CUADERNO DE EJERCICIOS DE MATEMATICAS IIIDEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA AGOSTO 2005 ITAM,DM-A-94.1 1 En la presente edición se ha tenido el mismo propósito de la edición anterior de apoyar a los alumnos en la aplicación del Algebra Lineal en sus respectivas áreas de estudio. Yolanda I. Pretelin Muñoz de Cote 2 PREFACIO Éste es un cuaderno de apoyo para el curso de Matemáticas III. Se trata de una recopilación de ejercicios y aplicaciones cuyo propósito es enriquecer el material del curso. La disposición de los temas obedece al orden del temario y al final de cada capítulo se encuentran las soluciones de los problemas. Este trabajo es el resultado de un esfuerzo conjunto del Departamento Académico de Matemáticas. Cabe decir que en él las pretensiones de originalidad son nulas, y que agradecemos siempre las correcciones y comentarios que maestros y alumnos nos hacen llegar. Trinidad Martínez Cornejo preparó esta edición del cuaderno y a ella le agradecemos su excelente trabajo. Patricia Souza 3 Producto punto. Propiedades de los determinantes. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2. Interpretación geométrica. Matrices particulares: diagonales. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de operaciones elementales Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales nxn. 4. Ecuaciones paramétrica y normal de la recta.3 1.5 2. Suma de vectores. Sistemas homogéneos. Pivotes. Representación geométrica.1 5. Producto de un escalar por un vector. Propiedades. Regla de Cramer. Espacios vectoriales. Transpuesta de una matriz.4 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3.2 Vectores en R n . 4 . Subespacios vectoriales. Producto de un escalar por una matriz. Producto de un escalar por un vector. simétricas. Ecuaciones paramétrica y normal del plano. Matriz adjunta. Inversa de una matriz. Propiedades de las operaciones. 3. Análisis de las soluciones de un sistema homogéneo. Producto de matrices. La matriz de incidencia de una gráfica dirigida.2 3. Ejemplos. Planteamiento de problemas. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de la matriz adjunta.1 1.3 4.3 3. 5. y elementales. Modelo de Leontief de insumo-producto. Norma.1 4. ALGEBRA DE MATRICES 3.2 2. triangulares. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1. Propiedades de las operaciones.5 Suma de matrices.3 *2. Propiedades de las operaciones.2 1.2 4.4 Concepto y desarrollo por cofactores.1 3. Grados de libertad. Sistemas no homogéneos y sistemas homogéneos asociados. Interpretación geométrica. EL ESPACIO VECTORIAL R n 5. Propiedades.MATEMATICAS III 1.4 * 3.4 1. Vectores. Forma paramétrica de las soluciones. DETERMINANTES 4. Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan en sistemas de mxn.1 2. Suma de vectores. Vectores ortogonales. Variables de holgura. Proyección sobre un vector. Rango y nulidad.4 Producto punto en R n .4 Combinación lineal de un conjunto de vectores. Método de las dos fases. ORTOGONALIDAD 6. Dualidad.4 Definiciones. 6. Diagonalización de matrices. Dependencia e independencia lineal.3 6. Cadenas de Markov. Proyecciones y el método de mínimos cuadrados.1 7.2 7. Planteamiento y solución de programas lineales.3 *5.6 * 7.3 8. Interpretación geométrica. Análisis gráfico.5 7. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL 7.5. Bases y dimensión. Polinomio característico. espacio nulo.3 7.1 6. Cálculo de valores y vectores propios. Introducción al análisis de sensibilidad. 7.4 * 7. 8. Norma.2 8. Ajuste de rectas. espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz. Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio.2 6. Método Simplex. Problema general de Programación Lineal.1 8. VALORES Y VECTORES PROPIOS 8. Vectores ortogonales. Poliedros en R n . Ecuación normal de un hiperplano.7 Problemas de programación lineal en dos variables.Variables básicas y no básicas. 5 . Programas lineales de maximización y de minimización en forma canónica y en forma estándar. planos y polinomios. edición 1996. edición. & R. 1989. 5a. GOULD. Prentice . H. 6. MORONES "Programación Lineal.SCHMIDT "Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa". 7. FRALEIGH & R. GROSSMAN ”Álgebra Lineal con Aplicaciones” McGraw . 4a. 5. C. FLOREY "Fundamentos de Álgebra lineal y Aplicaciones" Prentice .Wesley Iberoamérica. El Método de Dos Fases en el Simplex" ITAM.S.10a. edición 2003 2.F. F. J.Hall Hispanoamericana. JR. 2000. REFERENCIAS 1. 2002.ARYA & R. PAUL "Matemáticas para Administración y Economía"-Prentice Hall. E. J.Hill. EPPEN. GERBER "Álgebra Lineal" Grupo Editorial Iberoamérica.BIBLIOGRAFIA TEXTO S.Hall Hispanoamericana. 5a. LARDNER "Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía" Prentice . 4. R. F. 6 . 3. 1992. edición. BEAUREGARD "Álgebra lineal" Addison .HAEUSSLER. G. 1991.Hall Hispanoamericana. 1987. 0 y D ࢤ3. 1. 0. 4 uv 4w ࢤ2v 0u v ࢤ 2w wࢤ 3 v 2u 2 u0 7 . 0 z ࢤ5. ࢤ8/5 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas: AB donde A 2. 3 PQ donde P 1/3.1. 2 Efectúe los cálculos indicados cuando u 1 . 5 EF donde E 4. ࢤ2/3 z 0. ࢤ5 y Q 2. 1/4 w 0. 0 y B 4. 0. 4. 2 v ࢤ3. debido a la perspectiva. 1. 0.2 a) b) c) d) e) GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas: u 1. 7 y S 6. 0 x 2. ࢤ1 y 0. v 0. ࢤ1/2 EF donde E 0.4 a) b) c) 1. 0 y D 0. 3. 5 y w ࢤ2. 0. 7 1. 3.1 a) b) c) d) e) f) 1. 3 y F ࢤ1. 0 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas: AB donde A 2. 1 CD donde C 0. 0 CD donde C 0. 1 y ࢤ5. 0 y F 4. ࢤ2. ࢤ1 RS donde R 6. (observe que.3 Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas. 5. 1. 8. ࢤ6. 3 v 2. 0. 3 x ࢤ2. ࢤ1 w 1. el resultado dependerá de cómo dibujemos los ejes coordenados): a) b) c) d) e) f) 1.5 a) b) c) d) e) f) g) u 0. 4 y B 4. 0.12 vv ux u v w u v 3w u0 u v x ࢤ 1 w 3 v ࢤ u v/u uu Efectúe los cálculos indicados en el ejercicio anterior si ahora u 1. w 0.9 a) 1. 0.8 a) 1. 2. 0 y x ࢤ2. 15 2 b) 1. 2.13 a) b) c) d) e) Calcule la norma de los siguientes vectores: 3.10 Efectúe los cálculos indicados cuando x 0. 3 3 . 1. ࢤ7 y . 3 5. 0. 1/ 2 6 8 2 2 .v 3. 2/ 2 6 . 4 21 . 0. 4. 1. 3. ࢤ 21 2. 1 a.6 a) b) c) d) e) f) 1.7 1. ࢤ4. 2. 0 4 Encuentre un escalar tal que 2. 3. ࢤ 1 .4. a) b) c) d) e) f) g) 1. b 0. w ࢤ2. 1/5. 1. v ࢤ2. 2.11 Efectúe los cálculos indicados cuando u 1.1. Observe que algunos cálculos se pueden simplificar usando las propiedades de producto punto. 0 y x ࢤ3. 0 3 5 xy 3z ࢤx 0y x y ࢤ 2z 2x ࢤ y 0 Encuentre dos números a. 1. b tales que 3. encuentre un vector z tal que 3x 2z y b) 2x y ࢤ 1 3 z0 Calcule los vectores asociados a los segmentos dirigidos de los ejercicios 1.2 y 1. 0 ࢤ1/ 2 6 .z ࢤ1. 3 y y 0. 5. 1. ࢤ2. 1. 1 ࢤ3. y 2. 9 2 Si x 1. 4 . y. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida. 2. 8 s1. ࢤ3/4 1. ࢤ6 Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto dado y es perpendicular a la 9 .21 1.14 a) b) c) d) Describa geométricamente los siguientes conjuntos de vectores: xR 2 ࢯࢱ x ࢱ 1 xR 3 ࢯࢱ x ࢱ 1 x.20 Halle la ecuación vectorial paramétrica del plano X A su tv que pasa por los puntos dados. X 2 5 . 0.18 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta dada: a) 1. X 2. 2. 2 y es paralela a la recta X 0. 5 y ࢤ3. 0. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida. yR 2 ࢯ xy 0 x. 2/3 y 1. ࢤ3 b) 1 0. 1.1.19 dada: a) ࢤ3. 6. 5. ࢤ1 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta ࢤ3. X 2 2 . X 2. 2. 4. 0. e t7. 3/7 y es paralela al eje Y. 4 t2. 2 1. ࢤ5.15 Halle la ecuación vectorial paramétrica X A td de las rectas que pasan por los puntos dados. 2. 0 y 2.16 a) b) c) 1/2. 0. 0 . zR 3 ࢯ xyz 0 1. X 2 2 . 2. 1/7.17 Halle la ecuación vectorial paramétrica X A td de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a la recta dada: a) 2. 0 y 2. 2. 0. Pasa por 1. a) b) c) d) 1. Pasa por el origen y es paralela a la recta X ࢤ2. 1/3. 0. 3/4 y 1. 4. 7 Halle la ecuación vectorial paramétrica X A td de la recta que: Pasa por el punto 1. 1/3 s1. 4 t2. X 301 . 7 y 1. ࢤ1 b) 0. 1 t2. a) b) c) 1. 2. 2. ࢤ2. ࢤ3. 0. 0 . 3. 6 1. t1. ࢤ1 1. 1. 0. ࢤ3 0. 8 s1. 0 ࢤ2. 4. 7 1. ࢤ1 b) 0. 5 y 2. 2 7 s1. 0. 0 .24 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica del plano que contiene a las rectas X 1. ࢤ3. 2 10 . eje Y 1. X 1. 0. 3. ࢤ3 1. 1. 2. 1.recta dada: a) b) c) d) 0. ࢤ3. 0. 5 s0.22 Encuentre la ecuación cartesiana del plano cuya normal es paralela a la recta X 1. 0. ࢤ5. 2 . 0. 1. X 1. 0. 0. ࢤ6 2. X 2. 0. ࢤ6 1/2. 5 t1. 0.23 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es ortogonal al plano 2x ࢤ 3y 5z 8 y que pasa por el punto 2. 0. 3. e. 3. 5 y que pasa por el punto 2. Y 1. 4. 1 t1. ࢤ4. 9. 3. ࢤ2 r1. ࢤ1 s1. 0) 11 . (0.1 a) u 1. 2 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 x 5 -4 b) v ࢤ3. 0 .SOLUCIONES 1. 1/4 y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x 5 c) w 0. no tiene representación. ࢤ2/3 y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x 5 f) z 0. ࢤ8/5 12 . 1 y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x 5 e) y ࢤ5.d) x 2. 0 ࢤ 4 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 x 5 -4 13 . 0. B ࢤ A 4 ࢤ 2.y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 x 5 -4 1. 4 y B 4.2 a) AB donde A 2. ࢤ1/2. 0 y D ࢤ3. 3.b) CD donde C 0. ࢤ1/2 ࢤ 0 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 x 5 -4 c) EF donde E 0. 3 y F ࢤ1. F ࢤ E ࢤ1 ࢤ 0. 3 ࢤ 3 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 x 5 -4 14 . D ࢤ C ࢤ3 ࢤ 0. 3 a) u 0.d) PQ donde P 1/3. 7 ࢤ 7 (0.0) 1. ࢤ5 y Q 2. Q ࢤ P 2 ࢤ 1/3. ࢤ1. ࢤ1 ࢤ ࢤ5 y 4 2 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 x 5 -4 e) RS donde R 6. 7 y S 6. 7. 3 15 . 0. S ࢤ R 6 ࢤ 6. b) v 2. 5. ࢤ1 c) w 1. 3 16 . 0. ࢤ6.d) x ࢤ2. 0 17 . ࢤ1 e) y 0. 8. 1 ࢤ 0 18 . B ࢤ A 4 ࢤ 2. 3. 0 1. 0. 4.4 a) AB donde A 2. 1. 3 ࢤ 4. 0 y B 4.f) z ࢤ5. 4 4. ࢤ5 1/4. 5. 3 b) e) ࢤ8. 2. ࢤ2 b) 19 ࢤ3. 8 0. 0 c) 0.5 a) d) g) 1. ࢤ10 ࢤ3/2. ࢤ2 ࢤ 0. 12/5. ࢤ1/3. F ࢤ E 4 ࢤ 4. ࢤ2. 0.b) CD donde C 0. 0 1/4.6 a) 2. 1/3. 3 c) f) 0. 0 y D 0. 1 ࢤ 0. 0 y F 4. D ࢤ C 0 ࢤ 0. 0. 1. ࢤ1/2 . 5 ࢤ 0 c) EF donde E 4. 2 ࢤ 0 1. 8 0.15 Circunferencia con centro en el origen y radio 1. ࢤ54/5. ࢤ1/7. ࢤ2. ࢤ4 5/3.4: 2.d) 1. 31/10. ࢤ1. ࢤ29/15.14 a) b) c) d) 1. 17 5/2 b) No es posible encontrar tal escalar porque al igualar las coordenadas obtenemos que debe valer simultáneamente 3/2 y 3. 0 0.12 a) d) g) 1. ࢤ1/2 0. Esfera con centro en el origen y radio 1. Unión de los tres planos coordenados en el espacio.13 a) d) 1.11 a) d) g) 1. 0 c) 0.7 1. 0 a ࢤ3. Una recta siempre puede ser descrita por diversas ecuaciones vectoriales paramétricas 5 3 b) e) 1 1 c) 2 a) ࢤ3/2. 1 b) e) b) ࢤ3. 11/14 c) f) 8 25/3 5 20 . ࢤ13/2 b) 6. ࢤ2 f) ࢤ2. 4 Ejercicio 1. 1. Unión de los ejes X e Y en el plano. ࢤ6 Ejercicio 1. ࢤ1 b) e) 0 0 c) f) ࢤ8 ࢤ7/3 5 b) 4 24 e) 0 ࢤ29/14. ࢤ2/3.2: 2. 1. 0. 5 c) ࢤ1.9 1. b ࢤ1/4 a) e) 4. 2 10 ࢤ24 2.10 a) d) a) 1. 1/3. ࢤ4 t2. 0 t3/2. ࢤ6 X 2. 5 x 3y ࢤ 6z 0 x 3y ࢤ 6z ࢤ20 b) d) y3 x y ࢤ 3z ࢤ49/2 21 .15. a) Etcétera. 0. 0 s0. 0 t3.21 a) c) 1. 7 xࢤy 0 xy 0 Mismo comentario que en el ejercicio 1. 0. 2. 1/3. b) c) X 1. 7 tࢤ3/2. 0. 4 b) b) b) X 0. 0. X 1. 7 X 1/2. 0 tࢤ3/2. 2. ࢤ31/4 b) d) 1. 5 tࢤ2.18 1. 0 a) a) a) X 2. 4 t3. 2. ࢤ5 t2. 3 X 1. ࢤ3. ࢤ3 t0. ࢤ7 X 2.diferentes. 2/3 X 0. 1 2x ࢤ y ࢤ8 x 2y 1 b) X t1. ࢤ5. 4 tࢤ6/7. ࢤ2.17 1. 5 1. 14 Etcétera. 2 t2.20 X 1. 7 X 2. ࢤ5 s1. ࢤ7 X 1/2.19 1. 6. 5/3. ࢤ11 tࢤ2. 7 t3/2. 2. ࢤ1/3. En los incisos restantes sólo escogemos una ecuación. a) X 1/2. 0. 7 t4.16 a) c) 1.22 x ࢤ 3y 5z 14 1. 5 sࢤ2. ࢤ11 X 1. 6 tࢤ1. ࢤ2 c) X 0. 2. ࢤ5 t2. Esto lo ilustramos en el inciso (a).23 X 2. 7 t1. 6 X sࢤ1. 1/3. 3/7 t0. 1. 6 s2. 0. ࢤ2. 15/4 X ࢤ3. 2. 0. 0. 4. 0 t0.24 X 1. 2 22 . 5 s1.1. Dé tres ecuaciones distintas que representen a un mismo plano. En (a) el sistema no tiene solución. Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en una recta. en (c) y en (d) hay una infinidad de soluciones. 2.4 a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? ¿Qué sucede si sustituimos la tercera ecuación por x y 3? Decida si las siguientes matrices están en forma escalonada. En cada inciso obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. en (b) el sistema tiene solución única. Dé dos ecuaciones distintas que representen a una misma recta en el plano.1 En cada uno de los incisos siguientes se pide construir ecuaciones de rectas en el plano.2 plano. a) b) c) Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que sean paralelas. En (a) el sistema no tiene solución. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2. y en (c) el sistema tiene una infinidad de soluciones. Busque ejemplos sencillos y argumente geométricamente porqué el ejemplo construido satisface las condiciones pedidas.2. En cada inciso obtenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. en (b) el sistema tiene solución única. Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en exactamente un punto. 4 0 2 1 3 0 1 b) c) 0 0 ࢤ5 0 1 ࢤ3 0 0 1 7 1 2 3 d) 0 0 4 0 0 5 e) 1 ࢤ3 5 4 0 0 0 0 1 2 0 1 f) 4 2 0 0 0 0 8 0 0 3 5 0 4 0 0 0 0 ࢤ3 0 2 23 . Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que se intersecten exactamente en un punto. pero con planos en el espacio en lugar de rectas en el Dé las ecuaciones de tres planos que sean paralelos. a) b) c) d) Este ejercicio es análogo al anterior.3 Grafique las rectas del siguiente sistema de ecuaciones lineales: x1 y2 xy 4 a) b) 2. 2. 5 Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. i.2. Usando el método de eliminación gaussiana decida si el sistema tiene solución. iii. a) 2x 4y 6 3x 6y 5 b) 2x ࢤ 4y 6 ࢤ 4x 6y 2 c) x 3y 6 2x ࢤ 2y 4 4x 4y ࢤ8 d) x 5y 11z ࢤ5 2x 3y 8z 4 ࢤ x 2y 3z ࢤ9 e) 3x y 4z 5 6x 4y 5z 11 ࢤ 3x y ࢤ 6z ࢤ4 f) w 2x 3y 3 y 2z ࢤ1 2w 4x 4y ࢤ 4z 8 g) 2w ࢤ 4x 10 w ࢤ 3x z ࢤ4 w ࢤ y 2z 4 3w ࢤ 4x 3y ࢤ z ࢤ11 24 . calcule el número de pivotes y el número de grados de libertad del sistema y dé la solución general del sistema. En caso afirmativo. Construya la matriz aumentada asociada al sistema ii. ¿ cuántas faldas y cuántos sacos deberá hacer? 