Programa de MatemáticaCálculo II – MAT430 / MAT440 CUADERNO DE TRABAJO CÁLCULO II UNIDAD II: CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Nombre : Sección : Profesor : Carrera : MAT430 - MAT440 1 Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 / MAT440 ÍNDICE DE LA UNIDAD II Funciones de varias variables 1. Funciones y sus gráficas. Función de dos o más variables, Dominio, Imagen. 2. Curvas en el plano, Cónicas 3. Curvas de nivel de funciones de dos o más variables. 4. Derivadas, propiedades y reglas. 5. Derivadas Parciales. 6. Máximos y Mínimos de una función de dos variables. 7. Máximos y Mínimos con restricción de una función de dos variables. EVALUACIONES UNIDAD II EVALUACIÓN PONDERACIÓN TALLER 2 5% PRUEBA 2 33% FECHAS APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD II • • • • • • • • • Aprendizajes de las asignaturas asociadas a conductas de entrada para Cálculo II. Reconoce la ecuación y grafica de cónicas. Reconoce funciones de varias variables. Identifica el dominio de una función de dos variables. Determina imagen de una función de dos variables. Grafica curvas de nivel de funciones de dos variables. Resuelve problemas que involucran funciones de dos variables. Calcula derivadas parciales de funciones de dos variables. Formula mediante funciones de dos variables problemas presentados en lenguaje verbal. • Determina máximos y mínimos de una función de dos variables. • Resuelve problemas de optimización que involucran funciones de dos variables. • Determina máximos y mínimos con restricción de una función de dos variables. MAT430 - MAT440 2 Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 / MAT440 CLASE 1 FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Reconoce funciones de varias variables. Determina imagen de una función de dos variables. Funciones de dos o más variables FUNCIONES REALES Una función es una relación (regla) con la restricción de que a cada x, elemento del Dominio, le corresponde “uno y solo un valor, y” del codominio o Recorrido. Se designara por “x” a la variable independiente y por “y” a la variable dependiente, la notación más común es y = f (x) en donde f (x) es la expresión algebraica que relaciona a y = f (x) con “ y ”. DOMINIO RECORRIDO x f(x) Variable Independiente Recordar: Son Funciones Reales porque se trabajará con los números reales Variable Dependiente Ejemplo Al perímetro de una circunferencia se le hace corresponder el doble del valor de π multiplicado por su radio. Si designamos por “ x ” al radio (variable independiente) y por “ y ” al perímetro (variable dependiente) tenemos: MAT430 - MAT440 3 Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 / MAT440 Gráfica de funciones Para cualquier función definida en las variables x e y se puede considerar un conjunto de puntos ( x, y ) que satisfacen la relación dada; estos se pueden representar en el plano cartesiano; donde el eje X es asignado a la variable independiente y el eje Y a la variable dependiente. Definición: La gráfica de una función f (x ) , es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) en ℜ 2 para los cuales ( x, y ) es un par ordenado en f (x ) . La gráfica de una función es igual a la gráfica de la ecuación FUNCIONES CONOCIDAS Función Lineal Se define como y = mx + n , donde m, n son números reales y m ≠ 0 . La gráfica es una línea recta. Para su representación en el plano cartesiano se necesita conocer la intersección con los ejes. ⇒ y = n , corresponde a la intersección con el eje, es decir al punto (0, n) . Eje X: ⇒ mx + n = 0 . Las solución de la ecuación, x = k , corresponde al punto de intersección con el eje x, (k ,0) . Eje Y: Se tienen m>0 m<0 m=0 Función Cuadrática Se define como y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c , donde a, b, c son números reales, con a ≠ 0 . La gráfica es una curva llamada, Parábola. Para su representación en el plano cartesiano se necesita conocer la intersección con los ejes y las coordenadas del vértice. Eje Y: ⇒ y = c , corresponde al punto (0, c ) . Eje X: ⇒ a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 . Las soluciones de la ecuación, x1 y x 2 , corresponden a los puntos donde la parábola intersecta al eje X. MAT430 - MAT440 4 Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 / MAT440 Coordenadas del Vértice: Corresponde al punto V (x, y ) , que pertenece al eje que divide simétricamente a la parábola en b b x=− dos ramas. Se puede determinar con: e y = f − 2a 2a Se tiene: a>0 a<0 Función Exponencial Son funciones en que la variable se encuentra en el exponente. Se definen como: f ( x) = a x con a ≠ 0 . La gráfica es una curva que depende de a . 0 < a <1 Sí a >1 a = e , se tiene la función f ( x) = e x , se tiene la Función Exponencial de base Euler. MAT430 - MAT440 5 Se define como f ( x) = log b ( x) con b ≠ 1 . se tiene que f ( x) = log10 ( x) = log(x) . La gráfica es una curva que depende de su base b . 0 < b <1 b >1 Logaritmos Decimales: Si b = 10 . Logaritmo Natural: Si b = e . MAT430 Página 6 . se tiene f ( x) = log e( x) = ln(x) .Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 FUNCION LOGARITMO La función logaritmo es la función inversa de la función exponencial. nos limitaremos al estudio de funciones de dos variables. z) en donde (x. y. generalizando los conceptos de funciones de una variable independiente. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen. donde las variables x. y se llaman variables independientes. El conjunto de pares ordenadas para los cuales la regla de correspondencia es un número real se llama dominio de la función. Una función de dos variables es una regla correspondencia que asigna a cada pareja números reales (x. y ) = 25 − x 2 − y 2 y su gráfica Página 7 . Estas funciones son frecuentes en problemas prácticos. Curvas de Nivel Ahora ampliaremos el concepto de función a una función de n variables independientes. y). y) un y sólo un número real z. de de Una función de dos variables se denota usualmente con z = f (x. Ejemplo: El área superficial aproxima-da del cuerpo de una persona depende de su estatura y su peso. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x. y). Por ejemplo La función MAT430 f ( x. y) está en el dominio de f y z = f (x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Funciones de dos o más variables. y z se llama variable dependiente. Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional. 