Cuadernillo_Matemática_Ingreso2013.pdf

Para el ingreso a las carreras: Contador Público Nacional – Licenciatura en Administración – Ciclo General en Ciencias Económicas – Profesorado en Ciencias Económicas – Profesorado en Matemática – Licenciatura en Matemática Facultad de Economía y Administración Universidad Nacional del Comahue. Año 2013. Este cuadernillo está basado en el material realizado por las profesoras Valeria Castaño y Silvia Rodríguez y modificado por el grupo de Docentes Tutores de la FaEA Curso de Nivelación en Matemática 1 ¡Bienvenidos! Estos apuntes han sido pensados para ayudarte a recuperar y consolidar los conocimientos matemáticos que seguramente adquiriste en el nivel medio, y que son la base para afianzar otros más complejos relacionados con la profesión que elegiste. Para que podamos alcanzar este propósito es necesario que emprendas esta nueva etapa con responsabilidad y compromiso, sabiendo que nada es posible sin esfuerzo y que nada es tan difícil, incomprensible o inalcanzable como parece, sólo se necesita constancia, paciencia y horas de estudio. Te sugerimos la lectura de este cuadernillo previa a la asistencia al curso. En clase se desarrollarán algunos ejemplos, se trabajará en grupo y se podrán consultar las dudas que hayan tenido en la resolución de los problemas. Son objetivos de este curso que te habitúes a los tiempos disponibles en la Universidad para estudiar un tema, que siempre son breves, y que fortalezcas tu capacidad de resolver problemas de la manera más conveniente y en el menor tiempo posible, por lo que esperamos que aproveches los horarios de clase para completar aquellos ejercicios en que hayas tenido inconvenientes y verifiques los resultados que obtuviste, y no para comenzar a resolverlos recién en la clase. Cada persona tiene una modalidad de estudio, de trabajo. Sin embargo te recomendamos que sigas el orden en que están presentados los temas y que trates de resolver la guía de ejercicios de cada uno de ellos. Es posible que aparezcan dificultades, no te desanimes, volvé a intentarlo. Si aún no llegás a la solución, anotá las dudas y buscá ayuda, un profesor o un compañero pueden brindártela. No te desanimes, seguí adelante, todo es posible, sólo hay que intentarlo. Curso de Nivelación en Matemática 2 I IN ND DI IC CE E: : Conjuntos Numéricos…………………………………………………. 3 Polinomios……………………………………………………………… 26 Expresiones Algebraicas Racionales………………………………. 44 Ecuaciones e Inecuaciones…………………………………………… 52 Funciones………………………………………………………………. 68 Trigonometría………………………………………………..………… 85 Bibliografía…………………………………………………………….. 94 Curso de Nivelación en Matemática 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, –4ºC, etc.), etc. Problema 1: Escribir los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en las casillas de forma que la suma de los tres números de cada fila, de cada columna, y de las dos diagonales, dé siempre el mismo resultado. A esta distribución se le llama cuadrado mágico. 4 2 5 8 Podemos afirmar que todos los números que utilizamos para resolver este problema son números naturales. El conjunto de los números naturales está formado por aquellos que se utilizan para contar. Se los designa con la letra ℕ y se representan: ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, … Es un conjunto que tiene infinitos elementos pues si bien tiene primer elemento, el 1 que es el menor de todos, no tiene último elemento ya que es suficiente con sumar 1 a un número para obtener otro mayor. Así, podemos afirmar también que es un conjunto ordenado, por lo que podemos representarlos sobre una recta de la siguiente manera: Observación: © Todo número natural ��� tiene su sucesor ��� +1 y excepto el 1 también tiene su antecesor, ��� − 1. © Siempre que se sumen dos números naturales se obtendrá otro número natural mientras que muchas veces, no sucede lo mismo si se restan. 1 2 3 4 5 6 Curso de Nivelación en Matemática 4 Pregunta: ¿Es posible encontrar un número que al restárselo a 32 dé por resultado 38? Si lo traducimos al lenguaje algebraico: 32 − ��� = 38, donde ��� representa al número buscado. Es imposible encontrar un número natural que cumpla con estas condiciones. Decimos que esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números naturales y lo escribimos así , ��� = ∅ . Para encontrar una solución a esta ecuación debemos buscarla en el conjunto de los números enteros, que se simboliza ℞ y está formado por los números naturales, el cero y los opuestos de los números naturales. ℞ = …, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … = ℕ − ∪ 0 ∪ ℕ El conjunto de los números enteros es un conjunto infinito que no tiene ni primer ni último elemento, por lo que todo elemento de este conjunto tiene su siguiente ��� +1 y su anterior, ��� − 1. Entre dos números enteros ��� y ��� hay siempre una cantidad finita de números enteros, esta propiedad se conoce con el nombre de discretitud. Observación: © Al número – ��� se lo llama opuesto de ���. Dos números opuestos son aquellos que se encuentran a la misma distancia (en unidades) del cero. Uno positivo y uno negativo, con excepción del cero, cuyo opuesto es él mismo. Por ejemplo: Si ��� = 4 , su opuesto −��� es −4 Si ��� = −11, su opuesto – ��� es −−11 = 11 © El valor absoluto o módulo de un número ��� se define como la distancia de éste al cero. -1 es el opuesto de 1 2 es el opuesto de -2 -3 -2 -1 0 1 2 3 3 unidades 3 3 = 1 unidad 1 1 ÷ = -3 -2 -1 0 1 2 3 Curso de Nivelación en Matemática 5 © Dos números opuestos tienen igual distancia al cero, es decir, tienen el mismo valor absoluto, es decir, ��� = −���. Actividad 1: a) En la siguiente recta numérica están ubicados 0, 1 y ��� . ¿Dónde ubicarías los números ��� + 1, −��� y −��� +1? b) En la siguiente recta están ubicados los números 0 y ���. ¿Dónde ubicarías al número – ��� ? Observación: © La suma de dos números enteros da siempre un número entero. © La multiplicación de dos números enteros da siempre un número entero. ¿Pasará lo mismo con la división? 4 ∶ 2 = 2 ya que 2 ∙ 2 = 4 −6 ∶ 3 = −2 ya que 3 ∙ −2 = −6 En general ��� ∶ ��� = ��� , ��� ≠ 0 si se verifica que ��� ∙ ��� = ��� Pero, ¿Cuál será el resultado de 4 ∶ 3? Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 dé como resultado 4. ¿Hay algún número entero que cumpla con esta condición? Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de los números racionales al que denotaremos con la letra ℚ. Un número racional es el cociente (división) de dos números enteros ��� y ���, siendo ��� ≠ 0. Por lo tanto: ℚ = ��� ��� , ���, ��� ∈ ℞ , ��� ≠ 0, donde ��� es el numerador y ��� el denominador. Notemos que ℞ ⊂ ℚ. De la definición de número racional surge que todo número entero es racional, pues podemos considerar al entero como un racional de denominador 1. Por ejemplo: −3 = −3 1 , donde −3 ∈ ℞, 1 ∈ ℞ y 1 ≠ 0 . Podemos preguntarnos: ¿Por qué se excluye al 0 del denominador en la definición? Representemos en la recta numérica algunos números racionales: 0 1 a a 0 − 1 3 0 1 4 3 Curso de Nivelación en Matemática 6 Actividad 2: En cada caso, ubicar en la recta numérica los números racionales indicados. a) − 4 3 b) 3 8 ��� −1 c) 1 ��� − 1 3 d) 0 y 1 2 Actividad 3: a) ¿Qué número representa p? b) Encontrar las fracciones irreducibles que representan a y b. Actividad 4: Ahora analicemos algunas expresiones decimales: - 0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 0,3 = 3 10 y 3 y 10 son números enteros. - 0, 5 = 0,555 …. es la expresión decimal de un número racional porque 0, 5 = 5 9 y 5 y 9 son números enteros. - 0,15 = 0,1555 …… es la expresión decimal de un número racional porque 0,15 = 14 90 y 14 y 90 son números enteros. Estos tres últimos ejemplos muestran los tres tipos diferentes de expresiones decimales que puede tener un número racional: - Expresión decimal finita: 0,3 ; −0,107 ; 12,001 - Expresión decimal periódica pura: 0, 23 = 0,2323 … ; 7, 20 = 7,202020 …. - Expresión decimal periódica mixta: 0,15 = 0,1555 …. ; −5,2513 = −5,251313 ….. 0 2 3 0 − 3 4 0 − 1 2 1 8 − 2 3 3 2 1 2 ���+ 7 4 a b − 1 2 5 4 p Curso de Nivelación en Matemática 7 Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal puede tener un número finito de cifras o puede tener un número infinito de cifras pero periódicas, pura o mixta. Supongamos que nos dan el número decimal 23,35 . Es una expresión decimal periódica mixta, así que ya sabemos que es un número racional y por lo tanto se tiene que poder expresar como una fracción (cociente de dos enteros). ¿Qué fracción es? Para hallar esta fracción, existe una regla muy simple que podemos resumir así: periódicas no decimales cifras como 0 y tantos periódicas decimales cifras como 9 tantos expresión) la de periódicas no cifras (las expresión) la de cifras las (todas ÷ Aplicando esta regla al ejemplo, obtenemos: 23,35 = 2335−233 90 = 2102 90 Y simplificando la fracción obtenemos: 23,35 = 1051 45 Otro ejemplo: 32,1427 = 321427−321 9990 = 321106 9990 = 160553 4995 Observación: © Siempre podemos verificar si la fracción que obtuvimos es correcta realizando la división y verificando que el resultado coincide con la expresión decimal que teníamos. Curso de Nivelación en Matemática 8 Recordemos como realizábamos las cuatro operaciones fundamentales: Adición y Sustracción Multiplicación División Igual denominador: a c a c b b b + + = , b 0 = a c a c b b b ÷ ÷ = Distinto denominador: Cuando las fracciones tienen distinto denominador se procede a reemplazar a cada una de estas por otras, respectivamente equivalentes a las dadas, con igual denominador. Luego se suman o se restan como en el caso anterior. Ejemplo: 5 7 10 6 21 1 3 2 6 6 6 10 6 21 5 6 6 + ÷ = + ÷ = + ÷ = = ÷ . . . a c a c b d b d = , 0 = b d Se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí. : . a c a d b d b c = o . : . a c a d b d b c = Ejemplo: 3 2 3 7 21 : . 5 7 5 2 10 ÷ = ÷ = ÷ ( ) 3 .7 3 2 21 : 5 7 5.2 10 ÷ ÷ = = ÷ - Inverso multiplicativo: Dos números racionales (distintos del cero) son inversos multiplicativos si el numerador de uno es el denominador del otro y viceversa. De tal forma que la multiplicación de ambos es 1. 3 2 3 2 6 y donde . 1 2 3 2 3 6 = = Formalmente Definimos el inverso de un número a = 0 como el número racional que multiplicado por a nos da 1, es decir, 1 1 a a · = · El inverso de 27 2 a = ÷ es 1 2 27 a = ÷ pues 27 2 1 2 27 | | ÷ · ÷ = | \ . Curso de Nivelación en Matemática 9 Actividad 5: Completar el siguiente triángulo numérico con las fracciones que faltan. Observación: © Veamos que estas expresiones son equivalentes: a) 3 5 = 3 ∙ 1 5 = 1 5 + 1 5 + 1 5 b) − 3 8 = −3 8 = 3 −8 Recordemos que si necesitamos buscar fracciones equivalentes a otras dadas para realizar una suma es aconsejable buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. Actividad 6: 1) En una fábrica se oye, cada 20 segundos, el golpe de un martillo y cada 45 segundos, el escape de la presión de una válvula. Si se acaban de oír ambos ruidos simultáneamente ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que vuelvan a coincidir? 2) Calcular el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 15 y 20 b) 30 y 45 c) 4, 6 y 10 d) 12 y 18 3) Resolver las siguientes sumas algebraicas: a) 7 30 + 4 5 − 8 45 b) 11 4 − 5 6 + 1 18 − 9 10 Actividad 7: Si ��� es un número racional, ¿es cierto que no existe ningún otro número racional entre ��� y ��� +1? Si ��� es un número entero, ��� + 1 es el entero siguiente y no existe otro número entero entre ellos. Pero, a diferencia del conjunto de los números enteros, en ℚ no tiene sentido hablar de siguiente ni de anterior. Por ejemplo, si ��� = 1 2 no podemos afirmar que 1 2 +1 = 3 2 sea su sucesor inmediato pues existe el 1 o el 3 4 que están entre ellos y podríamos seguir encontrando otros números racionales que cumplan con la misma condición. 1 1/2 1/2 1/3 1/3 1/6 1/4 1/4 1/12 1/12 1/30 1/20 1/20 1/5 1/6 1/7 1/30 1/60 1/60 Curso de Nivelación en Matemática 10 Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto ℚ es un conjunto denso, en contraposición a los naturales ℕ y los enteros ℞ que, como ya dijimos, son conjuntos discretos. Problema: ¿Cuáles son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si se sabe que su área es 6,5 ������ 2 ? Como el triángulo es rectángulo isósceles, sus catetos son iguales por lo que el área que es de 6,5 cm 2 queda expresada con la siguiente ecuación: ��� ∙ ��� 2 = 6,5 ⟺ ��� 2 = 13 Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números racionales ℚ, porque no existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé por resultado 13. Aparece entonces un nuevo conjunto numérico, el de los números irracionales que se simboliza con ���. Los elementos de este conjunto tienen desarrollo decimal infinito no periódico. El lado del triángulo anterior mide 13 y es un número irracional. Otros números irracionales son: 6,12123123412345…. ��� = 3,14159254 … −15,161718192021 … 7 3 Los números irracionales también tienen su ubicación en la recta numérica. El conjunto formado por los números racionales y por los irracionales se llama conjunto de los números reales que se simboliza ℝ. Observemos que entre dos números racionales, ��� y ��� , ��� < ���, existe el racional ���+��� 2 que verifica: ��� < ���+��� 2 < ��� Conclusión: entre dos racionales distintos a y b existen infinitos números racionales. ��� ��� x Curso de Nivelación en Matemática 11 ℝ = ℚ∪ ��� Los números reales tienen la propiedad de llenar por completo la recta numérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES EN ℝ Suma y producto Las operaciones de suma y producto definidas en ℝ cumplen ciertas propiedades. Veamos algunas de ellas: Sean ���, ��� y ��� números reales cualesquiera. Propiedades de la Suma del Producto Ley de cierre a b + e ℝ a b · e ℝ Asociativa ( ) ( ) a b c a b c + + = + + * ( ) ( ) a b c a b c · · = · · * Conmutativa a b b a + = + a b b a · = · Existencia de elemento neutro Es el 0: 0 0 a a a + = + = Es el 1: 1 1 a a a · = · = Existencia de inverso Es el opuesto aditivo: ( ) ( ) 0 a a a a + ÷ = ÷ + = Es el inverso multiplicativo: 1 1 1 0 a a si a a a · = · = = Distributiva del producto con respecto a la suma ( ) a b c a c b c + · = · + · ℝ ℚ ℕ ℞ ��� ℕ ⊂ ℞ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ℚ ∪ ��� = ℝ Curso de Nivelación en Matemática 12 Observación: *La propiedad asociativa nos permite prescindir del uso de paréntesis y escribir simplemente ��� +��� + ��� ó ��� ∙ ��� ∙ ��� . Actividad 8: Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas, mencionar las propiedades utilizadas. a) 1 3 ∙ 5 + 4 = 4 3 + 5 3 b) −2 ∙ 8 9 − 5 = −2 ∙ 8 9 −5 c) 2 +��� = ��� +2 d) 3 +8 ∙ −9 = 3 + 8 ∙ 3 + −9 e) 1 ��� ∙ ��� = 1, ∀��� ∈ ��� f) Existe un número real ��� para el cual 5 ��� +��� = 0 Potenciación Si ��� es un número real y ��� es un número natural, entonces decimos que ��� ��� se obtiene multiplicando ��� veces el factor ���, es decir: ... n n veces a a a a = · · ·  Ejemplo: ��� 3 = ��� ∙ ��� ∙ ��� Decimos entonces que ��� ��� es una potencia que tiene ��� como base y ��� como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para ��� ≠ 0: ��� 0 = 1 ��� −��� = ��� −1 ��� , ��� ∈ ℕ Actividad 9: Decir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) 2 8 = 2 2 ∙ 2 6 = 2 5 ∙ 2 3 f) −3 2 = −3 2 b) 8 +3 2 = 8 2 +3 2 g) 5 4 = 4 5 c) 8 ∙ 3 2 = 8 2 ∙ 3 2 h) 3 4 −2 = 4 −2 3 −2 d) 2 3 2 = 2 5 i) 5 −2 = −10 e) 2 3 2 = 2 6 La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Curso de Nivelación en Matemática 13 Sean ���, ��� números reales distintos de 0 y sean ���, ��� números enteros. Propiedades de la Potencia Distributiva con respecto al producto ��� ∙ ��� ��� = ��� ��� ∙ ��� ��� Distributiva con respecto a la división ��� ��� ��� = ��� ��� ��� ��� Producto de potencias de igual base ��� ��� ∙ ��� ��� = ��� ���+��� División de potencias de igual base ��� ��� ��� ��� = ��� ���−��� Potencia de potencia ��� ��� ��� = ��� ���∙��� Como se vió en el ejercicio anterior la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Actividad 10: ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado? Radicación Para los enteros positivos ��� ya se ha definido la ���-ésima potencia de ���, a saber, ��� ��� . Ahora vamos a utilizar la ecuación ��� = ��� ��� para definir la ���-ésima raíz de ���. La notación de la raíz cuadrada de 49 es 49. Su valor es 7 porque 7 2 = 49 y 7 > 0. Aun cuando −7 2 = 49, el símbolo 49 se usa sólo con +7 y no con −7, así que se tendrá un solo valor de 49. Claro que siempre es posible escribir −49 si se desea el valor negativo −7. Podemos observar que −49 no tiene una raíz cuadrada real ya que ��� 2 > 0 para todo número real ���, por lo que ��� 2 = −49 no tiene solución en el conjunto de los números reales. En general, la raíz cuadrada de ��� se define como sigue, a veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de ���. Si ��� es un número real positivo, ��� = ��� si y sólo si ��� = ��� 2 y ��� > 0 Además, 0 = 0. Ejemplo: 25 = 5 , pues 5 2 = 25 (no es −5 ni ±5) En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo, 2 3 = 8 y −5 3 = −125 Curso de Nivelación en Matemática 14 Se puede decir entonces que, Si ��� y ��� son números reales cualesquiera, ��� 3 = ��� si y sólo si ��� = ��� 3 En particular, 0 3 = 0 Ejemplo: 343 3 = 7 pues 7 3 = 343 −1728 3 = −12 pues −12 3 = −1728 Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas sólo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real. Lo mismo sucede con los enteros positivos mayores ���: la distinción fundamental surge de si ��� es par o impar. - Si ��� es un entero positivo par y ��� y ��� son números reales positivos tales que ��� = ��� ��� , entonces se escribe ��� ��� = ���. - Si ��� es un entero positivo impar y ��� y ��� son números reales tales que ��� = ��� ��� entonces se escribe ��� ��� = ���. - En cualquiera de los dos casos, 0 ��� = 0. Además, ��� ��� se llama raíz ��� -énesima de ���. El símbolo ��� se utiliza sólo para representar ��� 2 . Observaciones: © ��� ��� recibe el nombre de ��� -énesima raíz principal de ��� para indicar que ��� ��� se define positivo si ��� > 0. © El número ��� es el radicando, es el signo radical, ��� es el índice del radical y ��� ��� es la expresión radical o raíz ��� -énesima de ���. Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación. Sean ������ y ������números reales positivos y ������, ��� ���números naturales: Propiedades de la Radicación Distributiva con respecto al producto ��� ∙ ��� ��� = ��� ��� ∙ ��� ��� Distributiva con respecto a la división ��� ��� ��� = ��� ��� ��� ��� Raíz de raíz ��� ��� ��� = ��� ���∙��� Curso de Nivelación en Matemática 15 Actividad 11: 1) ¿Es posible aplicar la propiedad distributiva de la radicación respecto a la suma o a la resta? Proponer ejemplos. 2) ¿Qué sucede al aplicar la propiedad distributiva al siguiente radical: −4 ∙ −16? SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Actividad 12: Efectuar las siguientes operaciones a) 2 8 4 , 2 4 y 2 2 b) 3 20 10 , 3 4 y 3 2 c) −2 6 y −2 3 Observemos que, en algunos casos se puede dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número sin alterar el resultado. A esta propiedad la llamaremos simplificación de radicales. Si el índice de la raíz es impar se puede simplificar siempre sin tener en cuenta el signo de la base del radicando. Por ejemplo: −2 5 5 = −2 (dividimos índice y exponente por 5) 2 3 21 7 = 2 3 3 (dividimos índice y exponente por 7) Si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva, ya que si la base fuera negativa podría presentarse el siguiente caso: −2 4 4 = −2 (si dividimos índice y exponente en 4) y en realidad, −2 4 4 = 16 4 = 2, vemos que los resultados no coinciden. Por lo tanto: Cuando el índice es PAR y el radicando es NEGATIVO, NO se puede simplificar... Notemos que la única diferencia en el resultado es el signo y que las raíces de índice par dan como resultado siempre un número positivo. Podemos entonces escribir: −2 4 4 = −2 = 2, donde el valor absoluto de un número ���se define de la siguiente manera: ��� = ��� ������ ��� ≥ 0 −��� ������ ��� < 0 Entonces podemos afirmar que: Si ������ es impar, ��� ��� ��� = ��� Si ������ es par, ��� ��� ��� = ��� Curso de Nivelación en Matemática 16 Actividad 13: Descubrir los errores cometidos en el siguiente desarrollo. 9 43 9 25 4 2 9 25 16 2 4 3 5 ) 8 )( 2 ( 2 1 2 5 3 8 2 ) 2 ( 1 2 2 2 2 8 8 4 8 = + + ÷ = + + ÷ = | . | \ | ÷ + ÷ ÷ + ÷ · = | . | \ | ÷ + ÷ · ÷ + ÷ · ÷ Potencias de exponente fraccionario Observemos las siguientes analogías: 2 3 6 a a = y 2 3 6 a a = 3 5 15 a a = y 3 5 15 a a = Estos ejemplos nos inducen a adoptar la siguiente definición para el caso de potencias de exponente fraccionario: ��� ��� ��� = ��� ��� ��� , donde ��� ∈ ℝ + , ��� ∈ ℞ y ��� ∈ ℕ Actividad 14: ¿Cuándo es posible calcular una potencia de exponente fraccionario y base negativa? Recordemos como operar con radicales… Adición y Sustracción de términos con radicales · Radicales expresados como raíces con igual índice y radicando 1. Se extrae factor común de todos los términos en los que aparezca el radical involucrado: 1 2 1 2 5 6 6 6 2 6. 5 2 3 5 3 5 | | ÷ + ÷ = ÷ + ÷ | \ . 2. Se suman y restan los números racionales: 1 2 76 6. 5 2 6 2 3 5 15 | | ÷ + ÷ = ÷ | \ . Este es el resultado!!! Curso de Nivelación en Matemática 17 · Radicales expresados como raíces con distinto índice y/o radicando 3. Se descompone cada uno de los radicando, en forma de producto. Buscando que aparezca el menor de los radicandos en todos los términos 8 2 72 2.4 2 2.36 ÷ + = ÷ + 4. Se aplica propiedad distributiva con respecto al producto 2.4 2 2.36 2. 4 2 2. 36 ÷ + = ÷ + 5. Se procede a resolver aquellas raíces cuyo resultado es un numero racional 2. 4 2 2. 36 2.2 2 2.6 ÷ + = ÷ + 6. Se extrae factor común el numero irracional de cada uno de los términos en los cuales aparece ( ) 2.2 2 2.6 2. 2 1 6 ÷ + = ÷ + 7. Se resuelve la suma algebraica de números racionales ( ) 2. 2 1 6 2.7 7 2 ÷ + = = Observación: - Si no es posible encontrar como factor común un radical, no se puede resolver la operación Multiplicación y división con radicales Para multiplicar o dividir expresiones en las cuales aparecen números irracionales se procede a agrupar, si existen, mediante la aplicación de propiedades, los números racionales por un lado y los irracionales por otro. Luego se procede a resolver las operaciones que correspondan en racionales y/o irracionales. Ejemplo: ( ) 1 8. 5 8 5 8. 5 : 2. . 20 2 1 1 2. 20 20 | | = = | | \ . Curso de Nivelación en Matemática 18 ….lo cual puede escribirse…. 8 5 1 1 . 4. 5 : 4. 5: 4. 100 4.10 40 2 20 20 1 20 | | = = = = = | | \ . Racionalización de denominadores Cuando una expresión fraccionaria tiene indicado en el denominador un radical, resulta ser conveniente modificar tal expresión- sin cambiar su significado-por otra cuyo denominador sea racional. Este proceso recibe el nombre de racionalización del denominador. Trabajaremos únicamente dos casos: 1 Denominador con radical único: Multiplicamos numerador y denominador por un radical que tenga: igual índice que el que figura en el denominador. radicando tal que al efectuar el producto de este con el radicando del radical que existe, resulte una expresión (un número) que tenga como exponente un múltiplo del índice (al cual pueda calculársele la raíz en racionales). Ejemplo: 5 5 5 5 5 7 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 5 2 3 3 5 5 5 5 5 5 13 13 2 13 2 13 2 15 5 5 7 3 2 10 2 . . . . . . . . . x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ = = = = = = = = 2 Denominador de dos términos con uno o ambos con radicales de igual índice: Multiplicamos numerador y denominador por el denominador de la expresión original, cambiando la operación que separa en términos por la inversa de ésta. Es decir, si los términos aparecían unidos por la operación de la suma, el que uso para multiplicar debe tener una resta y viceversa. Para multiplicar y/o dividir radicales estos deben tener el mismo índice. Curso de Nivelación en Matemática 19 Aplicamos la siguiente propiedad: ( ) ( ) 2 2 . a b a b a b + ÷ = ÷ . Operamos teniendo en cuenta el conjunto numérico al cual pertenecen los números. Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 15. 5 8 15. 5 8 15. 5 8 15 5 8 5 8 5 8 . 5 8 5 8 15. 5 8 5. 5 8 3 + + + = = = = ÷ ÷ + ÷ ÷ + = ÷ + ÷ Actividad 15: Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones. a) 5 3 2 8 · ÷ = b) 4 3 3 5 7 · = c) = ÷ 5 3 5 Relaciones de orden en ℝ Hasta ahora hemos definido ciertas operaciones en los números reales y analizado sus propiedades. En esta sección lo que haremos es establecer un orden entre dos números reales cualesquiera. Dados dos números reales ������ y ������, se tiene sólo uno de los siguientes casos: - ��� < ��� (se lee “��������� es menor que ������”, o “������ es mayor que ������ ���”) - ��� < ��� (se lee “������ es menor que ���������”, o “������ ��� es mayor que ��� ���”) - ��� = ��� (se lee “��������� es igual a ��� ���” o “��� es igual ��� ”) Ejemplo: −8 < 1 ; 1 0 5 > ; 2 3 < . Observaciones: © ��� < ��� y ��� > ��� son expresiones equivalentes. © ��� ≤ ��� a (se lee “��� es menor o igual que ���”) significa que ��� < ��� o bien ��� = ���. Por ejemplo: 7 ≤ 9 y también 7 ≤ 7. Curso de Nivelación en Matemática 20 Actividad 16: a) ¿Cuántos números naturales hay entre −5 y 7? b) ¿Cuántos números enteros hay entre −5 y 7? c) ¿Cuántos números racionales hay entre −5 y 7? ¿Y cuántos números reales? INTERVALOS DE NÚMEROS REALES DEFINICIÓN: A un subconjunto de la recta real lo llamamos intervalo si contiene por lo menos dos números reales y también todos los números reales entre dos de sus elementos. Ejemplo: a) A = {x e ℝ / 6 < x < 8} es un intervalo. b) B = {1, 2, 5, 8} no es un intervalo pues contiene a los números 1 y 2 pero no contiene a ninguno de los números reales entre 1 y 2 como por ejemplo 3 2 ó 2 . ¿Cómo ubicamos a los números reales en la recta numérica? Para ello debemos tener en cuenta que dados dos números reales el menor siempre deberá estar ubicado a la izquierda del mayor. De esta manera: Clasificación de intervalos: ¡ Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de los ��� ∈ ℝ que están entre a y b, sin considerar los extremos a y b. Escribiremos ���, ��� = ��� ∈ ℝ/ ��� < ��� < ��� . Gráficamente: ¡ Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto de los x que están entre a y b, incluyendo los extremos a y b. Escribiremos ���, ��� = ��� ∈ ℝ/ ��� ≤ ��� ≤ ��� .Gráficamente: ¡ Se llama intervalo abierto a la izquierda al conjunto de los ��� tales que ��� < ��� ≤ ��� . Escribiremos ��� , ��� = ��� ∈ ℝ/ ��� < ��� ≤ ��� . Gráficamente: ( ) a b [ ] a b ( ] a b 8 ÷ 1 ÷ 0 3 2 Curso de Nivelación en Matemática 21 ¡ Se llama intervalo abierto a la derecha al conjunto de los ��� tales que ��� ≤ ��� < ��� . Escribiremos ��� , ��� = ��� ∈ ℝ/ ��� ≤ ��� < ��� . Gráficamente: ¡ Llamaremos intervalos infinitos a los siguientes conjuntos de puntos: - ��� ∈ ℝ/ ��� > ��� = ���, +∞ - ��� ∈ ℝ/ ��� ≥ ��� = ��� , +∞ - ��� ∈ ℝ/ ��� < ��� = +∞, ��� - ��� ∈ ℝ/ ��� ≤ ��� = +∞��� - ℝ= −∞, +∞ Observación: © A +· y –· no se los debe considerar como números; son solamente símbolos convencionales que indican todos los números reales hacia la derecha o izquierda de un número a fijo. Por esta razón, al expresar los intervalos nunca se debe usar corchetes | | junto a los símbolos +· y –·. Ejemplos: 1) El conjunto A = {x e ℝ / x = 0} es la unión de dos intervalos: A = (–·, 0) (0, +·). 2) Consideremos los siguientes conjuntos: A = {x e ℝ / –2 < x s 5} = (–2, 5] y B = {x e ℝ / 0 s x} = [0, +·) Gráficamente: Podemos ver que A B = {x e ℝ / –2 < x s 5 o 0 s x} = {x e ℝ / –2 < x} = (–2, +·). También podemos observar que: A · B = {x e ℝ / –2 < x s 5 y 0 s x} = {x e ℝ / 0 s x s 5} = [0, 5]. Actividad 17: Considerar los siguientes intervalos: A = (–5, 0] y B = (2, 4). Expresarlos utilizando desigualdades, representarlos en la recta numérica y hallar: i) A · B ii) A B iii) A · C iv) B C ] ( a [ a ) a a [ ) a b ( ] [ 0 -2 5 Curso de Nivelación en Matemática 22 TRABAJO PRÁCTICO – NÚMEROS REALES 1) Completar con los símbolos e, e, _ ó _ / según corresponda. · 4 ........ ℕ · 2 ........ ��� · ℕ ........ ℝ · {–2, t , 0} ........ ℞ · 1 2 ........ ℚ · ℝ ........ ℝ · 0,3 ........ ��� · ℕ ........ ℞ ........ ℚ ........ ℝ 2) Dado el conjunto 5 {12, , 7, 38, 571, , 0.6} 3 S t = ÷ , encontrar: a) S · ℕ b) S · ℚ c) S · ��� d) S · ℞ Representar el conjunto S en la recta numérica en forma aproximada. 3) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural. b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural. c) El cuadrado de un número racional negativo es un racional positivo. d) Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y 1 2 . e) El conjunto de los números naturales carece de primer elemento. 4) Responder: a) Si m = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13, 15 y 16 en términos de m? b) Sea n un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior? c) Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior? d) Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿Y x – 1? e) Si x es cualquier entero, ¿2x es par o impar? ¿Y 2x – 1? ¿Y 2x + 1? 5) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser verdadera. a) si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0 b) (–a) · (–b) = –(a . b) c) el cociente entre un número y su opuesto es igual a –1 d) a + (–b + c) = a – b + c e) el inverso de 2 es − 1 2 . f) a : (b + c) = a : b + a : c, siendo b + c = 0, b = 0 y c = 0 Curso de Nivelación en Matemática 23 g) b – [–c · (2 – 1) – 1] = b h) a – (b + c) = a – b + c i) (b + c) : a = b : a + c, con a = 0 j) para todo a e ℝ, a : 1 ÷ a = 1 k) para todo a e ℝ , a a = ÷ ÷ 1 1 ) ( l) a · (–b) = a · b m) a · (b – c) = a · b – a · c n) la ecuación 2x = 1 tiene solución en ℞ o) –(–a) = a 6) Calcular: 1) (5 + 3) 2 = .......... 5 2 + 3 2 = .......... 2) = | . | \ | ÷ 4 1 3 2 .......... = ÷ | . | \ | 4 4 1 3 2 .......... 3) (–2) 3 = .......... 3 –2 = .......... 4) 2 3 ) 2 (÷ = .......... | | 2 3 ) 2 (÷ = .......... 7) Completar con = ó = y mencionar qué propiedades se cumplen o no se cumplen: a) (a + b) n .......... a n + b n b) a b .......... b a c) c b a .......... c b a ) ( d) a q p ) ( · .......... a a q p · 8) Resolver aplicando propiedades de la potenciación: a) = | . | \ | + 2 3 2 2 1 b) ( ) = · 6 3 3 2 6 2 3 c) = · · · ÷ ÷ ÷ 6 5 1 3 2 a a a a d) = ( ( ¸ ( ¸ · ÷ ÷ 5 1 3 3 2 12 ) )( 3 ( 2 d b bd d b e) = ÷ ÷ 4 3 1 2 5 ) 5 ( : 2 . 0 9) En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Indicar cuáles son y corregirlos. a) ( ) ( ) 16 2 4 2 5 3 2 2 2 2 2 2 = = · · ÷ b) ( ) ( ) 1 5 5 : 5 5 : 5 0 6 6 2 3 4 2 = = = ÷ ÷ c) ( ) ( ) ( ) 49 7 7 7 7 7 7 7 2 18 12 4 2 9 6 2 4 = ÷ = · = · d) ( ) 2 5 14 2 7 0 0 = + ÷ · 10) Aplicar las propiedades de potenciación para demostrar que: a) ( ) ( ) ( ) 4 1 2 4 2 2 2 2 ÷ = + · ÷ ÷ ÷ + a a a b) ( ) ( ) 8 3 : 3 3 3 3 2 3 2 1 = + · + + + n n n c) ( ) ( ) 1000 2 : 2 10 3 1 3 1 = · + + n n d) ( ) 32 2 2 2 2 2 1 2 = + · · + + ÷ n n n Curso de Nivelación en Matemática 24 11) Determinar si han sido resueltos en forma correcta los siguientes ejercicios y justificar: a) 6 3 2 9 4 9 4 = · = · = · b) 6 36 ) 9 ( ) 4 ( 9 4 = = ÷ · ÷ = ÷ · ÷ c) 4 16 ) 8 ( ) 2 ( = = ÷ · ÷ d) 7 4 3 16 9 = + = + e) 5 25 16 9 = = + f) 2 8 8 64 8 : 64 3 3 3 3 = = ÷ ÷ = ÷ ÷ 12) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si x es un número real, entonces . 2 x x = b) Si x es un número real, entonces . 2 x x = c) Si x es un número real, entonces . 3 3 x x = d) Si x es un número real, entonces . 3 3 x x = 13) Unir con flechas las expresiones iguales, siendo ���, ��� ��� ℝ + : - 3 9 5 216 64 b a · ab 3 - 25 400 4 - 4 8 7 9 c b a 3 2 3 24 a ab - 4 2 2 4 2 2 81 16 2 1 3 5 5 b a a b a ab ÷ ÷ 4 3 2 2 ab bc a 14) Calcular: a) = 25 . 0 16 c) = · 6 1 3 1 2 2 2 e) = | | . | \ | ÷ ÷ 2 2 1 2 1 3 3 b) = ÷ 25 . 0 16 d) = | | . | \ | · ÷1 3 1 3 2 5 5 5 f) ( ) = ( ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | ÷ ÷ · · 2 1 3 1 2 1 5 3 15) Expresar como potencia de exponente fraccionario y calcular: a) 2 8 13 1 13 ÷ | . | \ | · = d) = ÷ · 4 2 16 3 25 . 0 g) = · · 27 125 3 5 3 b) = | . | \ | · ÷ ÷ 3 5 2 7 7 1 7 e) = · 4 27 3 h) = · 3 a a a Curso de Nivelación en Matemática 25 c) = · 3 a a a f) ( ) = · 5 4 8 2 2 16) Demostrar que: 2 1 2 1 2 1 2 1 b a b a b a + = ÷ ÷ . 