65Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 5. Una caja (I) contiene un microprocesador Intel y 3 AMD; la caja (II) contiene 3 microprocesador Intel y 2 AMD y la caja (III) contiene 4 microprocesador Intel y 8 AMD. Una caja se escoge aleatoriamente y de ella se extrae un microprocesador. Calcule la probabilidad que el microprocesador elegido sea AMD. 6. Líder una empresa constructora evaluará por tres meses a 23 ingenieros civiles para cubrir sus puestos vacantes, donde 16 son mujeres. Dichos ingenieros son repartidos aleatoriamente a tres departamentos de la empresa, de modo que el departamento I recibe a 10 ingenieros, el departamento II recibe a 8 y el departamento III el resto. ¿Cuál es la probabilidad de que el departamento I reciba a 6 mujeres, el departamento II a 2 hombres y el departamento III a 4 mujeres? 7. El día de mayor venta, el gerente de una tienda que vende equipos informáticos recibe dos lotes de tarjetas de dos proveedores XL y ZM. Se sabe que se recibieron del proveedor XL 5 tarjetas de video de la marca A y 3 de la marca B y del proveedor ZM 7 tarjetas de video de la marca A y 5 de la marca B, el gerente decide escoger al azar una tarjeta de video del lote del proveedor XL y la reúne con el grupo de tarjetas del proveedor ZM, luego extrae al azar una tarjeta del lote del proveedor ZM, ¿cuál es la probabilidad que la tarjeta extraída del lote ZM sea de la marca A?. 8. Una empresa ha hecho un pedido de 20 “discos duros” que deben ser enviados a tres de sus sucursales A, B y C, de manera que A recibe 8, B recibe 7 y C recibe 5. Se sabe que tres de tales “discos duros” no han sido formateados. Si la asignación de discos se hace aleatoriamente, ¿qué probabilidad hay de que los tres “discos duros” no formateados sean enviados a la misma sucursal? 3.10 Probabilidad condicional Si A y B son dos eventos de un espacio muestral Ω, entonces, la probabilidad condicional de que ocurra el evento A dado B se determina por: P (A/B) = ሺתሻ ሺሻ , siendo P (B) > 0 Ejemplo Para ocupar un puesto de trabajo en el departamento de diseño de ingeniería de una compañía constructora de barcos, se han presentado postulantes, cuyas principales características se resumen en el siguiente cuadro: Años de experiencia Al menos tres años de experiencia (A) Menos de tres años de experiencia (B) Total Egresado de ingeniería Mecánica (M) Industrial (I) 14 4 25 11 39 15 No egresado de universidad (N) 9 27 36 Total 27 63 90 Defina los . Determine la probabilidad de que el primer entrevistado por el gerente: a. La construcción se termine a tiempo y no haya huelga. Sea egresado de ingeniería mecánica o tenga al menos tres años de experiencia. P ( N / B) = మళ వబ లయ ቀవబቁ ቀ ቁ = 0.66 Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC El orden en que el gerente de la estación entrevista a los aspirantes es aleatorio. Tenga menos de tres años de experiencia y sea egresado de ingeniería mecánica.429 c. ଷଽ ଶ ଵସ P ( M U A ) = P ( M ) + P ( A ) .578 Ejercicio La probabilidad que la construcción de un edificio termine a tiempo es ଷ ସ ଵ ଶ .P ( M A ) = ଽ + ଽ െ ଽ = 0. P ( A / I) = ర వబ భఱ ቀవబቁ ቀ ቁ = 0.278 b. 267 d. ଶହ P ( B ∩ M) = ଽ ൌ 0. la probabilidad que no haya huelga es . Tenga al menos tres años de experiencia dado que es egresado de ingeniería industrial. No sea egresado de universidad si se sabe que tiene menos de tres años de experiencia. la probabilidad que haya huelga y no se termine la construcción a tiempo es eventos y calcule las siguientes probabilidades: a. y la probabilidad que la construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga ଵସ es ଵହ . ଵ ଵ . P(B) = 0. Calcule: P(A B) y P(Ac B) . La construcción no se termine a tiempo si no hubo huelga. esto es.4.Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 67 b. Regla multiplicativa de la probabilidad De la definición de probabilidad condicional. No haya huelga dado que la construcción se terminó a tiempo.2 y P(A/B) = 0. La construcción no se termine a tiempo si hubo huelga. obtenemos la fórmula para hallar la probabilidad de la intersección (o producto) de los eventos A y B. de P( A B) P( A | B) P( B) P( B A) P( A) Ejemplo Si A y B son eventos tales que P(A) = 0. c. d.5. Ek ) P( E1 ) P( E2 ) P( Ek ) Propiedades Si los eventos A y B son independientes. los eventos A y B son independientes si: P( A B) P( A) Si dos eventos no son independientes.15 P(A´) = 0. . P( A B) P( A) P( B) Generalizando para los eventos independientes E1 . E2 . se dice que son dependientes.85 B = {El subsistema B falle} P(B) = 0. Si los subsistemas funcionan de manera independiente. P( E1 E2 . entonces también son independientes: AC y BC esto es P(ACBC) = P(AC) P(BC) AC y B esto es P(ACB) = P(AC) P(B) A y BC esto es P(ABC) = P(A) P(BC) Esta propiedad se puede generalizar para más de dos eventos..15. es decir.20 y 0. la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de las probabilidades de A y B.35. definir los eventos y calcular: A = {El subsistema A falle} C = {El subsistema C falle} P(A) = 0. de tal manera que las probabilidades de fallar de cada uno son 0.68 Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 3. 0. es decir.. Regla multiplicativa para eventos independientes Si los eventos A y B son independientes. Leyes de Morgan P(AB)C = P(ACBC) P(AB)C = P(ACBC) Estas leyes se pueden generalizar para más de dos eventos. Ejemplo Un sistema electrónico está compuesto por tres subsistemas A. Ek . B y C.80 P(C) = 0.35 P(C´) = 0.20 P(B´) = 0.11 Eventos independientes Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de B no altera la probabilidad de que haya ocurrido A.65 . P ( A´) * P(B´) * P(C´) P(S) = 1 – 0.95.P ( A´∩B´∩C´) = 1 . Sistema en serie: Un sistema de componentes acopladas en serie funciona si todos sus componentes funcionan.80 * 0. ambos deben funcionar. Suponga que A y B funcionan de manera independiente. Determine la probabilidad que el sistema funcione.65 + 0.80 * 0.931 .P (S´) = 1 . La probabilidad de solo dos de los subsistemas funcionen. S2 = {sólo dos de los sistemas funcionen} P(S2) = P ( A´∩B∩C´) + P ( A∩B´∩C´) + P ( A´∩B´∩C) = P(S2) = P ( A´) *P(B) * P(C´) + P (A) * P(B´) * P(C´) + P (A´) * P(B´) * P(C) P(S2) = 0.65 + 0.95 = 0.85 * 0.20 * 0. P(ࡲࡿ ) = P(ࡲ∩ ࡲ ) = P(ࡲ) P(ࡲ ሻ Ejemplo El sistema funcionará sólo si ambos componentes funcionan.98 y el componente B funciona con una probabilidad de 0. P( ୗ ) = P( ∩ ) = P( ) P( ሻ = 0.85 *0. S = {al menos uno de los sistemas falle} S´ = {Ningún de los sistemas falle} P(S) = 1.35 = 0. La probabilidad de que al menos uno de los subsistemas falle. Sea ܨ = La componente A funciona.80 * 0. El componente A funciona con una probabilidad de 0. ܨ = La componente B funciona Para que el sistema funcione ܨௌ .98 * 0.65 = 0.4265 Aplicación al sistema de componentes: Confiabilidad de Sistemas Podemos aplicar el concepto de la independencia de eventos al caso en que se tenga un sistema de componentes electrónicos acoplados en serie o en paralelo.558 b.85 * 0.69 Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC a.15 * 0. 15 = 0.ሺ ሻሺ ሻ Ejemplo Los componentes C y D funcionan con una probabilidad de 0. P( ୗ ) = 1 . El sistema funcionará si alguno.9 0. 0.985 Ejercicio Un sistema eléctrico consta de cuatro componentes. Suponga que los cuatro componentes funcionan de manera independiente. si al menos una de sus componentes funciona.ሺ ሻሺ ሻ = 1 – 0. Suponga que C y D funcionan de manera independiente.8 Calcule las siguientes probabilidades: D .10 * 0.90 y 0.85 respectivamente. P( ୗ ) = P( ) = P( ) + P( ሻ െ ሺ ת ሻ P( ୗ ) = P( ) = P( ) + P( ሻ െ ሺ ሻሺ ሻ P( ୗ ) = 1 . y si funciona cualquiera de los componentes C o D. El sistema funciona si los componentes A y B funcionan.70 Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC Sistema en paralelo: Un sistema de componentes acoplada en paralelo funciona. La confiabilidad (probabilidad de que funcionen) de cada uno de los componentes también se muestra en la figura. C o D funcionan.8 C 0.9 A B 0. Determine la probabilidad de que el sistema funcione. Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 71 a..los cuales forman una partición del espacio muestral : mutuamente excluyentes y exhaustivos y sea E otro evento cualquiera de :.. dado que el sistema completo funciona.... P( Ak ) P( E / Ak ) Donde a la P(E) se le conoce como la probabilidad total.. Que el sistema completo funcione. A2 . Que el componente C no funcione.. se cumple: P( E ) P( A1 ) P( E / A1 ) P( A2 ) P( E / A2 ) . 3. b. ..12 Probabilidad Total y el Teorema de Bayes Probabilidad Total Sean los eventos A1 ... Ak ... constituyen una partición del espacio muestral :. 2 . mientras que los porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10%.. 30% son de la marca 2 y 20% son de la marca 3. Se sabe que 25% de los teodolitos de la marca 1 requieren trabajo de reparación dentro del periodo de garantía.72 Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC Teorema de Bayes Si los eventos A1 . Cada fabricante ofrece 1 año de garantía en las partes y mano de obra.. Definamos los eventos: Ai = {Marca “i” adquirida} con i = 1.. respectivamente.3 B = {Necesita Reparación} B’ = {No necesita reparación} Con el diagrama del árbol: . A2 .. Ak . entonces para cualquier evento E de : la P(Ai|E) es: P( Ai | E ) P( Ai | E ) P( Ai E ) P( E ) para i 1.. De sus ventas de teodolitos. 50% son de la marca 1 (la menos cara)..2.. k P( Ai ) P( E Ai ) P( A1 ) P( E A1 ) P( A2 ) P( E A2 ) . P( Ak ) P( E Ak ) Ejemplo Una cadena de tiendas de suministros de construcción vende tres marcas diferentes de teodolitos. 40 si existiera estabilidad y 0. Al estudiar la situación económica del próximo año se contemplan tres posibilidades: inflación. ¿cuál es la probabilidad de que sea un teodolito marca 1? ¿Un teodolito marca 2? ¿Un teodolito marca 3? P(A1| B) = ሺభ תሻ ሺሻ = ǡଵଶହ ǡଶହ = 0. Si un cliente regresa a la tienda con un teodolito que necesita reparación dentro de garantía.65 si existiera crecimiento. Una empresa se encuentra estudiando la posibilidad de importar para el próximo año un nuevo modelo de celular de última generación.Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 73 a.2927 = 0.06 + 0. La probabilidad de importar el nuevo modelo de celular es 0.25 si existiera inflación.6098 P(A2| B) = = ሺమ תሻ ሺሻ = ǡ = ǡଶହ P(A3| B) = = ሺయ תሻ ሺሻ = ǡଵଶହ ǡଶହ 0. 0. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado un teodolito que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía? P(B) = P(marca 1 y reparación) ó P(marca 2 y reparación) ó P(marca 3 y reparación) = P(A1∩B) + P(A2∩B) + P(A3∩B) = P(B|A1)*P(A1) + P(B|A2)*P(A2) + P(B|A3)*P(A3) =0.205 c.125 b.125 + 0.0976 Ejercicio 1. Defina los eventos . estimando dichas alternativas con las siguientes probabilidades: 0.020 = 0.35 y 0.55. 0.10 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya adquirido un teodolito marca 1 que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de garantía? P(A1∩B) = P(B|A1)*P(A1) = 0. estabilidad o crecimiento. ¿cuál es la probabilidad que existiera inflación en la economía? 2. ¿Cuál es la probabilidad de importar el nuevo modelo de celular para el próximo año? b.Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 74 a. Si la proporción de artículos defectuosos que produce cada una de estas máquinas es 0.04 y 0. el 30% y el 20% del número total de artículos de una fábrica. Calcule la probabilidad de que el artículo sea defectuoso. . Asumiendo que la empresa decidió importar el nuevo modelo de celular. Consideremos que tres máquinas Alpha.03 0.05 respectivamente y se selecciona un artículo aleatoriamente: Defina los eventos a. Beta y Gamma producen respectivamente el 50%. Una de estas máquinas ha estado funcionando durante un año de prueba y ha producido una pieza defectuosa. Si durante una prueba a cargo del profesor Jaime.30 y las máquinas C tienen una probabilidad 0. Una empresa vende tres tipos de maquinaria pesada para la industria textil A.Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 75 b. No obstante. ¿cuál es la probabilidad que sólo dos sean defectuosos? Ejercicios propuestos 1. c. las máquinas B tienen una probabilidad de 0. sólo 25% de los profesores advierten por escrito a sus alumnos que no está permitido levantarse a preguntar durante la prueba. en cierto colegio. se ha observado que a pesar de esa advertencia 20% de los estudiantes lo hacen. ¿De cuál tipo de máquina es más probable que provenga la pieza defectuosa? 