0) existe una lámpara encendida.20) = −0. El nivel de iluminación en la habitación (medido en lux) viene dada por la función: ( g ( x.000 ⋅ 4 + x 2 + y 2 + z 2 ) −1 . 2.3 lux de iluminancia. La forma de una cúpula viene dada por la función f ( x. 0. y.000 ⋅ 4 + 3 2 + 4 2 + (− 2) g (3.4. y ) = −0.4.06 ⋅ 0 2 + 40 =40 En el centro la cúpula posee 40 metros de altura f (10.06 ⋅ y 2 + 40 Hallar la altura de la cúpula en su centro (0. En el centro de una habitación (0.0) = −0. MAT430 Página 8 .02 ⋅ x 2 − 0.−2) = 1. a 10 metros a la derecha (x) y 20 metros hacia el fondo (y) la cúpula posee 14 metros de altura.0) y a 10 metros a la derecha (x) y 20 metros hacia el fondo (y) Desarrollo f (0. 4 metros hacia el fondo (y) y 2 metros hacia abajo (z).02 ⋅10 2 − 0.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejemplos 1. de la lámpara? Desarrollo Considerando x = 3.06 ⋅ 20 2 + 40 = 14 Además.02 ⋅ 0 2 − 0.−2) = 30. z ) = 1. ¿Cuántos luxes habrán 3 metros a la derecha (x). y = 4 y z = – 2 se tiene ( g (3.3 ) 2 −1 En el punto solicitado existen 30. 0) . Debido a diversos factores (luz. En cierto lugar. entre otros) la longitud del pastizal. por sobre el nivel del agua. función f ( x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejercicios Evaluar las siguientes funciones. e) . según la y + xy que indica la altura de la rama en cm desde la unión. (3. 1) . 9) . f (3. f (e. de un patio cuadrado de 10 metros de lado está dada f ( x. 1. x los primeros 10 cm. vienen dados por la función f ( x. El centro está en una por la función esquina del cuadrado. f (3. Desarrollo: MAT430 Página 9 . humedad. los bordes de un canal. f ( 4. Determine el largo del pasto en los puntos ( 4. en metros. y ) = x 2 y + x . Determine el valor de f ( 2. 9) . con x e y en metros. (0. En cierto lugar. 1) . en mm. y ) = Desarrollo: 3. 0) . ella se separa del borde del tronco. (3. 0) . f (e. Determine el valor de f (2. 0) . x e y en cm. Desarrollo: 2. En el tronco de un árbol crece una rama. 1) . y ) = ln x + y .0). La temperatura en grados Celsius en cualquier punto (x.y) de una placa circular de 10 T ( x. mide x pies de largo. z. dólares. donde x e y se miden en metros. y de ancho y z de alto. Exprese el costo de su construcción como función de x. Desarrollo: 5.75 por pie cuadrado y los laterales US$0.2) .75 y 2 . y ) = 600 − 0. abierta por arriba.75x 2 − 0. Determine el costo de construcción si la caja mide 2 pies de alto.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 4. está dado por la función utilidad definida como U ( x. metros de radio es Desarrollo: 6. Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artículo A y de y unidades de un artículo B.4 pie cuadrado. Una caja rectangular. 3 pies de ancho y 5 pies de largo. y ) = x 3 2 y. Determine la temperatura de la placa en el punto (−3. si la base cuesta US$0. b. Si el consumidor posee actualmente x=16 unidades del artículo A e y=20 unidades del articulo B. a. y. Desarrollo: MAT430 Página 10 . Determine el nivel actual de utilidad del consumidor. 0) = 1 Respuesta: 1 metro sobre el agua. f (2.693 metros sobre el agua.05 dólares 5) Respuesta: la temperatura de la placa es de 590. f (2. f (e.5 cm de altura de la rama. y ) = 0.398 Respuesta: 2.75 xy b) El costo de producción es de 24. Respuesta: 0 cm de altura de la rama.33 f (4.1) = 12 Respuesta: 146 mm de pasto. f (e. a) f ( x. f (3.25°C 6) Respuesta: El nivel de utilidad es 1. e) = 1.693 Respuesta: 1.5 f (3.097 Respuesta: 1.1) = 3.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Soluciones 1) 2) 3) 4) f (4.8 ⋅ (xz + yz ) + 0. Respuesta: 1.7 mm de pasto. Respuesta: 12 mm de pasto.0) = 0 Respuesta: 2.33 cm de altura de la rama.0) = 1.9) = 2.1) = 2.0) = 1.097 metros sobre el agua.9) = 146 f (3.7 f (3. Respuesta: 3.398 metros sobre el agua.280 dólares MAT430 Página 11 . Dominio El dominio de este tipo de funciones corresponderá a aquellos puntos del plano o del espacio que hagan que la expresión de la función tenga sentido. f ( x. el argumento de la función debe ser positivo (mayor que cero). quedan excluidos los elementos que hacen que el sub-radical sea negativo. • Funciones logarítmicas f (x. g ( x. y ) = 2 . La función T ( x. y) = log(x + y) . APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Determina el dominio de funciones de varias variables. La variable x es la distancia respecto al eje vertical. 2 Conjunto Dominio de h( x. Esta función sólo tiene sentido si y ≥ x 2 . y ) / y ≥ x 2 __ MAT430 Página 12 . y ) = y − x2 corresponde a la temperatura de un líquido en un recipiente parabólico de metal sumergido en hielo. Por ejemplo • Funciones racionales (con denominador). • Funciones con raíces de índice par. es decir los valores de y Gráfico mayores o iguales que la parábola y = x . Ejemplo 1. la variable y es la altura del punto respecto del plano de contacto inferior.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 2 DOMINIO DE FUNCIONES VARIAS VARIABLES. y ) = 25 − x 2 − y 2 . quedan excluidos los elementos x− y que anulan el denominador. y) = ( x. 000 ⋅ 4 + x 2 + y 2 + z 2 ) −1 . dada por la función f ( x. En el centro de una habitación existe una lámpara encendida. z ) = { ( x. x=0. z ) = 1. y. y. El nivel de iluminación en la habitación (medido en lux) viene dada por la función ( g ( x.000 2 + y2 + z2 ) La función tiene sentido si 4 + x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0 . lo que equivale a 0. Desarrollo: MAT430 Página 13 . x e y son las coordenadas del vector velocidad y2 x2 1− − 10.000 ⋅ 4 + x 2 + y 2 + z 2 ) −1 = (4 + x 1. y .000 del reloj móvil. La función se puede escribir como ( g ( x. depende de la velocidad a la que se mueve el reloj que mide el tiempo. y ) = 60 . Determine el dominio de las siguientes funciones. z ) = 1. y) / x 2 } + y 2 + z 2 ≠ −4 __ EJERCICIOS. y ) = 5 + 2 ⋅ 40 − x 2 − 6 y 2 . y=0) Desarrollo: 2.01. y ) . De acuerdo a la teoría de la relatividad. en su órbita alrededor del sol nuestro planeta se desplaza a 30 km/s. es decir si x 2 + y 2 + z 2 ≠ −4 Conjunto: Dominio de g ( x. (Observación. la duración de sesenta minutos.01% de la velocidad de la luz. en minutos.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 2. 1. La temperatura alrededor de una estufa oleo-eléctrica alargada es f ( x. Determine el dominio de f ( x. Determine el dominio de f.000 10. en porcentajes de la velocidad de la luz. La resistencia eléctrica en un punto (x.58 2 12 MAT430 2) x 2 6 y 2 Dom f = ( x. Determine el dominio de f. y ) = 0.