RAZONAMIENTO MATEMATICOACADEMIA LEIBNITZ MENOS POR MENOS ES MÁS Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente. Sin embargo los matemáticos de la India, en el siglo VII usaban los números negativos para indicar deudas y los representaban con un circuito sobre el número: admitían soluciones negativas en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque decían que “la gente no aprueba las raíces negativas”. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falso”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. John Wallis (1616 – 1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655) “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”. Leonardo Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur Álgebra (1770) trata de “demostrar” que (-1) (-1) ) = +1; argumenta que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1) (-1), tendrá que ser : (-1)(-1) = +1. Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases matemáticas es ¿Por qué menos por menos es más?. Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla e puramente arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables: Equivalente lingüístico: “la doble negativa equivale a una información”: No es cierto que Pepito no tenga el libro = Pepito tiene el libro. Un ejemplo fácil de visualizar es el de isla Barataria, donde hay ciudadanos “buenos a los que se asignan el signo + y, ciudadanos “malos” a los que se da el signo -.También se acuerda que : “salir” de la isla equivale al signo -, y “entrar” a la isla equivale al signo +. Sale de Entra Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria, la isla a la isla el resultado para la isla es positivo: (+) (+) = (+) Si un ciudadano malo (-) sale (-) de barataria, el resultado para la isla es positivo (-) (-) = (+) Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de barataria, el resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-) Si un ciudadano malo (-) entra (+) a barataria, el resultado para la isla es negativo: (-) (+) = (-) Ciudadano bueno + Ciudadano Malo - + - + - + abreviando planteamientos tediosos y cálculos saturados. II. Ahora desarrollaremos juntos las siguientes situaciones. Método de la regla conjunta (Equivalencia) La clave para la resolución de los problemas radica en saber reconocer en que caso aplicar determinado método y cuál es el procedimiento de solución. no se puede traducir como 2.. MÉTODO DE OPERACIONES INVERSAS Se aplica en aquellos problemas donde la variación inicial se desconoce. Directas) Cangrejo (Op. ‘No lo olvides!! Interpretación (Op. dado que la operación final es una sustracción . La idea queda resumida en el siguiente esquema: Valor Inicial Proceso Directo Valor Final Operaciones Directas Dato EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. ¿Cuánto tenía inicialmente?. El procedimiento de solución consiste en invertir el sentido de las operaciones. Método de operaciones inversas (cangrejo) Método del rombo (Falsa su suposición) Ejemplo : Completa el siguiente cuadro : Enunciado Duplicó su dinero Gastó 4 soles Triplico lo que tenía Gastó la mitad más 1 En la última línea : “gasto la mitad más uno”. . (Método del cangrejo) … Hemos clasificado los métodos operativos en: I. gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina. En la heladería : ……………………………………………………. quedándose sin dinero.I Los Métodos Operativos (Técnicas/artificios). ¡He ahí nuestro desafío! I. aplicando operaciones inversas. Nos ayudan a simplificar los problemas.. gastó la mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina: Luego ingreso a una heladería. Método de diferencias (Comparación de Cantidad) IV. a) 12 soles d) 14 b) 16 e) 18 c) 10 x Valor Final Proceso Inverso Operaciones Inversas Valor Inicial Dato x Solución : sus gastos fueron : En el restaurante : …………………………………………………….RAZONAMIENTO MATEMATICO ACADEMIA LEIBNITZ PROF: CRISTIAN CANAZA MÉTODOS OPERATIVOS . Inversas) III.. +1 por que ese “mas uno” es un gasto y debe ir con signo negativo. hay una serie de operaciones y nos dan como dato el valor final (resultado).. Una persona ingreso aun restaurante. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deja una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro.20. hasta quedar vació el pozo luego de 4 horas. ¿Cuánto gasto el segundo día?. a) 110m d) 140 b) 120 e) 150 c) 130 II. que las ha ganado una sola jugadora cada una tiene 64 soles. Jorge le dice a Rosa : “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles y luego a ese resultado lo multiplico por 6. por debajo de su mitad. Dos jugadores. Después de dos partidas. se obtiene 24. Lili. si gastó todo en 4 días. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende 3 cm. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3. -2) → 0 heladería ACADEMIA LEIBNITZ 7. para quitarle enseguida 26. Uno de sus feligreses resultó favorecido 3 veces seguidas y dejó también sus ofrendas. Hallar la profundidad de un pozo de agua sabiendo que cada día su nivel desciende en 4 metros por debajo de su mitad.16 d) 112 b) 128 e) 32 c) 96 Valor real (Total) 6. cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/. 2. obtengo 8 soles. a) 90 monedas d) 80 b) 120 e) 160 c) 70 El procedimiento de solución radica en realizar una falsa suposición (asumiendo que todos los elementos son de una sola clase). ¿Cuánto tenía inicialmente?. a) S/. ________________________________ ________________________________ ________________________________ ________________________________ 3. El presente diagrama resume estas apreciaciones. -3. acuerdan que después de cada partida la que pierde duplicará el dinero de otra. se le agrego 10. para quitarle a continuación 24 soles. a) 12 d) 6 b) 10 e) 14 c) 8 8. a) 144cm d) 72 b) 120 e) 90 c) 80 4. a) 100 d) 130 b) 110 e) 140 c) 160 restaurante Las operaciones inversas tenían : 0 → (…………………………)→x ∴ x = 2. 4. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?. 3. pero que al final quedó poseedor de nada. 2. ¿Cuál es el número?. lo que tengo al inicio es”. Y si a este resultado le extraigo la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3.92 d) 576 b) 24 e) 352 c) 80 # de elementos (conjunto x A) TOTAL de " B" AB # de elementos de " A" . ¿Cuánto tenía la perdedora al inicio?. al resultado se le multiplico por 5. Clase “A” #total de elementos (Conjunto) Clase “B” Lo que despejamos al realizar estas operaciones es la cantidad de elementos que no fueron tomados en cuenta en la suposición (Clase “B”) 5. quedando vació al cabo del cuarto día. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones. MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN Se aplica cuando en un problema existen 4 datos como mínimo 1. a) S/.RAZONAMIENTO MATEMATICO Las operaciones directas son : x → (2. . Clase “A” 3............. ahora práctica con los siguientes ejercicios … y recuerda: “Mucha habilidad y razonamiento”… otros de: # billetes de $10 = ______________ = 10.. ¿Cuántas respondió correctamente..... a) 14 d) 12 b) 28 e) 30 c) 16 12.A. Determinar el número de alas... luego divides por 10. agregas 36 y por último...... En un zoológico........ a) 20 d) 50 b) 30 e) 60 c) 40 11.... Si un alumno..... Si cada paso del segundo mide 50 cm... .............50 que se han repartido entre 45 personas tocándole c/u un billetes. En un billetera hoy 24 billetes que hace un total de $560.. Juan le dice a Luis : “Si el doble de mi edad.... Un litro de leche pura pesa 1030 gramos........ b) 16 y 8 e) N...... 9.. Total : : : : .......RAZONAMIENTO MATEMATICO a) 5L d) 13 ACADEMIA LEIBNITZ b) 4 e) 11 c) 9 Ya conociendo la fórmula y el procedimiento de solución… apliquemos esté método de los siguientes problemas….. Si los diámetros de las monedas son de 20 y 30mm respectivamente. luego de responder 30 preguntas obtuvo 80 puntos.A. c) 12 y 12 13. ivides el resultado entre 6...... cada respuesta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta vale (-1) punto... ¿Cuántas personas recibieron un billete de S/.... lo multiplicas por 8... al cociente lo multiplicamos por 3........... 