1. Estimación en la estadística. Ejercicio 6.1. Si el contenido en gramos de un determinado medicamento sigue una distribución normal N(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño 5 se obtenga que la media es menor que 7. Ejercicio 6.2. Una fábrica de pasteles elabora, en su producción habitual, un 3% de pasteles defectuosos. Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica. Calcular la probabilidad de que encuentre más del 5% de pasteles defectuosos. Ejercicio 6.3. Un ascensor limita el peso de sus 4 ocupantes a 300 kilogramos. Si el peso de un individuo sigue una distribución normal N(71,7), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300 kilogramos. Ejercicio 6.4. Se prueba el rendimiento, en kilómetros por litro, de dos tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23 kilómetros por litro para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37 kilómetros por litro para la segunda. Se prueba la primera gasolina en 35 vehículos, y la segunda en 42. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina dé un rendimiento promedio mayor de 0.45 kilómetros por litro que la segunda gasolina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83 kilómetros por litro a favor de la primera gasolina? Ejercicio 6.5. Se ha comprobado que la concentración promedio de zinc que se saca del agua de un río a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encontrar los intervalos de confianza del 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río, suponiendo que la desviación típica de la población es 0.3. Ejercicio 6.6. Determinar un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de que un recién nacido sea niño, si en una muestra de tamaño 123 se han contabilizado 67 niños. Ejercicio 6.7. El encargado del departamento de producción de una fábrica recibe un lote de 2000 piezas necesarias para el montaje de un artículo. El fabricante de las piezas asegura que en este lote no hay más de 100 piezas defectuosas. a) ¿Cuántas piezas hay que examinar para que, con un nivel de confianza del 95%, el error que se cometa en la estimación de la proporción de piezas defectuosas no sea mayor que 0.05? b) Si se toma una muestra de 100 piezas elegidas al azar y se encuentran 4 defectuosas, determinar un intervalo de confianza para la proporción de defectuosas al nivel del 95%. Ejercicio 6.8. El peso de los terneros de una granja se distribuye normalmente, con desviación típica de 10 kilogramos. Se toma al azar una muestra de 35 de ellos para transportarlos en un camión. Sabiendo que el peso medio resulta ser de 140 kilogramos, determinar un intervalo de confianza al 8% de nivel de significación en el que oscilará el peso de los 35 terneros. Ejercicio 6.9. Dos compañías A y B fabrican el mismo tipo de cable. Un distribuidor desea conocer la diferencia promedio de la resistencia a la rotura de los mismos, para lo cual toma muestras de 100 cables de A y 50 cables de B. La muestra de los cables de la compañía A arroja una resistencia promedio a la rotura de 4500 kilogramos, mientras que los cables de la compañía B arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4000 kilogramos. Se sabe, por experiencia, que la desviación típica de la resistencia a la rotura es de 300 kilogramos para la compañía A y de 200 kilogramos para la compañía B. Se pide estimar, con un nivel de confianza del 95%, el intervalo de confianza de la diferencia de medias de la resistencia a la rotura entre los dos cables, si la resistencia a la rotura se distribuye normalmente para ambas compañías. Ejercicio 6.10. Se quiere comprobar si una máquina destinada al llenado de envases de agua mineral ha sufrido un desajuste. Una muestra aleatoria de 10 envases de esta máquina ha proporcionado los siguientes resultados: 0.49 0.52 0.51 0.48 0.53 0.55 0.49 0.50 0.52 0.49. Suponiendo que la cantidad de agua mineral que este tipo de máquinas deposita en cada envase sigue una distribución normal de media 0.5 litros y desviación típica 0.02 litros, se desea contrastar si el contenido medio de los envases de esta máquina es de 0.5 litros, con un nivel de significación del 5%. a) Plantear las hipótesis nulas y alternativa del contraste. b) Determinar la región crítica del contraste. c) Realizar el contraste. 