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 3. y ) ∈ R / 100 2 > x 2 + y 2 3) y 2 x2 Dom f = ( x. 1 − 3x 2 + y 2 Desarrollo: Soluciones { } 1) Dom f = ( x. y) de una superficie viene dada por la función f ( x. y ) ∈ R / 1 > + 40 40 Página 14 .002 . y ) ∈ R / 1 ≠ − 0. Los tres valores definen un punto en el espacio de tres dimensiones. y). de todos el conjunto de puntos con coordenadas (x. Representa en forma gráfica funciones de varias variables mediante curvas de nivel. a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones (cortes) entre un cono y un plano. z. CURVAS DE NIVEL APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Reconoce curvas en el plano y sus gráficas. y. en los ejes cartesianos x. primero debemos graficar curvas en el plano. 0) y de radio r. parábola e hipérbola.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 3 CURVAS EN EL PLANO. y. y) que forma una circunferencia en el plano. por lo que es importante revisar Cónicas. Cónicas Se denomina sección cónica o simplemente cónica. El conjunto de todos estos puntos nos da la gráfica de la función. por cada par (x. y) encontraremos la imagen z a través de la función f. y) en tres dimensiones. elipse. CÓNICAS. si dicho plano no pasa por el vértice. centrada en el origen (0. CIRCUNFERENCIA La circunferencia La expresión para el conjunto de puntos (x. z). es la representación tridimensional (3D). se obtienen las cónicas. GRAFICA DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES La gráfica de una función de dos variables z = f (x. es decir. Representa en forma gráfica curvas en el plano. es: x2 + y2 = r 2 MAT430 Página 15 . Se clasifican en cuatro: circunferencia. se recurre a representar estas funciones mediante sus curvas de nivel Para dibujar curvas de nivel. Un método para la representación completa de una función z = f (x. 15 2 ( x − 50) 2 + ( y − 35) 2 = 83. CASO GENERAL Si una circunferencia está centrada en un punto (h.15 metros de radio. Se tiene x 2 + y 2 = 62 Luego la ecuación de la circunferencia será x 2 + y 2 = 36 2. ¿cuál es la ecuación de la circunferencia? Reemplazando en x 2 + y 2 = r 2 . en metros. De la ecuación se tiene que 0. Un DVD posee un radio de 6 cm. Hallar la ecuación de la circunferencia. El borde de la cubierta de una mesa circular.75 Luego el radio de la parte superior de la mesa es de 0. 0) y con radio r = 6 . forma una circunferencia de ecuación x 2 + y 2 = 0.5625 r = 0. entonces la ecuación será: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 Ejemplo Una cancha de fútbol posee en su centro una circunferencia de 9. y la circunferencia centrada en el origen.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejemplos 1. es decir.5625 medida en metros. Tenemos que el centro de la circunferencia.75 metros. Determine el radio de la circunferencia. en el punto (0.5625 es el cuadrado del radio.72 MAT430 Página 16 .k). luego su borde corresponde a una circunferencia de radio 6. la ecuación será: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 ⇒ ( x − 50) 2 + ( y − 35) 2 = 9. por lo tanto r 2 = 0. está dada por: h = x = 50 e k = y = 35 Por lo tanto. 0) y (c. Si se tiene que el punto (0. y) que forman una elipse en el plano. 0) y de radio horizontal a. y radio vertical b es: x2 y 2 + =1 a 2 b2 Ejemplos 1. 0) con x2 y2 + =1 240 2 300 2 MAT430 Elipse con centro en el punto (h. k): Página 17 . El parque O´Higgins en su interior posee una elipse de 600x480 metros de diámetro.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 ELIPSE La elipse La expresión para el conjunto de puntos (x.0) es el centro de la elipse la ecuación correspondiente será En este caso. los radios son: a = 240 y b = 300. centrada en el origen (0. Entonces la ecuación de la elipse del Parque O´Higgins será: x2 y2 + =1 240 2 300 2 x2 y2 + =1 57600 90000 Los focos de una elipse son (– c. Luego si x2 y2 + = 1.8 Entonces el gráfico del espejo es: PARABOLA La parábola La expresión para el conjunto de puntos (x. k) y foco en h+ 1 .89 2 0.41 y b = 0.y) que forman una parábola con vértice en el origen (0.0 4a Página 18 . 4a a( y− k) = x − h es: Eje de simetría en eje y. Esbozar el gráfico de la elipse en el plano xy. k Ecuación Foco en MAT430 y = ax 2 1 0. k + es: 1 4a a( x − h) = y− k 2 • La ecuación de una parábola horizontal con vértice en (h. 0): • La ecuación de una parábola vertical con vértice en (h. representa el borde de un espejo con forma 2 0.8 = 0.8 de elipse. La ecuación x2 y2 + = 1 . 4a 2 Eje de simetría en eje x Ecuación Foco en x = ay 2 1 . k) y foco en h.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 2. a = 2 = 1. Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 HIPERBOLA La hipérbola La expresión para el conjunto de puntos (x. 0) es: x2 y2 − =1 a2 b2 Las ecuaciones de las asíntotas son y= −b x a e b x a y= Si el centro de la hipérbola se desplaza a (h. Graficar la circunferencia de ecuación x + y = 1600 (en cm). Figura 1 MAT430 Página 19 . y) que forman una hipérbola con centro en el origen (0. Considere el centro del espejo. k) le ecuación será ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 a2 b2 Ejercicios 1. como el origen del plano cartesiano. que corresponde al borde de la 2 2 ventana de la Figura 1. Un televisor con una pantalla de 80 cm de ancho y 45 cm de alto. con centro en el origen. Desarrollo: 3.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 2. cuya ecuación está dada por ( x − 75) 2 + ( y − 40) 2 = 9 . Identifique los términos h. Se puede apreciar de un programa que el logo del canal matemático lo rodea una figura circular. La bandera de Japón posee un círculo rojo y su centro coincide con el centro del rectángulo. Escriba la ecuación de la circunferencia que rodea al círculo. escribir la ecuación de la circunferencia del pozo. Desarrollo: 4. El pozo de agua de un terreno es de forma circular. cuyo radio es 90 cm. Donde el origen es el punto O. trabaje las medidas en metros. k y r correspondiente al logo. Desarrollo: MAT430 Página 20 . El plato posee un largo de 44 cm y un ancho de 32 cm. que une Zimbabue con Zambia. escriba la ecuación de la elipse con centro en el punto central del plato. Grafique la parábola. Desarrollo: MAT430 Página 21 . incluyendo el foco. Desarrollo: x2 y2 + = 1 . Desarrollo: 7.