurre un suceso de interés) en n pruebas. Sin embargo existen con frecuencia experimentos de carácter repetitivos en que interesa registrar la ocurrencia o no ocurrencia de un suceso. Distribución de Poisson: características y uso.. o independientes. binomial. . ¾ El resultado de cada observación se puede clasificar en una de dos categorías mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustiva. n 2. Entre las distribuciones probabilísticas más usadas asociadas a variables aleatorias discretas cabe citar las siguientes: Bernoulli. 1.. 2.3. que es la distribución de una variable aleatoria que toma solamente valores cero y uno (fracaso y éxito) al realizar una única observación y verificar si ocurrió o no un suceso de interés..Características: ¾ Se realizan "n" pruebas (número finito de observaciones). ¾ Las pruebas son independientes..p ⎛n⎞ 3. Su nombre se debe a la relación que tiene la misma con el desarrollo del binomio: (p + q)n = n ∑ Cnx p x qn− x ≡ x =0 ⎛ n ⎞ x n− x ⎜⎜ ⎟⎟ p q ≡ x =0 ⎝ x ⎠ n ∑ n n! ∑ x!(n − x )! p q x n− x x =0 ⎛n⎞ Donde el símbolos Cnx y ⎜⎜ ⎟⎟ son equivalentes y se leen “combinatoria de n con x”. binomial negativa. X = 0. Distribución Binomial: Antecedentes: Los experimentos son con reposición. ¾ La probabilidad de éxito es constante de una observación a otra (p) (igualmente lo será entonces la probabilidad complementaria del fracaso (q). geométrica. Representación: X ∼ B (n. en la primera columna los valores de “n” y en la segunda columna los valores de x. ¿Qué probabilidad hay de que. menos sesgada será la distribución. en especial cuando aumenta “n”.5 y mayor sea el número de observaciones “n”.Parámetros: μ = E(x) = n ∑ xf( x ) = np σ2 = V(x) = E(x2) . pero están representados en ella por una k.4. 50 . La notación anterior se lee: X sigue una distribución binomial con parámetros n y p. y un fragmento de estas tablas puede consultarse en la Selección de tablas estadísticas. p) La distribución binomial queda definida por dos parámetros: "n" y "p".[E(x)]2 = npq x =0 6.Función de Distribución: F( x k ) = xk ∑ f ( x) x min 5.EN LAS FINANZAS.EN LA EDUCACION. La tabla de la binomial tiene en la primera fila los valores de “p”. con una “p” pequeña la distribución tendrá un gran sesgo a la derecha y para una “p” muy grande la distribución tendría un gran sesgo a la izquierda. es decir. La distribución BINOMIAL ha sido utilizada en numerosas aplicaciones.. al tirar un dado 10 veces salga el 6 al menos cinco veces? . si en realidad los cambios de precios en el mercado accionario son aleatorios? Los cálculos de probabilidad a partir de la función. la distribución binomial será simétrica. cuando “p” es diferente de 0. si el 10% de todos los conos de hilo producido en cierta planta son defectuosos? .5. la distribución será sesgada. Sin embargo.. por otra parte. ¿Cuál es la probabilidad de que cierta acción mostrar un aumento en su precio al cierre. en una base diaria durante 10 sesiones (consecutivas) de operaciones.EN JUEGOS DE AZAR. por ello se han desarrollado tablas con los valores de esta distribución para diferentes combinaciones de n y p.EN EL CONTROL DE LA CALIDAD DE UN PRODUCTO.. Cuanto más cerca se encuentre “p” de 0. y cada vez que se especifican estos parámetros se tiene un caso particular de distribución binomial. sin tomar en cuenta que tan grande o pequeño sea el valor de “n”.Forma: Una distribución binomial puede ser simétrica o asimétrica (sesgada).5. pueden llegar a ser muy laboriosos. Siempre que p = 0. 7. como: .. acertar por lo menos 3 preguntas) . ¿Qué probabilidad tiene un estudiante de aprobar un examen de 5 preguntas de opción múltiple (cada una de ellas contiene 4 opciones) si adivina en cada pregunta? (Aprobar se define como lograr correcto el 60% de las preguntas. ¿Qué probabilidad hay de que en una muestra de 20 conos de hilo del mismo tipo ninguno está‚ defectuoso. al ser p > 0.el resultado se puede clasificar en éxito y fracaso (ausentistas y no ausentistas respectivamente) .15 y x = 1 (dentro de n = 2). c. para la cual de éxito es la “q”. Ejemplo 1.de que todos asistan.Sin embargo debe tenerse en cuenta que no están todos y cada uno de los valores de “p” que se necesitan.n es finito (se analizarán 5 trabajadores).15 y se quiere obtener la probabilidad de un éxito. Si se quiere tener el resultado de la probabilidad se combinan los valores de n y p y dentro de ellos se busca el valor de x que se necesita digamos que se tiene una distribución binomial donde n = 2 y p = 0. 51 . si se selecciona una muestra aleatoria de 5 trabajadores.entre 3 y 5 sea ausentistas.. esta se obtiene donde se interceptan el valor de p = 0. que en este caso es igual a 0.. o sea.al menos 4 sean ausentistas Solución Aquí se puede observar que la distribución binomial se ajusta.las pruebas son independientes.. ya que: . . P(x = 1). d. y hay casos en que.p es constante (el 5% de los trabajadores son ausentistas).5. Calcule la probabilidad que: a.2550. es decir que un obrero sea ausentista es independiente de que otro lo sea. y buscar entonces en la tabla los valores equivalentes de x (esto se verá concretamente en un ejemplo).2 de ellos sean ausentistas. Las estadísticas demuestran que el 5% de los obreros son ausentistas. En la industria rayonera de Matanzas se está realizando una investigación acerca de la disciplina laboral. sería necesario redefinir el cálculo en términos de la variable complementaria (el fracaso). .. b. Por tanto puedo decir que X ∼ B(5 ; 0,05) X: número de obreros ausentistas de 5 a.- P (x = 2) = f(2) = C 25 0.05 2 0.95 3 = 10(0.0025)(0.8574) = 0.0214 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3! n! ya que C nx = = C 52 = = = 10 (n − x )! x! 3! ⋅ 2! 2 ⋅ 1⋅ 3! Sin embargo esto se resuelve muy fácil utilizando la tabla, buscando para n = 5, y para una p = 0.05 y dentro de ellos x = 2 donde se interceptan se obtiene este valor encontrado, es decir 0.0214. Luego, podemos concluir que únicamente será necesario hacer el cálculo a través de la función de probabilidad cuando no exista en la tabla la probabilidad de éxito que se tiene (p) b.- P(3 ≤ x ≤ 5) = f(3) + f(4) + f(5) = 0.011 + 0 + 0 =0.011 c.- P (x=0) = f(0) = 0.7738 d.- P (x ≥ 4) = f (4) + f (5) = 0 + 0 = 0 También si no se tuviese la tabla habría que sustituir en la función de probabilidad los valores y resolverla. Ejemplo 2. La probabilidad de que un avión de combate regrese de una misión sin sufrir daños es de 0.85 y se envían 4 aviones a una misión, hallar la probabilidad de que: a.- De 2 a 4 regresen sin sufrir averías. b.- Al menos 3 regresen sin sufrir daños. c.- A lo sumo dos regresen sin sufrir daños. d.- Probabilidad de que todos regresen dañados. e.- ¿Cuál es el promedio de aviones que no debe sufrir daños? Solución: X: número de aviones de combate que regresan sin sufrir daños. X ∼ B(n ; p) n = 4 p = 0.85 q = 0.15. Como en la tabla no está p = 0.85 > 0.5 habría que usar la función y sustituir los valores en ella para calcular las probabilidades deseadas. No obstante, se puede utilizar la variable complementaria de X y replantear los cálculos en términos de esto, con la equivalencia adecuada entre X y X’. X’: # de aviones de combate que regresan dañados n=4 px’ = qx = 0.15 Para buscar la equivalencia entre lo que pide el problema y como se tiene expresada la variable se puede hacer una tabla que ayude a ver claramente lo que se va a calcular. Aviones sin sufrir daños (x): 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 Aviones con daños (x’): Que regrese 1 avión sin sufrir daño es lo mismo que decir que regresen 3 dañados; que regresen 3 aviones sin sufrir daños es lo mismo que decir que regrese 1 avión dañado… O sea, se busca la equivalencia entre la variable original y su complemento. 52 a.- P(2 ≤ x ≤ 4) ≡ P(x’ ≤ 2) = f (0) + f (1) + f (2) = 0.5220 + 0.3685 + 0.0975 = 0.9880 b.- P(x ≥ 3) ≡ P(x’ ≤ 1) = f (0) + f (1) = 0.5220 + 0.3685 = 0.8905 c.- P(x ≤2) ≡ P(x’ ≥ 2) = f(2) + f(3) + f(4) = 0.0975 + 0.0115 + 0.0005 = 0.1095 d.- P(x’ = 4) = 0.005 (Esta pregunta está realizada directamente en términos de la variable complementaria, de ahí que no haya que buscar equivalencia.) e.- np = 4(0,85) = 3.4 = μ npq = 0.85(0.15)(4) = 0.1275(4) = 0.51 = σ2 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Esta distribución se refiere a aquellas situaciones en las cuales el suceso ocurre repetidamente, pero al azar, es decir sin seguir una periodicidad dada, se produce aleatoriamente. A la ocurrencia del suceso se le denomina cambio. Estos cambios pueden ocurrir en el tiempo, o en puntos aleatorios, o en una línea de espera; es decir pueden formularse en función del tiempo, unidades de longitud, área o volumen etc.. El interés estará centrado en: número de cambios que ocurren en un intervalo dado. Ejemplos: Número de barcos que llegan al puerto de la Habana en una semana; número de negocios que cierran, por semana, en Ciudad de la Habana. 1.- Definición de la variable: X: cantidad de cambios u ocurrencias aleatorias que se producen en un intervalo (t ó I) de otra variable X : 0, 1, 2, ..., ∞ 2.- Características: Sin antecedentes, importancia para su uso en programación Matemática. - Los cambios u ocurrencias observados son independientes entre sí. - El promedio de ocurrencias o cambios en intervalos de tamaño fijo es constante (λ) (rapidez de cambio constante en el tiempo o en el espacio) - La probabilidad de observar dos o más cambios ó éxitos en un intervalo suficientemente pequeño es cero. 3.- Función de probabilidad: f ( x ) = e − λ λx x! λ es el promedio (histórico) de cambios en un intervalo unitario "t ó I" e es la constante de Euler (2.71828) 4.- Función de Distribución: F( x k ) = xk ∑ f (x) x min 53 5.- Parámetros: μ =λ Coinciden numéricamente aunque por supuesto μ está expresada en σ2 = λ unidades lineales y σ2 en unidades cuadráticas. 6.- Simbólicamente se expresa como: X ∼ P ( λ) Esta distribución queda definida por un solo parámetro, “λ” . Forma: La distribución de Poisson estará sesgada hacia la derecha cuando λ es pequeña. Se acercará a la simetría (con su punto más alto en el centro) según aumente λ. Ejemplos: Supóngase que se estudian las llamadas recibidas por hora en una central telefónica. Cualquier llamada que se reciba es un evento discreto en un punto dado durante un intervalo continuo de una hora. En una hora se recibirán 180 llamadas como promedio. Ahora si se dividiera el intervalo de una hora en 3600 intervalos consecutivos de un segundo, se tendría: λ = 180/3600 = 0.05/segundos 1.- La cantidad esperada (o promedio) de llamadas recibidas en cualquier intervalo de un segundo sería 0.05, es decir sería estable. 2.- La probabilidad de recibir más de una llamada en cualquier intervalo de una fracción de segundo es cero. 3.- Recibir una llamada en un segundo dado no tiene efecto (o sea, es estadísticamente independiente) sobre recibir otra llamada en cualquier otro intervalo de un segundo. De la misma forma que para la distribución binomial, la distribución de Poisson se encuentra tabulada, encontrándose su tabla en la Selección de Tablas estadísticas. La tabla de la Poisson tiene en la primera fila los valores de λ, y en la primera columna los valores de x designados en esta tabla por k. En ella aparecen grupos de valores para valores de λ desde 0.1 hasta 8, estando estos grupos definidos hasta donde "x" puede tomar valores, proporciona los valores de λ con aproximación hasta la décima. Se debe señalar que para cálculos con valores de λ mayores de 8 se puede acudir a la tabla de la función exponencial, en la columna de exponentes negativos (e-x), que está en la página 20 de la Selección de tablas estadísticas; y sustituir luego en la fórmula de la función de Poisson el valor correspondiente. 54 La probabilidad de que la pizarra quede saturada en medio minuto (30 segundos). d. b. c. e.La probabilidad de que se produzcan a lo sumo 1 llamada en un minuto dado.La probabilidad de que se produzcan 10 llamadas en un minuto. Solución: x: # de llamadas que se reciben en un minuto λ0 = 480 llamadas/hora (promedio histórico conocido) Nota: Para los cálculos posteriores se debe convertir el promedio conocido a las mismas unidades de los intervalos de interés..La probabilidad de que se produzcan más de 2 llamadas en un minuto.Ejemplo 1 Una pizarra telefónica recibe 480 llamadas en una hora.... Determine: a. λ0 = 480 llamadas/hora = 480 llamadas / 60 minutos = 8 llamadas/min Nota: para cada cálculo de probabilidades que interese se debe atender también al intervalo (I) en el que se efectúa el conteo de ocurrencias..El número de llamadas esperadas en cinco minutos. en este caso pasar de llamadas por hora a llamadas por minuto. pero no puede recibir más de 12 llamadas en un minuto. pues si no coincide con el 55 . lo que implica que λ = 5.P(x ≤ 2 ) = 1 . basta con encontrar qué valor de λ cumple que e-λ=0. que es su complemento. c.5 veces el original. por tanto λ = 1. I = 1 min (por tanto λ = λ0 = 8 ) P(x > 2) = 1 .. I = 1 min (por tanto λ = λ0 = 8 ) P(x ≤ 1) = f (0) + f (1) = 0.P(x ≤ 12) = 1 .9860 e. I = ½ min (por tanto λ = λ0/2 = 4 ). + P(x =12) ] = 1 . Lo buscado ahora es P(x > 12). porque como la pizarra no puede recibir más de 12 llamadas en un minuto.0137 = 0.00674 (para ello se puede usar la tabla de e-x que está en la página 20 de la selección de tablas estadísticas).0027 = 0.5 I0..00674.0030 d.5 λ0 = 1.0993 b. cualquiera sea Xk. sino que siempre en estos casos hay que trabajar con el complemento.. es necesario calcular el promedio (λ) correspondiente a dicho intervalo.00674 Se pide: a. en un intervalo 1.[f (0)+ f (1)+ f (2)] = 1 – (0. a.. Y se obtiene que e-5 = 0..0003 + 0. y si la igualdad no está en la parte izquierda. quedaría saturada si recibe más de 12.intervalo asociado al promedio histórico.0027 + 0. I = 1 min (por tanto λ = λ0 = 8 ). Solución: e − λ λ0 0! Pero: λ0 = 1 y 0! = 1 (por propiedad del factorial)..Se sabe que f (0) = Por tanto: f(0) = e-λ Entonces.Calcular la probabilidad de que X = 0 .5 P(X = 0) = f (0) = 0.. lo cual se hace multiplicando el tamaño del intervalo por el promedio histórico.Hallar el valor de λ b..I = 1. y lo buscado es: P(x =10) = f (10) = 0..0. debe estar en la derecha.0003 Nota: Se debe tener en cuenta que en la distribución de Poisson "x" toma valores desde 0 hasta infinito.5 ⋅ 5 = 7.9997 = 0.0006 56 .0030 + 0. a. I = 5 min (por tanto λ = 5λ0 = 40 ) μ = λ = 40 llamadas Ejemplo 2 Sea una distribución de Poisson donde f (0) = 0.0107) = 1 – 0. por tanto NUNCA SE PUEDE CALCULAR DIRECTAMENTE P(x > Xk) ni P(x ≥ Xk).[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) +. b. Y al hacer esto. si la igualdad está en la parte izquierda de la expresión no debe estar en la derecha. P(x >12) = 1 . .más de tres automóviles? c.cuando más 9 veces? a.....menos de dos automóviles ó más de tres? d.¿Cuál es la probabilidad de que la impresora principal funcione en forma apropiada...menos de 9 veces? b.¿Qué expresa la variable X en una distribución binomial.¿Qué expresa la variable X en una distribución de Poisson...por lo menos nueve veces? a. la impresora principal del centro de cómputo de cierta universidad funciona adecuadamente el 90% del tiempo.4.1. a.dos ó tres automóviles para tomar gasolina? e. a.. y cuál es su recorrido? ¿Cuales son las características de la distribución binomial? ¿Qué parámetros la definen? ¿Cuál es su media y cuál su varianza? 2.¿Cuantas veces se puede esperar que funcione en forma apropiada la impresora principal? 4.al menos dos automóviles? 57 . ¿Cuál es la probabilidad de qué en determinado minuto se detengan.2.más de 9 veces? a.3.EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1.El número promedio de automóviles que se detienen por minuto para tomar gasolina en cierta gasolinera perteneciente a CUPET de Ciudad de la Habana es 1..5..Sobre la base de la experiencia anterior...exactamente nueve veces? a.. Si se hace una muestra aleatoria de 10 inspecciones: a.menos de dos automóviles? b..... y cuál es su recorrido? ¿Cuales son las características de una distribución de Poisson? ¿Qué parámetros definen la distribución de Poisson? ¿Qué representa λ en la distribución de Poisson? ¿Cuál es la media y la varianza en la distribución de Poisson? 3..2. Entre las distribuciones probabilísticas más usadas con variables aleatorias continuas cabe citar las siguientes: uniforme. DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS Muchas de las técnicas utilizadas en estadística aplicada se basan en la distribución Normal o de Gauss.FUNCION DE PROBABILIDAD f ( x) = 1 σ 2π e 1⎛ x− μ ⎞ − ⎜ ⎟ 2⎝ σ ⎠ 2 Donde: e = 2. Luego de estudiar dos distribuciones de probabilidad discreta se prestará atención a las funciones continuas de densidad de probabilidad. lo que se recoge en tablas son valores de la función de distribución (F). exponencial.14159 3. Los modelos continuos tienen aplicaciones importantes en los negocios y en las ciencias sociales.. t’Student y F de Fisher.La función tiene un máximo en X = μ = Me = Md .) Para aquellas distribuciones continuas de amplio uso. además de en la Ingeniería y la Física. así: P(X ≤ Xk) = F(X) P(X > Xk) = 1 .FUNCION DE DISTRIBUCIÓN F( x k ) = ∫ xk −∞ f ( x )dx 58 .Su variable aleatoria asociada tiene rango infinito (− ∞ < Χ < ∞ ) 2.71828 y π =3.CARACTERISTICAS: . chi-cuadrado.3.Tiene dos puntos de inflexión en μ +σ y μ . o si es > ó ≥.Es simétrica con respecto a X = μ .La función está definida en todo el eje X .. en variables continuas no hay diferencia si el signo es < ó ≤.3: Distribución normal o de Gauss.F(X) P(a < X ≤ b) = F(b) . ya que la probabilidad de un valor puntual es nula. normal. Distribución F de Fisher. .Tiene la forma de una campana boca a bajo. En las distribuciones continuas tiene una marcada importancia la función de distribución ya que a partir de sus propiedades es factible calcular fácilmente probabilidades.σ .. Distribución chi-cuadrado. Distribución t de Student. las que surgen por algún proceso de medición en diversos fenómenos de interés o como transformaciones de otras variables. 1.F(a) (No obstante. . 5. P(μ −2σ < Χ < μ+2σ) = 95. 1) y su función de probabilidad es: f ( z ) = Donde: Z = 1 2π 1 − Z2 2 e x−μ σ 59 .73% del área bajo la curva normal A estas tres expresiones se les llaman comúnmente “reglas de las 3 sigmas”. es decir cualquier variable aleatoria normal X. σ) Por lo tanto. en el intervalo que se quiere hallar la probabilidad. y así se tendría la posibilidad de tabular los resultados. Como es una variable continua para calcular probabilidad se tendría que integrar la función de X. La única forma de hacer una tabla para evitar este cálculo sería estandarizando la variable. P(μ −σ < Χ < μ+σ) = 68. se convierte en una variable aleatoria estandarizada "Z" que siempre tendría como media cero y desviación típica 1. Pues bien Z ∼ N (0 . distribuida de la siguiente forma: 1. P(μ −3σ < Χ < μ+3σ) = 99.PARAMETROS: La media en esta distribución es μ y la varianza es σ2 por lo que la misma queda definida por estos dos parámetros ya que "e" y " π " son constantes matemáticas.45% del área bajo la curva normal 3.27% del área bajo la curva normal 2. habrá tantas curvas normales como valores o combinaciones particulares de μ y σ haya..4. Toda distribución normal con media μ y desviación típica σ tiene la característica de tener el área bajo la curva de su función de densidad.REPRESENTACION X ∼ Ν(μ. y en una segunda mitad se presentan los valores de Z positivos. Nota: Queda claro. que cualquier valor de probabilidad. Como se dijo anteriormente en esta tabla están registrados los valores de la función de distribución. no obstante. 60 . la tabla aparece estructurada de manera que en una primera mitad aparecen los valores de Z negativos. por tanto son valores acumulados. En el folleto de selección de tablas estadísticas. correspondientes a la cola derecha.La estructura de la tabla normal es la siguiente: En la primera columna se tienen los valores de Z. es decir la probabilidad acumula desde menos infinito (-∞) hasta el valor de Z que se busca. independientemente del signo de Z. o sea los correspondientes a la cola izquierda de la distribución. será positivo. dichas probabilidades están en el cuerpo de la tabla. hasta la aproximación de la décima y en la primera fila la aproximación de la centésima. Fz(-2.P(X > 10) f.9959.P(X < 10)= 1 . (0.0047 = 0.P(X > 10) = 1 ..P(X < 20) c. y por tanto la desviación típica para la variable es σ = 5. se debe observar que se conoce la varianza (σ2 = 25). página 223 del Laboratorio) En una distribución normal con μ = 23 y σ2 = 25.P(25 < X < 30) b..4)= Fz(-0.64 la probabilidad acumulada es 0.9953 c..64.4) . esa es la probabilidad de que la variable Z tome algún valor entre menos infinito y Zk = -2.5) e.50 d. lo que indica que una variable Z tiene un 99.. para Zk= 2.1) = Fz(0.1) = 0..23)/5) = P(Z < 0.82.82 la probabilidad acumulada es 0..50) pero además...P(Z < (10-23)/5)= 1 .50 Esto no hay ni que buscarlo en la tabla porque el área bajo la curva es 1 por tanto de la mitad al final de la distribución será la mitad.Así para una Zk = -2.5 .P(Z < -2. es decir.5/5) = P(Z < 0. en este punto "Z" es igual a cero.5398 b.5) = P(Z < (23.6) = 1 .Fz(-3) = 61 .6) = 1 .0. Ejemplo 1: (Ejercicio 324. a.. y buscando Z=0 daría también Fz(0) = 0.P(8 < X < 21) = P[(8-23)/5 < Z < (21-23)/5]= P(-15/5 < Z < -2/5)= = P(-3 < Z < -0.P(X < 25) d.0024.P(X < 23.P(8 < X < 21) Solución: Ante todo.P(X >23) g. Igualmente.P(X > 23) = 0.P(Z < -13/5) = 1 .59% de tomar algún valor menor o igual a 2.. hallar: a..P(X < 23. 