17) Expresar el subconjunto de los números reales que satisface las condiciones siguientes como un intervalo o unión de intervalos: x > 4 y x < 5 x < 2 y x > –3 x > –5 o x < –6 x = –1 x > –2 x < 2 o x > 4 18) a) Determinar el conjunto de los números naturales que satisfacen –3 s x < 7. b) Determinar el conjunto de los números enteros que satisfacen -t s x s e. Curso de Nivelación en Matemática 26 POLINOMIOS Alguna vez en la escuela media, en clases de Física, hemos visto expresiones tales como ��� ��� = ���. ��� +��� 0 que representa la relación posición (s) de un móvil, que se desplaza en movimiento rectilíneo uniforme, en función del tiempo (t). O del movimiento uniformemente variado, donde la expresión utilizada es 2 0 0 2 1 at t v s s t + · + = . En Economía, suele utilizarse expresiones como ��� = 600��� 2 +320��� +150 que representa, por ejemplo, el costo total de construir un depósito de materiales. Es necesario, entonces estudiar las expresiones de la forma: ������ = ��� 0 +��� 1 ��� +��� 2 ��� 2 + ⋯+��� ��� ��� ��� (1)÷ Que llamaremos polinomios, donde los ��� 0 , ��� 1 , ��� 2 , …, ��� ��� se llaman coeficientes y son números reales o complejos (nosotros sólo trabajaremos con reales); x es la indeterminada y los exponentes de x son todos enteros no negativos. Actividad 1: Indicar cuáles de estas expresiones son polinomios reales (con coeficientes reales) a) 2 5 1 x b) 4 5 3 3 2 + ÷ x x c) 5. ��� −1 + ��� 4 d) 3. ���������(2���) e) 4������ 4 +2������ 2 +��� f) 7 − 1 ��� g) ÷10 h) 2 ��� − 3 ��� +4 ��� i) 4 4 3 x x x + ÷ Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes reales lo simbolizaremos ℜ���. En la expresión (l) el coeficiente ��� 0 es el término independiente, y el coeficiente ��� ��� es el coeficiente principal, si ��� ��� ≠ 0. Si ��� ��� ≠ ��� , y ��� ��� = ��� para todo n k > diremos que n es el grado de P(x) y escribiremos ( ) ( ) n x P gr = . Si 1 = n a el polinomio se llama mónico. Por ejemplo, en 4 2 5 ) ( 3 + ÷ = x x x P el grado es 3; x x Q ÷ = 4 ) ( es de grado 1; x x x x V 4 6 3 ) ( 7 2 + ÷ = es de grado 7 y S(x) = 23 es de grado 0. El polinomio nulo es aquél donde todos los coeficientes son 0. No está definido el grado del polinomio nulo. Curso de Nivelación en Matemática 27 Según el número de términos con coeficientes no nulos, el polinomio se llama monomio, binomio, trinomio,.... En el ejemplo precedente, S(x) es un monomio, Q(x) es binomio, P(x) y V(x) son trinomios. Actividad 2: Ejemplificar: a) binomio de tercer grado b) monomio de quinto grado c) trinomio de cuarto grado d) monomio de grado cero Definición: Dados dos polinomios P y Q decimos que son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado son iguales, por ejemplo ��� −��� ��� +������ ��� − ������ ��� = ��� +������ +������ ��� − ��� ��� + ������ ��� −������ ��� . Al polinomio del segundo miembro se lo llama completo, porque siendo de grado 5, se escriben todos los términos de grado igual o menor que 5 colocando coeficiente 0 en los términos que faltan. Actividad 3: Determinar los valores de m, n, r y s para que T(x) = G(x) a) 5 2 2 1 2 5 3 ) ( x x x x T ÷ + ÷ = ; 5 3 2 ) ( ) ( 3 4 ) 2 ( ) ( x s n x r x r s x m n m x G ÷ + + + + ÷ ÷ + = b) 4 3 2 8 2 4 2 7 2 3 ) ( x x x x x T + ÷ + ÷ = ; 4 2 3 2 ) ( ) ( 3 ) ( x n x s r m x r n mx x G + + ÷ + + + ÷ = Operaciones con Polinomios Veremos las operaciones con polinomios y las propiedades que éstas verifican. A Ad di ic ci ió ón n La suma del polinomio ������ = ��� 0 +��� 1 ��� +��� 2 ��� 2 + ⋯+��� ���−1 ��� ���−1 + ��� ��� ��� ��� y el polinomio ������ = ��� 0 + ��� 1 ��� + ��� 2 ��� 2 + ⋯+��� ���−1 ��� ���−1 +��� ��� ��� ��� +⋯+ ��� ��� ��� ��� donde n s m, es el polinomio: ������ +������ = ��� 0 +��� 0 +��� 1 +��� 1 ��� +��� 2 +��� 2 ��� 2 + ⋯+ ��� ���−1 +��� ���−1 ��� ���−1 +��� ��� +��� ��� ��� ��� +⋯+��� ��� ��� ��� Ejemplo: 5 4 5 2 4 7 3 ) ( ; 2 1 2 5 3 ) ( x x x x B x x x x A ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = A(x) + B(x) = (3 + 3) + (÷5 ÷1)x + (2 + 0) x 2 + (0 + 7)x 4 + (÷1/2 ÷ 4)x 5 A(x) + B(x) = 6 ÷ 6x + 2x 2 + 7x 4 ÷9/2 x 5 En la práctica puede adoptarse esta disposición en la que se encolumnan los términos de igual grado (llamados términos semejantes). Curso de Nivelación en Matemática 28 5 4 2 5 4 5 2 2 9 7 2 6 6 4 7 3 2 1 2 5 3 x x x x x x x x x x ÷ + + ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ + Para poder enunciar alguna conclusión sobre el grado del polinomio suma resolver: ( ) 4 3 2 2 1 x x x x A ÷ + ÷ = ; ( ) 2 2 2 + ÷ = x x x B ; ( ) 2 3 4 3 2 x x x x C + + = ; y ( ) 3 2 2 3 4 + + ÷ = x x x x D A(x) + B(x) = .............................................................................gr (A+B) = ..................... A(x) + C(x) = .............................................................................gr (A+C) = ..................... A(x) + D(x) = .............................................................................gr (A+D) = ..................... El grado del polinomio suma A + B es ………………………… que el grado del polinomio de mayor grado entre los polinomios sumandos. © La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Actividad 4: Dados los polinomios 4 3 2 2 1 ) ( x x x x A ÷ + ÷ = ; 2 2 ) ( 2 + ÷ = x x x B ; 3 2 1 ) ( 2 ÷ + = x x x F a) ¿Existe elemento neutro para la suma de polinomios? ¿Cuál es? b) ¿Todo polinomio tiene un opuesto, o inverso aditivo? ¿Cuál es? © Recordar que para todo polinomio A(x) existe otro K(x) tal que A(x) + K(x) da por resultado el polinomio nulo. Se dice que K(x) es el opuesto de A(x) y se lo representa como ÷A(x). Hallar, entonces, los opuestos de A(x), B(x) y F(x). S Su us st tr ra ac cc ci ió ón n Dados los polinomios A(x) y B(x), efectuar la sustracción (resta o diferencia) entre A(x) y B(x) equivale a sumar a A(x) el opuesto de B(x). Por ejemplo: Si 2 3 2 ) ( 3 4 5 ÷ ÷ + = x x x x A y 3 5 3 ) ( 2 4 ÷ ÷ = x x x B . Entonces 3 5 3 ) ( 2 4 + + ÷ = ÷ x x x B Por lo tanto: ( ) ( ) ) 3 5 3 ( ) 2 3 2 ( )) ( ( ) ( 2 4 3 4 5 + + ÷ + ÷ ÷ + = ÷ + = ÷ x x x x x x B x A x B x A ( ) ( ) 1 5 3 2 3 4 5 + + ÷ ÷ = ÷ x x x x x B x A Curso de Nivelación en Matemática 29 Actividad 5: 1) Dados 3 4 8 2 ) ( x x x x F + ÷ = , 4 3 2 ) ( x x x G ÷ = , 1 2 2 ) ( 4 3 + ÷ + ÷ = x x x x H , hallar: a) F(x) + G(x) ÷ H(x) b) F(x) ÷ G(x) ÷ H(x) c) F(x) ÷ (G(x) ÷ H(x)) 2) Siendo 4 3 2 8 2 4 2 7 2 3 ) ( x x x x x T + ÷ + ÷ = y 2 3 2 2 4 4 2 ) ( x x x x J ÷ + ÷ = , resolver: a) T(x) + J(x) b) T(x) ÷ J(x) c) J(x) ÷ T(x) 3) Hallar V(x) tal que W(x) ÷ V(x) = Y(x) , si 3 4 2 3 1 ) ( x x x W + ÷ = y 1 4 3 2 ) ( 2 3 ÷ ÷ + ÷ = x x x x Y Producto Al multiplicar dos monomios, el resultado es otro monomio. Por ejemplo: si ������ = 6��� 3 y ������ = 4��� 5 , entonces ������ ∙ ������ = 6��� 3 ∙ 4��� 5 = 6 ∙ 4 ∙ ��� 3 ∙ ��� 5 = 24��� 8 Si ������ = 6��� 3 y ������ = −3��� 4 , entonces ������ ∙ ������ = 6 ∙ −3 ∙ ��� 3 ∙ ��� 4 = −18��� 7 El coeficiente del producto es el producto de los coeficientes de los factores. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los factores, si estos no son nulos. Si alguno de los factores es el polinomio nulo, el producto es el polinomio nulo. Para calcular el producto de dos polinomios, multiplicamos cada término (monomio) de uno de ellos por cada uno de los términos (monomio) del otro. Si ( ) n n n n x a x a x a x a a x A + + + + + = ÷ ÷ 1 1 2 2 1 0 ...... y ( ) m m m m x b x b x b x b b x B + + + + + = ÷ ÷ 1 1 2 2 1 0 ...... Entonces: ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + · + + + + + = · ÷ ÷ ÷ ÷ m m m m n n n n x b x b x b x b b x a x a x a x a a x B x A 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 ...... ...... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m n n m m m m n n m m m m m m m m m m m m m m m m n n n n x b x b x b x b b x a x b x b x b x b b x a x b x b x b x b b x a x b x b x b x b b x a x b x b x b x b b a x b x b x b x b b x a x a x a x a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + + + · + + + + + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 1 1 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 2 1 0 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 1 0 ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... Curso de Nivelación en Matemática 30 Por ejemplo, si 1 2 ) ( 3 + ÷ = x x x A y 4 3 ) ( 2 + ÷ = x x x B , entonces resulta: 1 2 ( ) ( ) ( 3 + ÷ = · x x x B x A )∙( 4 3 2 + ÷ x x ) = ( ) 4 3 2 2 3 + ÷ x x x ( ) 4 3 2 + ÷ ÷ x x x ( ) 4 3 1 2 + ÷ + x x = = 4 3 4 3 8 2 6 2 2 3 3 4 5 + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ x x x x x x x x = = 4 5 4 5 2 6 2 3 4 5 + ÷ + + ÷ x x x x x Si queremos utilizar la disposición práctica: 4 5 4 5 2 6 ) ( . 1 4 3 ) ( . 4 3 ) ( . 2 8 2 6 4 3 1 2 2 3 4 5 2 2 3 3 3 4 5 2 3 + ÷ + + ÷ + ÷ + ÷ ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + ÷ x x x x x x B x x x B x x x x x B x x x x x x x x Para deducir el grado del polinomio producto resolvemos los siguientes ejemplos. Actividad 6: Considerar M(x) = x + 3, G(x) = x 2 + 2x ÷ 1, B(x) = 2x 3 ÷ x + 2 y calcular: M(x) ∙ G(x) = ...............................................................................gr (M ∙ G) :................... M(x) ∙ B(x) = ............................................................................. ..gr (M ∙ B) :.................. G(x) ∙ B(x) =.................................................................................gr (G ∙ B) :.................. El grado del polinomio producto es igual a ……………… de los grados de los polinomios factores. El coeficiente principal del polinomio producto es …………………….. de los coeficientes principales de los polinomios factores. El término independiente del polinomio producto es ……………………. de los términos independientes de los polinomios factores. La multiplicación de polinomios verifica la ley de cierre (el producto de dos polinomios es otro polinomio). Actividad 7: 1) Dados los polinomios T(x) = 2 ÷ x + 1/2x 2 , V(x) = x ÷ 2, W(x) = x + 1 + x 2 , a) Comprobar que T(x) . (V(x) + W(x)) = T(x) V(x) + T(x) W(x) Curso de Nivelación en Matemática 31 b) Calcular V 2 , W 2 , V 3 . 2) Con los polinomios 3 2 4 3 7 5 2 ) ( x x x x A + + ÷ ÷ = , 1 3 ) ( + = x x B , 3 5 3 2 ) ( x x x C ÷ = calcular: a) C(x) ÷ A(x) ∙ B(x) b) 3A(x) + 2x 3 B(x) c) [B(x)] 2 ÷ 2A(x) División Si deseamos determinar los números enteros c y r que satisfacen la ecuación 9 = 4c + r, podemos efectuar la división entera mediante el correspondiente algoritmo: donde 9 es el dividendo, 4 el divisor, 2 es el cociente y 1 es el resto. Entonces, c = 2 y r = 1 son los únicos números enteros que verifican la igualdad 9 = 4 ∙ 2 + 1, teniendo en cuenta que 0 ≤ r < divisor. Además recordamos que el divisor nunca es cero. Esto que sucede en el conjunto de los números enteros es muy similar a lo que ocurre con los polinomios. Para hallar los polinomios C(x) y R(x) que satisfacen la ecuación ( ) ) ( ) ( ). 2 ( 4 4 2 3 2 3 3 4 x R x C x x x x x + ÷ = ÷ ÷ + podemos realizar la división de polinomios. El polinomio C(x) se llama polinomio cociente y el polinomio R(x) se llama polinomio resto. El polinomio divisor nunca puede ser el polinomio nulo y el grado de R(x) debe ser menor que el grado del divisor o R(x) = 0. El cociente y el resto de dividir un polinomio por otro no nulo se calculan mediante un algoritmo similar al de la división de números enteros. Ejemplificaremos cada paso con el polinomio ( ) 4 4 2 3 3 4 ÷ ÷ + x x x dividido por ( ) 2 3 2x x ÷ : 1º: Se ordenan según las potencias decrecientes de la indeterminada (x), el dividendo y el divisor; completando además el dividendo. En el ejemplo, ambos polinomios están ordenados, pero hay que completar el dividendo: 4 4 0 2 3 2 3 4 ÷ ÷ + + x x x x 2º: Dividimos el primer término del dividendo con el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. En el ejemplo: x x x x x x x 3 2 4 4 0 2 3 2 3 2 3 4 ÷ ÷ ÷ + + 3º: Multiplicamos el primer término del cociente por todo el divisor. En el ejemplo: x x x x x x x x x 3 6 3 2 4 4 0 2 3 3 4 2 3 2 3 4 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + 9 4 1 2 Curso de Nivelación en Matemática 32 4º: Se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. En el ejemplo: 2 3 3 4 2 3 2 3 4 0 8 3 6 3 2 4 4 0 2 3 x x x x x x x x x x x + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + 5º: Reiteramos el procedimiento 2º, 3º y 4º hasta obtener el polinomio resto, de grado menor que el divisor. En el ejemplo: 4 4 16 16 8 0 8 8 3 6 3 2 4 4 0 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 3 2 3 4 ÷ ÷ ÷ ÷ + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + + x x x x x x x x x x x x x x x Y como ( ) 2 4 4 16 2 = ÷ ÷ x x gr y ( ) 3 2 2 3 = ÷ x x gr , quedan entonces determinados el polinomio cociente 8 3 ) ( + = x x C y el polinomio resto R(x) = 16x 2 ÷ 4x ÷ 4 que verifican: = ÷ ÷ + 4 4 2 3 3 4 x x x (x 3 ÷ 2x 2 ) (3x + 8) + (16x 2 ÷ 4x ÷ 4) Planteamos otro ejemplo. Queremos efectuar A : B siendo 1 2 ) ( 3 + ÷ = x x x A y 1 ) ( 2 + ÷ = x x x B . En el ejemplo anterior, restábamos el producto de cada monomio por el divisor. En este ejemplo procederemos de otra manera, sumando el opuesto del polinomio obtenido en cada paso. 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 3 2 2 3 ÷ ÷ ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + ÷ + + ÷ + ÷ + x x x x x x x x x x x x x x Luego: 1 2 3 + ÷ x x = ( 1 2 + ÷ x x ) (2x + 2) + (÷ x÷ 1) Actividad 8: 1) Dados A y B determinar C y R tal que A = B∙ C + R, donde R(x) = 0(x) o gr (R) < gr (B) a) 1 2 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x A 1 ) ( ÷ = x x B b) 1 2 3 ) ( 2 4 ÷ ÷ = x x x A 2 2 ) ( + = x x B c) 1 ) ( 2 3 + + ÷ = x x x x A 1 ) ( 2 + = x x B d) 3 2 ) ( 2 ÷ + = x x x A 2 3 ) ( x x B = Curso de Nivelación en Matemática 33 e) 3 2 ) ( 2 ÷ + = x x x A 3 2 ) ( x x B = f) 4 4 ) ( x x A ÷ = 2 ) ( 2 + + = x x x B 2) a) Hallar el polinomio A(x) (dividendo), sabiendo que el divisor es B(x) = 3x ÷ 1, el cociente es C(x) = ÷ x 2 ÷ 2 1 x + 1 y el resto es R(x) = ÷5. b) Hallar el polinomio divisor B(x) siendo el dividendo 10 4 3 ) ( 2 3 ÷ ÷ + = x x x x A , el cociente C(x) = x + 2 y el resto R(x) = 2. Cuando tenemos que dividir un polinomio P(x) por un polinomio mónico (coeficiente principal igual a 1) de grado uno, conviene utilizar un algoritmo llamado Regla de Ruffini. Este es un procedimiento que permite hallar el cociente y el resto sin efectuar la secuencia que describimos anteriormente. Recordemos que únicamente puede usarse la regla de Ruffini si el divisor es un polinomio de la forma a x ÷ , siendo a un número real cualquiera. Ejemplificaremos dicho procedimiento efectuando la división entre A(x) = 3x 3 + 7x 2 + 6x ÷ 1 y B(x) = x + 2 La disposición práctica requiere que en el primer renglón se escriban los coeficientes del dividendo ordenado y completo hasta el término independiente inclusive. En el ángulo se escribe el opuesto de a, que figura en el divisor (su raíz). 3 7 6 ÷1 ÷2 ÷6 3 1 3 7 6 ÷1 ÷2 ÷6 ÷2 3 1 4 3 7 6 ÷1 ÷2 ÷6 ÷2 ÷8 3 1 4 ÷9 El resto es ÷9, siempre es una constante. Los valores 3, 1 y 4 son los coeficientes del polinomio cociente ordenado y completo, cuyo grado es una unidad menor que el grado del dividendo. Entonces ( ) 4 1 3 3 + + = x x x C . El coeficiente principal del dividendo (3) se copia abajo. Se lo multiplica por ÷2 y el resultado (÷6) se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo (7). Se suma 7 y ÷6 y el resultado (1) se escribe abajo. El 4 obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se lo multiplica por ÷2 y el resultado (÷8) se escribe debajo del último coeficiente del dividendo (÷1). Se suman ÷1 y ÷8, y el resultado (÷9) es el resto. Se escribe abajo. El 1 obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se lo multiplica por ÷2 y el resultado (÷2) se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo (6). Se suman ÷2 y 6 y el resultado (4) se escribe abajo. Curso de Nivelación en Matemática 34 Según el algoritmo de la división podemos escribir: 3x 3 + 7x 2 + 6x ÷ 1 = (x + 2) (3x 2 + x + 4) ÷ 9. Actividad 9: 1) En la Actividad 8.1), identificar las divisiones en que se puede aplicar la regla de Ruffini, resolver mediante este método y verificar los resultados anteriores. 2) Obtener mediante la regla de Ruffini el cociente y el resto de la división entre A(x) y B(x). a) 1 4 2 6 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x A B(x) = x + 2 b) 3 2 3 34 12 8 ) ( x x x x A + ÷ ÷ = B(x) = x ÷ 4 c) 4 2 ) ( 2 4 + + ÷ = x x x A B(x) = x + 3 d) 4 3 ) ( a ax x A + = B(x) = x ÷ ½ 3) Para resolver las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, hay que recordar que si se multiplican (dividen) el dividendo y el divisor por un número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado (dividido) por dicho número. a) 1 2 ) ( 3 + ÷ = x x x A B(x) = ÷x + 2 b) 4 8 2 6 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x A B(x) = 2x ÷ 1 c) 8 6 3 ) ( 2 + ÷ = x x x A B(x) = 3x ÷ 6 Divisibilidad de Polinomios Si al realizar la división entre A(x) y B(x), con 0 ) ( = x B , el resto es el polinomio nulo, decimos que A(x) es divisible por B(x), o que B(x) divide a A(x). B(x) divide a A(x) si y sólo si existe un polinomio K(x) tal que K(x)∙ B(x) = A(x). Por ejemplo, si queremos ver si A(x) = x 2 ÷ 5x + 6 es divisible por B(x) = x ÷ 2, podemos dividir utilizando la regla de Ruffini: 1 -5 6 2 2 -6 1 -3 0 Como R(x) = 0, entonces A(x) es divisible por B(x). Para analizar si A(x) = x 5 ÷ x 3 + x 2 ÷ 2x + 1 es divisible por B(x) = x 2 + 1, usamos el algoritmo conocido ya que, no puede aplicarse la regla de Ruffini. Curso de Nivelación en Matemática 35 0 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 2 3 2 3 3 3 5 2 2 3 4 5 ÷ ÷ + + + ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ + + + ÷ + ÷ + x x x x x x x x x x x x x x x x x Como R(x)=0, A(x) es divisible por B(x). Observemos que en el algoritmo, en lugar de restar el polinomio obtenido en cada paso, se sumó su opuesto, como ya hicimos antes. Actividad 10: Averiguar si A(x) es divisible por B(x). a) 10 29 18 3 2 ) ( 3 6 7 + + + + = x x x x x A B(x) = 2x 2 + 3x b) 6 3 5 16 2 ) ( x x x x A ÷ + = B(x) = x 2 +2x c) 15 10 9 6 ) ( 2 4 6 ÷ + ÷ = x x x x A B(x) = 2x 2 ÷ 3 Veremos otro modo de averiguar la divisibilidad de un polinomio por otro de la forma (x ÷ a) (siendo a un número real cualquiera). Para ello debemos definir el valor numérico de un polinomio: Dado un polinomio P(x) llamamos valor numérico de P(x) para x = a, con ae R, al número que se obtiene reemplazando x por a y efectuando los cálculos. Ejemplos: En P(x) = x 2 ÷ 5x + 6, P(1) = 1 2 ÷ 5 . 1 + 6 = 2 P(2) = 2 2 ÷ 5 . 2 + 6 = 0 P(÷1) = (÷1) 2 ÷ 5 . (÷1) + 6 = 12 En P(x) = x 4 ÷ 8, P(÷2) = (÷2) 4 ÷ 8 = 8 P(0) = 0 4 ÷ 8 = ÷8 En P(x) = 5 , P(3) = 5 P(-2) = 5 P( 5 ) = 5 Actividad 11: En los polinomios 3 2 1 2 ) ( 2 + ÷ = x x x A , 1 ) ( 2 3 + ÷ = x x x H , 4 ) ( 2 ÷ ÷ = x x T , calcular: a) ÷A(÷1), b) ÷H(÷2), c) T( 2 ), d) ÷H(0), e) T(-3) Curso de Nivelación en Matemática 36 Decimos que x = a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0. Por ejemplo, x = 1 es raíz de P(x) = x 5 ÷ x 3 porque P(1) = 1 5 ÷ 1 3 = 0. También x = ÷1 es raíz de P(x), porque P(÷1) = (÷1) 5 – (÷1) 3 = ÷1 + 1 = 0. Si realizamos la división de un polinomio P(x) por (x ÷ a) donde a es un número real y R también es una constante: P(x) x ÷ a R C(x) Entonces P(x) = (x ÷ a) C(x) + R C Si x = a, reemplazamos en C y resulta: P(a) =    0 ) a a ( ÷ C(a) + R ¬ P(a) = R Enunciamos, entonces, el Teorema del Resto: El resto de la división de un polinomio P(x) por otro de la forma x ÷ a, es igual a P(a). Si queremos saber si un polinomio P(x) es divisible por otro de la forma x ÷ a, bastará hallar P(a). Si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por x ÷ a. Averigüemos si A(x) = x 2 ÷ 5x + 6 es divisible por B(x) = x ÷ 2, utilizando el teorema del resto: A(2) = 2 2 – 5 . 