UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETEARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO CUATRO OPERACIONES a + c = b + c a + c > b + c a + c < b + c ADICIÓN Es aquella operación aritmética que consiste en reunir dos enteros “a” y “b” llamados sumandos en una sola llamada suma. Así: a + b S Donde: a y b S = 1. Suma de los “n” primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = Ejemplo: Propiedades: ∈ Principales Sumatorias: n(n+1) 2 n: cantidad de términos : sumandos : suma a) Clausura: Si: a ∈ Z Λ b a = b a > b a < b Z (a + b) ∈ Z Una persona decide ahorrar, el primer día 1 sol, el segundo día, 2 soles, el tercer día, 3 soles, así sucesivamente. Durante cuántos días debe ahorrar para tener un total de 300 soles. Resolución: b) Conmutativa: Si: a ∈ Z Λ b ∈ Z a+b=b +a c) Asociativa: Si: ( a, b y c) ∈ Z (a+b) +c = a+(b+c) d) Elemento Neutro: Si: a ∈ Z ∃ ! 0/a + 0 = 0 + a e) De monotonía: Si: a, b y c ∈ Z: f) Cancelativa: Si: a, b y c 2 + 4 + 6 + 8 + …. + 2n = n ( n + 1) n: cantidad de términos =a a = b a > b a < b 2. Suma de los “n” primeros números pares: a + c = b + c a + c > b + c a + c < b + c ∈ Z: Ejemplo: Hallar el valor de “S” 50 términos S= 2+4+6+8+… Resolución: Suma de los “n” primeros cubos perfectos: 1+ a + a2 + a3 + a4 + … + Ejemplo: an =a1.UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE ARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO 3. + (2n – 1)de = términos n2 n: cantidad 13 + 23 + 33+ 43+ … n3= n(n+1) n: cantidad de2 términos ¿ ¿ Ejemplo: ¿ Hallar el valor de “S” Ejemplo: S = 13 + 23 + 33+ 43+ … + 153 Hallar el valor de “S” Resolución: S= √ 1+ 3+ 5+7+… 99 Resolución: 6. Suma de potencias: 5. 12 + 22 + 32 + 42 +…+ n2= n ( n+ 1de ) (2términos n+1) n: cantidad 6 Ejemplo: Hallar el valor de “S” 1x2+2x3+3x4 +…+ n(n+1) = n ( n+ 1 ) (n+2) n: cantidad de términos 3 Ejemplo: Hallar el valor de “S” S = 2 + 6 + 12 + 20 + … + 210 Resolución: S = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 400 Resolución: 7. Suma de los “n” primeros números impares: 1 + 3 + 5 + 7 + …. an−1 a−1 . Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos. Suma de los “n” primeros productos de dos números consecutivos: 4. . Suma de los términos Progresión Aritmética: S= de ( a1+ an ) n 2 Donde: a1 : Primer término an : último término n : Número de términos n= ( an−a 1 ) r +1 Donde: r : razón Ejemplo: Hallar el valor de “S” S = 14 + 20 + 26 + … + 466 Resolución: una M – S = D M : Minuendo S : Sustraendo D : Diferencia Propiedades: a) M = S + D b) M + S + D = 2M Complemento Aritmético (CA): El complemento aritmético de un número entero positivo es la cantidad de unidades que le falta a dicho número para ser igual. decide ejercitarse de la siguiente manera: El primer día una carta. a la unidad de orden inmediato superior de su cifra de mayor orden. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) CA(4) CA(76) CA(550) CA( 6752) ´ 5) CA (ab) ´ 6) CA (abc ) = 10 – 4 = 6 = 102 – 76 = 24 = 103 – 550 = 450 = 104 – 6752 = 3 248 ´ = 102 – ab ´ = 103 – abc . el tercer día 4 cartas. el cuarto día 8 cartas y así sucesivamente.UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE ARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO Una secretaria para adquirir velocidad en el tipeado. ¿Cuántas cartas habrá escrito en total a cabo de 8 días? Resolución: SUSTRACCIÓN Es la operación inversa a la adición en la cual dado dos números enteros llamados minuendo y sustraendo calcula una tercera llamada diferencia. Así: Donde: 8. el segundo día 2 cartas. b y c) ∈ Z (axb) xc = ax(bxc) d) Identidad Multiplicativa: ∃ ! 