6) = = Fz(-0.0.) Aquí.8) Al tratarse de una variable con distribución normal.8 onzas. del Laboratorio) El llenado de las cajas de talco en la fábrica de una empresa de perfumería se hace automatizadamente. b) P(X > 16) = P(Z > (16 -15)/0.2638 f.1056 (El 10.P(25 < X < 30) = P[(25-23)/5 < Z < (30-23)/5]= P(2/5 < Z < 7/5)= = P(0. siendo el peso promedio de 15 onzas con una desviación típica de 0. o sea. el resultado se debe calcular usando la regla del complemento.25).3433 e.8944 = 0.P(X < 20) = P(Z < (20-23)/5) = P(Z < -3/5) = P(Z < -0. al tratarse de la probabilidad acumulada hasta un punto (z=-2. al tratarse de la probabilidad por encima de un punto (zk=1.4) .6) = 0.6554 = 0.4) = Fz(1.0013 = 0.4) = 0. que es la que brinda la tabla. 0.Fz(1. restando a la probabilidad bajo toda la curva (que es 1) la acumulada hasta el punto zk.25)= 1 . se debe estandarizar la misma en cada cálculo para hacer uso de la tabla.0.3446 .8) = P(Z > 1.Fz(0.2743 g. de forma que el peso neto de las cajas se distribuye normalmente.6% de las cajas tendrá pesos netos mayores de 16 onzas. a) ¿Qué probabilidad hay de que una caja tenga un peso neto inferior a 13 onzas? b) ¿Qué proporción de las cajas tendrá pesos netos superiores a 16 onzas? c) ¿Qué proporción de las cajas tendrá pesos netos entre 15 y 16 onzas? d) ¿Cuál es el peso máximo del 20% de las cajas menos pesadas? e) ¿Cuál es el peso mínimo del 10% de las cajas más pesadas? Solución: Sea X el peso neto de las cajas de talco: X ∼ N (15 .4) = = 0.= 0.4) = = Fz(0..5) = 0. página 226.0062 En este caso.25) = 1 – 0.8) = P(Z < -2.9192 . a) P(X < 13) = P(Z < (13 . el resultado es directamente el valor que aparece en la tabla para la z.4 < Z < 1.P(X < 25) = P(Z < (25-23)/5) = P(Z < 2/5) = P(Z < 0.5) = Fz(-2.P(Z ≤ 1.5)..25) = 1 .6554 Ejemplo 2: (Variante del problema 332. 62 ..15)/0. 8 < Z < (16 -15)/0. despejando de: Z = σ Xk = Zk σ + μ = -0. y conociendo que la distribución normal es simétrica respecto a su media se deduce que hasta el punto X=μ (z=0) se acumula un 50% de probabilidad. Encontrar mediante la tabla el valor de Z que acumula un 20% de probabilidad implica buscar en el interior de la misma el número más cercano a 0.8944 – 0. d) Para resolver esto lo primero es ubicar las cajas menos pesadas. se quiere 63 .20 Y una forma de representar ese valor Zk es: Zk = Z0.25) = Fz(1. ó z=0 para la variable estandarizada). puede plantearse que: P(X < Xk) = 0. por tanto. pues dicho extremo coincide con el valor de la media de la variable (μ=15. e) Ahora interesan las cajas más pesadas. al tratarse de la probabilidad en un intervalo.c) P(15 < X < 16) = P[(15 -15)/0. y se quiere determinar el peso (Xk) que acota superiormente a ese 20% de cajas. pues. O sea.25) .) En este caso.20 Con esto se quiere decir que es el valor de de una variable Z que ha acumulado un 20% de probabilidad.5 = 0.Fz(0) = 0. que son aquellas ubicadas en la cola o extremo izquierdo de la curva. Debe destacarse aquí que la probabilidad acumulada hasta el extremo inferior no era necesario calcularla.328 onzas. de la misma manera se tiene que: P(Z < Zk) = 0.672 = 14.84 x−μ Conocido el valor Zk se puede hallar Xk. el resultado se debe calcular como la diferencia de lo acumulado hasta el límite superior (z=1. que el peso máximo para el 20% de las cajas menos pesadas es de 14. y de ellas importa las que representan el 10% del total.20 = -0.8] = P(0 < Z < 1.25) menos lo acumulado hasta el límite inferior (z=0).4% de las cajas tendrán pesos netos entre 15 y 16 onzas.20 (que es 0.328 Se concluye.3944 (El 39. De ellas interesan las que representan el 20% del total.84 ⋅ 0. que son las ubicadas en la cola o extremo derecho de la curva.20 Entonces. y de su encabezado de fila y columna se llega a que: Zk = Z0.2005).8 + 15 = 15 – 0. + Z v2 A la distribución probabilística asociada a esta nueva variable se le llama distribución jicuadrado.determinar el peso (Xk) que acota inferiormente a ese 10% de cajas. en el que descansa la gran importancia y el poder de aplicación de esta distribución. y para Zk sería. haciendo uso de la regla del complemento: ó: P(Z < Zk) = 1 .10 Así.024 = 16. la suma y la media de estas variables tienden a una distribución normal cuando el número de variables se hace grande...8997. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Hay un importante teorema asociado a la distribución normal.10 = 0. Zv. Si Z1. pues.28 ⋅ 0. que el peso mínimo para el 10% de las cajas más pesadas es de 16. se representan en general por χ2 (letra griega chi.. que recibe el nombre de Teorema Central del Límite.0. se tiene también que: P(Z > Zk) = 0. al cuadrado) y donde: χ2 = Z12 + Z22 + . o ji.28 Y despejando Xk: Xk = Zk σ + μ = 1.90 Zk = Z1-0.90 Buscando en la tabla el valor de Z que acumula un 90% de probabilidad se encuentra que el valor más cercano a 0..90 = 1.90 en el interior de la misma es 0. Este teorema establece que si se tiene un grupo de variables que siguen una misma distribución. la suma de sus cuadrados. Z2. y puede plantearse que: P(X > Xk) = 0.10 = Z0.024 onzas. pues la probabilidad acumulada es la que está por debajo del punto..8 + 15 = 15 + 1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO Esta distribución fue introducida por Helmert en 1876. siendo su función de densidad: 64 . y de su encabezado de fila y columna se llega a que: Zk = Z0.. son variables aleatorias normalmente distribuidas e independientes con media cero y varianza 1.10 Pero esto no constituye un valor de probabilidad acumulada.024 Se concluye. el quinto solo puede ser 23 para que todos sumen 100. representa los llamados grados de libertad de la distribución. en el cuerpo de la tabla están los valores de la variable chi-cuadrado. deformada a la derecha. si se dice que una variable tiene n -1 grados de libertad esto indica que solo n -1 de los valores de la muestra están libre para variar. o sea: χ2 ≥ 0. y Kν es una constante que depende de ν. El área o probabilidad acumulada se encuentra en la primera fila y en la primera columna los grados de libertad. 65 . 24. Estructura de la tabla: Tabla limitada para algunos valores de los grados de libertad. xk La función de distribución viene dada por: F ( x) = ∫ f ( x)dx 0 Esta función está tabulada para distintos valores de los grados de libertad. y tiene como μ = ν y σ2 =2ν. Así. ν. ¿Cuantos valores diferentes se necesitarían conocer antes de poder obtener el resto? n X i = 100 El hecho de que n = 5 y de que X = 20 también indica que: ∑ i =1 Por lo tanto una vez que se conocen 4 valores el quinto no tendrá "libertad de variar". Una variable chi cuadrado está definida para cualquier valor real positivo. puesto que la suma tiene que ser 100. 19. La distribución χ2 es asimétrica.2) Cuando ν (nu) es grande (ν > 30) la distribución χ2 se puede aproximar a la distribución normal. Caso ilustrativo: Suponga que se tiene una muestra de 5 elementos de la que se sabe que la media es igual a 20. Obsérvese que la distribución depende de un sólo parámetro: los grados de libertad. Digamos que 4 de los valores son: 18. Para ν > 2 la curva ƒ(x) de la chi-cuadrado tiene un máximo en x = (ν .f ( x ) = Kν χ (ν − 2 )/ 2 e -x/2 y ƒ(x ) = 0 Cuando x > 0 cuando x ≤ 0 En esta función ν (nu). Se puede demostrar este concepto de la forma siguiente. y 16. ¿Qué son los grados de libertad? Los grados de libertad constituyen la cantidad de valores independientes que admite un conjunto de observaciones a partir de determinadas condiciones que tiene que cumplir dicho conjunto. 95 (por definición de F(x)) Se busca en la tabla a partir de ν = 17 el valor 27.Hallar Xk si P(χ2(17) > χ2k) = 0.6) = Fχ2(27.005 = 0..6) c. b.7 < χ2(17) < 21. al subir por la columna.Determinar qué valores χ21 y χ22 alrededor de χ2(21) = 20.1) = 1 .Hallar los grados de libertad que satisfacen P(χ2 > 8. Ejemplo: Se conoce que una variable en estudio tiene una distribución χ2.1) d. resuelva las siguientes proposiciones: a.6) b.1) = 1 . Solución: a.3) f.6) = 0.6) .Fχ2(10..10 = 0.9) = 0. la tabla brinda el área (o probabilidad acumulada) desde cero hasta un punto.1) = 1 .0...0..90 Esto se puede deducir del gráfico.3 forman probabilidades de áreas centrales.6) = Fχ2(21. pues lo que se quiere no es la probabilidad acumulada 66 .P(χ217) > 10.Fχ2(5. es la probabilidad buscada.P(χ2(17) < 10.8 e.P(χ2(17) < 27.80 ...56 < χ2(17) < 16.Nota: Como lo que está tabulado es la función de distribución.99 g.6 y el valor que le corresponde en la fila superior.7) = 0.Calcule P (χ2(17) >10..Calcule la P(7..P(5.Halle P(5.Diga el valor de P(χ2(17) < 27.755 c.7 < χ2(17) < 21.. 2 29. que serán los mismos que caractericen a la variable t.995 Probabilidad central 0.Fχ2(7.P(χ2 > 8.01 por tanto ν = 21 Esto se obtiene recorriendo los valores de χ20.0.70 0.2 11.8 ===> P(χ2(17) < Xk) = 0.10 0.4 Probabilidades acumuladas F(χ21) F(χ22) 0.. pero un poco más achatada que ella..025 = 0.95 0.6 10.03 23.90 0.56 < χ2(17) < 16. por lo que se puede utilizar la regla del complemento.3 8.20 0.80 0.9 ó un valor próximo a él.P(χ2(17) > Xk) = 0. De momento. ya que su aplicación se verá posteriormente La distribución t'Student es la distribución de la variable: t = Z χ2 ν Aquí Z representa a una variable con distribución normal estándar y χ2 otra variable con distribución chi cuadrado.3) .01 y donde esté 8.9) = 0. d.30 0.P(7.. con la que se trabajará en el campo de la inferencia.005 0.Puntos χ21 y χ22 simétricos que forman un área central con χ2(21) = 20.99 ===> P(χ2 < 8. 67 .475 f. como la normal.9 31.95 0. muy utilizada en la teoría de muestras pequeñas.hasta 10. ν representa los grados de libertad de la chi cuadrado.99 0. o sea: -∞ < t < ∞ En esta distribución μ = 0 y σ2 = ν/(ν-2).01 0..5 38. y se busca el grado de libertad que le corresponde a este valor. para ν>2.4 13.2 15.56) = 0.9) = 0.99 DISTRIBUCIÓN T'STUDENT: Es una distribución continua de considerable importancia práctica.60 0.90 0.50 .3) = Fχ2(16.9 8. g. sino de ahí en adelante.3 son: χ21 χ22 17.975 0.1.025 0.40 0.80 0. La curva de la distribución es simétrica. el estudio de la misma se circunscribe al manejo de la tabla.7 35. La función de probabilidad es: f (t ) = Kν (1 + t / ν ) (ν +1)/ 2 2 ( Kν es una constante que depende de ν ) Una variable t está definida para cualquier valor real.6 32.20 por tanto Xk = 12 e.05 0.98 0.9 26. así. recogiendo probabilidades acumuladas desde . tiende a la normal estandarizada (z). que están ubicados en la primera columna. La función de distribución de la t’Student está tabulada. dada la simetría de la distribución. o lo que es lo mismo.50 se debe utilizar la mencionada simetría.∞ hasta un punto. y en el cuerpo de la tabla están los valores de la variable t. es decir. las probabilidades acumuladas por encima de 0. si quiere hacer uso de un valor negativo de t o de alguna probabilidad acumulada inferior a 0. El área o probabilidad acumulada se encuentra en la primera fila.Cuando los grados de libertad aumentan la variable t se aproxima cada vez más a una distribución normal con μ = 0 y σ = 1. En la práctica.50. Estructura de la tabla: Está limitada para algunos valores de los grados de libertad. se suele tabular sólo valores positivos de t. 68 . entonces será [1 ..80 (Por definición de F(x)) Se busca en 17 grados de libertad un valor igual o próximo a 0. de que la función de distribución está tabulada sólo para valores positivos de "t". Ejemplo: Se tiene una Variable aleatoria "x".863) = 0.65 Gráficamente se puede observar lo que se desea calcular como el área sombreada siguiente: Sin embargo.Represente gráficamente y calcule P(t(17) > -0..534) e. y el valor que le corresponde en la primera fila es la probabilidad buscada.70 si t(17).. evidentemente el valor de "t" es negativo...0.Halle entre que valores t1 y t2 se encuentra una probabilidad central del 0.863) b. como en principio cambia la desigualdad.Diga el valor de P(t(17) < .Halle P(t(17) < 0. lleva a tener que hacer algunas transformaciones cuando aparece un percentil con signo negativo.863) = Ft(0.La razón apuntada anteriormente.392) = P(t(17) < 0.07 < t(17) < 2. con distribución t'student.392) c.P(t(17) > -0.. esto no es un valor que se puede obtener directamente de la tabla.Calcule P(-1.9) d..Resuelva P(-1. Pero utilizando la simetría de la distribución se tiene un área equivalente: 69 .Ft] (con el valor correspondiente positivo). lo que está apoyado en la simetría de la distribución. es decir si se tiene que buscar un área que corresponde a la cola izquierda. en ese caso.Halle tk las que P(t(17) < tk) = 0.863. De la misma forma si se trabaja con las propiedades de la función de distribución y se tiene el caso de una Ft evaluada para algún valor de "t" negativo.. pues no es una probabilidad acumulada.. se le cambia el sentido del signo de la desigualdad.392) = Ft (0.75 g.392) = 0. b.257) f. Solución: a.P(t(17) < 0.74 < t(17) < -0. resuelva las siguientes proposiciones: a. 74)] = (1 .75 ====> tk = 0. se obtiene de esta forma la probabilidad buscada.0.F(1.[1 .P(t(17) < tk) = 0.534) = 1 . y que es llamada distribución de probabilidad de Fisher.0.P(-1.F(1..257) .85) = 0.F(-1.30 (por propiedad de F(x)) (por ser "t" negativa) (por propiedad de F(x)) e.35 (por ser las dos "t" negativas) f. 70 . por tanto.995 .534) = 1 .P(-1..P(t1 < t(17) < t2) = 0.95) = 0. debido a la simetría de la distribución.0.0..07 < t(17) < 2.60) .30 restantes se dividen para las dos colas: Buscando esta área se obtiene el valor de "t" positivo en la tabla (es decir de t2) y el valor de t1 es el mismo con signo negativo.Y la tabla da la probabilidad acumulada desde -∞ hasta la t positiva.F(0.995 .(1 .(1 .70. y los 0.74) = [1 .9) .9) .07) = F(2.P(t(17) < -0. conviene graficar la distribución. c.40 .534) = P(t(17) > 0.7 Para buscar estos dos valores..689 g.15 = 0.70 = 0. t1 y t2.0. DISTRIBUCIÓN “F” DE FISHER Otra de las distribuciones importantes asociadas a la normal es la que se define como el cociente de dos distribuciones χ2 independientes.07)] = 0.74 < t(17) < -0.[1 ..257)] .257) = F(-0.9) = F(2.0. dibujando un área central igual a 0.F(0.845 d.F(-1.05 = 0. que suelen ser llamados respectivamente grados de libertad del numerador (νn) y del denominador (νd). como se verá más adelante. el número de grados de libertad del numerador. Debe destacarse que: F(n. lo que indica el 1%. Lo que sigue es un fragmento de la tabla para una probabilidad acumulada igual a 0. equivale a decir un α = 1%).95 . la función de densidad de Fisher toma la forma: Lo más común al tabular la distribución de Fisher es construir diferentes tablas para los valores de probabilidad acumulada útiles en las aplicaciones de esta distribución. n) Una propiedad interesante de esta distribución es la siguiente: F ∼ F(n. También se marcan con el 5% y el 1 %. una para las proporciones acumulativas del 95% y otra del 99% (F0.30. así. Se presentan dos tablas separadas. el nivel de probabilidad acumulada. m) ≠ F(m. que en la tabla están en la primera fila.99 (lo que.99). y se caracteriza por un par de grados de libertad (n . m) ⇔ F Gráficamente. 71 . por ejemplo. n) ⎛ n + m ⎞ n/2 m/2 Γ⎜ ⎟n m 2 ⎠ ⎝ La función de densidad de Fisher es: f ( x) = x −( m − 2) / 2 (m + nx) −( n + m ) / 2 n m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟Γ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ 1 ∼ F(m. es que el 1% del área bajo la curva F10. F0. y estos porcentajes se refieren a la proporción de área encerradas por las curvas a la derecha de los valores dados en las tablas. entonces: F= χ (2n ) / n χ (2m ) / m ∼ F(n. el número de grados de libertad del denominador que están en la primera columna (a la izquierda).Sean X ∼ χ n2 e Y∼ χ m2 variables aleatorias independientes. en muchas aplicaciones. si n = 10 y m = 12. m) Una variable F de Fisher está definida para valores reales positivos (F ≥ 0). m). Estructura de la tabla: En esta tabla debe entrarse con 3 valores.12 está a la derecha de 4. 8) > Xk) = 0. tal que P(F(12.95 e) P(0.12) < 4.15) < 3.28 e) P(0.20) < xk) = 0.99. se limitará la búsqueda a estas dos tablas. y que se va a tratar únicamente con probabilidades acumuladas iguales a 0. tal que P(F(10.2123 < F(10.12) < 4.99 ⇒ Xk = 3.15) > 4.2123 . tal que P(F(12.06) = 0. resuelva las siguientes proposiciones: a) P(F(4.15) > 4.F(10. Se debe tener en cuenta que los grados de libertad del numerador (el primer número del par) están en la primera fila de la tabla. tal que P(F(10.95 b) P(F(4.89) = 1 – 0. a) P(F(4.95 ⇒ Xk = 3.95 ó 0.Ejemplo: Si se reconoce que la variable aleatoria en estudio sigue una distribución F de Fisher.99 d) El valor de xk.01 c) El valor de Xk.15) < 3.8) > xk) = 0.37 d) El valor de Xk.06) b) P(F(4. y los grados de libertad del denominador (el segundo número del par) están en la primera columna.99 = 0.30) Solución: Puesto que las probabilidades acumuladas son del 95% ó del 99%.89) c) El valor de xk.30) 72 .20) < Xk) = 0. Calcule cada uno de los valores siguientes para una χ2 con 25 grados de libertad: a.05 e.76) = 0.01 = 0.975 b.90 b.¿Cuál es la probabilidad de que una llamada en particular durara entre 180 y 300 segundos? c.t0.-t0. 12) < 0.10 c...30) = 0.χ20.¿Qué distribución tiene Z.. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Si P(F(10..995 j.-t0.-t0. menos el área tras 0.¿Qué parámetros la definen? 3.95 d.2130 nos dará el área o probabilidad buscada.. T'Student y Ji-Cuadrado? 5.98..Aquí lo que se quiere es el área entre dos puntos.30.01 i.¿Qué porcentaje de las llamadas duró entre 110 y 180 segundos? e.Calcule cada uno de los valores siguientes para una t con 25 grados de libertad: a.χ20...P(Xo < X < 26.....2123 ) = 0..t0.t0..Determine el valor de Xo en cada uno de los siguientes casos: a.χ20.975 f.01 entonces el área tras 4.-t0.99 h.025 i..005 73 . 12) < 4.10 c.01 8.t0...¿Cuantas llamadas duraron menos de 180 segundos ó más de 300 segundos? d.¿Cuáles son las características de la distribución normal 2...-t0.¿A qué tipo de variable corresponden estos tres modelos: Normal.2) = 0.χ20. o sea: P = 0.. señala que la duración de estas llamadas está distribuida normalmente con μ = 240 segundos y desviación típica igual a 40 segundos..025 g.98 conociendo que X sigue χ212 b.-t0.¿Qué porcentaje de llamadas duró menos de 180 segundos? b..98 conociendo que X sigue t (10) 7.χ20.95 d.99 – 0..χ20..χ20. a..χ20...90 g..P(Xo < X < 2.El análisis estadístico de 1000 llamadas telefónicas de larga distancia realizadas desde las oficinas centrales de la Corporación CIMEX. y cuáles son su media y varianza? 4.80 f.χ20.99 y P(F(10.χ20.05 e..99 h.¿Cuál es la duración mínima del 1% de las llamadas más largas? 6.995 j. Su principal limitación es que no permiten establecer una medida probabilística de los posibles errores en la estimación. Con este tema se inicia el estudio de la parte de la Estadística que se ocupa de la inferencia. organización. Como se dijo. Uso de la tabla de números aleatorios para efectuar un muestreo aleatorio. Conceptos básicos: Población y Muestra. Censo: Estudio de la totalidad de elementos de la población. partiendo de un grupo de observaciones. Muestreos aleatorios: Muestreo Aleatorio Simple. dar un valor aproximado de los parámetros que interesa estudiar. y la presencia del azar conlleva la posibilidad de emplear la Teoría de las Probabilidades en la medición de posibles errores de estimación. ¾ Muestreos aleatorios son aquellos en que de alguna manera se introduce la aleatoriedad o azar en la conformación de la muestra. Algunos conceptos que se deben manejar para adentrarse en la Teoría del Muestreo son: Población: Conjunto de individuos. elementos o cosas que se desea estudiar a partir de algunas características que tienen en común. es decir. temporal o económica de realizar un censo se determina tomar una muestra. Una parte importante de la aplicación cualquier método inferencial es la adecuada selección de la muestra. de una muestra. lo cual es abordado por un gran capítulo de la Estadística Inferencial que es la Teoría del Muestreo. Ante la imposibilidad material. pronósticos y llegar a conclusiones. Muestra: Parte o subconjunto de la población que se toma para el estudio.TEMA IV: MUESTREO Y ESTIMACIÓN 4. o sea. reducción y medición de la información. ¾ Muestreos opináticos o no aleatorios son aquellos en que se selecciona la muestra atendiendo por lo general a la opinión de algún experto en el tema en estudio. Dentro de los muestreos aleatorios están: 9 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) 9 Muestreo Irrestricto Aleatorio (MIA) 9 Muestreo Sistemático (MS) 9 Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE) 9 Muestreo Aleatorio por Conglomerado (MAC) 74 . que se abordará brevemente aquí. Muestreo: Conjunto de procedimientos para tomar una muestra de una población. mientras que la Estadística Inferencial desarrolla técnicas que permiten hacer análisis.1. la Estadística Descriptiva se ocupa de la recolección. intentando eliminar la subjetividad en el proceso. y a partir de ella estimar. Los métodos de muestreo pueden ser: opináticos o aleatorios. . pues es un trabajo mayor tomar todas las muestras posibles que hacer un censo. 