25 . (c) ninguna solución: ax by c ax ࢤ by d 2. Tiene cuarenta horas de trabajo y se desea que se venda todo lo que se produce.6 2. (b) solución múltiple. b. 2. Si sus clientes compran tres faldas por cada saco que adquieren.h) w ࢤ 2x y ࢤ z 4 2w ࢤ 3x 2y ࢤ 3z ࢤ1 3w ࢤ 5x 3y ࢤ 4z 3 ࢤ w x ࢤ y 2z 5 i) 2x 1 x 2 ࢤ x 3 ࢤ x 4 x 5 0 x 1 ࢤ x 2 x 3 x 4 ࢤ 2x 5 0 3x 1 3x 2 ࢤ 3x 3 ࢤ 3x 4 4x 5 0 4x 1 5x 2 ࢤ 5x 3 ࢤ 5x 4 7x 5 0 Pruebe que el siguiente sistema es inconsistente si c ࣔ 0 x ࢤ 2y z 2 2x y z 4 5y ࢤ z c 2.9 En una empresa textil un empleado tarda una hora con cuarenta minutos en hacer una falda y cinco horas en hacer un saco. c.8 Encontrar las condiciones que deben cumplir a. y d para que el siguiente sistema tenga (a) solución única.7 Pruebe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3x 2y ࢤ 4z a ࢤ 4x y ࢤ z b 7x 12y ࢤ 22z c tiene una infinidad de soluciones si c 5a 2b. a 22 2. asumiendo que cada camión debe estar completamente cargado y que el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden.2. una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. a 23 a 32 3. Los camiones están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento 1. Si se suministran respectivamente 15000. Para un pez de la especie 3. almendras y cacahuates en lata. respectivamente? 2. 000 del tercero. ¿ cuál es la población de cada bacteria que puede mantenerse en el tubo? 2. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de una unidad del alimento 1. 10. Si la bacteria de tipo i consume a ij unidades del nutriente j por día. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1. Suponiendo que los tres alimentos se consumen. 30000 y 40000 unidades al día de cada nutriente y si cada nutriente se consume totalmente. Cada semana se proporcionan al lago 15.15 Se desea envasar nueces.14 Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: A. ¿ Cuántas piezas sella la máquina en una semana (40 horas) si hay 4 piezas sin hoyo por cada una con hoyo? 2.10 Una máquina sella 480 piezas por hora si la pieza no tiene hoyo y 200 piezas si la pieza tiene hoyo.12 ¿Cuál sería la respuesta al ejercicio anterior si las cantidades diarias de nutrientes fueran 20000.11 Tres especies de bacterias coexisten en un matraz de Erlenmeyer en la que hay tres nutrientes. de manera que haya cuatro kilos de cacahuate por cada kilo de nuez y la misma cantidad de nueces y almendras. 000 unidades del primer alimento. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma ¿cuál es la solución más económica? 2. una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. B y C. 30000 y 40000 unidades. 000 del segundo y 35. El número de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión en una operación es: Camiones Tipo A Clase 1 Máquinas Clase 2 0 1 2 2 Tipo B 1 Tipo C 1 La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2. Si se desea envasar un 26 . cuatro unidades del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. a 33 5. ¿qué población de cada especie se encontrará en coexistencia? ¿Existe una única solución? 2.13 Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimento a un lago que mantiene tres especies de peces. se tiene que a 11 a 12 a 13 a 21 a 31 1. 16 Un estudiante dedica 6 horas a dormir y 2 a comer. 100 r1 r4 A r3 r2 300 C B 2. También recuerda el corredor que el día de ayer los precios por acción de las tres compañías se comportaron como sigue: subió el de aviación $1. Si dispone de $600. Así r 1 ࣘ 700. pero que el de la de los alimentos subió $0. ¿cómo puede dividir el tiempo entre las tres cosas? 2. Se calcula que el grupo I 27 . El resto lo dedica a estudiar. es decir.00.total de 20 kilos. entonces sí es posible determinar el número de acciones restante. El tamaño de las tuberías impone restricciones a los flujos. Cada hora de estudio le cuesta en promedio $20. Calcule las condiciones que deben satisfacer los flujos r 1 .50. r 2 ࣘ 300. B. r 3 y r 4 si no hay fugas.20 Hace diez años. que el de la compañía de hoteles bajó $1. Si la producción total es de 42 unidades por semana. Describa los valores de los flujos si (a) r 3 300.17 Una inversionista le afirma a un corredor de bolsa que todas sus acciones son de tres empresas. C como muestra la figura. El agua fluye en la dirección que indican las flechas y el flujo se da en litros por minuto. (b) r 1 50. pero que cuando ella dice tener 200 acciones de la empresa alimenticia. ¿de qué manera debe repartirse la producción entre las tres tiendas? 2. (c) r 2 100.00 por día. considerando una población inicial total de 2000.50. ¿cuántos kilos de cada producto hay que adquirir? 2. El corredor recuerda que hace dos días el precio por acción de la compañía de aviación bajó $1. a jugar boliche y a otras actividades.50 y el de alimentos subió $1. r 3 ࣘ 600 y r 4 ࣘ 400. La primera pide tanto como las otras dos juntas y la segunda pide 10% más que la tercera. r 2 . una de hoteles y una de alimentos y que hace 2 días el valor total de sus acciones bajó en $350 pero que subió $600 el día de ayer. una de aviación.19 Un sistema de tuberías de agua enlaza a tres puntos A. si en cada punto la cantidad de agua que llega es igual a la que sale. tres grupos indígenas han sido estudiados con fines económicos y de influencia en la Comunidad. el de hoteles cayó $0.00 y el promedio por hora de otras actividades es de $40. cada hora de boliche $120.50. 2. Muestre que el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones que posee la inversionista.00.18 Una fábrica distribuye su producción en tres tiendas. x 3 .21 En cada uno de los siguientes diagramas se representa un sistema de calles. cuál el valor mínimo de x 1 y cuál el de x 3 . x 4 . En cada caso diga cuáles son los valores posibles para x 1 . a) 28 . x 2 . ¿cuál fue la población inicial de cada grupo? 2. Las flechas indican el sentido y los números y variables la cantidad de vehículos que transitan por hora en la calle respectiva. el grupo II se incrementó en 50% y el grupo III se extinguió. Suponga que el número de vehículos que entran a un cruce es igual al número de vehículos que salen del mismo cruce.se duplicó. Si el incremento de la población del grupo I fue igual al del grupo II y si la población total se incrementó en 500. b) c) 29 . d) e) 30 . 24 Tres empresarios cultivan hortalizas . Hay un tipo de cohete que es transportado por ambas clases de aviones. Calcule el número de días que el viajero estuvo en cada uno de los tres países o bien muestre que el registro es incorrecto ya que las cantidades gastadas son incompatibles unas con otras. B cultiva maíz y 31 . Además. el turista gastó $20 diarios en Inglaterra. Además. A su regreso. 2. Calcule el número de aviones caza y bombarderos que hay en el aeropuerto o bien muestre que la información del agente debe ser incorrecta. entre cazas y bombarderos.22 Un turista que fue a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra. El espía desea determinar cuántos de los 60 aviones son cazas y cuántos son bombarderos. El agente sabe que con 250 cohetes quedan pertrechados por completo todos los aviones que se hallan en el aeropuerto.23 Un espía sabe que en cierto aeropuerto secreto hay estacionados 60 aviones. por conceptos varios el turista gastó $10 diarios en cada uno de los países mencionados.f) 2. 2. ya que es inconsistente. $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. $20 al día en Francia y $20 al día en España. $320 por alimentos y $140 por gastos varios. se entera de que en esa base el número de aviones caza es el doble del número de bombarderos. el caza porta seis de estos cohetes y el bombardero sólo dos. el registro de gastos del viajero indicaba un total de $340 por hospedaje. En cuanto a alimentos. El empresario A cultiva jitomates. la planta generadora requiere de $0. es decir de forma que la cantidad total pagada por cada una sea igual a la cantidad total que reciba cada una. ¿Qué valor deberán asignar a las respectivas cosechas si se debe satisfacer la condición de equilibrio de una economía cerrada y si la cosecha de menor valor debe venderse a $100? 2. tienen que reportar y pagarse entre sí.25 Tres Divisiones en una Industria. Humanos 4 5 1 Logística 4 4 3 Por los impuestos. Su salario normal diario está comprendido en el intervalo de $60 a $80. Recursos Humanos y Logística? 2. principalmente. Para producir $1. pero acuerdan ajustar sus percepciones de forma que ninguna tenga ventaja. Recursos Humanos y Logística trabajarán conjuntamente para desarrollar un proyecto realizando distintas innovaciones cada uno para lograr el objetivo. de $0.26 Una ciudad tiene. una planta generadora de energía eléctrica y un ferrocarril local.10 de su propia energía eléctrica para accionar 32 . Deciden trabajar en total 10 días cada uno de acuerdo al siguiente programa: Días de trabajo efectuados por el departamento de Finanzas R.25 de transporte para cubrir sus necesidades de embarque. 1/3 de la de maíz y 1/4 de la lechuga.65 de carbón como combustible. Para producir $1. Humanos Logística En el departamento de Finanzas 2 1 6 R.20 de energía eléctrica para accionar sus equipos y paga $0. ¿Cuánto deben ganar diariamente las Divisiones de Finanzas. incluyendo el trabajo que cada una hace en su propia División. 1/3 de la de maíz y se quedará con la mitad de su cosecha de lechuga.00 de carbón mineral. un salario diario .00 de energía eléctrica. Los tres se ponen de acuerdo para repartir la cosecha entre ellos de la siguiente forma: A se quedará con la mitad de sus jitomates y recibirá 1/3 de la cosecha de maíz y 1/4 de la cosecha de lechuga. tres industrias: una mina de carbón. la mina tiene que comprar $0.C lechugas. B recibirá 1/3 de la cosecha de jitomate. C 1/6 de la de jitomate. Finanzas. 50 por los de IE.20 a IM. iii.30) b) A A B 240 300 B 270 90 Demanda Final 90 60 Producción Total Nueva demanda final (63. 000 de energía eléctrica. la mina recibe pedidos por $33.000 de carbón provenientes de consumidores externos y la planta generadora recibe también de consumidores externos pedidos por $17. En esa semana. IE no requiere los servicios de sus dos colegas.28 Las siguientes tablas de insumo-producto representan economías hipotéticas con dos industrias.00 de asesoría que vende IM. ii. IE (electricista) e IM (mecánico).105) 33 . Para proporcionar $ 1. En estos despachos se atienden varias disciplinas. ¿Cuál debe ser la producción de las tres industrias. ¿cuánto ganará cada ingeniero en total por sus servicios de asesoría? 2.10 de asesoría a IE y $0. para satisfacer exactamente su demanda y la externa? 2. Escriba la tabla de insumo-producto que corresponde a la demanda indicada. En una determinada semana. En cada caso i.00 de asesoría que presta IC. A A B 20 20 B 30 20 Demanda Final 30 20 Producción Total 80 60 Nueva demanda final (90. respectivamente.00 de transporte. Las cantidades están dadas en millones de pesos al año. Calcule las matrices de tecnología y de Leontief. éste paga $0. mientras que IE e IM reciben solicitudes de asesoría externa por $90 y $980. iv. en esa semana. El ferrocarril es la única industria que no tiene ninguna demanda externa. éste paga $0. a) Complete la tabla de ser necesario.sus equipos auxiliares y $0. por lo cual cada ingeniero puede recurrir a los servicios de los otros dos. Por cada $1. el ferrocarril requiere de $0. IC no recibe a ningún cliente externo.10 de energía eléctrica para su equipo auxiliar.25 de transporte.27 Cada uno de los siguientes tres ingenieros tiene un despacho de asesorías: IC (civil).10 por los servicios de IC y $0. En una semana. Calcule la producción total de A y B que se necesita para satisfacer la demanda indicada. Por cada $1.70 de carbón mineral como combustible y de $0. 300) 2.29 En cada uno de los incisos siguientes escriba la solución general del sistema no homogéneo Ax b como una solución particular de este sistema más la solución general del sistema homogéneo Ax 0 (a) A 1 ࢤ3 1 2 3 4 1 (c) A 2 2 4 3 7 4 9 b ࢤ1 3 b 2 ࢤ6 1 1 0 1 0 b 1 3 ࢤ13 b 2 ࢤ4 3 2 ࢤ4 ࢤ9 b 13 ࢤ7 (b) A b ࢤ3 ࢤ6 ࢤ9 ࢤ12 (d) A 3 0 ࢤ1 0 2 0 ࢤ1 5 0 ࢤ6 0 2 4 2 (e) A 1 ࢤ1 ࢤ2 2 ࢤ1 5 ࢤ3 f) A 2 1 1 3 4 ࢤ1 8 ࢤ3 34 .c) A A B 200 200 200 B Demanda Final 300 Producción Total 800 600 Nueva demanda final (630. ¿Cuántos trabajadores semicalificados.000 en ventas. La compañía E vende en $80 cada acción y tiene un rendimiento esperado de 12% anual. Suponga que un inversionista desea comprar exactamente 220 acciones tipo A. 12 tipo B y 28 de C. 2.000. deben emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. y otro. A causa de un incremento en los pedidos.50. D y G que satisfagan los requerimientos del inversionista. encuentre los dos porcentajes. Si el mes siguiente. ¿cuántas debe producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo? 2. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. S. ¿Cuáles de las combinaciones de la parte (a) minimizarán el costo total del inversionista? 2. respectivamente. recibió $14.800 por ventas de $280. $400 y $600 respectivamente). Suponga que cada unidad de E cuesta al inversionista $300 (las de D y G. b. estándar (E). a. 2.32 Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100. La compañía D vende en $60 una acción y tiene un rendimiento esperado de 16% anual. y el costo de producir cada calculadora es de $7. Productos Unidos debe producir 1500 calculadoras. comprando unidades de los tres fondos. La compañía F vende cada acción en $30 y tiene un rendimiento esperado de 9% anual. Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A. Determine las combinaciones de unidades E. de lujo (D) y Gold Star (G).31 Una compañía paga a sus trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de ensamblado.000. 16 de tipo B y 8 tipo C. más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100. En la planta de Whyton los costos fijos son de $8800 por mes. encuentre el precio de equilibrio. calificados y empleados de envíos debe contratar la compañía? 