Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 CUADERNO DE APUNTES DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2010 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 1 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 I. PROGRAMA DEL MÓDULO I: IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO: UNIDAD DE COMPETENCIA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Operar con métodos y técnicas de resolución cuantitativa de problemas, demostrando manejo conceptual y operativo de teoría de funciones, derivadas e integrales, habilidad para utilizar calculadora electrónica y capacidad para interpretar los resultados en el contexto de los casos. 72 horas pedagógicas DURACIÓN: II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO Área de formación: general diferenciada Ubicación en la malla: 5º semestre Prerrequisito: no tiene III: UNIDADES DE APRENDIZAJE 1º UNIDAD: Funciones Reales, límite y continuidad DURACIÓN: 24 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS Identifican y caracterizan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar con la función lineal. Identifican y caracterizan la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, demostrando capacidad para operar con la función cuadrática. Identifican y caracterizan la función exponencial y la función logarítmica en forma analítica y gráfica. Analizan fenómenos de crecimiento exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, aplicando modelos exponencial y logarítmico. CONTENIDOS RELEVANTES Función lineal: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones Función cuadrática: - Características - Ecuación general y particular - Gráfico - Aplicaciones Funciones logarítmicas y exponenciales: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones - Calculan límite de una función real. Concepto de límite de una función real: - Aplican propiedades de las operaciones con límites, en forma gráfica - Teoremas de límites y analítica. - Continuidad. - Límites por la derecha y por la izquierda. 2 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. De la suma y resta de funciones .Calculan límites de funciones racionales. . .De un cuociente de funciones . derivada. -Valoración de funciones derivadas en un Valoran funciones derivadas en un punto. . aplicando las propiedades -Propiedades de la función derivada con una variable: de las operaciones: .Identifican límite infinito.Del producto de funciones . -Máximos y Mínimos. 3 . Interpretación geométrica.Regla de la cadena .De la función potencia .De la función exponencial .Calculan límites laterales. Calculan función derivada a funciones polinómicas. Derivan funciones reales de una variable.Relacionan la continuidad de una función real con el concepto de límite. exponenciales. una función.Del producto de una constante por .De la función logarítmica -Derivada a funciones polinómicas.Del producto de funciones . -Incrementos y tasas Aplican el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos.Expresan el concepto de derivada de una función.De un cuociente de funciones . polinómicas. seno y coseno. exponenciales.De la función constante .Determinan asíntotas posibles de una función.De la función potencia . -Intervalos de crecimiento y decrecimiento Calculan máximos y mínimos relativos de una función.Discontinuidad evitable e inevitable . Criterio de la segunda Resuelven problemas sencillos de máximos y mínimos. .Límite infinito . Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. -Máximos y mínimos locales Calculan intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.De la función constante . logarítmicas. CONTENIDOS - - -Derivada de una función real: Definición.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 .Asíntota vertical y horizontal .Examinan si una función es continua o discontinua. 2º UNIDAD: La Derivada y sus aplicaciones DURACIÓN: 24 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS . seno y coseno. punto.Regla de la cadena . Derechos reservados AIEP.Del producto de una constante por una función. compuestas y trigonométricas. logarítmicas. .De la suma y resta de funciones . -Determinación de puntos críticos con la primera derivada: Evalúan la existencia y calculan puntos críticos de una función. . Notación.De la función logarítmica .De la función exponencial . Carrillo Marianela . polinómica.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3º UNIDAD: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES DURACIÓN: 24 horas pedagógicas APRENDIZAJES ESPERADOS . Robert P. -Aplicación de la integral definida a la resolución de problemas.. . Cálculo I. . Díaz de Santos. Concepto y fórmulas de cálculo para funciones potencia. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Larson.Demuestran comprensión de la utilidad de la matemática para la resolución de problemas en distintos ámbitos humanos. . Concepto y cálculo de su valor numérico. 2005.Calculan valor numérico de integrales definidas de la función potencia. polinómica.. Derechos reservados AIEP. . Barrios. María. exponencial y logarítmica. ISBN: 9701052749. Javier . Hostetler. Bruce H.Gil. -Utilidad de la matemática para la resolución de problemas. Un Enfoque Interdisciplina. Mc Graw Hill. -Integral definida. exponencial y logarítmica. polinómica. CONTENIDOS -Concepto de integral -Integral indefinida.Aplican la integral definida al cálculo de áreas planas bajo la curva. Roland E. 2004.Calculan integrales indefinidas de la función potencia.Identifican la integral como antiderivada o función primitiva. 4 . exponencial y logarítmica.. Edición N° 8. Análisis de Funciones en Economía y Empresa. IV: BIBLIOGRAFÍA Edwards. entonces la variable será: 5 ) y representa el Dominio de la función y representa el Recorrido o imagen de la función . el punto .2. B y C: parámetros constantes x: es la variable independiente ( y: es la variable dependiente ( m: pendiente de la recta Si Ejemplo: El punto (10. Al representar. relacionando su estudio con la especialidad. gráficamente.Gráfico . La representaremos de dos formas: Donde: a. satisface la ecuación y = x . a una función lineal (o de primer grado). demostrando capacidad para operar con la función lineal. CONTENIDOS Función lineal: .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 II. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Identifican y caracterizan la función lineal en forma analítica y gráfica. .8). Derechos reservados AIEP.Aplicaciones a) Concepto de recta La recta. . entonces diremos que ese punto satisface la ecuación. lo que es verdadero.Características . LIMITE Y CONTINUIDAD APRENDIZAJES ESPERADOS . DESARROLLO PRIMERA UNIDAD: CLASE 1 FUNCIONES REALES.Ecuación representativa . representa gráficamente. ya que al reemplazar queda 8 = 10 – 2. A.Resuelven problemas contextualizados en la especialidad. el recorrido de la función. En otras Lo anterior.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Al representar. el valor de y. significa que para cualquier valor de x. el punto b) Propiedades de la función lineal Si Si Si . Gráfico 1: recta de pendiente m > 0 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. gráficamente. entonces . entonces la variable será: es una función creciente ( ver gráfico 1) es una función decreciente ( ver gráfico 2) ( ver gráfico 3) ( ver gráfico 3). Derechos reservados AIEP. será el mismo palabras. entonces . será un valor constante. 6 . representa la inclinación de la pendiente respecto al eje x. (ver gráfico 4) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 2: recta de pendiente m < 0 Gráfico 3: recta de pendiente m = 0 El ángulo . Derechos reservados AIEP. 7 . Esto Por ejemplo. el que nos indicará el punto donde la recta cortará al eje . entonces. por el punto (0. Denominaremos vertical.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 4: ángulo de la pendiente m El valor de la pendiente es: se puede obtener. coeficiente de posición. Si . se puede obtener. si m = 0. a partir de la función arcotangente Por ejemplo. obligadamente. determinando la tangente del ángulo de inclinación . El valor del ángulo de inclinación . si = 40º.45. entonces la recta pasará. entonces.0). Derechos reservados AIEP. 8 . (Ver gráfico 5) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. en la función anterior. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 5: recta cuyo coeficiente de posición es cero c) Pendiente de una recta Cuando se tienen dos puntos a través de la siguiente fórmula: ). tenemos: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. entonces podemos calcular el valor de la pendiente Ejemplo: Sean el par de puntos d) Ecuación de la recta en función de dos puntos dados Sea: Si reemplazamos m. 9 . la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por: Si despejamos la variable y. Sean: : : Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. obtendremos la ecuación principal. : Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Por ejemplo: En la ecuación general de la recta. de la ecuación general de la recta. Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 10x +2y -7 = 0? e) Rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos. 10 . obtendremos los valores para m y a. Además. Derechos reservados AIEP. Determine: a) La pendiente de la función lineal queda:: b) La ecuación de la función lineal queda: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 : III. Derechos reservados AIEP. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS A) Sean los siguientes pares ordenados a) La pendiente de la función lineal b) La ecuación de la función lineal c) El valor de Respuesta: . 11 . ¿Qué significa en terreno. son los siguientes: B) Sea . el valor de esta pendiente? y ¿Qué ángulo de inclinación representa en terreno? a) b) c) La explicación. Determine: a) La ecuación de la función lineal b) ¿Para qué valor de x. y es igual a cero? c) Si se le pide a usted explicar. 12 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 c) Los valores que se obtienen para . sobre el valor de la pendiente: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. es la siguiente. Derechos reservados AIEP. Respecto al ángulo de inclinación. se descenderá 3 m en vertical. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. consumirán una mayor cantidad de un determinado bien o servicio. Derechos reservados AIEP. Responda las siguientes preguntas: a) ¿Por qué la curva de la demanda tiene pendiente negativa? Porque los demandantes (nosotros mismos). a medida que el precio del bien o servicio.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Que cada 100 m que se avance en terreno horizontal. (Observación: Qd: cantidad demandada. se determina de la siguiente manera: C) Si la curva de la demanda está dada por la ecuación y la curva de la oferta está dada por . baje. Qo: cantidad ofrecida y p: precio). 13 . Por ejemplo. 14 . la cantidad demandada se hará negativa y eso en la práctica no es posible. Derechos reservados AIEP. a medida que el precio suba. q Q c) ¿Cuál será el precio máximo que soporta la demanda? Explique por qué no se puede superar ese precio. porque no podemos. estar comprando -50 kilos de tomate. por ejemplo.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) ¿Por qué la curva de la oferta tiene pendiente positiva? Porque los oferentes (los productores del bien o servicio). venderán una mayor cantidad de un bien o servicio. Se entendió? Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. un precio de US$ 90. si reemplazamos en la función de la demanda. debemos igualar ambas ecuaciones. En este caso. p (160. lo podemos sustituir en cualquiera de las funciones anteriores.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 d) Halle la cantidad de equilibrio y precio de equilibrio. Derechos reservados AIEP. es decir: Una vez obtenido este precio. esto es: Lo haremos en ambas funciones. se obtuvo de igualar ambas ecuaciones) e) Construya la gráfica que muestra el equilibrio.48) Q Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. donde los demandantes y oferentes se ponen de acuerdo en un determinado mercado. para que vea que el resultado es el mismo (recuerde que el precio de equilibrio p=48. 