2. Tipos: puntual y por intervalo. La media semanal de horas de asistencia a una biblioteca de cuatro miembros de una familia es 3, 7, 5 y 4 respectivamente. ¿Cuál puede considerarse la media semanal de asistencia a la biblioteca de la familia? En una ciudad se toma una muestra de 160 personas, de las cuales 49 practican deporte. Determina y calcula un estimador puntual para la proporción de personas que practican deporte en la ciudad. Se ha realizado un estudio estadístico sobre el peso, en kg, y el sexo de los recién nacido durante seis meses en un hospital. El peso de 15 de ellos es: 3215 3315 2987 2853 3054 2900 2873 3108 3115 2799 2869 3008 3106 3115 2875 Además, 7 de esos bebés son niños. Determina un estimador puntual para : a) El peso medio de la población. b) La proporción de niños nacidos. Con una muestra de 200 personas, para determinar su altura media "en metros", se ha obtenido el intervalo de confianza ( 1,60 ; 1,76 ) con un nivel de confianza del 95 %. Interpreta este resultado y decide cuál será el error máximo admisible. Halla las siguientes probabilidades en una distribución N ( 0, 1 ) a) P (Z ≤ 1,28) b) P (Z ≥ 0,65) c) P (Z ≤ -1,17) d) P (Z ≥ -1,76) Sea Z una variable aleatoria que sigue una distribución N ( 0, 1 ). Hallar el valor de K en cada una de las siguientes igualdades : a) P ( Z ≤ K ) = 0,8485 b) P ( Z ≥ K ) = 0,9972 c) P ( 1 ≤ Z ≤ K ) = 0,15 d) P ( Z ≤ 2 + k ) = 0,9896 En una distribución N ( 23 ; 3 ), halla las siguientes probabilidades : a) P ( x ≤ 30 ) b) P ( x ≥ 15 ) c) P ( 19 ≤ x ≤ 21 ) d) P ( 25 ≤ x ≤ 29 ) En una distribución N ( 9 ; 0,5 ), calcula el valor de K para que se cumplan las siguientes igualdades : a) P ( x ≤ K ) = 0,9608 b) P ( x ≥ K ) = 0,5199 c) P ( x ≤ K ) = 0,8212 d) P ( x ≥ K ) = 0,8830 Si fijamos el nivel de confianza Nc = 95 % hallar el valor crítico zα/2. Calcula los valores críticos correspondientes : a) α = 0,37 b) α = 0,006 c) α = 0,04 3. Propiedades de los estimadores. Sean y dos estimadores insesgados de varianza y , respectivamente, siendo ambos independientes entre sí. Buscar el valor de , para que es insesgado y tiene la menor varianza. Sea una variable de Poisson, e Y una variable con función de densidad ¿Cumplen las condiciones de regularidad de Crámér-Rao? Sea una muestra aleatoria simple de una población con función de densidad a) Obtener el estimador máximo verosímil de . b) Comprueba que c) Estudia las propiedades del estimador obtenido Sea X una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro . a) Demostrar que, para una muestra aleatoria simple de tamaño n, el estimador máximo verosímil de y su estimador por el método de los momentos, coinciden. b) Estudiar si dicho estimador ( ) es insesgado, suficiente, eficiente y consistente. c) Calcular y el estimador máximo verosímil de dicha probabilidad. Sea X ∼ Γ(2, θ), donde la función de densidad de una v.a. con distribución Gamma Γ(α, θ) y parámetros α y θ es f(x) = θ −α Γ(α) x α−1 e −x/θ , x > 0 Calcular el estimador máximo verosímil para θ y comprobar que es insesgado. En una población hay individuos de tres tipos con las siguientes probabilidades: Pr(Tipo1) = θ 2 Pr(Tipo2) = 2θ(1 − θ) 0 ≤ θ ≤ 1 Pr(Tipo3) = (1 − θ) 2 Obtenemos una muestra aleatoria de tamaño n, resultando N1 individuos de Tipo 1, N2 individuos del Tipo 2 y los restantes de Tipo 3. a) Estudiar si el estimador Tˆ = 2N1+N2 2n es insesgado para estimar θ b) Hallar el estimador de máxima verosimilitud de θ. Se considera una población tal que sus elementos son susceptibles de poseer o no una característica supuesto extraídas muestras de tamaño n , muestreo aleatorio simple, determinar: El valor probable del estadístico “proporción de elementos de la muestra que poseen la caracteristica c”. Se estudiaron 40 muestras de aceite crudo de determinado proveedor con el fin de detectar la presencia del níquel mediante una