2. Para los mentores que no establecen dicha advertencia. Las máquinas A tienen una probabilidad de 0.10 de producir una pieza defectuosa a lo largo de un año. Si se seleccionan cinco artículos.60 de producir una de tales piezas defectuosas a lo largo de un año. si se sabe que este es defectuoso. Durante la época de exámenes. ¿cuál es la probabilidad de que ese profesor no haya advertido por escrito que se prohíbe hacer preguntas en los exámenes? . Calcula la probabilidad de que el artículo seleccionado al azar haya sido producido por la máquina Alpha o la máquina Beta. B y C. el 20% del tipo B y el 10% son del tipo C. de pronto irrumpe un inspector en el salón y observa que hay alumnos que quebrantan la regla. la cifra correspondiente es de 70%. El 70% de las máquinas son del tipo A. 6. c.55 de elegir la .62. Considere el sistema de componentes electrónicos conectados como se muestra en la figura. se seleccionan al azar 5 envíos. ¿cuál es la probabilidad de que el sistema electrónico funcione? 4. Para que el sistema funcione basta que funcione al menos uno de los componentes. para el envío de un mismo archivo por tipo de tecnología y medio físico adoptado en diferentes empresas atendidas por ElectronicSystemsCompany que brinda soporte especializado.45 de elegir la Tecnología LAN. si la empresa elige los cables de cobre de par trenzado como medio físico la probabilidad que elija la Tecnología WAN es 0. las empresas que eligen cables coaxiales tienen una probabilidad de 0. ¿cuántos componentes debe tener el sistema para tener una probabilidad de 0. Los componentes funcionan de manera independiente uno del otro. el 40% fibras ópticas y 10% el aire. si se sabe que utiliza la Tecnología LAN. La probabilidad que no utilice fibras ópticas o que utilice la Tecnología WAN. Los resultados se muestran a continuación: Tecnología LAN(L) Medio Físico de transporte WAN(W) 110'' 115'' 120'' 125'' 110'' 115'' 120'' 125'' Total Cables de cobre de par trenzado(C) 5 9 4 2 8 12 7 5 52 Cables coaxiales(X) 12 12 22 10 14 14 24 12 120 Fibras ópticas(F9 20 25 10 5 15 18 15 22 130 Aire(A) 3 4 4 3 3 6 4 1 28 40 50 40 20 40 50 50 40 330 Total Si de la tabla mostrada se selecciona un envío. y la probabilidad de que cada componente funcione es 0. Electronic Systems Company que brinda soporte especializado en la instalación de redes con Tecnología LAN o WAN en diferentes empresas.76 Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 3. el 35% prefiere los cables coaxiales. Determine la probabilidad que 2 de ellos usen Tecnología LAN y 3 utilicen Tecnología WAN. Se tienen observaciones del tiempo de transmisión. d. las empresas que eligen la fibra óptica tiene una probabilidad de 0. b. calcule: a.4. La probabilidad que tarde como máximo 120 segundos. sabe que el 15% de las empresas prefieren como medio físico de transporte los cables de cobre de par trenzado. Además. La probabilidad que corresponda a un tiempo mayor a 115 segundos y utilice cables coaxiales. en segundos.90. Se tiene un sistema antiguo compuesto de varios componentes que funcionan en forma independiente y la probabilidad de falla de cada componente es 0.98 de que el sistema funcione? 5. De los envíos que tardan 115” y tienen como medio físico de transporte el Aire. 6 y las llaves se cierran y se abren en forma independiente. Si se selecciona al azar una empresa que utiliza Tecnología WAN. calcular la probabilidad de que pase corriente de I hacia O en el siguiente circuito: . b. Si la probabilidad de que cada llave esté cerrada dejando pasar corriente es p=0.Estadística (Civil/Electrónica/Telecomunicaciones) UPC 77 Tecnología WAN y las empresas que eligen el aire como medio físico de transporte tienen una probabilidad de 0. Calcule la probabilidad que una empresa elija para su Red la Tecnología LAN. ¿cuál es la probabilidad que utilice como medio físico de transporte cables de cobre de par trenzado? 7.5 de elegir la Tecnología LAN. a.