1/1 x a = a x 1 Si: a ∈ Z =a e) De Monotonía: . estas quedarán colocadas al final del residuo.UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE ARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO ´ 7) CA (abcd ) ´ = 104 – abcd Ejemplos: a) 721 – 127 = 594 b) 412 – 214 = 198 c) 643 – 346 = 297 d) 953 – 359 = 594 En general: CA (N) = 10 K −N Donde: k es la cantidad de cifras de N MULTIPLICACIÓN Método Práctico Consiste en restar la primera cifra significativa de la derecha del numeral a partir de la base. que dados dos enteros “a” y “b” multiplicando y multiplicador respectivamente. permite obtener un tercer número “P” llamado producto. si el número dado tiene ceros al final. a > b Se cumple que: p + q = 9 ´ abc a) Clausura: Si: a ∈ Z Λ b ∈ Z (a x b) Z axb=b ∈ Z ∈ xa 73 – 37 = 36 97 – 79 = 18 92 – 29 = 73 81 – 18 = 63 2) Dado: Propiedades: b) Conmutativa: Si: a ∈ Z Λ b Ejemplos: a) b) c) d) 5+4 = 9 1+8 = 9 2+7= 9 5+4=9 – 3+6=9 1+8=9 6+3=9 6 + 3 = 9 ´ cba = c Se cumple que: x + y = 9 y = 9 xyz ´ . a > c) Asociativa: Si: ( a. Así: a x b = P Donde: a : Multiplicando Ejemplos: b : Multiplicador 1) 2) 3) 4) P : Producto CA(83) = (9 –8)(10 –3) = 17 CA(672) = (9 – 6)( 9 – 7)(10 – 2) = 328 CA(23000)= (9 – 2)( 10 – 3)000= 77000 CA(5300(8)) = (7 – 5)( 8 – 5)00 = 2500(8) Restas Notables 1) Dado: ´ ab - ´ ba = pq ´ . Es una operación directa. y todas las demás cifras a partir de la base disminuida en una unidad. el primero llamado dividendo y el segundo diferente de cero llamado divisor se obtiene un tercero llamado cociente. d a x c = b x c a x c > b x c a x c < b x c 1) División exacta: Cuando el residuo es igual a cero. c ∈ Z+ : a x c = b x c a x c > b x c a x c < b x c ≠ = 1 D d 0 q D = d x q Ejemplo: h) Distributiva: Respecto a la adición: ax(b+c) = axb+axc Respecto a la sustracción: ax(b-c) = axb-axc DIVISIÓN Es la operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos enteros. D d Donde: D : Dividendo d : Divisor q : Cociente = q 5488 4 14 12 28 28 08 08 0 4 1372 2) División Inexacta: Cuando el residuo es diferente de cero y se puede efectuar de dos maneras: Por defecto o por exceso Simbología: D : dividendo d : divisor (q + 1) : cociente por exceso r : residuo por defecto re : residuo por exceso Propiedades: D : r + re d–1 : r máximo 1 : r mínimo Por defecto o por exceso Por defecto: . b ∈ Z. Así: a = b a > b a < b g) Inverso Multiplicativo: 1 ó a –1.UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE ARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO Si: a. b ∈ Z. tal que: a x a 1 a 0 Clases: f) Cancelativa: Si: a. que al multiplicarlo por el divisor es igual al dividendo. c ∈ Z+ : a = b a > b a < b Se cumple: D = d x q . Si: a 83 Ejemplo: ´ 3. Hallar: abc ´ Si: a 7 c + 5 b´ 9 d) 13 e)14 ´ + 64 c = 1659 6 ´ca d) 13 + e)14 5 b´ 9 = 1 c´26 5 7 a) 374 4. Si: ´ ab 37 = 5 x 7 + 2 Por exceso: Así : b)394 c) 384 d) 484 e)396 ´ ´ + bc + dd Hallar: a x c + b a) 10 b) 11 c) 9 = ( c−1´ ) dd d) 12 5.UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE ARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO Así: a) 11 D d r q ´ 2. Hallar la suma de los 40 números de la siguiente serie: S = 9 + 99 + 999+ 9999+ ……+ 999…9 Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 13 8. Hallar el valor de (a + b) si se cumple: ´ ´ ´ + bb aba = aa + 443 P = 438 ( 999 ………………… 99) 40 cifras a) 360 b) 270 c)180 d) 90 e) 450 9. Hallar un número de 4 cifras tal que al restarle el quíntuple de su complemento aritmético se obtenga 1246 de resultado.re 0 < re < d Ejemplo: 37 3 + c) 12 Hallar: a + b + c a) 10 b) 11 c) 12 D = d x q + r 0 < r < d 37 2 b) 10 5 (7 + 1) 37 = 5 ( 7 + 1) . Hallar la suma de las cifras del producto: EJERCICIOS 1. a) 40 b) 38 c) 47 d) 45 e) 50 7.2 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 6. Hallar: a x b2 x c . Hallar el valor de U + N + I ´ ´ NIU Si: NUI + + e) 13 ´ NU = ´ UNI D d re ( q + 1) a) 11 D = d (q + 1) . Dar como respuesta la suma de sus cifras. Si al dividir 368 entre un número entero positivo. ¿Cuánto se debe sumar una misma cantidad al dividendo y al divisor para que el cociente no varíe? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 18. Al dividir el mayor entre el menor se obtiene 17 como residuo. Al multiplicar un número por 50 olvidé poner el cero a la derecha. Este producto aumenta en 128 unidades. el cociente excede en dos unidades al divisor y el resto es 4. ¿Cuál es el mayor de estos 3 números si su producto es 1296? a) 36 b) 21 c) 12 d) 6 e) 18 19. Calcular la diferencia de ambos números impares: a) 9 b) 7 c) 6 d) 5 e) 8 15. Si: N = ( 3333…. a) 49 b ) 16 c) 25 d) 64 e) 81 + = 24022 a) 100 b) 120 c) 200 d) 270 e) 350 10. determinar el dividendo. a)3539 b)3547 c)3569 d)3589 e)3627 14. Si a dos números enteros y positivos se les disminuye y aumenta 6 unidades respectivamente. Se tiene 101 números consecutivos.UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAÑETE ARITMÉTICA CENTRO PRE UNIVERSITARIO Si: ´ ccab ´ ´ a 0´ ca + 8 abc + b7c 8 también números consecutivos. calculando así un producto que se diferencie del verdadero en 10 530. ¿Cuál es la diferencia de los números? a) 20 b)30 c) 40 d) 41 e) 45 20. a) 6 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17. Dos números naturales consecutivos son tales que su suma y producto son G . El producto de dos números impares positivos consecutivos es cuatro veces el menor. A lo más.333 ) ( 7 ). calcular el producto de dígitos del divisor. ¿Cuál es el producto? a) 143 b) 63 c) 99 d) 35 e) 15 13. Si el divisor excede en 31 a la suma del cociente y el resto. si ambos números son reemplazados por sus respectivos números impares consecutivos. el producto de ellos aumenta 204 unidades. ¿Cuál es la suma de los 101 números? a) 13432 b) 13434 c) 13433 d) 13435 e) 13436 16. luego la 33 cifras suma de N es: a) 88 b) 99 c) 100 d) 103 e) 105 11. El cociente de una división es 46 y el resto 1. En una división el cociente es 23 y el residuo 97. El producto de dos números impares es 945. ¿Cuál era el número? a) 234 b) 530 c) 2106 d) 432 e) 105 12. Calcular el cuadrado de la suma del menor con el duplo del mayor. El mayor de tres números que forman una progresión aritmética es el triple del mayor. más 15.