prueba que nunca da un resultado erróneos en 5 de dichas muestras se observó la presencia de níquel ¿podemos creer al proveedor cuando asegura que a lo sumo el 8% de las muestras contienen níquel? Se considera una población representada por la varianteξ , de suerte que la distribución poblacional es una distribución N(η,σ ), conσ conocida. Supuesto extraídas muestras de tamaño n, muestreo aleatorio simple, determinar la distribución de probabilidad del estadística media muestral. Para evaluar una vacuna para la gripe se selecciona un grupo de 200 individuos de riesgo. Se eligen 100 de ellos y se les suministra la vacuna; de ellos 10 pasan la gripe. Construir un IC al 95% para la probabilidad de pasar la gripe si se está vacunado. En los otros 100 pacientes sin vacunar la pasan 20.¿Es eficaz la vacuna? 4. Intervalo de confianza para la media de una población (parámetro z). Definición de intervalo de confianza. ¿En el caso de poblaciones no normales de qué tamaño debe ser la muestra? ¿Cómo se calcula z ~ N (0,1)? ¿Qué es valor crítico? En el término 1 ‒ α ¿Qué representa α? Diferencias ente poblaciones normales y no normales. ¿Cuándo se utiliza Z? ¿Si no se conoce la desviación estándar poblacional qué parámetro se utiliza? Escriba la expresión de intervalo de confianza para la media cuando se conoce la varianza de la población. Escriba la expresión de intervalo de confianza para la media cuando no se conoce la varianza de la población. 5. Componentes para la estimación del intervalo poblacional. ¿En qué concite la estimación por intervalo? Condiciones de un estimador para obtener un intervalo poblacional. ¿Por qué el intervalo se establece alrededor de un estimador? ¿Qué ocurre si se conoce el valor del parámetro poblacional? ¿Qué ocurre si se conoce la distribución muestral del estimador? ¿Qué pasa con el intervalo si el parámetro poblacional es desconocido? ¿Cómo se obtiene la probabilidad de ocurrencia? ¿Cómo estimar un intervalo poblacional? Beneficio de conocer el intervalo poblacional Componentes de un intervalo poblacional. 6. Distribución T Mencione algunas propiedades ¿Por qué es simétrica respecto a la media? Dibuje la gráfica de distribución. Diferencia entre la distribución t y la normal. ¿De qué depende la variancia de la distribución? ¿Qué ocurre cuando n ≤ 30? ¿Por qué la varianza es mayor que 1? ¿Por qué la distribución se extiende al infinito? ¿Qué es grado de libertad? Mencione algunas características de la distribución t. 7. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacional. A partir de una distribución normal. A partir de una distribución no normal. ¿La distribución normal se puede aplicar igual a la no normal? ¿para que se usa la distribución normal? ¿Cuándo se aplica la distribución normal? ¿Qué pasa cuando n1 y n2 son muestras grandes? ¿Cuándo no puede hacerse suposiciones con distribuciones normales? De un ejemplo teórico de diferencia de medias de dos poblaciones. ¿Por qué se usa la tabla f? ¿Qué es coeficiente de confiabilidad? 8. Tamaño de la de muestra para la estimación de la media. Defina muestra. ¿De qué depende el tamaño de la muestra? ¿Qué es coeficiente de confiabilidad? ¿Qué es error estándar? σ / √𝑛 esto es igual a: Estimación 𝝈2 ¿Cómo se estima 𝝈2 ? ¿Qué tan grande debe ser la muestra? ¿Qué pasa si se toma una muestra muy grande? ¿Cuáles son los componentes de un intervalo de confianza? 9. Intervalo de confianza cuando σ es conocida. ¿Qué método se le aplica? Escriba su expresión. zα/2 es igual a: ¿Se estima a partir de qué? ¿Qué es probabilidad C? ¿Qué es estimador puntal? ¿Cómo se especifica el nivel de confianza? ¿Cómo se determina el valor crítico? ¿Cómo calcular el error estándar? ¿Cuál es la fórmula? 10. Intervalo de confianza cuando σ no es conocida. Escriba su expresión Donde tα/2 es: ¿Qué es teorema central de límites? ¿Por qué se usa t de Student? ¿Se estima a partir de qué? ¿Por qué queda n ‒ 1 grados de libertad? ¿Cuál es la fórmula si n>30? ¿Cuál es la fórmula si n<30? ¿Qué es desviación típica muestral? ¿Cuándo se utilizan muestras n ≥ 30?