2. y cada calculadora cuesta $6 producirla.35 Un grupo de inversionistas decide invertir $500. la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y Whyton. Si un agente recibió $8. 28 tipo B y 36 de C. ¿cuántas acciones de cada compañía deben comprar los inversionistas? 35 .34 Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión.33 Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 125p ࢤ q ࢤ 250 0 y 100p q ࢤ 1100 0.30 Productos Unidos.A.500 por ventas de $175. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A.000. Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A.Ejercicios de Repaso 2. El grupo planea comprar cuatro veces más acciones de la compañía F que de la compañía E.000 en las acciones de tres compañías. En la planta de Exton los costos fijos son de $7000 por mes. A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un contrato con el sindicato. 176 tipo B y 264 tipo C. Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento anual. Los trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $9 por hora. determine la matriz de producción para la economía.37 Dada la matriz de insumo-producto Industria Gobierno Gobierno Industria Agricultura Manufactura 400 200 200 Agricultura 200 400 100 Manufactura 200 100 300 Demanda Final 200 300 400 Otros 200 300 400 con entradas en miles de millones de dólares.2. 2. si la demanda final cambia a 300 para Gobierno. 36 . Encuentre el valor total de los otros costos de producción que esto implica.36 Dada la siguiente matriz de insumo -producto: Industria Educación Educación Industria Gobierno 200 400 Gobierno 500 200 Demanda Final 500 900 Otros 600 800 Encuentre la matriz de producción. Redondee las entradas al entero de miles de millones de dólares más cercano. 350 para Agricultura y 450 para Manufactura. si la demanda final cambia a 600 para Educación y 805 para Gobierno. c) xy 0 2x 2y 0 2.2 a) xyz 0 xyz 1 xyz 2 b) x1 y2 z3 Estos tres planos se intersectan en el punto 1.SOLUCIONES 2.1 a) xy 0 xy 1 b) xy 0 xࢤy 0 Estas rectas se intersectan en el origen. d) xyz 0 2x 2y 2z 0 3x 3y 3z 0 37 . 3. c) x0 y0 xࢤy 0 Estos tres planos son verticales y se intersectan en el eje Z. 2. Esta matriz la obtuvimos de la matriz en (i) aplicando el metodo de eliminación gaussiana. y 2.5 En el inciso (i) indicamos la matriz aumentada pedida. b) El nuevo sistema tiene solución única: x 1. Es posible llegar a 38 . En el inciso (ii) damos una matriz aumentada en forma escalonada.4 a) c) e) Sí No Sí b) d) f) No No No 2. 2.2. El estudiante debe observar que esta matriz no es única.3 a) El sistema no tiene solución porque las tres rectas no se intersectan simultáneamente en ningún punto. 1 d) i. z 0 1 2 3 0 2 ࢯ 3 ii. z 5. 6 1 4 4 5 ࢯ 5 ii. 3 ࢯ ࢤ9 1 5 11 ࢯ ࢤ5 0 1 0 0 2 0 ࢯ ࢤ2 ࢯ 0 ࢤ1 2 El sistema sí tiene solución. 1 3 e) i.diferentes matrices en forma escalonada partiendo de una misma matriz. a) i. 2 4 ࢯ 6 3 6 ࢯ 5 ii. 4 3 4 ࢯ 6 4 ii. 8 1 2 3 0 ࢯ 0 0 0 0 ࢯ 3 0 f) i. iii. b) i. El sistema no tiene grados de libertad y tiene tres pivotes. y ࢤ7 1 c) i. El sistema no tiene grados de libertad y tiene dos pivotes. iii. 2 5 11 ࢯ ࢤ5 3 8 ࢯ 4 ii. y. ࢤ2. El sistema tiene dos grados de libertad y dos pivotes. ࢤ2. La solución general es: en forma x 5 ࢤ t. y 1/2. z t o en forma vectorial paramétrica x. 1 2 ࢯ 3 0 0 ࢯ ࢤ4 Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución. 1 ࢤ2 ࢯ 0 1 3 ࢯ ࢤ7 El sistema sí tiene solución. 0 tࢤ1. iii. La solución es única: x 3/2. paramétrica El sistema tiene un grado de libertad y dos pivotes. 1 1/3 0 0 1 0 4/3 1 ࢯ 5/3 ࢯ 0 ࢯ 11 ࢤ3/2 ࢯ 1/2 ࢤ3 1 ࢤ6 ࢯ ࢤ4 iii. La solución es única: x ࢤ11. 2 ࢤ4 ࢤ4 ࢯ 6 6 ࢯ 2 ii. 1 3 ࢯ 6 0 1 ࢯ 1 0 0 ࢯ 3 2 ࢤ2 ࢯ ࢯ ࢤ8 Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución. 0 0 1 ࢯ ࢤ1 0 0 1 2 ࢯ ࢤ1 2 4 4 ࢤ4 ࢯ El sistema sí tiene solución. La solución general es: en forma 39 . y ࢤ2 ࢤ 2t. 0 t3. 1 2 ࢤ4 g) i. x t. y. iii. 1 2. x t ࢤ 9. 2 3 ࢤ1 ࢤ2 ࢤ3 ࢤ5 1 1 2 3 ࢤ1 ࢤ1 ࢯ ࢤ4 ࢯ 2 ࢯ 4 3 5 ii. iii. 0 s0. 1. 1. La solución general es: en forma paramétrica. iii. 1 ࢤ1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 ࢤ2 ࢯ 0 5 0 0 ࢯ 0 ࢯ 0 ࢯ 0 1 ࢤ1 ࢤ2 ࢯ 0 ࢤ3 ࢤ3 El sistema sí tiene solución. 0 tࢤ2. z s o en forma vectorial paramétrica w. 1. w ࢤ14 3t ࢤ s. z t o en forma vectorial paramétrica w. y s. x 5 t 3 3 o en forma vectorial paramétrica x 1 . x 3 . 0. ࢤ5/3. ࢤ1. y ࢤ157/13. x 4 .paramétrica w 6 ࢤ 2t 6s. 0. 0. 1. 0.6 La matriz aumentada del sistema es: 40 . 0 s6. 0. x. El sistema tiene dos pivotes y dos grados de libertad. 0. z 6. La solución es única: w 97/13. 1 ࢤ2 0 0 0 0 1 0 0 0 ࢯ 5 9 19 ࢯ ࢤ4 0 ࢤ1 ࢯ 1 ࢤ4 ࢯ ࢤ1 ࢯ ࢤ11 0 13 ࢯ ࢤ101 El sistema sí tiene solución. 1. 1 ࢤ2 1 ࢤ1 ࢯ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ࢯ ࢯ 4 0 0 ࢤ3 ࢯ ࢤ1 0 ࢤ1 ࢯ ࢤ9 El sistema sí tiene solución. La solución general es: en forma paramétrica x1 1 t. 1 ࢤ3 1 0 3 ࢤ4 0 0 ࢤ1 3 0 1 2 ࢯ ࢯ 10 4 ii. y. x 4 s. 1 2 i) i. x 2 . 0. x. x 3 r. z ࢤ101/13 1 h) i. 1. z ࢤ14. 1. x 16/13. El sistema no tiene grados de libertad y tiene cuatro pivotes. El sistema tiene dos pivotes y tres grados de libertad. 0. ࢤ9. 0 sࢤ1. x 5 r0. 0. ࢤ2. x 2 r s ࢤ 5 t. y ࢤ1 ࢤ 2s. 0 t1/3. 3 4 1 3 5 ࢤ1 ࢤ1 1 1 ࢤ3 ࢤ3 ࢤ5 ࢤ5 1 4 7 ࢯ 0 ࢯ 0 ࢯ 0 ii. 0. b ࣔ 0.7 La matriz aumentada del sistema es: 3 ࢤ4 7 2 1 ࢤ4 ࢤ1 ࢯ a ࢯ b 12 ࢤ22 ࢯ c Después de aplicar el método de eliminación gaussiana llegamos a la matriz aumentada 3 0 2 0 ࢤ4 ࢯ 0 a 4a 3b 0 11 ࢤ19 ࢯ ࢯ ࢤ5a ࢤ 2b c Vemos entonces que el sistema es consistente solamente cuando ࢤ5a ࢤ 2b c 0. b 0. 2. c ࣔ ࢤd ó b 0.1 ࢤ2 2 0 1 5 1 1 ࢯ 2 ࢯ 4 ࢤ1 ࢯ c 1 0 ࢯ 2 ࢯ c 1 ࢤ2 0 0 5 0 ࢤ1 ࢯ 0 Esto muestra que el sistema es inconsistente cuando c ࣔ 0. b ࣔ 0 a b c d 0 o bien a 0. c d a 0.8 a) b) a ࣔ 0.9 1) Planteamiento: x número de faldas que hace el empleado por semana y número de sacos que hace el empleado por semana 100x x ࢤ 300y 3y 2400 0 41 . En este caso el sistema tiene un grado de libertad y por lo tanto hay una infinidad de soluciones. y que es consistente cuando c 0 2. c ࣔ d c) 2. c ࢤd o bien a ࣔ 0. x 2 10000 ࢤ 2t. 2. x 3 t 3) Los valores de las variables deben ser enteros mayores o iguales a cero. x 2 10000 ࢤ 2t. 000 La máquina sella por semana 12. pues indican un número de bacterias. 2.000 piezas con hoyo.2) 3) Solución del sistema: x 12. i 1. i 1. 3 x 1 x 2 x 3 15000 x 1 2x 2 3x 3 30000 x 1 3x 2 5x 3 40000 2) El sistema de ecuaciones no tiene solución. 2. Por lo tanto hay 5001 soluciones diferentes: si t es un número entero entre 0 y 5000 obtenemos la solución. 2. x 3 t 42 . La solución general es: x 1 10000 t.12 1) x i número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo 0 ࣘ t ࣘ 5000.11 1) x i número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo.10 1) x número de piezas sin hoyo que sella la máquina por semana y número de piezas con hoyo que sella la máquina por semana x ࢤ 4y 0 x/480 y/200 40 2) 3) x 12. y 4 Interpretación de la solución: El empleado deberá hacer 12 faldas y 4 sacos por semana.000 piezas sin hoyo y 3. y 3. x 1 10000 t. 000 . 3) Los tres tipos de bacterias no pueden coexistir con las cantidades de alimento proporcionado. 2. 3 x 1 x 2 x 3 20000 x 1 2x 2 3x 3 30000 x 1 3x 2 5x 3 40000 2) El sistema tiene un grado de libertad. 2. obtenemos la solución x 1 30000 ࢤ 5t. 2. z t 3) Como las variables indican un número de camiones.14 1) x número de camiones del tipo A y número de camiones del tipo B z número de camiones del tipo C 2x y z 32 y 2z 10 2) El sistema tiene un grado de libertad. x 2 ࢤ5000 t. Por lo tanto hay 3 soluciones: 11. Por lo tanto hay 1. Si t es un número entero entre 5000 y 6000. 0. 12. i 1. 2. 2 camiones tipo B y 4 camiones tipo C.13 1) x i número de peces de la especie i. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo 5000 ࣘ t ࣘ 6000. los valores que pueden tomar son enteros no negativos. 10. es decir: 13 camiones tipo A. La solución general es: x 1 30000 ࢤ 5t. los valores que tomen deben ser enteros mayores o iguales a cero.001 soluciones diferentes. 6. y 10 ࢤ 2t. x 2 ࢤ5000 t. Para que esto suceda t debe ser un entero par en el intervalo 0 ࣘ t ࣘ 5. 2.15 1) x número de kilos de nueces y número de kilos de almendras z número de kilos de cacahuates 4x ࢤ z 0 xࢤy 0 x y z 20 43 . La solución general es: x 11 t/2. 3 x 1 3x 2 2x 3 15000 x 1 4x 2 x 3 10000 2x 1 5x 2 5x 3 35000 2) El sistema tiene un grado de libertad. 2 y 13. x 3 t 2. 4 La más económica es la que utiliza menos camiones. x 3 t 3) Como las variables indican un número de peces. Resolviendo estas desigualdades para k entero. t 860 y obtenemos la solución (0. 5x ࢤ. 46). 2 ࢤ. Como t está en el intervalo arriba mencionado. z t 5 5 5 5 3) Como las variables sólo pueden tomar valores mayores o iguales a cero. La solución es: x 4300 ࢤ 5 t. 8t horas para estudiar. 5y . el parámetro t 5 debe ser un número entero en el intervalo 43 ࣘ t ࣘ 860. z t 11 11 11 11 3) Como las variables deben tomar valores enteros mayores o iguales a cero. 3 3 3 2. 2. Además t debe asegurar que 4300 ࢤ 11 ty 11 300 7 ࢤ 11 11 t sean números enteros. t 46 y obtenemos la solución (370. La única solución es: x 10/3. 8 ࢤ . y 10/3. 3 1 kilos de almendra y 13 1 kilos de cacahuates. 2. La solución es: x 66 ࢤ 4 t. 2.17 1) x número de acciones de aviación que tiene el inversionista y número de acciones de hoteles que tiene el inversionista z número de acciones de alimentos que tiene el inversionista ࢤ x ࢤ 1. 2t horas para jugar boliche y t horas para otras actividades. y 14 ࢤ 1 t. Por ejemplo. y ࢤ 300 7 t. k debe satisfacer las desigualdades 43 ࣘ 2 11k ࣘ 860. obtenemos que 4 ࣘ k ࣘ 78. Para cualquier número t en este intervalo el estudiante puede dividir su tiempo como sigue: 13. Utilizando elementos de Teoría de Números se puede ver que para que esto suceda t debe ser de la forma 2 11k. el parámetro t varía en el intervalo 0 ࣘ t ࣘ 14.16 1) x número de horas al día dedicadas a estudiar y número de horas al día dedicadas a jugar boliche z número de horas al día dedicadas a otras actividades x y z 16 20x 120y 40z 600 2) El sistema tiene un grado de libertad. con k entero. z 40/3 3) Hay que adquirir 3 1 kilos de nuez. Si k 78. 44 .2) El sistema no tiene grados de libertad. 5y z 600 2) El sistema tiene un grado de libertad. Así vemos que hay 75 soluciones diferentes. si k 4. 5z ࢤ350 1. 2. 11 unidades a la tienda 2. 2. 860). r 4 200 . r 3 t.18 1) x i número de unidades de producción enviadas a la tienda i a la semana. r 3 250. r 4 200 Si r 2 100. 1x 3 0 x 1 x 2 x 3 42 2) El sistema no tiene grados de libertad. 2.520.20 45 Si r 3 300. x 2 11. r 2 300 ࢤ t. entonces r 1 100. Por lo tanto el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones de la inversionista. i 1. OBSERVACION. En resumen: el sistema tiene más de una solución. entonces r 1 0. y 10 unidades a la tienda 3. Del estudiante se espera sólo que se dé cuenta que hay más de una solución posible a los datos proporcionados por la inversionista. r 2 0. Si ahora ella dice tener 200 acciones de alimentos. x 3 10 3) La fábrica envía a la semana 21 unidades a la tienda 1. iii. Hicimos un análisis detallado del problema para mostrar que es posible describir todas las soluciones enteras usando otro tipo de herramienta matemática. 3 x1 ࢤ x2 ࢤ x3 0 x 2 ࢤ 1. r 3 200. La única solución es x 1 21. La solución general es: r 1 ࢤ200 t. ii.19 1) Las variables están definidas en el diagrama r 1 r 2 100 r1 ࢤ r3 r4 0 r 2 r 3 300 2) El sistema tiene un grado de libertad. 2. r 4 200 Si r 1 50. En este curso no se espera que el estudiante sepa Teoría de Números. r 4 200 con 200 ࣘ t ࣘ 300 3) i. entonces r 2 50. se sigue de la solución general que la inversionista tiene 300 acciones de aviación y 100 acciones de hoteles. no tiene solución.1) x i número de personas del grupo indígena i hace 10 años. x 2 ࢤ100 t. a) 1) x 1 x 2 600 x 2 x 3 1100 x 3 ࢤ x 4 100 ࢤ x 1 x 4 200 2) El sistema es inconsistente. b) 1) x 1 ࢤ x 2 300 x 2 ࢤ x 3 50 x 3 ࢤ x 4 ࢤ150 ࢤ x 1 x 4 ࢤ200 2) El sistema tiene un grado de libertad. es diferente de la cantidad total de vehículos que salen del sistema de calles. x 2 . x 4 son los indicados en (2) con la restricción t ࣙ 150. x 3 . La única solución es: x 1 500. x 3 ࢤ150 t. en este caso 1200. La solución general es: x 1 200 t. La razón es que la cantidad total de vehículos que entran al sistema de calles. Esto impone la restricción t ࣙ 150 en el parámetro. 3) No es posible que entren y salgan al sistema de calles las cantidades de vehículos indicadas. x 2 1000. x 3 500 3) La población inicial era la siguiente: 500 personas del grupo indígena I. 1000 del grupo indígena II y 500 del grupo indígena III. 5x 2 0 2) El sistema no tiene grados de libertad. Así.21 Para cada inciso las variables están definidas en el diagrama correspondiente. 2. x 4 t 3) Los valores de las variables sólo pueden ser números enteros mayores o iguales a cero. los valores posibles para x 1 . En este caso hay solución porque el número de vehículos que entran al sistema de calles es igual al número de vehículos que salen del sistema. en este caso 1400. El valor mínimo para x 1 es 350 y el valor mínimo para x 3 es 0. Obsérvese que las variables pueden tomar valores arbitrariamente grandes. 3 x 1 x 2 x 3 2000 x 1 . Esto se debe a que 46 . i 1. Este número es 1200. 2. 