15 . y para ello incurre en un costo fijo mensual de $30.000 y un costo variable por unidad de $ 2.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 D) Una empresa vende un sólo tipo de bien.000. Al respecto.560. si el precio de venta por unidad es de $3.000 unidades Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. se le pide lo siguiente: a) Encontrar la función de costo total para una cantidad x $ b) Encontrar la función de ingreso total.840 c) Encontrar la función de utilidad bruta en función de x d) Determinar la cantidad donde la empresa no tendrá pérdidas ni ganancias e) Determinar la utilidad bruta que genera el vender 25. 16 . Derechos reservados AIEP. El quiere saber la tasa de interés simple mensual que le genere los siguientes valores futuros: .000. 17 . Derechos reservados AIEP.300. Para el interés simple. El periodo que quiere mantener el dinero es de 48 meses. tiene un dinero que le regaló su abuelita. tenemos la siguiente fórmula: a) Caso a: b) Caso b: c) Caso c: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 E) 1) Un nieto muy regalón. y cuya cantidad es de $ 2. 18 . el valor que acompaña a la variable . no tiene idea del valor del dinero en el tiempo. y que es de 3) Explique qué sucede con el valor futuro si la tasa de interés es cero Lo anterior.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) Señale cuál es la pendiente de la función anterior En este caso. éste se incrementará. y piensa que dejándolo bajo la cama. 4) Grafique los cuatro valores futuros en función de su correspondiente tasa de interés VF i Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. significa que el nieto regalón. 039 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.010 2. Se pide: a) b) c) d) Completar la tabla Graficar los datos Encontrar la función que represente las ventas (y) en función de los años (x) Determinar las ventas pronosticadas para los años 11 y 14 Año (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ventas anuales (y) 2. muestra los datos de venta anuales de andamios para la construcción (cantidad) de una Fábrica Chilena. 19 .025 2.029 2.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 F) La tabla adjunta.008 2.021 2.000 2.013 2.034 2. Derechos reservados AIEP.017 2. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 a) b) Gráfico Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 20 . Derechos reservados AIEP. vamos a eliminar el parámetro a. por 10: Luego. tenemos lo siguiente: 1) 2) En este caso. la segunda fila. 21 . Derechos reservados AIEP. multiplicando la primera fila por -55 y. en la ecuación 1) (También.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 c) Usaremos las siguientes fórmulas previas para encontrar los parámetros de la función lineal: 1) Al reemplazar los datos en las fórmulas. lo puede hacer en la ecuación 2) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. al sumar ambas filas: Reemplazaremos este valor de b. los pronósticos de ventas de andamios para el año 11 y 14 El valor de no es entero (recuerde que el número de andamios siempre es un número entero. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Determine el valor de m y la ecuación de la recta. en lo que respecta a ventas). por eso lo dejamos en El valor de no es entero (recuerde que el número de andamios siempre es un número entero. si: ¿Qué puede decir sobre el resultado? ¿Qué puede decir sobre el resultado? 2) Encuentre la ecuación de la recta si: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. en lo que respecta a ventas). 22 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Finalmente: d) Determinamos. por eso lo dejamos en IV. ahora. Total de motores trifásicos en la bodega de despacho: 2. Derechos reservados AIEP. para ello le daré los siguientes datos: . 4) Suponga que usted es un flamante Ingeniero titulado en AIEP. b) Cada cuántos días se debe hacer un pedido al proveedor. 5) Si la curva de la demanda está dada por: y la curva de la oferta está dada por : Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. y que recién ha sido contratado para trabajar en el área de bodega como Jefe de Inventarios. lo llama para decirle lo siguiente: “Juan Pablo. que despacha a regiones. en una empresa eléctrica. Estas son: y el ángulo de inclinación del terreno es de . 23 . sabiendo que usted reúne las competencias necesarias en formulismos matemáticos.156 . motores trifásicos. tenemos un desorden en bodega y quiero que usted me solucione la causa del problema. le indica sus coordenadas de posición. para mantener un inventario de seguridad de 175 motores trifásicos. y. Se le pide: a) Determinar la pendiente del terreno ( interprete el resultado ) b) Si consideramos casi una recta el terreno.Ventas diarias de motores trifásicos: 54 Quiero que usted me determine lo siguiente: a) Una función donde relacione el número de motores en la bodega y su venta diaria. El Gerente de Operaciones. determine la ecuación que podría representarla.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Recuerde que: 3) Suponga que usted está en un sector cordillerano donde el GPS. Derechos reservados AIEP. Se pide: a) b) c) d) e) Completar la tabla Graficar los datos Encontrar la función que represente las ventas (y) en función de los meses (x) Determinar las ventas pronosticadas para los meses 13 y 17 Si usted observa la tabla.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 . las ventas han decaído bruscamente. a) b) c) d) Grafique la curva de la demanda y la oferta Determine el punto y cantidad de equilibrio Grafique la curva de la demanda v/s curva de oferta ¿En qué parte del gráfico del punto c) se produce un exceso de oferta? 6) La tabla adjunta. ¿Qué solución usted propone para elevar las ventas nuevamente? Mes (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ventas mensuales (y) 25 22 27 30 30 27 32 35 20 20 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. en el mes 9 y 10. 24 . muestra los datos de ventas mensuales de computadores de una tienda. (El precio está dado en dólares norteamericanos). Aplicaciones II. es convexa. Frank. Mc Graw Hill. Administración de Empresas y Negocios. 2006 www. CONTENIDOS Función cuadrática: . es el conjunto de los números reales Es continua en todo su dominio Si a > 0. 25 .Matemáticas aplicadas a los negocios.A. Pronósticos PRIMERA UNIDAD: CLASE 2 FUNCIONES REALES.elrincondelvago.Características .Identifican y caracterizan la función cuadrática en forma analítica y gráfica. Cuarta edición. DESARROLLO 1) Características de la función cuadrática: a) b) c) d) Su dominio.Ecuación general y particular . Universidad de Los lagos.U. Derechos reservados AIEP. es cóncava. de la función cuadrática.com. – Cletus O. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA. S. economía y ciencias sociales. Presupuesto de ventas www. 2008. es decir. es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la derecha del vértice 2) Ecuación general y particular de la función cuadrática a) La ecuación general.. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Franco Y. Apuntes de Administración de la Producción. es abierta hacia arriba ( Gráfico 1) Si a > 0. es decir.Gráfico . Edwin. 1º edición. Carl B. relacionando su estudio con la especialidad. la representaremos como: donde: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la izquierda del vértice e) Si a < 0. LÍMITE Y CONTINUIDAD APRENDIZAJES ESPERADOS . RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer.Resuelven problemas contextualizados en la especialidad.com. . 1995 Budnick. demostrando capacidad para operar con la función cuadrática. es abierta hacia abajo ( Gráfico 2) f) Si a < 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 V. Oakley. Matemáticas Universitarias.elprisma. siempre corta al eje y. usaremos la siguiente fórmula: . para ello. se llama término cuadrático 2) La constante b. podemos determinar dos soluciones (llamadas raíces) de x.. a través de la siguiente fórmula: . en el punto (0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 a. 26 . son valores constantes ( no variables ) y con la salvedad de que En este caso: 1) La constante a. c) Al reemplazar. la función cuadrática. en la función cuadrática: 2) Cuando la parábola corta al eje x. Donde: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. entonces y = 0. es decir: Por lo tanto. b y c. está representada por la PARABOLA NOTA: 1) Si x = 0. realizamos el siguiente análisis: a) Si b) Si c) Si 3) Para determinar el vértice de la parábola. Derechos reservados AIEP. se llama término independiente Debemos señalar que. se llama término lineal 3) La constante c. En esta fórmula. es importante saber qué pasa con la raíz. 27 .186 x1=0.686 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) La función cuadrática particular. vértices y puntos donde corta la parábola al eje x 3.a) Gráfico 1: función cuadrática con a > 0 Ejemplo: x f(x) -4 -2 -1 0 1 2 4 17 -1 -4 -3 2 11 41 x2=-2. la denotaremos así: 3) Gráficos.1. 1.a) Gráfico 2: función cuadrática con a < 0 Ejemplo: x f(x) -4 -41 -2 -11 -1 -2 0 3 1 4 2 1 4 -17 5 -32 V(3/4. b = 3 y c = -3 3.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3.2.b) Determinación del vértice a = 2. donde la parábola corta al eje x 3.c) Valores de x.1. Derechos reservados AIEP. 28 .33/8) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Grafique. donde la parábola corta al eje x 4) Aplicaciones 1) Determine el vértice y los valores de x donde corta la parábola.2. b =-4 y c =1 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.b) Determinación del vértice a = -2. 29 .a): a = 3. a) b) c) d) Solución ejercicio 1. para las siguientes funciones cuadráticas.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3. b = 3 y c = 3 3.c) Valores de x. Derechos reservados AIEP.2. b): a = -2. .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Donde: Luego: Hemos comprobado que x se puede obtener por ambas fórmulas Solución ejercicio 1. b =10 y c =-6 Donde: 30 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. b =-1 y c =0 Donde: Luego: Solución ejercicio 1. Derechos reservados AIEP. 31 . b = 0 y c = 0 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.d): a = -4.c): a = -0.25.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Luego: Solución ejercicio 1. 32 . Derechos reservados AIEP. 2) Encuentre los valores de a. b y c y forme la ecuación general (o particular). si: a) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Donde: Luego: Por lo tanto. 000 mensuales b) Determinar el precio del artículo. toneladas de mineral.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3) Una empresa produce un artículo especial. ha determinado que la ecuación de demanda viene en función del precio (p) y cantidad producida (x). esto es: Se pide: a) Determinar la cantidad de artículos que debe vender la empresa para obtener ingresos por un monto de $ 8. .500. . 33 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. para obtener ingresos de un 90% del punto a) Solución a) Sabemos que: En este caso. las cantidades deben ser enteras. Estos admiten decimales) Si reemplazamos los valores de Lo comprobaremos: y . ya que son artículos (distinto es cuando se vende litros de aceite. el departamento de finanzas. Para ello. kilos de arroz. obtendremos el mismo valor de ingreso. para seguridad en altura de edificios. que la puede asesorar (así se gana unos pesitos para sus estudios). y me ha pedido que la asesore en su negocio. vende 600 revistas al mes.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Solución b) Sabemos que: donde pvu = p (precio de venta unitario) (90%=0.000 b) Despejamos x en función del precio p. Derechos reservados AIEP. llamada Jacinta Lagomarino Entretenevic. Sin embargo. le he dicho que tengo un excelente alumno de AIEP. vende revistas de modas.550.000*0. los dos valores obtenidos de precios. darán el mismo ingreso de $ 7.500. Por lo tanto.650.9= 7. Ella plantea lo siguiente: Si vende las revistas a un precio unitario de $ 5. pero sólo vende 540 revistas al mes.000 4) Una amiga.000.650. 