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 5. La ecuación del borde de un lavamanos es 1600 900 lavamanos (diámetros mayor y menor). Si la ecuación de la curva parabólica inferior es y = −0. escriba las dimensiones del 6. posee 150 metros entre los puntos A y D.00533 x 2 con origen en el punto E. El puente de las Cataratas Victoria. 9 =3 7.6 2 r = 5. El cable se encuentra a 2.5) 2 + ( y − 1) 2 = 0. x + y = 8100 2 2 3. para evitar accidentes.5 metros del suelo. 8. se puede representar por una parábola. y = 0. a = 75 b = 40 ( x − 1.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 8. La forma de un cable que cuelga entre dos edificios. Desarrollo: Soluciones 1. 4. Escriba la ecuación de la parábola con origen en el vértice que forma el cable (foco está 4.06 x 2 Página 22 . 2. x2 y2 + =1 16 2 22 2 MAT430 6.17 metros sobre el vértice). Las alturas de las montañas quedan reflejadas en un mapa topográfico MAT430 Página 23 . y) en tres dimensiones. Este tipo de mapas se llaman topográficos. y) = k para cada valor de k en ℜ . En la superficie de inclinación uniforme.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 4 CURVAS EN EL PLANO. Los mapas de contorno se utilizan a menudo para representar regiones de la superficie terrestre. es mediante sus curvas de nivel Curvas de Nivel Las curvas de nivel de la función f (x. las curvas de nivel que cortan un cono de manera vertical forman curvas de nivel circulares. Se tiene que. Las curvas de nivel son líneas cerradas “o contornos” que unen puntos de igual elevación. en cuyo caso las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. las que cortan un cono inclinado producen elipses. y) son la familia de curvas de la forma: f (x. CÓNICAS. las curvas de nivel son línea rectas. Un método para la representación completa de una función z = f (x. Por ejemplo 1. CURVAS DE NIVEL APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Representa en forma gráfica curvas en el plano Representa en forma gráfica funciones de varias variables mediante curvas de nivel. Sus curvas de nivel son circunferencias concéntricas y su representación gráfica es tridimensional.47 2 2 2 2 Curvas de Nivel MAT430 En el caso de funciones de temperatura. k 0 10 20 Descripción f ( x. Igualamos f(x. y ) = 40 − x 2 − y 2 = 0 Circunferencia de radio 2 x + y = 40 r = 40 = 6.47 f ( x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 2. y ) = 40 − x 2 − y 2 = 10 Circunferencia de radio 2 x + y = 30 r = 30 = 5. Grafico Tridimensional Página 24 . Ejemplo El paraboloide f ( x.32 f ( x. y ) = 40 − x 2 − y 2 describe la temperatura en la superficie de una habitación que posee una estufa en su centro. ya que en cada una de ellas la temperatura es la misma.y) = k. las curvas de nivel se llaman isotermas. y ) = 40 − x 2 − y 2 = 20 Circunferencia de radio x + y = 20 r = 20 = 4. dando variados valores a k. y ) = y 2 + 2 x 2 2) f ( x. y ) = y 2 − x 2 MAT430 Página 25 .Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejercicios Dibuje 3 curvas de nivel para cada una de las funciones mencionadas: 1) f ( x. y ) = x 2 − 8 x + y 4) La temperatura en grados Celsius en cualquier punto (x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 3) f ( x.y) de una placa circular de 10 metros de radio es T ( x. Dibuje algunas curvas isotermas. y ) = 600 − 0.75 x 2 − 0. donde x e y se miden en metros.75 y 2 . Desarrollo: MAT430 Página 26 . y ) = x 3 2 y. Determine el nivel actual de utilidad del consumidor y trace la curva de indiferencia correspondencia. Desarrollo: MAT430 Página 27 . dólares.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 5) Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artículo y de y unidades de un segundo artículo está dado por la función utilidad definida como U ( x. Si el consumidor posee actualmente x=16 unidades del primer artículo e y=20 unidades del segundo. Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Soluciones 1) 2) 3) 4) 5) U (16.280 unidades.20) = 1.280 unidades de utilidad x 3 2 y = 1.280 Respuesta: El nivel de utilidad es 1. MAT430 Página 28 . Si f ( x) = h( x) ± g ( x) . Si f ( x ) = h( x ) h ′( x) ⋅ g ( x) + h( x) ⋅ g ′( x) . entonces f ′( x) = h ′( x) ⋅ g ( x ) + h( x) ⋅ g ′( x ) 6. entonces f ′( x) = 0 2. entonces f ( x) = 5. Calcula derivadas parciales de funciones de varias variables. Si n es un número entero y f ( x) = x n . entonces f ′( x) = g ( x) [g ( x)]2 Derivadas de Funciones Elementales 1. Si f ( x) = a x donde a > 0 . g ( x) ≠ 0 . Si f ( x) = ln( g ( x)) . entonces 4. entonces f ′( x) = a x ⋅ ln(a) 2. entonces f ′( x) = n ⋅ x n −1 3. Si f ( x ) = e g ( x ) . g ( x ) ≠ 0 . entonces f ( x) = MAT430 f ( x) = e g ( x ) ⋅ g ′( x) 1 ⋅ g ′( x ) g ( x) Página 29 .Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 5 DERIVADAS. Si f ( x) = e x . Si f ( x) = log a ( x) . Si f ( x) = h( x) ⋅ g ( x) . Derivadas Reglas de las Derivadas 1. REGLAS Y PROPIEDADES. Si f ( x) = ln( x) . Si c es constante y f ( x) = c . entonces f ′( x ) = e x 3. Si f ( x) = c ⋅ h( x) . entonces f ′( x) = c ⋅ h ′( x) 4. entonces f ′( x) = h ′( x) ± g ′( x) Recordar: n xm = xm/n 1 = x −n n x 5. DERIVADAS PARCIALES APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Calcula derivadas de funciones de una variable. entonces f ( x) = 1 x ⋅ ln(a) 1 x 6. es decir. entonces n Luego la derivada de f con respecto a x es: df df du = ⋅ dx du dx ⋅ ( g ′( x) ) Ejercicios I.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Regla de la Cadena Si f (x) es una función compuesta. u = g ( x) Regla de derivada de una función elevada a una función Si f (x) y g (x) son funciones tales que f ′( x) = n ⋅ ( g ( x) ) n −1 f ( x) = ( g ( x) ) . y = f ( g ( x)). entonces su derivada será ′ f ′( x ) = (h o g ) ( x ) = h′( g ( x ) ) ⋅ g ′( x ) Otra manera de escribir una función compuesta es. f ( x) = (h o g )( x) . Determina la derivada de las siguientes funciones FUNCIÓN a) f ( x) = 3 x 5 c) g ( x) = 7 ⋅ log( x) e) f ( x) = ex ln( x) g) DERIVADA b) f ( x) = x −11 d (t ) = 2 3 3 2 20 t − t + 12t − 2 3 4 t f) f (x) = x2 − 3x ex f (x) = ex ⋅ log(x) h) g(x) = (x2 + 5)ex i) y = 75x j) f ( x) = log ( 2x + 5) k) y = ln(3x2 + 2x) l) f ( x) = 8x5 − 3x3 −15 m) y = e( n) f (x) = 8(2x+ 6)7 − 3ln(2x) MAT430 ) 2 x2 −5 d) ( ) 13 Página 30 . Aplicaciones. dentro de 4 meses? Desarrollo: Respuesta: MAT430 Página 31 . Una partícula se mueve. Una empresa determinó que t meses después de aumentar los valores de sus productos las ventas de la compañía por un año se pueden calcular con la función V ( t ) = 12 .55t + 208 miles de habitantes. la población de cierta comunidad esté dada por la función P(t) = e0. Desarrollo: Respuesta b.8 t en miles de pesos. ¿A qué razón de cambio.5 e 0 . Encuentre la aceleración de la partícula en el instante 0.