5x 2 ࢤ x 3 500 x 1 ࢤ. c) 1) x 1 ࢤ x 2 ࢤ150 x 2 ࢤ x 3 ࢤ300 x 3 ࢤ x 4 ࢤ100 ࢤ x 1 x 4 50 2) 3) d) 1) El sistema es inconsistente. Con esta información obtendríamos restricciones adicionales en el parámetro t. La solución general es: 47 . x 1 ࢤ x 2 ࢤ100 x 2 x 3 400 x 3 x 4 300 ࢤ x1 x4 0 2) El sistema tiene un grado de libertad. No tiene solución. Misma explicación que en (a).falta un dato: el número máximo de vehículos que puede circular por cada calle. x 1 x 2 300 x2 ࢤ x3 0 x 3 x 4 300 ࢤ x1 x4 0 2) El sistema tiene un grado de libertad. e) 1) x 1 x 2 400 x 2 ࢤ x 3 50 x 3 x 4 400 ࢤ x 1 x 4 ࢤ50 2) 3) f) 1) El sistema es inconsistente. x 2 300 ࢤ t. x 3 300 ࢤ t. Misma explicación que en (a). El valor mínimo de x 1 es 0. x 4 t 3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con la restricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ࣘ t ࣘ 300. La solución general es: x 1 t. y el valor mínimo de x 3 es 0. No tiene solución. x 4 t 3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con la restricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ࣘ t ࣘ 300.22 1) x número de días que estuvo en Inglaterra y número de días que estuvo en Francia z número de días que estuvo en España 30x 20y 20z 340 20x 30y 20z 320 10x 10y 10z 140 2) 3) El sistema no tiene grados de libertad. 4 días en Francia y 4 días en España. x 3 300 ࢤ t. La solución general es: 48 . No tiene solución. z 4 El turista estuvo 6 día en Inglaterra. La única solución es: x 6.23 1) x número de aviones de caza y número de bombarderos x y 60 6x 2y 250 x ࢤ 2y 0 2) 3) El sistema es inconsistente. La información del agente es incorrecta porque el sistema es inconsistente. 2. x 2 100 t. 2.x 1 t. El valor mínimo de x 1 es 0. y 4. 2.24 1) x valor de la cosecha de jitomate y valor de la cosecha de maíz z valor de la cosecha de lechuga 1xࢤ 2 1 ࢤ x 3 ࢤ 1xࢤ 6 2) 1yࢤ 3 2yࢤ 3 1y 3 1z 0 4 1z 0 4 1z 0 2 El sistema tiene un grado de libertad. y el valor mínimo de x 3 es 0. utilizando los valores dados en (2). 000.000. del ingeniero civil y ingreso semanal. maíz $100. 000 1600 15 . del ingeniero electricista 49 . en pesos. lechuga $106. Por lo tanto t de las cosechas será: jitomate $120. y 8 t. Recursos Humanos z salario diario de la D.67. y 15 t. Finanzas y salario diario de la D. 000. y la del ferrocarril de $30. La única solución es: x 80. Entonces el valor 3) La producción semanal de carbón mineral debe ser de $80. 68 ࣘ t ࣘ 80 .000. 2. y y z deben estar comprendidos en el intervalo de 60 a 80. una solución diferente al problema. obtenemos que el parámetro debe estar en el intervalo 69. La solución general es: x 31 t. la de electricidad de $40.26 1) x producción semanal en pesos de carbón mineral y producción semanal en pesos de electricidad z producción semanal en pesos de transporte x ࢤ 13 y ࢤ 7 z 33000 10 20 9 1 ࢤ x y ࢤ 1 z 17000 5 10 10 1 1 ࢤ xࢤ yz 0 4 4 2) El sistema no tiene grados de libertad. y 40. z t 8 16 3) La cosecha de menor valor siempre será la de maíz. z 30. 2.000.27 1) x ingreso semanal.25 1) x salario diario de la D. en pesos. 2. Logística 8x ࢤ y ࢤ 6z 0 ࢤ 4x 5y ࢤ z 0 ࢤ 4x ࢤ 4y 7z 0 2) El sistema tiene un grado de libertad.x 9 t. Para cualquier valor de t en este intervalo obtenemos. z t 36 9 3) Como los valores de x. del ingeniero mecánico xࢤ 1 z 0 10 1 ࢤ x y ࢤ 1 z 90 10 2 1 ࢤ x z 980 5 2) El sistema no tiene grados de libertad. 50 . 2. La única solución es: x 100. La tabla está completa. iv. z 1000 3) El ingeniero civil gana semanalmente $100. y 600. en pesos. A A B 50 50 B 60 40 Demanda Final 90 30 Producción Total 200 120 b) i. La matriz de tecnología es 1 4 1 4 3 4 ࢤ1 4 1 2 1 3 La matriz de Leontief es ࢤ1 2 2 3 iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser. 200 y 120. respectivamente.28 a) i. ii.z ingreso semanal. el ingeniero electricista gana $600 y el ingeniero mecánico $1000. respectivamente.A A B 240 300 B 270 90 Demanda Final 90 60 Producción Total 600 450 ii. iv. A A B 200 200 B 300 200 Demanda Final 300 200 Producción Total 800 600 ii. A A B 252 315 B 315 105 Demanda Final 63 105 Producción Total 630 525 c) i. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser. La matriz de tecnología es 1/4 1/2 1/4 1/3 3/4 ࢤ1/4 ࢤ1/2 2/3 La matriz de Leontief es 51 . de 630 y 525 unidades. La matriz de tecnología es 2/5 3/5 1/2 1/5 3/5 ࢤ1/2 ࢤ3/5 4/5 La matriz de Leontief es iii. y 2. ࢤ1. 1. 0 s1/3. 0. 0 r0.30 800 calculadoras de la Planta Exton 700 calculadoras de la Planta Whyton 2. 11. 0. 0.D y G respectivamente. 1 w. 0. 0 t1. 0. 2. 2. 1 2. 0 sࢤ2. ࢤ1/2. x. 0. 1 w. z 2/3. El estudiante habrá observado que las matrices de tecnología de los incisos (a) y (c) son iguales. x. 0. 0 tࢤ1/2. 1 x. 1. 1. g el número de unidades de E. x. 1. y. iv. ࢤ3. 0. 0 t0. 0 w. 1. 1. y ࢤ1.31 20 trabajadores calificados 40 trabajadores semicalificados 10 empleados de envíos 2. pero con diferentes niveles de producción. A A B 380 380 B 510 540 Demanda Final 630 300 Producción Total 1520 1020 Comentario.29 (a) (b) (c) (d) (e) (f) x. 0 t0.33 precio 6 2. 0. En ambos casos se trata de la misma economía. y. 5/2. 1 w. z ࢤ3. z 1. 0. 1 t0.d.000 6% sobre el resto 2. y. 0. de 1520 y 1020 unidades. y. respectivamente.32 4% sobre los primeros $ 100. 0 tࢤ1. 0. 0.34 a) Sean e. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser. e 5ࢤt d 8ࢤt gt Las seis combinaciones están dadas por 52 . z 3/2.iii. 0 sࢤ2. x. 0. 0 sࢤ3/2. 35 D: 5000 acciones E: 1000 acciones F: 4000 acciones 2.36 1290 1425 .37.e d g 5 8 0 4 7 1 3 6 2 2 5 3 1 4 4 0 3 5 b) La combinación e0 d3 g 5 2. 1405 1301 2. 1215 1188 53 . 1 1 2 horas el hacer un par de aretes. cada uno de los tres vicepresidentes recibió 45.1 A a) d) 3.000 unidades monetarias (u.m. c) Utilice el producto de matrices para determinar el número total de horas que se requerirán para surtir los pedidos. 2 a) Exprese las órdenes de trabajo o pedidos como una matriz 1 x 4. 3.3 Si A 1 3 5 7 2 4 6 8 y B 1 0 3 0 0 2 0 4 Encuentre una matriz C tal que a) 3A 2C B b) 2A B ࢤ 1 C0 3 Aquí 0 denota la matriz "cero" del tamaño correspondiente.2 ALGEBRA DE MATRICES Efectúe los cálculos indicados cuando 1 0 ࢤ3 0 2 AB 0B 4 B b) e) 2 3 0 1 0 2 4A Aࢤ c) 3 2 y 1 2 C A ࢤ 4C 0 1 0 ࢤ5 0 ࢤ2 B 2C Efectúe los cálculos indicados cuando 1 5 B 0 ࢤ2 1 5 0 y C 4 7 b) 3A ࢤ 2B 2C c) A ࢤ 52A 1 4 A 3 0 a) 2A 4B ࢤ C C 3. El fabricante estima que requiere 1 hora de trabajo el elaborar un anillo. c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y de acciones 54 . 40. b) Exprese los tiempos de elaboración de los diversos productos como una matriz 4 x 1.4 Un fabricante de joyería tiene pedidos por dos anillos. y 20 acciones. y 10 acciones. 3. a) Exprese los pagos en dinero y en acciones por medio de una matriz de 2x3.3. cinco prendedores y un collar. y el tesorero.m. el presidente recibió 80.) y 50 acciones. El año pasado.m. 1 hora hacer un prendedor y 2 horas la elaboración de un collar.000 u. tres pares de aretes. 3. b) Exprese el número de ejecutivos de cada categoría por un vector columna.5 Una compañía les paga a sus ejecutivos su sueldo y les concede participación en las acciones como gratificación anual.000 u. que erogó la compañía en el pago a sus funcionarios principales el último año. A 3 . 3.7 a) b) c) d) e) f) Construya ejemplos de matrices de 2 x 2 tales que AB ࣔ BA A 2 ࢤ1 B2 0 y B ࣔ 0 CD ࢤDC y CD ࣔ 0 EF 0 y ninguna entrada de E o de F es cero 1 0 0 0 B 1 0 0 0 C .. 2AB y 2AB.10 Encuentre una matriz w x y z w x y z tal que 2 1 5 3 1 0 0 1 Sugerencia: plantee un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas y resuélvalo.6 Si A 1 0 2 ࢤ5 y B 2 7 .. A n de las siguientes matrices. 55 . pero B ࣔ C 3. A BB A. 0 3 ࢤ4 Calcule AB.9 a) Calcule todas las potencias A 2 .. AA B BA B.. 3. A2B.8 ¿Cuáles de las siguientes matrices son con seguridad iguales a A B 2 ? B A 2 . A 2 2AB B 2 . A 2 AB BA B 2 3. A 1/2 1/2 1/2 1/2 b) A 1 0 c) A 1/2 ࢤ1/2 1/2 ࢤ1/2 0 1 0 f) A 0 0 1 0 0 0 0 ࢤ1 0 1 0 d) A 1 1 1 1 e) A 0 0 1 1 0 0 3. 13 Calcule las matrices transpuestas de las siguientes matrices.11 a) Dé la representación matricial de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.12 a) Verifique que a b c d x y x y z x y z x x x a c y b d b) a b c d e f a d y b e z c f a b c c) d e f g h i a d g y b e h z c f i 3. xࢤy 3 xy 7 b) 3x 2y ࢤ z 5 yz 0 2x 7z ࢤ3 c) 2x ࢤ y z 3 ࢤ w ࢤ 3y 4z 2/7 3.3. ¿Cuáles de ellas son simétricas? 1 a) ࢤ2 3 b) 1 1 1 1 1 1 1 2 3 c) 4 5 6 7 8 9 d) 1 2 2 3 1 2 3 e) 2 4 5 3 5 6 f) 0 1 0 56 . 16 Decida si las siguientes matrices son invertibles. BA T 3. En caso afirmativo calcule la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.15 ¿Cuáles de las siguientes matrices son triangulares superiores. triangulares inferiores. ¿Bajo qué condición es la matriz 1 b c d invertible? Calcule la matriz inversa cuando 57 . calcule A T B. diagonales? 1 2 2 3 1 0 0 b) 0 2 0 0 0 3 0 0 0 e) 0 0 0 1 0 0 c) 1 2 3 0 0 0 0 0 4 a) 1 0 1 d) 0 3 0 2 4 0 3.3.17 exista.14 Si A 3 1 yB 2 2 . B T A. a) 3 2 1 2 b) 1 3 c) 3 8 0 5 2 f) ࢤ1 ࢤ1 4 0 5 ࢤ2 ࢤ6 1 2 3 d) 2 0 ࢤ3 0 e) 1 2 4 0 1 2 2 ࢤ1 11 19 ࢤ7 3 1 2 0 i) 0 3 1 1 2 5 0 0 1 0 0 0 2 0 1 g) 0 3 2 0 0 5 h) 1 3 1 5 2 0 1 0 13 2 0 1 j) 0 4 1 4 0 5 k) 1/4 1/3 1/3 1/2 1/2 1/2 1 3. AB T . A T es invertible y A T ࢤ1 A ࢤ1 T . Si B y C son matrices nxm y AB AC.19 Redondee las entradas de la matriz de Hilbert (a) a 2 decimales. 3.21 ¿Bajo qué condiciones es la matriz diagonal 0 b 0 0 0 c Calcule la inversa cuando ésta exista. Formule un resultado análogo para matrices diagonales nxn. Demuestre: Si B es una matriz nxm y AB 0. entonces A ࢤ1 es simétrica. 3. entonces B 0. 3.20 a) b) c) d) Sea A una matriz cuadrada nxn invertible. a 0 0 3. Si A es simétrica. entonces B C.22 a) Calcule las matrices de incidencia asociadas a las siguientes gráficas: invertible? 58 . En cada caso invierta la matriz obtenida usando calculadora y compare los resultados con el ejercico anterior.18 Invierta la matriz de Hilbert 1 A 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 5 usando el método de Gauss-Jordan. (c) a 5 decimales. (b) a 3 decimales.3. Trabaje con quebrados. b) c) d) e) 59 . 26 ¿Qué se puede decir de la gráfica asociada a una matriz de incidencia simétrica? 60 .f) 3. 3.24 Use las potencias de la matriz de incidencia calculada en el ejercicio 3. tres y cuatro. con n vértices hay? 3.25 ¿Cuántas gráficas dirigidas con n vértices hay? ¿Cuántas gráficas dirigidas.22c para determinar el número de caminos de 1 a 4 de longitudes dos.23 Calcule las gráficas asociadas a las siguientes matrices: 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 a) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 c) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3. sin lazos. de lujo y de extra lujo vendidos.F 6 2 .D 1 0 2 3 3.J 4 .B 4 5 6 7 8 9 . ¿Cuáles matrices son cuadradas? e. representan el número de modelos regular. Establezca el orden de cada matriz.29 La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos renglones. ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron? 61 . 1 2 3 4 E 0 1 6 0 0 0 2 0 0 0 6 1 . (a) En enero. blancas. mientras que las columnas dan el número de unidades rojas. ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores? 3. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son 2 6 1 2 E 0 1 3 5 2 7 9 0 . a 43 a 12 a 32 2 4 0 3 1 2 6 ࢤ2 0 0 a 34 a 44 c) ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal? 3. ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron? (b) En febrero. a. F 0 2 8 4 2 3 3 2 4 0 2 6 . ¿Cuáles son vectores columna? c.Ejercicios de Repaso 1 ࢤ4 ࢤ6 2 2 1 1 2 3 .G 5 6 1 . azules y púrpuras vendidas.C 1 1 2 2 3 3 .27 Sean A . en orden. d.28 Considere la siguiente matriz 7 ࢤ2 14 A a ij 6 5 8 a) ¿Cuál es el orden de A? b) Determine las entradas siguientes. ¿Cuáles son vectores renglón? b.H 1 6 2 0 0 0 0 0 0 . (c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras? (d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? (e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo? (f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? (g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 3.30 Encuentre todos los valores de x para los cuales x 2 2000x x2 x2 lne x 2001 2001 ࢤ 2000x ࢤx x 3.31 Realizar las operaciones indicadas. 2 a) ࢤ1 1 1 b) 6 c) 3 0 4 ࢤ6 4 ࢤ 9 2 7 2 1 ࢤ3 0 5 6 ࢤ1 7 1 2 0 ࢤ6 1 4 ࢤ0 ࢤ2 7 4 2 ࢤ1 9 ࢤ3 6 4 5 11 ࢤ2 ࢤ2 7 1 ࢤ3 1 1 2 3 4 d) e) ࢤ6 2 ࢤ6 7 7 2 1 ࢤ4 6 0 6 ࢤ2 0 ࢤ2 10 1 3 9 0 3 0 3 0 3 9 9 f) 0 ࢤ4 3.32 Calcule las matrices requeridas si A 2 1 , B ࢤ6 ࢤ5 2 ࢤ3 , C ࢤ2 ࢤ1 ࢤ3 3 , O 0 0 0 0 . 3 ࢤ3 62 a) e) 3.33 ࢤB b) 2O c) 2B ࢤ 3A 2C f) 1 2 2A ࢤ 2B d) 3A ࢤ C 6 A ࢤ 2B 2C Exprese la ecuación matricial x 2 1 ࢤy ࢤ3 5 2 8 11 como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo. 3.34 Resuelva las ecuaciones matriciales a) 3 x y 2 b). 4 6 2 ࢤ3 ࢤ2 4 x y 4z 4 6 ࢤ2 ࢤ10 ࢤ24 14 3.35 Una compañía de artículos electrónicos fabrica televisores, VCR y reproductores de CD en dos plantas A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son como sigue: A B TV X VCR CD 20 40 45 30 15 10 ; TV Y VCR CD A B 15 25 30 25 10 5 3.36 En los problemas siguientes realice las operaciones indicadas. 2 ࢤ4 3 2 4 0 2 0 3 1 4 7 a) ࢤ1 3 b) ࢤ1 4 5 63 1 c) 0 4 ࢤ1 0 2 1 2 1 1 1 0 2 2 e) 3 ࢤ4 1 1 2 3 4 5 6 2 3 ࢤ2 3 0 ࢤ1 1 ࢤ2 1 3 d) ࢤ1 2 3 0 1 ࢤ1 4 3 1 2 1 ࢤ2 ࢤ1 3 f) 3 ࢤ2 3 0 2 ࢤ1 1 2 ࢤ1 0 1 2 1 ࢤ2 g) 1 2 3 4 2 0 1 1 ࢤ2 2 3 1 0 1 0 ࢤ2 0 0 1 h) 0 1 0 1 0 0 x y z x1 x2 x3 i) 2 1 3 4 9 7 3.37 En los problemas siguientes calcule las matrices requeridas si 1 ࢤ2 0 3 ࢤ2 1 3 0 ࢤ1 1 C 0 2 0 1 6 1 0 0 D 0 1 1 1 2 1 A B ࢤ4 1 3 4 1 0 0 3 0 0 E 0 6 0 0 0 3 a) DI ࢤ 1 3 1 3 0 0 1 3 F 0 0 c) 2I ࢤ I 0 1 0 0 0 1 0 1 2 E b)3A ࢤ 2BC EF d) DCA 64 respectivamente. B. Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. $150. Utilizando la multiplicación de matrices encuentre el costo total de las acciones. 65 .38 Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A. Escriba un vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo.3. C y D son $100. Los precios por acción de A. $200 y $300. 300 tipo B. 500 tipo C y 250 tipo D. 5 a) A 80000 45000 40000 50 20 10 1 b) B 3 1 c) AB 255000 120 66 .SOLUCIONES 3.2 22 a) 26/5 ࢤ47/5 b) ࢤ27 17 26 c) ࢤ9 ࢤ32 ࢤ35/4 3. 