2 + 6 = 0 ¬ A(x) es divisible por B(x). Actividad 12: 1) Analizar si A(x) es divisible por B(x), aplicando teorema del resto. a) 8 ) ( 3 ÷ = x x A B(x) = x + 2 b) 2 2 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x A B(x) = x ÷ 2 c) 6 5 ) ( 2 + + = x x x A B(x) = x ÷ 3 2) Halla k para que B(x) sea divisor de A(x) a) 4 ) ( 2 3 + + + = kx kx x x A B(x) = x ÷ 1 b) k x kx x kx x A + ÷ + ÷ = 2 3 4 ) ( B(x) = x – ½ Curso de Nivelación en Matemática 37 Factorización de Polinomios Cuando expresamos un número entero como producto de otros, decimos que estamos factorizando ese número. Por ejemplo, 120 se puede escribir como 12∙ 10 pero, ¿éstos serán los únicos factores que puedo encontrar o, podré seguir factorizándolo? La respuesta es sí, veamos que, 120 = 12 ∙ 10 Pero también, 120 = 6 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 y, 120 = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 es decir, 120 = 3 ∙ 2 3 ∙ 5 En esta última forma de factorizarlo vemos que 120 quedo expresado como producto de números primos, por lo que ya no podremos encontrar otra factorización que involucre números positivos más pequeños que los hallados y diremos que esa factorización en números primos es única, salvo el orden de los factores. De la misma manera, cuando expresamos un polinomio P(x) como producto de una contante por otros polinomios diremos que lo estamos factorizando y cada uno de esos nuevos polinomios será un factor de P(x). Además, las raíces de cada uno de ellos también serán raíces de P(x). Por ej, analicemos el polinomio ������ = ��� 4 −��� 3 − 4��� 2 − 2��� −12 Si evaluamos al polinomio en ��� = −2, ���−2 = 0 lo que significa que ��� = −2 es raíz de P. Así, podríamos reescribir a ������ = ��� 3 −3��� 2 +2��� −6 ��� 1 (���) ��� +2 Pero, ¿P tendrá más raíces reales? Es decir, ¿los factores que intervienen en la factorización de P tendrán raíces reales? Sea, ��� 1 ��� = ��� 2 + 2 ��� 2 (���) ��� −3 Vemos que ��� = 3 es raíz de ��� 1 , que es uno de los factores de ��� por lo que ��� = 3 también es raíz de P y vemos también que ��� 2 (���) no tiene raíces reales por lo que ������ = ��� 2 + 2��� −3��� +2 estaría así, totalmente factorizado en ℝ���. Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz, a ésta se la llama raíz múltiple. En ) 5 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( + ÷ ÷ = x x x x Q , x = 2 es una raíz doble de Q. Si M(x) = (x + 3) (x + 3) (x + 3), x = ÷3 es raíz triple de M(x). Se llama orden de multiplicidad de la raíz a del polinomio P(x) a la cantidad de veces que está el factor ( ) a x ÷ en la factorización de P(x). En ) 5 ( ) 1 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 + ÷ = + ÷ ÷ = x x x x x x Q , el orden de multiplicidad de la raíz x = 1 es 2. En M(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) = (x + 2) 3 , el orden de multiplicidad de la raíz x = ÷2 es 3. Curso de Nivelación en Matemática 38 Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales: - Si el polinomio es de grado impar tiene como mínimo una raíz real. - Si el polinomio es de grado par, o no tiene raíces reales o tiene una cantidad par de ellas. Queremos ahora descomponer un polinomio en factores. Vamos a recordar algunas técnicas. Factor Común Si en un polinomio, la indeterminada x figura en todos los términos, es conveniente sacar factor común. También puede extraerse un número que es factor en todos los coeficientes. Ejemplos: ) 6 ( 3 18 3 ) ( 2 ÷ = ÷ = x x x x x P ) 2 3 ( 2 4 6 2 ) ( 2 2 2 3 4 + ÷ = + ÷ = x x x x x x x F ) 1 ( ) ( 2 2 3 + = + = x x x x x G H(x) = 10x 3 ÷ 25 = 5 (2x 3 ÷ 5) Siempre es posible controlar que el producto que obtuvimos es correcto aplicando la propiedad distributiva. Diferencia de Cuadrados Recordemos que una diferencia de cuadrados puede escribirse como producto x 2 ÷ a 2 = (x + a)∙(x ÷ a). Cuando se presenta la resta de dos términos y cada uno de ellos es una potencia cuadrada, puede expresarse como el producto entre la suma y la diferencia de las bases de esas potencias. Ejemplos: ) 5 ( ) 5 ( 25 ) ( 2 ÷ + = ÷ = x x x x J ) 6 )( 6 ( 36 ) ( 2 2 4 ÷ + = ÷ = x x x x K ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) 9 4 ( ) 9 4 ( ) 9 4 ( 81 16 ) ( 2 2 2 4 ÷ + + = ÷ + = ÷ = x x x x x x x L Muchas veces es posible combinar las diferentes técnicas para factorizar polinomios: ) 3 ( ) 3 ( ) 9 ( 9 ) ( 2 2 2 2 4 ÷ + = ÷ = ÷ = x x x x x x x x D Actividad 13: Expresar cada E(x) como productos de polinomios del menor grado posible: a) 2 3 2 ) ( x x x E + ÷ = b) 2 6 ) ( x x x E ÷ = c) x x x E 12 3 ) ( 3 ÷ = Factor común por grupos Algunos polinomios presentan una estructura que permite formar grupos de igual cantidad de términos y sacar factor común en cada uno de esos grupos. Una vez hecho esto, aparece un nuevo factor común. Veamos en un ejemplo: Curso de Nivelación en Matemática 39 ( ) ) 5 7 ( 2 ) 5 7 ( ) 10 14 ( ) 5 7 ( 10 14 5 7 4 4 5 4 5 ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = x x x x x x x x x x V En los dos términos que se obtienen, 7x ÷ 5 es factor común. Entonces el polinomio queda factorizado: ( ) ) 2 ( ) 5 7 ( 4 + ÷ = x x x V Otros ejemplos: a) ) 1 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( 2 3 2 3 ) ( 5 2 3 2 3 2 3 5 2 3 5 7 8 2 3 5 7 8 + ÷ + = ÷ + + ÷ + = = ÷ + + ÷ + = ÷ + + ÷ + = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x W b) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( 4 2 2 2 4 2 4 6 2 4 6 ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = = + ÷ + ÷ = + ÷ ÷ = x x x x x x x x x x x x Y Pero aún podemos descomponer ambas diferencias de cuadrados: ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 2 2 + ÷ + = = ÷ + + ÷ + = ÷ + ÷ + = x x x x x x x x x x x x x Y Es importante recordar que la potenciación NO es distributiva respecto de la suma ni de la resta. (x + 1) 2 = x 2 + 1 (x ÷ 1) 2 = x 2 ÷ 1 Trinomio Cuadrado Perfecto Recordemos que el resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio: 2 2 2 2 ) ( a ax x a x + + = + Donde un término es x 2 ; otro es a 2 y en otro aparece el doble del producto entre x y a. A este trinomio se lo llama trinomio cuadrado perfecto, porque proviene del cuadrado de un binomio. Analicemos los siguientes ejemplos: a) C(x) = x 2 + 10x + 25 (x) 2 (5) 2 2 . x. 5 entonces C (x) = (x + 5) 2 b) G(x) = 9x 2 ÷6x + 1 (3x) 2 (1) 2 Curso de Nivelación en Matemática 40 ÷2 . 3x . 1 entonces G(x) = (3x ÷ 1) 2 ó G(x) = (÷3x + 1) 2 c) L(x) = 100 x 4 x 25 1 3 6 + ÷ 2 3 x 5 1 | . | \ | (10) 2 10 . x 5 1 . 2 3 ÷ entonces 2 3 10 5 1 ) ( | . | \ | ÷ = x x L Cuatrinomio Cubo Perfecto Ya hemos visto que 3 2 2 3 3 3 3 ) ( a xa a x x a x + + + = + (*) Entonces al polinomio 8 12 6 ) ( 2 3 + + + = x x x x M lo comparamos con (*) (x) 3 (2) 3 3.(x) 2 .2 3.x.(2) 2 Y resulta M(x) = (x + 2) 3 Actividad 14: Factorizar los siguientes polinomios: a) 4 1 ) ( 2 + ÷ = x x x P c) 2 3 4 2 ) ( x x x x P + + = b) 1 3 3 ) ( 3 6 9 ÷ + ÷ = x x x x P d) 8 12 6 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x P Otros polinomios Ya hemos repasado algunas técnicas útiles para factorizar polinomios: factor común, factor común por grupos, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto, pero estos métodos son aplicables sólo a polinomios que tienen formas particulares. ¿Cómo hacer cuando los polinomios no son factorizables con estos métodos?, ¿cómo descomponerlos en factores primos? En general, este no es un problema sencillo de resolver y se utilizan métodos de aproximación. Sin embargo, en todos los casos se pueden encontrar raíces de cualquier polinomio mediante prueba con valores de la indeterminada x que se crea pueden ser raíces. Recordemos el concepto de valor numérico de un polinomio. Por ejemplo, Si P(x) = x 3 ÷ 8 entonces: P(1) = 1 3 ÷ 8 = ÷7; P(2) = 2 3 ÷8 = 0 Curso de Nivelación en Matemática 41 Si T(x) = x 3 + 1 entonces: T(1) = 1 3 + 1 = 2; T(÷1) = (÷1) 3 + 1 = 0 Observamos que algunos valores numéricos son iguales a cero. Entonces decimos que: 2 es raíz de P(x) ÷1 es raíz de T(x) a es raíz de P(x) si y sólo si P(x) es divisible por (x ÷ a) Esta propiedad es aplicable a cualquier polinomio. Si S(x) = x 4 ÷3x + 2 y S(1) = 1 4 ÷3 . 1 + 2 = 0 entonces, 1 es raíz de S(x). Utilizando esta propiedad, podemos descomponer los tres polinomios dados: Si 2 es raíz de P(x) = x 3 ÷ 8, entonces x 3 ÷ 8 es divisible por x ÷ 2. 1 0 0 -8 2 2 4 8 1 2 4 0 ¬ x 3 ÷ 8 = (x 2 + 2x + 4) (x ÷ 2) Si ÷1 es raíz de T(x) = x 3 + 1, entonces x 3 + 1 es divisible por x + 1. 1 0 0 1 −1 -1 1 -1 1 -1 1 0 ¬ x 3 + 1 = (x 2 ÷ x + 1) (x + 1) Si 1 es raíz de S(x) = x 4 ÷3x + 2, entonces x 4 ÷3x + 2 es divisible por x ÷ 1. 1 0 0 -3 2 1 1 1 1 -2 1 1 1 -2 0 ¬ x 4 -3x + 2 = (x 3 + x 2 + x - 2) (x - 1) Para hallar las raíces racionales de un polinomio, es conveniente conocer el Teorema de Gauss: Curso de Nivelación en Matemática 42 Cuando una fracción irreducible q p es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, p es divisor del término independiente y q es divisor del coeficiente principal. Si queremos encontrar las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros, debemos seguir estos pasos: I. Hallar los divisores del término independiente (p) y los divisores del coeficiente principal (q). II. Formar con ellos todas las fracciones irreducibles q p , que son las posibles raíces. III. Hallar el valor numérico del polinomio para esas fracciones para ver si alguna es raíz de él. Ejemplo: Factorizar al polinomio: 6 8 4 ) ( 2 3 4 ÷ + + ÷ = x x x x x P . Verificamos que el polinomio tiene coeficientes enteros. I. Divisores del término independiente, (p): {1, ÷1, 2, ÷2, 3, -3, 6, ÷6} Divisores del coeficiente principal, (q): {1, ÷1} II. Para hallar todas las fracciones irreducibles p/q, notamos que los posibles valores de q son 1 y ÷1, por lo tanto p/q será igual a p, para cada caso. Es decir que las posibles raíces racionales de P(x) son los valores de p, o sea, los divisores del término independiente. III. Y ahora, con un poco de suerte e intuición para que la tarea sea más breve, se calcula el valor numérico de P(x) para distintos valores de p, hasta encontrar alguna raíz: P(1) = 1 4 ÷ 4 . 1 3 + 1 2 + 8 . 1 – 6 = 0 ¬ 1 es raíz de P Entonces, P(x) es divisible por x ÷ 1 1 ÷4 1 8 ÷6 1 1 ÷3 ÷2 6 1 ÷3 ÷2 6 0 El polinomio P(x) queda, en principio, factorizado como: ( ) ) 1 ( 6 2 3 ) ( 2 3 ÷ + ÷ ÷ = x x x x x P Busquemos ahora las raíces de 6 2 3 ) ( 2 3 + ÷ ÷ = x x x x Q . Curso de Nivelación en Matemática 43 Observamos que las posibles raíces racionales de Q son las mismas que las de P. Evaluamos Q(1) = 1 3 ÷ 3 . 1 2 ÷ 2 . 1 + 6 = 2 = 0 por lo que 1 no es raíz de Q. Calculamos Q(÷1) = (÷1) 3 ÷ 3 . (÷1) 2 ÷ 2 . (÷1) + 6 = 4 = 0 Ahora Q(2) = 2 3 ÷ 3 . 2 2 ÷ 2 . 2 + 6 = ÷2 = 0. Puede ser Q(÷2) = (÷2) 3 ÷ 3 . (÷2) 2 ÷ 2 . (÷2) + 6 = ÷12 = 0. … Hasta aquí no se tuvo suerte Seguimos: Q(3) = 3 3 ÷ 3 . 3 2 ÷ 2 . 3 + 6 = 0. ¡Al fin!!! Entonces Q(x) es divisible por x ÷ 3. También P(x) es divisible por x ÷ 3 porque si 3 es raíz de Q(x) también es raíz de P(x). 1 ÷3 ÷2 6 3 3 0 ÷6 1 0 ÷2 0 El polinomio P(x) queda expresado así: ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 ÷ ÷ ÷ = x x x x P x Q        Nos queda hallar las raíces de H(x) = x 2 ÷2. Son 2 2 ÷ = = x y x , que no pertenecen al conjunto de los racionales, pero pueden encontrarse aplicando la técnica de la diferencia de cuadrados. Entonces P(x) queda completamente factorizado de la siguiente manera ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ÷ ÷ ÷ + = x x x x x P Donde las raíces reales de P(x) resultan ser . 1 3 , 2 , 2 = = = ÷ = x y x x x Existen polinomios cuyos coeficientes no son enteros y, sin embargo, también podemos buscar sus raíces racionales aplicando el Teorema de Gauss. Por ejemplo, 1 2 1 2 5 ) ( 2 3 + + ÷ = x x x x P . Multiplicando P(x) por 2 obtenemos el polinomio 2 5 2 ) ( 2 3 + + ÷ = x x x x F . Se puede verificar que las raíces racionales de F(x) son las mismas que las de P(x), a pesar de que los polinomios son diferentes. Actividad 15: Factorizar los siguientes polinomios, utilizando cualquiera de las técnicas descriptas, e indicar cuáles son sus raíces: Curso de Nivelación en Matemática 44 a) 12 16 4 ) ( 2 3 4 ÷ ÷ ÷ + = x x x x x T b) 10 5 10 5 ) ( 2 3 ÷ + ÷ = x x x x Q c) 162 2 ) ( 2 + ÷ = x x T d) 36 12 ) ( 2 4 + + = x x x V e) 5 6 7 5 3 2 ) ( x x x x W ÷ + = Curso de Nivelación en Matemática 45 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Expresiones racionales- Ecuaciones e inecuaciones El álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas (incógnitas) y se representan por letras. El lenguaje simbólico dará lugar a expresiones algebraicas mediante las cuales se traducen los términos de un problema dado. Si el problema del gran mago te quedó expresado de esta manera, en lenguaje simbólico, es porque vos también podés convertirte en mago. 154 8 3 9 3 ) 15 ( = ÷ ÷ · + x Discute con tus compañeros cual es el “truco” utilizado. Actividad 1: Traducir a lenguaje algebraico los siguientes enunciados: - La base y la altura de un rectángulo difieren en 10 unidades. ………………………………………………………………………………………… - La tercera parte de un número menos el otro. …………………………………………………………………………………………………… - La suma de un número par y uno impar. …………………………………………………………………………………………………… La astucia del Gran Mago El Gran Mago me dijo: -Piensa un número. -Añádele 15. -Multiplica por 3 el resultado. -A lo que salga restale 9. -Divide en 3. -Resta 8. -Dime lo que sale. Yo le dije: -154, Gran Mago. Y el Gran Mago me dijo instantáneamente: -El número que pensaste fue el 158. ¿Cómo consigue el Gran mago averiguarlo tan deprisa? Curso de Nivelación en Matemática 46 - La distancia d que recorre un móvil se calcula como el producto entre el tiempo t que tarda y la velocidad v. …………………………………………………………………………………………………. Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Con ellas se puede operar para obtener otras relaciones. Un tipo especial de expresiones algebraicas son las fracciones algebraicas. Vamos a acercarnos a ellas resolviendo el siguiente problema: Actividad 2: “Un peatón recorre 14 km en 4 hs. Los primeros 8 km los recorre a una velocidad de 1 ������ ��� más que la que lleva en los siguientes 6 km”. Si llamamos v a la velocidad con que recorre el primer tramo, será ��� −1 la velocidad con que recorre el segundo tramo. RECORRIDO VELOCIDAD TIEMPO PRIMER TRAMO 8 km ��� 8 ��� SEGUNDO TRAMO 6 km ��� −1 6 ��� −1 El tiempo total invertido es 1 6 8 ÷ + v v . A estas expresiones: v 8 y 1 6 ÷ v las llamamos fracciones algebraicas o expresiones algebraicas racionales. Generalizando, son todas aquellas de la forma ) ( ) ( x B x A donde A(x) y B(x) son polinomios en x, y B(x) distinto del polinomio nulo. Por ejemplo, 2 7 ÷ x es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un polinomio y el denominador B(x) = x ÷ 2 también es un polinomio. También es una expresión algebraica racional x x x x 7 3 2 2 3 + + ÷ . ¿Es 3 3 3 5 ÷ + x x x una expresión algebraica racional?.............................................................................. La expresión x 2 ÷ 9 es también racional porque x 2 ÷ 9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es. Curso de Nivelación en Matemática 47 Simplificación de expresiones racionales Recordemos que, dado el racional 3 2 podemos hallar otros equivalentes con él: ... 