2. si un vendedor entregó 55 litros que pasaban 56.. c) 27 15.5 kg.100?.. a) 14 y 10 d) 15 y 19 Solución : * Identificar los 4 datos : 1..... un alumno gana 2 puntos por repuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación....... ¿Cuántas eran de cada clase?..... ¿En cuántas se equivocó?..... a) 42 b) 36 c) 38 d) 34 e) 32 14. En un examen... Conjunto 2. y cada paso del primero mide 70 cm... a) 7 d) 6 b) 9 e) 10 c) 8 1......... ....... Clase “B” 4. ¿Cuántos años tienen Juan?........100 y S/............... a) 30 d) 15 b) 18 e) N.......... el # de monedas de 5 pesos es: a) 20 d) 30 b) 32 e) 2 c) 18 . a) 10 d) 40 b) 20 e) 50 c) 30 * * Ahora con los datos elabore el rombo: algunos de: TAREA DOMICILIARIA # Billetes Dinero Total Ya conoces los métodos operativos – I... Con 34 monedas de 5 y 10 pesos se desea colocar una a continuación de otra hasta alcanzar la longitud de un metro.... Si sólo habían billetes de $50 y $10.... Se tiene 3600 soles en billetes de S/.. Calcular la cantidad de agua que contenía esta entrega. Dos niños han recorrido en total 64 metros dando entre los dos 100 pasos.. entre todas las jirafas y avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas. si obtuvo 64 puntos y contesto todas?.... .... obtendrías 30 años. En una prueba de 50 preguntas.... ¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero?... Cada vez que una persona ingresa a una cafetería gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento. Si trabaja los lunes inclusive. por cada día que asiste al colegio. El nivel del agua de una piscina desciende a 3cm.5 8.RAZONAMIENTO MATEMATICO 3. B y C acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. a) 200 d) 120 b) 175 e) 150 c) 225 ACADEMIA LEIBNITZ 10. c) 9 4.48 d) 22. ¿Cuánto dinero perdió “A”?. De sus ahorros. ¿De qué número se trata?. tenía 100 preguntas. le dan 4 caramelos y por cada día que falta le quitan uno. debe quitar 20 soles. ¿Qué profundidad tenía el agua actualmente?. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en esas 10 semanas?. al número resultante se divide entre 3 para luego restarle 1 y por último elevarlo al cuadrado. obteniéndose 16. Martín trabaja en una compañía en la cual. la prueba de R. ¿Cuánto tenía al comienzo?. Al salir por 3ra vez se queda sin dinero. a) S/. César ha obtenido en dicha prueba 50 puntos. el 2º 28 y el 3º 14. a) 24 d) 12 b) 20 e) 4 c) 25 9. a) 1 d) 7 b) 3 e) 8 c) 5 . a) 125 d) 145 b) 218 e) 107 c) 99 5. ¿Cuántos días ha trabajado si al final de 40 días adeuda a la empresa la suma de 2000 soles?. habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas.A. por cada día de trabajo le pagan 300 soles y por cada día que falta le descuentan 100 soles de sus sueldos. al resultado se suma 9 y se extrae raíz cuadrada. por cada respuesta correcta se le asigna un punto y cada incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto. a) 4 d) 12 b) 6 e) N. Un tren de 325 pasajeros tiene que recorrer 150 km. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC. si en ese viaje se ha recaudado : 129 600 por concepto de pasajes?. la semana que no trabaja el día lunes. ¿Cuántas erró? a) 10 d) 25 b) 50 e) 40 c) 30 11.5 c) 28. Por debajo de su mitad y luego de 4 horas se desagua toda la piscina. a) 12 d) 5 b) 13 e) 10 c) 18 7. en cambió. Juan economiza 40 soles semanales. Si durante 10 semanas se logra economizar 220 soles. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas. a) 8 d) 16 b) 10 e) 18 c) 12 12. ¿Cuántos días faltó si después de 28 días reunió 12 caramelos?. Los pasajeros de 1ra clase pagan 4 soles por km y los de 2da clase pagan 2 soles por km. Con un cierto número se hacen estas operaciones : se eleva al cubo. más cuatro soles. ¿Cuántos pasajeros iban en el de 1ra clase. Paola escribe cada día la mitad de las hojas en blanco de un cuaderno más 5 hojas.5 b) 15.M. resulta que el 1º tiene 24 soles. a) 80cm d) 108 cm b) 90 cm e) 120 cm c) 96 cm 6. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?. Tres jugadores: A.6 e) 17. En un concurso de admisión. A Jorgito.
Report "Cuatro Operaciones - Cangrejo Rombo - Pre 4to"