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 II. con respecto al tiempo. a. Se espera que desde hoy hasta los próximos 10 años. a través de la función f (t) = 4t 3 + 8t 2 + 2t +120 . con respecto al tiempo.3 segundos. en centímetros. ¿A qué razón cambiarán las ventas. irá variando la población dentro de 6 años? Desarrollo: Respuesta: c. x 2 − 3 xy 2 e. y ) . 6 y 0 . y ) . Desarrollo ∂ ∂ D x f ( x. y ) = 3x 2 − 2 xy + y 2 = 6 x − 2 y D y f ( x. y ) = 3x 2 − 2 xy + y 2 . y ) y D y f ( x. Determinar ∂f ( x. La derivada parcial de f ( x. y ) = 3x 2 − 2 xy + y 2 = −2 x + 2 y ∂x ∂y ( ) ( ) Ejercicios III. x 0. es la función representada por D x f ( x. x 3 − 5x 2 y + y 2 c. Determine D x f ( x. ∂y Ejemplo Dada f ( x. ∂x Análogamente. y ) una función de dos variables x e y. ln(4 x − y ) f. y ) a. y ) ∂x ∂f ( x. y ) ∂y Página 32 . y ) con respecto a y . y ) ∂f ( x. y ) con respecto a x. y ) . e xy d.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 DERIVADAS PARCIALES Definición Sea f ( x. 4x − 5 y b. y ) = ∂f ( x. es la función representada por D y f ( x. y ) = ∂f ( x. 4 MAT430 ∂f ( x. y ) y de las siguientes funciones ∂x ∂y FUNCIONES f ( x. se define la derivada parcial de f ( x. ex x f. xe y d. y ) y D y f ( x. MAT430 ex x ln(10) y′ = 75x ⋅ ln ( 7) ⋅ 5 y´= k. i. y ) y evalúe en el punto P(3. e. 1 ⋅ (6x + 2) 3x + 2 x y´= e( m. b. x + 3 xy − 8 x 2 y 3 y x h.1) FUNCIONES xy a. D y f (3. ) ⋅ 4x ( e x (2 x − 3 ) − e x x 2 − 3 x e2x ( ) ) g´(x) = 2 x ⋅ e x + x 2 + 5 e x h.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 g.1) IV.1) D x f (3. a. b. f ´(x) = −11x−12 7 xln (10) h´(x) = f ´(x) = 40 2 3 d. f ´(x) = 5 3 x2 3 c. xe − ye Determine D x f ( x. j. d´(t) = 2t − t +12 + 3 2 t ex ⋅ ln ( x) − ( ln(x)) 2 g ′( x) = e x log( x) + g. 2 2 x2 −5 f ´( x ) = l. f ′(x ) = 2 (2 x + 5)ln(10) ( f ´( x ) = 13 8 x 5 − 3 x 3 − 15 f ´(x) = 112 ⋅ (2x + 6)6 − ) ⋅ (40 x 12 4 − 9x 2 ) 3 x Página 33 . ln( x 2 − y 4 ) Soluciones I. n. x 3 y − xy 3 c. 6 y−0. c.1) − 4y 3 −1 = 2 = ∂y 2 x − y4 Página 34 . 1) = x=3 ∂y ∂f (3. ∂f a.6 = 0. ∂f ∂f = −6xy = 2x − 3y2 . = xe xy ∂x ∂y d. La aceleración de la partícula a los 0.1) = 3 x 2y − y 3 = 26 ∂x ∂f (3. ∂y ∂x e.325 por mes. ∂f (3. La variación de la población con respecto al tiempo a los 6 años es de aproximadamente 14.4 y0. ∂y ∂x g.1) = x 3 − 3xy 2 = 18 ∂y ∂f (3. ∂x ∂f = xey − ex ∂y IV. = ey = e1 = e ∂x ∂f (3. ∂ x = 4 ∂ y = 5 b. 1) = y=1 a.1) 2x 3 = 2 = 4 ∂x 4 x −y ∂f (3. 1) = xey = 3e1 = 3e ∂y MAT430 d. 1) c. ∂f = 3 x 2 − 10 xy . La razón de cambio de las ventas a los 4 meses corresponde a $245. ∂f = ey − yex . ∂x ∂f = −5 x 2 + 2 y ∂y c. ∂x 4x − y ∂x 4x − y f. ∂f ∂f = 1+ 3y −16xy3 .3 segundos es de 23. a. 4x0. III. ∂x b.4 . ∂f ∂f = ye xy . ∂f ∂f = 0. ∂f (3. 6x−0. ∂f 4 ∂f −1 = = . ∂f (3. = 3x − 24x2 y2 ∂x ∂x h. 2 cm/ seg2 b.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 II.912 habitantes por año. ∂f . puede ser la pendiente del techo y la derivada de f ( x. b) . la derivada de f ( x. se realiza de manera tradicional. La interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables es semejante a la de una función de una variable. b) . Por ejemplo Si una función f ( x. Evalúa en un punto derivadas parciales de funciones de varias variables. mientras las demás se mantienen constantes. ya que el techo es horizontal en ese sentido. Como se observa en la figura. y ) con respecto a x en La derivación de una función de dos variables. MAT430 Página 35 . Derivadas Parciales El análisis de las derivadas de funciones de n variables Independientes se reduce al caso de funciones de una variable independiente. considerando la otra variable como una constante Techo P (a. en el punto P (a.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 6 DERIVADAS PARCIALES APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Calcula derivadas parciales de funciones de varias variables. y ) con respecto a y es cero. y ) es la altura del techo de una casa. Desarrollo: Respuesta: MAT430 Página 36 . se tiene la fórmula PV = kT Donde k es una constante de proporcionalidad. 6 . De acuerdo con la “ley de los gases ideales”. V (en ºK) es la temperatura absoluta.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejercicios Resuelva los siguientes problemas utilizando derivadas parciales. a. Si el volumen de un gas en un recipiente es 12 litros y su temperatura es de 290 ºK. Calcule la tasa de variación instantánea de permanece fijo en 12. P por unidad de variación de T si V V por unidad de variación de P si T Desarrollo: Respuesta: ii. i. con k = 0. Calcule la tasa de variación instantánea de permanece fija en 290ºK. si en litros (lt) es el volumen y T P en atmósferas (atm) es la presión. Determine las utilidades marginales de ambos productos. ∂t ∂c ) (1− e ) Desarrollo: Respuesta: U(x. (Recuerde que utilidad marginal es la derivada d. de forma tal que la temperatura en cualquier punto (x. Se lanza un nuevo producto al mercado. 500) e interprete. Si una placa metálica delgada de forma rectangular se calienta irregularmente. y) de la placa es: T(x. 3) cuando y permanece fijo en y = 3? Desarrollo: Respuesta: c. 500) y ∂V(1.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 b.002c −t c t ( V(t. Desarrollo: Respuesta: MAT430 Página 37 . ¿cómo varia la temperatura T en el punto (2. y) = 5x2 − xy+ 3y2 mide la satisfacción que encuentra una dos productos x e y . c) = 2400 − 400e Calcule ∂V(1. La función de utilidad persona al consumir de la utilidad) i. El volumen de ventas V del producto se incrementa como una función del tiempo medida en meses y de la cantidad de nuevos pesos gastados en la campaña publicitaria que esta dada por −0. y) = 4xy+ y Suponiendo que x e y están medida en metros y la temperatura T en grados Celsius. 