2.f(x1... Nn muestras distintas de tamaño n.x2. f(xn).36/9 =(42 -36)/9 = 6/9 = 2/3 = 0. son los mismos para toda la muestra. 3} se quiere obtener todas las muestra aleatorias simples de tamaño 2 y verificar sus propiedades.= E(xn) = E(x) 4. De esta población se pueden obtener.E(x1) = E(x2) = .... 2.[E(x)]2 = 14/3 . se dice que estos valores conforman una muestra aleatoria simple si se cumple que: 2..f(xn) (La probabilidad de que cualquier elemento de la población pase a la muestra es la misma.67 75 . con reposición.f(x1) = f(x2) = ... 1... Sea una población finita de tamaño N.= f xn) = f(x) Ejemplo: Demostración de las propiedades del MAS Dada una población finita con 3 elementos cuyos valores en la variable son x = {1. tendrá asociada una función de probabilidad f (x1)..El uso de uno u otro de los muestreos aleatorios está en dependencia de cómo se comporta la característica objeto de interés en la población.. 3 (N = 3) Como hay un solo valor de cada elemento se puede plantear: Xi f(X) X f(X) X2 f(X) 1 1/3 1/3 1/3 2 1/3 2/3 4/3 3 1/3 3/3 9/3 1 2 14/3 Así: f (x) = 1/3 E(x) = Σ x f(x) = 6/3 = 2 V(x) = E(x2) . n variables aleatorias independientes que representan un conjunto de valores observados de una variable poblacional X..= V(xn) = V(x) El valor esperado para cada observación. f (x2).) 3.. Se trata aquí de un desarrollo teórico.. pues ésta es estudiable en su totalidad. Nota: El tomar una muestra de una población de tamaño 3 parece un absurdo. xn (como la selección se hace con reposición eso equivale a que los valores de “xi” son independientes). xn.) (Hay independencia entre las observaciones.V(x1) = V(x2) = . x2. Como “xi” es una variable aleatoria. y también parece absurdo tomar todas las muestras posibles. lo que indica que debe usarse el método de muestreo adecuado y tenerse una idea del tamaño de muestra necesario. EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (MAS) El Muestreo Aleatorio Simple (MAS) es el procedimiento mediante el cual se eligen por sorteo n elementos de una población tamaño N. y su varianza........ x2. Dado lo anterior se puede llegar a una definición más rigurosa del MAS: Sean x1.. Sin embargo lo más importante para obtener buenas estimaciones será siempre que la muestra sea representativa de la población.. haciendo las extracciones o selección con reposición... y cada una de ellas será un conjunto de n variables independientes: x1.xn) = f(x1)f(x2). Solución: Población: X = 1. ..(6/3)2 = 14/3 . y sea X la variable o característica en estudio.. es la base para cualquier otro muestreo donde –dada la no reposición– ya no habría independencia entre los elementos de la muestra. pero el estudio de éste.El conjunto de todas las muestras posibles de tamaño 2 es: x1 1 1 1 x2 1 2 3 x1 2 2 2 x2 1 2 3 x1 1 2 3 f (x1) 3/9 3/9 3/9 x1 3 3 3 x2 1 2 3 Siendo: x1 = valores que toma el 1er elemento de la muestra x2 = valores que toma el 2do elemento de la muestra N(S) = 9 Entonces: x1 f(x1) 1/3 2/3 3/3 Σ= 2 x 21 f (x1) 1/3 4/3 9/3 Σ= 14/3 x2 1 2 3 f (x2) 3/9 3/9 3/9 x2 f(x2) 1/3 2/3 3/3 Σ= 2 x22 f (x2) 1/3 4/3 9/3 Σ= 14/3 Y de un análisis bivariado. Aquí se preferirá distinguirlos separadamente. resulta: X2 \ X1 1 2 3 f(x1) 1 1/9 1/9 1/9 1/3 2 1/9 1/9 1/9 1/3 3 1/9 1/9 1/9 1/3 f(x2) 1/3 1/3 1/3 1 1ra propiedad: f (x1) = f (x2) = f (x) = 3/9 = 1/3 2da propiedad: Por tanto: f(x1) = 1/3 f (x2) = 1/3 f (x1. los cálculos probabilísticos serán más complicados. aunque se haga reposición es muy poco probable que un elemento de la población salga repetido en la muestra.4 = 2/3 Por tanto: V(x1) = V(x2) = V(x) 4ta propiedad: Notas: • Conviene resaltar que algunos autores (ver Canavos). 76 . cuando la población es muy grande –y a la vez mucho más grande que la muestra que se obtendrá–.[E(x2)]2 = ∑ x22 f(x2) – (2)2= 14/3 . Por otra parte. dada la independencia que garantiza. lo cual hace que el muestreo con reposición pueda verse como un caso límite del muestreo sin reposición cuando N es muy grande. x2) = 1/9 f (x1 x2) = 1/9 = f (x1)f (x2) = 1/3⋅1/3 E(x1) = ∑ x1 f(x1) = 1/3 + 2/3 + 3/3 = 2 E(x2) = ∑ x2 f(x2) = 1/3 + 2/3 + 3/3 = 2 Por tanto: E(x1) = E(x2) = E(x) = 2 3ra propiedad: V(x1) = E(x12) . por tanto. otros autores (ver Calero) diferencian estos casos y cuando no se hace reposición hablan de un muestreo irrestricto aleatorio (MIA). según el espacio muestral. • En la práctica rara vez interesa efectuar un muestreo con reposición. y donde.4 = 2/3 V(x2) = E(x22) . al hablar del Muestreo Aleatorio Simple (o MAS) incluyen dentro del mismo el caso con reposición como aquel sin reposición.[E(x1)]2 = ∑ x12 f(x1) – (2)2= 14/3 . 7. según lo siguiente: 9 Cada número seleccionado debe tener tantas cifras. la tabla suministra un grupo de números equivalentes a los que se tomarían al azar. Uso de la tabla: 1..Se enumeran de forma consecutiva los N elementos de la población. que puede aparecer o no en la tabla de números aleatorios).. Estructura de la tabla: La tabla de números aleatorios que está en la selección de tablas estadística es aleatoria solamente de forma horizontal. lo que indica las columna 1. 2.8. o de ambas formas. hecha como si se introdujera una lista de números en un bombo y se fueran tomando luego algunos sin mirar.: Si N = 3000 se formarán números de 4 cifras.4 ó 5 . 4 o las columna 5. y así sucesivamente. de forma vertical. y están numeradas las filas y columnas. en el caso de las filas están numeradas consecutivamente desde la 1 a la 25. fila y columna por donde se comenzará a tomar.TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS Una tabla de números aleatorios es una tabla para ayudar a elegir n elementos de una población mediante "sorteo". es decir. el bloque. 6. por tanto solo puede ser utilizada de esta forma. 2.. Ej. Esta tabla está formada por 4 bloques de 1000 cifras. 77 . (Para que cada elemento esté identificado con una etiqueta. 3. y 8. como cifras tenga N. etc.Se elegirá al azar. Estas tablas pueden ser aleatorias de forma horizontal. en forma consecutiva y horizontalmente los "n" números aleatorios que ayudarán a conformar la muestra. mientras que las columnas están de cuatro en cuatro y se indica 1 . columna 25. Ejemplo: (Ejercicio 423 página 289 del Laboratorio de Estadística 2da. se quiere como muestra el resultado para 5 talleres). o sea. Solución: Primeramente se etiqueta la población: 31 82 93 511 712 913 84 55 76 57 48 69 810 414 715 316 817 618 419 520 Nota: Lo que semeja un exponente son las etiquetas que se le han puesto a la población.3000 = 4820 – 3000 = 1820 <N. Ej. se debe elegir un intervalo de trabajo que no sobrepase al mayor múltiplo de N con la misma cantidad de cifras que N. fila 3. Otro criterio es no desecharlo tal número.: Si el número aleatorio encontrado es 7820 y N=3000 entonces se resta: 7820 . Para ello se toman de la población los elementos cuyo etiquetado coincide con los números aleatorios generados.Finalmente. se obtiene la muestra. restándole sucesivamente N hasta obtener un número menor o igual a N. Nota: En el caso de que se opte por un muestreo sin reposición (lo que Calero Vinelo denomina un MIA). la enumeración de sus elementos para después elegir la muestra. y estos estarías entonces privilegiados probabilísticamente en el muestreo.: Si N = 3000 su mayor múltiplo con la misma cantidad de cifras (4) es 9000. como se ve en el siguiente esquema: 3. sino transformarlo. utilizando para el arranque el primer bloque. Al formar números de cuatro cifras. estos podrán variar entre 0001 y 9999. sino sólo 999. 3 8 9 8 5 7 5 4 6 8 5 7 9 4 7 3 8 6 4 5 Seleccione una muestra aleatoria de tamaño 5 (o sea. Parte) X: # de televisores que llegan con roturas en una semana a 20 talleres. Ej. los números aleatorios repetidos también deben eliminarse previamente y buscar otros.. este criterio obliga a trabajar más. N = 20 ⇒ 2 cifras 78 . pero los mayores que 9000 deben desecharse.9 Si el número seleccionado de la tabla es > N puede ser desechado. pues a partir de 9000 hasta 9999 no hay otros 3000 número. no obstante. 9 Para garantizar que cada uno de los N elementos de la población tenga la misma posibilidad de ser seleccionado. .. f(xn) 79 ..El mayor múltiplo de 20 con 2 cifras es 80. . número aleatorio 10 03 22 11 54 número elemento aleatorio de la rectificado muestra Xi 10 8 3 9 2 8 11 5 14 4 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN En lo adelante se podrán resolver preguntas como la siguiente: Si en una población se conoce que x sigue una N (10. 2) ¿Qué podría afirmarse de la distribución y los parámetros de la variable aleatoria xi.. xn) = f (x1)f(x2) . que se definen en el MAS? A esto puede responderse que cada xi sigue una distribución normal con la misma media y la misma varianza y que su función conjunta es igual al producto de las funciones de cada variable: f (x1.. x2. todo valor mayor que 80 se elimina y el que esté entre 20 y 80 se rectifica restándole 20 hasta que quede un número del 1 al 20. por lo tanto el intervalo de trabajo estará entre 01 y 80. que será el que se tome como número aleatorio rectificado. Estimación puntual. y no resulta ni posible. 80 . En la Inferencia Estadística se emplea el método inductivo (de lo particular a lo general).4. como la media. • Ser consistentes. la proporción asociada a determinados valores de la variable. y que será expresada en términos probabilísticos. después de sustituir los valores muestrales. de aquí la importancia que tiene la toma correcta de la muestra. En ocasiones ocurre que los principales parámetros poblacionales son desconocidos. En tales situaciones el estadístico o el investigador tendrán que estimar dichos parámetros sobre la base de lo que tiene posibilidad de conocer: una muestra aleatoria. que pueden variar de una muestra a otra. Distribución muestral de las proporciones y de la varianza. etc. se pueden sacar muchas muestras. Para hablar de buenos estimadores se definen entre las cualidades que estos deben tener las siguientes: • Ser insesgados. se deriva de ello que las estimaciones o medidas que se determinan en cada muestra son variables aleatorias. la varianza. Propiedades deseables para un buen estimador. es aquella parte de la Inferencia Estadística que se ocupa de los métodos para estimar el valor de los parámetros poblacionales. cuando se calcula éste sobre una muestra. y θ$ para el estimador correspondiente (el acento circunflejo ^ denota estimación). Es de desear. Se le llama estimador a cualquier función de "n" variables en la que. Distribución muestral. que la conclusión o inferencias obtenidas tendrá asociado un grado de error o incertidumbre y es necesario por tanto estudiar los métodos que ofrezcan una medida confiable del mismo. que el método de estimación usado no introduzca otros errores. En general es de interés poder contar con un estimador para cualquier parámetro poblacional. La Teoría de la Estimación. Se denomina estimación al valor numérico concreto que resulta de un estimador. Para representar un parámetro cualquiera se utiliza de forma genérica el símbolo θ (letra griega sita). observar toda la población para calcular el valor de dichos parámetros. • Ser eficientes. PROPIEDADES DESEABLES PARA UN BUEN ESTIMADOR: La importancia de contar con buenos estimadores puede quedar clara si se analiza que las estimaciones de los parámetros se obtendrán con una muestra que no contiene exactamente la misma información que la población.2 Estimadores. por tanto. tema que se comienza a estudiar ahora. Como de una población de tamaño N. el resultado obtenido puede servir como sustituto del valor de un parámetro poblacional. lo que tendrá como consecuencia. ni económico. pues solamente es un reflejo de ella. Distribución muestral de la media tanto con varianza (σ2) conocida como desconocida. lo cual ya de por sí conlleva a posibles errores. y en ocasiones un reflejo bastante pálido. E(S2) tiene un sesgo. Lo mismo puede decirse de la proporción de elementos que cumplen determinada condición en una muestra como estimador para la correspondiente proporción poblacional: es un estimador insesgado. al contar con una muestra aleatoria. ya que. σ2. una diferencia. la media muestral constituirá una estimación insesgada de la media poblacional. con lo cual. así: n n n −1 2 ⎛ n ⎞ ⋅ σ = σ2 E⎜ S2 ⎟ = E(S 2 ) = n 1 n 1 n 1 n − − − ⎝ ⎠ Entonces. se dice.INSESGADEZ Se dice que un estimador es insesgado si se cumple que su esperanza es igual al parámetro que estima. que es sesgado. que puede también formularse como: s 2 = n −1 n −1 ∑ (x − x ) 2 Esta última manera de plantearlo muestra que el estimador de la varianza se diferencia de la verdadera varianza de la muestra en que aquella se calcula dividiendo por n mientras que en éste se divide por (n -1). 81 . multiplicando por n y dividiendo entre (n -1) la varianza de la muestra. y se llama sesgo a Si el estimador no es insesgado. sin embargo. o sea. si: ˆ =θ E(θ) ˆ ≠ θ . si E(θ) la cantidad en que difiere el estimador del parámetro: ˆ −θ Sesgo = E(θ) Cabe preguntarse: ¿Será x un estimador insesgado de μ? ⎛1 E( x ) = E⎜ ⎝n ∑ x ⎟⎠ = n E(∑ x ) = n ∑ E(x ) = n ∑ μ = n n μ = μ ⎞ 1 1 1 1 O sea: E( x ) = μ Por tanto x es un estimador insesgado. con el parámetro que estima. pues: E(pˆ ) = p Con: pˆ = xn x y p= N n N (Aquí X es una variable discreta. Pero observando a este resultado puede construirse un estimador insesgado para la varianza poblacional. de conteo: xn indica un conteo en la muestra y xN un conteo en la población) Hay que destacar. un estimador insesgado para la varianza poblacional será: s2 = n 1 S 2 . que S2 no es un estimador insesgado de σ2. al aplicar las propiedades del valor esperado se obtiene: n −1 2 E (S 2 ) = σ n O sea. o sea. entonces: ESTIMACIÓN PUNTUAL Y ERROR DE ESTIMACIÓN: El objetivo que se persigue con una estimación es obtener valores específicos del parámetro desconocido. el estimador tiende a estar más cerca del parámetro. s2 y pˆ son estimadores consistentes. el procedimiento tiene que ser calcular el ECM para todos los estimadores que se propongan.CONSISTENCIA Se dice que un estimador es consistente si al hacerse el tamaño de muestra cada vez más grande. y de la comparación elegir cuál es el más eficiente. ECM (θ$) = V (θ$) y el estimador eficiente será el de menor varianza. Esto implica que la varianza de un estimador consistente disminuye a medida que “n” crece y su media tiende al verdadero valor del parámetro. si un estimador es consistente. EFICIENCIA Se dice que un estimador es eficiente si su error cuadrático medio es menor que el de cualquier otro estimador con el que se le compare. es decir.. de manera que n → N. En el MAS se utilizan como buenos estimadores para los parámetros más significativos los que siguen: 82 . se cumple que: 1. Este error cuadrático medio (ECM) se calcula como la suma de la varianza más el sesgo al cuadrado del estimador: ECM (θ$) = V (θ$) + ( E (θ$) − θ ) 2 Así. Una estimación puntual es precisamente eso: la evaluación de un buen estimador en una muestra para tomar ese valor como medida aproximada del parámetro desconocido. es decir. Notas: • Todo estimador eficiente es consistente. que pueden ser utilizados en su lugar.lim E(θˆ ) = θ n→ ∞ 2. En términos rigurosos debe decirse: lim P(| θˆ − θ | ≤ ε ) = 1 para todos los valores de θ y ε > 0 n→ ∞ Este límite constituye lo que se denomina convergencia en probabilidad. • Si los estimadores que se comparan son todos insesgados. converge en probabilidad al valor del parámetro que está intentando estimar conforme el tamaño de la muestra crece. Nota: Un estimador insesgado puede o no ser consistente.lim V(θˆ ) = 0 n→ ∞ Bajo muestreos aleatorios simples se verifica que: x .. El error de muestreo. constituye otra variable aleatoria. y si se conociera éste. Se llama error de muestreo o error de estimación (em) a la diferencia entre el valor de la estimación y el del verdadero valor del parámetro. no habría necesidad de estimarlo. otros autores no consideran esta diferenciación como fundamental y utilizan ambos términos como sinónimos. que será una medida probabilística. que es lo que se hará acá.tipo de estudio característica medible parámetro ( θ ) medida de tendencia μ medida de dispersión σ2 medida de proporción p ∑ cuantitativo cualitativo estimador ( θˆ ) 1 x= x n 1 s2 = ( x − x)2 n −1 x pˆ = n n ∑ Ejemplo: Estimar el promedio de televisores que llegan con roturas a los talleres a partir de la muestra de tamaño 5 tomada (ver ejemplo anterior).8 = 34/5 = 6. pues habría que conocer el parámetro poblacional. que es el error de muestreo): em (θ) = θˆ − θ Nota: Algunos autores diferencian entre el concepto de error de estimación y el de muestreo. es decir. pues puede variar de estimación a estimación. que en muchos casos simplifica los cálculos. Pero además.la media muestral 83 . (Es evidente que cuando se estima un parámetro poblacional a partir de un estimador muestral puede haber implícito un error. se ha recurrido a una transformación matemática de la definición del estimador.7 4 Es de destacar que para estimar la varianza se ha usado el estimador insesgado. Además.) μˆ = x = ∑ σˆ 2 = s 2 = 1 n −1 ∑ ( x − μ)2 = ∑x 2 − n x2 n −1 = 250 − 5 ⋅ 6. al depender de una estimación.8 2 = 4 . es un valor que no se puede conocer. Esto conduce a que se plantee la necesidad de contar con una medida del error de muestreo. aquel en que la suma de desviaciones cuadráticas se divide por n -1. calculando uno modularmente y el otro sin emplear el módulo. y si sobre todas ellas se calcula –por ejemplo. estimar también la varianza. DISTRIBUCIONES MUESTRALES: Ya se ha visto que si de una población cualquiera se toman todas las muestras posibles de tamaño n. a través del MAS.8 n 5 (Aproximadamente 7 televisores llegan como promedio a los talleres. Solución: Xi Xi2 8 64 9 81 8 64 5 25 4 16 ∑ = 34 ∑=250 1 34 x= = 6. ) Nota: El nombre de error estándar se debe a la propia manera en que se calcula éste: 1 ( θˆ − θ)2 n De la expresión anterior se ve que el error estándar es una especie de promedio de los errores de estimación o muestreo (θˆ − θ) . con media μ y varianza σ2. a esta última se le suele llamar error estándar. entonces la media muestral tendrá también una distribución normal. es una medida resumen del error de estimación para el parámetro. determinar la media y la desviación estándar de la distribución. y se selecciona una muestra aleatoria tamaño n por el procedimiento del MAS. una vez conocida la distribución muestral asociada a un estimador. Ejemplo: La distribución del estimador de la media ( x ) cumple lo siguiente: E( x ) = μ y V( x ) = σ2/n (Ver demostración en página 123 del libro de texto.σ) entonces X ∼ N ( μ . en este caso con media μ y varianza σ2/n.. σ / n ) 84 .) Estas características informan que: 1. lo que hace que estas estimaciones constituyan variables aleatorias.La varianza del estimador x es n veces menor que la varianza de la población: V(x) = σ2 y V( x ) = σ2/n σ 3.. y al ser variable aleatoria tiene asociada: 9 Distribución de probabilidad 9 Características numéricas o parámetros A las distribuciones de probabilidad de los estimadores se les denomina distribuciones muestrales. o sea.El centro de la distribución poblacional y de la distribución muestral de x coinciden: μ(x) = μ ( x ) 2. Lo mismo pasaría con la varianza o cualquier otro estimador. Falta por conocer la función de probabilidad del estimador para poder sacar conclusiones respecto al error. por tanto se puede llegar a una conclusión muy importante: Todo estimador es una variable aleatoria.La desviación estándar o error estándar asociado a la media es: σ x = V( x ) = n (Lo cual permite concluir que a medida que n aumenta los valores de la media muestral se concentran más alrededor de μ. Es común. O sea..como estimación de la media poblacional. se obtendrán valores diferentes en el conjunto de muestras. si X ∼ N(μ . pues se calcula como la raíz del promedio de sus cuadrados. σ( θˆ ) = V ( θˆ ) = ∑ DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LOS PARÁMETROS MÁS USADOS: Hay un teorema que plantea que si X tiene una distribución normal. Si X ∼ N( μ. se utiliza la distribución t'Student. que entre sus corolarios establece: si X es una variable aleatoria con media μ y varianza σ2. es necesario previamente estimar ésta a través de s. y de la cual se ha extraído una muestra aleatoria de tamaño n. por lo que se utiliza este criterio para considerar que n → ∞ Hasta aquí se ha llegado a expresiones que involucran el conocimiento de la varianza (σ2) o la desviación típica (σ) poblacional de X. o sea. Esto es. así: ⎛ s ⎞ ⎟⎟ . entonces: x ∼ N⎜⎜ μ . la distribución t'Student tiende a la normal estandarizada. σ ) y n → ∞ entonces x ∼ N (μ . recibe el nombre de estadígrafo t. tiende a distribuirse normalmente cuando n > 30. entonces se puede afirmar que: x−μ ∼ t (n-1) s/ n Así. entonces la transformación: x−μ σ/ n tiende una distribución que se aproxima a la normal estandarizada a medida que n tiende a infinito. Y hay otro teorema que plantea que si se tiene una población normal. cuando se quiere hallar la probabilidad de cierto comportamiento de la media siendo desconocida la varianza de la población –si se cumple que la variable original se distribuye normalmente-. su estimador insesgado y consistente (teniendo en cuenta dividir por n -1 y no por n en el cálculo). La transformación así obtenida para la media t = x−μ . σ / n ) Nota: En la práctica se ha demostrado que siempre que n ≥ 30 la aproximación a la normal es buena. utilizando también el teorema central del límite se llega a que la proporción muestral. y x es la media de una muestra aleatoria simple de tamaño n. a lo cual se le llama caso de σ desconocida. con varianza desconocida. y por tanto t se puede aproximar a través de Z. n⎠ ⎝ De la misma manera.Y para calcular la probabilidad de cierto comportamiento de la media. ?) y n > 30. Pero. o sea: ⎛ pˆ − p pq ⎞⎟ Si n > 30 entonces: pˆ ∼ N⎜ p . como estimador de la proporción poblacional. 