5 .1 a) 3 3 ࢤ3 1 2 6 b) 4 0 ࢤ12 0 8 16 c) 1/2 ࢤ4 ࢤ3/2 20 1 ࢤ2 ࢤ23/2 10 ࢤ5/2 ࢤ3 2 ࢤ3 d) 0 0 0 0 0 0 e) 3.3 a) ࢤ1 ࢤ9/2 ࢤ6 ࢤ21/2 ࢤ3 ࢤ5 ࢤ9 ࢤ10 b) 12 18 48 42 12 36 36 72 3.4 1 a) A 2 3 5 1 b) B 1.5 2 c) AB 11 3. La matriz A 2 2AB B 2 puede ser distinta de A B 2 67 . A 2 AB BA B 2 .3.8 Las siguientes matrices son siempre iguales a A B 2 : B A 2 . AA B BA B.6 a) AB 9 ࢤ22 b) A2B 2AB 2AB 18 ࢤ44 3.7 a) Sean A 1 2 0 3 3 yB ࢤ1 0 2 4 ࢤ1 ࢤ2 2 16 Entonces AB 8 6 12 0 1 y BA b) Sea A ࢤ1 0 2 4 . A BB A. Entonces B ࣔ 0 y B 2 0 d) Sean C yD ࢤ1 2 ࢤ2 1 Entonces CD y CD ࢤDC e) Sean E yF ࢤ3 2 1 2 5 6 3 ࢤ2 Entonces EF 0 f) Sean B yC Entonces B 1 0 0 0 CyB ࣔ C 3. Entonces A 2 ࢤ1 c) Sea B ࢤ1 ࢤ2 2 ࢤ1 1 ࢤ2 0 3 3 0 2 3 4 6 1 2 3 4 1 0 0 0 . 0 0 1 f) A 2 .n ࣙ 2 d) A n 2A nࢤ1 2 nࢤ1 2 nࢤ1 2 nࢤ1 2 nࢤ1 .n ࣙ 1 b) An si n es par. c) An . r 0. A 4 A 0 0 0 0 0 0 .10 Se obtiene el sistema de ecuaciones: 2w y 1 2x z 0 5w 3 y 0 5x 3z 1 El sistema tiene solución única. 1. A n 0 si n ࣙ 3. 3.3. 2. An 1 0 0 ࢤ1 si n es impar. A 3 I. La matriz buscada es: w x y z 3 ࢤ5 ࢤ1 2 3.n ࣙ 2 .11 68 . A 2 si r 2. Entonces A n es igual a: I si r 0.9 a) An 1/2 1/2 1/2 1/2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 e) A2 1 0 0 0 1 0 Si n ࣙ 1 sea r el residuo que se obtiene al dividir n entre 3. A si r 1. a) 1 ࢤ1 1 1 x y 3 7 3 2 ࢤ1 b) 0 1 2 0 1 7 x y z 5 0 ࢤ3 x c) 2 ࢤ1 1 0 y z w 0 ࢤ3 4 ࢤ1 3 2 7 3. 1 2 3 2 4 5 3 5 6 Sí es simétrica.12 En cada inciso desarrollamos ambos lados de la igualdad obteniendo la misma matriz: ax by cx dy ax by cz dx ey fz ax by cz c) dx ey fz gx hy iz a) b) 3. 69 .13 1 a) ࢤ2 3 T T 1 ࢤ2 3 b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 c) 4 5 6 7 8 9 1 2 2 3 1 2 3 e) 2 4 5 3 5 6 T T 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 2 2 3 No es simétrica. d) T Sí es simétrica. Sí. A ࢤ1 2 ࢤ1 1/2 f) No g) Sí. Una matriz cuadrada es invertible si el número de pivotes es igual al número de columnas. A ࢤ1 1/3 ࢤ8/15 0 0 1/5 1 ࢤ2 1 0 0 ࢤ2 1 0 ࢤ1/10 d) No e) Sí. No es nada.15 a) No es nada. c) Triangular superior.f) 0 1 0 T 0 1 0 3. 3.14 ATB 3 1 2 2 3 1 8 BTA 2 2 8 AB T 3 1 2 2 2 2 6 6 2 2 6 2 6 2 BA T 3 1 3. A ࢤ1 1/2 ࢤ1/4 ࢤ1/2 3/4 b) No c) Sí. A ࢤ1 0 0 1/3 ࢤ2/15 1/5 h) No 70 .16 a) b) d) Diagonal. e) Triangular inferior. 2 . 5556 ࢤ277.5 . 33 . 333 A ࢤ1 ࢤ39. d ࢤb en cuyo caso A ࢤ1 dࢤ1bc ࢤc 1 9 3. 25 . 5082 33. es decir. 84 ࢤ39. 5 . 772 . A ࢤ1 1/6 ࢤ2/3 1 0 1 1/4 ࢤ1/12 0 0 0 k) Sí. A ࢤ1 ࢤ1/4 ࢤ1/4 ࢤ1/3 ࢤ1/4 ࢤ1/3 ࢤ1/2 1 3. 951 33. 5082 210. Para esto restamos al 1 b segundo renglón c veces el primero. 186 ࢤ196. 25 . 25 1 . 25 . 67066 255.19 1 a) A . 778 255. 5 . 2836 71 . 03 ࢤ1349. si y sólo si d ࢤ bc ࣔ 0 o equivalentemente d ࣔ bc. A ࢤ1 2/15 ࢤ1/15 1/5 ࢤ1/6 1/3 1/15 ࢤ1/5 5/6 1/3 0 0 0 0 0 1 j) Sí. 951 195. 33 .18 A ࢤ1 ࢤ36 192 ࢤ180 30 ࢤ180 180 ࢤ36 30 3. 2836 ࢤ196. 33 A ࢤ1 55. 333 . Sabemos que A es 0 d ࢤ bc invertible si y sólo si U tiene dos pivotes. 333 . 21 9. 556 ࢤ277.13/15 ࢤ2/3 i) Sí.17 Llevamos la matriz A 1 b c d a la forma escalonada U. 21 1269.2 b) A . 778 1446.5 . 556 ࢤ1349. Obtenemos la matriz U . 33333 . 3. Así obtenemos la cadena de igualdades B IB A ࢤ1 AB A ࢤ1 AB A ࢤ1 AC A ࢤ1 AC IC C c) Para ver que A T es invertible y que A T ࢤ1 A ࢤ1 T basta probar que A T A ࢤ1 T I A ࢤ1 T A T Esto se sigue de las igualdades: A T A ࢤ1 T A ࢤ1 A T I T I I T AA ࢤ1 T A ࢤ1 T A T d) Utilizando que A A T del inciso anterior obtenemos que A ࢤ1 A T ࢤ1 A ࢤ1 T Por lo tanto A ࢤ1 es simétrica. 25 . 33333 . 33333 . b ࣔ 0 y c ࣔ 0. Como A es invertible podemos multiplicar por A ࢤ1 ambos lados de la igualdad. 3026 ࢤ36. 06174 ࢤ36. Así obtenemos la cadena de igualdades B IB A ࢤ1 AB A ࢤ1 AB A ࢤ1 0 0 b) Suponemos AB AC. Como A es invertible podemos multiplicar por A ࢤ1 ambos lados de la igualdad.5 . 453 3. 3232 193. 562 181.20 a) Suponemos AB 0. 3232 30.1 c) A . 3026 ࢤ181. 72 .5 . a 0 0 3. 562 30. 25 .2 A ࢤ1 9. 675 ࢤ181.22 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 a) 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 b) 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 es invertible si y sólo si a ࣔ 0.21 La matriz 0 b 0 0 0 c En general una matriz diagonal de tamaño nxn es invertible si y sólo si todos los elementos de la diagonal son distintos de cero. 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 c) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 e) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 f) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 d) 1 1 1 1 0 1 1 1 0 3.23 a) b) 73 . 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 A 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Hay dos caminos de longitud tres de 1 a 4. No hay caminos de longitud cuatro de 1 a 4.c) d) 0 0 2 3 0 0 0 0 1 0 3. A 4 0. 74 .24 A 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Hay tres caminos de longitud dos de 1 a 4. 3. o hay aristas en ambos sentidos. sin lazos.25 vértices. E. 1. H. J Vectores Columna 3. D.32 a) 6 5 ࢤ2 3 b) O c) 28 22 ࢤ2 6 d)No definida e) ࢤ22 ࢤ15 ࢤ11 9 75 . y hay 2 n 2 ࢤn gráficas dirigidas. J c) H.27 a) A2 3 B3 3 C3 2 D2 2 E4 4 F1 2 G3 1 H3 3 I1 1 b) B. J Triangulares Inferiores d) F.31 a) 10 ࢤ3 1 b) 5 3 ࢤ5 5 ࢤ9 5 5 9 5 f) 0 ࢤ3 ࢤ4 7 3 1 ࢤ2 13 c) ࢤ9 ࢤ7 11 d) No definida ࢤ2 10 5 e) ࢤ12 36 ࢤ42 ࢤ6 ࢤ42 ࢤ6 ࢤ36 12 3.29 a) 7 b) 3 c) d) Azul de lujo e) Febrero f) Febrero g) 38 3. ࢤ2.30 -2001 4 3.26 Dados dos vértices distintos cualesquiera de la gráfica o no hay aristas entre ellos. 2. J Triangulares Superiores D. 0 c) 7. J Vectores Renglón e) G. 4. 0 3. Hay 2 n2 gráficas dirigidas con n vértices. con n 3.3.28 a) 4 4 b) 2. f) 21 19 2 29 2 ࢤ15 2 3. 000 76 .34 a) x 6 y 4 3 b) x ࢤ6 y ࢤ14 z1 35 65 3.36 a) 12 ࢤ12 10 6 b) 23 50 1 c) 2 ࢤ4 2 2 4 d) ࢤ6 16 10 ࢤ6 ࢤ3 ࢤ2 3 4 e) 6 2 6 9 3 ࢤ4 ࢤ6 8 ࢤ2 6 9 ࢤ12 3 f) 78 84 ࢤ21 ࢤ12 g) ࢤ5 ࢤ8 ࢤ5 ࢤ20 h) z y x ࢤ8 ࢤ12 i) 2x 1 x 2 3x 3 4x 1 9x 2 7x 3 0 3.35 75 55 25 15 3. 13 y ࢤ28 13 3.38 240.33 x 146 .37 a) 1 0 2 0 b) 0 0 ࢤ1 1 ࢤ1 ࢤ20 ࢤ2 23 3 2 0 3 2 0 0 3 2 ࢤ1 d) 2 1 5 17 31 c) 0 0 0 3. Calcule los determinantes de las matrices dadas con este método: 77 . los c d determinantes de las siguientes matrices: 4. ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? ¿Por qué? a) detA det A b) detA n det A 4.1 Calcule. la manera más eficiente de calcular determinantes es utilizando eliminación gaussiana.2 Si det a) c d a b 3a 3b 3c 3d b) 2a b 2c d ࢤb 2a ࢤd 2c c) a b a b ac bd a c b d d) e) f) 4. DETERMINANTES 4. utilizando las propiedades de los determinantes.3 Si A es una matriz nxn y es un escalar.4 En general. los determinantes de las siguientes matrices: a) 1 2 b) 8 1 5 3 e) ࢤ1 4 1 2 ࢤ5 ࢤ10 c) 1 2 ࢤ3 4 1 ࢤ5 ࢤ4 d) 4ࢤ 1 2 ࢤ 0 5 ࢤ8 ࢤ2 7 9 f) 2 3 0 7 2 10 1 2 3 g) 0 2 3 0 0 3 5 calcule. utilizando las fórmulas para los casos 2x2 y 3x3.4. Concluya que el sistema tiene solución única. .7 Demuestre que hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los puntos 1. b) Calcule el determinante de la matriz asociada al sistema utilizando el ejercicio 4. c) Resuelva el sistema y obtenga el polinomio buscado. ࢤ1 y calcule dicho polinomio.ࢤ3 a) 1 ࢤ1 2 4 4 b) 0 1 ࢤ1 0 ࢤ3 1 0 1 d) 3 0 1 2 2 5 0 4 6 3 ࢤ1 2 4 5 5 ࢤ6 7 ࢤ3 0 0 3 3 7 1 c) 2 0 2 3 2 ࢤ2 0 ࢤ4 1 0 5 2 3 2 0 0 0 13 ࢤ9 4 2 ࢤ1 ࢤ2 ࢤ1 ࢤ5 15 7 4. de tamaño 2x2. 3.6(a).01 0 ࢤ4 ? 4. que 1 a a2 a) det 1 b b2 1 c c2 1 a a2 a3 b ࢤ ac ࢤ ac ࢤ b b) det 1 b b2 b3 1 c c2 c3 1 d d2 d3 b ࢤ ac ࢤ ad ࢤ ac ࢤ bd ࢤ bd ࢤ c 4.8 Busque dos matrices A y B.6 Compruebe. 3. Así obtendrá un sistema con tres ecuaciones con incógnitas . 0. Siga los siguientes pasos: a) Sustituya cada uno de los tres puntos en la ecuación y x x 2 . tales que detA B ࣔ det A det B 78 . 2. 4. utilizando propiedades de determinantes.5 ¿Cuál es el determinante de 0 ࢤ2 187 0 0 3 e . 2. 79 . al igual que la regla de Cramer. 2x 3y 4 5x ࢤ 7y 11 2x y z 6 b) 3x ࢤ 2y ࢤ 3z 5 8x 2y 5z 11 Observe que para un sistema nxn esta fórmula requiere del cálculo de n 1 determinantes.9 Cuando una matriz cuadrada tiene bastantes ceros puede ser conveniente calcular su determinante usando desarrollo por menores.11 Calcule la inversa de cada una de las siguientes matrices usando la matriz adjunta: 3 4 1 2 a b c d 1 c) 2 3 8 ࢤ5 ࢤ7 a) b) ࢤ3 ࢤ8 17 Observe que este método es. mucho más tardado que el de Gauss-Jordan.13 Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores 1. 5. ࢤ8. Utilice este método para calcular los determinantes de las matrices siguientes: 2 a) 0 ࢤ5 3 b) 4 ࢤ 5 2 0 0 e5 ࢤ1 4 0 0 ࢤ1 0 0 ࢤ1 2 2 ࢤ3 0 105 15 1 ࢤ 2 2 7 3 153 4. Sin embargo.10 a) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. para matrices nxn con n ࣙ 3. De ahí su inclusión en este curso. Sin embargo. 2. para cuestiones teóricas esta fórmula resulta de mucha utilidad. lo cual es engorroso y poco práctico para n ࣙ 3. 3. ࢤ13. ࢤ3. 5. 2. 4.4.12 Encuentre el área del paralelogramo determinado por los vectores 3. 4. resulta útil en cuestiones teóricas. 1. 7. 4. b) Calcular las matrices Adjunta e Inversa de A.15 Calcular el determinante de la siguiente matriz: 1 0 A 1 ࢤ1 0 0 0 1 0 ࢤ1 1 1 ࢤ1 2 1 ࢤ1 0 0 4 0 8 0 1 ࢤ1 0 2 4.Ejercicios de Repaso 0 ࢤ2 4. c) Utilizar la matriz A ࢤ1 para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ࢤ 2y z 0 x 10y 2z 0 4x 5 z 4.16 Calcule el determinante 3 5 1 ࢤ1 2 6 por desarrollo por Menores 4 ࢤ6 4.17 Supóngase que a b c det d e f g h i Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el determinante de la siguiente matriz: 4 80 .14 Sean las matrices A 1 10 4 0 1 2 ࢤ1 Cof A ࢤ2 ࢤ14 ࢤ4 ࢤ8 2 a) Completar la matriz de Cofactores de A. 20 Demuestre que la regla de Cramer no se aplica a 2ࢤy x 3 x ࢤy 81 . 4.19 Determine todos los valores de c tales que la regla de Cramer no pueda utilizarse para resolver el sistema siguiente: x cy 8z ࢤ4 cx ࢤ z 1 ࢤ 53x ࢤ 6y z 2 4.3g ࢤ 7d 3h ࢤ 7e 3i ࢤ 7f d a Justificar brevemente.18 Supóngase que al resolver un sistema de ecuaciones por la Regla de Cramer se obtiene la siguiente información acerca de su solución única: 1 0 0 2 D e b f c 3 0 1 0 6 2 D 1 0 ࢤ5 0 ࢤ4 x1 x3 0 0 ࢤ5 Utilizar esta información para obtener (exclusívamente) el valor de x 2 por la Regla de Cramer. No es necesario calcular x 1 ni x 3 . 4. Entonces por una propiedad de los determinantes sabemos que det C det B La matriz A se obtiene de A multiplicando cada renglón de A por el escalar . Sea B una matriz cuadrada. El inciso (d) del ejercicio anterior nos da un contraejemplo.SOLUCIONES 4. aplicando n veces la propiedad mencionada obtenemos detA n det A 4. Como A tiene n renglones. Sea C la matriz que se obtiene al multiplicar un renglón de B por . el determinante es el producto de las entradas en la diagonal.6 a) 1 b b2 1 c c2 1 0 0 1 b ࢤ a b2 ࢤ a2 1 c ࢤ a c2 ࢤ a2 b ࢤ ac ࢤ a 1 ba 1 ca b ࢤ a b ࢤ ab a c ࢤ a c ࢤ ac a b ࢤ ac ࢤ ac ࢤ b 82 .4 a) c) 32 20 b) d) ࢤ260 84 4.2 a) d) 0 2 ࢤ 4 ࢤ 2 6 b) e) ࢤ1 327 c) f) 10 0 ࢤ5 45 b) e) 10 10 c) f) 5 5 4.5 Como la matriz es triangular superior.1 a) d) g) 4. Por esto el determinante es igual a 24. b) Siempre es verdadera.3 a) No es válida en general. 1 a a2 4. 27 y ࢤ7 . Por esto hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los tres puntos dados.9 4. Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos que ࢤ10. Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es distinto de cero. Por ejemplo A Entonces det A 1. Entonces el polinomio buscado 2 2 es y ࢤ10 27 2 xࢤ 7 2 x2 4. det B 1 y detA B 4.6 (a) su determinante es igual a 2 ࢤ 13 ࢤ 13 ࢤ 2 2 ࣔ 0. 1 0 0 1 B 4.1 a a2 a 3 b) 1 b b 2 1 0 2 0 3 0 b 3 1 b ࢤ a b ࢤ ab b ࢤ ab 2 1 c ࢤ a c 2 ࢤ ac c 3 ࢤ ac 2 1 d ࢤ a d 2 ࢤ ad d 3 ࢤ ad 2 1 b b2 b ࢤ ac ࢤ ad ࢤ a 1 c c 2 1 d d2 1 c c2 c3 1 d d2 d3 b ࢤ a bb ࢤ a b 2 b ࢤ a c ࢤ a cc ࢤ a c 2 c ࢤ a d ࢤ a dd ࢤ a d 2 d ࢤ a b ࢤ ac ࢤ ad ࢤ ac ࢤ bd ࢤ bd ࢤ c 4.8 Casi cualquier par de matrices sirve. el sistema tiene solución única.10 a) ࢤ1 b) ࢤ1 83 .7 Sustituyendo cada uno de los puntos dados en la ecuación y x x 2 obtenemos el sistema de ecuaciones lineales 0 2 4 3 3 9 ࢤ1 La matriz de coeficientes del sistema es 1 1 1 1 2 4 1 3 9 1 1 12 1 2 22 1 3 32 Por el ejercicio 4. 14 ࢤ10 a) CofA ࢤ2 ࢤ14 4 1 ࢤ40 2 ࢤ10 ࢤ2 ࢤ14 A ࢤ1 ࢤ4 ࢤ8 ࢤ10 ࢤ2 ࢤ14 b) AdjA 9 ࢤ4 1 2 ࢤ1 58 9 ࢤ4 1 2 ࢤ40 ࢤ8 x c) y z 35 29 ࢤ5 58 ࢤ5 29 ࢤ40 ࢤ8 4. 5 ࢤ13 7 4.11 a) 1 ࢤ2 b) 1 adࢤbc d ࢤc ࢤb a 80 c) ࢤ13 8 ࢤ11 19 2 ࢤ1 ࢤ3 2 ࢤ1/2 3/2 4. y ࢤ 29 b) x 2. y 5.13 El área es igual al valor absoluto del determinante de la matriz 3 1 2 3 .12 7. 4.a) x 61 29 2 . Éste es igual a El volumen es igual al valor absoluto del determinante de la matriz 1 2 ࢤ3 ࢤ8 2 5 .15 28 84 . z ࢤ3 4. Éste es igual a 4. 4.16 4.17 8 -12 33 4 4.18 x 2 4.19 c 3 c 2 4.20 det 0 85 5. 5.1 a) b) c) d) 5.2 de R 3 . Calcule EL ESPACIO VECTORIAL R n a1, 0 b0, 1 a1, 0, 0, 0 b0, 1, 0, 0 c0, 0, 1, 0 d0, 0, 0, 1 a1, 2, 3 b1, 2, 3 c1, 2, 3 3a, b 3c, d Demostrar que todo plano en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorial Sugerencia Emplear una ecuación cartesiana. 5.3 En cada uno de los siguientes incisos decida si el primer vector es combinación lineal de los restantes. En caso afirmativo calcule dicha combinación lineal y diga si ésta es única. Sugerencia: En cada caso plantee un sistema de ecuaciones y vea si hay inconsistencias; si no las hay, cuente los grados de libertad. a) b) c) d) 2, ࢤ1; 1, 0, 2, 3 1, 1; 2, 1, 1, 2, 0, 1 1, 2, 3; 1, 1, 1, 3, ࢤ1, 0, 4, 0, 1 5, 8, 0, 0; 1, 2, ࢤ1, 3, 3, 4, 2, 6 5.4 En cada uno de los siguientes incisos determine si los vectores son linealmente dependientes. En caso afirmativo encuentre una combinación lineal de estos vectores que sea igual a cero sin ser trivial (es decir: con al menos un escalar distinto de cero). a) b) c) d) e) 1, 0, 1, 1 1, 0, 1, 1, 0, 0 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1 2, ࢤ1, 3, ࢤ1, 4, 2, 3, 2, 8 1, 2, 3, 4, ࢤ1, 1, 0, 1 5.5 Sean v 1 , v 2 , v 3 , v 4 vectores en R n . ¿Son los vectores v 1 ࢤ v 2 , v 2 ࢤ v 3 , v 3 ࢤ v 4 , v 4 ࢤ v 1 linealmente dependientes o independientes? 5.6 5.7 Dé un ejemplo de tres vectores en R 5 que sean linealmente independientes. Dé un ejemplo de tres vectores en R 4 que sean linealmente dependientes. 86 5.8 Encuentre un vector a, b, c tal que 2, 1, 2, ࢤ1, 3, 4 y a, b, c sean linealmente independientes. 