21 14 6 4 3 2 = = = donde 0 = · · = n con n b n a b a . Análogamente para la expresión racional ) ( ) ( x B x A pueden hallarse expresiones racionales equivalentes: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x N x B x N x A x B x A · · = siendo B(x) y N(x) cualquier polinomio no nulo. En ℚ muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple que una dada. Por ejemplo, 12 7 11 3 2 11 7 132 77 2 = · · · = También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes en el numerador y el denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible. Consideremos 3 3 1 2 3 2 ÷ ÷ + ÷ x x x x . Factorizamos su numerador y su denominador: ) 1 ( ) 1 ( 1 2 ÷ + = ÷ x x x ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 3 3 2 2 2 3 ÷ + + = ÷ + = + ÷ + = ÷ ÷ + x x x x x x x x x x x Entonces 3 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 3 1 2 3 2 + = ÷ + + ÷ + = ÷ ÷ + ÷ x x x x x x x x x x Las dos expresiones racionales, 3 3 1 2 3 2 ÷ ÷ + ÷ x x x x y 3 1 + x son equivalentes. Veamos otros ejemplos: 1) 2 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 4 ( 3 4 4 12 3 2 2 2 3 ÷ + = ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ = + ÷ ÷ x x x x x x x x x x x x x x x 2) 5 1 ) 5 ( ) 5 ( 5 25 5 2 2 2 2 4 2 ÷ = ÷ + + = ÷ + x x x x x x ¿Por qué esta igualdad es válida para cualquier número real? ................................................................................................................................................... Actividad 3: Simplificar las siguientes expresiones algebraicas racionales: a) 9 6 6 2 2 + ÷ ÷ x x x b) 1 2 + + x x x c) x x x x x 49 14 49 2 3 3 + ÷ ÷ d) 2 3 6 2 2 + + ÷ ÷ x x x x Curso de Nivelación en Matemática 48 Operaciones con expresiones algebraicas racionales Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas. Adición y Sustracción Recordamos que para sumar 21 1 14 3 + necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos, de igual denominador: 42 11 7 3 2 2 1 3 3 7 3 1 7 2 3 21 1 14 3 = · · · + · = · + · = + Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) expresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figura (mínimo común múltiplo). - Veamos el siguiente ejemplo: = ÷ + + + ÷ 4 3 3 6 3 2 2 2 x x x x x Factorizamos los denominadores: = + ÷ + ÷ = + ÷ + + ÷ = ) 4 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 ( ) 1 2 ( 3 2 2 2 x x x x x x x x x Buscamos expresiones equivalentes con igual denominador: = + ÷ ÷ · + + ÷ + = ) 4 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 4 ( ) 1 ( 3 ) 4 ( 2 2 2 x x x x x x x Operamos en el numerador y sumamos: ) 4 ( ) 1 ( 3 8 3 ) 4 ( ) 1 ( 3 3 3 8 2 2 2 2 2 + ÷ + ÷ = + ÷ ÷ + + = x x x x x x x x x Como el numerador no tiene raíces reales no puede escribirse factorizado. - Vamos a calcular = ÷ + ÷ ÷ + ÷ 4 4 2 10 3 10 2 2 x x x x x Factorizamos los denominadores: = ÷ + + ÷ + ÷ ÷ = ) 2 ( ) 2 ( 4 2 ) 5 ( ) 2 ( 10 x x x x x x Elegimos un denominador común y hallamos las expresiones equivalentes: = + + ÷ + + ÷ + + ÷ + ÷ = ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 4 2 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 10 ( x x x x x x x x x x Aplicamos propiedades y restamos: = + + ÷ + + + ÷ + + ÷ ÷ ÷ + = ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( 20 4 10 2 ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( 20 10 2 2 2 x x x x x x x x x x x x ) 5 ( ) 2 ( ) 20 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 20 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( 40 22 ) 2 ( ) 5 ( ) 2 ( 20 14 2 20 8 2 2 2 + ÷ + ÷ = + + ÷ + + ÷ = + + ÷ ÷ ÷ ÷ = + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Curso de Nivelación en Matemática 49 La suma de expresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro, P(x)= 0. Recordemos además, que restar es sumar el opuesto. Actividad 4: Calcular: a) = ÷ ÷ + + + + ÷ x x x x x 3 1 9 6 1 9 2 2 2 b) = + ÷ ÷ ÷ + + ÷ + 2 2 21 20 6 2 2 25 5 2 2 x x x x x x c) = + + ÷ ÷ ÷ 2 2 2 ) 1 ( 1 1 2 ) 1 ( 1 x x x Multiplicación Para multiplicar dos expresiones racionales ) ( ) ( ) ( ) ( x D x C y x B x A , procedemos así: nulos no x D x B D(x) B(x) C(x) A(x) D(x) C(x) B(x) A(x) ) ( y ) ( , · · = · Por ejemplo: I) 3 2 3 6 ) 1 ( ) 3 ( 3 ) 1 2 ( 1 3 3 1 2 2 2 ÷ ÷ + = + ÷ + = + · ÷ + x x x x x x x x x x x x II) Calculamos ahora = ÷ ÷ + + ÷ = ÷ + · ÷ + ÷ ) x 4 x ( ) 9 x ( ) 15 x 5 ( ) x 4 x ( x 4 x 15 x 5 9 x x 4 x 2 3 2 2 2 3 2 2 Factorizamos cada uno de los polinomios: = ÷ ÷ + + ÷ ÷ = ) 4 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 5 ) 4 ( 2 x x x x x x x Simplificamos y obtenemos el resultado: ) 3 ( 5 ÷ ÷ = x x . La multiplicación de expresiones algebraicas racionales cumple con la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro (1) y es distributiva respecto de la suma y la resta. ¿Existe inverso multiplicativo para toda expresión ) ( ) ( x B x A ? ........................................................................................................................... Actividad 5: Resolver a) 8 12 6 12 6 2 4 4 2 3 2 ÷ + ÷ ÷ · + ÷ x x x x x x x b) 1 2 1 1 1 ) 1 ( 2 2 3 + + · + ÷ + · + x x x x x x División Se llama inverso multiplicativo de una expresión algebraica racional ) ( ) ( x B x A a la expresión ) ( ) ( x A x B , con ������ ��� ���(���) no nulos. Para dividir dos expresiones algebraicas racionales ) ( ) ( x B x A y ) ( ) ( x D x C operamos igual que en el conjunto ℚ : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( : ) ( ) ( x C x B x D x A x C x D x B x A x D x C x B x A · · = · = con ������, ������ ��� ������ ������ ���������������. Curso de Nivelación en Matemática 50 Por ejemplo: 2 2 2 6 2 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 2 : 3 1 x x x x x x x x x x x x ÷ ÷ + = ÷ + ÷ = + ÷ ÷ Actividad 6: 1) Con las expresiones 6 3 ) ( 9 4 2 ) ( 2 2 ÷ ÷ + = ÷ + = x x x x T y x x x P calcular: a) ( ) ( ) P x T x · b) P(x) : T(x) c) T(x) : P(x) 2) Resolver: a) 3 16 : 9 4 4 2 2 + ÷ ÷ ÷ x x x x b) 1 6 3 : 1 10 5 2 + + ÷ + x x x x c) 1 4 3 : 1 1 1 4 4 2 2 2 ÷ + ÷ ÷ | . | \ | + + ÷ · ÷ + x x x x x x x Actividad 7: Efectuar los siguientes ejercicios combinados: a) 10 4 9 6 2 4 2 2 2 2 ÷ ÷ · | . | \ | ÷ ÷ + + + ÷ x x x x x x x b) 4 4 : 2 1 2 1 2 ÷ | . | \ | ÷ ÷ + x x x c) 4 4 : 2 1 2 1 2 ÷ ÷ ÷ + x x x d) | . | \ | ÷ ÷ 1 1 : ) ( 3 x x x Curso de Nivelación en Matemática 51 TRABAJO PRÁCTICO - EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1) Hallar el valor de a para que el resultado sea un polinomio de grado 4: ) 7 2 ( ) 2 ( ) 4 8 3 ( 4 5 2 3 5 3 5 4 x ax x ax x x ax x ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ 2) Efectuar las siguientes operaciones: a) = + ÷ ÷ | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ ) 2 3 ( 3 1 2 1 5 3 2 2 6 x x x x b) = ÷ | . | \ | ÷ ÷ ÷ + ÷ ) 1 ( 3 4 2 1 ) ( 2 4 3 2 2 x x x x x x x c) = ÷ + + ÷ + ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 x x x x 3) Calcular: a) = ÷ 2 3 ) 3 2 ( x x b) = | . | \ | ÷ ÷ 2 2 3 4 3 z z c) = + + ÷ + ) 1 2 ( : ) 6 7 8 3 ( 2 3 x x x x d) = + + ÷ ÷ + ÷ ) 1 ( : ) 2 4 ( 3 4 6 3 x x x x x x 4) Hallar el dividendo P(x) de una división entera sabiendo que el resto es R(x) = 3x 2 + x, el cociente C(x) = x 3 y el divisor es D(x) = x 4 ∙ R(x). 5) Hallar el valor de a para que se cumpla la siguiente igualdad: | | ) ( 3 3 ) 2 ( ) ( 2 2 4 5 3 5 7 x R x x x a x x x x + + ÷ + ÷ + = ÷ Donde R(x) es el resto de dividir x 7 - 2x 5 por x 3 + x. 6) Para cada par de polinomios, indique si P(x) es divisible por Q(x): a) x x x Q x x x x P 3 ) ( 9 5 2 ) ( 2 3 4 + = ÷ ÷ ÷ = b) 3 2 ) ( 9 5 2 ) ( 2 3 4 ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷ = x x x Q x x x x P c) 1 ) ( 3 1 2 ) ( 2 2 3 5 ÷ = + ÷ + ÷ = x x Q x x x x x P d) 1 ) ( 3 1 2 ) ( 2 3 5 ÷ = + ÷ + ÷ = x x Q x x x x x P e) 3 ) ( 2 2 6 ) ( 3 5 2 ÷ = + + ÷ = x x Q x x x x x P 7) Al dividir P(x) a x x x + ÷ + = 2 4 2 2 3 por Q(x) = x ÷ 3, se obtuvo 10 como resto. Hallar el término independiente de P(x). 8) El polinomio 2 2 14 3 ) ( x x x H ÷ + = es divisible por Ñ(x) = x ÷ a. Hallar los valores de a para que eso sea posible. 9) Encontrar el valor de h sabiendo que ÷4 es raíz de h x x x x M + + ÷ = 11 7 5 ) ( 5 6 10) Encontrar el valor de h sabiendo que ÷1 es raíz de x hx x x x J 3 1 10 ) ( 3 4 7 ÷ + ÷ ÷ = Curso de Nivelación en Matemática 52 11) Factorizar: a) 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ÷ ÷ ÷ x x b) 1 2 3 + ÷ ÷ x x x c) 3 4 9 9 1 x x x + ÷ ÷ d) 2 3 4 5 4 x x x + ÷ + 12) Realizar las siguientes operaciones, simplificando los resultados cuando sea posible: a) 1 1 1 4 4 2 2 ÷ + + + ÷ x x x x b) 2 2 2 3 ) 1 ( 1 2 1 3 1 + + + + + + + x x x x x x x c) 1 2 : 6 4 3 2 ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ x x x x x x d) 5 7 : 7 7 3 9 6 2 2 ÷ + + ÷ + ÷ + x x x x x x x e) 9 1 ) 3 ( 2 3 1 2 2 ÷ ÷ ÷ + ÷ x x x f) 3 2 2 2 2 2 9 1 2 : 3 ) 1 2 ( 1 4 1 2 3 1 2 x x x x x x x x x + + ( ( ¸ ( ¸ ÷ ÷ + ÷ + g) | . | \ | ÷ ÷ | . | \ | ÷ + 1 : 1 x x x x x x Curso de Nivelación en Matemática 53 E EC CU UA AC CI IO ON NE ES S E E I IN NE EC CU UA AC CI IO ON NE ES S ECUACIONES Un problema de ingenio frecuente es: - Pensar un número. - Sumarle 10. - Multiplicar por 2 el resultado. - A lo que se obtiene, restarle 4. - Dividirlo por 2. - Restarle 5. Si la respuesta, es, por ejemplo, 13, el número pensado originalmente es 10. ¿Cómo se sabe? Para contestar esta pregunta, expresemos en lenguaje simbólico todas las operaciones realizadas. Llamémosle x al número pensado originalmente (valor desconocido a averiguar). Entonces: 13 5 2 4 2 ) 10 ( = ÷ ÷ · + x Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos: ( 10) 2 4 ( 10) 2 4 5 13 5 13 10 2 5 13 3 13 2 2 2 x x x x + · ÷ + · ÷ = · ÷ ÷ = · + ÷ ÷ = · + = Por lo tanto, realizar todos los cálculos pedidos equivale a simplemente sumarle 3 al número original. De esta manera, restándole 3 a 13 es fácil descubrir cuál había sido el número pensado en principio. Observemos que para resolver el problema utilizamos una igualdad en la que un valor era desconocido. Muchos problemas se resuelven de manera similar, lo que originó el estudio de las… Ecuaciones: Son relaciones de igualdad entre cantidades, algunas de ellas desconocidas. Por ejemplo: y + 2x = 5, x 2 + a = b + 8, 2 x + 9 = 17. En particular, cuando el valor desconocido es uno solo, a dicha ecuación la llamamos ecuación con una incógnita. Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita son: 3x + 4 = 5x – 8 2x 2 + 20 = 24x –20 log x = 3 – log (x + 2) Curso de Nivelación en Matemática 54 Actividad 1: - Si x toma los valores 6, –1 o 10, ¿cuáles de las ecuaciones anteriores se cumplen? ¿Cuáles no se cumplen? ..................................................................................................................................... - ¿Podría determinar todos los valores de x que satisfacen la ecuación b)? ¿Por qué? ..................................................................................................................................... Aquellos valores de x que satisfacen una determinada ecuación se los denomina soluciones de la ecuación. Por ejemplo: 5 es solución de la ecuación –2x + 4 = –x – 1 puesto que -2 . 5 + 4 = -6 = -5 - 1; sin embargo, 2 no es solución de esa ecuación puesto que –2 . 2 + 4 = 0, mientras que –2 – 1 = –3 y 0 = –3. El conjunto solución de una determinada ecuación puede: ¡ Tener un solo elemento: por ej. 2x = 6, la única solución de esta ecuación es x = 3. Verificarlo. ¡ Tener un número finito de elementos: por ej. x 3 + 2 1 x 2 – 2 1 x = 0 tiene como soluciones solamente a 2 1 , –1 y 0. Verificarlo. ¡ No tener elementos: por ej. x 2 = –4, ya que vimos anteriormente que todo número real elevado al cuadrado da como resultado un número no negativo. En este caso decimos que el conjunto solución es vacío. ¡ Tener infinitos elementos: 2x – x = x, puesto que todo número real es solución de dicha ecuación. ¿Por qué? Actividad 2: - ¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución? ..................................................................................................................................... - ¿Se puede encontrar una ecuación que tenga al número 2 como solución, pero que el conjunto solución posea más de un elemento? .................................................................................................................................... - ¿Se puede encontrar una ecuación que no tenga ninguna solución en R? ....................................................................................................................................... - ¿Se puede decir cuál es el conjunto solución de la ecuación x + 2y = 5? ....................................................................................................................................... Cuando dos ecuaciones tienen el mismo conjunto solución, diremos que dichas ecuaciones son equivalentes. Por ejemplo, las ecuaciones 4x + 6 = x + 9 y x – 2 = –1 tienen ambas como conjunto solución al {1}. En el ejemplo introductorio, lo que hicimos fue encontrar sucesivas ecuaciones equivalentes a la dada en un principio, es decir, ecuaciones que tengan el mismo conjunto solución, de manera tal Curso de Nivelación en Matemática 55 que resulten más fáciles de resolver que la primera. Así, la ecuación equivalente que obtuvimos fue x + 3 = 13, mucho más simple de resolver que la ecuación original 13 5 2 4 2 ) 10 ( = ÷ ÷ · + x . ¿Cómo podríamos obtener ecuaciones equivalentes a una dada? Para esto, nos valemos de algunas propiedades básicas de las igualdades: Si a, b, c y d son cuatro números reales cualesquiera, entonces valen las propiedades siguientes: 1) Reflexividad: a = a, es decir, todo número es igual a sí mismo. 2) Simetría: a = b ¬ b = a, es decir, dados dos números a y b, si el primero es igual al segundo, entonces el segundo también es igual al primero. 3) Transitividad: a = b b = c ¬ a = c, es decir, si un número a es igual a otro b, y éste último es igual a un tercer número c, entonces el primero es igual al tercero. 4) Uniformidad con la suma: a = b ¬ a + c = b + c, es decir, si se suma el mismo número a ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad. 5) Uniformidad con el producto: a = b ¬ ac = bc, es decir, si se multiplican ambos miembros de una igualdad por el mismo número, se obtiene otra igualdad. Veamos cómo aplicar dichas propiedades en la resolución de algunas ecuaciones sencillas. Por ejemplo: 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 ) 8 ( 9 ) 8 ( 8 3 9 8 3 = · = · = ÷ + = ÷ + + = + x x x x x Es importante verificar que el valor obtenido satisface la ecuación porque un error en los cálculos puede conducirnos a una solución incorrecta. © Observación: ¿Qué sucedería si quisiéramos aplicar la propiedad uniforme de la multiplicación con un valor x desconocido? Consideremos la ecuación 2x = 6 Multipliquemos ambos miembros por x, resulta 2x 2 = 6x - ¿Cuál es el conjunto solución de la primera ecuación? ..................................................................................................................................... - ¿Y de la segunda ecuación? ..................................................................................................................................... - ¿Son ecuaciones equivalentes? ..................................................................................................................................... (por la uniformidad con la suma) (por la uniformidad con el producto) Curso de Nivelación en Matemática 56 Conclusión: Si a ambos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la primera. Actividad 3: Determinar si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes. Justificar. a) 3x – 5 = –2x y 3x – 5 + x 2 = –2x + x 2 b) 3x + 4 = 6 y x + 4 = 3 6 c) x 2 = 3x 2 – 5x y x = 3x – 5 d) 4 . (–2x + 8) = 6x y –2x + 8 = 2 3 x e) –2 . (x + 9) = 8 y x + 9 = 8 + 2 Clasificación de ecuaciones polinómicas Determinar el grado de cada polinomio del primer miembro y completar: ������ = 2��� − 1 grado(P(x)) = .............. Ecuación lineal o de primer grado: 2��� − 1 = 0 ������ = ��� 2 − 2��� −3 grado(Q(x)) = .............. Ecuación cuadrática o de segundo grado: ��� 2 −2��� − 3 = 0 ������ = ��� 3 + 2��� 2 −��� −2 ⇒ grado(R(x)) = .............. Ecuación cúbica o de tercer grado: ��� 3 + 2��� 2 − ��� −2 = 0 ������ = ��� ��� ��� ��� + ……. . + ��� 1 x+ ��� 0 ⇒ grado(S(x)) = ........... Ecuación de grado n: ��� ��� ��� ��� + ……. . + ��� 1 x+ ��� 0 = 0 Resolución de ecuaciones de primer grado Con las propiedades vistas anteriormente estamos en condiciones de resolver cualquier tipo de ecuación de primer grado. Veamos ciertos casos particulares. - Si la ecuación es 2x – 8 = 2(3 + x) Procedimiento: 6 8 2 2 6 2 8 2 2 6 8 2 ) 3 ( 2 8 2 = ÷ ÷ + = ÷ ÷ + = ÷ + = ÷ x x x x x x x x (por propiedad distributiva) (por propiedad uniforme de la suma) (operando) ¡ABSURDO! Curso de Nivelación en Matemática 57 ¿Qué significa esto? ¿Habremos cometido algún error durante el desarrollo? No se cometió ningún error. El absurdo provino de que la ecuación dada no tiene solución en los números reales, es decir, no existe ningún valor de x que satisfaga la ecuación. El conjunto solución de dicha ecuación es vacío. - Si la ecuación es : –10x = 5(2x – 4x) Procedimiento: x x x x x x x x x x x = | . | \ | ÷ · ÷ = | . | \ | ÷ · ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ 10 1 10 10 1 10 10 10 ) 2 ( 5 10 ) 4 2 ( 5 10 Observemos que la ecuación equivalente que obtuvimos se verifica para cualquier valor de x. Esto quiere decir que cualquier número real verifica la ecuación inicial, es decir, el conjunto solución de dicha ecuación es infinito. Verificar esto con algunos ejemplos. - Si la ecuación es : 3��� − 5 = 8 Procedimiento: 3 13 3 1 13 3 1 3 13 3 5 8 5 5 3 8 5 3 = · = · = + = + ÷ = ÷ x x x x x En este caso, existe un único valor de ���: ( 3 13 = x ) que verifica la ecuación original. El conjunto solución es unitario. Conclusión: Dada una ecuación de primer grado, ésta puede tener: - ninguna solución. - una única solución. - infinitas soluciones. (operando) (por propiedad uniforme del producto) (por propiedad uniforme de la suma) (por propiedad uniforme del producto) Curso de Nivelación en Matemática 58 Resolución de ecuaciones de segundo grado Como hemos visto, una ecuación de segundo grado es de la forma: 0 2 = + + c bx ax , donde ��� ≠ 0, ���, ���, ��� ∈ ℝ o cualquier expresión equivalente a ésta. ¿Por qué se aclara que ��� ≠ 0? ....................................................................................................... Ejemplos: - –x 2 + 5x – 8 = 6, es una ec. de seg. grado pues es equivalente a: –x 2 + 5x – 14 = 0 - x ∙ (7 – x) = x, es una ec. de seg. grado pues es equivalente a: –x 2 + 6x + 0 = 0 - 5 = 3x 2 – 2, es una ec. de seg. grado pues es equivalente a: 3x 2 + 0x – 7 = 0 - (x + 2) 2 = 0, es una ec. de seg. grado pues es equivalente a: x 2 + 4x + 4 = 0 Veamos un caso particular de resolución de una ecuación de segundo grado. Si la ecuación es: 2x 2 + 6x – 8 = 0 En primer lugar, extraemos 2 como factor común: 2∙(x 2 + 3x – 4) = 0 Ahora, tenemos que sumar y restar un número para que en la expresión entre paréntesis se forme un trinomio cuadrado perfecto. Este número es 4 9 . ¿Cómo lo obtuvimos? ¿Por qué lo sumamos y restamos? La expresión resulta: 2.