1). ¿y si esta no se conoce? Si la desviación típica poblacional no se conoce. el propio teorema central del límite permite concluir lo siguiente: Si n → ∞. ∼ N (0. s/ n No obstante. o lo que es igual: t → Z ∼ N (0. 1) . o estandarizando: z p = ⎜ n ⎟⎠ pq / n ⎝ 85 . y si X no tiene una distribución normal? Esto lo resuelve el Teorema Central del Límite. esto es a Z ∼ N (0. cuando n > 30. 1). se utilizará la variable x −μ estandarizada: Z = σ/ n ¿Pero. si X ∼ ? (μ . al estudiar s2 como estimador de la varianza poblacional se ve que no sigue una distribución normal.P( x < 62) = P(Z < (62 . 1) ó ⎛ pq ⎞⎟ pˆ ∼ N⎜ p .8413 3..Fz (0) = 1 . ⎝ σ ⎞ ⎟⎟ n⎠ σ ⎞ ⎟⎟ n⎠ ∼ t (n -1) ó ⎛ s ⎞ ⎟⎟ x ∼ N⎜⎜ μ . ⎝ ⎛ x ∼ N⎜⎜ μ . ⎜ n ⎟⎠ ⎝ EJEMPLO 1: Sean: X ∼ N (60 .60)/2) = P(Z < 2) = Fz (2) = 0. σ2 Resumen de las principales distribuciones muestrales: parámetro estimador condiciones μ x distribución muestral X ∼ N (μ .. sino que tiene un comportamiento asimétrico. σ x = σ n = 4 4 =2 Calcular: 1.1587 = 0. ? ) y n > 30 σ2 s2 X∼N p pˆ n > 30 Z= x −μ s/ n ∼ N (0.P(58 < x < 62) = P [(58 -60)/2 < Z < (62 -60)/2] = P ( -1 < Z < 1) = Fz(1) .5 4. σ ) y n > 30 Z= x −μ σ/ n x −μ σ/ n ∼ N (0. 1) ó ∼ N (0. n⎠ ⎝ (n − 1)s 2 ∼ χ2(n -1) 2 σ ∼ N (0. σ ) Z= X ∼ ? (μ . 1) σ/ n χ2 = zp = x −μ pˆ − p pq / n ⎛ x ∼ N⎜⎜ μ .60)/2) = P(Z < 1) = Fz(1) = 0. n = 4..60)/2) = P(Z > 0) = 1 . como sigue: (n − 1)s 2 ∼ χ2(n -1) σ2 (n − 1)s 2 Debido a esto la expresión χ 2 = recibe el nombre de estadígrafo chi-cuadrado. Por otra parte.8413 . μ = 60.Se verifica en la práctica que esta aproximación es realmente buena cuando el producto np > 5 y/o nq < 5. hay un teorema que plantea que para una población normal se cumple que s2 tiene asociada una distribución chi-cuadrado con ( n -1) grados de libertad. 4).6826 86 .0. 1) ó t= X ∼ N (μ . σ = 4.0.5 = 0.9772 2. Sin embargo.P( x < 64) = P(Z < (64 ..P(Z < 0) = 1 .Fz(-1) = 0. ?) X ∼ ? (μ .P( x > 60) = P(Z > (60 . 05/0.P(s2 > 8) = 1 – P(s2 < 8) = 1 .55 .05) = P (-2 < Z < 1) = Fz(1) . ∑ X ini = 482 ..9 ⎛ − 0 .85) = 0.0.s x = ∑ (X n ) 2 i − X ni = 60 i=1 n ∑ X n = 482/16 = 30.05 < Z < 0.5 < t(15) < 0.x = 1 n b.5 0 .5) = P ( -1 < t < 1) = Ft (1) ..Fz(-2) = 0.10/0. 5 = 0.Entre qué dos valores se moverá S2 con una probabilidad central de 0.EJEMPLO 2: n Datos: n = 16.. μ=5..005 87 .40 < P < 0.70 (Nota: Se utiliza la t'Student porque se desconocía la varianza de la población.05 100 a.0228 = 0.5 ⋅ 0 .P[ (n-1)s2/σ2 < 20(8)/4] = 1 .95.0.5/0.. Datos: n=21.Sea inferior a 5 c.μ = n p = 60 ⋅ 0.s 2 = c.Sea superior a 8 b.995 = 0.55) = P [(0.85 .5 ⎞ ⎟⎟ < t(15) < e.P (0.) EJEMPLO 3: Datos: x: incremento del rendimiento p = 0.8185 = 49 EJEMPLO 4: Calcule la probabilidad de que la varianza de una muestra de tamaño 21 obtenida de una población normal con media 5 y desviación típica 2: a.5.12 i i i=1 ∑( ) 2 1 n X i − X ni = 60/15 = 4 n − 1 i=1 s n = 2 16 = 2 = 0.Ft (-1) = 0. i=1 a. σ=2 a.8413 .μ) = 30.(1 .05 < Z < (0.5/0.5 < x .0.P (χ2(20) < 160/4) = 1 . n = 100 Calculando previamente la desviación típica se tiene: σ = pq = n 0 .40 .8185 b..5 4 (error promedio de estimación o error estándar) d.μ < 0.15 = 0..Tome valores en el intervalo (4.05] = P (-0.5 ) = P⎜⎜ 2 / 16 ⎠ ⎝ 2 / 16 = P ( -0.85 .0.0. 8) d.si μ = 32 entonces em = ( x ...P (⏐ x .P (χ2(20) < 40) = 1 .50)/0.μ⏐< 0.0...0025 = 0.Fχ2(20) (40) = 1 .1 .32 = -1.50)/0.5) = P ( -0.. Fχ2(20) = 0.P(4 < s2 < 8) = P [20 (4)/4 < χ2(20) < 20(8)/4] = P(20 < χ2(20) < 40) = Fχ2(40) .P(s2 < 5) = P (χ2(20) < 20(5)/4] = P (χ2(20) < 100/4) = P (χ2(20) < 25) = F(χ2) (25) = 0.59 (4)/20 = 1.80 c.. Ahora.. ¿Cual sería la distribución de probabilidad de la media? Fundamente su respuesta.2(4)/20 = 6..50 = 0.b..95 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. y bajo cuales condiciones? 6..975) son los valores que le corresponden a s2a y s2b.995 ..95 (probabilidad central) Estos valores de probabilidad central se buscan como sigue: Luego χ2a = χ2(0.1918 < s2 < 6.-¿Que supuesto se debe tener en cuenta para trabajar con la distribución de probabilidad de t'student? 3..918 s2b = χ2(0.Si se desconoce la varianza de la población y n > 30 ¿Con que distribución de probabilidad trabajaría en el cálculo de la probabilidad de la media? 4. los valores s2a y s2b determinan una probabilidad central del 95% así: P (1.025) (4)/20 = 9.P(s2a < s2 < s2b) = 0. despejando de χ (2n−1) χ (2n−1) σ 2 (n − 1)s 2 2 se llega a: s = = (n − 1) σ2 Entonces: s2a = χ2(0.025) y χ2b = χ2(0.. asuma determinados valores? 88 .495 d.84 Por tanto.Si se desconoce la varianza de la población y n < 30 ¿Con que distribución de probabilidad trabajaría en el cálculo de la probabilidad de la media? 2.¿Con qué distribución calcularía la probabilidad de que la varianza muestral.84) = 0.975) (4/20) =34..0.¿Tiene la varianza muestral una distribución normal? 7.¿Qué distribución de probabilidad tiene la proporción muestral.Si se desconoce la distribución de probabilidad que sigue la variable original y n → ∞. 5. 0. y este error no es calculable ya que en la práctica no se conoce el verdadero valor de un parámetro que se está estimando. Estimación por intervalos de confianza. sino que puede recurrirse a una estimación por intervalos. Pero conociendo la correspondiente distribución muestral se puede tener una medida probabilística del error.los límites del intervalo resultan también simétricos respecto a la estimación puntual tomada como partida. Una estimación por intervalos consiste en construir un intervalo alrededor de la estimación puntual de manera que se pueda garantizar que el parámetro estimado está dentro de dicho intervalo con una probabilidad escogida de antemano. como se muestra gráficamente: Utilizando el método habitual para la construcción de los intervalos –la repartición simétrica de la probabilidad α a ambos lados-. esto puede hacerse no sólo mediante una estimación puntual. por tanto. representada como 1-α. y los intervalos suelen construirse de forma tal que esta probabilidad α se reparta simétricamente. se puede organizar el proceso de estimación de manera tal que se dé un intervalo posible de valores para el parámetro (estimación por intervalo). El intervalo es. y al intervalo construido se le llama entonces intervalo de confianza. o el estadístico. en estudios económicos y sociales. lo cual se basa en la distribución muestral del estimador. cuando la distribución muestral del estimador es a su vez simétrica –por ejemplo normal o t’Student. o que se garantice que el error de estimación no sobrepase un determinado valor prefijado (error máximo permisible). de extremos variables. Cuando se quiere estimar un parámetro. 0. a esa probabilidad. α representará la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro no esté en el intervalo. se le denomina nivel de confianza. y a la distancia desde el centro del 89 . cualquier estimación puede tener asociada un error de muestreo.99. La construcción del intervalo de confianza se basa en encontrar el par de valores que delimiten este intervalo para un nivel de confianza prefijado. Al crearse el intervalo de confianza. Y aún más.4. es decir.3: Error máximo permisible y tamaño de muestra necesario para la estimación de μ y p.98. los niveles de confianza más usados suelen ser: 0.90.95. si 1-α representa la probabilidad con que se quiere que el mismo contenga al parámetro. dado por la diferencia entre el estimador y el parámetro. por ello la estimación puntual no permite evaluar cuan cercano está el valor estimado del correspondiente parámetro. El nivel de confianza lo decide el investigador. 0. Como se sabe. en la práctica. no permite calcular la precisión de la estimación. ya que sus límites pueden cambiar según el resultado de la estimación puntual sobre la muestra. por el error estándar del estimador: dθ = C α σ(θˆ ) 1− 2 Los intervalos de confianza para la media y la proporción.μ ≤ d) = 1 .intervalo hasta cada límite.μ ⏐ > d ) = P( x . se forman así: estimador ± error máximo admitido Ejemplo ilustrativo: Sea el caso de una estimación por intervalo para la media.μ < -d) + P( x . que simboliza con la letra d.μ ⏐ > d ) = α Pero: P(⏐ x . por tanto. y prefijado un nivel de confianza (1 . el mismo intervalo de confianza puede representarse como sigue: θ ∈ [θˆ − d θ .μ > d) = α 90 . siendo la varianza poblacional (σ) conocida. y en general se calcula como el producto de un factor que depende del nivel de confianza.μ ⏐ ≤ d ) = P (-d ≤ x . que es una manera abreviada de indicar que lo que sigue se resta y se suma para crear un intervalo.α Esto equivale a decir que: P(⏐ x . se le denomina entonces error máximo admitido: Entonces. el denominado coeficiente de confianza (C1-α/2). θˆ + d θ ] El error máximo admitido viene a representar el máximo error que se admite cometer en la estimación bajo el nivel de confianza escogido. en caso de estimadores con distribuciones simétricas el intervalo de confianza queda de la forma: θ = θˆ ± d θ En la expresión anterior se utilizó el símbolo ±.α): Fijar un nivel de confianza quiere decir que se exige que el error máximo permisible cumpla con: P(⏐ x . por tener ambos estimadores distribuciones muestrales simétricas. Por otra parte.σ). si X ∼ N (μ . por tanto: Ahora. se pueden desarrollar las expresiones para los intervalos de confianza en todos los casos de la media. ? ) y n > 30 σ2 s 2 X∼N p pˆ n > 30 error máximo admisible σ d=Z α 1− n 2 σ d=Z α 1− n 2 s d = t (n−1) 1− α ó μ ∈[ x − d . n⎠ ⎝ ⎛ −d − d ⎞⎟ α Entonces: P( x . por lo que: P(x − μ < −d) = α 2 ⎛ σ ⎞ ⎟⎟ . que es simétrica. σ ) μ x X ∼ ? (μ . se tiene que x ∼ N⎜⎜ μ . mayor es el ancho del intervalo. σ ) y n > 30 X ∼ N (μ . no se puede hablar de un error máximo admitido.α) más grandes. Esto se resume en la siguiente tabla (asumiendo siempre un muestreo aleatorio simple): parámetro estimador condiciones X ∼ N (μ . es fácil darse cuenta al examinar las expresiones para los intervalos de confianza que: 9 Mientras más grande es el tamaño de la muestra menor es el ancho del intervalo. Además. y lo mismo es aplicable a la t’Student. al hallar el límite inferior del intervalo es equivalente usar –Z1-α/2 ó Zα/2.μ < -d) = P⎜ z < = =Z α ⎜ ⎟ 1− σ n⎠ 2 σ n ⎝ 2 d=Z Y despejando: σ α 1− 2 n Atendiendo al ejemplo anterior. ?) X ∼ ? (μ .Y dada la simetría ambos sumandos son iguales. pˆ + d ] Vale la pena anotar que en el caso de la varianza. x + d ] s 1− α 2 n ⎡ ⎢ (n −1) s 2 (n −1) s 2 . 2 σ ∈⎢ 2 χ ⎢ χ (n − 1) (n − 1) α / 2 1− α / 2 ⎢⎣ 2 --- d=Z μ= x ± d n 2 d=Z intervalo de confianza α 1− 2 pˆqˆ n p = pˆ ± d ó ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ p ∈[ pˆ − d . y se calculan directamente los límites inferior y superior del intervalo de confianza. y la varianza. 91 . en los casos en que se usa la normal. y las proporciones. 9 Para niveles de confianza (1 . dado que la distribución muestral (chicuadrado) es asimétrica. donde están las dos colas de la curva sombreadas. respectivamente. con un 95% de confianza. (1 . d = 1.7 = 0.96 ⋅ 0.176 7. Solución: X: carga soportada por un cable Información: n = 60. que matemáticamente maximiza n.Ambos resultados son lógicos ya que un tamaño grande de la muestra disminuirá la varianza del estimador. ahí se busca simplemente el valor de α por la derecha y en la izquierda está la Z requerida. x = 12.975 Para buscar el valor de Z0.95 ⇒ α = 0. al ser n > 30. una importante aplicación de las expresiones para los intervalos de confianza es el empleo de éstas para determinar el tamaño de muestra mínimo necesario para que el error en una estimación no sobrepase un valor decidido de antemano. y un nivel de confianza grande incrementará el valor del coeficiente de confianza. los resultados usados para un muestreo aleatorio simple son los siguientes: ⎛ σ⎞ ⎟ d⎠ 2 Para la media (con σ conocida): n = ⎜ Z 1−α / 2 Para la media (con σ desconocida): s⎞ ⎛ n = ⎜ Z 1−α / 2 ⎟ d ⎝ ⎠ Para las proporciones: ⎛ Z1−α / 2 ⎞ ⎛ Z1−α / 2 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ n = p q ⎜⎜ ⎟ ⎜ 2d ⎟ d ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 Aquí se utiliza la Z y no la t porque esta última involucra a la n en sus grados de libertad. y obtener Z por la intercepción con los bordes. que es más cómodo. s = 0.α) = 0. Ejemplo 1: La media y la desviación típica de las cargas máximas soportadas por 60 cables. dada la convergencia de la t a la Z. σ ) ) s s ≈Z α Entonces: μ = x ± d y d = t (n−1) 1− α − 1 n n 2 2 Se parte del uso de la t porque la desviación típica poblacional es desconocida (lo que se tiene es una estimación puntual de la misma).7.5. Finalmente. 2 2 Aquí p y q son desconocidos (es justo lo que se quiere estimar).7 60 = 1. por eso se toma p = q = 0. Para obtener el coeficiente de confianza se debe ver que: (1 . están dadas por 12 y 0. Pero una vía más rápida es utilizar la tabla que está a continuación en la selección de tablas (página 17).75 92 .975 se puede buscar este número en el interior de la tabla de la normal estándar.96 0.95 ( Se asumirá que X ∼ N(μ . se puede usar esta última. el estadístico de la distribución de probabilidad del estimador.025 ⇒ (1 .α/2) = 0.α) = 0. Se quiere hallar un intervalo de confianza para la carga media máxima soportada por los cables.7 toneladas. Esto se consigue despejando n en la expresión. lo que dará como resultado en cada caso un intervalo más amplio.05 ⇒ α/2 = 0. pues el error máximo asumido es precisamente d. es decir. no obstante. 93 .0. que en el 95% de los cables el valor medio de la carga soportada está entre 11. b) Calcule la probabilidad de que el error máximo en la estimación de esta proporción no sea mayor de 0.99.82 y 12.18 y 12 . un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional indica que el 90% de las muestras que se tomen (o sea.01 con una probabilidad asociada de 0. Solución: X: cantidad de personas que prefieren el nuevo producto. Ejemplo 2: A continuación se brindan los resultados de las entrevistas a 40 personas sobre su preferencia (1) o no (0) respecto a un nuevo producto que se ha ofertado en el mercado. pues. efectuar una estimación por intervalo con un nivel de confianza 1 .18 = 12. μ Por ejemplo. c) Calcule para un nivel de confianza de 0. mientras que el α⋅(100)% restante serán intervalos que no contengan al verdadero valor de dicho parámetro. Nota: Es esencial saber interpretar adecuadamente la información que brinda un intervalo de confianza: En el caso teórico de contar con todas las muestras posibles de tamaño n.18 toneladas. n = 40 a) pˆ = X n 24 = = 0. 9 de cada 10 muestras) darán lugar a intervalos que contengan el parámetro.60 n 40 El 60% de las personas prefieren el nuevo producto.95 el error máximo en la estimación de la proporción. 12.Por tanto: μ = 12 ± 0. d) Determine cuántas personas deben seleccionarse para que la proporción resultante tenga un error no mayor de 0. donde cada barra horizontal representa el intervalo obtenido de una muestra dada.α equivale a indicar que un (1 .18 Y siendo: 12 + 0. esto se aprecia en el esquema mostrado.18 = 11.82 . el intervalo será: μ ∈[11.05. Interprete el resultado.α )⋅100% de todos los posibles intervalos contendrán al parámetro.82 . 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 a) Calcule la proporción muestral de individuos que gustan de este producto.18 ] Se puede decir. 641) = 0. el error máximo que se espera cometer al estimar μ a través de la media muestral.641 ≤ Ζ ≤ 0.4 = Z 0.05 c) d = Z α 1− 2 pˆqˆ 0 . b) d = Z σ α 1− 2 n = Z 0.0.0.58 ⋅ 4 = 10.95.96 ⋅ 0.P ⎜≤ 0.975 = 1.Diga cuántas varillas deberán seleccionarse para que la media resultante tenga un error no mayor de 2 kgf con una confiabilidad del 95%.05) = P⎜ ≤Z≤ ⎜ σ pˆ σ pˆ ⎟⎠ ⎝ donde : σ pˆ = pq / n = 0..Determine.P ≤ 0.05 0.9544 En el 95.5 = 4160.P ⎜≤ 0.7389 . b. 16).02 ⎟ = 64. Solución. a. Ejemplo 3 La experiencia adquirida indica que la resistencia a la ruptura de las varillas de alambre producidas por cierta fábrica sigue una distribución normal con una resistencia media de 400 kgf (kilogramo-fuerza) y una desviación típica de 16 kgf. Si se toma una muestra aleatoria de 16 varillas. X: resistencia a la ruptura (kgf) n = 16 ⎛ 16 ⎞ ⎟⎟ = N (400 .153.05/0.0060 = 0. con una probabilidad de 0.05 ⎞⎟ b) P (⎜ p$ .9772 .05 ≤ p$ .6 ⋅ 0. 2 2 2 ⎛Z ⎞ ⎛ 2.0775 ≈ 0.4778 En el 47.25 ≈ 4161 ⎟ ⎜ ⎜ d ⎟ 2 d ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Nota: Debe destacarse que la aproximación de n siempre es por exceso.6 ⋅ 0 .Fz(-0.078 ≤ Ζ ≤ 0. 16 ⎠ ⎝ a) P(⏐ x .4 % de las muestras de tamaños 16 el error que se puede cometer al estimar μ no va a ser mayor que 8.05/0.0228 = 0.641) . el error que se puede cometer al estimar p no va a ser mayor que 0. con una probabilidad de 0.078 Por tanto: P (⎜ p$ .05) = P (-0.2611 = 0.05) = P (-0.⎛ − 0.78% de las muestras de tamaño 40.Fz(-2) = 0. c.μ ⏐ ≤ 8) = P(-8 ≤ x .078) = P (-0.Calcule la probabilidad de que el error en la estimación de μ no sea mayor de 8 kgf..4 / 40 = 0. por tanto: X ∼ N (400 .995 σ n = 2.995 ⎞ 2 ⎟ ⎟ =⎜ d) n = p q ⎜ 1−α / 2 ⎟ = ⎜ ⎜ 2 ⋅ 0. pues el número obtenido es lo mínimo necesario para satisfacer las condiciones deseadas para la estimación.58 ⎞ ⎛ Z0.1529 n 40 En muestras de tamaño 40 el error en la estimación de la proporción poblacional no será superior a 0..641) = Fz(0.99.μ ≤ 8) = P (-8/4 ≤ Ζ ≤ 8/4) = P (-2 ≤ Ζ ≤ 2) = Fz(2) . 4) . entonces x ∼ N⎜⎜ 400 .32 94 .078 = 0. 96 0. se encontraron 13 piezas defectuosas. Ejemplo 6 Calcule un intervalo de confianza del 95% de la varianza poblacional de una población normal.298.96 0.0025 = 0.298. correspondiente a la cantidad de personas por núcleos familiares en 37 viviendas: 4 2 5 6 6 5 6 6 6 7 5 5 4 4 2 8 4 6 8 5 2 2 5 5 4 3 6 7 6 5 5 5 6 5 4 6 1 Se quiere una estimación por intervalos de la proporción de los núcleos familiares con 4 ó más integrantes. Solución: n = 64 p = pˆ ± Z(1−α/2) pˆ = 13/64 = 0.74 y 0.20 ± 0.2 2 2 σ⎞ σ⎞ 16 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ c) n = ⎜ Z1−α / 2 ⎟ = ⎜ Z0. para un nivel de confiabilidad del 90%.84 ± 0.20(0.84 Y: σ pˆ = pq / n = 0.060) = 0.84 ⋅ 0.102 y 0.16 / 37 = 0.20 ± 1.64(0.098 Por tanto. Solución: X: Núcleos familiares con 4 ó más integrantes.060 Entonces: p = pˆ ± Z(1−α/2) pq / n = 0.20 ± 1. indicando que el 95% de las veces el verdadero valor de la proporción poblacional se encontrará entre 0.0988 Por tanto el intervalo de confianza será: 0. 95 . con una probabilidad de certeza del 95% Ejemplo 4 En una determinada localidad se obtuvo la siguiente muestra aleatoria. si en una muestra aleatoria de tamaño 22 se obtuvo una varianza de 121.975 ⎟ = ⎜1.8) / 64 = 0.84 ± 1.102 ≤ p ≤ 0.20 ±1. 2⎠ d⎠ d⎠ ⎝ ⎝ ⎝ Debe significarse que con una muestra de este tamaño se está garantizando que el error en la estimación de la resistencia media no sea mayor de 2 kgf. Se tiene que: pˆ = Xn/n = 31/37 = 0. Dé una estimación por intervalo con un nivel de confianza del 95% para la proporción de piezas defectuosas en el almacén.96 ⋅ ⎟ = 246 varillas.9388 Esto indica que el 90% de las veces el valor de la proporción muestral se encontrará entre 0.0036 = 0. el intervalo será: 0.94 Ejemplo 5 En una muestra simple aleatoria de 64 piezas de un mismo tipo.05) O sea: p = 0. extraídas de un almacén.20 pq / n = 0.7412 ≤ p ≤ 0.96(0. 975 ⎦⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ 71.. cuya distribución muestral asociada es χ2.. diga qué error máximo 96 .Halle una estimación puntual de μ y de σ2...¿Qué nos indica el error máximo admisible? ¿Para que se utiliza? 2. recogiéndose de ellos lo siguiente: ingresos: 150.α = 0.95 Como se desea un intervalo de confianza para la varianza.57 ≤ σ2 ≤ 246.Halle una estimación por intervalo del 95% de μ y de σ2. ⎥=⎢ 2 ⎥=⎢ ⎥ χ ⎣ 35. 149. y 151 a. se sustituye directamente en la expresión para el intervalo de confianza: ⎡ ⎢ (n −1) s 2 (n −1) s 2 σ 2∈ ⎢ 2 .Se desea estimar el ingreso medio de una población que sigue aproximadamente una distribución normal constituida por 10 personas y para ello se seleccionó una muestra de 5 personas.¿Con que distribución de probabilidad se trabaja el intervalo de confianza de la proporción poblacional y que condiciones se deben dar? ¿Y con que distribución de probabilidad se trabaja el intervalo de confianza de la varianza y desviación típica poblacional?.69 Esto indica que el 95% de las veces el valor de la varianza poblacional se encontrará entre 71. 152.57 y 246.¿En que caso en la estimación por intervalo de μ se trabaja con la distribución muestral de t'Student? ¿Qué supuestos se deben hacer para trabajar con esta distribución en el cálculo del intervalo de confianza de μ? 5.69.. 