5.9 a) b) Sean v 1 , . . . , v n vectores en R m . Determinar cuáles de las opciones: n m,n m, n m pueden pasar si v 1 , . . . , v n son linealmente independientes v 1 , . . . , v n son linealmente dependientes 2 5.10 Sea A 1 4 2 0 ࢤ1 5 1 3 ࢤ13 ࢤ1 ࢤ2 a) b) 5.11 Dé un ejemplo de un vector b, distinto de cero, tal que el sistema Ax b tenga solución. Dé un ejemplo de un vector b tal que Ax b no tenga solución. Sea B 2, ࢤ1, 4, 1, 0, k, 3, ࢤ1, 5 ¿Para qué valores de k es B una base de R 3 ? 1 2 4 0 5.12 Sea A 3 1 3 1 0 1 0 1 a) b) c) d) e) f) Calcular el rango y la nulidad de la matriz A. Determinar el espacio nulo de A e interpretarlo geométricamente. Dar una base para él. Dar una base para el espacio de renglones de A. Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de renglones de A: 2, 6, 8, 2, 4, 4, 7, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0 Dar una base para el espacio de columnas de A. Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de columnas de A: 2 ࢤ3 1 , 4 4 4 , 5 1 0 , 3 4 5 87 z 1 pertenece al plano porque ax 1 by 1 cz 1 ax 1 by 1 cz 1 0 0. 88 . La combinación lineal 8 3 0 3 ࢯ ࢤ1 2. b) 2 1 0 ࢯ 1 1 2 1 ࢯ 1 1. z 1 . El sistema es inconsistente. z 1 x 2 . 5. Este subconjunto de R 3 contiene al origen. 3b 3d Un plano en R 3 que pasa por el origen posee una ecuación cartesiana de la forma : ax by cz 0.2 a. b a. ࢤ1 es única. z 2 dos puntos cualesquiera de . Sea cualquier escalar. y 1 . 1 ࢤ 1 1. 0 ࢤ 1 3 2. x 2 .SOLUCIONES 5. d a b c. Por lo tanto es un subespacio vectorial de R 3 .1 a) b) c) d) 5. Una de ellas es: 1. z 1 z 2 es a su vez un punto de porque ax 1 x 2 by 1 y 2 cz 1 z 2 ax 1 by 1 cz 1 ax 2 by 2 cz 2 0 0 0 a la vez que x 1 . 1 3 3 1 c) 1 3 0 4 ࢯ 1 . b. luego es no vacío. Entonces ax 1 by 1 cz 1 0 y ax 2 by 2 cz 2 0. Entonces x 1 . 2 10. El vector 1.3 a) En cada inciso se indica la matriz aumentada del sistema planteado. 3a 3b 3c 3a 3c. y 1 . y 1 . z 1 x 1 . c. 2a 2b 2c. y 2 . 1 2 ࢯ 2 El sistema no tiene grados de libertad. y 1 . y 2 . z 2 x 1 x 2 . Sean x 1 . 2. 3 no es 1 ࢯ 3 1 ࢤ1 0 ࢯ 2 combinación lineal de los restantes. 3 El sistema tiene un grado de libertad. y 1 y 2 . 1 2 2. Hay una infinidad de combinaciones lineales. 0.6 5. 1. Por ejemplo. 3 ࢤ 1ࢤ1. a) nࣘm b) Cualquiera de las tres. 0. Por ejemplo el vector 1. 0. 0. 0. 1. 4. b.8 5. cuando b 2. 0. 1. 1 0 k 3 ࢤ1 5 89 . 1. El vector 5. 0. 1. 0. 0 0. 0. e es tal que ࢤ2c 5d e ࣔ 0. 0.9 5.11 B contiene tres vectores en R 3 . 2 3. Esto se cumple para todo valor de k distinto de 1 ya que el determinante de la matriz 2 ࢤ1 4 es igual a 1 ࢤ k. 1 10.1 d) 2 3 lineal de los restantes. b) Si el vector b c. 0. Los vectores 1. 5. d. 0.10 a) El vector b puede ser cualquier combinación lineal de las columnas. 2. Cualquier vector a. 2. 8 0.7 5. 0 Sí: ࢤ22. c tal que 2a 10b ࢤ 7c ࣔ 0. 0 no es combinación ࢤ1 2 ࢯ 0 No. 1 son linealmente independientes. 1.5 3 ࢯ 5 4 ࢯ 8 6 ࢯ 0 El sistema es inconsistente. 8. 2 son linealmente dependientes. b) d) Sí: 01. 0. 0. 1. 0. 0 Los vectores son linealmente dependientes porque v 1 ࢤ v 2 v 2 ࢤ v 3 v 3 ࢤ v 4 v 4 ࢤ v 1 0 Los vectores 1. 0. el sistema Ax b no tiene solución. 1. 0 01. 1.4 a) c) e) 5. 5. 0. ࢤ1. una solución del sistema es x 1. 5. 2. 2. No. No. luego B constituye una base de R 3 si y sólo si estos vectores son linealmente independientes. 0. 1. 0. 0. ࢤ1. Por ejemplo para b 2. 3 Constituye una recta en R 4 que pasa por el origen.12 a) El rango de A es igual a 3 La nulidad de A es igual a 1. 3 b) c) d) e) Por ejemplo B 1. X tࢤ2. 4. Una base para este espacio es ࢤ2. 1. 0. 1. 4 3 0 90 . 2. 3. 2. ࢤ3. ࢤ3. Por ejemplo 1 B 3 0 f) Todos. 1. 1 Solamente los primeros dos. 0.5. 2 1 1 . 0. 2. 3. . . ORTOGONALIDAD 6. 3. ¿Cuáles son ortogonales? 1. 1. 0. . 2 1.7 ¿Cuál es la proyección de a 1 .6 ¿Qué múltiplo de 1. 1. 1. 2. 4. 4. 1. 1. 2. 1.8 En cada uno de los incisos siguientes encuentre la recta que mejor se ajusta a los puntos dados y calcule el vector de errores.6. 7 b) 1. 0. 9. 4? ¿Cuál es el punto en la línea que pasa por 2. 4. ࢤ 3 . 4. 1 1. 0. 1. 2. 1 b) ࢤ3.1 a) c) e) 6. 0. 1. 0 y exprésela como combinación lineal de las columnas de 91 . 6. .3 Dé un ejemplo de dos vectores en R 2 que sean linealmente independientes pero no ortogonales entre sí. 1. 4. 2. Para cada una de las igualdades que no son ciertas en general dé un contraejemplo. 0 c) ࢤ1. 1? 6. a) c) 6. 8. 3. 1 6. 3.5 ߠv ߠ ߠv ߠ ߠv ߠ 2 ߠv ߠ b) d) ߠv ߠ | |ߠv ߠ ߠv ߠ 2 ߠv ߠ Encuentre todos los vectores que son ortogonales a 1. 0. la recta encontrada e interprete el vector de errores. 3. ࢤ2/3. 1 es el más cercano a 2. ࢤ1. 1 y a 2. Grafique los puntos. 7 Calcule el producto punto de los siguientes pares de vectores. 4 y el origen que está más cercano a 1. 1 d) 1. 2. . 0. 1. 2. a n sobre el vector 1. También calcule la proyección del vector 4. 2. 1 b) 1. 4. Decida cuál de las siguientes igualdades es verdadera y demuéstrela. ࢤ2. 0. 4. 1. 8.4 Sea v ࢠ R n un vector y sea un escalar.2 a) c) Calcule la norma de los siguientes vectores: 1. 5. 1. 4. 1. 0. 1/4 6. . 1. 0. 2. a) 0. 3. 6. . 1. 2. 7. 3.9 Encuentre la línea que mejor se ajusta a los puntos ࢤ2. 1? 6. 0 2 4. 2. 1.12 Encuentre la parábola y x x 2 que mejor se ajusta a los puntos ࢤ2. 0. 0. ࢤ1. 0. Mes (X) -1 0 1 2 No. .. 0. de pacientes (Y) 0 0 10 20 a) Utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar la recta que mejor se ajusta a estos datos. ࢤ1. 1. 0. b 1 .. 6. b) ¿Cuántos pacientes espera curar el hospital en el mes 4? 6. 2. ࢤ1. 0. el promedio de las mejor se ajusta a los puntos a 1 . 3.14 Encuentre el polinomio de grado tres y x x 2 x 3 que mejor se ajusta a los puntos ࢤ1. 0 6. 2.16 Un distribuidor compra grandes cantidades de refacciones para autos. b m está dada por c b 1 . 0. 6. 1. 2. 2. 0. 6. 1.11 Utilizando el método de mínimos cuadrados encuentre el plano z x y que mejor se ajusta a los puntos 0. 1. .15 Un hospital somete a algunas víctimas de quemaduras graves a un tratamiento nuevo. 0. 2 b) 0. 2. 2. ¿Es este plano único? Justifique su respuesta.1 ࢤ2 A 1 ࢤ1 1 1 0 2 6. ࢤ1. 2. 2. 0. 6. a m . 0. ࢤ1. 1. 1.10 Encuentre el plano z x y que mejor se ajusta a los puntos a) 0. 0. 0. m ordenadas de los datos. 0. 0. 0. 0. 0. 0. La siguiente tabla muestra los resultados obtenidos. 1. 1. 0. . .13 Utilizando el método de mínimos cuadrados demuestre que la línea horizontal y c que b m . 0. El observa que el 92 . 5 millones de pesos.17 El dueño de una empresa quisiera pronosticar cuál será el Indice Nacional de Precios al Consumidor en los siguientes meses para saber si le conviene o no firmar un contrato. c) Grafique el resultado en la misma gráfica de (a).costo depende cuadráticamente del número de cajas que compra. h ࢤ2. 0. del hiperplano en R n que pasa por el punto dado. 5. 3. b) Decida. De experiencia anterior obtiene la tabla siguiente: No. Ajuste la más conveniente usando el método de mínimos cuadrados. y que es ortogonal a la dirección dada: a) A 2. 1.18 En cada uno de los siguientes incisos calcule la ecuación cartesiana X h A h. ࢤ1 c) A 0. d) Si al dueño de la empresa le aseguran que el gasto del gobierno en el mes de noviembre será de 2. 2. Para establecer dicha función cuenta con la siguiente información: Mes Enero Febrero Marzo Abril INPC 99 110 220 330 Gasto del gobierno 1 1 2 3 a) Grafique los datos anteriores tomando al INPC como variable dependiente y al gasto como variable independiente. h 1. de cajas 0 0 1 1 2 Costo Total $10 $20 $30 $20 $50 a) b) Encuentre su función de costo. En el radio oye que los cambios en dicho índice están fuertemente ligados a los cambios en el gasto del gobierno y piensa que si pudiera establecer una función entre estas dos series de datos podría obtener los pronósticos que necesita. 0. al analizar los datos. Estime el costo que corresponde a 3 cajas. ࢤ1 93 . 6. 2. ¿ cuál será el valor del Indice Nacional de Precios al Consumidor en ese mes? 6. 4 b) A 1. h ࢤ10. 1. si la forma de la función que se va a establecer es lineal o cuadrática. 1. 2. 1. 1. 4. ࢤ1. 2. 1 b) 2. 3.19 Grafique las regiones en el plano definidas por los conjuntos de desigualdades dados en los incisos siguientes: a) x ࣙ 0. z ࣙ 0 b) 94 . 0. 1. y ࣙ 0 e) x 2y ࣘ 2 xy ࣙ 3 yࣙ0 f) ࢤxy ࣘ 1 yࣘ2 x. 3. 0. 0. y ࣙ 0. y ࣙ 0 6. 2. h 1.21 Grafique las regiones en el espacio definidas por los siguientes conjuntos de desigualdades: a) x ࣙ 0. 3 c) 0. a) 1. 0. y ࣙ 0 b) 2x y ࣘ 5 2x ࢤ y ࣙ ࢤ2 xࢤy ࣘ 1 x y ࣙ ࢤ1 c) 2x ࢤ y ࣘ 5 ࢤ x y ࣙ ࢤ2 yࣘ3 x. 3.20 Utilice desigualdades lineales para definir los polígonos cuyos vértices se dan a continuación. 1. 0. 0. 0. 1.d) A 0. y ࣙ 0 d) xy ࣙ 2 ࢤxy ࣙ 1 yࣘ3 x. 3 6. 0 6. 1. 1. 5. 0. ࢤ2. y. z ࣙ 0 c) d) e) Las desigualdades del inciso (b) y además x y z ࣘ 5. ࢤxz ࣘ 2 3x y 2z ࣘ ࢤ4 x. y. y.xࣘ2 yࣘ2 zࣘ2 x. Las desigualdades del inciso (b) y además x y ࣘ 3. z ࣙ 0 f) xy ࣘ 1 x. z ࣙ 0 95 . 8 a) 10/3.2 a) 7 b) ࢤ6 c) 12 Como el producto punto no es cero ninguna de las tres parejas de vectores es ortogonal. a 3 s. a 4 t 6.4 Los vectores 1.7 6. 10/3 b) 5/9.ࢤ 4 . 3 . ߠv ߠ 2 v v 2 2 v v Falso v 1. a 2 . 10/9. a 4 que satisfacen simultáneamente: a 1 4a 2 4a 3 a 4 0 2a 1 9a 2 8a 3 2a 4 0 La solución general de este sistema de ecuaciones es: a 1 ࢤ4s ࢤ t.ࢤ 1 .3 6.9 y ࢤ 36 35 x 97 35 El vector proyección es p 133 . ࢤ1. ࢤ2 Verdadero. 2 96 . 35 . 5 6 3 6 x 3 1 E 14 ..SOLUCIONES 6. 2 2 2 2 v v | |ߠv ߠ 6. 6.ࢤ 1 5 5 5 5 6. 0. 0.. ࢤ 14 7 ࢤ 3 5 x E 2 . 10/3. . 1 ࢤ 36 35 ࢤ2. 61 35 . 1. 1. 1.1 a) d) 2 2 21 2 b) e) 3 3 6 2 2 c) 2 35 6. . 0. a 3 .ࢤ 5 . a 2 0. 0 y 1. a) b) c) d) Falso. 1 son linealmente independientes pero no ortogonales entre sí. ࢤ 11 35 61 35 1. 10/9 a 1 . . 4 Falso v 0. v 1. 0. . 1 n a) b) c) y ࢤ5 6 y y 61 35 68 21 6 5 7 2 x 19 42 E 5 .a n 1.6 6.5 Son todos los vectores a 1 . El resultado es una recta y no un polinomio de grado 3 porque los puntos dados son colineales. Por eso la solución no es única. t. En este caso hay una infinidad de soluciones. .18 a) ࢤ10x 4y 0 c) ࢤ2x 1 x 3 ࢤ x 4 ࢤ1 b) d) x y ࢤ z ࢤ1 x 1 ࢤ 2x 2 ࢤ x 3 5x 4 3x 5 0 97 .6. Si y denota el INPC y x denota el gasto del gobierno. La solución general del sistema anterior es: 0. es decir. 6. b m 6.15 6. 6.14 y 0. Nota: en este caso la solución no es única porque los cuatro puntos son colineales.12 6. 1 ࢤ t.13 y ࢤ2 ࢤ 3 2 5 x 2 3 x2 Aplicando el método de mínimos cuadrados llegamos al sistema de ecuaciones mc b 1 . 6.16 a) a) y 7x 4 y 15 2. 5x 7. Así para cualquier valor de t en el plano z 1 ࢤ tx ty es una posible solución dada por el método de mínimos cuadrados. . están contenidos en una línea recta.11 El plano no es único. 50 aproximadamente.10 a) z1 b) z 2 3 ࢤ 1 3 x 6. 5x 2 b) b) 32 pacientes $ 90 aproximadamente 6. entonces y ࢤ8 113x El INPC para noviembre será 274.17 La función es lineal. Al intentar resolver el problema utilizando mínimos cuadrados obtenemos el sistema de ecuaciones 4 2 2 2 6 6 2 6 6 2 6 6 Las columnas de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes. 6.19 a) 98 . c) 99 . d) e) f) La región es vacía 100 . 6.20 a) xࣘ3 yࣘ1 xࢤy ࣙ 1 yࣙ0 b) yࣙ1 2x ࢤ y ࣙ 3 2x y ࣘ 9 c) ࢤxy ࣘ 1 xy ࣘ 3 ࢤ x y ࣙ ࢤ1 x, y ࣙ 0 6.21 a) La región es todo el primer octante. b) 101 c) 102 d) e) f) La región es vacía. Prisma vertical y no acotado en el primer octante. 103 104 . y ࣙ 0 b) Min ࢤ 5x ࢤ y s. y ࣙ 0 7. a) Min x ࢤ y s.a 3x y ࣘ 7 ࢤ x ࢤ y ࣙ ࢤ3 ࢤ x ࢤ 2y ࣙ ࢤ5 x.a.a.2 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de minimización en forma canónica. x y ࣙ 4 x 2y ࣘ 10 x. y ࣙ 0 c) Min x 4y s.1 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de maximización en forma canónica. a) Max 2x 2y s. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL 7.7.a. 2x y ࣘ 4 ࢤ x ࢤ 2y ࣙ ࢤ5 x. y ࣙ 0 105 . x y ࣘ 7 xy ࣙ 5 xࣘ4 ࢤ y ࣙ ࢤ4 x. b) Construya una función objetivo que alcance su máximo simultáneamente en los puntos 3.4 Considere la región factible del ejercicio 6. y ࣙ 0 c) ࢤ 3x y 106 .a.5 gráfico. y ࣙ 0 b) Max s. ࢤxy ࣘ 2 yࣘ4 x. 0.b) Max x 3y s.3 Resuelva los programas lineales de los ejercicios 7. a) Construya una función objetivo que alcance su máximo solamente en el punto 4.a.a.1 y 7.19. ¿Hay otros puntos de la región factible en los cuales la función construida alcanza el máximo? 7. 3. 1 y 2. a) ¿Tienen solución óptima los siguientes programas lineales? ¿Por qué? Utilice el método Max 3x 4y s.2 usando el método gráfico.a ࢤ x y ࣘ 2 yࣘ4 x. y ࣙ 0 c) Max 2x 7y s. 2x 5y ࣘ 8 4x 6y ࣙ 11 x. y ࣙ 0 7.c. 7. x 2y ࣙ 3 4x ࢤ y ࣘ 6 x. xࣘ2 yࣘ2 zࣘ2 xy ࣘ 3 x.Max x ࢤ 2y s.a.6 Resuelva cada uno de los siguientes programas lineales usando el método simplex. a) Max 3x y s. z ࣙ 0 107 . y ࣙ 0 7.a. xࣘ5 yࣘ4 xࢤy ࣘ 3 x. y ࣙ 0 b) Max 6x 3y s. y.a. xy ࣘ 4 2x y ࣘ 6 x.a.a. x 2y ࣘ 2 ࢤ x ࢤ y ࣘ ࢤ3 x. y. Grafique la región factible y dibuje la trayectoria simplex del origen al punto óptimo. xࣘ2 yࣘ2 zࣘ2 xyz ࣘ 5 x. z ࣙ 0 d) Max y 3z s. y ࣙ 0 c) Max x 2y 3z s. 2 y 8 unidades cuadradas de hoja de pino. pino y caoba.9 Una compañía mueblera fabrica tres tipos de libreros: el "intelectual". pino y caoba.Si la utilidad obtenida al vender los productos A. z ࣙ 0 ࢤ x 2y ࢤ 3z 7. y. 6 de pino y 4 de caoba. Cada librero es elaborado utilizando tres tipos de madera: roble. 108 . y ࣙ 0 b) Max s. roble y caoba. Para ser manufacturado cada producto requiere cierto tiempo (en horas) en cada una de las dos máquinas.3 y 5 pesos por unidad respectivamente. El librero tipo "juvenil" requiere respectivamente 1. ¿cuál debe ser la producción semanal que maximiza las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima? 7. El tiempo requerido está resumido en la siguiente tabla: Máquinas 1 A Producto B C 1 2 2 2 1 1 2 La máquina 1 está disponible 40 horas a la semana y la 2 está disponible 34 horas a la semana. ¿Cómo podemos saber ésto usando el método simplex? a) Max 3x y s. el "juvenil" y el "ejecutivo".a.7 En los siguientes programas lineales la región factible es no acotada y la función objetivo no alcanza su máximo. 