(x 2 + 3x + 4 9 – 4 9 – 4) = 0 Factorizando el trinomio y operando: 2.[(x + 2 3 ) 2 – 4 25 ] = 0 Dividiendo ambos miembros por 2 y despejando el binomio al cuadrado, resulta: 2 3 25 2 4 x | | + = | \ . Como ambos miembros son positivos, podemos calcular sus raíces cuadradas, y se obtiene: 3 5   2 2 x + = De donde: x = 2 5 – 2 3 = 1, o bien x = – 2 5 – 2 3 = –4 Por lo tanto, la soluciones de la ecuación son {1, –4}. Verificarlo. A este procedimiento se lo conoce como “completamiento de cuadrados”. Curso de Nivelación en Matemática 59 Apliquemos, ahora, el completamiento de cuadrados para resolver una ecuación general de segundo grado: ������ 2 +������ +��� = 0 , donde ��� ≠ 0 0 2 = | . | \ | + + · a c x a b x a (podemos hacerlo pues ��� ≠ 0) En este caso, debemos sumar y restar 2 2 4a b para obtener un trinomio cuadrado perfecto. 0 4 4 2 2 2 2 2 = | | . | \ | + ÷ + + · a c a b a b x a b x a ¬ 0 4 2 2 2 2 = ( ( ¸ ( ¸ + ÷ | . | \ | + · a c a b a b x a Dividiendo por ��� ≠ 0 , calculando el denominador común 4��� 2 y despejando el binomio al cuadrado, resulta: 2 2 2 4 4 2 a ac b a b x ÷ = | . | \ | + ¬ 2 2 4 4 2 a ac b a b x ÷ ± = + ¬ ¬ a ac b a b x 2 4 2 2 ÷ ± = + ¬ a ac b a b x 2 4 2 2 ÷ ± + ÷ = ¬ ¬ a ac b b x 2 4 2 ÷ ± ÷ = Observemos que, mediante este desarrollo genérico, hemos conseguido obtener una fórmula que nos permite conocer las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado, sin tener que aplicar el procedimiento de completamiento de cuadrados cada vez que queremos resolver una ecuación cuadrática. Esta fórmula es la resolvente de la ecuación de segundo grado. Ejemplo: Si queremos hallar las soluciones de la ecuación –2x 2 – 3x = –2, en primer lugar debemos llevarla a la forma general ax 2 + bx + c = 0, donde a = 0, es decir, –2x 2 – 3x + 2 = 0. En este caso particular, tenemos que a = –2, b = –3 y c = 2. Luego, utilizando la fórmula ya vista las soluciones están dadas por: ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 4 ) 3 ( ) 3 ( 2 2 , 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ± ÷ ÷ = x . Operando se tiene: 4 5 3 2 , 1 ÷ ± = x , es decir 2 4 5 3 1 ÷ = ÷ + = x y 2 1 4 5 3 2 = ÷ ÷ = x . Veamos qué información nos puede brindar sobre las soluciones la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado: Curso de Nivelación en Matemática 60 1) Supongamos que tenemos una ecuación de segundo grado en la que ac b 4 2 ÷ = 0. ¿Cómo influye esto en el conjunto solución? ..................................................................................................................................... 2) Supongamos que ac 4 b 2 ÷ < 0. ¿Qué sucede en este caso? ¿Cómo son las soluciones? ..................................................................................................................................... 3) ¿Qué sucede, en cambio, cuando ac b 4 2 ÷ > 0? ¿Cómo son las soluciones? ..................................................................................................................................... © Observación: Notemos que al obtener las soluciones de una ecuación polinómica de la forma 0 2 = + + c bx ax lo que se hace es hallar las raíces del polinomio c bx ax x P + + = 2 ) ( . Conocidas las raíces 1 r y 2 r , esto nos permite escribir al polinomio en la forma ) )( ( ) ( 2 1 r x r x a x P ÷ ÷ = , es decir, escribirlo totalmente factorizado. Recíprocamente, si tenemos un polinomio escrito de la forma ) )( ( ) ( 2 1 r x r x a x P ÷ ÷ = , es decir, factorizado, sabemos que 1 r y 2 r son las soluciones de la ecuación 0 ) )( ( 2 1 = ÷ ÷ r x r x a . Conclusión: Dada una ecuación de segundo grado, ésta puede tener: - ninguna solución real. - una única solución real doble. - dos soluciones reales distintas. Ejemplo: Sea el polinomio P(x) = 4x 2 + 8x – 12. Para hallar las raíces, planteamos la ecuación 4x 2 + 8x – 12 = 0 y encontramos sus soluciones mediante la fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado: 1 r = 1, 2 r = –3. Luego, el polinomio factorizado resulta: P(x) = ) 3 x )( 1 x ( 4 + ÷ . Actividad 4: Resolver las siguientes ecuaciones: 1) x 2 – 5x = 2x 2 + 6x + 2 – x 2 2) 2x 2 = –18 3) x.(x – 1)(x + 2) = x 3 4) – 3 2 x 2 + 2 x – 2 1 = 0 5) (x + 3) 2 = 12x 6) x 2 + 3x = 3.(x 2 + x) – 2x 2 Resolver los siguientes problemas: 1) Julieta empleó la mitad de su dinero en comprar ropa y la mitad del resto en paseos. Si aún le quedan $10, ¿cuánto dinero tenía? Curso de Nivelación en Matemática 61 2) La edad de Pablo elevada al cuadrado es igual a cinco veces la edad que tendrá dentro de 10 años. ¿Qué edad tiene Pablo? Ecuaciones fraccionarias que se resuelven mediante ecuaciones de primer y segundo grado Llamamos ecuaciones fraccionarias a aquellas de la forma 0 ) x ( Q ) x ( P = , donde ������ y ���(���) son polinomios, ���(���) ≠ 0, o a aquellas ecuaciones que se pueden llevar a esta forma. Por ejemplo, son ecuaciones fraccionarias: · 3 2 1 = ÷ + x x pues es equivalente a 0 2 7 2 0 2 6 3 1 0 3 2 1 = ÷ + ÷ · = ÷ + ÷ + · = ÷ ÷ + x x x x x x x . · 0 2 5 1 = + x x pues es equivalente a 0 2 7 0 2 5 2 = · = + x x . · 0 2 4 3 2 3 = + + ÷ x x x Intentemos resolver la siguiente ecuación fraccionaria: 0 1 1 2 = + ÷ x x . Para esto, aplicamos las propiedades ya conocidas. Multipliquemos ambos miembros por x +1: ) 1 x ( 0 ) 1 x ( 1 x 1 x 2 + · = + · + ÷ ¬ 0 1 x 2 = ÷ ¬ 1 x 1 = y 1 x 2 ÷ = . Verificar si 1 x y 2 x son solución de la ecuación original. ¿Qué sucede? ¿Qué error hemos cometido? ........................................................................................................................................... Conclusión: Cuando resolvemos una ecuación del tipo 0 ) ( ) ( = x Q x P , debemos descartar como posibles soluciones a los valores de x que anulan el denominador Q(x), es decir, los valores que satisfacen la ecuación Q(x) = 0. Esto se debe a que no está definida la división por 0. Actividad 5: Resolver y verificar las soluciones encontradas: a) 2 2 1 = ÷ x x b) 1 3 2 3 ÷ = + x x c) 0 2 4 2 3 = + + ÷ x x d) x x x x + ÷ = + ÷ 6 6 3 3 Curso de Nivelación en Matemática 62 ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Analicemos ahora las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo: 2��� − ��� = 3. Para encontrar una solución de dicha ecuación, debemos hallar un par de números que la satisfaga. A diferencia de lo que ocurre con las ecuaciones lineales con una incógnita, en las ecuaciones lineales con dos incógnitas siempre se encuentran infinitas soluciones. Notemos que si despejamos la incógnita ��� en la ecuación dada, obtenemos ��� = 2��� −3. Entonces para cada valor de ��� encontramos un valor de ���. Este par de números (���, ���) es una de las infinitas soluciones de la ecuación dada. Por ejemplo, los siguientes pares de números son solución de la ecuación 2��� − ��� = 3: 0, −3 ; 1, −1 ; 5 2 , 2 . En efecto, si reemplazamos estos valores en la ecuación inicial 2��� −��� = 3, veremos que se satisface la igualdad: 2.0 − −3 = 3 ; 2.1 − −1 = 3 ; 2 5 2 −2 = 3 A continuación expresamos el conjunto formado por todas las soluciones de la ecuación dada, llamado el conjunto solución o solución general: ��� ��� = ��� , 2��� − 3 , ��� ∈ ℝ Otra forma de hallar los pares que son solución de la ecuación dada es despejando la variable ���, obteniendo el conjunto solución ��� ��� = ��� 2 + 3 2 , ���, ��� ∈ ℝ Observemos que ambos conjuntos solución son equivalentes, aunque estén expresados de distinta manera. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Algunos problemas nos conducen a plantear desigualdades. Resolvamos la siguiente situación. El tanque de nafta de un auto puede contener hasta 45 litros. Tiene conectado un sistema automático de alarma que se enciende cuando sólo quedan 8 litros en él. ¿Cuántos litros de nafta es posible cargar cuando recién se enciende la señal? Si con x designamos la cantidad de litros que podemos cargar, el problema queda planteado con la siguiente desigualdad: 8 + x s 45 Donde 8 representa la reserva, x los litros a cargar y 45 la capacidad máxima del tanque. La desigualdad planteada es una inecuación. Definición: Una inecuación es una desigualdad que contiene incógnitas (valores desconocidos). Curso de Nivelación en Matemática 63 De la misma forma que para resolver ecuaciones necesitamos conocer las propiedades de las igualdades, ahora necesitaremos conocer las propiedades de las desigualdades para poder resolver inecuaciones. Propiedades de las desigualdades - Consideremos la desigualdad –2 < 7 y sumemos a ambos miembros el número 8. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la original? .............................................................................................................................. - Consideremos la misma desigualdad, –2 < 7, pero sumemos a ambos miembros el número negativo –8. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la original? ................................................................................................................................... Conclusión: Si sumamos a ambos miembros de una desigualdad un número real cualquiera, la desigualdad se mantiene en el mismo sentido. En símbolos: Sean a, b, c e R, si a < b, entonces a + c < b + c. - Ahora, consideremos la desigualdad 5 < 10 y multipliquemos ambos miembros por 4. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la considerada? ............................................................................................................................. - Partamos de la misma desigualdad, 5 < 10, y multipliquemos ambos miembros por el número negativo –4. ¿Cómo es dicha desigualdad respecto de la considerada? .............................................................................................................................. Conclusión: a. Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número positivo, la desigualdad resultante mantiene el sentido de la primera. En símbolos: Sean a, b, c e R, si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c b. Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad resultante cambia su sentido respecto de la primera. En símbolos: Sean a, b, c e R, a < b y c < 0, entonces a.c > b.c Ahora estamos en condiciones de resolver el problema planteado en un principio. Debíamos resolver la inecuación: 8 + x s 45. Curso de Nivelación en Matemática 64 Resolución: 37 ) 8 ( 45 ) 8 ( 8 miembros) ambos a 8 (sumando 45 8 s ÷ + s ÷ + + ÷ s + x x x Luego, podemos cargar cualquier cantidad de litros, siempre que sea menor o igual que 37. Veamos otro ejemplo: resolver la inecuación 4 3 4 2 s + ÷ x . Resolución: 4 2 1 8 2 1 2 ) 2 1 ( 8 2 ) 4 ( 12 ) 4 ( 4 2 12 4 2 3 4 3 3 4 2 3 4 3 4 2 ÷ > | . | \ | ÷ · | . | \ | ÷ · ÷ s ÷ ÷ + s ÷ + + ÷ s + ÷ · s · + ÷ s + ÷ x x mbia gualdad ca y la desi bros por - ambos miem mos multiplica x x x x mantiene) gualdad se y la desi por miembros amos ambos (multiplic x > - Dar dos valores de x que verifiquen la inecuación original y dos valores que no la verifiquen. .............................................................................................................................. - ¿Cuántos son los valores de x que verifican la inecuación del ejemplo? Graficarlos en la recta numérica. .............................................................................................................................. © Observación: El conjunto solución puede ser expresado utilizando la notación de intervalos. En el ejemplo, el conjunto solución es el intervalo [–4, +·). Actividad 6: - Consideremos la siguiente inecuación: 30 ) 5 x ( 3 8 x 3 + + · ÷ > + ÷ . ¿Cuál es su conjunto solución? .............................................................................................................................. - Dada la inecuación: x x + s + 3 2 5 2 . ¿Cuál es su conjunto solución? .............................................................................................................................. Curso de Nivelación en Matemática 65 Hay situaciones en las que los valores requeridos deben satisfacer dos condiciones a la vez o simplemente alguna de ellas. Veamos cómo proceder en cada uno de estos casos. Encontrar los valores reales de x que satisfacen: 1) 2 2 2 1 < ÷ x y 10 2 s ÷ x (ambas condiciones deben satisfacerse a la vez) La solución de la primera inecuación está dada por {x e ℝ: x < 8} = (–·, 8). Por otra parte, para la segunda ecuación, el conjunto solución es: {x e ℝ : x > –5} = [–5, +·). La solución del ejercicio está dada por los x que satisfacen ambas inecuaciones a la vez, es decir, los valores de x que pertenecen a ambos conjuntos solución. En símbolos: {x e ℝ : x < 8 y x > –5} = (–·, 8) ∩ [–5, +·) = [–5, 8). Gráficamente: 2) x x ÷ ÷ s + 2 3 2 o 2 1> ÷ x (los valores de x deben satisfacer al menos una de las inecuaciones) La solución de la primera inecuación está dada por {x e ℝ : x s –2} = (–·, –2]. Por otra parte, para la segunda ecuación, el conjunto solución es: {x e ℝ : x > 3} = [3, +·). La solución del ejercicio está dada por los x que satisfacen al menos una de las inecuaciones, es decir, los valores de x que pertenecen a un conjunto solución o al otro. En símbolos: {x e ℝ : x s –2 o x > 3} = (–·, –2] U [3, +·). Gráficamente: Actividad 7: Resolver las siguientes inecuaciones y expresar su conjunto solución mediante intervalos, graficándolos en la recta numérica. a) 5 1 4 3 ÷ > + x b) ( ) ( ) 2 2 3 2 3 + · s ÷ · ÷ a a c) Las edades de Hernán, Darío y Guido suman más de 52 años. Hernán es un año menor que Guido y tres años mayor que Darío. ¿Qué edad tiene como mínimo Hernán? d) 2 8 5 > ÷ z y 5 z ÷ s e) 1 3 2 2 3 s + + ÷ x x f) 3 2 1 2 1 x x ÷ > ÷ o 5 3 1 ) 2 ( 2 1 + < ÷ · x x [ ) -5 8 ] [ 3 -2 Curso de Nivelación en Matemática 66 Trabajo Práctico – Ecuaciones e Inecuaciones 1) a) La solución de la ecuación 4x – 8 = 2x – (–x) – (–1) es: - un número fraccionario y entero. - un número entero y negativo. - 9 - 7 9 - ...ninguna de éstas. b) La solución de la ecuación: 5x + 10x –6 – 9 + 4x = x + 3 – 12 es: - 15 - 3 2 - 2 3 - | . | \ | ÷ 3 2 - ninguna de éstas. c) El valor de m que pertenece a ℕ y que es solución de la ecuación m + 3(4m – 6) = –10 + 2(3m –5) es: - 0 - inexistente - | . | \ | ÷ 7 2 - 2 - ninguna de éstas. 2) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado y determinar la cantidad de elementos del conjunto solución: a) ) 15 ( 2 1 4 x x + = + b) (y – 1)(2 + y) = 5 – y(4 – y) – 2y c) 6 18 5 ) 9 ( 3 x x + ÷ = + d) 3 2 5 6 1 3 4 2 2 5 ÷ = | . | \ | + + ÷ ÷ + a a a a e) a – x = 3(x – a), siendo x la incógnita y a un número real fijo. f) 5t + 4 – t = 4(1 + t) g) y – 2 = 6(x + 4), siendo ambas, x e y, incógnitas. 3) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones e identificar cuáles de ellas son equivalentes: Curso de Nivelación en Matemática 67 a) ��� − 1 4 2 = 9 16 d) 3x 2 + 3(3x – 1) = 2(3x + 2x 2 ) – 13 b) 5 6 ��� +3 2 = 5��� + 8 e) ��� 2 − 1 2 ��� − 1 2 = 0) c) −3��� −1 ��� + 1 2 = 0 f) − 1 2 ��� 2 = − 3 2 ��� − 5 4) Factorizar los siguientes polinomios: a) P(x) = x 2 – 25 c) R(x) = 3x 2 – 12x – 63 b) Q(x) = –2x 2 + x – 10 d) S(x) = 3x 2 – 12x + 12 5) Responder: a) ¿Es posible encontrar valores de x que satisfagan (x + 3)(x – 3) = 5(x + 2) + 31 y 0 4 15 3 = + x al mismo tiempo? b) ¿Es posible encontrar valores de t que satisfagan 8t 2 = –4t y t t 3 4 3 2 2 2 = + a la vez? 6) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar. a) El conjunto solución de la ecuación 15 2 2 ÷ = ÷ x x x está dado por {0, –7}. b) El par (x, y) = (5, 2) es solución de la ecuación 3x 2 – 2y = 51 + 10y. c) Las ecuaciones 0 3 ) 3 ( 2 = + + a a y 0 3 a = + son equivalentes. d) 1 es raíz doble del polinomio P(x) = x 2 + x – 2. 7) Resolver los siguientes problemas: a) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido; después, la tercera parte del resto y quedan aún 1.600 litros. Calcula la capacidad del depósito. b) Hallar dos números naturales impares consecutivos tales que su producto sea 255. c) Un poste de luz de 7 m. se rompe y al doblarse, la punta de la sección rota toca el suelo a 3 m. de la base del poste. ¿A qué altura se rompió? (Ayuda: utilizar el Teorema de Pitágoras). d) Pienso un número, le sumo 5, a este resultado lo multiplico por 3 y el nuevo resultado lo divido por 10. Obtengo así 6. ¿Qué número pensé? e) El perímetro del siguiente triángulo es 24 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados? 15 x 2 ÷ x 1÷ x ÷ 3 Curso de Nivelación en Matemática 68 f) Un rectángulo tiene por dimensiones el triple y el quíntuplo del lado de un cuadrado. Calcula las dimensiones de ambos cuadriláteros, sabiendo que la diferencia entre sus áreas es de 2015 cm 2 . 