2 .? 4.46 ≤ σ ≤ 15. b.71 EJERCICIOS DE AUTOEVALUCIÓN 1..3 ⎦ ⎥ ⎢ χ ( 21) ( 21) 0.. 7. 6.025 ⎥ 0.Solución: n = 22 s2 = 121 1 ..5 10. 2 χ ⎢ χ (n − 1) (n − 1) α / 2 1− α / 2 ⎣⎢ Por tanto: ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ (22 −1)⋅121 (22 −1) ⋅121⎥ ⎡ 2541 2541⎤ .¿Qué ventajas tendrá una estimación por intervalo sobre una estimación puntual. 148..¿A partir de qué se calcula el tamaño de la muestra? ¿Cuáles son los criterios que se deben tener en cuenta para determinarlo? 3.Si el tamaño de una muestra es de 225 unidades en una población de 3000 elementos y se conoce que la característica en estudio tiene una varianza de σ2 = 400. Nota: Si se quiere sacar el intervalo de confianza de la desviación típica poblacional sólo se le saca la raíz cuadrada al intervalo de la varianza: 8. De una población de 200 trabajadores se han muestreado 30.05. 97 ..En estimaciones por intervalo con una confianza del 99%. 8.. para la estimación de la media poblacional..En estimaciones puntuales b. si una muestra arroja una proporción del 50%. 9.Se conoce que el número de propietarios de autos de la ciudad de la Habana es de 9000 y se desea estimar la proporción de ellos que se encuentran retrasados en el pago de impuesto sobre circulación terrestre en el mes de junio del año 1997.admisible puede obtenerse con una confiabilidad de un 95%. Dé un estimado de la verdadera proporción de fumadores y del total de fumadores de dicha población. de los cuales 18 son fumadores. con una d = 0.. a. Calcule el tamaño de la muestra necesario para una estimación confiable (utilice un nivel de confianza del 95%). y teniendo en cuenta el comportamiento probabilístico de los estimadores usados. cuando se quiere conocer si un nuevo fertilizante aumenta el rendimiento o no. entonces. σ2. p u otro) y con θo el valor histórico conocido para dicho parámetro. Conceptos básicos. Para verificar si la suposición es cierta o no se debe. Pruebas para medias en una población. con θ se representa el parámetro en cuestión (que puede ser μ. El desarrollo de pruebas de hipótesis forma parte de los métodos de la Estadística Inferencial vinculados directamente la toma de decisiones. • En medicina. Hipótesis nula (Ho): Es una hipótesis de diferencias nulas. En general. CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS: Si el desarrollo de una prueba requiere del conocimiento de parámetros o características de la distribución de la población. por ejemplo: • En la agricultura.1. lo que equivale a decir que es una hipótesis que contiene una igualdad o algo similar. y como tal se utiliza en prácticamente cualquier rama de las ciencias y la tecnología. • En el deporte. sobre lo cual se tiene alguna suposición previa basada en evidencia empírica o teórica. por el contrario. aumenta la promoción o no. y se formula entonces lo que se llama hipótesis estadística. La simbología usada en este contexto es análoga a la que se utiliza en el contexto general de la Teoría de la Estimación: así. estos datos no son requeridos. se puede llegar a una conclusión sobre la suposición o hipótesis de partida. Al plantear el par de hipótesis nula y alternativa surge alguno de los tres casos siguientes: 98 . se le clasifica como prueba paramétrica. se busca como traducir dicha suposición a términos de algún parámetro o estadígrafo. Desarrollo general de pruebas de hipótesis. a partir de esas estimaciones. cuando se quiere conocer si un estilo de juego mejora o no los resultados. En el proceso de desarrollar una prueba de hipótesis a partir de una determinada suposición. una hipótesis estadística siempre se subdivide en dos: una llamada hipótesis nula (Ho) y otra llamada hipótesis alternativa (H1). cuando se quiere conocer si un medicamento disminuye o no el tiempo de restablecimiento de un paciente.TEMA V: PRUEBAS DE HIPÓTESIS 5. y tiene asociado algún tipo de desigualdad estricta. si. cuando se quiere conocer si un método de enseñanza determinado. Hipótesis alternativa (H1): Es la hipótesis que deberá ser aceptada si la nula se rechaza. se hablará de una prueba no paramétrica. • En la educación. Desarrollo del contenido: Una prueba de hipótesis suele girar en torno al valor de uno o varios parámetros poblacionales –o al comportamiento de la distribución de la población–. tomar una muestra de la población y calcular sobre ella una estimación del parámetro o parámetros en cuestión. se quiere verificar si el valor del parámetro ha variado en algún sentido. ya que si Ho se rechaza ello implica que H1 se acepta. y suele ser en muchos casos la que se formula primero. aunque sea θˆ > θ0. al ser el resultado de una estimación. que se utiliza para tomar una decisión respecto al comportamiento del parámetro en estudio. todo lo cual da lugar a los siguientes conceptos: Estadístico o estadígrafo de prueba: Es el estimador ( θˆ ). o incluso disminuyó. se quiere verificar si el valor del parámetro ha aumentado. La necesidad del valor crítico puede entenderse por el hecho de que el estadígrafo de prueba. 99 . se quiere verificar si el valor del parámetro ha disminuido. sino que se debe dejar una especie de margen para los posibles errores de estimación. lo que se desea verificar después de algún cambio en el sistema en estudio. o incluso aumentó. Ho: θ = θo H1: θ ≠ θo O sea. estando separadas ambas regiones por el valor crítico. como se representa en los siguientes esquemas: Caso del posible aumento: Si θˆ > θc. Región crítica ó región de rechazo (W o Wc): Es el conjunto de valores del estadístico de prueba a partir de los cuales se rechaza la hipótesis nula. contraponiendo esto a que se mantiene igual. por el contrario. a lo ya conocido. Valor crítico (C o θc): Es un valor numérico que se calcula a partir del dato histórico conocido y de la distribución probabilística del estimador. contraponiendo esto a que se mantiene igual. La decisión estadística se basa en estimaciones efectuadas sobre la muestra aleatoria tomada. la hipótesis nula. o alguna transformación de éste. pero si θˆ ≤ θc. Comúnmente la hipótesis alternativa representa la hipótesis de investigación. no se debe comparar directamente con el dato histórico. no hay evidencia de un aumento significativo. estricta o no. La distribución del estadístico de prueba se divide en dos partes la región de rechazo y la región de no rechazo o aceptación. Ho: θ = θo ( ó Ho: θ ≥ θo ) H1: θ < θo O sea. y puede ser unilateral (a la derecha o a la izquierda) o bilateral (a ambos lados). se asocia a la situación que existía hasta el momento del cambio. La ubicación de la región crítica respecto al dato histórico depende de la hipótesis alternativa. por ello es esta última es la que recoge la igualdad. contraponiendo esto a que se mantiene igual. se rechazaría H0. para que el estadígrafo de prueba se compare con él y se pueda tomar una decisión.Ho: θ = θo ( ó Ho: θ ≤ θo ) H1: θ > θo O sea. adoptándose H1. En muchos casos Ho se formula con la intención expresa de ser rechazada. Ho: θ = θo ( ó Ho: θ ≥ θo ) H1: θ < θo Se rechaza Ho para todo valor del estadístico de prueba que sea menor que θc y se acepta Ho para todo valor del estadístico de prueba que sea mayor o igual que θc. Los valores más usados son: 5% (0. 100 . aun si θˆ ≠ θ0. no hay evidencia de una reducción significativa. El término de significación se utiliza dado que conociendo el valor de α se podrá determinar cuál es el valor del estadístico de prueba a partir del cuál la diferencia entre éste y el parámetro se considera significativa. ya que es más factible refutar hipótesis que aceptarlas. partiendo del valor crítico determinado. Una vez fijado éste se puede calcular el valor crítico y determinar la región crítica. En lugar del nivel de significación a veces se utiliza el nivel de confianza (1 . no obstante. Ho: θ = θo H1: θ ≠ θo Se rechaza Ho para todo valor del estadístico de prueba que sea menor que θc1 o mayor que θc2 y se acepta Ho para todo valor del estadístico de prueba que esté comprendido entre θc1 y θc2. no hay evidencia de variación significativa. adoptándose H1. se rechazaría H0. adoptándose H1. definido en la Teoría de la Estimación. El nivel de significación es escogido en la práctica por el investigador. Debe señalarse. aunque sea θˆ < θ0.01).Caso de posible reducción: Si θˆ < θc.α). Regla de decisión: Es una especie de traducción al lenguaje común de la región crítica. que en términos estrictamente estadísticos. Caso de posible variación: Si θˆ < θc1 ó θˆ > θc2. Nivel de significación (α): Es la probabilidad máxima con que se admite cometer el error considerado más grave. se rechazaría H0. pero si θc1 ≤ θˆ ≤ θc2. en el caso que se acepte Ho no se debe plantear categóricamente que se acepta Ho. en ella se establece lo que se debe hacer.05) y 1% (0. sino que “no hay elementos para rechazar Ho”. pero si θˆ ≥ θc. Esto es: Ho: θ = θo ( ó Ho: θ ≤ θo ) H1: θ > θo Se rechaza Ho para todo valor del estadístico de prueba que sea mayor que θc y se acepta Ho para todo valor del estadístico de prueba que sea menor o igual que θc. Es apreciable que al disminuir α. dadas sus consecuencias. y se le denomina Error tipo I. se les llama riesgo de los productores (α) y riesgo de los consumidores (β) respectivamente. se desplaza el valor crítico (θ c). y sus probabilidades. provoca en general un aumento del otro. es el más grave. La probabilidad de un error de tipo I se conoce como α.POSIBLES ERRORES A COMETER: Al tomar una decisión es posible que se cometa uno de los dos siguientes errores: rechazar Ho siendo cierta o aceptar Ho siendo falsa. es decir. Observando las figuras anteriores se puede comprender mejor lo planteado: Se representa la distribución probabilística asociada al estadístico de prueba en una prueba dada. o sea. y la probabilidad de un error de tipo II se conoce como β. y aumenta β. Es por ello que la solución dada por los matemáticos es fijar la probabilidad de cometer el error de connotación más grave a un nivel aceptablemente bajo y tratar de hacer mínimo el otro. En el contexto económico a los errores antes mencionados. A partir de las definiciones se tiene: α = Ρ ( Rechazar H0 siendo cierta) Entonces: α = Ρ( θˆ ∈ Wc / θ = θ0) β = Ρ ( Aceptar H0 siendo falsa ) β = Ρ( θˆ ∉ Wc / θ ≠ θ0) Entonces: Luego. se prefija α. interesa medir las magnitudes de esos errores y tratar de que estos sean lo más pequeños posible. El primero de estos posibles errores. que la probabilidad de cometerlos sea lo suficientemente pequeña. tanto para la hipótesis nula (θ 0) como para un valor de la alternativa (θ a). Al riesgo de rechazar una hipótesis nula verdadera se le llaman riesgo de los productores porque que si 101 . es el nivel de significación. al otro se le llama Error tipo II. Pero reducir la magnitud de ambos es imposible pues una disminución en uno de ellos. a aquellas que requieren del conocimiento de la distribución muestral de los estimadores asociados a los parámetros poblacionales. Por su parte. al riesgo de aceptar una hipótesis nula falsa se le llaman riesgo de los consumidores porque una aceptación de la nula debería corresponderse con el hecho de que la mejor opción era la ya existente. y al ser errónea la decisión el productor pierde una posible ganancia extra. la varianza y las proporciones en una población. según el parámetro en prueba) Toma de decisión y conclusión La decisión se toma utilizando el estadístico de prueba que nos facilitó la muestra y si el mismo cae en la región crítica se rechaza H0 y por tanto se acepta H1. y si la decisión es errónea es una pérdida de posibles mejoras para el consumidor. las regiones críticas –atendiendo al tipo de hipótesis alternativa– quedan: ¾ Para cuando σ² es conocida: ⎧ σ ⎫ WC = ⎨x : x > μ 0 + Z1−α H1: μ > μo ⎬ n⎭ ⎩ ⎧ σ ⎫ H1: μ < μo WC = ⎨x : x < μ 0 − Z1−α ⎬ n⎭ ⎩ ⎧ σ H1: μ ≠ μo WC = ⎨x : x < μ 0 − Z1−α ó 2 n ⎩ x > μ 0 + Z1−α 2 σ ⎫ ⎬ n⎭ 102 .la hipótesis se rechaza es a favor de un cambio que supuestamente conlleva una mejora en las ventas. PASOS A SEGUIR EN LA CONSTRUCCIÓN DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS: A manera de resumen. En función de esto. que implicaría los siguientes pasos: • • • • • • • Análisis de los datos Formulación de las hipótesis nula y alternativa Elección del nivel de significación (α) Determinación del valor crítico (θ c) Planteamiento de la región crítica (W c) o de la regla de decisión Cálculo del estadístico de prueba (a partir de la muestra. si cae en la región de no rechazo (de aceptación) no existen elementos para rechazar H0. si se toma como estadígrafo de prueba la propia media muestral ( x ). Las pruebas paramétricas más conocidas son las pruebas respecto al comportamiento de la media. como se ha dicho. se puede elaborar una especie de algoritmo para desarrollar una prueba de hipótesis. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS: Se le llama pruebas paramétricas. igual que cuando se hacen cálculos probabilísticos asociados a alguna estimación. Pruebas para la media: En el caso de las pruebas para medias se debe tener en cuenta si se conoce la varianza poblacional real (σ²) o si se contará con una estimación de la misma (s²). o sea. Así se tiene.¾ Para cuando σ² es desconocida: ⎧ WC = ⎨x : x > μ 0 + t 1−α (n−1) H1: μ > μo ⎩ ⎧ H1: μ < μo WC = ⎨x : x < μ 0 − t 1−α (n−1) ⎩ ⎧ WC = ⎨x : x < μ 0 − t 1−α H1: μ ≠ μo 2 ( n −1) ⎩ s ⎫ ⎬ n⎭ s ⎫ ⎬ n⎭ s n ó x > μ 0 + t 1−α 2 ( n −1) s ⎫ ⎬ n⎭ Nota: Aquí igualmente deben tenerse en cuenta las condiciones necesarias o supuestos de aplicación de la distribución probabilística adecuada. si n > 30. para los distintos casos de hipótesis alternativas las regiones críticas siguientes: 103 . Otra variante. ello puede expresarse como una prueba de hipótesis para proporciones. que algunos llaman vía interna de solución. Las pruebas para proporciones se basan en las mismas condiciones o supuestos analizados para considerar adecuada la proporción muestral como estimador de la proporción poblacional: desarrollar un muestreo aleatorio simple y contar con una muestra tal que n > 30. en particular la toma de la muestra mediante un muestreo aleatorio simple y la asunción de normalidad poblacional de la variable. También puede sustituirse el uso de la t por Z cuando la muestra es suficientemente grande.t1-α (n-1) } Wc = { t0 : | t0 | > t1-α/2 (n-1) } H1: μ ≠ μo Pruebas para proporciones: Si lo que interesa verificar es la posible variación en algún valor porcentual o en el resultado del conteo de alguna variable. es utilizar como estadígrafo de prueba la conocida estandarización de la media muestral. O sea: Z0 = x − μ0 σ/ n t0 = x − μ0 s/ n Si se usan estos estadígrafos de prueba las regiones críticas quedan expresadas de una manera más sencilla: ¾ Para cuando σ² es conocida: H1: μ > μo Wc = { Z0 : Z0 > Z1-α } H1: μ < μo Wc = { Z0 : Z0 < .Z1-α } Wc = { Z0 : | Z0 | > Z1-α/2 } H1: μ ≠ μo ¾ Para cuando σ² es desconocida: Wc = { t0 : t0 > t1-α (n-1) } H1: μ > μo H1: μ < μo Wc = { t0 : t0 < . en correspondencia con la distribución muestral que sigue. que en dependencia de si se conoce o no la varianza poblacional recibe el nombre de estadígrafo Z o estadígrafo t respectivamente. o difieren o no de cierto valor dado. Atendiendo a que el estimador de la varianza tiene asociado a su distribución muestral una chicuadrado. Esto evidencia una de las ventajas de la vía interna: las regiones críticas suelen permanecer inalterables para un tipo de alternativa dado. cuando se usa Z. el problema se reduce a realizar una prueba de hipótesis para la varianza poblacional. las regiones críticas para los posibles casos de alternativas resultan: ⎫ ⎧ σ2 2 WC = ⎨s 2 : s 2 > χ 1−α (n−1) ⎬ n −1 ⎭ ⎩ 2 ⎫ ⎧ σ WC = ⎨s 2 : s 2 < • H1: σ2 < σ20 χ 2α (n−1) ⎬ n −1 ⎭ ⎩ 2 ⎫ ⎧ σ σ2 2 WC = ⎨s 2 : s 2 < • H1: σ2 ≠ σ20 χ α2 (n−1) ó s 2 > χ 1−α (n−1) ⎬ 2 n −1 2 n −1 ⎭ ⎩ 2 (n − 1) s Por la vía interna de solución el estadígrafo de prueba es: χ 02 = σ 02 Y las regiones críticas son: • H1: σ2 > σ20 H1: σ2 > σ20 H1: σ2 < σ20 H1: σ2 < σ20 Wc = { χ20 : χ20 > χ21-α } Wc = { χ20 : χ20 < χ2α } Wc = { χ20 : χ20 < χ2α/2 ó χ20 > χ21-α/2 } 104 .• H1: p > p0 • H1: p < p0 • H1: p ≠ p0 ⎧⎪ p 0 q 0 ⎫⎪ WC = ⎨pˆ : pˆ > p 0 + Z 1−α ⎬ n ⎪⎭ ⎪⎩ ⎧⎪ p 0 q 0 ⎫⎪ WC = ⎨pˆ : pˆ < p 0 − Z 1−α ⎬ n ⎪⎭ ⎪⎩ ⎧⎪ p 0 q0 WC = ⎨pˆ : pˆ < p 0 − Z 1−α ó 2 n ⎪⎩ Para la vía interna de solución se recurre al estadígrafo: Z 0 = pˆ > p 0 + Z 1−α 2 p 0 q0 n ⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ pˆ − p 0 p 0 q0 n Y las regiones críticas quedan: H1: p > p0 H1: p < p0 H1: p ≠ p0 Wc = { Z0 : Z0 > Z1-α } Wc = { Z0 : Z0 < . Pruebas para la varianza: Cuando es de interés determinar si la variabilidad en el valor de una magnitud medida con determinado método no supera ciertos límites. Esta prueba se hará bajo el supuesto de que se tiene una muestra aleatoria simple procedente de una distribución. lo que varía es la forma en que se calcula el estadígrafo de prueba. o sea.Z1-α } Wc = { Z0 : | Z0 | > Z1-α/2 } Este resultado para las regiones críticas coincide con en el de las pruebas para medias cuando la varianza poblacional es conocida. se tiene que x ∼ N (µ .95 (40 / 64 ) } = { x : x > 500 + 1. Se debe determinar entonces si se conoce la varianza poblacional ( σ²) o no. Se quiere realizar la prueba de hipótesis correspondiente para un 5% de significación. Solución: Al enfrentar un problema de este tipo. Formulación de las hipótesis: H0: µ = 500 (Dice que con la nueva materia prima la resistencia promedio no varía. para ello lo segundo que se hará es sacar la información que brinda el problema. Región crítica: ⎧ σ ⎫ WC = ⎨x : x > μ 0 + Z1−α ⎬ n⎭ ⎩ = { x : x > 500 + Z0. lo primero que se hace es analizar a que parámetro se le va a hacer la prueba. luego las fórmulas para el cálculo de la región crítica que se deben utilizar son las de la normal. es decir.64 (5) } = { x : x > 500 + 8. Para probar su planteamiento se utilizó de forma experimental la nueva materia prima. En este caso se plantea que con la nueva materia prima la resistencia promedio puede aumentarse.) Nota: H0 hubiera podido ser también totalmente contraria a H1.2 Se acepta H0 si x ≤ 508. que con la nueva materia prima la resistencia promedio no varía o incluso disminuye. o sea: µ ≤ 500.05 Dado que σ2 es conocida.2 } Regla de decisión: Se rechaza Ho si x > 508.2 105 . tomándose una muestra de 64 de las cuerdas producidas. con una desviación típica de 40 kgf.2 } Por tanto: Wc = { x : x > 508. El jefe de producción plantea que con otra materia prima la resistencia promedio puede aumentarse.) H1: µ > 500 (Dice que con la nueva materia prima la resistencia promedio aumenta. σ / n ).Ejemplo 1: En una fábrica se producen cuerdas cuya resistencia promedio es de 500 kgf (kilogramofuerza). por lo que evidentemente se debe efectuar una prueba de hipótesis de media ( μ ). y esto está en dependencia de lo que se va a investigar. para la cual la resistencia promedio fue de 510 kgf. Datos: µ0 = 500 σ = 40 n = 64 x = 510 α = 0. ¿Hay razón para afirmar que ha variado la producción medio diaria de leche por vaca? Solución: Esta es una prueba paramétrica sobre la media. Datos: μ = 10.64 Se acepta Ho si Z0 ≤ 1. de la misma manera.64 Decisión: x − μ 0 510 − 500 10 Z0 = = = = 2 > ZC = 2 40 5 σ/ n 64 o sea: Z 0 ∈ WC Por tanto. se rechaza H0 Esto implica que se acepta H1. al ser n < 30. o sea: x ∈ WC Por tanto. lo cual permite concluir. se tiene que trabajar obligatoriamente con la distribución t'Student. con un nivel de significación del 5.95 } = { Z0 : Z0 > 1. 106 . rechazar una hipótesis nula cierta. La prueba hubiera podido desarrollarse también por la llamada vía interna. Ejemplo 2: La producción promedio diaria de leche por vaca en la provincia en los meses de verano ha sido en los años anteriores de 10. se rechaza H0. pues la desviación estándar disponible es una estimación calculada sobre la propia muestra.9 s = 1.2. Este año en una muestra simple aleatoria de 16 días de los meses de verano se obtuvo una producción media diaria por vaca de 9. para las mismas hipótesis planteadas se tendría: Región crítica: Wc = { Z0 : Z0 > Z1-α } = { Z0 : Z0 > Z0. para el cálculo de la región crítica.64} Regla de decisión: Se rechaza Ho si Z0 > 1. Al tomar esta decisión pudo cometerse el error tipo I. Luego.1 Nota: Este es un caso típico en que se desconoce la varianza poblacional ( σ 2 ).Toma de la decisión: x = 510 > µC = 508.1 litros.1 σ = ? n = 16 σ = 9. en este caso. y se llega a igual conclusión: el cambio de materia prima puede aumentar la resistencia promedio de las cuerdas.9 litros con una desviación estándar de 1. por ello se indica el nivel de significación usado. que con la nueva materia prima la resistencia promedio puede aumentarse. ya que de lo que se trata es de verificar si ha tenido variación la producción promedio diaria de leche por vaca.1 litros. t0.1 .275) ó x > 10. o sea: x ∈ WC Por tanto. que la producción promedio diaria de leche por vaca ha variado en la región.13 (0. no se rechaza H0 Entonces se concluye que no hay elementos para asegurar.05 (Cuando no se sugiere ninguno. no rechazar H0. se llegaría a idéntica conclusión si se utilizara la vía interna de análisis. entre las cuales se detectan 10 defectuosas. con un 5% de significación.975 (15) (1.1 .1 16 Como: | t0 | = 0.586 ó x > 10.727 < 2.13 } Decisión: x − μ 0 9.686 No rechazar Ho si: 9.514 ó x > 10. El error que se pudo haber cometido al tomar la decisión anterior es de tipo II.686.727 0.1 .2 t0 = = = = −0.1 H1: μ ≠ 10. Ejemplo 3: Se afirma que un lote de piezas contiene menos del 30% de piezas defectuosas.514 ≤ x ≤ 10. otra vez.9 − 10.1 + 0. el nivel de significación lo decide el estadístico.1 / 16 ) ó x > 10.514 y 9.975 (15) (1.1 Nivel de significación: α = 0.1 + 2.686 } Regla de decisión: Rechazar Ho si x < 9.13 (0.275 s/ n 1.) Región crítica: ⎧ s WC = ⎨x : x < μ 0 − t 1−α 2 ( n −1) n ⎩ ={ ={ ={ ={ x: x: x: x: x x x x ó x > μ 0 + t 1−α 2 ( n −1) s ⎫ ⎬ n⎭ > 10.275) } > 10.2.975 (15) } = { t0 : | t0 | > 2.9 > 9. Por supuesto.1 + t0.9 < 10.586 } > 9.1 / 16 ) } > 10.686 Decisión: x = 9. ¿Hay razón para mantener la afirmación con una significación del 5%? 