34 . Ha intentado vender sus revistas a un precio de $ 6. en su sector donde vive. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. en promedio.9) a) Obtenemos el nuevo ingreso: 8. ella quiere saber lo siguiente: a) ¿Cuántas revistas tiene que vender y a qué precio. 35 . tenemos: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.330. en la igualdad 1).000? Ahora. pero vendiendo menos cantidad de revistas. para que sus ingresos sean de $3. debemos realizar el siguiente planteamiento: Debemos explicarle a mi amiga que la constante k. mensualmente. Luego: Note que si reemplazamos = 0. indica la cantidad en que se aumenta el precio y lo que disminuye el número de revistas de moda que ella vende mensualmente. Derechos reservados AIEP. para mantener los ingresos.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Por lo tanto. 500 kgs de papas y las vende a $ 100 el kilo. -4) y pasa por (3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Grafique las siguientes funciones cuadráticas: a) b) c) d) ¿Cuánto vale c? ¿Cuánto vale c? ¿Para qué valores de x. el precio subirá $ 10 por kilo. por cada semana que espera para venderlas. cada semana que pasa.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Es decir. tiene en su parcela 4. Por otra parte. 1) b) Tiene por vértice (0.10) y pasa por ) 3) Un productor de La Serena. se mantienen las condiciones iniciales Veamos ahora qué pasa para el valor de En consecuencia: a) Cantidad de revistas que debe vender: b) Precio de venta por cada revista: IV. la parábola corta el eje x? Determine Vértice y eje de simetría 2) Determine la ecuación cuadrática si: a) Tiene por vértice (4. se pide determinar: a) La función demanda de esta empresa b) La función utilidad bruta Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. usa la siguiente función de costos totales y su función ingreso es Al respecto. ¿En cuánto deberá vender las papas para maximizar el ingreso 4) Una empresa productora de tubos de oxígeno para hospitales. pierde 90 kilos de papas por efecto de descomposición. 36 . Derechos reservados AIEP. Sin embargo. Aplicaciones Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. .Características .Gráfico .Matemáticas aplicadas a los negocios.000 tubos de oxígeno? f) ¿Para qué cantidad (o cantidades).mecd. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA. como mínimo? e) ¿Cuánto vale el costo variable total para 1. Oakley.ar www. S. Derechos reservados AIEP.es http://www.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 c) La utilidad bruta para una cantidad a vender de 8. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 http://www.html www.Identifican y caracterizan la función exponencial y la función logarítmica en forma analítica y gráfica. Cuarta edición.ditutor. Mc Graw Hill.Analizan fenómenos de crecimiento exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica.r020. – Cletus O. 1º edición. CONTENIDOS Funciones logarítmicas y exponenciales: .com/index. Frank. 2008.000 tubos de oxígeno d) Si usted quiere maximizar la utilidad bruta ¿Cuántos tubos de oxígeno debe vender? e) Si usted quiere empezar a tener pérdidas ¿Cuánto debe vender. la empresa no tiene ni pérdidas ni ganancias? (Esto se conoce como punto de equilibrio) V. 1995 Budnick. 37 . economía y ciencias sociales. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. aplicando modelos exponencial y logarítmico. LIMITE Y CONTINUIDAD APRENDIZAJES ESPERADOS . .com.Resuelven problemas contextualizados en la especialidad. Matemáticas Universitarias.cnice.net PRIMERA UNIDAD: CLASE 3 FUNCIONES REALES.U.A.slideshare. relacionando su estudio con la especialidad. Carl B.descartes.Ecuación representativa . Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 II.0625 0 1 1 4 2 16 Gráfico 1: función exponencial creciente y = 4x Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Diremos. Derechos reservados AIEP. es el conjunto de los números reales b) El rango o imagen. es el conjunto de los números reales positivos.0039 -2 0. 38 . DESARROLLO 3) La función exponencial la denotaremos como: donde: Diremos que: a) El dominio de la función exponencial.00024 -4 0. también que: a) Por ejemplo: Nótese que a = 4 (Gráfico 1) x f(x) -6 0. 25 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.5 0.707 0.5 1 2 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Por ejemplo: Nótese que a = 1/2 ( Gráfico 2) x f(x) -5 -3 -1 32 8 2 0 1 0. 39 . 368 1 1.0067 0. Derechos reservados AIEP.0498 0.718 7.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 2: función exponencial decreciente y = (1/2)x c) (Gráfico 3 y 4) c. creciente Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 40 .3875 NOTA: estamos en presencia de una función exponencial de base e.5 1 2 0.6486 2.1) Sea la siguiente función exponencial de base e: x f(x) -5 -3 -1 0 0. 3875 2.3679 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 3: función exponencial de base e creciente y = ex c.6066 0.079 7.1353 NOTA: estamos en presencia de una función exponencial de base e. Derechos reservados AIEP. decreciente Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.718 1 0.2) Sea la siguiente función exponencial de base e: x f(x) -3 -2 -1 0 0.5 1 2 20. 41 . 5440 NOTA: estamos en presencia de una función logarítmica de base a.5 1 1. la denotaremos como: Diremos que: a) b) c) d) e) El dominio es: El rango o imagen es: La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las bases a.4771 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 4: función exponencial de base e decreciente y = e-x 4) La función logarítmica.5 2 2. creciente (a > 1) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.3979 0. 42 . que más se usan son: base 10 y la de base Si (Gráfico 5) Ejemplo: Nótese que a = 10 x f(x) 0.3010 0. Derechos reservados AIEP.1761 0.5 3 3.3010 0 0.5 -0. 0625 4 NOTA: estamos en presencia de una función logarítmica de base a. Derechos reservados AIEP.5 0.25 2 0.707 0. decreciente ( 0 < a < 1 ) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 5: función logarítmica de base 10 creciente y = log10x f) Si (Gráfico 6) Ejemplo: Nótese que a = 0.5 1 0.5 x f(x) 4 -2 2 -1 1 0 0. 43 . Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 6: función logarítmica de base 0.2528 NOTA: estamos en presencia de una función logaritmo natural.6931 0.6931 0 0.9163 1. creciente Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.5 2 2.5 1 1.0986 1. 44 .5x 5) La función logaritmo natural o neperiano. Derechos reservados AIEP.5 3 3.4054 0. la denotaremos como: Diremos que: a) El dominio es: b) El rango o imagen es: Ejemplo: x f(x) 0.5 -0.5 decreciente y = log0. 5 0.5 3 3.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 7: función logaritmo natural creciente y = lnx Ejemplo: x f(x) 0. decreciente Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 45 . Derechos reservados AIEP.4054 -0.0986 -1.5 2 2.2528 NOTA: estamos en presencia de una función logaritmo natural.6931 1 -0.5 1 1.6931 -0.9163 -1. siempre deber ser mayor a cero.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico 8: función logaritmo natural decreciente y = ln(1/x) III. Solución ejercicio 1): Solución ejercicio 2): Solución ejercicio 3): -2 0 2 x 46 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. . siendo éste x RECORDEMOS: o un valor que incluya a x. como los ejemplos dados anteriormente. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS A) ¿Cuál es el dominio de las siguientes funciones logarítmicas? 1) 2) 3) El argumento del logaritmo. Derechos reservados AIEP. 7781 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Por lo tanto: a) Grafique cada función Gráfico ejercicio 1: x f(x) 5.5 7 7.4771 0.6020 0. 47 .6990 0. Derechos reservados AIEP.3010 0.5 0 0.8451 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.5 6 6.5 8 8. 5 3 3.1003 0 0.1590 0. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico ejercicio 2: x f(x) 0. 48 .5 1 1.5 -0.1003 0.5 2 2.1326 0.0587 0.1813 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 0511 1.7781 1.5 3 3.6154 1.2041 B) Determine el dominio y rango de las siguientes funciones y señale si es función creciente o decreciente 1) 2) 3) 4) Solución ejercicio 1: x f(x) a) 0.5 1.2164 2 2.5 -2..5 3.0211 2.2958 3. 49 .3979 1.5 2.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Gráfico ejercicio 3: x f(x) 2.5 4 4.0794 2. Derechos reservados AIEP.7488 3 3.0794 1 0 1.9098 2.5 5 6 1.7582 función creciente Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Solución ejercicio 2: Usted debe notar que.405 b) función decreciente Solución ejercicio 3: x f(x) -2 0.095.336 2 3 4 1. no acepta valor lo siguiente: a) Si x < 0. aparece una raíz cuadrada en la función. 50 .718 0 20. y que ésta. ya que pasaría x f(x) 0. el valor de la raíz se hace imaginaria b) Si x = 0.0397 6 0.095.079 1 148.3333 0 1 1 3 2 9 3 27 4 81 c) función creciente Solución ejercicio 4: x f(x) -2 0.4904 12 0.526 59.1111 -1 0.1438 16 0 25 -0.83 8.7328 2 1.3679 -1 2.892 d) función creciente Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.2231 36 -0.805. la fracción se indetermina Por lo tanto: x > 0 . Derechos reservados AIEP.5 1. 000. Para ello. le generará un mayor monto dentro de 3 años. para un capital inicial de $ 4. Tasa de interés nominal (generalmente anual) n*= Número de periodos ( que indica la tasa de interés nominal ). Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 C) Aplicación a los negocios C. el ejecutivo de cuentas.1) Monto acumulado para n periodos: Donde: C= I = n= Capital inicial o principal Tasa de interés por periodo de capitalización Número de capitalizaciones en el tiempo de uso de dinero m= j = Frecuencia de capitalización o número de periodos de capitalización en el tiempo que indica la tasa de interés. en el tiempo de uso del dinero 1) Una persona quiere saber qué tasa de interés compuesta.000. 51 . le ofrece las tres siguientes alternativas: a) Tasa de interés compuesta del 6% semestral con capitalización trimestral b) Tasa de interés compuesta del 6% cuatrimestral con capitalización bimestral c) Tasa de interés compuesta del 6% trimestral con capitalización mensual Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. si en tres años hay 12 trimestres. por lo tanto. Derechos reservados AIEP. por lo tanto. el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 12) b) en este caso: es 2 * 9 = 18 (Recuerde que hay 2 bimestres por cuatrimestre. si en tres años hay 9 cuatrimestres. 52 . si en tres años hay 6 semestres. es el tiempo de depreciación en años Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.2) Una empresa compra una máquina para cortar cerámicos y la fórmula que usará para depreciar el activo fijo bruto (la máquina). el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 18) c) en este caso: es 3 * 12 = 36 (Recuerde que hay 3 meses por trimestre. por lo tanto. será la siguiente: Donde t. el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 36 ) ES EVIDENTE QUE LA PERSONA ELEGIRA LA ALTERNATIVA c) C.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Respuesta: a) en este caso: es 2 * 6 = 12 (Recuerde que hay 2 trimestres por semestre. 3) Suponga que un hospital tiene la siguiente función para determinar el número de personas que tienen un tipo de enfermedad: a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad al inicio? Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 53 . Derechos reservados AIEP. del valor del año 0 C. en que la máquina vale un 65%.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Determine lo siguiente: 1) El valor del activo fijo bruto en el año 0 Respuesta: 2) El valor del activo fijo bruto en el año 6 3) El tiempo. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) ¿Cuántas personas estaban enfermas en la quinta semana? c) Si consideramos un tiempo muy, pero muy lejano, cuántas personas estarían enfermas ? IV. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Responda lo siguiente: 1) ¿ Qué sucede con el valor de logax, si: a) a >1 ,y, x aumenta ?. b) 0 < a <1 ,y, x aumenta ?. c) a >1 ,y, x >1 ¿ el valor es positivo o negativo ?. Demuéstrelo gráficamente. d) a >1,y, 0 < x < 1 ¿ el valor es positivo o negativo ?. Demuéstrelo gráficamente. 2) 3) 4) 5) Si usted observa cualquier gráfico y=logax, ¿para qué valor corta siempre en x? Es posible, que la función logaritmo, también se pueda graficar en los demás cuadrantes? ¿Qué valor debe tomar x, si ¿Cuál es el dominio y el rango de las siguientes funciones? a) b) c) d) e) 6) Suponga que una empresa aplica la siguiente función de depreciación en t años: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 54 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 a) ¿Cuánto fue el valor de adquisición del activo fijo bruto? b) ¿Cuánto vale el activo al 8vo. año? c) ¿Cuánto es la depreciación acumulada entre el año 1 y el año 9? 7) Determine el periodo que se debe mantener un capital inicial, a una tasa de interés compuesta mensual de 1,75%, para que se genere un monto superior en un 35% del capital inicial 8) Un estudio realizado en un centro de estadísticas de mercado, determinó que la cantidad de frigoríficos industriales, fabricados por una empresa de Santiago, y que se encuentran aún en uso después de t años, se ajusta a la función exponencial siguiente: Al respecto, se le pide a usted, lo siguiente: a) Determinar el número de refrigeradores que estarían funcionando al cabo de cinco años b) Determinar el número de refrigeradores que estarían en malas condiciones durante cinco años de uso c) Determinar el número de refrigeradores que estarían en malas condiciones antes del primer año de uso V. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Aching Guzmán, César. Aplicaciones Financieras de Excel con Matemáticas Financieras Edición 2006 Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 www.escolares.net Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 55 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 PRIMERA UNIDAD: CLASE 4 FUNCIONES REALES, LIMITE Y CONTINUIDAD - APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan límite de una función real. Aplican propiedades de las operaciones con límites, en forma gráfica y analítica. CONTENIDOS Concepto de límite de una función real: -Teoremas de límites II. DESARROLLO 1) Concepto de límite de una función real El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo diferencial e integral, que veremos más adelante. Podemos decir, en palabras simples, que: Límite es el valor al cual tiende una función . determinado o al infinito, es decir, cuando la variable independiente x, tiende a un número Haremos el siguiente ejemplo, para aclarar más esta definición: Sea Supongamos que los valores de x están tendiendo o aproximándose a 3, tanto por la izquierda como por la derecha (valores de x que son menores o mayores a 3). x 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,99999 3,000001 3,00001 3,0001 3,001 3,01 f(x) 13,82 14,8802 14,988002 14,9988 14,99988 15,000012 15,00012 15,0012 15,012002 15,1202 Vemos en esta tabla que cuando x se aproxima a 3 (por la izquierda y derecha) la función se aproxima ( o tiende ), cada vez más al valor 15. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 56 Otro ejemplo.000001-3| |3.001 0. en valor absoluto. 57 .0001 0.001 0. pero jamás se obtendrá esta ley en el concentrado obtenido (por ejemplo: proceso de flotación de minerales de cobre). es decir. pero que es posible aproximarse arbitrariamente.01 0.8802-15| |14.1 0.1202 Definición clásica: Y cómo vemos este tema de los límites en la vida cotidiana? Usted algún día conocerá una bomba centrífuga.999-3| |2.0001-3| |3.9999-3| |2. 2) Teoremas sobre límites a) Primer Teorema (unicidad del límite) Sea una función definida en el intervalo Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.0012 0.99-3| |2. al igual entre el valor 3 y x. podemos decir que. se hace cada vez |x-3| |2. es decir.99988-15| |15.9988-15| |14. La producción máxima teórica de una máquina industrial.0012 0. entonces.00001 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Por otra parte.000012 0. Derechos reservados AIEP. donde la ley mineralógica de un mineral es su máximo que se puede obtener de un elemento dentro de éste.18 0.00012 0.01-3| 0.988002-15| |14.012002-15| |15.99999-3| |3. podríamos aplicarlo a la metalurgia. Ver la tabla siguiente: . es un “límite”. y el fabricante le dirá que tiene un rendimiento máximo de bombeo.00001-3| |3.001-3| |3.82-15| |14.12002 0.000001 0.9-3| |2. nunca podrá sacarle el máximo teórico.1198 0.01 |f(x)-15| |13. ante el concepto de límite.0012-15| |15.00001 0. la diferencia entre el valor 15 y más pequeña.00012-15| |15. Estamos.0001 0.00012 0. el rendimiento ideal o límite que en la práctica nunca se logrará alcanzar.1202-15| 1.000012-15| |15.011998 0. 58 . Derechos reservados AIEP. tendremos: Ejemplos: c) Tercer Teorema Ejemplo: d) Cuarto Teorema Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Segundo Teorema Ejemplo 1: También debemos señalar que. como consecuencia de este teorema. Derechos reservados AIEP. 59 . f) Sexto Teorema (siempre y cuando no aparezca la indeterminación Ejemplo: ) Corolario: Ejemplo: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Ejemplo: e) Quinto Teorema (siempre que no aparezca la indeterminación Ejemplo: ). Derechos reservados AIEP. 60 . sobre la continuidad. sobretodo. h) Octavo Teorema Ejemplo: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. esto es: de es igual a la enésima potencia del límite Ejemplo: g) Séptimo Teorema (siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e . el límite de la enésima potencia de .) Ejemplo: Un tema interesante veremos más adelante.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 En particular. cuando M = 0. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 i) Noveno Teorema Ejemplos: j) Décimo Teorema Pero deberán cumplirse las siguientes condiciones: Ejemplos: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 61 . ). 62 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 k) Undécimo Teorema (siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con . III. Derechos reservados AIEP. NOTA: este teorema será aplicado en otra clase indeterminaciones de los tipos posterior. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1) Encuentre el valor de los siguientes límites de funciones reales: 2) Límites desarrollados en forma gráfica a) Encuentre el límite en el siguiente gráfico Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. b) Encuentre el límite en el siguiente gráfico Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 63 . Derechos reservados AIEP. eso le indica que debe avanzar desde la derecha hacia la izquierda. y en este caso es positivo (+). NOTA: la flecha azul.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 (-3. se puede afirmar que el límite de la función es igual a cero (0). indica el sentido en que se avanza en x. Observación: usted debe notar el signo al que está elevado el -3. para llegar a concretar lo anterior. por la derecha. cuando x tiende a -3.0) Por lo tanto. c) Grafiquemos el siguiente límite: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. por la NOTA: la flecha azul.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 (7. se puede afirmar que el límite de la función izquierda. cuando x tiende a 7.0) Por lo tanto. 64 . indica el sentido en que se avanza en x. eso le indica que debe avanzar desde la izquierda hacia la derecha. es negativo (-). Observación: usted debe notar el signo al que está elevado el 7. y en este caso. para llegar a concretar lo anterior. es igual a cero (0). Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 40 35 30 25 20 15 10 5 0 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 6 (5.30) d) Grafiquemos el siguiente límite: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 65 . 7647) IV.0. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS a) Evaluar los siguientes límites en forma analítica Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 66 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 (4. Colección Schaum. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. Matemáticas Universitarias.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Identifique a qué valor tiende la siguiente función. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. Delta 2009. Cuarta edición. Carl B. y cuál es el valor de y. ISBN: 9788492453795 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 1º edición. ISBN: 84-7615-560-3 Burgos Román. 1º edición 2009. VV. Derechos reservados AIEP. Oakley. Editorial Mc Graw Hill. 3º edición. Cálculo diferencial de una y varias variables. Juan. Mc Graw Hill. 67 . – Cletus O. Cálculo diferencial e integral. ISBN:9788493750909. García Maroto Editores. c) Grafique los siguientes límites V. 2010.AA. 1995 Ayres. si se cumplen lo siguiente: B) Diremos que una función f(x) es continua en el intervalo (a. CONTENIDOS -Continuidad. si f(x) es continua en cada uno de los puntos del intervalo. LÍMITE Y CONTINUIDAD - APRENDIZAJES ESPERADOS Relacionan la continuidad de una función real con el concepto de límite. -Discontinuidad evitable e inevitable -Límites de funciones racionales y polinómicas II. C) Propiedades de las funciones continuas Si f(x) y g(x). 68 . Calculan límites de funciones racionales y polinómicas. Derechos reservados AIEP. Calculan límites laterales. Examinan si una función es continua o discontinua. DESARROLLO 1) Continuidad A) Diremos que una función f(x) es continua en el punto x=a. b). entonces: D) E) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. son funciones continuas en el punto a. -Límites por la derecha y por la izquierda.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 PRIMERA UNIDAD: CLASE 5 FUNCIONES REALES. entramos en el campo de la discontinuidad inevitable. Lo denotamos como: TEOREMA: Existe el límite si y sólo si. de f(x) cuando . Lo denotamos como: b) Límite por la izquierda Diremos que el límite por la izquierda. 69 . si ε>0. por la izquierda. Derechos reservados AIEP. entonces |f(x) . existe un δ > 0 / si 0 < x-a < δ. realizando algunas operaciones algebraicas. por la derecha. es discontinua. si ε>0.L| < ε. de f(x) cuando . Al contrario. es igual a L. 4) Límites de funciones racionales Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) Límites laterales por la derecha y la izquierda a) Límite por la derecha Diremos que el límite por la derecha. entonces |f(x) . es igual a L. pero algunas pueden hacerse continuas. existe un δ > 0 / si 0 < a-x < δ. una función cuando no es continua. esto es: 3) Discontinuidad evitable e inevitable Podemos decir que. si no se puede evitar la discontinuidad. los dos limites laterales (por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden.L| < ε. 70 . la función f(x) es discontinua en el punto x = -2. debemos usar límites laterales Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. es continua en todos los reales) Podemos concluir que. la función es continua en el punto x = 60 (Generalizando. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 5) Límites de funciones polinómicas III. haciendo que f (-2) = -5 Se pide analizar la continuidad en el punto x = 3 En este caso. Sin embargo. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 1) Pruebe la continuidad de las siguientes funciones: Por lo tanto. esta discontinuidad es evitable. la función es discontinua en el punto x = 3. Derechos reservados AIEP. podemos concluir que. La función queda: La gráfica es: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Finalmente. y estamos en presencia de una discontinuidad inevitable. 71 . Derechos reservados AIEP. 72 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Podemos notar en el gráfico que: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 73 . para los intervalos (y su continuidad) dados de la función costo total C(x). derecho e izquierdo.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 (3. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.8) y=5+x y=14-2x Una empresa ha diseñado una estructura de costos semanales en función de lo que un trabajador labora t horas semanales: Al aplicar límites laterales deberemos probar la igual por ambos lados. es decir. Derechos reservados AIEP. 74 . Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) Resolver los siguientes límites racionales y polinómicos Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Estudie las continuidades de las siguientes funciones : en el punto x = 4 Grafique en el punto x = 7 Grafique en el punto x = 5 Grafique en el punto x = 7 y x=10 2) Resuelva los siguientes límites Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 IV. 75 . Derechos reservados AIEP. Oakley. Editorial Mc Graw Hill. ISBN: 84-7615-560-3 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Cálculo diferencial e integral. Colección Schaum. 3º edición. Carl B. Mc Graw Hill. Cuarta edición. 76 . Derechos reservados AIEP. – Cletus O.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 V. Matemáticas Universitarias. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. 1995 Ayres. Cálculo diferencial de una y varias variables. Juan. ISBN: 9788492453795 www. ISBN:9788493750909. Delta 2009.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.AA.elprisma. 2010. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. Derechos reservados AIEP. 1º edición 2009. García Maroto Editores. 77 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Burgos Román. VV. 1º edición. 1) Otras posibilidades cuando el límite de x tiende a : Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. DESARROLLO 1) Límites trigonométricos CONTENIDOS .Límite infinito .Límites compuestos y trigonométricos . es: Sea una función que está definida en todo número de un intervalo abierto El límite de cuando x decrece sin límite. -Determinan asíntotas posibles de una función. es decir. a un número infinito positivo. II. LIMITE Y CONTINUIDAD APRENDIZAJES ESPERADOS -Resuelven límites compuestos y trigonométricos -Identifican límite infinito.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 PRIMERA UNIDAD: CLASE 6 FUNCIONES REALES. entonces tenemos que: 2. es: Si x tiende a a un número real. es decir. 78 .Asíntota vertical y horizontal 2) Límite infinito Sea una función que está definida en todo número de un intervalo abierto El límite de cuando x crece sin límite. a un número infinito negativo. usamos el conjugado de esa raíz 2.2) Otras posibilidades para el límite de una función en un punto: Debemos realizar. tendremos los siguientes casos: Por ejemplo: b) Para la multiplicación: .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2. Derechos reservados AIEP. 79 .3) Regla de los signos a) Para la suma y resta. simplificar b) Si tenemos raíces. vemos si es posible factorizar y luego. donde k 0 c) Para la división: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. lo siguiente: a) Si tenemos polinomios. 3. cuya distancia a la curva tiende a cero.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 d) Para la potencia: 3) Asíntota vertical 3. 80 . Derechos reservados AIEP.1.1) Asíntota vertical Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. a una recta t. cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.1) ¿Qué es una asíntota? Llamaremos asíntota de una función f(x). Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 En este gráfico, x = 1.5, es una asíntota vertical de la función f(x) 3.1.1.1) Pasos para calcular una asíntota vertical y sus características elementales a) Determinar el dominio de la función f(x) b) Tomar el límite para los valores de x que no pertenezcan al dominio. Si el límite da como resultado infinito, entonces en esos valores hay una asíntota vertical. c) Posteriormente, para saber a qué tiende la función f(x), hay que tomar él o los límites laterales. Sólo se tendrá como resultado, d) Las rectas generadas son paralelas al eje y, y se escriben poniendo x igual al valor de la asíntota vertical. e) Diremos que las funciones que pueden tener asíntotas verticales: e.1) Las funciones racionales: cuya indeterminación es igual a e.2) Las funciones logarítmicas y la función tangente. f) La cantidad máxima de asíntotas verticales, que puede tener la función es dos. 3.1.2) Asíntota horizontal Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 81 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 En este gráfico, y = 1, es una asíntota horizontal de la función f(x) 3.1.2.1) Pasos para calcular una asíntota horizontal y sus características elementales a) Calcular el límite de la función f(x) cuando x tiende a infinito. Si el límite existe, es decir, tiene un valor L finito, entonces diremos que ese valor, es una asíntota horizontal. Lo anterior, lo representamos de la siguiente manera: b) Las asíntotas horizontales, son rectas paralelas al eje x, y, se representan poniendo el valor de y = b Donde b, representa el valor de la asíntota. c) Las funciones racionales tienen asíntota horizontal en los siguientes casos: d) Las funciones exponenciales tienen asíntota horizontal para el valor y = 0. III. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 82 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 83 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Note que factorizamos. pero no pudimos eliminar la indeterminación (no siempre se puede) Luego. haremos desaparecer esa indeterminación: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 84 . Derechos reservados AIEP. Derechos reservados AIEP. haremos desaparecer esa indeterminación: Luego. haremos desaparecer esa indeterminación: En este ejercicio usted pudo haberse dado cuenta que teníamos la forma indeterminada: Luego. haremos desaparecer esa indeterminación: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Luego. haremos desaparecer esa indeterminación: Luego. 85 . buscaremos el signo de la indeterminación: En este caso. deberemos analizar límites laterales de manera de determinar el signo de a) Si le damos a x un valor que se acerque a 2. los límites laterales no coinciden. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. tendremos lo siguiente: b) Si le damos a x un valor que se acerque a 2. esto significa que la función no tiene límite cuando x tiende a 2. tendremos lo siguiente: Por lo tanto. por la derecha. 86 . por la izquierda. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Luego. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Una empresa constructora de la capital. lo interpretamos como 40. a partir de hoy. de manera de conocer el signo de la indeterminación. se adecúa a la siguiente función (El resultado. ha estimado que dentro de x años. en el sector de providencia. debe responder a la siguiente pregunta del Gerente de Proyectos: ¿Cuántas personas podríamos tener a un muy largo plazo? El valor obtenido. El departamento de planificación urbanística.1) Asíntota vertical a) Determinamos el dominio de la función dada b) Tomamos ahora el límite en x = 2 (no pertenece al dominio) c) Ahora debemos determinar los límites laterales. Derechos reservados AIEP. 87 . el crecimiento poblacional. está dado en miles de personas): Usted que trabaja en ese departamento. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. se dedica a construir casas y departamentos.000 personas 30. Derechos reservados AIEP. .1) Asíntota Vertical 88 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.2) Asíntota horizontal Luego podemos decir que el valor de la asíntota horizontal es y = 1 31.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Aquí vemos el gráfico x=2 30. 31.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 a) Determinamos el dominio de la función dada b) Tomamos ahora el límite en x = (no pertenece al dominio) c) Ahora debemos determinar los límites laterales.2) Asíntota horizontal Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. de manera de conocer el signo de la indeterminación. 89 . Derechos reservados AIEP. 2) Asíntota horizontal Concluimos que no tiene asíntota horizontal. 32. ya que el grado del numerador es mayor al del numerador IV. 90 .1) Asíntota vertical a) Determinamos el dominio de la función dada b) Tomamos ahora el límite en x = (no pertenece al dominio) c) Ahora debemos determinar los límites laterales. Derechos reservados AIEP. de manera de conocer el signo de la indeterminación. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 32. Derechos reservados AIEP. 91 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. ha estimado que dentro de x años. a partir de hoy. Derechos reservados AIEP. 92 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Una empresa constructora. se adecúa a la siguiente función (El resultado. en un sector de alto crecimiento poblacional. está dado en miles de personas): Usted que trabaja en ese departamento. debe responder a la siguiente pregunta del Gerente de Proyectos: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. se dedica a construir casas y departamentos. el crecimiento poblacional. El departamento de planificación urbanística. Matemáticas aplicadas a los negocios. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick. VV.AA. Juan. 93 . Frank. S. ISBN:9788493750909. Mc Graw Hill. 2010. ISBN: 9788492453795 www.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román. Colección Schaum. economía y ciencias sociales. Carl B. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA.elprisma.U. 2008. 1º edición. Cuarta edición. – Cletus O.A. 3º edición. Cálculo diferencial e integral. 1º edición 2009. 1995 Ayres. Oakley. Derechos reservados AIEP. Delta 2009. 1º edición. Editorial Mc Graw Hill. García Maroto Editores. Cálculo diferencial de una y varias variables.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 ¿Cuántas personas podríamos tener en un plazo de 10 años? Determine la (s) asíntotas (s) vertical (es) y horizontal (es) de las siguientes funciones V. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. Matemáticas Universitarias. función.De la función constante . . Notación.De la función potencia . -Incrementos y tasas Aplican el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos.De la función constante aplicando las propiedades de las operaciones: .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 SEGUNDA UNIDAD: CLASE 7 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES - APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Expresan el concepto de derivada de una -Derivada de una función real: Definición. 94 . Interpretación geométrica. DESARROLLO a) Derivada de una función real.De la función potencia - II. Definición: Ejemplo 1: Hallar Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. -Propiedades de la función derivada con una variable: Derivan funciones reales de una variable. Derechos reservados AIEP. 95 . en consecuencia. P x+Δx Observe que: cuando tiende a 0. tiende a confundirse con el punto Q. el punto P. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Ejemplo 2: Hallar b) La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado. la recta secante (color verde) tiende a ser la recta tangente (color marrón) a la función f(x) en el punto Q. Derechos reservados AIEP. 96 . el ángulo tiende a ser . Derechos reservados AIEP.1) Incremento de x Tenemos entonces: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. c.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Además. x NOTA: la pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto c) El incremento o cambio de una variable . Derechos reservados AIEP.2) Incremento de y Tenemos entonces: Finalmente: d) La tasa de cambio promedio e) Derivada de una función constante Diremos que la derivada de una constante siempre será cero f) Derivada de una potencia Esta derivada es igual al valor del exponente. 97 . multiplicado por la base elevada al exponente disminuido en uno y multiplicada por la derivada de la base (presencia de la regla de la cadena) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 c. elevada a una potencia.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 En el caso que la base sea sólo x. tendremos que: III. Derechos reservados AIEP. 1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 98 . cuando produce y unidades de un producto para la construcción. al aumentar el precio de venta unitario de la empresa. 