4 y 3 unidades cuadradas de hoja de roble.7.a. B y C es de 2. Y el librero tipo "ejecutivo" requiere respectivamente 2. ࢤ 2x y ࣘ 1 xࢤy ࣘ 2 x. xࣘ3 zࣘ1 x 3z ࣘ 3 x.8 Un gerente de producción está planeando cómo distribuir tres productos en dos máquinas. El librero tipo "intelectual" requiere 2 unidades cuadradas de hoja de roble. $60 por silla y $90 por mesa. $5 y $40.000 kilos de duraznos y 8.000 kilos de cerezas. ¿cuántos archiveros.000 dólares la tonelada de cada una de estas mezclas.15 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases.000 dólares. La segunda combinación contiene cantidades iguales de cada fruta. Si el agricultor tiene sólo 800 latas y dispone de un capital de 12. La "cosecha" debe ser almacenada en latas especiales. ¿cómo debe distribuir su cosecha para maximizar su ganancia? 7. debe tener al menos tanta soda como la cantidad total de jarabe y crema combinados.11 Una compañía que produce frutas mezcladas tiene en almacén 10. ¿Cuántas latas de cada combinación deberán producirse con el objeto de maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? 7.13 Jimmy Carter tiene almacenadas 121 toneladas de cacahuate y 49 toneladas de nuez de la India. $4 y $5 respectivamente. 12. una hora para hacer una silla y cuatro horas para hacer una mesa.14 Un empleado de una tienda de helados quiere crear la combinación más rica en calorías que quepa en un vaso de 12 onzas. sillas y mesas debe fabricar para maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima? 7. La compañía produce tres mezclas de frutas. 10 sillas y 3 mesas a la semana. Produce dos mezclas.000 y 8. ¿Cuántas onzas de cada ingrediente debe usar? ¿Cuántas calorías tendrá el producto? 7. El fabricante estima que no podrá vender más de 15 archiveros. jarabe 75. Las ganancias por lata vendida de cada combinación son de $3. crema. "juvenil" y "ejecutivo" es respectivamente de $20. Además él no quiere trabajar más de 30 horas a la semana. La primera combinación contiene la mitad de peras y la mitad de duraznos. mientras que por cada hectárea de cacao sólo se llenan 8 latas. La tercera combinación tiene la mitad de duraznos y la mitad de cerezas.000 kilos de peras. Los gastos son de 120 dólares por hectárea de café y de 480 dólares por hectárea de cacao.10 Un agricultor tiene 31 hectáreas donde siembra café y cacao.La ganancia por librero vendido de los tipos "intelectual". Si sus ganancias son de $25 por archivero. Cada hectárea de café produce una ganancia de 400 dólares y cada hectárea de cacao produce una ganancia de 500 dólares. Si vende a 5. 600 unidades de pino y 300 unidades de caoba. que vende en latas de un kilo. soda y helado. respectivamente. ¿cuántos libreros de cada tipo se deberán fabricar para maximizar la ganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima? 7. La barata consta de 80% de cacahuate y de 20% de nuez. 109 . En cada caso grafique la región factible y la trayectoria simplex. Para que se vea como soda y sepa a soda la mezcla no debe contener más de 4 onzas de helado.12 Un fabricante de muebles necesita una hora para hacer un archivero. y no más de una onza más de jarabe que de crema. ¿ qué cantidades de cada mezcla debe producir para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo? 7. Si la compañía dispone en sus bodegas de 100 unidades cuadradas de hoja de roble. El número de calorías por onza en cada uno de los ingredientes es. Los ingredientes son jarabe. La soda no contiene calorías. Por cada hectárea de café se llenan 32 latas. mientras que la mezcla de lujo consta de 30% de cacahuate y de 70% de nuez. crema 50 y helado 40. xyz 6 ࢤ x y 2z 4 zࣘ2 x.a. En caso necesario transforme el programa lineal en uno equivalente de maximización y use el método simplex. xࢤz ࣘ 5 2x y ࣘ 3 x. z ࣙ 0 7.a. xy ࣘ 4 2x 3y ࣙ 18 x. a) Max 3x ࢤ y s.a 3ࣘxࣘ5 xࢤy ࣘ 2 x 2y ࣘ 13 x. y. y ࣙ 0 b) Max 2x 4y s. 2 ࣘ y ࣘ 3 xࣙ1 xy ࣘ 5 x.a. y ࣙ 0 b) Min ࢤ x 2y ࢤ 3z s. z ࣙ 0 110 .16 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases.a.17 a) Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales: Max 3x 2y ࢤ z s. y ࣙ 0 7.a) Max x 5y s. y. 18 a) Resuelva los siguientes ejercicios utilizando dualidad.a. y ࣙ 0 c) Min 3x 4y 6z s.a. 3x ࢤ y ࣙ 3 x y ࣙ ࢤ8 yࣙ5 xࣙ3 x.a. y ࣙ 0 b) Min 2x 3y s. Min 5x 3y s. 2x y ࣙ 1 x 2y ࣙ 1 xy ࣙ 3 x. x 2z ࣘ 5 w 3y ࣘ ࢤ2 w. z ࣙ 0 7. y. y.a.b) Min x ࢤ y s. y ࣙ 0 c) Max w 2x ࢤ y ࢤ z s.a. 4x 7y z ࣙ 3 x 3y 5z ࣙ 7 2x y 4z ࣙ 10 x. z ࣙ 0 111 . x. 2x y ࣙ 1 x 2y ࣙ 1 x. ella planea dedicar al ciclismo por lo menos el mismo tiempo que le dedicará al trote y la natación combinados.23 El dietista del Reclusorio Sur planea el menú para los desayunos. así como su costo: 112 . El desayuno incluye pan. si quiere quemar en total al menos 3000 calorías semanales en el menor tiempo posible? 7. Pero El Universal es más popular que Excélsior entre los no suscriptores.19 Resuelva el siguiente ejercicio utilizando dualidad: Un fabricante produce dos alimentos a base de carbohidratos y proteínas.000 lectores si aparece en El Universal. Un kilo de bistec cuesta $15 y proporciona 500 gramos de proteínas. La siguiente tabla proporciona las cantidades de vitamina A. Un kilo de carne de caballo cuesta $10 y proporciona 600 gramos de carbohidratos y 100 gramos de proteínas. carne de caballo e hígado.000 no suscriptores de El Universal. Se estima que el requerimiento mínimo diario de un perro promedio es de 600 gramos de carbohidratos y 300 gramos de proteínas. El anuncio en Excélsior le cuesta $60. frijoles y huevo. Además quiere nadar al menos dos horas por semana. ¿Qué combinación de las tres carnes deberá elegir el fabricante de manera que se satisfagan estos requerimientos a un costo mínimo? ¿Cuál será este costo? 7. Un kilo de hígado cuesta $25 y proporciona 400 gramos de carbohidratos y 300 gramos de proteínas. éste será leído por 300.21 Un fabricante quiere producir latas de comida para perros. B y C que tiene cada porción de cada uno de estos alimentos. Si en el trote consume 600 calorías por hora.000 no suscriptores de Excélsior y por 400.20 Una mujer quiere elaborar un programa semanal de ejercicios. Cada kilogramo del segundo alimento cuesta $10 y contiene un 60% de carbohidratos.22 El gerente de Aurrerá desea anunciarse en Excélsior y en El Universal. 200 unidades de vitamina B y 210 unidades de vitamina C. en el ciclismo 300 calorías por hora y en la natación 300 calorías por hora. éste será visto por 200.000 lectores si aparece en Excélsior y por 100. Las carnes disponibles para la elaboración de este producto son bistec. Desea que el contenido de una lata satisfaga el requerimiento mínimo diario de carbohidratos y proteínas de un perro promedio.7.000 diarios y en El Universal $50. ciclismo y natación. el cual incluirá trote. ¿Cuántos días debe colocar el anuncio en cada diario para que su costo sea mínimo? 7. El gerente ha determinado que el anuncio debe ser visto al menos por 5 millones de suscriptores y al menos por 9 millones de no suscriptores. ¿Qué cantidades de estos dos alimentos proporcionan dos kilos de carbohidratos y un kilo de proteínas a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo por kilo de esta mezcla? 7. Se tiene interés en proporcionar por lo menos 290 unidades internacionales de vitamina A. ¿cuántas horas deberá dedicar a cada tipo de ejercicio. de tal suerte que por cada día de permanencia del anuncio. Entre los suscriptores de dichos periódicos se estima que por cada día de permanencia del anuncio.000 diarios. Cada kilogramo del primer alimento cuesta $5 y contiene un 90% de carbohidratos. A fin de variar el ejercicio. 3x ࢤ y ࣙ ࢤ2 xy ࣘ 9 x ࢤ y ࣙ ࢤ1 x. y ࣙ 0 7. y ࣙ 0 7.a.a.27 Minimizar C 2x y s.24 Maximizar P 10x 12y s.26 Maximizar Z 7x 3y s.Vitaminas Costo A Pan Frijoles Huevo 50 30 20 B 20 10 30 C 10 50 20 $10 $15 $12 ¿Cuántas porciones de cada alimento se deben dar para obtener la dieta más barata que satisfaga los requerimientos nutritivos arriba mencionados? Ejercicios de Repaso 7. y ࣙ 0 113 . 3x y ࣙ 3 4x 3y ࣙ 6 x 2y ࣙ 2 x.25 Maximizar P 5x 6y s. y ࣙ 0 7.a. x y ࣘ 80 3x 2y ࣘ 220 2x 3y ࣘ 210 x.a. x y ࣘ 60 x ࢤ 2y ࣙ 0 x. Existen dos posibles diseños para las cámaras principales de reacción que se incluirán en la planta. 1 hr. junto con los costos por tonelada de las minas: Mina I Mineral A Mineral B Costo por tonelada 100 lb 200 lb $50 Mina II 200 lb 50 lb $60 Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B. 70 horas. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes.80 por unidad. para la B. Cada cámara de tipo A cuesta $600.29 Formulación de dieta.31 Costo de construcción. Máquina B 1 hr. ¿cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo?¿cuál es el costo mínimo? 7. Si las utilidades en cada muñeca y cada soldado son de $4 y $6. con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue: Máquina A Muñecas Soldados 2 hrs. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. P 1 y P 2 .7. 3 hrs.28 Producción para utilidad máxima. muñecas y soldados. para acabado. Por ejemplo. el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Acabado 1 hr. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas. 90 horas. El número de libras de los minerales A y B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina I y II se dan en la tabla siguiente. La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P 1 y 420 unidades de P 2 cada día. respectivamente. 1 hr. cada muñeca requiere de 2 horas en la máquina A.30 Extracción de minerales.20 por unidad y el B $0. ¿cuántos juguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad? ¿cuál es esta utilidad máxima? 7. Si el alimento A cuesta $1. Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la máquina A.000 y es capaz de producir 10 unidades de P 1 y 20 unidades de P 2 por día. el tipo B es un diseño más 114 . Una compañía extrae minerales de una mina. ¿cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿cuál es el costo mínimo? 7. 40 horas. Una compañía química está diseñando una planta para producir dos tipos de polímeros. Ambas corporaciones envían 115 . A causa de los costos de operación. x 1 x 2 ࣘ 1 x 1 ࢤ 2x 2 ࢤ x 3 ࣙ ࢤ2 x1. x3 ࣙ 0 7. 2x 1 x 2 ࣘ 8 2x 1 3x 2 ࣘ 12 x1. es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta.33 Flete por envío.a. Una compañía de fletes maneja los envíos de dos corporaciones. A y B. B envía cajas de 1 pie 3 que pesan 5 lb cada una.32 Utilice el método simplex para resolver los problemas siguientes: a) Maximizar Z x 1 2x 2 s.a. ¿ Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que existe un costo mínimo. x2 ࣙ 0 c) Maximizar Z 8x 1 2x 2 s. x2 ࣙ 0 b) Maximizar Z ࢤx 1 3x 2 s. que están ubicadas en la misma ciudad. cuesta $300.a.) 7.a. La corporación A envía cajas que pesan 3 lb cada una y tienen un volumen de 2 pies 3 . x 1 x 2 ࣘ 6 ࢤ x1 x2 ࣘ 4 x1. 4x 1 3x 2 ࢤ x 3 ࣘ 1 x 1 x 2 ࢤ x 3 ࣙ ࢤ2 ࢤ x 1 x 2 x 3 ࣙ ࢤ1 x1. x3 ࣙ 0 e) Maximizar W x 1 ࢤ 12x 2 4x 3 s.económico. x2. x2.a. x2 ࣙ 0 d) Maximizar Z 2x 1 x 2 ࢤ x 3 s.000 y es capaz de producir 4 unidades de P 1 y 30 unidades de P 2 por día. x 1 ࢤ x 2 ࣘ 1 x 1 2x 2 ࣘ 8 x1. mecedora y sillón se vende en $21. Si el gobierno le permite a la planta descargar no más de 10. La compañía de fletes tiene un camión con capacidad de carga de 2400 pies 3 y una capacidad máxima de 36. para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria? SOLUCIONES 7.a. Cada silla. El costo de transporte para cada caja de A es $0.34 Producción. El proceso anterior descarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico producido. Cada uno requiere madera. ¿Cuál es el ingreso máximo? 7. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse.1 a) Max 2x 2y s.¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente . $24 y $36. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas. 2x y ࣘ 4 x 2y ࣘ 5 x. ¿cuántas cajas desde cada corporación debe transportar este camión de modo que el ingreso de la compañía de fletes sea máximo? ¿cuál es el ingreso máximo? 7.500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30. determine la producción para que el ingreso total sea máximo.000 gramos de partículas a la atmósfera cada día.75 y para B es $0. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro producido. respectivamente.al mismo destino. En un acarreo.50. respectivamente. y ࣙ 0 b) 116 .35 A causa de las reglamentacion es federales nuevas sobre la contaminación una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior para la producción de un producto químico en particular.800 lb. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo. por cada uno de los procesos. 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. mecedoras y sillones. plástico y aluminio. como se muestra en la tabla siguiente: Madera Silla Mecedora Sillón 1 unidad 1 unidad 1 unidad Plástico 1 unidad 1 unidad 2 unidades Aluminio 2 unidades 3 unidades 5 unidades La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera. y ࣙ 0 b) Min ࢤ x ࢤ 3y s. 3x y ࣘ 7 xy ࣘ 3 x 2y ࣘ 5 x. y ࣙ 0 7.Max 5x y s. 1 Valor objetivo óptimo 6 ࢤ 35 3 8 117 . y ࣙ 0 c) Min ࢤ 2x ࢤ 7y s.3 Ejercicio 7. 2 . x 2y ࣙ 3 ࢤ 4x y ࣙ ࢤ6 x. y ࣙ 0 ࢤ x ࢤ 2y ࣙ ࢤ10 ࢤ x ࢤ 4y 7.1 (a) (b) (c) Punto óptimo 1.a.a.a.a.a. xy ࣘ 7 ࢤ x ࢤ y ࣘ ࢤ5 xࣘ4 yࣘ4 x. ࢤ 2x ࢤ 5y ࣙ ࢤ8 4x 6y ࣙ 11 x. xy ࣙ 4 x. y ࣙ 0 c) Max s.2 a) Min x ࢤ y s. 0 7 3 4. 0 y 3. La solución es múltiple: 25t. 0 ó 2. 2 1. 7. 5 8 4 ࢤ5 21 2 a) z x ó z x y. 4 3.10 Se deben sembrar: 8 hectáreas de café 23 hectáreas de cacao La ganancia máxima será de 14. Sí: todos los puntos que pertenecen al segmento de recta que une a los puntos 2.5 libreros del tipo ejecutivo o se pueden producir 25 del tipo intelectual. 2 ࢤ 2t con 0 ࣘ t ࣘ 1 7. 1. 2 con valor objetivo óptimo igual a 2. 5 el problema es no acotado 7 .700 dólares. ningún juvenil y 25 del tipo ejecutivo.9 Se deben producir exclusivamente 37. 5 ࢤ 12. 2 0.4 0. 0. 2. No: la región factible es vacía. 7.7 En la tabla del método simplex existe un valor positivo en el renglón z bajo el cual no hay valores positivos (y por consiguiente no hay pivote en esa columna). 7. 2. por ejemplo b) z x ࢤ y por ejemplo. En (b). En el inciso (a) ésto sucede después de la primera iteración.5 a) b) c) No: el problema es no acotado Sí: en 0. 