107 .1 − 0. como se demuestra a continuación: Región crítica: Wc = { t0 : | t0 | > t1-α/2 (n-1) } = { t0 : | t0 | > t0. Para comprobarlo se revisan 50 piezas del lote seleccionadas al azar.0.Hipótesis: Ho: μ = 10.13 la decisión es.514 ó x > 10. el 30%. La afirmación que se quiere verificar.0042 50 n ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ { } = {pˆ : pˆ < 0. con lo cual la decisión sigue siendo no rechazar H0.105} = {pˆ : pˆ < 0. Utilizando la vía interna se tiene: Región crítica: Wc = { Z0 : Z0 < -Z1-α } = { Z0 : Z0 < -Z0.64 0.195 n 50 O sea. referente a que menos del 30% de las piezas es defectuosa.30 − 0.64 p 0 q0 0. Entonces.30 Hipótesis: H0: P ≥ 0.70 ⎫⎪ WC = ⎨pˆ : pˆ < p 0 − Z1−α ⎬ = ⎨pˆ : pˆ < 0.5625 > -1.Solución: Esta prueba.4 dólares.30 ⋅ 0.30 − 1.95 } = { Z0 : Z0 < -1. evidentemente es de proporciones.064 50 n O sea.30 ⋅ 0. no se rechaza Ho.64 ⋅ 0. Ejemplo 4: El precio de cierto producto en el mercado mundial exhibió durante el pasado año una variabilidad expresada en términos de una desviación típica de 0.20 − 0.95 ⎬ = pˆ : pˆ < 0.30 Región crítica: ⎧⎪ p 0 q0 ⎫⎪ ⎧⎪ 0. Z 0 ∉ WC .64} Decisión: pˆ − p 0 0.70 0.195} Decisión: x 10 pˆ = n = = 0.064} = {pˆ : pˆ < 0. es una hipótesis: la hipótesis alternativa.05 p0 = 0. bajo el α usado no se puede afirmar que el lote contiene menos del 30% de piezas defectuosas.30 H1: p < 0. luego.20 > 0. ya que lo que se está investigando es sobre la proporción de piezas defectuosas. pˆ ∉ WC Por tanto.30 − Z 0. y el dato a tomar como referencia. Datos: X: cantidad de piezas defectuosas n = 50 piezas xn = 10 piezas defectuosas α = 0. no es algo dado por seguro. es el equivalente a una proporción histórica. y se tiene como dato con el conteo de éstas en la muestra tomada.30 − 1.10 Z0 = = = = −1. Una muestra 108 .30 − 0. con mayor variabilidad.aleatoria de 30 días correspondiente al presente año dio como resultado una desviación típica de 0. es decir su variabilidad. mientras que.05. 1.25 7. Esto que implica que se acepte H1. Solución: Ya que lo que se quiere investigar es la estabilidad del precio.3 > 42.4 s = 0. como era de esperar.Explique qué significan los términos hipótesis nula e hipótesis alternativa. esto es. ¿Hay razón suficiente para creer que el precio del producto es menos estable este año que el pasado? Considere un α = 0.) (El precio actual es menos estable.6 0. un precio más estable implica menor varianza. puede decirse.16 0.4 ⇒ σ02 = 0.52 = 0.05 Nota: σ0 = 0.16 n = 30 α = 0.95 }= { χ20 : χ20 > 42. se rechaza H0. s 2 ∈ WC Por tanto. χ 02 ∈ WC Por tanto. Datos: σ0 = 0..25 > 0. y se cuenta dato con desviaciones típicas. Por la vía interna sería: Región crítica: Wc = { χ20 : χ20 > χ21-α } = { χ20 : χ20 > χ20.16 H1: σ2 > 0. queda claro se debe efectuar una prueba de varianzas. se rechaza H0.95 ( 29 ) ⎬ = ⎨s 2 : s 2 > 42. llegándose a las mismas conclusiones. por el contrario. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN. con una significación del 5% (o una confiabilidad del 95%) que el precio del producto este año es menos estable que en el anterior.16 (El precio actual se mantiene con la misma estable.5 Hipótesis: Ho: σ2 = 0.235 χ1−α (n−1) ⎬ = ⎨s 2 : s 2 > n −1 29 29 ⎭ ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ { Decisión: s2 = 0.16 2 0.) Región crítica: ⎫ ⎧ ⎧ 0.6} Decisión: (n − 1) s 2 29 ⋅ 0.16 σ 02 O sea.235 } O sea. Es bueno destacar que un precio menos estable implica mayor varianza. o sea. 109 .16 σ2 2 ⎫ ⎧ ⎫ WC = ⎨s 2 : s 2 > χ 0.5 dólares.25 χ 02 = = = = 45.6⎬ = s 2 : s 2 > 0. Para verificar este supuesto..01 6.2..La división de inspección del departamento de pesas y medias de la provincia Habana está interesada en confirmar la cantidad real de refrescos que se envasa en botellas de 2 litros.8 pies cuando el proceso funciona correctamente. los cuales tienen una distribución normal con media de 500 y una desviación típica de 100. De la línea de producción se selecciona una muestra de 25 barras. Entrega barras de acero con una longitud promedio de por lo menos 2. se toma una muestra aleatoria de 300 bolígrafos y se encuentran que 30 están defectuosas. La planta embotelladora ha informado a la división de inspección que se desconoce la desviación típica de la población.99 litros y una desviación típica de 0.20 pies..¿Cuál es la relación de β con el error de tipo II? 5..05 110 ..La compañía Acero Valle Verde fabrica barras de acero. recibe de una firma un embarque de cierta marca de bolígrafos baratos.05 litros. Utilice un α = 0.43 pies y una desviación típica de 0.05 ¿se puede llegar a la conclusión que se haya vendido un promedio de más de 5 podadoras por tienda durante esta venta? ¿Qué suposiciones se requiere para realizar esta prueba? ¿Qué error se pudiera estar cometiendo con la decisión tomada? 9. la proporción de hombres es de 0. A continuación se presenta el número de podadoras vendidas durante esta venta en una muestra de 10 tiendas: 8 11 0 4 7 8 10 5 8 3 A un α = 0.. La muestra señala una longitud promedio de 2. se conoce que μ = 2.¿En muestras con menos de 30 observaciones se puede considerar que la proporción muestral sigue una distribución normal? 10. 3.40.Una gran cadena nacional de electrodomésticos tiene una venta especial por fin de temporada de podadoras de césped. Se pide hacer la prueba para un α = 0.02.Se conoce que en una ciudad. mostró un promedio de 1. y que al tomar una muestra aleatoria de 100 botellas. Se puede devolver el embarque si más del 5% están defectuosas.Explique qué indica el error tipo I y el error tipo II. 7. ¿Sería probable que la proporción de plumas defectuosas fuera superior a 0.01 8. resultando que la misma está integrada por 45 hombres y 55 mujeres.¿Cuál es la relación de α con el error de tipo I? 4. Utilice un α = 0. se extrajo una muestra aleatoria de tamaño 100. ¿Es posible concluir que la cantidad promedio en las botellas fuera menos de 2 litros? Utilice un α = 0.05 y diga qué error pudo estar cometiendo con la decisión tomada.. El gerente comercial de la cadena desea estimar la proporción de bolígrafos defectuosos.La cadena de tiendas Gaviota.05 11.. Se supone que después de la construcción de una gran industria. Si una muestra aleatoria de 12 solicitantes del Stephan College tiene una media muestral de 537 ¿existe evidencia de que su resultado medio sea diferente de la media esperada de todos los solicitantes? Use α = 0.05 y que pudiera devolverse el embarque?. La compañía desea determinar si se necesita ajustar el equipo de producción.Supóngase que se conocen los resultados de una prueba de aptitud para la admisión a estudios de grado en Administración de Empresas.. la proporción de hombres aumentó.. Utilizando un α = 0.Un fabricante de aparatos de televisión ha afirmado en su garantía que en el pasado solo el 10% de sus aparatos necesitaron alguna reparación durante sus dos primeros años de funcionamiento. ¿es válida la afirmación del fabricante o es probable que no lo sea? 111 .01. el departamento de control de la calidad del ministerio seleccionó una muestra de 100 aparatos y encuentra que 14 de ellos requirieron alguna reparación durante sus primeros dos años de funcionamiento.12. Para comprobar la validez de esta afirmación.. la curva es asintótica a 0: 112 . Equivalentemente.2: Tamaño del error tipo II. Gráficamente se comporta como una curva con tendencia asintótica a 1 en la medida en que θk se adentra en la región crítica. es decir. Tradicionalmente el estadístico controla el error tipo I estableciendo el nivel de riesgo que está dispuesto a tolerar en términos de rechazar una hipótesis nula verdadera.β(θk) En forma directa se puede plantear: П(θk) = 1 . se puede calcular el α a partir de su propia definición: α = P( Rechazar H0 siendo cierta) Entonces: α = P( θˆ ∈ Wc / θ = θ0) De la misma forma se puede calcular el valor de β asociado al error de tipo de II: β = P( Aceptar H0 siendo falsa ) Entonces: β = P( θˆ ∉ Wc / θ ≠ θ0) El valor de β depende del α escogido –o del valor crítico derivado-. pues permitir determinar los riesgos que se derivan de no rechazar una hipótesis nula falsa.5.β(θk) = 1 . En muchas aplicaciones estadísticas el segundo tipo de error (error tipo II). es decir muestra la probabilidad de no rechazar una hipótesis nula falsa para cada posible valor verdadero del parámetro poblacional. fijando el α de la prueba. Si se procede a la inversa y se establece de antemano la región crítica a usar. por el otro extremo. se puede calcular lo que se denomina potencia de la prueba. el mismo está asociado a situaciones como las provocadas por que artículos de mala clase sean aceptados para la venta. y a dicha probabilidad para un θk dado se le llama potencia de la prueba. Tamaño de la muestra. La función de potencia también se suele graficar. por ello se suele describir a β como función del parámetro en prueba. ya que. como se dijo. con pérdida para el consumidor. П viene a representar la probabilidad de rechazar dicha hipótesis nula falsa. Una vez especificado el valor de α queda determinado el tamaño de la región crítica o de rechazo. Se le llama función de potencia a la expresión: П(θk) = 1 .P( θˆ ∉ Wc / θ = θk) = P( θˆ ∈ Wc / θ = θk) Si β representa la probabilidad de aceptar una hipótesis nula falsa. Se puede decir entonces que la función de potencia permite calcular la probabilidad de descubrir la falsedad de una hipótesis nula. pero también depende de algún valor específico asociado a la hipótesis alternativa (θk). pero aun entonces el que realiza el experimento debe estar enterado de la existencia de este error y tener una idea de lo grande que puede ser. Para lograr la curva característica deben elegirse varios valores representativos para dicho parámetro y calcular β para cada uno. Función de potencia. Este error se puede graficar y se obtiene la llamada curva característica de operación o curva OC (por las iniciales en inglés: Operation Characteristic) de gran utilidad en técnicas estadísticas. o sea: β = β(θk). si la prueba es unilateral. no está controlado. se dice que una prueba es potente para un valor alternativo dado si su potencia es mayor del 80 u 85%. П(θ0) = α 2. la probabilidad de descubrir un cambio en la situación en estudio –si lo hubo-. la potencia de la prueba.Los gráficos anteriores permiten concluir que cuando el valor real de un parámetro sometido a prueba se aleja mucho del valor hipotético. observables en los gráficos: 1. En general. La función de potencia cumple además con las dos propiedades siguientes. o sea.5 113 . pero ocurre lo contrario si el verdadero valor está muy alejado del hipotético. será alta. y muy pequeño por tanto el tamaño probabilístico del error tipo II. П(θC) = ½ = 0. 95 n⎭ ⎩ 25 ⎭ ⎩ Por lo tanto la región de rechazo será: WC = { x : x < 363. Hipótesis: Ho: μ = 368 H1: μ < 368 Región crítica: ⎧ 15 ⎫ σ ⎫ ⎧ WC = ⎨x : x < μ 0 − Z1−α ⎬ = {x : x < 368 − 1. una vez fijado el valor de α.05. β y la potencia de una prueba. Calcule la potencia de la prueba. ¿es potente la prueba para ello? c) ¿Qué pasaría con la prueba si el gerente decide utilizar como valor crítico μC = 367 gramos? d) ¿Qué tamaño debe tener la muestra que se utilice si se quiere una significación del 5% y una potencia del 98% para detectar disminuciones de al menos 5 gramos en el peso promedio? Solución: a) Datos: X: peso neto de las cajas de cereal (gramos) μ0 = 368 σ = 15 n = 25 x = 367.64 ⋅ 3} = {x : x < 368 − 4. Ejemplo ilustrativo: Para ver una aplicación de lo planteado respecto a los valores de α.σ ).08 O sea: x ∉ WC 114 . mediante despeje. y cuál es su tamaño probabilístico. el tamaño de muestra necesario para que. siendo σ conocida. calculándose el peso promedio. conviene analizar una situación concreta. entonces x ∼ N (μ . que resultó igual a 367. a) Haga la prueba correspondiente para un α = 0. La oficina local de protección a los consumidores hace inspecciones periódicas para conocer si el peso de los paquetes de cereal producidos por la fábrica tienen el peso adecuado. se usará la distribución Z. es decir. el valor de β no sobrepase una determinada cota. si se desea conocer si el peso promedio de los paquetes ha disminuido.5 > 363. como la que se expone a continuación: El proceso de llenado de los paquetes de cereales en una determinada fábrica está ajustado de forma tal que el peso neto de los paquetes sigue una distribución normal con media de 368 gramos y una desviación típica de 15 gramos. para hacer los análisis pertinentes se tomó una muestra aleatoria de 25 paquetes. esta vez.5 gramos.08 } Decisión: x = 367.92} ⎬ = ⎨x : x < 368 − Z 0.Una de las principales aplicaciones de la función de potencia es determinar.σ/ n ). b) Si el gerente plantea que él está sobre todo interesado en detectar disminuciones en el peso medio por encima de los 10 gramos.05 Como X ∼ N (μ . Diga qué error pudiera cometerse.5 α = 0. la prueba es muy potente (П=100%) para detectar disminuciones en el peso neto medio si éste realmente ha disminuido mucho. para una mínima disminución.0951 Este otro resultado indica que existe una probabilidad alta de concluir que el peso promedio no ha disminuido –o sea. Por su parte.36) = 1 – 1 = 0 Y la potencia correspondiente es: П(μk1) = 1 .08 − 320 15 25 ) = P ( Z > 14. su cálculo y el de la potencia requieren que se considere algún valor alternativo para el verdadero peso neto medio de las cajas (μk). El tamaño probabilístico del posible error puede determinarse como sigue: β = P ( x ∉ WC / μ = μk) = P ( x > μC / μ = μk) Y luego. sería de tipo II. con la significación escogida (α = 0.31 ) 15 25 = 1 . En términos de la potencia.9049 Ahora la potencia correspondiente es: П(μk2) = 1 .08 / μ = 367) = P ( Z > ) = P ( Z > -1. la diferencia observada puede deberse a la aleatoriedad de la propia muestra.si en realidad ha disminuido mucho. y μk2 = 367. Pudieran considerarse. calcular directamente П(μk): 115 .Esto indica que. de haberse cometido un error.51%) para detectar disminuciones en el peso neto medio si éste ha disminuido levemente.β(μk1) = 1 – 0 = 1 Este resultado indica que existe una probabilidad muy pequeña (casi cero) de concluir que el peso promedio no ha disminuido –o sea. Así.36 ) = 1 . En términos de la potencia. Para ello se puede calcular primero la correspondiente β(μk). hasta μk2 = 367 se tiene: 363. para una gran disminución.9049 = 0.β(μk2) = 1 – 0. A partir de esta decisión. la potencia de la prueba será: П(μk) = 1 . o mejor. b) Datos: Δμ = -10 (disminución de 10 gramos) μk = μ0 + Δμ = 368 . muy cercano de μ0.10 = 358 Lo que se quiere es determinar la potencia de la prueba para μk = 358. muy alejado de μ0.FZ (14. hasta μk1 = 320 se tiene: β(μk1) = P ( x > μC / μ = μk1) = P ( x > 363.si en realidad ha disminuido muy poco.FZ (-1. de no detectar su disminución.0951 = 0.05) no hay elementos para asegurar que el peso medio de los paquetes de cereales es inferior a lo debido.β(μk) Dado que β depende de algún valor específico del parámetro. de no detectar su disminución. dos valores: μk1 = 320.08 − 367 β(μk2) = P ( x > μC / μ = μk2) = P ( x > 363. la prueba es muy poco potente (П=9.08 / μ = 320) = P ( Z > 363.31) = 1 – 0. 33) = 0. En este caso. una probabilidad alta para el error tipo I. c) Datos: μC = 367 Si se toma un valor crítico distinto.3707 Se obtiene. pues existe un 95.69 ) = FZ (1. Por tanto: 116 .08 / μ = 358) = P ( Z < 363.45% de probabilidad de detectar una disminución en el peso neto medio de los paquetes si hay una disminución real de 10 gramos o más. d) Datos: Δμ = -5 (disminución de 5 gramos) μk = μ0 + Δμ = 368 .5 = 363 α = 0.07%.9545 Es decir.05 П (μk) = 0. el nivel de significación debe aumentar. la potencia deseada para la prueba es la probabilidad acumulada hasta el valor de Z obtenido en la expresión anterior. estando más cerca de μ0. El nuevo valor de α puede calcularse como sigue: α = P( x < μC / μ = μ0) = P( x < 367 / μ = 368) = P ( Z < 367 − 368 15 25 ) = P ( Z < -0. del 33.33 ) = FZ (-0. como se ve en la siguiente figura.08 − 358 15 25 ) = P ( Z < 1.П (μk) = P ( x < μC / μ = μk) = P ( x < 363. la prueba es altamente potente. pues. el nivel de significación de la prueba o probabilidad de cometer un error de tipo I cambia. lo cual implica que se despeje de la función de potencia: ⎛ ⎛ μ − μk ⎞ μ − Z 1−α σ n − μ k ⎟ = P⎜ Z < 0 Π(μ k ) = P( x < μ C / μ = μ k ) = P⎜ Z < C ⎜ ⎟ ⎜ σ n ⎠ σ n ⎝ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ O sea.98 Se quiere determinar n para un nivel de significación y una potencia prefijados. al ser mayor el nuevo valor crítico.69) = 0. El riesgo de un error tipo I en el problema de llenado de los paquetes de cereales implica llegar a la conclusión de que el peso promedio ha cambiado cuando en realidad no es así. Consideraciones finales: Para un determinado tamaño de muestra. Por ejemplo si fuera muy costoso hacer cambiar la línea de llenado. 117 . donde: ZП = Z0. finalmente: n = ⎜⎜ Π μ − μ 0 k ⎝ ⎠ 2 σ n σ n − μk = μ0 − μk 2 2 2 ⎛ Z + Z 1−α ⎞ + Z 0.64 ⎞ σ ⎟⎟ = ⎜⎜ 0. el riesgo de un error tipo II. de ahí la necesidad de tomar en cuenta las consecuencias de cada error.98 15 ⎟ = (0. al aumentar el tamaño de la muestra se pueden controlar tanto α como β. Los valores para α y β dependen de la importancia de cada riesgo en un problema en particular. Así la selección de los valores que deben tener α y β depende de los costos inherentes a cada tipo de error. Para la determinación del tamaño de muestra necesario se recurre al despeje de la función de potencia. si se quiere estar seguro de detectar los cambios para una media hipotética.05 Y efectuando los despejes previstos: σ ZΠ n = μ 0 − Z 1−α (Z Π + Z1−α ) ⎛ Z + Z 1−α ⎞ σ ⎟⎟ Siendo. y viceversa. pues siempre que se disminuye α aumenta β.54 15 ⎟⎟ = ⎜ n = ⎜⎜ Π − μ − μ 5 368 363 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k ⎝ 0 ⎠ Entonces: n = 123 Esto quiere decir que se requiere una muestra de al menos 123 paquetes para garantizar los requerimientos planteados para la prueba.ZΠ = μ 0 − Z 1−α σ σ n − μk n . entonces se querría estar muy seguro de que un cambio resultaría beneficioso por lo que un error tipo I pudiera ser lo más atendible y α se mantendría muy bajo. Por otra parte. No obstante.738 ⋅ 15 ) 2 = 11. sería lo más importante y se podría utilizar un nivel más alto de α. pero puede haber límites en los recursos disponibles. quien deba tomar la decisión tiene que equilibrar los dos tipos de errores.05 + 1.98 = 2. El riesgo de un error tipo II implica llegar a la conclusión de que el peso promedio de llenado no ha cambiado cuando en realidad sí ha cambiado.07 2 = 122.95 ⎛Z ⎞ ⎛ 2. 01 si se está de acuerdo en probar 64 cordeles b) Bajo la regla de decisión adoptada en el inciso (a) ¿cuál es la probabilidad de aceptar el proceso antiguo. la policía del Estado de La Florida intercepta un promedio de $56 millones en drogas que se transportan hacia el norte por una carretera interestatal. Se cree que mediante un nuevo proceso de fabricación la carga media de rotura puede ser aumentada.Si la probabilidad de cometer un error tipo I disminuye..? Suponga que la desviación estándar sigue siendo 24 lbs.Cada semana. ¿cómo se logra? 118 .. se adopta la siguiente regla de decisión: Acepte la hipótesis si el número de caras en una muestra simple de 10 lanzamientos está entre 40 y 60 inclusive de lo contrario rechace la hipótesis. ¿afecta esto a la probabilidad de cometer un error tipo I? 5. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar la hipótesis de que la moneda no esté trucada cuando la probabilidad real de obtener cara es P = 0.. la policía interceptó un promedio de $60 millones en drogas por semana.-Para probar que una moneda no está trucada. con una desviación estándar de $20 millones.05..EJERCICIOS DE AUTOEVALUCIÓN 1.7? 2.¿Es posible controlar las probabilidades de error tipo I y tipo II en una prueba de hipótesis particular? Si es así... cuando en realidad el nuevo proceso ha aumentado la carga media de rotura a 310 lbs.Una empresa fabrica cordel cuya carga de rotura tiene una media de 300 lbs y una desviación estándar de 24 lbs. ¿cómo afecta esto a la probabilidad de cometer un error tipo II? 4. 3. Calcule la probabilidad de que ocurra un error tipo II si la media poblacional es en realidad $59 millones. 