99 . el incremento en los costos totales es de $ 16. Derechos reservados AIEP. cuando ésta decide incrementar el precio de venta unitario de $ 48 a $ 64 Primero debemos despejar el valor de x. si el incremento en el precio es para p= $ 75 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. disminuye el número de unidades vendidas (es decir. 5) La siguiente ecuación de oferta es: Se pide determinar . Se pide determinar el aumento en los costos cuando la empresa incrementa la producción de 300 a 380 unidades Solución: Por lo tanto. para que quede en función de p (precio) Solución: Podemos concluir que.000 4) La siguiente ecuación de la demanda es: Se pide determinar el aumento (o decremento) en las ventas de la empresa.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3) La ecuación representa la función costo total de una empresa en pesos. en – 4 unidades). cuando se incrementan de 20 a 27. tenemos: 6) La siguiente ecuación de demanda es: Se pide determinar la tasa de cambio promedio del ingreso. las unidades vendidas. la tasa de cambio promedio de ingreso es: La interpretación que damos al resultado es: por cada unidad incrementada. 100 . el ingreso de la empresa. es: Antes debemos despejar p: Por lo tanto. si reemplazamos la función 1). Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 . disminuye en promedio $ 51.25. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Si recordamos la ecuación del ingreso vista en clases anteriores. por lo tanto. a través de su departamento de operaciones. respectivamente: Si la producción se llegase a incrementar. respecto a los costos. lo siguiente: a) El incremento en los costos b) El incremento en el ingreso c) El incremento en la utilidad d) Las respectivas tasas de cambio promedio.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 7) Una empresa ha determinado. ingresos y utilidad (tome en cuenta que se elevó a 42. 101 . por efecto de exportaciones. Derechos reservados AIEP.000 unidades) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. de Se le pide determinar. que la función demanda y de costos totales son. 102 .3) Además. Si reemplazamos los valores de los puntos dados A y B. la tangente tiene como pendiente el valor 2 (NOTA: esto es tg α = m = y’= 2 ).2): Para B(2. Derechos reservados AIEP. tenemos lo siguiente: Para A(0.2) y B(2. en el punto B.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Hagamos la siguiente comprobación: 8) Halle los coeficientes de la ecuación . sabiendo que pasa por los puntos A(0.3): La derivada de esta función es: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Sabemos que la tangente toca el valor x = 2, entonces: Tenemos, entonces que: Si reemplazamos 1) en 2), tenemos que: Si juntamos 3) con la última igualdad obtenida, tenemos que: Además, tenemos que: 9) Funciones constantes y exponenciales a) b) c) d) e) IV. 1) EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 103 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) 2) Una gasolinera vende un cierto combustible, y ha determinado que los litros que vende por día, están en función del precio ($/litro) de este combustible. La función que la representa es: Calcule el incremento en el volumen de los litros vendidos, que corresponde a un incremento en el precio de $600 a $615 por litro. 3) Dada la función f(x) = 3x2+3x+2, calcular Δy, si x = 2 y Δx = 0,4 4) Un fabricante de productos para la construcción, ha determinado que la ecuación de costo total está representada por: C(x) = 19.750 + 41,5x dólares y el ingreso por I(x) = 98,75x – 0,01x2 dólares. La empresa produce 150 toneladas por semana, pero ha considerado incrementar su producción en un 10,5%. Se pide: a) Determinar los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. b) Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas. 5) Una empresa fabricante de tractores, ha determinado las siguientes funciones para operar óptimamente: Se pide determinar: a) El costo marginal (evalúe para 1200 unidades) b) El ingreso marginal (evalúe para 1200 unidades) c) La utilidad marginal (evalúe para 1200 unidades) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 104 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 6) Sea la función , que pasa por los puntos P (2,5) y (3,8). Además, se sabe que la recta tangente para por el valor x = 1 y es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Se pide que encuentre los valores de la función cuadrática. V. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995 Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909. VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795 www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html www.elprisma.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 105 4) Derivada de cuociente de funciones ( división ) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Del producto de una constante por una función. es igual a la suma y/o resta de las derivadas de dichas funciones (que pueden ser más de dos ). . . 2) D erivada de una constante por una función La derivada del producto de una constante por una función. aplicando las propiedades de las operaciones: .De la suma y resta de funciones . el producto de la derivada de la primera función por la segunda función. 106 .De la suma y resta de funciones .Del producto de funciones . 3) Derivada de producto de funciones La derivada del producto de dos funciones. es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función más.Del producto de una constante por una función..Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 SEGUNDA UNIDAD: CLASE 8 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES APRENDIZAJES ESPERADOS Derivan funciones reales de una variable.Del producto de funciones . es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Derechos reservados AIEP.De un cuociente de funciones II. DESARROLLO 1) Derivada de la suma y resta de funciones La derivada de la suma y/o resta de funciones.De un cuociente de funciones CONTENIDOS Propiedades de la función derivada con una variable: . la derivada del denominador multiplicada por la función del numerador. Todo lo anterior. es igual a la derivada de la función del numerador multiplicada por la función del denominador menos. 107 . 1) 2) 3) 4) 5) EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 6) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 La derivada del cuociente de dos funciones. Derechos reservados AIEP. III. queda dividido por la función del denominador elevado al cuadrado. 108 . EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 IV. Derechos reservados AIEP. Derechos reservados AIEP.com/derivadas/derivada_potencia.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 V. Juan. Editorial Mc Graw Hill. Cálculo diferencial e integral. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. Carl B. – Cletus O. García Maroto Editores.html www.elprisma. Cálculo diferencial de una y varias variables. Mc Graw Hill. Oakley. 3º edición.dervor. Matemáticas Universitarias. Colección Schaum.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 1995 Ayres. www. 1º edición. 2010. 109 . Cuarta edición. ISBN: 84-7615-560-3 Burgos Román. ISBN:9788493750909. aplicando las propiedades de las operaciones: .De la función exponencial . Si la base es e. DESARROLLO 1) Derivada de la regla de la cadena Esta derivada.De la función logarítmica CONTENIDOS Propiedades de la función derivada con una variable . se obtiene a partir de la derivación de la composición de funciones 2) Derivada de la función exponencial Esta derivada es igual a la misma función multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.De la función exponencial .De la función logarítmica II. entonces: 3) Derivada de la función logarítmica Caso a) Derivada de un logaritmo en base a Es igual a la derivada de la función dividida por ésta.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 SEGUNDA UNIDAD: CLASE 9 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES APRENDIZAJES ESPERADOS Derivan funciones reales de una variable. y multiplicada por el logaritmo en base a de e. 110 .Regla de la cadena .Regla de la cadena . Derechos reservados AIEP. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. III. Derechos reservados AIEP. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 111 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Caso b) Derivada de un logaritmo neperiano Es igual a la derivada de la función dividida por ésta. Editorial Mc Graw Hill. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. Colección Schaum.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 IV. 112 . García Maroto Editores. 2010. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ) V. Oakley. Mc Graw Hill. ISBN:9788493750909. ISBN: 84-7615-560-3 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. Carl B. 1º edición. – Cletus O. Ayres. 1995 Burgos Román. Cuarta edición. 3º edición. Cálculo diferencial de una y varias variables. Juan. Cálculo diferencial e integral. Matemáticas Universitarias. Derechos reservados AIEP. III. coseno. 113 . -Valoración de funciones derivadas en un punto. II.com/derivadas/derivada_potencia. multiplicado por la derivada de la función.dervor. 2) Derivada de la función coseno Esta derivada es igual a menos el seno de la función.elprisma.html www.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 www.com SEGUNDA UNIDAD: CLASE 10 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Calculan función derivada a funciones seno y -Derivada a funciones seno y coseno. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. DESARROLLO 1) Derivada de la función seno Esta derivada es igual al coseno de la función. -Valoran funciones derivadas en un punto. multiplicado por la derivada de la función. 114 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 115 . Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 116 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Evaluación de la derivada en un punto: IV. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Encuentre la primera derivada para las siguientes funciones Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Colección Schaum. www. – Cletus O. Mc Graw Hill. 2010. Derechos reservados AIEP. 1995 Ayres. Cálculo diferencial de una y varias variables.elprisma. Editorial Mc Graw Hill. Oakley. Cuarta edición.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. ISBN: 84-7615-560-3 Burgos Román. ISBN:9788493750909. Matemáticas Universitarias. Juan. 117 . Cálculo diferencial e integral. Carl B. García Maroto Editores.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Determine las derivadas y evalúe en el punto indicado V. 1º edición. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. 3º edición. Calculan máximos y mínimos relativos de una función.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 SEGUNDA UNIDAD: CLASE 11 LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES - APRENDIZAJES ESPERADOS Evalúan la existencia y calculan puntos críticos de una función. CONTENIDOS -Determinación de puntos críticos con la primera derivada -Intervalos de crecimiento y decrecimiento -Máximos y mínimos locales -Máximos y Mínimos. Criterio de la segunda derivada: II. Calculan intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. 118 . Derechos reservados AIEP. DESARROLLO a) Para determinar los puntos críticos usaremos la siguiente definición: Gráfico 1: Máximo y mínimo local Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Resuelven problemas sencillos de máximos y mínimos. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 f’’(x1) = 0 f’(x2) = 0 x1 x2 x3 Gráfico 2: Cima o punta donde f’’(c) no existe Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 119 . máximos y mínimos locales. 120 . intervalos de crecimiento y decrecimiento. punto de inflexión y máximos y mínimos por segunda derivada 1) Puntos críticos Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. concavidad.