2 Valor objetivo óptimo 19 18 11 8 En realidad la solución es múltiple: 2 t.2 (a) (b) (c) 7.6 Inciso (a) * (b) (c) (d) *(b) Punto óptimo 5. 5t con 0 ࣘ t ࣘ 1 La ganancia será de $1500. 7. 37. 118 . sucede al comienzo.8 Se deben producir: 0 unidades de A 6 unidades de B 14 unidades de C La utilidad máxima será de $88.7. 7. 4 De hecho son óptimos todos los puntos que pertenecen al segmento de recta que une a los puntos 3. Debe usar: 2.14 7. Deben fabricar: 15 archiveros 10 sillas 1.25 mesas La ganancia máxima será de $1087.5 onzas de jarabe 1. El punto óptimo es 2.7.5 onzas de crema 4 onzas de soda 4 onzas de helado El máximo número de calorías será 422.000. 2.12 7.16 a) b) La región factible es vacía. 5 y 5. 2.5. 3.17 a) Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales: 119 . Un punto óptimo es 5.50 Debe producir: 140 toneladas de la mezcla barata 30 toneladas de la mezcla de lujo El ingreso máximo será de 940. 4 7.13 7. 7.000 dólares. 7. a) b) El valor objetivo óptimo es 17.11 Se deben producir: 8000 latas de la primera combinación 18000 de la segunda combinación y 4000 de la tercera La ganancia máxima será de $116.15 El valor objetivo óptimo es 26. El valor objetivo óptimo es -4 y se alcanza en el punto 2. 67 2 3 7 3 7. w2 ࣙ 0 7.19 Punto óptimo Valor objetivo óptimo 0. w1 2w2 ࣙ 3 w2 ࣙ 2 ࢤ w1 ࣙ ࢤ1 w1 . 1/3 5/3 11/3. 3w 1 w 2 w 4 ࣘ 1 ࢤ w1 w2 w3 ࣘ ࢤ1 w1 .20 Deberá realizar: 2 horas de trote 4 horas de ciclismo 2 horas de natación El tiempo mínimo será de 8 horas.21 .a. 2/3 15 Las cantidades son: kg del primer alimento kg del segundo alimento El costo mínimo será de $26. 0. Cada lata debe contener: 120 7. w2 . w3 . w2 ࣙ 1 w1 ࣙ 2 3w2 ࣙ ࢤ1 2w1 ࣙ ࢤ1 w1 .Min 5w1 3w2 s.a. w4 ࣙ 0 c) Min 5w1 ࢤ 2w2 s.a.18 Inciso (a) (b) (c) 7. w2 ࣙ 0 b) Max 3w1 ࢤ 8w2 5w3 3w4 s. 3 9 1/3. 0. La dieta debe constar de: 3 porciones de pan 2 porciones de frijoles 4 porciones de huevo El costo mínimo será de $108.000 7.28 15 muñecas 25 soldados Utilidad $ 210 7.26 x 9 y 0 Z 63 7.22 Debe colocar el anuncio: 22 días en El Excélsior 6 días en El Universal El costo mínimo será de $1’620. 7. 4 unidades de Alimento B .32 a) x 1 0 x2 4 121 .4 kg de bistec 1 kg de carne de caballo 0 kg de hígado El costo mínimo será de $16.600.27 x 3/5 y 6/5 C 12/5 7.31 6 Cámaras Tipo A 10 Cámaras Tipo B Costo Mínimo $ 6.23 7.24 x 40 y 20 P640 7. 7.25 x 30 y50 P 450 7. Costo Mínimo $8 7.000.30 10 toneladas Mina I 10 toneladas Mina II Costo Mínimo $ 1.29 4 unidades de Alimento A.100 7. 35 Proceso Anterior 0 litros Proceso Nuevo 1500 litros Utilidad $300 122 .Z8 b) x 1 1 x2 5 Z 14 c) x 1 10/3 x 2 7/3 Z 94/3 d) x 1 1 x2 0 x3 0 Z2 e) x 1 1 x2 0 x3 1 Z 13 7.33 0 cajas de A 2400 cajas de B Ingreso $ 1.200 7.34 0 sillas 300 mecedoras 100 sillones 7. expresan las raíces de los polinomios en función de los coeficientes. Verifique que si A es una matriz 2x2. Es muy fácil calcular las raíces de un polinomio de grado 2 de la forma ax 2 bx c. Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico.1 a) Calcule el polinomio característico de cada una de las siguientes matrices: 1 4 b) ࢤ7 ࢤ2 2 ࢤ3 1 ࢤ2 5 13 c) ࢤ2 ࢤ5 d) 0 3 0 0 6 3 7 4 e) 9 ࢤ15 0 8 f) 0 1 0 1 ࢤ2 0 h) ࢤ3 1 ࢤ1 0 ࢤ1 2 ࢤ1 0 ࢤ1 1 5 g) 8 13 a i) 0 0 2 0 2 ࢤ7 ࢤ2 5 ࢤ3 4 b 0 c 0 0 4 j) 5 4 2 4 5 2 2 2 2 ࢤ7 ࢤ2 0 k) 2 0 0 ࢤ3 0 0 0 1 1 ࢤ2 8.8. su aplicación. VALORES Y VECTORES PROPIOS 8. respectivamente. es mucho más laboriosa.2 Para matrices 2x2 hay una fórmula sencilla para calcular el polinomio característico. utilizando la conocida fórmula x 2a Para polinomios de grado tres y cuatro las fórmulas de Cardano y Ferrari. Un teorema profundo de Abel nos dice que para polinomios de grado mayor o igual a cinco no existe una fórmula como las anteriores. 123 ࢤb 2 b 2 ࢤ4ac . sin embargo. Estas fórmulas requieren operaciones elementales y extracción de raíces. entonces su polinomio característico es igual a 2 ࢤ trA det A Comentario. como Mathematica. Estos nos dan aproximaciones de las raíces. 8.4 Calcule la multiplicidad algebraica y la geométrica de los valores propios de las matrices del ejercicio 8. Hoy en día existen paquetes de cómputo muy sofisticados.7 Despeje A de la fórmula S ࢤ1 AS D del ejercicio anterior y explique porqué A k SD k S ࢤ1 Con esta fórmula calcule la k-ésima potencia de las matrices del ejercicio 8.1 incisos (a). 124 .6. En caso afirmativo encuentre una matriz invertible S y una matriz diagonal D tales que S ࢤ1 AS D a) 1 4 b) ࢤ7 ࢤ2 2 ࢤ3 1 ࢤ2 5 13 c) ࢤ2 ࢤ5 d) 1 ࢤ4 0 1 0 0 4 ࢤ7 ࢤ2 0 e) 3 1 ࢤ1 1 f) 2 0 0 ࢤ3 0 0 0 1 1 ࢤ2 8. incisos (a). (b) y (f). Calcule. (d)-(h).La carencia de una fórmula explícita propició el desarrollo de diversos métodos numéricos. 8.3 Calcule los valores propios de las matrices del ejercicio 8. en cada caso. tan buenas como se necesiten.5 Las siguientes matrices tienen a 11 como valor propio con una multiplicidad algebraica igual a tres. También encuentre un vector propio de cada valor propio. algún método numérico o algún paquete. (b). que nos aproximan rápida y satisfactoriamente las raíces de un polinomio dado. 8. la multiplicidad geométrica y un conjunto máximo de vectores propios linealmente independientes para este valor propio. Observe que en el caso del inciso (j) se necesita aplicar la fórmula de Cardano. (k).1.6 Determine si cada una de las matrices A dadas a continuación es diagonalizable. 11 a) 0 0 0 11 0 0 0 11 b) 11 0 0 2 11 0 0 0 11 c) 11 0 2 0 0 2 11 0 11 8. ¿cómo estará distribuida la población el 1o. Por su parte el Esto conservó 3 de sus lectores. de octubre? b) Si continúa el mismo comportamiento de los lectores en los meses siguientes. de enero de 2004 la población de México estaba distribuida de la siguiente manera: 60% vivía en las ciudades y 40% en el campo. y los 3 4 restantes cambiaron sus preferencias por el Ovaciones.10 El 1o. De acuerdo al mismo estudio se sabe que durante el mes de septiembre el Ovaciones conservó 2 de sus lectores. Suponiendo que el número de habitantes permanece constante.8 a) ¿Cuáles de las siguientes son matrices de probabilidad? 1 1 2 1 4 0 1 2 1 4 1 2 b) ࢤ1 2 1 4 3 2 3 4 1 d) 1 4 0 1 3 0 1 4 c) 0 1 3 1 1 3 0 1 3 0 0 1 8. ¿qué porcentaje de lectores comprará a la larga cada periódico? 8. a) ¿Qué proporción de lectores compró cada periódico el 1o. la probabilidad 125 . 3 mientras que el 1 restante empezó a leer el Esto.11 En el área metropolitana la gente interesada en deportes compra el Ovaciones o el Esto (pero no los dos).8. Para simplificar los cálculos supondremos que no hay lectores nuevos y que los existentes siempre compran uno de los dos periódicos mencionados.12 Los registros meteorológicos de Villahermosa indican que si un día llueve. De acuerdo con un estudio se sabe que el 1o. de enero de 2006? ¿Cómo se distribuirá la población a la larga? 8. de septiembre este grupo de lectores se distribuyó de la siguiente manera: 60% compró el Ovaciones y 40% compró el Esto. De acuerdo a un estudio se espera que 2% de la población del campo emigre cada año a las ciudades y 5% de la población urbana emigre cada año al campo.9 a) ¿Cuáles de las siguientes matrices de probabilidad son regulares? 1 2 1 3 1 2 2 3 b) 1 2 1 2 1 0 c) 1 3 2 3 0 1 d) 0 1 1 0 0 1 0 e) 0 0 1 1 0 0 8. 6. b) Calcule la distribución de probabilidad estacionaria e interprétela. Dicha lista incluye a los suscriptores. sino cambiará a Honda o VW con una probabilidad de 1 en 2 ambos casos. pero si un día no llueve.de que llueva al día siguiente es 0. El año pasado el 40% de las personas que recibieron su carta se suscribieron a Proceso. la probabilidad de que llueva al día siguiente es de 0. c) Si la probabilidad de que llueva el 4 de octubre es de 0. Supóngase que cualquier ratón que se encuentre en esta caja cambiará de compartimiento cada minuto de acuerdo a la siguiente matriz de probabilidades: 1 3 1 6 2 3 2 3 2 3 0 1 6 1 3 P 0 a) Demostrar que P es una matriz de transición regular. a) Verifique que la matriz de transición de este proceso es regular. a) Complete la siguiente matriz de transición si se sabe que cada sexenio. ¿Qué porcentaje de las personas que reciban carta este año ordenará una suscripción? ¿Y qué porcentaje lo hará a largo plazo? 8. El 60% de éstos renueva su suscripción.9 ¿cuál será la probabilidad de que llueva el 8 de octubre? 8.3.15 Pruebe que la matriz A ࢤ3 4 ࢤ2 3 es diagonalizable y use este hecho para calcular A 4 . ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre en el primer compartimiento después de un minuto? ¿ después de dos minutos? ¿después de tres minutos? c) La persona a cargo del experimento decide salir del laboratorio por varias horas y asegura que cuando regrese encontrará al ratón en el segundo compartimiento de la caja.14 En un laboratorio se diseña una caja con tres compartimientos. mientras que el 25% de los que no están suscritos decide abonarse a la revista. 8. b) Si se coloca un ratón en el tercer compartimiento.16 Considérese una comunidad en la cual cada habitante posee un automóvil. 126 . Chrysler (C) y Volkswagen (VW). Supóngase que cada persona se deshace de su coche al final de cada sexenio para comprar uno nuevo y que sólo hay coches de marca Honda (H).13 Cada año el departamento de publicidad de la revista Proceso envía cartas a una lista de personas invitándolas a suscribirse. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga razón? Ejercicios de Repaso 8. una persona que tiene un Chrysler no comprará un nuevo Chrysler. 17 En la actualidad hay tres planes de inversión A.H C VW H T C VW 0 3 4 1 4 1 4 3 4 0 b) Determine si la matriz es regular c) Calcule la distribución de probabilidad estacionaria e interprétela. La probabilidad de que alguien en el plan C continue con él es 50% y de que cambie a A es 50%. b) ¿Cuáles son los planes. Un cliente sólo puede usar un plan a la vez y puede cambiar de uno a otro sólo al final de cada año. 8.B y C. disponibles para los clientes de un Banco.18 Calcule los valores y vectores propios de la siguiente matriz y determine si es diagonalizable. 5 0 1 0 5 0 0 0 5 127 . a) Construir la matriz de transición para los clientes. más popular y el menos popular a largo plazo? 8. La probabilidad de que alguien en el plan A continue con el es 30% y de que cambie a B es 10%. La probabilidad de que alguien en el plan B continue con él es 40% y de que cambie a A es 20%. ࢤ5 0. ࢤ3.2 Sea A a b c d . 1. Estos dos bloques son precisamente las matrices de los incisos (b) y (a). El polinomio característico de A es igual a detA ࢤ I det aࢤ c b dࢤ 2 ࢤ a d ad ࢤ bc 2 ࢤ trA det A 8. b.4 ࢤ3. 2 Nota: Para cualquier valor propio valen las siguientes desigualdades: 1 ࣘ mult. alg. geom. 1. Entonces se tiene que el polinomio característico de la matriz "grande" es el producto de los polinomios característicos de los bloques. ࢤ5. ࣘ mult. 0 9. 3 a. ࢤ5.SOLUCIONES 8. 2 ࢤ5. la segunda la 128 . ࢤ3.1 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 2 ࢤ 6 2 10 25 2 1 2 2 ࢤ 17 72 6 ࢤ 2 ࢤ 6 ࢤ 3 5 2 12 ࢤ 36 5 ࢤ 2 10 25 ࢤ 3 ࢤ 5 2 25 125 ࢤ 3 4 2 ࢤ 3 a ࢤ b ࢤ c ࢤ ࢤ 3 12 2 ࢤ 21 10 2 10 25 2 ࢤ 6 Nota: La matriz del inciso (k) está formada por dos bloques. 0. 8 6. ࢤ5 No tiene valores propios reales. c Utilizando algún paquete de cómputo encontramos que los valores propios son 1. 10 ࢤ5.3 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 8. 8.. 2 5. La primera columna da el valor propio. Damos las multiplicidades en la tabla. ࢤ1. 1 ࢤ1. 1 ࢤ1. 4. 1 ࢤ1. 1 4. 0.S ࢤ1 4 1 1 129 . la tercera la multiplicidad algebraica y la cuarta un vector propio. 1. 0. 1. 1. 0. b) La multiplicidad geométrica es 2. Un vector propio linealmente independiente es 1. 0.5 a) La multiplicidad geométrica es 3. 19.multiplicidad geométrica. a) b) d) e) f) ࢤ3 2 ࢤ5 0 9 8 6 ࢤ3 2 5 ࢤ5 0 1 3 ࢤ5 ࢤ3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ࢤ1. 0. 0. 1 0. 0 4. 0 1. 4 50. 0. 86 0. c) La multiplicidad geométrica es 1. 0. 0. ࢤ1. 0 y 0. 1 1. 0. 1 1. Tres vectores propios linealmente independientes son 1. 0. 0. 1. 8. 0 0. D No No No No No ࢤ3 0 0 2 . 1 g) h) k) 8. 1 1. ࢤ2. 9. 1. 16.6 a) b) c) d) e) f) Sí. 0 15. Dos vectores propios linealmente independientes son 1. 0. ࢤ9 ࢤ19. 0. 0. 1 1. 57% de la población vivirá en las ciudades y el 71.7 Si S ࢤ1 AS D.3 .11 La matriz de transición es El primero de octubre el 50% de los lectores compró el Ovaciones y el 50% restante compró el Esto.8 a) b) c) d) 8.43% vivirá en el campo.86% y la probabilidad de 130 .4 . 1 4 k 1 ࢤ2 ࢤ1 4 1 1 ࢤ3 k 0 0 2k ࢤ1 5 1 5 4 5 1 5 8.14% comprará el Esto. 4 .6 .10 La matriz de transición es . A la larga el 28. 05 . 02 .86% comprará el Ovaciones y 57. 98 El primero de enero de 2006 el 56% de la población vivirá en las ciudades y el 44% en el campo.9 a) b) c) d) e) Sí No Sí No Sí Sí No No No 8. 8. b) El vector de probabilidades estacionario es 3 . 95 . A la larga 42.12 a) La matriz de transición es . 7 7 Esto quiere decir que a la larga la probabilidad de que llueva es de 42.8.7 Esta matriz es regular. 2 3 1 4 1 3 3 4 8. despejando A obtenemos A SDS ࢤ1 Por lo tanto A 2 SDS ࢤ1 SDS ࢤ1 SD 2 S ࢤ1 También A 3 A 2 A SD 2 S ࢤ1 SDS ࢤ1 SD 3 S ࢤ1 En general A k A kࢤ1 A SD kࢤ1 S ࢤ1 SDS ࢤ1 SD k S ࢤ1 . 2 0.4 . 75 .15 1 1 2 ࢤ1 Sí es diagonalizable. c) 3 8. C 15 . c) La probabilidad de que llueva es de 43. luego P es una matriz regular b) 0. 8. 39% de las personas que reciban una carta este año ordenará una suscripción.5%. A 4 ࢤ1 1 2 1 1 1 4 0 0 ࢤ1 4 1 ࢤ1 ࢤ2 1 8. 4 9 27 2. 1 15 0 .13 La matriz de transición es .16 a) T 1 4 1 2 3 4 0 1 2 1 4 0 3 4 0 b) Si es regular c) H. 8. 5 6 b) A.que no llueva es de 57. VW 2 . B. 4 0. C. A la larga lo hará el 38.17 a) 0. 25 .8%. 6 T 0.14%. 8 15 0. 5 131 . 1 . 3 0. 4 0.2% y de que no llueva es de 56.14 a) En P 2 ningún elemento es igual a cero. 1 0.6 . 2 7 7 7 8. 3 . 2 5. 0 v 2 0.18 1 5. 0.Más popular: Plan C Menos popular: Plan B 8. 132 . 0 No es diagonalizable. 1. 3 5 v 1 1.