7. a) Diseñe una regla de decisión para rechazar el proceso antiguo a un nivel de significación de 0.Si la probabilidad de cometer un error tipo II disminuye. Durante 36 semanas elegidas al azar en 1992.Que es más importante controlar un error tipo I o el error tipo II? 6. ¿Indica esta evidencia muestral un aumento en el movimiento de drogas a través de La Florida? Realice una prueba con un nivel de significación de 0. Prueba chi-cuadrado para verificar el supuesto de independencia. Como se ha dicho. es decir. incluidos aquellos que también pueden realizarse mediante pruebas paramétricas. las cuales se calculan multiplicando el total de observaciones (n) por la probabilidad adjudicable a la variable de pertenecer a cada clase asumiendo que hay normalidad (Pi). determinando para cada clase las frecuencias observadas (oi ó noi). en general. cumple una cierta condición teórica. Las pruebas chi-cuadrado.Smirnov y la prueba Jarque . La prueba χ2 es adecuada para dar solución a este tipo de problema. Tablas de contingencia. Existen muchos problemas donde el interés del investigador se centra en contrastar hipótesis sobre cómo se distribuye el número de sucesos que pertenecen a ciertas categorías. como la normal o la de Poisson. empírica u observada. Existen pruebas no paramétricas para los más variados estudios. que deben su nombre a que el estadígrafo de prueba utilizado sigue la distribución homónima. Las hipótesis correspondientes a esta prueba son: H0: x ∼ N (la variable sigue una distribución normal) H1: x ∼/ N (la variable no sigue una distribución normal) Para verificar la hipótesis de normalidad se toma una muestra aleatoria de tamaño n y se agrupan las observaciones en k clases o categorías. entre otras. así: nei = n⋅ Pi 119 .Bera. pretenden decidir sobre si una determinada variable. cabe mencionar las de Cramer y las de Kendall. Las pruebas para la bondad del ajuste se utilizan para verificar si un grupo de datos u observaciones se ajusta bien al comportamiento de alguna distribución probabilística conocida. no obstante. y la verificación se basa en comparar los valores observados con los valores teóricos esperados bajo dicha condición: Si las diferencias entre lo observado y lo esperado son muy grandes. pues éstas son siempre más potentes que las no paramétricas equivalentes. Entre las pruebas no paramétricas más conocidas están las llamadas pruebas chi-cuadrado. Tampoco son las únicas en este sentido. se debe preferir la paramétrica.5. se utilizan mucho también la prueba Kolmogorov . una prueba no paramétrica es aquella que no requiere del conocimiento de parámetros o características de la distribución poblacional. la prueba chi-cuadrado no es la única aplicable a este tipo de estudios: para análisis de normalidad. La hipótesis nula en estas pruebas siempre está asociada al cumplimiento de la condición. por ejemplo. La ventaja de las pruebas no paramétricas radica precisamente en el hecho de que no se necesita del conocimiento de características poblacionales que en muchos casos son ignoradas. Dos de las aplicaciones inmediatas de las pruebas chi-cuadrado son las que se conocen como pruebas para la bondad del ajuste y pruebas para independencia. si se puede escoger para una investigación dada entre efectuar una prueba paramétrica y una no paramétrica.3: Pruebas no paramétricas: Prueba chi-cuadrado de la bondad de ajuste para verificar normalidad. La prueba busca comparar tales frecuencias observadas con las frecuencias esperadas bajo la condición de normalidad (ei ó nei). mayores que un valor tomado como crítico. se rechaza la hipótesis nula y se asume que no se cumple la condición supuesta. Las pruebas de independencia buscan establecer si dos variables son independientes entre sí o no. PRUEBA CHI-CUADRADO PARA NORMALIDAD: Tiene gran importancia el poder conocer si un grupo de datos sigue o no una distribución normal. y m es la cantidad de parámetros que caracterizan a la distribución bajo análisis: en el caso de una distribución normal. siendo k la cantidad de clases o categorías en que se ha distribuido la variable (garantizando que se cumplan determinados supuestos). Vale la pena recordar que la regla de las tres sigmas establece que para toda distribución normal con media μ y desviación típica σ el área bajo la curva de su función de densidad se distribuye de la siguiente forma: 120 . la primera clase se considera como originada en menos infinito (-∞). si se tiene una muestra relativamente grande (n mayor que 60 ó 100 observaciones). Como se aprecia.χ 02 = Y la región crítica correspondiente es: WC = { El estadístico de prueba se define cómo: ∑ χ 02 (no − ne ) 2 i i ne i : χ 02 > χ12−α (k −3 ) } Nota: De forma general el estadígrafo de prueba en las pruebas chi-cuadrado para la bondad del ajuste tiene k . el primer paso es organizarlos. creando clases. dado el comportamiento teórico normal. solo el 20% de las frecuencias esperadas (ei ó nei) puede ser menor que 5 9 Ninguna frecuencia esperada (ei ó nei) puede ser menor que 1 En caso de que se viole algún supuesto. se puede recurrir a un método alternativo que simplifica algunos cálculos.m -1 grados de libertad. que permite tomar una decisión. se obtiene el valor del estadígrafo de prueba. Con las correspondientes estimaciones se pasará a calcular para cada clase la probabilidad de que una variable con distribución normal pertenezca a la misma. En cualquier caso. por eso. por lo que los grados de libertad resultan k .3. verificándose que se cumplen los supuestos requeridos. y la última clase como extendida hasta infinito (∞). sobre todo el cálculo de la probabilidad correspondiente a cada clase. ésta se caracteriza totalmente con μ y σ. Una vez hecho esto se deberán estimar los dos parámetros que caracterizan a la distribución normal: μ y σ. Finalmente. Para realizar la prueba deben cumplirse los siguientes supuestos o restricciones: 9 Si k = 2. Con esas probabilidades se calculan las frecuencias esperadas. Procedimientos para el cálculo de las Pi: Como los datos suelen estar en su forma primaria. decidir cuántas clases conviene usar y calcular el ancho de clases necesarios. pues la distribución normal corresponde a una variable continua. y que se basa en la regla de las tres sigmas asociada a la distribución normal. luego m = 2. ninguna frecuencia esperada (ei ó nei) debe ser menor que 5 9 Si k > 2. esto se resuelve agrupando clases adyacentes hasta que se logre el cumplimiento. el procedimiento es bastante laborioso. en este cálculo. Para ello se debe determinar el recorrido de la variable. es evidente que al final de los cálculos debe cumplirse que: ∑ Pi = 1. Lo cual equivale a decir que: 1. P(μ −σ < X < μ+σ) = 68.27% del área bajo la curva normal 2. P(μ −2σ < X < μ+2σ) = 95.45% del área bajo la curva normal 3. P(μ −3σ < X < μ+3σ) = 99.73% del área bajo la curva normal El método alternativo propuesto sugiere aprovechar esto para construir los intervalos de clase de manera que las probabilidades correspondientes sean siempre valores fijos, dados por las secciones en que queda subdividida el área bajo la curva. Entonces, se procederá como sigue: 9 Primeramente se estimarán μ y σ a partir de la totalidad de los datos sin tabular 9 Se crearán 6 clases, partiendo de la estimación para μ en el centro de las clases (o sea, como límite superior de la tercera clase e inferior de la cuarta) y tomando como ancho de clases la estimación para σ. 9 Se adjudicarán las frecuencias observadas correspondientes a cada clase, y las respectivas probabilidades, valores estos últimos que siempre serán: 0.0228, 0.1359, 0.3413, 0.3413, 0.1359 y 0.0228. 9 Finalmente, se calcularán las frecuencias esperadas, y se verificará que se cumplan los supuestos; luego se obtendrá el estadígrafo de prueba. Ejemplo: A partir de la muestra siguiente, se quiere verificar, con un nivel de significación del 5%, si la misma procede de una población normal. 10 10 16 19 20 17 21 12 11 16 20 19 16 22 13 15 20 17 19 23 22 14 10 17 18 18 24 21 15 15 18 20 17 23 22 22 26 30 29 27 27 29 28 26 28 26 27 31 33 30 28 27 26 26 32 33 30 27 26 28 26 33 32 29 29 30 29 28 33 31 121 24 24 24 23 23 24 24 20 23 23 21 21 21 21 22 35 34 31 32 37 38 31 41 36 38 39 36 39 41 40 Solución: En el problema se tiene que: n = 100 y ∑X = 2500 Por tanto: μˆ = x = 1 n ∑X = σˆ 2 = s 2 = 1 n −1 2500 = 25 100 ∑ ( X − x) 2 = 5420 = 54.75 99 y: s = 54.75 = 7.4 Es decir, se partirá de x = 25 como valor que cierra la tercera clase y abre la cuarta, y tomando como ancho de clase c = s = 7.4, se crearán las clases y la tabla de frecuencias: clases -∞ – 10.2 10.2 – 17.6 17.6 – 25.0 25.0 – 32.4 32.4 – 39.8 39.8 – ∞ noi 3 14 34 33 14 2 Pi nei = n⋅Pi 0.0228 2.28 0.1359 13.59 0.3413 34.13 0.3413 34.13 0.1359 13.59 0.0228 2.28 Nota: Puesto que las clases se han creado atendiendo al criterio derivado de la regla de las 3 sigmas, las probabilidades correspondientes son los valores antes listados. No obstante, a continuación se muestra cómo calcularlas, para el caso en que no se quiera o no se pueda seguir este método, o incluso siguiéndolo no se recuerden las probabilidades: P1 = P( x ≤ 10.2 ) = P [ z ≤ (10.2 – 25)/ 7.4 ] = P ( z ≤ -2 ) = Fz (-2) = 0.0228 P2 = P( 10.2 < x ≤ 17.6 ) = P( -2 < z ≤ -1 ) = Fz (-1) - Fz (-2) = 0.1587 - 0.0228 = 0.1359 P3 = P( 17.6 < x ≤ 25 ) = P ( -1 < z ≤ 0 ) = Fz (0) - Fz (-1) = 0.5 - 0.1587 = 0.3413 P4 = P( 25 < x ≤ 32.4 ) = P( 0 < x ≤ 1 ) = Fz (1) - Fz (0) = 0.8413 - 0.5 = 0.3413 P5 = P( 32.4 < x ≤ 39.8 ) = P( 1 < z ≤ 2 ) = Fz (2) - Fz (1) = 0.9772 - 0.8413 = 0.1359 P6 = P( x > 39.8) = P( z > 2 ) = 1 - Fz (2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 Una vez completada la tabla se debe comprobar el cumplimiento de las restricciones, y se verifica que: ¾ ∑ Pi = 1 ¾ Todas las frecuencias esperadas son mayores que 1 122 ¾ Dos clases tienen frecuencias esperadas menores que 5, de un total de seis, lo que equivale a decir que el 33% de las frecuencias esperadas (2/6 = 0.33) son menores que 5, por lo que se viola esta restricción. Para remediar el no cumplimiento en la restricción anterior se debe agrupar clases adyacentes; en este caso se pudieran agrupar la primera y la segunda clases, o la quinta y la sexta, y como hay dos posibilidades de agrupamiento se debe preferir aquella en donde inicialmente hay más diferencias entre las frecuencias esperadas y los observadas, que aquí se corresponde con las clases primera y segunda. La tabla, después de agrupadas las clases queda: clases -∞ – 17.6 17.6 – 25.0 25.0 – 32.4 32.4 – 39.8 39.8 – ∞ noi 17 34 33 14 2 n ei 15.87 34.13 34.13 13.59 2.28 Ahora, de cinco clases en total, una tiene la frecuencia esperada menor que 5, lo que hace constituye el 20%, que es justo el máximo admitido para esta restricción, que se puede dar ya entonces por cumplida. Queda, pues, k = 5. Hipótesis: H0: x ∼ N H1: x ∼/ N Región crítica: WC = χ 02 : χ 02 > χ12−α (k −3 ) = χ 02 : χ 02 > χ 02.95 ( 2 ) = χ 02 : χ 02 > 5.99 { } { } { Decisión: El estadígrafo de prueba es: χ 02 = ∑ } (α = 0.05 ) (no − ne ) 2 i i ne i χ 02 = (17 − 15.87) 15.87 2 + (34 − 34.13 ) 34.13 2 + (33 − 34.13 ) 2 + (14 − 13.59) 2 + (2 − 2.28) 2 34.13 13.59 2.28 = 0.1374 χ 02 = 0.1374 < 5.99 O sea: χ 02 ∉ WC , por lo que no se rechaza H0. Esto quiere decir que puede aceptarse, con una significación del 5%, que los datos siguen una distribución normal. PRUEBA CHI-CUADRADO PARA INDEPENDENCIA: Otro problema que requiere de una prueba estadística es el de contrastar el supuesto de independencia estadística entre dos variables aleatorias. La prueba resultante puede ser aplicada para variables tanto cualitativas como cuantitativas. Las hipótesis correspondientes son: H0: X y Y son independientes 123 la cantidad de columnas. que se denotan por ne i j y suelen ponerse entre paréntesis junto a la frecuencia observada correspondiente.H1: X y Y son dependientes no 11 no 12 no 21 no 22 … Yk nX … … no 1k no 2k nX1 nX2 … Y2 Y1 … … no i j …  Y X  X1 X2 … Para desarrollar la prueba las dos variables sobre las que se plantean las hipótesis se clasificarán conjuntamente en categorías o clases. Yj) deben calcularse las frecuencias esperadas bajo la hipótesis de independencia. en una muestra de n observaciones. En función de lo anterior. j) Pi representa la probabilidad de pertenecer a la clase i de la variable X Pj representa la probabilidad de pertenecer a la clase j de la variable Y Nota. y por r la cantidad de categorías de la variable X. así. pudiera encontrarse un equivalente para las hipótesis planteadas. Para ello se necesita también calcular la probabilidad (Pi j) de que ocurra cada par de valores (Xi . o sea. Yj) siendo las variables independientes. es decir: H0: X y Y son independientes equivale a: H0: Pi j = Pi Pj 124 . Las frecuencias esperadas se calculan como: ne i j = n Pi j Y las probabilidades correspondientes se pueden obtener partiendo de la condición de independencia. o lo que es lo mismo. como la mostrada: Xr nY no r1 no r2 nY1 nY2 … … no rk nYk nXr n Se denota por k la cantidad de categorías en que se clasifica la variable Y. sin tener en cuenta los valores de la otra. los datos serán clasificados en k⋅r grupos. siendo: nY = j r ∑ i=1 no ij y n Xi = k ∑ noij j=1 Para cada par (Xi . Las frecuencias denotadas por no i j dentro de la tabla son las llamadas frecuencias observadas conjuntas. así: n X n Yj n Xi ⋅ n Yj Pi j = Pi j ⋅ Pi j = i ⋅ = n n n2 Aquí: Pi j representa la probabilidad de pertenecer a la clase o celda (i. En los bordes derecho e inferior de la atabla aparecen las llamadas frecuencias marginales de X y de Y respectivamente (nX y nY). y representan la cantidad de veces que se observan a la vez el valor Xi de X con el valor Yj de Y ( Se suele reservar el subíndice i para la X y el subíndice j para la Y ). que representan el total de observaciones para cada valor de la correspondiente variable. la cantidad de filas. en una tabla denominada tabla de doble entrada o tabla de contingencia. Solución: Datos: n = 300 r = 2 (carrera: número de filas) k = 4 (evaluaciones: número de columnas) Nota: Decir que los resultados en Estadística se diferencian para las carreras de Economía y Contabilidad equivale a decir que dichos resultados dependen de la carrera que se estudia. es decir: 9 Ninguna frecuencia esperada puede ser menor que 1 9 No más de un 20% de las frecuencias esperadas pueden ser menores que 5 El estadígrafo de prueba también se calcula de la misma manera.H1: X y Y están relacionadas H1: Pi j = Pi Pj equivale a: Finalmente. que entre la población de estudiantes universitarios de las carreras de Economía y Contabilidad hay diferencias respecto a sus resultados en Estadística? Utilice un nivel de significación del 5%. por lo que la región crítica toma la forma: WC = χ 02 : χ 02 > χ12−α [(k −1)(r −1)] { } Ejemplo: Una muestra aleatoria simple de 300 estudiantes universitarios de las carreras de Economía y Contabilidad arrojó los siguientes resultados respecto a la distribución de las evaluaciones en Estadística: Evaluación: Carrera: Economía Contabilidad Total 2 3 4 5 Total 27 24 51 85 44 129 50 40 90 18 12 30 180 120 300 ¿Puede afirmarse con base en estos datos. las frecuencias esperadas quedan: nX ⋅ nY i j ne = ij n Dichas frecuencias esperadas deben cumplir con los mismos supuestos o restricciones que en la prueba para verificar normalidad. por lo que puede efectuarse la verificación mediante una prueba chi-cuadrado para independencia. Hipótesis: H0: Los resultados en Estadística son independientes de la carrera 125 . teniendo en cuenta que la sumatoria incluye ahora dos variables: χ 02 = ∑ ij ⎛n − n ⎞ ⎜ oij eij ⎟ ⎝ ⎠ ne 2 ij En este caso los grados de libertad asociados al estadígrafo son el producto (k-1)(r-1). 4) 2 (50 − 54) 2 (18 − 18) 2 (24 − 20.6 77.4 54 18 20.6 300 ó ne 24 = nX ⋅ nY 4 2 n = 30 ⋅ 120 = 12 300 Y sustituyendo los distintos valores en la tabla de contingencia.6) 129 50 (54) 40 (36) 90 18 (18) 12 (12) 30 180 120 300 Como se ve.4 51.665 < 7. en otras palabras.95 ( 3 ) = χ 02 : χ 02 > 7.. todas las frecuencias esperadas son directamente mayores que 5.81 { } { } { } { } Decisión: χ 02 = (27 − 30.¿Para que se utiliza la prueba o dócima de bondad del ajuste? ¿Cuales son las restricciones que se tiene en cuenta para aplicar la distribución χ2 a esta prueba no paramétrica? ¿Cómo se plantearían las hipótesis en este tipo de prueba? ¿Cómo se calculan las frecuencias esperadas? 2. por lo que no se rechaza H0. así: ne = nX ⋅ nY i j n ij Por ejemplo. queda: Evaluación: Carrera: Economía Contabilidad Total 2 3 4 5 Total 27 (30. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1.81 O sea: χ 02 ∉ WC .6) 2 ( 40 − 36) 2 (12 − 12) 2 + + + + + + + 30.4) 44 (51.H1: Los resultados en Estadística dependen de la carrera En la tabla de contingencia se tienen las distintas frecuencias observadas.6) 2 (85 − 77. no existen elementos para afirmar que los resultados en Estadística entre los estudiantes de Economía y Contabilidad dependen de la carrera que estudian.. y se mantiene la cantidad original de filas y columnas (r = 2 y k = 4).4) 2 ( 44 − 51. Esto quiere decir que. con una significación del 5%.6 36 12 χ 02 = 3. será: ne 11 = nX ⋅ nY 1 1 n = 51 ⋅ 180 = 30.95 [(1)(3 )] = χ 02 : χ 02 > χ 02. por lo que se cumplen los supuestos o restricciones. no hay diferencias significativas en cuanto a los resultados en Estadística entre ambas carreras.¿Por qué es necesario al calcular las Pi que estas sumen 1? 126 .6) 24 (20. es necesario además calcular las correspondientes frecuencias esperadas.4) 51 85 (77. Región crítica: WC = χ 02 : χ 02 > χ12−α [(k −1)(r −1)] = χ 02 : χ 02 > χ 02. 00 y $0. viviendas para 2 ó 4 familias y edificios de apartamentos).La corporación SIMEX tiene varios miles de trabajadores por hora. si dicha distribución sigue una distribución normal.¿Por qué no se debe aplicar la prueba chi-cuadrado para la independencia cuando las frecuencias esperadas en algunas celdas sean menores que 5? ¿Qué acción se puede llevar a cabo en estas circunstancias que permitan analizar esos datos? 127 .00 131 8...44 38 6. 4.66 12 5.22 8.66 6. Intervalos 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10 10 a 12 ni 12 94 170 188 28 8 Pruebe a un α = 0. ¿podría considerar que hay relación entre la contratación de servicios de TV por cable y el tipo de residencia? 6. para ello seleccionó una muestra aleatoria de trabajadores por hora y se registró sus salarios.78 respectivamente.00 8. La analista encontró que la media y la desviación típica muestral son $8. sobre la base del tipo de residencia (viviendas para una sola familia..05.01.44 7.Una muestra aleatoria de 500 acumuladores para automóviles mostró la siguiente distribución: de la duración en años de los acumuladores. Intervalos ni < 5. Utilice la prueba de χ2.34 13 560 5. Una muestra aleatoria de 400 hogares mostró lo siguiente: Tipo de casa Casa de una TV cable sola familia Sí 94 No 56 150 Total Casa de 2 a 4 Edificio de familias apartamentos 39 77 36 98 75 175 Total 210 190 400 Con un α = 0.34 47 > 10.56 10. Realice la prueba deseada para un α del 5%..El director de mercadotecnia de una compañía de televisión por cable está interesado en determinar si hay alguna diferencia en la proporción de hogares que contratan el servicio de cable por televisión.56 98 9. La analista de la corporación quiere determinar si la distribución normal se puede utilizar para describir la escala de salarios por hora de la corporación.78 117 8.3.78 9.22 104 7. y el nivel de problemas relacionados con el estrés observado en los mismos. con vistas a situarles un ómnibus si esto se comprueba. Estrés Tiempo Viaje Menos de 15 min De 15 a 45 min Más de 45 min Total Alto 9 17 18 44 Moderado Bajo 5 8 6 19 18 28 7 53 Total 32 53 31 116 128 .7.Una gran corporación esta interesada en determinar si existe asociación entre el tiempo que le toma a sus empleados trasladarse al trabajo. Un estudio de 116 trabajadores de la línea de montaje reveló lo mostrado en la tabla que sigue.. Determine si hay relación entre el tiempo de viaje y el estrés. que resume los principales aspectos teórico-prácticos de la técnica. para denotar la variable en estudio. La verificación de la similar efectividad de tres métodos de enseñanza de una lengua extranjera. ANÁLISIS DE VARIANZA DE CLASIFICACIÓN SIMPLE: Atendiendo a la cantidad de factores externos considerados en el modelo el método de análisis de varianza se clasifica en simple (un único factor). La identidad fundamental da pie a la formación de un estadístico de prueba. en vez de X. Modelo de clasificación simple. Su fin inmediato es aplicar una prueba de hipótesis para la comparación de medias entre varias poblacionales. sobre la base de datos muestrales. Supuestos del método. La investigación sobre qué tipo de fertilizante da mejores rendimientos. y los matemáticos prefieren explicitar así una variable dependiente. pero lo que interesa de él son los distintos valores que toma. En cuanto al factor externo.TEMA VI: ANÁLISIS DE VARIANZA 6. La comparación de la producción media por hectárea de distintas variedades de un cultivo. cuya naturaleza puede ser tanto cualitativa como cuantitativa. El análisis de varianza como técnica es un instrumento estadístico poderoso que trata de determinar si el efecto aislado de un factor externo –o de un conjunto de factores externosincide sobre el comportamiento de una variable o característica en estudio. En casi toda la bibliografía sobre el análisis de varianza utiliza el símbolo Y. A esa descomposición de la variabilidad total se le denomina identidad fundamental del análisis de varianza. y múltiple (más de factores). a los que se les llama niveles. Se inicia aquí el estudio de una técnica llamada análisis de varianza. el mismo puede ser considerado como una variable independiente.1: Conceptos básicos del análisis de varianza. Para ello se debe contar con observaciones de la variable bajo diferentes influencias del factor externo. de manera que puedan compararse los promedios de la variable correspondientes a los distintos valores del factor. Esta técnica pretende expresar la variabilidad total del conjunto de datos como una suma de términos que se pueden atribuir a distintas fuentes o causas específicas de variación. 