3 cm por segundo.5 cm por segundo y su radio r aumenta de 5 cm a 5. Si x=2 e y = 3. en cualquier punto (x.respectivamente en el punto (3. obtenga la tasa de variación de la temperatura con respecto a la distancia recorrida a lo largo de la placa en la dirección de los ejes positivos e y . (Ind: volumen de un cilindro V = πr 2h ) ¿Cuánto es el nuevo volumen? Desarrollo: Respuesta: f. La temperatura en grados.1) x Desarrollo: Respuesta: MAT430 Página 38 . Si la distancia se mide en centímetros. ¿Una persona debe consumir una unidad más de x o y para tener más utilidad? Desarrollo: Respuesta: e. Calcule el incremento aproximado del volumen de un pistón cilíndrico circular recto si sus altura h aumenta de 10 cm a 10.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 ii. y) de una placa es T = 54 − x2 − 4y2 . a. d. MAT430 cm3 Las tasas de variación de las temperaturas es de -6 ºC/cm y -8 ºC/cm Página 39 . La rapidez de cambio de la temperatura en el punto es 12ºC/m c. I) ∂U ∂U = 10x − y .2 lt/atm b.186 por cada peso de aumento en publicidad. Vt (1.500) = 0.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Soluciones I.05 atm/ºK ii) –1. = −x + 6y ∂x ∂x II) Debe consumir una unidad mas del producto x (17 del x. El nuevo volumen es de 292.186 el volumen de ventas aumenta a una razón de 0. 16 del y).5 π f.8 en cada mes Vc (1. e. 7765 el volumen de ventas aumenta a una razón de $828. i) 0.500) = 828. se tienen las segundas derivadas parciales de f . y) = 6x− 2y Dy f (x. y) = Dyy f (x. y) = −2x+ 2y Dyx f (x. y) ∂ ( 6x − 2y) = 6 ∂x ∂ (−2x + 2y) = 2 ∂y Página 40 . y) = ∂ ( 6x − 2y) = −2 ∂y Dxy f (x. y) . y) = 3x2 − 2xy+ y2 . Dxx f (x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Derivadas Parciales de orden superior Si f (x. y) . y) = y Dxx f (x. Dx f y Dy f también son funciones de dos variables y las derivadas parciales de ellas existen. . y) = ∂ (−2x + 2y) = −2 ∂x MAT430 Dxx f (x. y ∂x2 ∂y2 ∂x∂y ∂y∂x Ejemplo Dada f (x. Se definen de la misma manera las derivadas parciales superiores: ∂2 f ∂2 f ∂ 2 f ∂2 f . Determine Dxx f (x. y) es una función de dos variables. y) Desarrollo Dx f (x. Dyy f (x. 6 y 0 . f (x. f (x. y) = xey d. y ) = x 0 . ∂2 f ∂x2 ∂2 f ∂y2 ∂2 f ∂y∂x a. Determine ∂2 f ∂x 2 . ∂2 f ∂y 2 FUNCIONES y ∂2 f ∂y∂x de las siguientes funciones. f ( x. 4 MAT430 Página 41 . y) = x3 − 5x2 y+ y2 b. y) = x+ 3xy− 8x2 y3 c. f (x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejercicios I. IV. y. Verifique que x ∂f ∂f ∂f + y +z = 3f ∂x ∂x ∂x y = f (u) con u = x − vt . f (x. es solución de la ecuación para las ondas de una cuerda vibrante en una dimensión. Dada la función La expresión f (x. y) = xey − yex III. y) = x3 y− xy3 ii. z) = x2 y+ yz2 + z3 . Compruebe las siguientes situaciones Una función de dos variables que satisface la ecuación de Laplace ∂2 f ∂2 f + = 0 se dice que es ∂x2 ∂y2 armónica.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 II. Si z = (x2 + y2 )1/2 . v una constante. Demuestre que x VI.donde f (x) = y g(t ) = 1 a2λ2 Demuestre que MAT430 1 λ2 ∂z ∂z +y =z ∂x ∂y ⋅ f ′′(x) ⋅ g′′(t ) a2 ∂2 u ∂ 2 u = ∂x2 ∂t 2 Página 42 . Si u = f (x)⋅ g(t) . Verificar que esta solución cumple la igualdad ∂ 2 y 1 ∂2 y − =0 ∂x2 v2 ∂t 2 V. f (x. Muestre que las siguientes funciones son armónicas: ∂2 f ∂2 f + =0 ∂x2 ∂y2 FUNCIONES i. I.6 =− ∂y∂x II. ∂2 f = 6x −10y ∂x2 ∂2 f = −10x ∂y∂x ∂2 f 2 = ∂y2 b. a.6 y−1.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Soluciones I. Si se cumple MAT430 II.4 y−0. ∂2 f = −0. ∂2 f =0 ∂x2 d. Si se cumple IV. ∂ f = 6 xy ∂x2 2 ∂2 f = −6xy ∂y2 NO ∂f = ey − yex ∂x ∂f = xey − ex ∂y ∂2 f = −yex 2 ∂x ∂2 f = xey 2 ∂y Página 43 .4 y0. Si ∂f = 3x2 y− y3 ∂x ∂f = x3 − 3xy2 ∂y III. 24x−1. 24x0.4 2 ∂x ∂2 f = −48x2 y 2 ∂y ∂2 f = 3 − 48xy2 ∂y∂x ∂2 f = xey 2 ∂y ∂2 f = ey ∂y∂x ∂2 f = −0. ∂2 f = −16y3 2 ∂x c. 24x−0.6 2 ∂y ∂2 f 0. Si se cumple V. Si se cumple VI. vemos que el caso de una variable es semejante. tiene un punto silla en P. Resuelve problemas de optimización que involucran funciones de dos variables. Página 44 . Al aplicar la teoría a funciones de dos variables. Máximos y Mínimos Punto Critico El punto P = ( a. Sea 2 entonces. ∂2 f ( P) < 0 entonces ∂x2 ∂2 f II.) Si D > 0 y ( P) > 0 entonces ∂x2 I. es que este punto sea crítico. Supongamos que ∂2 f ∂2 f ∂2 f D= ( P ) ⋅ ( P ) − (P ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y Dx f (P) = 0 y Dy f (P) = 0 .) Si MAT430 D>0 D<0 D=0 y entonces f f tiene un máximo local en P. y) una función de dos variables talque su primera y segunda derivadas existen.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE FECHA: DOS VARIABLES CLASE 7 APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LIST Determina valores máximos y/o mínimos de una función de dos variables. Máximos y Mínimos Una aplicación importante de la derivada de una función de una variable es el estudio de los valores extremos de una función. f tiene un mínimo local en P.) Si III. con algunas variaciones. ∂y Una condición necesaria para que una función de dos variables tenga un extremo relativo en un punto donde sus primeras derivadas parciales existen. La prueba básica para determinar si un punto es un máximo o mínimo relativo de una función de dos variables es la prueba de la “segunda derivada”. entonces no se puede decidir que ocurre con f en P.) Si IV. Prueba de la segunda derivada Sea f ( x. b) para el cual ∂f ( P) = 0 ∂x y ∂f ( P) = 0 se llama punto crítico. ya que Dxx f (P) < 0 y D > 0 MAT430 Página 45 . −1) ∂2 f ∂2 f (3.-1 ) es un máximo local.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejemplo Sea la ecuación de un paraboloide f (x. −1) = −2 ⇒ = −2 < 0 ∂x2 ∂x2 ∂2 f ∂2 f (3. Determine un extremo local ∂f = 6 − 2x ∂x ⇒ 6 − 2x = 0 ⇒ x = 3 ∂f = −4 − 4y ∂y ⇒ −4 − 4y = 0 ⇒ y = −1 ⇒ P(3. −1) ∂2 f =0⇒ =0 ∂y∂x ∂y∂x D = (−2)⋅ (−4) − (0)2 = 8 > 0 P(3. −1) = −4 ⇒ = −4 ∂y2 ∂y2 ∂2 f (3. y) = 6x − 4y− x2 − 2y2 . Determine los puntos críticos de las funciones y clasifíquelos en máximo. y ) = 3 x + y − 9 x + 4 y 3 MAT430 2 Página 46 . a. mínimo o punto silla. f ( x .Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Ejercicios I. f (x. y) = x2 − 2x + y2 4 b. 0) es un mínimo local MAT430 b.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 c. −2) es un mínimo local. f ( x. P(1. c. −2) es un Punto de silla P(6. P(1. P(1. y ) = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 12 x Soluciones a. 6) es un minimo local Página 47 . Encontrar los valores de l y k que maximizan P . con x ≥ 0 e y ≥ 0 donde x mide las ventajas comerciales (utilidades y desventajas ecológicas (desplazamiento de especies.k) = 0.