8) Resolver y representar gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones: a) 5x < –5 b) 2x + 3 > 7 c) 8 2 3 4 2 + > ÷ x x d) 4 8 2 1 < ÷ x y 3 7 3 5 < + ÷ x e) ( ) 5 2 3 > · ÷ x o ( ) 8 1 2 < ÷ · ÷ x f) x x x 3 10 3 5 + ÷ < + ÷ y ( ) 3 3 3 5 2 2 ÷ · s + ÷ x x x 9) Resolver los siguientes problemas: a) Recuerda que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Imagina que x e y son dos lados de un triángulo cuyo valores son x = 1 e y = 12. ¿Qué podrías decir del lado z? b) Un padre, para estimular a su hijo a que estudie matemática, promete darle $3 por cada ejercicio bien resuelto, pero, por cada uno que esté mal, el hijo le dará $2. Ya van por el ejercicio 26 y el muchacho recibe de su padre $38. ¿Cuántos ejercicios ha resuelto bien y cuántos mal? c) Un matrimonio dispone de $130 para asistir a un espectáculo con sus hijos. ¿Cuántos pueden ser éstos si ese dinero no alcanza para tomar localidades de $25 cada una y, en cambio, sobra para tomar localidades de $20 cada una? d) Por ahora yo tengo el doble de tu edad. Pero cuando tú tengas mi edad, la suma de los cuadrados de nuestras edades será 26 veces la suma de las mismas. ¿Cuál es la edad de cada uno? Curso de Nivelación en Matemática 69 FUNCIONES Problema 1: Observar el siguiente gráfico, extraído del diario La Nación del 6 de marzo de 2001, que representa la producción y la venta de automóviles en nuestro país durante un año. ¿En qué mes fue la máxima producción de autos? a. ¿En qué período cayeron más las ventas? b. ¿En qué meses hubo mayor diferencia entre la producción y la venta de automóviles? Problema 2: Leer el prospecto de un remedio antitérmico para niños (FIGURA 1) a. ¿Qué cantidad de remedio le daría a un bebé que pesa 5 kg y tiene 37,7º de temperatura? b. ¿Cuánto pesa Nico si debe tomar 12 ml cada 6 horas y tiene 38,2º de temperatura? Problema 3: Los teléfonos actuales tienen asignados a sus teclas letras y números, por lo que a muchas empresas que contratan el servicio de 0800 le asignan números fáciles de memorizar para sus clientes. Así, por ejemplo, una escuela podría tener el 0800372852, que se corresponde con el 0800ESCUELA. a. ¿Qué número habrá que marcar para comunicarse con el 0800HELADOS? b. ¿A qué palabra corresponderá el 08001843367? Es usual encontrar información presentada en forma de gráficos. Ellos nos muestran relaciones entre distintas variables, como por ejemplo: la recaudación impositiva durante los meses de un año, la esperanza de vida en cada país, el crecimiento de una población de bacterias en un determinado período, entre otras. Muchas de estas relaciones son funciones; en algunos casos, es posible describirlas a través de fórmulas matemáticas, los cuales permiten predecir comportamientos. Curso de Nivelación en Matemática 70 Problema 1: Para responder a las preguntas de este problema, debemos analizar el gráfico. En él se representan los meses del año en el eje horizontal y las unidades productivas o vendidas, en el vertical. Si bien no está indicada la escala en el eje vertical, se incluye dentro del gráfico algunos puntos que nos permiten deducir que cada división en ese eje representa 500 unidades y que comienza desde el 10000. Cuando nos proponemos averiguar en qué mes fue la máxima producción de autos, tenemos que buscar el punto en que la producción alcanzó su mayor valor. Esto sucedió en marzo de 2000. Observemos en el gráfico correspondiente a las ventas que entre octubre y noviembre de 2000 fue el período en el que más cayeron las ventas. Para la tercera pregunta, analizamos ambos gráficos simultáneamente. La mayor distancia entre las curvas se observa en noviembre de 2000; por lo tanto, es en ese mes cuando se produjo la mayor diferencia. Problema 2: Si el bebé tiene menos de 38º, tenemos que seguir la primera indicación: debemos darle 0,3 ml ∙ 5 = 1,5ml cada 6 horas. Nico, que tiene más de 38º y hay que darle 12ml cada 6 horas, pesa 24 Kg, pues 0,5 ∙ 24 = 12. Problema 3: Cuando estudiamos la relación planteada en este problema, vemos que es sencillo contestar a la primera pregunta porque a cada letra le corresponde un número; por lo tanto, para la heladería marcamos 08004352367. En cambio, no sucede lo mismo en el caso de la pregunta b. pues a cada número le corresponde más de una letra y, por lo tanto, no hay una única combinación de letras que se vincule a este número telefónico. Por ejemplo, TIDENS y UGFENS, entre otros. Función En todos los problemas anteriores se vinculan, en distintas situaciones, varias variables: el gráfico del primer problema relaciona la producción por un lado, y por otro, las ventas en el mismo período; en el prospecto se vincula la cantidad de remedio al peso del chico y su temperatura axilar. En cada uno de estos problemas consideramos dos variables, por ejemplo, la cantidad de autos vendidos y cada mes del año. En este caso decimos que la cantidad de autos es la “variable dependiente” del mes considerado, que es la “variable independiente”. Vemos que en los dos primeros problemas podemos responder a las preguntas porque a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. En cambio, en el último ésto sucede sólo con la relación que le asigna a cada letra el número que está en la misma tecla por haber varias posibilidades. Además, al 1 y al 0 no se les asigna ninguna letra. Nos interesa analizar ahora aquellas relaciones que vinculan todos y cada uno de los valores de la variable independiente a un único valor de la dependiente. Curso de Nivelación en Matemática 71 Por ejemplo: ( ) x x x g 6 5 ÷ = Es función porque si a cada número real lo elevamos a la quinta y le restamos seis veces ese mismo número, obtenemos siempre un número real. Problema 4: Roberto tiene 2 m de varilla de madera para armar un marco rectangular. Consideren las posibles medidas del marco y completen la siguiente tabla que vincula el ancho al largo del mismo: Largo del marco (metros) 0,4 1 Ancho del marco (metros) 0,5 1,5 El marco de Roberto puede medir, por ejemplo: Roberto tiene muchas posibilidades para construir su marco, pero no puede fabricar uno de 1 m de largo ni de 1,5 m de ancho, porque en estos casos no tendría suficiente varilla para los cuatro lados. Las medidas del marco de Roberto deben ser más pequeñas que 1. Por lo tanto, los valores que puede medir el largo son los números reales entre 0 y 1. Dominio e imagen de una función Por ejemplo, el dominio de la función del problema 4 es el conjunto de los números reales entre 0 y 1. Una relación entre dos variables es función si a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. 0,5 cm 0,5 cm 0,4 cm 0,6 cm El dominio de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se denota Dom f o Df. Curso de Nivelación en Matemática 72 Si analizamos ahora los valores que puede tomar la variable dependiente en el problema anterior, observemos que tiene las mismas limitaciones que la independiente. Por lo tanto, los valores que puede pomar la variable dependiente son los números reales entre 0 y 1. Por ejemplo, la imagen de la función que vincula el precio de venta de un artículo a su precio de costo es el conjunto de los números positivos con dos cifras decimales. Analicemos el dominio de algunas funciones numéricas definidas por fórmulas: × ( ) 7 3 ÷ = x x f Todas las operaciones que se deben efectuar para hallar la imagen de un valor a través de esta función son válidas para todo número real, por lo tanto, Dom f = ℝ Analicemos su imagen: tomemos un número real y cualquiera. ¿Está en la imagen? Para responder a esta pregunta, debemos analizar si existe algún número x tal que: ( ) 3 7 7 3 + = ¬ ÷ = ¬ = y x x y x f y Este x existe siempre para todo y porque las operaciones son válidas para cualquier número real. Por lo tanto, la imagen de esta función es el conjunto de todos los números reales. Im f = ℝ × ( ) x x g 1 = Como la división por 0 no está definida, el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales distintos de 0, simbólicamente: Dom g = ℝ− 0 . Si llamamos y al valor que le corresponde a x a través de esta función, para hallar el conjunto imagen tenemos que analizar qué valores toma y. Para ello escribimos: y x x y 1 1 = ¬ = La imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If El conjunto de llegada es un conjunto en el cual está incluida la imagen. La ley de formación puede estar dada en el lenguaje natural a través de una tabla, una fórmula o un gráfico cartesiano. Para definir una función deben darse el dominio, el conjunto de llegada y una ley de formación Curso de Nivelación en Matemática 73 Este número x existe para cualquier y distinto de cero. Por lo tanto, la imagen de esta función es: Im g = ℝ−0. Tal como lo hicimos en este ejemplo, es muy usual llamar y al valor que le corresponde a x a través de una función. Por este motivo, cuando se define una función a través de su fórmula se usa indistintamente ( ) f x o y . Problema 5: La doctora Diet, nutricionista, registra una vez al mes, en un gráfico cartesiano, la variación del peso en gramos de sus pacientes en función del tiempo. Este gráfico corresponde a la señora Pacient, quien comenzó la dieta con 98 kg y realiza su consulta a la doctora Diet una vez por mes. a. ¿Cuánto pesaba en la tercera consulta? b. ¿Cuánto aumentó entre el cuarto y el quinto mes? c. ¿En qué mes esta paciente alcanzó su menor peso? ¿Y el Mayor? d. ¿En qué períodos bajó de peso? e. ¿En qué período subió de peso? f. ¿Hubo algún momento en el que su peso no varió? g. ¿En qué meses la paciente volvió a pesar lo mismo que al comenzar el tratamiento? Para responder a las preguntas anteriores debemos tener en cuenta que el gráfico representa la variación del peso de la paciente, es decir que el punto (3; -2000) nos indica que en el tercer mes bajó 2000 g. En la tercera consulta pesaba 96 kg pues había bajado 2 kg. Entre el cuarto y el quinto mes aumentó un kilo. Si observamos globalmente la gráfica, vemos que desde que comenzó la dieta y hasta el segundo mes, fue bajando de peso; a partir de allí subió de peso hasta la octava Curso de Nivelación en Matemática 74 consulta, luego bajó hasta la vista siguiente y volvió a aumentar durante el décimo mes para luego seguir bajando durante el resto del período registrado. También podemos ver que en la sexta, novena y undécima consultas pesaba lo mismo que en el momento que comenzó su tratamiento ya que la variación que muestra el grafico es 0. Ceros o raíces de una función Por ejemplo, en el caso de la función que estamos estudiando, los ceros corresponden a los meses en que la señora Pacient volvió a su peso inicial, es decir que la variación fue nula en esos meses, lo que ocurrió al sexto, noveno y undécimo meses. ¿Cómo hallamos los ceros en una función dada por su fórmula? Analicemos la función ���: ℝ → ℝ / ( ) 4 2 ÷ = x x f . Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale 0; por lo tanto, simbólicamente escribimos: 2 = x y 2 ÷ = x Los ceros o raíces de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero. Recordemos… Los intervalos son conjuntos de números reales definidos de la siguiente manera, según sean cerrados | | { } b x a y x x b a s s 9 e = / ; Semiabiertos ( | { } b x a y x x b a s < 9 e = / ; | ) { } b x a y x x b a < s 9 e = / ; ( | { } b x y x x b s 9 e = · ÷ / ; | ) { } a x y x x a > 9 e = +· / ; Abiertos ( ) { } b x a y x x b a < < 9 e = / ; ( ) { } b x y x x a > 9 e = +· / ; ( ) { } b x y x x b < 9 e = · ÷ / ; ¿Cómo se lee…? ¬ : para todo - : existe e : pertenece ¬ : entonces / : tal que : unión Curso de Nivelación en Matemática 75 Intervalos de crecimiento y decrecimiento Por ejemplo, si analizamos la función que relaciona la variación del peso de la señora Pacient con el tiempo, los intervalos de crecimiento son: (2; 3), (4; 8) y (9; 10), y los intervalos de decrecimiento son (0; 2), (8; 9) y (11; 18). Máximos y mínimos Por ejemplo: (2; 5) es el conjunto de todos los números reales entre 2 y 5, si lo representamos en la recta numérica: Un intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente le corresponden mayores valores de la variable dependiente. Simbólicamente escribimos: ( ) ( ) a f x f a x si I a I x > ¬ > e ¬ e ¬ : , Un intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto I del dominio para el cual a mayores valores de la variable independiente le corresponden menores valores de la variable dependiente. Simbólicamente escribimos: ( ) ( ) a f x f a x si I a I x < ¬ > e ¬ e ¬ : , La función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al mismo, x = a, la imagen de x es menor que la de a. simbólicamente escribimos: ( ) ( ) a f x f a x Df x < = e ¬ : , La función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a del dominio si para todo x perteneciente al mismo, x = a, la imagen de x es mayor que la de a. simbólicamente escribimos: ( ) ( ) a f x f a x Df x > = e ¬ : , 0 2 5 Curso de Nivelación en Matemática 76 Por ejemplo, en el caso de la variación del peso de la señora Pacient, el máximo absoluto se produce el octavo mes y es de 750 g y, en 18, la función alcanza un mínimo absoluto que es de -3500 g. Conjunto de positividad y negatividad Por ejemplo, en el caso de la señora Pacient, el conjunto de positividad es C + = (6; 9) (9; 11). Por ejemplo, en la función que estamos estudiando, los intervalos para los cuales las imágenes son negativas son (0; 6), y (11; 18), es decir que C - = (0; 6) (11; 18). Funciones pares y funciones impares El conjunto de positividad (C + ) de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son número positivos. El conjunto de negatividad (C - ) de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son número negativos. Una función f es par si para todo valor de x pertenece al dominio se verifica que: ( ) ( ) x f x f ÷ = . Curso de Nivelación en Matemática 77 Por ejemplo, la función ���: ℝ → ℝ ������ = ��� 2 −9 es par porque para todo x real se cumple: ( ) ( ) ( ) x f x x f = ÷ ÷ = ÷ 9 2 Por ejemplo, la función ���: ℝ → ℝ ( ) 3 5 / x x f = es impar porque para todo x real se cumple: ( ) ( ) ( ) ( ) x f x x x f ÷ = ÷ = ÷ = ÷ 3 3 5 5 Problema 6: El electrocardiograma es un estudio que registra, durante un tiempo, la actividad eléctrica del corazón. Analizar la curva y describir las particularidades que se observan. Si observamos el gráfico, vemos que una parte de él se repite con regularidad. Cada veinte cuadraditos, aproximadamente, se vuelve a repetir la misma curva. Decimos que ésta es una función periódica. En esta caso el período es de poco menos que veinte cuadraditos. Funciones Periódicas Por ejemplo, la función f representada a continuación es periódica porque ( ) ( ) x f x f = +8 , para todo x perteneciente a su dominio. O sea, se repite cada ocho unidades. Una función f es impar si para todo valor de x pertenece al dominio se verifica que: ( ) ( ) x f x f ÷ ÷ = ÷ . Una función f es periódica si existe un número p tal que ( ) ( ) x f p x f = + , donde p es el período Curso de Nivelación en Matemática 78 Problema 7: Una aerolínea registró la altura a la que vuela un avión que parte de un aeropuerto ubicado a nivel del mar, durante un viaje. Se representó de la siguiente manera: a. Si el avión parte de un aeropuerto que está a 1000 m de altura respecto del nivel del mar y realiza un viaje en las mismas condiciones que el anterior, ¿cómo será el grafico de la función que vincula su altura respecto del nivel del mar al tiempo? b. ¿Cómo será el gráfico de otro avión que sale desde el nivel del mar y realiza un viaje en las mismas condiciones pero veinte minutos más tarde que el primero? Desarrollo: a. Como las variaciones de la altura son iguales, la altura inicial será 1000 m mayo y lo mismo sucederá con todas las alturas que alcance el avión durante su vuelo. Por lo tanto, el gráfico tiene la misma forma pero está corrido 1000 m hacia arriba. b. En este caso lo que se modifica es la hora de partida, por esto alcanzará exactamente las mismas alturas que el primer avión pero 20 minutos después. En el gráfico quedará la misma curva pero corrida 20 minutos hacia la derecha. Representemos en un mismo par de ejes los tres gráficos para verlo mejor: Curso de Nivelación en Matemática 79 Corrimientos Hemos representado la función a(t) que vincula la altura, a, del avión al tiempo expresado en horas de día, t. Cuando el avión sale a 1000 m sobre el nivel del mar, a cada valor de la variable dependiente le sumamos los 1000 m iniciales, es decir, estamos representando ( ) 1000 + t a En cambio, en el caso del avión que sale 20 minutos más tarde, se modifica la variable independiente. Si llamamos (t) a la función que vincula la altura del tercer avión al tiempo de viaje del mismo, ¿qué relación hay entre el tiempo de viaje desde que parte este avión y el tiempo del primero? Veamos en una tabla: T = t – 20 Como las alturas son las mismas: ( ) ( ) 20 ÷ = t a T b Analicemos otro tipo de corrimientos. Problema 8: Un corredor está recorriendo una pista circular. El siguiente gráfico representa la distancia hasta la largada en función del tiempo. T 0 20 t 20 40 Curso de Nivelación en Matemática 80 a. ¿Cómo será el gráfico de otro corredor que está recorriendo la misma pista pero lo hace en la mitad del tiempo? b. Comparen este último gráfico con el anterior. El nuevo gráfico se repite en la mitad del tiempo que el anterior, es decir que la gráfica se “redujo a la mitad”. Llamemos f(t) a la función que vincula la distancia a la largada del primer corredor al tiempo y, análogamente, g(t) a la función correspondiente al segundo corredor. Como vemos en el gráfico, g(t) y f(t) toman los mismos valores en ��� = 0, 3, 6, 9 ��� 12 , es decir en los ceros de las funciones. Ceros de f: 0, 6, 12, 18… Ceros de g: 0, 3, 6, 9… Vemos que el primer corredor tarda en dar una vuelta el doble de tiempo que el segundo. Por lo tanto: g(t) = (2t) Conclusiones · El gráfico de f(x-a) es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia la derecha sobre el eje x. · El gráfico de f(x) +a es el gráfico de f(x) corrido a unidades hacia arriba del eje y. · El gráfico de f(ax) es el gráfico de f(x) “reducido ” o “ampliado” a veces según sea a mayor o menor que 1, respectivamente. ( ) ( ) ( ) , f x a f x a y f ax + + se denominan corrimientos de ( ) f x Curso de Nivelación en Matemática 81 TRABAJO PRÁCTICO - FUNCIONES 1) La siguiente tabla muestra la relación entre dos variables. ¿Esta relación es una función? En caso afirmativo indicar dominio e imagen. 