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 ) ) III. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Determine puntos críticos. Derechos reservados AIEP. de manera que f’’(x) > 0 y f’’(x) < 0. Ver el gráfico en la página siguiente. Derechos reservados AIEP. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Para determinar las regiones de crecimiento o decrecimiento. debemos encontrar los valores de x. 121 . Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Análisis: a) Antes del punto x = 0. 122 . 3. 4. Derechos reservados AIEP. existe un punto de inflexión Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. existe un punto mínimo (se pasa de decreciente a creciente) Esto es: (1. existe un punto máximo ( se pasa de creciente a decreciente ) Esto es: (0.57.42 y x2 = 1.42 f’(x) > 0 y f(x) es creciente.57. b) En el punto x = 0.42.38) c) Entre x1 = 0.42.57 f’(x) < 0 y f(x) es decreciente d) En el punto x = 1.57 f’(x) > 0 y f(x) es creciente 3) Análisis de la concavidad En x = 1.61) e) A partir del punto x = 1. Ver el gráfico en la página siguiente.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 (Vea el gráfico inferior) 4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada En el punto 2). de manera que f’’(x) > 0 y f’’(x) < 0. debemos encontrar los valores de x. Pero determinemos el máximo y mínimo a través de este criterio: 1) Puntos críticos 2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Para determinar las regiones de crecimiento o decrecimiento. Derechos reservados AIEP. se pudo determinar los puntos donde se generan los máximos y mínimos. Más aún. 123 . con el gráfico. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. y que se corrobora con la concavidad del punto 3). b) En el punto x = -1. Derechos reservados AIEP. existe un punto minimo (se pasa de decreciente a creciente) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Análisis: a) Antes del punto x = -1 f’(x) < 0 y f(x) es decreciente. 124 . 125 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Esto es: (-1. con el gráfico. se pudo determinar el punto donde se genera el mínimo. y que se corrobora con la concavidad del punto 3). -5) c) A partir del punto x = -1 f’(x) > 0 y f(x) es creciente 3) Análisis de la concavidad En x = -1. Más aún. Pero determinemos el mínimo a través de este criterio: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. existe un punto de inflexión ( Vea el gráfico inferior ) 4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada En el punto 2). Derechos reservados AIEP. Derechos reservados AIEP. 126 . de manera que f’’(x) > 0 y f’’(x) < 0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 1) Puntos críticos 2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Para determinar las regiones de crecimiento o decrecimiento. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Ver el gráfico en la página siguiente. debemos encontrar los valores de x. Derechos reservados AIEP. podemos decir que la función es estrictamente creciente en todo el dominio Además. no existe ni mínimo ni máximo 3) Análisis de la concavidad En x = 0. 127 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Análisis: a) Antes del punto x = 0 f’(x) > 0 y f(x) es creciente b) A partir del punto x = 0 f’(x) > 0 y f(x) es creciente Por lo tanto. existe un punto de inflexión (Vea el gráfico inferior) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. y que se corrobora con la concavidad del punto 3). se sabe que la función de la demanda está dada por p=7.000 +2. Además.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada En el punto 2). Más aún. para determinar la cantidad que maximice la utilidad: Probemos si es un máximo: Luego. no había mínimo ni máximo. con el gráfico.600-25x.(US$) Se pide determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades. Pero lo verificamos a través de este criterio: Aplicación a los negocios 1) Una empresa produce x artículos a un costo total C(x)= 165. Derivemos esta función: Igualemos a cero.300x-0. la utilidad máxima será: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.01x2 (US$). 128 . Derechos reservados AIEP. 20x. es decir. que maximice la utilidad ( en este caso ). 129 .500. máximos y mínimos locales. la empresa baja su utilidad y.000 +2. es justamente lo contrario.02x2 (US$). Además.000x-0. concavidad. Derechos reservados AIEP. d) ¿Cuánto es el ingreso? e) ¿Cuánto es el costo fijo? Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. punto de inflexión y máximos y mínimos por segunda derivada Aplicación a los negocios 1) Una empresa produce x artículos a un costo total C(x)= 135.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Verifiquemos para otros valores: Ha quedado demostrado que. intervalos de crecimiento y decrecimiento. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Determine puntos críticos. para valores inferiores y superiores a 106 unidades. lo que queremos. IV.(US$) Se pide: a) Determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades. se sabe que la función de la demanda está dada por p=7. b) Probar si las unidades reflejan un máximo c) Determinar la utilidad máxima para las unidades encontradas en el punto a). ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román.A. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA.Matemáticas aplicadas a los negocios. 1995 Ayres. d) ¿ Cuánto es el ingreso ? e) ¿ Cuánto es el costo fijo ? V. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick. ISBN:9788493750909. García Maroto Editores.U. Mc Graw Hill. Además. Carl B. b) Probar si las unidades reflejan un máximo c) Determinar la utilidad máxima para las unidades encontradas en el punto a). se sabe que la función a) Determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades. 130 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) Una empresa produce x artículos a un costo total de la demanda está dada por Se pide: (US$) (US$).elprisma. 2008. Cuarta edición. Colección Schaum. 1º edición. 3º edición. www. Juan. Oakley. economía y ciencias sociales. Frank. Matemáticas Universitarias. 2010. – Cletus O. Cálculo diferencial de una y varias variables. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. S. 1º edición. Editorial Mc Graw Hill.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. Cálculo diferencial e integral. entre a y b. de la siguiente manera: Por lo tanto. exponencial y logarítmica. polinómica. 131 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 TERCERA UNIDAD: CLASE 12 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES APRENDIZAJES ESPERADOS . la integral. CONTENIDOS Concepto de integral Integral indefinida. corresponde al área bajo la curva de Q(t). polinómica.Identifican la integral como antiderivada o función primitiva. en el intervalo cerrado La integración es una operación inversa de la derivación. DESARROLLO 1) Concepto de integral Se define la integral de la función Q(t). Derechos reservados AIEP. Concepto y fórmulas de cálculo para funciones potencia. II.Calculan integrales indefinidas de la función potencia. exponencial y logarítmica. . por eso es llamada antiderivada y se expresa mediante el Teorema fundamental del cálculo integral como: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2) Integral indefinida Se llama integral indefinida de una función f(x). y se simboliza NOTA: una integral indefinida genera una función 3) Fórmulas de integrales que se usarán en esta unidad ‘ Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 132 . Derechos reservados AIEP. al conjunto de todas las primitivas de la función f(x). Derechos reservados AIEP. 133 . EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 III. Derechos reservados AIEP. 134 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 135 . si al vender 225 repuestos se obtiene un ingreso de $ 6. está dado por: a) b) c) d) Determine la función ingreso total inicial.724 Determine la función ingreso total final Determine el ingreso total si se venden 170 respuestos a) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. en función de la constante C Determine el valor de la constante C.050. 136 .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares: Aplicación a los negocios 1) Una empresa que produce repuestos para refrigeradores domésticos. Derechos reservados AIEP. estima que el ingreso marginal al vender x cantidad de ellos. por otra parte.724 Lo que debemos ahora determinar.35 ⇒ x = 90 unidades b) Cálculo del Costo total: Al tener costo indirecto (Costo indirecto = Costo Fijo) de US$ 110. es el valor de la constante C y. se sabe que el precio de venta unitario es de US$ 15 y el Costo Indirecto ( Costo Fijo ) es de US$ 110 mensuales.5x . que: I(225) = $ 6. a) Si Ingreso marginal = Costo marginal ( I’(x) = C’(x) ) Utilidad Máxima ( Máxima Ganancia ) Luego: I(x) = 10x ⇒ I’(x) = 10 10 = 0. para ello. tendremos que: Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. a) Calcule las unidades mensuales que deben producirse. Derechos reservados AIEP.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Tenemos.5x-35 ( US$ ). b) Calcule la utilidad máxima en base a las unidades mensuales calculadas. tenemos: 2) En una empresa. donde C(x)= Costo Total. usamos la función 1) c) d) Al reemplazar en la función del punto c).050. el costo marginal viene dado por C’(x) = 0. 137 . Además. luego: C(x) = 0. la Utilidad Máxima que se va a obtener al producir y vender las 90 unidades. Derechos reservados AIEP.915 En consecuencia. es costo variable. 138 . todo lo que lleve x.25x2 + 45x – 110 (Función Utilidad) Finalmente: Para x = 90 unidades. Por otra parte: U(x) = I(x) – C(x) Por lo tanto: U(x) = 10x – (0. en la función costo total.915. es el costo fijo.25(90)2 + 45(90) – 110 U (90) = US$ 1. IV. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. es: US$ 1. mensualmente.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 C (0) = 0.25(0)2 –35(0) + C = 110 ⇒ C = 110.25x2 – 35x + 110) = 10x – 0. tendremos que: U (90) = -0.25x2 + 35x – 110 U(x) = -0.25x2 – 35x + 110 Recuerde que. y la constante C. si el costo total de producir 50 unidades es de US$ 260. donde C(x) es el costo total (US$) de la producción de x unidades de ampolletas: Determine: a) El Costo indirecto. . Derechos reservados AIEP.000 139 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Aplicación a los negocios 1) Si la función de costo marginal es: C’(x) = 5 – 8x + 6x2. 4x . 1º edición. VV.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) El Costo total para producir 100 unidades 2) Un fabricante calcula que el ingreso marginal es de 3(x+2)2 US$/unidad. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA. 140 .AA. 3º edición. 1995 Ayres. el Costo Marginal estaba dado por: C´(x) = 0. Juan. 3) Un fabricante determinó que sí mensualmente se producían x unidades de un determinado producto.10 US$. cuando el nivel de producción es de x unidades: Sabiendo que el ingreso es de 1.elprisma. Editorial Mc Graw Hill.720 US$ para la venta de 10 unidades. Oakley.A. Cálculo diferencial de una y varias variables. – Cletus O. Cuarta edición. S. Matemáticas Universitarias. Mc Graw Hill. Colección Schaum. Sí el precio de venta del artículo se fija en US$ 20 por unidad y el Costo Indirecto es de US$ 200 por mes. Carl B. Frank.U. ISBN: 9788492453795 www. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. V. Delta 2009.Matemáticas aplicadas a los negocios. 2008. calcular la máxima ganancia (utilidad máxima) total mensual que se puede obtener. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román. 1º edición. donde C(x) es el Costo Total de producción de x unidades. 1º edición 2009. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick. ISBN:9788493750909.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. encuentre la función ingreso total. García Maroto Editores. Cálculo diferencial e integral. Derechos reservados AIEP. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. economía y ciencias sociales. 2010. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS 10 10 2 2 4 4 -4 -4 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. exponencial y logarítmica. II. .Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 TERCERA UNIDAD: CLASE 13 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES - APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan valor numérico de integrales definidas de la función potencia. polinómica. 141 . Concepto y cálculo de su valor numérico. CONTENIDOS Integral definida. DESARROLLO 1) Integral definida. Concepto Tenemos la siguiente definición para la integral definida: Si F(x) es una antiderivada de la función f(x). tenemos entonces que: III. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3 3 0 0 5 5 2 2 -1 -1 -3 -3 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 142 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3Π 3Π Π Π 3Π Π Aplicación a los negocios 1) Una empresa que vende equipos de alta tecnología, ha determinado las siguientes funciones de costo e ingreso marginal C’(x) = 6x2 – 3x y la función I’(x) = 5x2 + 4x + 260, a) Determine la cantidad máxima de unidades que se pueden vender mensualmente b) ¿Cuál es la utilidad obtenida en la operación, suponiendo que se pueden vender todas las unidades ? (La utilidad está dada en millones de pesos) a) Para determinar la cantidad máxima de unidades a vender por esta empresa debemos igualar ambas funciones En este caso, tomamos el valor x = 20 unidades (no se toma el valor -13 ) Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 143 Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Para determinar la utilidad máxima usaremos lo siguiente: 20 0 Luego, la utilidad que obtiene la empresa mensualmente, al vender los 20 motores, es de $ 3.933 millones de pesos 2) Se evalúa una inversión en un proyecto inmobiliario, cuyas funciones de costo e ingreso marginal están dadas por: t : se mide en años C’ (t) e I’ (t): se miden en millones de dólares a) Determine el tiempo óptimo. b) ¿Cuál es la utilidad máxima? 4 4 0 4 0 0 Por lo tanto, la utilidad máxima que genera esta inversión, es de 10,67 millones de dólares, para un lapso de 4 años Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 144 Derechos reservados AIEP. 2) Una empresa que vende equipos para detectar personas dentro de edificios derrumbados. donde C’(x) e I’(x) vienen dados en millones de euros y. suponiendo que se pueden vender todas las unidades ? Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. ha determinado las siguientes funciones de costo e ingreso marginal C’(x) = 9x2 – 10x y la función I’(x) = 8x2 -9x +6 c) Determine la cantidad máxima de unidades que se pueden vender mensualmente d) ¿Cuál es la utilidad obtenida en la operación. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS Aplicación a los negocios 1) Se determinó que las tasas de Costo e Ingreso marginal de cierta operación bursátil. x se mide en años. 145 . viene dadas por: . Determinar el tiempo que debe durar la operación bursátil y la utilidad total obtenida en ese período.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 IV. Colección Schaum. 1º edición 2009. Delta 2009. 2010. ISBN: 9788492453795 www. Cuarta edición. Mc Graw Hill. 6º edición. Mc Graw Hill. Laurence. 1º edición.. Frank. 1995 Ayres. S. Juan. Cálculo diferencial e integral. Editorial Mc Graw Hill. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. Matemáticas Universitarias. 2008.elprisma. Oakley. VV. Carl B. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA.A.AA.U. economía y ciencias sociales. Cálculo diferencial de una y varias variables. 3º edición.Matemáticas aplicadas a los negocios. 146 . economía y ciencias sociales.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. ISBN:9788493750909. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick. 1º edición. – Cletus O. Hoffman. Derechos reservados AIEP. García Maroto Editores.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 ( La utilidad está dada en millones de pesos ) V. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. Cálculo para administración. Veremos varias aplicaciones de temas de anteriores unidades. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 TERCERA UNIDAD: CLASE 14 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES - APRENDIZAJES ESPERADOS Aplican la integral definida al cálculo de áreas planas bajo la curva. puntos críticos. entre curvas y rectas. siempre debe poner primero la que esté sobre la otra ( para ello debe ver la gráfica ). tales como: primera derivada. DESARROLLO CONTENIDOS Aplicación de la integral definida a la resolución de problemas. entre otros. Demuestran comprensión de la utilidad de la matemática para la resolución de problemas en distintos ámbitos humanos. veremos el excedente del consumidor: Si hay consumidores que pueden pagar un precio mayor que el del mercado. es de suma importancia en el cálculo integral (incluido el diferencial). esto es: para determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor a) Primero. Una importante aplicación de las integrales definidas es en el campo de la economía. Definición: El Excedente del Consumidor se determina de la siguiente manera: Lo anterior. a través de la integral definida. NOTA IMPORTANTE: Cuando determine el área entre dos curvas ( o una curva y una recta ). máximos y mínimos. Derechos reservados AIEP. Utilidad de la matemática para la resolución de problemas. y lo llamaremos: Excedente del Consumidor. se ve reflejado en el gráfico que se muestra en la próxima página. En consecuencia. segunda derivada. la ganancia total del consumidor va a estar representada por el Área Bajo la Curva de la Demanda y sobre la recta y = y0. 147 . El cálculo de áreas planas. entonces se verán beneficiados debido a que el precio es sólo "y0". - II. Derechos reservados AIEP. Definición: El Excedente del Productor se determina de la siguiente manera: Lo anterior.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 y0 (x0.y0) x0 q b) Ahora. y lo llamaremos: Excedente del Productor. En consecuencia. veremos el excedente del productor ( u oferente ): Si hay productores que estuvieran dispuestos a vender un producto a un precio menor que el del mercado. se ve reflejado en el gráfico que se muestra en la próxima página. entonces se verán beneficiados debido a que el precio es "y0". 148 . Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. la ganancia total del productor va a estar representada por el Área Sobre la Curva de la Oferta y bajo la recta y = y0. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS la recta y = 3x +3 1) Calcule el área comprendida entre la curva y = x2 + 2x +1 y a) Encontramos los puntos de intersección: x2 + 2x +1 = 3x +3 x2 .2 = 0 ⇒ ( x – 2 )( x + 1 ) = 0 ⇒ x1 = 2 y x2 = -1 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 (x0. 149 .y0) y0 x0 q III. Derechos reservados AIEP.x . 5) c) Tercero.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 2 -1 2) Calcule el área que limita al eje x. debemos obtener la segunda derivada: Las coordenadas donde se obtiene el valor máximo de la curva es: Por lo tanto. el máximo está en: (2. . Derechos reservados AIEP. determinamos las intersecciones o ceros de la función cuadrática b) Segundo. graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente.5. determinamos los puntos críticos. 12. 150 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. máximos y/o mínimos : Para ello. la curva y los puntos x = 1 y x = 4 a) Primero. 4 1 3) Calcule el área que limita al eje x.5 a) Primero. la curva y los puntos x = -0. 151 . determinamos las intersecciones o ceros de la función cuadrática Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 d) Cuarto.5 y x = 0. determinamos el área entre los puntos x = 1 y x = 4. Derechos reservados AIEP. -4) c) Tercero. debemos obtener la segunda derivada: Las coordenadas donde se obtiene el valor mínimo de la curva es: Por lo tanto. Derechos reservados AIEP. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente. determinamos los puntos críticos. máximos y/o mínimos : Para ello.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Segundo. 152 . el mínimo está en: (0. 3) Intersección entre las curvas b) Segundo.5 4) Calcule el área de la región limitada entre las curvas x = -3 y x = -1 a) Primero.5 -0. determinamos los puntos críticos. Derechos reservados AIEP. determinamos las intersecciones o ceros de las funciones cuadráticas a. 153 .1) y los puntos a.5 0.2) a.5 y x = 0. máximos y/o mínimos Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. determinamos el área entre los puntos x = -0.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 d) Cuarto. graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente. el máximo está en: c) Tercero. debemos obtener la segunda derivada: Las coordenadas donde se obtiene el valor mínimo de la curva es: Por lo tanto. Derechos reservados AIEP. debemos obtener la segunda derivada: Las coordenadas donde se obtiene el valor máximo de la curva es: Por lo tanto. el mínimo está en: Para ello.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 : Para ello. 154 . Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 155 . determinamos el área entre los puntos x = -3 y x = -1 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 d) Cuarto. sólo tomamos x0 = 3. distingamos que b) Segundo. Hallar el Excedente del Consumidor. 156 .x2 ) US$ por unidad. en segundo lugar. primero. y0: b) Determinamos. si el artículo se vende a un precio p = 64 US$ por unidad. el excedente del consumidor 3 0 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. determinemos el valor de x0 En este caso. Desarrollaremos paso a paso este ejercicio: a) Primero. ya que no existen cantidades negativas c) Tercero.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 Aplicación a los negocios 1) Suponga que la Función de Demanda de los consumidores de cierto artículo es p = 4( 25 . determinamos el excedente del consumidor 3 0 2) Determine el excedente del consumidor si y unidades a) Determinamos. Derechos reservados AIEP. x0 Usted debe recordar que. son las siguientes: a) Determinamos. en el equilibrio. la demanda es igual a la oferta: Si elevamos al cuadrado. Derechos reservados AIEP. la cantidad x0 . 157 . primero. el excedente del productor 5 5 0 0 4) Determine el excedente del consumidor y del productor (US$). obtener el Excedente del Productor a) Determinamos. b) Determinamos. en segundo lugar.Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 3) Si la Función de Oferta es y el precio se fija en y0 = 36. primero. si las funciones de demanda y de oferta. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 b) Determinamos. Derechos reservados AIEP. y0 Como es cantidad de equilibrio. en segundo lugar. 158 . . entonces para determinar dos funciones anteriores. podemos reemplazar en cualquiera de las Lo haremos en la función de demanda: 80 80 0 0 80 80 0 0 Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 IV. Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. 159 . EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ( Iguale ambas funciones para determinar los puntos de intersección ) . Derechos reservados AIEP. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2010 V. 3º edición. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. – Cletus O. Cálculo diferencial e integral. Delta 2009. Colección Schaum. S. Juan. VV.AA. 6º edición. Derechos reservados AIEP. Mc Graw Hill. 1995 Ayres. Editorial Mc Graw Hill. 2008. ISBN:9788493750909.Matemáticas aplicadas a los negocios.com Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Laurence. Frank. 1º edición 2009. 2010. Carl B. 1º edición. 1º edición. Cálculo para administración. RECURSOS COMPLEMENTARIOS Allendoerfer. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981 Burgos Román. 160 . García Maroto Editores. Cuarta edición. economía y ciencias sociales. Oakley. ISBN: 84-7615-560-3 Budnick. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA.A. Cálculo diferencial de una y varias variables. ISBN: 9788492453795 www. Mc Graw Hill.U. economía y ciencias sociales. Matemáticas Universitarias.elprisma. Hoffman.
Report "Cuadernilo de Calculo Diferencial e Integral"