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 8 APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNINOS APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Determina valores máximos y/o mínimos de una función de dos variables.02l 3 +1. Sea la función de producción dada por P ( l. La conveniencia social de una empresa con frecuencia incluye elegir entre la ventaja comercial y las pérdidas sociales o ecológicas que pueda generar. y producida.009k3 l y k son las cantidades de trabajo y capital. La empresa se C < 0 . Aplicaciones a. Suponga que la conveniencia social de una empresa se mide por la función: C ( x.54l 2 − 0. y) = 16x − 6x2 − y2 + 4xy− 40 . ¿Es posible que esta Página 48 . considera conveniente si C ≥ 0 e inconveniente si maximizarán la conveniencia social? Interprete los empresa sea conveniente? MAT430 puestos de trabajo) e y mide las como porcentaje). Donde P es la cantidad b. ¿Qué valores de x e y resultados. respectivamente. Resuelve problemas de optimización que involucran funciones de dos variables.89k2 − 0. El segundo tipo de sistema. con un costo de fabricación de U$10 por sistema. lo comprarán ( 50 + 9x− 7y) U$30 por sistema.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 c. B. Una inyección con x miligramos de un medicamento A. lo comprarán ( 40 −8x+ 5y) consumidores. A. se vende en consumidores. con un costo de U B (x. y) = x⋅ ( 40 −8x+ 5y) −10 ⋅ ( 40 − 8x+ 5y) dólares. ¿Qué dosis de cada fármaco ocasiona una respuesta máxima? e. se vende en dólares. e B. Una compañía vende dos tipos de sistemas. ¿Qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar la máxima utilidad? MAT430 Página 49 . y) = y⋅ ( 50 + 9x− 7y) − 30 ⋅ ( 50 + 9x − 7y) x y dólares. Suponga que cuando la producción de una mercancía requiere de x horas-máquina y de y horas-personas. produce una respuesta de y miligramos de un medicamento R= xy⋅ (1− 2x − 3y) unidades. y) = 2x3 + y2 − 6xy+ 500 Determine el número de horas-máquina y de horas-personas necesarias para producir la mercancía a un costo mínimo. El primer tipo de sistema. lo que genera una utilidad de U A (x. el costo de producción esta dado por f ( x. d. generando una utilidad de dólares. sin tapa. En 30 dólares el primer sistema y en 45 dólares el segundo sistema f. e 1 9 mg del medicamento B. tiene una capacidad de 256 cm3 . ¿Cuáles son las dimensiones de la caja rectangular que requiere menos material para su construcción ? (Ind: Volumen Paralelepípedo V = x⋅ y⋅ z ) Soluciones I.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 f. Se necesitan 3 horas-maquinas y 9 horas-personas d. por lo tanto. La dosis debe ser de 1 6 mg del medicamento A. 8 cm de ancho y 4 cm de alto. el cual es C = −8 . e. Una caja rectangular de cartón. Con l =18 y k = 140 x = 4 e y = 8 se obtiene un máximo para C . a. la empresa se considera inconveniente c. Las dimensiones de la caja son 8 cm de largo. MAT430 Página 50 . La producción se maximiza cuando b. Ejemplo Sea la función f (x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 CLASE 9 MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON RESTRICCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI FECHA: CHECK-LIST Determina valores óptimos con restricción de funciones de dos variables. Utilizando el método de los Multiplicadores de Lagrange. y) = 5 + x2 − y2 . y) = x2 − 2y2 − 5 . b) que satisfagan el sistema: ∂f ∂g =λ ∂x ∂x ∂f ∂g =λ ∂y ∂y g( x . formamos el sistema ∂f ∂g = 2x = λ2x λ ∂x ∂x ∂f ∂g = −2y λ = −λ 4y ∂y ∂y ⇒ 2 x = λ2 x ⇒ 1 = λ ⇒ −2y = −λ 4y − 2y = −1 ⋅ 4y ⇒ −2y = −4y ⇒ 0 = −2y ⇒ y = 0 MAT430 Página 51 . los puntos obtenidos del sistema deben ser reemplazados en ella. con la restricción g(x. utilizando método de Multiplicadores de LaGrange. y) . sujeta a la restricción g( x. y) . y ) = 0 Para discriminar entre los máximos y mínimos de la función z= f ( x. Máximos y Mínimos con restricción Al tener problemas de extremos relativos para una función en la cual se tenga una condición adicional llamada restricción. utilizaremos el método de los Multiplicadores de Lagrange. Método Se introduce una nueva variable λ . llamada multiplicador de Lagrange. Para determinar los máximos y/o mínimos de una función z= f ( x. Determine los máximos y/o mínimos de la función. estos problemas se conocen como “problemas con extremos restringidos”. y) = 0 . luego se forma un sistema de ecuaciones con las derivadas parciales de la función y la restricción para determinar los puntos críticos P = ( a. 55 c. entonces f (3. 2 ) = 12 Por lo que en (± 5. y) = x2 + y b. 0 = 10 (3. se tiene x2 − 2y2 = 5 x2 − 2 ( 0 ) = 5 ⇒ x2 = 5 2 ⇒ x2 = 5 / ⇒ x=± 5 luego (± 5. FUNCIONES MAT430 a. 2 ) . Use el método de Lagrange para determinar los valores máximos y mínimos de cada función.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 reemplazando en x2 + y2 = 1. f (x. 0 = f − 5. f ( x. y) = x2 + y2 − 9 x+ y =100 x2 − 2y2 = 5 Página 52 . f (x.45 y0. y) = 5 + x2 − y2 RESTRICCION g(x. 0) son los puntos críticos donde Sea f ( ) ( ) 5. y) = 80x0. 0) se tiene un mínimo Ejercicios I. Suponga que U es una función utilidad para la cual : U(x. los cuales son consumidos semanalmente por una persona. 6 ⋅ y 0.Aplicaciones a. y) = xy . Si hay U$50. ¿Cuántas unidades de cada artículo deben comprarse semanalmente para maximizar el índice de utilidad de la persona? MAT430 Página 53 .Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 II. entre mano de obra y equipos. la producción de cierta fábrica será f ( x.000 x + y = 50. para generar una mayor producción posible? b. respectivamente. y que el gasto total semanal para estos artículos se ha presupuestado en US$ 90. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra e y miles de dólares en equipos. Además suponga que los precios unitarios de A y B son US$ 2 y US$ 4. donde x e y representan el número de unidades de los artículos A y B respectivamente. y ) = 100 x 0. 4 disponible su función restricción sería unidades. ¿Cómo debe distribuirse el dinero. y) = 2x2 + y2 − y . d. Un disco circular formado por la región limitada por la circunferencia x2 + y2 es la temperatura en cualquier punto (x. Un cliente tiene U$280 para gastar en dos artículos. es U ( x. y ) = 100 x 0. = 1. Si T grados T(x.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 c.75 .25 y 0. ¿cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar las utilidades? MAT430 Página 54 . el primero de los cuales cuesta U$2 por unidad y el segundo U$5 por unidad. determine los puntos más calientes y los más fríos en el disco. y) del disco. Si la utilidad obtenida por el cliente al comprar x unidades del primer artículo e y unidades del segundo. Se debe distribuir. (± 5. Se deben comprar 22. c. Se deben comprar 35 unidades del articulo x y 42 unidades del artículo y.25 unidades del articulo A y 11. 