2) Indicar el dominio de cada una de las siguientes funciones: a. Precio de un paquete de galletitas en función del peso. b. Cantidad de harina necesaria para una receta en función de las porciones que se quiere hacer. c. Variación de la temperatura en una ciudad en función del tiempo. 3) a. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones ���: ℝ → ℝ? Justificar sus respuestas. b. Indicar el dominio y la imagen de las funciones anteriores. 4) Vincular cada función a su dominio: ( ) 5 + x x x f ( ) 25 ÷ = x x g ( ) x x x h 3 2 + = ( ) 4 2 2 ÷ ÷ = x x x i ( ) +· ; 25 ( ) ÷· ; 5 ℝ− −5 ℝ ℝ + ( ) ( ) +· ; 4 4 ; 0 ℝ { } 2 ; 2 ÷ ÷ x 3 4 5 6 7 8 y 5 5 5 5 5 5 Curso de Nivelación en Matemática 82 5) Completar los siguientes gráficos de acuerdo con la información que se da de cada uno: a. h es periódica con período = 4 b. g es impar 6) Considerar las funciones del ejercicio 5. Graficar g(x+3); 4.f(x); h(2x). Indicar si siguen cumpliendo las condiciones que tenían las funciones originales. 7) En la región de la precordillera hay un arbusto que sirve de alimento a la fauna local. Un grupo de científicos que teme por su extinción decidió realizar un relevamiento de datos cuyos resultados fueron volcados en una gráfica. Observar la gráfica y responder las siguientes preguntas: c. f es par Curso de Nivelación en Matemática 83 a) ¿Qué variables se tuvieron en cuenta para realizar la gráfica? (identificar variable independiente y variable dependiente) b) Definir en forma coloquial una función g que se corresponda con la gráfica. c) ¿Cuántos ejemplares por m 2 hay a 400 m de altura sobre el nivel del mar? d) ¿A qué altura sobre el nivel del mar hay 2 ejemplares por m 2 ? e) ¿Cuál es el mayor número de ejemplares del arbusto, que hallaron por m 2 ? f) ¿Qué ocurre con el arbusto a partir de los 350 m sobre el nivel del mar? g) ¿Cuál es la máxima altura sobre el nivel del mar en la que fueron realizadas las mediciones? h) ¿Cuál es el dominio de la función g? ¿Cuál es la imagen de g? 8) En el siguiente gráfico aparece el peso de dos hermanos, Nicolás y Lucía, a lo largo de los años. El peso de Nicolás está representado por la línea azul y el de Lucía por la línea rosa. a) ¿Cuál era el peso de Nicolás a los 8 años? ¿Y el de Lucía a los 13? b) ¿A qué edad pesaba Lucía 55 kg? ¿Y Nicolás 70 kg? c) ¿Cuándo pesaba Nicolás más que Lucía y cuándo pesaba menos? Curso de Nivelación en Matemática 84 d) ¿Cuándo pesan lo mismo? e) ¿Cuál fue el aumento de peso de Lucía entre los 3 y los 12 años? f) ¿Cuál fue el aumento de peso de Nicolás en el mismo período? g) ¿Cuál fue el aumento de peso de cada hermano entre los 12 y los 16 años? h) ¿Quién disminuyó de peso, y en qué período? 9) Para evaluar la temperatura en cada tiempo t (en hs) de una cámara en donde se guardaron semillas de maíz se realizaron registros de la temperatura (en °C) de la misma, en forma continua, desde las 6 de la tarde de un día y durante las primeras 6 hs del día siguiente. Para resolver esta situación se puede considerar el gráfico de la función: Para los registros de temperatura observamos cuatro situaciones bien deferentes en la evolución de la temperatura a medida que transcurre el tiempo: - hasta dos horas antes de la medianoche, es decir 2 6 ÷ < < ÷ t , la temperatura fue aumentando. - Luego, y hasta la medianoche, 0 2 < < ÷ t , la temperatura fue disminuyendo. - Entre la medianoche y la hora 1, es decir 1 0 < < t , la temperatura volvió a aumentar, hasta llegar a los 1°C a) ¿Cuál fue la máxima temperatura alcanzada?; b) ¿Cuál fue la mínima temperatura alcanzada?; c) Expresar cuáles son los intervalos de crecimiento de la función graficada y cuáles de decrecimiento. d) ¿En qué intervalo la temperatura permanece constante? 10) Un club dispone de $50.000 mensuales para el sueldo de sus deportistas. La política del club es que la plata disponible se divide en partes iguales entre los deportistas que asistieron regularmente todo el mes. Curso de Nivelación en Matemática 85 a) Completar la siguiente tabla (teniendo en cuenta que todos los deportistas cobran lo mismo). Cantidad de Deportistas 20 40 80 100 125 Sueldo de cada deportista b) Realizar un gráfico para representar la tabla anterior. ¿Tiene sentido unir los puntos por medio de una línea continua? Justificar la respuesta dada. c) Hallar una fórmula que le permita al tesorero del club calcular lo que cobra cada deportista en función de la cantidad de deportistas que asistieron al club. d) Teniendo en cuenta que el cupo máximo de deportistas es de 125. Hallar el dominio y la imagen de la función encontrada e) Si de lo que cobra, cada deportista debe pagar $20 de impuestos, ¿cuál es el número razonable de deportistas que debe tener el club para que cada uno cobre como mínimo $300? Curso de Nivelación en Matemática 86 TRIGONOMETRÍA La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientos que se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad., etc. Sistemas de Medición de Ángulos Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son: - Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un grado es un minuto (1’) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”). " 1 60 ' 1 ' 1 60 º 1 1 90 recto ángulo = = =  Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º. - Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida del ángulo el cociente r s radio arco = . Un ángulo central de 1 radián es aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio. Ejemplo: Si β determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio, entonces la medida en radianes de β es: 3 2 6 = = cm cm r s . En el sistema circular, β mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sin indicar la unidad de medida. La medida en radianes de un ángulo de un giro es t t 2 . . 2 = r r . s = r, por lo tanto 1 r s = . Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados determinan sobre ella un arco s de longitud igual al radio r. o Curso de Nivelación en Matemática 87 La medida en radianes de un ángulo llano, que es la mitad de un giro, es t t = 2 . . 2 La medida en radianes de un ángulo recto es 2 t . Para relacionar un sistema de medición con otro, observemos la siguiente tabla: Ángulo Sistema sexagesimal Sistema circular 1 giro 360º 2 t llano 180º t recto 90º t/2 ¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián? Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del ángulo llano, tenemos π 180º 1 " 45 ' 17 º 57 º 180 1 ~ · t Nota: t es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de t radianes equivale a un ángulo de 180º. Pero t = 180. Actividad 1: a) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando fracciones de t: 30º 45º 60º 120º b) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes: 2 1/2 t/2 2t c) Efectuar las siguientes operaciones. - Hallar el ángulo complementario de 56º41’27’’ - Hallar el ángulo suplementario de 102º25’ - ¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º33’ a la quinta parte de 39º40’ ? - El minutero de un reloj es de 12 cm de largo. ¿Qué recorrido realiza la punta de la manecilla en 20 minutos? Razones trigonométricas de un ángulo agudo Recordemos las definiciones de las razones trigonométricas. hipotenusa opuesto cateto sen = o hipotenusa adyacente cateto cos = o C o B A Curso de Nivelación en Matemática 88 adyacente cateto opuesto cateto tg = o Observación: © Estas razones dependen sólo del ángulo o y no de las medidas de los lados del triángulo construido. Las definiciones de las razones trigonométricas de ángulos agudos pueden extenderse para cualquier ángulo. Para eso, consideramos el ángulo o en el plano cartesiano, haciendo coincidir su vértice con el origen de un sistema cartesiano ortogonal, y su lado inicial con el semieje positivo de las x. También definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente: 0 0 0 0 opuesto cateto adyacente cateto cot adyacente cateto hipotenusa sec opuesto cateto hipotenua cosec y x g x r y r = = o = = o = = o Observación: © Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores. También se verifican las siguientes relaciones o = o o = o o = o o o = o tg 1 g cot cos 1 sec sen 1 ec cos cos sen tg r x OP P de abscisa hipotenusa adyacente cateto 0 cos = = = o 0 0 0 0 = = = x si x y adyacente cateto opuesto cateto tg o r y OP P de ordenada 0 hipotenusa opuesto cateto sen = = = o y 0 P r o x 0 x 0 P y 0 r o Curso de Nivelación en Matemática 89 Ejemplo: Queremos determinar los valores de las relaciones trigonométricas de un ángulo o cuyo lado terminal pasa por el punto P = (÷3 , 4) 1 . . . . . . .) ( .) ( .) ( .) . ( .) ( .) . ( 2 2 2 2 2 2 2 2 = | | . | \ | + | | . | \ | = + hip ady cat hip op cat hip hip hip ady cat hip op cat Resulta, entonces: (sen o) 2 + (cos o) 2 = 1 donde por comodidad escribimos sen 2 o + cos 2 o = 1 y que llamamos identidad pitagórica. Esta identidad, por ejemplo, nos permite calcular las funciones trigonométricas de un ángulo α sabiendo que es agudo y que 5 3 sen = o . Entonces, si sen 2 o + cos 2 o = 1 ¬ cos 2 o = 1 ÷ sen 2 o ¬ o ÷ = o 2 s e n 1 c o s y como o < t/2 5 4 25 16 5 3 1 cos cos cos 2 = = | . | \ | ÷ = o ¬ o = o 3 4 1 cot 4 5 cos 1 sec 3 5 1 cos 4 3 5 4 5 3 cos = = = = = = = = = o o o o o o o o o tg g sen ec sen tg y Para un ángulo cualquiera, puede aplicarse el teorema de Pitágoras: (cat. op.) 2 + (cat. ady.) 2 = (hipotenusa) 2 Dividimos ambos miembros por (hipotenusa) 2 : x0 = ÷3, y0 = 4 4 3 g cot 3 5 sec 4 5 ec cos 3 4 tg 5 3 cos 5 4 sen 5 4 ) 3 ( r 2 2 ÷ = o ÷ = o = o ÷ = o ÷ = o = o = + ÷ = 4 P r o -3 x y 0 P x 0 o Curso de Nivelación en Matemática 90 Actividad 2: Sabiendo que cos o = 3 2 , hallar las restantes relaciones trigonométricas de o. Con frecuencia se utilizan expresiones que vinculan a cada una de las relaciones trigonométricas con las demás para poder utilizar, en cada caso, la expresión más conveniente. Por ejemplo, podríamos expresar la tangente de o en función del coseno: o o o o o o cos cos 1 : cos 2 ÷ ± = = tg pitagórica identidad la utilizando y sen tg . Análogamente, podemos expresar el coseno de o en función de la tangente de o: 1 cos 1 cos cos 1 cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ = ¬ ÷ = ¬ = ¬ = o o o o o o o o o o o tg tg sen tg sen tg o o o o o o 2 2 2 2 2 1 1 cos 1 1 cos cos 1 1 tg tg tg + = ¬ + = ¬ = + Más adelante veremos cómo seleccionar el signo del resultado. Actividad 3: a) Expresar la secante de o en función de la cosecante de o. b) Expresar la tangente de o como función del seno de o. La circunferencia trigonométrica – Ángulos orientados Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x. Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que el ángulo es positivo. Es negativo cuando está generado en sentido horario. Puede, además, realizar más de un giro completo. Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano divido en cuatro sectores, llamados cuadrantes y una circunferencia con centro en el origen y radio 1 que llamaremos circunferencia trigonométrica. En la figura, como r = 1 tenemos que: 0 0 0 y 1 y r y sen = = = o ¬ el segmento de ordenadas está relacionado con el sen o 0 0 0 x 1 x r x cos = = = o ¬ el segmento de abscisas está relacionado con el cos o I cuadrante II cuadrante P 1 III cuadrante IV cuadrante P 0 P 2 P 3 o | ¸ δ P 1 En la figura, como r = 1 tenemos que: 0 0 0 y 1 y r y sen = = = o ¬ el segmento de ordenadas está relacionado con el sen o 0 0 0 x 1 x r x cos = = = o ¬ el segmento de abscisas está relacionado con el cos o Curso de Nivelación en Matemática 91 Para hallar el segmento asociado al sen |, se construye en el segundo cuadrante el triángulo rectángulo con las componentes de P1 y el segmento de ordenadas corresponde a seno de |. Análogamente sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento de ordenada se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa, con el coseno del ángulo. Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto sobre el lado terminal del ángulo. Esta información se resume en la siguiente tabla, que podrá completar: Actividad 4: a) sen o cos o tg o cosec o sec o cotg o I + + + II ÷ III ÷ IV ÷ b) Si t | t 5 2 9 < < , ¿qué se puede asegurar respecto del signo de sen |, cos | y tg |? Razones trigonométricas de ángulos notables Para los ángulos de 0, t/2, t y 3t/2, teniendo en cuenta las coordenadas del punto P asociado a cada ángulo en la circunferencia trigonométrica, podemos deducir y completar: Actividad 5: Para los ángulos de t/6, t/4 y t/3 radianes pueden calcularse las razones trigonométricas usando recursos geométricos. Damos aquí una tabla que contiene los valores de los ángulos notables pertenecientes al primer cuadrante. o 0 t/2 t 3t/2 P (0; 1) sen o 1 cos o 0 tg o no existe -1 -1 1 1 0 Curso de Nivelación en Matemática 92 o 0 6 t 4 t 3 t 2 t sen o 0 2 1 2 2 2 3 1 cos o 1 2 3 2 2 2 1 0 tg o 0 3 3 1 3 no está definida Actividad 6: 1. Construir, observar la circunferencia trigonométrica y completar en los casos en que existan: = = = ÷ = = | . | \ | ÷ t t t t sec 0 cos ) 5 ( ) 4 cos( 2 ec tg sen 2. Calcular, usando la tabla de ángulo notables: a) | . | \ | t 6 5 sen b) | . | \ | t 4 5 cos c) | . | \ | t 3 2 tg d) | . | \ | t 6 7 cos ec Algunas Identidades Trigonométricas Las siguientes identidades son de utilidad para distintos procedimientos, como cálculos de límites e integrales. No es necesario memorizarlas porque suelen estar incluidas en tablas de derivadas , integrales, etc. Simplemente enumeramos sólo algunas de ellas. Para o y | cualesquiera: sen (o ± | ) = sen o cos | ± cos o sen | cos (o + | ) = cos o cos | ÷ sen o sen | cos (o ÷ | ) = cos o cos | + sen o sen | | o | o | o tg tg tg tg tg ÷ + = + 1 ) ( Para cualquier o: - sen (2o) = 2 sen o cos o - cos (2o) = cos 2 o ÷ sen 2 o Curso de Nivelación en Matemática 93 - o o o 2 1 2 ) 2 ( tg tg tg ÷ = - 2 cos 1 2 o o ÷ = | . | \ | sen - 2 cos 1 2 cos o o + = | . | \ | - o o o cos 1 2 + = | . | \ | sen tg - 2 ) 2 ( cos 1 cos 2 o o + = - 2 ) 2 ( cos 1 2 o o ÷ = sen Actividad 7: Verificar las siguientes identidades (se aconseja trabajar en cada miembro de la igualdad sustituyendo las expresiones por otras identidades conocidas hasta llegar a una igualdad evidente). Ejemplo: o o o o o o o o o o o o o o cos cos 1 cos 1 cos 1 1 sec : ón Demostraci cos cos 1 sec + = + = + = + + = + · sen sen sen sen sen sen a) o o o o sen tg + = ÷ 1 cos sec b) o o o 2 2 2 cos cot 1 ec g sen ÷ = Resolución de Triángulos rectángulos Resolver trigonométricamente un triángulo rectángulo consiste en, dados algunos elementos del triángulo, obtener los restantes. Ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo dados la hipotenusa a = 20 cm y ��� = ' 35 º 28 a b c A B C Entonces los datos son: a y B ˆ y las incógnitas C ˆ , b y c. Como C y B son complementarios, resulta: ��� = 90º − ��� = 61º 25’ Curso de Nivelación en Matemática 94 Como sen B = cm cm B sen a b a b 568 , 9 4784 , 0 · 20 ˆ = = = ¬ Además, cos cm cm B a c a c B 562 , 17 8781 , 0 · 20 ˆ cos ˆ = = = ¬ = Actividad 8: a) Para un triángulo rectángulo similar al del ejemplo, hallar c, B y C sabiendo que a = 15 cm. y b = 9 cm. b) Un globo sujetado por un cable de 180 m. es inclinado por el viento formando el cable un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular la distancia del globo al suelo. c) Calcular la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en una pared alcance una altura de 2,85 m al formar con el plano de la base un ángulo de 58º 1’. Rta: 3,36 m. d) Un alambre carril recto de 320 m. une dos estaciones A y B y tiene una pendiente de 0,532. Calcular la diferencia de altura sobre el nivel del mar entre A y B. Rta: 150,23 m. Curso de Nivelación en Matemática 95 BIBLIOGRAFIA Altman, Silvia - Comparatore, Claudia - Kurzrok, Liliana. “Matemática2: Funciones 1”. Ed. Longseller, 2005. Altman, Silvia - Comparatore, Claudia - Kurzrok, Liliana. “Matemática 2: Funciones 2”. Ed. Longseller, 2005. Bocco, Mónica. “Funciones elementales para construir modelos matemáticos”. Ministerio de Educación de la nación. Instituto Nacional de Educación Tecnológica, 2010. Carnelli, Gustavo – Novembre, Andrea – Vilariño, Alejandra. “Función de gala”. Ed. El Hacedor, 1999. Colera, José- Gaztelu, Ignacio - de Guzmán, Miguel - Oliveira, María José. “Matemáticas 2”, Ed. Anaya, 1997. Colera, José - García, Juan Emilio - Gaztelu, Ignacio- de Guzmán, Miguel- Oliveira, María José. “Matemáticas 3”. Ed. Anaya, 1995. Colera, José- García, Juan Emilio - Gaztelu, Ignacio- de Guzmán, Miguel - Oliveira, María José. “Matemáticas 4”. Ed. Anaya, 1995 De Guzmán, Miguel - Colera, José - Adela Salvador. “Bachillerato 2”. Ed. Anaya, 1987. 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