129 . y todo ello se refleja en una tabla llamada tabla de análisis de varianza o tabla ANOVA. y su efecto en los valores de la característica medible o variable dependiente. justificado esto por el hecho de que se asume que es una variable que puede estar dependiendo de otra –u otras-: el factor externo. Ejemplos de aplicación son los siguientes: • • • • • La decisión acerca de qué método de producción abarata más los costos. doble (dos factores). en particular para el diseño de experimentos. La evaluación en un laboratorio médico sobre el efecto de diferentes medicamentos en la presión sanguínea. de marcada importancia dentro de la Estadística. por las siglas en inglés. de respectivo tamaño Ni. La notación en uso tiende además a indicar con un subíndice i los diferentes niveles o poblaciones a los que da origen (1 ≤ i ≤ k). Las hipótesis en el análisis de varianza tienen siempre la siguiente forma: H0: μ1 = μ2 = … = μk (las medias de las k poblaciones son todas iguales) H1: Al menos una μi difiere de las demás O sea. y con un subíndice j las distintas observaciones correspondientes a las muestras o grupos tomados para cada población o nivel. Los niveles del factor son cada uno de los tipos de pienso. El factor externo o variable independiente es el tipo de pienso.Es común representar con k la cantidad de niveles o valores distintos del factor externo. y de cada una de ellas se debe disponer de una muestra aleatoria. lo cual equivale a que el factor externo no incide sobre la variable. lo que está asociado entonces con alguna influencia del factor externo. La hipótesis alternativa habla de diferencias entre las medias de algunas poblaciones. juzgando –mediante una prueba de hipótesis. y para ello se hace uso ve varios teoremas importantes en el campo de la Estadística. La característica medible o variable dependiente es el incremento en peso de los cerdos. pero con igual varianza σ2. la hipótesis nula recoge el hecho de que las medias correspondientes a cada población en estudio sean todas iguales. y cada una da lugar a una muestra o grupo de observaciones. Fundamentación teórica del método: Ya se ha dicho que la este método se basa en expresar la variabilidad total del conjunto de datos como una suma de términos que se pueden atribuir a distintas fuentes o causas específicas de variación. a lo que también se llama cantidad de poblaciones en comparación. Hay un teorema que plantea que si se unen k poblaciones. En el análisis de varianza de clasificación simple se trata entonces de decidir si un determinado factor externo influye o no sobre una variable.si la variabilidad que se observa en la variable es atribuible al azar o si realmente se debe a la influencia de dicho factor. Las poblaciones en comparación son en este caso tres (k = 3): los posibles cerdos alimentados con cada tipo de pienso. entonces la varianza total asociada a la nueva megapoblación o población global será: 130 . Ejemplo: Se desea comparar el efecto de tres tipos de pienso para cerdos en el incremento en peso de los animales. otro estimador de σ2 es: ∑n ( y k i S E2 = i −y ) i=1 k −1 2 k 2 siendo: E ( )= σ SE2 ∑ n (μ i 2 + i − μ) i=1 k −1 A este varianza de le denomina varianza entre grupos. proporciona una estimación válida de la varianza desconocida de la población sin importar si se acepta o rechaza H0. Así. El método que se utiliza es a través de los estimadores de σ2. Un teorema más establece que. De modo que una comparación de varianzas puede conducir a una conclusión sobre la igualdad de medias poblacionales. y esto se expresa mediante las llamadas sumas de cuadrados. Conviene destacar que esta varianza. Por otra parte. En el caso del análisis de varianza de clasificación simple. que son los denominadores de las varianzas. se tendría una suma de cuadrados total (SCT).k ∑ N (μ i σ 2T − μ) i i=1 2 =σ + 2 . se puede concluir que σ 2T > σ 2 . y dada la forma matemática de su valor esperado se ve que SE2 es un estimador sesgado de σ2. N Por lo tanto. entonces podrá obtenerse un estimador de σ2 a través de la siguiente expresión: S D2 = 1 n−k ∑ (y 2 ni ij − yi ) ( ) siendo: E S D2 = σ 2 j=1 A esta varianza se le da el nombre de varianza dentro del grupo. si se cumple la hipótesis nula planteada para el análisis de varianza. Hay otro teorema que plantea que si dos o más muestras proceden de una misma población. siendo N = ∑Ni el tamaño de la población global. la variación total en los datos se divide en dos fuentes: variación entre grupos y variación dentro de grupos. que se hace insesgado sólo si todas las medias poblacionales son iguales. o de diferentes poblaciones con igual varianza σ2. si alguna media poblacional es diferente. quedando la identidad fundamental del análisis de varianza como sigue: SCT = SCD + SCE Donde: SCE = ∑ (y ij i − y)2 = ∑ n (y i i − y)2 131 . o sea. si todas las medias son iguales será: σ 2T = σ 2 . una suma de cuadrados entre grupos (SCE) y una suma de cuadrados dentro de grupos (SCD). como es insesgada. bajo la misma condición de que todas las varianzas poblacionales son iguales a σ2. y dada la forma de su valor esperado se cumple que SD2 siempre es un estimador insesgado de σ2. Una representación gráfica del origen de estas variaciones es siempre útil para comprender su significado: Es evidente que: ( y ij − y ) = ( y ij − y i ) + ( y i − y ) Si se eleva al cuadrado ambos miembros.∑ (y SCD = ij − y i )2 = ij − y )2 ij SCT = ∑ (y ∑ (n − 1) s i 2 i ij La suma de cuadrados entre grupos busca las diferencias de las medias de cada grupo respecto a la media de la muestra conjunta. y se suma sobre todos los grupos (i) y todas las observaciones correspondientes (j). por tanto. Representa el tamaño de la muestra conjunta. el total de observaciones. en el caso en que la hipótesis nula del análisis de varianza sea cierta esta diferencia entre grupos será mínima. tras hacer algunas transformaciones matemáticas se llega a la identidad fundamental planteada anteriormente: k ni ∑∑(y ij i=1 j=1 k ni ) ∑∑(y 2 −y = ij i=1 j=1 k ) ∑n (y − y ) 2 − yi + 2 i i i (SCT = SCD + SCE) i=1 Desarrollo práctico del método: En la simbología usada al definir las sumas de cuadrados se tiene que: ni n = Σni Representa el tamaño de muestra correspondiente a la población iésima. o sea. 132 . La suma de cuadrados dentro de los grupos lo que hace es comparar cada elemento de la muestra con la media de su propio grupo. como el cálculo manual de las sumas de cuadrados es bastante laborioso. y estas son: SCE = ∑ i T i2 T2 − ni n ∑ n es el tamaño de la muestra global. dado el carácter aditivo de las sumas de cuadrados. y que son: GLE = k -1 (grados de libertad entre grupos) GLD = n .k (grados de libertad dentro de grupos) GLT = n . es decir. y la media global. sobre todo si se tienen que estimar previamente las medias y varianzas de cada grupo.se suele recurrir a fórmulas alternativas que simplifican un poco el proceso.1 n ∑y ij Representa la media de todas las observaciones efectuadas. j No obstante. de la muestra conjunta. cuando estas estimaciones no se tienen de antemano –que es lo común. ∑ (y − yi y= s i2 = 1 ni − 1 ij ij j ) 2 Representa la estimación de la varianza efectuada a partir de la muestra i-ésima.1 (grados de libertad totales) Para los grados de libertad se cumple también que: GLT = GLD + GLE O explícitamente: (n – 1) = (n – k) + (k – 1) 133 . se acostumbra a obtener por diferencia. es decir como: SCD = SCT − SCE De la misma forma resulta de gran importancia en el análisis de varianza la relación entre los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados. 1 yi = ni ∑y ij Representa la media de las observaciones correspondientes a la muestra i-ésima. y n el de cada grupo T = ∑ y son los totales (suma de observaciones) de cada grupo Donde: n = i i i i ij j T= ∑ T es el total de la muestra conjunta i i SCT = ∑ y ij2 − ∑ y ij2 − ij SCD = ij T2 n ∑ i Ti2 ni Esta última. el otro se basa en la suma de los cuadrados entre los grupos (SCE). debe estar cerca de la varianza dentro de los grupos. El estimado de la varianza entre los grupos no solo toma en cuenta las fluctuaciones aleatorias de una observación a otra. Uno de los estimadores se basa en la suma de los cuadrados dentro de los grupos (SCD). Así se tiene: SCD SCE S D2 = CMD = y SE2 = CME = n−k k −1 Y el estadígrafo de prueba es: F0 = S E2 S D2 Debido a que el cálculo de varianzas entre y dentro de grupos conlleva varios pasos. obtenido del cociente SE2/SD2: Fuentes de Variación entre grupos Sumas de Cuadrados SCE dentro de grupos SCD total SCT Tabla ANOVA Grados de Varianzas o Libertad Cuadrados Medios SCE sE2 = k-1 n −1 SC D s D2 = n-k n−k Estadígrafo F0 = sE2 sD2 n-1 Al estadígrafo se le llama F porque se ha probado que la razón de dos varianzas tiene asociada una distribución probabilística F de Fisher. Si la hipótesis nula es cierta. si es falsa el estimador basado en la suma de los cuadrados entre grupos debe ser mayor.n-k). siendo los dos últimos los de verdadero interés para la aplicación de la técnica. se acostumbra a resumir estos resultados en una tabla conocida como tabla de análisis de varianza (ANOVA). pues del cociente de estos se obtiene el estadígrafo de prueba F0. y la varianza entre grupos. estos estimadores deben ser aproximadamente iguales. y la varianza entre grupo SE2. si la hipótesis nula es falsa entonces el numerador debe ser mayor que el denominador y la razón debe ser mayor que uno 134 . Si no hay diferencia de un grupo a otro. Si la hipótesis nula es cierta. cualquier diferencia en la media muestral se explicará por la variación aleatoria. esta razón debe estar cercana a uno. la prueba estadística se basa en la razón de las varianzas SE2/SD2. la varianza dentro del grupo SD2. Esta tabla incluye las fuentes de variación.Al dividir las sumas de cuadrados entre sus grados de libertad se obtienen los distintos cuadrados medios o estimadores de σ2. Sin embargo si en realidad hay una diferencia entre los grupos. Con el fin de determinar si las medias de los diversos grupos son todas iguales. cuyos grados de libertad en este caso coinciden con los de las sumas de cuadrados en el numerador y en el denominador. Por todo lo anterior. las varianzas o cuadrados medios y el valor del estadístico de prueba F0. es decir la varianza total ST2. es decir: F0 ∼ F(k-1. se pueden examinar dos estimadores diferentes de la varianza de la población. sino también mide las diferencias de un grupo con otro. la varianza entre grupos será significativamente mayor que la varianza dentro de los grupos. las sumas de los cuadrados (es decir las variaciones). los grados de libertad. 3. el cual es conocido como supuesto de igualdad u homogeneidad de varianzas. donde i = 1. . σi). y sólo será insesgado si se cumple que H0 es cierta.. pues parte de la relación entre dos varianzas.. De estos supuestos el más importante es el primero citado. 4. Las muestras n1. mientras que SD2 es siempre un estimador insesgado.…. o sea: σ12 = σ22 = …= σk2 2. n − k ) ⎬ SD ⎩ ⎭ Supuestos del modelo del análisis de varianza: Para aplicar la técnica del análisis de varianza es necesario que se cumplan las siguientes suposiciones sobre los datos investigados: 1. Yk.n – k) De aquí se infiere que las hipótesis nula y alternativa que se plantearán serán las siguientes: H0: μ1 = μ2 = . por ello resulta útil ante la duda verificar antes (o después si se prefiere) su cumplimiento. Las características medibles son estadísticamente independientes de una población a otra: Y1.. n2. O sea.... y así se rechazará la hipótesis de que no hay diferencias entre las medias de los grupos cuando la razón entre las varianzas o cuadrados medios sea mayor que el valor tomado crítico: SE2/SD2 = CME/CMD > F1 − α ( k – 1. De incumplirse el supuesto de homocedasticidad se invalida el resultado obtenido al aplicar la prueba del análisis de varianza. Verificación del supuesto de homocedasticidad: Prueba de Bartlett 135 .. Y2. . la región crítica toma la forma: ⎧ ⎫ S2 W C = ⎨F0 = E2 : F0 > F1− α (k − 1 .nk de los k grupos poblacionales son seleccionadas mediante un muestreo aleatorio simple. o más técnicamente como supuesto de homocedasticidad (igual variabilidad). La región crítica siempre es hacia la derecha ya que el problema se reduce a buscar un valor a partir del cuál el estadístico de prueba resulte significativamente mayor que 1 para rechazar la hipótesis nula. Además ésta es la razón por la cuál la distribución a utilizar es la F de Fisher. 2.. Las características medibles se distribuyen normalmente en cada población. bajo el que se asume que las varianzas poblacionales son iguales para todos los grupos en comparación. = μk H1: alguna μi diferente Es bueno señalar que estas hipótesis son equivalentes a decir: H0 : ( ) ( ) E SE2 =1 E SD2 H1 : ( )>1 E(S ) E S E2 2 D Ya que como se vio anteriormente SE2 es un estimador sesgado de la varianza total. esto es: Yi ∼ N(μi .k. Las varianzas de las k poblaciones son iguales.Como se aprecia el problema se reduce a buscar un valor a partir del cuál el estadístico de prueba resulte significativamente mayor que 1. si el costo de producción medio depende o no de la tecnología). de un producto fabricado bajo tres tecnologías diferentes. el cociente representado por M/C seguía con muy buena aproximación una distribución chi-cuadrado. Como este último es más sencillo de obtener usando tablas de logaritmos. que es el factor de conversión de logaritmos decimales en naturales. se suele plantear la expresión en términos del logaritmo decimal y luego multiplicar por 2.3026.Para verificar el cumplimiento del supuesto de homocedasticidad se utiliza. la llamada prueba o dócima de Bartlett -en honor al matemático que la introdujo-. como sigue: H0: σ12 = σ22 = …= σk2 (las varianzas de las k poblaciones son todas iguales) H1: Al menos una σi2 difiere de las demás Bartlett encontró que. en centavos. A su vez. o lo que es lo mismo. y podía ser utilizado como estadígrafo de prueba con la región crítica dada por: ⎫ ⎧M M WC = ⎨ : > χ 12− α ( k −1) ⎬ ⎭ ⎩C C El valor de M se calcula como: M = (n − k ) ln( s D2 ) − ∑ (n − 1)ln(s i 2 i ) i ⎡ ó M = 2. Tecnologías A B C 7 2 7 4 4 8 6 5 7 4 6 11 9 3 7 136 .3026 ⎢(n − k ) lg( sD2 ) − ⎣ ∑ (n − 1)lg(s i i 2 ⎤ i )⎥ ⎦ En estas expresiones equivalentes ln indica el logaritmo natural y lg el logaritmo decimal. b) Se quiere también verificar el cumplimiento del principal de los supuestos asociados al análisis anterior. de la presencia de heterocedasticidad. si para cada población se contaba con una muestra de al menos cinco observaciones (ni ≥ 5). C se calcula como: C = 1+ 1 ⎡ ⎢ 3(k − 1) ⎣ ∑n 1 1 ⎤ − ⎥ n −k⎦ i −1 Ejemplo: Los datos tabulados corresponden a muestras aleatorias del costo de producción. cuya hipótesis nula habla de la existencia de homocedasticidad y la alternativa de la no existencia. sD2 (también CMD) es la varianza o cuadrado medio dentro de grupos ya obtenida previamente durante el cálculo de F0: SC D sD2 ≡ CMD = n−k Y si2 representa la estimación de la varianza para el i-ésimo grupo: s i2 = 1 ni − 1 ∑ (y ij − yi ) 2 j Por su parte. a) Se quiere realizar una prueba estadística a un 5% de significación para decidir si existen diferencias entre las tecnologías que puedan afectar los costos correspondientes (o lo que es lo mismo. entre otras. para calcular el estadígrafo de prueba.95 (2 . n − k ) = F0 : F0 > F0. 12 ) = {F0 : F0 > 3 .Solución: La variable en estudio (Y) es el costo de producción del producto. T = 90. Datos iniciales: n = 15 k=3 a) Verificación de la igualdad o no de costos medios entre las tecnologías: Hipótesis: H0: μ1 = μ 2 = μ 3 H1: alguna μi diferente Nivel de significación elegido: α = 0. Dicha tabla auxiliar se puede preparar atendiendo a lo que se necesita a partir de las fórmulas abreviadas para las sumas de cuadrados. F0. n1 = n2 = n3 = 5 Luego: SC T = k ni ∑∑ i=1 j=1 Yij2 − T2 = 620 – 902/15 = 620 – 8100/15 = 620 – 540 = 80 n 137 .89 Ahora.05 Región crítica: W C = F0 : F0 > F1− α (k − 1 . y el factor externo en este caso son las tecnologías. Tecnología Yi j 7 4 6 4 9 A 2 4 5 6 3 B 7 8 7 11 7 C Totales: ni 5 5 5 15 Ti 30 20 40 90 Ti 2 900 400 1600 Ti2/ni 180 80 320 580 Y2i j 49 16 36 16 81 / 198 4 16 25 36 9 / 90 49 64 49 121 49 / 332 620 Nota: Debe tenerse en cuenta que el subíndice i representa las muestras (aquí en distintas filas). donde se traspuso por comodidad el orden de los datos. a continuación se muestra la aquí usada. quedando ahora las observaciones para los distintos niveles o poblaciones en filas. k = 3.89 } { } { } Regla de decisión: Rechazar H0 si F0 > 3.89 No rechazar H0 si F0 ≤ 3. y el j las observaciones. Resumiendo: n = 15. se requiere contar con la llamada tabla ANOVA. y para llegar a ésta conviene crear una tabla auxiliar a partir de los datos muestrales. a un 5% de significación Si se quisiera saber cuál tecnología es diferente se pudiera completar el análisis comparando dos a dos dichas tecnologías.3 Por tanto. o sea.06 > 3. Tabla ANOVA Fuente de Sumas de Grados de Cuadrados Estadístico de Variación cuadrado libertad medios prueba Entre grupos 40 2 20 Dentro de grupos 40 12 3.k SCE = ∑ i=1 k SCD = Ti2 T 2 − = 580 – 540 = 40 ni n ni ∑∑ y ij2 − i=1 j=1 k ∑ i=1 Ti2 = 620 – 580 = 40 ni Esta última también se puede calcular utilizando la identidad fundamental y despejando: SCT = SCD + SCE ∴ SCD = SCT – SCE = 80 – 40 = 40 Y ya se está en condiciones de completar la tabla de análisis de varianza para el cálculo del estadístico de prueba.99 No rechazar H0 si M/C ≤ 5. se puede crear otra tabla auxiliar a partir de los datos muestrales.89 F0 = 20 = 6.99 Para calcular el estadígrafo de Bartlett.06 3.33 Total 80 14 - Decisión: F0 = 6.99 ⎬ ⎩C C ⎭ ⎩C C ⎭ ⎩C C ⎭ Regla de decisión: Rechazar H0 si M/C > 5. M/C. b) Verificación de la igualdad o no de varianzas entre las tres tecnologías: Hipótesis: H0: σ12 = σ 22 = σ 32 H1: alguna σi2 diferente Nivel de significación: α = 0.95 ( 2 ) ⎬ = ⎨ : > 5 . como la siguiente: 138 . Esto indica que existen diferencias significativas entre los costos de producción para al menos una de las tecnología. se acepta H1. se rechaza H0.05 (el mismo anterior) Región crítica: ⎧M M ⎫ ⎧M M ⎫ ⎧M M ⎫ WC = ⎨ : > χ 12− α ( k −1) ⎬ = ⎨ : > χ 02. siendo la variable observada en estudio el costo de producción.076 = 0.665 4. puede aceptarse que se cumple el supuesto de existencia de homocedasticidad.Verificar el supuesto de homocedasticidad necesario para la verificación anterior.436 – 14. no se rechaza H0.25 + 0.360/1.504 0.016 + 3.667/6 = 1.5 2. Se quiere: a.324 Decisión: M/C = 0.111 Y finalmente: M/C = 0. o sea..076 1 1 = 0. b.33 ) − (6. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN La siguiente tabla contiene los resultados obtenidos al aplicar cuatro métodos diferentes de fabricación de un cierto producto.360 1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 ⎡ C = 1+ (0.111 = 0.Determinar si el costo depende o no. del método de fabricación.75 0.099 (ni -1)ln(si2) 6.A 7 4 6 4 9 B 2 4 5 6 3 C 7 8 7 11 7 5 5 5 ij 6 4 8 ) 4.076 = 14.25 0.99 Por tanto.75 − 0..016 3.665 + 4.25) − 1 ⎤⎥ = 1 + 1 (0. O sea.324 < 5. en general. conociendo que M/C = 1.25 + 0.916 1.394 Σ(ni -1)ln(si2) = 14. en centavos.5 3 ni yi = s i2 = 1 ni − 1 1 ni ∑ (y ij ∑y n = Σni = 15 j − yi 2 j ln(si2) 1. A 5 5 6 7 5 5 Métodos B C 6 7 5 5 6 6 6 7 7 5 6 D 7 7 8 7 8 139 . se acepta la propia H0.25 0.203 – 14.05.394 ) i = 12⋅1.083) − ⎢ ⎥ = 1+ ⎢ 3(k − 1) ⎣ ni − 1 n − k ⎦ 3⋅2 ⎣ 15 − 3 ⎦ 6 ∑ = 1+0.25 ni − 1 ni − 1 ∑ Entonces queda: M = (n − k ) ln( s D2 ) − ∑ (n − 1)ln(s i 2 i ) = (15 − 3) ln(3. de Estadística. John. Tablas Estadísticas. 1987. Juan. 1988. Universidad de La Habana. Estadística I. Estadística. Pueblo y Educación. George. La Habana. Freund. 2004. McGraw Hill. de Economía. et al. 1983. La Habana. II y III.BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: Estadística. de Economía. Arístides. Canavos. Caridad. Editorial Félix Varela. 1974. Laboratorios de Estadística Matemática I y II: Colectivo de Autores. La Habana. La Habana. 1987 Estadística: Teoría y Problemas. Selección realizada por el Dpto. España. Murray Spiegel. Estadística elemental moderna. Universidad de La Habana. Fac. 1987. Calero Vinelo. McGraw Hill de México. Edición Revolucionaria. Pueblo y Educación. 140 . Guerra Bustillo. Fac. Estadística. Probabilidad y Estadística. Cué Muñiz. et al. Dpto. Universidad de La Habana.