0 ) II. ± 35 1 . − = 2 4 d. para maximizar las utilidades MAT430 Página 55 .Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 Soluciones I. Los puntos mas caliente están en 3 1 3 1 9 y el más frio en T . a. 30.− = .000 dólares en equipos.000 dólares en mano de obra y 20.− = 2 2 2 4 2 1 3 T 0. 55) . b. a. 3 2 ( 45. para generar una mayor producción posible b.25 unidades del articulo B semanalmente para maximizar el índice de utilidad de la persona c. 3. 40 y 60. y) = 90 − 0. La función de costos conjuntos mensuales esta dada por C(x. donde x e y se miden en metros. 20. El costo de material y mano de obra por producir un kilo de chocolate blanco es de 6 dólares y el de amargo es de 5 dólares. y) = ln(x2 + y2 ) es armónica. u = x2 . c. Se modela la superficie de un balón de Rugby. medidas en centímetros. v) . 2. La temperatura. respecto del plano central viene dado por la función f (x. La altura. y) = 0. b. b. y) de una placa circular de 22 metros de radio esta dada por: T(x. Demuestre que la función f (x. donde ∂f ∂f = = 1. 5. Determine el costo semanal de producir 100 kilos de chocolates blanco y 230 kilos de chocolate amargo. uno LED y otro del tipo Smart TV. es decir cumple con MAT430 ∂2f ∂x 2 + ∂2f ∂y 2 =0 Página 56 .5y2 . y) = 200 − 0. Una compañía elabora dos tipos de televisores. Dibuje las curvas de nivel (curvas isotermas) para 0. 4 y 6 cm. 4y2 − x2 . Obtenga la función utilidad semanal como función del numero de kilos de cada tipo producida y vendida a la semana. Encuentre el costo semanal como función de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipo producido a la semana. en cualquier punto (x . Demuestre que y ∂z − x ∂z = y2 − x2 ∂u ∂v ∂x ∂y 6. a.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 GUIA RESUMEN PRUEBA Nº2 1. v = y2 . 2. 4. 5y2 + 4xy+ 200000 donde x es el número de televisores LED e y el número de televisores Smart TV a producir. Suponga que la empresa tiene costos fijos semanales de 1200 dólares. Dibuje las curvas de nivel (indicando puntos de corte en los ejes) para la altura de 0. en grados Celsius. Encuentre los costos marginales cuando se producen 100 televisores LED y 100 del televisores Smart TV.1x2 + 0.5x2 − 0. a. Si z = xy+ f (u. Determine el costo de producir de 150 televisores LED y 100 del televisores Smart TV al mes. Una pastelería produce chocolate blanco y chocolate amargo. Si vende el kilo de chocolate blanco a 10 dólares y el amargo a 8 dólares. 8. Se estima que si se invierte x miles de dólares en desarrollo e y miles de dólares en publicidad. e compuesto B. La temperatura en cualquier punto (x. y) = 3x + 4y+1000 a. ¿Cuánto dinero deberán asignar el fabricante a desarrollo y cuanto a publicidad para maximizar las ventas? MAT430 Página 57 . Si la compañía vende el producto x a 4 dólares y él y a 6 dólares. Verifique que el punto crítico es un máximo 11. Aplicar el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al agregar un trabajador calificado. y) de la curva 4x2 +12y2 = 1 es T grados Celsius. Encuentre la temperatura en esos puntos 12. Determine la utilidad marginal de producir 20 productos del tipo x y 15 del tipo y. produce una respuesta de y miligramos de un R(x. a. y) = 1200x + 500y+ x2 y− x3 − y2 donde x es el número de trabajadores calificados e y el número de trabajadores no calificados empelados en la planta. En un supermercado se venden dos productos que compiten entre si a precios de x e y pesos respectivamente. si no cambia el número de trabajadores no calificados. y) = −7x2 − 4y2 + 2xy+10x +14y Calcule los precios para que el ingreso sea máximo 10. Una empresa produce dos tipos de productos x e y. Un líquido desinfectante contiene x miligramos de un compuesto A. por producir una unidad de x y una unidad de y está dada por C(x. b. El costo de material y mano de obra. En la actualidad. en dólares. y) = xy⋅ ( 3 − x − 2y) unidades. 9. Obtenga la función utilidad mensual como función del número de unidades producidas b. Determine el punto crítico para la situación. Encuentre los puntos en la curva donde la temperatura es máxima y donde es mínimo b. donde T = 4x2 + 24y2 − 2x . ¿Qué cantidad de miligramos de cada componente ocasiona una respuesta máxima?. se venderán aproximadamente V(x. y) = 20x3/2 y unidades. Un fabricante tiene 80000 dólares para invertir en desarrollo y publicidad de un nuevo producto.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 7. hay 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Si el ingreso debido a la venta de esos productos viene dado por I (x. a. en cierta planta está dada por la función Q(x. Se estima que la producción semanal de un artículo. 7 13. Se cumple la igualdad.7 x z z z z = = = = 0 2 4 6 4. MAT430 Página 58 . y 15 14. El costo de producir 150 televisores LED y 100 Smart TV al mes es de $267.200 2. y ) = 4 x + 3y − 1. U(x. a.3 8. y) = ln(x2 + y2 ) es armónica. El costo semanal de producir 100 kilos de chocolate blanco y 230 kilos del amargo es de US$2. C(x. La función f (x. 5. 6.6 11. y) = 6x + 5y + 1.6 7. y r = 20 r = 19 r = 17. c.Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 SOLUCIONES 1.9 r = 16.6 x 9.250 b. a.200 b.950. El costo varía en $420 al variar x en una unidad e y fijo.5 9. El costo varía en $500 al variar y en una unidad y x fijo.3 3. La temperatura en (-1/4. segunda unidad superada elegantemente MAT430 Página 59 . 1 2 ) = 3 > 0 11. El punto crítico es x=1 e y=2 b. manteniéndose constante y en 15. Luego los puntos máximos son (-1/4. Los precios para que el ingreso sea máximo son de $1 y $2 respectivamente.1/4) y (-1/4. Se gastan 32 miles en desarrollo y 48 miles en publicidad Felicidades sir. la utilidad aumenta en US$2 8. Al agregar un trabajador calificado (de 30 a 31).Programa de Matemática Cálculo II – MAT430 7.0) es de 0ºC. la producción aumenta en 2.25ºC y en (1/2. El punto crítico es x=1 e y=2 es un máximo.-1/4) y el mínimo es (1/2. Al variar x de 20 a 21. 1 2 ) = −1 < 0 y D (1. (-1/4. ya que Rxx (1. 10.1/4). 9. a.0) b. la utilidad aumenta en US$1.037 artículos.-1/4) es de 2. manteniéndose constante x en 20. Al variar y de 15 a 16. a. 12. manteniendo los no calificados en 60.